第七章线性规划新
线性规划PPT课件
线性规划的基本定理
线性规划的解存在性
对于任何线性规划问题，都存在至少一个最优解。
最优解的唯一性
在某些情况下，线性规划问题的最优解是唯一的，这取决于目标函 数和约束条件的形状和位置。
解的稳定性
线性规划问题的最优解是稳定的，即使目标函数或约束条件略有变 化，最优解也不会发生大的变化。
03
线性规划的求解方法
优缺点：内点法具有全局收敛性和对初始点不敏 感的优点，但计算量较大，需要较高的计算资源 。
椭球法
01
总结词：几何方法
02
03
04
详细描述：椭球法是一种基 于几何方法的线性规划算法。 它将可行解的边界表示为椭 球，通过迭代移动椭球中心
来逼近最优解。
算法步骤：椭球法的基本步 骤包括初始化、构建椭球和 迭代更新。在每次迭代中， 根据当前椭球的位置和方向 来更新中心和半径，直到满
运输问题
总结词
运输问题是线性规划在物流和供应链管理中的重要应用，旨在优化运输成本、 运输时间和运输量等目标。
详细描述
运输问题通常需要考虑多个出发地、目的地、运输方式和运输成本等因素。通 过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输成本最低、运输时间 最短，同时满足运输量和运输路线的限制。
投资组合优化问题
03
单纯形法
单纯形法是线性规划的标 准算法，通过迭代和优化， 找到满足约束条件的最大 或最小目标函数值。
初始解
在应用单纯形法之前，需 要先找到一个初始解，这 可以通过手动计算或使用 软件工具来实现。
迭代过程
单纯形法通过不断迭代和 优化，逐步逼近最优解， 每次迭代都需要重新计算 目标函数值和最优解。
线性规划的几何意义
线性规划(上课课件)
基变量的检验数： CB- CB B-1B = 0
C - CB B-1A =（0， CN - CB B-1N ）
定理：若检验数全小于等于零，且某一个非基变量 的检验数为0，则线性规划问题有无穷多最优解。 （无穷多最优解情况）
xmk , mk 0. 证明：某个非基变量 xm k 换入基变量中，得到基可行解 X
•从可行域中某个基可行解（一个顶点） 开始（称为初始基可行解）。
线性规划（2）-单纯形方法
单纯形方法基本思路：
•从可行域中某个基可行解（一个顶点） 开始（称为初始基可行解）。 •如可能，从可行域中求出具有更优目标 函数值的另一个基可行解（另一个顶点）， 以改进初始解。
线性规划（2）-单纯形方法
单纯形方法基本思路：
Z= 9＋2 x1 -（3/4）x5 令新的非基变量（ x1，x5 ）=（0，0）T 得到新的基可行解： x(2)=(0,3,2, 16 , 0) T S2= 9 经济含义：生产乙产品3个，获得利润9 百元。
其中（1）—1/2（3）
这个方案比前方案好，但是否是最优？
这个方案比前方案好，但是否是最优？ 分析： Z= 9＋2 x1 -（3/4）x5 非基变量x1系数仍为正数，确定x1为换 入变量。在保证正消去系统的情况下， 确定x3为换出变量。得到新的消去系统：
•从可行域中某个基可行解（一个顶点） 开始（称为初始基可行解）。 •如可能，从可行域中求出具有更优目标 函数值的另一个基可行解（另一个顶点）， 以改进初始解。
•继续寻找更优的基可行解，进一步改进 目标函数值。当某一个基可行解不能再改 善时，该解就是最优解。
第三节
线性规划-单纯形方法
单纯形方法基本思路：
增加单位产品乙（x2）比甲对目标函数 的贡献大（检验数最大），把非基变量 x2换成基变量，称x2为换入基变量，而 把基变量x5换成非基变量，称x5为换出 基变量。 （在选择出基变量时，一定保证消去系 统为正消去系统）（最小比值原则）
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8 25 x1 8 15 x2 1800 8 25 x 1800 1 8 15 x2 1800 x1 0, x2 0
6
线性规划模型：
min z 40 x1 36 x2
5 x1 3 x2 45 x 9 1 s.t. x2 15 x1 0, x2 0
2
两个引例 问题一 ： 任务分配问题：某车间有甲、乙两台机床，可用
于加工三种工件.假定这两台车床的可用台时数分别为800和 900，三种工件的数量分别为400、600和500，且已知用二种 不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如 下表.问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工件的要 求，又使加工费用最低？
注：lingo的灵敏度分析需要激活（系统默认是不激活的）为了激活灵敏性分析， 运行LINGO|Options…，选择General Solver Tab， 在Dual Computations列表 框中，选择Prices and Ranges选项。 确认并运行LINGO|Ranges或快捷键 ctrl+R.
在LINGO模型 min 13* x1 9* x 2 10* x3 11* x 4 12* x5 8* x6; 窗口输入： x1 x 4 400;
x 2 x5 600; x3 x6 500; 0.4* x1 1.1* x 2 x3 800; 0.5* x 4 1.2* x5 1.3* x6 900;
Cost
X1 X2 X3 X4 X5 X6 Row Price
影子价格
Slack or Surplus
1 2 3 4 5 6
13800.00 0.000000 0.000000 0.000000 140.0000 50.00000
高三数学高考基础复习课件：第七章第3课时线性规划
延伸·拓展
4. 设 x≥0 ， y≥0 ， z≥0 ， p=-3x+y+2z ， q=x-2y+4z ，
x+y+z=1求点P(p,q)的活动范围.
【解题回顾】本题实际上是借助二元一次不等式表 示平面区域有关知识求解.不能将其转化为二元一次 不等式表示的平面区域问题是出错主要原因.
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5.某人上午7时，乘摩托艇以匀速V海里/时(4≤V≤20) 从A港出发到距50海里的B港去，然后乘汽车以匀速 W千米/时(30≤W≤100)自B港向距300千米的C市驶去， 应该在同一天下午4至9点到达C市.设汽车、摩托艇所
【解题回顾】(1)用线性规划的方法解题的一般步 骤是：设未知数、列出约束条件及目标函数、作 出可行域、求出最优解、写出答案.
(2)本例的关键是分析清楚在哪一个点取最大值. 可
以先将z=7x+12y化成 y- 7 x z ，利用直线的 12 12
斜截式方程可以看出在何处取得最大值.
3．要将两种大小不同的钢板截成A，B，C三种规 格，每张钢板可同时截成三种规格小钢板块数如下 表：
块数 规格
A
种类
第一种钢板
1
B
C
2
1
第二种钢板
1
1
3
每块钢板面积第一种1平方单位，第二种2平方单位， 今需要A，B，C三种规格的成品各式各12，15，27 块，问各截这两种钢板多少张，可得到所需三种规 格成品，且使所用钢板面积最小.
【解题回顾】由于钢板的张数为整数，所以必须寻 找最优整数解.调优的办法是在以z取得最值的附近 整数为基础通过解不等式组可以找出最优解.
