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2017年上海市金山区高考数学二模试卷

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2017年高考数学真题试题(上海卷)(Word版+答案+解析)

2017年高考数学真题试题(上海卷)(Word版+答案+解析)

2017年高考数学真题试卷（上海卷）一、填空题1.已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B=________．2.若排列数 P 6m=6×5×4，则m=________．3.不等式x−1x＞1的解集为________．4.已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于________．5.已知复数z 满足z+ 3z =0，则|z|=________． 6.设双曲线x 29﹣y 2b 2=1（b ＞0）的焦点为F 1、F 2 ， P 为该双曲线上的一点，若|PF 1|=5，则|PF 2|=________．7.如图，以长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为（4，3，2），则 AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标是________．8.定义在（0，+∞）上的函数y=f （x ）的反函数为y=f ﹣1（x ），若g （x ）= {3x −1，x ≤0f(x)，x >0为奇函数，则f﹣1（x ）=2的解为________．9.已知四个函数：①y=﹣x ，②y=﹣ 1x ，③y=x 3 ， ④y=x 12，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为________．10.已知数列{a n }和{b n }，其中a n =n 2 ， n ∈N * ， {b n }的项是互不相等的正整数，若对于任意n ∈N * ， {b n }的第a n 项等于{a n }的第b n 项，则lg(b 1b 4b 9b 16)lg(b 1b 2b 3b 4)=________．11.设a 1、a 2∈R ，且 12+sinα1+ 12+sin(2α2) =2，则|10π﹣α1﹣α2|的最小值等于________．12.如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P 1、P 2、P 3、P 4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P 1 ， P 2 ， P 3 ， P 4}，点P ∈Ω，过P 作直线l P ， 使得不在l P 上的“▲”的点分布在l P 的两侧．用D 1（l P ）和D 2（l P ）分别表示l P 一侧和另一侧的“▲”的点到l P 的距离之和．若过P 的直线l P 中有且只有一条满足D 1（l P ）=D 2（l P ），则Ω中所有这样的P 为________．二、选择题13.关于x 、y 的二元一次方程组 {x +5y =02x +3y =4 的系数行列式D 为（ ）A. |0543| B. |1024| C. |1523| D. |6054|14.在数列{a n }中，a n =（﹣ 12 ）n ， n ∈N * ， 则 lim n→∞a n （ ） A. 等于 −12 B. 等于0 C. 等于 12 D. 不存在15.已知a 、b 、c 为实常数，数列{x n }的通项x n =an 2+bn+c ，n ∈N * ， 则“存在k ∈N * ， 使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列”的一个必要条件是（ ） A. a≥0 B. b≤0 C. c=0 D. a ﹣2b+c=0 16.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 236+y 24=1和C 2：x 2+y 29=1．P 为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，w 是 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值．记Ω={（P ，Q ）|P 在C 1上，Q 在C 2上，且 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =w}，则Ω中元素个数为（ ）A. 2个B. 4个C. 8个D. 无穷个三、解答题17.如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5．（1）求三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小． 18.已知函数f （x ）=cos 2x ﹣sin 2x+ 12 ，x ∈（0，π）． （1）求f （x ）的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a= √19 ，角B 所对边b=5，若f （A ）=0，求△ABC 的面积．19.根据预测，某地第n （n ∈N *）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n 和b n （单位：辆），其中a n = {5n 4+15，1≤n ≤3−10n +470，n ≥4 ，b n =n+5，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差．（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量S n =﹣4（n ﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？ 20.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ： x 24+y 2 =1，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点．（1）若P 在第一象限，且|OP|= √2 ，求P 的坐标；（2）设P （ 85，35 ），若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；（3）若|MA|=|MP|，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且 AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =4PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线AQ 的方程．21.设定义在R 上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1、x 2∈R ，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）≤f （x 2）． （1）若f （x ）=ax 3+1，求a 的取值范围；（2）若f （x ）是周期函数，证明：f （x ）是常值函数；（3）设f （x ）恒大于零，g （x ）是定义在R 上的、恒大于零的周期函数，M 是g （x ）的最大值．函数h （x ）=f （x ）g （x ）．证明：“h （x ）是周期函数”的充要条件是“f （x ）是常值函数”．答案解析部分一、<b >填空题1.【答案】{3，4}【考点】交集及其运算【解析】【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，∴A∩B={3，4}．故答案为：{3，4}．【分析】利用交集定义直接求解．2.【答案】3【考点】排列及排列数公式【解析】【解答】解：∵排列数P6m=6×5×4，∴由排列数公式得P63=6×5×4，∴m=3．故答案为：m=3．【分析】利用排列数公式直接求解．3.【答案】（﹣∞，0）【考点】其他不等式的解法【解析】【解答】解：由x−1x＞1得：1−1x >1⇒1x<0⇒x<0，故不等式的解集为：（﹣∞，0），故答案为：（﹣∞，0）．【分析】根据分式不等式的解法求出不等式的解集即可．4.【答案】9π【考点】简单空间图形的三视图【解析】【解答】解：球的体积为36π，设球的半径为R，可得43πR3=36π，可得R=3，该球主视图为半径为3的圆，可得面积为πR2=9π．故答案为：9π．【分析】由球的体积公式，可得半径R=3，再由主视图为圆，可得面积． 5.【答案】 √3【考点】复数代数形式的乘除运算 【解析】【解答】解：由z+ 3z =0， 得z 2=﹣3，设z=a+bi （a ，b ∈R ），由z 2=﹣3，得（a+bi ）2=a 2﹣b 2+2abi=﹣3，即 {a 2−b 2=−32ab =0，解得： {a =0b =±√3 ． ∴ z =±√3i ． 则|z|= √3 ． 故答案为： √3 ．【分析】设z=a+bi （a ，b ∈R ），代入z 2=﹣3，由复数相等的条件列式求得a ，b 的值得答案． 6.【答案】 11【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】解：根据题意，双曲线的方程为： x 29﹣y 2b 2=1，其中a= √9 =3， 则有||PF 1|﹣|PF 2||=6， 又由|PF 1|=5，解可得|PF 2|=11或﹣1（舍） 故|PF 2|=11， 故答案为：11．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a 的值，结合双曲线的定义可得||PF 1|﹣|PF 2||=6，解可得|PF 2|的值，即可得答案．7.【答案】 （﹣4，3，2） 【考点】空间中的点的坐标【解析】【解答】解：如图，以长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点， 过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，∵ DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为（4，3，2），∴A （4，0，0），C 1（0，3，2）， ∴ AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4，3，2) ． 故答案为：（﹣4，3，2）．【分析】由 DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为（4，3，2），分别求出A 和C 1的坐标，由此能求出结果． 8.【答案】 89 【考点】反函数【解析】【解答】解：若g （x ）= {3x −1，x ≤0f(x)，x >0为奇函数， 可得当x ＞0时，﹣x ＜0，即有g （﹣x ）=3﹣x ﹣1，由g （x ）为奇函数，可得g （﹣x ）=﹣g （x ），则g （x ）=f （x ）=1﹣3﹣x ， x ＞0，由定义在（0，+∞）上的函数y=f （x ）的反函数为y=f ﹣1（x ），且f ﹣1（x ）=2，可由f （2）=1﹣3﹣2= 89 ，可得f ﹣1（x ）=2的解为x= 89 ． 故答案为： 89 ．【分析】由奇函数的定义，当x ＞0时，﹣x ＜0，代入已知解析式，即可得到所求x ＞0的解析式，再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值． 9.【答案】 13【考点】函数的图象，列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】【解答】解：给出四个函数：①y=﹣x ，②y=﹣ 1x ，③y=x 3 ， ④y=x12，从四个函数中任选2个，基本事件总数n= C 42=6 ，③④有两个公共点（0，0），（1，1）．事件A ：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有： ①③，①④共2个，∴事件A ：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为P （A ）= 26 = 13 ． 故答案为： 13 ．【分析】从四个函数中任选2个，基本事件总数n= C42=6，再利用列举法求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件的个数，由此能求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率．10.【答案】2【考点】数列递推式【解析】【解答】解：∵a n=n2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{b n}中的第a n项恒等于{a n}中的第b n项，∴b an = a bn= (b n)2．∴b1=a1=1，(b2)2=b4，(b3)2=b9，(b4)2=b16．∴b1b4b9b16= (b1b2b3b4)2．∴lg(b1b4b9b16)lg(b1b2b3b4)=2．故答案为：2．【分析】a n=n2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{b n}中的第a n项恒等于{a n}中的第b n项，可得b an=a bn= (b n)2．于是b1=a1=1，(b2)2=b4，(b3)2=b9，(b4)2=b16．即可得出．11.【答案】π4【考点】三角函数的化简求值【解析】【解答】解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[﹣1，1]，要使12+sinα1+ 12+sin2α2=2，∴sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．则：α1=−π2+2k1π，k1∈Z．2α2=−π2+2k2π，即α2=−π4+k2π，k2∈Z．那么：α1+α2=（2k1+k2）π −3π4，k1、k2∈Z．∴|10π﹣α1﹣α2|=|10π +3π4﹣（2k1+k2）π|的最小值为π4．故答案为：π4．【分析】由题意，要使12+sinα1+ 12+sin2α2=2，可得sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．求出α1和α2，即可求出|10π﹣α1﹣α2|的最小值12.【答案】P1、P3、P4【考点】进行简单的合情推理【解析】【解答】解：设记为“▲”的四个点为A，B，C，D，线段AB，BC，CD，DA的中点分别为E，F，G，H，易知EFGH为平行四边形；如图所示，四边形ABCD两组对边中点的连线交于点P2，即符合条件的直线l P一定经过点P2，因此：经过点P2的直线有无数条；同时经过点P1和P2的直线仅有1条，同时经过点P3和P2的直线仅有1条，同时经过点P4和P2的直线仅有1条，所以符合条件的点为P1、P3、P4．故答案为：P1、P3、P4．【分析】根据任意四边形ABCD两组对边中点的连线交于一点，过此点作直线，让四边形的四个顶点不在该直线的同一侧，那么该直线两侧的四边形的顶点到直线的距离之和是相等的；由此得出结论．二、<b >选择题13.【答案】C【考点】二阶矩阵【解析】【解答】解：关于x、y的二元一次方程组{x+5y=02x+3y=4的系数行列式：D= |1523|．故选：C．【分析】利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解．14.【答案】B【考点】极限及其运算【解析】【解答】解：数列{a n}中，a n=（﹣12）n，n∈N*，则limn→∞a n= limn→∞(−12)n=0．故选：B．【分析】根据极限的定义，求出limn→∞a n= limn→∞(−12)n的值．15.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】解：存在k∈N*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列，可得：2[a（200+k）2+b（200+k）+c]=a（100+k）2+b（100+k）+c+a（300+k）2+b（300+k）+c，化为：a=0．∴使得x100+k，x200+k，x300+k成等差数列的必要条件是a≥0．故选：A ．【分析】由x 100+k ， x 200+k ， x 300+k 成等差数列，可得：2x 200+k =x 100+k x 300+k ， 代入化简即可得出． 16.【答案】 D【考点】椭圆的简单性质 【解析】【解答】解：椭圆C 1：x 236+y 24=1和C 2：x 2+y 29=1．P 为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，可设P （6cosα，2sinα），Q （cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π， 则 OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos （α﹣β）， 当α﹣β=2kπ，k ∈Z 时，w 取得最大值6，则Ω={（P ，Q ）|P 在C 1上，Q 在C 2上，且 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =w}中的元素有无穷多对． 另解：令P （m ，n ），Q （u ，v ），则m 2+9n 2=36，9u 2+v 2=9， 由柯西不等式（m 2+9n 2）（9u 2+v 2）=324≥（3mu+3nv ）2 ， 当且仅当mv=nu ，即O 、P 、Q 共线时，取得最大值6， 显然，满足条件的P 、Q 有无穷多对，D 项正确． 故选：D ．【分析】设出P （6cosα，2sinα），Q （cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π，由向量数量积的坐标表示和两角差的余弦公式和余弦函数的值域，可得最大值及取得的条件，即可判断所求元素的个数． 三、<b >解答题17.【答案】 （1）解：∵直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面为直角三角形， 两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5． ∴三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积： V=S △ABC ×AA 1= 12×AB ×AC ×AA 1 = 12×4×2×5 =20（2）解：连结AM ，∵直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5，M 是BC 中点， ∴AA 1⊥底面ABC ，AM= 12BC =12√16+4 = √5 ， ∴∠A 1MA 是直线A 1M 与平面ABC 所成角， tan ∠A 1MA=AA 1AM= √5= √5 ，∴直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小为arctan √5 ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，异面直线及其所成的角【解析】【分析】（1）三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积V=S △ABC ×AA 1= 12×AB ×AC ×AA 1 ，由此能求出结果．（2）连结AM ，∠A 1MA 是直线A 1M 与平面ABC 所成角，由此能求出直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小． 18.【答案】 （1）解：函数f （x ）=cos 2x ﹣sin 2x+ 12 =cos2x+ 12 ，x ∈（0，π），由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，解得kπ﹣ 12 π≤x≤kπ，k ∈Z ， k=1时， 12 π≤x≤π，可得f （x ）的增区间为[ π2 ，π）（2）解：设△ABC 为锐角三角形， 角A 所对边a= √19 ，角B 所对边b=5， 若f （A ）=0，即有cos2A+ 12 =0， 解得2A= 23 π，即A= 13 π， 由余弦定理可得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ， 化为c 2﹣5c+6=0， 解得c=2或3，若c=2，则cosB= 2×√19×2 ＜0， 即有B 为钝角，c=2不成立， 则c=3，△ABC 的面积为S= 12 bcsinA= 12 ×5×3× √32=15√34【考点】三角形中的几何计算【解析】【分析】（1）由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增区间；（2）由f （A ）=0，解得A ，再由余弦定理解方程可得c ，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值． 19.【答案】 （1）解：∵a n = {5n 4+15，1≤n ≤3−10n +470，n ≥4 ，b n =n+5∴a 1=5×14+15=20 a 2=5×24+15=95 a 3=5×34+15=420 a 4=﹣10×4+470=430 b 1=1+5=6b2=2+5=7b3=3+5=8b4=4+5=9∴前4个月共投放单车为a1+a2+a3+a4=20+95+420+430=965，前4个月共损失单车为b1+b2+b3+b4=6+7+8+9=30，∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965﹣30=935（2）解：令a n≥b n，显然n≤3时恒成立，当n≥4时，有﹣10n+470≥n+5，解得n≤ 46511，∴第42个月底，保有量达到最大．当n≥4，{a n}为公差为﹣10等差数列，而{b n}为等差为1的等比数列，∴到第42个月底，单车保有量为a4+a422×39+535﹣b1+b422×42= 430+502×39+535﹣6+472×42=8782．S42=﹣4×16+8800=8736．∵8782＞8736，∴第42个月底单车保有量超过了容纳量【考点】函数模型的选择与应用【解析】【分析】（1）计算出{a n}和{b n}的前4项和的差即可得出答案；（2）令a n≥b n得出n≤42，再计算第42个月底的保有量和容纳量即可得出结论．20.【答案】（1）解：设P（x，y）（x＞0，y＞0），∵椭圆Γ：x24+y2=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，P在第一象限，且|OP|= √2，∴联立{x24+y2=1x2+y2=2，解得P（2√33，√63）（2）解：设M（x0，0），A（0，1），P （ 85，35 ），若∠P=90°，则 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ • PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即（x 0﹣ 85 ，﹣ 35 ）•（﹣ 85 ， 25）=0， ∴（﹣ 85 ）x 0+ 6425 ﹣ 625 =0，解得x 0= 2920 ．如图，若∠M=90°，则 MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即（﹣x 0 ， 1）•（ 85 ﹣x 0 ， 35）=0， ∴ x 02−85x 0+35 =0，解得x 0=1或x 0= 35 ， 若∠A=90°，则M 点在x 轴负半轴，不合题意．∴点M 的横坐标为 2920 ，或1，或 35（3）解：设C （2cosα，sinα），∵ AQ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，A （0，1）， ∴Q （4cosα，2sinα﹣1），又设P （2cosβ，sinβ），M （x 0 ， 0），∵|MA|=|MP|，∴x 02+1=（2cosβ﹣x 0）2+（sinβ）2 ，整理得：x 0= 34 cosβ，∵ PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =（4cosα﹣2cosβ，2sinα﹣sinβ﹣1）， PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（﹣ 54 cosβ，﹣sinβ）， PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =4PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，∴cosβ=﹣ 43 cosα，且sinα= 13 （1﹣2sinα），以上两式平方相加，整理得3（sinα）2+sinα﹣2=0，∴sinα= 23 ，或sinα=﹣1（舍去），此时，直线AC 的斜率k AC =﹣ 1−sinα2cosα = √510（负值已舍去），如图．∴直线AQ 为y= √510x+1．【考点】椭圆的应用，直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），联立{x24+y2=1x2+y2=2，能求出P点坐标．（2）设M（x0，0），A（0，1），P（85，35），由∠P=90°，求出x0= 2920；由∠M=90°，求出x0=1或x0= 35；由∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意．由此能求出点M的横坐标．（3）设C（2cosα，sinα），推导出Q（4cosα，2sinα﹣1），设P（2cosβ，sinβ），M（x0，0）推导出x0= 34cosβ，从而4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，cosβ=﹣43cosα，且sinα= 13（1﹣2sinα），由此能求出直线AQ．21.【答案】（1）解：由f（x1）≤f（x2），得f（x1）﹣f（x2）=a（x13﹣x23）≤0，∵x1＜x2，∴x13﹣x23＜0，得a≥0．故a的范围是[0，+∞）（2）证明：若f（x）是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+T k），由题意，对任意x∈[x0，x0+T k]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+T k），∴f（x0）=f（x）=f（x0+T k）．又∵f（x0）=f（x0+nT k），n∈Z，并且…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数（3）证明：充分性：若f（x）是常值函数，记f（x）=c1，设g（x）的一个周期为T g，则h（x）=c1•g（x），则对任意x0∈R，h（x0+T g）=c1•g（x0+T g）=c1•g（x0）=h（x0），故h（x）是周期函数；必要性：若h（x）是周期函数，记其一个周期为T h．若存在x1，x2，使得f（x1）＞0，且f（x2）＜0，则由题意可知，x1＞x2，那么必然存在正整数N1，使得x2+N1T k＞x1，∴f（x2+N1T k）＞f（x1）＞0，且h（x2+N1T k）=h（x2）．又h（x2）=g（x2）f（x2）＜0，而h（x2+N1T k）=g（x2+N1T k）f（x2+N1T k）＞0≠h（x2），矛盾．综上，f（x）＞0恒成立．由f（x）＞0恒成立，任取x0∈A，则必存在N2∈N，使得x0﹣N2T h≤x0﹣T g，即[x0﹣T g，x0]⊆[x0﹣N2T h，x0]，∵…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴…∪[x0﹣2N2T h，x0﹣N2T h]∪[x0﹣N2T h，x0]∪[x0，x0+N2T h]∪[x0+N2T h，x0+2N2T h]∪…=R．h（x0）=g（x0）•f（x0）=h（x0﹣N2T h）=g（x0﹣N2T h）•f（x0﹣N2T h），∵g（x0）=M≥g（x0﹣N2T h）＞0，f（x0）≥f（x0﹣N2T h）＞0．因此若h（x0）=h（x0﹣N2T h），必有g（x0）=M=g（x0﹣N2T h），且f（x0）=f（x0﹣N2T h）=c．而由（2）证明可知，对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数．综上，必要性得证【考点】函数的周期性【解析】【分析】（1）直接由f（x1）﹣f（x2）≤0求得a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+T k），证明对任意x∈[x0，x0+T k]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+T k），可得f（x0）=f（x0+nT k），n∈Z，再由…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，可得对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数；（3）分充分性及必要性证明．类似（2）证明充分性；再证必要性，然后分类证明．。

