高中数学奥林匹克基础教程1.21
高一数学竞赛培训教材有讲解和答案
高中思维训练班《高一数学》第1讲-----集合与函数(上)『本讲要点』:复杂的集合关系与运算、函数定义的深化『重点掌握』:函数的迭代1.定义M 与P 的差集为M-P={x | x ∈M 且x 不∈P} ,若A={y | y=x 2 }B={x | -3≤x≤3} ,再定义 M △N =（M-N)∪(N-M ），求A △B2.集合A=}3,2,1{中,任意取出一个非空子集,计算它的各元素之和.则所有非空子集的元素之和是 ________ .若A=},,3,2,1{n ,则所有子集的元素之和是 .3.已知集合},,,{4321a a a a A =,},,,{24232221a a a a B =,其中4321a a a a <<<,并且都是正整数.若},{41a a B A = ,1041=+a a .且B A 中的所有元素之和为124,求集合A 、B.*4. 函数⎩⎨⎧<+≥-=1000)),5((10003)(n n f f n n n f ，求)84(f (本讲重点迭代法)5. 练习:定义:*,)))((()(N n x f f f x f n n ∈=个.已知)(x f 是一次函数.当10231024)(10+=x x f ．求)(x f 的解析式．(本讲重点迭代法)*6.设f(x)定义在正整数集上，且f(1)=1,f(x ＋y)=f(x)＋f(y)＋xy 。
求f(x) (本讲重点顺序拼凑法)『课后作业』:7. 当n≥10时,f(n)=n-3;当n<10时,f(n)=f[f(n+5)] .求f （7）(本讲重点迭代法)*8. 已知f(1)=51且当n ＞1时有)(1n f )1(1-n f =2(n ＋1)。
求f(n) (n ∈N +)(本讲重点顺序拼凑法)9.求集合A = }10,,3,2,1{ 所有非空子集的元素之和10.已知不等式ax 2+bx+c ＞0,的解集是{x|m ＜x ＜n},m ＞0,求不等式cx 2+bx+a ＜0的解集作业答案:,n 2+3n+1,9.略,10. x<1/n 或x>1/m答案:1. 【解】 A{x|x≥0} B={x|-3≤x≤3} A-B={x|x ＞3} B-A={x|-3≤x＜0} A △B={x|-3≤x＜0或x ＞3}2. 【解】〖分析〗已知},,2,1{n 的所有的子集共有n 2个.而对于},,2,1{n i ∈∀,显然},,2,1{n 中包含i 的子集与集合},,1,1,,2,1{n i i +-的子集个数相等.这就说明i 在集合},,2,1{n 的所有子集中一共出现12-n 次,即对所有的i 求和,可得).(211∑=-=ni n n i S 集合},,2,1{n 的所有子集的元素之和为2)1(2)21(211+⋅=+++--n n n n n =.2)1(1-⋅+⋅n n n3. 【解】 4321a a a a <<<,且},{41a a B A = ,∴211a a =,又N a ∈1,所以.11=a 又1041=+a a ,可得94=a ,并且422a a =或.423a a =若922=a ,即32=a ,则有,12481931233=+++++a a 解得53=a 或63-=a (舍)此时有}.81,25,9,1{},9,5,3,1{==B A若923=a ,即33=a ,此时应有22=a ,则B A 中的所有元素之和为100≠124.不合题意.综上可得, }.81,25,9,1{},9,5,3,1{==B A5【解】解：设f(x)=ax ＋b (a ≠0)，记f{f[f …f(x)]}=f n (x)，则n 次f 2(x)=f[f(x)]=a(ax ＋b)＋b=a 2x ＋b(a ＋1)f 3(x)=f{f[f(x)]}=a[a 2x ＋b(a ＋1)]＋b=a 3x ＋b(a 2＋a ＋1)依次类推有：f 10(x)=a 10x ＋b(a 9＋a 8＋…＋a ＋1)=a 10x ＋aa b --1)1(10由题设知：a 10=1024 且aa b --1)1(10=1023∴a=2，b=1 或 a=－2，b=－3∴f(x)=2x ＋1 或 f(x)=－2x －38. 解：令y=1，得f(x ＋1)=f(x)＋x ＋1再依次令x=1，2，…，n －1，有f(2)=f(1)＋2f(3)=f(2)＋3……f(n －1)=f(n －2)＋(n －1)f(n)=f(n －1)＋n依次代入，得f(n)=f(1)＋2＋3＋…＋(n －1)＋n=2)1(+n n ∴f(x)=2)1(+x x (x ∈N +)高中思维训练班《高一数学》第2讲-----函数(下)『本讲要点』:1.单调函数不等式的解法 2.根据抽象的函数条件拼凑出特定值的方法 3.抽象函数的周期问题*1例 f(x)在x>0上为增函数,且)()()(y f x f yxf -=.求:(1))1(f 的值.(2)若1)6(=f ,解不等式2)1()3(<-+xf x f2例 f(x)对任意实数x 与y 都有f(x) + f(y) = f(x+y) + 2,当x>0时,f(x)>2(1)求证:f(x)在R 上是增函数(2)若f(1)=5/2,解不等式f(2a-3) < 33练f(x)是定义在x>0的函数,且f(xy) = f(x) + f(y);当x>1时有f(x)<0;f(3) = -1.(1) 求f(1)和f(1/9)的值(2) 证明f(x)在x>1上是增函数(3) 在x > 1上,若不等式f(x) + f(2-x) < 2成立,求x 的取值范围4例几个关于周期的常见的规律:5练习:f(x)是定义在R 上的奇函数,且f(x-2) = -f(x),以下结论正确的是(多选):______________(2) = 0(x) = f(x+4)(x)的图象关于直线x=0对称(x+2) = f(-x)『课后作业』:6 定义在x>0上,当x>1时,f(x)>0;对任意的正实数x 和y 都有f(xy) = f(x) + f(y).(1)证明f(x)在x>0上为增函数(2)若f(5) = 1,解不等式f(x+1) – f(2x) > 2*7已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x ＋m)＝－)x (f 1)x (f 1+-,求证f(x)是周期函数7. 当n≥10时,f(n)=n-3;当n<10时,f(n)=f[f(n+5)] .求f （7）(本讲重点迭代法)*8. 已知f(1)=51且当n ＞1时有)(1n f )1(1-n f =2(n ＋1)。
奥林匹克高中数学技巧课件
而且x1+x2+…x7=7（*） 容易证明以下两点：在甲方获生时，
（i）不同的比赛过程对应着方程（*）的不同非负整数 解；
（ii）方程（*）的不同非负整数解对应着不同的比赛过 程，例如，解（2，0，0，1，3，1，0）对应的比赛过 程为：A1胜B1和B2，B3胜A1，A2和A3，A4胜B3后负于B4， A5胜B4，B5和B6但负于B7，最后A6胜B7结束比赛。 故甲方获胜的不同的比赛过程总数是方程（*）的非负整 数解的个数 C173 。
• 分析：观察到：x+(1-x)=y+(1-y)=z+(1-z)=1 及乘积式，联想到用面积公式。
证明：构造正三角形，则 S△zA(B1D-x+)S)△sEinF6C+0oS<△SB△DFA=BCx=(10-.y5)×sin16×01o+×ys(i1n-6z0) o)<s1in，60故o+
x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1。
２．将一根长为16米的铁丝做成一 个长方体骨架，且骨架的表面积为 10米2，若不计接头处的误差，求能 做成的长方体的最大棱长．
• 思路：观察联想 整体改造 合理化归
解：设长方体的长、宽、高分别为x米、y米、z米， 则有：
4(x+y+z)=16 2(xy+yz+zx)=10,
即： x+y+z=4 xy+yz+zx=5
∴a与b是方程2x2+3x-5=0的两不
相等实根，
∴a+b=5-3a,ab= ∴易求
5 2
2024-2025学年高二数学选择性必修第一册(配北师大版)课件2.1双曲线及其标准方程
2
− =1,故
16
a=3,b=4,c=√2 + 2 =5.
