函数奇偶性讲义
专题：函数的奇偶性讲义(教师用)
函数的奇偶性一、函数奇偶性设函数y ＝)(x f 的定义域为D ，如果对于D 任意一个x ，都有D x ∈-，且)(x f -＝－)(x f ，那么这个函数叫做奇函数．设函数y ＝)(x g 的定义域为D ，如果对于D 任意一个x ，都有D x ∈-，且)(x g -＝)(x g ，那么这个函数叫做偶函数．奇函数)(x f 的图象关于原点成中心对称图形． 偶函数)(x g 的图象关于y 轴成轴对称图形． 二、方法归纳1.函数的定义域D 是关于原点的对称点集（即对x ∈D 就有－x ∈D ），是其具有奇偶性的必要条件．2.在公共定义域：两个偶函数的和、差、积、商均为偶函数；两个奇函数的和、差是奇函数，积、 商是偶函数； 偶函数与奇函数的积、商是奇函数．3.判断函数的奇偶性应把握：① 若为具体函数，严格按照定义判断，注意定义域D 的对称性和变换中的等价性． ② 若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性和合理性．4.定义在关于原点的对称点集D 上的任意函数)(x f ，总可以表示成一个偶函数与一个奇函数的和． 即)(x f ＝)(x F ＋)(x G ，其中)(x F ＝2)()(x f x f -+为偶函数， )(x G ＝2)()(x f x f --为奇函数．5.奇（偶）函数性质的推广：若函数)(x f 的图象关于直线a x =对称，则)2()(a x f x f +=-； 若函数)(x f 的图象关于点)0,(a 对称，则)2()(a x f x f +-=-； 三、典型例题精讲［例1］（1）函数)(x f ＝111122+++-++x x x x 的图象( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线x ＝1对称解析：由=-)(x f 111122+-+--+x x x x ， ∴ =-)(x f ＝11111122+++-++xx xx ＝)1(1)1(122x x x x +++++- ＝－)(x f∴ )(x f 是奇函数，图象关于原点对称． 答案：C【技巧提示】 用定义判定函数的奇偶性需要对函数解析式进行恒等变形，不要轻易断定是非奇非偶函数． （2）分段函数奇偶性的判定又例：函数⎩⎨⎧>-+-<++=0,320,32)(22x x x x x x x f 的奇偶性． 解析：当0>x 时，0<-x3)(2)()(2+-+-=-x x x f ＝322+-x x ＝)(x f -；当0<x 时，0>-x3)(2)()(2--+--=-x x x f ＝322---x x ＝)(x f -∴)(x f 是奇函数．［例2］已知)(x f 是偶函数而且在(0，＋∞)上是减函数，判断)(x f 在(－∞，0)上的增减性并加以证明． 解析：函数)(x f 在(－∞，0）上是增函数．设x 1＜x 2＜0，因为)(x f 是偶函数，所以)(1x f -＝)(1x f ，)(2x f -＝)(2x f ，由假设可知－x 1＞－x 2＞0，又已知)(x f 在(0，＋∞)上是减函数，于是有)(1x f -＜)(2x f -， 即)(1x f ＜)(2x f ，由此可知，函数)(x f 在(－∞，0)上是增函数．【技巧提示】 具有奇偶性的函数，其定义域D 关于原点的对称性，使得函数在互为对称的区间的单调性具有对应性．“偶函数半增半减，奇函数一增全增”．［例3］定义在区间(－∞，＋∞)上的奇函数)(x f 为增函数，偶函数)(x g 在区间[0，＋∞)上的图象与)(x f 的图象重合，设a ＞b ＞0，给出下列不等式：（1）f (b )－f (－a )＞g (a )－g (－b )； （2）f (b )－f (－a )＜g (a )－g (－b )； （3）f (a )－f (－b )＞g (b )－g (－a )； （4）f (a )－f (－b )＜g (b )－g (－a )． 其中成立的是（ ）A ． (1)与(4)B ． (2)与(3)C ． (1)与(3)D ． (2)与(4) 解析：根据函数)(x f 、)(x g 的奇偶性将四个不等式化简，得： （1）f (b )＋f (a )＞g (a )－g (b )； （2）f (b )＋f (a )＜g (a )－g (b )； （3）f (a )＋f (b )＞g (b )－g (a )； （4）f (a )＋f (b )＜g (b )－g (a )．再由题义，有 )(a f ＝)(a g ＞)(b f ＝)(b g ＞0)0()0(==g f ．显然（1）、（3）正确，故选C ．【技巧提示】 具有奇偶性的函数可以根据某个区间的单调性判定其对称的区间的单调性，因而往往与不等式联系紧密．又例：偶函数)(x f 在定义域为R ，且在（－∞，0]上单调递减，求满足)3(+x f ＞)1(-x f 的x 的集合． 解析：偶函数)(x f 在（－∞，0]上单调递减，在［0，＋∞）上单调递增．根据图象的对称性，)3(+x f ＞)1(-x f 等价于|3|+x ＞|1|-x ．解之，1->x ，∴ 满足条件的x 的集合为（－1，＋∞）．［例4］设)(x f 是(－∞，＋∞)上的奇函数，)2(+x f ＝－)(x f ，当0≤x ≤1时，)(x f ＝x ，x 则)5.7(f 等于( )A ．0.5B ． －0.5C ． 1.5D ． －1.5解析：)5.7(f ＝)25.5(+f ＝－)5.5(f ＝－)25.3(+f ＝)5.3(f ＝)25.1(+f ＝－)5.1(f ＝－)25.0(+-f ＝)5.0(-f ＝－)5.0(f ＝－0.5．答案：B【技巧提示】 这里反复利用了)(x f ＝－)(x f 和)2(+x f ＝－)(x f ，后 面的学习我们会知道这样的函数具有周期性．又例：如果函数)(x f 在R 上为奇函数，且在(－1，0)上是增函数，试比较)31(f ，)32(f ，)1(f 的大小关系_________． 解析：∵)(x f 为R 上的奇函数，∴ )31(f ＝－)31(-f ，)32(f ＝－)32(-f ，)1(f ＝－)1(-f ，又)(x f 在(－1，0)上是增函数且－31＞－32＞－1． ∴ )31(-f ＞)32(-f ＞)1(-f ，∴ )31(f ＜)32(f ＜)1(f ．答案：)31(f ＜)32(f ＜)1(f ．［例5］函数)(x f 的定义域为D ＝{}0≠∈x R x ，且满足对于任意D x x ∈21,，有1212()()()f x x f x f x ⋅=+ （1）求(1)f 的值； （2）判断函数)(x f 的奇偶性，并证明；解：（1）令121x x ==，得()10f =；（2）令121x x ==-，得()10f -=，令121,x x x =-=，得()()()1f x f f x -=-+∴ ()()f x f x -=，即)(x f 为偶函数．【技巧提示】 赋值法是解决抽象函数问题的切入点．常赋值有0，1，―1，2，―2，等等．［例6］已知函数)(x f 在(－1，1)上有定义，)21(f ＝－1，当且仅当0＜x ＜1时)(x f ＜0，且对任意x 、y ∈(－1，1)都有)(x f ＋)(y f ＝)1(xyyx f ++，试证明： (1) )(x f 为奇函数；(2) )(x f 在(－1，1)上单调递减． 证明：(1) 由)(x f ＋)(y f ＝)1(xyyx f ++，令x ＝y ＝0，得)0(f ＝0， 令y ＝－x ，得)(x f ＋)(x f -＝)1(2x xx f --＝)0(f ＝0，∴ )(x f ＝－)(x f -， ∴)(x f 为奇函数． (2)先证)(x f 在(0，1)上单调递减．令0＜x 1＜x 2＜1，则f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (21121x x x x --)∵0＜x 1＜x 2＜1，∴x 2－x 1＞0，1－x 1x 2＞0，∴21121x x x x --＞0，又(x 2－x 1)－(1－x 2x 1)＝(x 2－1)(x 1+1)＜0 ∴x 2－x 1＜1－x 2x 1， ∴0＜21121x x x x --＜1，由题意知f (21121x x x x --)＜0，即f (x 2)＜f (x 1)．∴ )(x f 在(0，1)上为减函数，又)(x f 为奇函数且f (0)＝0．∴)(x f 在(－1，1)上为减函数．【技巧提示】 这种抽象函数问题，往往需要赋值后求特殊的函数值，如(0),(1),(2)f f f ±±等等，一般(0)f 的求解最为常见．赋值技巧常为令0==y x 或y x -=等。
函数奇偶性经典讲义-新
Ⅰ复习提问（一）奇偶函数的定义（二）、函数按奇偶分类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数也不是偶函数（非奇非偶）（三）、奇偶函数的性质： 1、奇函数的反函数也是奇函数2、奇偶函数的加减：±±±奇奇=奇，偶偶=偶，奇偶=非奇非偶；奇偶函数的乘除：同偶异奇3、奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。
4、定义在R 上的任意函数()f x 都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和()()()()()()()22f x f x f x f x f x --+-=+奇偶 （四）、函数奇偶性的做题方法与步骤。
第一步，判断函数的定义域是否关于原点对称；第二步，求出()f x -的表达式；第三步，比较()()f x f x -与的关系()()()()f x f x f x f x -⎧⎪⎨-⎪⎩与相等，函数为偶与互为相反数，函数为奇函数Ⅱ 题型与方法归纳题型与方法()()()()()0,0,020,===f x f x f x f x ⎧+-=⎧⎪→⎪⎨--=⎪⎪⎩⎨±±±⎧⎪⎨⎪⎩⎩则是奇函数定义法：1）看定义域是否关于对称，）若则是偶函数奇偶加减：奇奇奇，偶偶偶，奇偶非奇非偶快速判定奇偶乘除：同偶异奇。
一、判定奇偶性例1：判断下列函数的奇偶性1) ()()21f x x x =+ 2）()112log x x f x -⎛⎫ ⎪+⎝⎭= 3）()f x =4）()f x =）()2211021102x x f x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩解：1）()f x 的定义域为R ，()()()()2211f x x x x x -=--+=+()f x =所以原函数为偶函数。
2）()f x 的定义域为11x x-+0>即11x -<<，关于原点对称()()()111122log log x x x x f x ⎛⎫--+⎛⎫⎪ ⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭-==()21log 1x f x x -⎛⎫=-=- ⎪+⎝⎭，所以原函数为奇函数。
函数的奇偶性PPT精品课件
思考3：
在前面的几个函数中有的是奇函数，有的是偶函数，也有非奇非偶函数。那么有没有这样的函数，它既是奇函数又是偶函数呢？
有。例如：函数 f(x)=0
是不是只有这一个呢？若不是，请举例说明。
x
y
0
1
f(x)=0
-1
奇函数 偶函数 既奇又偶函数 非奇非偶函数
01
根据奇偶性, 函数可划分为四类:
例1. 判断下列函数的奇偶性
(1) f(x)=x3+x (2) f(x)=3x4+6x2 +a
解: 定义域为R ∵f(-x)=(-x)3+(-x) = -x3-x = -(x3+x) 即 f(-x)= - f(x) ∴f(x)为奇函数
函数的奇偶性
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在日常生活中，有非常多的轴对称现象，如人与镜中的影关于镜面对称，请同学们举几个例子。
03
而我们所学习的函数图像也有类似的 对称现象，请看下面的函数图像。
除了轴对称外，有些是关于某点对称，如风扇的叶子，如图： 它关于什么对称？
04
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观察下面两组图像，它们是否也有对称性呢？
x
y
O
1
-1
f(x)=x2（1）Fra bibliotek（2）y
x
O
x0
-x0
例如：对于函数f(x)=x3
有 f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1
f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8
f(-x)=(-x)3=-x3
f(-1)= - f(1) f(-2)= - f(2) f(-x)= - f(x)
-x
结论:当自变量x任取定义域 中的一对相反数时,对应的 函数值相等，即f(-x)=f(x)
函数的性质专题讲义
函数四大性质综合讲义1．函数的单调性(1)单调函数的定义自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值3.（一）对称轴1.概念：如果一个函数的图像沿着一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称函数具备对称性中的轴对称，该直线称为函数的对称轴。
2.常见函数的对称轴①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x=-b/(2a)④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴；而其他的幂函数不具备对称性⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化⑩余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中x=kπ是它的对称轴，（kπ+π/2，0）是它的对称中心⑾正切函数：不是轴对称，但是是中心对称，其中（kπ/2，0）是它的对称中心，容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是（kπ,0）⑿对号函数：对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称，原点是它的对称中心。
2020年高三总复习数学人教旧版-必修1[第5讲 函数的奇偶性]讲义(教师版)
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第3页