上海市长宁区、青浦区、宝山区、嘉定区2017-2018学年高三数学二模试卷(文科) Word版含解析

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2017-2018学年上海市长宁区、青浦区、宝山区、嘉定区高考数学二模试卷（文科）一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．设集合A={x||x|＜2，x∈R}，B={x|x2﹣4x+3≥0，x∈R}，则A∩B=．2．已知i为虚数单位，复数z满足=i，则|z|= ．3．设a＞0且a≠1，若函数f（x）=a x﹣1+2的反函数的图象经过定点P，则点P的坐标是．4．计算：= ．5．在平面直角坐标系内，直线l：2x+y﹣2=0，将l与两坐标轴围成的封闭图形绕y轴旋转一周，所得几何体的体积为．6．已知sin2θ+sinθ=0，θ∈（，π），则tan2θ= ．7．定义在R上的偶函数y=f（x），当x≥0时，f（x）=2x﹣4，则不等式f（x）≤0的解集是．8．在平面直角坐标系xOy中，有一定点A（1，1），若OA的垂直平分线过抛物线C：y2=2px （p＞0）的焦点，则抛物线C的方程为．9．已知x、y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为．10．在（x2+）6（k为实常数）的展开式中，x3项的系数等于160，则k= ．11．从棱长为1的正方体的8个顶点中任取3个点，则以这三点为顶点的三角形的面积等于的概率是．12．已知数列{a n}满足a1+a2+…+a n=n2+3n（n∈N+），则= ．13．甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有10道选择题，每题均有4个选项，答对得3分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有1道题的选项不同，如果甲最终的得分为27分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为．14．对于函数f（x）=，其中b＞0，若f（x）的定义域与值域相同，则非零实数a 的值为．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．“sinα=0”是“cosα=1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件16．下列正确的是（）A．若直线l1∥平面α，直线l2∥平面α，则l1∥l2B．若直线l上有两个点到平面α的距离相等，则l∥αC．直线l与平面α所成角的取值范围是（0，）D．若直线l1⊥平面α，直线l2⊥平面α，则l1∥l217．已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（﹣）•（﹣）=0，则||的最大值是（）A．1 B．2 C．D．18．已知直线l：y=2x+b与函数y=的图象交于A，B两点，记△OAB的面积为S（O为坐标原点），则函数S=f（b）是（）A．奇函数且在（0，+∞）上单调递增B．偶函数且在（0，+∞）上单调递增C．奇函数且在（0，+∞）上单调递减D．偶函数且在（0，+∞）上单调递减三、解答题（共5小题，满分60分）19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=AA1=2，D为侧棱AA1的中点；（1）求证：AC⊥平面BCC1B1；（2）求异面直线B1D与AC所成角的大小．20．已知函数f （x ）=sin2x+cos2x ﹣1（x ∈R ）；（1）写出函数f （x ）的最小正周期和单调递增区间；（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若f （B ）=0， =，且a+c=4，试求b 的值．21．定义在D 上的函数f （x ），若满足：对任意x ∈D ，存在常数M ＞0，都有|f （x ）|≤M 成立，则称f （x ）是D 上的有界函数，其中M 称为函数f （x ）的上界：（1）设f （x ）=，判断f （x ）在上是否有界函数，若是，请说明理由，并写出f （x ）的所有上界的值的集合，若不是，也请说明理由；（2）若函数g （x ）=1+a•（）x +（）x 在 ．【考点】交集及其运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可． 【解答】解：A={x||x|＜2，x ∈R}={x|﹣2＜x ＜2}， B={x|x 2﹣4x+3≥0，x ∈R}={x|x≥3或x≤1}， 则A∩B={x|﹣2＜x≤1}， 故答案为：（﹣2，1]．2．已知i 为虚数单位，复数z 满足=i ，则|z|= 1 ．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】设出z=a+bi ，得到1﹣a ﹣bi=﹣b+（a+1）i ，根据系数相等得到关于a ，b 的方程组，解出a ，b 的值，求出z ，从而求出z 的模．【解答】解：设z=a+bi ，则==i ，∴1﹣a ﹣bi=﹣b+（a+1）i ，∴，解得，故z=﹣i，|z|=1，故答案为：1．3．设a＞0且a≠1，若函数f（x）=a x﹣1+2的反函数的图象经过定点P，则点P的坐标是（3，1）．【考点】反函数．【分析】由于函数f（x）=a x﹣1+2经过定点（1，3），再利用反函数的性质即可得出．【解答】解：∵函数f（x）=a x﹣1+2经过定点（1，3），∴函数f（x）的反函数的图象经过定点P（3，1），故答案为：（3，1）．4．计算：= ．【考点】极限及其运算．【分析】先利用排列组合公式，将原式化简成的形式，再求极限．【解答】解：===．故答案为：．5．在平面直角坐标系内，直线l：2x+y﹣2=0，将l与两坐标轴围成的封闭图形绕y轴旋转一周，所得几何体的体积为．【考点】用定积分求简单几何体的体积．【分析】由题意此几何体的体积可以看作是：V=，求出积分即得所求体积．【解答】解：由题意可知：V=，∴V=π（y3﹣），=．故答案为．6．已知sin2θ+sinθ=0，θ∈（，π），则tan2θ= ．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由已知等式化简可得sinθ（2cosθ+1）=0，结合范围θ∈（，π），解得cosθ=﹣，利用同角三角函数基本关系式可求tanθ，利用二倍角的正切函数公式可求tan2θ的值．【解答】解：∵sin2θ+sinθ=0，⇒2sinθcosθ+sinθ=0，⇒sinθ（2cosθ+1）=0，∵θ∈（，π），sinθ≠0，∴2cosθ+1=0，解得：cosθ=﹣，∴tanθ=﹣=﹣，∴tan2θ==．故答案为：．7．定义在R上的偶函数y=f（x），当x≥0时，f（x）=2x﹣4，则不等式f（x）≤0的解集是．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据条件判断函数的单调性和函数的零点，利用函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可．【解答】解：当x≥0时，由f（x）=2x﹣4=0得x=2，且当x≥0时，函数f（x）为增函数，∵f（x）是偶函数，∴不等式f（x）≤0等价为f（|x|）≤f（2），即|x|≤2，即﹣2≤x≤2，即不等式的解集为，故答案为：．8．在平面直角坐标系xOy中，有一定点A（1，1），若OA的垂直平分线过抛物线C：y2=2px （p＞0）的焦点，则抛物线C的方程为y2=4x ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先求出线段OA的垂直平分线方程，然后表示出抛物线的焦点坐标并代入到所求方程中，进而可求得p的值，即可得到抛物线方程．【解答】解：∵点A（1，1），依题意我们容易求得直线的方程为x+y﹣1=0，把焦点坐标（，0）代入可求得焦参数p=2，从而得到抛物线C的方程为：y2=4x．故答案为：y2=4x．9．已知x、y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为﹣6 ．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（﹣2，﹣2），化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A（﹣2，﹣2）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2×（﹣2）﹣2=﹣6．故答案为：﹣6．10．在（x2+）6（k为实常数）的展开式中，x3项的系数等于160，则k= 2 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】T r+1=k r x12﹣3r，令12﹣3r=3，解得r．即可得出．【解答】解：T r+1=（x2）6﹣r=k r x12﹣3r，令12﹣3r=3，解得r=3．∴T4=x3，∴20k3=160，解得k=2．故答案为：2．11．从棱长为1的正方体的8个顶点中任取3个点，则以这三点为顶点的三角形的面积等于的概率是．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】从正方体的8个顶点中任意取3个构成三角形的顶点共有取法，其中以这三点为顶点的三角形的面积S=的三角形共有24个，由此能求出结果．【解答】解：从正方体的8个顶点中任意取3个构成三角形的顶点共有取法，其中以这三点为顶点的三角形的面积S=的三角形如图中的△ABC，这类三角形共有24个∴P（S=）==．故答案为：．12．已知数列{a n}满足a1+a2+…+a n=n2+3n（n∈N+），则= 2n2+6n ．【考点】数列的求和．【分析】通过a1+a2+…+a n=n2+3n与a1+a2+…+a n﹣1=（n﹣1）2+3（n﹣1）作差，进而计算可知a n=2（n+1），分别利用等差数列、等比数列的求和公式计算即得结论．【解答】解：∵a1+a2+…+a n=n2+3n，∴当n≥2时，a1+a2+…+a n﹣1=（n﹣1）2+3（n﹣1），两式相减得：a n=（n2+3n）﹣=2（n+1），又∵a1=1+3=4满足上式，∴a n=2（n+1），=4+4n，∴=4n+4•=2n2+6n，故答案为：2n2+6n．13．甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有10道选择题，每题均有4个选项，答对得3分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有1道题的选项不同，如果甲最终的得分为27分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为{24，27，30} ．【考点】集合的表示法；计数原理的应用．【分析】甲最终的得分为27分，可得：甲答对了10道题目中的9道，由于甲和乙都解答了所有的试题，甲必然有一道题目答错了，不妨设为第一题．由于他们只有1道题的选项不同，如果是第一道题，则乙可能答错，也可能答对，即可得出分数．如果是第一道题以外的一个题目，则乙一定答错，而第一道题，则乙也一定答错，即可得出．【解答】解：∵甲最终的得分为27分，∴甲答对了10道题目中的9道，∵甲和乙都解答了所有的试题，∴甲必然有一道题目答错了，不妨设为第一题．∵甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有1道题的选项不同，如果是第一道题，则乙可能答错，也可能答对，此时乙可得30分或27分．如果是第一道题以外的一个题目，则乙一定答错，而第一道题，则乙也一定答错，此时乙可得24分．综上可得：乙的所有可能的得分值组成的集合为{24，27，30}．故答案为：{24，27，30}．14．对于函数f（x）=，其中b＞0，若f（x）的定义域与值域相同，则非零实数a的值为﹣4 ．【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【分析】根据函数的定义域与值域相同，故可以求出参数表示的函数的定义域与值域，由两者相同，故比较二区间的端点得出参数满足的方程解方程求参数即可．【解答】解：若a＞0，由于ax2+bx≥0，即x（ax+b）≥0，∴对于正数b，f（x）的定义域为：D=（﹣∞，﹣]∪．由于此时max=f（﹣）=，故函数的值域 A=．由题意，有﹣=，由于b＞0，所以a=﹣4．故答案为：﹣4．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．“sinα=0”是“cosα=1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由sinα=0可得α=kπ（k∈Z），即可判断出结论．【解答】解：sinα=0可得α=kπ（k∈Z），∴cosα=±1，反之成立，∴“sinα=0”是“cosα=1”的必要不充分条件．故选：B16．下列正确的是（）A．若直线l1∥平面α，直线l2∥平面α，则l1∥l2B．若直线l上有两个点到平面α的距离相等，则l∥αC．直线l与平面α所成角的取值范围是（0，）D．若直线l1⊥平面α，直线l2⊥平面α，则l1∥l2【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据各选项条件举出反例．【解答】解：对于A，若直线l1∥平面α，直线l2∥平面α，则l1与l2可能平行，可能相交，也可能异面，故A错误．对于B，若直线l与平面α相交于O点，在交点两侧各取A，B两点使得OA=OB，则A，B到平面α的距离相等，但直线l与α不平行，故B错误．对于C，当直线l⊂α或l∥α时，直线l与平面α所成的角为0，当l⊥α时，直线l与平面α所成的角为，故C错误．对于D，由定理“垂直于同一个平面的两条直线平行“可知D正确．故选：D．17．已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（﹣）•（﹣）=0，则||的最大值是（）A．1 B．2 C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由向量垂直的条件可得•=0，运用向量的平方即为模的平方，可得|+|=，再化简运用向量的数量积的定义，结合余弦函数的值域，即可得到所求最大值．【解答】解：由题意可得•=0，可得|+|==，（﹣）•（﹣）=2+•﹣•（+）=||2﹣||•|+|cos＜（+，＞=0，即为||=cos＜+，＞，当cos＜+，＞=1即+，同向时，||的最大值是．故选：C．18．已知直线l：y=2x+b与函数y=的图象交于A，B两点，记△OAB的面积为S（O为坐标原点），则函数S=f（b）是（）A．奇函数且在（0，+∞）上单调递增B．偶函数且在（0，+∞）上单调递增C．奇函数且在（0，+∞）上单调递减D．偶函数且在（0，+∞）上单调递减【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【分析】根据条件求出AB的长度以及O到AB的距离，从而求出三角形OAB的面积函数，根据函数的表达式即可得到结论．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由2x+b=，即2x2+bx﹣1=0，则，则|AB|=，圆心到直线2x﹣y+b=0的距离d=，∴△OAB的面积S==，∴S=f（b）=，则函数f（b）为偶函数，当b＞0时，y=和都为增函数，∴当b＞0时，f（b）=为增函数．故选：B．三、解答题（共5小题，满分60分）19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=AA1=2，D为侧棱AA1的中点；（1）求证：AC⊥平面BCC1B1；（2）求异面直线B1D与AC所成角的大小．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由已知推导出AC⊥BC，CC1⊥AC，由此能证明AC⊥平面BCC1B1．（2）以C为原点，直线CA、CB、CC1为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线B1D与AC所成角的大小．【解答】证明：（1）∵底面△ABC是等腰直角三角形，且AC=BC，∴AC⊥BC，∵CC1⊥平面A1B1C1，∴CC1⊥AC，∵CC1∩BC=C，∴AC⊥平面BCC1B1．解：（2）以C为原点，直线CA、CB、CC1为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，2），B1（0，2，2），D（2，0，1），=（2，﹣2，﹣1），=（﹣2，0，0），设异面直线B1D与AC所成角为θ，则cosθ===．∴．∴异面直线B1D与AC所成角的大小为arccos．20．已知函数f（x）=sin2x+cos2x﹣1（x∈R）；（1）写出函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若f（B）=0， =，且a+c=4，试求b的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用两角和的正弦化简，由周期公式求得周期，再由相位在正弦函数的增区间内求得x的范围求得f（x）单调递增区间；（2）把f（B）=0代入函数解析式，求得B，展开数量积=，求得ac的值，结合a+c=4，利用余弦定理求得b的值．【解答】解：（1）f（x）=sin2x+cos2x﹣1=．∴T=；由，得．∴函数f（x）的单调递增区间为[]，k∈Z；（2）由f（B）==0，得．∴或，k∈Z．∵B是三角形内角，∴B=．而=ac•cosB=，∴ac=3．又a+c=4，∴a2+c2=（a+c）2﹣2ac=16﹣2×3=10．∴b2=a2+c2﹣2ac•cosB=7．则b=．21．定义在D上的函数f（x），若满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界：（1）设f（x）=，判断f（x）在上是否有界函数，若是，请说明理由，并写出f（x）的所有上界的值的集合，若不是，也请说明理由；（2）若函数g（x）=1+a•（）x+（）x在上是增函数；从而可得|f（x）|≤1，从而求得；（2）由题意知﹣3≤1+a•（）x+（）x≤3在上是增函数；故f（﹣）≤f（x）≤f（）；即﹣1≤f（x）≤，故|f（x）|≤1，故f（x）是有界函数；故f（x）的所有上界的值的集合是．22．设椭圆Г：（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），短轴的一个端点B 到F的距离等于焦距：（1）求椭圆Г的标准方程；（2）设C、D是四条直线x=±a，y=±b所围成的矩形在第一、第二象限的两个顶点，P是椭圆Г上任意一点，若，求证：m2+n2为定值；（3）过点F的直线l与椭圆Г交于不同的两点M、N，且满足于△BFM与△BFN的面积的比值为2，求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的右焦点为F（1，0），短轴的一个端点B到F的距离等于焦距，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆Г的标准方程．（2）求出C（2，），D（﹣2，），设P（x0，y0），则，由已知=，得=1，由此能证明m2+n2=为定值．（3）=2等价于=2，设l：y=k（x﹣1），由，得（3+4k2）y2+6ky﹣9k2=0，由此利用韦达定理、椭圆性质，结合已知条件能求出直线l的方程．【解答】解：（1）∵椭圆Г：（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），短轴的一个端点B到F的距离等于焦距，∴，解得a=2，b=，∴椭圆Г的标准方程为．证明：（2）∵C、D是四条直线x=±a，y=±b所围成的矩形在第一、第二象限的两个顶点，∴C（2，），D（﹣2，），设P（x0，y0），则，由已知=，得，∴=1，∴m2+n2=为定值．解：（3）=2等价于=2，当直线l的斜率不存在时， =1，不合题意，故直线l的斜率存在，设l：y=k（x﹣1），由，消去x，得（3+4k2）y2+6ky﹣9k2=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，由=2，得=﹣2，则，，∴3+4k2=8，k=，∴直线l的方程为y=．23．已知数列{a n}、{b n}满足：a，a n+b n=1，b；（1）求b1、b2、b3、b4；（2）求证：数列{}是等差数列，并求{b n}的通项公式；（3）设S n=a1a2+a2a3+…+a n a n+1，若不等式4aS n＜b n对任意n∈N*恒成立，求实数a的取值范围．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；数列递推式．【分析】（1）通过已知条件代入计算即得结论；（2）通过两边同时减1并取倒数，利用a n+b n=1化简可知数列{}是等差数列，进而计算可得结论；（3）通过（2）可知b n=，进而裂项可知a n a n+1=﹣，并项相加可知S n=，进而问题转化为求的最小值，计算即得结论．【解答】（1）解：依题意，b1=1﹣a1=1﹣=，b2===，a2=1﹣b2=1﹣=，==，a3=1﹣b3=1﹣=，==；（2）证明：∵，a n+b n=1，∴b n+1﹣1=﹣1=﹣1=，两边同时取倒数，得： ==﹣1=﹣1=﹣1=﹣1，∴数列{}是等差数列，又∵==﹣4，∴=﹣4﹣（n﹣1）=﹣（n+3），∴数列{b n}的通项公式b n=1﹣=；（3）解：由（2）可知b n=，∴a n=1﹣b n=，a n a n+1==﹣，∴S n=a1a2+a2a3+…+a n a n+1=﹣+﹣+…+﹣=﹣=，∵不等式4aS n＜b n对任意n∈N*恒成立，∴不等式4a•＜对任意n∈N*恒成立，∴a＜=1+，∵随着n的增大而减小，且=0，∴a≤1．2016年6月24日。