2.线性规划 (1)对于变量x,y的约束条件，都是关于x,y的一次不 等式，称为线性约束条件，z=f(x,y)是欲达到最值 所涉及的变量x,y的解析式，叫做目标函数.当f(x,y) 是关于x,y的一次解析式时，z=f(x,y)叫做线性目标 函数. (2)求线性目标函数在约束条件下的最值问题称为 线性规划问题，满足线性约束条件的解(x,y)称为可 行解.由所有解组成的集合叫可行域，使目标函数 取得最值的可行解叫最优解.
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基解：令所为 有 0， 非求 基出 变的 (1量 .2)的 满解 足 称为基解。
基可行解与可行 足基 (1.3)： 的满 基解称为基可 对应基可行解的 为基 可， 行称 基。基 显可 然 解的数目 基解的数 C目 nm
基本最优解与最优基 满： 足(1.1) 的基可行解称为基本 优最 解，
对应m,如果 B是矩A中 阵的一 mm个 阶非奇异 (|B子 |0)矩 ,则阵 称 B是线性规 题的一个基。
基向量与非基向B量 中： 的基 列向量称为，基向 矩阵A中除B之外各列即为非，基 A中 向共 量 有nm个非基向量。
基变量与非基 基变 向P量 j量 对： 应与 的xj变 称量 为基变量；否 基则 变称 量为 。非
将文件存储并命名后，选择菜单 “Solve” 并对提示 “ DO RANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS? ”回答“是”，即 可得到如下输出：
“资源” 剩余 为零的约束为 紧约束（有效 约束）
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
3360.000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
可行解 基 解
基可行解
1.4 线性规划问题的图解法
下面结合例1的求解来说明图解法步骤。
例1
max Z 4 x1 3 x2
2 x1 3 x2 24
s. t 3 x1 2 x2 26
x2
x1, x2 0
Q3(6,4)
第一步：在直角坐标系中分
别作出各种约束条件，求出
3x1+2x2=26
Q2(6,4)
B
条 件
3x1 100
x1,x2 0
l3:3x1 100 l4
l4:x10,l5:x200
高考文数一轮复习经典教案(带详解)第七章 第2节：线性规划
第2节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题【最新考纲】 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.【高考会这样考】 1.考查二元一次不等式组表示的区域面积和目标函数最值(或取值范围)；2.考查约束条件、目标函数中的参变量的取值范围；3.利用线性规划方法设计解决实际问题的最优方案．要点梳理1.二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界直线.不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线.(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适合同一个不等式Ax＋By＋C>0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合另一个不等式Ax＋By＋C<0.(3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.2.线性规划的有关概念[友情提示]1.画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证.2.在通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b >0时，截距zb 取最大值时，z 也取最大值；截距z b 取最小值时，z 也取最小值；当b <0时，截距zb 取最大值时，z 取最小值；截距zb取最小值时，z 取最大值.基 础 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)不等式Ax ＋By ＋C ＞0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方.( ) (2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.( )(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.( )(4)在目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距.( )解析 (1)不等式x －y ＋1>0表示的平面区域在直线x －y ＋1＝0的下方. (4)直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距是zb . 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2.下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是( ) A .(0，0)B .(－1，1)C .(－1，3)D .(2，－3)解析 把各点的坐标代入可得(－1，3)不适合，故选C. 答案 C3.不等式组⎩⎨⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2<0表示的平面区域是( )解析 x －3y ＋6≥0表示直线x －3y ＋6＝0及其右下方部分，x －y ＋2＜0表示直线x －y ＋2＝0左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B. 答案 B4.设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为________.解析不等式组⎩⎨⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0表示的平面区域如图所示.由z ＝3x －2y 得y ＝32x －z 2，当直线y ＝32x －z2过图中点A 时，纵截距最大，此时z 取最小值.由⎩⎨⎧2x ＋y ＝－1，x ＋2y ＝1解得点A 坐标为(－1，1)，此时z ＝3×(－1)－2×1＝－5.答案 －55.若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x －2≤0，x ＋y －2≥0，则z ＝yx的最大值为________.解析 作出不等式组表示的平面区域，如图所示阴影部分，z ＝y x ＝y －0x －0，表示区域内的点与原点连线的斜率，易知z max ＝k OA ，由⎩⎨⎧x －y ＋1＝0，x ＋y －2＝0，得A ⎝⎛⎭⎫12，32，k OA ＝3212＝3，∴z max ＝3.答案 3题型分类 考点突破考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】 (1)不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的()(2)若不等式组⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( ) A .－3B .1C.43D .3解析 (1)(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇒⎩⎨⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎨⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.画出平面区域后，只有C 符合题意.(2)如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－2m ＜2，则m ＞－1，由⎩⎨⎧x ＋y －2＝0，x －y ＋2m ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1－m ，y ＝1＋m ，即A (1－m ，1＋m ). 由⎩⎨⎧x ＋2y －2＝0，x －y ＋2m ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝23－43m ，y ＝23＋23m ，即B ⎝⎛⎭⎫23－43m ，23＋23m ，所围成的区域为△ABC ，则S △ABC ＝S △ADC －S △BDC ＝12(2＋2m )(1＋m )－12(2＋2m )·23(1＋m )＝13(1＋m )2＝43， 解得m ＝－3(舍去)或m ＝1.故选B. 答案 (1)C (2)B规律方法 1.二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域. 2.求平面区域的面积：(1)首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；(2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和.