∴y＝xf（x）是偶函数． 对于 C，g（﹣x）＝（﹣x）2＋f（﹣x）＝x2﹣f（x）， ∴y＝x2＋f（x）为非奇非偶函数， 对于 D，g（﹣x）＝（﹣x）2f（﹣x）＝﹣x2f（x）＝﹣g（x）， ∴y＝x2f（x）是奇函数． 故选 B．
函数奇偶性用定义判断，看 f（﹣x）和 f（x）的关系，注意奇偶函数的定义域的对称性，若 定义域不关于原点对称，一定是非奇非偶函数．
练习 1. 已知函数 f（x）＝ax3＋bx＋1，若 f（a）＝8，则 f（﹣a）＝
【答案】﹣6 【解析】∵函数 f（x）＝ax3＋bx＋1， ∴f（﹣x）＝a（﹣x）3＋b（﹣x）＋1＝﹣ax3﹣bx＋1， ∴f（﹣x）＋f（x）＝2，
．
第4页
∴f（﹣a）＋f（a）＝2． ∵f（a）＝8， ∴f（a）＝﹣6． 故答案为﹣6．
练习 2. 定义在（﹣1，1）上的奇函数 f（x）＝
，则常数 m＝ ，n＝ ．
【答案】m＝0，n＝0． 【解析】因为函数 f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，所以必定有 f（0）＝ 0，
⇒m＝
此时 f（x）＝
，
函数的奇偶性(精辟讲解)
[难点正本 疑点清源] 1．函数奇偶性的判断
判断函数的奇偶性主要根据定义：一般地，如果对于 函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝f(x)(或 f(－x)＝－f(x))，那么函数 f(x)就叫做偶函数(或奇函 数)．其中包含两个必备条件： ①定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要 不充分条件，所以首先考虑定义域有利于准确简捷地 解决问题； ②判断 f(x)与 f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶 性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式 (f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或 f(x)－f(－x)＝0(偶函数)) 是否成立．
2．函数奇偶性的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单 调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单 调性，则其单调性恰恰相反． (2)若 f(x)为偶函数，则 f(－x)＝f(x)＝f(|x|)． (3)若奇函数 f(x)定义域中含有 0，则必有 f(0)＝0. f(0)＝0 是 f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件． (4)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表 示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”． (5)复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”． (6)既奇又偶的函数有无穷多个(如 f(x)＝0，定义域是关 于原点对称的任意一个数集)．
∴f(x)为偶函数．
题型二 函数的奇偶性与单调性
例 2 (1)已知 f(x)是 R 上的奇函数，且当 x>0 时，f(x) ＝x2－x－1，求 f(x)的解析式； (2)设 a>0，f(x)＝eax＋eax是 R 上的偶函数，求实数 a 的值；
(3)已知奇函数 f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间 [－2,0]内递减，求满足 f(1－m)＋f(1－m2)<0 的实 数 m 的取值范围． 思维启迪 (1)f(x)是一个分段函数，当 x<0 时，转化为
高中数学函数的奇偶性(解析版)
1．函数的奇偶性(1)奇偶性的定高中数学函数的奇偶性(解析版)义奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )是偶函数关于y 轴对称奇函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )是奇函数关于原点对称(2)函数奇偶性常用结论结论1：如果函数f (x )是奇函数且在x ＝0处有意义，那么f (0)＝0．结论2：如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (－x )＝f (|x |)．结论3：若函数y ＝f (x ＋b )是定义在R 上的奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b ，0)中心对称．结论4：若函数y ＝f (x ＋a )是定义在R 上的偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．结论5：已知函数f (x )是定义在区间D 上的奇函数，则对任意的x ∈D ，都有f (x )＋f (－x )＝0．特别地，若奇函数f (x )在D 上有最值，则f (x )max ＋f (x )min ＝0．推论1：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (－x )＋g (x )＝2c ．推论2：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (x )max ＋g (x )min ＝2c ．结论6：在公共定义域内有：奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇±偶＝非奇非偶；奇)(÷⨯奇＝偶，偶)(÷⨯偶＝偶，奇)(÷⨯偶＝奇．结论7：若函数f (x )的定义域关于原点对称，则函数f (x )能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记g (x )＝12[f (x )＋f (－x )]，h (x )＝12[f (x )－f (－x )]，则f (x )＝g (x )＋h (x )．结论8：奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性；偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．结论9：偶函数在其定义域内关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在其定义域内关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．结论10：复合函数y ＝f [g (x )]的奇偶性：内偶则偶，两奇为奇．结论11：指数型函数的奇偶性(1)函数f (x )＝a x ＋a －x (a >0且a ≠1)是偶函数；(2)函数f (x )＝a x －a －x (a >0且a ≠1)是奇函数；(3)函数f (x )＝a x ＋1a x －1(a >0且a ≠1)是奇函数；(4)函数f (x )＝a x －a －x a x ＋a －x ＝a 2x ＋1a 2x－1(a >0且a ≠1)是奇函数；结论12：对数型函数的奇偶性(1)函数f (x )＝log a m －x m ＋x (a >0且a ≠1)是奇函数；函数f (x )＝log a m ＋xm －x (a >0且a ≠1)是奇函数；(2)函数f (x )＝log a x －m x ＋m (a >0且a ≠1)是奇函数；函数f (x )＝log a x ＋mx －m (a >0且a ≠1)是奇函数；(3)函数f (x )＝log a mx －b mx ＋b (a >0且a ≠1)是奇函数；函数f (x )＝log a mx ＋bmx －b(a >0且a ≠1)是奇函数；(4)函数f(x)＝log a(1＋m2x2±mx)(a>0且a≠1)是奇函数．2．函数的对称性(奇偶性的推广)(1)函数的轴对称定理1：如果函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a＋b2对称．推论1：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．推论2：如果函数y＝f(x)满足f(x)＝f(－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0（y轴）对称，就是偶函数的定义，它是上述定理1的简化．(2)函数的点对称定理2：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．推论1：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称．推论2：如果函数y＝f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于原点(0，0)对称，就是奇函数的定义，它是上述定理2的简化．(3)两个等价关系若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三式成立且等价：f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(2a－x)＝f(x)⇔f(2a＋x)＝f(－x)若函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称，则以下三式成立且等价：f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(2a－x)＝－f(x)⇔f(2a＋x)＝－f(－x)考点一判断函数的奇偶性【方法总结】判断函数的奇偶性：首先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f(－x)与f(x)的关系作出判断．分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0或x<0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．用函数奇偶性常用结论6或特值法可秒杀．【例题选讲】[例1](1)下列函数为偶函数的是()A．y＝B．y＝x2＋e|x|C．y＝x cos x D．y＝ln|x|－sin x答案B解析对于选项A，易知y＝tan B，设f(x)＝x2＋e|x|，则f(－x)＝(－x)2＋e|－x|＝x2＋e|x|＝f(x)，所以y＝x2＋e|x|为偶函数；对于选项C，设f(x)＝x cos x，则f(－x)＝－x cos(－x)＝－x cos x＝－f(x)，所以y＝x cos x为奇函数；对于选项D，设f(x)＝ln|x|－sin x，则f(2)＝ln2－sin 2，f(－2)＝ln2－sin(－2)＝ln2＋sin2≠f(2)，所以y＝ln|x|－sin x为非奇非偶函数，故选B．(2)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A．y＝x＋sin2x B．y＝x2－cos x C．y＝2x＋12xD．y＝x2＋sin x 答案D解析对于A，定义域为R，f(－x)＝－x＋sin2(－x)＝－(x＋sin2x)＝－f(x)，为奇函数；对于B，定义域为R，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数；对于C，定义域为R，f(－x)＝2－x＋12－x＝2x＋12x＝f(x)，为偶函数；对于D，y＝x2＋sin x既不是偶函数也不是奇函数．(3)设函数f(x)＝e x－e－x2，则下列结论错误的是()A．|f(x)|是偶函数B．－f(x)是奇函数C．f(x)|f(x)|是奇函数D．f(|x|)f(x)是偶函数答案D解析∵f(x)＝e x－e－x2，则f(－x)＝e－x－e x2＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．∵f(|－x|)＝f(|x|)，∴f(|x|)是偶函数，∴f(|x|)f(x)是奇函数．(4)已知f(x)＝4－x2，g(x)＝|x－2|，则下列结论正确的是()A．h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数B．h(x)＝f(x)·g(x)是奇函数C．h(x)＝g(x)·f(x)2－x是偶函数D．h(x)＝f(x)2－g(x)是奇函数答案D解析h(x)＝f(x)＋g(x)＝4－x2＋|x－2|＝4－x2＋2－x，x∈[－2,2]．h(－x)＝4－x2＋2＋x≠h(x)，且h(－x)≠－h(x)，不满足函数奇偶性的定义，是非奇非偶函数．B．h(x)＝f(x)·g(x)＝4－x2|x－2|＝4－x2(2－x)，x∈[－2,2]．h(－x)＝4－x2(2＋x)≠h(x)，且h(－x)≠－h(x)，不满足函数奇偶性的定义，是非奇非偶函数．C．h(x)＝g(x)·f(x)2－x＝4－x2，x∈[－2，2)，定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数．D．h(x)＝f(x)2－g(x)＝4－x2x，x∈[－2，0)∪(0，2]，是奇函数．(5)已知函数f(x)满足f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，则以下四个选项一定正确的是()A．f(x－1)＋1是偶函数B．f(x－1)－1是奇函数C．f(x＋1)＋1是偶函数D．f(x＋1)－1是奇函数答案－12解析法一：因为f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，所以f(x)＋f(2－x)＝2，所以函数y＝f(x)的图象关于点(1，1)中心对称，而函数y＝f(x＋1)－1的图象可看作是由y＝f(x)的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，所以函数y＝f(x＋1)－1的图象关于点(0，0)中心对称，所以函数y＝f(x＋1)－1是奇函数，故选D．法二：由f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，得f(x＋1)－1＋f(－x＋1)－1＝0，令F(x)＝f(x＋1)－1，则F(x)＋F(－x)＝0，所以F(x)为奇函数，即f(x＋1)－1为奇函数，故选D．【对点训练】1．下列函数为奇函数的是()A．f(x)＝x3＋1B．f(x)＝ln1－x1＋xC．