2017年上海市各区数学二模压轴题图文解析

2017年上海市各区数学二模压轴题图文解析

本解析由华东师范大学出版社《挑战压轴题》作者马学斌老师独家提供。

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轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点M 是上述抛物线上一点，如果△ABM 和△ABC 相似，求点M 的坐标；（3）联结AC，求顶点D、E、F、G 在△ABC 各边上的矩形DEFG 面积最大时，写出该矩形在AB 边上的顶点的坐标．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 宝山 24”，拖动点D 在BC 上运动，可以体验到，当点D是BC 的中点时，矩形DEFG 的面积最大，最大值是△ABC 面积的一半．思路点拨1．第（2）题△ABM 和△ABC 相似，只存在这两个三角形全等的情形，此时M、C 关于抛物线的对称轴对称．2．第（3）题的矩形DEFG 存在两种情况．用二次函数表示矩形的面积，求二次函数的最大值，然后看看最大值时矩形顶点的位置具有什么特殊性．图文解析（1）由1y x 2 ，得B(4, 0)，C(0,－2)．2将点B(4, 0)代入y 1 x2 bx 2 ，得 8＋4b－2＝0．解得 3b ．2 2所以抛物线的解析式为 1 2 3 2 1 ( 1)( 4)y x x x x ．所以A(－1, 0)．2 2 2（2）如图 2，由A(－1, 0)、B(4, 0)、C(0,－2)，可得 tan∠CAO＝tan∠BCO＝2．又因为∠CAO 与∠ACO 互余，所以∠BCO 与∠ACO 互余．所以△ABC 是直角三角形．过点A、B 分别作x 轴的垂线，不可能存在点M．所以只存在∠AMB＝90°的情况，此时点M 在x 轴的下方（如图 3 所示）．图 2 图 32如图 3，如果△ABM 和△ABC 相似，那么△ABM ≌△BAC ．所以点 M 与点 C 关于抛物线的对称轴对称，点 M 的坐标为(3,－2)．（3）矩形 DEFG 有两种情况：1①如图 4，在 AB 边上的顶点有两个，坐标分别为(2, 0)和( ,0) ．23②如图 5，在 AB 边上的顶点有一个，坐标为( ,0)．2考点伸展第（3）题的解题思路是这样的：在 Rt △ABC 中，AB ＝5，高 CO ＝2．情形一，如图 4，F 、G 两点在 AB 上．设 DE ＝m ，DG ＝n ．根据相似三角形对应高的比等于对应边的比，得 2 ．所以 5(2 )n m nm ． 2 52 所以 S ＝mn ＝ 5 2 n n ＝ 5 ( 1)2 5 (2 )n ． 2 2所以当 n ＝1 时，矩形 DEFG 的面积最大．几何意义是 D 为 BC 的中点时，矩形的面积 最大，最大值是△ABC 面积的一半．情形二，如图 5，点 G 在 AB 上．同样的，设 DE ＝m ，DG ＝n ．由 BD DG ，得 2 5．所以 2 5 n ． m n m BE EA 22 55 所以 S ＝m n ＝ (2 5 ) m m 2 ＝ 1 ( 5)2 5 m ．2 2所以当 m 5 时，矩形 DEFG 的面积最大．几何意义是 D 为 BC 的中点时，矩形的面 积最大，最大值也是△ABC 面积的一半．此时点 G 为 AB 的中点．图 4 图 53例2017年上海市宝山区中考模拟第25题如图 1，在△ABC 中，∠ACB 为直角，AB＝10，∠A＝30°，半径为 1 的动圆Q 的圆心从点C 出发，沿着CB 方向以 1 个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P 从点B 出发，沿着BA 方向也以 1 个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t 秒（0＜t≤5），以P 为圆心、PB 为半径的⊙P 与AB、BC 的另一个交点分别为E、D，联结ED、EQ．（1）判断并证明ED 与BC 的位置关系，并求当点Q 与点D 重合时t 的值；（2）当⊙P 和AC 相交时，设CQ 为x，⊙P 被AC 解得的弦长为y，求y 关于x 的函数解析式，并求当⊙Q 过点B 时⊙P 被AC 截得的弦长；（3）若⊙P 与⊙Q 相交，写出t 的取值范围．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 宝山 25”，拖动Q 由C 向B 运动，可以体验到，⊙P 与⊙Q 的位置关系依次为外离、外切和相交．思路点拨1．第（1）题Q、D 重合时，根据CQ＋BD＝BC 列关于t 的方程．2．第（2）题⊙Q 过点B 时，CQ＝5－1＝4．3．第（3）题求⊙P 与⊙Q 相交，先求临界位置外切时t 的值．图文解析（1）如图 2，根据直径所对的圆周角是直角，可以知道ED⊥BC．在 Rt△ABC 中，AB＝10，∠A＝30°，所以BC＝5．在 Rt△BDE 中，BE＝2BP＝2t，∠BED＝30°，所以BD＝t，DE＝ 3 t．如图 3，当点Q 与点D 重合时，BD＋CQ＝BC＝5．所以 2t＝5．解得t＝2.5．图 2 图 3（2）如图 4，设⊙P 和AC 相交于M、N 两点．作PH⊥MN 于H，那么MH＝NH．在 Rt△PAH 中，PA＝10－t，∠A＝30°，所以PH＝12(10t)t．＝5 12在 Rt△PMH 中，PM＝PB＝t，由勾股定理，得MH2＝PM2－PH2＝ 2 (5 1 )2t t ．2 于是得到y＝MN＝2MH＝3t2 20t 100 ．4如图 5，当⊙Q 过点B 时，CQ＝x＝4，此时MN＝y＝316 20 4 100 ＝2 7 ．图 4 图 5＜t≤5．（3）当⊙P与⊙Q相交时，t的取值范围是17974考点伸展第（3）题的解题过程分三步：第一步，罗列三要素．对于圆P，r P＝t；对于圆Q，r Q＝1；圆心距PQ 需要求一下．如图 6，作PF⊥BC 于F．在Rt△PFQ 中，由勾股定理，得PQ＝( 3 )2 (5 3 )2t t ．2 2第二步，列方程．如图 7，当⊙P 与⊙Q 外切时，r P＋r Q＝PQ．所以t 1( 3 t)2 (5 3t)2 ．整理，得 2t2－17t＋24＝0．解得17 97t ．2 2 4第三步，写结论．图 6 图 75例2017年上海市崇明区中考模拟第 24题 如图 1，已知抛物线 y ＝ax 2－2x ＋c 经过△ABC 的三个顶点，其中点 A (0, 1)，点 B (9, 10)，AC //x 轴． （1）求这条抛物线的解析式；（2）求 tan ∠ABC 的值；（3）若点 D 为抛物线的顶点，点 E 是直线 AC 上一点，当△CDE 与△ABC 相似时，求 点 E 的坐标．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 崇明 24”，拖动点 E 在点 C 左侧运动，可以体验到，△CDE 与△ABC 相似存在两种情况．思路点拨1．求 tan ∠ABC 的值，首先要将∠ABC 放在某个直角三角形中．作 AB 边上的高 CH 以 后，有两种解法：一种解法是∠BAC ＝45°为特殊值；另一种解法是一般性的，已知三角形 的三边，作高不设高，设 AH ＝m ．2．探究△CDE 与△ABC 相似，首选的方法是寻找一组等角，然后按照对应边成比例分 两种情况列方程．图文解析 c1,（1）将 A (0, 1)、B (9, 10)两点分别代入 y ＝ax 2－2x ＋c ，得81a 18 c 10.1 3 解得 a ＝ ，c ＝1．所以这条抛物线的解析式为 12 2 1y x x ． 3（2）由于 AC //x 轴，抛物线的对称轴为 x ＝3，所以 C (6, 1)．如图 2，作 BM ⊥AC ，垂足为 M ．作 CH ⊥AB 于 H ．由 A (0, 1)、B (9, 10)，可知 AM ＝BM ＝9，所以∠BAC ＝45°，AB ＝9 2 ．在 Rt △ACH 中，AC ＝6，所以 AH ＝CH ＝3 2 ．在 Rt △BCH 中，BH ＝AB －AH ＝6 2 ，所以 tan ∠ABC ＝ C H B H＝ 3 2 6 2 ＝ 1 2 ． 6（3）由 1 2 2 1 1 ( 3)2 2y x x x ，得顶点D 的坐标为(3,－2)．3 3由C(6, 1)、D(3,－2)，可知∠ACD＝45°，CD＝3 2 ．当点E 在点C 左侧时，∠DCE＝∠BAC．分两种情况讨论△CDE 与△ABC 相似：①当C E A B时，CE 9 2 ．解得CE＝9．此时E(－3, 1)（如图 3 所示）．C D A C32 6②CE AC 时，CE 6 ．解得CE＝2．此时E(4, 1)（如图 4 所示）．C D A B329 2图 2 图 3 图 4考点伸展第（2）题还有一般的解法：如图 2，△ABC 的三边长是确定的，那么作AB 边上的高CH，设AH＝m，就可以求得AH，进而求得CH、BH 的长．由A(0, 1)、B(9, 10)、C(6, 1)，可得AB＝9 2 ，BC＝3 10 ，AC＝6．由CH2＝CA2－AH2，CH2＝CB2－BH2，得CA2－AH2＝CB2－BH2．解方程62 m2 (3 10)2 (9 2 m)2 ，得m 3 2 ．于是得到BH＝6 2 ，CH＝3 2 ．7例 2017年上海市崇明区中考模拟第 25题如图，梯形 ABCD 中，AB //CD ，∠ABC ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，tan D ＝2，点 E 是射线 CD 上一动点（不与点 C 重合），将△BCE 沿着 BE 进行翻折，点 C 的对应点记为点 F ．（1）如图 1，当点 F 落在梯形 ABCD 的中位线 MN 上时，求 CE 的长；S （2）如图 2，当点 E 在线段 CD 上时，设 CE ＝x ， △BFCS△E F C＝y ，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出定义域；（3）如图 3，联结 AC ，线段 BF 与射线 CA 交于点 G ，当△CBG 是等腰三角形时，求 CE 的长．图 1 图 2 图 3动感体验请打开几何画板文件名“17 崇明 25”，拖动点 E 运动，可以体验到，等腰三角形 BCG 存在三种情况，每种情况的点 G 的位置都具有特殊性．思路点拨1．第（1）题点 F 到 AB 的距离等于 BF 的一半，得到∠FBA ＝30°．2．第（2）题△BFC 与△EFC 的面积比等于 BH 与 EH 的比，通过 Rt △BCH ∽Rt △CEH 得到 BH 与 EH 的比．3．第（3）题先求 CG 的长，再求 CE 的长．延长 BF 交 CD 的延长线于 K ，得到△KEF ∽△KBC ．图文解析（1）如图 4，在 Rt △FNB 中，BN ＝ 所以∠B F N ＝30°． 1 2 B C ＝ 1 2B F ，所以∠FBA ＝30°．所以∠FBC ＝60°． 所以∠FBE ＝∠CBE ＝30°．＝ 8 3 3所以 C E ＝B C t a n 30°＝83 3． 图 4（2）如图 5，设 BE 垂直平分 FC 于点 H ，那么∠CBH ＝∠ECH ． 所以△CBH ∽△ECH ．S 所以CBH△S△ECHBH ＝ ( )2EH＝ 64 x 2 S ．所以 y ＝ BFC △S△EFC＝ 2S △CBHC2S △ECH ＝ 64 x2． 定义域是 0＜x ≤10．8图 5图 6（3）①如图 6，当 CG ＝CB ＝8 时，AG ＝2．CK CG 延长 BF 交 CD 的延长线于 K ．由 4 ，得 CK ＝4AB ＝24．AB AG1 3在 Rt △KBC 中，BC ＝8，CK ＝24，所以 tan ∠K ＝．所以 sin ∠K ＝ 10 10． 在 Rt △KEF 中，FE ＝CE ＝x ，EK ＝CK －CE ＝24－x ．由 sin ∠K ＝F E E K ＝ 10 10，得10 x 24 x 10．解得 x ＝CE ＝ 8 10 83．②如图 7，当 GC ＝GB 时，点 G 在 BC 的垂直平分线上，此时四边形 ABCK 为矩形． 在 Rt △EKF 中，sin ∠EKF ＝B C B K ＝ 8 10 ＝ 4 5，FE ＝CE ＝x ，KE ＝CK －CE ＝6－x ．所以 4 x6 x 5．解得 x ＝CE ＝ 8 3．③如图 8，当 BG ＝BC ＝8 时，由于 BC ＝BF ，所以 F 、G 重合．此时 BE ⊥AC ．由 tan ∠CEB ＝tan ∠ACB ＝ 3 4 ，得B C C E 3 ．所以 CE ＝ 432 3．图 7 图 8考点伸展第（3）题的①、②两种情况，解 Rt △KEF ，可以用勾股定理列方程．9例 2017年上海市奉贤区中考模拟第 24题如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点 A (3, 0)和点 B (2, 3)，过点1 3A 的直线与 y 轴的负半轴相交于点 C ，且 tan ∠CAO ＝（1）求这条抛物线的表达式及对称轴；． （2）联结 AB 、BC ，求∠ABC 的正切值；（3）若点 D 在 x 轴下方的对称轴上，当 S △ABC ＝S △ADC 时，求点 D 的坐标．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 奉贤 24”，可以体验到，△ABC 是等腰直角三角形，B 、D 两点到直线 AC 的距离相等．思路点拨1．直觉告诉我们，△ABC 是直角三角形．2．第（3）题的意思可以表达为：B 、D 在直线 AC 的两侧，到直线 AC 的距离相等．于 是我们容易想到，平行线间的距离处处相等．图文解析（1）将 A (3, 0)、B (2, 3)两点分别代入 y ＝－x 2＋bx ＋c ，得93b c 0,4 2b c 3.解得 b ＝2，c ＝3．所以 y ＝－x 2＋2x ＋3．对称轴是直线 x ＝1．O C OA （2）由 t a n ∠C A O ＝＝ 1 3，OA ＝3，得 OC ＝1．所以 C (0,－1)． 由两点间的距离公式，得 AB 2＝12＋32＝10，AC 2＝32＋12＝10，BC 2＝22＋42＝20． 所以∠BAC ＝90°，且 AB ＝AC ．所以△ABC 是等腰直角三角形，tan ∠ABC ＝1．（3）因为△ABC 与△ADC 有公共底边 AC ，当 S △ABC ＝S △ADC 时，B 、D 到直线 AC 的距离相等．如图 2，因为点 B (2, 3)关于点 A (3, 0)的对称点为 E (4,－3)，那么过点 E 作 AC 的平行线 与抛物线的对称轴的交点即为所求的点 D ．由 A (3, 0)、C (0,－1)可得直线 AC 的解析式为1y x 1．3设直线 DE 的解析式为y x b ，代入点 E (4,－3)，得 13 1b ．3 3 10所以直线DE 的解析式为11 3 y x ．当x＝1 时，y＝－4．3 3所以点D 的坐标为(1,－4)．考点伸展第（2）题也可以构造 Rt△ABM 和 Rt△CAN（如图 3），用“边角边”证明△ABM≌△CAN，从而得到等腰直角三角形ABC．图 2 图 3第（3）题也可以这样思考：如图 4，过点B 与直线AC 平行的直线为y 1 x 7 ，与y 轴交于点F(0, 7)33 3．F、C 两点间的距离为710(1) ．3 3把直线AC：y 1 x 向下平移1013 3个单位，得到直线113y x ．3 3感谢网友上海交大昂立教育张春莹老师第（3）题的解法：如图 5，如果把BL、KD 分别看作△ABC 和△ADC 的底边，那么它们的高都是A、C 两点间的水平距离，当△ABC 与△ADC 的面积相等时，BL＝KD．1 )，K(1,2 )．所以3 ( 1) ( 2) 由直线AC 的解析式可以求得L (y ．2,D3 3 3 3解得y D＝－4．所以D(1,－4)．图 4 图 511例2017年上海市奉贤区中考模拟第25题如图 1，线段AB＝4，以AB 为直径作半圆O，点C 为弧AB 的中点，点P 为直径AB 上一点，联结PC，过点C 作CD//AB，且CD＝PC，过点D 作DE//PC，交射线PB 于点E，PD 与CE 相交于点Q．（1）若点P 与点A 重合，求BE 的长；PD＝y，当点P 在线段AO 上时，求y 关于x 的函数关系式及定义域；C E（2）设P C＝x，（3）当点Q 在半圆O 上时，求PC 的长．图 1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“17 奉贤 25”，拖动点P 在AO 上运动，可以体验到，PD 与CE的比就是菱形的对角线的比，可以转化为PQ 与EQ 的比，进而转化为∠PEQ 的正切值．拖动点P 在OB 上运动，可以体验到，当点Q 落在圆上时，点Q 到AB 的距离等于圆的半径的一半．思路点拨1．四边形PCDE 是菱形，对角线互相垂直平分．2．第（2）题根据∠PEQ 和∠CEO 是同一个角，用正切值得到关系式．3．第（3）题画图的步骤是：点Q 在OC 的中垂线与圆的交点处，延长CQ 交AB 的延长线于点E，过点Q 作CE 的垂线得到点P、D．图文解析（1）如图 2，由CD//AB，DE//PC，得四边形PCDE 是平行四边形．又因为CD＝PC，所以四边形PCDE 是菱形．在等腰直角三角形AOC 中，AC＝ 2 OA＝2 2 ．当点P 与点A 重合，PE＝AC＝2 2 ．所以BE＝AB－PE＝4－2 2 ．图 2 图 3（2）如图 3，在 Rt△CPO 中，PC＝x，CO＝2，所以PO＝x 2 4 ．所以EO＝PE－PO＝PC－PO＝x x 2 4 ．12因为PD 与CE 互相垂直平分于Q，所以y＝P DC E＝PQE Q ＝tan∠PEQ＝tan∠CEO＝C OE O．所以y2x x 42x x2 442．定义域是2≤x≤22 ．（3）如图 4，作QH⊥AB 于H．因为菱形PCDE 的对边CD 与PE 间的距离保持不变，等于圆的半径CO＝2，当点Q在半圆O 上时，QH＝12OQ＝1．所以∠QOH＝30°．此时∠COQ＝60°，△COQ 是等边三角形．所以∠DCE＝30°．所以∠PCE＝30°．在 Rt△COP 中，∠OCP＝30°，CO＝2，所以PC＝C O＝ 2c o s3032＝4 33．图 4 图 5考点伸展在本题情境下，当点P 从A 运动到B 的过程中，求点Q 运动过的路径长．因为点Q 是CE 的中点，所以点Q 的运动轨迹与点E 的运动轨迹平行，点Q 的路径长等于点E 路径长的一半．如图 2，当点P 与点A 重合时，AE＝AC＝2 2 ．如图 5，当点P 与点B 重合时，BE＝BC＝2 2 ．所以点E 运动的路径长为 4，点Q 运动的路径长为 2．13例2017年上海市虹口区中考模拟第24题如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线1y x bx c 经过点A(－2, 0)和原点，点B 在4抛物线上且 tan∠BAO＝12，抛物线的对称轴与x 轴相交于点P．（1）求抛物线的解析式，并直接写出点P 的坐标；（2）点C 为抛物线上一点，若四边形AOBC为等腰梯形且AO//BC，求点C 的坐标；（3）点D 在AB 上，若△ADP 与△ABO 相似，求点D 的坐标．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 虹口 24”，拖动点D 在AB 上运动，可以体验到，△ADP与△ABO 相似存在两种情况．点击屏幕左下角的按钮“第（2）题”，可以体验到，以A、O、B、C 为顶点的等腰梯形存在三种情况，其中AO//BC 时，点C 与点B 关于抛物线的对称轴对称．思路点拨1．已知二次函数的二次项系数和抛物线与x 轴的两个交点，可以直接写出交点式．2．等腰梯形AOBC 当AO//BC 时，C、B 两点关于抛物线的对称轴对称．3．分两种情况讨论△ADP 与△ABO 相似．由于∠A 是公共角，根据夹∠A 的两边对应成比例，分两种情况列方程，先求AD 的长，再求点D 的坐标．图文解析（1）因为抛物线1y x bx c 与x 轴交于点A(－2, 0)和原点，所以411 1y x(x2)x x．244 2抛物线的对称轴是直线x＝－1，点P 的坐标为(－1, 0)．1（2）作BH⊥x 轴于H．设点B 的坐标为(x, x(x 2)) ．4由 tan∠BAO＝B HA H＝121，得AH＝2BH．所以(x 2) 2x(x 2) ．4解得x＝2，或x＝－2（B、A 重合，舍去）．所以B(2, 2)．若四边形AOBC 为等腰梯形且AO//BC，那么B、C 关于抛物线的对称轴x＝－1 对称．所以点C 的坐标为(－4, 2)．图 2 图 314（3）作DE⊥x 轴于E．在 Rt△ADE 中，已知 tan∠A＝12，所以DE＝55A D，AE＝2 55 A D．由于△ADP 与△ABO 有公共角∠A，分两种情况讨论相似：①当AD AB 时，AD 2 5 ．所以AD＝5 ．A P A O1 2此时DE＝1，AE＝2．所以点D 的坐标为(0, 1)．②当A D A O时，A D 2．所以A D＝ 5 A P A B125 5．此时DE＝15，AE＝25．所以OE＝OA－AE＝858 1(,)．5 5．所以点D的坐标为图 4 图 5考点伸展如果第（2）题改为以A、O、B、C 为顶点的四边形是等腰梯形，那么就要分三种情况：△AOB 的三边的垂直平分线都可以是等腰梯形的对称轴．第二种情况：如果OC//AB，那么点C 与点O 关于直线AB 的垂直平分线对称．点C 在直线1y x 上，设C(2m, m)．2由CB＝OA＝2，得CB2＝4．所以(2m－2)2＋(m－2)2＝4．解得m＝254 2 ，或m＝2（此时四边形AOCB 是平行四边形）．所以C( , )．5 5第三种情况：如果AC//OB，那么点C 与点A 关于直线OB 的垂直平分线对称．点C 在直线y＝x＋2 上，设C(n, n＋2)．由CB＝AO＝2，得CB2＝4．所以(n－2)2＋n2＝4．解得n＝2，或n＝0（舍去）．所以C(2, 4)．图 6 图 715例2017年上海市虹口区中考模拟第25题如图 1，在△ABC 中，AB＝AC＝5，cos B＝45，点P 为边BC 上一动点，过点P 作射线PE 交射线BA 于点D，∠BPD＝∠BAC．以点P 为圆心，PC 长为半径作⊙P 交射线PD 于点E，联结CE，设BD＝x，CE＝y．（1）当⊙P 与AB 相切时，求⊙P 的半径；（2）当点D 在BA 的延长线上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）如果⊙O 与⊙P 相交于点C、E，且⊙O 经过点B，当O P＝54时，求AD 的长．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 虹口 25”，拖动点P 运动，可以体验到，△BPD 与△BAC 保持相似，PN 与BD 保持平行．观察度量值，可以体验到，OP＝1.25 存在两种情况．思路点拨1．作圆P 的弦CE 对应的弦心距PN，把图形中与∠B 相等的角都标记出来．2．第（3）题的圆O 经过B、C、E 三点，事实上OP 与BD 是平行的．图文解析（1）如图 2，作AM⊥BC 于M，那么BM＝CM．在 Rt△ABM 中，AB＝5，cos B＝B MA B＝45，所以BM＝4，sin B＝35．如图 3，设⊙P 与AB 切于点H，那么 sin B＝PHBP＝35．所以r8 r 35＝．解得r＝3．图 2 图 3 图 4 （2）如图 4，由于∠B＝∠B，∠BPD＝∠BAC，所以△BPD∽△BAC．因为AB＝AC，所以PB＝PD．如图 5，设圆P 与BC 的另一个交点为F，因此所以F E//B D．所以∠E F C＝∠B．P F P E．P B P D在△PBD 中，B P B A 5，所以5 5BP BD x ．B D B C888在△EFC 中，由PC＝PE＝PF，可知∠FEC＝90°，所以 sin∠EFC＝C EC F3．516所以CF5 CE 5 y ．所以 PC ＝ 13 3 2 CF ＝ 5 6y ．由 BC ＝BP ＋PC ＝8，得5 x 5 y ．整理，得 48 3 y x ．定义域是 5＜x ＜ 64886545．（3）因为⊙O 经过 B 、C 、E 三点，所以圆心 O 是 BC 和 CE 的垂直平分线的交点． 如图 6，设 CE 的中点为 N ，那么 OP ⊥CE 于 N ． 所以 OP //FE //BA ．所以 cos ∠OPM ＝cos B ＝ 4 5 ．当 OP ＝ 5 4时，MP ＝1．①如图 6，当 P 在 M 右侧时，BP ＝4＋1＝5．此时 BD ＝ 所以 A D ＝B D －B A ＝8－5＝3．8 5BP ＝8．②如图 7，当 P 在 M 左侧时，BP ＝4－1＝3．此时 BD ＝ 8 5 B P ＝ 24 5．2 4 所以 AD ＝BA －BD ＝ 5 ＝ 51 5．图 5 图 6 图 7考点伸展第（2）题不证明 FE //BA 的话，可以证明∠CPN ＝∠B ．如图 8，由于∠CPE ＝∠B ＋∠D ＝2∠B ，∠CPE ＝2∠CPN ，所以∠CPN ＝∠B ．在 Rt △CPE 中， 1 2 3 5 C E ＝PC ．所以 PC ＝5 6 C E ＝ 5 6 5 y ．所以 BP ＝8 y ．6 在△BPD 中， 1 2 B D ＝ 4 5 BP ．所以 1 x 4 5 y ．整理，得 48 3 (8 ) y x ．2 5 6 5 4定义域中 x ＝ 64 5的几何意义如图 9 所示．图 8 图 917例 2017年上海市黄浦区中考模拟第 24题如图 1，点 A 在函数 y4（x ＞0）的图像上，过点 A 作 x 轴和 y 轴的平行线分别交函 x数 y 1的图像于点 B 、C ，直线 BC 与坐标轴的交点为 D 、E ． x（1）当点 C 的横坐标为 1 时，求点 B 的坐标；（2）试问：当点 A 在函数 y4（x ＞0）的图像上运动时，△ABC 的面积是否发生变 x 化？若不变，请求出△ABC 的面积；若变化，请说明理由；（3）试说明：当点 A 在函数 y4（x ＞0）的图像上运动时，线段 BD 与 CE 的长始终 x相等．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 黄浦 24”，拖动点 A 运动，可以体验到，△DBM 与△CEN 保持全等，MN 与 BC 保持平行．思路点拨1．设点 A 的横坐标为 m ，A 、C 两点的横坐标相等，A 、B 两点的纵坐标相等，用 m 表 示 A 、B 、C 三点的坐标和 AB 、AC 的长．2．证明 BD ＝CE ，因为四点共线，只要证明 B 、D 两点间的竖直距离等于 C 、E 两点间 的竖直距离就可以了．图文解析（1）当点 C 的横坐标为 1 时，C (1, 1)，A (1, 4)．由 1 x4 ，得x 1 ．所以点 B 的坐标为(1 ,4) 4 4 ． （2）△ABC 的面积为定值．计算如下：4 如图 2，设点 A 的坐标为(m , ) m 1 ，那么 C (m , ) mm 4 ，B ( , )． 4 m3m 所以 A B ＝ 4 ，AC ＝ 3 m ．所以 S △ABC ＝ 1 2 A B A C ＝ 1 3 3 ＝ m2 4 m9 8 ． （3）如图 3，延长 AB 交 y 轴于 M ，延长 AC 交 x 轴于 N ．在 Rt △DBM 中，tan ∠DBM ＝tan ∠ABC ＝ A C A B ＝ 3 3m ＝ m 44 m 2 ，BM ＝ m 4，所以DM＝BM tan∠DBM＝m44＝m21m．所以DM＝CN．18又因为 sin∠DBM＝sin∠CEN，所以DB＝CE．图 2 图 3考点伸展如图 4，第（2）题中，面积为定值的有：矩形AMON、△ABC、△BOM、△CON，所以△BOC 的面积也为定值．如图 5，联结MN，那么MN 与BC 保持平行，这是因为M B N C 1．M A N A 4还有一个有趣的结论，随着点A 的运动，直线MN 与双曲线y 1（x＞0）保持相切．x直线MN 的解析式为44，与y1y x 联立方程组，消去y，得m m x214 4x．x m m2整理，得(2x－m)2＝0．所以直线MN 与双曲线有一个交点，保持相切．感谢网友上海交大昂立教育张春莹老师提供的第（3）题的简练解法：如图 4，因为B D B M 1，C E C N 1，所以B D＝C E．B C B A3C B C A 3图 4 图 519例2017年上海市黄浦区中考模拟第25题已知 Rt△ABC 斜边AB 上的D、E 两点满足∠DCE＝45°．（1）如图 1，当AC＝1，BC＝ 3 ，且点D 与点A 重合时，求线段BE 的长；（2）如图 2，当△ABC 是等腰直角三角形时，求证：AD2＋BE2＝DE2；（3）如图 3，当AC＝3，BC＝4 时，设AD＝x，BE＝y，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．图 1 图 2 图 3动感体验请打开几何画板文件名“17 黄浦 25”，可以体验到，四边形CMEN 是正方形．点击屏幕左下方的按钮“第（2）题”，可以体验到，直角三角形DEF 的边FD＝AD，FE＝BE．点击按钮“第（3）题”，可以体验到，△CDP∽△ECQ．思路点拨1．第（1）题过点E 向两条直角边作垂线段，围成一个正方形，然后根据对应线段成比例求正方形的边长，再得到BE 的长等于正方形边长的 2 倍．2．第（2）题的目标是把AD、BE 和DE 围成一个直角三角形．经典的解法有翻折和旋转两种．图文解析（1）当AC＝1，BC＝ 3 时，AB＝2，∠B＝30°．如图 4，作EM⊥BC 于M，作EN⊥AC 于N，那么四边形CMEN 是正方形．设正方形的边长为a．由EM BM，得a 3 a ．AC BC 1 3解得 3 3a ．2所以BE＝2EM＝3 3 ．图 4【解法二】如图 4，因为1C B E MS C B△C B E21S C A E N C A△C B E2S B E，△C B ES E A△C B E，所以C B B E．C A E A．解得BE＝3 3 ．所以3B E12B E20（2）如图5，以CE 为对称轴，构造△CFE≌△CBE，那么FE＝BE，∠CFE＝∠B＝45°．联结DF．由“边角边”证明△CFD≌△CAD，所以FD＝AD，∠CFD＝∠A＝45°．所以△DEF 是直角三角形，FD2＋FE2＝DE2．所以AD2＋BE2＝DE2．【解法二】如图 6，绕点C 将△CBE 逆时针旋转 90°得到△CAG，那么AG＝BE，CE ＝CG，∠CAG＝∠B＝45°．由“边角边”证明△CDG≌△CDE，所以DG＝DE．在 Rt△GDA 中，AD2＋AG2＝DG2．所以AD2＋BE2＝DE2．图 5 图 6（3）如图 7，作CH⊥AB 于H．在 Rt△ABC 中，AC＝3，BC＝4，所以AB＝5．于是可得CH 12 ，BH 16 ，9AH ．5 5 5所以DH 9 x，16EH y ．5 5如图 8，以H 为旋转中心，将点D 逆时针旋转 90°得到点P，将点E 顺时针旋转 90°得到点Q．于是可得△CDP∽△ECQ．由PD QC，得PD QE PC QC ．PC QE所以2(9 x) 2(16 y ) 12 (9 x )12 (16 y )5 5 5 5 5 5．整理，得2860xy5x 21．157 定义域是0≤x≤15 7．当B、E 重合时x＝．图 7 图 821考点伸展第（3）题解法多样，再介绍三种解法：如图 9，过点C 作AB 的平行线KL．构造等腰直角三角形KDD′和LEE′．由△CDE∽△KCD，△CDE∽△LEC，得△KCD∽△LEC．所以KC DK，即KC CL=LE DK ．LE CL所以12 (9 )12 (16 ) 12 2 12 2x y55555 5．整理即可．如图 10，分别以CD、CE 为对称轴，作CH 的对应线段CK、CL，再围成正方形CKRL．在 Rt△DER 中，由DR2＋ER2＝DE2，得2 2129121 6(x)(y)(5x y)25555．整理即可．如图 11，类似第（2）题的第一种解法，在 Rt△A′B′T 中，A′B′＝CB－CA＝1，所以A′T＝35 ，B′T＝ 4 5．在 Rt△DET 中，DE＝5－x－y，TE＝y 4，T D＝ 3x ，由勾股定理，得5 52 4 23 2(5x y ) (y ) (x ) ．整理即可．5 5图 9 图 10 图 1122例2017年上海市嘉定区中考模拟第24题如图 1，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为(3, 1)，点B 的坐标为(6, 5)，点C 的坐标为(0, 5)，某二次函数的图像经过A、B、C 三点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）假如点Q 在该二次函数图像的对称轴上，且△ACQ 是等腰三角形，请直接写出点Q 的坐标；（3）如果点P 在（1）中求出的二次函数的图像上，且 tan∠PCA＝12，求∠PCB 的正弦值．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 嘉定 24”，可以体验到，当AD⊥AC，且AC＝2AD 时，点D 的位置是确定的，射线CD 与抛物线的交点就是点P．思路点拨1．由B、C 两点的坐标可知抛物线的对称轴是直线x＝3，再由点A 的坐标可知点A 就是抛物线的顶点，因此设顶点式比较简便．2．分三种情况讨论等腰三角形ACQ：AQ＝AC，CQ＝CA，QA＝QC．3．第（3）题的解题策略是：根据 tan∠PCA＝12，过点A 作AC 的垂线，在垂线上截取AD＝12AC，那么点P 就是射线CD 与抛物线的交点，∠DCB 就是∠PCB．不用求点P的坐标，求点D 的坐标就好了．图文解析（1）由B(6, 5)、C(0, 5)，可知抛物线的对称轴是直线x＝3．由A(3, 1)，可知点A 是抛物线的顶点．设二次函数的解析式为y＝a(x－3)2＋1，代入点B(6, 5)，得 9a＋1＝5．4 4 4 8解得a ．所以y (x 3)2 1x 2 x 5．9 9 9 33 3（2）点Q 的坐标为(3, 6)，(3,－4)，(3, 9)或(3, )8．（3）如图 2，绕着点A 将线段AC 的中点旋转 90°得到点D，那么射线CD 与抛物线的交点就是要求的点P．当点D 在CA 左侧时，射线CD 与抛物线没有交点．如图 3，当点D 在CA 右侧时，作DE⊥x 轴于E，那么∠DCE 就是∠PCB．过点A 作x 轴的平行线交y 轴于M，过点D 作DN⊥AM 于N．CM MA AC由△CMA∽△AND，得 2 ．AN ND DA所以A N 1C M ，1 32N D M A ．22 223在 Rt△CDE 中，CE＝MA＋AN＝3＋2＝5，ED＝CM－ND＝3 5 4，2 2所以 tan∠DCE＝E DC E＝12．所以 sin∠DCE＝55，即 sin∠PCB＝55．图 2 图 3考点伸展第（2）题分三种情况讨论等腰三角形ACQ：①如图 4，当AQ＝AC＝5 时，以A 为圆心、以AC 为半径的圆与对称轴有两个交点，所以点Q 的坐标为(3, 6) 或(3,－4)．②如图 5，当CQ＝CA 时，点C 在AQ 的垂直平分线上，此时点Q 的坐标为(3, 9)．③如图 6，当QA＝QC 时，点Q 在AC 的垂直平分线上，此时1 4A C A Q．2 5所以AQ＝58AC ＝2583 3．此时点Q 的坐标为(3, )8．图 4 图 5 图 6 24例2017年上海市嘉定区中考模拟第25题已知AB＝8，⊙O 经过点A、B，以AB 为一边画平行四边形ABCD，另一边CD 经过点O（如图 1）．以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交线段OC 于点E（点E 不与点O、点C 重合）．（1）求证：OD＝OE；（2）如果⊙O 的半径长为 5（如图 2），设OD＝x，BC＝y，求y 与x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果⊙O 的半径长为 5，联结AC，当BE⊥AC 时，求OD 的长．图 1 图 2 备用图动感体验请打开几何画板文件名“17 嘉定 25”，拖动点D 运动，可以体验到，四边形ABED 保持等腰梯形的形状，△BCE 保持等腰三角形的形状，垂足H 的位置保持不变，MH 的位置保持不变．双击按钮“AC⊥BE”，可以体验到，点C 恰好落在圆上，MH 等于EC 与AB 和的一半．思路点拨1．根据等腰梯形是轴对称图形，很容易知道点O 是DE 的中点．2．第（2）题中，等腰三角形BCE 的高BH 为定值，先用x 表示EC，再用勾股定理就可以表示BC 了．3．第（3）题如何利用BE⊥AC，常规的方法是过点C 作BE 的平行线得到直角三角形．图文解析（1）如图 3，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD＝BC．又因为BE＝BC，所以AD＝BE．所以四边形ABED 是等腰梯形．因为圆心O 在弦AB 的垂直平分线上，所以点O 是上底DE 的中点，即OD＝OE．图 3 图 425例2017年上海市静安区中考模拟第24题如图 1，已知二次函数 1 2y x bx c 的图像与x 轴的正半轴交于点A(2, 0)和点B，2与y 轴交于点C，它的顶点为M，对称轴与x 轴相交于点N．（1）用b 的代数式表示点M 的坐标；（2）当 tan∠MAN＝2 时，求此二次函数的解析式及∠ACB 的正切值．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 静安 24”，拖动点N 运动，观察∠MAN 的正切值的度量值，可以体验到，当 tan∠MAN＝2 时，△OBC 是等腰直角三角形．思路点拨1．第（1）题分三步：根据抛物线的解析式写出对称轴x＝b；代入点A 的坐标，用b表示c；求x＝b 时y 的值，得到顶点的纵坐标．2．第（2）题先根据 tan∠MAN＝2 求b 的值，确定点B、C 的坐标，再作BC 边上的高AH，解直角三角形ABH 和直角三角形ACH．图文解析（1）由 1 2y x bx c ，得抛物线的对称轴为直线x＝b．2将点A(2, 0)代入 1 2y x bx c ，得－2＋2b＋c＝0．所以c＝2－2b．2当x＝b 时， 1 2 2 2 1 2 2 2 1 ( 2)2y x bx b b b b ．2 2 2所以抛物线的顶点M 的坐标可以表示为( , 1 ( 2)2 )b b ．2MN（2）当 tan∠MAN＝2 时， 2 ，即MN＝2AN．AN解方程1 ( 2)2 2( 2)b b ，得b＝6，或b＝2（与A 重合，舍去）．2此时抛物线的解析式为 1 2 6 10y x x ，A(2, 0)，B(6, 0)，C(0,－10)．2所以AB＝8，OB＝OC＝10．所以BC＝10 2 ，∠B＝45°．27作AH⊥BC 于H，那么AH＝BH＝4 2 ．在 Rt△ACH 中，CH＝BC－BH＝6 2 ，所以 tan∠ACB＝A HC H＝23 ．图 2考点伸展第（2）题上面的解法是利用“边角边”，作高先求高．也可以利用“边边边”，作高不设高．由A(2, 0)，B(6, 0)，C(0,－10)，得AB＝8，BC＝10 2 ，AC＝104 ．设CH＝m，那么BH＝10 2 m．由AH2＝AC2－CH2，AH2＝AB2－BH2，得AC2－CH2＝AB2－BH2．解方程( 104)2 m2 82 (10 2 m)2 ，得m CH 6 2 ．所以AH2＝AC2－CH2＝( 104)2 (6 2)2 ＝32．所以AH＝4 2 ．28例2017年上海市静安区中考模拟第25题如图 1，已知⊙O 的半径OA 的长为 2，点B 是⊙O 上的动点，以AB 为半径的⊙A 与线段OB 相交于点C，AC 的延长线与⊙O 相交于点D．设线段AB 的长为x，线段OC 的长为y．（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（2）当四边形ABDO 是梯形时，求线段OC 的长．图 1图文解析（1）如图 1，因为OA＝OB，所以∠OAB＝∠B．因为AC＝AB，所以∠ACB＝∠B．所以∠OAB＝∠ACB．所以△OAB∽△ACB．所以B O B A，即2xB A B Cx 2 y．整理，得 2 1 2y x ．定义域是 0≤x≤2．x＝2 的几何意义如图 2 所示．2图 1 图 2（2）梯形ABDO 存在两种情况：①如图 3，当AB//OD 时，A B C B，即x2y．整理，得(x＋2)y＝4．D O C O2y代入y 2 1 x2 ，得( 2)(2 1 2 ) 4x x ．整理，得x2＋2x－4＝0．2 2解得x＝ 5 1，或x＝ 5 1（舍去）．所以CO＝y＝2 1 2 ＝2 1 ( 5 1)2x＝ 5 1．事实上，此时点C 是线段OB 的黄2 2金分割点．。

2017年上海高考数学真题试卷(word解析版)

