2020年高考数学一轮复习专题4.7真题再现练习(含解析)

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2020年高考数学一轮复习强化训练题汇总1(含解析)

阶段复习检测(一)集合与常用逻辑用语函数、导数及其应用(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合A ＝⎩⎨⎧x ，y |x 24＋y 216＝1，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，则A ∩B 的子集的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4D [由函数y ＝3x 的图象及椭圆x 24＋y 216＝1知A ∩B 含2个元素，所以A ∩B 的子集的个数为22＝4个．]2．曲线y ＝x 2＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为( ) A ．3x －y －2＝0 B ．x －3y ＋2＝0 C ．3x ＋y －4＝0D ．x ＋3y －4＝0A [y ′＝2x ＋1x，故y ′|x ＝1＝3，故在点(1,1)处的切线方程为y －1＝3(x －1)，化简整理得3x －y －2＝0.]3．(2019·安徽蚌埠一模)设a >0，且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是增函数”是“函数g (x )＝x a 在R 上是增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件D [由函数f (x )＝a x 在R 上是增函数知，a >1；当a ＝32时，g (x )的定义域为(0，＋∞)，不能满足g (x )＝x a 在R 上是增函数；而当a ＝13时，g (x )＝x 13在R 上是增函数，此时f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是减函数．]4．(2019·贵州贵阳月考)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝f ′1x＋x ，则f ′(1)＝( )A ．－1B ．－12C ．12D ．1C [由f (x )＝f ′1x＋x ，得f ′(x )＝－f ′1x 2＋1，故f ′(1)＝－f ′(1)＋1，即f ′(1)＝12.]5．(2019·山东日照模拟)设曲线y ＝sin x 上任一点(x ，y )处切线斜率为g (x )，则函数y ＝x 2g (x )的部分图象可以为( )C [曲线y ＝sin x 上任一点(x ，y )处切线斜率为g (x )，∴g (x )＝cos x ，则函数y ＝x 2g (x )＝x 2·cos x ，设f (x )＝x 2·cos x ，则f (－x )＝f (x )，cos(－x )＝cos x ，∴y ＝f (x )为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除A 、B ．令x ＝0，得f (0)＝0.排除D ．]6．若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，－1] C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)D [由条件知f ′(x )＝k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥1x 在(1，＋∞)上恒成立，∵x >1，∴0<1x<1，∴k ≥1.]7．(2019·陕西宝鸡模拟)已知偶函数f (x )对∀x ∈R 满足f (2＋x )＝f (2－x )，且当－3≤x ≤0时，f (x )＝log 5(2－x )，则f (2 015)的值为( )A ．2 015B ．2C ．1D ．0C [∵f (2＋x )＝f (2－x )，∴f (4＋x )＝f [2－(2＋x )]＝f (－x )．又∵f (x )为偶函数，即f (－x )＝f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )，则f (x )是以4为周期的周期函数，∴f (2 015)＝f (3)＝f (－3)＝log 5[2－(－3)]＝1.]8．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为( ) A ．3 B ．4 C ．6D ．5A [设圆柱的底面半径为R ，母线长为l ，则V ＝πR 2l ＝27π，∴l ＝27R2，要使用料最省，只须使圆柱的侧面积与下底面面积之和S 最小．由题意，S ＝πR 2＋2πRl ＝πR 2＋2π·27R . ∴S ′＝2πR －54πR2，令S ′＝0，得R＝3，则当R ＝3时，S 最小．]9．已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝( ) A ．－4 B ．－2 C ．4D ．2D [由题意可得f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝2，则f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：10．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集为( ) A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x <－1或0<x <1}A [构造函数g (x )＝e x ·f (x )－e x ，因为g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )]－e x >e x －e x ＝0，所以g (x )＝e x ·f (x )－e x 为R 上的增函数，又因为g (0)＝e 0·f (0)－e 0＝1，所以原不等式转化为g (x )>g (0)，解得x >0.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)11．(2019·广西桂林检测)如图，函数g (x )＝f (x )＋15x 2的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝__________.－5 [由图象可得P 点坐标为(5,3)，得g (5)＝3，故f (5)＝g (5)－15×52＝－2，g ′(5)＝－1且g ′(x )＝f ′(x )＋25x ，则f ′(5)＝g ′(5)－25×5＝－3，故f (5)＋f ′(5)＝－2＋(－3)＝－5.] 12．(2019·广东汕头一模)已知函数f (x )＝12mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是__________.[1，＋∞) [f ′(x )＝mx ＋1x－2≥0对一切x ＞0恒成立，∴m ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2x . 令g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2x，则当1x ＝1时，函数g (x )取最大值1.故m ≥1.]13．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p 元，销量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2，则该商品零售价定为__________元时利润最大，利润的最大值为__________元．30 23 000 [设商场销售该商品所获利润为y 元，则y ＝(p －20)(8 300－170p －p 2)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000(p ≥20)，则y ′＝－3p 2－300p ＋11 700. 令y ′＝0得p 2＋100p －3 900＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍去)．则p ，y ，y ′变化关系如下表：故当p ＝30时，y 又y ＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000在[20，＋∞)上只有一个极值，故也是最值．所以该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23 000元．]14．(2019·山东临沂统考)对于函数f (x )，如果f (x )可导，且f (x )＝f ′(x )有实数根x ，则称x 是函数f (x )的驻点．若函数g (x )＝x 2(x ＞0)，h (x )＝ln x ，φ(x )＝sin x (0＜x ＜π)的驻点分别是x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是__________(用“＜”连接)．x 3＜x 2＜x 1 [由题意对于函数f (x )，如果f (x )可导，且f (x )＝f ′(x )有实数根x ，则称x 是函数f (x )的驻点．可知函数g (x )＝x 2(x ＞0)，可得2x ＝x 2，解得x 1＝2，h (x )＝ln x ，可得1x＝ln x ，如图：x 2∈(1,2)，φ(x )＝sin x (0＜x ＜π)，可得cos x ＝sin x ，解得x 3＝π4＜1，所以x 3＜x 2＜x 1.]三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．(12分)已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式．解 (1)∵f (x )是周期为2的奇函数， ∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)， ∴f (1)＝0，f (－1)＝0. (2)由题意知，f (0)＝0. 当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)． ∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x4－x ＋1＝－2x4x ＋1，综上，在[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x4x＋1，x ∈0，1，－2x 4x＋1，x ∈－1，0，0，x ∈{－1，0，1}.16．(12分)设l 为曲线C ：y ＝ln xx在点(1,0)处的切线．(1)求l 的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线l 的下方． (1)解 ∵y ＝ln x x ，∴y ′＝1－ln x x2， ∴l 的斜率k ＝y ′|x ＝1＝1，∴l 的方程为y ＝x －1. (2)证明令f (x )＝x (x －1)－ln x ，(x ＞0)，曲线C 在直线l 的下方，即f (x )＝x (x －1)－ln x ＞0，则f ′(x )＝2x －1－1x＝2x ＋1x －1x，∴f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，又f (1)＝0， ∴x ∈(0,1)时，f (x )＞0，即ln xx＜x －1；x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞0，即ln x x＜x －1，即除切点(1,0)之外，曲线C 在直线l 的下方． 17．(12分)(2019·湖北武汉调研)已知函数f (x )＝ln x －a x －1x(a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)求证：不等式(x ＋1)ln x >2(x －1)对∀x ∈(1,2)恒成立． (1)解定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －a x 2.①a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上为增函数；②a >0时，f (x )在(a ，＋∞)上为增函数，在(0，a ) 上为减函数． (2)证明法一 ∵x ∈(1,2)，∴x ＋1>0， ∴要证原不等式成立，即证ln x >2x －1x ＋1对∀x ∈(1,2)恒立，令g (x )＝ln x －2x －1x ＋1，g ′(x )＝x －12x ＋12≥0，∴g (x )在(0，＋∞)上为增函数，∴当x ∈(1,2)时，g (x )>g (1)＝ln 1－21－11＋1＝0，∴ln x >2x －1x ＋1对∀x ∈(1,2)恒成立，∴(x ＋1)ln x >2(x －1)对∀x ∈(1,2)恒成立．法二令F (x )＝(x ＋1)ln x －2(x －1)，F ′(x )＝ln x ＋x ＋1x－2＝ln x －x －1x.令φ(x )＝ln x －x －1x，由(1)知a ＝1时，φ(x )在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．∵x ∈(1,2)，则φ(x )在(1,2)为增函数，φ(x )>φ(1)＝0，即x ∈(1,2)，F ′(x )>0，∴F (x )在(1,2)上为增函数， ∴F (x )>F (1)＝0，∴(x ＋1)ln x >2(x －1)对∀x ∈(1,2)恒成立．18．(14分)(2019·辽宁丹东模拟)已知f (x )＝－3x 22＋ln x ，g (x )＝12x 2－2ax ＋1＋ln x .(1)求函数f (x )的极值．(2)若x 0是函数g (x )的极大值点，证明：x 0ln x 0－ax 20＞－1. (1)解 f (x )定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝1－3x 2x，令f ′(x )＝0得x ＝33.列表：当x ＝33时，f (x )取极大值－12－12ln 3.(2)证明 g (x )定义域是(0，＋∞)，g ′(x )＝x ＋1x－2a .①若a ≤1，g ′(x )＝x ＋1x－2a ≥2－2a ≥0，g (x )单调递增无极值点，不符合题意；②若a ＞1，g ′(x )＝0即x 2－2ax ＋1＝0有两个不等的实数根x 1和x 2(x 1＜x 2)，因为x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2a ＞0，所以0＜x 1＜1＜x 2.当0＜x ＜x 1时，g '(x )＞0，当x 1＜x ＜x 2时，g '(x )＜0，当x ＞x 2时，g '(x )＞0，所以g (x )在(0，x 1)单调递增，在(x 1，x 2)单调递减，在(x 2，＋∞)单调递增．所以x 0＝x 1为函数f (x )的极大值点，且0＜x 1＜1.因为g '(x 1)＝0，所以a ＝x 21＋12x 1.所以x 1ln x 1－ax 21＝x 1ln x 1－x 31＋x 12＝x 312－12x 1＋x 1ln x 1，x 1∈(0,1)．令h (x )＝－x 32－12x ＋x ln x ，x ∈(0,1)，h ′(x )＝f (x )＋12.由(1)可知f (x )＋12≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫33＋12＝－12ln 3＜0，所以h (x )在(0,1)上单调递减，故h (x )＞h (1)＝－1，原题得证．。

2020届全国高考总数学复习模拟试题含答案(四)

2020届全国高考总复习模拟卷（四）数学（解析版）1、已知集合{1,2,5}M =，{|2}N x x =≤，故M N 等于( )A ．{1}B ．{5}C ．{1,2}D ．{2,5}2、若复数(i 1)(i 2)z =+-，则复数z 的虚部是( ) A ．1B ．-1C ．3D ．-33、中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A. B.C. D.4、从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A ={抽到一等品},事件 B ={抽到二等品},事件C ={抽到三等品},且已知()0.65P A =,()0.2P B =,()0.1P C =,则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为( ) A. 0.7B. 0.65C. 0.35D. 0.35、已知1sin()3απ+=，则cos 2sin αα=（）A.37-B.73-C.37D.736、已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则（）A.()f x 的最小正周期为π，最大值为3B.()f x 的最小正周期为π，最大值为4C.()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D.()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 7、函数cos y x x =+的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．8、已知向量a ，b 满足||1a =，1a b ⋅=-，则(2)a a b ⋅-=（） A.4 B.3 C.2 D.09、如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD △为正三角形，平面ECD ⊥平面,ABCD M 是线段ED 的中点，则()A ．BM EN =，且直线BM EN 、是相交直线B ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是相交直线C ．BM EN =，且直线BM EN 、是异面直线D ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是异面直线10、已知椭圆221112211:1(0)x y C a b a b +=>>和双曲线222222222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，若椭圆的离心率1e =圆和双曲线渐近线的交点与椭圆其中一个焦点的连线垂直于x 轴．则双曲线其中一条渐近线的斜率为( ) A．BCD11、在ABC △中,,,a b c 分别为角,,A B C 的对边,2,60,b c C ===°则sin A 的值为( )B.7D.1412、设,,,A B C D 是同一个半径为4的球的球面上四点ABC △为等边三角形且其面积为D ABC -体积的最大值为（）A.B.C.D.13、某工厂生产A B C D 、、、四种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5:2，现用分层抽样的方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号的产品有16件，那么此样本的容量n =_______． 14、已知函数()()ln 1)4f x x f a =+=，，则()f a -= 。

2020年高考数学一轮复习强化训练题汇总4(含解析)

阶段复习检测(四) 数列(时间：70分钟满分：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，并满足：a n ＋2＝2a n ＋1－a n ，a 5＝4－a 3，则S 7＝( ) A ．7 B ．12 C ．14D ．21C [由a n ＋2＝2a n ＋1－a n 知数列{a n }为等差数列，由a 5＝4－a 3得a 5＋a 3＝4＝a 1＋a 7，所以S 7＝7a 1＋a 72＝14.]2．在等差数列{a n }中，a 9＝12a 12＋3，则数列{a n }的前11项和S 11＝( )A ．24B ．48C ．66D ．132C [在等差数列{a n }中，a 9＝12a 12＋3，∴a 1＋8d ＝12(a 1＋11d )＋3，解a 1＋5d ＝6，∴数列{a n }的前11项和S 11＝112(a 1＋a 11)＝11(a 1＋5d )＝11×6＝66.]3．(2019·山东青岛月考)已知S n ＝12＋1＋13＋2＋12＋3＋…＋1n ＋1＋n，若S m ＝10，则m＝( )A ．11B ．99C ．120D ．121 C [∵S n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n －n －1)＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1. ∴S m ＝m ＋1－1＝10，得m ＝120.]4．(2018·河北衡水模拟)已知正数组成的等比数列{a n }，若a 1·a 20＝100，那么a 7＋a 14的最小值为( ) A ．20 B ．25 C ．50D ．不存在A [(a 7＋a 14)2＝a 27＋a 214＋2a 7·a 14≥4a 7a 14＝4a 1a 20＝400.∴a 7＋a 14≥20.]5．(2019·福建厦门调研)等比数列{a n }中，S n 是数列{a n }的前n 项和，S 3＝14，且a 1＋8,3a 2，a 3＋6依次成等差数列，则a 1·a 3等于( )A ．4B ．9C ．16D ．25C [∵S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝14，a 1＋8＋a 3＋6＝6a 2，∴7a 2＝28，即a 2＝4，∴a 1·a 3＝a 22＝16.] 6．已知数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝( ) A ．9 B ．15 C ．18D ．30C [由题意知{a n }是以2为公差的等差数列，又a 1＝－5，所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝|－5|＋|－3|＋|－1|＋1＋3＋5＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18.]7．已知数列{a n }中，a n ＝－4n ＋5，等比数列{b n }的公比q 满足q ＝a n －a n －1(n ≥2)且b 1＝a 2，则|b 1|＋|b 2|＋|b 3|＋…＋|b n |＝( )A ．1－4nB ．4n －1C ．1－4n3D ．4n －13B [由已知得b 1＝a 2＝－3，q ＝－4，∴b n ＝(－3)×(－4)n －1， ∴|b n |＝3×4n －1，即{|b n |}是以3为首项，4为公比的等比数列． ∴|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＝31－4n1－4＝4n －1.]8．抛物线x 2＝12y 在第一象限内图象上一点(a i,2a 2i )处的切线与x 轴交点的横坐标记为a i ＋1，其中i ∈N *，若a 2＝32，则a 2＋a 4＋a 6＝( )A ．64B ．42C ．32D ．21B [∵y ＝2x 2(x ＞0)，∴y ′＝4x ，∴x 2＝12y 在第一象限内图象上一点(a i,2a 2i )处的切线方程是：y －2a 2i ＝4a i (x－a i )，整理，得4a ix －y －2a 2i ＝0，∵切线与x 轴交点的横坐标为a i ＋1，∴a i ＋1＝12a i ，∴{a 2k }是首项为a 2＝32，公比q ＝14的等比数列，∴a 2＋a 4＋a 6＝32＋8＋2＝42.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)9．已知正项等比数列{a n }中，a 2·a 5·a 13·a 16＝256，a 7＝2，则数列{a n }的公比为__________.2 [∵正项等比数列{a n }中，a 2·a 5·a 13·a 16＝256，∴a 49＝a 2·a 5·a 13·a 16＝256，解得a 9＝4，又a 7＝2，∴数列{a n }的公比q ＝a 9a 7＝ 2.]10．(2018·黑龙江大庆二模)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＋(－1)n a n ＝cos(n ＋1)π，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 015＝__________.－1 006 [∵a n ＋1＋(－1)n a n ＝cos(n ＋1)π＝(－1)n ＋1，∴当n ＝2k ，k ∈N *时，a 2k ＋1＋a 2k ＝－1，∴S 2 015＝a 1＋(a 2＋a 3)＋…＋(a 2 014＋a 2 015)＝1＋(－1)×1 007＝－1 006.]11．(2018·广东汕头一模)设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q 的值为__________.－2 [设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，且S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则2S n ＝S n ＋1＋S n＋2，若q ＝1，则S n ＝na 1，上式显然不成立，若q ≠1，则为2a 11－q n1－q＝a 11－q n ＋11－q＋a 11－q n ＋21－q，故2q n ＝q n ＋1＋q n ＋2，即q 2＋q －2＝0，因此q ＝－2.]12．已知数列{a n }是各项均不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，且a n ＝S 2n －1(n ∈N *)．若不等式λa n≤n ＋8n对任意n ∈N *恒成立，则实数λ的最大值为__________.9 [a n ＝S 2n －1⇒a n ＝2n －1a 1＋a 2n －12＝2n －1a n ，⇒a 2n ＝(2n －1)a n ⇒a n＝2n －1，n ∈N *.λa n≤n ＋8n就是λ≤n ＋82n －1n⇒λ≤2n －8n ＋15. 2n －8n＋15在n ≥1时单调递增，其最小值为9，所以λ≤9，故实数λ的最大值为9.]三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)13．(10分)(2019·陕西西安八校联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＝－3，S 10＝－40. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若从数列{a n }中依次取出第2,4,8，…，2n ，…项，按原来的顺序排成一个新数列{b n }，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)∵a 5＝a 1＋4d ＝－3，S 10＝10a 1＋45d ＝－40，解得a 1＝5，d ＝－2.∴a n ＝－2n ＋7.(2)依题意，b n ＝a 2n ＝－2×2n ＋7＝－2n ＋1＋7，故T n ＝－(22＋23＋…＋2n ＋1)＋7n ＝－22－2n ＋1×21－2＋7n＝4＋7n －2n ＋2.14．(10分)(2018·河南新乡二模)在数列{a n }中，a 1＝12，{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋1－S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ，以及前n 项和S n ；(2)若S 1＋S 2，S 1＋S 3，m (S 2＋S 3)成等差数列，求实数m 的值．解 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1.∴n ≥2时，a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，又a 1＝12，因此n ＝1时也成立．∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，∴S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝1－12n .(2)由(1)可得：S 1＝12，S 2＝34，S 3＝78.∵S 1＋S 2，S 1＋S 3，m (S 2＋S 3)成等差数列，∴12＋34＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋78＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋78.解得m ＝1213. 15．(10分)(2019·云南检测)设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝2，对任意n ∈N *，都有2S n ＝(n ＋1)a n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫4a n a n ＋2的前n 项和为T n ，求证：12≤T n <1. (1)解因为2S n ＝(n ＋1)a n ，当n ≥2时，2S n －1＝na n －1，两式相减，得2a n ＝(n ＋1)a n －na n －1，即(n －1)a n ＝na n －1，所以当n ≥2时，a n n＝a n －1n －1，所以a n n ＝a 11＝2，即a n ＝2n (n ≥2)．(2)证明由(1)知a n ＝2n ，令b n ＝4a n a n ＋2，n ∈N *，所以b n ＝42n 2n ＋2＝1n n ＋1＝1n －1n ＋1.所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1.因为1n ＋1>0，所以1－1n ＋1<1.显然当n ＝1时，T n 取得最小值12.所以12≤T n <1.16．(10分)数列{a n }满足：a 1＝2，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n (n ∈N *)．(1)记d n ＝a n ＋1－a n ，求证：数列{d n }是等比数列；(2)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，证明S n ＜32.证明 (1)∵a n ＋2＝3a n ＋1－2a n ， ∴d n ＋1d n＝a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a 1＝3a n ＋1－2a n －a n ＋1a n ＋1－a n＝2a n ＋1－2a n a n ＋1－a n＝2，∴数列{d n }是等比数列，∴d 1＝a 2－a 1＝1，q ＝2，∴d n ＝2n －1. (2)∵d n ＝2n －1，d n ＝a n ＋1－a n ，∴a n ＋1－a n ＝2n －1，∴a 2－a 1＝20，a 3－a 2＝21，a 4－a 3＝22，…，a n －a n －1＝2n －2， ∴累加得：a n －a 1＝20＋21＋…＋2n －2＝1－2n －11－2＝2n －1－1，∴a n ＝2n －1＋1.∴1a n ＝12n －1＋1＜12n －1(n ≥2)，n ＝1时，S n ＝12＜32成立；∴当n ≥2时，S n ＜12＋12＋122…＋12n －1＝12＋12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12＝32－12n ＜32.综上可知S n ＜32(n ∈N *)．。

