2008年湖北省高考(理科)数学试卷(完整版)
湖北省历届高考数学真题
09年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（2009•湖北）已知P={a|a=（1，0）+m（0，1），m∈R}，Q={b|b=（1，1）+n（﹣1，1），n∈R}是两个向量集合，则P∩Q=（）A．{（1，1）} B．{（﹣1，1）} C．{（1，0）} D．{（0，1）} 2．（2009•湖北）设a为非零实数，函数y=（x∈R，且x≠）的反函数是（）A．y=（x∈R，且x≠﹣）B．y=（x∈R，且x≠）C．y=（x∈R，且x≠1）D．y=（x∈R，且x≠﹣）3．（2009•湖北）投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数（m+ni）（n﹣mi）为实数的概率为（）A．B．C．D．4．（2009•湖北）函数y=cos（2x+）﹣2的图象F按向量a平移到F′，F′的函数解析式为y=f（x），当y=f（x）为奇函数时，向量a可以等于．A．（，﹣2）B．（，2）C．（，﹣2）D．（，2）5．（2009•湖北）将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班，则不同分法的种数为（）A．18 B．24 C．30 D．366．（2009•湖北）设+a2n x2n，则[（a0+a2+a4+…+a2n）2﹣（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）2]=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．7．（2009•湖北）已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线y=kx+2与椭圆至多有一个交点的充要条件是（）A．K∈[﹣，] B．K∈[﹣∞，﹣]∪[，+∞]C．K∈[﹣，] D．K∈[﹣∞，﹣]∪[，+∞]8．（2009•湖北）在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为（）A．2000元B．2200元C．2400元D．2800元9．（2009•湖北）设球的半径为时间t的函数R（t）．若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径A．成正比，比例系数为C B．成正比，比例系数为2CC．成反比，比例系数为C D．成反比，比例系数为2C10．（2009•湖北）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）A．289 B．1024 C．1225 D．1378二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（2009•湖北）已知关于x的不等式的解集，则实数a=_________．12．（2009•湖北）如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据样本的频率分布直方图估计，样本数落在[6，10]内的频数为_________，数据落在（2，10）内的概率约为_________．13．（2009•湖北）如图，卫星和地面之间的电视信号沿直线传播，电视信号能够传送到达的地面区域，称为这个卫星的覆盖区域．为了转播2008年北京奥运会，我国发射了“中星九号”广播电视直播卫星，它离地球表面的距离约为36000km．已知地球半径约为6400km，则“中星九号”覆盖区域内的任意两点的球面距离的最大值约为_________km．（结果中保留反余弦的符号）．14．（2009•湖北）已知函数f（x）=f′（）cosx+sinx，则f（）的值为_________．15．（2009•湖北）已知数列{a n}满足：a1=m（m为正整数），a n+1=若a6=1，则m所有可能的取值为_________．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（2009•湖北）一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2，3，4，5；另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3，4，5，6．现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量η=x+y，求η的分布列和数学期望．17．（2009•湖北）已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），=（﹣1，0）．（1）求向量的长度的最大值；（2）设α=，且⊥（），求cosβ的值．18．（2009•湖北）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=2a，点E是SD上的点，且DE=λa（0＜λ≤2）（Ⅰ）求证：对任意的λ∈（0，2），都有AC⊥BE（Ⅱ）设二面角C﹣AE﹣D的大小为θ，直线BE与平面ABCD所成的角为ω，若tanθ•tanφ=1，求λ的值．19．（2009•湖北）已知数列a n的前n项和（1）令b n=2n a n，求证：数列b n是等差数列，并求数列a n的通项公式．（2）令，试比较T n与的大小，并予以证明．20．（2009•湖北）某区从近期卖出的不同面积的商品房中随机抽取1000套进行统计，并根据结果绘出如图所示的统计图．从中可知卖出的110m2～130 m2的商品房_________套．21．（2009•湖北）在R上定义运算：（b、c∈R是常数），已知f1（x）=x2﹣2c，f2（x）=x﹣2b，f（x）=f1（x）f2（x）．①如果函数f（x）在x=1处有极值，试确定b、c的值；②求曲线y=f（x）上斜率为c的切线与该曲线的公共点；③记g（x）=|f′（x）|（﹣1≤x≤1）的最大值为M，若M≥k对任意的b、c恒成立，试求k 的取值范围．（参考公式：x3﹣3bx2+4b3=（x+b）（x﹣2b）2）2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）1．为虚数单位，则=A ．-B ．-1C ．D ．12．已知,则=A ．B ．C.D ．3．已知函数()cos ,f x x x x R =-∈，若，则x 的取值范围为A ．B ．C ．D ． 4．将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则 A ．n=0B ．n=1C ． n=2D ．n 35．已知随机变量服从正态分布，且Ｐ（＜4）＝，则Ｐ（0＜＜2）＝Ａ．0．6B ．0．4C ．0．3D ．0．26．已知定义在R 上的奇函数和偶函数满足（＞0,且）．若，则= A ．2B ．C ．D ．7．如图，用K 、、三类不同的元件连接成一个系统。
2008年北京市高考数学试卷(理科)(含解析版)
下条件：
①x1＞x2；②x12＞x22；③|x1|＞x2．
其中能使 f（x1）＞f（x2）恒成立的条件序号是
．
14．（5 分）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如
下：第 k 棵树种植在点 Pk（xk，yk）处，其中 x1=1，y1=1，当 k≥2 时，
T（a）表示非负实数 a 的整数部分，例如 T
（Ⅰ）如果数列 A0 为 5，3，2，写出数列 A1，A2； （Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列 A，证明 S（T1（A））=S（A）； （Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列 A0，存在正整数 K，
当 k≥K 时，S（Ak+1）=S（Ak）．
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2008 年北京市高考数学试卷（理科）
． 的值
，其展开
式中的常数项为
．（用数字作答）
12．（5 分）如图，函数 f（x）的图象是折线段 ABC，其中 A，B，C 的坐标分
别 为 （ 0 ， 4 ），（ 2 ， 0 ），（ 6 ， 4 ）， 则 f （ f （ 0 ）） =
；
=
．（用数字作答）
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13．（5 分）已知函数 f（x）=x2﹣cosx，对于[﹣ ， ]上的任意 x1，x2，有如
（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； （Ⅲ）设随机变量ξ为这五名志愿者中参加 A 岗位服务的人数，求ξ的分布列．
18．（13 分）已知函数 间．
，求导函数 f′（x），并确定 f（x）的单调区
19．（14 分）已知菱形 ABCD 的顶点 A，C 在椭圆 x2+3y2=4 上，对角线 BD 所在 直线的斜率为 1．
2008高考湖北数学理科试题含答案(word版)
2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）一、选择题：本次题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设(1,2)a =-,(3,4)b =-,则(2)a b c +=A.(15,12)-B.0C.3-D.11- 2. 若非空集合,,A B C 满足A B C = ，且B 不是A 的子集，则A. “x C ∈”是“x A ∈”的充分条件但不是必要条件B. “x C ∈”是“x A ∈”的必要条件但不是充分条件C. “x C ∈”是“x A ∈”的充要条件D. “x C ∈”既不是“x A ∈”的充分条件也不是“x A ∈”必要条件 3. 用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为A.38π B. 328πC. π28D. 332π4. 函数1()f x x=的定义域为 A. (,4][2,)-∞-+∞ B. (4,0)(0.1)-C. [-4,0)(0,1D. [4,0)(0,1)- 5.将函数3sin()y x θ=-的图象F 按向量(,3)3π平移得到图象F ',若F '的一条对称轴是直线4x π=,则θ的一个可能取值是A.π125 B. π125- C. π1211 D. 1112π-6.将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为A. 540B. 300C. 180D. 150 7.若21()ln(2)2f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是 A. [1,)-+∞ B. (1,)-+∞ C. (,1]-∞- D. (,1)-∞-8.已知*m N ∈,,a b R ∈，若0(1)limm x x ab x→++=,则a b ⋅= A ．m - B ．m C ．1- D ．19.过点(11,2)A 作圆22241640x y x y ++--=的弦，其中弦长为整数的共有 A. 16条 B. 17条 C. 32条 D. 34条 10.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22c a . 其中正确式子的序号是A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡相应位置上. 11.设211z z iz =-(其中1z 表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是1-，则z 2的虚部为 . 12．在△ABC 中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===,则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 .13.已知函数2()2f x x x a =++,2()962f bx x x =-+,其中x R ∈,,a b 为常数，则方程()0f ax b +=的解集为 .14.已知函数()2xf x =,等差数列{}x a 的公差为2.若246810()4f a a a a a ++++=,则212310log [()()()()]f a f a f a f a ⋅⋅⋅= .15.观察下列等式：2111,22ni i n n ==+∑ 2321111,326ni i n n n ==++∑ 34321111,424n i i n n n ==++∑ 454311111,52330n i i n n n n ==++-∑ 5654211151,621212ni in n n n ==++-∑ 67653111111,722642ni i n n n n n ==++-+∑ ……………………………………212112101,nkk k k k k k k k i ia n a n a n a n a n a +--+--==++++⋅⋅⋅++∑可以推测，当x ≥2（*k N ∈）时，1111,,12k k k a a a k +-===+ 2k a -= .三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知函数17()()cos (sin )sin (cos ),(,).12f tg x x f x x f x x ππ==⋅+⋅∈ （Ⅰ）将函数()g x 化简成sin()A x B ωϕ++（0A >，0ω>，[0,2)ϕπ∈）的形式； （Ⅱ）求函数()g x 的值域.袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个（n =1,2,3,4）.现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号. （Ⅰ）求ξ的分布列，期望和方差；（Ⅱ）若a b ηξ=+, 1E η=,11D η=,试求a,b 的值.18.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥侧面11A ABB . （Ⅰ）求证：AB BC ⊥；（Ⅱ）若直线AC 与平面1A B C 所成的角为θ,二面角1A B C A --的大小为ϕ，试判断θ与ϕ的大小关系，并予以证明.如图，在以点O 为圆心，||4AB =为直径的半圆ADB 中，OD AB ⊥，P 是半圆弧上一点，30POB ∠=︒，曲线C 是满足||||||MA MB -为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P .（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程； （Ⅱ）设过点D 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点E 、F . 若△OEF 的面积不小于．．．l 斜率的取值范围.20.(本小题满分12分)水库的蓄水量随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t 的近似函数关系式为124(1440)50,010,()4(10)(341)50,1012.x t t e t V t t t t ⎧⎪-+-+<≤=⎨⎪--+<≤⎩ （Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以1i t i -<<表示第1月份（1,2,,12i = ）,同一年内哪几个月份是枯水期？（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取 2.7e =计算）.已知数列{}n a 和{}n b 满足：1a λ=,124,(1)(321),3n n n n n a a n b a n +=+-=--+其中λ为实数，n 为正整数.（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{}n a 不是等比数列； （Ⅱ）试判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论；（Ⅲ）设0a b <<,n S 为数列{}n b 的前n 项和.是否存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有n a S b <<?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由.2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）试题参考答案一、选择题：本题考查基础知识和基本运算.每小题5分，满分50分. 1.C 2.B 3.B 4.D 5.A 6.D 7.C 8.A 9.C 10.B二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分25分. 11.1 12.612 13.∅ 14.-6 15. 12k，0 三、解答题：本大题共6小题，共75分.16.本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.（满分12分）解：（Ⅰ）()cos sin g x x x =cos sin x x = 1sin 1cos cos sin .cos sin x xx x x x--=+17,,cos cos ,sin sin ,12x x x x x π⎛⎤∈π∴=-=- ⎥⎝⎦1sin 1cos ()cos sin cos sin x x g x x x x x --∴=+-- sin cos 2x x =+-2.4x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭（Ⅱ）由1712x ππ≤＜，得55.443x πππ+≤＜ sin t 在53,42ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦上为减函数，在35,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦上为增函数，又5535sinsin ,sin sin()sin 34244x πππππ∴≤+＜＜（当17,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦），即1sin()2)23424x x ππ-≤+-≤+--＜＜，故g (x )的值域为)2,3.⎡-⎣17.本小题主要考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的运算能力.（满分12分）解：（Ⅰ）ξ的分布列为：∴01234 1.5.22010205E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 2222211131(0 1.5)(1 1.5)(2 1.5)(3 1.5)(4 1.5) 2.75.22010205ξ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=（Ⅱ）由D a D η=ξ2，得a 2×2.75＝11，即 2.a =±又,E aE b η=ξ+所以 当a =2时，由1＝2×1.5+b ,得b =-2; 当a =-2时，由1＝-2×1.5+b ，得b =4.∴2,2a b =⎧⎨=-⎩或2,4a b =-⎧⎨=⎩即为所求.18.本小题主要考查直棱柱、直线与平面所成角、二面角和线面关系等有关知识，同时考查空间想象能力和推理能力.（满分12分） （Ⅰ）证明：如右图，过点A 在平面A 1ABB 1内作 AD ⊥A 1B 于D ，则由平面A 1BC ⊥侧面A 1ABB 1,且平面A 1BC 侧面A 1ABB 1=A 1B ,得 AD ⊥平面A 1BC ,又BC ⊂平面A 1BC ， 所以AD ⊥BC .因为三棱柱ABC —A 1B 1C 1是直三棱柱， 则AA 1⊥底面ABC ， 所以AA 1⊥BC.又AA 1 AD =A ,从而BC ⊥侧面A 1ABB 1， 又AB ⊂侧面A 1ABB 1，故AB ⊥BC .（Ⅱ）解法1：连接CD ，则由（Ⅰ）知ACD ∠是直线AC 与平面A 1BC 所成的角，1ABA ∠是二面角A 1—BC —A 的平面角，即1,,ACD ABA ∠=θ∠=ϕ于是在Rt △ADC 中，sin ,AD AC θ=在Rt △ADB 中，sin ,ADABϕ= 由AB ＜AC ，得sin sin θϕ＜，又02πθϕ＜，＜，所以θϕ＜，解法2：由（Ⅰ）知，以点B 为坐标原点，以BC 、BA 、BB 1所在的直线分 别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AA 1=a ,AC =b , AB =c ,则B (0,0,0),A (0,c,0),1(0,,),C A c a 于是1(0,,),BC BA c a ==1,0),(0,0,).AC c AA a =-=设平面A 1BC 的一个法向量为n =(x ,y ,z )，则由10,0,n BA n BC ⎧=⎪⎨=⎪⎩得0,0,cy az +=⎧= 可取n =(0,-a ,c )，于是0n AC ac AC =＞，与n 的夹角β为锐角，则β与θ互为余角.sin cos n AC n AC θ-β==11cos BA BA BA BA ϕ==所以sin ϕ= 于是由c ＜b即sin sin ,θϕ＜又0,2πθϕ＜，＜所以,θϕ＜19.本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力.（满分13分）（Ⅰ）解法1：以O 为原点，AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，则A （-2，0），B （2，0），D (0,2),P （1,3），依题意得｜MA ｜-｜MB ｜=｜PA ｜-｜PB ｜＝221321)32(2222＝）（+--++＜｜AB ｜＝4.∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线.设实平轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c ， 则c ＝2，2a ＝22，∴a 2=2,b 2=c 2-a 2=2.∴曲线C 的方程为12222=-y x . 解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得｜MA ｜-｜MB ｜=｜PA ｜-｜PB ｜＜ ｜AB ｜＝4.∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线.设双曲线的方程为a b y a x (12222=-＞0，b ＞0）.