2019-2020年九年级数学上册课时提升作业(五) 21.2.3
2019—2020年最新北师大版九年级数学上册课时训练：2.6应用一元二次方程(2)及答案(试卷).docx
第二章 一元二次方程2.6 应用一元二次方程（二）考标要求：会建立一元二次方程模型解决实际问题，并能根据问题的实际意义检验结果的合理性 重点难点：重点：建立一元二次方程模型解决实际问题；难点：把实际问题化归为一元二次方程一 选择题（每小题5分，共25分）1市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。
某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，这种药品平均每次降价的百分率是( )A 10％B 15 ％C 20 ％D 25 ％2 一架长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为6米，如果梯子的顶端沿墙壁下滑1米，那么梯子的底端向后滑动的距离（ ）A 等于1米B 大于1米C 小于1米D 不能确定3 在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形图．如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为xcm ，那么x 满足的方程是（ •）A ．x 2+130x-1400=0B ．x 2+65x-350=0C ．x 2-130x-1400=0D ．x 2-65x-350=04 某电视机厂计划两年后产量为现在的2倍，如果每年增长率为x ，则可得方程（ ）A ()21x +=3，B 1+x=2C 1+2x=2D ()21x +=25 借助一面墙为一边，再用13米的铁丝网围成一个面积为20平方米的长方形，求长方形的长和宽，设长为x米，根据题意可得方程（）A x (13-x)=20B x132x-∙=20 C x (13-0.5x)=20 D1322xx-∙=20二填空题（每小题5分，共25分）6 某印刷厂今年一季度印刷了50万册书，第三季度印刷了72万册书，如果每个季度的增长率相同，设为x,依题意可得方程__________________;7 某村家用电脑总量，2007年比2005年增长69％，若设平均每年的增长率为x,依题意得方程：______________________;8 某生活小区准备在每幢楼房之间，开辟面积为200平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长为_____米，宽为_______米;9 用长为24厘米的铁丝围成一个斜边为10cm的直角三角形，则两直角边分别为_______;10 如图，某小区规划在一个长40米，，宽26米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与BC平行，其余部分种草，若使每一块草坪面积都为144平方米,求小路的宽。
人教版数学九年级上册21.2.2公式法(第二课时)教学设计
b.设置典型例题，引导学生从不同角度分析问题，培养他们灵活运用求根公式的能力。
c.创设生活情境，让学生在实际问题中运用求根公式，提高他们解决实际问题的能力。
5.在课堂练习环节，设计分层练习，让不同水平的学生都能得到有效的巩固和提升。同时，鼓励学生相互讨论、交流，提高课堂互动性。
3.采用分组讨论的形式，让学生在小组合作中交流想法，培养团队合作能力及解决问题的策略。
4.设计实际应用题，让学生体验数学知识在实际生活中的应用，提高学以致用的能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学习的热情，特别是对于代数问题的探索和研究。
2.增强学生解决问题的自信心，特别是面对复杂问题时，能够保持冷静，运用所学知识分析问题、解决问题。
4.解决实际问题时，能够将问题转化为数学模型，进而使用公式法求解一元二次方程。
（二）过程与方法
在教学过程中，引导学生通过以下方法来达成学习目标：
1.通过探索一元二次方程的根与系数的关系，培养学生观察、分析、归纳的思维能力。
2.运用问题驱动法，设置不同难度层次的问题，让学生在实践中掌握公式法的步骤和要点。
五、作业布置
为了巩固学生对公式法求解一元二次方程的理解和应用，以及提高他们解决实际问题的能力，特布置以下作业：
1.基础巩固题：请学生巩固求根公式的记忆和基本运用。
2.提高应用题：设计一些需要运用判别式的提高题，让学生在实际问题中学会判断方程有几个解以及解的性质，提高他们分析和解决问题的能力。
5.小组合作题：分组布置一道综合性的大题，要求学生在小组内合作完成，通过讨论、分析、共同求解，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
人教版九年级数学上册：《公式法》课时提升作业(含答案)
课时提升作业公式法(30 分钟50 分)一、选择题 ( 每小题 4 分, 共 12 分)1.(20XX ·泰州中考 ) 下列一元二次方程中 , 有两个不相等的实数根的方程是 ()A.x 2-3x+1=0B.x 2 +1=0C.x 2-2x+ 1=0D.x 2 +2x+3=0【解析】选 A. 选项 A 中的 b2-4ac>0, 所以方程有两个不相等的实数根; 选项 B 中的 b2 -4ac<0,所以方程没有实数根; 选项 C 中的 b2-4ac=0, 所以方程有两个相等的实数根;选项 D 中的2所以方程没有实数根 .b -4ac<0,22则 m的值为 ()2. 关于 x 的方程 x +mx-2m=0 的一个根为 1,A.1B.C.1 或D.1 或-2【解析】选 D.把 x=1 代入方程可得 1+m-2m=0,2∴2m-m-1=0,m== ,解得 m=1或- .3.(20XX ·滨州中考 ) 对于任意实数 k, 关于 x 的方程 x2-2(k+1)x-k2+2k-1=0 的根的情况为 ()A.有两个相等的实数根B.没有实数根C.有两个不相等的实数根D.无法确定【解题指南】解决本题的关键(1)确定各项的系数 . 虽然本题含有 x2 ,k 2, 由于是关于 x 的方程 , 我们只把 x 当作未知数 , 把 k 当作常量 . 对于本题 ,a=1,b=-2(k+1),c=-k2+2k-1.(2 ) 计算, 并与 0 相比较得到方程根的情况 .【解析】选 C. ∵b2-4ac=4(k+1) 2-4 × (-k 2+2k-1)=8k 2+8>0, ∴这个方程有两个不相等的实数根 . 【互动探究】把题干中的一次项系数换为“ -2k ”, 常数项换为“ 2k-1 ”, 判断关于 x 的方程的根的情况 .【解析】变化后的方程x2-2kx+(2k-1)=0,b2-4ac=4k 2-4(2k-1)=4k2-8k+4=4(k-1)2≥0,∴方程有两个不相等的实根或两个相等的实根.【知识归纳】说明的值与0 的关系的方法1.一元二次方程根的情况是由的符号决定的 , 在判断一元二次方程根的情况时 , 只要判断出的符号即可 .22. 当方程系数中含有字母时 , 一般利用配方法将 b -4ac 化为完全平方式或完全平方式加上 ( 减去 ) 一个常数的形式 , 利用平方的非负性 , 说明的值与 0 的关系 ( 有时还需要对字母进行讨论).二、填空题 ( 每小题 4 分, 共 12 分)4.(20XX ·郴州中考 ) 已知关于 x 的一元二次方程 x2+bx+b-1=0 有两个相等的实数根 , 则 b 的值是.【解析】因为一元二次方程有两个相等的实数根, 所以 b2 -4(b-1)=0,整理得 ,b 2-4b+4=0, 所以 b=2.答案: 22的解为.5. 一元二次方程 2x -3x+1=0【解析】∵a=2,b=-3,c=1,b2 -4ac=(-3)2-4 ×2×1=1>0,∴x===,即 x1=1,x 2= .答案 : x1=1,x 2=6. 关于 x 的一元二次方程 (a-1)x 2+x+a2+3a-4=0 有一个实数根是2所以 a=, 解得 a1=-4,a 2=1, 当 a=1 时, 方程不是一元二次方程x=0. 则 a 的值为, 舍去 , 所以 a=-4..答案: -4【易错提醒】在解决此类题目的过程中 , 容易忽视一元二次方程条件 , 漏掉二次项系数不为 0. 【知识归纳】一元二次方程有实数根的条件一元二次方程 ax2+bx+c=0 有实数根的条件是三、解答题 (共 26分)27.(8 分)(20XX ·南充中考 ) 关于 x 的一元二次方程为 (m-1)x -2mx+m+1=0.(1)求出方程的根 .(2)m 为何整数时 , 此方程的两个根都为正整数?【解析】 (1) 根据题意 , 得 m≠1.=(-2m) 2-4(m-1)(m+1)=4,则 x =,x2=1.1(2) 由(1)知,x 1==1+,∵方程的两个根都为正整数 , ∴是正整数 ,∴m-1=1 或 m-1=2,解得 m=2或 3.即 m等于 2 或 3 时, 此方程的两个根都为正整数 .8.(8 分) 在等腰△ ABC中, 三边分别为 a,b,c,其中 a=5, 若关于 x 的方程 x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根 , 求△ ABC的周长 .【解析】∵关于 x 的方程 x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根 , ]∴(b+2) 2 -4 ×1×(6-b)=0,整理得 :b 2+8b-20XX,解得 :b 1=2,b 2=-10( 舍去 ),∵a=5,b=2, △ABC为等腰三角形 , ∴ c=5,∴△ ABC的周长为 :5+2+5=12.【变式训练】已知 a,b,c是△ ABC的三边长,且方程a(1+x2)+2bx-c(1-x2)=0 的两根相等 , 问△ABC是什么三角形 ?【解析】由方程 a(1+x 2)+2bx-c(1-x 2)=0, 得 a+ax2+2bx-c+cx 2 =0, 整理得 ,(a+c)x 2+2bx+a-c=0, 因为方程有两个相等的根 , 所以 (2b) 2 -4(a+c)(a-c)=4b2-4a 2+4c2 =4(b2-a 2+c2)=0, 即 b2+c2=a2, 所以该三角形是直角三角形 .【培优训练】9.(10 分 )(20XX ·杭州中考 ) 当 x 满足条件时, 求出方程 x2 -2x-4=0 的根 .【解析】解 x+1<3x-3 得,x>2;解 (x-4)< (x-4) 得 ,x<4.所以 2<x<4.方程 x2-2x-4=0, 由于 a=1,b=-2,c=-4,b2 -4ac=4+16=20XX∴x==1±,∴x1=1+,x 2=1-,∵2<<3, 而2<x<4,∴x=1+.。
2020-2021学年九年级上学期期末数学提高训练题 (5)(含答案解析)
2020-2021学年九年级上学期期末数学提高训练题 (5)一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是()A. B. C. D.2.方程x2+x=0的解是()A. x1=x2=0B. x1=x2=1C. x1=0，x2=1D. x1=0，x2=−13.下列图形：从中任取一个是中心对称图形的概率是()A. 14B. 12C. 34D. 14.“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是()A. 确定事件B. 必然事件C. 不可能事件D. 不确定事件5.下列说法正确的是()A. 袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球，从中随机抽出1个球，一定是红球B. 天气预报“明天降水概率10％”，是指明天有10％的时间会下雨C. 某地发行一种福利彩票，中奖概率是千分之一．那么，买这种彩票1000张，一定会中奖D. 连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第6次仍然可能正面朝上6.在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx+2b与y=−ax+b的图象可能是()A.B.C.D.7.如图，四边形ABDC是⊙O的内接四边形，连接BO、CO，若∠BOC=116°，则∠CDB的度数为()A. 116°B. 122°C. 128°D. 112°8.如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD=30°，BO=4，则弧BD的长为()A. 23π B. 43π C. 2π D. 83π9.如图，从一块直径为24cm的圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，使点A，B，C在圆周上，将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是()A. 12cmB. 3√2cmC. 6cmD. 2√3cm10.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(1,0)，对称轴为直线x=−1，下列结论：①abc>0；②b2−4ac>0；③a−b+c<0；④函数图象经过点(−3,0)；⑤8a+c>0.其中，正确结论的个数是()A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.直角坐标系中，点A(−1,2)关于原点对称的点坐标为______．12.一个圆锥的母线长为5，高为4，则这个圆锥的侧面积是______．13.已知A(0,3)、B(2,3)是抛物线y=−x2+bx+c上的两点，则该抛物线的顶点坐标是．14.在国家宏观调控下，某市商品房成交价由今年9月份的14000元/m2下降到11月份的11340元/m2.则今年10、11两月平均每月降价的百分率是____．15.一只蚂蚁在如图所示的树上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机选择一条路径，则共有种路径可供选择，它能获得食物的路径有种.16.如图，过⊙O上一点C作⊙O的切线，交⊙O直径AB的延长线于点D.若∠D=40°，则∠A的度数为______．17.如图，将△ABC绕点B顺时针旋转，点A的对应点为点A1，点C的对应点为点C1，当点A1恰好落在边BC上时，连接CC1，若∠ABC=40°，则∠C1CB的度数为______．18.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(−1,1)，B(0,−2)，C(1,0)，点P(0,2)绕点A旋转180°得到点P1，点P1绕点B旋转180°得到点P2，点P2绕点C旋转180°得到点P3，点P3绕点A旋转180°得到点P4，…，按此作法进行下去，则点P2018的坐标为______．三、计算题（本大题共2小题，共24.0分）19.不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球(除颜色不同外，其它都一样).其中红球2个，蓝球1个，现在从中任意摸出一个红球的概率为1．2(1)求袋中黄球的个数；(2)第一次摸出一个球(不放回)，第二次再摸出一个球，请用树状图或列表法求两次摸出的都是红球的概率．20.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC为直径，BD⌒=AD⌒，DE⊥BC，垂足为E．(1)判断直线ED与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若CE=1，AC=4，求阴影部分的面积．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）21.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2,0)，点B(1,3)．(1)画出将△OAB绕原点顺时针旋转90°后所得的△OA1B1，并写出点A1，B1的坐标；(2)画出△OAB关于原点O的中心对称图形△OA2B2，并写出点A2，B2的坐标．22.如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，延长BC至点D，使CD=AC，连接AD交⊙O交于点E，连接BE，CE．(1)求证：AE=CE；(2)若CE//AB，求证：DE2=AE⋅AD．23.一只纸杯由于上下的大小不一，将它从一定高度下掷时，落地反弹后可能是杯口朝上，可能是杯口朝下，也可能是横卧.为了估计出杯子横卧的概率，同学们做了掷纸杯的试验，试验数据如下表：试验次数20406080100120140160纸杯横卧次数14384752667888相应频率0.70.450.630.590.520.560.55(1)请将表格补充完整；(2)如图，画出纸杯横卧的频率折线统计图；(3)如果试验继续进行下去，根据上表的数据，这个试验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是多少(精确到0.01)．24.