【变式练习1】 若不等式x 2＋y 2≤2所表示的平面区域为M ，不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，y ≥2x －6表示的平面区域为N ，现随机向区域N 内抛一粒豆子，则豆子落在区域M 内的概率为________.解析 作出不等式组与不等式表示的可行域如图阴影部分所示，平面区域N 的面积为12×3×(6＋2)＝12，区域M 在区域N 内的面积为14π(2)2＝π2，故所求概率P ＝π212＝π24.答案 π24考点二 求目标函数的最值问题(多维探究) 命题角度1 求线性目标函数的最值【例2－1】设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋3y ≤3，x －y ≥1，y ≥0，则z ＝x ＋y 的最大值为()A .0B .1C .2D .3解析 根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)，则当目标函数z ＝x ＋y 经过A (3，0)时取得最大值，故z max ＝3＋0＝3，故选D.答案 D命题角度2 求非线性目标函数的最值【例2－2】 (1)若变量x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是()A .4B .9C .10D .12(2)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≤x －1，x ≤3，x ＋5y ≥4，则xy 的最小值是________.解析 (1)作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示(包括边界)，x 2＋y 2表示平面区域内的点与原点的距离的平方.由图易知平面区域内的点A (3， －1)与原点的距离最大，所以x 2＋y 2的最大值是10，故选C.(2)作出不等式组表示的平面区域，如图所示，又xy 表示平面区域内的点与原点连线所在直线的斜率的倒数.由图知，直线OA 的斜率最大，此时x y 取得最小值，所以⎝⎛⎭⎫x y min ＝1k OA ＝32.答案 (1)C (2)32命题角度3 求参数的值或范围【例2－3】 已知实数x ，y 满足：⎩⎨⎧x ＋3y ＋5≥0，x ＋y －1≤0，x ＋a ≥0，若z ＝x ＋2y 的最小值为－4，则实数a ＝( ) A .1B .2C .4D .8解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝x ＋2y 经过点C ⎝⎛⎭⎪⎫－a ，a －53时，z 取得最小值－4，所以－a ＋2·a －53＝－4，解得a ＝2，选B.答案 B规律方法 1.先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值. 2.当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义：(1)x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0，0)的距离，（x －a ）2＋（y －b ）2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离；(2)yx 表示点(x ，y )与原点(0，0)连线的斜率，y －b x －a 表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率.3.当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件.【变式练习2】 (1)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋3≤0，3x ＋y ＋5≤0，x ＋3≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值是()A .0B .2C .5D .6(2)若实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x －y ＋2≥0，2x ＋y －6≤0，0≤y ≤3，且z ＝mx －y (m <2)的最小值为－52，则m 等于()A.54B .－56C .1D.13解析 (1)由已知得约束条件的可行域如图中阴影部分所示，故目标函数z ＝x ＋2y 经过点C (－3，4)时取最大值z max ＝－3＋2×4＝5.(2)作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，z ＝mx －y (m <2)的最小值为－52，可知目标函数的最优解过点A ，由⎩⎨⎧y ＝3，2x －y ＋2＝0，解得A ⎝⎛⎭⎫12，3，∴－52＝m2－3，解得m ＝1.答案 (1)C (2)C考点三 实际生活中的线性规划问题【例3】 某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元.解析 设生产A 产品x 件，B 产品y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *，目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0)，在(60，100)处取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元).答案 216 000规律方法 解线性规划应用问题的一般步骤： (1)分析题意，设出未知量； (2)列出线性约束条件和目标函数； (3)作出可行域并利用数形结合求解； (4)作答.【变式练习3】 一个小型加工厂用一台机器生产甲、乙两种桶装饮料，生产一桶甲饮料需要白糖4千克，果汁18千克，用时3小时；生产一桶乙饮料需要白糖1千克，果汁15千克，用时1小时.现库存白糖10千克，果汁66千克，生产一桶甲饮料利润为200元，生产一桶乙饮料利润为100元，在使用该机器用时不超过9小时的条件下，生产甲、乙两种饮料利润之和的最大值为________.解析 设生产甲、乙两种饮料分别为x 桶、y 桶，利润为z 元，则得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，18x ＋15y ≤66，3x ＋y ≤9，x ≥0，y ≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，6x ＋5y ≤22，3x ＋y ≤9，x ≥0，y ≥0.目标函数z ＝200x ＋100y .作出可行域(如图阴影部分所示)，当直线z ＝200x ＋100y 经过可行域上点B 时，z 取得最大值，解方程组⎩⎨⎧4x ＋y ＝10，6x ＋5y ＝22，得点B 的坐标(2，2)，故z max ＝200×2＋100×2＝600. 答案 600错误! 课后练习A 组 (时间：30分钟)一、选择题1.不等式组⎩⎨⎧y ≤－x ＋2，y ≤x －1，y ≥0所表示的平面区域的面积为()A .1B.12C.13D.14解析 作出不等式组对应的区域为△BCD ，由题意知x B ＝1，x C ＝2.由⎩⎨⎧y ＝－x ＋2，y ＝x －1，得y D＝12，所以S △BCD ＝12×(x C －x B )×12＝14.答案D2.若x ，y 满足⎩⎨⎧x ≤3，x ＋y ≥2，y ≤x ，则x ＋2y 的最大值为()A .1B .3C .5D .9解析 画出可行域，设z ＝x ＋2y ，则y ＝－12x ＋z 2，当直线y ＝－12x ＋z2过B (3，3)时，z 取得最大值9，故选D. 答案 D3.设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是()A .－15B .－9C .1D .9解析 作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点B (－6，－3)处取得最小值z min ＝－12－3＝－15.故选A.答案 A4.设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是()A .[－3，0]B .[－3，2]C .[0，2]D .[0，3]解析 画出不等式组表示的可行域(如图阴影部分所示)，结合目标函数的几何意义可得函数在点A (0，3)处取得最小值z ＝0－3＝－3，在点B (2，0)处取得最大值z ＝2－0＝2.答案 B5.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y －1≤0，x ＋y ≥0，x ＋2y －4≥0，则z ＝x －2y 的最大值为()A .－12B .－1C .0D.32解析 作出可行域，如图阴影部分，作直线l 0：x －2y ＝0，平移直线l 0，可知经过点A 时，z ＝x －2y 取得最大值，由⎩⎨⎧x ＋2y －4＝0，x －y －1＝0，得A (2，1)，所以z max ＝2－2×1＝0， 故选C.答案 C6.若1≤log 2(x －y ＋1)≤2，|x －3|≤1，则x －2y 的最大值与最小值之和是( ) A .0B .－2C .2D .6解析 1≤log 2(x －y ＋1)≤2，|x －3|≤1即变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2≤x －y ＋1≤4，2≤x ≤4，即⎩⎨⎧x －y －3≤0，x －y －1≥0，2≤x ≤4，作出可行域(图略)，可得x －2y 的最大值、最小值分别为4，－2，其和为2. 答案 C7.