f(x)＝e x D．f(x)＝x sin x1．答案B解析对于A，f(－x)＝－x3＋1≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于B，f(－x)＝ln1＋x1－x＝－ln 1－x 1＋x＝－f(x)，所以其是奇函数；对于C，f(－x)＝e－x≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于D，f(－x)＝－x sin(－x)＝x sin x＝f(x)，所以其不是奇函数．故选B．2．函数f(x)＝9x＋13x的图象()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于坐标原点对称D．关于直线y＝x对称2．答案B解析因为f(x)＝9x＋13x＝3x＋3－x，易知f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称．3．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是()A．y＝2|x|B．y＝lg(x＋x2＋1)C．y＝2x＋2－x D．y＝lg1x＋13．答案D解析对于D项，1x＋1>0，即x>－1，其定义域关于原点不对称，是非奇非偶函数．4．已知f(x)＝x2x－1，g(x)＝x2，则下列结论正确的是()A．f(x)＋g(x)是偶函数B．f(x)＋g(x)是奇函数C．f(x)g(x)是奇函数D．f(x)g(x)是偶函数4．答案A解析令h(x)＝f(x)＋g(x)，因为f(x)＝x2x－1，g(x)＝x2，所以h(x)＝x2x－1＋x2＝x·2x＋x2(2x－1)，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．因为h(－x)＝－x·2－x－x2(2－x－1)＝x(1＋2x)2(2x－1)＝h(x)，所以h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数，令F(x)＝f(x)g(x)＝x22(2x－1)，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．所以F(－x)＝(－x)22(2－x－1)＝x2·2x2(1－2x)，因为F(－x)≠F(x)且F(－x)≠－F(x)，所以F(x)＝g(x)f(x)既不是奇函数也不是偶函数．5．设f(x)＝e x＋e－x，g(x)＝e x－e－x，f(x)，g(x)的定义域均为R，下列结论错误的是() A．|g(x)|是偶函数B．f(x)g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是偶函数D．f(x)＋g(x)是奇函数5．答案D解析f(－x)＝e－x＋e x＝f(x)，f(x)为偶函数．g(－x)＝e－x－e x＝－g(x)，g(x)为奇函数．|g(－x)|＝|－g(x)|＝|g(x)|，|g(x)|为偶函数，A正确；f(－x)g(－x)＝f(x)[－g(x)]＝－f(x)g(x)，所以f(x)g(x)为奇函数，B正确；f(－x)|g(－x)|＝f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是偶函数，C正确；f(x)＋g(x)＝2e x，f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠－(f(x)＋g(x))，且f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠f(x)＋g(x)，所以f(x)＋g(x)既不是奇函数也不是偶函数，D错误，故选D．6．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是() A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数6．答案C解析对于A：令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，A错．对于B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数，B错．对于C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，C正确．对于D：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，∴h(x)是偶函数，D错．考点二已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值【方法总结】已知函数的奇偶性求函数解析式中参数的值：常常利用待定系数法，由f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或对方程求解．对于选填题可用特值法进行秒杀．【例题选讲】[例2](1)若函数f(x)＝x ln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________．答案1解析f(x)为偶函数，则y＝ln(x＋a＋x2)为奇函数，所以ln(x＋a＋x2)＋ln(－x＋a＋x2)＝0，则ln(a＋x2－x2)＝0，∴a＝1．(2)已知函数f(x)＝2×4x－a2x的图象关于原点对称，g(x)＝ln(ex＋1)－bx是偶函数，则log a b＝()A．1B．－1C．－12D．14答案B解析由题意得f(0)＝0，∴a＝2.∵g(1)＝g(－1)，∴ln(e＋1)－b＝ln(1e＋1)＋b，∴b＝12，∴log212＝－1．故选B．(3)若函数f(x)－1，0<x≤2，1，－2≤x≤0，g(x)＝f(x)＋ax，x∈[－2，2]为偶函数，则实数a＝答案－12解析因为f (x )－1，0<x ≤2，1，－2≤x ≤0，所以g (x )＝f (x )＋ax －1，－2≤x ≤0，1＋a )x －1，0<x ≤2，因为g (x )－1，－2≤x ≤0，＋a )x －1，0<x ≤2为偶函数，所以g (－1)＝g (1)，即－a －1＝1＋a －1＝a ，所以2a ＝－1，所以a ＝－12．(4)已知函数f (x )＝a －2e x ＋1(a ∈R )是奇函数，则函数f (x )的值域为()A ．(－1，1)B ．(－2，2)C ．(－3，3)D ．(－4，4)答案A解析法一：由f (x )是奇函数知f (－x )＝－f (x )，所以a －2e －x ＋1＝－a ＋2e x ＋1，得2a ＝2e x＋1＋2e －x ＋1，所以a ＝1e x ＋1＋e x e x ＋1＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1．因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1，1)．法二：函数f (x )的定义域为R ，且函数f (x )是奇函数，所以f (0)＝a －1＝0，即a ＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1．因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1，1)．(5)已知f (x )是奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝－e ax ，若f (ln 2)＝8，则a ＝________．答案－3解析当x ＞0，－x ＜0，f (－x )＝－e－ax．因为f (x )是奇函数，所以当x ＞0时，f (x )＝－f (－x )＝e－ax，所以f (ln 2)＝e－a ln2＝(e ln 2)－a ＝2－a ＝8．解得a ＝－3．【对点训练】7．若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.7．答案－32解析函数f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e－3x＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，化简得ln(1＋e 3x )－ln e 3x －ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，即－3x －ax ＝ax ，所以2ax ＋3x ＝0恒成立，所以a ＝－328．若函数f (x )＝x 3(12x －1＋a )为偶函数，则a 的值为________．8．答案12解析解法1：因为函数f (x )＝x 3(12x －1＋a )为偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即(－x )3(12－x －1＋a )＝x 3(12x －1＋a )，所以2a ＝－(12－x －1＋12x －1)，所以2a ＝1，解得a ＝12.解法2：因为函数f (x )＝x 3(12x －1＋a )为偶函数，所以f (－1)＝f (1)，所以(－1)3×(12－1－1＋a )＝13×(121－1＋a )，解得a ＝12，经检验，当a ＝12时，函数f (x )为偶函数．9．函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 3为奇函数，则a ＝________．9．答案－1解析由题意得f (－1)＋f (1)＝0，即2(a ＋1)＝0，解得a ＝－1，经检验，a ＝－1时，函数f (x )为奇函数．10．已知奇函数f (x )x ＋a ，x ＞0，－2－x，x ＜0，则实数a ＝________．10．答案－4解析因为函数f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，f (－1)＝－f (1)，所以4－21＝－(21＋a )，解得a ＝－4．11．已知f (x )＝3ax 2＋bx －5a ＋b 是偶函数，且其定义域为[6a －1，a ]，则a ＋b ＝()A ．17B ．－1C ．1D ．711．答案A解析因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a －1＋a ＝0，所以a ＝17.又因为f (x )为偶函数，所以b ＝0，即a ＋b ＝17．故选A ．12．若函数f (x )＝ax ＋b ，x ∈[a －4，a ]的图象关于原点对称，则函数g (x )＝bx ＋ax ，x ∈[－4，－1]的值域为________．12．答案－2，－12解析由函数f (x )的图象关于原点对称，可得a －4＋a ＝0，即a ＝2，则函数f (x )＝2x ＋b ，其定义域为[－2，2]，所以f (0)＝0，所以b ＝0，所以g (x )＝2x ，易知g (x )在[－4，－1]上单调递减，故值域为[g (－1)，g (－4)]，即－2，－12．考点三已知函数的奇偶性，求函数的值【方法总结】已知函数的奇偶性求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．【例题选讲】[例3](1)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝____．答案12解析∵x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，且f (x )在R 上为奇函数，∴f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12．(2)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (1)＝________．答案52解析由题意知f (0)＝20＋2×0＋b ＝0，解得b ＝－1．所以当x ≤0时，f (x )＝2x ＋2x －1，所以f (1)＝－f (－1)＝－[2－1＋2×(－1)－1]＝52(3)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )3(x ＋1)，x ≥0，(x )，x <0，，则g (－8)＝()A ．－2B ．－3C ．2D ．3答案A解析法一当x <0时，－x >0，且f (x )为奇函数，则f (－x )＝log 3(1－x )，所以f (x )＝－log 3(1－x )．因此g (x )＝－log 3(1－x )，x <0，故g (－8)＝－log 39＝－2．法二由题意知，g (－8)＝f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2．【对点训练】13．若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)－1，则f (－6)＝()A ．2B ．4C ．－2D ．－413．答案C解析根据题意得f (－6)＝－f (6)＝1－log 2(6＋2)＝1－3＝－2．14．已知函数f (x )是偶函数，当x ＞0时，f (x )＝ln x ，则21(())f f e 的值为________．14．答案ln 2解析由已知可得21(f e ＝ln 1e 2＝－2，所以21((f f e＝f (－2)．又因为f (x )是偶函数，所以21(())f f e ＝f (－2)＝f (2)＝ln 2．15．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m (m 为常数)，则f (－log 35)＝()A ．－6B ．6C ．4D ．－415．答案D解析因为f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m ，所以f (0)＝1＋m ＝0⇒m ＝－1，则f (－log 35)＝－f (log 35)＝－(3log 35－1)＝－4．16．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )3x ＋1，x ≥0，x ，x ＜0，则g (f (－8))＝()A ．－1B ．－2C ．1D ．216．答案A解析因为f (x )为奇函数，所以f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2，所以g (f (－8))＝g (－2)＝f (－2)＝－f (2)＝－log 33＝－1．考点四已知函数的奇偶性，求函数的解析式【方法总结】已知函数的奇偶性求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．