一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)求每天的销售利润W(元)与销售价x(元/件)之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？25.如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD．图①图②图③(1)猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；(2)现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α(0∘<α<90∘)，得到图②，AE与MP、BD分别交于点G、H.请判断(1)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明．26.已知抛物线y=ax2+bx+8(a≠0)经过点A(−3,−7)，B(3,5)，顶点为点E，抛物线的对称轴与直线AB交于点C．(1)求直线AB的解析式和抛物线的解析式．(2)在抛物线上A，E两点之间的部分(不包含A，E两点)，是否存在点D，使得S△DAC=2S△DCE？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．(3)若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P的坐标．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；B、是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项正确；D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；故选：C．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2.答案：D解析：解：x2+x=0x(x+1)=0，解得：x1=0，x2=−1．故选：D．利用因式分解法解方程得出答案．此题主要考查了一元二次方程的解法，正确分解因式是解题关键．3.答案：C解析：本题考查中心对称图形的意义和随机事件的概率的计算，判定准确，用好概率公式是正确解答的前提，先判断四个图形中是中心对称图形的个数，再求任取一个是中心对称图形的概率．解：题图中从左向右第1、3、4个图形是中心对称图形，．所以任取一个是中心对称图形的概率是34故选C．4.答案：D解析：本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．解：“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是随机事件，属于不确定事件，故选：D．5.答案：D解析：本题考查的是概率的意义，熟知一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率是解答此题的关键．根据概率的意义对各选项进行逐一分析即可．解：A、袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球，从中随机抽出一个球，一定是红球的概率是5，故本选项错误；6B、天气预报“明天降水概率10%”，是指明天有10%的概率会下雨，故本选项错误；C、某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票1000张，可能会中奖，故本选项错误；D、连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上，故本选项正确．故选D．6.答案：D解析：此主要考查了一次函数、二次函数图象与系数的关系；解题的方法是首先根据其中一次函数图象确定a、b的符号，进而判断另一个函数的图象是否符合题意；解题的关键是灵活运用一次函数、二次函数图象与系数的关系来分析、判断、解答．首先根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论解析，即可解决问题．解：A、一次函数的图象经过一、二、四象限，则−a<0，即a>0，b>0，所以函数y=ax2+bx+2b 的图象开口向上，对称轴x<0，与y轴的交点位于直线的上方，由ax2+bx+2b=−ax+b整理得ax2+(a+b)x+b=0，由于Δ=(a+b)2−4ab=(a−b)2≥0，则两图象有交点，故A错误；B、一次函数的图象经过二、三、四象限，则−a<0，即a>0，b<0，所以函数y=ax2+bx+2b开口向上，对称轴x>0，故B错误；C、一次函数的图象经过一、二、三象限，则−a>0，即a<0，b>0，所以函数y=ax2+bx+2b开口向下，对称轴x>0，故C错误；D、一次函数的图象经过二、三，四象限，则−a<0，即a>0，b<0，所以函数y=ax2+bx+2b 开口向上，对称轴x>0，故D正确．故选D．7.答案：B解析：本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆周角定理求出∠A，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．解：由圆周角定理得，∠A=12∠BOC=12×116°=58°，∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形，∴∠CDB=180°−∠A=122°，故选：B．8.答案：D解析：本题主要考查圆周角定理，弧长公式，先计算圆心角为120°，根据弧长公式，可得结果．解：如图，连接OD．∵∠ABD=30°，∴∠AOD=2∠ABD=60°，∴∠BOD=120°，∴弧BD的长=120π×4180=8π3，故选D．9.答案：B解析：本题综合考查有关扇形弧长和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：(1)圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；(2)圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键.圆的半径为12cm，求出AB的长度，用弧长公式可求得弧BC的长度，圆锥的底面圆的半径=扇形的弧长÷2π．解：∵∠A=90°，∴BC是直径，BC=24，∵AB=AC，∴AB=√2=√2=12√2(cm)，∴BC⏜的长度=90π×12√2180=6√2π，∴圆锥的底面圆的半径=6√2π÷(2π)=3√2(cm)．故选B．10.答案：C解析：本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(0,c)；△决定抛物线与x轴交点个数：△=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．①由抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，与y轴的交点B的范围，即可得出a>0、b<0、c<0，进而可得出abc>0，结论①错误；②抛物线与x轴交点个数得到结论②正确；由图象即可判断结论③正确；根据抛物线与x轴交于点A的坐标、对称轴和抛物线的对称性，可得到抛物线与x轴的另一个交点，选项④正确；由于当x=2时，y>0，则4a+2b+c<0，然后把b=2a代入得到8a+c>0，于是可对⑤进行判断．解：①∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，与y轴的交点B在(0,−2)和(0,−1)之间(不包括这两点)，=1，c<0，∴a>0，−b2a∴b=−2a<0，∴abc>0，结论①错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2−4ac>0，结论②正确；∵当x=−1时，y=a−b+c此时最小，为负数，故结论③正确；∵抛物线与x轴交于点A(1,0)，对称轴为直线x=−1，根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的另一个交点为(−3,0)，故选项④正确；∵当x=2时，y>0，∴4a+2b+c<0，=−1，即b=2a，∵−b2a∴4a+4a+c>0，即8a+c>0，所以⑤正确．故选C．11.答案：(1,−2)解析：本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．根据“平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于原点的对称点是(−x,−y)，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，∴点(−1,2)关于原点对称的点的坐标是(1,−2)．故答案为：(1,−2)．12.答案：15π解析：本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．首先根据勾股定理求得圆锥的底面半径，从而得到底面周长，然后利用扇形的面积公式即可求解．【解得】解：圆锥的底面半径是：√52−42=3，圆锥的底面周长是：2×3π=6π，×6π×5=15π．则12故答案为15π．13.答案：(1,4)解析：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征的应用，能求出函数的解析式是解此题的关键．把A、B的坐标代入函数解析式，即可得出方程组，求出方程组的解，即可得出解析式，化成顶点式即可．解：∵A(0,3)，B(2,3)是抛物线y=−x2+bx+c上两点，,∴代入得：{c=3−4+2b+c=3解得：b=2，c=3，∴y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，顶点坐标为(1,4)，故答案为：(1,4)．14.答案：10％解析：本题考查了一元二次方程的应用，此题和实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键．设10、11两月平均每月降价的百分率是x，那么10月份商品房成交价为14000(1−x)，11月份商品房成交均价为14000(1−x)2，然后根据11月份的商品房成交价为11340元/m2即可列出方程解决问题．设10、11两月平均每月降价的百分率是x，依题意有14000(1−x)2=11340，即(1−x)2=0.81，解得x1=0.1=10%，x2=1.9(舍去)．故答案为：10%15.答案：9;3解析：此题考查了树状图法，首先观察图，根据题意画出树状图，由树状图可得共有所有等可能的结果以及它获得食物的情况．解：画树状图如图：共有9种等可能的结果，它能获得食物的结果有3种．16.答案：25°解析：解：连接OC，∵CD切⊙O于C，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∵∠D=40°，∴∠COD=180°−90°−40°=50°，∵OA=OC，∴∠A=∠OCA，∵∠A+∠OCA=∠COD=50°，∴∠A=25°．故答案为25°．连接OC，根据切线的性质求出∠OCD，求出∠COD，求出∠A=∠OCA，根据三角形的外角性质求出即可．本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，切线的性质，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生运用这些性质进行推理的能力，题型较好，难度也适中，是一道比较好的题目．17.答案：70°解析：解：∵将△ABC绕点B顺时针旋转，∴∠ABC=∠A1BC1=40°，BC=BC1，∴∠C1CB=70°由旋转的性质可得∠ABC=∠A1BC1=40°，BC=BC1，即可求∠C1CB=70°．本题主要考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．18.答案：(2,−4)．解析：解：如图所示，P1(−2,0)，P2(2,−4)，P3(0,4)，P4(−2,−2)，P5(2,−2)，P6(0,2)，发现6次一个循环，∵2018÷6=336…2，∴点P2018的坐标与P2的坐标相同，即P2017(2,−4)，故答案为(2,−4)．画出P1～P6，寻找规律后即可解决问题．本题考查坐标与图形的性质、点的坐标等知识，解题的关键是循环探究问题的方法，属于中考常考题型．19.答案：解：(1)设袋中黄球的个数为x个，根据题意得22+1+x =12，解得x=1，所以袋中黄球的个数为1个；(2)画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的都是红球的结果数为2，所以两次摸出的都是红球的概率=212=16．解析：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．(1)袋中黄球的个数为x个，根据概率公式得到22+1+x =12，求出x即可；(2)先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次摸出的都是红球的结果数，然后根据概率公式计算即可．20.答案：解：(1)直线ED与⊙O相切．证明：连结OD，如图，∵弧BD=弧AD，∴∠BAD=∠ACD，∵∠DCE=∠BAD，∴∠ACD=∠DCE，∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，而∠OCD=∠DCE，∴∠DCE=∠ODC，∴OD//BC，∵DE⊥BC，∴OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线；(2)作OH⊥BC于H，则四边形ODEH为矩形，∴OD=EH，∵CE=1，AC=4，∴OC=OD=2，∴CH=HE−CE=2−1=1，在Rt△OHC中，∠HOC=30°，∴∠COD=60°，∴阴影部分的面积=S扇形OCD−S△OCD=60×π×22360−√34×22=2π−√3．3解析：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可．也考查了扇形的计算．(1)连结OD，如图，利用内错角相等证明OD//BC，而DE⊥BC，则OD⊥DE，于是根据切线的判定定理可得DE为⊙O的切线；(2)作OH⊥BC于H，易得四边形ODEH为矩形，所以OD=EH=2，则CH=HE−CE=1，于是有∠HOC=30°，得到∠COD=60°，然后根据扇形面积公式、等边三角形的面积公式和阴影部分的面积=S扇形OCD−S△OCD进行计算．21.答案：解：(1)如图，△OA1B1为所作，点A1，B1的坐标分别为(0,−2)，(3,−1)；(2)如图，△OA2B2为所作，点A2，B2的坐标分别为(−2,0)，(−1,−3)；解析：本题考查了作图：旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形，也考查了中心对称图形．(1)根据网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A1、B1，从而得到△OA1B1，再写出点A1，B1的坐标；(2)利用关于原点对称的点的坐标特征写出点A2，B2的坐标，然后描点即可得到△OA2B2．22.答案：解：(1)∵AC=CD，∴∠CAD=∠ADC，∴∠ACB=∠CAD+∠ADC=2∠CAD，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=2∠CAD，∵∠CAD=∠EBC，∴∠ABC=2∠EBC，∴∠ABE=∠CBE，∴AE=CE (2)∵CE//AB，∴∠DCE=∠ABC，∵∠CED=∠ABC，∴∠CED=∠DCE ∴CD=DE．又由CE//AB，∴△DCE∽△DBA，∴DEAD =CEAB，由(1)知，AE=CE，∵AB=AC=CD=DE，∴DEAD =AEDE，∴DE2=AE⋅AD．解析：(1)由等腰三角形的性质得出∠CAD=∠ADC，∠ABC=∠ACB再利用同弧所对的圆周角相等，可得∠CAD=∠ADC=∠DBE，进而得出∠EBD=∠ADC=∠ABE，即可得出结论；(2)由CE//AB得出，DEAD =CEAB，再用等量代换即可．此题是相似三角形的性质和判定，主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，角平分线的性质，解本题的关键是得出∠ABC=2∠EBC．23.答案：解：(1)40×0.45=18，66÷120=0.55，故从左到右，从上到下依次填18；0.55；(2)频率折线统计图如图所示；(3)根据表中数据，试验频率为0.7、0.45、0.63、0.59、0.52、0.55、0.56、0.55，如果试验继续进行下去，那么这个试验的频率将稳定在0.55左右，故估计概率是0.55．解析：本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．