(1)由双曲线的定义得||MF1|-|MF2||=2a=6,
又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,
假设点M到另一个焦点的距离等于x,
则|16-x|=6,解得x=10或x=22.
故点M到另一个焦点的距离为10或22.
(2)将|PF2|-|PF1|=2a=6两边平方得
2×32
所以∠F1PF2=90°,
故△1 2 =
1
1
|PF1|·|PF2|= ×32=16.
2
2
变式探究将本例(2)中的条件“|PF1|·|PF2|=32”改为“∠F1PF2=60°”,求
△F1PF2的面积.
解
2
由
9
2
− =1
16
得 a=3,b=4,c=5.
由双曲线的定义和余弦定理得|PF2|-|PF1|=6,
2.双曲线标准方程的两种求法
(1)定义法:根据双曲线的定义得到相应的a,b,c,再写出双曲线的标准方程.
2 2
2 2
(2)待定系数法:先设出双曲线的标准方程 2 − 2 = 1 或 2 − 2 (a,b均为
正数),然后根据条件求出待定的系数,代入方程即可.
[注意]若焦点的位置不明确,应注意分类讨论,也可以设双曲线方程为
变式训练4[人教B版教材习题]相距1 400 m的A,B两个观察站都听到了一声
巨响,且在A处听到的时间比在B处听到的时间早4 s.已知当时的声速是
340 m/s,发出巨响的点与A,B都在水平面上,求发出巨响的点所在曲线的方
程.
解 以线段 AB 的中点为坐标原点,的方向为 x 轴的正方向,建立平面直角
高中数学第一章1.21.2.1第一课时应用创新演练选修23
高二数学人教B版选修2-3课下作业：第一章 1.2 1.2.1 第一课时应用创新演练 Word版含答案1．4·5·6·…·(n－1)·n等于( )A．A4n B．A n－4nC．n！－4! D．A n－3n解析：原式可写成n·(n－1)·…·6·5·4，故选D.答案：D2．已知下列问题：①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组；②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动；③从a，b，c，d四个字母中取出2个字母；④从1,2,3,4四个数字中取出2个数字组成一个两位数．其中是排列问题的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①是排列问题，因为两名同学参加的学习小组与顺序有关；②不是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关；③不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关；④是排列问题，因为取出的两个数字还需要按顺序排成一列．答案：B3．已知A2n＋1－A2n＝10，则n的值为( )A．4 B．5C．6 D．7解析：由A2n＋1－A2n＝10，得(n＋1)n－n(n－1)＝10，解得n＝5.答案：B4．某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有的车站数是( ) A．8 B．12C．16 D．24解析：设车站数为n，则A2n＝132，n(n－1)＝132，解得n＝12(n＝－11舍去)．答案：B5．满足不等式A 7n A 5n>12的n 的最小值为________． 解析：由排列数公式得n ！n －5！n －7！n ！>12，即(n －5)(n －6)>12，解得n >9或n <2.又n ≥7，所以n >9，所以n 的最小值为10.答案：106．集合P ＝{x |x ＝A m4，m ∈N ＋}，则集合P 中共有________个元素．解析：因为m ∈N ＋，且m ≤4，所以P 中的元素为A 14＝4，A 24＝12，A 34＝A 44＝24，即集合P 中有3个元素．答案：37．求证：(1)A nn ＝A m n ·A n －m n －m ；(2)k ·A k k ＝(k ＋1)！－k ！.证明：(1)A mn ·A n －m n －m ＝n ！n －m ！(n －m )！＝n ！＝A nn ， ∴等式成立．(2)左边＝k ·A kk ＝k ·k ！＝(k ＋1－1)·k ！＝(k ＋1)！－k ！＝右边，∴等式成立．8．写出下列问题的所有排列．(1)甲、乙、丙、丁四名同学站成一排；(2)从编号为1,2,3,4,5的五名同学中选出两名同学任正、副班长．解：(1)四名同学站成一排，共有A 44＝24个不同的排列，它们是：甲乙丙丁，甲丙乙丁，甲丁乙丙，甲乙丁丙，甲丙丁乙，甲丁丙乙；乙甲丙丁，乙甲丁丙，乙丙甲丁，乙丙丁甲，乙丁甲丙，乙丁丙甲；丙甲乙丁，丙甲丁乙，丙乙甲丁，丙乙丁甲，丙丁甲乙，丙丁乙甲；丁甲乙丙，丁甲丙乙，丁乙甲丙，丁乙丙甲，丁丙甲乙，丁丙乙甲．(2)从五名同学中选出两名同学任正、副班长，共有A 25＝20种选法，形成的排列是： 12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54.。
高中数学竞赛【专为奥赛教练准备的教程】01第一章 集合与简易逻辑.doc
第一章 集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉。
例如，通常用N ，Z ，Q ，B ，Q +分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用∅来表示。
集合分有限集和无限集两种。
集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。
例如{有理数}，}0{>x x 分别表示有理数集和正实数集。
定义2 子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，则A 叫做B 的子集，记为B A ⊆，例如Z N ⊆。
规定空集是任何集合的子集，如果A 是B 的子集，B 也是A 的子集，则称A 与B 相等。
如果A 是B 的子集，而且B 中存在元素不属于A ，则A 叫B 的真子集。
定义3 交集，}.{B x A x x B A ∈∈=且 定义4 并集，}.{B x A x x B A ∈∈=或定义5 补集，若},{,1A x I x x A C I A ∉∈=⊆且则称为A 在I 中的补集。
定义6 差集，},{\B x A x x B A ∉∈=且。
定义7 集合},,{b a R x b x a x <∈<<记作开区间),(b a ，集合},,{b a R x b x a x <∈≤≤记作闭区间],[b a ，R 记作).,(+∞-∞定理1 集合的性质：对任意集合A ，B ，C ，有：（1）);()()(C A B A C B A = （2）)()()(C A B A C B A =； （3）);(111B A C B C A C = （4）).(111B A C B C A C = 【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成。
高中数学奥林匹克基础教程1.21
高中数学奥林匹克基础教程江苏沛县孙统权前言2007年7月15日至24日，江苏省高中数学奥林匹克夏令营在靖江举办，由省数学学会组织专家学者亲自授课。
编者作为夏令营中的受训教练，亲身体会到与会专家博大精深的知识厚度和深入浅出的教学风格，并做了课堂笔记，对相关教学资料进行了整理。
夏令营结束后，从自身实践出发，编成本教程。
教程共8讲，每讲4学时，共32学时。
指导思想为“领略奥赛风采，拓展数学视野，训练数学思维，启迪数学方法”，内容选取原则为“参照竞赛数学知识体系，根据学生接受能力，与当前中学数学教学内容协调互补”。
对本教程建议采用“探索-讨论-启发-再探索-直至完成”的教学模式，使学生思维密度大，所受局限少，能充分的体会数学智慧和创造的乐趣，较直接的感受竞赛数学。
在各知识点章节讲授时，宜通过具体解题展示数学体系，淡化数学术语而突出数学思想，选择、补充题目时注意结合实际情况，减少复杂度，使学生负担轻，进步感强，在领略数学美的同时达到训练目的。
本教程参考了2007年省夏令营专家的授课内容，使用了部分原题。
同时，参考了华师大版《数学奥林匹克小丛书》，安徽少儿版《初中应用数学知识竞赛辅导训练》和其他若干书籍。
在此予以感谢，并在补注中注明各题的直接来源。
