2013年清华大学夏令营试题

⑴ 证明： a 2
二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
9、
设集合 A 1 , 2 ，则满足 A B 1 , 2 , 3 的集合 B 的个数是______．
10、 一个三棱锥 S ABC 的三条侧棱 SA 、 SB 、 SC 两两互相垂直，且长度均为 1 ，已知该三棱锥的四个顶点都在 同一个球面上，则这个球的表面积为______．
）
8、
已知点 P x , y 是直线 kx y 4 0（ k 0 ）上一动点，PA ，PB 是圆 C ： x 2 y 2 2 y 0 的两条切线，A , B 是切点，若四边形 PACB 的最小面积是 2 ，则 k 的值为（ A． 3 B．
21 2
）
C． 2 2
D． 2
x ； x x 1
2
x2 ； x2 x 1 x ⑤ f ( x) ； 1 x 1 x
⑥ f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，且满足对于一切实数 x1 ，x2 ，均有 f x1 f x2 ≤ 2 x1 x2 成立． ． 其中属于 函数的有________（填序号） 三、解答题（共 4 小题；每小题 10 分，共 40 分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 13、 △ ABC 中，角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c ， tan A ⑴ 求 tan C 的值； ⑵ 若 △ ABC 最长的边的长为 1 ，求最短的边的长． 14、 如图，已知四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是菱形， PA 平面 ABCD ，点 F 为 PC 的中点． ⑴ 求证： PA ∥ 平面 BDF ； ⑵ 求证：平面 PAF 平面 BDF ； ⑶ 设 BD 3 PA 3 AC 3 ，求三棱锥 P ADF 的体积．
2013 年清华大学夏令营数学试题
一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1、 对于不同的直线 m , n 和不同的平面 , ，给出下列命题，其中正确的是（ A．
m n ∥ nm
）
B．
m n∥m n 百度文库
m C． n m 与 n 异面 ∥
D． n m
nm
2、
函数 f x 3 sin x cos x cos 2 x 的单调增区间为（
π π A． kπ ，kπ ，k Z 3 6 5π π C． kπ ，kπ ，k Z 12 12
3 4
）
B．
1 4
C．
2 3
D．
1 3
若存在钝角 ，使得 sin 3 cos log 2 x 2 x 2 成立，则实数 x 的取值范围是（ A． 0 , 1 B． 1 , 2 C． 1 , 0 1 , 2 D． 1 , 0 1 , 2
的取值范围． 16、 设直线 l ： y k x 1 与椭圆 x 2 3 y 2 a 2 (a 0) 相交于 A 、 B 两个不同的点，与 x 轴相交于点 C ，记 O 为坐 标原点．
3k 2 ； 1 3k 2 ⑵ 若 AC 2CB ，求 △OAB 的面积取得最大值时的椭圆方程．
）
4、
）
5、
如图， F1 和 F2 分别是双曲线
x2 y2 b 0 ）的两个焦点， A 和 B 是以 O 为圆心，以 OF1 为半径 1 （ a 0， a 2 b2
的圆与该双曲线左支的两个交点，且 △F2 AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为（
y A
）
F1 B
O
F2 x
A． 3 6、
x 4 y 3 ≤ 0 11、 已知点 P x ，y 满足 3x 5 y ≤ 25 ，设 A 2 ，0 ，则 OP OA （ O 为坐标原点）的最大值为______． x 1≥ 0
存在与 x 无关的正的常数 M ， 使 f ( x ) ≤ M x 对一切实数 x 均成立， 则称 f ( x ) 12、 若定义域为 R 的函数 f ( x ) 满足： 为 函数．给出下列函数： ① f ( x) e x ； ② f ( x) sin x ； ③ f ( x) ④ f ( x)
）
π 1 π 1 B． kπ ， kπ ，k Z 3 2 6 2 5π π D． 2kπ ，kπ ，k Z 12 12
3、
已知数列 an 的各项均为正数，若对于任意的正整数 p , q 总有 a p q a p aq ，且 a8 16 ，则 a10 （ B． 32 C． 48 D． 64 若向量 a 1 ， b 2 ， c a b ，且 c a ，则向量 2a b 与 b 的夹角为（ A． 30 B． 60 C． 120 D． 150 A． 16
P
3 10 1 ， cos B ． 2 10
F A B C D
15、 已知函数 f ( x ) x ln x ． ⑴ 求函数 f ( x ) 在 1 , 3 上的最小值；
1 ⑵ 若存在 x , e e （ e 为自然对数的底数，且 e 2.71828 ）使不等式 2 f ( x ) ≥ x 2 ax 3 成立，求实数 a
B． 5
C．
5 2
D． 1 3
x2 0 ．设 a , b 为有序实数对，其中 a 是从集合 A 中任取的一个整 已知集合 A x | 3 x 1 ， B x x3
数， b 是从集合 B 中任取的一个整数，则“ b a A B ”的概率为（ A． 7、