作图时应先描点，再连线．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率．频率=所求情况数与总情况数之比．(1)根据图中信息，用频数除以实验次数，得到频率，由于试验次数较多，可以用频率估计概率；(2)将频率作为纵坐标，试验次数作为横坐标，描点连线，可得折线图；(3)根据(2)折线图，估计出概率．24.答案：解：(1)设y 与x 的函数解析式为y =kx +b ，将(10,30)、(16,24)代入，得：{10k +b =3016k +b =24， 解得：{k =−1b =40， 所以y 与x 的函数解析式为y =−x +40(10≤x ≤16)；(2)根据题意知，W =(x −10)y=(x −10)(−x +40)=−x 2+50x −400=−(x −25)2+225，∵a =−1<0，∴当x <25时，W 随x 的增大而增大，∵10≤x ≤16，∴当x =16时，W 取得最大值，最大值为144，答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．解析：本题主要考查用待定系数法求一次函数的解析式与二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质．(1)利用待定系数法求解可得y关于x的函数解析式；(2)根据“总利润=每件的利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得．25.答案：解：(1)PM=PN，PM⊥PN，理由如下：∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．在△ACE和△BCD中{AC=BC∠ACB=∠ECD=90°CE=CD，∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴AE=BD，∠EAC=∠CBD，∵点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，∴PM=12BD，PN=12AE∴PM=PM，∵PM//BD，PN//AE，AE⊥BD，∴∠NPD=∠EAC，∠MPA=∠BDC，∠EAC+∠BDC=90°，∴∠MPA+∠NPC=90°，∴∠MPN=90°，即PM⊥PN；(2)∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．∴∠ACE=∠BCD．∴△ACE≌△BCD．∴AE=BD，∠CAE=∠CBD.又∵∠AOC=∠BOE，∠CAE=∠CBD，∴∠BHO=∠ACO=90°．∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，∴PM=12BD，PM//BD；PN=12AE，PN//AE．∴PM=PN．∴∠MGE+∠BHA=180°．∴∠MGE=90°．∴∠MPN=90°．∴PM⊥PN.(3)PM=kPN∵△ACB和△ECD是直角三角形，∴∠ACB=∠ECD=90°．∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．∴∠ACE=∠BCD．∵BC=kAC，CD=kCE，∴BCAC =CDCE=k．∴△BCD∽△ACE．∴BD=kAE.∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，∴PM =12BD ，PN =12AE ．∴PM =kPN ．解析：本题考查的是几何变换综合题，熟知等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定和性质和三角形中位线定理的运用，熟记和三角形有关的各种性质定理是解答此题的关键．(1)由等腰直角三角形的性质易证△ACE≌△BCD ，由此可得AE =BD ，再根据三角形中位线定理即可得到PM =PN ，由平行线的性质可得PM ⊥PN ；(2)(1)中的结论仍旧成立，由(1)中的证明思路即可证明；(3)PM =kPN ，由已知条件可证明△BCD∽△ACE ，所以可得BD =kAE ，因为点P 、M 、N 分别为AD 、AB 、DE 的中点，所以PM =12BD ，PN =12AE ，进而可证明PM =kPN ．26.答案：解：(1)设直线AB 的解析式为y =kx +m ，把点A(−3,−7)，B(3,5)代入，得{−7=−3k +m 5=3k +m， 解得：{k =2m =−1， ∴直线AB 的解析式为y =2x −1，把点A(−3,−7)，B(3,5)代入抛物线y =ax 2+bx +8(a ≠0)，得{−7=9a −3b +85=9a +3b +8， 解得{a =−1b =2， ∴抛物线的解析式为y =−x 2+2x +8．(2)∵y =−x 2+2x +8=−(x −1)2+9，∴顶点E(1,9)，设点D(m,−m 2+2m +8)，C(1,1)，过点D 作y 轴的平行线交直线AB 于点M ，则M(m,2m −1)，∵S△DAC=1×(−m2+2m+8−2m+1)×4=−2m2+18，2×8×(1−m)=4−4m，S△DCE=12∵S△DAC=2S△DCE∴−2m2+18=2(4−4m)，解得m=−1或m=5(舍去)，∴存在点D(−1,5)，使得S△DAC=2S△DCE(3)A(−3,−7)，E(1,9)，设点P(x,y)，当以点A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，分三种情况讨论：①当AE为对角线时，根据中点坐标公式可得点Q坐标为(−2−x,2−y)，∵点Q在x轴上，∴y=2，当y=2时，−x2+2x+8=2，解得x=1+√7或x=1−√7，∴点P坐标为(1+√7,2)或(1−√7,2)，②当AP为对角线时，根据中点坐标公式可得点Q坐标为(x−4,y−16)，∵点Q在x轴上，∴y=16，当y=16时，−x2+2x+8=16，方程无解，舍去③当PE为对角线时，根据中点坐标公式可得点Q坐标为(x+4,y+16)，∵点Q在x轴上，∴y=−16，当y=−16时，−x2+2x+8=−16，解得x=6或x=−4∴点P坐标为(6,−16)或(−4,−16)，综上所述，点P的坐标为(1+√7,2)或(1−√7,2)或(6,−16)或(−4,−16)．解析：此题考查了用待定系数法求二次函数和一次函数表达式，还考查了坐标系中三角形的面积计算，平行四边形性质以及分类讨论思想．合理的分类讨论来表示出点D的坐标是解决(3)问的关键．(1)把点A(−3,−7)，B(3,5)的坐标分别代入一次函数表达式和二次函数表达式，即可得出直线AB的解析式和抛物线的解析式；(2)设点D(m,−m2+2m+8)，分别用m的代数式表示出S△DAC和S△DCE，再根据S△DAC=2S△DCE列出方程，解方程即可得出点D的坐标；(3)设点P(x,y)，分三种情形讨论：①当AE为对角线时；②当AP为对角线时；③当PE为对角线时，根据中点坐标公式求得点Q的坐标，再根据点Q在x轴上，即可得出点P的坐标．。
最新北师大版九年级数学上册全册课时练习(附详细解析过程)
北师大版九年级数学上册全册课时练习1.1菱形的性质与判定 (1)1.2矩形的性质与判定 (11)1.3正方形的性质与判定 (19)2.1 认识一元二次方程 (28)2.2 用配方法求解一元二次方程 (31)2.3 用公式法求解一元二次方程 (36)2.4 用因式分解法求解一元二次方程 (40)2.5 一元二次方程的根与系数的关系 (44)2.6 应用一元二次方程 (48)3.1 用树状图或表格求概率 (54)3.2用频率估计概率 (65)4.1 成比例线段 (72)4.3相似多边形 (75)4.4 探索三角形相似的条件 (81)*4.5相似三角形判定定理的证明 (93)4.6利用相似三角形测高 (100)4.7相似三角形的性质 (108)4.8图形的位似 (115)5.1投影 (125)5.2视图 (133)6.1反比例函数 (142)6.2反比例函数的图象与性质 (148)6.3 反比例函数的应用 (158)1.1菱形的性质与判定一、选择题（本题包括12个小题.每小题只有1个选项符合题意）1. 如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则的△AEF的面积是（）A. 4B. 3C. 2D.2. 如图，在菱形ABCD中，AB=8，点E，F分别在AB，AD上，且AE=AF，过点E作EG∥AD 交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC于点H，EG与FH交于点O．当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时，AE的值为（）A. 6.5B. 6C. 5.5D. 53. 如图，BD是菱形ABCD的对角线，CE⊥AB交于点E，交BD于点F，且点E是AB中点，则tan∠BFE的值是（）A. B. 2 C. D.4. 如图，在菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于（）A. 3.5B. 4C. 7D. 145. 如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，则菱形ABCD的面积是（）A. 18B. 18C. 36D. 366. 如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（-3，4），顶点C在x轴的负半轴上，函数y =（x＜0）的图象经过顶点B，则k的值为（）A. -12B. -27C. -32D. -367. 菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A. 两组对边分别平行B. 两组对角分别相等C. 对角线互相平分D. 对角线互相垂直8. 某校的校园内有一个由两个相同的正六边形（边长为2.5m）围成的花坛，如图中的阴影部分所示，校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示，并在新扩充的部分种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为（）A. 20mB. 25mC. 30mD. 35m9. 如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是（）A. 108°B. 72°C. 90°D. 100°10. 菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的面积是（）A. 10B. 20C. 24D. 4811. 在菱形ABCD中，下列结论错误的是（）A. BO=DOB. ∠DAC=∠BACC. AC⊥BDD. AO=DO12. 如图，在菱形ABCD中，P、Q分别是AD、AC的中点，如果PQ=3，那么菱形ABCD的周长是（）A. 30B. 24C. 18D. 6二、填空题（本题包括4个小题）13. 如图，AD是△ABC的高，DE∥AC，DF∥AB，则△ABC满足条件________时，四边形AEDF 是菱形．14. 如图，在△ABC中，已知E、F、D分别是AB、AC、BC上的点，且DE∥AC，DF∥AB，要使四边形AEDF是菱形，在不改变图形的前提下，你需添加的一个条件是________就可以证明这个多边形是菱形15. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．请你添加一个适当的条件：_________，使四边形ABCD成为菱形．16. 如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是_________三、解答题（本题包括4个小题）17. 如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CE是中线，△ACD与△ACE关于直线AC对称．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）求证：BC=ED．18. 如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别为AC、BC的中点．（1）求证：四边形EFCD是菱形；（2）如果AB=8，求D、F两点间的距离．19. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．20. 如图，由两个等宽的矩形叠合而得到四边形ABCD．试判断四边形ABCD的形状并证明答案1.【答案】B【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，∠B=∠D=60°，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴BC×AE=CD×AF，∠BAE=∠DAF=30°，∴AE=AF，∵∠B=60°，∴∠BAD=120°，∴∠EAF=120°-30°-30°=60°，∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF，∠AEF=60°，∵AB=4，∴AE=AB×sin60°=∴EF=AE=∴AM=AE•sin60°=3，∴△AEF的面积是：EF•AM=××3=.故选:B.2.【答案】C【解析】根据题意可得四边形AEOF和四边形CGOH为菱形，且OH=EB，设AE=x，则BE=8－x，根据菱形的周长之差为12，可得两个菱形的边长之差为3，即x－（8－x）=3，解得：x=5．5 3. 【答案】D【解析】根据菱形的性质，在菱形ABCD中，AB=BC，E为AB的中点，因此可知BE=，又由CE⊥AB，可知△BCA为直角三角形，∠BCE=30°，∠EBC=60°，再由菱形的对角线平分每一组对角，可得∠EBF=∠EBC=30°，因此可求∠BFE=60°，进而可得tan∠BFE=．故选D 4. 【答案】A【解析】根据菱形的四条边都相等求出AB，再根据菱形的对角线互相平分可得OB=OD，然后判断出OE是△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可．∵菱形ABCD的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵E为AD边中点，∴OE是△ABD 的中位线，∴OE=AB=×7=3.5．故选A．5. 【答案】B【解析】过点A作AE⊥BC于E，如图，∵在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，∴∠BAE=30°，∵AE⊥BC，∴AE=，∴菱形ABCD的面积是=，故选B．6. 【答案】C【解析】∵A（﹣3，4），∴OA==5，∵四边形OABC是菱形，∴AO=CB=OC=AB=5，则点B的横坐标为﹣3﹣5=﹣8，故B的坐标为：（﹣8，4），将点B的坐标代入得，4=，解得：k=﹣32．故选C．7. 【答案】D【解析】A、不正确，两组对边分别平行；B、不正确，两组对角分别相等，两者均有此性质正确；C、不正确，对角线互相平分，两者均具有此性质；D、菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质．故选D．8. 【答案】C【解析】如图，∵花坛是由两个相同的正六边形围成，∴∠FGM=∠GMN=120°，GM=GF=EF,∴∠BMG=∠BGM=60°，∴△BMG是等边三角形，∴BG=GM=2.5（m），同理可证：AF=EF=2.5（m）∴AB=BG+GF+AF=2.5×3=7.5（m），∴扩建后菱形区域的周长为7.5×4=30（m），故选C．9. 【答案】B【解析】如图，连接AP，∵在菱形ABCD中，∠ADC=72°，BD为菱形ABCD的对角线，∴∠ADP=∠CDP=∠ADC=36°.∵AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，∴PA=PD.∴∠DAP=∠ADP=36°.∴∠APB=∠DAP+∠ADP=72°.又∵菱形ABCD是关于对角线BD对称的，∴∠CPB=∠APB=72°.故选B.点睛：连接AP，利用线段垂直平分线的性质和菱形的性质求得∠APB的度数是解本题的基础，而利用通常容易忽略的“菱形是关于对称轴所在直线对称的”，由轴对称的性质得到∠CPB=∠APB才是解决本题的关键.10.【答案】C【解析】由菱形的两条对角线的长分别是6和8，根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得答案．∵菱形的两条对角线的长分别是6和8，∴这个菱形的面积是：×6×8=24．故选C．11. 【答案】D【解析】根据菱形的性质：“菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角”可知：选项A、B、C的结论都是正确的，只有选项D的结论不一定成立.故选D.12. 