对于奇函数可在x 以及解析式前同时加负号，对于偶函数可在x 前加负号进行秒杀．【例题选讲】[例4](1)设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x ＜0时，f (x )＝()A ．e －x －1B ．e －x ＋1C ．－e －x －1D ．－e －x ＋1答案D 解析通解：依题意得，当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(e －x －1)＝－e －x ＋1，选D ．优解：依题意得，f (－1)＝－f (1)＝－(e 1－1)＝1－e ，结合选项知，选D ．(2)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则f (x )＝________．答案－x －1－x ，x ≤0x －1＋x ，x ＞0解析当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝e x －1＋x ，又f (－x )＝f (x )，因此f (x )＝e x －1＋x ．所以f (x )－x －1－x ，x ≤0x －1＋x ，x ＞0．(3)若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝()A ．e x －e －xB ．12(e x ＋e －x )C ．12(e －x －e x )D ．12(e x －e －x )答案D解析因为f (x )＋g (x )＝e x ，所以f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x ，所以g (x )＝12(e x －e －x )．【对点训练】17．已知f (x )是奇函数，且x ∈(0，＋∞)时的解析式是f (x )＝－x 2＋2x ，若x ∈(－∞，0)，则f (x )＝________．17．答案x 2＋2x解析由题意知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，所以f (－x )＝－(－x )2＋2×(－x )＝－x 2－2x ＝－f (x )，所以f (x )＝x 2＋2x ．18．函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝2x ，则当x >0时，f (x )＝()A ．－2xB ．2－xC ．－2－xD ．2x18．答案C解析当x >0时，－x <0，∵x <0时，f (x )＝2x ，∴当x >0时，f (－x )＝2－x ．∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x ．19．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝________．19．答案2－4x ，x ＞0x 2－4x ，x ≤0解析∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0．又当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝x 2＋4x ．又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即f (x )＝－x 2－4x (x ＜0)，∴f (x )2－4x ，x ＞0，x 2－4x ，x ≤0.20．已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，函数f (x )的最大值为________．20．答案14解析法一：当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋x ．又因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＝＋14，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14．法二：当x >0时，f (x )＝x 2－x －14，最小值为－14，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14．考点五与奇函数相关的函数的求值【方法总结】对于可表示成奇函数加常数的函数，如果已知一个数的函数值，求它的相反数的函数值或求两个相反数的函数值的问题，可用奇函数的结论5的推论1：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (－x )＋g (x )＝2c ，如果是涉及到函数的最大值与最小值的问题则可用推论2：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (x )max ＋g (x )min ＝2c 进行秒杀．【例题选讲】[例5](1)已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋1(lg )2f 等于()A ．－1B ．0C ．1D ．2答案D解析设g (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＝f (x )－1，g (－x )＝ln(1＋9x 2＋3x )＝ln11＋9x 2－3x＝－g (x )．∴g (x )是奇函数，∴f (lg 2)－1＋1(lg 2f －1＝g (lg 2)＋1(lg )2g ＝0，因此f (lg 2)＋1(lg 2f ＝2．(2)已知函数f (x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________．若g (10)＝2019，则g (－10)的值为()A ．－2219B ．－2019C ．－1919D ．－1819答案D解析由题意，因为f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，∴f (0＋0)＝f (0)＋f (0)＝f (0)，即f (0)＝0，令y ＝－x ，则有f (x －x )＝f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0，即f (－x )＝－f (x )，即f (x )是奇函数，若g (x )＝f (x )＋sin x ＋x 2，g (10)＝2019，则g (10)＝f (10)＋sin 10＋100＝2019，则g (－10)＝f (－10)－sin 10＋100＝－f (10)－sin 10＋100，两式相加得200＝2019＋g (－10)，得g (－10)＝200－2019＝－1819，故选D(4)已知函数f (x )＝a sin x ＋b ln 1－x1＋x＋t ，若1()2f ＋1()2f ＝6，则实数t ＝()A ．－2B ．－1C ．1D ．3答案D 解析令g (x )＝a sin x ＋b ln1－x1＋x ，则易知g (x )为奇函数，所以1(2g ＋1()2g -＝0，则由f (x )＝g (x )＋t ，得1()2f ＋1()2f -＝1()2g ＋1(2g -＋2t ＝2t ＝6，解得t ＝3．故选D ．(5)已知函数f (x )＝2|x |＋1＋x 3＋22|x |＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m 等于()A ．0B ．2C ．4D ．8答案C解析易知f (x )的定义域为R ，f (x )＝2·(2|x |＋1)＋x 32|x |＋1＝2＋x 32|x |＋1，设g (x )＝x 32|x |＋1，则g (－x )＝－g (x )(x ∈R )，∴g (x )为奇函数，∴g (x )max ＋g (x )min ＝0．∵M ＝f (x )max ＝2＋g (x )max ，m ＝f (x )min ＝2＋g (x )min ，∴M ＋m ＝2＋g (x )max ＋2＋g (x )min ＝4，故选C ．【对点训练】21．已知函数f (x )＝x ＋1x－1，f (a )＝2，则f (－a )＝________．21．答案－4解析法一：因为f (x )＋1＝x ＋1x ，设g (x )＝f (x )＋1＝x ＋1x ，易判断g (x )＝x ＋1x故g (x )＋g (－x )＝x ＋1x －x －1x＝0，即f (x )＋1＋f (－x )＋1＝0，故f (x )＋f (－x )＝－2．所以f (a )＋f (－a )＝－2，故f (－a )＝－4．法二：由已知得f (a )＝a ＋1a －1＝2，即a ＋1a ＝3，所以f (－a )＝－a －1a －11＝－3－1＝－4．22．已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (a )＝2，则f (－a )的值为()A ．3B ．0C ．－1D ．－222．答案B解析设F (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ，显然F (x )为奇函数，又F (a )＝f (a )－1＝1，所以F (－a )＝f (－a )－1＝－1，从而f (－a )＝0．故选B ．23．对于函数f (x )＝a sin x ＋bx 3＋cx ＋1(a ，b ，c ∈R )，选取a ，b ，c 的一组值计算f (1)，f (－1)，所得出的正确结果可能是()A ．2和1B ．2和0C ．2和－1D ．2和－223．答案B解析设g (x )＝a sin x ＋bx 3＋cx ，显然g (x )为定义域上的奇函数，所以g (1)＋g (－1)＝0，所以f (1)＋f (－1)＝g (1)＋g (－1)＋2＝2，只有B 选项中两个值的和为2．24．已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg2))＝()A ．－5B ．－1C ．3D ．424．答案C解析设g (x )＝ax 3＋b sin x ，则f (x )＝g (x )＋4，且函数g (x )为奇函数．又lg(lg2)＋lg(log 210)＝lg(lg2·log 210)＝lg1＝0，所以f (lg(lg2))＋f (lg(log 210))＝2×4＝8，所以f (lg(lg2))＝3．故选C ．25．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝()A ．－3B ．－1C ．1D ．325．答案C解析用“－x ”代替“x ”，得f (－x )－g (－x )＝(－x )3＋(－x )2＋1，化简得f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1．故选C ．26．设函数f (x )＝(x ＋1)2＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________．26．答案2解析显然函数f (x )的定义域为R ，f (x )＝(x ＋1)2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1，设g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，则g (－x )＝－g (x )，∴g (x )为奇函数，由奇函数图象的对称性知g (x )max ＋g (x )min ＝0，∴M ＋m ＝[g (x )＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2．27．设函数f(x)＝(e x＋e－x)sin x＋t，x∈[－a，a]的最大值和最小值分别为M，N．若M＋N＝8，则t＝() A．0B．2C．4D．827．答案4解析设g(x)＝(e x＋e－x)sin x，x∈[－a，a]，因为g(x)是奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0，所以M＋N＝g(x)max＋g(x)min＋2t＝2t＝8，所以t＝4．28．若定义在[－2020，2020]上的函数f(x)满足：对任意x1∈[－2020，2020]，x2∈[－2020，2020]都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－2019，且x＞0时有f(x)＞2019，f(x)的最大值、最小值分别为M，N，则M＋N ＝()A．2019B．2020C．4040D．403828．答案D解析令x1＝x2＝0得f(0)＝2f(0)－2019，所以f(0)＝2019，令x1＝－x2得f(0)＝f(－x2)＋f(x2)－2019＝2019，所以f(－x2)＋f(x2)＝4038，令g(x)＝f(x)－2019，则g(x)max＝M－2019，g(x)min＝N －2019，因为g(－x)＋g(x)＝f(－x)＋f(x)－4038＝0，所以g(x)是奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0，即M－2019＋N－2019＝0，所以M＋N＝4038．29．已知函数f(x)＝(x2－2x)·sin(x－1)＋x＋1在[－1，3]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝() A．4B．2C．1D．029．答案A解析f(x)＝[(x－1)2－1]sin(x－1)＋x－1＋2，令t＝x－1，g(t)＝(t2－1)sin t＋t，则y＝f(x)＝g(t)＋2，t∈[－2，2]．显然M＝g(t)max＋2，m＝g(t)min＋2．又g(t)为奇函数，则g(t)max＋g(t)min＝0，所以M＋m＝4，故选A．30．若关于x的函数f(x)＋cos xt≠0)的最大值为a，最小值为b，且a＋b＝2，则t＝____．30．答案1解析f(x)＋cos x t＋t sin x＋x2x2＋cos x，设g(x)＝t sin x＋x2x2＋cos x，则g(x)为奇函数，g(x)max＝a－t，g(x)min＝b－t．∵g(x)max＋g(x)min＝0，∴a＋b－2t＝0，即2－2t＝0，解得t＝1．。
《函数的奇偶性》函数 PPT教学课件
解:(1)∵由
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
(4)设 f(x)=(x-2)
∵由
+2
-2
≥ 0,
思维辨析
当堂检测
+2
.