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绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）1、考生注意2、1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.3、2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.4、3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.5、4.用2B 铅笔作答选择题目，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题目.一.填空题目（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1.已知集合{1,2,3,4}A ，集合{3,4,5}B ，则A B ∩2.若排列数6654m P ，则m3.不等式11x x 的解集为4.已知球的体积为36 ，则该球主视图的面积等于5.已知复数z 满足30z z，则||z6.设双曲线22219x y b(0)b 的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF ，则2||PF7.如图，以长方体1111ABCD A B C D 的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为(4,3,2)，则1AC的坐标为8.定义在(0,) 上的函数()y f x 的反函数为1()y f x ，若31,0()(),0x x g x f x x为奇函数，则1()2f x 的解为9.已知四个函数：①y x ；②1y x；③3y x ；④12y x .从中任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为10.已知数列{}n a 和{}n b ，其中2n a n ，*n N ，{}n b的项是互不相等的正整数，若对于任意*n N ，{}n b 的第na 项等于{}n a 的第nb 项，则149161234lg()lg()b b b b b b b b11.设1a 、2a R ，且121122sin 2sin(2) ，则12|10| 的最小值等于12.如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点1P、2P 、3P 、4P 以及四个标记为“”的点在正方形的顶点处，设集合1234{,,,}P P P P ，点P ，过P 作直线P l ，使得不在P l 上的“”的点分布在P l 的两侧.用1()P D l 和2()P D l 分别表示P l 一侧和另一侧的“”的点到P l 的距离之和.若过P 的直线P l 中有且只有一条满足12()()P P D l D l ，则 中所有这样的P 为二.选择题目（本大题共4题，每题5分，共20分）13.关于x 、y 的二元一次方程组50234x y x y的系数行列式D 为（）A.0543 B.1024 C.1523 D.605414.在数列{}n a 中，1(2nn a ，*n N ，则lim n n a （）A.等于12B.等于0C.等于12D.不存在15.已知a 、b 、c 为实常数，数列{}n x 的通项2n x an bn c ，*n N ，则“存在*k N ，使得100kx 、200kx 、300kx 成等差数列”的一个必要条件是（）A.0aB.0b C.0c D.20a b c 16.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:1364x y C 和222:19y C x .P 为1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，w 是OP OQ的最大值.记{(,)|P Q P 在1C 上，Q 在2C 上，且}OP OQ w，则 中元素个数为（）A.2个B.4个C.8个D.无穷个三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.如图，直三棱柱111ABC A B C 的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5.（1）求三棱柱111ABC A B C 的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的大小.18.已知函数221()cos sin 2f x x x，(0,)x .（1）求()f x 的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A所对边a ，角B 所对边5b ，若()0f A ，求△ABC 的面积.19.根据预测，某地第n *()n N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），其中4515,1310470,4n n n a n n，5n b n ，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n （单位：辆）.设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？20.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14x y ，A 为 的上顶点，P 为 上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点.（1）若P在第一象限，且||OP ，求P的坐标；（2）设83(,)55P ，若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；（3）若||||MA MP ，直线AQ 与 交于另一点C ，且2AQ AC ，4PQ PM ，求直线AQ 的方程.21.设定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的1x 、2x R ，当12x x 时，都有12()()f x f x .（1）若3()1f x ax ，求a 的取值范围；（2）若()f x 为周期函数，证明：()f x 是常值函数；（3）设()f x 恒大于零，()g x 是定义在R 上、恒大于零的周期函数，M 是()g x 的最大值.函数()()()h x f x g x .证明：“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 是常值函数”.2017年普通高等学校招生全国统一考试上海--数学试卷考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B 铅笔作答选择题目，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题目.一、填空题目（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.已知集合1,2,3,4,3,4,5A B ,则A B ∩.【解析】本题考查集合的运算，交集，属于基础题【答案】3,42.若排列数6P 654m ,则m .【解析】本题考查排列的计算，属于基础题【答案】33.不等式11x x 的解集为.【解析】本题考查分式不等式的解法，属于基础题【答案】,0 4.已知球的体积为36 ，则该球主视图的面积等于.【解析】本题考查球的体积公式和三视图的概念，343633R R ,所以29S R ，属于基础题【答案】95.已知复数z 满足30z z，则z .【解析】本题考查复数的四则运算和复数的模，2303z z z设z a bi ，则22230,a b abi a b,z【答案】6.设双曲线 222109x y b b 的焦点为12F F 、,P为该双曲线上的一点.若15PF ,则2PF.【解析】本题考查双曲线的定义和性质，1226PF PF a （舍），2122611PF PF a PF 【答案】117.如图，以长方体1111ABCD A B C D 的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系.若1DB 的坐标为(4,3,2),则1AC的坐标是.【解析】本题考查空间向量，可得11(400)(03,2)(432)A C AC，，，，，，,属于基础题【答案】(432) ，，8.定义在(0,) 上的函数()y f x 的反函数-1()y f x .若31,0,()(),0x x g x f x x 为奇函数，则-1()=2f x 的解为.【解析】本题考查函数基本性质和互为反函数的两个函数之间的关系，属于中档题10,0,()31()()13x x x x g x g x g x,所以1()13x f x,当2x 时，8()9f x,所以18(29f【答案】9x9.已知四个函数：①y x ；②1y x；③3y x ；④12y x .从中任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为.【解析】本题考查事件的概率，幂函数的图像画法和特征，属于基础题总的情况有：42C 6种，符合题意的就两种：①和③，①和④【答案】1310.已知数列na 和 nb ,其中2,N na n n ， nb 的项是互不相等的正整数.若对于任意N n n b ，中的第n a 项等于 n a 中的第n b 项，则149161234lg lg b b b b b b b b.【解析】本题考查数列概念的理解，对数的运算，属于中档题由题意可得：222222114293164(),,,n n a b n n b a b b b b b b b b b b ，所以214916123412341234lg lg =2lg lg b b b b b b b b b b b b b b b b 【答案】211.设12R ，,且121122sin 2sin(2) ，则1210 的最小值等于.【解析】考查三角函数的性质和值域，121111,1,12sin 32sin(2)3，，要使121122sin 2sin(2) ，则111122221=122sin 2,,1=12sin(2)4k k k Z k1212min min31010(2)44k k,当122=11k k 时成立【答案】412.如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点1234,,,P P P P 以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处.设集合1234=,,,P P P P ，点P .过P 作直线P l ，使得不在P l 上的“▲”的点分布在P l 的两侧.用1()P D l 和2()P D l 分别表示P l 一侧和另一侧的“▲”的点到P l 的距离之和.若过P 的直线P l 中有且只有一条满足12()=()P P D l D l ，则 中所有这样的P 为.【解析】本题考查有向距离，以左下角的顶点为原点建立直角坐标系。

上海市长宁、金山、青浦区2017届高三二模数学试卷含答案

上海市长宁、金山、青浦区2017届高三二模数学试卷含答案

上海市长宁、金山、青浦区 2017 届高三二模数学试卷含答案2017 年徐汇区高三二模考试数学试卷（满分 150 分，考试时间 120 分钟）一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分）考生应 在答题纸的相应位置直接填写结果。

1、设全集 U  1, 2,3, 4 ，集合 A  x x  5 x  4  0, x  Z ，则 CU A  _______________22、参数方程为 x  t2  y  2t（ t 为参数）的曲线的焦点坐标为_______________3、已知复数 z 满足 z  1，则 z  2 的取值范围是_______________ 4、设数列 an  的前项和为 Sn ，若 S n  1 n2 an (n  N * ) ，则 lim S n  _______________ n  31   * 5、若  x   (n  4, n  N ) 的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则 n  _____ 2x  2 3、、 4 5、 6、、 7 8、 9、 10 分别写在 10 张形状大小一样的卡片上，随机抽取一张卡片，则抽到写着偶数或大 6、把 1、、 于 6 的数的卡片的概率为_______________。

（结果用最简分数表示）17、若行列式 cos2 x 2 x cos 2 sin41 0 中元素 4 的代数余子式的值为 ，则实数 x 的取值集合为_______________ 2x 2 x sin 288、满足约束条件 x  2 y  2 的目标函数 z  y  x 的最小值是_______________log 2 x, 0  x  2  9、已知函数 f ( x)   2  x 5 ，若函数 g ( x)  f ( x)  k 有两个不同的零点，则实数 k 的取值范围是    , x  2  3  9_______________。

2017年上海市金山区高考数学一模试卷

2017年上海市金山区高考数学一模试卷

2017年上海市金山区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）若集合M={x|x2﹣2x＜0}，N={x||x|＞1}，则M∩N=．2．（4分）若复数z满足2z+=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=．3．（4分）若sinα=﹣，且α为第四象限角，则tanα的值等于．4．（4分）函数的最小正周期T=．5．（4分）函数f（x）=2x+m的反函数为y=f﹣1（x），且y=f﹣1（x）的图象过点Q （5，2），那么m=．6．（4分）点（1，0）到双曲线的渐近线的距离是．7．（5分）若x，y满足，则2x+y的最大值为．8．（5分）从5名学生中任选3人分别担任语文、数学、英语课代表，其中学生甲不能担任数学课代表，共有种不同的选法（结果用数值表示）．9．（5分）方程x2+y2﹣4tx﹣2ty+3t2﹣4=0（t为参数）所表示的圆的圆心轨迹方程是（结果化为普通方程）10．（5分）若a n是（2+x）n（n∈N*，n≥2，x∈R）展开式中x2项的二项式系数，则=．11．（5分）设数列{a n}是集合{x|x=3s+3t，s＜t且s，t∈N}中所有的数从小到大排列成的数列，即a1=4，a2=10，a3=12，a4=28，a5=30，a6=36，…，将数列{a n}中各项按照上小下大，左小右大的原则排成如图的等腰直角三角形数表，则a15的值为．12．（5分）曲线C是平面内到直线l1：x=﹣1和直线l2：y=1的距离之积等于常数k2（k＞0）的点的轨迹，下列四个结论：①曲线C过点（﹣1，1）；②曲线C关于点（﹣1，1）成中心对称；③若点P在曲线C上，点A、B分别在直线l1、l2上，则|PA|+|PB|不小于2k；④设P0为曲线C上任意一点，则点P0关于直线l1：x=﹣1，点（﹣1，1）及直线f（x）对称的点分别为P1、P2、P3，则四边形P0P1P2P3的面积为定值4k2；其中，所有正确结论的序号是．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）给定空间中的直线l与平面α，则“直线l与平面α垂直”是“直线l垂直于平面α上无数条直线”的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既不充分也不必要14．（5分）已知x、y∈R，且x＞y＞0，则（）A．B．C．log2x+log2y＞0 D．sinx﹣siny＞015．（5分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）A．8﹣B．8﹣C．8﹣2πD．16．（5分）已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A．（0，]B．[，]C．[，]∪{}D．[，）∪{}三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PB、PD与平面ABCD所成的角依次是和，AP=2，E、F依次是PB、PC的中点；（1）求异面直线EC与PD所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）求三棱锥P﹣AFD的体积．18．（14分）已知△ABC中，AC=1，，设∠BAC=x，记；（1）求函数f（x）的解析式及定义域；（2）试写出函数f（x）的单调递增区间，并求方程的解．19．（14分）已知椭圆C以原点为中心，左焦点F的坐标是（﹣1，0），长轴长是短轴长的倍，直线l与椭圆C交于点A与B，且A、B都在x轴上方，满足∠OFA+∠OFB=180°；（1）求椭圆C的标准方程；（2）对于动直线l，是否存在一个定点，无论∠OFA如何变化，直线l总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．20．（16分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上的最大值为4，最小值为1，记f（x）=g（|x|），x∈R；（1）求实数a、b的值；（2）若不等式对任意x∈R恒成立，求实数k的范围；（3）对于定义在[p，q]上的函数m（x），设x0=p，x n=q，用任意x i（i=1，2，…，n﹣1）将[p，q]划分成n个小区间，其中x i﹣1＜x i＜x i+1，若存在一个常数M＞0，）﹣m（x n）使得不等式|m（x0）﹣m（x1）|+|m（x1）﹣m（x2）|+…+|m（x n﹣1|≤M恒成立，则称函数m（x）为在[p，q]上的有界变差函数，试证明函数f（x）是在[1，3]上的有界变差函数，并求出M的最小值．21．（18分）数列{b n}的前n项和为S n，且对任意正整数n，都有；（1）试证明数列{b n}是等差数列，并求其通项公式；（2）如果等比数列{a n}共有2017项，其首项与公比均为2，在数列{a n}的每相之间插入i个（﹣1）i b i（i∈N*）后，得到一个新数列{c n}，求数邻两项a i与a i+1列{c n}中所有项的和；（3）如果存在n∈N*，使不等式成立，若存在，求实数λ的范围，若不存在，请说明理由．2017年上海市金山区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）若集合M={x|x2﹣2x＜0}，N={x||x|＞1}，则M∩N=（1，2）．【分析】解x2﹣2x＜0可得集合M={x|0＜x＜2}，解|x|＞1可得集合N，由交集的定义，分析可得答案．【解答】解：x2﹣2x＜0⇔0＜x＜2，则集合M={x|0＜x＜2}=（0，2）|x|＞1⇔x＜﹣1或x＞1，则集合N=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），则M∩N=（1，2），故答案为：（1，2）【点评】本题考查集合交集的计算，关键是求出集合集合M、N，注意答案写成集合或区间的形式．2．（4分）若复数z满足2z+=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=1﹣2i．【分析】设复数z=a+bi，（a、b是实数），则=a﹣bi，代入已知等式，再根据复数相等的含义可得a、b的值，从而得到复数z的值．【解答】解：设z=a+bi，（a、b是实数），则=a﹣bi，∵2z+=3﹣2i，∴2a+2bi+a﹣bi=3﹣2i，∴3a=3，b=﹣2，解得a=1，b=﹣2，则z=1﹣2i故答案为：1﹣2i．【点评】本题给出一个复数乘以虚数单位后得到的复数，求这个复数的值，着重考查了复数的四则运算和复数相等的含义，属于基础题．3．（4分）若sinα=﹣，且α为第四象限角，则tanα的值等于．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，进而可求tanα的值．【解答】解：∵sinα=﹣，且α为第四象限角，∴cosα===，∴tanα===．故答案为：．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．4．（4分）函数的最小正周期T=π．【分析】利用行列式的计算方法化简f（x）解析式，再利用二倍角的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，找出ω的值，即可求出最小正周期．【解答】解：f（x）=cos2x﹣sin2x=cos2x，∵ω=2，∴T=π．故答案为：π【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及二阶行列式与逆矩阵，化简函数解析式是解本题的关键．5．（4分）函数f（x）=2x+m的反函数为y=f﹣1（x），且y=f﹣1（x）的图象过点Q （5，2），那么m=1．【分析】根据反函数的性质可知：原函数与反函数的图象关于y=x对称，利用对称关系可得答案．【解答】解：f（x）=2x+m的反函数y=f﹣1（x），∵函数y=f﹣1（x）的图象经过Q（5，2），原函数与反函数的图象关于y=x对称，∴f（x）=2x+m的图象经过Q′（2，5），即4+m=5，解得：m=1．故答案为：1．【点评】本题考查了原函数与反函数的图象的关系，它们的图象关于y=x对称，即坐标也对称．属于基础题．6．（4分）点（1，0）到双曲线的渐近线的距离是．【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为：x+2y=0，点（1，0）到双曲线的渐近线的距离是：=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式的应用，是基础题．7．（5分）若x，y满足，则2x+y的最大值为4．【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（1，2），代入目标函数z=2x+y得z=1×2+2=4．即目标函数z=2x+y的最大值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．8．（5分）从5名学生中任选3人分别担任语文、数学、英语课代表，其中学生甲不能担任数学课代表，共有48种不同的选法（结果用数值表示）．【分析】根据分步计数原理，先安排数学课代表，再安排语文、英语课代表．【解答】解：先从除了甲之外的4人选1人为数学课代表，再从包含甲在内的4人中选2人为语文、英语课代表，根据分步计数原理可得，共有A41A42=48种，故学生甲不能担任数学课代表，共有48种不同的选法．故答案为48．【点评】本题考查了分步计数原理，关键是分步，属于基础题．9．（5分）方程x2+y2﹣4tx﹣2ty+3t2﹣4=0（t为参数）所表示的圆的圆心轨迹方程是x﹣2y=0（结果化为普通方程）【分析】把圆化为标准方程后得到：圆心坐标，令x=2t，y=t，消去t即可得到y 与x的解析式．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得（x﹣2t）2+（y﹣t）2=2t2+4，圆心（2t，t）则圆心坐标为，所以消去t可得x=2y，即x﹣2y=0．故答案为：x﹣2y=0【点评】此题考查学生会将圆的方程变为标准方程，会把直线的参数方程化为一般方程．10．（5分）若a n是（2+x）n（n∈N*，n≥2，x∈R）展开式中x2项的二项式系数，则=2．，令r=2，可得a n，再利【分析】（2+x）n（其中n=2，3，4，…）的展开式，T r+1用求和公式化简，利用数列的极限即可得出．=，令r=2，【解答】解：（2+x）n（其中n=2，3，4，…）的展开式，T r+1可得：T3=2n﹣2x2．∴a n是二项式（2+x）n（其中n=2，3，4，…）的展开式中x的二项式系数，∴a n==．则=2==2．故答案为：2．【点评】本题考查二项式定理的应用，数列求和，数列的极限的求法，考查计算能力．11．（5分）设数列{a n}是集合{x|x=3s+3t，s＜t且s，t∈N}中所有的数从小到大排列成的数列，即a1=4，a2=10，a3=12，a4=28，a5=30，a6=36，…，将数列{a n}中各项按照上小下大，左小右大的原则排成如图的等腰直角三角形数表，则a15的值为324．【分析】如果用（t，s）表示3s+3t，则4=（0，1）=30+31，10=（0，2）=30+32，12=（1，2）=31+32，…．利用归纳推理即可得出．【解答】解：如果用（t，s）表示3s+3t，则4=（0，1）=30+31，10=（0，2）=30+32，12=（1，2）=31+32，28=（0，3）=30+33，30=（1，3）=31+33，36=（2，3）=32+33，…．利用归纳推理即可得：a15=（4，5），则a15=34+35=324．故答案为：324．【点评】本题考查了指数幂的运算性质、归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．（5分）曲线C是平面内到直线l1：x=﹣1和直线l2：y=1的距离之积等于常数k2（k＞0）的点的轨迹，下列四个结论：①曲线C过点（﹣1，1）；②曲线C关于点（﹣1，1）成中心对称；③若点P在曲线C上，点A、B分别在直线l1、l2上，则|PA|+|PB|不小于2k；④设P0为曲线C上任意一点，则点P0关于直线l1：x=﹣1，点（﹣1，1）及直线f（x）对称的点分别为P1、P2、P3，则四边形P0P1P2P3的面积为定值4k2；其中，所有正确结论的序号是②③④．【分析】由题意曲线C是平面内到直线l1：x=﹣1和直线l2：y=1的距离之积等于常数k2（k＞0）的点的轨迹．利用直接法，设动点坐标为（x，y），及可得到动点的轨迹方程，然后由方程特点即可加以判断．【解答】解：由题意设动点坐标为（x，y），则利用题意及点到直线间的距离公式的得：|x+1||y﹣1|=k2，对于①，将（﹣1，1）代入验证，此方程不过此点，所以①错；对于②，把方程中的x被﹣2﹣x代换，y被2﹣y 代换，方程不变，故此曲线关于（﹣1，1）对称．所以②正确；对于③，由题意知点P在曲线C上，点A，B分别在直线l1，l2上，则|PA|≥|x+1|，|PB|≥|y﹣1|∴|PA|+|PB|≥2=2k，所以③正确；对于④，由题意知点P在曲线C上，根据对称性，则四边形P0P1P2P3的面积=2|x+1|×2|y﹣1|=4|x+1||y﹣1|=4k2．所以④正确．故答案为：②③④．【点评】此题重点考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，并化简，利用方程判断曲线的对称性，属于基础题．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）给定空间中的直线l与平面α，则“直线l与平面α垂直”是“直线l垂直于平面α上无数条直线”的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既不充分也不必要【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：若：直线l与平面α垂直”，则“直线l垂直于平面α上无数条直线”，是充分条件；若直线l垂直于平面α上无数条直线，则直线l与平面α不一定垂直，不是必要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查线面垂直的定义，是一道基础题．14．（5分）已知x、y∈R，且x＞y＞0，则（）A．B．C．log2x+log2y＞0 D．sinx﹣siny＞0【分析】根据不等式的性质判断A，根据特殊值，判断C，D，根据指数函数的性质判断B【解答】解：因为x＞y＞0，所以＜，故A错误，因为y=（）x为减函数，故B正确，因为当1＞x＞y＞0时，log2x+log2y=log2xy＜0，故C错误，因为当x=π，y=时，sinx﹣siny＜0，故D错误，故选：B．【点评】本题考查不等式大小的比较，关键是掌握函常用函数的性质，属于基础题．15．（5分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）A．8﹣B．8﹣C．8﹣2πD．【分析】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为正方体内挖去一个圆锥．【解答】解：由题意可知，该几何体为正方体内挖去一个圆锥，正方体的边长为2，圆锥的底面半径为1，高为2，则正方体的体积为V1=23=8，圆锥的体积为V2=•π•12•2=，则该几何体的体积为V=8﹣，故选：A．【点评】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．16．（5分）已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A．（0，]B．[，]C．[，]∪{}D．[，）∪{}【分析】利用函数是减函数，根据对数的图象和性质判断出a的大致范围，再根据f（x）为减函数，得到不等式组，利用函数的图象，方程的解的个数，推出a 的范围．【解答】解：y=loga（x+1）+1在[0，+∞）递减，则0＜a＜1，函数f（x）在R上单调递减，则：；解得，；由图象可知，在[0，+∞）上，|f（x）|=2﹣x有且仅有一个解，故在（﹣∞，0）上，|f（x）|=2﹣x同样有且仅有一个解，当3a＞2即a＞时，联立|x2+（4a﹣3）x+3a|=2﹣x，则△=（4a﹣2）2﹣4（3a﹣2）=0，解得a=或1（舍去），当1≤3a≤2时，由图象可知，符合条件，综上：a的取值范围为[，]∪{}，故选：C．【点评】本题考查了方程的解个数问题，以及参数的取值范围，考查了学生的分析问题，解决问题的能力，以及数形结合的思想，属于中档题．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PB、PD与平面ABCD所成的角依次是和，AP=2，E、F依次是PB、PC的中点；（1）求异面直线EC与PD所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）求三棱锥P﹣AFD的体积．【分析】（1）分别以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．利用向量与所成角求得异面直线EC与PD所成角的大小；=V P﹣ACD﹣V F﹣ADC求解．（2）直接利用V P﹣AFD【解答】解：（1）分别以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵AP=2，，∠PDA=，∴AB=2，AD=4，则P（0，0，2），D（0，4，0），E（1，0，1），C（2，4，0），，．∴cos＜＞===．∴异面直线EC与PD所成角的大小为；（2）V P=V P﹣ACD﹣V F﹣ACD==．﹣AFD【点评】本题考查异面直线所成角的求法，训练了利用空间向量求异面直线所成角，是中档题．18．（14分）已知△ABC 中，AC=1，，设∠BAC=x ，记；（1）求函数f （x ）的解析式及定义域；（2）试写出函数f （x ）的单调递增区间，并求方程的解．【分析】（1）由条件利用正弦定理、两个向量的数量积公式、三角恒等变换化简函数f （x ）的解析式．（2）利用正弦函数的单调性求得f （x ）的单调区间，并求出x 的值． 【解答】解：（1）由正弦定理有==∴BC=•sinx ，AB=，∴=sinx•sin （﹣x ）•=（cosx ﹣sinx ）sinx=sin （2x +）﹣，其定义域为（0，）（2）∵﹣+2kπ≤2x +≤+2kπ，k ∈Z ，∴﹣+kπ≤x ≤+kπ，k ∈Z ，∵x ∈（0，）∴递增区间，∵方程=sin （2x +）﹣，∴sin （2x +）=1，解得．【点评】本题考查了正弦定理、数量积运算、三角形的内角和定理、正弦函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．19．（14分）已知椭圆C 以原点为中心，左焦点F 的坐标是（﹣1，0），长轴长是短轴长的倍，直线l 与椭圆C 交于点A 与B ，且A 、B 都在x 轴上方，满足∠OFA+∠OFB=180°；（1）求椭圆C的标准方程；（2）对于动直线l，是否存在一个定点，无论∠OFA如何变化，直线l总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意可知设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0），2a=•2b，即a=b，代入求得：a2=2，b2=1，即可求得椭圆C的标准方程；（2）B关于x轴的对称点B1在直线AF上．设直线AF方程：y=k（x+1），代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，代入由x==，此能证明直线l总经过定点M（﹣2，0）．【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0），由题意可知：2a=•2b，即a=b，由c=1，则a2=b2+c2=b2+1，代入求得：a2=2，b2=1，椭圆C的方程为：；（2）存在一个定点M（﹣2，0），无论∠OFA如何变化，直线l总经过此定点证明：由OFA+∠OFB=180°，则B关于x轴的对称点B1在直线AF上．设A（x1，y1），B（x2，y2），B1（x2，﹣y2），设直线AF方程：y=k（x+1），代入，得：（k2+）x2+2k2x+k2﹣1=0，…（13分）由韦达定理可知：x1+x2=，x1•x2=，由直线AB的斜率k AB=AB的方程：y﹣y1=（x﹣x1），令y=0，得：x=x1﹣y1•，y1=k（x1+1），﹣y2=k（x2+1），x=====﹣2，∴直线l总经过定点M（﹣2，0）．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线总过定点的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用，考查计算能力，属于中档题．20．（16分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上的最大值为4，最小值为1，记f（x）=g（|x|），x∈R；（1）求实数a、b的值；（2）若不等式对任意x∈R恒成立，求实数k的范围；（3）对于定义在[p，q]上的函数m（x），设x0=p，x n=q，用任意x i（i=1，2，…，n﹣1）将[p，q]划分成n个小区间，其中x i﹣1＜x i＜x i+1，若存在一个常数M＞0，）﹣m（x n）使得不等式|m（x0）﹣m（x1）|+|m（x1）﹣m（x2）|+…+|m（x n﹣1|≤M恒成立，则称函数m（x）为在[p，q]上的有界变差函数，试证明函数f（x）是在[1，3]上的有界变差函数，并求出M的最小值．【分析】（1）由已知中g（x）在区间[2，3]的最大值为4，最小值为1，结合函数的单调性及最值，我们易构造出关于a，b的方程组，解得a，b的值；（2）求出f（x），对任意x∈R恒成立等价于F（x）=f（x）+g（x）恒成立，求实数k的范围；min根据有界变差函数的定义，我们先将区间[1，3]进行划分，进而判断|m（xi）﹣m（xi﹣1）|≤M是否恒成立，进而得到结论．【解答】解：（1）∵函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b，∵a＞0，对称轴x=1，∴g（x）在区间[2，3]上是增函数，又∵函数g（x）故在区间[2，3]上的最大值为4，最小值为1，∴，解得：a=1，b=0．∴g（x）=x2﹣2x+1故实数a的值为1，b的值为0．（2）由（1）可知g（x）=x2﹣2x+1，∵f（x）=g（|x|），∴f（x）=x2﹣2|x|+1，∵对任意x∈R恒成立，令F（x）=f（x）+g（x）=x2﹣2x+1+x2﹣2|x|+1=根据二次函数的图象及性质可得F（x）min=f（1）=0则F（x）min≥恒成立，即：≤0令log2k=t，则有：t2﹣2t﹣3≤0，解得：﹣1≤t≤3，即，得：故得实数k的范围为．（3）函数f（x）为[1，3]上的有界变差函数．因为函数f（x）为[1，3]上的单调递增函数，且对任意划分T：1=x0＜x1＜…＜x i ＜…＜x n=3有f（1）=f（x0）＜f（x1）＜…＜f（x I）＜…＜f（x n）=f（3）所以|m（xi）﹣m（xi﹣1）|=f（x1）﹣f（x0）+f（x2）﹣f（x1）＜…＜f（x n）﹣f（x n）﹣1=f（x n）﹣f（x0）=f（3）﹣f（1）=4恒成立，所以存在常数M，使得|m（xi）﹣m（xi﹣1）|≤M是恒成立．M的最小值为4，即M min=4；【点评】本题考查的知识点是函数恒成立问题，二次函数在闭区间上的最值，新定义，其中（1）的关键是分析出函数的单调性，（2）要用转化思想将其转化为二次函数（3）的关键是真正理解新定义的含义．21．（18分）数列{b n}的前n项和为S n，且对任意正整数n，都有；（1）试证明数列{b n}是等差数列，并求其通项公式；（2）如果等比数列{a n}共有2017项，其首项与公比均为2，在数列{a n}的每相之间插入i个（﹣1）i b i（i∈N*）后，得到一个新数列{c n}，求数邻两项a i与a i+1列{c n}中所有项的和；（3）如果存在n∈N*，使不等式成立，若存在，求实数λ的范围，若不存在，请说明理由．【分析】（1）n=1时，b1=1；n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=n，即可证明．（2）通过题意，易得数列{a n}的通项公式为an=2n，当m=2k﹣1（k≥2，k∈N*）时，数列{c n}共有（2k﹣1）+1+2+…+（2k﹣2）=k（2k ﹣1）项，其所有项的和为Sk（2k﹣1）=（2+22+…+22k﹣1）+[﹣1+22﹣32+42﹣…﹣（2k ﹣3）2+（2k﹣2）2]=m（m﹣1）+2m+1﹣2．取m=2017时，可得数列{c n}中所有项的和．（3）不等式，即不等式（n+1）≤（n+1）λ≤，化为：f（n）=≤λ≤1+=g（n）．通过验证：n=1，2，3时不等式不成立．n≥4时，f（n）≥f（n）=6，g（n）＜6．即可得出结论．【解答】（1）证明：n=1时，b1=1；n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=﹣=n．n=1时也成立．∴b n=n为等差数列，首项与公差都为1．（2）解：通过题意，易得数列{a n}的通项公式为a n=2n，当m=2k﹣1（k≥2，k∈N*）时，数列{c n}共有（2k﹣1）+1+2+…+（2k﹣2）=k（2k﹣1）项，其所有项的和为Sk（2k﹣1）=（2+22+…+22k﹣1）+[﹣1+22﹣32+42﹣…﹣（2k ﹣3）2+（2k﹣2）2]=2（22k﹣1﹣1）+[3+7+…+（4k﹣5）]=22k﹣2+（2k﹣1）（k﹣1）=m（m﹣1）+2m+1﹣2．∴m=2017时，数列{c n}中所有项的和=22018+2033134．（3）不等式，即不等式（n+1）≤（n+1）λ≤，化为：f（n）=≤λ≤1+=g（n）．∵f（n）≥f（3）=3+，g（n）≤g（1）=6．而n=1，2，3时不等式不成立．n≥4时，f（n）≥f（n）=6，g（n）＜6．因此不存在n∈N*，使不等式成立．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的定义通项公式及其求和公式、作差法、数列的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．第21页（共21页）。