2020版高考数学一轮总复习全套课后作业课后作业全集含解析

集合的概念与运算1．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝(A)A．{0,2} B．{1,2}C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}A∩B＝{0,2}∩{－2，－1,0,1,2}＝{0,2}．2．(2016·山东卷)设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，则∁U(A∪B)＝(A)A．{2,6} B．{3,6}C．{1,3,4,5} D．{1,2,4,6}因为A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，所以A∪B＝{1,3,4,5}．又U＝{1,2,3,4,5,6}，所以∁U(A∪B)＝{2,6}．3．(2018·武汉调研测试)已知集合M＝{x|x2＝1}，N＝{x|ax＝1}，若N M，则实数a 的取值集合为(D)A．{1} B．{－1,1}C．{1,0} D．{1，－1,0}M＝{x|x2＝1}＝{－1,1}，又N M，N＝{x|ax＝1}，则N＝{－1}，{1}，∅满足条件，所以a＝1，－1,0，即实数a的取值集合为{1，－1,0}．4．(2018·佛山一模)已知全集U＝R，集合A＝{0,1,2,3,4}，B＝{x|x2－2x＞0}，则图中阴影部分表示的集合为(A)A．{0,1,2} B．{1,2}C．{3,4} D．{0,3,4}因为B＝{x|x2－2x＞0}＝{x|x＞2或x＜0}，所以∁U B＝{x|0≤x≤2}，所以图中阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )＝{0,1,2}．5．设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则集合M 中的元素个数为(B)A ．3B ．4C ．5D ．6M ＝{5,6,7,8}，所以M 中的元素个数为4.6．(2017·江苏卷)已知集合A ＝{1,2}，B ＝{a ，a 2＋3}．若A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为 1 .因为A ∩B ＝{1}，A ＝{1,2}，所以1∈B 且2∉B .若a ＝1，则a 2＋3＝4，符合题意．又a 2＋3≥3≠1，故a ＝1.7．已知集合A ＝{y |y ＝1x}，B ＝{y |y ＝x 2}，则A ∩B ＝ (0，＋∞) .A ＝{y |y ＝1x}＝(－∞，0)∪(0，＋∞)，B ＝{y |y ＝x 2}＝[0，＋∞)，所以A ∩B ＝(0，＋∞)．8．设集合A ＝{x |x 2－3x －4<0}，则A ∩Z ＝ {0,1,2,3} ，A ∩Z 的所有子集的个数为 16 .A ＝{x |x 2－3x －4<0}＝{x |－1<x <4}，所以A ∩Z ＝{0,1,2,3}，A ∩Z 的子集个数有24＝16个．9．(2017·山东卷)设集合M ＝{x ||x －1|<1}，N ＝{x |x <2}，则 M ∩N ＝(C) A ．(－1,1) B ．(－1,2) C ．(0,2) D ．(1,2)因为M ＝{x |0<x <2}，N ＝{x |x <2}，所以M ∩N ＝{x |0<x <2}∩{x |x <2}＝{x |0<x <2}．10．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是(B)A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)由x －x 2>0，得0<x <1，所以A ＝(0,1)，由x 2－cx <0，得0<x <c ，所以B ＝(0，c )，因为A ⊆B ，所以c ≥1.11．已知M ＝{x |－2≤x ≤5}，N ＝{x |a ＋1≤x ≤2a －1}． (1)若a ＝3，则M ∪(∁R N )＝ R .(2)若N ⊆M ，则实数a 的取值范围为 (－∞，3] .(1)当a ＝3时，N ＝{x |4≤x ≤5}，所以∁R N ＝{x |x <4或x >5}．所以M ∪(∁R N )＝R .(2)①当2a －1<a ＋1，即a <2时，N ＝∅，此时满足N ⊆M .②当2a －1≥a ＋1，即a ≥2时，N ≠∅，由N ⊆M ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥－2，2a －1≤5，所以2≤a ≤3.综上，实数a 的取值范围为(－∞，3]．12．(2018·黄石月考)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 12 人．设全集U 为某班30人，集合A 为喜爱篮球运动的15人，集合B 为喜爱乒乓球运动的10人，如图．设两者都喜欢的人数为x 人，则只喜爱篮球的有(15－x )人，只喜爱乒乓球的有(10－x )人，由此可得(15－x )＋(10－x )＋x ＋8＝30，解得x ＝3.所以15－x ＝12，即所求人数为12人．命题及其关系、充分条件与必要条件1．(2018·深圳市第二次调研)设A ，B 是两个集合，则“x ∈A ”是“x ∈A ∩B ”的(B)A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件因为x ∈A ∩B ⇒x ∈A 且x ∈B ⇒x ∈A .但x ∈A ≠> x ∈A ∩B .所以“x ∈A ”是“x ∈A ∩B ”的必要不充分条件． 2．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题为(C)A ．若α≠π4，则tan α≠1 B．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4将条件和结论分别否定后作为结论和条件即得到逆否命题．3．(2018·天津卷)设x ∈R ，则“x 3>8”是“|x |>2”的(A) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件由x 3>8⇒x >2⇒|x |>2，反之不成立，故“x 3>8”是“|x |>2”的充分而不必要条件．4．(2018·广东肇庆一模)原命题：设a ，b ，c ∈R ，若“a >b ”，则“ac 2>bc 2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有(C)A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个因为当c ＝0时，由a >b ≠> ac 2>bc 2，所以原命题为假，从而逆否命题为假．又ac 2>bc 2⇒a >b ，所以逆命题为真，从而否命题为真．故真命题共有2个．5．(2018·湖北新联考四模)若“x >2m 2－3”是“－1<x <4”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是(D)A ．[－3,3]B ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．[－1,1]“x >2m 2－3”是“－1<x <4”的必要不充分条件，所以(－1,4) (2m 2－3，＋∞)，所以2m 2－3≤－1，解得－1≤m ≤1.6．命题“若a >b ，则2a>2b－1”的否命题为若a ≤b ，则2a≤2b－1 .7．(2018·北京卷)能说明“若a ＞b ，则1a ＜1b”为假命题的一组a ，b 的值依次为 1，－1(答案不唯一) .只要保证a 为正b 为负即可满足要求．当a ＞0＞b 时，1a ＞0＞1b.只要取满足上述条件的a ，b 值即可，如a ＝1，b ＝－1(答案不唯一)．8．f (x )是R 上的增函数，且f (－1)＝－4，f (2)＝2，设P ＝{x |f (x ＋t )＋1<3}，Q ＝{x |f (x )<－4}，若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围为 (3，＋∞) .依题意P ＝{x |f (x ＋t )＋1<3}＝{x |f (x ＋t )<2}＝{x |f (x ＋t )<f (2)}，Q ＝{x |f (x )<－4}＝{x |f (x )<f (－1)}， f (x )是R 上的增函数，所以P ＝{x |x <2－t }，Q ＝{x |x <－1}，要使“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，需2－t <－1，解得t >3，所以实数t 的取值范围是(3，＋∞)．9．(2016·天津卷)设x ＞0，y ∈R ，则“x ＞y ”是“x ＞|y |”的(C) A ．充要条件 B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件(1)分别判断x >y ⇒x >|y |与x >|y |⇒x >y 是否成立，从而得到答案．当x ＝1，y ＝－2时，x >y ，但x >|y |不成立；若x >|y |，因为|y |≥y ，所以x >y .所以“x >y ”是“x >|y |”的必要而不充分条件．10．(2017·浙江卷)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d ＞0”是“S 4 ＋S 6＞2S 5”的(C)A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(方法一)因为数列{a n }是公差为d 的等差数列，所以S 4＝4a 1＋6d ，S 5＝5a 1＋10d ，S 6＝6a 1＋15d ，所以S 4＋S 6＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d . 若d >0，则21d >20d,10a 1＋21d >10a 1＋20d ，即S 4＋S 6>2S 5.若S 4＋S 6>2S 5，则10a 1＋21d >10a 1＋20d ，即21d >20d ，所以d >0.所以“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的充分必要条件． (方法二)因为S 4＋S 6>2S 5S 4＋S 4＋a 5＋a 6>2(S 4＋a 5a 6>a 5a 5＋d >a 5d >0，所以“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的充分必要条件．11．(2018·武汉调研测试)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，条件p ：a ≤b ＋c 2，条件q ：A ≤B ＋C 2，那么条件p 是条件q 成立的(A)A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件条件q ：A ≤B ＋C2A ≤π－A 2A ≤π3. 条件p ：a ≤b ＋c2⇒cos A ＝b 2＋c 2－a22bc≥b 2＋c 2－b ＋c222bc＝3b 2＋3c 2－2bc 8bc ≥12⇒0<A ≤π3.所以p ⇒q ，但q p .如∠A ＝60°，a ＝3，b ＝1，c ＝2，不能得到a ≤b ＋c2.所以p 是q 的充分而不必要条件．12．(2018·江西赣中南五校二模)“a >0”是“函数y ＝ax 2＋x ＋1在(0，＋∞)上单调递增”的充分不必要条件．当a >0时，y ＝a (x ＋12a )2＋1－14a ，在(－12a，＋∞)上单调递增，因此在(0，＋∞)上单调递增，故充分性成立．当a ＝0时，y ＝x ＋1，在R 上单调递增，因此在(0，＋∞)上单调递增．故必要性不成立．综上，“a >0”是“函数y ＝ax 2＋x ＋1在(0，＋∞)上单调递增”的充分不必要条件．简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．若p 是真命题，q 是假命题，则(D) A ．p ∧q 是真命题 B ．p ∨q 是假命题 C ．﹁p 是真命题 D ．﹁q 是真命题由“且”命题一假则假，“或”命题一真则真，命题与命题的否定真假相反，得A 、B 、C 都是错误的，故选D.2．(2018·河北五校高三联考)已知命题p ：“a >b ”是“2a>2b”的充要条件；q ：∃x ∈R ，|x ＋1|≤x ，则(D)A ．﹁p ∨q 为真命题B ．p ∧q 为真命题C ．p ∧﹁q 为假命题D ．p ∨q 为真命题对于p ：因为a >b ⇒2a>2b，反之，2a>2b⇒a >b ，所以“a >b ”是“2a >2b”的充要条件，即p 是真命题．对于q ：|x ＋1|≤x ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x ＋1≤x 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，－x －1≤x .解得x ∈∅，即不等式无实数解，所以q 是假命题．所以p ∨q 为真命题．3．命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是(A) A ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1 B ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1 C ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1 D ．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1修改原命题中的两个地方即可得其否定，∃改为∀，否定结论，即ln x ≠x －1，故选A.4．(2018·三亚校级期中)命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是(C) A ．不存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0 B ．存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1≥0 C ．存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1>0 D ．对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1>05．(2018·湖南省六校联考) 下列各组命题中，满足“p ∨q ”为真、“p ∧q ”为假、“﹁q ”为真的是(B)A ．p ：0＝∅；q ：0∈∅B ．p ：x >2是x >1成立的充分不必要条件；q ：∀x ∈{1，－1,0},2x ＋1>0C ．p ：a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)；q ：不等式|x |>x 的解集是(－∞，0)D ．p ：y ＝1x在定义域内是增函数；q ：f (x )＝e x ＋e －x是偶函数由题意可知，满足“p ∨q ”为真、“p ∧q ”为假、“﹁q ”为真，可知p 为真、q为假．A 中，p 、q 都为假；B 中，p 为真，q 为假；C 中，p 、q 都为真；D 中，p 为假、q 为真．故选B.6．(2017·湖北武汉2月调研)命题“y ＝f (x )(x ∈M )是奇函数”的否定是(D) A ．∃x ∈M ，f (－x )＝－f (x ) B ．∀x ∈M ，f (－x )≠－f (x ) C ．∀x ∈M ，f (－x )＝－f (x ) D ．∃x ∈M ，f (－x )≠－f (x )命题“y ＝f (x )(x ∈M )是奇函数”的否定是∃x ∈M ，f (－x )≠－f (x )． 7．已知命题p ：“∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20<0”，则﹁p 为 ∀x ∈R ，|x |＋x 2≥0 _. 8．若x ∈[0，π4]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为 1 .由题意，原命题等价于tan x ≤m 在区间[0，π4]上恒成立，即y ＝tan x 在[0，π4]上的最大值小于或等于m ，又y ＝tan x 在[0，π4]上的最大值为1，所以m ≥1，即m 的最小值为1.9．(2018·湖南长郡中学联考)已知命题p ：∃x 0∈(－∞，0)，2x 0<3x 0，命题q ：∀x ∈(0，π2)，tan x >sin x ，则下列命题为真命题的个数是(B)①p ∨q ；②p ∨(﹁q )；③(﹁p )∧q ；④p ∧(﹁q )． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个因为幂函数y ＝x α，当α<0时在(0，＋∞)上递减，由x 0<0,2<3，得2x 0>3x 0，所以p 为假命题．因为对于x ∈(0，π2)，sin x <x <tan x ，所以q 为真命题．所以①为真，②为假，③为真，④为假．即真命题的个数是2.10．(2018·兰州模拟)已知下列四个命题：p 1：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l ⊥α； p 2：若f (x )＝2x －2－x ，则x ∈R ，f (－x )＝－f (x )； p 3：若f (x )＝x ＋1x ＋1，则∃x 0∈(0，＋∞)，f (x 0)＝1；p 4：在△ABC 中，若A >B ，则sin A >sin B .其中真命题的个数是(B) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4平面的斜线l 可以和平面内无数条平行直线垂直，p 1为假命题．因为f (－x )＝2－x－2x＝－f (x )，所以p 2为真命题．因为f (x )＝x ＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－1 ≥2x ＋1x ＋1－1＝1，取等号的条件为x ＋1＝1x ＋1，得到x ＝－，＋∞)，所以当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>1，不存在x 0∈(0，＋∞)，满足f (x 0)＝1，所以p 3为假命题．在△ABC 中，A >B ⇒a >b ⇒sin A >sin B ，所以p 4为真命题．故p 2和p 4为真命题，真命题的个数为2.11．若命题“存在实数x ，使x 2＋ax ＋1<0”的否定为真命题，则实数a 的取值范围为 [－2,2] .(方法一)由题意，命题“对任意实数x ，都有x 2＋ax ＋1≥0”是真命题，故Δ＝a 2－4×1×1≤0，解得－2≤a ≤2.(方法二)若命题“存在实数x ，使x 2＋ax ＋1<0”是真命题，则Δ＝a 2－4×1×1>0，解得a >2或a <－2.故所求的实数a 的取值范围是取其补集，即[－2,2]． 12．(2018·华南师大附中模拟)设有两个命题：p ：关于x 的不等式a x >1(a >0，且a ≠1)的解集是{x |x <0}；q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R .如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数a 的取值范围是 (0，12]∪(1，＋∞) .p ：“关于x 的不等式a x>1(a >0，且a ≠1)的解集是{x |x <0}”为真⇒0<a <1.q ：“函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ”为真⇒ax 2－x ＋a >0恒成立⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0⇒a >12.因为p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p ，q 一真一假．⎩⎪⎨⎪⎧ p 真，q 假⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，a ≤12⇒0<a ≤12.⎩⎪⎨⎪⎧p 假，q 真⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a >12⇒a >1.所以实数a 的取值范围是(0，12]∪(1，＋∞)．函数及其表示1．函数y ＝x ·ln(1－x )的定义域为(B) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1] D ．[0,1]由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－x >0，解得0≤x <1.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ， x ≤1，11－x， x >1，则f [f (－2)]的值为(C)A.12B.15 C ．－15 D ．－12因为f (－2)＝(－2)2－(－2)＝6，所以f [f (－2)]＝f (6)＝11－6＝－15. 3．若函数f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f x x －1的定义域是(B)A ．[0,1]B ．[0,1)C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)因为f (x )的定义域为[0,2]，所以⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解得0≤x <1.4．(2018·黑龙江模拟) 设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的解析式为(C) A ．3x －1 B ．3x ＋1 C ．2x －1 D ．2x ＋1g (x ＋2)＝f (x )＝2x ＋3，即g (x ＋2)＝2x ＋3，令x ＋2＝t ，所以x ＝t －2，所以2x ＋3＝2(t －2)＋3＝2t －1，所以g (x )＝2x －1.5．已知函数f (x )在[－1,2]上的图象如下图所示，则函数f (x )的解析式为f (x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，－12x ， 0＜x ≤2 .由图可知，图象是由两条直线的一段构成，故可采用待定系数法求出其表示式．当－1≤x ≤0时，设y ＝k 1x ＋b 1，将(－1,0)，(0,1)代入得k 1＝1，b 1＝1，所以y ＝x ＋1，当0<x ≤2时，设y ＝k 2x ＋b 2，将(0,0)，(2，－1)代入得k 2＝－12，b 2＝0，所以y ＝－12x .所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，－12x ， 0＜x ≤2.6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x <1，2x ， x >1，若f [f (56)]＝4，则b 等于 12.因为56<1，所以f (56)＝3×56－b ＝52－b .若52－b <1，即b >32时， f (52－b )＝3(52－b )－b ＝152－4b ＝4，解得b ＝78，不满足b >32，舍去；若52－b ≥1，即b ≤32时， f (52－b )＝2(52－b )＝5－2b ＝4，解得b ＝12，满足b ≤32.故b ＝12.7．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x ≤－1，x 2，－1<x <2，－2x ＋8， x ≥2.(1)求f (3)，f [f (－2)]，f (a )(a >0)的值；(2)画出f (x )的图象，并求出满足条件f (x )>3的x 的值．(1)因为3>2，所以f (3)＝－2×3＋8＝2.因为－2<－1，所以f (－2)＝2－ 2. 又－1<2－2<2，所以f [f (－2)]＝f (2－2)＝(2－2)2＝6－4 2. 又a >0，当0<a <2时，f (a )＝a 2；当a ≥2时，f (a )＝－2a ＋8.综上所述，f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2， 0<a <2，－2a ＋8， a ≥2.(2)f (x )的图象如图所示．当x ≤－1时，f (x )＝x ＋2≤1，此时无解；当－1<x <2时，由x 2＝3，解得x ＝±3，因为x ＝－3<－1，故舍去；当x ≥2时，由－2x ＋8＝3，解得x ＝52.由图知，不等式f (x )>3的解为(3，52)．8．(2018·湖北武汉调研)已知函数f (x )满足f (1x )＋1xf (－x )＝2x (x ≠0)，则f (－2)＝(C)A ．－72 B.92C.72 D ．－92令x ＝2，可得f (12)＋12f (－2)＝4，①令x ＝－12，可得f (－2)－2f (12)＝－1，②联立①②解得f (－2)＝72.9．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1， x ≤0，2x， x >0，则满足f (x )＋f (x －12)>1的x的取值范围是 (－14，＋∞) .由题意知，可对不等式分x ≤0,0＜x ≤12，x ＞12三段讨论．当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12＞1，解得x ＞－14，所以－14＜x ≤0.当0＜x ≤12时，原不等式为2x＋x ＋12＞1，显然成立．当x ＞12时，原不等式为2x＋2x －12＞1，显然成立．综上可知，x 的取值范围是(－14，＋∞)．10．函数f (x )＝－a2x 2＋－a x ＋6.(1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的定义域为[－2,1]，求实数a 的值．(1)因为对于x ∈R ，(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6≥0恒成立，所以①当a ＝1时，原不等式变为6≥0，此时x ∈R . ②当a ＝－1时，原不等式变为6x ＋6≥0，此时x R .③若a ≠±1时，则⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2>0，Δ≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2>0，－a 2－－a2，解得－511≤a <1，所以实数a 的取值范围为[－511，1]． (2)因为f (x )的定义域为[－2,1]，所以不等式(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6≥0的解集为[－2,1]，所以x ＝－2，x ＝1是方程(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2<0，－2＋1＝－－a 1－a 2，－2×1＝61－a2，解得a ＝2.函数的值域与最值1．已知函数f (x )的值域为[－2,3]，则函数f (x －2)的值域为(D) A ．[－4,1] B ．[0,5]C ．[－4,1]∪[0,5]D ．[－2,3]函数y ＝f (x －2)的图象是由y ＝f (x )的图象向右平移2个单位而得到的，其值域不变．2．函数y ＝16－4x的值域是(C) A ．[0，＋∞) B．[0,4] C ．[0,4) D ．(0,4)因为16－4x≥0，且4x>0，所以0≤16－4x<16，所以0≤16－4x<4.3．已知函数f (x )＝e x－1，g (x )＝－x 2＋4x －3.若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为(B)A ．[2－2，2＋2]B ．(2－2，2＋2)C ．[1,3]D ．(1,3)f (a )的值域为(－1，＋∞)，由－b 2＋4b －3>－1，解得2－2<b <2＋ 2.4．(2018·重庆期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋a ，x <1，1－ln x ， x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是(C)A ．(－∞，－1]B ．[－1，＋∞)C ．(－∞，54]D ．[54，＋∞)当x ≥1时，f (x )＝1－ln x ≤1.由于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋a ，x <1，1－ln x ， x ≥1的值域为R ，且当x <1时，f (x )＝x 2＋x ＋a ≥a －12＋14＝a －14，所以a －14≤1，解得a ≤54.5．函数y ＝x 2x 2＋1(x ∈R )的值域为 [0,1) .y ＝x 2x 2＋1＝x 2＋1－1x 2＋1＝1－1x 2＋1.因为x 2＋1≥1，所以0<1x 2＋1≤1，所以0≤y <1. 6．若关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意x ∈(0,1]恒成立，则m 的取值范围为 (－∞，－3] .只需要在x ∈(0,1]时，(x 2－4x )min ≥m 即可．而当x ＝1时，(x 2－4x )min ＝－3，所以m ≤－3. 7．求下列函数的值域： (1)y ＝x ＋1x －3； (2)y ＝2x ＋4x －1； (3)y ＝|x ＋1|＋x －2.(1)y ＝x －3＋4x －3＝1＋4x －3，因为4x －3≠0，所以y ≠1，即所求函数的值域为(－∞，1)∪(1，＋∞)． (2)因为函数的定义域为{x |x ≥1}，又函数是增函数，所以函数的值域为[2，＋∞)． (3)y ＝|x ＋1|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1， x ≥2，3，－1≤x ＜2，1－2x ， x ＜－1.画出函数的图象，由图象观察可知，所求函数的值域为[3，＋∞)．8．已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则m M的值为(A) A.22B. 2 C ．2 2 D ．2由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ＋3≥0，得定义域为[－3,1]，y ≥0，所以y 2＝4＋2x ＋－x ＝4＋2－x ＋2＋4，当x ＝－3或x ＝1，(y 2)min ＝4，所以y min ＝2；当x ＝－1时，(y 2)max ＝8，所以y max ＝2 2. 即m ＝2，M ＝22，所以mM ＝22. 9．已知函数f (x )满足2f (x )－f (1x )＝3x2，则f (x )的最小值为 2 2 .由2f (x )－f (1x )＝3x2， ①令①式中的x 变为1x，可得2f (1x)－f (x )＝3x 2， ②由①②可解得f (x )＝2x2＋x 2，由于x 2>0，由基本不等式可得f (x )＝2x 2＋x 2≥22x2·x 2＝2 2.当x 2＝2时取等号，因此，其最小值为2 2. 10．已知函数f (x )＝1a －1x(a ＞0，x ＞0)．(1)若f (x )在[m ，n ]上的值域是[m ，n ]，求a 的取值范围，并求相应的m ，n 的值； (2)若f (x )≤2x 在(0，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围．(1)因为f (x )＝1a －1x(a ＞0，x ＞0)，所以f (x )在(0，＋∞)上为增函数．那么当x ∈[m ，n ]时，y ∈[m ，n ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧fm ＝m ，fn ＝n .即m ，n 是方程1a －1x＝x 相异的两实根，由1a －1x ＝x ，得x 2－1ax ＋1＝0，由题设知：⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝1a>0，m ·n ＝1＞0，Δ＝1a 2－4＞0.所以0＜a ＜12.此时，m ＝1－1－4a 22a ，n ＝1＋1－4a22a .(2)若1a －1x≤2x 在(0，＋∞)上恒成立．那么a ≥12x ＋1x恒成立．令g (x )＝12x ＋1x(x ＞0)．所以g (x )≤122x ·1x＝24. 故a ≥24.函数的单调性1．(2018·西城区期末)下列四个函数中，定义域为R 的单调递减函数是(D) A ．y ＝－x 2B ．y ＝log 0.5xC ．y ＝1xD ．y ＝(12)xy ＝－x 2在R 上没有单调性，排除A ；y ＝log 0.5x 的定义域不是R ，排除B ；y ＝1x的定义域不是R ，排除C ；y ＝(12)x的定义域为R ，且在R 上单调递减，故选D.2．已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是(A) A ．(－∞，1] B ．(－∞，－1] C ．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)因为函数f (x )在(－∞，－a )上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1.3．已知f (x )是R 上的减函数，则满足f (|1x|)<f (1)的实数x 的取值范围是(C)A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)因为f (x )是R 上的减函数，所以f (|1x |)<f1x|>1，所以0<|x |<1，所以x∈(－1,0)∪(0,1)．4．(2018·城关区期中)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ＋4a ， x ＜1，log a x ， x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是(C)A ．(0,1)B ．(0，13)C ．[17，13)D ．[17，1)因为f (x )＝log a x (x ≥1)是减函数，所以0＜a <1，且f (1)＝0.因为f (x )＝(3a －1)x ＋4a (x <1)为减函数，所以3a －1<0，所以a <13，又因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ＋4a ，x ＜1，log a x ， x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，所以f (x )在(－∞，1]上的最小值大于或等于f (x )在[1，＋∞)上的最大值．所以(3a －1)×1＋4a ≥0，所以a ≥17，故a ∈[17，13)．5．函数f (x )＝log 2(4x －x 2)的单调递减区间是 [2,4) .因为4x －x 2>0，所以0<x <4，又y ＝log 2t 为增函数，所求函数f (x )的递减区间为t ＝4x －x 2(0<x <4)的递减区间是[2,4)．6．已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为 (－3，－1)∪(3，＋∞) .由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a >a ＋3，a 2－a >0，a ＋3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －3>0，a >1或a <0，a >－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a >3或a <－1，a >1或a <0，a >－3，所以a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)． 7．已知函数f (x )＝2x ＋1x ＋1.(1)判断f (x )在区间[1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值．(1)函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数，证明如下：任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋1x 1＋1－2x 2＋1x 2＋1＝x 1－x 2x 1＋x 2＋，因为x 1－x 2<0，(x 1＋1)(x 2＋1)>0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．所以函数f (x )在[1，＋∞)上为增函数． (2)由(1)知，函数f (x )在[1,4]上是增函数，故f (x )max ＝f (4)＝95，f (x )min ＝f (1)＝32.8．(2017·山东卷)若函数e xf (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质．下列函数中具有M 性质的是(A)A ．f (x )＝2－xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝3－xD ．f (x )＝cos x(方法一)若f (x )具有性质M ，则[e x f (x )]′＝e x[f (x )＋f ′(x )]>0在f (x )的定义域上恒成立，即f (x )＋f ′(x )>0在f (x )的定义域上恒成立．对于选项A ，f (x )＋f ′(x )＝2－x－2－xln 2＝2－x(1－ln 2)>0，符合题意．经验证，选项B ，C ，D 均不符合题意．故选A.(方法二)对于A ，e x f (x )＝(e 2)x ，因为e 2>1，所以e xf (x )为增函数．9．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x >0，0， x ＝0，－1， x <0，g (x )＝x 2·f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是(B)A ．[0，＋∞)B ．[0,1)C ．(－∞，1)D ．(－1,1)由条件知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x >1，0， x ＝1，－x 2， x <1.如图所示，其递减区间是[0,1)．10．(2018·安徽皖江名校联考题改编)已知定义在(－2,2)上的函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，x 1≠x 2，且f (a 2－a )>f (2a －2)．(1)求实数a 的取值范围；(2)求函数g (x )＝log a (x 2－x －6)的单调区间．(1)因为定义在(－2,2)上的函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，x 1≠x 2，所以f (x )在(－2,2)上单调递增，又f (a 2－a )>f (2a －2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2<a 2－a <2，－2<2a －2<2，2a －2<a 2－a ，即⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <2，0<a <2，a <1或a >2.所以0<a <1.即a 的取值范围为(0,1)．(2)g (x )＝log a (x 2－x －6)可以看作由y ＝log a u 与u ＝x 2－x －6的复合函数．由u ＝x 2－x －6>0，得x <－2或x >3.因为u ＝x 2－x －6在(－∞，－2)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数，因为0<a <1，所以y ＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数，所以y ＝log a (x 2－x －6)的单调递增区间为(－∞，－2)，单调递减区间为(3，＋∞)．函数的奇偶性与周期性1．(2017·北京卷)已知函数f (x )＝3x－(13)x ，则f (x )(B)A ．是偶函数，且在R 上是增函数B ．是奇函数，且在R 上是增函数C ．是偶函数，且在R 上是减函数D ．是奇函数，且在R 上是减函数因为函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝3－x －(13)－x ＝(13)x －3x ＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数．因为函数y ＝(13)x在R 上是减函数，所以函数y ＝－(13)x在R 上是增函数．又因为y ＝3x在R 上是增函数，所以函数f (x )＝3x－(13)x 在R 上是增函数．2．设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论正确的是(C)A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数因为f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，所以f (－x )g (－x )＝－f (x )g (x )，所以f (x )g (x )为奇函数．|f (－x )|g (－x )＝|f (x )|g (x )，所以|f (x )|g (x )为偶函数．f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|，所以f (x )|g (x )|为奇函数． |f (－x )g (－x )|＝|f (x )g (x )|，所以|f (x )g (x )|为偶函数．3．(2018·华大新高考联盟教学质量测评)设f (x )是周期为4的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1＋x )，则f (－92)＝(A)A ．－34B ．－14C.14D.34f (－92)＝f (－92＋4)＝f (－12)＝－f (12)＝－12(1＋12)＝－34.4．(2018·天津一模)已知偶函数f (x )对于任意x ∈R 都有f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )在区间[0,2]上是递增的，则f (－6.5)，f (－1)，f (0)的大小关系为(A)A ．f (0)<f (－6.5)<f (－1)B ．f (－6.5)<f (0)<f (－1)C ．f (－1)<f (－6.5)<f (0)D ．f (－1)<f (0)<f (－6.5)由f (x ＋1)＝－f (x )，得f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，故函数f (x )是周期为2的函数．又f (x )为偶函数，所以f (－6.5)＝f (－0.5)＝f (0.5)，f (－1)＝f (1)，因为f (x )在区间[0,2]上是递增的，所以f (0)<f (0.5)<f (1)，即f (0)<f (－6.5)<f (－1)．5．(2017·山东卷)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x，则f (919)＝ 6 .因为f (x ＋4)＝f (x －2)，所以f [(x ＋2)＋4]＝f [(x ＋2)－2]，即f (x ＋6)＝f (x )，所以f (x )是周期为6的周期函数，所以f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)．又f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (1)＝f (－1)＝6，即f (919)＝6.6．已知奇函数f (x )在定义域[－10,10]上是减函数，且f (m －1)＋f (2m －1)>0，则实数m 的取值范围为 [－92，23) .由f (m －1)＋f (2m －1)>0f (m －1)>－f (2m －1)，因为f (x )为奇函数，所以－f (x )＝f (－x )，所以f (m －1)>f (1－2m )，又f (x )在[－10,10]上是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－10≤m －1≤10，－10≤2m －1≤10，m －1<1－2m ，解得－92≤m <23.7．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x 恒有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)…＋f (2019)的值．(1)证明：因为f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )．所以f (x )是周期为4的周期函数．(2)因为x ∈[2,4]，所以－x ∈[－4，－2]，所以4－x ∈[0,2]，所以f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8，又f (x )是周期为4的奇函数，所以f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )，所以f (x )＝－f (4－x )，所以f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．(3)因为f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0，f (3)＝－1，又f (x )是周期为4的周期函数，所以f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2016)＋f (2017)＋f (2018)＋f (2019)＝0，所以f (0)＋f (1)＋f (2)…＋f (2019)＝0.8．(2016·山东卷)已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f (x ＋12)＝f (x －12)，则f (6)＝(D)A ．－2B ．－1C ．0D ．2由题意知，当x ＞12时，f (x ＋12)＝f (x －12)，则当x ＞0时，f (x ＋1)＝f (x )．又当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )，所以f (6)＝f (1)＝－f (－1)．又当x ＜0时，f (x )＝x 3－1，所以f (－1)＝－2，所以f (6)＝2.故选D.9．(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝－2 .(方法一)令g (x )＝ln(1＋x 2－x )，则f (x )＝g (x )＋1，因为1＋x 2－x >|x |－x ≥0，所以g (x )的定义域为R ，因为g (－x )＝ln(1＋x 2＋x )＝ln 11＋x 2－x＝－g (x )，所以g (x )为奇函数，所以f (a )＝g (a )＋1＝4，所以g (a )＝3，所以f (－a )＝g (－a )＋1＝－g (a )＋1＝－3＋1＝－2.(方法二)因为f (x )＋f (－x )＝ln(1＋x 2－x )＋1＋ln(1＋x 2＋x )＋1＝ln(1＋x 2－x 2)＋2＝2，所以f (a )＋f (－a )＝2，所以f (－a )＝－2.10．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝－x 2＋ax . (1)若a ＝－2，求函数f (x )的解析式； (2)若函数f (x )为R 上的单调减函数，①求a 的取值范围；②若对任意实数m ，f (m －1)＋f (m 2＋t )<0恒成立，求实数t 的取值范围．(1)当x <0时，－x >0，又因为f (x )为奇函数，且a ＝－2，所以当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝x 2－2x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ， x <0，－x 2－2x ， x ≥0.(2)①当a ≤0时，对称轴x ＝a2≤0，所以f (x )＝－x 2＋ax 在[0，＋∞)上单调递减，由于奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，所以f (x )在(－∞，0)上单调递减，又在(－∞，0)上f (x )>0，在(0，＋∞)上f (x )<0，所以当a ≤0时，f (x )为R 上的单调减函数．当a >0时，f (x )在(0，a 2)上单调递增，在(a2，＋∞)上单调递减，不合题意．所以函数f (x )为单调减函数时，a 的取值范围为(－∞，0]． ②因为f (m －1)＋f (m 2＋t )<0，所以f (m －1)<－f (m 2＋t )，又因为f (x )是奇函数，所以f (m －1)<f (－t －m 2)，因为f (x )为R 上的减函数，所以m －1>－t －m 2恒成立，所以t >－m 2－m ＋1＝－(m ＋12)2＋54对任意实数m 恒成立，所以t >54.即t 的取值范围为(54，＋∞)．二次函数1．已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是(C)A ．∃x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．∃x ∈R ，f (x )≥f (x 0)C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)函数f (x )的最小值是f (－b2a)＝f (x 0)，等价于x ∈R ，f (x )≥f (x 0)，所以C 错误．2．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为[－254，－4]，则m 的取值范围是(D)A ．[0,4]B ．[32，4]C ．[32，＋∞) D．[32，3]二次函数的对称轴为x ＝32，且f (32)＝－254，f (3)＝f (0)＝－4，结合图象可知m ∈[32，3]．3．(2018·双桥区校级月考)设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是(D)(方法一)对于A 选项，因为a <0，－b2a<0，所以b <0，又因为abc >0，所以c >0，由图知f (0)＝c <0，矛盾，故A 错．对于B 选项，因为a <0，－b2a>0，所以b >0，又因为abc >0，所以c <0，由图知f (0)＝c >0，矛盾，故B 错．对于C 选项，因为a >0，－b2a<0，所以b >0，又因为abc >0，所以c >0，由图知f (0)＝c <0，矛盾，故C 错．故排除A ，B ，C ，选D.(方法二)当a >0时，b ，c 同号，C ，D 两图中c <0，故b <0，所以－b2a>0，选D.4．(2018·皖北联考)已知二次函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]上有最大值2，则a 的值为(D)A ．2B ．－1或－3C ．2或－3D ．－1或2因为f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，所以f (x )的图象是开口向下，对称轴是x ＝a 的抛物线，(1)当a <0时，对称轴x ＝a 在区间[0,1]的左边，f (x )在[0,1]上单调递减，所以f (x )max ＝f (0)＝1－a ＝2，解得a ＝－1. (2)当0≤a ≤1时，对称轴x ＝a ∈[0,1]，f (x )在[0，a ]上单调递增，在[a,1]上单调递减，所以f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1＝2，无解．(3)当a >1时，对称轴x ＝a 在区间[0,1]的右边，f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )max ＝f (1)＝a ＝2，有a ＝2. 综上可知，a ＝－1或a ＝2.5．若x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y 2的最小值为 34 .由x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，得x ＝1－2y ≥0，所以0≤y ≤12，设t ＝2x ＋3y 2，把x ＝1－2y 代入，得t ＝2－4y ＋3y 2＝3(y －23)2＋23.因为t ＝f (y )在[0，12]上单调递减，所以当y ＝12时，t 取最小值，t min ＝34.6．设f (x )＝x 2－2ax ＋1.(1)若x ∈R 时恒有f (x )≥0，则a 的取值范围是 [－1,1] ；(2)若f (x )在[－1，＋∞)上递增，则a 的取值范围是 (－∞，－1] ； (3)若f (x )的递增区间是[1，＋∞)，则a 的值是 1 .(1)由Δ≤0，得4a 2－4≤0，所以a ∈[－1,1]．(2)a ≤－1.(3)由对称轴x ＝1知a ＝1.7．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a >1)．(1)若f (x )的定义域和值域均是[1，a ]，求实数a 的值；(2)若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围．(1)因为f (x )＝(x －a )2＋5－a 2(a >1)，所以f (x )在[1，a ]上是减函数，又定义域和值域均为[1，a ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧f＝a ，fa ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＋5＝a ，a 2－2a 2＋5＝1，解得a ＝2.(2)因为f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，所以a ≥2. 又x ＝a ∈[1，a ＋1]，且(a ＋1)－a ≤a －1，所以f (x )max ＝f (1)＝6－2a ，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2，因为对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，因为f (x )max －f (x )min ≤4，得－1≤a ≤3.又a ≥2，所以2≤a ≤3. 故实数a 的取值范围为[2,3]．8．(2017·浙江卷)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m (B)A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关(方法一)设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b .所以M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关．(方法二)由题意可知，函数f (x )的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着b 的变动，相当于图象上下移动，若b 增大k 个单位，则最大值与最小值分别变为M ＋k ，m ＋k ，而(M ＋k )－(m ＋k )＝M －m ，故与b 无关．随着a 的变动，相当于图象左右移动，则M －m 的值在变化，故与a 有关．9．(2018·重庆模拟)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是 (－22，0) .作出二次函数f (x )的图象，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧fm ，fm ＋，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，m ＋2＋m m ＋－1<0，解得－22<m <0.10．已知f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求f (x )的最小值．(1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0,1]上递减，所以f (x )min ＝f (1)＝－2.(2)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x ，图象开口向上，且对称轴为x ＝1a.①当1a≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0,1]内，所以f (x )在[0，1a ]上递减，在[1a，1]上递增，所以f (x )min ＝f (1a )＝1a －2a ＝－1a.②当1a>1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0,1]的右侧，所以f (x )在[0,1]上递减，所以f (x )min ＝f (1)＝a －2.(3)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口向下，且对称轴x ＝1a<0，在y 轴的左侧，所以f (x )＝ax 2－2x 在[0,1]上递减，所以f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2， a <1，－1a， a ≥1.指数与指数函数1. 若函数f (x )＝12x ＋1，则该函数在(－∞，＋∞)上是(A)A ．单调递减无最小值B ．单调递减有最小值C ．单调递增无最大值D ．单调递增有最大值f (x )在R 上单调递减，又2x＋1>1，所以0<f (x )<1，无最大值也无最小值．2．若函数f (x )＝2x＋12x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为(C)A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)因为函数y ＝f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即2－x＋12－x －a ＝－2x＋12x －a ，化简可得a ＝1，则2x＋12x －1＞3，即2x＋12x －1－3＞0，即2x＋1－x－2x－1＞0，故不等式可化为2x－22x －1＜0，即1＜2x＜2，解得0＜x ＜1，故选C.3．函数y ＝|2x－1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，则k 的取值范围是(C) A ．(－1，＋∞) B．(－∞，1) C ．(－1,1) D ．(0,2)由于函数y ＝|2x－1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间(k －1，k ＋1)内不单调，所以有k －1<0<k ＋1，解得－1<k <1.4．已知函数f (x )＝|2x－1|，a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是(D)A ．a <0，b <0，c <0B ．a <0，b ≥0，c >0C ．2－a<2c D ．2a ＋2c<2作出函数y ＝|2x－1|的图象，如下图．因为a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，结合图象知， 0<f (a )<1，a <0，c >0，所以0<2a<1. 所以f (a )＝|2a－1|＝1－2a<1，。