则由.4,11)3(222222=+=-b a ba 解得a 2=b 2=2, ∴曲线C 的方程为.12222=-y x(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l 的方程为y ＝kx +2，代入双曲线C 的方程并整理得（1-K 2）x 2-4kx-6=0. ∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ， ∴,0)1(64)4(,01222>-⨯+-=∆≠-k k k ⇔.33,1<<-±≠k k∴k ∈（-3,-1）∪（-1，1）∪（1，3）. 设E （x ，y ），F (x 2,y 2)，则由①式得x 1+x 2=k x x k k --=-16,14212,于是 ｜EF ｜＝2212221221))(1()()(x x k x y x x -+=++-＝.132214)(1222212212kk k x x x x k --⋅+=-+⋅+而原点O 到直线l 的距离d ＝212k+，∴S △DEF =.132213221122121222222kk k k k k EF d --=--⋅+⋅+⋅=⋅ 若△OEF 面积不小于22,即S △OEF 22≥，则有 解得.22,022********2≤≤-≤--⇔≥--k k k k k ③综合②、③知，直线l 的斜率的取值范围为[-2，-1]∪(1-,1) ∪(1, 2).解法2：依题意，可设直线l 的方程为y ＝kx +2，代入双曲线C 的方程并整理， 得（1-K 2）x 2-4kx -6=0.∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ， ∴.0)1(64)4(,01222>-⨯+-=∆≠-k k k ⇔33,1<<-±≠k k .∴k ∈（-3，-1）∪（-1，1）∪（1，3）. 设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2),则由①式得 ｜x 1-x 2｜=.132214)(22221221kk kx x x x --=-∆=-+ ③当E 、F 在同一去上时（如图1所示）， S △OEF ＝;21212121x x OD x x OD S S ODE ODF -⋅=-⋅=-∆∆ 当E 、F 在不同支上时（如图2所示）.+=∆∆O D F O EF S S S △ODE =.21)(212121x x OD x x OD -⋅=+⋅ 综上得S △OEF ＝,2121x x OD -⋅于是 由｜OD ｜＝2及③式，得S △OEF =.132222kk --若△OEF 面积不小于2则有即,22,2≥∆O EF S.22,022*******2≤≤-≤-⇔≥--k k k k k 解得 ④综合②、④知，直线l 的斜率的取值范围为[-2，-1]∪（-1，1）∪（1，2）.20.本小题主要考查函数、导数和不等式等基本知识，考查用导数求最值和综合运用数学知识解决实际问题能力.（满分12分）解：（Ⅰ）①当0＜t ≤10时，V (t )=(-t 2+14t -40),5050441<+e化简得t 2-14t +40>0,解得t ＜4，或t ＞10，又0＜t ≤10，故0＜t ＜4.②当10＜t ≤12时，V （t ）＝4（t -10）（3t -41）+50＜50, 化简得（t -10）（3t -41）＜0, 解得10＜t ＜341，又10＜t ≤12,故 10＜t ≤12. 综合得0<t <4,或10<t 12,故知枯水期为1月，2月，，3月，4月，11月，12月共6个月. (Ⅱ)(Ⅰ)知：V (t )的最大值只能在（4，10）内达到.由V ′（t ）=),8)(2(41)42341(41241-+-=++-t t c t t c tt令V ′(t )=0,解得t=8(t=-2舍去).当t 变化时，V ′(t ) 与V (t )的变化情况如下表：由上表，V (t )在t ＝8时取得最大值V (8)＝8e 2+50-108.52(亿立方米). 故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米21.本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力，（满分14分）（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使｛a n ｝是等比数列，则有a 22=a 1a 3,即,094949494)494()332(222=⇔-=+-⇔-=-λλλλλλλ矛盾. 所以｛a n ｝不是等比数列.(Ⅱ)解：因为b n +1=(-1)n +1［a n +1-3(n -1)+21］=(-1)n +1(32a n -2n +14) =32(-1)n ·（a n -3n +21）=-32b n 又b 1x -(λ+18),所以当λ＝－18，b n =0(n ∈N +),此时｛b n ｝不是等比数列： 当λ≠－18时，b 1=(λ+18) ≠0,由上可知b n ≠0，∴321-=+n a b b (n ∈N +). 故当λ≠-18时，数列｛b n ｝是以－（λ＋18）为首项，－32为公比的等比数列. (Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ=-18,b n =0,S n =0,不满足题目要求. ∴λ≠-18，故知b n = -（λ+18）·（－32）n -1，于是可得 S n =-.321·)18(53⎥⎦⎤⎢⎣⎡+n ）－（－ λ 要使a <S n <b 对任意正整数n 成立， 即a <-53(λ+18)·［1－（－32）n ］〈b(n ∈N +) ，则令 得)2(1)()32(1)18(53)32(1--=--<+-<--n f b a nnλ ①当n 为正奇数时，1<f (n ),1)(95;35<≤≤n f n 为正偶数时，当 ∴f (n )的最大值为f (1)=35,f (n )的最小值为f (2)= 95,于是，由①式得95a <-53(λ+18),<.1831853--<<--⇔a b b λ当a <b ≤3a 时，由－b -18≥=-3a -18，不存在实数满足题目要求；当b >3a 存在实数λ，使得对任意正整数n ,都有a <S n <b ,且λ的取值范围是（－b -18,-3a -18）.。
2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案-湖北卷
绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（理工农医类）本试卷共4面，满分150分，考试时间120分钟注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘巾在答题卡上指定位置。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上，对应题目的答案标号涂写，如写改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效。
3. 非选择题用0、5毫米的黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。
4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本次题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设a =(1,－2),b =(－3,4),c =(3,2),则(a +2b )·c =A 、(－15,12)B 、0C 、－3D 、－11 2. 若非空集合A ,B ,C 满足A ∪B=C ，且B 不是A 的子集，则A 、 “x ∈C ”是“x ∈A ”的充分条件但不是必要条件B 、 “x ∈C ”是“x ∈A ”的必要条件但不是充分条件 C 、 “x ∈C ”是“x ∈A ”的充要条件D 、 “x ∈C ”既不是“x ∈A ”的充分条件也不是“x ∈A ”的必要条件 3. 用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为A 、38π B 、 328πC 、π28D 、 332π 4. 函数f (x )=)4323(1122+--++-x x x x n x的定义域为A 、(－ ∞,－4) ∪［2,+ ∞］B 、(－4,0)∪(0,1)C 、［－4,0］∪（0，1）D 、 ［－4，0］∪（0，1） 5、将函数y=3sin （x －θ）的图象F 按向量（3π，3）平移得到图象F ′ ，若F ′的一条对称轴是直线x=4π,则θ的一个可能取值是 A 、π125 B 、 π125- C 、π1211 D 、 －π12116、将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为A 、540B 、300C 、180D 、150 7、若f(x)=21ln(2)2x b x -++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是 A 、[－1，+∞) B 、（－1，+∞） C 、（－∞，－1] D 、（－∞，－1）8、已知m ∈N*,a,b ∈R ，若0(1)limm x x ab x→++=,则a ·b = A 、－m B 、m C 、－1 D 、19、过点A （11，2）作圆22241640x y x y ++--=的弦，其中弦长为整数的共有 A 、16条 B 、17条 C 、32条 D 、34条10、如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①a 1+c 1=a 2+c 2; ②a 1－c 1=a 2－c 2; ③c 1a 2＞a 1c 2; ④11a c ＜22c a 、 其中正确式子的序号是A 、①③B 、②③C 、①④D 、②④二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分、把答案填在答题卡相应位置上、 11、设z 1是复数，z 2=z 1－i 1z (其中1z 表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是－1，则z 2的虚部为 、 12、在△ABC 中，三个角A ，B ，C 的对边边长分别为a=3,b=4,c=6,则bc cosA+ca cosB+ab cosC 的值为 、13、已知函数f(x)=x 2+2x+a, f(bx)=9x 2－6x +2,其中x ∈R ，a,b 为常数，则方程f (ax+b )=0的解集为 、14、已知函数f (x )=2x ,等差数列{a x }的公差为2，若 f(a 2+a 4+a 6+a 8+a 10)=4,则 log 2[f (a 1)·f (a 2)·f (a 3)·…·f(a 10)]= 、 15、观察下列等式：2123213432111,22111,326111,424ni ni n i i n n i n n n i n n n ====+=++=++∑∑∑ 454311111,52330ni i n n n n ==++-∑ 5654211151,621212ni in n n n ==++-∑67653111111,722642ni in n n n n ==++--∑ ……………………………………212112101,nkk k k k k k k k i ia n a n a n a n a n a +--+--==++++⋅⋅⋅++∑可以推测，当k ≥2（k ∈N*）时，1111,,12k k k a a a k +-===+ a k －2= 、三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤、 16、（本小题满分12分） 已知函数f (t17()cos (sin )sin (cos ),(,].12g x x f x x f x x ππ=∙+∙∈ （Ⅰ）将函数g(x )化简成Asin(ωx +φ)+B （A ＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的形式；（Ⅱ）求函数g(x )的值域、 17、（本小题满分12分）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个（n =1,2,3,4）、现从袋中任取一球、ξ表示所取球的标号、（Ⅰ）求ξ的分布列，期望和方差；（Ⅱ）若η=a ξ－b ,E η=1,D η=11,试求a,b 的值、 18、（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面A 1BC ⊥侧面A 1ABB 1、（Ⅰ）求证：AB ⊥BC ；（Ⅱ）若直线AC 与平面A 1BC 所成的角为θ,二面角A 1－BC －A 的大小为ϕ，试判断θ与ϕ的大小关系，并予以证明、19、（本小题满分13分）如图，在以点O 为圆心，|AB|=4为直径的半圆ADB 中，OD ⊥AB ，P 是半圆弧上一点， ∠POB=30°，曲线C 是满足||MA|－|MB||为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P 、（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程；（Ⅱ）设过点D 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点E 、F 、 若△OEF 的面积不小于．．．l 斜率的取值范围、20、(本小题满分12分)水库的蓄水量随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t 的近似函数关系式为V （t ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤<+--≤<+-+-1210,50)413)(10(4,100,50)4014(412t t t t e t t t（Ⅰ）该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期、以i －1＜t ＜i 表示第i 月份（i=1,2,…,12）,问一年内哪几个月份是枯水期？（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取e=2、7计算）、 21、(本小题满分14分)已知数列{a n }和{b n }满足：a 1=λ,a n+1=24,(1)(321),3n n n n a n b a n +-=--+其中λ为实数，n 为正整数、（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{a n }不是等比数列；（Ⅱ）试判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论；（Ⅲ）设0＜a ＜b ,S n 为数列{b n }的前n 项和。
2008年高考理科数学试题及参考答案（全国卷Ⅰ）
1．Amdahl提出的计算机系统机构的经典定义是:计算机系统结构是程序员看到的计算机属性，即概念性结构和功能特性。
2．计算机系统中的提高并行性的措施很多，但就其基本思想而言，可以归为3类技术途径，这就是时间重叠、资源重复和资源共享。
3．MIPS的数据寻址方式有立即数寻址和偏移量寻址两种，但通过把0作为偏移量可实现寄存器间接寻址，而把 RO作为基址寄存器可实现16位绝对寻址方式。
4．交叉访问存储器通常有两种地址映像方式：顺序交叉和取模交叉，其中取模交叉方式不仅可以减少体冲突而且可以使用位选择方法来代替在确定体内地址时使用的除法运算。
5．互联网络从拓扑结构上可分为静态互连网络和动态…。
6．根据存储器的分布方式，多处理器计算机有两种基本结构，就是集中式共享存储结构和具有分布的物理存储器结构。
7．在多处理器系统中并行性遇到的挑战，一个是程序中的并行性有限，另一个是相对较高的通信开销。
1．系列机软件必须保证（ C ）A．向前兼容，并向上兼容B．向前兼容，并向下兼容C．向后兼容，力争向上兼容D．向后兼容，力争向下兼容2．计算机系统结构不包括（ C ）A．数据表示 B．机器工作状态的定义和切换C．主存速度 D．信息保护3．字串位并是指同时对一个字的所有位进行处理，其并行等级（ D ）A．不存在并行性 B．较高的并行性C．最高一级的并行性D．已经开始出现并行性4．RISC计算机的指令系统集类型是（C ）A．堆栈型 B．累加器型C．寄存器—寄存器型 D．寄存器-存储器型5．关于“一次重叠”说法不正确的是（ A ）A.仅“执行K”与“分析K+1”重叠B. 应尽量使“分析K+1”与“执行K”时间相等C. “分析K”完后立即开始“执行K”D. 只需一套指令分析部件和一套执行部件6．在Cache存储器中常用的地址映象方式是（ C ）A．全相联映 B．页表法映象C．组相联映象 D．段页表映象7．块冲突概率最高的Cache地址映象方式是（ A ）A．直接 B．组相联 C．段相联 D．全相联8．设8个处理器编号分别为0，1，2，…，7用Cube2 (交换函数中的C2)互联函数时，第3号处理机与第（ D ）号处理机相联。
（完整版）年湖北高考数学试卷理科+答案
2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北A卷）数学（理工类）数学（理工类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 ，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题目要求的1. 方程2+6+13=0x x 的一个根是的一个根是A -3+2iB 3+2iC -2 + 3iD 2 + 3i()()222+6+13=+3+4=0+3=-4,+3=2x x x x x i ∴±，所以=-32x i ±，故选A2. 命题“命题“300,R x C Q x Q ∃∈∈”的否定是”的否定是A 300,R x C Q x Q ∃∉∈ B 300,R x C Q x Q ∃∈∉ C300,R x C Q x Q ∀∉∈ D 300,R x C Q x Q ∀∈∉存在性命题的否定为“∃”改为“∀”，后面结论加以否定，故为300,R x C Q x Q ∀∈∉，选D 3. 已知二次函数()=y f x 的图像如图所示的图像如图所示， 则它与x 轴所围图形的面积为轴所围图形的面积为A.25πB.43C.32D.2π 由图像可知，二次函数解析式为()2=1-f x x设面积为S ，则()()111223-10014=1-=21-=2-=33Sx dx x dx x x ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎰⎰，故选B4.4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.83π B.3π C. 103πD.6π 此几何体为一个圆柱切去了一部分，此圆柱底面半径为此几何体为一个圆柱切去了一部分，此圆柱底面半径为 1 1，高为，高为，高为 4 4，现，现在此几何体上方补上一个和此几何体完全一样的几何体在此几何体上方补上一个和此几何体完全一样的几何体，从而构成一个底面半径为1，高为6的圆柱，这个圆柱的体积为=6V π，要求几何体的体积为圆柱体积的一半，为3π，故选B5.5.设设a Z ∈，且013a ≤≤，若201251+a 能被13整除，则=a A.0 B.1 C.11 D.12()()2012201220121201120112012201220122012201251+=52-1+=52-52++-52++a a CCCC a L ，显然上式除了+1a 外，其余各个因式都能被13整除，所以201251+a 能被13整除，只需=12a ，故选，故选 DD 6.6.设设,,,,,a b c x y z 是正数，且222222++=10,++=40,++=20a b c x y z ax by cz ，则++=++a b cx y z A. 14 B. 13 C.12 D.34 由柯西不等式知()()()22222222222++++++=400a b cx y zax by cz ≥，而此时()()222222++++=400a b cx y z 恰好满足取等条件==a b c x y z ，令===,=,=,=a b ck a kx b yk c zk x y z代入到222++=10a b c 中得中得()2222211++=10,=,>0=42k x y z k k k ∴∴，所以由合比定理得++1=====++2a b c a b ck x y z x y z ，故选C7.7.定义在（定义在（定义在（--∞，∞，00）∪（）∪（00，+∞）上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，{}{}n f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”。
2008年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷一)及解析