上海市长宁、金山、青浦区2017届高三数学二模试卷

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如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！上海市长宁、金山、青浦区2017届高三数学二模试卷2017.04一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 已知集合{}|1,A x x x R =>-∈，集合{}|2,B x x x R =<∈，则A B =I .2. 已知复数z 满足()2332i z i -=+（i 为虚数单位），则z = .3.函数()sin 2cos 2cos sin x x f x xx的最小正周期为 .4.已知双曲线()()2222103x y a a a -=>+的一条渐近线方程为2y x =，则a = . 5．若圆柱的侧面展开图是边长为4cm 的正方形，则圆柱的体积为 . cm 3（精确到0.1cm 3）6.已知,x y 满足0220x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值为 .7.直线12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的交点个数是 .8.已知函数()22,0log ,01x x f x x x ⎧≤=⎨<≤⎩的反函数是()1f x -，则112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭ .9.设多项式()()()()2311110,nx x x x x n N *++++++++≠∈L 的展开式中x 项的系数为nT ，则2limnn T n →∞= .10.生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p ，每道工序产生产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率为0.9603，则p = .11.已知函数()f x x x a =-，若对任意的[]1212,2,3,x x x x ∈≠，恒有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围为 . 12.对于给定的实数0k >，函数()kf x x=的图象上总存在点C,使得以C 为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O 的距离为1，则k 的取值范围为 . 二、选择题：13．设,a b R ∈，则“4a b +>”是“1a >且3b >”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件14．如图，P 为正方体1111ABCD A B C D -中1AC 与1BD 的交点，则PAC ∆在该正方体各个面上的射影可能是A. ①②③④B. ①③C. ①④D. ②④15．如图，AB 为圆O 的直径且AB=4，C 为圆上不同于A,B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +⋅u u u r u u u r u u u r的最小值为A. -4B. -3C. -2D. -116．设1210,,x x x K 为1,2,,10L 的一个排列，则满足对于任意正整数,m n ，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同的排列的个数为A.512B. 256C. 255D. 64三、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分14分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1,BC CD 线段的中点.（1）求异面直线EF 与1AA 所成角的大小； （2）求直线EF 与平面11ABB A 所成角的大小.18.（本题满分14分）某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为3π（即3ACB π∠=），墙AB 的长度为6米（已有两面墙的可利用长度足够大），记.ABC θ∠=（1）若4πθ=，求ABC ∆的周长（结果精确到0.01米）；（2）为了使小动物能健康成长，要求所建造的三角形露天活动室面积即ABC ∆的面积尽可能大，问θ当何值时，该活动室面积最大？并求最大面积.19.（本题满分14分）已知抛物线()220y px p =>，其准线方程为10x +=，直线l 过点(),0T t 0t >且与抛物线交于两点,A B ，O 为坐标原点.（1）求抛物线的方程，并证明：OA OB ⋅u u u r u u u r为值与直线倾斜角的大小无关；（2）若P 为抛物线上的动点，记PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式.20.（本题满分16分）对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[],m n D ⊆，其中m n <，同时满足:①()f x 在[],m n 内是单调函数；②当定义域为[],m n 时，()f x 的值域为[],m n ，则称函数()f x 是区间[],m n 上的“保值函数”，区间[],m n 称为“保值区间”.（1）求证：函数()22g x x x =-不是定义域[]0,1上的“保值函数”；（2）若函数()()2112,0f x a R a a a x=+-∈≠是区间[],m n 上的“保值函数”，求a 的取值范围； （3）对（2）中函数()f x ，若不等式()22a f x x ≤对1x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.21.（本题满分16分）已知数列{}n a 中，已知()12121,,n n n a a a a k a a ++===+对任意n N *∈都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S .（1）若{}n a 是等差数列，求k 的值； （2）若11,2a k ==-，求n S ； （3）是否存在实数k ，使得数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12,,m m m a a a ++按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由.。

上海金山区高考数学二模试卷

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上海金山区高考数学二模试卷Modified by JACK on the afternoon of December 26, 20202018年上海市金山区高考数学二模试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共4小题，共分）1.若向量a⃗=(2, 0)，b⃗ =(1, 1)，则下列结论中正确的是( )．A. a⃗b⃗ =1B. |a⃗|=|b⃗ |C. (a⃗b⃗ )⊥b⃗D. a⃗ ∥b⃗2.椭圆的参数方程为{x=5cosθy=3sinθ(θ为参数)，则它的两个焦点坐标是( )．A. (±4, 0)B. (0, ±4)C. (±5, 0)D. (0, ±3)3.如图几何体是由五个相同正方体叠成的，其三视图中的左视图是( )．4.A.B.C.D.5.若对任意x∈(12,1)，都有x1+x2x2=a0+a1x+a2x2+…+a n x n+…，则a2+a3的值等于( )．A. 3B. 2C. 1D. -1二、填空题（本大题共12小题，共分）6.函数y=3sin(2x+π3)的最小正周期T=___________．7.函数y=lg x的反函数是_____．8.已知集合P={x| (x+1)(x–3)<0}，Q={x| |x| > 2}，则P∩Q=______．9.函数y=x+9x，x∈(0，+∞)的最小值是________．10.计算：limn→∞[12+14+18+⋯+(12)n]=________．11.记球O1和O2的半径、体积分别为r1、V1和r2、V2，若V1V2=827，则r1r2=________．12.若某线性方程组对应的增广矩阵是(m421m m)，且此方程组有唯一一组解，则实数m的取值范围是________．13.若一个布袋中有大小、质地相同的三个黑球和两个白球，从中任取两个球，则取出的两球中恰是一个白球和一个黑球的概率是_______．14.(1+2x)n的二项展开式中，含x3项的系数等于含x项的系数的8倍，则正整数n=_______．15.平面上三条直线x–2y+1=0，x–1=0，x+ky=0，如果这三条直线将平面划分为六个部分，则实数k的取值组成的集合A= .16.已知双曲线C：x29y28=1，左、右焦点分别为F1、F2，过点F2作一直线与双曲线C的右半支交于P、Q两点，使得∠F1PQ=90°，则△F1PQ的内切圆的半径r =________．17.若sin2018α–(2–cosβ)1009≥(3–cosβ–cos2α)(1–cosβ+cos2α)，则sin(α+β2)=__________．三、解答题（本大题共5小题，共分）18.在四棱锥P–ABCD中，底面ABCD是边长为6的正方形，PD⊥平面ABCD，PD=8．19.20.21.22.(1) 求PB与平面ABCD所成角的大小；23.24.(2) 求异面直线PB与DC所成角的大小．25.26.27.28.29.30.31.复数z=(12√32i)2是一元二次方程mx2+nx+1=0(m、n∈R)的一个根．32.33.(1) 求m和n的值；(2) 若(m+ni)u+u=z(u∈C)，求u．35.已知椭圆Γ：x24+y23=1的右焦点为F，过点F且斜率为k的直线与椭圆Γ交于A(x1, y1)、B(x2, y2)两点(点A在x轴上方)，点A关于坐标原点的对称点为P，直线PA、PB分别交直线l：x=4于M、N两点，记M、N两点的纵坐标分别为y M、y N．36.37.38.39.(1) 求直线PB的斜率(用k表示)；40.41.(2) 求点M、N的纵坐标y M、y N (用x1, y1表示) ，并判断y M×y N是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．42.43.44.45.47.48.49. 已知数列{a n }满足：a 1=2，a n +1=12a n +2．50. (1) 证明：数列{a n –4}是等比数列；51. (2) 求使不等式a n ma n+1m<23成立的所有正整数m 、n 的值； 52. (3) 如果常数0 < t < 3，对于任意的正整数k ，都有a k+1ta k t <2成立，求t 的取值范围．53.54.55.56.57.58. 59. 若函数y =f (x )对定义域内的每一个值x 1，在其定义域内都存在唯一的x 2，使f (x 1)f (x 2)=1成立，则称该函数为“依赖函数”．60. (1) 判断函数g (x )=2x 是否为“依赖函数”，并说明理由；61. (2) 若函数f (x )=(x –1)2在定义域[m ，n ](m >1)上为“依赖函数”，求实数m 、n 乘积mn 的取值范围；62. (3) 已知函数f (x )=(x –a )2 (a <43)在定义域[43，4]上为“依赖函数”．若存在实数x ∈[43，4]，使得对任意的t ∈R ，有不等式f (x )≥–t 2+(s –t )x +4都成立，求实数s 的最大值．63.64.65.66.67.答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】根据向量数量积运算公式和向量平行、垂直的充要条件，对各项逐个加以判别，即可得到本题答案．本题给出两个向量的坐标，判断几个式子的正确性，着重考查了向量数量积运算公式和向量平行、垂直的充要条件等知识，属于基础题．【解答】解：对于B因为||==，||=，所以||与||不相等，故B项不正确；对于A，=2，得A项不正确；对于C，-=（1，-1），则()=0，所以（+），因此C项正确；对于D，不存在实数λ，使=λ成立，得D项不正确．故选C.2.【答案】A【解析】【分析】本题考查圆锥曲线的参数方程与普通方程的互化，考查椭圆的简单几何性质，属于基础题.将参数方程化成普通方程，写出焦点坐标即可.【解答】解：椭圆的参数方程为(θ为参数)，所以椭圆的标准方程为半焦距故焦点坐标为(±4，0).故选A.3.【答案】A【解析】【分析】本题考查几何体的三视图，难度一般.【解答】解：下面两个正方形，上面一个正方形.根据几何体的三视图，它的左视图应该是下面两个正方形，上面一个正方形.故选A.4.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二项式定理的应用问题,解题时应根据多项式相乘原理求出某项的系数,是基础题目.根据题意,=a0+a1x+a2x2+…+a n x n+…化为,利用系数相等,列出方程,求出,,,,,的值计算即可.【解答】解:对任意时,都有=a0+a1x+a2x2+…+a n x n+…，即,,且,解得,,,,,，故答案为-2.5.【答案】π【解析】【分析】本题考查给出三角函数表达式求函数的最小正周期，着重考查了函y=Asin （ωx+φ）的周期公式的知识，属于基础题.将题中的函数表达式与函数y=Asin （ωx+φ）进行对照，可得ω=2，由此结合三角函数的周期公式加以计算，即可得到函数的最小正周期.【解答】解：∵函数表达式为y=3sin（2x+），∴ω=2，可得最小正周期T=||=||=π.故答案为π.6.【答案】y=10x【解析】【分析】本题考查反函数，属于基础题.同底的对数函数和指数函数互为反函数.【解答】解：函数y=lgx的反函数是.故答案为.7.【答案】(2,3)【解析】【分析】根据交集的定义即可求解.【解答】解：所以故答案为（2,3）.8.【答案】6【解析】【分析】本题主要考查利用基本不等式求最值, 利用基本不等式，注意当a=b时，等号成立，从而求得最小值.【解答】解：因为x∈(0，+∞)，由基本不等式得：,即,所以当x=3时，y的最小值为6，故答案为6.9.【答案】1【解析】【分析】本题zhuy主要考查等比数列的求和，考查极限的求法，属于基础题.【解答】解：===1.故答案为1.10.【答案】23【解析】【分析】本题考查球的体积.【解答】解：由已知得：，又，所以，所以，故答案为.11.【答案】m≠±2【解析】【分析】本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式，主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，计算量小，属于较容易的题型．根据题意得到二元线性方程组的表达式，此方程组有唯一一组解，则两直线不平行也不重合，求解即可.【解答】解：由二元线性方程组的增广矩阵为，可得到二元线性方程组的表达式，因为此方程组有唯一一组解，所以两直线不平行也不重合，故∴m≠±2?，故答案为m≠±2.12.【答案】35【解析】【分析】此题考查的知识点是古典概型，其中计算出所有取法的基本事件总数，及两个球中恰有一个白球的基本事件个数，是解答本题的关键.根据已知中口袋中装有大小相同的3个黑球，2个白球，从中任取两个球，我们易计算出所有取法的基本事件总数，及两个球中恰有一个白球的基本事件个数，代入古典概型公式，即可得到答案.【解答】解：∵口袋中装有大小相同的3个黑球，2个白球，分别计为A，B，C，1，2，则任取两个球共有：（A，B），（A，C），（A，1），（A，2）、（B，C），（B，1），（B，2），（C，1），（C，2），（1，2）共10种，其中恰有一个白球共有（A，1），（A，2），（B，1），（B，2），（C，1），（C，2），共种，故取出的两个球中至少有一个白球的概率P=.故答案为.13.【答案】5【解析】【分析】本题主要考查了利用二项展开式的通项公式求解指定的项，解题的关键是熟练掌握通项，属于基础试题.由题意可得T r+1=C n r（2x）r=2r C n r x r分别令r=3，r=1可得含x3，x项的系数，从而可求.【解答】解：由题意可得二项展开式的通项，T r+1=C n r（2x）r=2r C n r x r令r=3可得含x3项的系数为：8C n3，令r=1可得含x项的系数为2C n1∴8C n3=8×2C n1∴n=5故答案为5.14.【答案】{–1，0，–2}【解析】【分析】三条直线将平面划分为六部分，则直线x+ky=0过另外两条直线的交点，或这条直线与另外两条直线平行，由此求出k的值．【解答】解：若是三条直线两两相交，且交点不重合，则这三条直线把平面分成7部分；如果这三条直线将平面划分为六部分包括两种情况能够成立，①是x+ky=0过另外两条直线的交点，由x?2y+1=0和x?1=0的交点是(1,1)，解得k=?1；②是这条直线与另外两条直线平行，此时k=0或2，综上,k的取值集合是{0,1,2}.故答案为{1,0,2}.15.【答案】2【解析】【分析】本题考查双曲线的概念和标准方程，涉及直角三角形的内切圆，属中高档题. 设PF1=s,则PF2=s-2a,设QF1=t,则QF2=t-2a,在Rt△F1PF2中，利用勾股定理求得s的值，即可算出内切圆半径【解答】解：双曲线C：，，设PF1=s,则PF2=s-2a,设QF1=t,则QF2=t-2a,所以,即,所以,解得或s=-2,∴内切圆半径,故答案为2. 16.【答案】±1 【解析】 【分析】本题考查三角恒等变换，三角函数的有界性等知识点，属于基础题， 首先通过化简处理，再利用三角函数的有界性，将不等式化为等式处 理. 【解答】 解：由已知得，∵左边，右边，∴， ∴，∴，， ∴，，∴，∴.故答案为±1.17.【答案】解：(1)连BD ，因为PD ⊥平面ABCD ，则∠PBD 就是PB 与平面ABCD 所成的角， 在△PBD 中，tan ∠PBD =?2√23，所以∠ PBD =arctan 2√23， 所以PB 与平面ABCD 所成的角的大小为arctan2√23； (2)因为AB ∥DC ，所以∠PBA 就是异面直线PB 与DC 所成的角， 因为PD ⊥平面ABCD ，所以AB ⊥PD ，又AB ⊥AD ，所以AB ⊥PA ， 在Rt △PAB 中，PA =10，AB =6， 所以tan ∠PBA =53，∠PBA =arctan 53，异面直线PB 与DC 所成角的大小为arctan 53．【解析】本题考查四棱锥的知识，考查线面成角和异面直线所成角的大小的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．（1）由PD⊥平面ABCD，则∠PBD就是PB与平面ABCD所成的角即可求出；（2）由AB∥DC，得∠PBA就是异面直线PB与DC所成的角，由此能求出异面直线PB与DC所成角的大小．18.【答案】解：(1)因为z=(12√32i)2=12√32i，所以z=12＋√32i，由题意知：z、zˉ是一元二次方程mx2+nx+1=0(m、n∈R)的两个根，由{nm =(12√32i)+(12+√32i)1 m =(12√32i)(12+√32i)，解之得：{m=1 n=1，(2)设u=c+di(c,d∈R)，则(1+i)(c–di)+(c+di)=12√32i，2c+d+ci=12√32 i,则有{2c＋d=12c=√32，解得{c=√32d=12＋√3，所以u=√32＋(√312)i．【解析】(1)化简可得，则，根据z、是一元二次方程mx2+nx+1=0(m、n∈R)的两个根，利用根与系数的关系求解；(2)设u=c+di(c,d∈R)，则，,利用复数相等的充要条件则有，求解即可.19.【答案】解：(1)设直线AB方程为y=k(x1)，联立{y =k(x1)x 24＋y 23=1，消去y ，得(4k 2＋3)x 28k 2x ＋4k 212=0， 因为A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，且{x 1＋x 2=8k 24k 2＋3x 1x 2=4k 2124k 2＋3， 又P(x 1,y 1)，所以k PB =y 1＋y 2x1＋x 2=k(x 11)＋k(x 21)x 1＋x 2=34k ，；(2)又直线PA 的方程为y =y1x 1x ，则y M =4y 1x 1，由题意可知，k =y1x 11，直线PB 的方程为y +y 1=3(x 11)4y 1(x +x 1)，则y N =3(x 11)(4＋x 1)4y 1y 1，x 124＋y 123=1，y M ×y N =3(x 11)(4＋x 1)x 14y 12x 1=3x 12＋4y 12＋9x 112x 1=–9，综上，乘积y M ×y N 为定值–9． 【解析】本题主要考查了椭圆与直线的关系，(1)设直线AB 方程为，联立，消去，得，再由韦达定理即可k PB ；(2)又直线的方程为，则，由题意可知，，直线的方程为y+y 1=(x+x 1)，则，，即可求出y M ×y N 为定值–9．20.【答案】（1）证明：由a n +1=12a n +2， 所以a n +1–4 =12(a n –4 )，且a 1–4=–2，故数列{a n –4}是以–2为首项，12为公比的等比数列； （2）解：由（1）题，得a n –4=–2(12)n1，得a n =4(12)n2， 于是4(12)n2m 4(12)n1m <23，当m ≥4时，4(12)n2m 4(12)n1m >1，无解，因此，满足题意的解为{m =1n =1或{m =2n =1或{m =3n =2；（3）解：①当k =1时，由3t2t <2，解得0<t <1或2<t <3， ②当k ≥2时，a n =4(12)n23，故分母a n t >0恒成立， 从而，只需a k +1–t <2(a k –t )对k ≥2，k ∈N *恒成立，即t <2a k –a k +1对k ≥2，k ∈N *恒成立， 故t <(2a k –a k +1)min ， 又2a k a k ＋1=43(12)k1，故当k =2时，(2a k a k ＋1)min =52，所以t <52， 综上所述，t 的取值范围是(0,1)∪(2,52)． 【解析】本题考查了数列的函数特征和等比数列的判定与证明，是中档题. （1）由a n+1=a n +2，所以a n+1–4 =(a n –4 )，即可得证等比数列；（2）由(1)题，得，于是，求解即可；（3）分k=1和k≥2两种情况分别由数列的函数特征求解即可.21.【答案】解：(1) 对于函数g (x )=2x 的定义域R 内任意的x 1，取x 2= –x 1， 则g (x 1)g (x 2)=1，且由g (x )=2x 在R 上单调递增，可知x 2的取值唯一， 故g (x )=2x 是“依赖函数”；(2) 因为m >1，f (x )=(x –1)2在[m ，n ]递增， 故f (m )f (n )=1，即(m –1)2(n –1)2=1， 由n >m >1，得(m –1) (n –1) =1，故n =mm1， 由n >m >1，得1<m <2，从而mn =m 2m1=m1＋1m1＋2在m ∈(1,2)上单调递减，故mn ∈(4,＋∞)；(3) 因a <43，故f(x)=(xa)2在[43,4]上单调递增， 从而f(43)f(4)=1，即(43a)2(4a)2=1， 进而(43a)(4a)=1， 解得a =1或a =133(舍)，从而，存在x ∈[43,4]，使得对任意的t ∈R ，不等式(x1)2t 2＋(st)x ＋4都成立，即t 2＋xt ＋x 2(s ＋2)x30恒成立，由Δ=x 24[x 2(s ＋2)x3]0，得4(s ＋2)x3x 212，由x ∈[43,4]，可得4(s ＋2)3x 12x，又y =3x12x在x ∈[43,4]单调递增， 故当x =4时，(3x12x )max=9，从而4(s ＋2)9，解得s 14， 故实数s 的最大值为14． 【解析】(1) 取x 2= –x 1，则g(x 1)g(x 2)=1，且由g(x)=2x 在R 上单调递增，可知x 2的取值唯一，根据新定义可得g(x)=2x 是“依赖函数”；(2) m>1，f(x)=(x –1)2在[m ，n]递增，故f(m)f(n)=1，即(m –1)2(n –1)2=1，从而在上单调递减，故可得；(3) 因，故在上单调递增，从而解得，原不等式即即恒成立，由，且在单调递增，故当时，，从而，求解即可．。

