第四章 偏微分方程的有限差分法

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4.2 热传导方程的差分解法
计 算 物 理 学
物理学中对热传导、热辐射以及气体扩散现 象的描述，常可以归结为同一类型的抛物线型方 程，通常采用二阶偏微分方程描述，这类方程统 称为热传导方程。
4.1 有限差分法原理
计 算 物 理 学
差商公式的构造
利用泰勒级数展开定义差商
df h 2 d 2 f h3 d 3 f f ( x h) f ( x ) h 2 3 dx 2! dx 3! dx df h 2 d 2 f h3 d 3 f f ( x h) f ( x ) h 2 3 dx 2! dx 3! dx df 2h d f 2h d 3 f f ( x 2h) f ( x ) 2h 2 3 dx 2! dx 3! dx
二阶中心差商：
2
2
3
3
f 2 x
2
o
f ( x h) 2 f ( x ) f ( x h) 2 h
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4.1 有限差分法原理
计 算 物 理 学
差分格式的收敛性和稳定性
边界条件：边界受到外界的影响
常见的物理问题可以归结为三大类边界条件
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4.1 有限差分法原理
计 算 物 理 学
1 第一类边界条件（狄利克雷Dirichlet）
u u0 (r , t )
df h 2 d 2 f h3 d 3 f f ( x h) f ( x ) h 2 3 dx 2! dx 3! dx
一阶向后差商：
2 f x 2 d2 f 2 dx

f f ( x 2h) 4 f ( x h) 3 f ( x) x 2h
一阶中心差商：
f f ( x h) f ( x h) x o 2h
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4.1 有限差分法原理
计 算 物 理 学
df h d f h d f f ( x h) f ( x ) h 2 3 dx 2! dx 3! dx df h 2 d 2 f h3 d 3 f f ( x h) f ( x ) h 2 3 dx 2! dx 3! dx
热传导问题：边界Г上温度分布已知 2 第二类边界条件（诺依曼Neumann）
u q0 (r , t ) n u u u u n i n j n n x y
n表示Γ的外法线 q0定义在Γ上的已知函数
热传导问题：通过边界Г单位面积上的热流量已知
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2 2 3
df f ( x 2h ) f ( x ) 2h dx
2h
d f 2! dx 2
2
2
2h
d f 3 3! dx
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3
3
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4.1 有限差分法原理
数学基础 泰勒（Taylor）展开
这样就把求解区域内连续分布函数离散化成 求网络节点上的分立函数值，从而把所需求解的 微分方程变为一组相应的差分方程，进一步可 以求解离散节点上的函数值。
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计 算 物 理 学
误差为O(h)差商公式：
df h 2 d 2 f h3 d 3 f f ( x h) f ( x ) h 2 3 dx 2! dx 3! dx df h 2 d 2 f h3 d 3 f f ( x h) f ( x ) h 2 3 dx 2! dx 3! dx
热传导问题：边界表面Г与外界之间的热量交换已知 外界温度为u0，热交换规律遵循热传导实验定律： 单位时间内，从边界单位面积传递给周围的热流量 正比于边界表面和外界的温度差。
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4.1 有限差分法原理
误差为O(h2)差商公式：
(1)
3
df 2h d f 2h d 3 f f ( x 2h ) f ( x ) 2 h 2 3 dx 2! dx 3! dx
(2)
二阶向前差商：式(2)-式(1)X2
f 2 x
2

f ( x 2h) 2 f ( x h) f ( x) 2 h
f 2 x
2

f ( x 2h ) 2 f ( x h) f ( x ) 2 h
2 2 3 3
df h d f h d f f ( x h) f ( x ) h 2 3 dx 2! dx 3! dx
一阶向前差商：
2 f x 2

