高中数学空间角的求法教案

CS 2AD 2； E 为 BS 的中点， CE 2, AS 3 ．求：
（1）点 A 到平面 BCS 的距离；（2）二面角 E CD A 的大小。
【解】（1） AD// BC ，且 BC 平面 BCS AD // 平面 BCS
则 A 点到平面 BCS 的距离等于点到平面 BCS 的距离
FH SF FG 21 ，即 F 到平面 SBC 的距离为 21
SG
7
7
由于 ED // BC ，所以 ED // 平面 SBC ，故 E 到平面 SBC 的距离 d 也为 21 7
设 AB 与平面 SBC 所成的角为 ，则 sin d 21 ，则 arcsin 21
EB 7
7
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3
3．（山东）如图所示，在三棱锥 P ABQ 中， PB 平面 ABQ， BA BP BQ , D,C, E, F 分别是
AQ, BQ ， AP, BP 的中点， AQ 2BD ， PD与 EQ 交于点 G ， PC 与 FQ 交于点 H ，连接 GH 。 （1）证明： AB ∥ GH ； （2）求二面角 D GH E 的余弦值。
PE 面 ABCD，则 PBE 是直线 PB 与平面 ABCD 所成角 CD PD 2, PC 2 3 PDC 120 PE 3, DE 1
在 RtBCE 中， BE BC2 CE2 10 PB BE2 PE2 13 在 RtBPE 中， sin PBE PE 39
B
平面 CSD 平面 ABCD，AD CD 故 AD 平面CSD ，从而 AD SD 由 AD // BC ，得 BC DS
A E
C
D
又由 CS DS 知 DS 平面 BCS S
从而 DS 为点 A 到平面 BCS 的距离
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RtADS 中 DS AS2 AD2 31 2
AQ 1，在 RtBAC 中， AB 1, AC 2 ，得 AN 6 3
sin AQN AN 6 AQ 3
即二面角 B B1C A 的正弦值为
6 3
从不直接找出平面角的角度出发，主要有两种方法：面积法（面积射影法），向量法。 （三）面积法（面积射影法）
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影
2 由于 E 为 BS 边中点，故 CF 1 CS 1
2
在 RtCFE 中， EF CE2 CF2 2 1 1
EF 平面 CSD ，又 EG CD
B1
【变式练习】如图， S 是正方形 ABCD 所在平面外一点，且 SD 面 ABCD ， AB 1， SB 3 。
求面 ASD 与面 BSC 所成二面角的大小。
S
【答案】 45
D
C
A
B
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四、真题演练
1．（山东）已知三棱柱
ABC
A1 B1C1
的侧棱与底面垂直，体积为
9 4
，底面是边长为
角，求二面角 B B1C A 的正弦值。
【解】由直三棱柱性质得平面 ABC 平面 BCC1B1 ，过 A 作 AN 平面 BCC1B1 ， B1
C1
垂足为 N ，则 AN 平面 BCC1B1 （ AN 即为我们要找的垂线） 在平面 BCB1 内过 N 作 NQ 棱 B1C ，垂足为 Q ，连 QA
P C
由已知可得， CD 平面 PAB
据三垂线定理可知， CE PA
A
B
则 CED 为 B AP C 的平面角
易知，若 AB 1，则 DE 3 ， CD 2 3
在 RtCDE 中， tan CED CD 2 3 2 DE 3
【变式练习】在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，BAC 90 ， AB BB1 1 ，直线 B1C 与平面 ABC 成 30
（2）如图，过 E 作 EG CD ，交 CD 于点 G ，又过 G 点作 GH CD 交 AB 于 H
故 EGH 为二面角 E CD A 的平面角，记为 ，过 E 作 EF // BC ，交 CS 于点 F ，连结 GF
平面 ABCD 平面 CSD ， GH CD 易知 GH GF ，故 EGF
【变式练习 2】如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， AD PD， BC 1， PC 2 3 ， PD CD 2 ，求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值。
【解】过点 P 作 PE CD 于点 E ，连接 BE AD PD, AD DC ，则平面 PDC 平面 ABCD
与 BC1 所成角的余弦值。 【答案】 1
25
A1
C1
B1
D A
C
B
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二、直线与平面所成角
直线与平面所成角的范围： 0 90
方法：射影转化法（关键是作垂线，找射影）
【例 2】如图，在三棱锥 P ABC 中，APB 90 ，PAB 60 ，AB BC CA，点 P 在平面 ABC
【解】由 AB 平面 SDE 知，平面 ABCD 平面 SDE
作 SF DE ，垂足为 F ，则 SF 平面 ABCD， SF SD SE 3 DE 2
作 FG BC ，垂足为 G ，则 FG DC 1 连结 SG ，则 SG BC ，又 BC FG ， SG FG G 故 BC 平面 SFG ，平面 SBC 平面 SFG 作 FH SG ， H 为垂足，则 FH 平面 SBC
（1）在平面 ABC 内，试作出过点 P 与平面 A1BC 平行的直线 l ，说明理由，并证明直线 l 平面 ADD1A1 ； （2）设（1）中的直线 l 交 AB 于点 M ，交 AC 于点 N ，求二面角 A A1M N 的余弦值．
C
D
AP
B
C1
D1
A1
B1
7．如图，在四棱锥 S ABCD 中， AD BC 且 AD CD ；平面 CSD 平面 ABCD ， CS DS ，
不妨设 PA 2 ，则 OD 1,OP 3, AB 4
CD 2 3, OC OD2 CD2 13 在 RtOCP 中， tan OCP OP 3 39
OC 13 13
【变式练习 1】如图，四棱锥 S ABCD 中， AB // CD ， BC CD ，侧面 SAB 为等边三角形。 AB BC 2 ， CD SD 1，求 AB 与平面 SBC 所成的角的大小。
面积公式（ cos S射 ）求出二面角的大小 。 S
求证： cos S射 S
C
A D
E
【例 5】 如图， E 为正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱 CC1 的中点，求平面 AB1E 和底面 A1B1C1D1 所成锐角
的余弦值。
【答案】所求二面角的余弦值为 2 3
D A
C
B E
D1 C1
A1
它也和这条斜线垂直。 逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面
内的射影。
从半平面 内的任一点 A 出发向另一个半平面 引一条直线 AH ，过 H 作棱 l 的垂线 HG ，垂足为
G ，连 AG ，则由三垂线定理可证 l AG ,故 AGH 就是二面角 l 的平面角。
空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求，历来为高考命题者垂青，几乎年年必考。空间角是异 面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称。
空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转 化为空间向量的坐标运算来解。
空间角的求法一般是：一找、二证、三计算。
一、异面直线所成角的求法
4．（陕西）如图，四棱柱 ABCD A1B1C1D1 的底面 ABCD是正方形， O 为底面中心， A1O 平面
ABCD, AB AA1 2 。 （1）证明： A1C 平面 BB1D1D ； （2）求平面 OCB1 与平面 BB1D1D 的夹角 的大小。
D 1 C 1
A 1 B 1
D C
O
3 的正三角形，若 P
为底面 A1B1C1的中心，则 PA与平面 ABC所成角的大小为（ ）
A. 5
B.