【学生版本】2017二模客观难题分析

【学生版本】2017二模客观难题分析

目录1. 虹口 (2)2. 黄浦 (3)3. 杨浦 (4)4. 奉贤 (5)5. 长宁金山青浦 (6)6. 浦东 (7)7. 闵行 (8)8. 普陀 (9)9. 徐汇 (10)10. 静安 (11)11. 崇明 (12)12. 松江 (13)13. 嘉定 (13)14. 宝山 (14)15奉贤区： (15)16普陀区： (16)17杨浦区： (17)18闵行区 (17)19黄浦区 (18)20宝山区 (19)21浦东新区 (20)2017年上海市高三二模数学填选难题解析1. 虹口11. 在直角△ABC 中，2A π∠=，1AB =，2AC =，M 是△ABC 内一点，且12AM =， 若AM AB AC λμ=+，则2λμ+的最大值为12. 无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的正整数n 都有12310{,,,,}n S k k k k ∈ ，则 10a 的可能取值最多．．有 个16. 已知点(,)M a b 与点(0,1)N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论： ①3450x y -+>；② 当0a >时，a b +有最小值，无最大值；③ 221a b +>； ④ 当0a >且1a ≠时，11b a +-的取值范围是93(,)(,)44-∞-+∞ .正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 42. 黄浦11. 三棱锥P ABC -满足：AB AC ⊥，AB AP ⊥，2AB =，4AP AC +=，则该三棱锥的体积V 的取值范围是12. 对于数列{}n a ，若存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立，则称数列{}n a是以T 为周期的周期数列，设1b m =(01)m <<，对任意正整数n 有11,11,01n n n n nb b b b b +->⎧⎪=⎨<≤⎪⎩，若数列{}n b 是以5为周期的周期数列，则m 的值可以是（只要求填写满足条件的一个m 值即可）16. 如图所示，23BAC π∠=，圆M 与AB 、AC 分别相切于点D 、E ，1AD =，点P 是 圆M 及其内部任意一点，且AP xAD yAE =+(,)x y R ∈，则x y +取值范围是（ ）A. [1,4+B. [4-+C. [1,2D. [23. 杨浦11. 已知0a >，0b >，当21(4)a b ab++取到最小值时，b =12. 设函数()||||a f x x x a =+-，当a 在实数范围内变化时，在圆盘221x y +≤内，且不在任一()a f x 的图像上的点的全体组成的图形的面积为16. 对于定义在R 上的函数()f x ，若存在正常数a 、b ，使得()()f x a f x b +≤+对一切x R ∈均成立，则称()f x 是“控制增长函数”，在以下四个函数中：① 2()1f x x x =++；② ()f x = 2()sin()f x x =；④ ()sin f x x x =⋅. 是“控制增长函数”的有（ ）A. ②③B. ③④C. ②③④D. ①②④4. 奉贤11. 已知实数x 、y 满足方程22(1)(1)1x a y -++-=，当0y b ≤≤()b R ∈时，由此方程可以确定一个偶函数()y f x =，则抛物线212y x =-的焦点F 到点(,)a b 的轨迹上点的距离最大值为12. 设1x 、2x 、3x 、4x 为自然数1、2、3、4的一个全排列，且满足1234|1||2||3||4|6x x x x -+-+-+-=，则这样的排列有 个16. 如图，在△ABC 中，BC a =，AC b =，AB c =，O 是△ABC 的外心，OD BC ⊥ 于D ，OE AC ⊥于E ，OF AB ⊥于F ，则::OD OE OF 等于（ ） A. ::a b c B.111::a b cC. sin :sin :sin A B CD. cos :cos :cos A B C5. 长宁金山青浦11. 已知函数()||f x x x a =-，若对任意1[2,3]x ∈，2[2,3]x ∈，12x x ≠，恒有1212()()()22x x f x f x f ++>，则实数a 的取值范围为12. 对于给定的实数0k >，函数()kf x x=的图像上总存在点C ，使得以C 为圆心，1为半 径的圆上有两个不同的点到原点O 的距离为1，则k 的取值范围是16. 设1x 、2x 、…、10x 为1、2、…、10的一个排列，则满足对任意正整数m 、n ，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为（ ）A. 512B. 256C. 255D. 646. 浦东11. 已知各项均为正数的数列{}n a 满足11(2)(1)0n n n n a a a a ++--=*()n N ∈，且110a a =， 则首项1a 所有可能取值中最大值为12. 已知平面上三个不同的单位向量a 、b 、c 满足12a b b c ⋅=⋅= ，若e 为平面内的任意单位向量，则||2||3||a e b e c e ⋅+⋅+⋅的最大值为16. 已知等比数列1a 、2a 、3a 、4a 满足)1,0(1∈a ，)2,1(2∈a ，)4,2(3∈a ，则4a 的取值 范围是（ ）A. (3,8)B. (2,16)C. (4,8)D.7. 闵行11. 已知定点(1,1)A ，动点P 在圆221x y +=上，点P 关于直线y x =的对称点为P '，向量AQ OP '= ，O 是坐标原点，则||PQ的取值范围是12. 已知递增数列{}n a 共有2017项，且各项均不为零，20171a =，如果从{}n a 中任取两项i a 、j a ，当i j <时，j i a a -仍是数列{}n a 中的项，则数列{}n a 的各项和2017S =16. 设函数()y f x =的定义域是R ，对于以下四个命题： ① 若()y f x =是奇函数，则(())y f f x =也是奇函数； ② 若()y f x =是周期函数，则(())y f f x =也是周期函数； ③ 若()y f x =是单调递减函数，则(())y f f x =也是单调递减函数；④ 若函数()y f x =存在反函数1()y f x -=，且函数1()()y f x f x -=-有零点，则函数()y f x x =-也有零点.其中正确的命题共有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8. 普陀11. 设0a <，若不等式22sin (1)cos 10x a x a +-+-≥对于任意的R x ∈恒成立，则a 的 取值范围是16. 关于函数2sin y x =的判断，正确的是（ ） A. 最小正周期为2π，值域为[1,1]-，在区间[,]22ππ-上是单调减函数 B. 最小正周期为π，值域为[1,1]-，在区间[0,]2π上是单调减函数 C. 最小正周期为π，值域为[0,1]，在区间[0,]2π上是单调增函数 D. 最小正周期为2π，值域为[0,1]，在区间[,]22ππ-上是单调增函数9. 徐汇11. 如图：在△ABC 中，M 为BC 上不同于B 、C 的任意一点，点N 满足2AN NM = ，若AN xAB yAC =+，则229x y +的最小值为12. 设单调函数()y p x =的定义域为D ，值域为A ，如果单调函数()y q x =使得函数 (())y p q x =的值域也是A ，则称函数()y q x =是函数()y p x =的一个“保值域函数”，已 知定义域为[,]a b 的函数2()|3|h x x =-，函数()f x 与()g x 互为反函数，且()h x 是()f x 的一个“保值域函数”， ()g x 是()h x 的一个“保值域函数”，则b a -=16. 过椭圆2214x y m m +=-(4)m >右焦点F 的圆与圆22:1O x y +=外切，则该圆直径FQ 的端点Q 的轨迹是（ ）A. 一条射线B. 两条射线C. 双曲线的一支D. 抛物线10. 静安10. 若适合不等式2|4||3|5x x k x -++-≤的x 最大值为3，则实数k 的值为11. 已知1()1xf x x-=+，数列{}n a 满足112a =，对于任意*n N ∈都满足2()n n a f a +=，且0n a >，若2018a a =，则20162017a a +=15. 曲线C 为：到两定点(2,0)M -、(2,0)N 的距离乘积为常数16的动点P 的轨迹，以下 结论： ① 曲线C 经过原点；② 曲线C 关于x 轴对称，但不关于y 轴对称；③ △MPN 的面积不大于8；④ 曲线C 在一个面积为60的矩形范围内. 其中正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 311. 崇明11. 已知函数22sin(),0()3cos(),0x x x f x x x x πα⎧++>⎪=⎨⎪-++<⎩，[0,2)απ∈是奇函数，则α=12. 已知△ABC是边长为PQ 为△ABC 外接圆O 的一条直径，M 为△ABC 边长的动点，则PM MQ ⋅的最大值是16. 设函数()x x x f x a b c =+-，其中0c a >>，0c b >>，若a 、b 、c 是△ABC 的三条 边长，则下列结论：① 对于一切(,1)x ∈-∞都有()0f x >；② 存在0x >使x xa 、x b 、x c 不能构成一个三角形的三边长；③ 若△ABC 为钝角三角形，存在(1,2)x ∈，使()0f x =. 其中正确的个数为（ ）A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个12. 松江11. 如图同心圆中，大、小圆的半径分别为2和1，点P 在大圆上，PA 与小圆相切于点A ，Q 为小圆上的点，则PA PQ ⋅的取值范围是13. 嘉定11. 设等差数列{}n a 的各项都是正数，前n 项和为n S ，公差为d . 若数列也是公差 为d 的等差数列，则}{n a 的通项公式为n a =12. 设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数（如[2.32]2=，[ 4.76]5-=-），对于给定的*n ∈N ，定义(1)([]1)(1)([]1)xnn n n x C x x x x --+=--+ ，其中[1,)x ∈+∞，则当3[,3)2x ∈时，函数xC x f 10)(=的值域是16. 已知()f x 是偶函数，且()f x 在[0,)+∞上是增函数，若(1)(2)f ax f x +≤-在1[,1]2x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. [2,1]-B. [2,0]-C. [1,1]-D. [1,0]-14. 宝山11. 设向量(,)m x y = ，(,)n x y =- ，P 为曲线1m n ⋅=(0)x >上的一个动点，若点P 到直 线10x y -+=的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为15. 如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线1l 、2l 两侧，且P 到1l 、2l 距离分别为1、3，点M 、N 分别在1l 、2l 上，||8PM PN +=，则PM PN ⋅ 的最大值为（ ）A. 15B. 12C. 10D. 916. 若存在t R ∈与正数m ，使()()F t m F t m -=+成立，则称“函数()F x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，设2()x f x xλ+=(0)x >，若对于任意t ∈，总存在正数 m ，使得“函数()f x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，则实数λ取值范围是（ ） A. (0,2] B. (1,2] C. [1,2] D. [1,4]15奉贤区：11、已知实数y x ,满足方程1)1(122=-++-y a x ）（，当)(0R b b y ∈≤≤时，由此方程可以确定一个偶函数，则抛物线221x y -=的焦点F 到点),(b a 的轨迹上点的距离最大值为 .12、设4321,,,x x x x 为自然数1，2，3，4的一个全排列，且满足643214321=-+-+-+-x x x x ，则这样的排列有 个.16、如图，在△ABC 中，Oc AB b AC a AB ,,,===是ABC∆的外心，,D BC OD 于⊥AC OE ⊥于E ,AB OF ⊥于F ，则OF OE OD ::等于（ ）A.c b a ::B.cb a 1:1:1 C.C B A sin :sin :sin D.C B A cos :cos :cos16普陀区：11、设0a <，若不等式22sin (1)cos 10+-+-≥x a x a 对于任意的x R ∈恒成立，则a 的取值范围是12、在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，M 是直线DE 上的动点，若ABC ∆的面积为1，则2MB MC BC ⋅+ 的最小值为16、关于函数2sin y x =的判断，正确的是 （ ）()A 最小正周期为2π，值域为[]1,1-，在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调减函数()B 最小正周期为π，值域为[]1,1-，在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调减函数()C 最小正周期为π，值域为[]0,1，在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调增函数()D 最小正周期为2π，值域为[]0,1，在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调增函数17杨浦区：11. 已知0a >，0b >，当21(4)a b ab++取到最小值时，b =12. 设函数()||||a f x x x a =+-，当a 在实数范围内变化时，在圆盘221x y +≤内，且不在 任一()a f x 的图像上的点的全体组成的图形的面积为16. 对于定义在R 上的函数()f x ，若存在正常数a 、b ，使得()()f x a f x b +≤+对一切x R ∈均成立，则称()f x 是“控制增长函数”，在以下四个函数中：① 2()1f x x x =++；② ()f x = 2()sin()f x x =；④ ()sin f x x x =⋅. 是“控制增长函数”的有（ ）A. ②③B. ③④C. ②③④D. ①②④18闵行区（2017二模闵行11）已知定点(1,1)A ，动点P 在圆221x y +=上，点P 关于直线y x =的对称点为P '，向量AQ QP '= ，O 是坐标原点，则||PQ的取值范围是（2017二模闵行12）已知递增数列{}n a 共有2017项，且各项均不为零，20171a =，如果从{}n a 中任取两项i a 、j a ，当i j <时，j i a a -仍是数列{}n a 中的项，则数列{}n a 的各项和2017S =（第11题图）16. 设函数()y f x =的定义域是R ，对于以下四个命题： ① 若()y f x =是奇函数，则(())y f f x =也是奇函数； ② 若()y f x =是周期函数，则(())y f f x =也是周期函数； ③ 若()y f x =是单调递减函数，则(())y f f x =也是单调递减函数；④ 若函数()y f x =存在反函数1()y f x -=，且函数1()()y f x f x -=-有零点，则函数()y f x x =-也有零点.其中正确的命题共有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个19黄浦区（2017二模黄浦11）三棱锥P ABC -满足：AB AC ⊥，AB AP ⊥，2AB =，4AP AC +=，则该三棱锥的体积V 的取值范围是 ．（2017二模黄浦12）对于数列{}n a ，若存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 是以T 为周期的周期数列．设1(01)b m m =<<，对任意正整数n 都有111)1(01) (n n n n nb b b b b +->⎧⎪=⎨<⎪⎩≤，，若数列{}n b 是以5为周期的周期数列，则m 的值可以是 ．(只要求填写满足条件的一个m 值即可)（2017二模黄浦16）如图所示，2π3BAC ∠=，圆M 与,AB AC 分别相切于点,D E ， AD 1=，点P 是圆M 及其内部任意一点，且AP xAD yAE =+(,)x y ∈R ，则x y +的取值范围是（ ）A．[1,4+ B．[4-+ C．[1,2D．[220宝山区（2017二模宝山11）11. 设向量(,)m x y = ，(,)n x y =-，P 为曲线1m n ⋅= (0)x >上的一个动点，若点P 到直线10x y -+=的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为（2017二模宝山12）设1x 、2x 、…、10x 为1、2、…、10的一个排列，则满足对任意正整数m 、n ，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为（第16题图）（2017二模宝山16）16. 若存在t R ∈与正数m ，使()()F t m F t m -=+成立，则称“函数()F x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，设2()x f x xλ+=(0)x >，若对于任意t ∈，总存在正数m ，使得“函数()f x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，则实数λ取值范围是（ ）A. (0,2]B. (1,2]C. [1,2]D. [1,4]21浦东新区（2017二模浦东11）已知各项均为正数的数列{}n a 满足：()()()11210N n n n n a a a a n *++--=∈，且101a a =,则首项1a 所有可能取值中的最大值为____________．（2017二模浦东12）已知平面上三个不同的单位向量,,a b c 满足12a b b c ⋅=⋅= ，若e 为平面内的任意单位向量，则23a e b e c e ⋅+⋅+⋅的最大值为____________．（2017二模浦东16）已知等比数列1234,,,a a a a 满足()10,1a ∈，()21,2a ∈，()32,4a ∈，则4a 的取值范围是（ ）A 、()3,8；B 、()2,16；C 、()4,8；D 、()青浦、长宁、金山区（2017二模青浦11）已知函数()a x x x f -=，若对于任意的，[][]2121,3,2,3,2x x x x ≠∈∈恒有()()222121x f x f x x f +>⎪⎭⎫ ⎝⎛+，则实数a 的取值范围是____________.（2017二模青浦12）对于给定的实数0>k ，函数()xkx f =的图像上总存在点C ，使得以C 为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O 的距离为2，则k 的取值范围是_____________.（2017二模青浦16）设1x 、2x 、…、10x 为1、2、…、10的一个排列，则满足对任意正整数m 、n ，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为（ ） A 、512； B 、256； C 、255()4,8； D 、64静安区10、若适合不等式2435x x k x -++-≤的x 最大值为3，则实数k 的值为 。

2017届上海高三数学·二模汇编 函数

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2017届高中数学·二模汇编 函数一、填空题1、已知函数()()()220log 01x x f x x x ⎧≤⎪=⎨<≤⎪⎩的反函数是()1f x -，则12f -1⎛⎫= ⎪⎝⎭____________2、已知函数，若对任意，，，恒有，则实数的取值范围为___________． 3、对于给定的实数，函数xkx f =)(的图像上总存在点C ，使得以C 为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O 的距离为1，则k 的取值范围是_________．4、设()f x 是定义在R 上的奇函数, 当0x >时,3()2xf x =-. 则不等式()5f x <-的解为________. 5、设函数()||||a f x x x a =+-. 当a 在实数范围内变化时, 在圆盘221x y +≤内, 且不在任一()a f x 的图像上的点的全体组成的图形的面积为_________.6、已知函数2log 02()25()239x x x f x x <<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩，，．若函数()()g x f x k =-有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是____________．7、设单调函数()y p x =的定义域为D ，值域为A ，如果单调函数()y q x =使得函数(())y p q x =的值域也是A ，则称函数()y q x =是函数()y p x =的一个“保值域函数”． 8、已知定义域为[],a b 的函数2()3h x x =-，函数()f x 与()g x 互为反函数，且()h x 是()f x 的一个“保值域函数”，()g x 是()h x 的一个“保值域函数”，则b a -=___________．9、已知()21xf x =-，则1(3)f-=10、若函数()2()1x f x x a =+-在区间[]0,1上有零点，则实数a 的取值范围是 11、函数⎪⎭⎫⎝⎛-=x y 11log 2的定义域为 12、若函数1log log )(222+-=x x x f （2≥x ）的反函数为)(1x f-，则)3(1-f=13、已知定义在R 上的函数()f x 满足：①()(2)0f x f x +-=；②()(2)0f x f x ---=；③ 在[1,1]-上表达式()f x x x a=-[]12,3x ∈[]22,3x ∈12x x ≠1212()()()22x x f x f x f ++>a 0k >为[1,0]()1,(0,1]x f x x x ∈-=-∈⎪⎩，则函数()f x 与122,0()log ,0x x g x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩的图像在区间[3,3]-上的交点的个数为14、若函数()2()1x f x x a =+-在区间[]0,1上有零点，则实数a 的取值范围是 15、设)(x f 为R 上的奇函数．当0≥x 时，b x x f x ++=22)( (b 为常数)，则)1(-f 的值为____ 16、设)(1x f -为12)(+=x xx f 的反函数，则=-)1(1f ________ 17、若2131)(--=xx x f ，则满足0)(>x f 的x 的取值范围是_______18、设R ∈x ，用][x 表示不超过x 的最大整数（如2]32.2[=，5]76.4[-=-），对于给定的*N ∈n ，定义)1][()1()1][()1(+--+--=x x x x x n n n C x n ，其中),1[∞+∈x ，则当⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈3,23x 时，函数xC x f 10)(=的值域是_______________19、函数y 的定义域是 ．20、若函数3 (0),() 1 (0)x x a x f x a x -+<⎧=⎨+≥⎩(a >0,且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是21、函数21()(2)1xx f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，如果方程()f x b =有四个不同的实数解1x 、2x 、3x 、4x ，则1234x x x x +++=22、设点()9,3在函数()()()log 10,1a f x x a a =->≠的图像上，则()f x 的反函数()1f x -=________．二、填空题1、若存在t R ∈与正数m ，使()()F t m F t m -=+成立，则称“函数()F x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，设()()20x f x x xλ+=>，若对于任意t ∈，总存在正数m ，使得“函数()f x 在x t =处存在距离为2m的对称点”，则实数λ的取值范围是（ ）A. (]0,2B. (]1,2C. []1,2D. []1,42、若()f x 为奇函数，且0x 是()x y f x e =-的一个零点，则0x -一定是下列哪个函数的零点 （ ）A ．()1x y f x e =+B ．()1xy f x e -=--C ．()1x y f x e =-D ．()1xy f x e =-+3、对于定义在R 上的函数()f x , 若存在正常数,a b , 使得()()f x a f x b +≤+对一切x ∈R 均成立, 则称()f x 是“控制增长函数”。