2020届全国高考总复习模拟卷(七)数学(文数)含答案解析

2020届全国高考总复习模拟卷（七）数学（文）（解析版）1、满足条件{}{}11,2,3M=的集合M 的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．12、复数2iz i+=(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于（） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3、PM2.5是评价空气质量的一个重要指标,我国空气质量的PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值,即PM2.5日均浓度在335μg/m 以下空气质量为一级,在3335μg/m 75μg/m ~之间空气质量为二级,在375μg/m 以上空气质量为超标.如图是某地11月1日到10日日均值(单位:3μg/m )的统计数据,则下列叙述不正确的是()A.这10天中有4天空气质量为一级B.这10天中PM2.5日均值最高的是11月5日C.从5日到9日,日均值逐渐降低D.这10天的日均值的中位数是454、若π3cos 1(2π)2αα=≤≤,则sin2α=( )A.C.79-D.79 5、设x y 、满约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则24z x y =-的最小值是( ) A ．22-B ．13-C ．10-D ．20-6、函数()1ππsin cos 536f x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-⎝++⎭=的最大值为（）A.65B.1C.35D.157、函数()23xef x x =-的大致图像是( )A. B.C. D.8、已知向量a b ,的夹角为π3，且a =b =a b -=（）B.10D.269、将半径为3,圆心角为23π的扇形围成一个圆锥,则该圆锥的内切球的体积为( )A.3B. C.43π D. 2π10、执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x 的值为4,第二次输人的x 的值为5,记第一次输出的a 的值为1a ，第二次输出的2a 的值为2a ，则12a a -=( )A.0B.1-C.1D.211、如图，1111ABCD A B C D -为正方体，下面结论错误的是()A.//BD 平面11CB DB.1AC BD ⊥C.1AC ⊥平面11CB DD.异面直线AD 与1CB 所成的角为60︒12、已知12,F F 分别是椭圆22221(0),x y a b a b -=>>的左、右焦点,过2F 的直线与椭圆分别交于,,P Q 两点,若1,PQ PF ⊥且112,QF PF =则12PF F △与1QF F △的面积之比为（）A.2-11D.213、在ABC △中，3AC =，3sin 2sin A B =，且1cos 4C =，则AB = ． 14、已知函数()1x f x xe -=，则曲线()1y f x x ==在处的切线方程为__________. 15、已知n S 是数列{}n a 的前n 项和,且2n n S a =-,则5S =______.16、若定义在[]1,1-上的函数()312f x ax a =+-在()1,1-上存在零点，则实数a 的取值范围为______________.17、已知数列{}n a 满足11a =，23a =，()*2132n n n a a a n N =-∈＋＋． (1)证明：数列1{}n n a a -＋是等比数列； (2)求数列{}n a 的通项公式．18、2017年“双节”期间，高速公路车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速()km/h 分成六段： [)60,65， [)65,70， [)70,75， [)75,80， [)80,85， []85,90后得到如图的频率分布直方图.1.求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值；2.若从车速在[)60,70的车辆中任抽取2辆，求车速在[)65,70的车辆至少有一辆的概率.19、如图,在三棱柱111ABC A B C -中,侧面11CBB C 是菱形,160C CB ∠=° ,平面ABC ⊥平面11CBB C ,M 为1BB 的中点,AC BC ⊥.1.证明:1CC ⊥平面11AC M ;2.若2CA CB ==,求三棱锥11C ACM -的体积. 20、在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于,A B 两点，点C 的坐标为()0,1，当m 变化时，解答下列问题:(1)能否出现AC BC ⊥的情况？说明理由；(2)证明过,,A B C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值 21、已知函数()()0af x x a x=+>. （I ）判断函数()f x 的奇偶性并证明；（II ）若4a =，证明：函数()f x 在区间()2,+∞上是增函数. 22、已知曲线22:94360C x y +-= ，直线2:(22x tl t y t =+⎧⎨=-⎩为参数)． (1).写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2).已知点P 为曲线C 上的一个动点，求点P 到直线l 的距离的最大值及最小值． 23、已知()21f x x x =+-. 1.解关于x 的不等式()0f x >;2.对于任意正数,m n ，求使得不等式2211()2f x nm m n ≤++恒成立的x 的取值集合M .答案以及解析1答案及解析：答案：C 解析：∵{}{}11,2,3M=∴{}1,2,3M =或{}2,3M =．2答案及解析：答案：D 解析：()22212i ii z i i i++===-，其在复平面内对应的点为()1,2-，位于第四象限，故选D3答案及解析：答案：D解析：由图知空气质量为一级的有11月3,8,9,10日，共4天，所以A 正确；11月5日的PM2.5日均浓度值为82,是10天中最高的，所以B 正确；11月5,6,7,8,9日的PM2.5日均浓度值分别为82,73,58,34,30,逐渐降低，所以C 正确;这10天的PM2.5日均浓度值的中位数为454947,2+=所以D 不正确，故选D.4答案及解析：答案：A解析：由3cos 1α=得1cos 3α=，又π[,2π]2α∈，则3π(,2π)2α∈，则sin 3α==-，所以sin 22sin cos 2(ααα=⋅=⨯13⨯=5答案及解析：答案：A解析：由x y 、满约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩作出可行域如图，联立170x x y =⎧⎨+-=⎩，解得(1,6)A ，化目标函数24z x y =-为124z y x =-，由图可得，当直线124z y x =-过点(1,6)A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为22-．6答案及解析：答案：A解析：因为ππππcos cos sin 6323x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤-=+-=⎥⎣⎝+⎢⎭⎦,所以()6πsin 53f x x =+⎛⎫ ⎪⎝⎭,于是()f x 的最大值为65,故选A7答案及解析：答案：A解析：由题意知，函数()f x的定义域为((),-∞⋃⋃+∞，且()()f x f x -=所以()f x 是偶函数，排除C,D又当(x ∈时()0f x <,排除B,故选A.8答案及解析：答案：C解析：πcos43a b ⋅=，则a b -9答案及解析：答案：A解析：扇形弧长2C π=,圆锥底面半径为1,圆锥的轴截面所在等腰三角形内切圆即为内切球的大圆,可得圆半径为2,内切球的体积为3,故选A.10答案及解析：答案：B解析：当输入的x 的值为4时，不满足2b x >，但满足4能被2 整除，故输出的10a =;当输入的x 的值为5时，不满足2b x >；也不满足5能被2整除，故3b =,继续循环，满足2b x >故输出的21a =则 12011a a -=-=-，故选 B.11答案及解析：答案：D 解析：A 中因为11//BDB D ，正确；B 中因为AC BD ⊥，由三垂线定理知正确； C 中由三垂线定理可知111AC B D ⊥，11AC B C ⊥，故正确； D 中显然异面直线AD 与1CB 所成的角为45︒ 故选：D ．A 中因为11//BDB D 可判，B 和C 中可由三垂线定理进行证明；而D 中因为11//CB D A ，所以1D AD ∠即为异面直线所成的角，145D AD ∠=︒．本题考查正方体中的线面位置关系和异面直线所成的角，考查逻辑推理能力．12答案及解析：答案：D解析：如图，设1,PF m =则12.QF m =1,PQ PF ⊥,PQ ∴=1134,PF QF PQ m m a ∴++=+=.a ∴=又22,PF a m =-1221,2PF F S m ∴=⨯△12112QF F PQF PF F S S S =-=△△△221,2m ⨯121222PF F QF F S S ∴==+△△ 故选D.13答案及解析：答案：解析：3sin 2sin A B =，∴由正弦定理可得：32BC AC =， ∴由3AC =，可得：2BC =，1cos 4C =， ∴由余弦定理可得：2221324232AB +--=⨯⨯，∴解得：AB ．14答案及解析：答案：21y x =-解析：1(1)1,()(1)x f f x x e -'==+，所以(1)2f '=，所以切线方程为12(1)y x -=-，即21y x =-15答案及解析：答案：3116解析：∵2n n S a =-，∴1112S a a ==-，解得11a =，当2n ≥时，2n n S a =-①，112n n S a --=-② 由①-②可得12n n s a -=，即112n n a a -=，∴{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列， ∴5511[1()]31211612S ⨯-==-16答案及解析：答案：()1,1,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭解析：由题意可知(1)(1)0f f -<，又()(1)51,11f a f a -=-+=+，所以51010a a -+>⎧⎨+<⎩或51010a a -+<⎧⎨+>⎩，所以实数a 的取值范围为()1,1,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.17答案及解析：答案：解 (1)证明：2132n n n a a a =-＋＋，()2112n n n n a a a a -=-∴＋＋＋，2112n n n na a a a ∴-=-＋＋＋．1213a a ==，，1{}n n a a ∴-＋是以212a a -=为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)得12n n n a a -=＋，()()()112211n n n n n a a a a a a a a =--∴++⋯-++－－－122221n n =++⋯++－－21n =-．故数列{}n a 的通项公式为21n n a =-．解析：18答案及解析：答案：众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5，设图中虚线所对应的车速为x ，则中位数的估计值为： ()0.015+0.0250.0450.06750.5x ⨯⨯+⨯+⨯-=，解得77.5x =．即中位数的估计值为77.5．（2）从图中可知，车速在的车辆数为：（辆），车速在[)65,70的车辆数为：20.025404m =⨯⨯=（辆），设车速在[)60,65的车辆设为,a b ，车速在[)65,70的车辆设为,,,c d e f ，则所有基本事件有：()()()()()()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a e a f b c b d b e b f c d c e c f d e d f e f 共15种，其中车速在[)65,70的车辆恰有一辆的事件有：()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,a c a d a e a f b c b d b e b f 共8种．所以，车速在[)65,70的车辆恰有一辆的概率为815p =．解析：19答案及解析：答案：1.【证明】如图，连接1C B , ∵平面,ABC ⊥平面11CBB C ，平面ABC ⋂平面11CBB C BC =，且,AC BC AC ⊥⊂平面ABC ， ∴AC ⊥平面11CBB C . 又11//AC AC ,∴111AC CC ⊥，∵四边形11CBB C 是菱形，160C CB ∠=°， ∴11C BB △为等边三角形.又M 为1BB 的中点，∴11C M BB ⊥. ∵11//CC BB ,∴11C M CC ⊥又111111,AC C M C AC ⋂=⊂平面111,AC M C M ⊂平面11AC M ， ∴1CC ⊥平面11AC M .2.【解】由题意知11112C M A C AC CC ====. ∵AC ⊥平面11CBB C ，而1C M ⊂平面11CBB C ， ∴1AC C M ⊥.又11//AC AC ，∴111AC C M ⊥,∴11AC M △的面积11122A C MS =⨯△由1可知1CC ⊥平面11AC M ,∴三棱锥11C ACM -的体积1111C A CM C A C M V V --==11111233A C M S CC ⋅⋅==△. 解析：20答案及解析：答案：(1)不能出现AC BC ⊥的情况,理由如下:设()()12,0,,A x B x O ,则12,x x 满足220x mx +-=,所以122x x =-. 又C 的坐标为()0,1,故AC 的斜率与BC 的斜率之积为121112x x --⋅=-，所以不能出现AC BC ⊥的情况(2)BC 的中点坐标为21,22x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,可得BC 的中垂线方程为22122x y x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.由(1)可得12x x m +=-,所以AB 的中垂线方程为2mx =-.联立222122m x x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎛⎫⎪-=- ⎪⎪⎝⎭⎩又22220x mx +-=,可得212m x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 所以过,,A B C 三点的圆的圆心坐标为1,22m ⎛⎫ ⎪⎝-⎭-,半径r =故圆在y轴上截得的弦长为3=,即过,,A B C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.解析：21答案及解析：答案：证明：函数()af x x x=+的定义域为(),0(0,)-∞⋃+∞，关于原点对称. 又因为()()()a af x x x f x x x-=-+=-+=--. 所以函数()f x 为奇函数；证明：4()f x x x=+，设12,x x 是区间()2,+∞上的任意两个实数且12x x <， ()()12122244f x f x x x x x ⎛⎫-=+-+ ⎪⎝⎭121244x x x x =-+- ()12124=1x x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭()()1212124x x x x x x --=1212,0x x x x <<-∴ 12,(2,)x x ∈+∞ 124x x >∴ 1240x x ->∴()()120f x f x -<∴，即()()12f x f x <.∴函数()f x 在()2,+∞上为增函数. 解析：22答案及解析：答案：(1).由2294360x y +-=得22149x y +=，曲线C 的轨迹为椭圆∴曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），∵直线2:22x tl y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)∴消去t 得，直线l 的普通方程为：260x y +-=(2).设点P 的坐标为(2cos ,3sin )θθ，则点P 到直线l 的距离设为d ，则d 4tan 3φ=）1sin()1θφ-≤+≤max min d d ∴==即点P 到直线l ．解析：23答案及解析：答案：1.当0x ≤时，不等式化为214x x -+->，∴1x <-; 当01x <<时，不等式化为214x x +->，解得3x >，无解当1x ≥时，不等式化为214x x +->,∴53x >综上,不等式()4f x >的解集为5(,1)(,)3-∞-⋃+∞.2.∵22112224nm nm m n mn++≥+≥，当且仅当1m n ==时“=”成立， ∴214x x +-≤,由1知x 的取值集合M 为5[1,]3-.解析：。

天津市2020〖人教版〗高三数学复习试卷全国统一高考数学试卷理科参考答案与试题解析

天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷全国统一高考数学试卷理科参考答案与试题解析创作人：百里公地创作日期：202X.04.01审核人：北堂址重创作单位：博恒中英学校一、选择题（共15小题，1-10每小题4分,11-15每小题5分，满分65分）1．（4分）设集合M={x|0≤x＜2}，集合N={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合M∩N=（）A ．{x|0≤x＜1}B．{x|0≤x＜2}C．{x|0≤x ≤1}D．{x|0≤x≤2}考点：交集及其运算．分析：解出集合N中二次不等式，再求交集．解答：解：N={x|x 2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，∴M∩N={x|0≤x＜2}，故选B点评：本题考查二次不等式的解集和集合的交集问题，注意等号，较简单．2．（4分）如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，那么实数a等于（）A ．﹣6 B．﹣3 C．D．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题．分析：根据它们的斜率相等，可得=3，解方程求a的值．解答：解：∵直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，∴它们的斜率相等，∴=3，∴a=﹣6．故选A．点评：本题考查两直线平行的性质，两直线平行，斜率相等．3．（4分）函数y=tan（）在一个周期内的图象是（）A ．B．C．D．考点：正切函数的图象．专题：综合题．分析：先令tan（）=0求得函数的图象的中心，排除C，D；再根据函数y=tan（）的最小正周期为2π，排除B．解答：解：令tan（）=0，解得x=kπ+，可知函数y=tan（）与x轴的一个交点不是，排除C，D∵y=tan（）的周期T==2π，故排除B故选A点评：本题主要考查了正切函数的图象．要熟练掌握正切函数的周期，单调性，对称中心等性质．4．（4分）已知三棱锥P﹣ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，BC=2．则二面角P﹣BC﹣A的大小为（）A ．B．C．D．考点：平面与平面之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合题．专题：计算题．分析：要求二面角P﹣BC﹣A的大小，我们关键是要找出二面角P﹣BC﹣A的大小的平面角，将空间问题转化为平面问题，然后再分析二面角P﹣BC﹣A的大小的平面角所在的三角形的其它边与角的关系，解三角形进行求解．解答：解：如图所示，由三棱锥的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，得PB=PC=，PA=BC=2，取BC的中点E，连接AE，PE，则∠AEP即为所求二面角的平面角．且AE=EP=，∵AP2=AE2+PE2，∴∠AEP=，故选C．点评：求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠AEP为二面角P﹣BC﹣A的平面角，通过解∠AEP所在的三角形求得∠AEP．其解题过程为：作∠AEP→证∠AEP是二面角的平面角→计算∠AEP，简记为“作、证、算”．5．（4分）函数y=sin（）+cos2x的最小正周期是（）A ．B．πC．2πD．4π考点：三角函数的周期性及其求法．分析：先将函数化简为：y=sin（2x+θ），即可得到答案．解答：解：∵f（x）=sin（）+cos2x=cos2x﹣sin2x+cos2x=（+1）cos2x﹣sin2x=sin（2x+θ）∴T==π故选B．点评：本题主要考查三角函数的最小正周期的求法．属基础题．6．（4分）满足arccos（1﹣x）≥arccosx的x的取值范围是（）A ．[﹣1，﹣]B．[﹣，0]C．[0，]D．[，1]考点：反三角函数的运用．专题：计算题．分析：应用反函数的运算法则，反函数的定义及性质，求解即可．创作人：百里公地创作日期：202X.04.01解答：解：arccos（1﹣x）≥arccosx 化为cos[arccos（1﹣x）]≤cos[arccosx]所以1﹣x≤x，即：x，又x∈[﹣1，1]，所以x的取值范围是[，1]故选D．点评：本题考查反余弦函数的运算法则，反函数的定义域，考查学生计算能力，是中档题．7．（4分）将y=2x的图象____________再作关于直线y=x对称的图象，可得到函数y=log2（x+1）的图象（）A ．先向左平行移动1个单位B．先向右平行移动1个单位C ．先向上平行移动1个单位D．先向下平行移动1个单位考点：反函数；函数的图象与图象变化．分析：本题考查函数图象的平移和互为反函数的函数图象之间的关系两个知识点，作为本题，可以用逐一验证的方法排除不合题意的选项，验证的个数在1到3个，对于本题，这不是最佳选择，建议逆推得到平移后的解析式，这样就可以方便的观察到平移的方向及单位数．解答：解：利用指数式和对数式的互化，由函数y=log2（x+1）解得：x=2y﹣1则函数y=log2（x+1）（x＞﹣1）的反函数为y=2x﹣1（x∈R）即函数y=2x平移后的函数为y=2x﹣1，易见，只需将其向下平移1个单位即可．故选D点评：本题采用先逆推获取平移后的解析式的方法，得到解析式后平移的方向和单位便一目了然，简便易行，值得尝试．8．（4分）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（）A ．20πB．25πC．50πD．200π考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：设出球的半径，由于直径即是长方体的体对角线，由此关系求出球的半径，即可求出球的表面积．解答：解：设球的半径为R，由题意，球的直径即为长方体的体对角线，则（2R）2=32+42+52=50，∴R=．∴S球=4π×R2=50π．故选C点评：本题考查球的表面积，球的内接体，考查计算能力，是基础题．9．（4分）曲线的参数方程是（t是参数，t≠0），它的普通方程是（）A ．（x﹣1）2（y﹣1）=1B．y=C．D．创作人：百里公地创作日期：202X.04.01考点：参数方程的概念．专题：计算题．分析：由题意知x=1﹣，可得x﹣1=﹣，将方程两边平方，然后与y﹣1=﹣t2，相乘消去t即可求解．解答：解：∵曲线的参数方程是（t是参数，t≠0），∴，∴将两个方程相乘可得，（x﹣1）2（1﹣y）=1，∴y=，故选B．点评：此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．10．（4分）函数y=cos2x﹣3cosx+2的最小值为（）A ．2 B．0 C．D．6考点：函数的值域；余弦函数的定义域和值域．专题：计算题．分析：先进行配方找出对称轴，而﹣1≤cosx≤1，利用对称轴与区间的位置关系求出最小值．解答：解：y=cos2x﹣3cosx+2=（cosx﹣）2﹣∵﹣1≤cosx≤1∴当cosx=1时y min=0，故选B点评：本题以三角函数为载体考查二次函数的值域，属于求二次函数的最值问题，属于基本题．11．（5分）椭圆C与椭圆关于直线x+y=0对称，椭圆C的方程是（）A ．B．C．D．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．分析：依题意可知椭圆C关于直线x+y=0对称，长轴和短轴不变，主要椭圆的中心即可．根据原椭圆方程可求得其中心坐标，进而求得其关于直线x+y=0对称点，则椭圆方程可得．解答：解：依题意可知椭圆C关于直线x+y=0对称，长轴和短轴不变，主要椭圆的中心即可．∵椭圆的中心为（3，2）关于直线x+y=0对称的点为（﹣2，﹣3）故椭圆C的方程为故选A．点评：本题主要考查了直线与椭圆的关系及点关于直线对称的问题．属基础题．12．（5分）圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是（）A ．πB．2πC．πD．π考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：通过圆台的底面面积，求出上下底面半径，利用侧面积公式求出母线长，然后求出圆台的高，即可求得圆台的体积．解答：解：S1=π，S2=4π，∴r=1，R=2，S=6π=π（r+R）l，∴l=2，∴h=．∴V=π（1+4+2）×=π．故选D点评：本题是基础题，通过底面面积求出半径，转化为求圆台的高，是本题的难点，考查计算能力，常考题．13．（5分）（•碑林区一模）定义在区间（﹣∞，+∞）的奇函数f（x）为增函数；偶函数g（x）在区间[0，+∞）的图象与f（x）的图象重合，设a＞b＞0，给出下列不等式：①f（b）﹣f（﹣a）＞g（a）﹣g（﹣b）；②f（b）﹣f（﹣a）＜g（a）﹣g（﹣b）；③f（a）﹣f（﹣b）＞g（b）﹣g（﹣a）；④f（a）﹣f（﹣b）＜g（b）﹣g（﹣a），其中成立的是（）A ．①与④B．②与③C．①与③D．②与④考点：函数奇偶性的性质．分析：根据f（﹣a）=﹣f（a），f（﹣b）=﹣f（b），g（﹣a）=g（a）=f（a），g（﹣b）=g （b）=f（b），对①②③④进行逐一验证即可得答案．解答：解：由题意知，f（a）＞f（b）＞0又∵f（﹣a）=﹣f（a），f（﹣b）=﹣f（b），g（﹣a）=g（a）=f（a），g（﹣b）=g（b）=f（b）；∴①f（b）﹣f（﹣a）＞g（a）﹣g（﹣b）⇔f（b）+f（a）＞f（a）﹣f（b）⇔f（b）＞﹣f（b），故①对②不对．③f（a）﹣f（﹣b）＞g（b）﹣g（﹣a）⇔f（b）+f（a）＞f（b）﹣f（a）⇔f（a）＞﹣f（a），故③对④不对．故选C．点评：本题主要考查函数奇偶性的应用．14．（5分）不等式组的解集是（）A ．{x|0＜x＜2}B．{x|0＜x＜2.5}C．D．{x|0＜x＜3}考点：其他不等式的解法．专题：压轴题．分析：可以直接去绝对值解不等式，比较复杂；可结合答案用特值法解决．解答：解：取x=2满足不等式，排除A；再取x=2.5，不满足，排除B、D故选C点评：本题考查解绝对值不等式和分式不等式问题，要注意选择题的特点，选择特殊做法解决．15．（5分）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有（）A ．150种B．147种C．144种D．141种考点：排列、组合的实际应用；计数原理的应用．专题：计算题；压轴题．分析：由题意知从10个点中任取4个点有C104种取法，减去不合题意的结果，4点共面的情况有三类，取出的4个点位于四面体的同一个面上；取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点；由中位线构成的平行四边形，用所有的结果减去不合题意的结果即可得答案．解答：解：从10个点中任取4个点有C104种取法，其中4点共面的情况有三类．第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有4C64种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4顶点共面，有3种．以上三类情况不合要求应减掉，∴不同的取法共有C104﹣4C64﹣6﹣3=141种．故选D．点评：本题考查分类计数原理，考查排列组合的实际应用，是一个排列组合同立体几何结合的题目，解题时注意做到不重不漏．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）16．（4分）已知的展开式中x3的系数为，常数a的值为4．考点：二项式定理；二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3求出展开式中x3的系数，列出方程解得．解答：解：的展开式的通项为=令解得r=8∴展开式中x3的系数为∵展开式中x3的系数为∴解得a=4故答案为4点评：本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．17．（4分）（•陕西模拟）已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是．创作人：百里公地创作日期：202X.04.01考点：简单曲线的极坐标方程；与圆有关的比例线段；不等式的基本性质．专题：计算题；压轴题．分析：先将原极坐标方程中的三角函数式展开后两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行求解即得．解答：解：将原极坐标方程，化为：ρsinθ+ρcosθ=1，化成直角坐标方程为：x+y﹣1=0，则极点到该直线的距离是=．故填；．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．18．（4分）的值为．考点：角的变换、收缩变换．专题：计算题；压轴题．分析：先将分式中的15°化为7°+8°，利用两角和的余弦、正弦展开，分子、分母分组提取sin7°，cos7°，再用同角三角函数的基本关系式，化简，然后，就会求出tan15°，利用两角差的正切，求解即可．解答：解：=======tan15°=tan（45°﹣30°）===，故答案为：点评：本题考查角的变换，两角和的正弦、余弦，同角三角函数的基本关系式，考查学生运算能力，是中档题．19．（4分）已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：①若l垂直于α内两条相交直线，则l⊥α；②若l平行于α，则l平行于α内所有的直线；③若m⊊α，l⊊β且l⊥m，则α⊥β；④若l⊊β且l⊥α，则α⊥β；⑤若m⊊α，l⊊β且α∥β，则l∥m．其中正确命题的序号是①④．考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．创作人：百里公地创作日期：202X.04.01专题：压轴题．分析：对于①，考虑直线与平面垂直的判定定理，符合定理的条件故正确；对于②，考虑直线与平面平行的性质定理以及直线与平面的位置关系，故错误；对于③考虑α⊥β的判定方法，而条件不满足，故错误；对于④符合面面垂直的判定定理，故正确；对于⑤不符合线线平行的判定，故错误．正确命题的序号是①④解答：解：①，符合定理的条件故正确；②，若l平行于α，则l与α内的直线有两种：平行或异面，故错误；③m⊊α，l⊊β且l⊥m，则α与β可以相交但不垂直；④符合面面垂直的判定定理，故正确；⑤若m⊊α，l⊊β且α∥β，则l∥m或者异面，错误，故正确命题的序号是①④．点评：本题考查立体几何中线线关系中的平行、线面关系中的垂直、面面关系中的垂直的判定方法，要注意对比判定定理的条件和结论，同时要注意性质定理、空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的应用．三、解答题（共6小题，满分69分）20．（10分）已知复数，．复数，z2ω3在复数平面上所对应的点分别为P，Q．证明△OPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）．考点：复数代数形式的混合运算．分析：利用复数三角形式，化简复数，．然后计算复数，z2ω3，计算二者的夹角和模，即可证得结论．解答：解法一：，于是，，=因为OP与OQ的夹角为，所以OP⊥OQ．因为，所以|OP|=|OQ|由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形．解法二：因为，所以z3=﹣i．因为，所以ω4=﹣1于是由此得OP⊥OQ，|OP|=|OQ|．由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形．点评：本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算以及复数的几何意义等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力，是中档题．21．（11分）已知数列{a n}，{b n}都是由正数组成的等比数列，公比分别为p、q，其中p＞q，且p≠1，q≠1．设c n=a n+b n，S n为数列{c n}的前n项和．求．考点：等比数列的通项公式；极限及其运算；数列的求和．专题：计算题．创作人：百里公地创作日期：202X.04.01分析：先根据等比数列的通项公式分别求出a n和b n，再根据等比数列的求和公式，分别求得S n 的表达式，进而可得的表达式，分p＞1和p＜1对其进行求极限．和S n﹣1解答：解：，．分两种情况讨论．（Ⅰ）p＞1．∵，====p．（Ⅱ）p＜1．∵0＜q＜p＜1，==点评：本小题主要考查等比数列的概念、数列极限的运算等基础知识，考查逻辑推理能力和运算能力．22．（12分）甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？考点：根据实际问题选择函数类型；基本不等式在最值问题中的应用．专题：应用题．分析：（1）全程运输成本有两部分组成，将其分别分别表示出来依题意建立起程运输成本y （元）表示为速度v（千米/时）的函数，由题设条件速度不得超过c千米/时．故定义域为v∈（0，c]．（2）由（1）知，全程运输成本关于速度的函数表达式中出现了积为定值的情形，由于等号成立的条件有可能不成立，故求最值的方法不确定，对对速度的范围进行分类讨论，如等号成立时速度值不超过c，则可以用基本不等式求求出全程运输成本的最小值，若等号成立时速度值大于最高限速v，可以判断出函数在（0，c]上的单调性，用单调性求出全程运输成本的最小值．解答：解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为创作人：百里公地创作日期：202X.04.01故所求函数及其定义域为（2）依题意知S，a，b，v都为正数，故有当且仅当，．即时上式中等号成立若，则当时，全程运输成本y最小，若，即a＞bc2，则当v∈（0，c]时，有==因为c﹣v≥0，且a＞bc2，故有a﹣bcv≥a﹣bc2＞0，所以，且仅当v=c时等号成立，也即当v=c时，全程运输成本y最小．综上知，为使全程运输成本y最小，当时行驶速度应为；当时行驶速度应为v=c．点评：本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力．23．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．（1）证明AD⊥D1F；（2）求AE与D1F所成的角．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；证明题．分析：（1）证明线线垂直可先证线面垂直，欲证AD⊥D1F，可先证AD⊥面DC1，即可证得；（2）先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，取AB的中点G，将D1F平移到A1G，AB与A1G构成的锐角或直角就是异面直线所成的角，利用三角形全等求出此角即可．解答：解：（Ⅰ）∵AC1是正方体，∴AD⊥面DC1．又D1F⊂面DC1，∴AD⊥D1F．（Ⅱ）取AB中点G，连接A1G，FG．因为F是CD的中点，所以GF、AD平行且相等，又A1D1、AD平行且相等，所以GF、A1D1平行且相等，故GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F．设A1G与AE相交于点H，则∠AHA1是AE与D1F所成的角，因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌Rt△ABE，∠GA1A=∠GAH，从而∠AHA1=90°，即直线AE与D1F所成角为直角．点评：本小题主要考查异面直线及其所成的角，考查逻辑推理能力和空间想象能力，属于基础题．25．（12分）（•北京模拟）设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x﹣2y=0的距离最小的圆的方程．考点：直线与圆的位置关系．专题：压轴题．分析：圆被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，劣弧所对的圆心角为90°，设圆的圆心为P （a，b），圆P截X 轴所得的弦长为，截y轴所得弦长为2；可得圆心轨迹方程，圆心到直线l：x﹣2y=0的距离最小，利用基本不等式，求得圆的方程．解答：解法一：设圆的圆心为P（a，b），半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|．由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P截X 轴所得的弦长为，故r2=2b2，又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有r2=a2+1．从而得2b2﹣a2=1．又点P（a，b）到直线x﹣2y=0的距离为，所以5d2=|a﹣2b|2=a2+4b2﹣4ab≥a2+4b2﹣2（a2+b2）=2b2﹣a2=1，当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2=1，从而d取得最小值．由此有解此方程组得或由于r2=2b2知．于是，所求圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，或（x+1）2+（y+1）2=2．解法二：同解法一，得∴得①将a2=2b2﹣1代入①式，整理得②把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即△=8（5d2﹣1）≥0，得5d2≥1．∴5d2有最小值1，从而d 有最小值．将其代入②式得2b2±4b+2=0．解得b=±1．将b=±1代入r2=2b2，得r2=2．由r2=a2+1得a=±1．综上a=±1，b=±1，r2=2．由|a﹣2b|=1知a，b同号．于是，所求圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，或（x+1）2+（y+1）2=2．点评：本小题主要考查轨迹的思想，求最小值的方法，考查综合运用知识建立曲线方程的能力．易错的地方，创作人：百里公地创作日期：202X.04.01P到x轴，y轴的距离，不能正确利用基本不等式．24．（12分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2满足0＜x1＜x2＜．（1）当x∈（0，x1）时，证明x＜f （x）＜x1；（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，证明x0＜．考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；不等式的证明．专题：证明题；压轴题；函数思想；方程思想；作差法．分析：（1）方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2，所以构造函数，当x∈（0，x1）时，利用函数的性质推出x＜f （x），然后作差x1﹣f（x），化简分析出f（x）＜x1，即可．（2）．方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2，函数f（x）的图象，关于直线x=x0对称，利用放缩法推出x0＜；解答：证明：（1）令F（x）=f（x）﹣x．因为x1，x2是方程f（x）﹣x=0的根，所以F（x）=a（x﹣x1）（x﹣x2）．当x∈（0，x1）时，由于x1＜x2，得（x﹣x1）（x﹣x2）＞0，又a＞0，得F（x）=a（x﹣x1）（x﹣x2）＞0，即x＜f（x）．x1﹣f（x）=x1﹣[x+F（x）]=x1﹣x+a（x1﹣x）（x﹣x2）=（x1﹣x）[1+a（x﹣x2）]因为所以x1﹣x＞0，1+a（x﹣x2）=1+ax﹣ax2＞1﹣ax2＞0．得x1﹣f（x）＞0．由此得f（x）＜x1．（2）依题意知因为x1，x2是方程f（x）﹣x=0的根，即x1，x2是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的根．∴，因为ax2＜1，所以．点评：本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．创作人：百里公地创作日期：202X.04.01审核人：北堂址重创作单位：博恒中英学校创作人：百里公地创作日期：202X.04.01。