C.
D.
12
3
4
6
2．（大纲）已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，AA1 2AB ，则 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值等于（ ）
A. 2
B. 3
C. 2
D. 1
3
3
3
A1
Q
B
N
C
则 NQA 即为二面角的平面角。
A
AB1 在平面 ABC 内的射影为 AB ， CA AB
CA B1A ，又 AB BB1 1 ，得 AB1 2
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直线 B1C 与平面 ABC 成 30 角 B1CB 30 ，又 B1C 2 ，则 RtB1AC 中，由勾股定理得 AC 2
异面直线所成的角的范围： 0 90
（一）平移法
【例 1】已知四边形 ABCD 为直角梯形， AD// BC ， ABC 90 ， PA 平面 AC ，且 BC 2 ，
PA AD AB 1，求异面直线 PC 与 BD 所成角的余弦值的大小。 【解】过点 C 作 CE // BD 交 AD 的延长线于 E ，连结 PE ，则 PC 与 BD 所成的角为 PCE 或它的补角。
CE BD 2 ，且 PE PA2 AE2 10
由余弦定理得
PC2 CE2 PE2
cos PCE
3
2PC CE
6
PC 与 BD 所成角的余弦值为 3
6
P
A B
D C
（二）补形法
【变式练习】已知正三棱柱 ABC A1B1C1 的底面边长为 8，侧棱长为 6，D 为 AC 中点。求异面直线 AB1
角 PAM 45 ，与面 所成角的大小为 30 ，求二面角 MN 的大小。
【解】在射线 AP 上取一点 B ，作 BH 于点 H ，作 HQ MN 于 Q sin BQH 2 ，则 MN 为 45 2
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P
B
Q M
H
AN
（二）利用三垂线 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么
【例 3】在三棱锥 P ABC 中， APB BPC APC 60 ，求二面角 A PB C 的余弦值。
【解】在 PB 上取 PQ 1，作 MQ PB 交 PA 于 M ， 作 QN PB 交 PC 于 N cos MQN 1 3
P
Q N
B
M A
C
【变式练习】如图，点 A 在锐二面角 MN 的棱 MN 上，在面 内引射线 AP ，使 AP 与 MN 所成
A
B
Hale Waihona Puke Baidu
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5 ．（ 湖 南 理 ） 如 图 在 直 棱 柱 ABCD A1B1C1D1 中 ， AD ∥ BC ， BAD 900 ， AC BD ， BC 1, AD AA1 3
（1）证明： AC B1D ；（2）求直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角的正弦值。
6．（四川理）如图，在三棱柱 ABC A1B1C 中，侧棱 AA1 底面 ABC ，AB AC 2AA1 ，BAC 120 ， D, D1分别是线段 BC, B1C1 的中点， P 是线段 AD 的中点．
PB 13
三、二面角的求法
二面角的范围： 0 180
求二面角的大小，关键在于找出或作出二面角的平面角。从找平面角的角度出发，有以下几种方法： （一）定义法：
在棱上选一恰当的“点”（一般是选一个特殊的点，如：垂足、中点等），过这一“点”在两个半平面 内作棱的垂线，两垂线所成的角即为二面角的平面角。（一般在找出角后，利用三角形求解）
内的射影 O 在 AB 上，求直线 PC 与平面 ABC 所成的角的大小。
P
【解】连接 OC ，由已知， OCP 为直线 PC 与平面 ABC 所成角
C
设 AB 的中点为 D ，连接 PD,CD 。 AB BC CA，所以 CD AB
A
B
APB 90 ,PAB 60 ，所以 PAD 为等边三角形。
三垂线定理是求解二面角问题的最常用的方法，其关键是寻找或求作一条垂线，即从第一个半平面
内的某一个点出发，且垂直于另一个半平面。
【例 4】如图，在三棱锥 P ABC 中，APB 90 ，PAB 60 ，AB BC CA，点 P 在平面 ABC
内的射影 O 在 AB 上，求二面角 B AP C 的大小。 【解】过 AB 中点 D 作 DE AP 于 E ，连接 CE ，