2017年上海市各区数学二模压轴题图文解析

2017年上海市各区数学二模压轴题图文解析

本解析由华东师范大学出版社《挑战压轴题》作者马学斌老师独家提供。

可作学习材料，切勿做其他用途。

更多信息，欢迎关注“挑战压轴题”微信公众号（ti ao z han y azho u ti).《2017年上海市各区中考数学二模压轴题图文解析》目录2017 年上海市宝山区中考模拟第 24、25 题/ 22017 年上海市崇明区中考模拟第 24、25 题/ 62017 年上海市奉贤区中考模拟第 24、25 题/ 102017 年上海市虹口区中考模拟第 24、25 题/ 142017 年上海市黄浦区中考模拟第 24、25 题/ 182017 年上海市嘉定区中考模拟第 24、25 题/ 232017 年上海市静安区中考模拟第 24、25 题/ 272017 年上海市闵行区中考模拟第 24、25 题/ 312017 年上海市浦东新区中考模拟第 24、25 题/ 342017 年上海市普陀区中考模拟第 24、25 题/ 382017 年上海市松江区中考模拟第 24、25 题/ 422017 年上海市徐汇区中考模拟第 24、25 题/ 472017 年上海市杨浦区中考模拟第 24、25 题/ 522017 年上海市长宁区青浦区金山区中考模拟第 24、25 题/ 552017 年上海市宝山区中考模拟第 18 题/ 592017 年上海市崇明区中考模拟第 18 题/ 602017 年上海市奉贤区中考模拟第 18 题/ 612017 年上海市虹口区中考模拟第 18 题/ 622017 年上海市黄浦区中考模拟第 18 题/ 632017 年上海市嘉定区中考模拟第 18 题/ 642017 年上海市静安区中考模拟第 18 题/ 652017 年上海市闵行区中考模拟第 18 题/ 662017 年上海市浦东新区中考模拟第 18 题/ 672017 年上海市普陀区中考模拟第 18 题/ 682017 年上海市松江区中考模拟第 18 题/ 692017 年上海市徐汇区中考模拟第 18 题/ 702017 年上海市杨浦区中考模拟第 18 题/ 712017 年上海市长宁区青浦区金山区中考模拟第 18 题/ 722015 年上海市中考第 24、25 题/ 732016 年上海市中考第 24、25 题/ 77例2017年上海市宝山区中考模拟第24题如图 1，已知直线y x与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线1 22 12y x b x2 2与x 轴交于A、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点M 是上述抛物线上一点，如果△ABM 和△ABC 相似，求点M 的坐标；（3）联结AC，求顶点D、E、F、G 在△ABC 各边上的矩形DEFG 面积最大时，写出该矩形在AB 边上的顶点的坐标．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 宝山 24”，拖动点D 在BC 上运动，可以体验到，当点D是BC 的中点时，矩形DEFG 的面积最大，最大值是△ABC 面积的一半．思路点拨1．第（2）题△ABM 和△ABC 相似，只存在这两个三角形全等的情形，此时M、C 关于抛物线的对称轴对称．2．第（3）题的矩形DEFG 存在两种情况．用二次函数表示矩形的面积，求二次函数的最大值，然后看看最大值时矩形顶点的位置具有什么特殊性．图文解析（1）由1y x 2 ，得B(4, 0)，C(0,－2)．2将点B(4, 0)代入y 1 x2 bx 2 ，得 8＋4b－2＝0．解得 3b ．2 2所以抛物线的解析式为 1 2 3 2 1 ( 1)( 4)y x x x x ．所以A(－1, 0)．2 2 2（2）如图 2，由A(－1, 0)、B(4, 0)、C(0,－2)，可得 tan∠CAO＝tan∠BCO＝2．又因为∠CAO 与∠ACO 互余，所以∠BCO 与∠ACO 互余．所以△ABC 是直角三角形．过点A、B 分别作x 轴的垂线，不可能存在点M．所以只存在∠AMB＝90°的情况，此时点M 在x 轴的下方（如图 3 所示）．图 2 图 32如图 3，如果△ABM 和△ABC 相似，那么△ABM ≌△BAC ．所以点 M 与点 C 关于抛物线的对称轴对称，点 M 的坐标为(3,－2)．（3）矩形 DEFG 有两种情况：1①如图 4，在 AB 边上的顶点有两个，坐标分别为(2, 0)和( ,0) ．23②如图 5，在 AB 边上的顶点有一个，坐标为( ,0)．2考点伸展第（3）题的解题思路是这样的：在 Rt △ABC 中，AB ＝5，高 CO ＝2．情形一，如图 4，F 、G 两点在 AB 上．设 DE ＝m ，DG ＝n ．根据相似三角形对应高的比等于对应边的比，得 2 ．所以 5(2 )n m nm ． 2 52 所以 S ＝mn ＝ 5 2 n n ＝ 5 ( 1)2 5 (2 )n ． 2 2所以当 n ＝1 时，矩形 DEFG 的面积最大．几何意义是 D 为 BC 的中点时，矩形的面积 最大，最大值是△ABC 面积的一半．情形二，如图 5，点 G 在 AB 上．同样的，设 DE ＝m ，DG ＝n ．由 BD DG ，得 2 5．所以 2 5 n ． m n m BE EA 22 55 所以 S ＝m n ＝ (2 5 ) m m 2 ＝ 1 ( 5)2 5 m ．2 2所以当 m 5 时，矩形 DEFG 的面积最大．几何意义是 D 为 BC 的中点时，矩形的面 积最大，最大值也是△ABC 面积的一半．此时点 G 为 AB 的中点．图 4 图 53例2017年上海市宝山区中考模拟第25题如图 1，在△ABC 中，∠ACB 为直角，AB＝10，∠A＝30°，半径为 1 的动圆Q 的圆心从点C 出发，沿着CB 方向以 1 个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P 从点B 出发，沿着BA 方向也以 1 个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t 秒（0＜t≤5），以P 为圆心、PB 为半径的⊙P 与AB、BC 的另一个交点分别为E、D，联结ED、EQ．（1）判断并证明ED 与BC 的位置关系，并求当点Q 与点D 重合时t 的值；（2）当⊙P 和AC 相交时，设CQ 为x，⊙P 被AC 解得的弦长为y，求y 关于x 的函数解析式，并求当⊙Q 过点B 时⊙P 被AC 截得的弦长；（3）若⊙P 与⊙Q 相交，写出t 的取值范围．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 宝山 25”，拖动Q 由C 向B 运动，可以体验到，⊙P 与⊙Q 的位置关系依次为外离、外切和相交．思路点拨1．第（1）题Q、D 重合时，根据CQ＋BD＝BC 列关于t 的方程．2．第（2）题⊙Q 过点B 时，CQ＝5－1＝4．3．第（3）题求⊙P 与⊙Q 相交，先求临界位置外切时t 的值．图文解析（1）如图 2，根据直径所对的圆周角是直角，可以知道ED⊥BC．在 Rt△ABC 中，AB＝10，∠A＝30°，所以BC＝5．在 Rt△BDE 中，BE＝2BP＝2t，∠BED＝30°，所以BD＝t，DE＝ 3 t．如图 3，当点Q 与点D 重合时，BD＋CQ＝BC＝5．所以 2t＝5．解得t＝2.5．图 2 图 3（2）如图 4，设⊙P 和AC 相交于M、N 两点．作PH⊥MN 于H，那么MH＝NH．在 Rt△PAH 中，PA＝10－t，∠A＝30°，所以PH＝12(10t)t．＝5 12在 Rt△PMH 中，PM＝PB＝t，由勾股定理，得MH2＝PM2－PH2＝ 2 (5 1 )2t t ．2 于是得到y＝MN＝2MH＝3t2 20t 100 ．4如图 5，当⊙Q 过点B 时，CQ＝x＝4，此时MN＝y＝316 20 4 100 ＝2 7 ．图 4 图 5＜t≤5．（3）当⊙P与⊙Q相交时，t的取值范围是17974考点伸展第（3）题的解题过程分三步：第一步，罗列三要素．对于圆P，r P＝t；对于圆Q，r Q＝1；圆心距PQ 需要求一下．如图 6，作PF⊥BC 于F．在Rt△PFQ 中，由勾股定理，得PQ＝( 3 )2 (5 3 )2t t ．2 2第二步，列方程．如图 7，当⊙P 与⊙Q 外切时，r P＋r Q＝PQ．所以t 1( 3 t)2 (5 3t)2 ．整理，得 2t2－17t＋24＝0．解得17 97t ．2 2 4第三步，写结论．图 6 图 75例2017年上海市崇明区中考模拟第 24题 如图 1，已知抛物线 y ＝ax 2－2x ＋c 经过△ABC 的三个顶点，其中点 A (0, 1)，点 B (9, 10)，AC //x 轴． （1）求这条抛物线的解析式；（2）求 tan ∠ABC 的值；（3）若点 D 为抛物线的顶点，点 E 是直线 AC 上一点，当△CDE 与△ABC 相似时，求 点 E 的坐标．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 崇明 24”，拖动点 E 在点 C 左侧运动，可以体验到，△CDE 与△ABC 相似存在两种情况．思路点拨1．求 tan ∠ABC 的值，首先要将∠ABC 放在某个直角三角形中．作 AB 边上的高 CH 以 后，有两种解法：一种解法是∠BAC ＝45°为特殊值；另一种解法是一般性的，已知三角形 的三边，作高不设高，设 AH ＝m ．2．探究△CDE 与△ABC 相似，首选的方法是寻找一组等角，然后按照对应边成比例分 两种情况列方程．图文解析 c1,（1）将 A (0, 1)、B (9, 10)两点分别代入 y ＝ax 2－2x ＋c ，得81a 18 c 10.1 3 解得 a ＝ ，c ＝1．所以这条抛物线的解析式为 12 2 1y x x ． 3（2）由于 AC //x 轴，抛物线的对称轴为 x ＝3，所以 C (6, 1)．如图 2，作 BM ⊥AC ，垂足为 M ．作 CH ⊥AB 于 H ．由 A (0, 1)、B (9, 10)，可知 AM ＝BM ＝9，所以∠BAC ＝45°，AB ＝9 2 ．在 Rt △ACH 中，AC ＝6，所以 AH ＝CH ＝3 2 ．在 Rt △BCH 中，BH ＝AB －AH ＝6 2 ，所以 tan ∠ABC ＝ C H B H＝ 3 2 6 2 ＝ 1 2 ． 6（3）由 1 2 2 1 1 ( 3)2 2y x x x ，得顶点D 的坐标为(3,－2)．3 3由C(6, 1)、D(3,－2)，可知∠ACD＝45°，CD＝3 2 ．当点E 在点C 左侧时，∠DCE＝∠BAC．分两种情况讨论△CDE 与△ABC 相似：①当C E A B时，CE 9 2 ．解得CE＝9．此时E(－3, 1)（如图 3 所示）．C D A C32 6②CE AC 时，CE 6 ．解得CE＝2．此时E(4, 1)（如图 4 所示）．C D A B329 2图 2 图 3 图 4考点伸展第（2）题还有一般的解法：如图 2，△ABC 的三边长是确定的，那么作AB 边上的高CH，设AH＝m，就可以求得AH，进而求得CH、BH 的长．由A(0, 1)、B(9, 10)、C(6, 1)，可得AB＝9 2 ，BC＝3 10 ，AC＝6．由CH2＝CA2－AH2，CH2＝CB2－BH2，得CA2－AH2＝CB2－BH2．解方程62 m2 (3 10)2 (9 2 m)2 ，得m 3 2 ．于是得到BH＝6 2 ，CH＝3 2 ．7例 2017年上海市崇明区中考模拟第 25题如图，梯形 ABCD 中，AB //CD ，∠ABC ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，tan D ＝2，点 E 是射线 CD 上一动点（不与点 C 重合），将△BCE 沿着 BE 进行翻折，点 C 的对应点记为点 F ．（1）如图 1，当点 F 落在梯形 ABCD 的中位线 MN 上时，求 CE 的长；S （2）如图 2，当点 E 在线段 CD 上时，设 CE ＝x ， △BFCS△E F C＝y ，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出定义域；（3）如图 3，联结 AC ，线段 BF 与射线 CA 交于点 G ，当△CBG 是等腰三角形时，求 CE 的长．图 1 图 2 图 3动感体验请打开几何画板文件名“17 崇明 25”，拖动点 E 运动，可以体验到，等腰三角形 BCG 存在三种情况，每种情况的点 G 的位置都具有特殊性．思路点拨1．第（1）题点 F 到 AB 的距离等于 BF 的一半，得到∠FBA ＝30°．2．第（2）题△BFC 与△EFC 的面积比等于 BH 与 EH 的比，通过 Rt △BCH ∽Rt △CEH 得到 BH 与 EH 的比．3．第（3）题先求 CG 的长，再求 CE 的长．延长 BF 交 CD 的延长线于 K ，得到△KEF ∽△KBC ．图文解析（1）如图 4，在 Rt △FNB 中，BN ＝ 所以∠B F N ＝30°． 1 2 B C ＝ 1 2B F ，所以∠FBA ＝30°．所以∠FBC ＝60°． 所以∠FBE ＝∠CBE ＝30°．＝ 8 3 3所以 C E ＝B C t a n 30°＝83 3． 图 4（2）如图 5，设 BE 垂直平分 FC 于点 H ，那么∠CBH ＝∠ECH ． 所以△CBH ∽△ECH ．S 所以CBH△S△ECHBH ＝ ( )2EH＝ 64 x 2 S ．所以 y ＝ BFC △S△EFC＝ 2S △CBHC2S △ECH ＝ 64 x2． 定义域是 0＜x ≤10．8图 5图 6（3）①如图 6，当 CG ＝CB ＝8 时，AG ＝2．CK CG 延长 BF 交 CD 的延长线于 K ．由 4 ，得 CK ＝4AB ＝24．AB AG1 3在 Rt △KBC 中，BC ＝8，CK ＝24，所以 tan ∠K ＝．所以 sin ∠K ＝ 10 10． 在 Rt △KEF 中，FE ＝CE ＝x ，EK ＝CK －CE ＝24－x ．由 sin ∠K ＝F E E K ＝ 10 10，得10 x 24 x 10．解得 x ＝CE ＝ 8 10 83．②如图 7，当 GC ＝GB 时，点 G 在 BC 的垂直平分线上，此时四边形 ABCK 为矩形． 在 Rt △EKF 中，sin ∠EKF ＝B C B K ＝ 8 10 ＝ 4 5，FE ＝CE ＝x ，KE ＝CK －CE ＝6－x ．所以 4 x6 x 5．解得 x ＝CE ＝ 8 3．③如图 8，当 BG ＝BC ＝8 时，由于 BC ＝BF ，所以 F 、G 重合．此时 BE ⊥AC ．由 tan ∠CEB ＝tan ∠ACB ＝ 3 4 ，得B C C E 3 ．所以 CE ＝ 432 3．图 7 图 8考点伸展第（3）题的①、②两种情况，解 Rt △KEF ，可以用勾股定理列方程．9例 2017年上海市奉贤区中考模拟第 24题如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点 A (3, 0)和点 B (2, 3)，过点1 3A 的直线与 y 轴的负半轴相交于点 C ，且 tan ∠CAO ＝（1）求这条抛物线的表达式及对称轴；． （2）联结 AB 、BC ，求∠ABC 的正切值；（3）若点 D 在 x 轴下方的对称轴上，当 S △ABC ＝S △ADC 时，求点 D 的坐标．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 奉贤 24”，可以体验到，△ABC 是等腰直角三角形，B 、D 两点到直线 AC 的距离相等．思路点拨1．直觉告诉我们，△ABC 是直角三角形．2．第（3）题的意思可以表达为：B 、D 在直线 AC 的两侧，到直线 AC 的距离相等．于 是我们容易想到，平行线间的距离处处相等．图文解析（1）将 A (3, 0)、B (2, 3)两点分别代入 y ＝－x 2＋bx ＋c ，得93b c 0,4 2b c 3.解得 b ＝2，c ＝3．所以 y ＝－x 2＋2x ＋3．对称轴是直线 x ＝1．O C OA （2）由 t a n ∠C A O ＝＝ 1 3，OA ＝3，得 OC ＝1．所以 C (0,－1)． 由两点间的距离公式，得 AB 2＝12＋32＝10，AC 2＝32＋12＝10，BC 2＝22＋42＝20． 所以∠BAC ＝90°，且 AB ＝AC ．所以△ABC 是等腰直角三角形，tan ∠ABC ＝1．（3）因为△ABC 与△ADC 有公共底边 AC ，当 S △ABC ＝S △ADC 时，B 、D 到直线 AC 的距离相等．如图 2，因为点 B (2, 3)关于点 A (3, 0)的对称点为 E (4,－3)，那么过点 E 作 AC 的平行线 与抛物线的对称轴的交点即为所求的点 D ．由 A (3, 0)、C (0,－1)可得直线 AC 的解析式为1y x 1．3设直线 DE 的解析式为y x b ，代入点 E (4,－3)，得 13 1b ．3 3 10所以直线DE 的解析式为11 3 y x ．当x＝1 时，y＝－4．3 3所以点D 的坐标为(1,－4)．考点伸展第（2）题也可以构造 Rt△ABM 和 Rt△CAN（如图 3），用“边角边”证明△ABM≌△CAN，从而得到等腰直角三角形ABC．图 2 图 3第（3）题也可以这样思考：如图 4，过点B 与直线AC 平行的直线为y 1 x 7 ，与y 轴交于点F(0, 7)33 3．F、C 两点间的距离为710(1) ．3 3把直线AC：y 1 x 向下平移1013 3个单位，得到直线113y x ．3 3感谢网友上海交大昂立教育张春莹老师第（3）题的解法：如图 5，如果把BL、KD 分别看作△ABC 和△ADC 的底边，那么它们的高都是A、C 两点间的水平距离，当△ABC 与△ADC 的面积相等时，BL＝KD．1 )，K(1,2 )．所以3 ( 1) ( 2) 由直线AC 的解析式可以求得L (y ．2,D3 3 3 3解得y D＝－4．所以D(1,－4)．图 4 图 511例2017年上海市奉贤区中考模拟第25题如图 1，线段AB＝4，以AB 为直径作半圆O，点C 为弧AB 的中点，点P 为直径AB 上一点，联结PC，过点C 作CD//AB，且CD＝PC，过点D 作DE//PC，交射线PB 于点E，PD 与CE 相交于点Q．（1）若点P 与点A 重合，求BE 的长；PD＝y，当点P 在线段AO 上时，求y 关于x 的函数关系式及定义域；C E（2）设P C＝x，（3）当点Q 在半圆O 上时，求PC 的长．图 1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“17 奉贤 25”，拖动点P 在AO 上运动，可以体验到，PD 与CE的比就是菱形的对角线的比，可以转化为PQ 与EQ 的比，进而转化为∠PEQ 的正切值．拖动点P 在OB 上运动，可以体验到，当点Q 落在圆上时，点Q 到AB 的距离等于圆的半径的一半．思路点拨1．四边形PCDE 是菱形，对角线互相垂直平分．2．第（2）题根据∠PEQ 和∠CEO 是同一个角，用正切值得到关系式．3．第（3）题画图的步骤是：点Q 在OC 的中垂线与圆的交点处，延长CQ 交AB 的延长线于点E，过点Q 作CE 的垂线得到点P、D．图文解析（1）如图 2，由CD//AB，DE//PC，得四边形PCDE 是平行四边形．又因为CD＝PC，所以四边形PCDE 是菱形．在等腰直角三角形AOC 中，AC＝ 2 OA＝2 2 ．当点P 与点A 重合，PE＝AC＝2 2 ．所以BE＝AB－PE＝4－2 2 ．图 2 图 3（2）如图 3，在 Rt△CPO 中，PC＝x，CO＝2，所以PO＝x 2 4 ．所以EO＝PE－PO＝PC－PO＝x x 2 4 ．12因为PD 与CE 互相垂直平分于Q，所以y＝P DC E＝PQE Q ＝tan∠PEQ＝tan∠CEO＝C OE O．所以y2x x 42x x2 442．定义域是2≤x≤22 ．（3）如图 4，作QH⊥AB 于H．因为菱形PCDE 的对边CD 与PE 间的距离保持不变，等于圆的半径CO＝2，当点Q在半圆O 上时，QH＝12OQ＝1．所以∠QOH＝30°．此时∠COQ＝60°，△COQ 是等边三角形．所以∠DCE＝30°．所以∠PCE＝30°．在 Rt△COP 中，∠OCP＝30°，CO＝2，所以PC＝C O＝ 2c o s3032＝4 33．图 4 图 5考点伸展在本题情境下，当点P 从A 运动到B 的过程中，求点Q 运动过的路径长．因为点Q 是CE 的中点，所以点Q 的运动轨迹与点E 的运动轨迹平行，点Q 的路径长等于点E 路径长的一半．如图 2，当点P 与点A 重合时，AE＝AC＝2 2 ．如图 5，当点P 与点B 重合时，BE＝BC＝2 2 ．所以点E 运动的路径长为 4，点Q 运动的路径长为 2．13例2017年上海市虹口区中考模拟第24题如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线1y x bx c 经过点A(－2, 0)和原点，点B 在4抛物线上且 tan∠BAO＝12，抛物线的对称轴与x 轴相交于点P．（1）求抛物线的解析式，并直接写出点P 的坐标；（2）点C 为抛物线上一点，若四边形AOBC为等腰梯形且AO//BC，求点C 的坐标；（3）点D 在AB 上，若△ADP 与△ABO 相似，求点D 的坐标．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 虹口 24”，拖动点D 在AB 上运动，可以体验到，△ADP与△ABO 相似存在两种情况．点击屏幕左下角的按钮“第（2）题”，可以体验到，以A、O、B、C 为顶点的等腰梯形存在三种情况，其中AO//BC 时，点C 与点B 关于抛物线的对称轴对称．思路点拨1．已知二次函数的二次项系数和抛物线与x 轴的两个交点，可以直接写出交点式．2．等腰梯形AOBC 当AO//BC 时，C、B 两点关于抛物线的对称轴对称．3．分两种情况讨论△ADP 与△ABO 相似．由于∠A 是公共角，根据夹∠A 的两边对应成比例，分两种情况列方程，先求AD 的长，再求点D 的坐标．图文解析（1）因为抛物线1y x bx c 与x 轴交于点A(－2, 0)和原点，所以411 1y x(x2)x x．244 2抛物线的对称轴是直线x＝－1，点P 的坐标为(－1, 0)．1（2）作BH⊥x 轴于H．设点B 的坐标为(x, x(x 2)) ．4由 tan∠BAO＝B HA H＝121，得AH＝2BH．所以(x 2) 2x(x 2) ．4解得x＝2，或x＝－2（B、A 重合，舍去）．所以B(2, 2)．若四边形AOBC 为等腰梯形且AO//BC，那么B、C 关于抛物线的对称轴x＝－1 对称．所以点C 的坐标为(－4, 2)．图 2 图 314（3）作DE⊥x 轴于E．在 Rt△ADE 中，已知 tan∠A＝12，所以DE＝55A D，AE＝2 55 A D．由于△ADP 与△ABO 有公共角∠A，分两种情况讨论相似：①当AD AB 时，AD 2 5 ．所以AD＝5 ．A P A O1 2此时DE＝1，AE＝2．所以点D 的坐标为(0, 1)．②当A D A O时，A D 2．所以A D＝ 5 A P A B125 5．此时DE＝15，AE＝25．所以OE＝OA－AE＝858 1(,)．5 5．所以点D的坐标为图 4 图 5考点伸展如果第（2）题改为以A、O、B、C 为顶点的四边形是等腰梯形，那么就要分三种情况：△AOB 的三边的垂直平分线都可以是等腰梯形的对称轴．第二种情况：如果OC//AB，那么点C 与点O 关于直线AB 的垂直平分线对称．点C 在直线1y x 上，设C(2m, m)．2由CB＝OA＝2，得CB2＝4．所以(2m－2)2＋(m－2)2＝4．解得m＝254 2 ，或m＝2（此时四边形AOCB 是平行四边形）．所以C( , )．5 5第三种情况：如果AC//OB，那么点C 与点A 关于直线OB 的垂直平分线对称．点C 在直线y＝x＋2 上，设C(n, n＋2)．由CB＝AO＝2，得CB2＝4．所以(n－2)2＋n2＝4．解得n＝2，或n＝0（舍去）．所以C(2, 4)．图 6 图 715例2017年上海市虹口区中考模拟第25题如图 1，在△ABC 中，AB＝AC＝5，cos B＝45，点P 为边BC 上一动点，过点P 作射线PE 交射线BA 于点D，∠BPD＝∠BAC．以点P 为圆心，PC 长为半径作⊙P 交射线PD 于点E，联结CE，设BD＝x，CE＝y．（1）当⊙P 与AB 相切时，求⊙P 的半径；（2）当点D 在BA 的延长线上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）如果⊙O 与⊙P 相交于点C、E，且⊙O 经过点B，当O P＝54时，求AD 的长．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 虹口 25”，拖动点P 运动，可以体验到，△BPD 与△BAC 保持相似，PN 与BD 保持平行．观察度量值，可以体验到，OP＝1.25 存在两种情况．思路点拨1．作圆P 的弦CE 对应的弦心距PN，把图形中与∠B 相等的角都标记出来．2．第（3）题的圆O 经过B、C、E 三点，事实上OP 与BD 是平行的．图文解析（1）如图 2，作AM⊥BC 于M，那么BM＝CM．在 Rt△ABM 中，AB＝5，cos B＝B MA B＝45，所以BM＝4，sin B＝35．如图 3，设⊙P 与AB 切于点H，那么 sin B＝PHBP＝35．所以r8 r 35＝．解得r＝3．图 2 图 3 图 4 （2）如图 4，由于∠B＝∠B，∠BPD＝∠BAC，所以△BPD∽△BAC．因为AB＝AC，所以PB＝PD．如图 5，设圆P 与BC 的另一个交点为F，因此所以F E//B D．所以∠E F C＝∠B．P F P E．P B P D在△PBD 中，B P B A 5，所以5 5BP BD x ．B D B C888在△EFC 中，由PC＝PE＝PF，可知∠FEC＝90°，所以 sin∠EFC＝C EC F3．516所以CF5 CE 5 y ．所以 PC ＝ 13 3 2 CF ＝ 5 6y ．由 BC ＝BP ＋PC ＝8，得5 x 5 y ．整理，得 48 3 y x ．定义域是 5＜x ＜ 64886545．（3）因为⊙O 经过 B 、C 、E 三点，所以圆心 O 是 BC 和 CE 的垂直平分线的交点． 如图 6，设 CE 的中点为 N ，那么 OP ⊥CE 于 N ． 所以 OP //FE //BA ．所以 cos ∠OPM ＝cos B ＝ 4 5 ．当 OP ＝ 5 4时，MP ＝1．①如图 6，当 P 在 M 右侧时，BP ＝4＋1＝5．此时 BD ＝ 所以 A D ＝B D －B A ＝8－5＝3．8 5BP ＝8．②如图 7，当 P 在 M 左侧时，BP ＝4－1＝3．此时 BD ＝ 8 5 B P ＝ 24 5．2 4 所以 AD ＝BA －BD ＝ 5 ＝ 51 5．图 5 图 6 图 7考点伸展第（2）题不证明 FE //BA 的话，可以证明∠CPN ＝∠B ．如图 8，由于∠CPE ＝∠B ＋∠D ＝2∠B ，∠CPE ＝2∠CPN ，所以∠CPN ＝∠B ．在 Rt △CPE 中， 1 2 3 5 C E ＝PC ．所以 PC ＝5 6 C E ＝ 5 6 5 y ．所以 BP ＝8 y ．6 在△BPD 中， 1 2 B D ＝ 4 5 BP ．所以 1 x 4 5 y ．整理，得 48 3 (8 ) y x ．2 5 6 5 4定义域中 x ＝ 64 5的几何意义如图 9 所示．图 8 图 917例 2017年上海市黄浦区中考模拟第 24题如图 1，点 A 在函数 y4（x ＞0）的图像上，过点 A 作 x 轴和 y 轴的平行线分别交函 x数 y 1的图像于点 B 、C ，直线 BC 与坐标轴的交点为 D 、E ． x（1）当点 C 的横坐标为 1 时，求点 B 的坐标；（2）试问：当点 A 在函数 y4（x ＞0）的图像上运动时，△ABC 的面积是否发生变 x 化？若不变，请求出△ABC 的面积；若变化，请说明理由；（3）试说明：当点 A 在函数 y4（x ＞0）的图像上运动时，线段 BD 与 CE 的长始终 x相等．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 黄浦 24”，拖动点 A 运动，可以体验到，△DBM 与△CEN 保持全等，MN 与 BC 保持平行．思路点拨1．设点 A 的横坐标为 m ，A 、C 两点的横坐标相等，A 、B 两点的纵坐标相等，用 m 表 示 A 、B 、C 三点的坐标和 AB 、AC 的长．2．证明 BD ＝CE ，因为四点共线，只要证明 B 、D 两点间的竖直距离等于 C 、E 两点间 的竖直距离就可以了．图文解析（1）当点 C 的横坐标为 1 时，C (1, 1)，A (1, 4)．由 1 x4 ，得x 1 ．所以点 B 的坐标为(1 ,4) 4 4 ． （2）△ABC 的面积为定值．计算如下：4 如图 2，设点 A 的坐标为(m , ) m 1 ，那么 C (m , ) mm 4 ，B ( , )． 4 m3m 所以 A B ＝ 4 ，AC ＝ 3 m ．所以 S △ABC ＝ 1 2 A B A C ＝ 1 3 3 ＝ m2 4 m9 8 ． （3）如图 3，延长 AB 交 y 轴于 M ，延长 AC 交 x 轴于 N ．在 Rt △DBM 中，tan ∠DBM ＝tan ∠ABC ＝ A C A B ＝ 3 3m ＝ m 44 m 2 ，BM ＝ m 4，所以DM＝BM tan∠DBM＝m44＝m21m．所以DM＝CN．18又因为 sin∠DBM＝sin∠CEN，所以DB＝CE．图 2 图 3考点伸展如图 4，第（2）题中，面积为定值的有：矩形AMON、△ABC、△BOM、△CON，所以△BOC 的面积也为定值．如图 5，联结MN，那么MN 与BC 保持平行，这是因为M B N C 1．M A N A 4还有一个有趣的结论，随着点A 的运动，直线MN 与双曲线y 1（x＞0）保持相切．x直线MN 的解析式为44，与y1y x 联立方程组，消去y，得m m x214 4x．x m m2整理，得(2x－m)2＝0．所以直线MN 与双曲线有一个交点，保持相切．感谢网友上海交大昂立教育张春莹老师提供的第（3）题的简练解法：如图 4，因为B D B M 1，C E C N 1，所以B D＝C E．B C B A3C B C A 3图 4 图 519例2017年上海市黄浦区中考模拟第25题已知 Rt△ABC 斜边AB 上的D、E 两点满足∠DCE＝45°．（1）如图 1，当AC＝1，BC＝ 3 ，且点D 与点A 重合时，求线段BE 的长；（2）如图 2，当△ABC 是等腰直角三角形时，求证：AD2＋BE2＝DE2；（3）如图 3，当AC＝3，BC＝4 时，设AD＝x，BE＝y，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．图 1 图 2 图 3动感体验请打开几何画板文件名“17 黄浦 25”，可以体验到，四边形CMEN 是正方形．点击屏幕左下方的按钮“第（2）题”，可以体验到，直角三角形DEF 的边FD＝AD，FE＝BE．点击按钮“第（3）题”，可以体验到，△CDP∽△ECQ．思路点拨1．第（1）题过点E 向两条直角边作垂线段，围成一个正方形，然后根据对应线段成比例求正方形的边长，再得到BE 的长等于正方形边长的 2 倍．2．第（2）题的目标是把AD、BE 和DE 围成一个直角三角形．经典的解法有翻折和旋转两种．图文解析（1）当AC＝1，BC＝ 3 时，AB＝2，∠B＝30°．如图 4，作EM⊥BC 于M，作EN⊥AC 于N，那么四边形CMEN 是正方形．设正方形的边长为a．由EM BM，得a 3 a ．AC BC 1 3解得 3 3a ．2所以BE＝2EM＝3 3 ．图 4【解法二】如图 4，因为1C B E MS C B△C B E21S C A E N C A△C B E2S B E，△C B ES E A△C B E，所以C B B E．C A E A．解得BE＝3 3 ．所以3B E12B E20（2）如图5，以CE 为对称轴，构造△CFE≌△CBE，那么FE＝BE，∠CFE＝∠B＝45°．联结DF．由“边角边”证明△CFD≌△CAD，所以FD＝AD，∠CFD＝∠A＝45°．所以△DEF 是直角三角形，FD2＋FE2＝DE2．所以AD2＋BE2＝DE2．【解法二】如图 6，绕点C 将△CBE 逆时针旋转 90°得到△CAG，那么AG＝BE，CE ＝CG，∠CAG＝∠B＝45°．由“边角边”证明△CDG≌△CDE，所以DG＝DE．在 Rt△GDA 中，AD2＋AG2＝DG2．所以AD2＋BE2＝DE2．图 5 图 6（3）如图 7，作CH⊥AB 于H．在 Rt△ABC 中，AC＝3，BC＝4，所以AB＝5．于是可得CH 12 ，BH 16 ，9AH ．5 5 5所以DH 9 x，16EH y ．5 5如图 8，以H 为旋转中心，将点D 逆时针旋转 90°得到点P，将点E 顺时针旋转 90°得到点Q．于是可得△CDP∽△ECQ．由PD QC，得PD QE PC QC ．PC QE所以2(9 x) 2(16 y ) 12 (9 x )12 (16 y )5 5 5 5 5 5．整理，得2860xy5x 21．157 定义域是0≤x≤15 7．当B、E 重合时x＝．图 7 图 821考点伸展第（3）题解法多样，再介绍三种解法：如图 9，过点C 作AB 的平行线KL．构造等腰直角三角形KDD′和LEE′．由△CDE∽△KCD，△CDE∽△LEC，得△KCD∽△LEC．所以KC DK，即KC CL=LE DK ．LE CL所以12 (9 )12 (16 ) 12 2 12 2x y55555 5．整理即可．如图 10，分别以CD、CE 为对称轴，作CH 的对应线段CK、CL，再围成正方形CKRL．在 Rt△DER 中，由DR2＋ER2＝DE2，得2 2129121 6(x)(y)(5x y)25555．整理即可．如图 11，类似第（2）题的第一种解法，在 Rt△A′B′T 中，A′B′＝CB－CA＝1，所以A′T＝35 ，B′T＝ 4 5．在 Rt△DET 中，DE＝5－x－y，TE＝y 4，T D＝ 3x ，由勾股定理，得5 52 4 23 2(5x y ) (y ) (x ) ．整理即可．5 5图 9 图 10 图 1122例2017年上海市嘉定区中考模拟第24题如图 1，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为(3, 1)，点B 的坐标为(6, 5)，点C 的坐标为(0, 5)，某二次函数的图像经过A、B、C 三点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）假如点Q 在该二次函数图像的对称轴上，且△ACQ 是等腰三角形，请直接写出点Q 的坐标；（3）如果点P 在（1）中求出的二次函数的图像上，且 tan∠PCA＝12，求∠PCB 的正弦值．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 嘉定 24”，可以体验到，当AD⊥AC，且AC＝2AD 时，点D 的位置是确定的，射线CD 与抛物线的交点就是点P．思路点拨1．由B、C 两点的坐标可知抛物线的对称轴是直线x＝3，再由点A 的坐标可知点A 就是抛物线的顶点，因此设顶点式比较简便．2．分三种情况讨论等腰三角形ACQ：AQ＝AC，CQ＝CA，QA＝QC．3．第（3）题的解题策略是：根据 tan∠PCA＝12，过点A 作AC 的垂线，在垂线上截取AD＝12AC，那么点P 就是射线CD 与抛物线的交点，∠DCB 就是∠PCB．不用求点P的坐标，求点D 的坐标就好了．图文解析（1）由B(6, 5)、C(0, 5)，可知抛物线的对称轴是直线x＝3．由A(3, 1)，可知点A 是抛物线的顶点．设二次函数的解析式为y＝a(x－3)2＋1，代入点B(6, 5)，得 9a＋1＝5．4 4 4 8解得a ．所以y (x 3)2 1x 2 x 5．9 9 9 33 3（2）点Q 的坐标为(3, 6)，(3,－4)，(3, 9)或(3, )8．（3）如图 2，绕着点A 将线段AC 的中点旋转 90°得到点D，那么射线CD 与抛物线的交点就是要求的点P．当点D 在CA 左侧时，射线CD 与抛物线没有交点．如图 3，当点D 在CA 右侧时，作DE⊥x 轴于E，那么∠DCE 就是∠PCB．过点A 作x 轴的平行线交y 轴于M，过点D 作DN⊥AM 于N．CM MA AC由△CMA∽△AND，得 2 ．AN ND DA所以A N 1C M ，1 32N D M A ．22 223在 Rt△CDE 中，CE＝MA＋AN＝3＋2＝5，ED＝CM－ND＝3 5 4，2 2所以 tan∠DCE＝E DC E＝12．所以 sin∠DCE＝55，即 sin∠PCB＝55．图 2 图 3考点伸展第（2）题分三种情况讨论等腰三角形ACQ：①如图 4，当AQ＝AC＝5 时，以A 为圆心、以AC 为半径的圆与对称轴有两个交点，所以点Q 的坐标为(3, 6) 或(3,－4)．②如图 5，当CQ＝CA 时，点C 在AQ 的垂直平分线上，此时点Q 的坐标为(3, 9)．③如图 6，当QA＝QC 时，点Q 在AC 的垂直平分线上，此时1 4A C A Q．2 5所以AQ＝58AC ＝2583 3．此时点Q 的坐标为(3, )8．图 4 图 5 图 6 24例2017年上海市嘉定区中考模拟第25题已知AB＝8，⊙O 经过点A、B，以AB 为一边画平行四边形ABCD，另一边CD 经过点O（如图 1）．以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交线段OC 于点E（点E 不与点O、点C 重合）．（1）求证：OD＝OE；（2）如果⊙O 的半径长为 5（如图 2），设OD＝x，BC＝y，求y 与x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果⊙O 的半径长为 5，联结AC，当BE⊥AC 时，求OD 的长．图 1 图 2 备用图动感体验请打开几何画板文件名“17 嘉定 25”，拖动点D 运动，可以体验到，四边形ABED 保持等腰梯形的形状，△BCE 保持等腰三角形的形状，垂足H 的位置保持不变，MH 的位置保持不变．双击按钮“AC⊥BE”，可以体验到，点C 恰好落在圆上，MH 等于EC 与AB 和的一半．思路点拨1．根据等腰梯形是轴对称图形，很容易知道点O 是DE 的中点．2．第（2）题中，等腰三角形BCE 的高BH 为定值，先用x 表示EC，再用勾股定理就可以表示BC 了．3．第（3）题如何利用BE⊥AC，常规的方法是过点C 作BE 的平行线得到直角三角形．图文解析（1）如图 3，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD＝BC．又因为BE＝BC，所以AD＝BE．所以四边形ABED 是等腰梯形．因为圆心O 在弦AB 的垂直平分线上，所以点O 是上底DE 的中点，即OD＝OE．图 3 图 425例2017年上海市静安区中考模拟第24题如图 1，已知二次函数 1 2y x bx c 的图像与x 轴的正半轴交于点A(2, 0)和点B，2与y 轴交于点C，它的顶点为M，对称轴与x 轴相交于点N．（1）用b 的代数式表示点M 的坐标；（2）当 tan∠MAN＝2 时，求此二次函数的解析式及∠ACB 的正切值．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 静安 24”，拖动点N 运动，观察∠MAN 的正切值的度量值，可以体验到，当 tan∠MAN＝2 时，△OBC 是等腰直角三角形．思路点拨1．第（1）题分三步：根据抛物线的解析式写出对称轴x＝b；代入点A 的坐标，用b表示c；求x＝b 时y 的值，得到顶点的纵坐标．2．第（2）题先根据 tan∠MAN＝2 求b 的值，确定点B、C 的坐标，再作BC 边上的高AH，解直角三角形ABH 和直角三角形ACH．图文解析（1）由 1 2y x bx c ，得抛物线的对称轴为直线x＝b．2将点A(2, 0)代入 1 2y x bx c ，得－2＋2b＋c＝0．所以c＝2－2b．2当x＝b 时， 1 2 2 2 1 2 2 2 1 ( 2)2y x bx b b b b ．2 2 2所以抛物线的顶点M 的坐标可以表示为( , 1 ( 2)2 )b b ．2MN（2）当 tan∠MAN＝2 时， 2 ，即MN＝2AN．AN解方程1 ( 2)2 2( 2)b b ，得b＝6，或b＝2（与A 重合，舍去）．2此时抛物线的解析式为 1 2 6 10y x x ，A(2, 0)，B(6, 0)，C(0,－10)．2所以AB＝8，OB＝OC＝10．所以BC＝10 2 ，∠B＝45°．27作AH⊥BC 于H，那么AH＝BH＝4 2 ．在 Rt△ACH 中，CH＝BC－BH＝6 2 ，所以 tan∠ACB＝A HC H＝23 ．图 2考点伸展第（2）题上面的解法是利用“边角边”，作高先求高．也可以利用“边边边”，作高不设高．由A(2, 0)，B(6, 0)，C(0,－10)，得AB＝8，BC＝10 2 ，AC＝104 ．设CH＝m，那么BH＝10 2 m．由AH2＝AC2－CH2，AH2＝AB2－BH2，得AC2－CH2＝AB2－BH2．解方程( 104)2 m2 82 (10 2 m)2 ，得m CH 6 2 ．所以AH2＝AC2－CH2＝( 104)2 (6 2)2 ＝32．所以AH＝4 2 ．28例2017年上海市静安区中考模拟第25题如图 1，已知⊙O 的半径OA 的长为 2，点B 是⊙O 上的动点，以AB 为半径的⊙A 与线段OB 相交于点C，AC 的延长线与⊙O 相交于点D．设线段AB 的长为x，线段OC 的长为y．（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（2）当四边形ABDO 是梯形时，求线段OC 的长．图 1图文解析（1）如图 1，因为OA＝OB，所以∠OAB＝∠B．因为AC＝AB，所以∠ACB＝∠B．所以∠OAB＝∠ACB．所以△OAB∽△ACB．所以B O B A，即2xB A B Cx 2 y．整理，得 2 1 2y x ．定义域是 0≤x≤2．x＝2 的几何意义如图 2 所示．2图 1 图 2（2）梯形ABDO 存在两种情况：①如图 3，当AB//OD 时，A B C B，即x2y．整理，得(x＋2)y＝4．D O C O2y代入y 2 1 x2 ，得( 2)(2 1 2 ) 4x x ．整理，得x2＋2x－4＝0．2 2解得x＝ 5 1，或x＝ 5 1（舍去）．所以CO＝y＝2 1 2 ＝2 1 ( 5 1)2x＝ 5 1．事实上，此时点C 是线段OB 的黄2 2金分割点．。