2008年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）函数的定义域为（）A．{x|x≥0}B．{x|x≥1}C．{x|x≥1}∪{0}D．{x|0≤x≤1} 2．（5分）掷一个骰子，向上一面的点数大于2且小于5的概率为p1，拋两枚硬币，正面均朝上的概率为p2，则（）A．p1＜p2 B．p1＞p2 C．p1=p2D．不能确定3．（5分）在△ABC中，=，=．若点D满足=2，则=（）A．B．C．D．4．（5分）设a∈R，且（a+i）2i为正实数，则a=（）A．2 B．1 C．0 D．﹣15．（5分）已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．236．（5分）若函数y=f（x）的图象与函数y=ln的图象关于直线y=x 对称，则f（x）=（）A．e2x﹣2B．e2x C．e2x+1D．e2x+27．（5分）设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．C．D．﹣28．（5分）为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位9．（5分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式＜0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣1，0）∪（0，1）10．（5分）若直线=1与圆x2+y2=1有公共点，则（）A．a2+b2≤1 B．a2+b2≥1 C． D．11．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（）A．B． C． D．12．（5分）如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）A．96 B．84 C．60 D．48二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为．14．（5分）已知抛物线y=ax2﹣1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．15．（5分）在△ABC中，AB=BC，．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e=．16．（5分）等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C﹣AB﹣D的余弦值为，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN 所成角的余弦值等于．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（10分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB﹣bcosA=c．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求tan（A﹣B）的最大值．18．（12分）四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，，AB=AC．（Ⅰ）证明：AD⊥CE；（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C﹣AD﹣E的大小．19．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+ax+1﹣lnx．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若f（x）在区间（0，）上是减函数，求实数a的取值范围．20．（12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．21．（12分）双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知||、||、||成等差数列，且与同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．22．（12分）设函数f（x）=x﹣xlnx．数列{a n}满足0＜a1＜1，a n+1=f （a n）．（Ⅰ）证明：函数f（x）在区间（0，1）是增函数；（Ⅱ）证明：a n＜a n+1＜1；（Ⅲ）设b∈（a1，1），整数．证明：a k+1＞b．2008年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）函数的定义域为（）A．{x|x≥0}B．{x|x≥1}C．{x|x≥1}∪{0}D．{x|0≤x≤1}【分析】偶次开方的被开方数一定非负．x（x﹣1）≥0，x≥0，解关于x的不等式组，即为函数的定义域．【解答】解：由x（x﹣1）≥0，得x≥1，或x≤0．又因为x≥0，所以x≥1，或x=0；所以函数的定义域为{x|x≥1}∪{0}故选C．2．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）掷一个骰子，向上一面的点数大于2且小于5的概率为p1，拋两枚硬币，正面均朝上的概率为p2，则（）A．p1＜p2 B．p1＞p2 C．p1=p2D．不能确定【分析】计算出各种情况的概率，然后比较即可．【解答】解：大于2小于5的数有2个数，∴p1==；投掷一次正面朝上的概率为，两次正面朝上的概率为p2=×=，∵＞，∴p1＞p2．故选B．3．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）在△ABC中，=，=．若点D满足=2，则=（）A．B．C．D．【分析】把向量用一组向量来表示，做法是从要求向量的起点出发，尽量沿着已知向量，走到要求向量的终点，把整个过程写下来，即为所求．本题也可以根据D点把BC分成一比二的两部分入手．【解答】解：∵由，∴，∴．故选A4．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）设a∈R，且（a+i）2i为正实数，则a=（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1【分析】注意到a+bi（a，b∈R）为正实数的充要条件是a＞0，b=0 【解答】解：（a+i）2i=（a2+2ai﹣1）i=﹣2a+（a2﹣1）i＞0，a=﹣1．故选D．5．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．23【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质，及等差数列前n项和，根据a2+a4=4，a3+a5=10我们构造关于基本量（首项及公差）的方程组，解方程组求出基本量（首项及公差），进而代入前n项和公式，即可求解．【解答】解：∵（a3+a5）﹣（a2+a4）=2d=6，∴d=3，a1=﹣4，∴S10=10a1+=95．故选C6．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）若函数y=f（x）的图象与函数y=ln的图象关于直线y=x对称，则f（x）=（）A．e2x﹣2B．e2x C．e2x+1D．e2x+2【分析】由函数y=f（x）的图象与函数y=ln的图象关于直线y=x 对称知这两个函数互为反函数，故只要求出函数y=f（x）的反函数即可，欲求原函数的反函数，即从原函数y=ln中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式．【解答】解：∵，∴，∴x=（e y﹣1）2=e2y﹣2，改写为：y=e2x﹣2∴答案为A．7．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．C．D．﹣2【分析】（1）求出已知函数y在点（3，2）处的斜率；（2）利用两条直线互相垂直，斜率之间的关系k1•k2=﹣1，求出未知数a．【解答】解：∵y=∴y′=﹣∵x=3∴y′=﹣即切线斜率为﹣∵切线与直线ax+y+1=0垂直∴直线ax+y+1=0的斜率为﹣a．∴﹣•（﹣a）=﹣1得a=﹣2故选D．8．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【分析】先根据诱导公式将函数化为正弦的形式，再根据左加右减的原则进行平移即可得到答案．【解答】解：∵，只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数的图象．故选A．9．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式＜0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣1，0）∪（0，1）【分析】首先利用奇函数定义与得出x与f（x）异号，然后由奇函数定义求出f（﹣1）=﹣f（1）=0，最后结合f（x）的单调性解出答案．【解答】解：由奇函数f（x）可知，即x与f （x）异号，而f（1）=0，则f（﹣1）=﹣f（1）=0，又f（x）在（0，+∞）上为增函数，则奇函数f（x）在（﹣∞，0）上也为增函数，当0＜x＜1时，f（x）＜f（1）=0，得＜0，满足；当x＞1时，f（x）＞f（1）=0，得＞0，不满足，舍去；当﹣1＜x＜0时，f（x）＞f（﹣1）=0，得＜0，满足；当x＜﹣1时，f（x）＜f（﹣1）=0，得＞0，不满足，舍去；所以x的取值范围是﹣1＜x＜0或0＜x＜1．故选D．10．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）若直线=1与圆x2+y2=1有公共点，则（）A．a2+b2≤1 B．a2+b2≥1 C． D．【分析】用圆心到直线的距离小于或等于半径，可以得到结果．【解答】解：直线与圆有公共点，即直线与圆相切或相交得：d≤r ，∴故选D．11．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（）A．B． C． D．【分析】法一：由题意可知三棱锥A1﹣ABC为正四面体，设棱长为2，求出AB1及三棱锥的高，由线面角的定义可求出答案；法二：先求出点A1到底面的距离A1D的长度，即知点B1到底面的距离B1E的长度，再求出AE的长度，在直角三角形AEB1中求AB1与底面ABC所成角的正切，再由同角三角函数的关系求出其正弦．【解答】解：（法一）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，设为D，所以三棱锥A1﹣ABC为正四面体，设棱长为2，则△AA1B1是顶角为120°等腰三角形，所以AB1=2×2×sin60°=2，A1D==，所以AB1与底面ABC所成角的正弦值为==；（法二）由题意不妨令棱长为2，点B1到底面的距离是B1E，如图，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，设为D，故DA=，由勾股定理得A1D==故B1E=，如图作A1S⊥AB于中点S，易得A1S=，所以AB1==2，所以AB1与底面ABC所成角的正弦值sin∠B1AE==．故选B．12．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）A．96 B．84 C．60 D．48【分析】这道题比起前几年出的高考题要简单些，只要分类清楚没有问题，分为三类：分别种两种花、三种花、四种花，分这三类来列出结果．【解答】解：分三类：种两种花有A42种种法；种三种花有2A43种种法；种四种花有A44种种法．共有A42+2A43+A44=84．故选B二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为9．【分析】首先作出可行域，再作出直线l0：y=2x，将l0平移与可行域有公共点，直线y=2x﹣z在y轴上的截距最小时，z有最大值，求出此时直线y=2x﹣z经过的可行域内的点的坐标，代入z=2x﹣y中即可．【解答】解：如图，作出可行域，作出直线l0：y=2x，将l0平移至过点A处时，函数z=2x﹣y有最大值9．14．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）已知抛物线y=ax2﹣1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为2．【分析】先根据抛物线y=ax2﹣1的焦点坐标为坐标原点，求得a，得到抛物线方程，进而可知与坐标轴的交点的坐标，进而可得答案．【解答】解：由抛物线y=ax2﹣1的焦点坐标为坐标原点得，，则与坐标轴的交点为（0，﹣1），（﹣2，0），（2，0），则以这三点围成的三角形的面积为故答案为215．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）在△ABC中，AB=BC，．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e=．【分析】设AB=BC=1，，则，由此可知，从而求出该椭圆的离心率．【解答】解：设AB=BC=1，，则，∴，．答案：．16．（5分）（2008•全国卷Ⅰ）等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C﹣AB﹣D的余弦值为，M，N分别是AC，BC 的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于．【分析】先找出二面角的平面角，建立边之间的等量关系，再利用向量法将所求异面直线用基底表示，然后利用向量的所成角公式求出所成角即可．【解答】解：设AB=2，作CO⊥面ABDE，OH⊥AB，则CH⊥AB，∠CHO为二面角C﹣AB﹣D的平面角，结合等边三角形ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，则，=故EM，AN所成角的余弦值故答案为：三、解答题（共6小题，满分74分）17．（10分）（2008•全国卷Ⅰ）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB﹣bcosA=c．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求tan（A﹣B）的最大值．【分析】本题考查的知识点是正弦定理及两角和与差的正切函数，（Ⅰ）由正弦定理的边角互化，我们可将已知中，进行转化得到sinAcosB=4cosAsinB，再利用弦化切的方法即可求的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，结合角A，B，C为△ABC的内角，我们易得tanA=4tanB＞0，则tan（A﹣B）可化为，再结合基本不等式即可得到tan（A﹣B）的最大值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，，由正弦定理得即sinAcosB=4cosAsinB，则；（Ⅱ）由得tanA=4tanB＞0当且仅当时，等号成立，故当时，tan（A﹣B）的最大值为．18．（12分）（2008•全国卷Ⅰ）四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，，AB=AC．（Ⅰ）证明：AD⊥CE；（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C﹣AD﹣E的大小．【分析】（1）取BC中点F，证明CE⊥面ADF，通过证明线面垂直来达到证明线线垂直的目的．（2）在面AED内过点E作AD的垂线，垂足为G，由（1）知，CE⊥AD，则∠CGE即为所求二面角的平面角，△CGE中，使用余弦定理求出此角的大小．【解答】解：（1）取BC中点F，连接DF交CE于点O，∵AB=AC，∴AF⊥BC．又面ABC⊥面BCDE，∴AF⊥面BCDE，∴AF⊥CE．再根据，可得∠CED=∠FDC．又∠CDE=90°，∴∠OED+∠ODE=90°，∴∠DOE=90°，即CE⊥DF，∴CE⊥面ADF，∴CE⊥AD．（2）在面ACD内过C点作AD的垂线，垂足为G．∵CG⊥AD，CE⊥AD，∴AD⊥面CEG，∴EG⊥AD，则∠CGE即为所求二面角的平面角．作CH⊥AB，H为垂足．∵平面ABC⊥平面BCDE，矩形BCDE中，BE⊥BC，故BE⊥平面ABC，CH⊂平面ABC，故BE⊥CH，而AB∩BE=B，故CH⊥平面ABE，∴∠CEH=45°为CE与平面ABE所成的角．∵CE=，∴CH=EH=．直角三角形CBH中，利用勾股定理求得BH===1，∴AH=AB﹣BH=AC﹣1；直角三角形ACH中，由勾股定理求得AC2=CH2+AH2=3+（AC﹣1）2，∴AB=AC=2．由面ABC⊥面BCDE，矩形BCDE中CD⊥CB，可得CD⊥面ABC，故△ACD为直角三角形，AD===，故CG===，DG==，，又，则，∴，即二面角C﹣AD﹣E的大小．19．（12分）（2010•大纲版Ⅱ）已知函数f（x）=﹣x2+ax+1﹣lnx．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若f（x）在区间（0，）上是减函数，求实数a的取值范围．【分析】（1）求单调区间，先求导，令导函数大于等于0即可．（2）已知f（x）在区间（0，）上是减函数，即f′（x）≤0在区间（0，）上恒成立，然后用分离参数求最值即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=﹣x2+3x+1﹣lnx∴解f′（x）＞0，即：2x2﹣3x+1＜0函数f（x）的单调递增区间是．（Ⅱ）f′（x）=﹣2x+a﹣，∵f（x）在上为减函数，∴x∈时﹣2x+a﹣≤0恒成立．即a≤2x+恒成立．设，则∵x∈时，＞4，∴g′（x）＜0，∴g（x）在上递减，∴g（x）＞g（）=3，∴a≤3．20．（12分）（2008•全国卷Ⅰ）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．【分析】（1）由题意得到这两种方案的化验次数，算出在各个次数下的概率，写出化验次数的分布列，求出方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率．（2）根据上一问乙的化验次数的分布列，利用期望计算公式得到结果．【解答】解：（Ⅰ）若乙验两次时，有两种可能：①先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好一次验中概率为：②先验三只结果为阴性，再从其它两只中验出阳性（无论第二次试验中有没有，均可以在第二次结束），∴乙只用两次的概率为．若乙验三次时，只有一种可能：先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好二次验中概率为在三次验出时概率为∴甲种方案的次数不少于乙种次数的概率为：（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，∴ξ的期望为Eξ=2×0.6+3×0.4=2.4．21．（12分）（2008•全国卷Ⅰ）双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知||、||、||成等差数列，且与同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．【分析】（1）由2个向量同向，得到渐近线的夹角范围，求出离心率的范围，再用勾股定理得出直角三角形的2个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角，求出渐近线的斜率，进而求出离心率．（2）利用第（1）的结论，设出双曲线的方程，将AB方程代入，运用根与系数的关系及弦长公式，求出待定系数，即可求出双曲线方程．【解答】解：（1）设双曲线方程为，由，同向，∴渐近线的倾斜角为（0，），∴渐近线斜率为：，∴．∵||、||、||成等差数列，∴|OB|+|OA|=2|AB|，∴|AB|2=（|OB|﹣|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|﹣|OA|）•2|AB|，∴，∴，可得：，而在直角三角形OAB中，注意到三角形OAF也为直角三角形，即tan∠AOB=，而由对称性可知：OA的斜率为k=tan，∴，∴2k2+3k﹣2=0，∴；∴，∴，∴．（2）由第（1）知，a=2b，可设双曲线方程为﹣=1，∴c=b．由于AB的倾斜角为+∠AOB，故AB的斜率为tan（+∠AOB ）=﹣cot（∠AOB）=﹣2，∴AB的直线方程为y=﹣2（x﹣b），代入双曲线方程得：15x2﹣32bx+84b2=0，∴x1+x2=，x1•x2=，∴4=•=•，即16=﹣112b2，∴b2=9，所求双曲线方程为：﹣=1．22．（12分）（2008•全国卷Ⅰ）设函数f（x）=x﹣xlnx．数列{a n}满足0＜a1＜1，a n+1=f（a n）．（Ⅰ）证明：函数f（x）在区间（0，1）是增函数；（Ⅱ）证明：a n＜a n+1＜1；（Ⅲ）设b∈（a1，1），整数．证明：a k+1＞b．【分析】（1）首先求出函数的导数，然后令f′（x）=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数在区间（0，1）上的单调性，从而进行证明．（2）由题意数列{a n}满足0＜a1＜1，a n+1=f（a n），求出a n+1=a n﹣a n lna n，然后利用归纳法进行证明；=f（a n）可得a k+1=a k﹣b﹣a k，然后（3）由题意f（x）=x﹣xlnx，a n+1进行讨论求解．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵f（x）=x﹣xlnx，∴f′（x）=﹣lnx，当x∈（0，1）时，f′（x）=﹣lnx＞0故函数f（x）在区间（0，1）上是增函数；（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i）当n=1时，0＜a1＜1，a1lna1＜0，a2=f（a1）=a1﹣a1lna1＞a1，∵函数f（x）在区间（0，1）是增函数且函数f（x）在x=1处连续，∴f（x）在区间（0，1]是增函数，a2=f（a1）=a1﹣a1lna1＜1，即a1＜a2＜1成立，（ⅱ）假设当x=k（k∈N+）时，a k＜a k+1＜1成立，即0＜a1≤a k＜a k+1＜1，那么当n=k+1时，由f（x）在区间（0，1]是增函数，0＜a1≤a k＜a k+1＜1，得f（a k）＜f（a k+1）＜f（1），=f（a n），而a n+1则a k=f（a k），a k+2=f（a k+1），a k+1＜a k+2＜1，+1也就是说当n=k+1时，a n＜a n+1＜1也成立，根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数n，a n＜a n+1＜1恒成立．=f（a n）可得（Ⅲ）证明：由f（x）=x﹣xlnx，a n+1a k+1=a k﹣a k lna k=，1）若存在某i≤k2，满足a i≤b3，则由（Ⅱ）知：a k+1﹣b＜a i﹣b≥04，2）若对任意i≤k6，都有a i＞b，则a k+1=a k﹣a k lna k==≥a1﹣b1﹣ka1ln=0，即a k＞b成立．+1。
湖北省高考数学试卷(理科)答案与解析资料#