本教程可以作为高中奥林匹克训练的起始教材，或供学生选修的一个模块。
将它整理出来，意在抛砖引玉，为我们江苏乃至全国的数学奥林匹克的发展作一点贡献。
虽力求严谨，由于个人能力经验所限，其中错误和不完善之处仍在所不少，恳请广大专家、教练、数学奥林匹克爱好者不吝指教。
本版版本号1.2。
编者电子信箱：suntrain@。
第一讲赛题选例一、课堂讨论：1证明：任何四面体上都存在一个顶点，可以用由它发出的三条棱组成三角形。
2用不在形内相交的对角线将正奇数边形划分为一系列三角形。
证明：其中有且只有一个锐角三角形。
3证明：可以找到4个绝对值大于10000的整数a,b,c,d，使11111+++=。
高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系检测新人教A版必修4201810152120
第一章 1.2 1.2.2 同角三角函数的基本关系A 级 基础巩固一、选择题1．α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α等于( B )A ．513B ．－513C ．512D ．－512[解析] ∵α是第四象限角，∴sin α<0． ∵⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝1213，sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin α＝－513．2．已知cos α＝23，则sin 2α等于( A )A ．59B ．±59C ．53D ．±53[解析] sin 2α＝1－cos 2α＝59．3．已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝( D )A ．15B ．－15C ．513D ．－513[解析] 不妨设α对应的锐角为α′，tan α′＝512，构造直角三角形如图，则|sin α|＝sin α′＝513，∵α为第四象限角，∴sin α<0，∴sin α＝－513．4．化简：(1＋tan 2α)·cos 2α等于( C ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2[解析] 原式＝(1＋sin 2αcos 2α)·cos 2α ＝cos 2α＋sin 2α＝1．5．已知sin α－3cos α＝0，则sin 2α＋sin αcos α值为( B ) A ．95 B ．65 C ．3D ．4[解析] 由sin α－3cos α＝0，∴tan α＝3， 又sin 2α＋sin αcos α＝sin 2α＋sin αcod αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋tan α1＋tan 2α＝1210＝65． 6．已知α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，那么这个三角形的形状为( B )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形[解析] (sin α＋cos α)2＝49，∴2sin αcos α＝－59<0，又∵α∈(0，π)，sin α>0.∴cos α<0，∴α为钝角． 二、填空题7．在△ABC 中，2sin A ＝3cos A ，则∠A ＝__60°__．[解析] ∵2sin 2A ＝3cos A ，∴2(1－cos 2A )＝3cos A ，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，∴cos A ＝12，cos A ＝－2(舍去)，∴A ＝60°．8．已知tan α＝cos α，那么sin α＝2． [解析] 由于tan α＝sin αcos α＝cos α，则sin α＝cos 2α，所以sin α＝1－sin 2α，解得sin α＝－1±52．又sin α＝cos 2α≥0，所以sin α＝－1＋52．三、解答题9．求证：sin α(1＋tan α)＋cos α(1＋1tan α)＝1sin α＋1cos α．[证明] 左边＝sin α(1＋sin αcos α)＋cos α(1＋cos αsin α)＝sin α＋sin 2αcos α＋cos α＋cos 2αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin α＋sin 2α＋cos 2αcos α＝1sin α＋1cos α＝右边． 即原等式成立．10．已知tan α＝7，求下列各式的值． (1)sin α＋cos α2sin α－cos α； (2)sin 2α＋sin αcos α＋3cos 2α．[解析] (1)sin α＋cos α2sin α－cos α＝sin α＋cos αcos α2sin α－cos αcos α＝tan α＋12tan α－1＝7＋12×7－1＝813．(2)sin 2α＋sin αcos α＋3cos 2α＝sin 2α＋sin αcos α＋3cos 2αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin αcos α＋3cos 2αcos 2αsin 2α＋cos 2αcos 2α＝tan 2α＋tan α＋3tan 2α＋1＝49＋7＋349＋1＝5950．B 级 素养提升一、选择题1．已知sin α－cos α＝－54，则sin α·cos α等于( C )A ．74B ．－916C ．－932D ．932[解析] 将所给等式两边平方，得1－2sin αcos α＝2516，故sin αcos α＝－932．2．若π<α<3π2，1－cos α1＋cos α＋1＋cos α1－cos α的化简结果为( D )A ．2tan αB ．－2tan αC ．2sin αD ．－2sin α[解析] 原式＝－cos α21－cos 2α＋＋cos α21－cos 2α＝1－cos α|sin α|＋1＋cos α|sin α|＝2|sin α|∵π<α<3π2，∴原式＝－2sin α．3．若sin θ＋2cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θ·cos θ＝( D )A ．－417B ．45C ．±417D ．417[解析] 由sin θ＋2cos θsin θ－cos θ＝2，得tan θ＝4，sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ1＋tan 2θ＝417． 4．如果sin x ＋cos x ＝15，且0<x <π，那么tan x 的值是( A )A ．－43B ．－43或－34C ．－34D ．43或－34[解析] 将所给等式两边平方，得sin x cos x ＝－1225，∵0<x <π，∴sin x >0，cos x <0， ∴sin x ＝45，cos x ＝－35，∴tan x ＝－43．二、填空题 5．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5，则tan θ＝ －34或－512． [解析] 由sin 2θ＋cos 2θ＝1得，m ＝0或8．m ＝0时，sin θ＝－35，cos θ＝45，tan θ＝－34； m ＝8时，sin θ＝513，cos ＝－1213，tan θ＝－512．6．在△ABC 中，若tan A ＝23，则sin A ＝ 11．[解析] 因为tan A ＝23>0，则∠A 是锐角，则sin A >0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin 2A ＋cos 2A ＝1，sin A cos A ＝23，得sin A ＝2211． 7．已知tan 2α＝2tan 2β＋1，求证：sin 2β＝2sin 2α－1． [解析] 由tan 2α＝2tan 2β＋1，可得tan 2β＝12(tan 2α－1)，即sin 2βcos 2β＝12(sin 2αcos 2α－1)，故有sin 2β1－sin 2β＝12(sin 2α1－sin 2α－1)＝12×2sin 2α－11－sin 2α，整理得sin 2β1－sin 2β＝sin 2α－121－sin 2α， 即sin 2β(1－sin 2α)＝(1－sin 2β)(sin 2α－12)，展开得12sin 2β＝sin 2α－12，即sin 2β＝2sin 2α－1．