【答案】B【解析】∵P，Q分别是AD，AC的中点，∴PQ是△ADC的中位线，∴DC=2PQ=6.又∵在菱形ABCD中，AB=BC=AD=CD，∴C菱形ABCD=6+6+6+6=24.故选B.13. 【答案】AB=AC或∠B=∠C【解析】∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形.所以当四边形AEDF中有一组邻边相等时，它就是菱形了.由此在△ABC中可添加条件：（1）AB=AC或（2）∠B=∠C.（1）当添加条件“AB=AC”时，∵AD是△ABC的高，AB=AC，∴点D是BC边的中点，又∵DE∥AC，DF∥AB，∴点E、F分别是AB、AC的中点，∴AE=AB，AF=AC，∴AE=AF，∴平行四边形AEDF 是菱形.（2）当添加条件“∠B=∠C”时，则由∠B=∠C可得AB=AC，同（1）的方法可证得：AE=AF，∴平行四边形AEDF是菱形.14. 【答案】AB=AC，答案不唯一【解析】根据DE∥AC，DF∥AB，可直接判断出四边形AEDF是平行四边形，要使其变为菱形，只要邻边相等即可，从而可以得出．条件AE=AF（或AD平分角BAC，等）∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，又AE=AF，∴四边形AEDF是菱形．15. 【答案】AB=AD，答案不唯一【解析】由已知条件可证四边形ABCD是平行四边形，而要使平行四边形是菱形，根据菱形的判定方法可添加：（1）四边形ABCD中，有一组邻边相等；（2）四边形ABCD的对角线互相垂直；因此，本题的答案不唯一，如可添加：AB=AD，证明如下：∵四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．∴四边形ABCD是平行四边形.又∵AB=AD，∴平行四边形ABCD是菱形.点睛：本题方法不唯一，由已知条件可证得四边形ABCD是平行四边形，结合菱形判定方法中的：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线相等的平行四边形是菱形；就可得到本题添加条件的方法有3种：（1）直接添加四组邻边中的任意一组相等；（2）直接添加对角线AC⊥BD；（3）在题中添加能够证明（1）或（2）的其它条件.16. 【答案】菱形【解析】∵分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，∴AC=AD=BD=BC，∴四边形ADBC是菱形．故答案为：菱形．17. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由△ABC中，∠ACB=90°，CE是中线，可证得：CE=AE，再由△ACD与△ACE（2）由（1）可得DC∥BE，关于直线AC对称，可得AD=AE=CE=CD，从而可得四边形ADCE是菱形；DC=AE=BE，从而可证得：四边形BCDE是平行四边形，就可得到：BC=DE.（1）证明：∵∠C=90°，点E为AB的中点，∴EA=EC.∵△ACD与△ACE关于直线AC对称．∴△ACD≌△ACE，∴EA=EC=DA=DC，∴四边形ADCE是菱形；（2）∵四边形ADCE是菱形，∴CD∥AE且CD=AE，∵AE=EB，∴CD∥EB且CD=EB∴四边形BCDE为平行四边形，∴DE=BC．18. 【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）由△ABC是等边三角形，点E、F分别为AC、BC的中点可证得：EF=EC=FC；由△DEC是等边三角形可得：DE=DC=EC，从而可得EF=FC=CD=DE，由此可得：四边形EFCD是菱形；（2）连接DF交AC于点G，由已知易证EF=EC=4，再由菱形的对角线互相垂直平分，可得EG=2，再由勾股定理可得：FG=，从而可得DF=.解：（1）∵△ABC与△CDE都是等边三角形∴AB=AC=BC，ED=DC=EC∵点E、F分别为AC、BC的中点∴EF=AB，EC=AC，FC=BC∴EF=EC=FC，∴EF=FC=ED=DC，∴四边形EFCD是菱形．（2）连接DF，与EC相交于点G，∵四边形EFCD是菱形，∴DF⊥EC，垂足为G ，EG=EC，∴∠EGF=90°，又∵AB=8， EF=AB，EC=AC，∴EF=4，EC=4，EG=2，∴GF=，∴DF=2GF=.19. 【答案】（1）证明见解析；（2）直角三角形．解：（1）四边形ABCD中，AB∥CD，过C作CE∥AD交AB于E，则四边形AECD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），因为AB∥CD，所以；AC平分∠BAD，所以，因此，所以AD=CD，所以四边形AECD是菱形.（2）由（1）知四边形AECD是菱形，所以AE=CE；点E是AB的中点，AE=BE，所以CE=AE=BE，所以△ABC是直角三角形（斜边上的中线等于斜边的一半是直角三角形）20. 【答案】四边形ABCD是菱形．证明见解析.【解析】过点A作AR⊥BC于点R，AS⊥CD于点S，由已知可得：AD∥BC，AB∥CD，从而得到四边形ABCD是平行四边形；由矩形纸条等宽可得AR=AS，由面积法可证得：BC=DC，从而可得：平行四边形ABCD是菱形.解：四边形ABCD是菱形．理由如下：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，由题意知：AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两个矩形等宽，∴AR=AS，∵S平行四边形ABCD=AR•BC=AS•CD，∴BC=CD，∴平行四边形ABCD是菱形.点睛：本题第一步容易证得四边形ABCD是平行四边形；第二步抓住题中条件“等宽的矩形”通过作辅助线AR⊥BC，AS⊥CD，就可得AR=AS，再用“面积法”证得：BC=CD是解决本题的关键.1.2矩形的性质与判定一、选择题（本题包括11个小题.每小题只有1个选项符合题意）1. 如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B 与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是（）A. 四边形ABCD由矩形变为平行四边形B. BD的长度增大C. 四边形ABCD的面积不变D. 四边形ABCD的周长不变2. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（）A. ∠ABC=90°B. AC=BDC. OA=OBD. OA=AD3. 如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为（）A. 17B. 18C. 19D. 204. 如图，矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为20cm，则这个矩形的一条较短边的长度为（）A. 10cmB. 8cmC. 6cmD. 5cm5. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠ACB=30°，AB=2，则BD的长为（）A. 4B. 3C. 2D. 16. 一个矩形被分成不同的4个三角形，其中绿色三角形的面积占矩形面积的15%，黄色的三角形的面积是212，则该矩形的面积为（）A. 602B. 702C. 1202D. 14027. 如图，矩形ABCD中，AC交BD于点O，∠AOD=60°，OE⊥AC．若AD=，则OE=（）A. 1B. 2C. 3D. 48. 矩形具有而菱形不具有的性质是（）A. 对角线相等B. 两组对边分别平行C. 对角线互相平分D. 两组对角分别相等9. 矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3cm和5cm的两部分，则此矩形的周长为（）A. 16cmB. 22cmC. 26cmD. 22cm或26cm10. 矩形的对角线所成的角之一是65°，则对角线与各边所成的角度是（）A. 57.5°B. 32.5°C. 57.5°，23.5°D. 57.5°，32.5°11. 过四边形的各个顶点分别作对角线的平行线，若这四条平行线围成一个矩形，则原四边形一定是（）A. 对角线相等的四边形B. 对角线垂直的四边形C. 对角线互相平分且相等的四边形D. 对角线互相垂直平分的四边形二、填空题（本题包括3个小题）12. 如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件__________（只添一个即可），使平行四边形ABCD是矩形．13. 平行四边形ABCD的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①∠ABC=90°；②AC⊥BD；③AB=BC；④AC平分∠BAD；⑤AO=DO．使得四边形ABCD是矩形的条件有________14. 木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为15cm，宽为8cm，对角线为17cm，这个桌面_________（填”合格”或”不合格”）三、解答题（本题包括5个小题）15. 如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE=CG，AH=CF．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）如果AB=AD，且AH=AE，求证：四边形EFGH是矩形16. 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD为BC边上的高，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AC，AE与DE交于点E，AB与DE交于点F，连结BE．求四边形AEBD的面积17. 如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F=45°．求证：四边形ABCD是矩形18. 有一块形状如图所示的玻璃，不小心把DEF部分打碎，现在只测得AB=60cm，BC=80cm，∠A=120°，∠B=60°，∠C=150°，你能设计一个方案，根据测得的数据求出AD的长吗？19. 如图，△ABC中，AB=AC，AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角的平分线，BE⊥AE．求证：AB=DE答案1. 【答案】C【解析】由题意可知，当向右扭动框架时，BD可伸长，故BD的长度变大，四边形ABCD由矩形变为平行四边形，因为四条边的长度不变，所以四边形ABCD的周长不变.原来矩形ABCD 的面积等于BC乘以AB，变化后平行四边形ABCD的面积等于底乘以高，即BC乘以BC边上的高，BC边上的高小于AB，所以四边形ABCD的面积变小了，故A,B,D说法正确，C说法错误.故正确的选项是C.2. 【答案】D【解析】本题考查了矩形的性质；熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键．矩形的性质：四个角都是直角，对角线互相平分且相等；由矩形的性质容易得出结论．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°，AC=BD，OA=AC，OB=BD，∴OA=OB，∴A、B、C正确，D错误3. 【答案】D【解析】∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，∴∠ABC=∠D=90°，CD=AB=5，BC=AD=12，OA=OB，OM为△ACD的中位线，∴OM=CD=2.5，AC==13，∵O是矩形ABCD 的对角线AC的中点，∴BO=AC=6.5,∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM=5+6+6.5+2.5=20，故选D．4. 【答案】D【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC=AC，OD=OB=BD，AC=BD，∴OA=OB，∵AC+BD=20，∴AC=BD=10cm，∴OA=OB=5cm，∵OA=OB，∠AOB=60°，∴△OAB是等边三角形，∴AB=OA=5cm，故选D．5. 【答案】A【解析】在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∵∠ACB=30°，AB=2，∴AC=2AB=2×2=4，∵四边形ABCD是矩形，∴BD=AC=4．故选A．6. 【答案】A【解析】黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的50%，而绿色三角形面积占矩形面积的15%，所以黄色三角形面积占矩形面积的（50%-15%）=35%，已知黄色三角形面积是21平方厘米，故矩形的面积=21÷（50%-15%）=21÷35%=60（cm2）．故选A．7.【答案】A【解析】∵四边形ABCD是矩形，∠AOD=60°，∴△ADO是等边三角形，∴OA=，∠OAD=60°，∴∠OAE=30°，∵OE⊥AC，∴△OAE是一个含30°的直角三角形，∴OE=1，故选A．8.【答案】A【解析】∵矩形具有的性质是：对角线相等且互相平分，两组对边分别平行，两组对角分别相等；菱形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，两组对角分别相等；∴矩形具有而菱形不具有的性质是：对角线相等．故选A．9. 【答案】D【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠AEB=∠ABE，∴AB=AE，当AE=3cm时，AB=AE=3=CD，AD=3cm+5cm=8cm=BC，∴此时矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=3cm+8cm+3cm+8cm=22cm；当AE=5cm时，AB=AE=5cm=CD，AD=3cm+5cm=8cm=BC，∴此时矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=5cm+8cm+5cm+8cm=26cm；故选D．10. 【答案】D【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AD∥BC，AB∥CD，AC=BD，AO=OC，OB=OD，∴OB=OA=OC=OD，∠OAB=∠OCD，∠DAO=∠OCB，∴∠OAD=∠ODA，∠OCB=∠OBC，∠ODC=∠OCD，∠OAB=∠OBA=×（180°﹣∠AOB）=×（180°﹣65°）=57.5°，∵∠ABC=90°，∴∠ACB=90°﹣57.5°=32.5°，即∠OAD=∠ODA=∠OBC=∠OCB=32.5°，∠OAB=∠OBA=∠ODC=∠OCD=57.5°，对角线与各边所成的角度是57.5°和32.5°，故选D．点睛：本题考查了矩形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质的应用，能正确运用矩形的性质进行推理是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等且互相平分．11. 【答案】B【解析】∵四边形EFGH是矩形，∴∠E=90°，∵EF∥AC，EH∥BD，∴∠E+∠EAG=180°，∠E+∠EBO=180°，∴∠EAO=∠EBO=90°，∴四边形AEBO是矩形，∴∠AOB=90°，∴AC⊥BD，故选B．12. 【答案】AC=BD．答案不唯一【解析】添加的条件是AC=BD，理由是：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：AC=BD．答案不唯一．13.【答案】①⑤【解析】要使得平行四边形ABCD为矩形添加：①∠ABC=90°；⑤AO=DO2个即可；故答案为：①⑤．14. 【答案】合格【解析】勾股定理的逆定理：若一个三角形的两边长的平方和等于第三边的平方，则这个三角形的直角三角形.∵∴这个桌面合格.15. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）易证得△AEH≌△CGF，从而证得BE=DG，DH=BF．故有，△BEF≌△DGH，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形而得证．（2）由题意知，平行四边形ABCD是菱形，连接AC，BD，则有AC⊥BD，由AB=AD，且AH=AE可证得HE∥BD，同理可得到HG∥AC，故HG⊥HE，又由（1）知四边形HGFE是平行四边形，故四边形HGFE是矩形．证明：（1）在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，又∵AE=CG，AH=CF，∴△AEH≌△CGF．