2015年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2015•湖北）i为虚数单位，i607的共轭复数为（）A．i B．﹣i C．1D．﹣12．（5分）（2015•湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．134石B．169石C．338石D．1365石3．（5分）（2015•湖北）已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A．212B．211C．210D．294．（5分）（2015•湖北）设X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（）A．P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1）B．P（X≤σ2）≤P（X≤σ1）C．对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t）D．对任意正数t，P（X≥t）≥P（Y≥t）5．（5分）（2015•湖北）设a1，a2，…，a n∈R，n≥3．若p：a1，a2，…，a n成等比数列；q：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）=（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，则（）A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件6．（5分）（2015•湖北）已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（）A sgn[g（x）]=sgnxB sgn[g（x）]=﹣sgnxC sgn[g（x）]=sgn[f（x）]D sgn[g（x）]=﹣sgn[f（x）] 7．（5分）（2015•湖北）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记P1为事件“x+y≥”的概率，P2为事件“|x﹣y|≤”的概率，P3为事件“xy≤”的概率，则（）A．P1＜P2＜P3B．P2＜P3＜P1C．P3＜P1＜P2D．P3＜P2＜P18．（5分）（2015•湖北）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（）A．对任意的a，b，e1＞e2B．当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2C．对任意的a，b，e1＜e2D．当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e29．（5分）（2015•湖北）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（）A．77 B．49 C．45 D．3010．（5分）（2015•湖北）设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，…，[t n]=n同时成立，则正整数n的最大值是（）A．3B．4C．5D．6二、填空题：本大题共4小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（5分）（2015•湖北）已知向量⊥，||=3，则•=．12．（5分）（2015•湖北）函数f（x）=4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|的零点个数为．13．（5分）（2015•湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=m．14．（5分）（2015•湖北）如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2．（1）圆C的标准方程为；（2）过点A任作一条直线与圆O：x2+y2=1相交于M，N两点，下列三个结论：①=；②﹣=2；③+=2．其中正确结论的序号是．（写出所有正确结论的序号）选修4-1：几何证明选讲15．（5分）（2015•湖北）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC=3PB，则=．选修4-4：坐标系与参数方程16．（2015•湖北）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，曲线C的参数方程为（t为参数），l与C相交于A，B两点，则|AB|=．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（11分）（2015•湖北）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：ωx+φ0 π2πxAsin（ωx+φ）0 5 ﹣5 0（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象．若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值．18．（12分）（2015•湖北）设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式（2）当d＞1时，记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．19．（12分）（2015•湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD 中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE．（1）证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值．20．（12分）（2015•湖北）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为W 12 15 18P 0.3 0.5 0.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量．（1）求Z的分布列和均值；（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．21．（14分）（2015•湖北）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON 可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．22．（14分）（2015•湖北）已知数列{a n}的各项均为正数，b n=n（1+）n a n（n∈N+），e为自然对数的底数．（1）求函数f（x）=1+x﹣e x的单调区间，并比较（1+）n与e的大小；（2）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；（3）令c n=（a1a2…a n），数列{a n}，{c n}的前n项和分别记为S n，T n，证明：T n＜eS n．答案：1、解：i607=i604+3=i3=﹣i，它的共轭复数为：i．故选：A．2、解：由题意，这批米内夹谷约为1534×≈169石，故选：B．3、解：已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，可得，可得n=3+7=10．（1+x）10的展开式中奇数项的二项式系数和为：=29．故选：D．4、解：正态分布密度曲线图象关于x=μ对称，所以μ1＜μ2，从图中容易得到P（X≤t）≥P（Y≤t）．故选：C．5、解：由a1，a2，…，a n∈R，n≥3．运用柯西不等式，可得：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）≥（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，若a1，a2，…，a n成等比数列，即有==…=，则（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）=（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，即由p推得q，但由q推不到p，比如a1=a2=a3=…=a n=0，则a1，a2，…，a n不成等比数列．故p是q的充分不必要条件．故选：A．6、解：由于本题是选择题，可以常用特殊法，符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），不妨令f（x）=x，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，sgn[g（x）]=﹣sgnx．所以A不正确，B正确，sgn[f（x）]=sgnx，C不正确；D正确；对于D，令f（x）=x+1，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x﹣1，sgn[f（x）]=sgn（x+1）=；sgn[g（x）]=sgn（﹣x﹣1）=，﹣sgn[f（x）]=﹣sgn（x+1）=；所以D不正确；故选：B．7、解：分别作出事件对应的图象如图（阴影部分）：P1：D（0，），F（，0），A（0，1），B（1，1），C（1，0），则阴影部分的面积S1=1×1﹣=1﹣=，S2=1×1﹣2×=1﹣=，S3=1×+dx=+lnx|=﹣ln=+ln2，∴S2＜S3＜S1，即P2＜P3＜P1，故选：B．8、解：由题意，双曲线C1：c2=a2+b2，e1=；双曲线C2：c′2=（a+m）2+（b+m）2，e2=，∴=﹣=，∴当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2，故选：D．9、解：∵A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）}∵A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，∴A⊕B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2），（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣2，3），（﹣2，﹣3），（0，﹣3），（2，﹣3），（﹣1，3），（﹣1，﹣3），（1，3），（2，3），（0，3），（3，﹣1），（3，0）（3，1），（3，2），（3，﹣2）（﹣3，2）（﹣3，1），（1，﹣3），（﹣3，﹣1），（﹣3，0），（﹣3，﹣2）}共45个元素故选：C．10、解：∵[t]=1，∴t∈[1，2），又∵[t2]=2，∴t2∈[2，3），∴t∈[，），又t2∈[2，3），∴t4∈[4，9），∴[t4]=4，∴正整数n的最大值4故选：B．11、解：由⊥，得•=0，即•（）=0，∵||=3，∴．故答案为：9．12、解：函数f（x）的定义域为：{x|x＞﹣1}．f（x）=4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|=2sinx﹣|ln（x+1）|=sin2x﹣|ln（x+1）|，分别画出函数y=sin2x，y=|ln（x+1）|的图象，由函数的图象可知，交点个数为2．所以函数的零点有2个．故答案为：2．13、解：设此山高h（m），则BC=h，在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600．根据正弦定理得=，解得h=100（m）故答案为：100．14、解：（1）∵圆C与x轴相切于点T（1，0），∴圆心的横坐标x=1，取AB的中点E，∵|AB|=2，∴|BE|=1，则|BC|=，即圆的半径r=|BC|=，∴圆心C（1，），则圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=2，故答案为：（x﹣1）2+（y﹣）2=2．（2）∵圆心C（1，），∴E（0，），又∵|AB|=2，且E为AB中点，∴A（0，﹣1），B（0，+1），∵M、N在圆O：x2+y2=1上，∴可设M（cosα，sinα），N（cosβ，sinβ），∴|NA|=====，|NB|====，∴===，同理可得=，∴=，①成立，﹣=﹣（）=2，②正确．+=+（）=，③正确．故答案为：①②③．15、解：由切割线定理可知：PA2=PB•PC，又BC=3PB，可得PA=2PB，在△PAB与△PAC中，∠P=∠P，∠PAB=∠PCA（同弧上的圆周角与弦切角相等），可得△PAB∽△PAC，∴==．故答案为：．16、解：由ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，得y﹣3x=0，由C的参数方程为（t为参数），两式平方作差得：x2﹣y2=﹣4．联立，得，即．∴A（），B（），∴|AB|=．故答案为：．17、解：（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．数据补全如下表：ωx+φ0 π2πxAsin（ωx+φ）0 5 0 ﹣5 0且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣），得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=，解得θ=，k∈Z．由θ＞0可知，当K=1时，θ取得最小值．18、解：（1）设a1=a，由题意可得，解得，或，当时，a n=2n﹣1，b n=2n﹣1；当时，a n=（2n+79），b n=9•；（2）当d＞1时，由（1）知a n=2n﹣1，b n=2n﹣1，∴c n==，∴T n=1+3•+5•+7•+9•+…+（2n﹣1）•，∴T n=1•+3•+5•+7•+…+（2n﹣3）•+（2n﹣1）•，∴T n=2+++++…+﹣（2n﹣1）•=3﹣，∴T n=6﹣．19、解法1）（1）因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，所以BC⊥平面ABCD．而DE⊂平面PDC，所以BC⊥DE．又因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC．而PC∩CB=C，所以DE⊥平面PBC．而PB⊂平面PBC，所以PB⊥DE．又PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF．由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．（2）如图1，在面BPC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ACBD的交线．由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG．又因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG．而PD∩PB=P，所以DG⊥平面PBD．所以DG⊥DF，DG⊥DB故∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，设PD=DC=1，BC=λ，有BD=，在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得∠DGF=∠FDB=，则tan=tan∠DPF===，解得．所以==故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，=．（解法2）（1）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设PD=DC=1，BC=λ，则D（0，0，0），P（0，0，1），B（λ，1，0），C（0，1，0），=（λ1，﹣1），点E是PC的中点，所以E（0，，），=（0，，），于是=0，即PB⊥DE．又已知EF⊥PB，而ED∩EF=E，所以PB⊥平面DEF．因=（0，1，﹣1），=0，则DE⊥PC，所以DE⊥平面PBC．由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个矩形，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．（2）由PD⊥底面ABCD，所以=（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量；由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以=（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一个法向量．若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，则运用向量的数量积求解得出cos==，解得．所以所以==故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，=．20、（12分）解：（1）设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，则有，①如图1，目标函数为：z=1000x+1200y．当W=12时，①表示的平面区域如图1，三个顶点分别为A（0，0），B（2.4，4.8），C（6，0）．将z=1000x+1200y变形为，当x=2.4，y=4.8时，直线l：在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z max=2.4×1000+4.8×1200=8160．当W=15时，①表示的平面区域如图2，三个顶点分别为A（0，0），B（3，6），C（7.5，0）．．将z=1000x+1200y变形为，当x=3，y=6时，直线l：在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z max=3×1000+6×1200=10200．当W=18时，①表示的平面区域如图3，四个顶点分别为A（0，0），B（3，6），C（6，4），D（9，0）．将z=1000x+1200y变形为：，当x=6，y=4时，直线l：y=﹣56x+z1200在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z max=6×1000+4×1200=10800．故最大获利Z的分布列为：Z 8160 10200 10800P 0.3 0.5 0.2因此，E（Z）=8160×0.3+10200×0.5+10800×0.2=9708（2）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率P1=P（Z＞10000）=0.5+0.2=0.7，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为：21、解：（1）∵|OM|≤|MN|+|NO|=3+1=4，当M，N在x轴上时，等号成立，同理|OM|≥|MN|﹣|NO|=3﹣1=2，当D，O重合，即MN⊥x轴时，等号成立．∴椭圆C的中心为原点O，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为．（2）①当直线l的斜率k不存在时，直线l为：x=4或x=﹣4，都有S△OPQ=，②直线l的斜率k存在时，直线l为：y=kx+m，（k），由消去y，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0，∵直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，∴△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣16）=0，即m2=16k2+4，①，由，可得P（，），同理得Q（，），原点O到直线PQ的距离d=和|PQ|=•|x P﹣x Q|，可得S△OPQ=|PQ|d=|m||x P﹣x Q|=|m|||=||②，将①代入②得S△OPQ=||=8||，当k2＞时，S△OPQ=8（）=8（1+）＞8，当0≤k2＜时，S△OPQ=8||=﹣8（）=8（﹣1+），∵0≤k2＜时，∴0＜1﹣4k2≤1，≥2，∴S△OPQ=8（﹣1+）≥8，当且仅当k=0时取等号，∴当k=0时，S△OPQ的最小值为8，综上可知当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，三角形OPQ的面积存在最小值为8．22、（1）解：f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）=1﹣e x．当f′（x）＞0，即x＜0时，f（x）单调递增；当f′（x）＜0，即x＞0时，f（x）单调递减．故f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），单调递减区间为（0，+∞）．当x＞0时，f（x）＜f（0）=0，即1+x＜e x．令，得，即．①（2）解：；=；．由此推测：=（n+1）n．②下面用数学归纳法证明②．（1）当n=1时，左边=右边=2，②成立．（2）假设当n=k时，②成立，即．当n=k+1时，，由归纳假设可得=．∴当n=k+1时，②也成立．根据（1）（2），可知②对一切正整数n都成立．（3）证明：由c n的定义，②，算术﹣几何平均不等式，b n的定义及①得T n=c1+c2+…+c n=====＜ea1+ea2+…+ea n=eS n．即T n＜eS n．最新文件仅供参考已改成word文本。
2008年高考理科数学试卷及答案-全国卷