(安徽专用)2020届高考数学一轮复习方案滚动基础训练卷(17) 文 (含解析)

45分钟滚动基础训练卷(十七)(考查范围：第1讲～第55讲分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合A ＝{x|y ＝ln(2－x)≤2}，集合B ＝{y|y ＝e x －1，x ∈R}，则A∩B 为( )A ．(－1，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(－1，2)D ．[2－e 2，2)2．如果命题“p 且q”是假命题，“綈q”也是假命题，则( ) A ．命题“綈p 或q”是假命题 B ．命题“p 或q”是假命题 C ．命题“綈p 且q”是真命题 D ．命题“p 且綈q”是真命题3．为了得到函数y ＝12log 2(x －1)的图象，可将函数y ＝log 2x 的图象上所有的点的( )A ．纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，再向右平移1个单位长度B ．纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，再向左平移1个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度D ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度 4．已知圆O 的半径为3，直径AB 上一点D 使AB →＝3AD →，E ，F 为另一直径的两个端点，则DE →·DF →＝( )A．－3 B．－4C．－8 D．－65．[2020·池州一中月考] 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围是( )A．0≤k≤43B．k<0或k>43C.34≤k≤43D．k≤0或k>43图G17－16．图G17－1中几何体为正方体的一部分，则以下图形不可能．．．是该几何体三视图之一的是( )图G17－27．已知某程序框图如图G17－3所示，则该程序运行后，输出的结果为( )图G17－3 A ．0.6 B ．0.8 C ．0.5 D ．0.28．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 11－a 8＝3，S 11－S 8＝3，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1＝( )A ．4n 2－22n ＋10 B.n 2－17n 2C ．n 2－9nD ．2n 2－10n二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．已知函数f(x)＝x 2＋bx ＋1是R 上的偶函数，则实数b ＝________；不等式f(x －1)<x 的解集为________．10．已知不等式组⎩⎨⎧x ≤1，x ＋y ＋2≥0，kx －y≥0表示的平面区域为Ω，其中k≥0，则当Ω的面积最小时的k 为________．11．在直角坐标平面xOy 中，已知两定点F 1(－1，0)与F 2(1，0)位于动直线的同侧，设集合P ＝{l|点F 1与点F 2到直线l 的距离之和等于2}，Q ＝{(x ，y)|(x ，y)∉l ，l∈P}．则由Q 中的所有点所组成的图形的面积是________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．设△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等比数列，且sinAsinC ＝34.(1)求角B 的大小；(2)若x∈[0，π)，求函数f(x)＝sin(x －B)＋sinx 的值域．13．某学校共有教职工900人，分成三个批次进行继续教育培训，在三个批次中男、女教职工人数如下表所示．已知在全体教职工中随机抽取1名，抽到第二批次中女教职工的概率是0.16.(1)求x的值；(2)现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取54名做培训效果的调查，问应在第三批次中抽取教职工多少名？(3)已知y≥96，z≥96，求第三批次中女教职工比男教职工多的概率．14．如图G17－4，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA＝AB＝4，G为PD中点，E点在AB上，平面PEC⊥平面PCD.(1)求证：AG⊥平面PCD；(2)求证：AG∥平面PEC；(3)求点G到平面PEC的距离．图G17－445分钟滚动基础训练卷(十七)1．C [解析] 由题意得0<2－x≤e 2，得A ＝{x|2－e 2≤x<2}，B ＝{y|y>－1}，所以A∩B＝(－1，2)．故选C.2．C [解析] 因为“綈q”是假命题，所以“q”是真命题，又“p 且q”是假命题，所以“p”是假命题，“綈p”是真命题，所以命题“綈p 且q”是真命题．故选C.3．A [解析] 变换过程是y ＝log 2x →y ＝12log 2x →y ＝12log 2(x －1)．即将y ＝log 2x 的图象纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，再向右平移1个单位长度得到函数y ＝12log 2(x －1)的图象．故选A.4．C [解析] 由已知得DO →2＝1，OE →2＝9，所以DE →·DF →＝(DO →＋OE →)·(DO →＋OF →)＝(DO →＋OE →)·(DO →－OE →)＝1－9＝－8.故选C.5．A [解析] ∵圆C 的方程可化为(x －4)2＋y 2＝1，∴圆C 的圆心为(4，0)，半径为1.∵由题意，直线y ＝kx －2上至少存在一点A(x 0，kx 0－2)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴存在x0∈R，使得|AC|≤1＋1成立，即|AC|min≤2.∵|AC|的最小值即为点C到直线y＝kx－2的距离|4k－2|k2＋1，∴|4k－2|k2＋1≤2，解得0≤k≤4 3 .6．D [解析] 依题意，选项A，B，C分别是几何体的正视图，侧视图和俯视图，所以选项D错误．故选D.7．A [解析] 将每次运行结果表示为(A，n)，依题意运行结果依次为(0.4，2)，(0.8，3)，(0.6，4)，(0.2，5)，(0.4，6)，(0.8，7)，(0.6，8)，…，可以看出A的值是周期为4的数列，依据框图，输出的是n＝2 012时A的值，而2 012＝503×4，此时A＝0.6.故选A.8．C [解析] 设公差为d，由已知条件得3d＝3，3a1＋27d＝3，解得d＝1，a1＝－8，所以an ＝－8＋(n－1)×1＝n－9，a2n－1＝2n－10，所以{a2n－1}是首项为－8，公差为2的等差数列，其前n项和为－8n＋n（n－1）2×2＝n2－9n.故选C.9．0 {x|1<x<2} [解析] 因为函数f(x)＝x2＋bx＋1是R上的偶函数，所以该函数的对称轴为y轴，所以b＝0.f(x－1)<x变为(x－1)2＋1<x，x2－3x＋2<0，解得1<x<2.10．1 [解析] S＝12⎝⎛⎭⎪⎫2k＋1＋1(k＋3)＝12⎝⎛⎭⎪⎫2k＋1＋1[(k＋1)＋2]＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋4k＋1＋（k＋1）≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋24k＋1·（k＋1）＝4，当且仅当4k＋1＝k＋1，即k＝1时等号成立．11．π[解析] 如图，作F1M⊥l于M，F2N⊥l于N，则|F1M|＋|F2N|＝2，因为O 是线段F 1F 2的中点，所以作OH⊥l 于H ，有|OH|＝1，所以动直线l 是单位圆的切线．所以Q ＝{(x ，y)|(x ，y)∉l ，l∈P}是单位圆内部的点构成的集合，该图形的面积为π×12＝π.12．解：(1)因为a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac. 由正弦定理得sin 2B ＝sinAsinC.又sinAsinC ＝34，所以sin 2B ＝34.因为sinB>0，则sinB ＝32.因为B∈(0，π)，所以B ＝π3或2π3.又b 2＝ac ，则b≤a 或b≤c，即b 不是△ABC 的最大边，故B ＝π3. (2)因为B ＝π3，则 f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋sinx＝sinxcosπ3－cosxsin π3＋sinx ＝32sinx －32cosx ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6. 因为x∈[0，π)，所以－π6≤x －π6<5π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故函数f(x)的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.13．解：(1)由x900＝0.16，解得x ＝144. (2)第三批次的人数为y ＋z ＝900－(196＋204＋144＋156)＝200，设应在第三批次中抽取m 名，则m 200＝54900，解得m ＝12，所以应在第三批次中抽取12名．(3)设第三批次中女教职工比男教职工多的事件为A，第三批次女教职工和男教职工数记为数对(y，z)．由(2)知y＋z＝200(y，z∈N*，y≥96，z≥96)，则基本事件总数有：(96，104)，(97，103)，(98，102)，(99，101)，(100，100)，(101，99)，(102，98)，(103，97)，(104，96)，共9个；而事件A包含的基本事件有(101，99)，(102，98)，(103，97)，(104，96)共4个．所以，所求概率为P(A)＝4 9 .14．解：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD.又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥AG.又PA＝AD，且G为PD中点，所以AG⊥PD，所以AG⊥平面PCD.(2)证明：作EF⊥PC于F，因平面PEC⊥平面PCD，所以EF⊥平面PCD.又由(1)知AG⊥平面PCD，所以EF∥AG.又AG⊄平面PEC，EF⊂平面PEC，所以AG∥平面PEC.(3)由AG∥平面PEC知A，G两点到平面PEC的距离相等，由(2)知A，E，F，G四点共面，又AE∥CD，所以AE∥平面PCD，所以AE∥GF，所以四边形AEFG为平行四边形，所以AE＝GF.因为PA＝AB＝CD＝4，G为PD中点，所以FG∥CD，且FG＝12 CD，所以FG＝2，所以AE＝FG＝2.所以V P －AEC ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×4×4＝163.又EF⊥PC，EF ＝AG ＝22，所以S △EPC ＝12PC ·EF ＝12·43·22＝4 6.又V P －AEC ＝V A －PEC ，设点A 到平面EPC 的距离为h ，则13S △EPC ·h ＝163，即46h ＝16，得h ＝263，所以G 点到平面PEC 的距离为263.。

【高考汇编】2020届高考数学(文数)一轮复习单元检测汇编105页(13套含解析)