d2 f 2 dx
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q u u0
单位面积上的热流量：
α：热交换系数 u：边界温度
u k u u0 n
Q u q k S t n u u k u0 n
对于实际物理问题，边界条件往往是很复杂的， 可能是一种或不同边界区域几种边界条件的组合， 甚至不能用这三类边界条件描述。
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第四章 偏微分方程的有限差分法
4.1 4.2 4.3 有限差分法原理 热传导方程的差分解法 波动方程的差分解法
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4.1 有限差分法原理
计 算 物 理 学
物理学中许多物理规律都用偏微分方程描述， 偏微分方程主要分为以下三类：
4.1 有限差分法原理
计 算 物 理 学
由热力学傅立叶定律得： 单位时间内通过给定截面的热量，正比例于垂直于 该界面方向上的温度变化率和截面面积，而热量传 递的方向则与温度升高的方向相反。 热流量：
Q u kS t n
K: 热传导系数
单位面积上的热流量：
Q u q k S t n
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4.1 有限差分法原理
计 算 物 理 学
偏微分方程的定解条件 初始条件：与时间相联系
u t 0 f1 ( x , y , z ) u f 2 ( x, y , z ) t t 0
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4.1 有限差分法原理
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有限差分解法
差分近似代替微分，差商近似代替微商
df f x dx 2 2 f d f 2 dx 2 x
抛物线形 不可逆过程 热传导方程
u d cu au f t
双曲型 可逆过程 波动方程
2u d 2 cu au f t
椭圆形 平衡过程 位势方程
cu au f
上式中a,c,f以及未知函数u为定义在求解区域上的实（复）函数
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4.1 有限差分法原理
3 第三类边界条件（洛平Robin ）
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u a0u b0 c0 (r , t ) n
a0,b0.c0定义在Γ上的已知 函数
收敛性： 当步长h−→0时，差分方程的解趋向于微分方 程的解。 稳定性： 误差在运算过程中不会失控，即累计误差不 会无限增加。
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4.1 有限差分法原理
计 算 物 理 学
从物理上讲，描述物理问题的微分方程仅 适用于描述在一个连续体或物理场的内部发生 的物理过程，仅靠这些微分方程不足以确定物 理过程的具体特征。 从数学上讲，没有限制的微分方程会有 无穷多个解，不能构成一个定解问题。 因此，要想解决实际的物理问题，必须 知道一个连续体或物理场的初始状态和边界 受到的外界影响。
u d cu au f t
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4.2 热传导方程的差分解法
计 算 一维各向同性、均匀介质，且无热源的热传导方程： 物 2 0t T u u 理 2 学
4.2.1一维热传导方程的差分解法
t
x
0 xl
为了求解u(x,t)，还必须利用边界条件和初 始条件。 定解条件：边界条件和初始条件。 定解问题：解存在、唯一并且连续依赖初始条件。
一阶向前差商：
一阶向后差商：
f f ( x h) f ( x) x h f f ( x) f ( x h) x h
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4.1 有限差分法原理
计 算 2 2 3 3 物 f ( x h) f ( x) h df h d f h d f dx 2! dx 2 3! dx3 理 2 学 2
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4.1 有限差分法原理
计 算 物 理 学
df h 2 d 2 f h3 d 3 f f ( x h) f ( x ) h 2 3 dx 2! dx 3! dx df h 2 d 2 f h3 d 3 f f ( x h) f ( x ) h 2 3 dx 2! dx 3! dx
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4.1 有限差分法原理
2 2 3 3 df h d f h d f 计 f ( x h) f ( x ) h 2 3 算 dx 2! dx 3! dx 2 3 物 2 3 2 h 2 h df d f d f 理 f ( x 2 h) f ( x ) 2 h 2 3 dx 2! dx 3! dx 学
f f ( x 2h ) 4 f ( x h ) 3 f ( x ) x 2h
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4.1 有限差分法原理
计 算 物 理 学
2 f x 2

f ( x ) 2 f ( x h ) f ( x 2h ) h2
(1) (2)
二阶向后差商: 式(2)-式(1)X2
f 2 x
2

f ( x) 2 f ( x h) f ( x 2h) 2 h
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计 算 物 理 学