2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修Ⅱ)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分、第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至10页、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回、第Ⅰ卷注意事项：1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上、2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号、不能答在试题卷上、3、本卷共12小题，每小题5分，共60分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的、参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(012)k k n kk n P k C p p k n -=-=，，，，一、选择题1、设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-=Z 则，≤≤（ ）A 、{}01，B 、{}101-，，C 、{}012，，D 、{}1012-，，，2、设a b ∈R ，且0b ≠，若复数3()a bi +是实数，则（ ） A 、223b a = B 、223a b =C 、229b a =D 、229a b =3、函数1()f x x x=-的图像关于（ ）A 、y 轴对称B 、 直线x y -=对称C 、 坐标原点对称D 、 直线x y =对称4、若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则（ ） A 、a <b <cB 、c <a <bC 、 b <a <cD 、 b <c <a5、设变量x y ，满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩，，．≥≤≥，则y x z 3-=的最小值（ ）A 、2-B 、4-C 、6-D 、8-6、从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（ ） A 、929B 、1029C 、1929D 、20297、64(1(1的展开式中x 的系数是（ ） A 、4-B 、3-C 、3D 、48、若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ ）A 、1BCD 、29、设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ ） A、B、C 、(25)，D、(210、已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ） A 、13B、3C、3D 、2311、等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20x y +-=与740x y --=，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ） A 、3B 、2C 、13-D 、12-12、已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆、若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ） A 、1B 、2C 、3D 、22008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修Ⅱ)第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分、把答案填在题中横线上、13、设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ 、 14、设曲线ax y e =在点(01)，处的切线与直线210x y ++=垂直，则a = 、 15、已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A B ，两点、设FA FB >，则FA 与FB 的比值等于 、16、平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件① ； 充要条件② 、 （写出你认为正确的两个充要条件）三、解答题：本大题共6小题，共70分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤、 17、（本小题满分10分） 在ABC △中，5cos 13B =-，4cos 5C =、 （Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）设ABC △的面积332ABC S =△，求BC 的长、 18、（本小题满分12分）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金、假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立、已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为41010.999-、（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p ；（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）、19、（本小题满分12分）如图，正四棱柱1111ABCD A BC D -中，124AA AB ==，点E 在1CC 上且EC E C 31=、 （Ⅰ）证明：1AC ⊥平面BED ； （Ⅱ）求二面角1A DE B --的大小、20、（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S 、已知1a a =，13n n n a S +=+，*n ∈N 、（Ⅰ）设3n n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若1n n a a +≥，*n ∈N ，求a 的取值范围、21、（本小题满分12分）设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点、 （Ⅰ）若6ED DF =，求k 的值； （Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值、 22、（本小题满分12分） 设函数sin ()2cos xf x x=+、（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围、ABCD EA 1B 1C 1D 12008年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案和评分参考评分说明：1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要 考查内容比照评分参考制订相应的评分细则、2、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分、3、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数、4、只给整数分数、选择题不给中间分、一、选择题1、B2、A3、C4、C5、D6、D7、B8、B9、B 10、C 11、A 12、C 二、填空题13、2 14、2 5、3+16、两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形、注：上面给出了四个充要条件、如果考生写出其他正确答案，同样给分、 三、解答题 17、解：（Ⅰ）由5cos 13B =-，得12sin 13B =， 由4cos 5C =，得3sin 5C =、所以33sin sin()sin cos cos sin 65A B C B C B C =+=+=、 ····································· 5分 （Ⅱ）由332ABC S =△得 133sin 22AB AC A ⨯⨯⨯=， 由（Ⅰ）知33sin 65A =，故 65AB AC ⨯=， ·············································································· 8分又 sin 20sin 13AB B AC AB C ⨯==， 故 2206513AB =，132AB =、 所以 sin 11sin 2AB A BC C ⨯==、 ································································· 10分18、解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p ，记投保的10 000人中出险的人数为ξ， 则4~(10)B p ξ，、（Ⅰ）记A 表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则A 发生当且仅当0ξ=， ····································································································· 2分()1()P A P A =-1(0)P ξ=-=4101(1)p =--，又410()10.999P A =-，故0.001p =、 ······························································································· 5分 （Ⅱ）该险种总收入为10000a 元，支出是赔偿金总额与成本的和、 支出 1000050000ξ+，盈利 10000(1000050000)a ηξ=-+，盈利的期望为 1000010000500E aE ηξ=--， ·········································· 9分由43~(1010)B ξ-，知，31000010E ξ-=⨯，4441010510E a E ηξ=--⨯4443410101010510a -=-⨯⨯-⨯、0E η≥4441010105100a ⇔-⨯-⨯≥1050a ⇔--≥ 15a ⇔≥（元）、故每位投保人应交纳的最低保费为15元、 ························································· 12分19、解法一：依题设知2AB =，1CE =、（Ⅰ）连结AC 交BD 于点F ，则BD AC ⊥、由三垂线定理知，1BD AC ⊥、 ········································································· 3分 在平面1ACA 内，连结EF 交1AC 于点G ，由于1AA ACFC CE== 故1Rt Rt A AC FCE △∽△，1AAC CFE ∠=∠， CFE ∠与1FCA ∠互余、于是1AC EF ⊥、 1AC 与平面BED 内两条相交直线BD EF ，都垂直， 所以1AC ⊥平面BED 、 ·················································································· 6分 （Ⅱ）作GH DE ⊥，垂足为H ，连结1A H 、由三垂线定理知1A H DE ⊥，故1A HG ∠是二面角1A DE B --的平面角、························································ 8分EF =CE CF CG EF ⨯==EG ==、 13EG EF =，13EF FD GH DE ⨯=⨯=又1AC ==11AG AC CG =-=、11tan A GA HG HG∠== 所以二面角1A DE B --的大小为 ················································· 12分 解法二：以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴， 建立如图所示直角坐标系D xyz -、依题设，1(220)(020)(021)(204)B C E A ，，，，，，，，，，，、(021)(220)DE DB ==，，，，，，AB CDEA 1B 1C 1D 1 FH G11(224)(204)AC DA =--=，，，，，、 ····································································· 3分 （Ⅰ）因为10AC DB =，10AC DE =， 故1AC BD ⊥，1AC DE ⊥、 又DBDE D =，所以1AC ⊥平面DBE 、 ·················································································· 6分 （Ⅱ）设向量()x y z =，，n 是平面1DA E 的法向量，则DE ⊥n ，1DA ⊥n 、故20y z +=，240x z +=、令1y =，则2z =-，4x =，(412)=-，，n 、 ····················································· 9分1AC ，n 等于二面角1A DE B --的平面角， 11114cos 42AC AC AC ==，nn n 、 所以二面角1A DE B --的大小为、 ················································· 12分 20、解：（Ⅰ）依题意，113n n n n n S S a S ++-==+，即123n n n S S +=+，由此得1132(3)n n n n S S ++-=-、 ······································································· 4分 因此，所求通项公式为13(3)2n n n n b S a -=-=-，*n ∈N 、① ······························································ 6分 （Ⅱ）由①知13(3)2n n n S a -=+-，*n ∈N ， 于是，当2n ≥时，1n n n a S S -=-1123(3)23(3)2n n n n a a ---=+-⨯---⨯ 1223(3)2n n a --=⨯+-，12143(3)2n n n n a a a --+-=⨯+-22321232n n a --⎡⎤⎛⎫=∙+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 当2n ≥时，21312302n n n a a a -+⎛⎫⇔∙+- ⎪⎝⎭≥≥9a ⇔-≥、又2113a a a =+>、综上，所求的a 的取值范围是[)9-+∞，、 ························································· 12分 21、（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为2214x y +=， 直线AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>、 ····································· 2分 如图，设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <， 且12x x ，满足方程22(14)4k x +=，故21x x =-=、①由6ED DF =知01206()x x x x -=-，得021215(6)77x x x x =+==； 由D 在AB 上知0022x kx +=，得0212x k=+、 所以212k =+， 化简得2242560k k -+=，解得23k =或38k =、 ······················································································ 6分 （Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到AB 的距离分别为1h ==2h==·······················································9分又AB==AEBF的面积为121()2S AB h h=+1525(14k=+==≤当21k=，即当12k=时，上式取等号、所以S的最大值为 ························ 12分解法二：由题设，1BO=，2AO=、设11y kx=，22y kx=，由①得2x>，21y y=->，故四边形AEBF的面积为BEF AEFS S S=+△△222x y=+ ····································································································9分===当222x y=时，上式取等号、所以S的最大值为······································· 12分22、解：（Ⅰ）22(2cos)cos sin(sin)2cos1()(2cos)(2cos)x x x x xf xx x+--+'==++、 ·····························2分2008年高考各省各科真题及解析11 / 11当2π2π2π2π33k x k -<<+（k ∈Z ）时，1cos 2x >-，即()0f x '>； 当2π4π2π2π33k x k +<<+（k ∈Z ）时，1cos 2x <-，即()0f x '<、 因此()f x 在每一个区间2π2π2π2π33k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，（k ∈Z ）是增函数， ()f x 在每一个区间2π4π2π2π33k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，（k ∈Z ）是减函数、 ····························· 6分 （Ⅱ）令()()g x ax f x =-，则22cos 1()(2cos )x g x a x +'=-+ 2232cos (2cos )a x x =-+++ 211132cos 33a x ⎛⎫=-+- ⎪+⎝⎭、 故当13a ≥时，()0g x '≥、 又(0)0g =，所以当0x ≥时，()(0)0g x g =≥，即()f x ax ≤、 ························ 9分 当103a <<时，令()sin 3h x x ax =-，则()cos 3h x x a '=-、 故当[)0arccos3x a ∈，时，()0h x '>、因此()h x 在[)0arccos3a ，上单调增加、故当(0arccos3)x a ∈，时，()(0)0h x h >=， 即sin 3x ax >、于是，当(0arccos3)x a ∈，时，sin sin ()2cos 3x x f x ax x =>>+、 当0a ≤时，有π1π0222f a ⎛⎫=>∙ ⎪⎝⎭≥、 因此，a 的取值范围是13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，、 ··································································· 12分。
2008年高考数学试卷(辽宁.理)含详解
2008年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数 学（供理科考生使用）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共60分） 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) S=42R π如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P(A ·B)＝P(A)·P(B) 球的体和只公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 V =243R π()(1)(0,1,2,,)k k n kn n P k C P p k n -=-= 其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)已知集合3||0|,||3|1x M x x N x x x +==<=≤--，则集合||1|x x ≥＝ (A )M N ⋂ (B )M N ⋃ (C )R (M N ⋂) (D ) R (M N ⋃)(2)135(21)lim(21)x n n n →∞++++-=+(A )14 (B )12 (C )1 (D )2 (3)圆221x y +=与直线2y kx =+没有．．公共点的充要条件是 ()(2,2)A k ∈ ()(,2)2,)B k ∈-∞⋃+∞ ()(3,3)C k ∈- ()(,3)3,)D k ∈-∞⋃+∞(4)复数11212i i +-+-的虚部是 1()5A i 1()5B 1()5C i - 1()5D -(5)已知O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=，则OC - ()2A OA OB - ()2B OA OB -+ 21()33C OA OB - 12()33D OA OB -- (6)设P 为曲线C :223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[0,4π],则点P 横坐标的取值范围为 1()[1,]2A -- ()[1,0]B - ()[0,1]C 1()[,1]2D(7)4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为奇数的概率为 1()3A 1()2B 2()3C 3()4D (8)将函数21212a y a y +=+=的图象按向量平移得到函数的图象，则()(1,1)A a =-- ()(1,1)B a =- ()(1,1)C a = ()(1,1)D a =- (9)一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有(A )24种 (B )36种 (C )48种 (D )72种(10)已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0,2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为(A ()3B (C 9()2D (11)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1，CC 1的中点，则在空间中与三条直线A 1D 1、EF 、CD 都相交的直线 ()A 不存在 (B )有且只有两条 (C )有且只有三条 (D )有无数条 (12)设f(x)是连续的偶函数，且当x >0时f(x)是单调函数，则满足f(x)＝f 3()4x x ++的所有x 之和为(A )-3 (B )3 (C )-8 （D ）8第Ⅰ卷（选择题共60分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.(13)函数1,0,,0x x x y e x +<⎧=⎨≥⎩的反函数是__________.(14)在体积为的球的表面上有A 、B 、C 三点，AB =1，BC ，A 、C 两点的球，则球心到平面ABC 的距离为_________. (15)已知21(1)()n y x x x x+++的展开式中没有．．常数项，*n N ∈，且2≤n ≤8,则n =______.(16)已知()sin()(0),()()363f x x f f πππωω=+>=，且()f x 在区间(,)63ππ有最小值，无最大值，则ω＝__________.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分） 在ABC ∆中，内角A ，B,C 对边的边长分别是a,b,c ,已知c =2,C =3π. (Ⅰ)若ABC ∆的面积等于3，求a,b ；(Ⅱ)若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.（18）（本小题满分12分）某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：(Ⅰ)根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率； (Ⅱ)已知每吨该商品的销售利润为2千元，ξ表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元）.若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求ξ的分布列和数学期望.（19）（本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体ABCD A B C D ''''-中，AP=BP=b （0<b <1），截面PQEF ∥A D ',截面PQGH ∥A D '.(Ⅰ)证明：平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直；(Ⅱ)证明：截面PQEF 和截面PQGH 面积之和是定值，并求出这个值；(Ⅲ)若D E '与平面PQEF 所成的角为45°，求D E '与平面PQGH 所成角的正弦值.（20）（本小题满分12分）在直角坐标系xoy 中，点P 到两点（0，-）、（0，3）的距离之和等于4，设点P 的轨迹为l 、直线y=kx+1与C 交于A 、B 两点. （Ⅰ）写出C 的方程； （Ⅱ）若OA ⊥OB ,求k 的值；（Ⅲ）若点A 在第一象限，证明：当k >0时，恒有|OA |>|OB |. （21）（本小题满分12分）在数列|a n |,|b n |中，a 1=2, b 2=4，且1,,n n n a b a +成等差数列，11,,n n n b a b ++成等比数列（*n N ∈）(Ⅰ)求a 2, a 3, a 4及b 2, b 3, b 4，由此猜测{a n },{b n }的通项公式，并证明你的结论； （Ⅱ）证明：1122111512n n a b a b a b +++<+++.（22）（本小题满分14分） 设函数f (x )=ln ln ln(1).1xx x x-+++ (Ⅰ)求f (x )的单调区间和极值；（Ⅱ）是否存在实数a ,使得关于x 的不等式f (x )≥a 的解集为（0,+∞）？若存在，求a 的取值范围；若不存在，试说明理由.2008年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(供理科考生使用)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共60分） 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) S=42R π如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P(A ·B)＝P(A)·P(B) 球的体和只公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 V =243R π()(1)(0,1,2,,)k k n kn n P k C P p k n -=-= 其中R 表示球的半径一、选择题 1.已知集合{}30,31x M x N x xx ⎧+⎫=<=-⎨⎬-⎩⎭,则集合{}1x x为( )A.M NB.M NC.()RMN D.()RMN答案：C解析：本小题主要考查集合的相关运算知识。