若x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y ≥1，mx －y ≤0，3x －2y ＋2≥0且z ＝3x －y 的最大值为2，则实数m 的值为()A.13B.23C .1D .2解析 若z ＝3x －y 的最大值为2，则此时目标函数为y ＝3x －2，直线y ＝3x －2与3x －2y ＋2＝0和x ＋y ＝1分别交于A (2，4)，B ⎝⎛⎭⎫34，14，mx －y ＝0经过其中一点，所以m ＝2或m ＝13，当m ＝13时，经检验不符合题意，故m ＝2，选D. 答案 D8.若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x >－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为()A.322B. 5C.92D .5解析 作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示.设z ＝(x －2)2＋y 2，则z 的几何意义为区域内的点到定点D (2，0)的距离的平方，由图知C ，D 间的距离最小，此时z 最小.由⎩⎨⎧y ＝1，x －y ＋1＝0得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，即C (0，1)，此时z min ＝(x －2)2＋y 2＝4＋1＝5，故选D. 答案 D 二、填空题9.若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________.解析 画出可行域如图阴影部分所示. 由z ＝3x －4y ，得y ＝34x －z4，作出直线y ＝34x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A (1，1)处取最小值，故z min ＝3×1－4×1＝－1.10.已知O 是坐标原点，点M 的坐标为(2，1)，若点N (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥12，y ≥x 上的一个动点，则OM →·ON →的最大值是________.解析 依题意，得不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，其中A ⎝⎛⎭⎫12，12，B ⎝⎛⎭⎫12，32，C (1，1). 设z ＝OM →·ON →＝2x ＋y ，当目标函数z ＝2x ＋y 过点C (1，1)时，z ＝2x ＋y 取得最大值3. 答案 311.(一题多解)已知－1＜x ＋y ＜4且2＜x －y ＜3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(答案用区间表示).解析 法一 设2x －3y ＝a (x ＋y )＋b (x －y )，则由待定系数法可得⎩⎨⎧a ＋b ＝2，a －b ＝－3，解得⎩⎨⎧a ＝－12，b ＝52，所以z ＝－12(x ＋y )＋52(x －y ).又⎩⎨⎧－2＜－12（x ＋y ）＜12，5＜52（x －y ）＜152，所以两式相加可得z ∈(3，8). 法二 作出不等式组⎩⎨⎧－1＜x ＋y ＜4，2＜x －y ＜3表示的可行域，如图中阴影部分所示.平移直线2x －3y ＝0，当相应直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3，1)时，z取得最小值，z min ＝2×3－3×1＝3；当相应直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，z 取得最大值，z max ＝2×1＋3×2＝8.所以z ∈(3，8).12.x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为________.解析 如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a ＞0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a ＜0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1. 答案 2或－1B 组 (时间：15分钟)13.某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元 B .16万元 C .17万元D .18万元解析 设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，则有⎩⎨⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3x ＋4y ，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A 处取到最大值.由⎩⎨⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12得A (2，3).则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元). 答案 D14.已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，z ＝|2x －2y －1|，则z 的取值范围是()A.⎣⎡⎦⎤53，5B .[0，5)C .[0，5]D.⎣⎡⎭⎫53，5解析 作出可行域如图所示：易求得A ⎝⎛⎭⎫2，32，B ⎝⎛⎭⎫13，23，C (2，－1)，令u ＝2x －2y －1，则y ＝x －u ＋12，当直线y ＝x－u ＋12过点C (2，－1)时，u 有最大值5，过点B ⎝⎛⎭⎫13，23时，u 有最小值－53，因为可行域不包括x ＝2的边界，所以z ＝|2x －2y －1|的取值范围是[0，5).故选B. 答案 B15.已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3，0)处取得最大值，则a 的取值范围是________. 解析 画出x ，y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3，0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a <－12，∴a >12. 答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞16.已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≤ln x ，x －2y －3≤0y ＋1≥0，，则z ＝y ＋1x 的取值范围为________.解析 作出不等式组对应的平面区域，如图阴影部分.z ＝y ＋1x 表示区域内的点(x ，y )与A (0，－1)连线的斜率k ，由图可知，k min ＝0，k max ＝k AP ，P 为切点，设P (x 0，ln x 0)，k AP ＝1x 0，∴ln x 0＋1x 0＝1x 0，∴x 0＝1，k AP ＝1，即z ＝y ＋1x 的取值范围为[0，1].答案 [0，1]。
高考数学一轮复习第七章不等式推理与证明1二元一次不等式与简单的线性规划问题课件新人教A版22
标函数的几何意义是斜率问题还是距离问题,依据几何意义可求得
最值.
-27考点1
考点2
考点3
对点训练 2(1)(2020 河北唐山二模)已知 x,y 满足约束条件
- + 2 ≥ 0,
-2 + 1 ≤ 0,则 z=x-y 的最大值为( B )
包括
标系中画不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域时,此区域应_____
实线
边界直线,则把边界直线画成
.
(2)因为对直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)
代入Ax+By+C,所得的符号都 相同
,所以只需在此直线的同
一侧取一个特殊点(x0,y0)作为测试点,由Ax0+By0+C的 符号 即
-1 ≤ 0,
- + 1 ≥ 0
为( D )
A.-5
B.1
C.2
D.3
(2)如图,阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示
+ -1 ≥ 0,
为 -2 + 2 ≥. 0
-17考点1
考点2
考点3
+ -1 ≥ 0,
解析: (1)不等式组 -1 ≤ 0,
所围成的平面区域如图所示.
3
3
7
A.1
B.
C.
D.
2
4
4
- ≥ 0,
2 + ≤ 2,
(2)若不等式组
表示的平面区域是一个三角形,则
≥ 0,
+ ≤
a 的取值范围是( D )
线性规划
约束方程
约束方程的标准型
（1）目标函数最大 （2）约束条件为等式方程 （3）决策变量非负 （4）资源限量非负
3
三、线性规划的关键技术
（2）4X1-2X2-3X3=-6
-4X1+2X2+3X3=6
4
方程→矩阵
三、线性规划的关键技术
图解法
5
三、线性规划的关键技术
6
三、线性规划的关键技术
解
X1
X2
线性规划简介
一、什么是线性规划
二、线性规划的特征
三、线性规划的关键技术
1
一、什么是线性规划
针对一定规划基于线性约束的实现一些特定目标。
二、线性规划的特征
1.目标函数
2.线性约关键技术
1.确定决策变量 2.模型建立——目标函数建立 3.约束方程 4.线性规划求解 线性规划单纯形法 目标函数
X3
X4
X5