-2
得 x≤-2 或 x>2,
-2 ≠ 0,
∴函数的定义域为(-∞,-2]∪(2,+∞),
不关于原点对称.
∴f(x)=(x-2)
+2
既不是奇函数也不是偶函数.
课前篇
自主预习
一
二
3.做一做
(1)下列函数是偶函,2]
B.y=x3-x2
C.y=x3
D.y=x2,x∈[-1,0)∪(0,1]
答案:D
(2)下列函数中,既是奇函数又是减函数的为(
A.y=x-1
B.y=3x2
1
C.y=2
答案:D
D.y=-x|x|
)
课前篇
探究三
思维辨析
当堂检测
4.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4;当
x∈(0,+∞)时,f(x)=
.
解析:方法一:由于是填空题,故可采用直接代换法,将x用-x代替,
D.f(x)=x2+x4
答案:AD
当堂检测
)
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
2.有下列说法:
①偶函数的图像一定与y轴相交;
②若y=f(x)是奇函数,则由f(-x)=-f(x)可知f(0)=0;
③既是奇函数也是偶函数的函数一定是f(x)=0,x∈R;
2.2.2函数的奇偶性(老师版)
创一教育学科教师辅导讲义知识梳理一、函数奇偶性的概念【问题导思】1．对于函数f(x)＝x2，f(x)＝|x|，以－x代替x.函数值发生变化吗？其图象有何特征？【提示】以－x代x各自的函数值不变，即f(－x)＝f(x)；图象关于y轴对称．2．对于函数f(x)＝x3，f(x)＝1x，以－x代替x，函数值发生变化吗？其图象有何特征？【提示】以－x代替x各自的函数值互为相反数，即f(－x)＝－f(x)；图象关于原点对称．1．偶函数一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数．2．奇函数一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数．3．奇偶性如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有奇偶性．4．奇、偶函数的图象性质偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称.例题精讲例1：函数奇偶性的判定判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝x 2－1＋1－x 2；(2)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3； (3)f (x )＝x 2＋1x2. 【思路探究】 首先判断函数的定义域是否关于原点对称，在定义域关于原点对称的情况下，判断f (x )与f (－x )之间的关系．【自主解答】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0，得x 2＝1，∴x ＝±1， 即函数的定义域为{－1,1}，关于原点对称．∵f (－1)＝0＝f (1)，且f (－1)＝－f (1)＝0，∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2≤4，x ≠0，且x ≠－6， ∴－2≤x ≤2且x ≠0，关于原点对称，∴f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3＝4－x 2x ＋3－3＝4－x 2x ， ∵f (－x )＝4－x 2－x＝－f (x )，∴f (x )是奇函数． (3)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称．∵f (－x )＝(－x )2＋1(－x )2＝x 2＋1x 2＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．【规律方法】1．判断函数的奇偶性要遵循定义域优先的原则，如果定义域不关于原点对称，则该函数必为非奇非偶函数．2．用定义判断函数奇偶性的步骤：【变式训练】判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x －1x；(2)f (x )＝|x ＋2|＋|x －2|； (3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x (x <0)，－x 2＋x (x >0). 【解】 (1)f (x )的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵f (－x )＝(－x )－1－x＝－(x －1x )＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．(2)f (x )的定义域为R .f (－x )＝|－x ＋2|＋|－x －2|＝|x ＋2|＋|x －2|＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(3)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x＝－(x 2＋x )＝－f (x )，当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x＝－(－x 2＋x )＝－f (x )，综上所述，对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．都有f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．例2：奇偶函数的图象及应用已知函数f (x )＝1x 2＋1在区间[0，＋∞)上的图象如图2－2－4所示，请据此在该坐标系中补全函数f (x )在定义域内的图象，请说明你的作图依据．【思路探究】 先证明f (x )是偶函数，依据其图象关于y 轴对称作图．【自主解答】 ∵f (x )＝1x 2＋1，∴f (x )的定义域为R .又对任意x ∈R ，都有f (－x )＝1(－x )2＋1＝1x 2＋1＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．则f (x )的图象关于y 轴对称，其图象如图所示：【规律方法】1．利用函数的奇偶性作用，其依据是奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称，画图象时，一般先找出一些关键点的对称点，然后连点成线．2．由于奇函数、偶函数图象的对称性，我们可以由此得到作函数图象的简便方法，如作出函数y ＝|x |的图象．因为该函数为偶函数，故只需作出x ≥0时的图象，对x ≤0时的图象，关于y 轴对称即可．【变式训练】设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]．若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图2－2－5所示，则不等式f (x )<0的解集是________．图2－2－5【解析】 注意到奇函数的图象关于原点成中心对称，用对称的思想方法画全函数f (x )在[－5,5]上的图象(如图)，数形结合，得f (x )<0的解集为{x |－2<x <0或2<x ≤5}．【答案】 (－2,0)∪(2,5]课堂小测1．函数y ＝f (x )在区间[2a －3，a ]上具有奇偶性，则a ＝________.【解析】 由题意知，区间[2a －3，a ]关于原点对称，∴2a －3＝－a ，∴a ＝1.【答案】 12．函数f (x )＝x 4＋1x 2＋1的奇偶性为________． 【解析】 ∵x ∈R ，又f (－x )＝(－x )4＋1(－x )2＋1＝x 4＋1x 2＋1＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．【答案】 偶函数3．(2013·抚顺高一检测)已知函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝1，则f (－2)的值为________．【解析】 ∵当x >0时，f (x )＝1，∴f (2)＝1，又f (x )是奇函数，∴f (－2)＝－f (2)＝－1.【答案】 －14．(2013·常州高一检测)已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－2x .(1)求出函数f (x )在R 上的解析式；(2)画出函数f (x )的图象．【解】 (1)①由于函数f (x )是定义域为R 的奇函数，则f (0)＝0；②当x <0时，－x >0，∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2(－x )]＝－x 2－2x ，综上：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x x >0，0 x ＝0，－x 2－2x x <0.(2)图象如图：师生小结课后作业一、填空题1．函数f (x )＝－x ＋1x的奇偶性是________． 【解析】 ∵f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称．又f (－x )＝x －1x＝－f (x )．故f (x )为奇函数． 【答案】 奇函数2．(2013·黄山高一检测)已知函数f (x )＝a －2x为奇函数，则a ＝________. 【解析】 ∵函数f (x )为奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0，即a ＋2x ＋a －2x＝0， ∴2a ＝0，即a ＝0.【答案】 03．若函数f (x )＝x 3－bx ＋a ＋2是定义在[a ，b ]上的奇函数，则b －a ＝________.【解析】 f (x )＝x 3－bx ＋a ＋2是定义在[a ，b ]上的奇函数，有f (－x )＝－f (x )，即－x 3＋bx ＋a ＋2＝－x 3＋bx －a亲爱的同学们，这节课我们学了哪些内容？ 1．利用奇偶函数图象的对称性，我们可以作出函数的大致图象，然后观察图象得出结论． 2．已知奇偶函数在某个区间上的解析式，我们利用对称性可求出这个区间的对称区间上的解析式．要注意“求谁设谁”． 3．解含“f ”的不等式，应具备两个方面：一是能转化为f (x 1)<f (x 2)或f (x 1)>f (x 2)的形式，二是f (x )的单调性已知．特别是f (x )为偶函数时，应把不等式f (x 1)<f (x 2)转化为f (|x 1|)<f (|x 2|)的形式，利用x ∈[0，＋∞)的单调性求解．