2008年高考数学理科试题考点分布及题型预测(一)
2008年高考数学理科试题考点分布及题型预测（一）马兴奎（云南省文山州砚山一中）通过认真学习、研究考纲．对照2008年的考纲、2007年高考和2008年各地模拟试卷，对2008年高考全国卷数学试题的考点分布进行预测，并根据命题意图对各个小题作一些题型猜想和预测，供同学们最后复习冲刺参考。
下面对考点、命题意图及题型进行预测。
一、考点、命题意图预测以上作适当调整文科也可以参考。
选择、填空题号可能被调整。
解答题相对稳定。
下面调整题号进行题型预测。
二、试题预测（选择、有答案，解答题有解答过程和给分标准）2008年高考数学题型预测（一）数学试卷(理科)第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设A ，B 是两个非空集合，定义A ×B=}|{B A x B A x x ∉∈且，已知},0,2|{},4|{2>==-==x y y B x x y y A x 则A ×B= （ ）A ．),2(]1,0[+∞B ．),2()1,0[+∞C ．[0，1]D ．[0，2] 2．23(1)i -的值为（ ）A ．32iB ．32i -C ．iD ．i -3．若n xx )1(+的展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 （ ）A ．10B ．20C ．30D ．1204．若221()12,[()](0)x g x x f g x x x -=-=≠，则1()2f =（ ）A ．1B ．3C ．7D ．155．设随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，若(1)P p ξ>=，则(10)P ξ-<<= （ ）A ．12p +B ．1p -C ．12p -D ．12p -6．已知A （－1，2），B （2，1），则)1,1(-=按平移后得到的向量的坐标为（ ）A ．（3，－1）B ．（－3，1）C ．（4，－2）D ．（－2，0）7．把函数sin(2)4y x π=+的图象向右平移8π个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到 原来的12，则所得图象的解析式为 （ ） A ．3sin(4)8y x π=+ B ．sin(4)8y x π=+C ．sin 4y x =D ．sin y x =8．设e <x <10，记a =ln(ln x )，b =lg(lg x )，c =ln(lg x )，d =lg(ln x )，则a ，b ，c ，d 的大小关系（ ）A ．a <b <c <dB ．c <d <a <bC ．c <b <d <aD ．b <d <c <a9．已知函数)0( log )(2>=x x x f 的反函数为，，且有2)()()(111=⋅---b fa f x f若a ，b>0则ba 41+的最小值为 （ ）A ．2B ．4C ．6D ．910．两个实数集合A={a 1, a 2, a 3,…, a 15}与B={b 1, b 2, b 3,…, b 10}，若从A 到B 的是映射f 使B中的每一个元素都有原象，且f (a 1)≤f (a 2) ≤…≤f (a 10)<f (a 11)<…<f (a 15), 则这样的映射共 有（ ）A ．510C 个B ．49C 个C ．1015个D ．1015105A ⋅11.已知二面角βα--l 的大小为60°，m 、n 为异面直线，且βα⊥⊥n m ,，则m 、n 所成的角为( )（A ）30°（B ）60°（C ）90°（D ）120°12．如果以原点为圆心的圆经过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点，而且被该双曲线的右准线分成弧长为2：1的两段圆弧，那么该双曲线的离心率e 等于（ ）A ．5B ．25C ．3D ．2第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2008年山东高考数学（理科）原题试卷含详细解答
2008年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．满足{}1234M a a a a Í，，，，且{}{}12312M a a a a a = ，，，的集合M 的个数是（）A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解：集合M 中必含有12,a a ,则{}12,M a a =或{}124,,M a a a =.选B. 2．设z 的共轭复数是z ，若4z z +=，8z z = ，则zz等于（）A ．iB ．i-C ．1±D ．i±解：设2z bi =+，由8z z ×=得248, 2.b b +==±()2222.88i z z i z ±===±选D. 3．函数ππln cos 22y x x æö=-<<ç÷èø的图象是（）解：由ππ0cos 1ln cos 022x x x -<<Þ<£Þ£函数的最大值是0，选A. 4．设函数()1f x x x a =++-的图象关于直线1x =对称，则a 的值为（）A ．3B ．2 C ．1 D ．1-解：1x +、x a -在数轴上表示点x 到点1-、a 的距离，它们的和()1f x x x a =++-关于1x =对称，因此点1-、a 关于1x =对称，所以3a =。
（取特殊值(1)(3)f f -=排除B,C,D 选项；如直接去绝对值化成分段函数求解则较繁）5．已知π4cos sin 365a a æö-+=ç÷èø，则7πsin 6a æö+ç÷èø的值是（）A ．235-B ．235C ．45-D ．45解：334cos()sin cos sin 36225pa a a a -+=+=，134cos sin 225a a +=，yxπ2-π2Oyx π2-π2Oyxπ2-π2Oyxπ2-π2OA ．B ．C ．D ．7314sin()sin()sin cos .66225p p a a a a æö+=-+=-+=-ç÷ç÷èø6．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ） A ．9π B ．1010ππ C ．1111ππD ．1212ππ解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面积为其表面积为其表面积为22411221312.S p p p p =´+´´+´´=7．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为12318 ，，，，的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为（为公差的等差数列的概率为（ ） A ．151B ．168C ．1306D ．1408解：古典概型问题，基本事件总数为31817163C =´´。
2008年高考数学试卷(浙江.理)含详解
梦想不会辜负一个努力的人2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）浙江卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知a 是实数，iia +-1是纯虚数，则a = （A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）-2（2）已知U=R ，A={}0|>x x ,B={}1|-≤x x ,则()()=A C B B C A u u （A ）∅ （B ）{}|0x x ≤ （C ）{}|1x x >- （D ）{}|01x x x >≤-或 （3）已知a ，b 都是实数，那么“22b a >”是“a >b ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （4）在)5)(4)(3)(2)(1(-----x x x x x 的展开式中，含4x 的项的系数是 （A ）-15 （B ）85 （C ）-120 （D ）274 （5）在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x xy 的图象和直线21=y 的交点个数是（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4（6）已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a = （A ）16（n --41） （B ）16（n--21）（C ）332（n --41） （D ）332（n--21）（7）若双曲线12222=-by a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）5 （8）若,5sin 2cos -=+a a 则a tan =（A ）21 （B ）2 （C ）21- （D ）2- （9）已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足0)()(=-⋅-c b c a ,则c 的最大值是（A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）22 （10）如图，AB 是平面a 的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面a 内运动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是梦想不会辜负一个努力的人ABPA B CDEFA BCD（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）一条直线 （D ）两条平行直线二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
2009年高考湖北卷数学(理科)试题及参考答案
2009年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页，满分150分，考试时间120分钟。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答;不能写在试题卷上; 如需改动，先画掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸,修正带,不按以上要求作答的答案无效。
4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
参考公式：柱体的体积公式V=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是锥体的高。
锥体的体积公式V=13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。
第一部一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1．已知集合21{|340},{|0}A x x x B x x=+-==>，则A B ＝ ．2．复数512i-的实部为 ．3．已知1sin ,3α=且(,)2παπ∈，则tan α＝ ．4．执行右边的流程图，得到的结果是 ．5．已知,x y 满足不等式组0,40y y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩则2x y -的最大值是 ．6．为了解某校男生体重情况，将样本数据整理后，画出其频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第3小组的频数为12，则样本容量是 ． 7．设,l m 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，下列命题中正确的是 ．（填序号） ①若,//,,l m αβαβ⊥⊥则l m ⊥； ②若//,,,l m m l αβ⊥⊥则//αβ； ③若//,//,//,l m αβαβ则//l m ；④若,,,,m l l m αβαββ⊥=⊂⊥ 则l α⊥．8．设直线2310x y ++=和圆22230x y x +--=相交于A ，B 两点，则弦AB 的垂直平分线方程是 ．9．先后掷两次正方体骰子（骰子的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为,m n ，则mn 是奇数的概率是 ．10．已知等比数列{}n a 中，公比1q >，且14239,8a a a a +==，则2011201220092010a a a a +=+ ．11．在边长为6的等边△ABC 中，点M 满足2BM MA =，则CM CB ⋅ 等于 ．12．已知椭圆2222:1(0)x y E a b ab+=>>过点P （3，1），其左、右焦点分别为12,F F ，且126F P F P ⋅=-，则椭圆E 的离心率是 ． 13．若关于x 的方程2||1x kx x =-有四个不同的实数根，则实数k 的取值范围是 ．14．已知,,x y z R ∈，且2221,3x y z x y z ++=++=，则xyz 的最大值是 ． 二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）已知())cos 3f x x x π=+-．（I ）求()f x 在[0,]π上的最小值；（II ）已知,,a b c 分别为△ABC 内角A 、B 、C的对边，3cos 5b A ==，且()1f B =，求边a 的长．16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面△ABC 是等边三角形，D 为AB 中点． （I ）求证：1//BC 平面1A C D ；17．（本小题满分15分）某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p （万元）和宿舍与工厂的距离()x km 的关系为：(08)35k p x x =≤≤+，若距离为1km 时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设()f x 为建造宿舍与修路费用之和． （I ）求()f x 的表达式；（II ）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用()f x 最小，并求最小值．18．（本小题满分15分） 如图，正方形ABCD 内接于椭圆22221(0)x y a b ab+=>>，且它的四条边与坐标轴平行，正方形MNPQ 的顶点M ，N 在椭圆上，顶点P ，Q 在正方形的边AB 上，且A ，M 都在第一象限．（I ）若正方形ABCD 的边长为4，且与y 轴交于E ，F 两点，正方形MNPQ 的边长为2． ①求证：直线AM 与△ABE 的外接圆相切； ②求椭圆的标准方程．（II ）设椭圆的离心率为e ，直线AM 的斜率为k ，求证：22e k -是定值．19．（本小题满分16分） 已知函数()ln f x x x =．（I ）求函数()f x 的单调递减区间；（II ）若2()6f x x ax ≥-+-在(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （III ）过点2(,0)A e --作函数()y f x =图像的切线，求切线方程．20．（本小题满分16分）设数列{}n b 满足*2121(),2n n n b b b n N b b ++=--∈=． （I ）若33b =，求1b 的值；（II ）求证数列12{}n n n b b b n +++是等差数列；（III ）设数列{}n T 满足：*11()n n n T T b n N ++=∈，且1112T b ==-，若存在实数,p q ，对任意*n N ∈都有123n p T T T T q ≤++++< 成立，试求q p -的最小值．第二部分（加试部分）21．选修4－2：矩阵与变换（本小题满分10分） 求矩阵1426M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值和特征向量．22．选修4－4：坐标系与参数方程（本小题满分10分） 已知(,)P x y 是椭圆2214xy +=上的点，求2M x y =+的取值范围．23．（本小题满分10分）口袋中有3个白球，4个红球，每次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，如果取到白球，就停止取球，记取球的次数为X ．（I ）若取到红球再放回，求X 不大于2的概率；（II ）若取出的红球不放回，求X 的概率分布与数学期望．24．（本小题满分10分）已知(2)p p ≥是给定的某个正整数，数列{}n a 满足：111,(1)()k k a k a p k p a +=+=-，其中1,2,3,,k p =- ．（I ）设4p =，求234,,a a a ； （II ）求123p a a a a ++++ ．数 学 参 考 答 案第一部分一、填空题：1. )1,0( 2．1 3. 42-4.785. 86. 327. ②④8. 0323=--y x9.1410. 4 11. 24 12.32213. 4k <- 14. 527二、解答题： 15.（Ⅰ）sin ()cos 22x f x x x ⎫=+-⎪⎪⎝⎭1cos sin 226x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 4分 6766πππ≤+≤x ∴当π=x 时m in 1()2f x =-； 7分（Ⅱ）∵2,62x k k Z πππ+=+∈时()f x 有最大值，B 是三角形内角∴3B π=10分∵3cos 5A = ∴4sin 5A = ∵正弦定理sin sin a b AB=∴8a =． 14分16.（Ⅰ）连1AC ，设1AC 与1A C 相交于点O ，连D O ，则O 为1AC 中点，∵D 为AB 的中点 ∴1//D O BC 4分（Ⅱ）∵等边A B C ∆，D 为AB 的中点 ∴C D A B ⊥∵1CD DA ⊥，1D A AB D = ∴C D ⊥平面11ABB A∵1B B ⊂平面11ABB A ∴1BB CD ⊥ ∵矩形11BCC B ∴1BB BC ⊥ 11分 ∵BC CD C = ∴1B B ⊥平面ABC∵底面A B C ∆是等边三角形 ∴三棱柱111ABC A B C -是正三棱柱． 14分 17.（Ⅰ）根据题意得100800315k k =∴=⨯+ 3分800()56,0835f x x x x ∴=++≤≤+ 7分 （Ⅱ）800()2(35)580535f x x x =++-≥-+ 11分 当且仅当8002(35)35x x =++即5x =时m in ()75f x =． 14分答：宿舍应建在离厂5km 处可使总费用()f x 最小为75万元． 15分 18.（Ⅰ）①依题意：(2,2)A ，(4,1)M ，(0,2)E -(2,1),(2,4)AM AE ∴=-=--0A M A E A M A E ∴∙=∴⊥3分 AE 为Rt ABE ∆外接圆直径∴直线A M 与ABE ∆的外接圆相切； 5分②由⎧⎪⎨⎪⎩22224411611a b ab+=+=解得椭圆标准方程为221205xy+=． 10分（Ⅱ）设正方形A B C D 的边长为2s ，正方形M NPQ 的边长为2t ，则(,)A s s ，(2,)M s t t +，代入椭圆方程22221x y ab+=得⎧⎪⎨⎪⎩222222221(2)1s s abs t t ab+=++=⇒⎧⎪⎨⎪⎩22221(3)14(3)s t a s s t t bs s t -=+=+222514b t se at-∴=-=14分 (2)2t st s k s t st--==+- 222e k ∴-=为定值． 