2020届高考数学（文数）一轮复习单元检测汇编目录集合与常用逻辑用语(A)(小题卷)(时间：45分钟满分：80分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A＝{0，1，2}，B＝{x|x(x－2)<0}，则A∩B等于( )A．{1}B．{0，1}C．{1，2}D．{0，1，2}答案 A解析x(x－2)<0⇒0<x<2，所以A∩B＝{1}．2．设集合A＝{1，2}，则满足A∪B＝{1，2，3，4}的集合B的个数是( )A．2B．3C．4D．5答案 C解析由题意并结合并集的定义可知：集合B可以为{3，4}，{3，4，1}，{3，4，2}，{3，4，1，2}，共有4个．3．(2019·青岛调研)已知函数y＝ln(x－1)的定义域为集合M，集合N＝{x|x2－x≤0}，则M∪N 等于( )A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)C．(0，＋∞) D．[0，＋∞)答案 D解析M＝(1，＋∞)，N＝[0，1]，故M∪N＝[0，＋∞)．4．已知原命题：已知ab>0，若a>b，则1a<1b，则其逆命题、否命题、逆否命题和原命题这四个命题中真命题的个数为( ) A．0B．2C．3D．4答案 D解析若a>b，则1a－1b＝b－aab，又ab>0，∴1a－1b<0，∴1a<1b，∴原命题是真命题；若1a<1b，则1a－1b＝b－aab<0，又ab>0，∴b－a<0，∴b<a，∴逆命题是真命题．故四个命题都是真命题．5．设x>0，y∈R，则“x>y”是“ln x>ln y”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析 ln x >ln y 等价于x >y >0，其所构成的集合A ＝{(x ，y )|x >y >0}．x >0，y ∈R 且x >y 所构成的集合B ＝{(x ，y )|x >y ，x >0，y ∈R }，∵A ⊆B 且B A ，∴“x >y ”是“ln x >ln y ”的必要不充分条件．6．(2018·山东春季高考)设命题p ：5≥3，命题q ：{1}⊆{0，1，2}，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧qC ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∨(綈q ) 答案 A解析因为命题p ：5≥3为真，命题q ：{1}⊆{0，1，2}为真，所以p ∧q 为真，(綈p )∧q ，p ∧(綈q )，(綈p )∨(綈q )为假．7．已知命题p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，则綈p 为( )A ．∃x 0∈R ，sin x 0≥1B ．∀x ∈R ，sin x ≥1C ．∃x 0∈R ，sin x 0>1D ．∀x ∈R ，sin x >1答案 C解析根据全称命题的否定是特称命题可得，命题p ：∀x ∈R ，sin x ≤1的否定是∃x 0∈R ，使得sin x 0>1.8．集合M ＝{x |2x 2－x －1<0}，N ＝{x |2x ＋a >0}，U ＝R ，若M ∩∁UN ＝∅，则a 的取值范围是( )A ．a >1B ．a ≥1C．a <1D ．a ≤1答案 B解析根据题意M ＝{}x |2x 2－x －1<0， N ＝{}x |2x ＋a >0，可得M ＝⎝⎛⎭⎫－12，1，∁UN ＝⎝⎛⎦⎤－∞，－a 2，要使M ∩∁UN ＝∅，则a ≥1.9．已知集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{y |y ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈A }，则A ∩B 等于( )A.{}1，2，3，4，5B.{}2，3，4，5C.{}3，4，5D.{}4，5答案 B解析因为B ＝{}y |y ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈A＝{2，3，4，5，6，7，8，9，10}，所以A ∩B ＝{}2，3，4，5.10．“a ≤1”是“函数f (x )＝x 2－4ax ＋1在区间[4，＋∞)上为增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析若函数f (x )＝x 2－4ax ＋1在区间[4，＋∞)上为增函数，则对称轴x ＝－－4a 2＝2a ≤4，解得a ≤2，则“a ≤1”是“函数f (x )＝x 2－4ax ＋1在区间[4，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．11．(2019·宁夏银川一中月考)下列说法错误的是( )A ．命题“若x 2－4x ＋3＝0，则x ＝3”的逆否命题是：“若x ≠3，则x 2－4x ＋3≠0”B ．“x >1”是“|x |>0”的充分不必要条件C ．若p 且q 为假命题，则p ，q 为假命题D ．命题p ：“∃x 0∈R 使得x 02＋x 0＋1<0”，则綈p ：“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0” 答案 C解析逆否命题是对条件结论都否定，然后原条件作结论，原结论作条件，则A 是正确的； x >1时，|x |>0成立，但当|x |>0时，x >1不一定成立，故x >1是|x |>0的充分不必要条件； p 且q 为假命题，则p 和q 至少有一个是假命题，故C 不正确；特称命题的否定是全称命题，故D 是正确的．12．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，34 B.⎣⎡⎭⎫34，43 C.⎣⎡⎭⎫34，＋∞ D ．(1，＋∞)答案 B解析集合A ＝{x |x <－3或x >1}，设f (x )＝x 2－2ax －1 (a >0)， f (－3)＝8＋6a >0，则由题意得，f (2)≤0且f (3)>0，即4－4a －1≤0，且9－6a －1>0，∴34≤a <43， ∴实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫34，43. 第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．集合A ＝{0，e x}，B ＝{－1，0，1}，若A ∪B ＝B ，则x ＝________.答案 0解析因为A ∪B ＝B ，所以A ⊆B ，又e x >0，所以e x＝1，所以x ＝0.14．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P *Q ＝{z |z ＝a ÷b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{－1，0，1}，Q ＝{－2，2}，则集合P *Q 中元素的个数是________．答案 3解析当a ＝0时，无论b 取何值，z ＝a ÷b ＝0；当a ＝－1，b ＝－2时，z ＝(－1)÷(－2)＝12；当a ＝－1，b ＝2时，z ＝(－1)÷2＝－12；当a ＝1，b ＝－2时，z ＝1÷(－2)＝－12；当a ＝1，b ＝2时，z ＝1÷2＝12. 故P *Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，－12，12，该集合中共有3个元素． 15．已知命题p ：∃x 0∈R ，x 02＋2x 0＋m ≤0，命题q ：幂函数f (x )＝113m x +-在(0，＋∞)上是减函数，若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则实数m 的取值范围是________________．答案 (]－∞，1∪()2，3解析对命题p ，因为∃x 0∈R ，x 02＋2x 0＋m ≤0，所以4－4m ≥0，解得m ≤1；对命题q ，因为幂函数f (x )＝113m x+-在(0，＋∞)上是减函数，所以1m －3＋1<0，解得2<m <3. 因为“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，所以p ，q 一真一假，若p 真q 假，可得m ≤1，且m ≥3或m ≤2，解得m ≤1；若p 假q 真，可得m >1，且2<m <3，解得2<m <3.所以实数m 的取值范围是(]－∞，1∪()2，3.16．下列说法正确的是________．(填序号)①命题“若x 2－5x ＋6＝0，则x ＝2”的逆否命题是“若x ≠2，则x 2－5x ＋6≠0”；②若命题p ：∃x 0∈R ，x 02＋x 0＋1<0，则綈p ：对∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0；③若x ，y ∈R ，则“x ＝y ”是“xy ≥⎝⎛⎭⎫x ＋y 22”的充要条件；④已知命题p 和q ，若“p 或q ”为假命题，则命题p 与q 中必一真一假．答案 ①②③解析由原命题与逆否命题的关系知①正确；由特称命题的否定知②正确；由xy ≥⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，等价于4xy ≥(x ＋y )2，等价于4xy ≥x 2＋y 2＋2xy ，等价于(x －y )2≤0，等价于x ＝y 知③正确；对于④，命题p 或q 为假命题，则命题p 与q 均为假命题，不正确．集合与常用逻辑用语(B)(小题卷)(时间：45分钟满分：80分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{2，4，6}，B＝{1，3，5，7}．则A∩(∁U B)等于( )A．{2，4，6} B．{1，3，5}C．{2，4，5} D．{2，5}答案 A解析∁U B＝{2，4，6，8}，A∩(∁U B)＝{2，4，6}．2．已知集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列式子表示正确的有( )①1∈A；②{－1}∈A；③∅⊆A；④{1，－1}⊆A.A．1个B．2个C．3个D．4个答案 C解析因为A＝{x|x2－1＝0}＝{1，－1}，所以1∈A正确，∅⊆A正确，{1，－1}⊆A正确．3．设A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4}，如果S⊆A且S∩B≠∅，那么符合条件的集合S的个数是( )A．4B．10C．11D．12答案 D解析根据题意，S⊆A且S∩B≠∅，则集合S至少含有2，4这两个元素中的一个，则S的可能情况有{2}，{4}，{1，2}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{1，2，3，4}，共12个．4．已知P＝{x|x x＋2＝x2}，Q＝{x|x＋2＝x2}，则x∈P是x∈Q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 D解析因为P＝{x|x x＋2＝x2}＝{0，2}，且Q＝{x|x＋2＝x2}＝{－1，2}，所以x∈P不能得到x∈Q，x∈Q也不能得到x∈P，所以x∈P是x∈Q的既不充分也不必要条件．5．“xy≠0”是“|x|＋|y|≠0”成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析因为“xy≠0”等价于x≠0且y≠0，可得到“|x|＋|y|≠0”；若“|x|＋|y|≠0”(如x＝1，y＝0)，不能推出“xy≠0”，所以，“xy≠0”是“|x|＋|y|≠0”成立的充分不必要条件．6．已知实数m，n满足m＋n>0，则命题“若mn≥0，则m≥0且n≥0”的逆否命题是( ) A．若mn<0，则m≥0且n≥0B．若mn≥0，则m<0或n<0C．若m≥0且n≥0，则mn≥0D．若m<0或n<0，则mn<0答案 D解析由题意实数m，n满足m＋n>0，则命题“若mn≥0，则m≥0且n≥0”的逆否命题是“若m<0或n<0，则mn<0”．7．命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是( )A．∀x∈R，x2≠x B．∀x∈R，x2＝xC．∃x0∉R，x02≠x0D．∃x0∈R，x02＝x0答案 D8．李大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析“好货”⇒“不便宜”，反之不成立．∴“好货”是“不便宜”的充分不必要条件．9．命题p：“∀a>0，不等式2a>log2a成立”；命题q：“函数y＝12log (x2－2x＋1)的单调递增区间是(－∞，1]”，则下列复合命题是真命题的是( )A．(綈p)∨(綈q) B．p∧qC．(綈p)∨q D．(綈p)∧q答案 A解析由题意知，命题p：“∀a>0，不等式2a>log2a成立”，根据指数函数与对数函数的图象可知是正确的，所以命题p为真命题；命题q：“函数y＝12log (x2－2x＋1)的单调递增区间应为(－∞，1)”，所以为假命题，所以(綈p)∨(綈q)为真命题．10．下列命题中，真命题是( )A．若x，y∈R，且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1B．∀x∈R，2x>x2C．a＋b＝0的充要条件是ab＝－1D．∃x0∈R，0e x≤0答案 A解析对于选项A，假设x≤1，y≤1，则x＋y≤2，与已知矛盾，所以原命题正确．当x＝2时，2x＝x2，故B错误．当a＝b＝0时，满足a＋b＝0，但ab＝－1不成立，故a＋b＝0的充要条件是ab＝－1错误．∀x∈R，e x>0，故∃x0∈R，0e x≤0错误．11．下列选项叙述错误的是( )A．命题“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”的逆否命题是“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”B．若“p或q”为真命题，则p，q均为真命题C．“若am2<bm2，则a<b”的否命题为假命题D．“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件答案 B解析由逆否命题概念知A选项正确；根据或命题真假可知若p或q为真，则p，q至少有一个命题为真，故p，q均为真命题错误；C选项中，原命题的否命题为“若am2≥bm2，则a>b”，当m＝0时，am2≥bm2成立，推不出a>b，命题不成立，是假命题；D选项中，x>2能推出x2－3x＋2>0成立，x2－3x＋2>0推不出x>2，所以“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件，故选B. 12．在下列四个命题中，其中真命题是( )①“若xy＝1，则lg x＋lg y＝0”的逆命题；②“若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)”的否命题；③“若b≤0，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；④“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题．A．①②B．①②③④C．②③④D．①③④答案 B解析①“若xy＝1，则lg x＋lg y＝0”的逆命题为“若lg x＋lg y＝0，则xy＝1”，该命题为真命题；②“若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)”的否命题为“若a·b≠a·c，则a不垂直于(b－c)”，由a·b≠a·c，可得a·(b－c)≠0，据此可知：a不垂直于(b－c)”，该命题为真命题；③若b≤0，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0的判别式Δ＝(－2b)2－4(b2＋b)＝－4b≥0，方程有实根，为真命题，则其逆否命题为真命题；④“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题为“三个内角均为60°的三角形为等边三角形”，该命题为真命题．综上可得，真命题是①②③④.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知集合A ＝{y |y ＝5－x 2，x ∈R }，B ＝{x |x >1，x ∈N }，那么A ∩B ＝________________. 答案 {2，3，4，5}解析集合A ＝{y |y ＝5－x 2，x ∈R }＝{y |y ≤5}， B ＝{x |x >1，x ∈N }，故A ∩B ＝{x |1<x ≤5，x ∈N }＝{2，3，4，5}．14．方程3x 2＋10x ＋k ＝0有两个不相等的负实数根的充要条件是________．答案 0<k <253解析因为方程3x 2＋10x ＋k ＝0有两个不相等的负实数根，且x 1＋x 2＝－103<0，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，x 1x 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 100－12k >0，k 3>0，解得0<k <253，所以方程3x 2＋10x ＋k ＝0有两个不相等的负实数根的充要条件是0<k <253. 15．已知P ＝{x |x 2≥4，x ∈R }，Q ＝{a ，|a |}，又P ∪Q ＝P ，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，－2]解析因为P ＝{x |x 2≥4，x ∈R }，Q ＝{a ，|a |}，又P ∪Q ＝P ，所以Q ⊆P ，所以a 2≥4，解得a ≤－2或a ≥2.又因为a ≥2时，a ＝|a |，不合题意，所以a 的取值范围是a ≤－2.16．已知p ：(x ＋3)(x －1)>0；q ：x >a 2－2a －2，若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________________．答案 (－∞，－1]∪[3，＋∞)解析已知p ：(x ＋3)(x －1)>0，可知p ：x >1或x <－3，∵綈p 是綈q 的充分不必要条件，∴q 是p 的充分不必要条件，得a 2－2a －2≥1，解得a ≤－1或a ≥3，即a∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．函数概念与基本初等函数Ⅰ(提升卷)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间100分钟，满分130分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．函数f (x )＝1lg x＋2－x 的定义域为( ) A ．(－∞，2] B ．(0，1)∪(1，2] C ．(0，2] D ．(0，2)答案 B解析要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x >0，lg x ≠0，2－x ≥0，解得0<x ≤2且x ≠1.2．(2019·哈尔滨师大附中模拟)与函数y ＝x 相同的函数是( ) A ．y ＝x 2B ．y ＝x 2xC ．y ＝(x )2D ．y ＝log a a x(a >0且a ≠1)答案 D解析 A 中对应关系不同；B 中定义域不同；C 中定义域不同；D 中对应关系，定义域均相同，是同一函数．3．下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是( ) A ．y ＝－1xB ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xC ．y ＝x 3D ．y ＝log 2x答案 C解析 y ＝－1x 在其定义域内既不是增函数，也不是减函数；y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在其定义域内既不是偶函数，也不是奇函数；y ＝x 3在其定义域内既是奇函数，又是增函数；y ＝log 2x 在其定义域内既不是偶函数，也不是奇函数．4．已知f (x )＝x －x 2，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝x 2－x 4B ．f (x )＝x －x 2C ．f (x )＝x 2－x 4(x ≥0) D ．f (x )＝x －x (x ≥0)答案 C解析因为f (x )＝(x )2－(x )4，所以f (x )＝x 2－x 4(x ≥0)．5．(2019·宁夏银川一中月考)二次函数f (x )＝4x 2－mx ＋5，对称轴x ＝－2，则f (1)的值为( )A ．－7B ．17C ．1D ．25 答案 D解析函数f (x )＝4x 2－mx ＋5的图象的对称轴为x ＝－2，可得m8＝－2，解得m ＝－16，所以f (x )＝4x 2＋16x ＋5.则f (1)＝4＋16＋5＝25.6．若a ＝30.3，b ＝log π3，c ＝log 0.3e ，则( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >a >b D ．b >c >a答案 A解析因为0<0.3<1，e>1，所以c ＝log 0.3e<0，由于0.3>0，所以a ＝30.3>1，由1<3<π，得0<b ＝log π3<1，所以a >b >c .7．已知f (x ＋1)＝－lnx ＋3x －1，则函数f (x )的图象大致为( )答案 A解析由题意得f (x ＋1)＝－ln x ＋3x －1＝－ln(x ＋1)＋2(x ＋1)－2，所以f (x )＝－ln x ＋2x －2＝ln x －2x ＋2. 由x －2x ＋2>0，解得定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，故排除B. 因为f (－x )＝ln －x －2－x ＋2＝ln x ＋2x －2＝－lnx －2x ＋2＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，排除C. 又f (3)＝ln 15<0，故排除D.8．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ，当x ∈[m ，5]时，f (x )的值域是[－5，4]，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1，2]C ．[－1，2]D ．[2，5]答案 C解析 f (x )＝－(x －2)2＋4，所以当x ＝2时，f (2)＝4.由f (x )＝－5，解得x ＝5或x ＝－1.所以要使函数f (x )在区间[m ，5]上的值域是[－5，4]，则－1≤m ≤2.9．(2018·南昌模拟)已知函数f (x )的图象关于y 轴对称，且f (x )在(－∞，0]上单调递减，则满足f (3x ＋1)<f ⎝⎛⎭⎫12的实数x 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－12，－16B.⎝⎛⎭⎫－12，－16C.⎣⎡⎭⎫－13，－16D.⎝⎛⎭⎫－13，－16答案 B解析由函数f (x )的图象关于y 轴对称，且f (x )在(－∞，0]上单调递减，得f (x )在(0，＋∞)上单调递增．又f (3x ＋1)<f ⎝⎛⎭⎫12，所以|3x ＋1|<12，解得－12<x <－16.10．(2018·孝感模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3(x 2＋t )，x <0，2(t ＋1)x，x ≥0，且f (1)＝6，则f (f (－2))的值为( )A ．12B ．18C.112D.118答案 A解析 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3(x 2＋t )，x <0，2(t ＋1)x，x ≥0，∴f (1)＝2(t ＋1)＝6，解得t ＝2.∴f (－2)＝log3(4＋2)＝log36，f (f (－2))＝12.11.如图，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ＝DC ＝2，CB ＝2，动点P 从点A 出发，由A →D →C →B 沿边运动，点P 在AB 上的射影为Q .设点P 运动的路程为x ，△APQ 的面积为y ，则y＝f (x )的图象大致是()答案 D解析根据题意可得到y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧14x 2，0≤x ≤2，22x ＋1－2，2<x <4，－2＋22(x －4－2)，4≤x ≤4＋2，由二次函数和一次函数的图象可知f (x )的图象只能是D.12．定义在R 上的函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，且f (x ＋1)是偶函数．若当x ∈[0，1]时，f (x )＝sin π2x ，则函数y ＝f (x )与y ＝e －|x |的图象在区间[－2 020，2 020]上的交点个数为( )A ．2019B ．2020C ．4038D ．4040 答案 D解析因为函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，所以函数y ＝f (x )图象的对称轴为直线x ＝0，故y ＝f (x )是偶函数，即f (－x )＝f (x )．又f (x ＋1)是偶函数，所以f (x ＋1)＝f (－x ＋1)．故f (x ＋2)＝f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )是周期为2的偶函数．又当x ∈[0，1]时，f (x )＝sin π2x ，作出y ＝f (x )与y ＝⎝⎛⎭⎫1e |x |的图象，如图所示．结合图象可知在每个周期内，两函数的图象有2个交点，所以在区间[－2 020，2 020]上的交点个数为2020×2＝4040.第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．幂函数f (x )＝(m 2－m －1)223m m x+-在区间(0，＋∞)内为增函数，则实数m 的值为______．答案 2解析根据题意得m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1. 因为当x ∈(0，＋∞)时，f (x )为增函数，所以当m ＝2时，m 2＋2m －3＝5，幂函数为f (x )＝x 5，满足题意；当m ＝－1时，m 2＋2m －3＝－4，幂函数为f (x )＝x －4，不满足题意．综上，m ＝2.14．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，且当0≤x <1时，f (x )＝2x＋a ，f (1)＝0，则f (－3)＋f (14－log 27)＝________. 答案－34解析易知f (－3)＝f (1)＝0，由f (x )是奇函数，知f (0)＝0，所以20＋a ＝0，所以a ＝－1. 因为log 27＝2＋log 274，所以f (14－log 27)＝f ⎝⎛⎭⎫－log 274＝－f ⎝⎛⎭⎫log 274＝－⎝⎛⎭⎫74－1＝－34，则f (－3)＋f (14－log 27)＝0－34＝－34.15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≤0，x 2－3ax ＋a ，x >0有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．答案⎝⎛⎦⎤49，1解析如图，要使函数f (x )的图象和x 轴有三个交点，则⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤1，3a 2>0，9a 2－4a >0，解得49<a ≤1.16．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数．例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函数f (x )＝e x1＋e x －12，则函数y ＝[f (x )]＋[f (－x )]的值域是________．答案 {－1，0}解析因为f (x )＝e x－12(e x ＋1)，则f (－x )＝1－ex2(1＋e x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．因为函数f (x )＝e x 1＋e x －12＝12－1e x＋1，又e x＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，故－12<12－1e x ＋1<12.当f (x )∈⎝⎛⎭⎫－12，0时，[f (x )]＝－1，[f (－x )]＝0；当f (x )∈⎝⎛⎭⎫0，12时，[f (x )]＝0，[f (－x )]＝－1；当f (x )＝0时，[f (x )]＝0，[f (－x )]＝0.所以函数y ＝[f (x )]＋[f (－x )]的值域为{－1，0}．三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12ax，a 为常数，且函数的图象过点(－1，2)． (1)求常数a 的值；(2)若g (x )＝4－x－2，且存在x ，使g (x )＝f (x )，求满足条件的x 的值．解 (1)由已知得⎝⎛⎭⎫12－a＝2，解得a ＝1.(2)由(1)知f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x，因为存在x ，使g (x )＝f (x )，所以4－x－2＝⎝⎛⎭⎫12x ，即⎝⎛⎭⎫14x －⎝⎛⎭⎫12x－2＝0，即⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12x 2－⎝⎛⎭⎫12x－2＝0有解，令⎝⎛⎭⎫12x ＝t (t >0)，则t 2－t －2＝0，即(t －2)(t ＋1)＝0，解得t ＝2，即⎝⎛⎭⎫12x＝2，解得x ＝－1，故满足条件的x 的值为－1. 18．(12分)已知函数f (x )＝3x ＋7x ＋2，x ∈(－2，2)． (1)判断函数f (x )的单调性；(2)解不等式12log [f (－2m ＋3)]>12log [f (m 2)]．解 (1)任取x 1，x 2∈(－2，2)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝3x 1＋7x 1＋2－3x 2＋7x 2＋2＝(3x 1＋7)(x 2＋2)－(3x 2＋7)(x 1＋2)(x 1＋2)(x 2＋2)＝x 2－x 1(x 1＋2)(x 2＋2). ∵x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，又x 1，x 2∈(－2，2)， ∴x 1＋2>0，x 2＋2>0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)． ∴函数f (x )＝3x ＋7x ＋2，x ∈(－2，2)为减函数． (2)由(1)知函数f (x )在(－2，2)上为减函数，易知f (x )>0，∴12log [f (－2m ＋3)]>12log [f (m 2)]等价于f (－2m ＋3)<f (m 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2<－2m ＋3<2，－2<m 2<2，－2m ＋3>m 2，解得12<m <1.故所求不等式的解集为⎝⎛⎭⎫12，1.19．(13分)小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为(25－x )万元(国家规定大货车的报废年限为10年)． (1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)解 (1)设大货车运输到第x 年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y 万元，则y ＝25x －[6x ＋x (x －1)]－50 ＝－x 2＋20x －50(0<x ≤10，x ∈N *)．由－x 2＋20x －50>0，可得10－52<x <10＋5 2. 又2<10－52<3，故大货车运输到第3年年底，该车运输累计收入超过总支出． (2)∵利润＝累计收入＋销售收入－总支出， ∴二手车出售后，小张的年平均利润为y ＝y ＋(25－x )x ＝19－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ≤19－2x ×25x＝19－10＝9，当且仅当x ＝5时，等号成立．∴小王应当在第5年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大． 20．(13分)已知函数f (x )＝log 2(4x＋1)－x .(1)若函数y ＝f (x )－x －a 没有零点，求实数a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝2f (x )＋x＋m ·2x－1，x ∈[0，log 23]的最小值为0，求实数m 的值．解 (1)函数y ＝f (x )－x －a 没有零点，即关于x 的方程log 2(4x＋1)－2x ＝a 无实数根．令g (x )＝log 2(4x＋1)－2x ，则函数y ＝g (x )的图象与直线y ＝a 无交点．因为g (x )＝log 2(4x＋1)－2x ＝log 2(4x＋1)－log 24x＝log 24x＋14x ＝log 2⎝⎛⎭⎫1＋14x ，又1＋14x >1，所以g (x )＝log 2⎝⎛⎭⎫1＋14x >0.所以实数a 的取值范围是(－∞，0]．(2)由题意得h (x )＝4x ＋m ·2x，x ∈[0，log 23]．令t ＝2x∈[1，3]，则φ(t )＝t 2＋mt ，t ∈[1，3]． ①当－m2≤1，即m ≥－2时，φ(t )min ＝φ(1)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1； ②当1<－m2<3，即－6<m <－2时，φ(t )min ＝φ⎝⎛⎭⎫－m 2＝－m24＝0，解得m ＝0(舍去)．③当－m2≥3，即m ≤－6时，φ(t )min ＝φ(3)＝9＋3m ＝0，解得m ＝－3(舍去)，综上可知，实数m 的值为－1.导数及其应用(提升卷)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间100分钟，满分130分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列求导运算正确的是( ) A.⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2′＝1＋1x3B ．(log 3x )′＝1x lg3C ．(3x )′＝3x·ln3 D ．(x 2sin x )′＝2x cos x答案 C解析由求导法则可知C 正确．2．已知函数f (x )＝ln x ＋x 2f ′(a )，且f (1)＝－1，则实数a 的值为( ) A ．－12或1B.12 C ．1 D ．2答案 C解析令x ＝1，则f (1)＝ln1＋f ′(a )＝－1，可得f ′(a )＝－1.令x ＝a >0，则f ′(a )＝1a＋2af ′(a )，即2a 2－a －1＝0，解得a ＝1或a ＝－12(舍去)．3．若函数f (x )＝x e x的图象的切线的倾斜角大于π2，则x 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，－1) C ．(－∞，－1] D ．(－∞，1)答案 B解析 f ′(x )＝e x＋x e x＝(x ＋1)e x，又切线的倾斜角大于π2，所以f ′(x )<0，即(x ＋1)e x<0，解得x <－1. 4．函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎝⎛⎭⎫－12，0和⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12和⎝⎛⎭⎫0，12答案 C解析由题意得f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x，且x >0，由f ′(x )>0，即4x 2－1>0，解得x >12.故选C.5．函数y ＝exx的大致图象是( )答案 B解析函数y ＝exx 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，求导得y ′＝(x －1)exx 2，当x >1时，y ′>0，函数单调递增；当0<x <1时，y ′<0，函数单调递减；当x <0时，y ′<0，函数单调递减，且函数y ＝exx无零点，故选B.6．若函数f (x )＝2x 2＋ln x －ax 在定义域内单调递增，则实数a 的取值范围为( ) A ．(4，＋∞) B ．[4，＋∞) C ．(－∞，4) D ．(－∞，4]答案 D解析由题意得f ′(x )＝4x ＋1x－a ≥0在(0，＋∞)上恒成立，即a ≤4x ＋1x(x >0)恒成立．又4x ＋1x≥4，当且仅当x ＝12时等号成立，所以a ≤4.7.已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )①f (b )>f (a )>f (c )；②函数f (x )在x ＝c 处取得极小值，在x ＝e 处取得极大值； ③函数f (x )在x ＝c 处取得极大值，在x ＝e 处取得极小值； ④函数f (x )的最小值为f (d )． A ．③B．①②C．③④D．④ 答案 A解析由导函数的图象可知函数f (x )在区间(－∞，c )，(e ，＋∞)内，f ′(x )>0，所以函数f (x )在区间(－∞，c )，(e ，＋∞)内单调递增，在区间(c ，e )内，f ′(x )<0，所以函数f (x )在区间(c ，e )内单调递减．所以f (c )>f (a )，所以①错；函数f (x )在x ＝c 处取得极大值，在x ＝e 处取得极小值，故②错，③对；函数f (x )没有最小值，故④错．8.设三次函数f (x )的导函数为f ′(x )，函数y ＝xf ′(x )的图象的一部分如图所示，则( )A ．f (x )的极大值为f (3)，极小值为f (－3)B ．f (x )的极大值为f (－3)，极小值为f (3)C ．f (x )的极大值为f (－3)，极小值为f (3)D ．f (x )的极大值为f (3)，极小值为f (－3) 答案 D解析由图象知当x <－3时，f ′(x )<0，当－3<x <0时，f ′(x )>0，∴函数f (x )的极小值为f (－3)；同理知f (x )的极大值为f (3)．9．函数f (x )＝13x 3－4x ＋4(0≤x ≤3)的值域为( )A ．[1，4] B.⎣⎡⎦⎤－43，4 C.⎣⎡⎦⎤－43，1 D ．[0，3]答案 B解析 f ′(x )＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2)．当x ∈[0，2]时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减；当x ∈(2，3]时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．且f (0)＝4，f (2)＝－43，f (3)＝1，所以函数f (x )的最大值为f (0)＝4，函数f (x )的最小值为f (2)＝－43，故值域为⎣⎡⎦⎤－43，4.10．已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1)答案 C解析易知a ≠0，所以f (x )为一元三次函数．因为f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)，所以方程f ′(x )＝0的根为x 1＝0，x 2＝2a.又注意到函数f (x )的图象经过点(0，1)，所以结合一元三次函数的图象规律及题意可知，函数f (x )的图象应满足下图，从而有⎩⎪⎨⎪⎧a <0，f ⎝⎛⎭⎫2a >0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <0，8a2－3×4a 2＋1>0，解得a <－2.故选C.11．设函数f (x )＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ln x ，x 2e x (min{a ，b }表示a ，b 中的较小者)，则函数f (x )的最大值为( )A.32ln2B ．2ln2C.1e D.4e 2 答案 D解析函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．由y 1＝x ln x 得y 1′＝ln x ＋1，令y 1′＝0，解得x ＝1e，∴y 1＝x ln x 在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增．由y 2＝x 2e x ，x >0得y 2′＝2x －x2e x，令y 2′＝0，x >0，解得x ＝2，∴y 2＝x 2ex 在(0，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，作出示意图如下，当x ＝2时，y 1＝2ln2，y 2＝4e2.∵2ln2>4e 2，∴y 1＝x ln x 与y 2＝x2e x 的交点在(1，2)内，∴函数f (x )的最大值为4e2.12．已知y ＝f (x )为(0，＋∞)上的可导函数，且有f ′(x )＋f (x )x>0，则对于任意的a ，b ∈(0，＋∞)，当a >b 时，有( ) A ．af (a )<bf (b ) B ．af (a )>bf (b ) C ．af (b )>bf (a ) D ．af (b )<bf (a )答案 B解析由f ′(x )＋f (x )x >0，得xf ′(x )＋f (x )x>0，即[xf (x )]′x>0，即[xf (x )]′x >0.∵x >0，∴[xf (x )]′>0，即函数y ＝xf (x )为增函数，由a ，b ∈(0，＋∞)且a >b ，得af (a )>bf (b )，故选B.第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知函数f (x )＝x －g (x )的图象在点(2，f (2))处的切线方程是y ＝－x －1，则g (2)＋g ′(2)＝________. 答案 7解析因为f (x )＝x －g (x )，所以f ′(x )＝1－g ′(x )．由题意得f (2)＝－2－1＝－3，f ′(2)＝－1，所以g (2)＋g ′(2)＝2－f (2)＋1－f ′(2)＝7.14．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x3＋81x －234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为________万件．答案 9解析 ∵y ＝－13x 3＋81x －234，∴y ′＝－x 2＋81，令y ′>0，得0<x <9，令y ′<0，得x >9，∴函数y ＝－13x 3＋81x －234在区间(0，9)上是增函数，在区间(9，＋∞)上是减函数，∴函数在x ＝9处取得极大值，也是最大值．故使该生产厂家获得最大年利润的年产量为9万件．15．已知函数f (x )＝ln x 2＋12，g (x )＝e x －2，若g (m )＝f (n )成立，则n －m 的最小值为________．答案 ln2解析令f (n )＝g (m )＝k (k >0)，则由ln n 2＋12＝k ，解得n ＝2eke ，由em －2＝k ，解得m ＝ln k ＋2，则n －m ＝2eke －ln k －2，令h (k )＝2eke－ln k －2，则h ′(k )＝2eke －1k，由h ′(k )＝0得k ＝12，且当k ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，h ′(k )<0，h (k )单调递减，当k ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，h ′(k )>0，h (k )单调递增，则h (k )min ＝h ⎝⎛⎭⎫12＝ln2，即n －m 的最小值是ln2.16．对于定义在R 上的函数f (x )，若存在非零实数x 0，使函数f (x )在(－∞，x 0)和(x 0，＋∞)上均有零点，则称x 0为函数f (x )的一个“折点”．现给出下列四个函数： ①f (x )＝3|x －1|＋2；②f (x )＝lg|x ＋2019|； ③f (x )＝x 33－x －1；④f(x)＝x2＋2mx－1(m∈R)．则存在“折点”的函数是________．(填序号)答案②④解析因为f(x)＝3|x－1|＋2>2，所以函数f(x)不存在零点，所以函数f(x)不存在“折点”；对于函数f(x)＝lg|x＋2019|，取x0＝－2019，则函数f(x)在(－∞，－2019)上有零点x＝－2020，在(－2019，＋∞)上有零点x＝－2018，所以x0＝－2019是函数f(x)＝lg|x＋2019|的一个“折点”；对于函数f(x)＝x33－x－1，则f′(x)＝x2－1＝(x＋1)(x－1)．令f′(x)>0，得x>1或x<－1；令f′(x)<0，得－1<x<1，所以函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减．又f(－1)＝－13<0，所以函数f(x)只有一个零点，所以函数f(x)＝x33－x－1不存在“折点”；对于函数f(x)＝x2＋2mx－1＝(x＋m)2－m2－1，由于f(－m)＝－m2－1≤－1，结合图象(图略)可知该函数一定有“折点”．综上，存在“折点”的函数是②④.三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)(2019·宁夏银川一中月考)设f(x)＝x3－x.(1)求曲线在点(1，0)处的切线方程；(2)设x∈[－1，1]，求f(x)的最大值．解(1)f′(x)＝3x2－1，切线斜率f′(1)＝2，∴切线方程y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.(2)令f′(x)＝3x2－1＝0，x＝±33，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：故当x ＝－33时，f (x )max ＝239. 18．(12分)已知函数f (x )＝e x＋ln x .(1)求函数y ＝f ′(x )在区间[1，＋∞)内的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，恒有f (x )≥e＋m (x －1)，求实数m 的取值范围．解 (1)令y ＝h (x )＝f ′(x )＝e x＋1x，则h ′(x )＝e x－1x2，则当x ∈[1，＋∞)时，e x≥e，1x2≤1，所以h ′(x )>0，即h (x )在区间[1，＋∞)内是增函数，于是y ＝f ′(x )在区间[1，＋∞)内的最小值为h (1)＝e ＋1.(2)令g (x )＝f (x )－e －m (x －1)，则g (x )≥0对任意x ∈[1，＋∞)恒成立，且发现g (1)＝0，g ′(x )＝1x＋e x－m .由(1)知当m ≤e＋1时，g ′(x )≥0，此时g (x )单调递增，于是g (x )≥g (1)＝0，成立；当m >e ＋1时，则存在t ∈(1，＋∞)，使得g ′(t )＝0，当x ∈(1，t )时，g ′(x )<0，当x ∈(t ，＋∞)时，g ′(x )>0，此时g (x )min ＝g (t )<g (1)＝0，矛盾．综上得m ≤e＋1，即实数m 的取值范围为(－∞，e ＋1]． 19．(13分)已知函数f (x )＝ln x －x ，g (x )＝ax 2＋2x (a <0)． (1)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最值；(2)求函数h (x )＝f (x )＋g (x )的极值点．解 (1)依题意，f ′(x )＝1x－1，令1x－1＝0，解得x ＝1.因为f (1)＝－1，f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1－1e ，f (e)＝1－e ，且1－e<－1－1e<－1，故函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最大值为－1，最小值为1－e.(2)依题意，h (x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋ax 2＋x (x >0)， h ′(x )＝1x ＋2ax ＋1＝2ax 2＋x ＋1x，当a <0时，令h ′(x )＝0，则2ax 2＋x ＋1＝0. 因为Δ＝1－8a >0，所以h ′(x )＝2ax 2＋x ＋1x ＝2a (x －x 1)(x －x 2)x，其中x 1＝－1－1－8a 4a ，x 2＝－1＋1－8a4a. 因为a <0，所以x 1<0，x 2>0，所以当0<x <x 2时，h ′(x )>0；当x >x 2时，h ′(x )<0，所以函数h (x )在区间(0，x 2)内是增函数，在区间(x 2，＋∞)内是减函数，故x 2＝－1＋1－8a4a为函数h (x )的极大值点，无极小值点． 20．(13分)(2018·广州调研)已知函数f (x )＝5＋ln x ，g (x )＝kxx ＋1(k ∈R )． (1)若函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线与函数y ＝g (x )的图象相切，求k 的值； (2)若k ∈N *，且x ∈(1，＋∞)时，恒有f (x )>g (x )，求k 的最大值． (参考数据：ln5≈1.6094，ln6≈1.7918，ln(2＋1)≈0.8814) 解 (1)∵f (x )＝5＋ln x ，∴f (1)＝5，且f ′(x )＝1x，从而得到f ′(1)＝1.∴函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y －5＝x －1，即y ＝x ＋4.设直线y ＝x ＋4与g (x )＝kxx ＋1(k ∈R )的图象相切于点P (x 0，y 0)，从而可得g ′(x 0)＝1，g (x 0)＝x 0＋4，又g ′(x )＝k(x ＋1)2，∴⎩⎨⎧k(x 0＋1)2＝1，kxx 0＋1＝x 0＋4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2，k ＝9或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2，k ＝1.∴k 的值为1或9.(2)由题意知，当x ∈(1，＋∞)时，5＋ln x >kx1＋x恒成立，等价于当x ∈(1，＋∞)时，k <(x ＋1)(5＋ln x )x恒成立．设h (x )＝(x ＋1)(5＋ln x )x(x >1)，则h ′(x )＝x －4－ln xx 2(x >1)，记p (x )＝x －4－ln x (x >1)，则p ′(x )＝1－1x ＝x －1x>0，∴p (x )在x ∈(1，＋∞)上单调递增．又p (5)＝1－ln5<0，p (6)＝2－ln6>0，∴在x ∈(1，＋∞)上存在唯一的实数m ，且m ∈(5，6)，使得p (m )＝m －4－ln m ＝0，①∴当x ∈(1，m )时，p (x )<0，即h ′(x )<0，则h (x )在x ∈(1，m )上单调递减，当x ∈(m ，＋∞)时，p (x )>0，即h ′(x )>0，则h (x )在x ∈(m ，＋∞)上单调递增， ∴当x ∈(1，＋∞)时，h (x )min ＝h (m )＝(m ＋1)(5＋ln m )m，由①可得ln m ＝m －4，∴h (m )＝(m ＋1)(m ＋1)m ＝m ＋1m＋2，而m ∈(5，6)，∴m ＋1m ＋2∈⎝⎛⎭⎫365，496，又当m ＝3＋22时，h (m )＝8，p (3＋22)＝22－1－ln(3＋22)>0，∴m ∈(5，3＋22)，∴h (m )∈⎝⎛⎭⎫365，8. 又k ∈N *，∴k 的最大值是7.三角函数、解三角形(提升卷)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间100分钟，满分130分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中正确的是( ) A ．终边在x 轴正半轴上的角是零角 B ．三角形的内角必是第一、二象限内的角 C ．不相等的角的终边一定不相同D ．若β＝α＋k ·360°(k ∈Z )，则角α与β的终边相同答案 D解析对于A ，因为终边在x 轴正半轴上的角可以表示为α＝2k π(k ∈Z )，A 错误；对于B ，直角也可为三角形的内角，但不在第一、二象限内，B 错误；对于C ，例如30°≠－330°，但其终边相同，C 错误，故选D.2．若角α的终边经过点P ⎝⎛⎭⎫35，－45，则cos α·tan α的值是( )A ．－45B.45C ．－35D.35答案 A解析因为角α的终边经过点P ⎝⎛⎭⎫35，－45，所以cos α＝35，tan α＝－43，所以cos α·tan α＝35×⎝⎛⎭⎫－43＝－45，故选A.3．(2019·四川成都龙泉驿区第一中学模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫π6－2α等于( )A.79B ．－79C ．±79D ．－29 答案 B 解析 ∵sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝13， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π6－2α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6－2α＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π6＋α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π6＋α－1 ＝2×19－1＝－79.4．(2018·南充模拟)设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β都是非零实数，若f (2017)＝－1，则f (2020)等于( ) A ．1B ．2C ．0D ．－1 答案 A解析由题知，f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β都是非零实数，若f (2017)＝a sin(2017π＋α)＋b cos(2017π＋β)＝－a sin α－b cos β＝－1，则a sin α＋b cos β＝1，所以f (2020)＝a sin(2020π＋α)＋b cos(2020π＋β)＝a sin α＋b cos β＝1，故选A.5．函数y ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最小正周期为( ) A.π4B.π2C ．πD ．2π 答案 C解析函数y ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin2x ，所以函数的最小正周期是T ＝2π2＝π，故选C. 6．设a ＝tan35°，b ＝cos55°，c ＝sin23°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b答案 A解析由题可知b ＝cos55°＝sin35°，因为sin35°>sin23°，所以b >c ，利用三角函数线比较tan35°和sin 35°，易知tan35°>sin35°，所以a >b .综上，a >b >c ，故选A.7．若函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)是偶函数，则θ的最小正实数值是( ) A.π6B.π3C.2π3 D.5π6 答案 B解析 f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)＝2·sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋θ＋π6.因为f (x )为偶函数，所以当x ＝0时，2x ＋θ＋π6＝θ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得θ＝k π＋π3(k ∈Z )．当k ＝0时，θ取得最小正实数值π3，故选B. 8．若函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，0<|φ|<π2的部分图象如图所示，则f (x )等于( )A.12sin ⎝⎛⎭⎫14x ＋π8 B.12sin ⎝⎛⎭⎫4x －π8C.12sin ⎝⎛⎭⎫14x －π8 D.12sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π8答案 C解析由题图知，函数f (x )的最小正周期T ＝2⎝⎛⎭⎫9π2－π2＝8π，A ＝12，所以ω＝2π8π＝14，f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫14x ＋φ，由点⎝⎛⎭⎫π2，0在函数f (x )的图象上，可知sin ⎝⎛⎭⎫π8＋φ＝0，又0<|φ|<π2，所以φ＝－π8，所以f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫14x －π8.9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2b sin B ＝(2a ＋c )sin A ＋(2c ＋a )sin C ．则角B 的大小为( ) A.π6B.π3C.2π3 D.5π6 答案 C解析由正弦定理得2b 2＝(2a ＋c )a ＋(2c ＋a )c ，化简得a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12，又B ∈(0，π)，解得B ＝2π3，故选C. 10．已知函数f (x )＝3sin2x －2cos 2x ，将f (x )的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变，再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数g (x )的图象，若g (x 1)·g (x 2)＝－4，则|x 1－x 2|的值可能为( ) A.π3B.π4C.π2D ．π 答案 C解析由题意得f (x )＝3sin2x －cos2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1，则g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫6x －π6，故函数g (x )的最小正周期T ＝2π6＝π3.由。