∴EH=GF．在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∴AB-AE=CD-CG，AD-AH=BC-CF，即BE=DG，DH=BF．又∵在平行四边形ABCD中，∠B=∠D，∴△BEF≌△DGH．∴GH=EF．∴四边形EFGH是平行四边形．（2）在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD．设∠A=α，则∠D=180°-α．∵AE=AH，∴∠AHE=∠AEH=．∵AD=AB=CD，AH=AE=CG，∴AD-AH=CD-CG，即DH=DG．∴∠DHG=∠DGH=．∴∠EHG=180°-∠DHG-∠AHE=90°．又∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是矩形．16. 【答案】12.【解析】利用平行四边形的性质和矩形的判定定理推知平行四边形AEBD是矩形．在Rt△ADC 中，由勾股定理可以求得AD的长度，由等腰三角形的性质求得CD（或BD）的长度，则矩形的面积=长×宽=AD•BD=AD•CD．解：∵AE∥BC，BE∥AC，∴四边形AEDC是平行四边形，∴AE=CD．在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，∴∠ADB=90°，BD=CD，∴BD=AE，∴平行四边形AEBD是矩形．在Rt△ADC中，∠ADB=90°，AC=5，CD=BC=3，∴AD==4，∴四边形AEBD的面积为：BD•AD=CD•AD=3×4=12．17. 【答案】证明见解析.【解析】欲证明四边形ABCD是矩形，只需推知∠DAB是直角．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAF=∠F.∵∠F=45°，∴∠DAE=45°．∵AF是∠BAD的平分线，∴∠EAB=∠DAE=45°，∴∠DAB=90°．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．18. 【答案】AD＝140cm．【解析】过C作CM∥AB，交AD于M，推出平行四边形ABCM，推出AM=BC=80cm，AB=CM=60cm，∠B=∠AMC，求出∠D=∠MCD，求出CM=DM=60cm，代入AD=AM+DM求出即可．解：过C作CM∥AB，交AD于M，∵∠A=120°，∠B=60°，∴∠A+∠B=180°，∴AM∥BC，∵AB∥CM，∴四边形ABCM是平行四边形，∴AB=CM=60cm，BC=AM=80cm，∠B=∠AMC=60°，∵AD∥BC，∠C=150°，∴∠D=180°﹣150°=30°，∴∠MCD=60°﹣30°=30°=∠D，∴CM=DM=60cm，∴AD=60cm+80cm=140cm．19. 【答案】证明见解析.【解析】先由角平分线和等腰三角形的性质证明AE∥BD，再由AD、AE分别是∠BAC与∠BAC 的外角的平分线可证得DA⊥AE，可得AD∥BE，可证得四边形ADBE为矩形，可得结论．证明：∵AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角的平分线，∴∠BAD+∠EAB=（∠BAC+∠FAB）=90°，∵BE⊥AE，∴DA∥BE，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠FAB=∠ABC+∠ACB=2∠ABC，且∠FAB=2∠EAB，∴∠ABC=∠EAB，∴AE∥BD，∴四边形AEBD为平行四边形，且∠BEA=90°，∴四边形AEBD为矩形，∴AB=DE．1.3正方形的性质与判定一、选择题（本题包括11个小题.每小题只有1个选项符合题意）（2）如果a≥0，1. 下列五个命题：（1）若直角三角形的两条边长为5和12，则第三边长是13；那么=a;（3）若点P（a，b）在第三象限，则点P（﹣a，﹣b+1）在第一象限；（4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；（5）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等．其中不正确命题的个数是（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个2. 下列命题，真命题是（）A. 两条对角线相等的四边形是平行四边形B. 两条对角线相等的四边形是矩形C. 两条对角线互相垂直平分的四边边是菱形D. 两条对角线平分且相等的四边形是正方形3. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A. ①②③B. ①④⑤C. ①③④D.③④⑤4. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A. 当AB=BC时，它是菱形B. 当AC⊥BD时，它是菱形C. 当∠ABC=90°时，它是矩形D. 当AC=BD时，它是正方形5. 已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（）A. ∠D=90°B. AB=CDC. AD=BCD. BC=CD6. 如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成（）A. 22.5°角B. 30°角C. 45°角D. 60°角7. 在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（）A. AC=BD，AB∥CD，AB=CDB. AD∥BC，∠A=∠CC. AO=BO=CO=DO，AC⊥BDD. AO=CO，BO=DO，AB=BC8. 用两个全等的直角三角形拼下列图形：（1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（3）菱形；（4）正方形；（5）等腰三角形，一定可以拼成的图形是（）A. （1）（2）（5）B. （2）（3）（5）C. （1）（4）（5）D. （1）（2）（3）9. 四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB=AD；②∠DAB=90°；③AO=CO，BO=DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，则下列推理不成立的是（）A. ①④⑥B. ①③⑤C. ①②⑥D. ②③④10. 下列说法中错误的是（）A. 四个角相等的四边形是矩形B. 对角线互相垂直的矩形是正方形C. 对角线相等的菱形是正方形D. 四条边相等的四边形是正方形11. 矩形的四个内角平分线围成的四边形（）A. 一定是正方形B. 是矩形C. 菱形D. 只能是平行四边形二、填空题（本题包括2个小题）12. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是．13. 把“直角三角形，等腰三角形，等腰直角三角形”填入下列相应的空格上．（1）正方形可以由两个能够完全重合的拼合而成；（2）菱形可以由两个能够完全重合的拼合而成；（3）矩形可以由两个能够完全重合的拼合而成．三、解答题（本题包括6个小题）14. 如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AB的垂直平分线上的任意一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．（1）求证：CE=CF；（2）点C运动到什么位置时，四边形CEDF成为正方形？请说明理由．15. 已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF=CE．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）当∠A=90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你的结论．16. 如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE 是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AED=2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．17. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．18. 如图：已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．（1）求证：△BED≌△CFD；（2）若∠A=90°，求证：四边形DFAE是正方形．19. 如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ABC=∠BAD=90°，AD=BC，AC，BD相交于点G，过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E，过点B作BF∥CA交DA的延长线于点F，AE，BF相交于点H．（1）图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对进行证明；（不添加任何辅助线）（2）证明：四边形AHBG是菱形；（3）若使四边形AHBG是正方形，还需在Rt△ABC的边长之间再添加一个什么条件？请你写出这个条件．（不必证明）答案1. 【答案】B【解析】（1）由于直角三角形的两条边长为5和12，这两条边没有确定是否是直角边，所以第三边长不唯一，故命题错误；（2）符合二次根式的意义，命题正确；（3）∵点P（a，b）在第三象限，∴a＜0、b＜0，∴﹣a＞0，﹣b+1＞0，∴点P（﹣a，﹣b+1）.在第一象限，故命题正确；（4）正方形是对角线互相垂直平分且相等的四边形，故命题错误；（5）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等是正确的．故选A．2. 【答案】C【解析】A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A错误；B、两条对角线平分且相等的四边形是矩形，故B错误；C、两条对角线互相垂直平分的四边边是菱形，故C正确；D、两条对角线平分、垂直且相等的四边形是正方形，故D错误；故选C．3. 【答案】B【解析】解此题的关键在于判断△DEF是否为等腰直角三角形，作常规辅助线连接CF，由SAS定理可证△CFE和△ADF全等，从而可证∠DFE=90°，DF=EF．所以△DEF是等腰直角三角形．可证①正确，②错误，再由割补法可知④是正确的；判断③，⑤比较麻烦，因为△D EF 是等腰直角三角形DE=DF，当DF与BC垂直，即DF最小时，DE取最小值4，故③错误，△CDE最大的面积等于四边形CDEF的面积减去△DEF的最小面积，由③可知⑤是正确的．故只有①④⑤正确．连接CF；∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB；∵AD=CE，∴△ADF≌△CEF（SAS）；∴EF=DF，∠CFE=∠AFD；∵∠AFD+∠CFD=90°，∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，∴△EDF是等腰直角三角形（故①正确）．当D、E分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形（故②错误）．∵△ADF≌△CEF，∴S△CEF=S△ADF∴S四边形CEFD=S△AFC，（故④正确）．由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小；即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF=BC=4．∴DE=DF=4（故③错误）．当△CDE面积最大时，由④知，此时△DEF的面积最小．此时S△CDE=S四边形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=16﹣8=8（故⑤正确）．故选：B．4. 【答案】D【解析】A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB=BC 时，它是菱形，故A选项正确；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=OD，∵AC⊥BD，∴AB2=BO2+AO2，AD2=DO2+AO2，∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，故B选项正确；C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确；D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC=BD时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误；综上所述，符合题意是D选项；故选D．5.【答案】D【解析】由∠A＝∠B＝∠C＝90°可判定为矩形，根据正方形的定义，再添加条件“一组邻边相等”即可判定为正方形，故选D．6. 【答案】C【解析】一张长方形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线，所以当剪口线与折痕成45°角，菱形就变成了正方形．故选C．7. 【答案】C【解析】根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．A，不能，只能判定为矩形；B，不能，只能判定为平行四边形；C，能；D，不能，只能判定为菱形．故选C．8. 【答案】A【解析】拿两个“90°、60°、30°的三角板一试可得：（1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（5）等腰三角形．而菱形、正方形需特殊的直角三角形：等腰直角三角形．故选A．9. 【答案】C【解析】A．符合邻边相等的矩形是正方形；B．可先由对角线互相平分，判断为平行四边形，再由邻边相等，得出是菱形；D．可先由对角线互相平分，判断为平行四边形，再由一个角为直角得出是矩形；故选C．10. 【答案】D【解析】A正确，符合矩形的定义；B正确，符合正方形的判定；C正确，符合正方形的判定；D不正确，也可能是菱形；故选D．11. 【答案】A【解析】矩形的四个角平分线将举行的四个角分成8个45°的角，因此形成的四边形每个。
人教版九年级数学上册《22.3二次函数与实际问题—图形问题》提升训练(附答案)