15分19.（Ⅰ）'()ln 1f x x =+ '()0f x ∴<得ln 1x <- 2分 10x e ∴<<∴函数()f x 的单调递减区间是1(0,)e； 4分（Ⅱ） 2()6f x x ax ≥-+-即6ln a x x x≤++设6()ln g x x x x=++则2226(3)(2)'()x x x x g x xx+-+-== 7分当(0,2)x ∈时'()0g x <，函数()g x 单调递减； 当(2,)x ∈+∞时'()0g x >，函数()g x 单调递增；∴()g x 最小值(2)5ln 2g =+∴实数a 的取值范围是(,5ln 2]-∞+； 10分 （Ⅲ）设切点00(,)T x y 则0'()AT k f x =∴00002ln ln 11x x x x e=++即200ln 10e x x ++=设2()ln 1h x e x x =++，当0x >时'()0h x >∴()h x 是单调递增函数 13分 ∴()0h x =最多只有一个根，又2222111()ln10h e eee=⨯++=∴021x e=由0'()1f x =-得切线方程是210x y e++=. 16分20.（Ⅰ）∵21n n n b b b ++=--∴32113b b b b =--=-=3∴1b =-1； 3分 （Ⅱ）∵21n n n b b b ++=--①∴321n n n b b b +++=--②，②-①得3n n b b += 5分 ∴（1231n n n b b b n +++++）-（12n n n b b b n +++）=123()1n n n n b b b b +++-+=1为常数 ∴数列{12n n n b b b n +++}是等差数列． 7分 （Ⅲ）∵11n n n T T b ++=⋅=11n n n T b b -+=211n n n n T b b b --+=……=1231n b b b b + 当2n ≥时123n n T b b b b = （*），当1n =时11T b =适合（*）式∴123n n T b b b b = （*n N ∈）． 9分∵112b =-，2121b b ==-，31332b b =-=，3n n b b +=，∴1112T b ==-，21212T T b ==，32334T T b ==，43431134T T b T b T ===，54523452123234T T b T b b bT b b b T ====，65634563123334T T b T b b b T b b b T ====， ……3132333231331313313233n n n n n nn n n n nn nn nT T T T b bb T b bb T b b b +++--+-+++++++=++ =32123311233123n n n T b b b T b b b T b b b --++=323133()4n n n T T T --++，*首项12334T T T ++=且公比34q =11分记123n n S T T T T =++++①当*3()n k k N =∈时1234563231()()()n k kkS T T T T T T T T T --=++++++++ =33[1()]44314k--=33[1()]4k- ∴334n S ≤<； 13分②当*31()n k k N =-∈时 1234563231()()()n k kkS T T T T T T T T T --=++++++++ -3k T=33[1()]4k--123()k b b b =334()4k-⋅∴03n S ≤<； 14分 ③当*32()n k k N =-∈时1234563231()()()n k kkS T T T T T T T T --=++++++++ -31k T --3k T=33[1()]4k--112312()k b b b b b --123()kb b b =33[1()]4k--113()24k --3()4k =1433()34k -⋅ ∴132n S -≤< 15分 综上得132n S -≤<则12p ≤-且3q ≥∴q p -的最小值为72． 16分第二部分（加试部分）21．2()(1)(6)8514(7)(2)f λλλλλλλ=+--=--=-+由()0f λ=可得：17λ=，22λ=-． 4分由⎧⎨⎩(71)402(76)0x y x y +-=-+-=可得属于17λ=的一个特征向量为12⎡⎤⎢⎥⎣⎦7分由⎧⎨⎩(21)402(26)0x y x y -+-=-+--=可得属于12λ=-的一个特征向量为41⎡⎤⎢⎥-⎣⎦． 10分 22．∵2212xy +=的参数方程⎧⎨⎩2cos sin x x θθ==（θ是参数）∴设P (2cos ,sin )θθ 4分∴22cos 2sin M x y θθ=+=+)4πθ=+ 7分∴2M x y =+的取值范围是[-． 10分 23．（Ⅰ）∵3(1)7P X ==，23412(2)749P X ⨯===∴33(1)(2)49P P X P X ==+==； 4分（Ⅱ）∵X 可能取值为1，2，3，4，5，∴13173(1)7A P X A===，1143272(2)7A A P X A===，2143376(3)35A A P X A ===，3143473(4)35A A P X A ===，4143571(4)35A A P X A ===7分 ∴32631()12345277353535E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=答：X 的数学期望是2． 10分24．（Ⅰ）由1(1)()k k k a p k p a ++=-得11k ka k p p a k +-=⨯+，1231k p =- ，，，，即2141462a a -=-⨯=-，2166a a =-=-；32428433a a -=-⨯=-，316a =4343414a a -=-⨯=-，416a =-； 3分（Ⅱ）由1(1)()k k k a p k p a ++=-得：11k ka k p p a k +-=⨯+，1231k p =- ，，，，即2112a p p a -=-⨯，3223a p p a -=-⨯，…，1(1)kk a p k p a k---=-⨯，以上各式相乘得11(1)(2)(3)(1)()!k k a p p p p k p a k -----+=-⨯5分∴1(1)(2)(3)(1)()!k k p p p p k a p k -----+=-⨯11(1)!()!()!()!!()!k k p p p p k p k pk p k ----=-⨯=⨯--221()()k k k kp p p C C p p-=--⨯=--，123k p = ，，，， 7分∴123p a a a a ++++ 11223321[()()()()]p pp p p p C p C pC p C p p=--+-+-++- 21[(1)1]pp p=--- 10分。
2011年湖北省高考数学试卷(理科)答案及解析
2011年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分,满分50分)1．(5分)（2011•湖北）i为虚数单位,则（）2011=()A．﹣i B．﹣1 C．i D．12．(5分）（2011•湖北)已知U={y｜y=log2x,x＞1}，P=｛y｜y=,x＞2｝，则C u P=(）A．［，+∞）B．(0，）C．（0，+∞）D．(﹣∞，0）∪（,+∞)3．（5分)（2011•湖北）已知函数f（x）=sinx﹣cosx，x∈R,若f（x）≥1，则x的取值范围为(）A．{x|kπ+≤x≤kπ+π,k∈Z} B．{x|2kπ+≤x≤2kπ+π，k∈Z}C．{x|kπ+≤x≤kπ+，k∈Z｝D．｛x｜2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z}4．（5分）（2011•湖北）将两个顶点在抛物线y2=2px(p＞0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则（）A．n=0 B．n=1 C．n=2 D．n≥35．（5分)(2011•湖北）已知随机变量ξ服从正态分布N(2，a2）,且P（ξ＜4)=0.8，则P（0＜ξ＜2)=(）A．0。
6 B．0.4 C．0.3 D．0。
26．（5分）（2011•湖北)已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x)+g（x）=a x﹣a﹣x+2（a＞0，且a≠0)．若g(a)=a,则f（a）=（）A．2B．C．D．a27．（5分）（2011•湖北)如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作,已知K、A1、A2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为(）A．0。
960 B．0.864 C．0.720 D．0。
5768．（5分）（2011•湖北)已知向量∵=（x+z,3），=（2，y﹣z），且⊥，若x，y满足不等式｜x｜+|y｜≤1,则z的取值范围为（）A．［﹣2,2]B．［﹣2，3]C．[﹣3，2]D．[﹣3，3］9．（5分）（2011•湖北）若实数a，b满足a≥0，b≥0,且ab=0,则称a与b互补，记φ(a，b)=﹣a﹣b那么φ(a，b）=0是a与b互补的(）A．必要不充分条件B．充分不必要的条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．（5分）（2011•湖北）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：M(t)=M0，其中M0为t=0时铯137的含量．已知t=30时，铯137含量的变化率是﹣10In2（太贝克/年），则M（60）=（）A．5太贝克B．75In2太贝克C．150In2太贝克D．150太贝克二、填空题（共5小题，每小题5分,满分25分)11．(5分）（2011•湖北）（x﹣）18的展开式中含x15的项的系数为_________．(结果用数值表示)12．（5分)（2011•湖北）在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶,则至少取到一瓶已过保质期的概率为_________．（结果用最简分数表示)13．（5分）（2011•湖北）《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为_________升．14．（5分）（2011•湖北）如图，直角坐标系xOy所在平面为α，直角坐标系x′Oy′(其中y′与y轴重合)所在的平面为β，∠xOx′=45°．（Ⅰ）已知平面β内有一点P′（2，2），则点P′在平面α内的射影P的坐标为_________；(Ⅱ）已知平面β内的曲线C′的方程是（x′﹣）2+2y2﹣2=0,则曲线C′在平面α内的射影C的方程是_________．15．（5分)（2011•湖北）给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相连的着色方案如图所示:由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有_________种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有_________种,（结果用数值表示）三、解答题（共6小题，满分75分）16．（10分）（2011•湖北）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2,cosC=(I）求△ABC的周长；（II）求cos（A﹣C）的值．17．（12分）（2011•湖北）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(I）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式;（Ⅱ)当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f（x）=x•v（x）可以达到最大,并求出最大值．（精确到1辆/小时）．18．（12分)（2011•湖北）如图，已知正三棱柱ABC=A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合．（Ⅰ)当CF=1时,求证：EF⊥A1C；（Ⅱ）设二面角C﹣AF﹣E的大小为θ，求tanθ的最小值．19．（13分）（2011•湖北）已知数列｛a n｝的前n项和为S n，且满足：a1=a（a≠0)，a n+1=rS n（n∈N＊，r∈R，r≠﹣1）．(Ⅰ)求数列｛a n}的通项公式；（Ⅱ）若存在k∈N＊，使得S k+1，S k，S k+2成等差数列，试判断：对于任意的m∈N*，且m≥2,a m+1，a m,a m+2是否成等差数列，并证明你的结论．20．（14分）（2011•湖北)平面内与两定点A1（﹣a，0）,A2（a，0)（a＞0)连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹,加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线．（Ⅰ)求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系;（Ⅱ）当m=﹣1时,对应的曲线为C1；对给定的m∈（﹣1，0）∪（0，+∞），对应的曲线为C2，设F1、F2是C2的两个焦点．试问：在C1上，是否存在点N，使得△F1NF2的面积S=|m|a2．若存在，求tanF1NF2的值；若不存在，请说明理由．21．（14分）（2011•湖北)(Ⅰ）已知函数f（x）=lnx﹣x+1,x∈（0,+∞），求函数f（x）的最大值;（Ⅱ）设a1,b1（k=1，2…，n)均为正数,证明：（1）若a1b1+a2b2+...a n b n≤b1+b2+...b n，则 (1)（2）若b1+b2+…b n=1，则≤…≤b12+b22+…+b n2．2011年湖北省高考数学试卷(理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分)1．（5分)考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：由复数的运算公式，我们易得=i，再根据i n的周期性，我们易得到（）2011的结果．解答:解:∵=i∴（）2011=i2011=i3=﹣i故选A点评:本题考查的知识点是复数代数形式的混合运算，其中根据复数单调幂的周期性，将i2011转化为i3是解答本题的关键．2．（5分）考点：对数函数的单调性与特殊点；补集及其运算．专题：计算题．分析:先求出集合U中的函数的值域和P中的函数的值域，然后由全集U，根据补集的定义可知，在全集U中不属于集合P的元素构成的集合为集合A的补集,求出集合P的补集即可．解答：解：由集合U中的函数y=log2x，x＞1,解得y＞0,所以全集U=（0，+∞），同样：P=（0，），得到C U P=[,+∞）．故选A．点评:此题属于以函数的值域为平台，考查了补集的运算，是一道基础题．3．（5分)考点：正弦函数的单调性．专题：计算题．分析:利用两角差的正弦函数化简函数f（x）=sinx﹣cosx，为一个角的一个三角函数的形式，根据f(x）≥1,求出x的范围即可．解答：解:函数f(x）=sinx﹣cosx=2sin(x﹣），因为f（x)≥1，所以2sin(x﹣)≥1，所以，所以f（x）≥1,则x的取值范围为：{x|2kπ+≤x≤2kπ+π，k∈Z}故选B点评：本题是基础题考查三角函数的化简，三角函数不等式的解法,考查计算能力,常考题型．4．(5分）考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：根据题意和抛物线以及正三角形的对称性，可推断出两个边的斜率，进而表示出这两条直线，每条直线与抛物线均有两个交点,焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形．进而可知这样的三角形有2个．解答:解：y2=2px(P＞0）的焦点F（,0)等边三角形的一个顶点位于抛物线y2=2px（P＞0）的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则等边三角形关于x轴轴对称两个边的斜率k=±tan30°=±，其方程为:y=±（x﹣)，每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形．故n=2，故选C点评:本题主要考查了抛物线的简单性质．主要是利用抛物线和正三角形的对称性．5．（5分）考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题: 计算题．分析：根据随机变量X服从正态分布N（2，σ2），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=2，根据正态曲线的特点，得到P（0＜ξ＜2）=P（0＜ξ＜4），得到结果．解答:解：∵随机变量X服从正态分布N（2,σ2），μ=2,得对称轴是x=2．P（ξ＜4）=0.8∴P（ξ≥4）=P（ξ＜0)=0.2,∴P（0＜ξ＜4）=0.6∴P(0＜ξ＜2）=0.3．故选C．点评：本题考查正态曲线的形状认识,从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ,并在x=μ时取最大值从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸,不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的．6．(5分）考点：函数奇偶性的性质．分析:由已知中定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f(x）+g(x)=a x﹣a﹣x+2（a＞0，且a≠0），我们根据函数奇偶性的性质，得到关于f（x），g(x）的另一个方程f（x）+g（x)=a﹣x﹣a x+2,并由此求出f（x），g （x）的解析式，再根据g（a）=a求出a值后，即可得到f（a）的值．解答：解：∵f(x）是定义在R上的奇函数，g（x）是定义在R上的偶函数由f（x)+g（x)=a x﹣a﹣x+2 ①得f（﹣x）+g（﹣x）=a﹣x﹣a x+2=﹣f（x）+g（x）②①②联立解得f(x)=a x﹣a﹣x，g(x）=2由已知g（a)=a∴a=2∴f（a）=f(2）=22﹣2﹣2=故选B点评：本题考查的知识点是函数解析式的求法﹣﹣方程组法，函数奇偶性的性质,其中利用奇偶性的性质，求出f(x），g(x）的解析式，再根据g（a)=a求出a值，是解答本题的关键．7．（5分）考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题: 计算题．分析:首先记K、A1、A2正常工作分别为事件A、B、C,易得当K正常工作与A1、A2至少有一个正常工作为相互独立事件，而“A1、A2至少有一个正常工作”与“A1、A2都不正常工作”为对立事件，易得A1、A2至少有一个正常工作的概率；由相互独立事件的概率公式，计算可得答案．解答：解：根据题意，记K、A1、A2正常工作分别为事件A、B、C；则P（A）=0。
2008年高考数学试卷(江西.理)含详解