8．化简下列式子．(1)cos 6α＋sin 6α＋3sin 2αcos 2α； (2)若x 是第二象限角，化简sin x1－cos x·tan x －sin xtan x ＋sin x．[解析] (1)原式＝(cos 2α＋sin 2α)(cos 4α－cos 2αsin 2α＋sin 4α)＋3sin 2α·cos 2α＝cos 4α＋2sin 2αcos 2α＋sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)2＝1．(2)原式＝sin x1－cos x·sin x －sin x cos x sin x ＋sin x cos x ＝sin x1－cos x·1－cos x1＋cos x＝sin x1－cos x·＋cos x －cos x ＋cos x 2＝sin x 1－cos x ·|sin x |1＋cos x． ∵x 为第二象限角，∴sin x >0，∴原式＝sin 2x1－cos 2x＝1．C 级 能力拔高设A 是三角形的内角，且sin A 和cos A 是关于x 的方程25x 2－5ax －12a ＝0的两个根． (1)求a 的值； (2)求tan A 的值．[解析] (1)∵sin A 和cos A 是关于x 的方程25x 2－5ax －12a ＝0的两个根，∴由韦达定理得 ⎩⎪⎨⎪⎧sin A ＋cos A ＝15a ，①sin A ·cos A ＝－1225a ，②将①两边分别平方得sin 2A ＋2sin A cos A ＋cos 2A ＝125a 2，即1－2425a ＝a225，解得a ＝－25或a ＝1.当a ＝－25时，sin A ＋cos A＝－5不合题意，故a ＝1．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧sin A ＋cos A ＝a5，sin A cos A ＝－1225a ，得sin A >0，cos A <0，∴sin A ＝45，cos A ＝－35.∴tan A＝sin A cos A ＝－43． 精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
2021_2022学年新教材高中数学第1章直线与方程1.21.2.2直线的两点式方程课件苏教版选择性
提醒：当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断 是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴．若满 足，则考虑用两点式求方程．
[跟进训练] 1．求经过两点 A(2，m)和 B(n，3)的直线方程． [解] 当 m＝3 时，直线垂直于 y 轴，方程为 y＝3， 当 n＝2 时，直线垂直于 x 轴，方程为 x＝2． 当 m≠3 且 n≠2 时，由两点式得 直线方程为3y－－mm＝nx－－22．
(3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与 坐标轴的交点，就用截距式方程．
(4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件， 对特殊情况下的直线要单独讨论解决．
[跟进训练] 2．过点 P(2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有________ 条． 2 [设直线的两截距都是 a，则有
类型 2 直线的截距式方程 【例 2】 求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距相等的直线 l 的 方程．
若已知直线与两坐标轴相交，选哪种形式的方程较好？ [提示] 选择截距式较好．
[解] 设直线在 x 轴、y 轴上的截距分别为 a，b． ①当 a≠0，b≠0 时，设 l 的方程为ax＋by＝1． ∵点(4，－3)在直线上，∴4a＋－b3＝1， 若 a＝b，则 a＝b＝1，直线方程为 x＋y－1＝0．
①当 a＝0 时，直线设为 y＝kx，将 P(2，3)代入得 k＝32， ∴直线 l 的方程为 3x－2y＝0．
②当 a≠0 时，直线设为ax＋ay＝1，即 x＋y＝a，把 P(2，3)代入 得 a＝5，
∴直线 l 的方程为 x＋y＝5． ∴直线 l 的方程为 3x－2y＝0 或 x＋y－5＝0． ∴满足题意的直线共有 2 条．]
合作探究·释疑难
《数学奥林匹克》大纲
数学教育专业《中学数学奥林匹克》课程教学大纲一、课程说明《中学数学奥林匹克》是数学教育专业的一门必修课。
任务是让学生了解数学奥林匹克历史、内容、特征、思想和方法；掌握数学奥林匹克解题方法与技巧。
考虑学生的实际水平和培养目标，本课程先介绍数学奥林匹克基本知识，然后分专题讲授数学奥林匹克基本解题方法与技巧。
二、课程教学目标思想教育目标：通过对中学数学奥林匹克的学习和研究，激发学生学习数学的兴趣，开阔视野，培养学生的创新精神，提高学生的数学素养、思维能力等。
同时我国中学生在IMO历史上辉煌成绩也会在学生的人格培养上发挥十分重要的作用。
知识教育目标：通过本课程学习，让学生了解数学奥林匹克的历史、内容、特征、思想和方法；掌握数学奥林匹克解题方法与技巧，开拓发展学生的思维能力与探究问题的能力，使他们走上工作岗位后，能胜任中小学数学课外辅导工作。
三、课时分配章节课内讲授课时第1章数学奥林匹克的原理一、数学奥林匹克的历史与现状二、数学奥林匹克的基本特征三、数学奥林匹克在数学教育中的地位和作用四、数学奥林匹克的命题研究3 3第2章奥林匹克的内容和方法 3 第3章华罗庚数学教育思想及治学原则 3第4章数学解题思想与原则（上）数学解题思想与原则（下）3 3第5章数学解题方法（上）数学解题方法（下）3 3第6章几何证明方法与几何变换一、对称变换二、平移变换三、旋转变换3 3 3第7章梅耐劳斯与塞瓦定理 3 第8章面积问题与面积方法 3课时可以根据每学期的具体周数作适当调整。
四、教学内容第一章数学奥林匹克的原理（一）教学目标及要求：知识要求：[了解]：数学奥林匹克的原理与方法[掌握]：数学奥林匹克的基本特征及命题原则。
（二）教学内容：一、数学奥林匹克的历史与现状。
二、数学奥林匹克的基本特征。
三、数学奥林匹克在数学教育中的地位和作用。
四、数学奥林匹克的命题研究。
（三）教学方法：讲授法、讨论法。
第二章奥林匹克的内容和方法（一）教学目标及要求：知识要求：[了解]：数学奥林匹克的内容[掌握]：奥林匹克的方法（二）教学内容：1、多项式问题：基本内容、方法评析。
高中数学奥数教程教案
高中数学奥数教程教案
课程名称：高中数学奥数教程
教学目标：
1.了解奥林匹克数学的基本概念和解题方法；
2.培养学生的数学思维能力和解题技巧；
3.激发学生对数学的兴趣和学习动力。
教学内容：
1.奥数基础知识：数学基本概念、数学定理和公式；
2.奥数解题技巧：数学逻辑推理、数学证明方法；
3.奥数经典题型：数列、概率、几何等常见题型。
教学步骤：
第一步：导入
引导学生了解奥数的重要性和意义，激发学生对数学的兴趣。
第二步：讲解基础知识
介绍奥数的基础知识，包括数学基本概念、数学定理和公式等内容。
第三步：解题技巧讲解
讲解奥数解题的基本技巧，包括数学逻辑推理、数学证明方法等。
第四步：练习奥数经典题型
布置奥数经典题型的练习题，让学生通过实际操作提升解题能力。
第五步：总结
总结本节课的重点内容，强调学生在日常学习中要多练习奥数题目，提高数学水平。
教学评价：
通过上述教学内容和步骤的设计，学生将能够加深对奥数的理解，提高解题技巧，培养数学思维能力，从而进一步提高数学成绩。
同时，鼓励学生在奥数学习中发现乐趣，不断挑战自我，激发学习兴趣和探索精神。
湖南省高中奥数教材(超级详细)
数学竞赛培训教材(一)集合与容斥原理集合是一种基本数学语言、一种基本数学工具。
它不仅是高中数学的第一课，而且是整个数学的基础。
对集合的理解和掌握不能仅仅停留在高中数学起始课的水平上，而要随着数学学习的进程而不断深化，自觉使用集合语言(术语与符号)来表示各种数学名词，主动使用集合工具来表示各种数量关系。
如用集合表示空间的线面及其关系，表示平面轨迹及其关系、表示方程(组)或不等式(组)的解、表示充要条件，描述排列组合，用集合的性质进行组合计数等。