(安徽专用)2020届高考数学一轮复习方案滚动基础训练卷(7) 文 (含解析)

45分钟滚动基础训练卷(七)(考查范围：第23讲～第25讲分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(0，1)，设u ＝a ＋kb ，v ＝2a －b ，若u∥v，则实数k 的值是( )A ．－72B ．－12C ．－43D ．－832．已知向量a ＝(n ，4)，b ＝(n ，－1)，则n ＝2是a⊥b 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．[2020·湛江一中模拟] 在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 是( )A ．矩形B ．菱形C ．直角梯形D ．等腰梯形4．[2020·皖南八校联考] 设向量a ，b 满足：|a|＝2，a ·b ＝32，|a ＋b|＝22，则|b|等于( )A.12B ．1C.32D ．2 5．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是( )A ．k ＝－2B ．k ＝12C ．k ＝1D ．k ＝－16．[2020·江南十校联考] 向量a ＝(2，0)，b ＝(x ，y)，若b 与b －a 的夹角等于π6，则|b|的最大值为( )A ．4B ．2 3C ．2 D.4337．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(x ，4)，若|b|＝2|a|，则x 的值为( ) A ．2 B ．4 C ．±2 D ．±48．已知菱形ABCD 的边长为2，∠A＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM →·AN →的最大值为( )A ．3B ．2 3C ．6D ．9二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 上的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，下列结论中正确的是________．①AD →＝12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0.10．若|a|＝2，|b|＝4，且(a ＋b)⊥a，则a 与b 的夹角是________．11．[2020·龙亢农场中学月考] 在△ABC 中，|AB →|＝6，|BC →|＝27，|AC →|＝4，若O 为△ABC 的外心，则AO →·AC →＝________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．已知向量a ＝e 1－e 2，b ＝4e 1＋3e 2，其中e 1＝(1，0)，e 2＝(0，1)． (1)试计算a·b 及|a ＋b|的值． (2)求向量a 与b 的夹角的正弦值．13．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m)，x ＝a ＋(t 2＋1)b ，y ＝－ka ＋1t b ，m∈R，k ，t 为正实数．(1)若a∥b，求m 的值； (2)若a⊥b，求m 的值；(3)当m ＝1时，若x⊥y，求k 的最小值．14．[2020·沈阳二模] 已知向量m ＝sin 2x ＋1＋cos2x 2，sinx ，n ＝12cos2x －32sin2x ，2sinx ，设函数f(x)＝m·n，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期； (2)若x∈0，π2，求函数f(x)的值域．45分钟滚动基础训练卷(七)1．B [解析] v ＝2(1，2)－(0，1)＝(2，3)，u ＝(1，2)＋k(0，1)＝(1，2＋k)，因为u∥v，所以2(2＋k)－1×3＝0，解得k ＝－12，选B.2．A [解析] 当n ＝2时，a ＝(2，4)，b ＝(2，－1)，a·b＝0，所以a⊥b.而a⊥b 时，n 2－4＝0，n ＝±2.3．B [解析] 由AB →＝DC →知四边形ABCD 为平行四边形，又因为AC →·BD →＝0，即平行四边形ABCD 的两条对角线垂直，所以四边形ABCD 为菱形．4．B [解析] |a ＋b|2＝a 2＋2a·b＋b 2＝4＋3＋b 2＝8， ∴|b|＝1.5．C [解析] 若点A ，B ，C 不能构成三角形，则向量AB →，AC →共线．∵AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，∴1×(k＋1)－2k ＝0，解得k ＝1.6．A [解析] 由向量加减法的几何意义，B 始终在以OA 为弦，圆周角∠OBA＝π6的圆弧上，|b|等于弦OB 的长，最大为该圆的直径，由正弦定理，2sinπ6＝2R ⇒2R ＝4，故选A.7．C [解析] 因为|b|＝2|a|，所以x 2＋16＝25，解得x ＝±2.8．D [解析] 以A 点为坐标原点，建立直角坐标系，因为A ＝60°，菱形的边长为2，所以D 点坐标为(1，3)，B(2，0)，C(3，3)．因为M 是DC 中点，所以M(2，3)．设N(x ，y)，则N 点的活动区域为四边形OBCD 内(含边界)，则AM →·AN →＝(2，3)·(x，y)＝2x ＋3y ，令z ＝2x ＋3y ，得y ＝－23x ＋z3，由线性规划可知，当直线经过点C 时，直线y ＝－23x ＋z3的截距最大，此时z 最大，所以此时最大值为z ＝2x ＋3y ＝2×3＋3×3＝6＋3＝9，选D.9．②③④ [解析] 依据向量运算的三角形法则，有AD →＝－CA →－12BC →＝－b －12a ，BE →＝a ＋12b ，CF →＝12CB →＋12CA →＝－12a ＋12b ，由前三个等式知AD →＋BE →＋CF →＝0，所以②③④正确．10.2π3[解析] ∵|a|＝2，|b|＝4，且(a ＋b)⊥a，∴(a＋b)·a＝0， 4＋a·b＝0，∴a·b＝|a|·|b|cosθ＝－4，∴cos θ＝－12，∴a 与b 的夹角为2π3. 11．8 [解析] 方法一：连接AO 并延长交圆O 于一点设为D ，连接CD ，则AC →⊥CD →，所以AC →·CD →＝0.于是AO →·AC →＝12AD →·AC →＝12(AC →＋CD →)·AC →＝12AC →2＋12CD →·AC →＝8.方法二：过O 作AC 的垂线交AC 于点D ，则D 为边AC 的中点，向量AO →在AC →上的投影为AD ＝2.又因向量AO →在AC →上的投影为|AO →|·cos 〈AO →·AC →〉＝AO →·AC →|AC →|，所以AO →·AC →|AC →|＝2，∴AO →·AC →＝2|AC→|＝8. 12．解：(1)由题有a ＝(1，－1)，b ＝(4，3)， ∴a ·b ＝4－3＝1；|a ＋b|＝|(5，2)|＝52＋22＝29. (2)∵cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a|·|b|＝12×5.∴sin 〈a ，b 〉＝1－1522＝7210. 13．解：(1)∵a∥b，∴1·m－(－2)×2＝0，∴m＝－4. (2)∵a⊥b，∴a·b＝0，∴1·(－2)＋2m ＝0，∴m＝1.(3)当m ＝1时，a·b＝0，∵x⊥y，∴x·y＝0. 则x·y＝－ka 2＋1t a ·b －k(t 2＋1)a·b＋t ＋1t b 2＝0，∵t>0，∴k＝t ＋1t ≥2(t ＝1时取等号)．∴k 的最小值为2. 14．解：(1)∵sin 2x ＋1＋cos2x2＝sin 2x ＋cos 2x ＝1， ∴m ＝(1，sinx)，∴f(x)＝m·n＝12cos2x －32sin2x ＋2sin 2x ＝1－12cos2x －32sin2x ＝1－sin2x＋π6， ∴f(x)的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由(1)知f(x)＝1－sin2x ＋π6， ∵x ∈0，π2，∴2x＋π6∈π6，7π6， ∴sin2x ＋π6∈－12，1，所以函数f(x)的值域为0，32.。

2020版高考数学（理）大一轮复习：全册精品学案（含答案）

2020版高考数学（理）大一轮复习：全册精品学案（含答案）第1讲集合1.元素与集合(1)集合元素的性质:、、无序性.(2)集合与元素的关系:①属于,记为;②不属于,记为.(3)集合的表示方法:列举法、和.(4)常见数集及记法数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号2.集合间的基本关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A中的都是集合B中的元素x∈A?x∈BA?B或集合A是集合B的子集,但集合B中有一个元素不属于AA?B,?x0∈B,x0?AAB或B?A 相等集合A,B的元素完全A?B,B?A空集任何元素的集合,空集是任何集合的子集x,x?,A3.集合的基本运算表示运算文字语言符号语言图形语言记法交集属于 A属于B的元素组成的集合{x|x∈A,x∈B}并集属于A属于B的元素组成的集合{x|x∈A,x∈B}补集全集U中属于A的元素组成的集合{x|x∈U,xA}4.集合的运算性质(1)并集的性质:A∪?=A;A∪A=A;A∪B= ;A∪B= ?B?A.(2)交集的性质:A∩?=?;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A?A B.(3)补集的性质:A∪(?U A)=U;A∩(?U A)= ;U(?U A)= ;?U(A∪B)=(?U A)(?U B);?U(A∩B)= ∪.常用结论(1)非常规性表示常用数集:如{x|x=2(n-1),n∈Z}为偶数集,{x|x=4n±1,n∈Z}为奇数集等.(2)①一个集合的真子集必是其子集,一个集合的子集不一定是其真子集;②任何一个集合是它本身的子集;③对于集合A,B,C,若A?B,B?C,则A?C(真子集也满足);④若A?B,则有A=?和A≠?两种可能.(3)集合子集的个数:集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集、2n-1个真子集、2n-1个非空子集、2n-2个非空真子集.集合元素个数:card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)(常用在实际问题中).题组一常识题1.[教材改编]已知集合A={0,1,x2-5x},若-4∈A,则实数x的值为.2.[教材改编]已知集合A={a,b},若A∪B={a,b,c},则满足条件的集合B有个.3.[教材改编]设全集U=R,集合A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤3},则(?UA)∪B= .4.[教材改编]已知集合A={-1,1},B={a,a2+2}.若A∩B={1},则实数a 的值为.题组二常错题◆索引:忽视集合元素的性质致错;对集合的表示方法理解不到位致错;忘记空集的情况导致出错;忽视集合运算中端点取值致错.5.已知集合A={1,3,},B={1,m},若B?A,则m= .6.已知x∈N,y∈N,M={(x,y)|x+y≤2},N={(x,y)|x-y≥0},则M∩N中元素的个数是.7.已知集合M={x|x-a=0},N={x|ax-1=0},若M∩N=N,则实数a的值是.8.设集合A={x||x-a|<1,x∈R},B={x|1<x<5,x∈r},若a?b,则a的取值范围为.< p="">探究点一集合的含义与表示例1 (1)[2018·全国卷Ⅱ]已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为()A.9B.8C.5D.4(2)设集合A={-4,2a-1,a2},B={9,a-5,1-a},且集合A,B中有唯一的公共元素9,则实数a的值为.[总结反思] 解决集合含义问题的关键有三点:一是确定构成集合的元素;二是确定元素的限制条件;三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.特别提醒:含字母的集合问题,在求出字母的值后,需要验证集合的元素是否满足互异性.变式题 (1)已知集合A={x|x=3k-1,k∈Z},则下列表示正确的是()A.-1?AB.-11∈AC.3k2-1∈AD.-34?A(2)[2018·上海黄浦区二模]已知集合A={1,2,3},B={1,m},若3-m∈A,则非零实数m的值是.探究点二集合间的基本关系例2 (1)[2018·武汉4月调研]已知集合M={x|x2=1},N={x|ax=1},若N?M,则实数a的取值集合为()A.{1}B.{-1,1}C.{1,0}D.{1,-1,0}(2)设集合M={x|x=5-4a+a2,a∈R},N={y|y=4b2+4b+2,b∈R},则下列关系中正确的是()A.M=NB.M?NC.N?MD.M∈N[总结反思] (1)一般利用数轴法、Venn图法以及结构法判断两集合间的关系,如果集合中含有参数,需要对式子进行变形,有时需要进一步对参数分类讨论.(2)确定非空集合A的子集的个数,需先确定集合A中的元素的个数.特别提醒:不能忽略任何非空集合是它自身的子集.(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素满足的式子或区间端点间的关系,常用数轴法、Venn图法.变式题(1)设x,y∈R,集合A={(x,y)|y=x},B=(x,y)=1,则集合A,B间的关系为() A.A?B B.B?AC.A=BD.A∩B=?(2)已知集合M={x|x≤1},N={x|a≤x≤3a+1},若M∩N=?,则a的取值范围是.探究点三集合的基本运算角度1集合的运算例3 (1)[2018·长沙周南中学月考]已知集合A={x|x<1},B={x|e x<1},则()A.A∩B={x|x<1}B.A∪B={x|x<e}< p="">C.A∪(?R B)=RD.(?R A)∩B={x|0<x<1}< p="">(2)[2018·山西大学附中5月调研]已知集合A={x|2x≤1},B={x|ln x<1},则A∪B=()A.{x|x<e}< p="">B.{x|0≤x≤e}C.{x|x≤e}D.{x|x>e}[总结反思] 对于已知集合的运算,可根据集合的交集和并集的定义直接求解,必要时可结合数轴以及Venn图求解.角度2利用集合运算求参数例4 (1)已知集合A={x∈Z|x2-4x-5<0},B={x|4x>2m},若A∩B中有三个元素,则实数m的取值范围是()A.[3,6)B.[1,2)C.[2,4)D.(2,4](2)设全集U=R,集合A={x|x>1},集合B={x|x>p},若(?U A)∩B=?,则p应该满足的条件是()A.p>1B.p≥1C.p<1D.p≤1[总结反思] 根据集合运算求参数,要把集合语言转换为方程或不等式,然后解方程或不等式,再利用数形结合法求解.角度3集合语言的运用例5 (1)已知集合S={0,1,2,3,4,5},A是S的一个子集,当x∈A时,若有x-1?A且x+1?A,则称x为A的一个“孤立元素”,那么S的无“孤立元素”的非空子集的个数为 ()A.16B.17C.18D.20(2)对于a,b∈N,规定a*b=与的奇偶性相同与的奇偶性不同集合M={(a,b)|a*b=36,a,b∈N*},则M中的元素个数为.[总结反思] 解决集合新定义问题的关键是:(1)准确转化:解决新定义问题时,一定要读懂新定义的本质含义,紧扣题目所给定义,结合题目的要求进行恰当转化,切忌同已有概念或定义相混淆.(2)方法选取:对于新定义问题,可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法,并结合集合的相关性质求解.第1讲集合考试说明 1.集合的含义与表示:(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系;(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.</e}<></x<1}<></e}<></x<5,x∈r},若a?b,则a的取值范围为.<>。

2020高考：高三文科数学一轮复习模拟卷（含答案），务必打印一份

2020高考：高三文科数学一轮复习模拟卷（含答案），务必
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数学这门学科对于同学们来说是非常重要的，尤其是在学习任务紧张的高中阶段。

因为数学这门学科的分值非常的高，而且又是高中必考的科目，所以数学对于高中的同学们来说尤其重要。

像数学成绩好的同学经常可以拉开数学成绩不好的同学五六十分的分差，这个分差在一分就可以拉开千人的高考当中是非常吓人的，所以同学们一定要把数学这门学科学好。

现在已经开学一段时间了，一轮复习也已经开始，特别是对于高三的同学来说，2020年的高考也更近了一步。

那么怎么做才能更高效地学习数学呢？其实同学们到了高三，基本上已经脱离了知识点的学习阶段，现在巩固落下的知识，好能够查漏补缺。

而做考试真题和模拟卷就是最有效快速提升自己学习能力的一种方法。

所以为了帮助大家更快地提升自己的学习能力和提高数学考试成绩。

老师今天就给大家分享一份高三文科数学一轮复习的模拟卷（含答案），家长们和同学务必收藏起来，因为这份数学模拟卷覆盖了高中数学的所有知识点的经典习题，同学们把这张模拟卷都掌握明白了，2020高考数学成绩上140也是很容易的。

2020年高考文科数学新课标第一轮总复习练习：3-7正弦定理和余弦定理含解析

课时规范练A组基础对点练1．(2016·高考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝5，c＝2，cos A＝2 3，则b＝(D)A. 2B. 3C．2 D.32．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝(D)A．10 B.9C．8 D.53．钝角三角形ABC的面积是12，AB＝1，BC＝2，则AC＝(B)A．5 B. 5 C．2 D.1解析：∵钝角三角形ABC的面积是12，AB＝c＝1，BC＝a＝2，∴S＝12ac sin B＝12，即sin B＝22，当B为钝角时，cos B＝－1－sin2B＝－2 2，利用余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝1＋2＋2＝5，即AC＝5，当B为锐角时，cos B＝1－sin2B＝2 2，利用余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝1＋2－2＝1，即AC＝1，此时AB2＋AC2＝BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，则AC＝ 5.故选B.4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin A cos C＋cos A sin C，则下列等式成立的是(A)A．a＝2b B.b＝2aC．A＝2B D.B＝2A5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B ，则B ＝( C ) A.π6 B.π4 C.π3D.π26．(2018·衡阳联考)已知△ABC 的三边长为三个连续的自然数，且最大内角是最小内角的2倍，则最小内角的余弦值是( B ) A.23 B.34 C.56D.710解析：设三边长依次是x －1，x ，x ＋1，其中x 是自然数，且x ≥2，令三角形的最小角为A ，则最大角为2A ，由正弦定理，有x －1sin A ＝x ＋1sin 2A ＝x ＋12sin A cos A ， ∴cos A ＝x ＋12(x －1)，由余弦定理，有cos A ＝x 2＋(x ＋1)2－(x －1)22x (x ＋1)，∴x ＋12(x －1)＝x 2＋(x ＋1)2－(x －1)22x (x ＋1)，即x ＋1x －1＝x 2＋4x x 2＋x ＝x ＋4x ＋1，整理得(x ＋1)2＝(x －1)(x ＋4)，解得x ＝5，三边长为4,5,6，则cos A ＝52＋62－422×5×6＝34.7．(2018·西安模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，且sin 2B ＝sin 2C ，则△ABC 的形状为( D ) A ．等腰三角形 B.锐角三角形 C ．直角三角形D.等腰直角三角形解析：因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，所以由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，所以sin(B ＋C )＝sin 2A ，所以sin A ＝sin 2A .因为0<A<π，所以sin A≠0，所以sin A＝1.所以A＝π2.因为sin2B＝sin2C，所以由正弦定理得b2＝c2.因为b>0，c>0，所以b＝c.所以△ABC是等腰直角三角形．综上所述，故选D.8．(2016·高考北京卷)在△ABC中，∠A＝2π3，a＝3c，则bc＝__1__.9．在△ABC中，已知sin A∶sin B＝2∶1，c2＝b2＋2bc，则三内角A，B，C的度数依次是__45°，30°，105°__.10．在△ABC中，A＝30°，AB＝4，满足此条件的△ABC有两解，则BC边长度的取值范围为__(2,4)__．解析：由正弦定理可得BCsin A＝AB sin C，∴BC＝AB·sin Asin C＝2sin C，∵△ABC有两个解，∴30°＜C＜150°，且C≠90°，∴12＜sin C＜1，∴BC＝2sin C∈(2,4)．11．已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是152，cos∠BDC＝104.解析：如图，取BC中点E，DC中点F，由题意知AE ⊥BC ，BF ⊥CD . 在Rt △ABE 中，cos ∠ABE ＝BE AB ＝14， ∴cos ∠DBC ＝－14，sin ∠DBC ＝1－116＝154.∴S △BCD ＝12×BD ×BC ×sin ∠DBC ＝152.∵cos ∠DBC ＝1－2sin 2∠DBF ＝－14，且∠DBF 为锐角，∴sin ∠DBF ＝104. 在Rt △BDF 中，cos ∠BDF ＝sin ∠DBF ＝104. 综上可得，△BCD 的面积是152，cos ∠BDC ＝104.12．四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2. (1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积．解析：(1)由题设及余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝13－12cos C ，① BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C ．②由①②得cos C ＝12，故C ＝60°，BD ＝7. (2)四边形ABCD 的面积 S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2＋12×3×2sin 60° ＝2 3.13．△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC .(1)求sin B sin C ；(2)若∠BAC ＝60°，求∠B . 解析：(1)由正弦定理，得AD sin B ＝BD sin ∠BAD ，AD sin C ＝DCsin ∠CAD . 因为AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC ，所以sin B sin C ＝DC BD ＝12.(2)因为∠C ＝180°－(∠BAC ＋∠B )，∠BAC ＝60°，所以sin C ＝sin(∠BAC ＋∠B )＝32cos B ＋12sin B. 由(1)知2sin B ＝sin C ，所以tan B ＝33，即∠B ＝30°.B 组能力提升练1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( A ) A.725 B.－725 C ．±725D.2425解析：由C ＝2B ，得sin C ＝sin 2B ＝2sin B cos B ，由正弦定理及8b ＝5c ，得cos B ＝sin C 2sin B ＝c 2b ＝45，所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725.故选A.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 2＋c 2－a 2＝3bc ，且b ＝3a ，则下列关系一定不成立的是( B ) A ．a ＝c B.b ＝c C ．2a ＝cD.a 2＋b 2＝c 2解析：由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3bc 2bc ＝32，则A ＝30°.又b ＝3a ，由正弦定理得sin B ＝3sin A ＝3sin 30°＝32，所以B ＝60°或120°.当B ＝60°时，△ABC 为直角三角形，且2a ＝c ，可知C ，D 成立；当B ＝120°时，C ＝30°，所以A ＝C ，即a ＝c ，可知A 成立，故选B.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若满足c ＝2，a cos C ＝c sin A 的△ABC 有两个，则边长BC 的取值范围是( D )A ．(1，2) B.(1，3) C ．(3，2)D.(2，2)解析：因为a cos C ＝c sin A ，由正弦定理得sin A cos C ＝sin C sin A ，易知sin A ≠0，故tan C ＝1，所以C ＝π4.过点B 作AC 边上的高BD (图略)，垂足为D ，则BD ＝22BC ，要使满足条件的△ABC 有两个，则BC >2>22BC ，解得2<BC <2.故选D.4．在△ABC 中，已知2a cos B ＝c ，sin A sin B ·(2－cos C )＝sin 2 C 2＋12，则△ABC 为( D ) A ．等边三角形 B.钝角三角形 C ．锐角非等边三角形D.等腰直角三角形解析：由2a cos B ＝c ⇒2a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ⇒a 2＝b 2，所以a ＝b .因为sin A sin B (2－cos C )＝sin 2 C 2＋12，所以2sin A sin B (2－cos C )－2＋1－2sin 2 C2＝0，所以2sin A sin B (2－cos C )－2＋cos C ＝0，所以(2－cos C )(2sin A sin B －1)＝0，因为cos C ≠2，所以sin A sin B ＝12，因为a ＝b ，所以sin 2 A ＝12，所以A ＝B ＝π4，所以C ＝π2，所以△ABC 是等腰直角三角形，故选D.5．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为3 .解析：由正弦定理得(2＋b )(a －b )＝(c －b )c ，即(a ＋b )·(a －b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3，又b 2＋c 2－a 2＝bc ≥2bc －4，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立，即bc ≤4，故S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×32＝3，则△ABC 面积的最大值为 3.6．(2017·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝ π3 .解析：由正弦定理可得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ⇒cos B ＝12⇒B ＝π3. 7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若b sin A －3a cos B ＝0，且b 2＝ac ，则a ＋cb 的值为__2__.解析：由题意及正弦定理得sin B sin A －3sin A cos B ＝0，因为sin A ≠0，所以sin B －3cos B ＝0，所以tan B ＝3，又0<B <π，所以B ＝π3.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，即b 2＝(a ＋c )2－3ac ，又b 2＝ac ，所以4b 2＝(a ＋c )2，解得a ＋cb ＝2.8．(2018·高考北京卷)若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且∠C 为钝角，则∠B ＝__60°__；ca 的取值范围是__(2，＋∞)__．解析：∵S △ABC ＝34(a 2＋c 2－b 2)＝12ac sin B ， ∴a 2＋c 2－b 22ac ＝sin B 3，即cos B ＝sin B 3，∴sin B cos B ＝3，∠B ＝π3，则c a ＝sin C sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A sin A ＝32cos A －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·sin A sin A ＝32·1tan A ＋12， ∴∠C 为钝角，∠B ＝π3，∴0<∠A <π6，∴tan A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33，1tan A ∈(3，＋∞)，故ca ∈(2，＋∞)．9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2B ＋cos B ＝1－cos A cos C . (1)求证：a ，b ，c 成等比数列； (2)若b ＝2，求△ABC 的面积的最大值．解析：(1)证明：在△ABC 中，cos B ＝－cos(A ＋C )．由已知，得(1－sin 2B )－cos(A ＋C )＝1－cos A cos C ， ∴－sin 2B －(cos A cos C －sin A sin C )＝－cos A cos C ，化简，得sin 2B ＝sin A sin C . 由正弦定理，得b 2＝ac ， ∴a ，b ，c 成等比数列． (2)由(1)及题设条件，得ac ＝4.则cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时，等号成立． ∵0<B <π，∴sin B ＝1－cos 2B ≤ 1－(12)2＝32，∴S △ABC ＝12ac sin B ≤12×4×32＝ 3. 即△ABC 的面积的最大值为 3.10．(2018·海口调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知(a －3b )cos C ＝c (3cos B －cos A )． (1)求sin Bsin A 的值；(2)若c ＝7a ，求角C 的大小．解析：(1)由正弦定理，得(sin A －3sin B )cos C ＝sin C (3cos B －cos A )， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＝3sin C cos B ＋3cos C sin B ，即sin(A ＋C )＝3sin(C ＋B )，即sin B ＝3sin A ， ∴sin B sin A ＝3.(2)由(1)知b ＝3a ，∵c ＝7a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9a 2－7a 22×a ×3a ＝3a 26a 2＝12，又C ∈(0，π)，∴C ＝π3.。