Z
基可行解
1 2 3 4 5 6 7 8
0 0 5 0 10 5 5 2
0 4 0 5 0 2.5 4 4
5 5 0 5 -5 0 0 3
10 2 5 0 0 0 -3 0
4 0 4 -1 4 1.5 0 0
5 17 10 20 15 17.5 22 19
√ √ √ × × √ × √
7
线性规划PPT优秀课件
y
1
x+y-1>0
1
O
x+y-1<0 x+y-1=0
x
复习二元一次不等式表示平面区域的范例 例1 画出不等式2x+y-6<0表示的平面区域。 y
6
注意：把直
线画成虚线以 表示区域不包 括边界
O
2x+y-6=0
3
x
复习二元一次不等式表示平面区域的范例 y
5Hale Waihona Puke 例2 画出不等式组 x+y=0
x y 5 0 x y 0 x 3
探索结论
复习判断二元一次不等式表示哪一 侧平面区域的方法
由于对在直线ax+by+c=0同 一侧所有点(x，y)，把它的坐标 (x，y)代入ax+by+c，所得的实 数的符号都相同，故只需在这条 直线的某一侧取一特殊点(x0，y0) 以ax0+by0+c的正负的情况便可 判断ax+by+c>0表示这一直线 哪一侧的平面区域，特殊地，当 c≠0时常把原点作为此特殊点
可行域
(5,2)
(1,1)
线性规划
例1 解下列线性规划问题： 求z=2x+y的最大值和最小值，使式中x、y满足下 列条件： 2x+y=0 y
解线性规划问题的一般步骤：
2x+y=-3 y x 1 1 第一步：在平面直角坐标系中作出可行域； C( , ) 2 2 第二步：在可行域内找到最优解所对应的点； x y 1 O y 1 第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数 B(2,-1) 2x+y=3
x-y=7 C(3,6) y=6
高中数学第七章直线和圆的方程--线性规划与圆的方程
一、线性规划1．二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(x ,y )，把它的坐标（x ,y )代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）2. 目标函数, 线性目标函数，线性规划问题,可行解，可行域, 最优解:不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.t =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于t =a x +b y 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.那么，满足线性约束条件的解（x ,y )叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在问题中，可行域就是阴影部分表示的区域.其中可行解),(),,(1100y x B y x A (一般是区域的顶点)分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解3．用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）根据线性约束条件画出可行域（即不等式组所表示的公共区域）;（2）设t =0，画出直线0l ;（3）观察、分析，平移直线0l ，从而找到最优解),(),,(1100y x B y x A ;（4）最后求得目标函数的最大值及最小值二、曲线的方程和方程的曲线4．“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义：在直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程0),(=y x f 的实数解建立了如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解（纯粹性）(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点（完备性）那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线 定义的理解：在领会定义时，要牢记关系(1)、(2)两者缺一不可，它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件．两者满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性．只有符合关系(1)、(2)，才能将曲线的研究转化为方程来研究，即几何问题的研究转化为代数问题．这种“以数论形”的思想是解析几何的基本思想和基本方法5．求曲线方程的一般步骤为：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M 的坐标；（2）写出适合条件P 的点M 的集合；(可以省略，直接列出曲线方程)（3）用坐标表示条件P （M ），列出方程0),(=y x f ;（4）化方程0),(=y x f 为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点(可以省略不写,如有特殊情况，可以适当予以说明)三、圆的方程6．圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆B(-52,52)C(3,-3)A(3,8)x=3x+y=0x-y+5=0063x y x y (98,178)3x+5y=05x+3y-15=0x-y+1=0C BA O 3x-5y-3=0-1-1157. 圆的标准方程 ：222)()(r b y a x =-+-.两个基本要素：圆心),(b a C ，半径为r ，若圆心在坐标原点上，这时0==b a ，则圆的方程就是222r y x =+ 8．圆的一般方程：只有当0422>-+F E D 时，022=++++F Ey Dx y x 表示的曲线才是圆，把形如022=++++F Ey Dx y x 的表示圆的方程称为圆的一般方程（1）当0422>-+F E D 时，①表示以（-2D ，-2E ）为圆心,F E D 42122-+为半径的圆； （2）当0422=-+F E D 时，方程①只有实数解2D x -=，2E y -=，即只表示一个点（-2D ，-2E ）; （3）当0422<-+F E D 时，方程①没有实数解，因而它不表示任何图形例1画出不等式2x +y -6＜0表示的平面区域.解：先画直线2x +y -6=0（画成虚线）.取原点（0，0），代入2x +y -6,∵2×0+0-6=-6＜0,∴原点在2x +y -6＜0表示的平面区域内，不等式2x +y -6＜0表示的区域如图：例2 画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 表示的平面区域.解：不等式x -y +5≥0表示直线x -y +5=0上及右下方的点的集合，x +y ≥0表示直线x +y =0上及右上方的点的集合，x ≤3表示直线x =3上及左方的点的集合.不等式组表示平面区域即为图示的三角形区域: 例3求z =3x +5y 的最大值和最小值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤+.35,1,1535y x x y y x 解：不等式组所表示的平面区域如图所示：从图示可知，直线3x +5y =t 在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的t 最小，以经过点（817,89）的直线所对应的t 最大.所以z m in =3×(-2)+５×(-1)=-11.z m ax =3×89+5×817=14 例4 已知一条曲线在x 轴的上方，它上面的每一个点到A （0，2）的距离减去它到x 轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程 解：设点),(y x M 是曲线上任意一点，MB ⊥x 轴，垂足是B ，那么点M 属于集合P ={M ｜｜MA ｜-｜MB ｜=2}即 y y x --+22)2(=2整理得 222)2()2(+=-+y y x , ∴281x y = 因为曲线在x 轴的上方，所以y ＞0，虽然原点O 的坐标（0，0）是这个方程的解，但不属于已知3x-4y-7=0r M C(1,3)xO y曲线，所以曲线的方程应是：281x y = (x ≠0) 例5 已知△ABC ，)2,0(),0,2(--B A ，第三个顶点C 在曲线132-=x y 上移动，求△ABC 的重心的轨迹方程解：设△ABC 的重心为G ),(y x ，顶点C 的坐标为),(11y x ，由重心坐标公式得320,30211y y x x +-=++-=⎩⎨⎧+=+=∴232311y y x x 代入13211-=x y 得31)23(322-+=+x y 31292++=∴x x y ，即为所求轨迹方程在这个问题中，动点C 与点G 之间有关系，写出C 与G 之间的坐标关系，并用G 的坐标表示C 的坐标，而后代入C 的坐标所满足的关系式化简整理即得所求,这种方法叫相关点法 例6 求以C(1,3)为圆心，并且和直线0743=--y x 相切的圆的方程 解：已知圆心坐标C(1,3)，故只要求出圆的半径，就能写出圆的标准方程 因为圆C 和直线0743=--y x 相切，所以半径r 就等于圆心C 到这条直线的距离 根据点到直线的距离公式，得516)4(3|73413|22=-+-⨯-⨯=r 因此，所求的圆的方程是 25256)3()1(22=-+-y x 例7求过三点)2,4(),1,1(),0,0(N M O 的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标解：设所求的圆的方程为：022=++++F Ey Dx y x ，∵)2,4(),1,1(),0,0(N M O 在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于F E D ,,的三元一次方程组， 即⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=02024020F E D F E D F 解此方程组，可得：0,6,8==-=F E D ∴所求圆的方程为：06822=+-+y x y x 542122=-+=F E D r ；32,42-=-=-F D 得圆心坐标为（4，-3）. 