－2可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2＝0，a ＝－b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2， 所以b －a ＝4.【答案】 44．下列说法中正确的是________．①函数y ＝3x 2，x ∈(－2,2]是偶函数；②函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，x 3，x ≥0，是奇函数； ③函数f (x )＝x ＋1既不是奇函数也不是偶函数；④f (x )＝x 2＋1是偶函数．【解析】 ①不正确，因为定义域不关于原点对称，故①不正确；②不正确，当x >0时，－x <0，∴f (－x )＝(－x )2＝x 2≠x 3且x 2≠－x 3，故②不正确；③正确，∵f (－x )＝－x ＋1≠x ＋1，f (－x )＝－x ＋1≠－x －1，故f (x )＝x ＋1是非奇非偶函数，故③正确． ④正确，∵f (－x )＝(－x )2＋1＝x 2＋1＝f (x )，故④正确．【答案】 ③④5.图2－2－6已知f (x )是定义在[－2,0)∪(0,2]上的奇函数，当x >0时，f (x )的图象如图2－2－6所示，那么f (x )的值域是________．【解析】 ∵x ∈(0,2]时，f (x )的值域为(2,3]，由于奇函数的图象关于原点对称，故当x ∈[－2,0)时，f (x )∈[－3，－2)，∴f (x )的值域为[－3，－2)∪(2,3]．【答案】 [－3，－2)∪(2,3]6．设函数f (x )＝ax 3＋cx ＋5，已知f (－3)＝3，则f (3)＝________.【解析】 设g (x )＝ax 3＋cx ，则g (x )为奇函数，∴g (－3)＝－g (3)．∵f (－3)＝g (－3)＋5＝3，∴g (－3)＝－2，∴g (3)＝2，∴f (3)＝g (3)＋5＝7.【答案】 77．(2013·青岛高一检测)定义在R 上的奇函数f (x )，若当x >0时，f (x )＝x 2－2x ，则x <0时f (x )＝________.【解析】 设x <0，则－x >0，又f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2·(－x )]＝－x 2－2x .【答案】 －x 2－2x创一教育11 / 11创造奇迹，只做第一！。
5函数的奇偶性 - 简单难度 -讲义
函数的奇偶性知识讲解一、函数奇偶性的定义1.奇函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对于D 内的任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=-，则这个函数叫做奇函数．2.偶函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对于D 内的任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=，则这个函数叫做偶函数．二、奇偶函数的图象特征1.函数()y f x =是偶函数⇔()y f x =的图象关于y 轴对称；2.函数()y f x =是奇函数⇔()y f x =的图象关于原点对称．三、判断函数奇偶性的方法1.定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称． 若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断()()f x f x -=-或()()f x f x -=是否为恒等式． 定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±-． 2.图象法3.性质法：设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域12D D D =I 上：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇⨯奇=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇；四、奇偶函数的性质1.函数具有奇偶性⇒其定义域关于原点对称；2.函数()y f x =是偶函数⇔()y f x =的图象关于y 轴对称；3.函数()y f x =是奇函数⇔()y f x =的图象关于原点对称．4.奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．5.若奇函数()y f x =的定义域包含0，则(0)0f =．五、常见函数的奇偶性1.正比例函数(0)y kx k =≠是奇函数；2.反比例函数(0)ky k x=≠是奇函数；3.函数(00)y kx b k b =+≠≠，是非奇非偶函数； 4.函数2(0)y ax c a =+≠是偶函数； 5.常函数y c =是偶函数；6.对勾函数(0)ky x k x=+≠是奇函数；经典例题一．选择题（共4小题）1．若f （x ）=x 2+6，x ∈[﹣1，2]，则f （x ）是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数，又是偶函数D ．非奇非偶函数【解答】解：由于函数f （x ）=x 2+6，x ∈[﹣1，2]，它的定义域不关于原点对称，故此函数是非奇非偶函数，故选：D ．2．下列判断正确的是（ ）A ．函数f （x ）=x 2−2xx−2是奇函数B ．函数f （x ）=|x +1|+|x ﹣1|是偶函数C ．函数f （x ）=√x 2+1是非奇非偶函数D ．函数f （x ）=1既是奇函数又是偶函数【解答】解：对于A ．定义域为{x |x ≠2}，不关于原点对称，不具奇偶性，则A 错；对于B ．定义域R 关于原点对称，且f （﹣x ）=|﹣x +1|+|﹣x ﹣1|=|x ﹣1|+|x +1|=f （x ），则为偶函数，则B 对；对于C ．定义域R ，且f （﹣x ）=√(−x)2+1=f （x ），则为偶函数，则C 错； 对于D ．定义域R ，f （﹣x ）=1，且f （﹣x ）=f （x ），则为偶函数，则D 错． 故选：B ．3．函数y=f （x +2）为偶函数，y=f （x ）在（2，+∞）上单调递减，且f （a ）≤f （0），则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≥0B ．a ≤0C ．0≤a ≤4D ．a ≤0或a ≥4【解答】解：∵定义域为R的函数f（x）在（2，+∞）上单调递减，且y=f （x+2）为偶函数，∴y=f（x+2）的图象关于y轴对称，则函数f（x）的图象关于直线x=2对称，则f（0）=f（4），则f（x）在（﹣∞，2）上为增函数，若f（a）≤f（0），则a≤0或a≥4，故选：D．4．对任意x，y∈R，函数f（x）都满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2恒成立，则f（5）+f（﹣5）等于（）A．0B．﹣4C．﹣2D．2【解答】解：f（x+y）=f（x）+f（y）+2成立，∴令x=1，y=0得f（1）=f（1）+f（0）+2，则f（0）=﹣2；令x=5，y=﹣5得f（5﹣5）=f（5）+f（﹣5）+2=f（0），即f（5）+f（﹣5）=f（0）﹣2=﹣2﹣2=﹣4，故选：B．二．填空题（共12小题）5．按顺序写出下列函数的奇偶性非奇非偶，奇函数，且奇且偶，偶函数（1）y=√1+x 1−x（2）y=√1−x2 |x+2|−2（3）y=√1−x2+√x2−1（4）y=2x4+1． 【解答】解：（1）∵y =√1+x1−x ，∴1+x 1−x ≥0⇔{(1+x)(1−x)≥01−x ≠0⇔﹣1≤x＜1所以函数没有奇偶性（2）∵f(x)=√1−x 2|x+2|−2∴x 应满足{1−x 2≥0|x +2|−2≠0，∴﹣1≤x ＜0或0＜x ≤1∴f （x ）=√1−x 2x ，∴f （﹣x ）=√1−(−x)2−x =√1−x 2−x∴f （﹣x ）=f （x ）， 所以函数是奇函数（3）∵f （x ）=√1−x 2+√x 2−1，∴{1−x 2≥0x 2−1≥0，∴x=±1∴f （x ）=0，∴f （﹣x ）=f （x ），且f （﹣x ）=﹣f （x ） 函数即是奇函数又是偶函数（4）∵f （x ）=2x 4x +1，∴x ∈R ∴f （﹣x ）=2−x 4−x +1=2x1+4x∴f （﹣x ）=f （x ） 函数是偶函数6．函数①y=x 4②y=2x 2﹣3③y=x +1x ④y=x 2，x ∈[0，1]中偶函数的个数是 2 ．【解答】解：函数①y=x 4为偶函数；②y=2x 2﹣3，满足f （﹣x ）=f （x ），为偶函数；③y=x +1x，（x ≠0），有f （﹣x ）=﹣f （x ），则为奇函数；④y=x 2，x ∈[0，1]，定义域不关于原点对称，不为偶函数． 故答案为：2．7．函数①y=√x ；②f （x ）=√x 2−13；③y=1x 3；④y=x 2+2x ；⑤y=x 2+2|x |﹣1；⑥f （x ）=x 2+1x为偶函数的序号为 ②，⑤ ．【解答】解：①y=√x ∵函数的定义域为[0，+∞），定义域关于原点不对称，∴f （x ）既不是奇函数也不是偶函数；②f （x ）=√x 2−13=√(−x)2−13=f （﹣x ），故为偶函数； ③1(−x)=﹣1x ，故为奇函数；④（﹣x ）2+2（﹣x ）=x 2﹣2x ≠x 2+2x ，故不是偶函数； ⑤（﹣x ）2+2|﹣x |﹣1=x 2+2|x |﹣1，故为偶函数；⑥f （﹣x ）=(−x)2+1−x =﹣x 2+1x，故不是偶函数；综上所述，②，⑤为偶函数．故答案为：②，⑤8．判断函数f(x)={x 2+2x +3x ＜02x =0−x 2+2x −3x ＞0的奇偶性为： 非奇非偶 ．【解答】解：有解析式可知，此函数的定义域为：x ∈R ，当x ＞0时，函数f （x ）=﹣x 2+2x ﹣3，此时﹣x ＜0，f （﹣x ）=（﹣x ）2+2（﹣x ）+3=x 2﹣2x +3=﹣f （x ）；当x ＜0时，函数f （x ）=x 2+2x +3，此时﹣x ＞0，f （﹣x ）=﹣（﹣x ）2+2（﹣x ）﹣3=﹣x 2﹣2x ﹣3=﹣f （x ）；但是若为奇函数时，x=0时，f （0）=0时，此函数才为奇函数，由此分析此函数应为非奇非偶．故答案为：非奇非偶．9．求函数y=ax 2+b x+c为奇函数的时，C= 0 ．