人教版九年级数学上册《22.3二次函数与实际问题—图形问题》提升训练（附答案）学校:班级:姓名:考号:1．如图，在Rt△ABC中，点P在斜边AB上移动，PM⊥BC，PN⊥AC，M，N分别为垂足，AC=1，AB=2，则何时矩形PMCN的面积最大？最大面积是多少？2．某小区要用篱笆围成一个直角三角形花坛．花坛的斜边利用足够长的墙，两条直角边所用的篱笆长度之和恰好为21米．围成的花坛是如图所示的直角△ABC，其中∠ACB=90°，且BC>AC．设AC边的长为x米，直角△ABC的面积为S平方米．(1)用含x的式子表示S；(2)根据小区的规划要求，所修建的直角三角形花坛面积是54平方米，问直角三角形的两条直角边的长各为多少米？3．如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m．设矩形菜园的边AB的长为xm，面积为Sm2，其中AD≥AB．(1)写出S关于x的函数解析式，并求出x的取值范围；(2)当该矩形菜园的面积为100m2．求边AB的长；(3)当边AB的长为多少时，该矩形菜园的面积最大？最大面积是多少？4．如图，点E、F、G、H分别在菱形ABCD的四条边上BE=BF=DG=DH，连接EF，FG，GH，HE，已知∠A=60°，AB=6．(1)求∠HEA的度数；(2)判断四边形EFGH的形状，并说明理由；(3)设AE=x，四边形EFGH的面积为y，求y的最大值．5．如图，点E，F，G，H分别在边长为6的正方形ABCD的四条边上运动，四边形EFGH也是正方形．(1)求证：△AEH≌△BFE；(2)设AE的长为x，正方形EFGH的面积为y，求y关于x的函数解析式；(3)在（2）的条件下，当AE的长为多少时，正方形EFGH的面积最小？最小值是多少？6．如图，在正方形ABCD中AB=6，点P是CD边上的一点（点P与点C、D不重合），连接AP，点M、N 分别在AD、BC边上MN⊥AP．(1)如图1，判断线段MN、AP的数量关系，并说明理由；(2)如图2，当MN恰好经过正方形ABCD的中心O时，求四边形CDMN的面积；(3)如图3，当MN恰好经过线段AP的中点E时，则点DP为何值时，四边形CDMN的面积最大？7．如图，利用135°的墙角修建一个梯形ABCD的储料场，其中BC∥CD，并使∠C=90°，新建墙BC上预留一长为2米的门EF．如果新建墙BE−FC−CD总长为16米，设CD的长为x米．(1)边AD的长（x的代数式表示）；(2)当储料场的面积为48平方米时，求边CD的长；(3)怎样修建才能使储料场的面积最大？最大面积多少平方米？8．某校在基地参加社会实践活动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙足够长），另外三边用总长69米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的面积最大？下面是两位学生争议的情境：请根据上面的信息，解决问题：(1)设AB=x米（x>0），试用含x的代数式表示BC的长；(2)求园地面积S与x的函数关系式；(3)请你判断谁的说法正确，为什么？9．在矩形ABCD中AB=3cm，BC=6cm点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/s的速度运动（不与点B重合），同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度运动（不与点C重合），如果P，Q两点同时出发，运动时间为t秒．(1)用t表示线段BP，BQ的长度；(2)几秒种后，△PBQ的斜边PQ长2√2cm？(3)设运动开始后第t秒钟后，五边形APQCD的面积为Scm2写出S与t的函数关系式，当t为何值时，S最小？最小值是多少？10．为了美化环境，学校准备在如图所示的矩形ABCD空地上进行绿化，规划在中间的一块四边形MNQP上种花，其余的四块三角形上铺设草坪，要求AM=AN=CP=CQ．已知BC=24米，AB=40米．设AM=x 米．(1)当种花的面积为440平方米时，求x的值；(2)设种花的面积为a平方米，当x的值有且只有一个时，试求出a的取值范围．11．用长为12米的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，设矩形窗框的宽为x米，窗框的透光面积为S平方米．（铝合金型材宽度不计）(1)求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围．(2)求x为多少时S取得最大值，并求S的最大值．12．如图，抛物线y=a(x−3)(x−7)连接CD交x 轴于点E，连接BD，BC与x 轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D．(1)求C，D两点的坐标（用含a的式子表示）；(2)△ABC的面积是△BCD面积的几倍?(3)当△BCD是直角三角形时，直接写出此时a 的值．13．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(1,0)，B(−3,0)两点，与y轴交于C(0,3)．(1)求抛物线的函数表达式．(2)设P为抛物线上一动点，点P在直线BC上方时，求△BPC面积的最大值．(3)若M在抛物线的对称轴上，点N为平面内一点，当以点B、C、M、N为顶点的四边形为矩形时，直接写出所有符合条件的点N的坐标，并选择一个你喜欢的N点，写出求解过程．14．问题提出：（1）如图①，△ABC的边BC在直线n上．过顶点A作直线m∥n，在直线m上任取一点D，连接BD、CD，则S△ABC______S△DBC．问题探究：（2）如图②，在△ABC中BC=4，且BC边上的高为3，若过点C作CD∥AB，连接AD,BD，求△ABD的面积；问题解决：（3）如图③，有一个菱形广场ABCD，己知AD=60米，∠DAB=60°连接AC．现计划对这个广场进行绿化，在阴影部分区域内种植绿植，且满足点P，M，N分别在AC、AB、CB上PM∥AD，PN∥CD．为了节约成本，要求种植绿植的区域面积尽可能的小，你认为该计划能否实现？如果能，请求出阴影部分面积的最小值；如果不能，请说明理由．15．问题提出(1)如图1，△ABC是一个边长为5的等边三角形，则△ABC面积为．问题探究(2)如图2，在四边形ABCD中，已知∠B=∠C=60°，AB=6，CD=4，BC=8，E为BC点，求△AED的面积．问题解决(3)某路口拐角处有一个五边形空地，为方便市民出行的需要，市政局准备在这片空地上给广大来往群众搭建一个遮阳棚．经过勘测发现，在如图3所示的五边形ABCDE中∠A=∠B=150°，∠C=∠D=60°，DE= 2AE=8米AB=√3BC，根据该路口的实际条件限制，需将遮阳棚形状设计为三角形，且△FGH的顶点F、G、H分布在边AB、CD、DE上，点F为AB中点DH=DG，为进一步提升市民的出行体验，想让遮阳棚面积尽可能大：请问，是否存在符合设计要求的面积最大的△FGH？若存在，求△FGH面积的最大值；若不存在，请说明理由．16．已知抛物线y=x2+bx+c．(1)如图1，若抛物线与x轴交于点A(3，0)，与y轴交于点B(0，-3)，连接AB．①求该抛物线所表示的二次函数表达式；②若点P是抛物线上一动点（与点A不重合），过点P作PH⊥x轴于点H，与线段AB交于点M，是否存在点P使得点M是线段PH的三等分点?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；x+n与y轴交于点C，同时与抛物线y=x2+bx+c交于点D(-3，0)，以线段CD为边作菱(2)如图2，直线y=43形CDFE，使F落在x轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE没有交点，求b的取值范围．17．如图，二次函数y=x2+bx+c图象的对称轴为直线x=4，图象过点A、B、C，B点的坐标为(6,0)，点M为抛物线上的一个动点．(1)求二次函数的表达式；(2)当点M位于x轴下方的抛物线上时，过点M作x轴的垂线，交BC于点Q，求线段MQ的最大值．(3)在（2）的条件下，当点M位于x轴下方的抛物线上时，求△CBM的最大面积．18．如图1．已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为4cm，CA与MN在同一条直线上，开始时点A与点M重合，让△ABC向右移动，最后点A与点N重合(1)写出两图形重叠部分的面积y(cm2)与线段MA的长度x(cm)之间的函数关系式；并写出自变量x的取值范围；(2)请在如图2所示的坐标系中画出此函数的图象，并结合图象指出重叠部分面积的最大值．19．【综合与实践】数学来源于生活，同时数学也可以服务于生活．【知识背景】如图，校园中有两面直角围墙，墙角内的P处有一古棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD （篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm．【方案设计】设计一个矩形花园，使之面积最大，且要将古棵树P围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）．【解决问题】思路：把矩形ABCD的面积S与边长x（即AB的长）的函数解析式求出，并利用函数的性质来求面积的最大值即可．(1)请用含有x的代数式表示BC的长；(2)花园的面积能否为192m2若能，求出x的值，若不能，请说明理由；(3)求面积S与x的函数解析式，写出x的取值范围；并求当x为何值时，花园面积S最大？20．为贯彻落实国家关于全面推进城镇老旧小区改造提升和城市更新工作，以人民为中心，努力提高保障和改善民生水平，切实解决老旧小区的配套设施，提升居民的幸福指数。
(含答案)九年级数学人教版上册课时练第22章《22.3 实际问题与二次函数》
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！课时练第22章二次函数22.3实际问题与二次函数一、选择题1.某广场有一喷水池，水从地面喷出，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y ＝－x 2＋4x (单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是()A ．4米B ．3米C ．2米D ．1米2.某企业生产季节性产品，当产品无利润时，企业自动停产，经过调研，它一年中每月获得的利润y (万元)和月份n 之间满足函数关系式y ＝－n 2＋12n －11，则企业停产的月份为()A ．1月和11月B ．1月、11月和12月C ．1月D ．1月至11月3.中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图①)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线形钢拱通过吊杆，拉索与主梁相连．最高的钢拱如图②所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A ，B 两点，拱高为78米(即最高点O 到AB 的距离为78米)，跨径为90米(即AB ＝90米)，以最高点O 为坐标原点，以平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系．则此抛物线形钢拱的函数解析式为()A ．y ＝26675x 2B ．y ＝－26675x 2C ．y ＝131350x 2D ．y ＝－131350x 24.如图，△ABC 是直角三角形，∠A ＝90°，AB ＝8cm ，AC ＝6cm ，点P 从点A 出发，沿AB 方向以2cm/s 的速度向点B 运动；同时点Q 从点A 出发，沿AC 方向以1cm/s 的速度向点C 运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动，则四边形BCQP 面积的最小值是()A ．8cm 2B ．16cm 2C ．24cm 2D ．32cm 25.（2020·绵阳）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米．若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（）A ．米B ．米C ．米D ．7米6.在羽毛球比赛中，羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y ＝－14x 2＋bx ＋c 的一部分(如图)，其中出球点B 离地面点O 的距离是1m ，球落地点A 到点O 的距离是4m ，那么这条抛物线的解析式是()A ．y ＝－14x 2＋34x ＋1B ．y ＝－14x 2＋34x －1C ．y ＝－14x 2－34x ＋1D ．y ＝－14x 2－34x －17.一种包装盒的设计方法如图所示，四边形ABCD 是边长为80cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四点重合于图中的点O ，得到一个底面为正方形的长方体包装盒．设BE ＝CF ＝x cm ，要使包装盒的侧面积最大，则x 应取()A ．30B ．25C ．20D ．158.（2020·长沙）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把焦脆而不糊的豆腐块数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，“可食用率”p 与加工煎炸的时间t （单位：分钟）近似满足函数关系式：c bt at p ＋＋＝2（0¹a ，a ，b ，c 为常数），如图纪录了三次实验数据，根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为··································································（）A ．3.50分钟B ．4.05分钟C ．3.75分钟D ．4.25分钟二、填空题9.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品的售价为a 元，则可卖出(350－10a )件．但物价部门限定每件商品加价不能超过进价的40%，若商店想获得最大利润，则每件商品的价格应定为________元．10.某种商品每件的进价为20元，经调查表明：在某段时间内若以每件x 元(20≤x ≤30，且x 为整数)出售，则可卖出(30－x )件．若要使销售利润最大，则每件的售价应为________元．11.已知一个直角三角形两直角边长的和为30，则这个直角三角形的面积最大为________．12.（2020·襄阳）汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶时间t（单位：秒）的函数关系式是s＝15t－6t2，则汽车从刹车到停止所用时间为__________秒．13.某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元(a>0)．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t(t·为正整数．．．．)的增大而增大，a 的取值范围应为________．14.某大学生利用业余时间销售一种进价为60元/件的文化衫，前期了解并整理了销售这种文化衫的相关信息如下：(1)月销量y(件)与售价x(元/件)的关系满足y＝－2x＋400；(2)工商部门限制售价x满足70≤x≤150(计算月利润时不考虑其他成本)．给出下列结论：①这种文化衫的月销量最小为100件；②这种文化衫的月销量最大为260件；③销售这种文化衫的月利润最小为2600元；④销售这种文化衫的月利润最大为9000元．其中正确的是________．(把所有正确结论的序号都填上)15.如图所示是一座抛物线形拱桥，当水面宽为12m时，桥拱顶部离水面4m，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系．若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式为y＝－19(x－6)2＋4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式为________________．16.如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内与水平桥面相交于A，B 两点，桥拱最高点C到AB的距离为9m，AB＝36m，D，E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7m，则DE的长为________m.17.如图，小明的父亲在相距2m的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高度都是2.5m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1m的小明距较近的那棵树0.5m时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点到地面的距离为________m.18.竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数．小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球．假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度．第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t＝________．三、解答题19.如图，排球运动员王亮站在点O处练习发球，将球从点O正上方2m的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y ＝a(x－6)2＋h.已知球网与点O的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距点O的水平距离为18m.(1)当h＝2.6时，①求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量x的取值范围)；②球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；③若排球运动员张明站在另外半场的点M(m，0)，且张明原地起跳接球的最大高度为2.4m．若张明因接球的高度不够而失球，求m的取值范围．(2)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．20.春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用20天时间，采用每天降低水位以减少捕捞成本的办法，对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售．