或将06822=+-+y x y x 左边配方化为圆的标准方程，25)3()4(22=++-y x ,从而求出圆的半径5=r ，圆心坐标为(4,-3)例8 求圆心在直线x -y -4=0上，且经过两圆03422=--+x y x 和03422=--+y y x 的交点的圆的方程 解：设经过两已知圆的交点的圆的方程为)1(0)34(342222-≠=--++--+λλy y x x y x则其圆心坐标为)12,12(λλλ++ ∵所求圆的圆心在直线04=--y x 上， ∴31,041212-==-+-+λλλλ ∴所求圆的方程为032622=-+-+y x y x。
第七章线性规划
第七章 线性规划7.1 基本数学原理线性规划是处理线性目标函数和线性约束的一种较为成熟的方法，目前已经广泛应用于军事、经济、工业、农业、教育、商业和社会科学等许多方面。
线性规划问题的标准形式是：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=0,,,min 21221122222121112121112211n m n mn m m n n n n n n x x x b x a x a x a b x a x a x a bx a x a x a x c x c x c z或⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥===∑∑==n j x m i b x a x c z j nj i j ij n j j j ,...,2,1,0,...,2,1,min 11写成矩阵形式为：⎪⎩⎪⎨⎧≥==0min X b AX CXz其中，0为n 维列向量。
线性规划的标准形式要求目标函数最小化，约束条件取等式，变量非负。
不符合这几个条件的线性模型要首先转化成标准形。
线性规划的求解方法主要是单纯形法（Simple Method ），该法由Dantzig 于1947年提出，以后经过多次改进。
单纯形法是一种迭代算法，它从所有基本可行解的一个较小部分中通过迭代过程选出最优解。
其迭代过程的一般描述为：1． 将线性规划化为标准形式，从而可以得到一个初始基本可行解x (0)(初始顶点)，将它作为迭代过程的出发点，其目标值为z(x (0))。
2． 寻找一个基本可行解x (1)，使z(x (1))≤z(x (0))。
方法是通过消去法将产生x (0)的典范形式化为产生x (1)的典范形式。
3． 继续寻找较好的基本可行解x (2)，x (3)，…，使目标函数值不断改进，即z(x (1))≥z(x (2)) ≥z(x (3)) ≥…。
当某个基本可行解再也不能被其它基本可行解改进时，它就是所求的最优解。
高等数学第七章.ppt
规
划
a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1
(1)
的
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2
(2)
标
准
……
型
am1x1+am2x2+…+amnxn=bm
(m)
x1 ，x2 ，…xn≥0
第三节 单纯形法
其简缩形式为
一
max Z c1x1 c2 x2 cn xn
线 性
n
aij x j bi
ZA=300 ZB=175 ZC=110 ZD=150
x2 15 A
3x1+x2=15
可行域
10
B
x1+x2=10
5
C
O
5
10
A(0,15) B(2.5,7.5) C(9,1) D (15,0)
x1+6x2=15
D
15
x1
10x1+20x2＝0
第三节 单纯形法
单纯形方法是一种较为完善的、步骤 化的线性规划问题求解方法。它的原理涉 及到较多的数学理论上的推导和证明，我 们在此仅介绍这种方法的具体操作步骤及 每一步的经济上的含义。为更好地说明问 题，我们仍结合实例介绍这种方法
第
一
节
线
《经济大词典》定义线性规划：一种
性
具有确定目标，而实现目标的手段又有
规
一定限制，且目标和手段之间的函数关
划 模 型
系是线性的条件下，从所有可供选择的 方案中求解出最优方案的数学方法。
的
基
本
原
理
二、线性规划三要素
第
新课标人教A版高中数学必修3第七章线性规划课件
答 :( 略 )
y
调整优值法
B(3,9)
A(18/5,39/5)
C(4,8)
x+y =0
0
2x+y=15 x+y=12 x+2y=18 x+3y=27
x
返回
解得A(18/5,39/5) ∴Zmin=57\5 但18\5,39\5不是整数∴ 它不是最优解 ∵当x、y都是整数时，Z也是整数,∴Z≥12
解：设每天调出的A型车x辆，B型车y 辆，公司所花的费用为z元，则
{
x≤8 y≤4 x+y≤10 24x+30y≥180 x,y∈N*
Z=320x+504y
作出以上不等式组所 表示的可行域
作出可行域中 的整点，
y 24x+30y=180
x+y=10
x=8
作直线L0:320x+504y=04 y=4 把直线 L0 向右上 3 方平移到 L1 时， 2 M 1 直线经过可行域 X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 上可行域中的整 点 M （ 5 ， 2 ）使 320x+504y=0 Z=320x+504y 取 得最小值， 且Zmin=2608元
课题：线性规划
复习引入 例题分析 课堂练习 课堂总结
例 1: 某工厂生产甲、乙两种产品 . 已知生产
甲种产品1吨需消耗A种矿石10吨、B种矿石 5吨、煤4吨；生产乙种产品1吨需消耗A种矿 石4吨、B种矿石4吨、煤9吨.每1吨甲种产品 的利润是600元,每1吨乙种产品的利润是1000 元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗 A种矿石不超过300吨、消耗B种矿石不超过 200吨、消耗煤不超过360吨.甲、乙两种产品 应各生产多少(精确到0.1吨),能使利润总额达 到最大?
第七章-求极值及解线性规划问题命令与例题
例2: 求函数z= e2x(x+y^2+2y)，在区间[-1,1][-2,1]内的极值。 解: 本题限制了求极值的范围，为确定初值，借助等高线图
Mathematica命令为 In[7]:= ContourPlot[Exp[2x]*(x+y^2+2y),{x,-1,1},{y,-2,1},
Contours->20, ContourShading->False, PlotPoints->30]
a21 x 1 + a22 x 2 +…. + a2n x n = b2 约束条件： … …….
a m1x 1 + a m2x 2 +….+ a mn x n = b m
x 1 ,x 2 ,…, x n 0 这里x 1 ,x 2 ,…, x n 是变量， c i, aij ,bi都是已知常数，且bi 0，约束条件常用
从图中看到函数在-1和1附近有两个极小值点，在0附近有一个极大值点，用 Mathematica 命令求之：
In[2]:=FindMinimum[3x^4-5x^2+x-1,{x,1}] Out[2]= {-2.19701, {x -> 0.858028}} In[3]:=FindMinimum[3x^4-5x^2+x-1,{x,-1}] Out[3]= {-4.01997, {x -> -0.959273}} In[4]:=FindMinimum[- (3x^4-5x^2+x-1), {x,0}] Out[4]= {0.949693, {x -> 0.101245}} In[5]:= 3x^4-5x^2+x-1/.x->-2 In[6]:= 3x^4-5x^2+x-1/.x->2 故所求函数在[-2,2]的x=2处取得最大值29, 在x=-0.959273处取得最小值为-4.01997
线性规划教材教学课件
02
线性规划的基本理论
线性规划的几何解释
01
线性规划问题可以解释为在多维 空间中寻找一个点，该点使得某 个线性函数达到最大或最小值。
02
线性规划问题可以用图形表示， 通过观察图形可以直观地理解问 题的约束条件和目标函数。
线性规划的基本定理
线性规划问题存在最优解，且最优解必定在约束条件的边界 上。
大M法的优点是计算量较小， 可以快速找到一个近似解，但 解的精度和可靠性相对较低。
大M法适用于一些对解精度要 求不高，但需要快速得到近似 解的场合。
两阶段法
两阶段法是一种求解线性规划问题的分 解方法，将原问题分解为两个阶段进行
求解。
第一阶段是求解一个初始的线性规划问 题，得到一个初步的解；第二阶段是在 初步解的基础上进行修正和调整，以得
Python求解线性规划
总结词
Python是一种通用编程语言，也提供了求解线性规划的 库。