【解答】解：∵函数y=ax 2+bx+c为奇函数∴f （﹣x ）=﹣f （x ）即a(−x)2+b−x+c=−ax 2+b x+c ，即﹣x +c=﹣x ﹣cc=0故答案为：010．已知f（x）=3x7+x5+ax3+bx﹣11，且f（﹣2）=﹣3，那么f（2）=﹣19．【解答】解：设g（x）=3x7+x5+ax3+bx，则f（x）=g（x）﹣11，∵g（﹣x）=﹣3x7﹣x5﹣ax3﹣bx=﹣g（x），∴f（2）=g（2）﹣11，f（﹣2）=g（﹣2）﹣11，∴f（2）+f（﹣2）=﹣22，∵f（﹣2）=﹣3，∴f（2）=﹣19．故答案为：﹣19．11．设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+2x+m（m为常数），则f（﹣1）=﹣3．【解答】解：∵f（x）为定义在R上的奇函数，且x≥0时，f（x）=x2+2x+m．有f（0）=0，解得m=0，则f（x）=x2+2x．设x＜0，则﹣x＞0，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[（﹣x）2﹣2x]=﹣x2+2x．∴f（﹣1）=﹣（﹣1）2﹣2=﹣3．故答案为：﹣3．12．若偶函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上是增函数，则下列关系式中成立的是④．①f（﹣32）＜f（﹣1）＜f（2）；②f（﹣1）＜f（﹣32）＜f（2）；③f（2）＜f（﹣1）＜f（﹣32）；④f（2）＜f（﹣32）＜f（﹣1）．【解答】解：∵f（x）是偶函数，∴f（﹣32）=f（32），f（﹣1）=f（1），f（﹣2）=f（2），又f（x）在（﹣∝，﹣1]上是增函数，∴f （﹣2）＜f （﹣32）＜f （﹣1）即f （2）＜f （﹣32）＜f （﹣1）故答案为：④．13．已知函数f （x ）=x 2+bx +1为R 上的偶函数，b= 0 ．【解答】解：由已知，函数f （x ）是偶函数，所以有f （﹣x ）=f （x ），即： （﹣x ）2+b （﹣x ）+1=x 2+bx +1，即： 2bx=0，因为x ∈R ，所以只有b=0 故答案为：014．已知函数f （x ）=x 21+x 2，那么f （1）+f （2）+…+f （2009）+f （12）+f（13）+…+f （12009）= 2008.5 ． 【解答】解：∵函数f （x ）=x 21+x ，∴f （x ）+f （1x ）=x 21+x 2+1x 21+1x 2=x 21+x2+1x 2+1=1， ∴f （1）+[f （2）+f （12）]+[f （3）+f （13）]+…+[f （2009）+f （12009）]=121+12+1×2008 =2008.5．故答案为：2008.5．15．函数y =1−3x2+x 的图象的对称中心是 （﹣2，﹣3） ．【解答】解：因为y =1−3x 2+x =−3(2+x)+72+x =﹣3+72+x 即y +3=7x+2，可设y′=y +3，x′=x +2得到y′=7x′所以y′与x′成反比例函数关系且为奇函数，则对称中心为（0，0）即y′=0，x′=0得到y=﹣3，x=﹣2所以函数y 的对称中心为（﹣2，﹣3）故答案为（﹣2，﹣3）16．已知定义域为（﹣1，1）的奇函数y=f （x ）在（﹣1，1）上又是减函数，且满足f （2x ﹣1）+f （13）＜0，则x 的取值范围为 （13，+∞） ．【解答】解：∵f （x ）是奇函数，且满足f （2x ﹣1）+f （13）＜0，∴得f （2x ﹣1）＜﹣f （13）=f （﹣13）∵f （x ）在（﹣1，1）上是单调递减函数，∴有2x ﹣1＞﹣13，即有x ＞13．可得x 的取值范围为（13，+∞）．故答案为：（13，+∞）．三．解答题（共2小题）17．设f （x ）=2x +√2，求f （﹣5）+f （﹣4）+…+f （5）+f （6）的值．【解答】解：∵f （x ）=2x +√2，∴f （1﹣x ）+f （x ）=21−x +√2+2x +√2=x 2+√2⋅2x +2x +√2=x√2(2x +√2)+√2√2(2x +√2)=√22， ∴f （﹣5）+f （﹣4）+…+f （5）+f （6）=6×√22=3√2．18．若f （x ）在定义域R 上是偶函数，且当x ≥0时为增函数，求使f （π）＜f （a ）的实数a 的取值范围．【解答】解：∵f （x ）在定义域R 上是偶函数，且当x ≥0时为增函数， ∴不等式f （π）＜f （a ）等价为f （π）＜f （|a |）， 则|a |＞π，即a ＞π或a ＜﹣π，故实数a的取值范围是a＞π或a＜﹣π．。
函数的奇偶性讲义
二、奇函数与偶函数
（一）奇函数的定义:对于任意函数f(x）在其对称区间（关于原点对称）内，对于x∈A,都有ｆ(－ｘ)＝－f（x)，则f（x)为奇函数。
（二）偶函数的定义:对于任意函数ｆ(ｘ)在其对称区间(关于原点对称）内,对于x∈A，都有ｆ（-ｘ）=f(ｘ),则f(x)为偶函数。
如果函数f(x)是奇函数或是偶函数，则我们就说函数f(x)具有奇偶性。
(三）判断函数奇偶性的步骤:
（1)求函数f（x)的定义域;
(2)若函数的定义域不关于原点对称,则该函数不具备奇偶性，此时函数既不是奇函数,也不偶函数;若函数f(x)的定义域关于原点对称,再进行下一步;
（３)求f(-x);
（4)根据f(－x)与ｆ(x）之间的关系，判断函数ｆ(ｘ)的奇偶性；①若f(-x）＝－ｆ(x）,函数是奇函数；②若f(－ｘ）＝ｆ(x),函数f(x)是偶函数；③若f（-x）≠±f（x)，则f(x)既不是奇函数，也不是偶函数;④若f(－x)＝-f(x),且f(-x）=ｆ(x),则f（x)既是奇函数,也是偶函数。【即f（ｘ)=0,即定义域关于原点对称的常数函数ｆ(x）＝ ;当 ≠0时,常数函数是偶函数；当 ＝0时,常数函数既是奇函数，也是偶函数。】
【解析】:f(2）=－2６
变式练习5:已知函数f（x)＝ ，则f( )＋f( )＝___＿_＿____。
【解析】:令ｆ（x)＝ ,g(ｘ)是奇函数，故f（－ｘ)= ，f(-x)= ,故f(ｘ)＋f(-x)＝６
例6:已知f（x)是定义在(－1,1)上的奇函数且是减函数,满足f(１- )＋f(1-2 )>0,求 的取值范围。
【解析】：ｆ(x)＝
变式练习：已知f(ｘ)是定义在R上的奇函数,,当x>0时，ｆ(x)=x2-2x－３,求f(x)的解析式。
函数的奇偶性及其应用PPT课件(人教版)
不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．( )④若f(x)是定义在R上的奇
函数,则f×(0)=0.( ) ×
√
题型一 ——函数奇偶性的判断
一看
二算
三判
1.判断下列函数的奇偶性
（1）f (x) x 1 （2）
图象关于y轴对称 ②f (x) = f (-x) =f (|x|)
定义域关于原点对称
（2）奇函数
①对于∀x∈I，都有-x∈I
图象关于原点对称 ②-f (x) = f (-x)
定义域关于原点对称
对于奇函数y=f(x)，若0∈I，则必有f(0)=0；
巩固概念
判断正误．①函数 f (x)＝x2，x∈[0，＋∞)是偶函数．( )②对于函数y＝
（3）f
(x)
x 1，x 0 x 1，x 0
题型二 ——函数奇偶性的应用
1.若 f (x)＝ax2－bx＋1是定义域为[a，a＋1]的偶函数，则a=____,b=____
题型二 ——函数奇偶性的应用
2. 已知奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示。 （1）画出在区间[－5，0]上的图象； （2）写出使f (x)<0的x的取值集合．
题型二 ——函数奇偶性的应用
4. 若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x),满足f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，则 f(x)解析式为________________
4 小结
1.函数的奇偶性的定义及图象： 2.判断函数的奇偶性的方法： 3.函数的奇偶性的应用：
函数奇偶性及其应用
1 知识点复习
1.从“形”上认识函数的奇偶性 y y=x2
函数中的奇偶性知识点总结
函数中的奇偶性知识点总结一、基本概念1.1 奇数和偶数在整数集中，可以将整数分为奇数和偶数。
奇数是指不能被2整除的整数，偶数则是可以被2整除的整数。
奇数和偶数在日常生活中经常出现，例如我们说1、3、5、7、9等数都是奇数，而2、4、6、8、10等数则是偶数。
1.2 奇偶性的判定判断一个整数的奇偶性，最简单的方法就是看这个数能不能被2整除。
如果能被2整除，那么这个数就是偶数，否则就是奇数。
1.3 奇偶性的性质奇数与奇数相加或相乘得到的结果仍然是奇数；偶数与偶数相加或相乘得到的结果仍然是偶数；奇数与偶数相加得到的结果是奇数，相乘得到的结果是偶数。
1.4 奇偶性的表示方法对于一个整数n，可以用数学符号来表示其奇偶性。
一般用e表示偶数，用o表示奇数，偶数可以表示成2k（k为整数），奇数可以表示成2k+1（k为整数）。
二、奇偶性的应用2.1 奇偶性在数论中的应用在数论中，奇偶性是一个非常重要的概念。
很多数论中的问题都可以通过奇偶性的分析来解决。
比如，确定一个数的因数个数，判断一个数的平方是否是完全平方数等等。
2.2 奇偶性在代数中的应用在代数中，奇偶性也有着重要的应用。
例如，解不定方程时可以通过奇偶性来得到一些重要结论；计算多项式的值可以通过奇偶性来简化计算等等。
2.3 奇偶性在组合数学中的应用在组合数学中，奇偶性也有着广泛的应用。
比如，在排列组合中，奇偶性可以用来证明一些组合恒等式；在排列组合问题中，奇偶性也可以用来简化问题的求解等等。
2.4 奇偶性在概率论中的应用在概率论中，奇偶性也有着重要的应用。
例如，在求事件概率时可以通过奇偶性来约简问题；在独立事件的概率计算中也可以用奇偶性来简化问题等等。
三、常见问题与定理3.1 奇数的性质奇数与奇数相加的结果是偶数；奇数与偶数相加的结果是奇数；奇数的平方是奇数。
3.2 偶数的性质偶数与偶数相加的结果是偶数；偶数与偶数相乘的结果是偶数；偶数的平方是偶数。
3.3 整数的奇偶性定理整数的奇偶性有许多重要的性质和定理。
函数的单调性和奇偶性精品讲义
