2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案解析

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案解析

一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分）

（1）若函数

⎪⎩

⎪

⎨⎧≤>-=0,,0,cos 1)(x b x ax

x

x f 在0=x 处连续，则（ ） )(A 21=

ab 。 )(B 2

1-=ab 。 )(C 0=ab 。 D (2=ab 。

【答案】)(A

【解】

a

ax x f x 21

cos 1lim

)00(0=-=++→，b f f =-=)00()0(，

因为

)(x f 在0=x 处连续，所以)00()0()00(-==+f f f ，从而2

1

=

ab ，应选)(A 。 （2）二原函数)3(y x xy z

--=的极值点为（ ）

)(A )0,0(。 )(B )3,0(。 )(C )0,3(。 )(D )1,1(。

【答案】)(D

【解】由⎪⎩⎪⎨⎧=--='=--='023,

0232

2

x xy x z y xy y z y

x 得⎩⎨⎧==0,0y x ⎩⎨⎧==1,1y x ⎩⎨⎧==3,0y x ⎩

⎨

⎧==0,

3y x y z xx 2-=''，y x z xy 223--=''，x z yy 2-=''，

当)0,0(),(=y x 时，092<-=-B AC ，则)0,0(不是极值点；

当)1,1()

,(=y x 时，032>=-B AC 且02<-=A ，则)1,1(为极大点，应选)(D 。

（3）设函数

)(x f 可导，且0)()(>'⋅x f x f ，则（ ）

)(A )1()1(->f f 。 )(B )1()1(-f f 。 )(D |)1(||)1(|-

【答案】)(C 【解】若0)(>x f ，则0)(>'x f ，从而0)1()1(>->f f ；

若

0)(f f ，应选)(C 。

（4）若级数

∑∞

=--2

)]1

1ln(1[sin n n k n 收敛，则=k （ ）

)(A 1。 )(B 2。 )(C 1-。 )(D 2-。

【答案】)(C 【解】)1(6111sin

33n

o n n n +-=， 由)(2)1ln(22x o x x x +-=+得)1

(211)11ln(22n

o n n n +--=-， 于是)1

(21)1()11ln(1sin

22n

o n k n k n k n +++=--， 由

∑∞

=--2

)]1

1ln(1[sin

n n

k n 收敛得1-=k ，应选)(C 。 （5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（ ）

)(A T E αα-不可逆。 )(B T E αα+不可逆。 )(C T E αα2+不可逆。 )(D T E αα2-不可逆。

【答案】)(A

【解】令T A αα=，A A =2，

令

X AX λ=，由0)()(22=-=-X X A A λλ得02=-λλ，0=λ或1=λ，

因为n T A tr λλαα++===Λ11)

(得A 的特征值为1,011====-n n λλλΛ，

T E αα-的特征值为0,111====-n n λλλΛ，从而0||=-T E αα，

即T E

αα-不可逆，应选)(A 。

（6）已知矩阵⎪⎪⎪

⎭⎫

⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200020001,100020012,100120002C B A ，则 （ ）

)(A A 与C 相似，B 与C 相似。 )(B A 与C 相似，B 与C 不相似。 )(C A 与C 不相似，B 与C 相似。)(D A 与C 不相似，B 与C 不相似。

【答案】)(B

【解】

C B A ,,的特征值为1,2321===λλλ，

由⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-=-1001000002A E 得1)2(=-A E r ，则A 可相似对角化，从而C A ~；

由⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛-=-100000

0102B E 得2)2(=-B E r ，则B 不可相似对角化，从而B 与C A ,不相似，应选)(B 。

（7）设

C B A ,,为三个随机事件，且A 与C 相互独立，B 与C 相互独立，则B A ⋃与C 相互独立的

充分必要条件是（ ）

)(A A 与B 相互独立。 )(B A 与B 互不相容。 )(C AB 与C 相互独立。 )(D AB 与C 互不相容。

【答案】)(C

【解】)()()()(])[(ABC P BC P AC P BC AC P C B A P -+=+=

+

)()()()()(ABC P C P B P C P A P -+=， )()]()()([)()(C P AB P B P A P C P B A P -+=+

)()()()()()(C P AB P C P B P B P A P -+=，

B A ⋃与

C 独立即)()(])[(C P B A P C B A P +=+的充分必要条件为

)()()()()()()()()()()(C P AB P C P B P B P A P ABC P C P B P C P A P -+=-+，

或)()()

(C P AB P ABC P =，即AB 与C 独立，应选)(C 。

（8）设n X X X ,,,21Λ（2≥n ）为来自总体)1,(μN 的简单随机样本，记∑==n

i i

X n X 1

1，则下列

结论正确的是（ ）

)(A ∑=-n

i i X 12

)(μ服从2

χ分布。

)(B 21)(2X X n -服从2χ分布。

)(C ∑=-n

i i X X 1

2

)(服从2

χ分布。

)(D 2)(μ-X n 服从2χ分布。