详细描述
Python的PuLP库可以用来求解线性规划问题，用户只需 要编写Python代码来定义线性规划的约束条件和目标函 数，然后调用PuLP库的函数即可得到最优解。
总结词
PuLP库提供了多种求解器选项，包括GLPK、CBC、 CP，这些最优解称为最优 解集。
线性规划的解的概念
线性规划问题的最优解称为最优解， 而所有最优解的集合称为最优解集。
在最优解集中，存在一个最优解被称 为最优基解，它是线性规划问题的一 个基可行解。
03
线性规划的求解方法
单纯形法
单纯形法是一种求解线性规划问题的 经典方法，通过不断迭代和寻找最优 解的过程，最终找到满足所有约束条 件的解。
单纯形法具有简单易行、适用范围广 等优点，但也有计算量大、需要多次 迭代等缺点。
高二数学线性规划教学设计 人教版 教案
高二数学线性规划教学设计一、教学设计意图“线性规划”这节课属于人教版高中数学（试验修订本?必修）第二册（上）中的第七章第四节第二部分的内容，是继上一节二元一次不等式表示平面区域的后续内容，也是在学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单应用,适用于高中二年级。
这是新教材改版之后增加的一个新内容，反映了《新大纲》对数学知识在实际应用方面的重视。
线性规划是利用数学为工具，来研究在一定的人、财、物、时、空等资源条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源取得最大的效益。
它在工程设计、经济管理、科学研究等方面的应用非常广泛。
当然,中学所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容，也能体现数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法——数学建模法。
二、教学目标描述：1、知识目标：了解线规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；了解线性规划问题的一般解法（即图解法）；会求线性目标函数的最大值、最小值。
2、能力目标：培养学生建模能力及提高学生解决实际问题的能力；同时渗透数形结合、化归的数学思想方法，培养学生“用数学”的意识及创新意识。
3、情感目标：通过对物资调运、产品安排、下料问题等问题的调查、研究，使学生了解社会主义市场经济，建立市场经济意识，焕发学生振兴中华的责任感。
三教学过程1、创设问题情境为了赚大钱，老张最近承包了一家具厂，可老张却闷闷不乐，原来家具厂有方木料900m3，五合板600m2，老张准备加工成书桌和书厨出售，他通过调查了解到：生产每张书桌需要方木料0.1m3、五合板2m2，生产每个书橱需要方木料0.2m3、五合板1m2，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元。
老张却不知如何安排？（电脑显示问题）2、师生互动引导学生将实际问题转化为用数学的语言来描述，即问题转化为：书桌和书厨分别生产多少张时，获得的利润最大？师生共同分析问题，理清题意，列出表格；然后引导学生建立数学模型：（1）设元，设生产书桌x张，书橱y张，利润为z元。
高考数学一轮复习第七章不等式第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件理
(2)对于选项 A，当 m＝－2 时，可行域如图①，直线 y＝2x－z 的截矩可以无限小，z 不存在最大值，不符合题意，故 A 不正确；
对于选项 B，当 m＝－1 时图②，直线 y＝2x－z 的截矩可以无限小，z 不存在最大值，不 符合题意，故 B 不正确；
第十六页，共44页。
(3)
不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当 a＝0 时， 只有 4 个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当 a＝－1 时，正好增加 (－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共 5 个整点．
答案：(1)A (2)B (3)－1
第十八页，共44页。
线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的
双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角函数、概率、解析几何
等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新
颖别致，且主要有以下几个命题角度：
角度一：转化为截距(形如：z＝ax＋by)
[典题 2]
(1)设 x，y 满足约束条件xx＋－y3－y＋7≤1≤0，0， 3x－y－5≥0，
解方程组xx＝－3y＋，5＝0， 得 A 点的坐标为(3,8)，代入 z＝(x＋ 1)2＋y2，得 zmax＝(3＋1)2＋82＝80.
第二十八页，共44页。
(2)法一：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所 示．z＝|x＋2y－4|＝|x＋2y5－4|· 5，即其几何含义为阴影区域内的 点到直线 x＋2y－4＝0 的距离的 5倍．
则 z＝2x－y
的最大值为( )
A．10
B．8
C．3
D．2
第十九页，共44页。
x＋y－2≤0， (2)(2015·新课标全国卷Ⅰ)若 x，y 满足约束条件x－2y＋1≤0，
第7章 线性规划
典范形式的优点是可以简单地令其 m个特 殊变量为基本变量，而其余(n-m)个变量 为非基本变量。置非基木变量的值为零 后，立即可得出基本变量的值，从而求 得一个基本可行解。 例如典范形式(1)的一个基本可行解为：
xi bi xj 0
i 1,2, , m j m 1, m 2, , n
在目标函数中松驰变量的价值系数取零 值，即原目标函数形式不变。注意，每 添加一个剩余或松驰变量，问题就增加 一维．
3 化最大值问题为最小值问题
若原问题为 maxf= c1x1+c2x2+„+cnxn 则可引入新目标函数f=-f’，而约束条件不 变。这样原问题就变为等价的标准形式， 目标函数为 min d= d1x1+d2x2+„+dnxn ci=-di
如果
b j 0, j 1,2,, n
a j1 x1 a j 2 x2 a jn xn b j 0
2 将不等式化为等式
(1) 若
a j1 x1 a j 2 x2 a jn xn b j
引进”剩余变量” wj0 ,将不等式改为
n! m! ( n m )!
(2)由一个典范形式化为另一个典范形式的 迭代过程 每次迭代是为了寻找使目标函数值更小 的新基本可行解。为叙述方便起见，设 迭代前的典范形式是式(1)，从而可得初 始基本可行解为：
基本变量 xi(0) =bi i=1,2, …,m 非基本变量 xj(0) =bj j=m+1,m+2, …,n 相应的目标函数值为 f0= c1 b1+ c2 b2+ … + cm bm
b 寻找一个基本可行解X(1) ，使f(X(1)) < f(X(0)) 。 由于寻找的范围限制在使目标函数值不超过f (X(0))的那些基本可行解内，所以搜索的效率 很高。寻找的方法是通过消去法把产生X(0)的 典范形式化为产生X(1)的典范形式。
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变量xij与教师 i 以及课程 j 的关系如下：
i j 语文 数学 物理 化学
张 王
李 赵
x11 x21
x31 x41
x12 x22
x32 x42
x13 x23
x33 x43
x14 x24
x34 x44
max z= 92x11+68x12+85x13+76x14+82x21+91x22+77x23+63x24 +83x31+90x32+74x33+65x34+93x41+61x42+83x43+75x44 s.t. x11+x12+x13+x14=1 （1） x21+x22+x23+x24=1 （2） x31+x32+x33+x34=1 （3） x41+x42+x43+x44=1 （4） x11+x21+x31+x41=1 （5） x12+x22+x32+x42=1 （6） x13+x23+x33+x43=1 （7） x14+x24+x34+x44=1 （8） xij=0, 1 这个问题的变量只能取值0或1，这样的线性规划问题成为0－1规划。
min( z ) 2 x1 3 x2
x1 2 x2 8 4 x 16 1 s .t . 4 x2 12 x1 0, x2 0
MATLAB求解线性规划问题的命令
命令函数 linprog()
命令格式
⑴X=linprog(f,A,b)
求解LP问题
min f X
eq
⑵[X,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,Beq,LB,UB)
求解LP问题
min f X
一般的指派问题线性规划模型如下： 设：
0 第i个人不从事第 j项任务 x ij 1 第i个人被指派完成第 j项任务
得到以下的线性规划模型：
min(max) z
n
c x
i 1 j 1 ij
n
n
ij ij
s.t.
x x
j1 i 1 n
1
j 1,2,, n
ij
1 i 1,2,, n
函数说明
(6)线性规划问题没有可行解时,系统提示 Warning: The constraints are overly stringent;there is no feasible solution.