一、学习集合要抓住元素这个关键例1．设A＝{X∣X=a2+b2,a、b∈Z}，X1，X2∈A，求证：X1X2∈A。
分析：A中的元素是自然数，即由两个整数a、b的平方和构成的自然数，亦即从0、1、4、9、16、25……，n2，……中任取两个(相同或不相同)数加起来得到的一个和数，本题要证明的是：两个这样的数的乘积一定还可以拆成两个自然数的平方和的形式，即(a2+b2)(c2+d2)=(M)2+(N)2，M,N∈Z 证明：设X1＝a2+b2，X2=c2+d2，a、b、c、d∈Z.则X1X2＝(a2+b2)(c2+d2)＝a2c2+b2d2+b2c2+a2d2＝a2c2+2ac·bd+b2d2+b2c2-2bc·ad+a2d2＝(ac+bd)2+(bc-ad)2又a、b、c、d∈Z，故ac+bd、bc-ad∈Z，从而X1X2∈A练习:1.设两个集合S={x|x=12m+8n,m,n∈Z},T={x|x=20p+16q,p,q∈Z}.求证：S=T。
2.设M={a|a= x2-y2,x,y∈Z}.求证：（1）一切奇数属于M;（2）4k-2(k∈Z)不属于M;（3）M中任意两个数的积仍属于M。
3.已知函数f（x）=x2+ax+b,a,b∈R,且A={x|x=f(x)},B={x|x=f[f(x)]}.(1)求证:A B;(2)若A={-1，3}时，求集合B.二、集合中待定元素的确定例2．已知集合M ＝{X ，XY ，lg(xy)}，S ＝{0，∣X ∣，Y}，且M ＝S ，则(X ＋1/Y)＋(X2＋1/Y2)＋……＋(X2002＋1/Y2002)的值等于( ).分析：解题的关键在于求出X 和Y 的值，而X 和Y 分别是集合M 与S 中的元素。
1高中数学新课标奥林匹克竞赛辅导讲义(集合部分)2
第 1 页 共 7 页1 第一章 集合集合是高中数学中最原始、最基础的概念，也是高中数学的起始单元，是整个高中数学的基础.它的基础性体现在：集合思想、集合语言和集合的符号在高中数学的很多章节如函数、数列、方程与不等式、立体几何与解析几何中都被广泛地使用.在高考试题和数学竞赛中，很多问题可以用集合的语言加以叙述.集合不仅是中学数学的基础，也是支撑现代数学大厦的基石之一，本章主要介绍集合思想在数学竞赛中出现的问题.【典例精析】【例1】在集合},,2,1{n 中,任意取出一个子集,计算它的各元素之和.则所有子集的元素之和是 .〖分析〗已知},,2,1{n 的所有的子集共有n2个.而对于},,2,1{n i ∈∀,显然},,2,1{n 中包含i 的子集与集合},,1,1,,2,1{n i i +-的子集个数相等.这就说明i 在集合},,2,1{n 的所有子集中一共出现12-n 次,即对所有的i 求和,可得).(211∑=-=n i n n i S 【解】集合},,2,1{n 的所有子集的元素之和为2)1(2)21(211+⋅=+++--n n n n n =.2)1(1-⋅+⋅n n n 〖说明〗本题的关键在于得出},,2,1{n 中包含i 的子集与集合},,1,1,,2,1{n i i +-的子集个数相等.这种一一对应的方法在集合问题以及以后的组合总是中应用非常广泛.【例2】已知集合}034|{},023|{222<+-=<++=a ax x x B x x x A 且B A ⊆,求参数a 的取值范围.〖分析〗首先确定集合A 、B,再利用B A ⊆的关系进行分类讨论.【解】由已知易求得}0)3)((|{},12|{<--=-<<-=a x a x x B x x A当0>a 时,}3|{a x a x B <<=,由B A ⊆知无解;当0=a 时,φ=B ,显然无解;当0<a 时, }3|{a x a x B <<=,由B A ⊆解得.321≤≤-a第 2 页 共 7 页2 综上知,参数a 的取值范围是]32,1[-.〖说明〗本题中,集合的定义是一个二次三项式,那么寻于集合B 要分类讨论使其取值范围数字化,才能通过条件求出参数的取值范围.【例3】已知+∈∈R y R x ,,集合}1,2,{},1,,1{2+--=---++=y y y B x x x x A .若B A =,则22y x +的值是( )A.5B.4C.25D.10【解】0)1(2≥+x ,x x x -≥++∴12,且012>++x x 及集合中元素的互异性知 x x x -≠++12,即1-≠x ,此时应有.112-->->++x x x x而+∈R y ,从而在集合B 中,.21y y y ->->+ 由B A =,得)3()2()1(12112⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=---=-+=++yx y x y x x 由(2)(3)解得2,1==y x ,代入(1)式知2,1==y x 也满足(1)式..5212222=+=+∴y x〖说明〗本题主要考查集合相等的的概念,如果两个集合中的元素个数相等,那么两个集合中对应的元素应分别相等才能保证两个集合相等.而找到这种对应关系往往是解决此类题目的关键.【例5】已知A 为有限集,且*N A ⊆,满足集合A 中的所有元素之和与所有元素之积相等,写出所有这样的集合A.【解】设集合A=)1}(,,,{21>n a a a n 且n a a a <<≤211,由=+++n a a a 21n a a a ⋅⋅⋅ 21, *)(N n n a n ∈≥,得≥n na =+++n a a a 21n a a a ⋅⋅⋅ 21)!1(-≥n a n ,即)!1(-≥n n 2=∴n 或3=n (事实上,当3>n 时,有)2)1()2)(1()!1(n n n n n >⋅-≥--≥-. 当2=n 时,1,2,21122121=∴<∴<+=⋅a a a a a a a ,而.2,1122≠∴+≠⋅n a a当3=n 时,3,3213321321<⋅∴<++=⋅⋅a a a a a a a a a ,.2,121==∴a a第 3 页 共 7 页由3332a a +=,解得.33=a综上可知,}.3,2,1{=A〖说明〗本题根据集合中元素之间的关系找到等式,从而求得集合A.在解决问题时,应注意分析题设条件中所给出的信息,根据条件建立方程或不等式进行求解.【例6】已知集合}02|{},023|{22≤+-=≤+-=a ax x x S x x x P ,若P S ⊆,求实数a 的取值组成的集合A.【解】}21|{≤≤=x x P ,设a ax x x f +-=2)(2.①当04)2(2<--=∆a a ,即10<<a 时,φ=S ,满足P S ⊆;②当04)2(2=--=∆a a ,即0=a 或1=a 时,若0=a ,则}0{=S ,不满足P S ⊆,故舍去;若1=a 时,则}1{=S ,满足P S ⊆.③当04)2(2>--=∆a a 时,满足P S ⊆等价于方程022=+-a ax x 的根介于1和2之间. 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥-<<><⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥<--<>∆0340121100)2(0)1(22)2(10a a a a a f f a 或φ∈⇔a . 综合①②③得10≤<a ,即所求集合A }10|{≤<=a a .〖说明〗先讨论特殊情形(S=φ),再讨论一般情形.解决本题的关键在于对∆分类讨论,确定a 的取值范围.本题可以利用数形结合的方法讨论.0>∆【例7】(2005年江苏预赛)已知平面上两个点集 {(,)||1|,M x y x y x y =++∈R }, {(,)||||1|1,,N x y x a y x y =-+-≤∈R }. 若 MN ≠∅, 则 a 的取值范围是． 【解】由题意知 M 是以原点为焦点、直线 10x y ++= 为准线的抛物线上及其凹口内侧的点集，N 是以 (,1)a 为中心的正方形及其内部的点集(如图)．第 4 页 共 7 页4 考察 M N =∅ 时, a 的取值范围:令 1y =,代入方程|1|x y ++=, 得 2420x x --=，解出得2x =± 所以，当211a <= 时, M N =∅． ………… ③令 2y =，代入方程|1|x y ++=得 2610x x --=. 解出得3x =．所以，当3a > 时, M N =∅． ………… ④因此, 综合 ③ 与 ④ 可知，当13a ≤≤+即[13a ∈ 时, M N ≠∅．