第三讲 函数的单调性、奇偶性一、知识点归纳函数的单调性〔1〕定义：设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)〔f (x 1)>f (x 2)〕，那么就说f (x )在区间D 上是增函数〔减函数〕，区间D 为函数y =f (x )的增区间〔减区间〕概括起来，即1212121212121212()()()()()()()()x x x x f x f x f x f x x x x x f x f x f x f x ⎧⎧<>⎧⎪⎪⎨⎨<>⎪⎩⎪⎩⎨⎧<>⎧⎪⎪⎨⎨⎪><⎪⎩⎩⎩增函数或“同增异减”减函数或 〔2〕函数单调性的证明的一般步骤：①设1x ，2x 是区间D 上的任意两个实数，且12x x < ②作差12()()f x f x -，并通过因式分解、配方、通分、有力化等方法使其转化为易于判断正负的式子；③确定12()()f x f x -的符号；④给出结论证明函数单调性时要注意三点：①1x 和2x 的任意性，即从区间D 中任取1x 和2x ，证明单调性时不可随意用量额特殊值代替；②有序性，即通常规定12x x <；③同区间性，即1x 和2x 必须属于同一个区间。
〔3〕设复合函数()[]x g f y =是定义区间M 上的函数，假设外函数f(x)与内函数g(x)的单调性相反，那么()[]x g f y =在区间M 上是减函数；假设外函数f(x)与内函数g(x)的单调性相同，那么()[]x g f y =在区间M 上是增函数。
概括起来，即“同增异减II 号〞 〔4〕简单性质： ①()f x()f x 与()f x -及1()f x 单调性相反 ②在公共定义域内：增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。
函数的奇偶性说课稿-（精选五篇）
函数的奇偶性说课稿-（精选五篇）第一篇：函数的奇偶性说课稿 -函数的奇偶性说课稿各位评委老师好：我今天说课的题目是《函数的奇偶性》接下来我从以下几个环节进行说课。
教材分析、学情分析、目标分析、教学目标、教学方法、教学设计、板书设计。
一.教材分析《函数奇偶性》是选自人教版中等职业教育课程改革国家规划新教材，数学基础模块上册第三章第四节的内容。
它的主要内容是函数奇偶性的概念，判断函数奇偶性的方法与步骤。
在此之前，学生已经学习了函数的概念、函数的表示方法、函数的单调性，为这一节的学习起到了铺垫作用，同时又是后面学习具体函数的基础。
《函数的奇偶性》是高中数学的一个重要内容，它不仅与现实生活中对称性密切相关联，而且是历年高考的热点，重点和必考点，它是函数概念的深化，学习函数奇偶性，能使学生再次体会数型结合思想，初步学会用数学的眼光去看待事物，感受数学的对称美。
二．学情分析认知水平与能力：高一学生具备了一定的观察、类比、分析、归纳能力，已初步具有数形结合思维能力，能在教师的引导下解决问题。
任教班级特点：这个班是医护班，学生数学基础较薄弱，上课注意力不够集中，理解能力不够强，可利用数形结合解决简单问题，但归纳转化的能力与观察讨论能力有待加强。
改进与提高：让学生利用图形直观感受；让学生“归纳、总结、运用”，重视学生的主动参与，注重信息反馈，通过引导学生多思多说多练，使认识得到深化。
三、教学目标根据对教学大纲、教材内容的分析，结合学生已有的认识能力，心理特征及知识水平，我制定教学目标如下。
知识和技能：使学生从形与数两方面理解函数奇偶性的定义，初步掌握利用函数图象和奇偶性定义判断函数奇偶性的方法。
过程与方法：通过对函数奇偶性定义的探究，渗透数形结合思想方法，培养学生的直观想象素养与数学抽象素养；提高学生的逻辑推理素养与运算素养。
情感、态度、价值观：通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．重点与难点重点：函数奇偶性的概念及判断。
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函数奇偶性1.4A1、判断下列函数的奇偶性（1）)(xf=3x（2）2)(xxf=（3）xxf cos)(=（4）xxf1)(=[]1,3--∈x（5）xxf=)(（6）21)(xxxf+=（7）xxxf-+=33)(（8）xxxf--=33)(2.已知)(xfy=；)(xgy=分别是奇函数、偶函数。
把它们图象补充完整。
)(xfy=)(xgy=3. 判断下列函数的奇偶性（1）)1ln()(xxf+=；)(xfy=（2）122)(2++=xxxxf（3）11)(-++=xxxf（4）2211)(xxxf-+-=（5）)1(log)(22xxxf-+=（6）)sinsin1(log)(2xxxfa++=（7）)sinsin1(log)(2xxxxfa++=（8）)21121()(+-=xxxf（9）⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=,,)(22xxxxxxxf（10）11)1()(-+-=xxxxf4.已知)(xf是定义在R上不恒为零的函数，且对Rba∈∀,，)()()(abfbafabf+=（1）求)0(f，)1(f（2）证明)(xf是奇函数。
5.已知)(xf是奇函数，当0>x时，)1()(xxxf+=，求)(xf定义在R上的解析式。
6. 已知)(xf是偶函数，当0>x时，12)(23-+=xxxf，求0<x时)(xf的表达式。
7. 已知)(xfy=；)(xgy=分别是奇函数、偶函数。
且)(xf+11)(-=xxg，求)(xf。
8.已知)(xfy=；)(xgy=分别是奇函数、偶函数。
2)1()1(=+-gf，4)1()1(=-+gf，求)1(g9.已知1222)(+-+⋅=xx a a x f 是奇函数，求a 的值。
10.已知1)(2+++=bx x ax x f ，[]1,1-∈x 是奇函数，求a 、b 的值。
11、已知)4)(()(-+=x a x x f 是偶函数，a =___________ 12、已知)(x f 是奇函数，当0>x 时，xx x f 1)(2+=，)1(-f =____________ 13、已知)(x f 是R 上的奇函数，当0≥x 时，b x x f x++=22)(，)1(-f =____________ 14、已知b a bx ax x f +++=3)(2，[]a a x 2,1-∈是偶函数，求a 、b 的值。
15.已知偶函数)(x f 在[]π,0是增函数，比较)(π-f ，)2(π-f ，)2(f 的大小16.设)(x f 是定义在[]2,2-上偶函数，且)(x f 在[]2,0是增函数， 解不等式)()1(m f m f <-变式：将上题“偶函数”改成奇函数，结果又如何？17已知)(x f 是偶函数，在[]+∞,0是增函数，解不等式<-)12(x f )31(f18. 已知8)(3-++=xbax x x f ，10)2(=f ，)2(-f =____________ 19. 已知)391ln()(2x x x f -+=+1，则)21(lg )2(lg f f +=____________20已知1cos )(3+=x x x f ，若11)(=a f ，)(a f -=___________21．已知1sin )1()(22+++=x xx x f 的最大值是M ，最小值是m ，则Ｍ＋m=____________22．设)('x f 是奇函数)(x f 的导函数，)1(-f =0，当0>x 时，0)()('<-x f x xf ，0)(>x f 成立的范围是__________1.4B1. 判断下列函数的奇偶性(1)x x f sin )(= (2) xe xf =)( (3)1ln )(2+=x x f (4) 3)(x x f =(5) 12)(-++=x x x f (6) 1sin )(2+=x x x f (7) 2cos )(2++=x x x f (8) x c bx ax x f sin )(3++= (9) )391(log )(23x x x x f a ++= (10)已知c bx ax x f ++=2)(是偶函数，判断cx bx ax x g ++=23)(的奇偶性。
2. 已知)(x f y =；)(x g y =分别是奇函数、偶函数。
画出满足条件的一个函数图像，并观察图象变化规律3. )(x f y =满足R y x ∈∀,，都有)()()(y f x f y x f +=+，证明)(x f y =是奇函数4.设函数)(x f y =的定义域为R ，Rx x ∈∀21,，都有)()(2)()(212121x f x f x x f x x f =-++，猜)(x f y =奇偶性并证明5. 已知)(x f 是偶函数，当0>x 时，1cos )(3+=x x x f ，b a f =)(，=-)(a f _______ 6. 已知)(x f 是奇函数，当0>x 时，1cos )(3-=x x x f ，=-)2(πf _______7. 已知)(x f 是奇函数，当0>x 时，)ln()(2e e e e xf xx-++=，=-)1(f _______ 8. 已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0<x 时，1)1()(+-=x x x f ，求)(x f 的解析式9.已知)ln()(2x x a x x f ++=是偶函数，a =__________类题1.若()()ax e x f x++=1ln 3是偶函数，则=a ____________类题2.若xa x x x f ))(1()(-+=是奇函数，则=a ____________类题3.已知[]b a x x b ax x f ,1,1)2()(2+∈+-+=为偶函数，则=a ______， b ______ 变式、若)2sin()(ϕ+=x x f 是偶函数，ϕ=_______10. 4sin )(3++=x b ax x f ，5))10(lg(log 2=f ，则))2(lg(lg f =_______ 类题：)sin ()(2x xx x x f +=，则+))(log (log 2b f a =))(log (log 2a f b ______ 11. 已知)(x f 是奇函数，)(x g =d x f +)(，b a g =)(，=-)(a g _______12已知定义在R 上的偶函数)(x f 在[]+∞,0是增函数，比较)(e f ，)(πf ，)1(-f 13.偶函数)(x f 的定义域是R ，满足)1(-f =)4(f =0，且在[]3,0↘，[]+∞,3↗。
求不等式0)(3<x f x 的解集。
14. 设)('x f 是奇函数)(x f 的导函数，)1(-f =0，当0>x 时，0)()('<-x f x xf ，0)(>x f 成立的范围是__________15. .设)(x f 是定义在()1,1-上奇函数，且)(x f 在[)1,0是减函数， 解不等式)1()1(2a f a f -<-16.已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，2()4f x x x =-，那么，不等式(2)5f x +<的解集是____________．17.已知1)sin ()(3+++=x x x cox x f ,[]3,3-∈x ,分别)(x f 最大值、最小值为N 、n求N+n 的值。