九(1)班数学建模兴趣小组根据调查，整理出第x天(1≤x≤20且x为整数)的捕捞与销售的相关信息如下：鲜鱼销售单价(元/kg)20单位捕捞成本(元/kg)5－x 5捕捞量(kg)950－10x(1)在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一天的捕捞量相比是如何变化的？(2)假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且能在当天全部售出．求第x 天的收入y(元)与x(天)之间的函数关系式；(当天收入＝日销售额－日捕捞成本) (3)试说明(2)中的函数y随x的变化情况，并指出在第几天y取得最大值，最大值是多少？21.为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2.(1)求y与x之间的函数解析式，并注明自变量x的取值范围；(2)当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？22.(2020·荆门)2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月(按30天计)的第x 天(x 为正整数)的销售价格p (元/千克)关于x 的函数关系式为p ＝2 4 (020),5112(2030).5x x x x ì+ïíï-+î＜≤＜≤销售量y (千克)与x 之间的关系如图所示．(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围：(2)当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？(销售额＝销售量×销售价格)y /kgO 8060402051015202530参考答案一、选择题1.A2.B3.B4.A5.B6.A7.C8.C二、填空题9.2810.2511.225 212.2.5．13.0<a≤514.①②③15.答案】y＝－19(x＋6)2＋416.4817.0.518.1.6秒三、解答题19.解：(1)①把x＝0，y＝2及h＝2.6代入y＝a(x－6)2＋h，得2＝a(0－6)2＋2.6，∴a＝－1 60，∴y＝－160(x－6)2＋2.6.②球能越过球网，球会出界．理由如下：由①知y＝－160(x－6)2＋2.6，当x＝9时，y＝－160×(9－6)2＋2.6＝2.45＞2.43，∴球能越过球网．当x＝18时，y＝－160×(18－6)2＋2.6＝0.2＞0，∴球会出界．③若运动员张明原地起跳到最大高度时刚好接到球，此时－160(m－6)2＋2.6＝2.4，解得m1＝6＋23，m2＝6－2 3.∵张明接球高度不够，∴6－23＜m＜6＋2 3.∵张明在另外半场，∴m的取值范围为9＜m＜6＋2 3.(2)将x＝0，y＝2代入y＝a(x－6)2＋h，得a＝2－h 36.当x＝9时，y＝2－h36(9－6)2＋h＝2＋3h4＞2.43；①当x＝18时，y＝2－h36(18－6)2＋h＝8－3h≤0.②由①②，得h≥8 3 .20.解：(1)该养殖场每天的捕捞量与前一天的捕捞量相比每天减少了10kg.(2)由题意，得y＝20(950－10x)－(5－x5)(950－10x)＝－2x2＋40x＋14250.(7分)(3)∵－2＜0，y＝－2x2＋40x＋14250＝－2(x－10)2＋14450，(9分)又1≤x≤20，且x为整数，∴当1≤x≤10时，y随x的增大而增大；当10≤x≤20时，y随x的增大而减小；当x＝10时即在第10天，y取得最大值，最大值为14450元．21.解：(1)∵三块矩形区域的面积相等，∴矩形AEFD的面积是矩形BCFE的面积的2倍，∴AE＝2BE.设BE＝a，则AE＝2a，∴8a＋2x＝80，∴a＝－14x＋10，3a＝－34x＋30，∴y＝(－34x＋30)x＝－34x2＋30x.∵a＝－14x＋10＞0，∴x＜40，10/10则y ＝－34x 2＋30x(0＜x ＜40)．(2)∵y ＝－34x 2＋30x ＝－34(x －20)2＋300(0＜x ＜40)，且二次项系数为－34＜0，∴当x ＝20时，y 有最大值，最大值是300.22.解：(1)当0＜x ≤20时，设y ＝k 1x ＋b 1，由图象得：11180,2040.b k b =ìí+=î解得112,80.k b =-ìí=î∴y ＝－2x ＋80(0＜x ≤20)．当20＜x ≤30时，设y ＝k 2x ＋b 2，由图象得：22222040,3080.k b k b +=ìí+=î解得224,40.k b =ìí=-î综上，y ＝280(020),440(2030).x x x x -+ìí-î＜≤＜≤(2)设当月该农产品的销售额为w 元，则w ＝yp ．①当0＜x ≤20时，w ＝(－2x ＋80)(25x ＋4)＝－45x 2＋24x ＋320＝－45(x －15)2＋500．∵－45＜0，∴当x ＝15时，W 最大＝500．②当20＜x ≤30时，w ＝(4x －40)(－15x ＋12)＝－45x 2＋56x －480＝－45(x －35)2＋500．∵－45＜0，20＜x ≤30，∴当x ＝30时，W 最大＝－45(30－35)2＋500＝480．∵500＞480，∴当x ＝15时，w 取得最大值，该最大值为500．答：当月第15天，该农产品的销售额最大，最大销售额是500元．。
人教版九年级数学上册《概率》课时提升作业学案(含答案)
课时提升作业概率(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.(北京中考)在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球,把它们分别标号为1,2,3,4,5,从中随机摸出一个小球,其标号大于2的概率为( )A. B. C. D.【解析】选C.从中随机摸出一个小球,一共有5种可能性,大于2的标号有3个,即概率为P==.【知识归纳】公式P(A)=中的关键数值运用公式P(A)=求简单事件发生的概率,在确定各种可能结果发生的可能性相同的基础上,关键是求事件所有可能的结果种数n和使事件A发生的结果种数m.2.如图,在一长方形内有对角线长分别为2和3的菱形,边长为1的正六边形和半径为1的圆,则一点随机落在这三个图形内的概率较大的是( )A.落在菱形内B.落在圆内C.落在正六边形内D.一样大【解题指南】(1)先求面积:菱形的面积等于对角线乘积的一半;边长为1的正六边形的面积等于六个边长为1的等边三角形的面积;圆的面积等于π.(2)再比较它们面积的大小即可得到答案.【解析】选B.因为菱形的对角线长分别为2和3,所以菱形的面积为×2×3=3;正六边形的边长为1,所以正六边形的面积为6××1×=;圆的半径为1,所以圆的面积为π,而π>3>,故落在圆内的概率最大.3.某市开展整治“六乱”行动以来,我市学生更加自觉遵守交通规则.某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口,该十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯,他在路口遇到红灯的概率为,遇到黄灯的概率为,那么他遇到绿灯的概率为( ) A. B. C. D.【解析】选D.∵他在该路口遇到红灯的概率为,遇到黄灯的概率为,∴他遇到绿灯的概率是1--=.二、填空题(每小题4分,共12分)4.(雅安中考)从-1,0,,π,中随机任取一数,取到无理数的概率是.【解析】随机取一个数,一共有5种可能性,∵无理数是π,,∴取出一个数是无理数的可能性有2种,然后根据概率公式即可求得P=.答案:5.(龙东中考)风华中学七年(2)班的“精英小组”有男生4人,女生3人,若选出一人担任组长,组长是男生的概率为.【解析】因为一共有7名学生,所以选出一人共有7种等可能的结果,组长是男生有4种等可能的结果,所以P(男生)=.答案:【易错提醒】在运用公式P(A)=之前,一定要判断本问题是否具备“有限等可能性”的条件.6.如图所示,圆面图案是用相同半径的圆与圆弧构成的,若向圆面投掷飞镖,则飞镖落在黑色区域的概率为.【解析】整个图形由12个共两类小图形组成,每一类都有两个是黑色的,所以黑色区域占全部面积的,即飞镖落在黑色区域的概率P==.答案:三、解答题(共26分)7.(8分)一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共100个,它们除颜色外都相同,其中黄球个数是白球个数的2倍少5个.已知从袋中摸出一个球是红球的概率是.(1)求袋中红球的个数.(2)求从袋中摸出一个球是白球的概率.(3)取走10个球(其中没有红球)后,求从剩余的球中摸出一个球是红球的概率.【解析】(1)100×=30,∴红球有30个.(2)设白球有x个,则黄球有(2x-5)个,根据题意,得x+(2x-5)+30=100,解得x=25.∴摸出一个球是白球的概率P==.(3)从剩余的球中摸出一个球是红球的概率P==.8.(8分)“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形.如图,是一“赵爽弦图”飞镖板,其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4.小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖(假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上),求小明投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域(含边线)的概率是多少?【解析】由题意得,中间小正方形的边长为4-2=2,所以阴影面积为4.设大正方形的边长为a,则大正方形的面积为a2,由勾股定理得a2=42+22=20,所以飞镖扎在中间小正方形区域的概率为=0.2.【培优训练】9.(10分)(杭州中考)某班有50位学生,每位学生都有一个序号,将50张编有学生序号(从1号到50号)的卡片(除序号不同外其他均相同)打乱顺序重新排列,从中任意抽取1张卡片.(1)在序号中,是20的倍数的有:20,40,能整除20的有:1,2,4,5,10(为了不重复计数,20只计一次),求取到的卡片上序号是20的倍数或能整除20的概率.(2)若规定:取到的卡片上序号是k(k是满足1≤k≤50的整数),则序号是k的倍数或能整除k(不重复计数)的学生能参加某项活动,这一规定是否公平?请说明理由.(3)请你设计一个规定,能公平地选出10位学生参加某项活动,并说明你的规定是符合要求的.【解析】(1)是20的倍数或者能整除20的数有7个,则所求概率为.(2)不公平,无论k取何值,都能被1整除,则序号为1的学生被抽中的概率为1,即100%,而很明显抽到其他序号时,其他学生概率不为100%.(3)先抽出一张,记下数字,然后放回.若下一次抽到的数字与之前抽到过的重复,则不记数,放回,重新抽取.不断重复,直至抽满10个不同的数字为止.(为保证每个数字每次被抽到的概率都是)。
2019-2020年九年级数学上册课时提升作业(二十六) 24.2.1
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2019-2020年九年级数学上册课时提升作业(二十六) 24.2.1一、选择题(每小题4分,共12分)1.(2013·吉林中考)如图所示,体育课上,小丽的铅球成绩为6.4m,她投出的铅球落在( )A.区域①B.区域②C.区域③D.区域④【解析】选D.由于6.4>6,所以在半径为6m的圆外,6.4<7,所以在半径为7m的圆内,故在区域④.2.△ABC中,点O是它的外心,BC=24cm,O到BC的距离是5cm,则△ABC的外接圆的半径等于( )A.5 cmB.13 cmC.12 cmD.8 cm【解析】选B.如图,∵O为外心,OD⊥BC,∴BD=BC=12 cm,又OD=5 cm,∴由勾股定理,得OB===13(cm),∴△ABC的外接圆的半径是13 cm.【知识归纳】三角形的外心的三点注意1.三角形的外心是三边的垂直平分线的交点.2.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.3.三角形的外心的位置因三角形的形状的不同而不同.3.用反证法证明命题“三角形中必须有一个内角小于或等于60°”时,首先应假设这个三角形中( )A.有一个内角小于60°B.每一个内角都小于60°C.有一个内角大于60°D.每一个内角都大于60°【解析】选D.必须有一个内角小于或等于60°的反面是:每一个内角都大于60°.二、填空题(每小题4分,共12分)4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=2cm,BC=4cm,CM为中线,以C为圆心,cm为半径作圆,则A,B,M三点在圆外的有,在圆上的有,在圆内的有.【解析】由勾股定理得,AB=2cm,CM=cm.点M在圆上,AC<,点A在圆内,BC>,点B在圆外.答案:点B 点M 点A5.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了,其中四块碎片如图所示,为配到与原来大小一样的圆形玻璃,小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是块.【解析】本题通过创设实际情景来考查确定圆心和半径的方法以及分析问题、解决问题的能力.第②块利用在圆弧上任意取三点,就可以转化为“不在同一直线上的三点确定一个圆”. 答案:②【方法技巧】1.确定一个圆需要知道圆心和半径.2.由垂径定理知,作圆弧上任意不同两条弦的垂直平分线,即可确定圆心和半径.6.如图, AB=OA=OB=OC,则∠ACB的大小是°.【解题指南】1.先判断出三个点在同一圆上,再判断出三角形的形状.2.用圆周角和圆心角的关系解决问题.【解析】由题意知A,B,C三点在以O为圆心的圆上,∵AB=OA=OB=OC,∴∠AOB=60°,∴∠ACB=∠AOB=30°.答案:30三、解答题(共26分)7.(8分)已知:如图,菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O.求证:菱形ABCD各边中点M,N,P,Q在以O为圆心的同一个圆上.【证明】∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,垂足为O,且AB=BC=CD=DA,M,N,P,Q分别是边AB,BC, CD,DA的中点,∴OM=ON=OP=OQ=AB,∴根据圆的定义可知:M,N,P,Q四点在以O为圆心,OM为半径的圆上.8.(8分)如图所示,残缺的破圆形轮片上,弦AB的垂直平分线交于点C,交弦AB于点D,已知AB=24cm,CD=8cm.(1)求作此残片所在的圆(不写作法,保留作图痕迹).(2)求(1)中所作圆的半径.【解题指南】1.圆心O在△ABC三边的垂直平分线上.2.连接OA,利用垂径定理和勾股定理可求出半径.【解析】(1)如图.(2)连接OA,设OA=OC=xcm.∵CO⊥AB,AB=24 cm,CD=8 cm,∴AD=12 cm,在Rt△AOD中,由勾股定理得OA2=AD2+OD2,即x2=122+(x-8)2,解得x=13,∴此残片所在圆的半径为13cm.【培优训练】9.(10分)先阅读,再解答:我们在判断点(-7,20)是否在直线y=2x+6上时,常用的方法:把x=-7代入y=2x+6中,由2×(-7)+6=-8≠20,判断出点(-7,20)不在直线y=2x+6上.小明由此方法并根据“两点确定一条直线”,推断出点A(1,2),B(3,4),C(-1,6)三点可以确定一个圆.你认为他的推断正确吗?请你利用上述方法说明理由.【解析】他的推断是正确的.因为“两点确定一条直线”,设经过A,B两点的直线的解析式为y= kx+b.由A(1,2),B(3,4),得解得∴经过A,B两点的直线的解析式为y=x+1.把x=-1代入y=x+1中,由-1+1≠6,可知点C(-1,6)不在直线AB上,即A,B,C三点不在同一直线上,所以A,B,C三点可以确定一个圆.关闭Word文档返回原板块温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。
2019-2020年九年级数学上册课时提升作业(一) 21.1