故填[1-.【例8】已知集合},,,{4321a a a a A =,},,,{24232221a a a a B =,其中4321a a a a <<<,N a a a a ∈4321,,,.若},{41a a B A = ,1041=+a a .且B A 中的所有元素之和为124,求集合A 、B.【解】 4321a a a a <<<,且},{41a a B A = ,∴211a a =,又N a ∈1,所以.11=a又1041=+a a ,可得94=a ,并且422a a =或.423a a =若922=a ,即32=a ,则有,12481931233=+++++a a 解得53=a 或63-=a (舍) 此时有}.81,25,9,1{},9,5,3,1{==B A若923=a ,即33=a ,此时应有22=a ,则B A 中的所有元素之和为100≠124.不合题意. 综上可得, }.81,25,9,1{},9,5,3,1{==B A〖说明〗本题的难点在于依据已知条件推断集合A 、B 中元素的特征.同时上述解答中使用发分类讨论的思想.分类讨论是我们解决问题的基本手段之一,将问题分为多个部分,每一部分的难度比整体都要低,这样就使问题变得简单明了.【例9】满足条件||4|)()(|2121x x x g x g -≤-的函数)(x g 形成了一个集合M,其中R x x ∈21,,并且1,2221≤x x ,求函数)(23)(2R x x x x f y ∈-+==与集合M 的关系. 〖分析〗求函数23)(2-+=x x x f 集合M 的关系,即求该函数是否属于集合M,也就是判断第 5 页 共 7 页 5该函数是否满足集合M 的属性.【解】|3||||)23()23(||)()(|212122212121++⋅-=++-++=-x x x x x x x x x f x f取65,6421==x x 时, .||4||29|)()(|212121x x x x x f x f ->-=- 由此可见,.)(M x f ∉〖说明〗本题中M 是一个关于函数的集合.判断一个函数)(x f 是否属于M,只要找至一个或几个特殊的i x 使得)(i x f 不符合M 中的条件即可证明.)(M x f ∉【例10】对集合}2008,,2,1{ 及每一个非空子集定义唯一“交替和”如下:把子集中的数按递减顺序排列,然后从最大数开始,交替地加减相继各数,如}9,6,4,2,1{的“交替和”是612469=+-+-,集合}10,7{的“交替和”是10－7=3,集合}5{的“交替和”是5等等.试求A 的所有的“交替和”的总和.并针对于集合},,2,1{n 求出所有的“交替和”. 〖分析〗集合A 的非空子集共有122008-个,显然,要想逐个计算“交替和”然后相加是不可能的.必须分析“交替和”的特点,故可采用从一般到特殊的方法.如{1,2,3,4}的非空子集共有15个,共“交替和”分别为:{1} 1;{2} 2 ;{3} 3;{4} 4;{1,2} 2-1; {1,3} 3-1;{1,4} 4-1;{2,3} 3-2;{2,4} 4-2;{3,4} 4-3;{1,2,3} 3-2+1;{1,2,4} 4-2+1;{1,3,4} 4-3=1;{2,3,4} 4-3+2;{1,2,3,4} 4-3+2-1.从以上写出的“交替和”可以发现,除{4}以外,可以把{1,2,3,4}的子集分为两类:一类中包含4,另一类不包含4,并且构成这样的对应:设i A 是{1,2,3,4}中一个不含有的子集,令i A 与i A }4{相对应,显然这两个集合的“交替和”的和为4,由于这样的对应应有7对,再加上{4}的“交替和”为4,即{1,2,3.4}的所有子集的“交替和”为32.【解】集合}2008,,2,1{ 的子集中,除了集合}2008{,还有222008-个非空子集.将其分为两类:第一类是含2008的子集,第二类是不含2008的子集,这两类所含的子集个数相同.因为如果i A 是第二类的,则必有}2008{ i A 是第一类的集合;如果j B 是第一类中的集合,则j B 中除2008外,还应用1,2,……,2007中的数做其元素,即j B 中去掉2008后不是空集,且是第二类中第 6 页 共 7 页6 的.于是把“成对的”集合的“交替和”求出来,都有2008,从而可得A 的所有子集的“交替和”为.2008220082008)22(2120072008⨯=+⨯- 同样可以分析},,2,1{n ,因为n 个元素集合的子集总数为n 2个(含φ,定义其“交替和”为0),其中包括最大元素n 的子集有12-n 个,不包括n 的子集的个数也是12-n 个,将两类子集一一对应(相对应的子集只差一个元素n ),设不含n 的子集“交替和”为S,则对应的含n 子集的“交替和”为S n -,两者相加和为n .故所有子集的“交替和”为.21n n ⋅-〖说明〗本题中＂退到最简＂,从特殊到一般的思想及分类讨论思想、对应思想都有所体现,这种方法在数学竞赛中是常用的方法,在学习的过程中应注意强化.【例11】一支人数是5的倍数的且不少于1000人的游行队伍，若按每横排4人编队，最后差3人；若按每横排3人编队，最后差2人；若按每横排2人编队，最后差1人，求这支游行队伍的人数最少是多少？〖分析〗已知游行队伍的总人数是5的倍数，那么可设总人数为n 5.“按每横排4人编队，最后差3人”，从它的反面去考虑，可理解为多1人，同样按3人、2人编队都可理解为“多1人”，显然问题转化为同余问题.n 5被4、3、2除时都余地，即15-n 是12的倍数，再由总人数不少于1000人的条件，即可求得问题的解.【解】设游行队伍的总人数为)(5+∈N n n ，则由题意知n 5分别被4、3、2除时均余1，即15-n 是4、3、2的公倍数，于是可令)(1215+∈=-N m m n ，由此可得：5112+=m n ①要使游行队伍人数最少，则式①中的m 应为最少正整数且112+m 为5的倍数，应为2.于是可令)(25+∈+=N p q m ，由此可得：512]1)25(12[51+=++⋅=p p n ，25605+≥p n ②所以10002560≥+p ，4116≥p . 取17=p 代入②式，得10452517605=+⨯=n故游行队伍的人数最少是1045人.〖说明〗本题利用了补集思想进行求解，对于题目中含有“至少”、“至多”、“最少”、“不都”、“都”等词语，可以根据补集思想方法，从词义气反面（反义词）考虑，对原命题做部分或全部的否定，用这种方法转化命题，常常能起到化繁为简、化难为易的作用，使之寻求到解题思想或方法，实现解题的目的.第 7 页 共 7 页 7 【例12】设n N ∈且n ≥15，B A ,都是{1，2，3，…，n }真子集，A B φ=，且A B ={1，2，3，…，n }.证明：A 或者B 中必有两个不同数的和为完全平方数.【证明】由题设，{1，2，3，…，n }的任何元素必属于且只属于它的真子集B A ,之一. 假设结论不真，则存在如题设的{1，2，3，…，n }的真子集B A ,，使得无论是A 还是B 中的任两个不同的数的和都不是完全平方数.不妨设1∈A ，则3∉A ，否则1+3=22，与假设矛盾，所以3∈B .同样6∉B ，所以6∈A ，这时10∉A ，，即10∈B .因n ≥15，而15或者在A 中，或者在B 中，但当15∈A 时，因1∈A ，1+15=24，矛盾；当15∈B 时，因10∈B ，于是有10+15=25，仍然矛盾.因此假设不真,即结论成立. 【赛向点拨】1.高中数学的第一个内容就是集合，而集合又是数学的基础.因此，深刻理解集合的概念,熟练地进行集合运算是非常重要的.由于本节中涉及的内容较多,所以抓好概念的理解和应用尤其重要.2.集合内容几乎是每年的高考与竞赛的必考内容.一般而言,一是考查集合本身的知识;二是考查集合语言和集合思想的应用.3.对于给定的集合,要正确理解其含义,弄清元素是什么,具有怎样的性质?这是解决集合问题的前提.4.集合语言涉及数学的各个领域,所以在竞赛中,集合题是普遍而又基本的题型之一.。
高中数学第一章算法初步1.1.2第3课时循环结构、程序框图的画法课件1新人教A必修3
第四步，若f(a)·f(m)<0，则含零点的区间为[a， m]；否则，含零点的区间为[m，b].将新得到的含 零点的区间仍记为[a，b]. 第五步，判断[a，b]的长度是否小于d或f(m)是否 等于0.若是，则m是方程的近似解；否则，返回第 三步.