准考证号 姓名（在此卷上答题无效）绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷l 至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分．第Ⅰ卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P (A ＋B)＝P (A)＋P (B) S ＝4πR 2如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径P (A·B)＝P (A)·P (B) 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 V ＝34πR 3n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径P n (k )＝C kn P k (1一P )kn -一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数sin 2cos2z i =+对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．定义集合运算：{}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈．设{}{}1,2,0,2A B ==，则集合A B *的所有元素之和为A ．0B ．2C ．3D ．63．若函数()y f x =的值域是1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则函数()()1()F x f x f x =+的值域是A ．[21，3] B ．[2，310] C ．[25，310] D ．[3，310] 4．123lim1--+→x x x ＝A ．21 B ．0 C ．－21D ．不存在 5．在数列{}n a 中，1112,ln 1n n a a a n +⎛⎫==++⎪⎝⎭，则n a ＝ A ．2ln n + B ．()21ln n n +- C ．2ln n n + D ．1ln n n ++ 6．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间(2π，23π)内的图象大致是A B C D7．已知12F F 、是椭圆的两个焦点．满足1MF ·2MF ＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是A ．(0，1)B ．(0，21] C ．(0，22) D ．[22，1)8．(1＋3x )6(1＋41x)10展开式中的常数项为A ．1B ．46C ．4245D ．42469．若12120,0a a b b <<<<，且12121a a b b +=+=，则下列代数式中值最大的是A ．1122a b a b +B ．1212a a b b +C ．1221a b a b +D ．2110．连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于27、43，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题： ①弦AB 、CD 可能相交于点M ②弦AB 、CD 可能相交于点N ③MN 的最大值为5 ④MN 的最小值为l 其中真命题的个数为A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．电子钟一天显示的时间是从00∶00到23∶59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为 A ．1801 B ．2881 C ．3601 D ．480112．已知函数()()()22241,f x mx m x g x mx =--+=，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是A ．(0，2)B ．(0，8)C ．(2，8)D ．(－∞，0)绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上．13．直角坐标平面内三点()()()1,23,29,7A B C -、、，若E F 、为线段BC 的三等分点，则AE ·AF ＝ ．14．不等式132+-xx ≤21的解集为 ． 15．过抛物线()220x py p =>的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点(点A 在y 轴左侧)，则FBAF＝ ． 16．如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P ．如果将容器倒置，水面也恰好过点P (图2)．有下列四个命题：A ．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B ．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点PC ．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好 经过点PD ．若往容器内再注入a 升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是 ．(写出所有真命题的代号) ．三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在△ABC 中．a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边长，a ＝23，tan 2B A +＋tan 2C ＝4，sin B sin C ＝cos 22A．求A 、B 及b 、c ．18．（本小题满分12分）因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树的方案，每种方案都需分两年实施．若实施方案一，预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5．若实施方案二，预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6．实施每种方案第一年与第二年相互独立，令()1,2i i ξ=表示方案i 实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数． （1）写出ξ1、ξ2的分布列；（2）实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大?（3）不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为10万元、15万元、20万元．问实施哪种方案的平均利润更大? 19．（本小题满分12分）等差数列{}n a 各项均为正整数，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 中，11b =，且2264b S =，{}n b 是公比为64的等比数列．（1）求n a 与n b ； （2）证明：11S ＋21S ＋……＋n S 1＜43．20．（本小题满分12分）正三棱锥O ABC -的三条侧棱OA OB OC 、、两两垂直，且长度均为2．E F 、分别是AB AC 、的中点，H 是EF 的中点，过EF 的一个平面与侧棱OA OB OC 、、或其延长线分别相交于111A B C 、、，已知132OA =． （1）证明：11B C ⊥平面OAH ； （2）求二面角111O A B C --的大小．21．（本小题满分12分）设点()00,P x y 在直线(),01x m y m m =≠±<<上，过点P 作双曲线221x y -=的两条切线PA PB 、，切点为A B 、，定点M (m1，0)． （1）过点A 作直线0x y -=的垂线，垂足为N ，试求△AMN 的重心G 所在的曲线方程；（2）求证：A M B 、、三点共线． 22．（本小题满分14分） 已知函数()f x ＝x+11＋a+11＋8+ax ax，x ∈(0，＋∞)．（1）当8a =时，求()f x 的单调区间； （2）对任意正数a ，证明：()12f x <<．2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学参考答案一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
2008年高考数学(理科)试卷及答案(江西卷)
2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数z =sin 2＋i cos 2对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．定义集合运算：A *B ＝{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }．设A ＝{1，2}，B ＝{0，2}，则集合A *B 的所有元素之和为A ．0B ．2C ．3D ．6 3．若函数y ＝f (x )的值域是[21，3]，则函数F (x )＝f (x )＋)(1x f 的值域是A ．[21，3] B ．[2，310] C ．[25，310] D ．[3，310] 4．123lim1--+→x x x ＝A ．21 B ．0 C ．－21D ．不存在 5．在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n+=++，则n a =A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++ 6．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间3(,)22ππ内的图象是7．已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是A ．(0,1)B ．1(0,]2 C． D． 8．(1＋3x )6(1＋41x)10展开式中的常数项为ABCDA ．1B ．46C ．4245D ．42469．已知实数1a 、2a 和有理数1b 、2b ，若210a a <<，210b b <<，且12121=+=+b b a a ，则下列代数式中值最大的是 （ ）、A 2121b b a a + 、B 2211b a b a + 、C 1221b a b a + 、D 2110．连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于27、43，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB 、CD 可能相交于点M ；②弦AB 、CD 可能相交于点N ；③MN 的最大值为5；④MN 的最小值为l .其中真命题的个数为A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．电子钟一天显示的时间是从00∶00到23∶59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为 A ．1801 B ．2881 C ．3601 D ．4801 12．已知函数f (x )＝2mx 2－2(4－m )x ＋l ，g (x )＝mx ，若对于任一实数x ，f (x )与g (x )的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是A ．(0，2)B ．(0，8)C ．(2，8)D ．(－∞，0)二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上．13．直角坐标平面内三点A(1，2)、B(3，－2)、C(9，7)，若E 、F 为线段BC 的三等分点，则²＝ ． 14．不等式132+-x x ≤21的解集为 ． 15．过抛物线x 2=2py (p >0)的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点(点A 在y 轴左侧)，则FBAF＝ ． 16．如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P ．如果将容器倒置，水面也恰好过点P (图2)．有下列四个命题： A ．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B ．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点PC ．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好 经过点PD ．若往容器内再注入a 升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是 ．(写出所有真命题的代号) ．三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在△ABC 中．a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边长，a ＝23，tan2B A +＋tan 2C ＝4，sin B sin C ＝cos 22A．求A 、B 及b 、c ． 18．（本小题满分12分）因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树的方案，每种方案都需分两年实施．若实施方案一，预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5．若实施方案二，预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6．实施每种方案第一年与第二年相互独立，令ξi (i ＝1，2)表示方案i 实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数． （1）写出ξ1、ξ2的分布列；（2）实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大?（3）不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为10万元、15万元、20万元．问实施哪种方案的平均利润更大?19．（本小题满分12分）数列{}n a 为等差数列，n a 为正整数，其前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且113,1a b ==，数列{}n a b 是公比为64的等比数列，2264b S =.（1）求,n n a b ；（2）求证1211134n S S S +++< . 20．（本小题满分12分）正三棱锥O －ABC 的三条侧棱OA 、OB 、OC 两两垂直，且长度均为2．E 、F 分别是AB 、AC 的中点，H 是EF 的中点，过EF 的一个平面与侧棱OA 、OB 、OC 或其延长线分别相交于A 1、B 1、C 1，已知OA 1＝23． （1）证明：B 1C 1⊥平面OAH ；（2）求二面角O －A 1B 1－C 1的大小．21．（本小题满分12分）设点P (x 0，y 0) 在直线x ＝m ( y ≠±m ，0＜m ＜1)上，过点P 作双曲线搿x 2－y 2＝1的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，定点M(m1，0)． （1）过点A 作直线x －y ＝0的垂线，垂足为N ，试求△AMN 的重心G 所在的曲线方程；（2）求证：A 、M 、B 三点共线．1C 1A22．（本小题满分14分） 已知函数f (x )＝x+11＋a+11＋8+ax ax，x ∈(0，＋∞)．（1）当a ＝8时，求f (x )的单调区间； （2）对任意正数a ，证明：l ＜f (x )＜2．2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学参考答案1．D .因sin 20,cos 20><所以sin 2cos2z i =+对应的点在第四象限， 2．D .因*{0,2,4}A B =3．B .令()t f x =，则1[,3]2t ∈，110()[2,]3F x t t =+∈ 4．A.11x x →→=1 =1=2x →5. A . 211ln(1)1a a =++，321ln(1)2a a =++，…，11ln(1)1n n a a n -=++- 1234ln()()()()2ln 1231n na a n n ⇒=+=+-6．D. 函数2tan ,tan sin tan sin tan sin 2sin ,tan sin x x x y x x x x x x x <⎧=+--=⎨≥⎩当时当时7．C .由题知,垂足的轨迹为以焦距为直径的圆,则2222212c b c b a c e <⇒<=-⇒<又(0,1)e ∈,所以1(0,)2e ∈8．D . 常数项为346861061014246C C C C ++=9. A. 22121212121()()222a ab b a a b b +++≤+=112212************()()()()()0a b a b a b a b a a b a a b a a b b +-+=-+-=--≥ 11221221()a b a b a b a b +≥+12121122112112221()()2()a a b b a b a b a b a b a b a b =++=+++≤+112212a b a b +≥10．C . 解：①③④正确，②错误。
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2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
一、选择题：本次题共10小题，每小题5分，共50分。
1. 设()()()1,2,3,4,3,2a b c =-=-=，则()2a b c +=
A.(-15,12)
B.0
C.-3
D.-11
2. 若非空集合A ,B ,C 满足A ∪B=C ，且B 不是A 的子集，则
A.“x ∈C ”是“x ∈A ”的充分条件但不是必要条件
B. “x ∈C ”是“x ∈A ”的必要条件但不是充分条件
C. “x ∈C ”是“x ∈A ”的充分条件
D. “x ∈C ”是“x ∈A ”的充分条件也不是“x ∈A ”必要条件
3. 用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的休积为 A.38π B. 32
8π
C.π28
D. 332π
4. 函数f (x )=)4323(1122
+--++-x x x x n x 的定义域为
A.(- ∞,-4)［∪2,+ ∞］
B.(-4,0) ∪(0,1)
C. ［-4,0］∪（0，1）］
D. ［－4，0∪（0，1）
5.将函数()3sin y x θ=-的图象F 按向量（3π
，3）平移得到图象F ′,若F ′的一条对称轴
是直线x=4π
,则θ的一个可能取值是
A.π125
B. π125-
C. π1211
D. π1211
6.将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为
A.540
B.300
C.180
D.150
7.若f(x)=21
ln(2)2x b x -++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范
围是
A.[-1，+∞]
B.（-1，+∞）
C.（-∞，-1）
D.（-∞，-1）
8.已知m ∈N*,a,b ∈R ，若0(1)lim m x x a
b x →++=,则a ·b =
A ．-m
B ．m
C ．-1
D ．1
9.过点A （11，2）作圆22241640x y x y ++--=的弦，其中弦长为
整数的共有
A.16条
B.17条
C.32条
D.34条
10.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c 1和2c 2分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ
和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：
①1122a c a c +=+;②1122a c a c -=-;③1212c a a c >;④1212
c c a a <. 其中正确式子的序号是
A.①③
B.②③
C.①④
D.②④
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡相应位置上.
11.设z 1是复数，211z z iz =-(其中1z 表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是-1，则z 2的虚部为 .
12．在△ABC 中，三个角A ，B ，C 的对边边长分别为a=3,b=4,c=6,则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 .
13.已知函数()()22
2,962f x x x a f bx x x =++=-+,其中x ∈R ，a ,b 为常数，则方程f (ax+b )=0的解集为 .
14.已知函数f(x)=2x ,等差数列{a x }的公差为2.若()2468104f a a a a a ++++=,则 ()()()()212310log ...f a f a f a f a ⋅⋅⋅⋅⎡⎤⎣⎦= .
15.观察下列等式：
21
2221
32221
11,22111,326111,424
n i n i n i i n n i n n n i n n n ====
+=++=++∑∑∑ 444311111,52330n
i i n n n n ==++-∑ 24,(1)(321),3
n n n n a n b a n +-=--+ ……………………………………
212112101,n k k k k k k k k k i i
a n a n a n a n a n a +--+--==++++⋅⋅⋅++∑
可以推测，当x ≥2（k ∈N*）时，1111,,12
k k k a a a k +-===+ a k -2= .
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分12分）
已知函数f (t )=117,()cos (sin )sin (cos ),(,).112
t g x x f x x f x x t ππ-=+∈+ （Ⅰ）将函数()g x 化简成()[)()sin 0,0,0,2A x B A ωϕωϕπ++>>∈的形式； （Ⅱ）求函数()g x 的值域.
17.（本小题满分12分）
袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个（n =1,2,3,4）.现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号.
（Ⅰ）求ξ的分布列，期望和方差；
（Ⅱ）若,1,11a b E D ηξηη=+==,试求a,b 的值.
18.（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，平面111A BC A ABB ⊥侧面.
（Ⅰ）求证：AB BC ⊥；
（Ⅱ）若直线AC 与平面1A BC 所成的角为θ,二面角
1A BC A --的大小为ϕ，试判断θϕ与的大小关系，并予以证明.
19.（本小题满分13分）
如图，在以点O 为圆心，|AB|=4为直径的半圆ADB 中，OD ⊥AB ，P 是半圆弧上一点， ∠POB=30°，曲线C 是满足MA MB -为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P. （Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程；
（Ⅱ）设过点D 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点E 、F.
若△OEF 的面积不小于．．．2．2，求直线l 斜率的取值范围.
20.(本小题满分12分)
水库的蓄水量随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，
年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t 的近似函数关系式为
V （t ）=12(1440)50,010,4(10)(341)50,1012.
x t t e t t t t ⎧⎪-+-+<≤⎨⎪--+<≤⎩
（Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以1i t i -<<表示第i 月份（i=1,2,…,12）,问一年内哪几个月份是枯水期？
（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取e=2.7计算）.
21.(本小题满分14分) 已知数列{}n a 和{}n b 满足：()()112,4,13213n n n n n a a a n b a n λ+==+-=--+，其中λ为实数，n 为正整数.
（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{}n a 不是等比数列； （Ⅱ）试判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论； （Ⅲ）设0＜a ＜b ,n S 为数列{}n b 的前n 项和.是否存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有 n a S b <<?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由.。