如果优化成功,系统将会提示: Optimization terminated successfully
函数说明
(4)返回值output有3个分量，iterations表示优化过程 的叠代次数，cgiterations表示PCG叠代次数， algorithm表示优化采用的运算规则。 (5)返回值lambda有4个分量，ineqlin是线性不等式约 束条件， eqlin是线性等式约束条件，upper是变量 的上界约束条件， lower是变量的下界约会条件。 它们的返回值分别表示相应的约束条件在优化过程 中是否有效，本例中可以看到，三个不等式约束中 的后两个是有效的。
可行解（feasible solution）
使得约束条件成立的决策变量的一组值
可行域（feasible region）
全体可行解组成的集合（经常记为S）
最优解（optimal solution）
可行域中使目标函数达到所需最大或最小的可行解
3、用MATLAB软件求解线性规划问题
线性规划问题的求解方法包括图解法、单纯 形法、矩阵法等. 但在决策变量个数较多，求解过程都比较复 杂时，用MATLAB软件求解线性规划问题则 比较简单.
案例二（生产计划的问题）某工厂在计划期内要安 排生产Ⅰ、Ⅱ的两种产品，已知生产单位产品所需 的设备台时，A、B两种原材料的消耗以及每件产品 可获的利润如下表所示。问应如何安排计划使该工 厂获利最多？
Ⅰ
设备 原材料A 原材料B 单位产品利润 （万元） 1 4 0 2
Ⅱ
2 0 4 3
资源限量
8(台时) 16(kg) 12(kg)
x ij 0,1
由以上3个例子，我们可以归纳出线性规划问题的一般形式：
max(min) z c1x1 c 2 x 2 c jx j c n x n s.t. a11x1 a12 x 2 a1 jx j a1n x n (, )b1 a 21x1 a 22 x 2 a 2 jx j a 2n x n (, )b 2 a m1x1 a m 2 x 2 a mjx j a mn x n (, )b m x1 x2 xj xn 0
设备能 每件产品占用的 力 机时数（小时/ 产品甲 产品乙 产品丙 产品丁 （小时 件） ） 设备A 设备B 设备C 1.5 1.0 1.5 1.0 5.0 3.0 2.4 1.0 3.5 1.0 3.5 1.0 2000 8000 5000
利润（元/件）
5.24
7.30
8.34
4.18
设变量xi为第i种产品的生产件数（i＝1，2，3，4）， 目标函数z为相应的生产计划可以获得的总利润。在加工 时间以及利润与产品产量成线性关系的假设下，可以建立 如下的线性规划模型：
线性规划的不等式约束条件 线性规划的等式约束条件
A X b
Aeq X Beq
函数说明
(2)运用linprog()命令时，系统默认为它的各种 linprog(f,A,b, Aeq, Beq,LB,UB,X0,options)都存 在，且按固定顺序排列。本例中，在存在约束LB的 情况下，它后面的参数没给出，可以不声明，但是 LB前面的参数即使没给出（例如等式约束条件）也 要用空矩阵“[ ]”的方式给出声明，不能省略。 (3)返回值exitflag有3种情况： 表示优化结果已经超过函数的估计值 或者已声明的最大叠代次数； exitflag=1 表示优化过程中变量收敛于解X。 exitflag= －1 表示优化结果不收敛。 exitflag=0
函数说明(1) f 目标函数的系数组成的向量 X 目标函数取得极值的决策变量组成的列向量 A 矩阵 线性规划的不等式约束条件 A X b b 向量
Aeq 矩阵 线性规划的等式约束条件 Aeq X Beq Beq 向量
LB
UB
变量的下界约束
变量的上界约束
变量的初始值 X0 Options 控制规划过程的参数系列
四位教师每人只能教一门课，每一门课只能 由一个教师来教。要确定哪一位教师上哪一门课， 使四门课的平均成绩之和为最高。 设xij（i=1, 2, 3, 4；j=1, 2, 3, 4）为第i个教师是 否教第j门课，xij只能取值0或1，其意义如下：
0 第i个教师不教第 j门课 x ij 1 第i个教师教第 j门课
背包问题
例1.2 一只背包最大装载重量为50公斤。现有三种物品， 每种物品数量无限。每种物品每件的重量、价值如下表 所示： 物品1 重量（公斤/ 件） 价值（元/件） 物品2 物品3
10
17
41
72
20
35
要在背包中装入这三种物品各多少件，使背包中的物品价值最高 。
设装入物品1，物品2和物品3各为x1，x2，x3 件，由于物品的件数必须是整数，因此背包问题 的线性规划模型是一个整数规划问题：
fval 优化结束后得到的目标函数值
目标函数取得极值的决策变量组成的列向量 优化结束后得到的目标函数值 控制规划过程的参数系列
[X,fval,exitflag,output,lambda]
=linprog(f,A,b,Aeq,Beq,LB,UB,X0,options)
目标函数的系数组成的向量 矩阵 向量 变量的初始值 变量的上界约束 矩阵 向量 变量的下界约束
max s.t. z= 5.24x1 +7.30x2 +8.34x3 +4.18x4 1.5x1 +1.0x2 +2.4x3 +1.0x4 ≤2000 1.0x1 +5.0x2 +1.0x3 +3.5x4 ≤8000 1.5x1 +3.0x2 +3.5x3 +1.0x4 ≤5000 x1, x2, x3, x4
线性规划
线性规划简介
线性规划问题最早是前苏联学者康德洛维奇（L.V. Kantorovich）于1939年提 出的，但他的工作当时并未广为人知。 第二次世界大战中，美国空军的一个研究小组SCOOP（Scientific Computation of Optimum Programs）在研究战时稀缺资源的最优化分配这 一问题时，提出了线性规划问题。并且由丹泽（G.B.Dantzig）于1947年提 出了求解线性规划问题的单纯形法。 50年代初，电子计算机研制成功，较大规模的线性规划问题的计算已经成为 可能。因此，线性规划和单纯形法受到数学家、经济学家和计算机工作者的 重视，得到迅速发展，很快发展成一门完整的学科并得到广泛的应用。 1952年，美国国家标准局（NBS）在当时的SEAC电子计算机上首次实现单 纯形算法。 1976年IBM研制成功功能十分强大、计算效率极高的线性规划软件MPS，后 来又发展成为更为完善的MPSX。这些软件的研制成功，为线性规划的实际 应用提供了强有力的工具。 随着计算机硬件和软件技术的发展，目前用微型计算机就可以求解变量个数 达106，约束个数达104的巨大规模的问题，并且计算时间也不太长。
X
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