思考1:该算法中哪几个步骤可以用顺序结构来表 示？这个顺序结构的程序框图如何？
奥运会主办权投票过程的算法结构： 第一步，投票. 第二步，统计票数.如果有一个城市得票超过一半，那 么这个城市取得主办权，转入第四步. 第三步；否则淘汰得票数最少的城市，转入第一步. 第四步，宣布主办城市.
开始
投票
有一个城市 得票数超过总票
数的一半?
是
输出该城市
结束
淘汰得票数 最少的城市
否
在一些算法中,经常会出 现从某些地方开始,按照一定 条件,反复执行某一步骤的情 况,这就是本节课所要学习的 内容——循环结构.
输出S
结束
S=S+i 是
【变式练习】
设计算法求
1 1创2
+
1+ 23
1 3创4
+
L
+
99
1+ 100
1 100? 101
的值，并画出程序框图.
分析：这是一个共有100项的累加求和题，需要设
计一个计数变量，一个累加变量，用循环结构实现
这一算法. 注意循环结构的三要素：循环变量、循
环体、循环的终止条件
条件结构和循环结构的基本特征：
（1）程序框图中必须有两个起止框，穿插输入、输出 框和处理框，一定有判断框.
（2）循环结构中包含条件结构，条件结构中不含循环 结构.
（3）条件结构和循环结构的程序框图各有两种形式， 相互对立统一.
人教B版高中数学必修三课件第一章1.21.2.3循环语句
[通一类]
2．写出求满足1＋2＋3＋…＋n>2011的最小自然数n的
程序．
解：程序为：
S＝0； n＝1； While S<＝2011； S＝S＋n； n＝n＋1； end n＝n－1； print(%io(2)，n)
[研一题] [例3] 写出求12－22＋32－42＋…＋992－1002的值的程
名称 格式
for循环 for循环变量＝：初值 ：步长 终值
循环体
end
while循环
while 表达式 循环体 end
名称
for循环
while循环
适合
循环次数
用于预先知道的情形
条件
用于预先不知道次循数环的情 形
作用 用来控制有规律的或重者复在运程算序中需要对某些语句进行 重复的执行
[小问题·大思维] 1．在“for语句”中，步长代表什么？它可以为零吗？
S＝0 i＝1 while i<＝100 S＝S＋i i＝i＋1 end M＝－S print(%io(2)，M)
[悟一法] (1)for语句和while语句的区别可总结为：for语句“先执行，后 判断”，while语句“先判断，后执行”． (2)理解for循环的关系是理解计算机如何执行循环体，例如“S ＝S＋1”这个执行过程实际上是每次循环直至结束．而while 循环则是在每次执行循环体之前，都要判断表达式是否为 真．这样重复执行，一直到表达式为假时，就跳过循环体部 分，结束循环． (3)在Scilab界面内可直接输入程序，for(while)循环语句可以 写在同一行，但在循环条件后面要用“，”号分开，也可以分 行写，但要记住加end.
序．
[自主解答] 法一：程序如下：
M＝0； N＝0； for i＝1：2：99 M＝M＋i^2； end for i＝2：2：100 N＝N－i^2； end S＝M＋N； print%io2，S
奥赛经典：数学奥林匹克教程高级教程系列
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作者简介
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高中数学奥林匹克基础教程江苏沛县孙统权前言2007年7月15日至24日，江苏省高中数学奥林匹克夏令营在靖江举办，由省数学学会组织专家学者亲自授课。
编者作为夏令营中的受训教练，亲身体会到与会专家博大精深的知识厚度和深入浅出的教学风格，并做了课堂笔记，对相关教学资料进行了整理。
夏令营结束后，从自身实践出发，编成本教程。
教程共8讲，每讲4学时，共32学时。
指导思想为“领略奥赛风采，拓展数学视野，训练数学思维，启迪数学方法”，内容选取原则为“参照竞赛数学知识体系，根据学生接受能力，与当前中学数学教学内容协调互补”。
对本教程建议采用“探索-讨论-启发-再探索-直至完成”的教学模式，使学生思维密度大，所受局限少，能充分的体会数学智慧和创造的乐趣，较直接的感受竞赛数学。
在各知识点章节讲授时，宜通过具体解题展示数学体系，淡化数学术语而突出数学思想，选择、补充题目时注意结合实际情况，减少复杂度，使学生负担轻，进步感强，在领略数学美的同时达到训练目的。
本教程参考了2007年省夏令营专家的授课内容，使用了部分原题。
同时，参考了华师大版《数学奥林匹克小丛书》，安徽少儿版《初中应用数学知识竞赛辅导训练》和其他若干书籍。
在此予以感谢，并在补注中注明各题的直接来源。
本教程可以作为高中奥林匹克训练的起始教材，或供学生选修的一个模块。
将它整理出来，意在抛砖引玉，为我们江苏乃至全国的数学奥林匹克的发展作一点贡献。
虽力求严谨，由于个人能力经验所限，其中错误和不完善之处仍在所不少，恳请广大专家、教练、数学奥林匹克爱好者不吝指教。
本版版本号1.2。
编者电子信箱：suntrain@。
第一讲赛题选例一、课堂讨论：1证明：任何四面体上都存在一个顶点，可以用由它发出的三条棱组成三角形。
2用不在形内相交的对角线将正奇数边形划分为一系列三角形。
证明：其中有且只有一个锐角三角形。
3证明：可以找到4个绝对值大于10000的整数a,b,c,d，使11111+++=。
a b c d abcd4能否用两个边长小于1的正三角形盖住一个边长等于1的正三角形？5能否用两个半径小于1的圆盖住一个半径等于1的圆？6a>0，为了能盖住一个边长为4a的正方形，最多需要几个半径为3a的圆？7数学老师让课代表走出教室，接着让学生随意在黑板上写上十几个数字，然后老师擦去一个数字，让课代表进来。
结果发现课代表居然能准确地猜出被擦去的数字，且屡试不爽。
请问这里面可能有什么秘诀？二、课后思考：1对于整数n>3，我们用n?表示所有小于n的素数的乘积。
解方程：n?=2n+16 2在黑板上写有100个分数，它们的分子刚好为整数1-100各出现一次，分母也是这样。
这100个分数之和可化为分母为2的最简分数。
求证：可以交换某两个分数的分子，使这100个分数之和可化为分母为奇数的最简分数。
310个人聚会，每个人在其余与会者中都至少有5个熟人。
证明：可以从他们中叫出4个人围成一圈，使每两个邻座都是熟人。
4平面上有25个给定点，其中任何3点中都有两个点的距离不大于1。
证明：可以用1个单位圆至少盖住其中13个点。
5在凸20边形的每个定点上都写有两个不同的数。
证明：可以从每个顶点上划去一个数，使得任意两个相邻顶点上剩下的数都互不相同。
6 将边长为n的正三角形的每边n等分，过每个分点分别作另两边的平行线。
得到若干个单位正三角形。
设f(n)是从最上面的单位正三角形到最下面一行中间的单位正三角形的通路的数目，求f(2005)的值。
（05年加拿大奥林匹克）（通路是指可以从一个单位正三角形走向另一个与其有公共边，且与其在同一行或在其所在行的下一行。