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2019-2020年九年级数学上册课时提升作业(一) 21.1一、选择题(每小题4分,共12分)1.下列方程中是一元二次方程的是( )A.x2=12B.x2-5x=(x-2)2C.+x-1=0D.(a-1)x2+bx+c=0【解题指南】解答本题看三条1.是否是整式方程.2.该方程的未知数的最高次数是不是2.3.二次项的系数不为0.【解析】选A.选项A符合一元二次方程的定义,是一元二次方程;选项B化简后得x+4=0,是一元一次方程;选项C不是整式方程;选项D当a-1=0时,不是二次方程.2.方程x(x+1)=3(x+1)的一次项系数是( )A.1B.3C.-2D.4【解析】选C.由x(x+1)=3(x+1),得x2+x=3x+3,移项,得:x2+x-3x-3=0,合并同类项,得x2-2x-3=0;∴一次项系数是-2.【易错提醒】1.确定方程的各项及系数,容易和多项式混淆,也经常忘记先化成一般形式,出现符号错误.2.一般情况,二次项的系数应化为正的.3.已知关于x的方程x2+bx+a=0有一个根是-a(a≠0),则a-b的值为( )A.-1B.0C.1D.2【解析】选A.∵-a(a≠0)是关于x的方程x2+bx+a=0的一个根.将x=-a代入得(-a)2-ab+a=0. 即a(a-b+1)=0.∵a≠0,∴a-b+1=0,二、填空题(每小题4分,共12分)4.若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程,则k的取值范围是.【解题指南】本题需要考虑:(1)方程变形为一般形式.(2)根据一元二次方程的二次项的系数不能为0,确定k的取值范围.【解析】整理kx2+x=3x2+1,得(k-3)x2+x-1=0.∵方程kx2+x=3x2+1为一元二次方程,∴k-3≠0,即k≠3.答案:k≠35.把方程2(x+2)+8=3x(x-1)化为一般形式,其二次项系数为,一次项为,常数项是.【解析】去括号,得2x+4+8=3x2-3x,整理得: -3x2+5x+12=0,即3x2-5x-12=0.所以二次项系数为3,一次项为-5x,常数项为-12.答案:3x2-5x-12=0 3 -5x -12【变式训练】求关于x的一元二次方程m2-3mx+m(2x2-1)=(m+1)x(m≠0)的二次项及二次项系数、一次项及一次项系数、常数项.【解析】m2-3mx+2mx2-m-(m+1)x=0,2mx2+(-3m-m-1)x+m2-m=0,2mx2+(-4m-1)x+m2-m=0(m≠0).故二次项是2mx2,二次项系数是2m;一次项是(-4m-1)x,一次项系数是-4m-1,常数项是m2-m.6.若x=1是一元二次方程ax2+bx-40=0的一个解,且a≠b,则= .【解题指南】利用方程的根求代数式值的两个步骤:(1)将解代入,确定a, b关系.(2)化简分式,整体代入求值.【解析】∵x=1是一元二次方程ax2+bx-40=0的一个解,∴x=1满足一元二次方程ax2+bx-40=0,∴a+b-40=0,即a+b=40.由于===20.答案:20三、解答题(共26分)7.(8分)证明关于x的方程(a2-8a+20)x2+2ax+1=0无论a取何值,该方程都是一元二次方程. 【证明】∵a2-8a+20=(a-4)2+4≥4,∴无论a取何值,a2-8a+20≥4,即无论a取何值,原方程的二次项系数都不会等于0,∴关于x的方程(a2-8a+20)x2+2ax+1=0,无论a取何值,该方程都是一元二次方程.8.(8分)列方程表示:求三个连续整数,使前两个数的平方和等于第三个数的平方,并将方程化为一般形式.【解析】设这三个连续整数分别为x-1,x,x+1,由题意:(x-1)2+x2=(x+1)2,整理,得x2-4x=0.【培优训练】9.(10分)(2013·枣庄中考)先化简,再求值:÷.其中m是方程x2+3x-1=0的根.【解析】原式=÷=×==.∵m是方程x2+3x-1=0的根.∴m2+3m-1=0,即m2+3m=1,∴原式=.关闭Word文档返回原板块温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。
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2019-2020年九年级数学上册课时提升作业(五) 21.2.3一、选择题(每小题4分,共12分)1.(2013·河南中考)方程(x-2)(x+3)=0的解是( )A.x=2B.x=-3C.x1=-2,x2=3D.x1=2,x2=-3【解析】选D.∵(x-2)(x+3)=0,∴x-2=0或x+3=0,解得:x1=2,x2=-3.2.一元二次方程5x (7-x)+14=2x的根是( )A.-B.7C.和7D.-和7【解析】选D.原方程转化为5x(7-x)+2(7-x)=0,所以(5x+2)(7-x)=0,解得x1=-,x2=7.【易错提醒】等号两边都含有公因式时,不先移项提公因式,而是两边都除以公因式,造成题目丢根.3.(2013·铁岭中考)如果三角形的两边长分别是方程x2-8x+15=0的两个根,那么连接这个三角形三边的中点,得到的三角形的周长可能是( )A.5.5B.5C.4.5D.4【解题指南】解决本题的三个关键(1)三角形成立的条件,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.(2)三角形的中位线等于第三边的一半.(3)不等式的性质.【解析】选A.方程x2-8x=-15,配方,得x2-8x+16=1,所以x-4=±1,即x1=3,x2=5,则第三边c的范围是: 5-3<c<5+3,即2<c<8.则三角形的周长l的范围是:10<l<16,∴连接这个三角形三边的中点,得到的三角形的周长m的范围是:5<m<8.故满足条件的只有A.【变式训练】方程x2-9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰,则这个三角形的周长为( )A.12B.12或15C.15D.不能确定【解析】选C.解方程x2-9x+18=0,得x1=3,x2=6.当腰为3,底为6时,由于3+3=6,不符合三角形的三边关系不能构成三角形;当腰为6,底为3时,符合三角形的三边关系,所以三角形的周长为6+6+3=15.二、填空题(每小题4分,共12分)4.方程x2-6x+9=(5-2x)2的解是.【解析】原方程可变形为(x-3)2=(5-2x)2,即(x-3)2-(5-2x)2=0,∴(x-3+5-2x)(x-3-5+2x)=0,即2-x=0,3x-8=0,∴x1=2,x2=.答案:x1=2,x2=5.如果(x+y)(x+y-1)=0,那么x+y的值为.【解析】因为(x+y)(x+y-1)=0,所以x+y=0或x+y-1=0,即x+y=0或x+y=1答案:0或16.实数a,b满足(a+b)2+a+b-2=0,则(a+b)2的值为.【解析】设x=(a+b),则原方程变为x2+x-2=0,解得x1=-2,x2=1.所以(a+b)2=4或者1.答案:4或1三、解答题 (共26分)7.(8分)选择合适的方法解题:(1)(x-1)2-2(x2-1) =0.(2)2(t-1)2+t=1.(3)2x2-3x-5=0.【解析】(1)原方程变形为(x-1)2-2(x+1)(x-1)=0,左边因式分解得,(x-1)(x+3)=0,所以x-1=0或x+3=0,所以原方程的解为:x1=1,x2=-3.(2)移项,得2(t-1)2+t-1=0.左边因式分解得,(t-1)(2t-1)=0,所以t-1=0或2t-1=0,所以原方程的解为t1=1,t2=.(3)a=2,b=-3,c=-5,Δ=(-3)2-4×2×(-5)=49.所以x==,所以x1=,x2=-1.8.(8分)阅读材料:为解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0,我们可以将x2-1看作一个整体,然后设x2-1=y…①,那么原方程可化为y2-5y+4=0,解得y1=1,y2=4.当y=1时,x2-1=1,∴x2=2,∴x=±;当y=4时,x2-1=4,∴x2=5,∴x=±,故原方程的解为x1=,x2=-,x3=,x4=-.解答问题:(1)上述解题过程,在由原方程得到方程①的过程中,利用法达到了解方程的目的,体现了转化的数学思想.(2)请利用以上知识解方程x4-x2-6=0.【解析】(1)换元(2)设x2=y,那么原方程可化为y2-y-6=0,解得y1=3,y2=-2,当y=3时,x2=3,∴x=±,当y=-2时,x2=-2不符合题意,故舍去.∴原方程的解为:x1=,x2=-.【互动探究】若将(2)中的方程换为(x2-x)2-4(x2-x)-12=0,请利用换元法求出它的解.【解析】设y=x2-x,原方程变为y2-4y-12=0.解这个方程得,y1=6,y2=-2.当y=6时,x2-x=6,即x2-x-6=0,解得x1=3,x2=-2.当y=-2时,x2-x=-2,即x2-x+2=0,由于Δ<0,这个方程无实数根.所以原方程有两个实数根:x1=3,x2=-2.【培优训练】9.(10分)(2013·遵义中考)已知实数a满足a2+2a-15=0,求-÷的值. 【解析】-÷=-·=-=∵a2+2a-15=0,∴a2+2a+1=16,∴(a+1)2=16,∴原式的值为.关闭Word文档返回原板块温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。
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2019-2020年九年级数学上册课时提升作业(八) 21.3.2一、选择题(每小题4分,共12分)1.(2013·昆明中考)如图,在长为100m,宽为80m的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路,剩余部分进行绿化,要使绿化面积为7644m2,则道路的宽应为多少米?设道路的宽为xm,则可列方程为( )A.100×80-100x-80x=7644B.(100-x)(80-x)+x2=7644C.(100-x)(80-x)=7644D.100x+80x=356【解题指南】这类问题的特点是,绿化面积仅与路的宽度有关,而与路的位置无关,为了计算方便,可分别将路沿东西方向和南北方向平移(最好是靠一边).【解析】选 C.设道路的宽为xm,则把两条道路“平移”得到的矩形的长为(100-x)m,宽为(80-x)m,根据题意,可列方程为(100-x)(80-x)=7644.【知识归纳】图形的面积转化平移转化是列一元二次方程解决面积类应用题常用的方法,其核心思想是将不在一起的几块图形通过平移转化为一块规则的图形,通过面积列出一元二次方程.如图(1)所示的矩形长为b,宽为a,阴影道路的宽为x,则4块空白部分面积的和可以转化为(a-x)(b-x),如图(2).2.要组织一次篮球联赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),计划安排21场比赛,则参赛球队的个数是( )A.5个B.6个C.7个D.8个【解析】选C.设有x个队,每个队都要赛(x-1)场,但两队之间只有一场比赛,x(x-1)÷2=21, 解得x=7或-6(舍去).3.(2013·济南中考)如图,小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端,绳子末端刚好接触到地面,然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处,发现此时绳子末端距离地面2m.则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为( )A.12 mB.13 mC.16 mD.17 m【解题指南】解决本题的三个关键(1)根据题意作出示意图.(2)把问题转化为直角三角形和矩形问题.(3)利用勾股定理解题.【解析】选D.如图所示,作BC⊥AE于点C,则BC=DE=8m,设AE=xm,则AB=xm,AC=(x-2)m,在Rt △ABC中,AC2+BC2=AB2,即(x-2)2+82=x2,解得x=17.二、填空题(每小题4分,共12分)4.(2013·南京中考)已知如图所示的图形的面积为24.根据图中的条件,可列出方程: .【解题指南】解决本题的关键(1)将图形补成一个正方形.(2)利用面积间的关系列出方程.【解析】可以利用将图形补全成一个大正方形的方法,确定大正方形的边长为x+1,补全的小正方形面积为1,从而可以列出方程(x+1)2-1=24.也可以利用分割的方式列出其他形式的方程.答案:答案不唯一,如(x+1)2=255.如图,已知矩形ABCD中,AB=1,在BC上取一点E,沿AE将△ABE向上折叠,使B点落在AD 上的F点,若四边形EFDC与矩形ABCD相似,则AD= .【解析】设AD=x,∵AB=1,∴FD=x-1,FE=1,∵四边形EFDC与矩形ABCD相似,∴=,即=,解得x1=,x2=(负值舍去),经检验x=是原方程的解.答案:6.将进价40元的商品按50元出售时,一月能卖500个.已知该商品每涨价2元,其月销量就减少20个,为减少库存,且保证每月8000元利润,售价应定为.【解析】设售价应定为x元,由题意(x-40){500-[(x-50)÷2]×20}=8000,整理得: x2-140x+4800=0,解得x=60或x=80.为减少库存,售价应定为60元.答案:60元【互动探究】若题目题干部分不变化,把“为减少库存”换为“若成本不高于10000元”问售价应定为多少元,此时应进货多少个?【解析】设售价应定为x元,则销售量是500-(x-50)÷2×20=500-10(x-50).则由题意:(x-40)×[500-10(x-50)]=8000,解得x=60或x=80,由于40×[500-10(x-50)]≤10000,解得x≥75,因此x=80.此时销售量是200个.所以售价应定为80元,此时应进货200个.三、解答题(共26分)7.(8分)(2013·泰安中考)某商店购进600个旅游纪念品,进价为每个6元,第一周以每个10元的价格售出200个;第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个,但商店为了适当增加销量,决定降价销售(根据市场调查,单价每降价1元,可多售出50个,但售价不得低于进价),单价降低x元销售一周后,商店对剩余旅游纪念品清仓处理,以每个4元的价格全部售出,如果这批旅游纪念品共获利1250元,问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元?【解析】由题意得,200×(10-6)+(10-x-6)(200+50x)+(4-6)[600-200-(200+50x)]=1250,整理得x2-2x+1=0,解得x=1,∴10-1=9.答:第二周的销售价格为9元.8.(8分)(2013·连云港中考)小林准备进行如下操作实验:把一根长为40cm的铁丝剪成两段,并把每一段各围成一个正方形.(1)要使这两个正方形的面积之和等于58cm2,小林该怎么剪?(2)小峰对小林说:“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2”,他的说法对吗?请说明理由.【解析】(1)设其中一个正方形的边长为x cm,则另一个正方形的边长为(10-x)cm.由题意得x2+(10-x)2=58,解得x1=3,x2=7.4×3=12,4×7=28.所以小林应把铁丝剪成12cm和28cm的两段.(2)假设能围成.由(1)得,x2+(10-x)2=48,化简得x2-10x+26=0.因为b2-4ac=(-10)2-4×1×26=-4<0,所以此方程没有实数根.所以小峰的说法是对的.【变式训练】(1)用20cm长的铁丝能否折成面积为30cm2的矩形,若能够,求它的长与宽;若不能,请说明理由.(2)相同长度的铁丝,折成矩形和正方形,哪个的面积大?【解析】(1)不能,理由:设矩形的长为x cm,则宽为(10-x)cm,由题意(10-x)x=30,即x2-10x+30=0,因为b2-4ac=(-10)2-4×1×30=-20<0,所以此方程没有实数根.即不能折成面积为30cm2的矩形.(2)若铁丝的长度为l ,设矩形的长为x,则宽为(x)2-l ,其面积为(x)2-l x=-x 2+2l x 222222(x x)(x x )221616(x ).416=--=--++=--+l l l l l l即当x=4l,折成正方形时,面积最大. 【培优训练】9.(10分)王伟准备用一段长30m 的篱笆围成一个三角形形状的小圈,用于饲养家兔.已知第一条边长为am,由于受地势限制,第二条边长只能是第一条边长的2倍多2m. (1)请用a 表示第三条边长.(2)问第一条边长可以为7m 吗?为什么?请说明理由,并求出a 的取值范围.(3)能否使得围成的小圈是直角三角形形状,且各边长均为整数?若能,说明你的围法;若不能,请说明理由.【解析】(1)第一条边为a,第二条边为2a+2,第三条边为30-a-(2a+2)=28-3a.(2)不可以是7 m.理由:∵a=7时,2a+2=16,28-3a=7,即第一条边为7,第二条边为16,第三条边为7.又∵7+7<16,不满足三角形三边之间的关系,∴不能构成三角形. 根据三角形的三边不等关系,得 2a+2-a<28-3a<2a+2+a,解得<a<.(3)能围成直角三角形形状且各边长均为整数.当28-3a 是最长边时,a 2+(2a+2)2=(28-3a)2,解得a 1=5,a 2=39(不合题意,舍去),所以三边分别是5,12,13.当2a+2是最长边时,a 2+(28-3a)2=(2a+2)2,由于解不是整数,舍去.所以能围成直角三角形形状,三边分别是5,12,13.关闭Word 文档返回原板块。