(浙江专版)2020届高考数学一轮复习滚动检测四(1_7章)(含解析)

滚动检测四(1～7章)(时间：120分钟满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{x |x 2－1<0}，则A ∪B 等于( ) A ．(－1,1) B ．(－1,2) C ．(1,2) D ．(0,1)答案 B解析集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{x |x 2－1<0}＝{x |－1<x <1}， A ∪B ＝{x |－1<x <2}＝(－1,2)．故选B.2．直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是( ) A ．－3<m <1 B ．－4<m <2 C ．0<m <1 D ．m <1答案 C解析联立直线与圆的方程，消去y 得2x 2＋(2m －2)x ＋m 2－1＝0，由题意得Δ＝(2m －2)2－8(m 2－1)＝－4m 2－8m ＋12>0，解得－3<m <1，∵{m |0<m <1}是{m |－3<m <1}的一个真子集，∴直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是0<m <1.3．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，lg x ，x >1，则f (f (10))等于( )A ．lg101B ．2C ．1D ．0 答案 B解析 ∵f (10)＝lg10＝1， ∴f (f (10))＝f (1)＝12＋1＝2.4.函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，为了得到g (x )＝A sin ωx 的图象，只需将函数y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向左平移π12个单位长度C ．向右平移π6个单位长度D ．向右平移π12个单位长度答案 B解析 A ＝2，T 2＝π2，T ＝π，ω＝2,2×π3＋φ＝2k π，k ∈Z ，又－π<φ<0，解得φ＝－2π3，所以f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3， g (x )＝2sin2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2，2x －π2＝2x －2π3＋π6＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12－2π3，根据平移原则，可知函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位长度．故选B.5．若e 1，e 2是夹角为60°的两个单位向量，则向量a ＝e 1＋e 2，b ＝－e 1＋2e 2的夹角为( ) A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 答案 B解析由已知得，e 1·e 2＝12，所以(e 1＋e 2)·(－e 1＋2e 2)＝32，|e 1＋e 2|＝3，|－e 1＋2e 2|＝3，设向量a ＝e 1＋e 2，b ＝－e 1＋2e 2的夹角为α，则cos α＝a ·b |a |·|b |＝(e 1＋e 2)·(－e 1＋2e 2)|e 1＋e 2|·|－e 1＋2e 2|＝323·3＝12，又α∈[0，π]，∴α＝π3.6．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若AB →＋AC →＝2AO →，且|OA →|＝|AC →|，则向量BA →在向量BC →方向上的投影为( )A.32B.32C ．3D ．－32 答案 A解析如图，取BC 边的中点D ，连接AD ，则AB →＋AC →＝2AD →＝2AO →，∴O 和D 重合，O 是△ABC 外接圆圆心，∵|OA →|＝|AC →|， ∴∠BAC ＝90°，∠BOA ＝120°，∠ABO ＝30°. 又|OA →|＝|OB →|＝1； ∴在△AOB 中由余弦定理得|AB →|2＝|OA →|2＋|OB →|2－2×|O A →|·|OB →|·cos ∠AOB ＝1＋1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3，|AB →|＝3，∵∠ABO ＝30°；∴向量BA →在向量BC →方向上的投影为|BA →|cos ∠ABO ＝32.7．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时，不等式f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a ＝πf (π), b ＝(－2)f (－2)，c ＝f (1)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．c >b >a C ．c >a >b D ．a >c >b 答案 A解析令F (x )＝xf (x )，F ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，当x <0时，F (x )在(－∞，0)上单调递减．又f (x )是奇函数，F (x )是偶函数，所以F (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以F (π)>F (－2)>F (1)，即πf (π)>(－2)f (－2)>f (1)，故选A.8．已知{a n }是等差数列，其公差为非零常数d ，前n 项和为S n ，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和为T n ，当且仅当n ＝6时，T n 有最大值，则a 1d的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－52 B ．(－3，＋∞) C.⎝⎛⎭⎪⎫－3，－52 D ．(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，＋∞答案 C解析 ∵{a n }是等差数列，其公差为非零常数d ，前n 项和为S n ，∴S n n ＝d2n ＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2，∵数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫Sn n 的前n 项和为T n，当且仅当n ＝6时，T n有最大值，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 66＝a 1＋52d >0，S77＝a 1＋3d <0，d <0，解得－3<a 1d <－52.故选C.9．对任意的n ∈N *，数列{a n }满足|a n －cos 2n |≤13且|a n ＋sin 2n |≤23，则a n 等于( )A.23－sin 2n B ．sin 2n －23C.13－cos 2n D ．cos 2n ＋13答案 A解析 ∵|a n －cos 2n |≤13且|a n ＋sin 2n |≤23，∴cos 2n －13≤a n ≤cos 2n ＋13，－sin 2n －23≤a n ≤－sin 2n ＋23，即－1＋cos 2n －23≤a n ≤－1＋cos 2n ＋23，∴cos 2n －13≤a n ≤cos 2n －13，∴a n ＝cos 2n －13＝23－sin 2n .10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x |，0<x ≤2，f (4－x )，2<x <4，设方程f (x )－1ex ＝t (t ∈R )的四个不等实根从小到大依次为x 1，x 2，x 3，x 4，则下列判断中一定成立的是( ) A.x 1＋x 22＝1 B ．1<x 1x 2<4C ．4<x 3x 4<9D ．0<(x 3－4)(x 4－4)<4答案 C解析当2<x <4时，0<4－x <2，则f (x )＝f (4－x )＝|log 2(4－x )|. 作出函数y ＝f (x )－1ex 的图象，其与y ＝t 的四个交点即为对应的实根，结合图象可知x 1<1<x 2<2<x 3<3<x 4，即x 3x 4>4，结合图象可知f (x 3)－31e x ＝f (x 4)－41ex ，则结合f (x )的解析式易得log 2(4－x 3)＋log 2(4－x 4) ＝31e x －41ex >0，即(4－x 3)(4－x 4)>1，整理有16－4(x 3＋x 4)＋x 3x 4>1，即4(x 3＋x 4)<15＋x 3x 4，由于x 3＋x 4>2x 3x 4，则8x 3x 4<15＋x 3x 4，即(x 3x 4－3)(x 3x 4－5)>0，可得x 3x 4>5(舍去)，或x 3x 4<3，即x 3x 4<9，故4<x 3x 4<9，故选C.第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)11．已知复数z ＝1－b i i (b ∈R )的实部和虚部相等，则b ＝________，z 2018＝________.答案 1 21009i解析复数z ＝1－b i i ＝i ＋b－1＝－b －i ，因为复数z 的实部和虚部相等，所以b ＝1，所以z2018＝(－1－i)2018＝(2i)1009＝21009i.12．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝4，cos B ＝－14，sin A ＝158，则c ＝________，S △ABC ＝________. 答案 33154解析方法一由cos B ＝－14得，sin B ＝1－cos 2B ＝154. 由正弦定理a sin A ＝bsin B 得a ＝2.由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即c 2＋c －12＝0，解得c ＝3(舍负)．S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×3×154＝3154. 方法二由cos B ＝－14得，sin B ＝1－cos 2B ＝154，由sin A ＝158，得cos A ＝78，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝158×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＋78×154＝31516，由正弦定理c sin C ＝bsin B得c ＝3，S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×3×158＝3154. 13．已知等差数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝2n －3，n ∈N *，则a 1＋a 2＋a 6＋a 7＝________，数列{a n }的前n 项和S n ＝________. 答案 8n 2－3n2解析分别令n ＝1,6，可得a 1＋a 2＋a 6＋a 7＝－1＋9＝8.设数列{a n }的公差d ，则2n －3＝a n ＋a n ＋1＝a 1＋(n －1)d ＋a 1＋nd ＝2dn ＋(2a 1－d )对任意的n ∈N *恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧2d ＝2，2a 1－d ＝－3，故⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，a 1＝－1，故S n ＝n ×(－1)＋n (n －1)2×1＝n 2－3n2.14．已知x ，y ∈R ，且满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，x －2y ＋2≥0，x ＋y －1≥0，则不等式组表示的平面区域的面积为________；z ＝x 2＋y 2的最小值是________．答案 3 12解析作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，其中A (0,1)，B (1,0)，C (4,3)，∠ABC ＝90°，则平面区域的面积S ＝12×|AB |×|BC |＝3.又z ＝x 2＋y 2的最小值是原点O 与平面区域内的点的距离的平方的最小值，数形结合可知，z ＝x 2＋y 2的最小值为原点O 到直线x ＋y －1＝0的距离的平方，z min ＝⎝⎛⎭⎪⎫|－1|12＋122＝12，故z ＝x 2＋y 2的最小值是12.15．设函数f (x )＝lg 1x＋2x＋3x＋…＋9x＋10xa10，其中a 为实数，如果当x ∈(－∞，1]时f (x )有意义，则a 的取值范围是________________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，＋∞ 解析由函数f (x )＝lg 1x＋2x＋3x＋…＋9x＋10xa 10在x ∈(－∞，1]上有意义，得1x＋2x＋3x＋…＋9x＋10xa >0在x ∈(－∞，1]上恒成立，即a >－⎝ ⎛⎭⎪⎫110x －⎝ ⎛⎭⎪⎫210x －⎝ ⎛⎭⎪⎫310x －…－⎝ ⎛⎭⎪⎫910x在x ∈(－∞，1]上恒成立，设g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫110x －⎝ ⎛⎭⎪⎫210x －⎝ ⎛⎭⎪⎫310x －…－⎝ ⎛⎭⎪⎫910x，则易得g (x )在x ∈(－∞，1]上单调递增，所以g (x )max ＝g (1)＝－92，所以a >－92.16．已知实数a ，b ，c 满足a 2－8a －bc ＋7＝0，b 2＋c 2＋bc －6a ＋6＝0，则实数a 的取值范围是________．答案 [1,9]解析方法一由a 2－8a －bc ＋7＝0，可得bc ＝a 2－8a ＋7，由b 2＋c 2＋bc －6a ＋6＝0，可得b 2＋c 2＋bc ＝6a －6，所以(b ＋c )2＝b 2＋c 2＋bc ＋bc ＝6a －6＋a 2－8a ＋7＝a 2－2a ＋1，即b ＋c ＝±(a －1)，因此可得b ，c 为方程x 2±(a －1)x ＋a 2－8a ＋7＝0的两实根，所以Δ＝[±(a －1)]2－4(a 2－8a ＋7)≥0，即a 2－10a ＋9≤0，解得1≤a ≤9.方法二由a 2－8a －bc ＋7＝0，可得bc ＝a 2－8a ＋7，由b 2＋c 2＋bc －6a ＋6＝0，可得b 2＋c 2＋bc ＝6a －6，所以(b ＋c )2＝b 2＋c 2＋bc ＋bc ＝6a －6＋a 2－8a ＋7＝a 2－2a ＋1，由(b ＋c )2≥4bc ，得a 2－2a ＋1≥4(a 2－8a ＋7)，即a 2－10a ＋9≤0，解得1≤a ≤9.17．以O 为起点作三个不共线的非零向量OA →，OB →，OC →，使AB →＝－2BC →，|OA →|＝4，OA →|OA →|＋OB →|OB →|＝OC→|OC →|，则OA →·BC →＝________.答案 12解析方法一由OA →|OA →|＋OB→|OB →|＝OC→|OC →|，平方得OA→|OA →|·OB →|OB →|＝－12，即cos ∠AOB ＝－12，因为OA →，OB →不共线，所以0°<∠AOB <180°，所以∠AOB ＝120°.因为AB →＝－2BC →，所以C 为线段AB 的中点．由OA→|OA →|＋OB →|OB →|＝OC→|OC →|两边同乘以OC→|OC →|，可得 cos ∠AOC ＋cos ∠BOC ＝1，即cos ∠AOC ＋cos (120°－∠AOC )＝1，可得∠AOC ＝60°，所以OC 为∠AOB 的平分线，所以OC →⊥AB →.又|OA →|＝4，所以|AC →|＝|BC →|＝23，所以OA →·BC →＝(OC →＋CA →)·BC →＝BC →2＝12.方法二由OA→|OA →|＋OB →|OB →|＝OC→|OC →|及AB →＝－2BC →，结合向量加法的平行四边形法则，得OC 为∠AOB 的平分线，C 为AB 的中点，所以|OB →|＝|OA →|＝4，|AC →|＝|BC →|＝23，所以OA →·BC →＝(OC →＋CA →)·BC →＝BC →2＝12.三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 18．(14分)已知A ＝{x |x 2－2x －3<0}，B ＝{x |x 2－5x ＋6>0}． (1)求A ∩B ；(2)若不等式x 2＋ax ＋b <0的解集是A ∩B ，求ax 2＋x －b <0的解集．解 (1)由题意知A ＝{x |x 2－2x －3<0}＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |x 2－5x ＋6>0}＝{x |x <2或x >3}，∴A ∩B ＝{x |－1<x <2}．(2)由题意，得－1,2是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根， ∴－1＋2＝－a ，－1×2＝b ，解得a ＝－1，b ＝－2，∴不等式ax 2＋x －b <0可化为－x 2＋x ＋2<0，解得x <－1或x >2.∴ax 2＋x －b <0的解集为{x |x <－1或x >2}．19．(15分)函数f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx cos ωx ＋λ的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数且ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. (1)求f (x )的最小正周期； (2)若函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫π4，0，求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5上的值域．解 (1)f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx cos ωx ＋λ ＝3sin2ωx －cos2ωx ＋λ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋λ，由已知，f (x )的图象关于直线x ＝π对称，当x ＝π时，2ω·π－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得ω＝k 2＋13()k ∈Z ，又ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∴ω＝56，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6＋λ，∴T ＝6π5. (2)由已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53×π4－π6＋λ＝2＋λ＝0，∴λ＝－ 2. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5，∴53x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6， ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－2∈[－1－2，2－2]， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5上的值域是[－1－2，2－2]． 20．(15分)(2019·金华模拟)已知等差数列{a n }中，2a 2＋a 3＋a 5＝20，且前10项和S 10＝100.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2＋a 3＋a 5＝4a 1＋8d ＝20，10a 1＋10×92d ＝10a 1＋45d ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，n ∈N *.(2)b n ＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1，n ∈N *. 21．(15分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2＝bc ＋a 2.(1)求A 的大小；(2)若a ＝3，求b ＋c 的最大值．解 (1)b 2＋c 2＝bc ＋a 2，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12， ∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3. (2)∵a ＝3，∴b 2＋c 2＝bc ＋3，即(b ＋c )2－3＝3bc ， ∵bc ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c 22，∴(b ＋c )2－3≤3(b ＋c )24， ∴(b ＋c )2≤12，∴b ＋c ≤23(当且仅当b ＝c ＝3时取等号)．∴b ＋c 的最大值为2 3.22．(15分)已知函数f (x )＝e x ax 2＋bx ＋c，其中a ，b ，c ∈R . (1)若b ＝c ＝1，且当x ≥0时，f (x )≥1总成立，求实数a 的取值范围；(2)若a >0，b ＝0，c ＝1，f (x )存在两个极值点x 1，x 2，求证：e1a <f (x 1)＋f (x 2)<e 2＋12. (1)解 f (x )＝e x ax 2＋x ＋1，因为f (x )在[0，＋∞)上有意义，所以a ≥0.若a ＝0，则f (x )＝e x x ＋1，f ′(x )＝x e x(x ＋1)2≥0，所以f (x )min ＝f (0)＝1，若a >0，则f ′(x )＝e x [ax 2＋(1－2a )x ](ax 2＋x ＋1)2 ＝e x ·ax ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－2a a ()ax 2＋x ＋12. 当0<a ≤12时，f (x )min ＝f (0)＝1；当a >12时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2a －1a 上为减函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a －1a ，＋∞上为增函数，f (x )min <f (0)＝1，不成立，综上，0≤a ≤12. (2)证明由于f (x )＝e x ax 2＋1，f ′(x )＝e x (ax 2－2ax ＋1)(ax 2＋1)2，因为f (x )有两个极值点，所以4a 2－4a >0，因此a >1.令f ′(x )＝0，因此极值点x 1，x 2为方程ax 2－2ax ＋1＝0的两个根，又f (x 1)＝121e 1x ax +，f (x 2)＝222e 1x ax +，注意到ax 2i －2ax i ＋1＝0，i ＝1,2， f (x 1)＝11e 2x ax ，f (x 2)＝22e 2x ax ，x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝1a ，所以f (x 1)＋f (x 2)＝12a 2212e e x xx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝12()1222e e x xx x +易知x 1>0，x 2>0，注意到12()1222e e xx x x +e 1a ，因此f (x 1)＋f (x 2)>e 1a ，又12()1222e e x xx x +<()()1212e e4x x x x ++<e 2＋12，因此e 1a <f (x 1)＋f (x 2)<e 2＋12.。

2020版高考数学一轮复习教程随堂巩固训练4 Word版含解析

随堂巩固训练(). 下列说法错误的是②．(填序号)①命题“若－－＝，则＝”的逆否命题是“若≠，则－－≠”；②命题“若>，则方程＋－＝有实数根”的逆命题为真命题；③“＝”是“－－＝”的充分条件；④命题“若＋＝，则＝且＝”的否命题是“若＋≠，则≠或≠”．解析：①显然正确；②命题“若>，则方程＋－＝有实根”的逆命题是“若方程＋－＝有实数根，则>”．由Δ＝－×(－)≥得≥－，所以是假命题，故②错误；③当＝时，－－＝－×－＝，所以“＝”是“－－＝”的充分条件，故③正确；④显然正确，故选②.. “>”是“(＋)>对∈(，＋∞)恒成立”的充分不必要条件．解析：“(＋)>对∈(，＋∞)恒成立”等价于＋>在∈(，＋∞)上恒成立，即＋≥，解得≥，因为“>”是“≥”的充分不必要条件，故“>”是“(＋)>对∈(，＋∞)恒成立”的充分不必要条件．. 已知命题：<<；命题：椭圆＋＝的焦点在轴上，则命题是的充要条件．解析：若<<，则椭圆＋＝的焦点在轴上；若椭圆＋＝的焦点在轴上，则<<，故命题是的充要条件．. 已知实系数一元二次方程＋＋＝，则“<”是“该方程有实数根”的充分不必要条件．解析：若实系数一元二次方程＋＋＝有实数根，则Δ＝－≥，即≤.若“<”则推得出“≤”，故充分性成立；若“≤”，则推不出“<”，故必要性不成立，故“<”是“该方程有实数根”的充分不必要条件．. 设向量＝(θ，θ)，＝(θ，)，则“∥”是“θ＝”的必要不充分条件．解析：若∥，则θ－θ＝，即θ(θ－θ)＝，解得θ＝或θ＝，故“∥”是“θ＝”的必要不充分条件．. 设，∈，则“>”是“－>”的充分不必要条件．解析：因为>，所以<<；因为－>，所以>，所以“>”是“－>”的充分不必要条件．. 若函数()＝－(－)·－，则“＝”是“函数()为奇函数”的充分不必要条件．解析：若＝，则()＝－－，(－)＝－－＝－()，函数()是奇函数，故充分性成立；若()＝－(－)－是奇函数，则()＝，即－(－)＝，解得＝±，故必要性不成立，所以“＝”是“函数()为奇函数”的充分不必要条件．. 若“＋<”是“－－>”的充分条件，则实数的取值范围是[，＋∞)．解析：由＋<，解得<－；由－－>，解得<－或>.因为“＋<”是“－－>”的充分条件，所以－≤－，解得≥，故实数的取值范围是[，＋∞)．.已知数列{}，{}满足＝＋＋，则“数列{}为等差数列”是“数列{}为等差数列”的充分不必要条件．解析：若数列{}为等差数列，设其公差为，则＋－＝(＋＋＋)－(＋＋)＝＋－＝，所以数列{}是等差数列，故充分性成立；若数列{}为等差数列，设其公差为，则＋－＝(＋＋＋)－(＋＋)＝＋－＝，不能推出数列{}为等差数列，故必要性不成立，所以“数列{}为等差数列”是“数列{}为等差数列”的充分不必要条件．.已知命题：－<；命题：(－)(－)>，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是[－，]．解析：由－<，解得－<<＋，即命题：－<<＋；由(－)(－)>，解得<<，即命题：<<.因为是的必要不充分条件，所以解得－≤≤，故实数的取值范围是[－，]．. 已知命题：实数满足－＋<，其中>；命题：实数满足<≤.() 若＝，且“∧”为真，求实数的取值范围；() 若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.解析：() 由－＋<得(－)(－)<.因为>，所以<<.所以当＝时，命题：<<.若“∧”为真，则为真且为真，所以实数的取值范围是(，)．() 设＝{()}，＝{()}．因为是的必要不充分条件，所以.因为＝(，]，＝(，)，所以解得<≤，所以实数的取值范围是(，].. 设命题：函数()＝的定义域为；命题：不等式－<－对任意∈恒成立.() 如果是真命题，求实数的取值范围；() 如果是的充分不必要条件，求实数的取值范围．解析：() 由题意得－＋>对任意∈恒成立，。

2020年高考数学一轮复习阶段复习检测7(含答案解析)