同时，每个单位正三角形不能经过2次或2次以上。
如图是n=5的一条通路的例子。
）一、上一讲思考题讨论二、组合问题讨论：●在数学竞赛中，组合题泛指非常规数学问题。
这类题目往往只是涉及常识性知识，然而相当灵活。
1 已知平面上10个圆，任意两个都相交。
是否存在直线l，与每个圆都有公共点？证明你的结论。
2 在一张矩形纸上画有一个圆。
米老鼠在其中选了一个点，让唐老鸭猜。
唐老鸭在纸上每指出一个点，米老鼠就告诉他是否猜中，如果没有，就告诉他离被猜点有多大距离。
唐老鸭带着刻度尺和圆规。
问：他至少要猜几次，才能一定猜出米老鼠所选的点？怎样猜？3教室里有n排椅子，每排n张，每张椅子上坐一个学生。
现在有求按以下规则调换座位：(1)每个学生必须换到新的座位上；(2)每个学生只能换到相邻（前、后、左、右）的座位上（允许两个学生互换座位）。
证明：n为偶数时，可以完成座位调换，但n为奇数时不可以。
（06年海湾）48个人围着桌子坐成一圈，有多少种握手方法，使得4对握手的人胳膊不交叉？（据01年英国试题简化）5现有长为150cm的铁丝，要截成n(n>2)小段，每段的长为不小于1cm的整数，如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n的最大值。
（02年江苏初中）三、课后思考：1在正n边形的每个定点上各停有一只喜鹊。
偶受惊吓，众喜鹊都飞去。
一段时间后，它们又都飞回这些顶点上，仍是每个顶点上一只，但未必都回到原来的顶点。
求所有的正整数n，使得一定存在3只喜鹊，以它们前后所在的顶点分别形成的三角形或同为锐角三角形，或同为直角三角形，或同为钝角三角形。
（01年中国）2T称为淘气子集：若对于任意的u、v∈T(u,v不必不同)，u+v∉T。
求证：{1,2,3,…，2006}的任意一个淘气子集至少有1003个元素。
（06年越南）3 高一（1）班语文、数学、英语三门课测试，成绩优秀的分别有15、12、9名，并且这三门课中，至少有一门课优秀的共有22名。
那么，三门课全是优秀的最多有多少名？最少有多少名？（00年江苏初中）4把7个两两不同的球分给两个人，使每人至少分得两个球，则不同的分法共有多少种？（01年五羊杯初中）5N为自然数，且61<+<+,那么N的值是多少？（02年希望杯初N N中）613名小运动员，他们着装的运动服号码分别是1-13号。
问：这13名运动员能否站成一个圆圈，使得任意相邻的两名运动员号码数之差的绝对值都不小于3且不大于5？如果能，试举一例。
如果不能，请说明理由。
（03年北京初中）一、上一讲思考题讨论二、组合几何问题讨论：● 凸多边形：如果多边形位于它任何一条边所在直线的同侧，则称其为凸多边形。
● 凸包：给定平面上若干个点，用一根松紧性很强的线圈住它们，当线绷紧时，所形成的凸多边形就可以视作这些点的凸包。
1 给定平面上n 个点，无三点共线。
证明：在这n 个点中可以挑出三个点，使得从其中一个点引出的到其他两个点的射线之间的夹角不超过nπ。
2 平面上给出22个点，其中无三点共线。
证明：可以将这些点配成11对，使每对点连成的线段之间至少有五个交点。
3 证明：存在一个三角形，可以被分割成1989个全等的三角形。
（提示：题目中，若将1989改成13，原理相同。
）4 已知格点图形面积=+ ,,S aN bN c a b c R +∈边内格，，试确定a,b,c 的值并通过多种格点图形验证之。
三、课后思考：1 平面上给出2n+3个点，其中任意三点不共线，任意四点不共圆。
证明：从这些点中能够选取三个点，使得剩余的点中有n 个位于过这三点的圆的内部，而另n 个点位于这个圆的外部。
2 在平面上给出有限个点，证明：在它们之中可以选出这样的点，使得与它最近的已知点：（1）不超过6个；（2）不超过3个。
3 证明：任意三角形可以（用直线）分解成三部分，使得由它们能拼成一个长方形。
4 平面上任给n 个不同的点（n ≧2）,确定并证明：以这些点为端点的线段，至少有多少个不同的中点。
5 证明：整点三角形不能是正三角形。
一、上一讲思考题讨论二、极端原理问题讨论：1平面上有n个点，任意三个点构成面积不超过1的三角形。
证明：存在面积不超过4的三角形覆盖这n个点。
2平面上有n个点不共线。
证明：存在三个点A、B、C使得其余n-3个点都在△ABC外面（至少有5种方法）。
3有n(n≧3)个排球队参加单循环赛（排球赛的每场都要分出胜负），比赛结束后，发现没有一个队全胜。
求证：必存在三个队A,B,C，使A胜B,B胜C，C 又胜A。
4平面上有n个红点与n个蓝点，任意三点都不共线。
求证：可以用n条线段连接这2n个点，每条线段连接一个红点和一个蓝点，且这n条线段没有公共点。
三、课后思考：1在边长为一的正方形四边上各任取一点，连成一个四边形。
证明：这一四边。
2证明：在任意的凸五边形中能找到三条对角线，用他们可以构成一个三角形。
3平面上一个有限点集，其中任何三点都是直角三角形的顶点。
试确定这个点集最多可包含多少个点。
4平面上100个点，任意两点之间的距离≦1，任意三点为一个钝角三角形的顶点。
证明：可作一个直径为1的圆，盖住这100个已知点。
5在某个星系的每一个星球上，都有一位天文学家在观测最近的星球。
若每两个星球间的距离都不相等，证明：当星球的个数为奇数时，一定有一个星球没有被观测。
一、抽屉原理基本题讨论：1在边长为1的正三角形中，任意放置5个点，则必有两点之间的距离不超过0.5。
2在3行9列共27个小方格一一涂上红色或蓝色。
证明无论如何涂法，其中至少有两列涂色方法相同。
二、上一讲思考题讨论三、抽屉原理问题讨论：1在坐标平面上，任取5个格点，其中一定存在两个格点，它们的中点仍是格点。
2有99个人参加了一次聚会，聚会正式开始前他们之间相互握手问候。
统计发现他们每个人都恰好和66个人握过手。
证明：可能出现这种情况，在任何四人中都一定存在两个人没有握过手。
3有6个点，任意3点不共线，证明：若将其中任意两点间的连线染成红色或蓝色之一，则必存在一个三边颜色相同的三角形。
4在边长为1的正方形内部，放置若干个圆，这些圆的周长之和等于10。
证明：可作一条直线，至少和其中四个圆有交点。
5在边长为1的正方形内部有一条长度为1000的不自身相交的折线。
证明：存在一条直线，它垂直于正方形的某一条边，并且与折线至少有500个交点。
四、课后思考：1如图，编号为1到8的两组滚珠均匀放在内外两个圆环上，开始时每两个相对滚珠号码均不相同。
证明：当两个圆环按照相反方向转动时，必有一时刻，内外两环中至少有两对同号码滚珠相对。
2作一个圆的任意2003条直径，在它们和圆的4006个交点上任意填写不大于1001的正整数（可以重复填写）。
证明：一定可以找到两条直径，它们两端的两个数字的和相等。
3把1到10的自然数摆成一个圆周。
证明：一定存在三个相邻的数，它们的和数不小于18。
4把1到10的自然数摆成一个圆周。
证明：一定存在三个相邻的数，它们的和数不小于17。
5在3×4。
6在边长为1的正方形内任取51个点。
证明：它们中有三个点能被半径为17的圆覆盖。