阶段复习检测(七) 解析几何(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2018·江西抚州期末)点(3，4)在直线l ：ax －y ＋1＝0上，则直线l 的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°C [∵点(3，4)在直线l ：ax －y ＋1＝0上，∴3a －4＋1＝0，∴a ＝3，即直线l 的斜率为3，直线l 的倾斜角为60°.]2．直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直D ．不能确定C [直线2x ＋y ＋m ＝0的斜率k 1＝－2，直线x ＋2y ＋n ＝0的斜率为k 2＝－12，则k 1≠k 2，且k 1k 2≠－1.]3．“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件A [若直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切，则有|a －3＋4|2＝22，即|a ＋1|＝4，所以a ＝3或－5.但当a ＝3时，直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8一定相切，故“a ＝3”是“直线y＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的充分不必要条件．]4．设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左、右焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|＝( )A ．1B ．17C ．1或17D ．以上答案均不对B [由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝8，又|PF 1|＝9，∴|PF 2|＝1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c －a ＝6－4＝2>1，∴|PF 2|＝17.]5．已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( )A ．6B ．5C ．4D ．3A [由椭圆定义知，⎩⎪⎨⎪⎧|AF 1|＋|AF 2|＝8，|BF 1|＋|BF 2|＝8，两式相加得|AB |＋|AF 1|＋|BF 1|＝16，即△AF 1B 周长为16，又因为在△AF 1B 中，有两边之和是10，所以第三边长度为16－10＝6. ]6．M 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)右支上一点，A 、F 分别为双曲线的左顶点和右焦点，且△MAF 为等边三角形，则双曲线C 的离心率为( )A ．5－1B ．2C ．4D ．6C [由题意，A (－a,0)，F (c,0)，M ⎝⎛⎭⎪⎪⎫c －a 2，3c ＋a 2，由双曲线的定义可得c ＋a c －a 2－a 2c＝c a ，∴c 2－3ac －4a 2＝0，∴e 2－3e －4＝0，∴e ＝4.]7．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点P为抛物线上一点，且在第一象限，PA ⊥l ，垂足为A ，|PF |＝4，则直线AF 的倾斜角等于( )A ．7π12B ．2π3C ．3π4D ．5π6B [由抛物线定义知|PF |＝|PA |，∴P 点坐标为(3,23)，所以A 点坐标为(－1,23)，AF 与x轴夹角为π3，所以直线AF 的倾斜角为23π .]8．(2019·云南昆明模拟)已知P 是双曲线x 225－y 216＝1右支上一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，O 为坐标原点，若|OP →＋OF 1→|＝8，则点P 到该双曲线左焦点的距离为( )A ．1B ．2C ．16D ．18D [如图，取线段PF 1的中点M ，则|OP →＋OF 1→|＝|2OM →|＝8，所以|PF 2|＝8，由|PF 1|－|PF 2|＝10，得|PF 1|＝18.]9．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为( )A ．5B ．5＋4 3C ．7D ．9D [如图所示，设双曲线的右焦点为E ，则E (4，0)．由双曲线的定义及标准方程得|PF |－|PE |＝4，则|PF |＋|PA |＝4＋|PE |＋|PA |.由图可得，当A ，P ，E 三点共线时，(|PE |＋|PA |)min ＝|AE |＝5，从而|PF |＋|PA |的最小值为9.]10．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0，32 B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34C ．⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32，1 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1A [设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形．∵|AF |＋|BF |＝4，∴|AF |＋|AF 0|＝4，∴a ＝2.设M (0，b )，则4b 5≥45，∴1≤b <2. 离心率e ＝ca＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝4－b 24∈⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0，32.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)11．已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为__________．－13或－79 [由题意及点到直线的距离公式得|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1，解得a ＝－13或－79.] 12．抛物线y 2＝－12x 的准线与双曲线x 29－y 23＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于__________．33 [由图可知弦长|AB |＝23，三角形的高为3，∴面积为S ＝12×23×3＝33. ]13．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上存在一点P 满足以|OP |为边长的正方形的面积等于2ab (其中O 为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围是__________．⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫52，＋∞ [由条件，得|OP |2＝2ab ，又P 为双曲线上一点，从而|OP |≥a ，∴2ab ≥a 2，∴2b≥a ，又∵c 2＝a 2＋b 2≥a 2＋a 24＝54a 2，∴e ＝ca ≥52.]14．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (c,0)关于直线y ＝bcx 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是__________．22 [设F (c,0)关于直线y ＝bcx 的对称点为Q (m ，n )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n m －c ·bc ＝－1，n 2＝b c ×m ＋22，解得m ＝c 3－2b 2a 2，n ＝bc 2－2bca 2，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 3－2b 2a 2，bc 2－2bc a 2在椭圆上，即有c 3－2b 22a 4＋bc 2－2bc 2a 2b 2＝1，解得a 2＝2c 2，所以离心率e ＝ca ＝22.]三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．(12分)(2018·安徽合肥三校联考)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22，且椭圆经过圆C ：x 2＋y 2－4x ＋22y ＝0的圆心C ．(1)求椭圆的方程；(2)设直线l 过椭圆的焦点且与圆C 相切，求直线l 的方程．解 (1)圆C 方程化为(x －2)2＋(y ＋2)2＝6，圆心C (2，－2)，半径r ＝6．设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋2b 2＝1，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫222，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4.所以所求的椭圆方程是x 28＋y 24＝1．(2)由(1)得椭圆的左、右焦点分别是F 1(－2,0)，F 2 (2,0)，|F 2C |＝2－220＋22＝2<r ＝6．F 2在圆C 内，故过F 2没有圆C 的切线，所以直线l 过焦点F 1．设l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，点C (2，－2)到直线l 的距离为d ＝|2k ＋2＋2k |1＋k 2，由d ＝6，得|2k ＋2＋2k |1＋k2＝6．化简，得5k 2＋42k －2＝0，解得k ＝25或k ＝－2．故l 的方程为2x －5y ＋22＝0或2x ＋y ＋22＝0．16．(12分)(2019·陕西咸阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (2,1)，且离心率e ＝32． (1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．求△PAB 面积的最大值．解 (1)∵e 2＝c 2a2＝a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2．又椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (2,1)，∴4a 2＋1b 2＝1.∴a 2＝8，b 2＝2．故所求椭圆方程为x 28＋y 22＝1．(2)设l 的方程为y ＝12x ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y 22＝1，整理得x 2＋2mx＋2m 2－4＝0．∵Δ＝4m 2－8m 2＋16>0，解得|m |<2． ∴x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－4．则|AB |＝ 1＋14×x 1＋x 22－4x 1x 2＝54－m 2．点P 到直线l 的距离d ＝|m |1＋14＝2|m |5．∴S △PAB ＝12d |AB |＝12×2|m |5×54－m 2＝m 24－m 2≤m 2＋4－m 22＝2．而且仅当m 2＝2，即m ＝±2时取得最大值．∴△PAB 面积的最大值为2．17．(12分)(2019·安徽马鞍山模拟)已知抛物线C ：y ＝2x 2，直线l ：y ＝kx ＋2交C 于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ．(1)证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；(2)是否存在实数k ，使得以AB 为直径的圆M 经过点N ，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．(1)证明设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把y ＝kx ＋2代入y ＝2x 2，得2x 2－kx －2＝0，则x 1＋x 2＝k2，x 1x 2＝－1．∵x N ＝x M ＝x 1＋x 22＝k4， ∴点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 4，k 28．∵y ′＝4x ，∴y ′|x ＝k4＝k ，即抛物线在点N 处的切线的斜率为k ．∵直线l ：y ＝kx ＋2的斜率为k ，∴抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行． (2)解假设存在实数k ，使得以AB 为直径的圆M 经过点N ． ∵M 是AB 的中点，∴|MN |＝12|AB |．由(1)知y M ＝12(y 1＋y 2)＝12(kx 1＋2＋kx 2＋2)＝12[k (x 1＋x 2)＋4]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋k 22＝2＋k 24．由MN ⊥x 轴，得|MN |＝|y M －y N |＝2＋k 24－k 28＝k 2＋168．∵|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋k 2·k 24－41＝121＋k 2·16＋k 2，由|MN |＝12|AB |，得16＋k 28＝141＋k 2·16＋k 2，解得k ＝±2，故存在实数k ＝±2，使得以AB 为直径的圆M 经过点N ．18．(14分)(2018·北京卷)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1,2)，过点Q (0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．(1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ为定值．(1)解因为抛物线y 2＝2px 过点(1,2)，所以2p ＝4，即p ＝2．故抛物线C 的方程为y 2＝4x ．由题意知，直线l 的斜率存在且不为0．设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x y ＝kx ＋1，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0．依题意Δ＝(2k －4)2－4×k 2×1>0，解得k <0或0<k <1．又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1，－2)．从而k ≠－3．所以直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3,0)∪(0,1)． (2)证明设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由(1)知x 1＋x 2＝－2k －4k 2，x 1x 2＝1k2．直线PA 的方程为y －2＝y 1－2x 1－1(x －1)．令x ＝0，得点M 的纵坐标y M ＝－y 1＋2x 1－1＋2＝－kx 1＋1x 1－1＋2．同理得点N 的纵坐标为y N ＝－kx 2＋1x 2－1＋2．由QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，得λ＝1－y M ，μ＝1－y N ．所以1λ＋1μ＝11－y M ＋11－y N＝x 1－1k －1x 1＋x 2－1k －1x 2＝1k －1·2x 1x 2x 1＋x2x 1x 2＝1k －1·2k 2＋2k －4k 21k 2＝2．所以1λ＋1μ为定值．。

2020年高考数学学业水平测试一轮复习模拟测试卷(四)(含解析)(最新整理)

A．90°
B．60°
C．45°
D．0°
解析：将△ABC 沿 DE，EF，DF 折成三棱锥以后,点 A，B，C 重合为点 M，得到三棱锥 M-DEF,
如图．因为 I、J 分别为 BE、DE 的中点，所以 IJ∥侧棱 MD,故 GH 与 IJ 所成的角等于侧棱 MD
与 GH 所成的角．因为∠AHG＝60°，即∠MHG＝60°,所以 GH 与 IJ 所成的角的度数为 60°，故
2a1d＋d2＝0，
因为公差 d 不等于零,所以 a1d<0，
2a1＋d＝0，所以 dS3＝d(3a1＋3d)＝错误!d2>0.故选 C。
答案：C
15．如图所示,在正三角形 ABC 中，D，E，F 分别为各边的中点，G,H,I,J 分别为 AF，AD，
BE，DE 的中点．将△ABC 沿 DE，EF，DF 折成三棱锥以后，HG 与 IJ 所成角的度数为( )
答案:B
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2019-2020 年高考数学学业水平测试一轮复习模拟测试卷（四）（含解析）
10．将函数 y＝sin错误!的图象经怎样平移后，所得的图象关于点错误!成中心对称( ）
A．向左平移π12个单位
B．向右平移错误!个单位
C．向左平移错误!个单位 D．向右平移错误!个单位
解析：将函数 y＝sin错误!的图象向左平移 φ 个单位，得 y＝sin错误!的图象，因为该图
答案：D
9．已知平面 α，β 和直线 m，直线 m 不在平面 α,β 内,若 α⊥β，则“m∥β”是“m
⊥α”的（）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由 α⊥β，m∥β，可得 m⊥α 或 m∥α 或 m 与 α 既不垂直也不平行，故充分性

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第七讲高考真题再现1．（2019•新课标Ⅲ）已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15，且a5＝3a3+4a1，则a3＝（）A．16 B．8 C．4 D．2【答案】C【解析】设等比数列{a n}的公比为q（q＞0），则由前4项和为15，且a5＝3a3+4a1，有，∴，∴，2．（2019•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则（）A．a n＝2n﹣5 B．a n＝3n﹣10 C．S n＝2n2﹣8n D．S n＝n2﹣2n【答案】A【解析】设等差数列{a n}的公差为d，由S4＝0，a5＝5，得，∴，∴a n＝2n﹣5，，3．（2018•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3＝S2+S4，a1＝2，则a5＝（）A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12【答案】B【解析】∵S n为等差数列{a n}的前n项和，3S3＝S2+S4，a1＝2，∴＝a1+a1+d+4a1+d，把a1＝2，代入得d＝﹣3∴a5＝2+4×（﹣3）＝﹣10．故选：B．4．（2017•新课标Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【答案】B【解析】设塔顶的a1盏灯，由题意{a n}是公比为2的等比数列，∴S7＝＝381，解得a1＝3．故选：B．5．（2017•新课标Ⅰ）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A．440 B．330 C．220 D．110【答案】A【解析】设该数列为{a n}，设b n＝+…+＝2n+1﹣1，（n∈N+），则＝a i，由题意可设数列{a n}的前N项和为S N，数列{b n}的前n项和为T n，则T n＝21﹣1+22﹣1+…+2n+1﹣1＝2n+1﹣n ﹣2，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n+1﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，A项，由＝435，440＝435+5，可知S440＝T29+b5＝230﹣29﹣2+25﹣1＝230，故A项符合题意．B项，仿上可知＝325，可知S330＝T25+b5＝226﹣25﹣2+25﹣1＝226+4，显然不为2的整数幂，故B 项不符合题意．C项，仿上可知＝210，可知S220＝T20+b10＝221﹣20﹣2+210﹣1＝221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．D项，仿上可知＝105，可知S110＝T14+b5＝215﹣14﹣2+25﹣1＝215+15，显然不为2的整数幂，故D 项不符合题意．故选A．方法二：由题意可知：，，，…，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1，每项含有的项数为：1，2，3，…，n，总共的项数为N＝1+2+3+…+n＝，所有项数的和为S n：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1＝（21+22+23+…+2n）﹣n＝﹣n＝2n+1﹣2﹣n，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，则①1+2+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝1，总共有+2＝3，不满足N＞100，②1+2+4+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝5，总共有+3＝18，不满足N＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝13，总共有+4＝95，不满足N＞100，④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝29，总共有+5＝440，满足N＞100，∴该款软件的激活码440．故选：A．6．（2017•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5＝24，S6＝48，则{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【解析】∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5＝24，S6＝48，∴，解得a1＝﹣2，d＝4，∴{a n}的公差为4．7．（2017•新课标Ⅲ）等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}前6项的和为（）A．﹣24 B．﹣3 C．3 D．8【解析】∵等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．a2，a3，a6成等比数列，∴，∴（a1+2d）2＝（a1+d）（a1+5d），且a1＝1，d≠0，解得d＝﹣2，∴{a n}前6项的和为＝＝﹣24．故选：A．8．（2016•新课标Ⅲ）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m＝4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个【答案】C【解析】由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m＝4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1； 0，0，0，1，0，1，1，1； 0，0，0，1，1，0，1，1； 0，0，0，1，1，1，0，1； 0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1； 0，0，1，0，1，1，0，1； 0，0，1，1，0，1，0，1； 0，0，1，1，0，0，1，1； 0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1； 0，1，0，0，1，1，0，1； 0，1，0，1，0，0，1，1； 0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．故选：C．9．（2016•新课标Ⅰ）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝（）A．100 B．99 C．98 D．97【答案】C【解析】∵等差数列{a n}前9项的和为27，S9＝＝＝9a5．∴9a5＝27，a5＝3，又∵a10＝8，∴d＝1，∴a100＝a5+95d＝98，10．（2015•新课标Ⅰ）已知{a n}是公差为1的等差数列，S n为{a n}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝（）A．B．C．10 D．12【答案】B【解析】∵{a n}是公差为1的等差数列，S8＝4S4，∴8a1+×1＝4×（4a1+），解得a1＝．则a10＝+9×1＝．故选：B．11．（2015•新课标Ⅱ）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5＝3，则S5＝（）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】A【解析】由等差数列{a n}的性质，a1+a3+a5＝3＝3a3，解得a3＝1．则S5＝＝5a3＝5．故选：A．12．（2015•新课标Ⅱ）已知等比数列{a n}满足a1＝3，a1+a3+a5＝21，则a3+a5+a7＝（）A．21 B．42 C．63 D．84【答案】B【解析】∵a1＝3，a1+a3+a5＝21，∴，∴q4+q2+1＝7，∴q4+q2﹣6＝0，∴q2＝2，∴a3+a5+a7＝＝3×（2+4+8）＝42．故选：B．13．（2015•新课标Ⅱ）已知等比数列{a n}满足a1＝，a3a5＝4（a4﹣1），则a2＝（）A．2 B．1 C．D．【答案】C【解析】设等比数列{a n}的公比为q，∵，a3a5＝4（a4﹣1），∴＝4，化为q3＝8，解得q＝2则a2＝＝．故选：C．14．（2014•新课标Ⅱ）等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n＝（）A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D．【答案】A【解析】由题意可得a42＝a2•a8，即a42＝（a4﹣4）（a4+8），解得a4＝8，∴a1＝a4﹣3×2＝2，∴S n＝na1+d，＝2n+×2＝n（n+1），故选：A．15．（2019•新课标Ⅲ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a3＝5，a7＝13，则S10＝．【答案】100【解析】在等差数列{a n}中，由a3＝5，a7＝13，得d＝，∴a1＝a3﹣2d＝5﹣4＝1．则．故答案为：100．16．（2019•新课标Ⅲ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a1≠0，a2＝3a1，则＝．【答案】4【解析】设等差数列{a n}的公差为d，则由a1≠0，a2＝3a1可得，d＝2a1，∴＝＝，故答案为：4．17．（2019•新课标Ⅰ）记S n为等比数列{a n}的前n项和．若a1＝1，S3＝，则S4＝．【答案】【解析】∵等比数列{a n}的前n项和，a1＝1，S3＝，∴q≠1，＝，整理可得，，解可得，q＝﹣，则S4＝＝＝．故答案为：18．（2019•新课标Ⅰ）记S n为等比数列{a n}的前n项和．若a1＝，a42＝a6，则S5＝．【答案】【解析】在等比数列中，由a42＝a6，得q6a12＝q5a1＞0，即q＞0，q＝3，则S5＝＝，故答案为：19．（2018•新课标Ⅰ）记S n为数列{a n}的前n项和．若S n＝2a n+1，则S6＝．【答案】-63【解析】解：S n为数列{a n}的前n项和，S n＝2a n+1，①当n＝1时，a1＝2a1+1，解得a1＝﹣1，当n≥2时，S n﹣1＝2a n﹣1+1，②，由①﹣②可得a n＝2a n﹣2a n﹣1，∴a n＝2a n﹣1，∴{a n}是以﹣1为首项，以2为公比的等比数列，∴S6＝＝﹣63，故答案为：﹣6320．（2017•新课标Ⅱ）等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝3，S4＝10，则＝．【答案】【解析】等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝3，S4＝10，S4＝2（a2+a3）＝10，可得a2＝2，数列的首项为1，公差为1，S n＝，＝，则＝2[1﹣++…+]＝2（1﹣）＝．故答案为：．21．（2017•新课标Ⅲ）设等比数列{a n}满足a1+a2＝﹣1，a1﹣a3＝﹣3，则a4＝．【答案】-8【解析】设等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a2＝﹣1，a1﹣a3＝﹣3，∴a1（1+q）＝﹣1，a1（1﹣q2）＝﹣3，解得a1＝1，q＝﹣2．则a4＝（﹣2）3＝﹣8．故答案为：﹣8．22．（2016•新课标Ⅰ）设等比数列{a n}满足a1+a3＝10，a2+a4＝5，则a1a2…a n的最大值为．【答案】64【解析】等比数列{a n}满足a1+a3＝10，a2+a4＝5，可得q（a1+a3）＝5，解得q＝．a1+q2a1＝10，解得a1＝8．则a1a2…a n＝a1n•q1+2+3+…+（n﹣1）＝8n•＝＝，当n＝3或4时，表达式取得最大值：＝26＝64．故答案为：64．23．（2015•新课标Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝﹣1，a n+1＝S n+1S n，则S n＝．【答案】﹣【解析】∵a n+1＝S n+1S n，∴S n+1﹣S n＝S n+1S n，∴﹣＝1，又∵a1＝﹣1，即＝﹣1，∴数列{}是以首项是﹣1、公差为﹣1的等差数列，∴＝﹣n，∴S n＝﹣，故答案为：﹣．24．（2015•新课标Ⅰ）在数列{a n}中，a1＝2，a n+1＝2a n，S n为{a n}的前n项和，若S n＝126，则n＝．【答案】6【解析】∵a n+1＝2a n，∴，∵a1＝2，∴数列{a n}是a1＝2为首项，以2为公比的等比数列，∴S n＝＝＝2n+1﹣2＝126，∴2n+1＝128，∴n+1＝7，∴n＝6．故答案为：625．（2014•新课标Ⅱ）数列{a n}满足a n+1＝，a8＝2，则a1＝．【答案】【解析】由题意得，a n+1＝，a8＝2，令n＝7代入上式得，a8＝，解得a7＝；令n＝6代入得，a7＝，解得a6＝﹣1；令n＝5代入得，a6＝，解得a5＝2；…根据以上结果发现，求得结果按2，，﹣1循环，∵8÷3＝2…2，故a1＝故答案为：．26．（2019•新课标Ⅰ）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得﹣1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得﹣1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．（1）求X的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i（i＝0，1，…，8）表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，p i＝ap i﹣1+bp i+cp i+1（i＝1，2，…，7），其中a＝P （X＝﹣1），b＝P（X＝0），c＝P（X＝1）．假设α＝0.5，β＝0.8．（i）证明：{p i+1﹣p i}（i＝0，1，2，…，7）为等比数列；（ii）求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．【答案】见解析【解析】（1）解：X的所有可能取值为﹣1，0，1．P（X＝﹣1）＝（1﹣α）β，P（X＝0）＝αβ+（1﹣α）（1﹣β），P（X＝1）＝α（1﹣β），∴X的分布列为：X﹣1 0 1P（1﹣α）βαβ+（1﹣α）（1﹣α（1﹣β）β）（2）（i）证明：∵α＝0.5，β＝0.8，∴由（1）得，a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1．因此p i＝0.4p i﹣1+0.5p i+0.1p i+1（i＝1，2，…，7），故0.1（p i+1﹣p i）＝0.4（p i﹣p i﹣1），即（p i+1﹣p i）＝4（p i﹣p i﹣1），又∵p1﹣p0＝p1≠0，∴{p i+1﹣p i}（i＝0，1，2，…，7）为公比为4，首项为p1的等比数列；（ii）解：由（i）可得，p8＝（p8﹣p7）+（p7﹣p6）+…+（p1﹣p0）+p0＝，∵p8＝1，∴p1＝，∴P4＝（p4﹣p3）+（p3﹣p2）+（p2﹣p1）+（p1﹣p0）+p0＝p1＝．P4表示最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．27．（2019•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S9＝﹣a5．（1）若a3＝4，求{a n}的通项公式；（2）若a1＞0，求使得S n≥a n的n的取值范围．【答案】（1）﹣2n+10 （2）{n|1≤n≤10，n∈N}．【解析】（1）根据题意，等差数列{a n}中，设其公差为d，若S9＝﹣a5，则S9＝＝9a5＝﹣a5，变形可得a5＝0，即a1+4d＝0，若a3＝4，则d＝＝﹣2，则a n＝a3+（n﹣3）d＝﹣2n+10，（2）若S n≥a n，则na1+d≥a1+（n﹣1）d，当n＝1时，不等式成立，当n≥2时，有≥d﹣a1，变形可得（n﹣2）d≥﹣2a1，又由S9＝﹣a5，即S9＝＝9a5＝﹣a5，则有a5＝0，即a1+4d＝0，则有（n﹣2）≥﹣2a1，又由a1＞0，则有n≤10，则有2≤n≤10，综合可得：n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}．28．（2018•新课标Ⅱ）记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1＝﹣7，S3＝﹣15．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n的最小值．【答案】（1）2n﹣9 （2）-16【解析】（1）∵等差数列{a n}中，a1＝﹣7，S3＝﹣15，∴a1＝﹣7，3a1+3d＝﹣15，解得a1＝﹣7，d＝2，∴a n＝﹣7+2（n﹣1）＝2n﹣9；（2）∵a1＝﹣7，d＝2，a n＝2n﹣9，∴S n＝＝＝n2﹣8n＝（n﹣4）2﹣16，∴当n＝4时，前n项的和S n取得最小值为﹣16．29．（2018•新课标Ⅰ）已知数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝2（n+1）a n，设b n＝．（1）求b1，b2，b3；（2）判断数列{b n}是否为等比数列，并说明理由；（3）求{a n}的通项公式．【答案】见解析【解析】（1）数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝2（n+1）a n，则：（常数），由于，故：，数列{b n}是以b1为首项，2为公比的等比数列．整理得：，所以：b1＝1，b2＝2，b3＝4．（2）数列{b n}是为等比数列，由于（常数）；（3）由（1）得：，根据，所以：．30．（2018•新课标Ⅲ）等比数列{a n}中，a1＝1，a5＝4a3．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为{a n}的前n项和．若S m＝63，求m．【答案】（1）a n＝（﹣2）n﹣1 （2）6【解析】（1）∵等比数列{a n}中，a1＝1，a5＝4a3．∴1×q4＝4×（1×q2），解得q＝±2，当q＝2时，a n＝2n﹣1，当q＝﹣2时，a n＝（﹣2）n﹣1，∴{a n}的通项公式为，a n＝2n﹣1，或a n＝（﹣2）n﹣1．（2）记S n为{a n}的前n项和．当a1＝1，q＝﹣2时，S n＝＝＝，由S m＝63，得S m＝＝63，m∈N，无解；当a1＝1，q＝2时，S n＝＝＝2n﹣1，由S m＝63，得S m＝2m﹣1＝63，m∈N，解得m＝6．31．（2017•全国）设数列{b n}的各项都为正数，且．（1）证明数列为等差数列；（2）设b1＝1，求数列{b n b n+1}的前n项和S n．【答案】见解析【解析】（1）证明：数列{b n}的各项都为正数，且，两边取倒数得，故数列为等差数列，其公差为1，首项为；（2）由（1）得，，，故，所以，因此．32．（2017•新课标Ⅱ）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，a1＝﹣1，b1＝1，a2+b2＝2．（1）若a3+b3＝5，求{b n}的通项公式；（2）若T3＝21，求S3．【答案】见解析【解析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，a1＝﹣1，b1＝1，a2+b2＝2，a3+b3＝5，可得﹣1+d+q＝2，﹣1+2d+q2＝5，解得d＝1，q＝2或d＝3，q＝0（舍去），则{b n}的通项公式为b n＝2n﹣1，n∈N*；（2）b1＝1，T3＝21，可得1+q+q2＝21，解得q＝4或﹣5，当q＝4时，b2＝4，a2＝2﹣4＝﹣2，d＝﹣2﹣（﹣1）＝﹣1，S3＝﹣1﹣2﹣3＝﹣6；当q＝﹣5时，b2＝﹣5，a2＝2﹣（﹣5）＝7，d＝7﹣（﹣1）＝8，S3＝﹣1+7+15＝21．33．（2017•新课标Ⅰ）记S n为等比数列{a n}的前n项和．已知S2＝2，S3＝﹣6．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并判断S n+1，S n，S n+2是否成等差数列．【答案】见解析【解析】（1）设等比数列{a n}首项为a1，公比为q，则a3＝S3﹣S2＝﹣6﹣2＝﹣8，则a1＝＝，a2＝＝，由a1+a2＝2，+＝2，整理得：q2+4q+4＝0，解得：q＝﹣2，则a1＝﹣2，a n＝（﹣2）（﹣2）n﹣1＝（﹣2）n，∴{a n}的通项公式a n＝（﹣2）n；（2）由（1）可知：S n＝＝＝﹣[2+（﹣2）n+1]，则S n+1＝﹣[2+（﹣2）n+2]，S n+2＝﹣[2+（﹣2）n+3]，由S n+1+S n+2＝﹣[2+（﹣2）n+2]﹣[2+（﹣2）n+3]，＝﹣[4+（﹣2）×（﹣2）n+1+（﹣2）2×（﹣2）n+1]，＝﹣[4+2（﹣2）n+1]＝2×[﹣（2+（﹣2）n+1）]，＝2S n，即S n+1+S n+2＝2S n，∴S n+1，S n，S n+2成等差数列．34．（2017•新课标Ⅲ）设数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n＝2n．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．【答案】（1）a n＝．（2）【解析】（1）数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n＝2n．n≥2时，a1+3a2+…+（2n﹣3）a n﹣1＝2（n﹣1）．∴（2n﹣1）a n＝2．∴a n＝．当n＝1时，a1＝2，上式也成立．∴a n＝．（2）＝＝﹣．∴数列{}的前n项和＝++…+＝1﹣＝．35．（2016•新课标Ⅲ）已知数列{a n}的前n项和S n＝1+λa n，其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5＝，求λ．【答案】见解析【解析】（1）∵S n＝1+λa n，λ≠0．∴a n≠0．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝1+λa n﹣1﹣λa n﹣1＝λa n﹣λa n﹣1，即（λ﹣1）a n＝λa n﹣1，∵λ≠0，a n≠0．∴λ﹣1≠0．即λ≠1，即＝，（n≥2），∴{a n}是等比数列，公比q＝，当n＝1时，S1＝1+λa1＝a1，即a1＝，∴a n＝•（）n﹣1．（2）若S5＝，则若S5＝1+λ[•（）4]＝，即（）5＝﹣1＝﹣，则＝﹣，得λ＝﹣1．36．（2016•新课标Ⅰ）已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1＝1，b2＝，a n b n+1+b n+1＝nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．【答案】（1）a n＝3n﹣1，（2）﹣．【解析】（Ⅰ）∵a n b n+1+b n+1＝nb n．当n＝1时，a1b2+b2＝b1．∵b1＝1，b2＝，∴a1＝2，又∵{a n}是公差为3的等差数列，∴a n＝3n﹣1，（Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）b n+1+b n+1＝nb n．即3b n+1＝b n．即数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，∴{b n}的前n项和S n＝＝（1﹣3﹣n）＝﹣．37．（2016•新课标Ⅲ）已知各项都为正数的数列{a n}满足a1＝1，a n2﹣（2a n+1﹣1）a n﹣2a n+1＝0．（1）求a2，a3；（2）求{a n}的通项公式．【答案】见解析【解析】1）根据题意，a n2﹣（2a n+1﹣1）a n﹣2a n+1＝0，当n＝1时，有a12﹣（2a2﹣1）a1﹣2a2＝0，而a1＝1，则有1﹣（2a2﹣1）﹣2a2＝0，解可得a2＝，当n＝2时，有a22﹣（2a3﹣1）a2﹣2a3＝0，又由a2＝，解可得a3＝，故a2＝，a3＝；（2）根据题意，a n2﹣（2a n+1﹣1）a n﹣2a n+1＝0，变形可得（a n﹣2a n+1）（a n+1）＝0，即有a n＝2a n+1或a n＝﹣1，又由数列{a n}各项都为正数，则有a n＝2a n+1，故数列{a n}是首项为a1＝1，公比为的等比数列，则a n＝1×（）n﹣1＝（）n﹣1，故a n＝（）n﹣1．38．（2016•新课标Ⅱ）等差数列{a n}中，a3+a4＝4，a5+a7＝6．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝[a n]，求数列{b n}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2．【答案】（1）a n＝；（2）24【解析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+a4＝4，a5+a7＝6．∴，解得：，∴a n＝；（Ⅱ）∵b n＝[a n]，∴b1＝b2＝b3＝1，b4＝b5＝2，b6＝b7＝b8＝3，b9＝b10＝4．故数列{b n}的前10项和S10＝3×1+2×2+3×3+2×4＝24．39．（2016•新课标Ⅱ）S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1＝1，S7＝28，记b n＝[lga n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg99]＝1．（Ⅰ）求b1，b11，b101；（Ⅱ）求数列{b n}的前1000项和．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1＝1，S7＝28，7a4＝28．可得a4＝4，则公差d＝1．a n＝n，b n＝[lgn]，则b1＝[lg1]＝0，b11＝[lg11]＝1，b101＝[lg101]＝2．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：b1＝b2＝b3＝…＝b9＝0，b10＝b11＝b12＝…＝b99＝1．b100＝b101＝b102＝b103＝…＝b999＝2，b10，00＝3．数列{b n}的前1000项和为：9×0+90×1+900×2+3＝1893．40．（2014•新课标Ⅱ）已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝3a n+1．（Ⅰ）证明{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：++…+＜．【答案】见解析【解析】证明（Ⅰ）＝＝3，∵≠0，∴数列{a n+}是以首项为，公比为3的等比数列；∴a n+＝＝，即；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当n≥2时，∵3n﹣1＞3n﹣3n﹣1，∴＜＝，∴当n＝1时，成立，当n≥2时，++…+＜1+…+＝＝＜．∴对n∈N+时，++…+＜．。