上海市金山区2017-2018学年高考数学一模试卷 Word版含解析

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上海市金山区2017-2018学年高考数学一模试卷一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．若集合M={y|y=﹣x2+5，x∈R}，N={y|y=，x≥﹣2}，则M∩N=__________．2．计算：=__________．3．不等式的解集是__________．4．如果复数z=（b∈R）的实部与虚部相等，则z的共轭复数=__________．5．方程：sinx+cosx=1在[0，π]上的解是__________．6．等差数列{a n}中，a2=8，S10=185，则数列{a n}的通项公式a n=__________（n∈N*）．7．当a＞0，b＞0且a+b=2时，行列式的值的最大值是__________．8．若（x+）12的二项展开式中的常数项为m，则m=__________．9．从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量为（单位：克）：125 124 121 123 127，则该样本标准差s=__________（克）（用数字作答）．10．三棱锥O﹣ABC中，OA=OB=OC=2，且∠BOC=45°，则三棱锥O﹣ABC体积的最大值是__________．11．从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}中任取两个数，欲使取到的一个数大于k，另一个数小于k（其中k∈{5，6，7，8，9}）的概率是，则k=__________．12．已知点A（﹣3，﹣2）和圆C：（x﹣4）2+（y﹣8）2=9，一束光线从点A发出，射到直线l：y=x﹣1后反射（入射点为B），反射光线经过圆周C上一点P，则折线ABP的最短长度是__________．13．如图所示，在长方体ABCD﹣EFGH中，AD=2，AB=AE=1，M为矩形AEHD内的一点，如果∠MGF=∠MGH，MG和平面EFG所成角的正切值为，那么点M到平面EFGH 的距离是__________．14．已知点P（x0，y0）在椭圆C：（a＞b＞0）上，如果经过点P的直线与椭圆只有一个公共点时，称直线为椭圆的切线，此时点P称为切点，这条切线方程可以表示为：．根据以上性质，解决以下问题：已知椭圆L：，若Q（u，v）是椭圆L外一点（其中u，v为定值），经过Q点作椭圆L的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程是__________．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．复数z1=a+bi（a、b∈R，i为虚数单位），z2=﹣b+i，且|z1|＜|z2|，则a的取值范围是( ) A．a＞1 B．a＞0 C．﹣l＜a＜1 D．a＜﹣1或a＞116．由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有( )A．60个B．48个C．36个D．24个17．设k＞1，f（x）=k（x﹣1）（x∈R）．在平面直角坐标系xOy中，函数y=f（x）的图象与x轴交于A点，它的反函数y=f﹣1（x）的图象与y轴交于B点，并且这两个函数的图象交于P点．已知四边形OAPB的面积是3，则k等于( )A．3 B．C．D．18．若集合A1、A2满足A1∪A2=A，则称（A1，A2）为集合A的一个分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分拆，则集合A={a1，a2，a3}的不同分拆种数是( )A．27 B．26 C．9 D．8三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．a、b、c分别是锐角△ABC的内角A、B、C的对边，向量=（2﹣2sinA，cosA+sinA），=（sinA﹣cosA，1+sinA），且∥．已知a=，△ABC面积为，求b、c的大小．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD的底面梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=1，AD=3，∠ADC=45°．又已知PA⊥平面ABCD，PA=1．求：（1）异面直线PD与AC所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）（2）四棱锥P﹣ABCD的体积．21．已知a＞0且a≠1，数列{a n}是首项与公比均为a的等比数列，数列{b n}满足b n=a n•lga n （n∈N*）．（1）若a=3，求数列{b n}的前n项和S n；（2）若对于n∈N*，总有b n＜b n+1，求a的取值范围．22．（16分）动点P与点F（0，1）的距离和它到直线l：y=﹣1的距离相等，记点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设点A（0，a）（a＞2），动点T在曲线C上运动时，|AT|的最短距离为a﹣1，求a的值以及取到最小值时点T的坐标；（3）设P1，P2为曲线C的任意两点，满足OP1⊥OP2（O为原点），试问直线P1P2是否恒过一个定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由．23．（18分）设函数f（x）=2ka x+（k﹣3）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）求k值；（2）若f（2）＜0，试判断函数f（x）的单调性，并求使不等式f（x2﹣x）+f（tx+4）＜0恒成立的t的取值范围；（3）若f（2）=3，且g（x）=2x+2﹣x﹣2mf（x）在[2，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．上海市金山区2015届高考数学一模试卷一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．若集合M={y|y=﹣x2+5，x∈R}，N={y|y=，x≥﹣2}，则M∩N=[0，5]．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：分别求出M与N中y的范围，确定出M与N，找出两集合的交集即可．解答：解：由M中y=﹣x2+5≤5，得到M=（﹣∞，5]，由N中y=，x≥﹣2，得到y≥0，即N=[0，+∞），则M∩N=[0，5]，故答案为：[0，5]点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．计算：=．考点：数列的极限．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：直接利用数列极限的运算法则，分子分母同除3n，然后求解极限即可．解答：解：===．故答案为：．点评：本题考查数列极限的运算法则，基本知识的考查．3．不等式的解集是{x|0＜x＜1}．考点：其他不等式的解法．专题：计算题．分析：将不等式＞1移项后通分，即可求得不等式的解集．解答：解：∵＞1，∴﹣1=＞0，∴＞0，∴0＜x＜1．∴不等式的解集为{x|0＜x＜1}．故答案为：{x|0＜x＜1}．点评：本题考查不等式的解法，移项后通分是关键，属于基础题．4．如果复数z=（b∈R）的实部与虚部相等，则z的共轭复数=1﹣i．考点：复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：利用分母实数化化简复数z，由条件求出b的值，代入求出复数z和．解答：解：由题意知，z===，因为复数z=（b∈R）的实部与虚部相等，所以2+b=2﹣b，解得b=0，则z=1+i，所以=1﹣i，故答案为：1﹣i．点评：本题考查复数的基本概念，化简复数的方法：分母实数化，以及共轭复数，属于基础题．5．方程：sinx+cosx=1在[0，π]上的解是或0．考点：三角方程．专题：三角函数的求值．分析：sinx+cosx=1，可得sin2x+cos2x+2sinxcosx=1，sinxcosx=0，可得sinx=0或cosx=0，利用x∈[0，π]，即可得出．解答：解：∵sinx+cosx=1，∴sin2x+cos2x+2sinxcosx=1，∴sinxcosx=0，∴sinx=0或cosx=0，∵x∈[0，π]，∴或0．故答案为：或0．点评：本题考查了同角三角函数的关系式、正弦函数与余弦函数的单调性，属于基础题．6．等差数列{a n}中，a2=8，S10=185，则数列{a n}的通项公式a n=3n+2（n∈N*）．考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知条件，利用等差数列的通项公式和前n项和公式求出首项和公差，由此能求出数列的通项公式．解答：解：∵等差数列{a n}中，a2=8，S10=185，∴，解得a1=5，d=3，∴a n=5+（n﹣1）×3=3n+2．故答案为：3n+2．点评：本题考查等差数列的通项公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．7．当a＞0，b＞0且a+b=2时，行列式的值的最大值是0．考点：二阶行列式的定义；基本不等式．专题：矩阵和变换．分析：利用行列的性质和均值定理求解．解答：解：∵a＞0，b＞0且a+b=2时，∴行列式=ab﹣1≤﹣1=1﹣1=0．当且仅当a=b=1时，取“=”，∴行列式的值的最大值为0．故答案为：0．点评：本题考查行列式的最大值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意行列式性质和均值定理的合理运用．8．若（x+）12的二项展开式中的常数项为m，则m=7920．考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：根据二项式展开式的通项公式，求出展开式为常数时r的值，再计算常数项m即可．解答：解：（x+）12的展开式的通项公式为T r+1=•x12﹣r•=2r••x12﹣3r，令12﹣3r=0，解得r=4；∴常数项m=24•=16×=7920．故答案为：7920．点评：本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了组合公式的应用问题，是基础题目．9．从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量为（单位：克）：125 124 121 123 127，则该样本标准差s=2（克）（用数字作答）．考点：极差、方差与标准差．专题：计算题；压轴题．分析：根据题意，利用平均数、方差、标准差的公式直接计算即可．解答：解：由题意得：样本平均数x=（125+124+121+123+127）=124，样本方差s2=（12+02+32+12+32）=4，∴s=2．故答案为2．点评：本题考查用样本的平均数、方差、标准差来估计总体的平均数、方差、标准差，属基础题，熟记样本的平均数、方差、标准差公式是解答好本题的关键．10．三棱锥O﹣ABC中，OA=OB=OC=2，且∠BOC=45°，则三棱锥O﹣ABC体积的最大值是．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：将△BOC作为三棱锥的底面，当OA⊥平面BOC时，该棱锥的高最大，体积就最大，由此能求出三棱锥O﹣ABC体积的最大值．解答：解：将△BOC作为三棱锥的底面，∵OA=OB=OC=2，且∠BOC=45°，∴△BOS的面积为定值S==，∴当OA⊥平面BOC时，该棱锥的高最大，体积就最大，此时三棱锥O﹣ABC体积的最大值V=×S×h==．故答案为：．点评：本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．11．从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}中任取两个数，欲使取到的一个数大于k，另一个数小于k（其中k∈{5，6，7，8，9}）的概率是，则k=7．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：，先求出所有的基本事件有45种，再求出取到的一个数大于k，另一个数小于k的基本事件有（k﹣1）（10﹣k），根据古典概率公式即可得到关于k的方程解得即可解答：解：从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}中任取两个数的基本事件有=45种，取到的一个数大于k，另一个数小于k，比k的小的数有（k﹣1）个．比k的大的数有（10﹣k）个，故有=（k﹣1）（10﹣k），所以取到的一个数大于k，另一个数小于k（其中k∈{5，6，7，8，9}）的概率是P==，解得k=7故答案为：7点评：本题考查了古典概型的概率公式的应用，关键是求出取到的一个数大于k，另一个数小于k的基本事件，属于基础题12．已知点A（﹣3，﹣2）和圆C：（x﹣4）2+（y﹣8）2=9，一束光线从点A发出，射到直线l：y=x﹣1后反射（入射点为B），反射光线经过圆周C上一点P，则折线ABP的最短长度是10．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：求出A点关于直线l：y=x﹣1的对称点D，连接D与圆C的圆心，交圆C于P，则折线ABP的最短长度等于|DC|﹣3．解答：解：如图：设A（﹣3，﹣2）关于直线l：y=x﹣1的对称点为D（x0，y0），由，解得D（﹣1，﹣4），由圆的方程可知圆心为C（4，8），半径为3．连接DC交圆C于P，则|DC|=．∴折线ABP的最短长度是13﹣3=10．故答案为：10．点评：本题考查了圆的标准方程，考查了直线和圆的位置关系，考查了数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．13．如图所示，在长方体ABCD﹣EFGH中，AD=2，AB=AE=1，M为矩形AEHD内的一点，如果∠MGF=∠MGH，MG和平面EFG所成角的正切值为，那么点M到平面EFGH的距离是．考点：点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：以E为原点，EF为x轴，EH为y轴，EA为z轴，建立空间直角坐标系，设M（0，b，c），00≤b≤2，0≤c≤1，利用向量法能求出点M到平面EFGH的距离．解答：解：以E为原点，EF为x轴，EH为y轴，EA为z轴，建立空间直角坐标系，设M（0，b，c），00≤b≤2，0≤c≤1，则G（1，2，0），F（1，0，0），H（0，2，0），=（﹣1，b﹣2，c），=（0，﹣2，0），=（﹣1，0，0），cos＜＞=，cos＜＞=，∵∠MGF=∠MGH，∴=，解得b=1．∴=（﹣1，﹣1，c），又平面EFG的法向量=（0，0，1），MG和平面EFG所成角的正切值为，∴|cos＜＞|==，由0≤c≤1，解得c=，∴=（﹣1，﹣2，），∴点M到平面EFGH的距离d==．故答案为：．点评：本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．14．已知点P（x0，y0）在椭圆C：（a＞b＞0）上，如果经过点P的直线与椭圆只有一个公共点时，称直线为椭圆的切线，此时点P称为切点，这条切线方程可以表示为：．根据以上性质，解决以下问题：已知椭圆L：，若Q（u，v）是椭圆L外一点（其中u，v为定值），经过Q点作椭圆L的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程是．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设切点A（x1，y1），B（x2，y2），由切线的性质分别写出切线方程，再将点Q代入，由两点确定一条直线，即可得到直线AB的方程．解答：解：设切点A（x1，y1），B（x2，y2），则由切线的性质可得，切线方程分别为=1，=1，由于椭圆的两条切线都经过点Q（u，v），则有=1，=1，由于过A，B有且只有一条直线，则直线AB的方程为=1．故答案为：=1．点评：本题考查椭圆的切线的性质，考查切点弦方程的求法，考查运算能力，属于基础题．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．复数z1=a+bi（a、b∈R，i为虚数单位），z2=﹣b+i，且|z1|＜|z2|，则a的取值范围是( ) A．a＞1 B．a＞0 C．﹣l＜a＜1 D．a＜﹣1或a＞1考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的模的计算公式即可得出．解答：解：∵复数z1=a+bi（a、b∈R，i为虚数单位），z2=﹣b+i，且|z1|＜|z2|，∴，化为a2＜1，解得a∈（﹣1，1）．故选：C．点评：本题考查了复数的模的计算公式，属于基础题．16．由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有( )A．60个B．48个C．36个D．24个考点：分步乘法计数原理．分析：偶数即个位数字只能是2或4解答：解：偶数即个位数字只能是2或4，其它位置任意排放共有C21•A44=2×4×3×2×1=48个故选B点评：分步乘法计数原理的理解，偶数怎样选，注意没有0；当然也可以用概率解答．17．设k＞1，f（x）=k（x﹣1）（x∈R）．在平面直角坐标系xOy中，函数y=f（x）的图象与x轴交于A点，它的反函数y=f﹣1（x）的图象与y轴交于B点，并且这两个函数的图象交于P点．已知四边形OAPB的面积是3，则k等于( )A．3 B．C．D．考点：反函数．专题：计算题；压轴题．分析：先根据题意画出图形，由于互为反函数的两个函数的图象关于y=x对称，从而两个函数的图象交于P点必在直线y=x上．且A，B两点关于y=x对称，利用四边形OAPB的面积=AB×OP，求得P（3，3）从而求得k值．解答：解：根据题意画出图形，如图．由于互为反函数的两个函数的图象关于y=x对称，所以这两个函数的图象交于P点必在直线y=x上．且A，B两点关于y=x对称，∴AB⊥OP∴四边形OAPB的面积=AB×OP=×OP=3，∴OP=3．∴P（3，3）代入f（x）=k（x﹣1）得：k=故选B．点评：本题主要考查反函数，反函数是函数知识中重要的一部分内容．对函数的反函数的研究，我们应从函数的角度去理解反函数的概念，从中发现反函数的本质，并能顺利地应用函数与其反函数间的关系去解决相关问题．18．若集合A1、A2满足A1∪A2=A，则称（A1，A2）为集合A的一个分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分拆，则集合A={a1，a2，a3}的不同分拆种数是( )A．27 B．26 C．9 D．8考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题；新定义．分析：根据拆分的定义，对A1分以下几种情况讨论：A1=∅，A1={a1}，A1={a1，a2}，A1={a1，a2，a3}．解答：解：∵A1∪A2=A，对A1分以下几种情况讨论：①若A1=∅，必有A2={a1，a2，a3}，共1种拆分；②若A1={a1}，则A2={a2，a3}或{a1，a2，a3}，共2种拆分；同理A1={a2}，{a3}时，各有2种拆分；③若A1={a1，a2}，则A2={a3}、{a1，a3}、{a2，a3}或{a1，a2，a3}，共4种拆分；同理A1={a1，a3}、{a2，a3}时，各有4种拆分；④若A1={a1，a2，a3}，则A2=∅、{a1}、{a2}、{a3}、{a1，a2}、{a1，a3}、{a2，a3}，{a1，a2，a3}．共8种拆分；∴共有1+2×3+4×3+8=27种不同的拆分．故选A点评：本题属于创新型的概念理解题，准确地理解拆分的定义，以及灵活运用集合并集的运算和分类讨论思想是解决本题的关键所在．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．a、b、c分别是锐角△ABC的内角A、B、C的对边，向量=（2﹣2sinA，cosA+sinA），=（sinA﹣cosA，1+sinA），且∥．已知a=，△ABC面积为，求b、c的大小．考点：平面向量数量积的运算；正弦定理．专题：平面向量及应用．分析：由∥，根据共线向量基本定理即可求得sinA=，所以A=60°，根据△ABC的面积即可求得bc=6①，而由余弦定理便可得到b2+c2=13，联立①式即可求出b，c．解答：解：，，又∥；∴（2﹣2sinA）（1+sinA）﹣（cosA+sinA）（sinA﹣cosA）=0，即：4sin2A﹣3=0；又∠A为锐角，则，所以∠A=60°；因为△ABC面积为，所以bcsinA=，即bc=6 ①；又a=；∴7=b2+c2﹣2bccosA，b2+c2=13 ②；①②联立解得：或．点评：考查共线向量基本定理，三角形的面积公式，以及余弦定理．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD的底面梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=1，AD=3，∠ADC=45°．又已知PA⊥平面ABCD，PA=1．求：（1）异面直线PD与AC所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）（2）四棱锥P﹣ABCD的体积．考点：用空间向量求直线间的夹角、距离；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：综合题．分析：（1）利用平移法作出异面直线所成的角，进而利用余弦定理可求线线角；（2）四棱锥的体积为×底面积×高，求出底面梯形的面积即可．解答：解：（1）连接AC，过点C作CF∥AB交AD于点F，因为∠ADC=45°，所以FD=1，从而BC=AF=2，……延长BC至E，使得CE=AD=3，则AC∥DE，∴∠PDE（或其补角）是异面直线PD与AC 所成角，且DE=AC=，AE=，PE=3，PD=．在△PDE中，cos∠PDE=﹣．…所以，异面直线PD与AC所成角的大小为arccos．…（2）∵BC=2，AD=3，AB=1，∴底面梯形面积为∵PA⊥平面ABCD，PA=1．∴四棱锥P﹣ABCD的体积为．…点评：本题考查线线角，考查棱锥的体积，解题的关键是正确作出线线角，属于中档题．21．已知a＞0且a≠1，数列{a n}是首项与公比均为a的等比数列，数列{b n}满足b n=a n•lga n （n∈N*）．（1）若a=3，求数列{b n}的前n项和S n；（2）若对于n∈N*，总有b n＜b n+1，求a的取值范围．考点：等比数列的性质；等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：（1）由已知有a n=3n，b n=a n•lga n =n•3n•lg3，由此可得S n=[3+2•32+3•3n+…+n•3n]lg3，用错位相减法求出它的值．（2）由条件可得nlga＜（n+1）alga，所以，或，而，且，由此解得a的取值范围．解答：解：（1）由已知有a n=3n，b n=a n•lga n =n•3n•lg3．∴S n=[3+2•32+3•3n+…+n•3n]lg3，∴3S n=[32+2•33+…+（n﹣1）3n+n•3n+1]lg3，∴﹣2S n=[3+32+33+…+3n﹣n•3n+1]lg3=[﹣n•3n+1]lg3，∴S n=•[3+（2n﹣1）•3n+1]．（2）b n＜b n+1 ，即na n lga＜（n+1）a n+1lga．由a＞0且a≠1，可得nlga＜（n+1）alga．所以，或．即或对任意n∈N*成立，而，且，解得或a＞1，即a的取值范围为（0，）∪（1，+∞）．点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式的应用，用错位相减法求数列的前n项和，属于中档题．22．（16分）动点P与点F（0，1）的距离和它到直线l：y=﹣1的距离相等，记点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设点A（0，a）（a＞2），动点T在曲线C上运动时，|AT|的最短距离为a﹣1，求a的值以及取到最小值时点T的坐标；（3）设P1，P2为曲线C的任意两点，满足OP1⊥OP2（O为原点），试问直线P1P2是否恒过一个定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）根据抛物线的定义可知，动点P的轨迹是抛物线，且抛物线的焦点坐标为F（0，1），准线方程为l：y=﹣1，由此能求出曲线C的方程．（2）设点T（x0，y0），x02=4y0（y0≥0），|AT|=，由此能求出a的值以及取到最小值时点T的坐标．（3）由题意得直线OP1、OP2的斜率都必须存在，记为k，，联立，解得P1（，），同理P2（﹣4k，4k2），由此能证明直线P1P2恒过点（0，4）．解答：解：（1）∵动点P与点F（0，1）的距离和它到直线l：y=﹣1的距离相等，∴根据抛物线的定义可知，动点P的轨迹是抛物线，且抛物线的焦点坐标为F（0，1），准线方程为l：y=﹣1，所以曲线C的方程为x2=4y．…（2）设点T（x0，y0），x02=4y0（y0≥0），|AT|==，a﹣2＞0，则当y 0=a﹣2时，|AT|取得最小值为2，2=a﹣1，a2﹣6a+5=0，a=5或a=1 （舍去），所以y0=a﹣2=3，x0=±2，所以T坐标为（±2，3）；…（3）由题意得直线OP1、OP2的斜率都必须存在，记为k，，联立，解得P1（，），同理P2（﹣4k，4k2），直线P1P2的斜率为，直线P1P2方程为：整理得：k（y﹣4）+（k2﹣1）x=0，所以直线P1P2恒过点（0，4）…（16分）点评：本题考查曲线方程的求法，考查满足条件的实数值以及取到最小值时点的坐标的求法，考查直线是否恒过一个定点的判断与求法，解题时要注意函数与方程思想的合理运用．23．（18分）设函数f（x）=2ka x+（k﹣3）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）求k值；（2）若f（2）＜0，试判断函数f（x）的单调性，并求使不等式f（x2﹣x）+f（tx+4）＜0恒成立的t的取值范围；（3）若f（2）=3，且g（x）=2x+2﹣x﹣2mf（x）在[2，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．考点：函数奇偶性的性质；函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：（1）运用f（0）=0求解．（2）根据单调性得出不等式x2﹣x＞﹣tx﹣4，即x2+（t﹣1）x+4＞0恒成立，（3）化简得出g（x）=2x+2﹣x﹣4m（﹣）=（﹣）2﹣4m（﹣）+2．换元转化：令t=﹣，h（t）=t2﹣4mt+2=（t﹣2m）2+2﹣4m2（t≥）分类讨论求解即可．解答：解（1）因为f（x）是定义域为R的奇函数，所以f（0）=0，所以2k+（k﹣3）=0，即k=1，检验知，符合条件（2）f（x）=2（a x﹣a ﹣x）（a＞0且a≠1）因为f（2）＜0，＜0，又a＞0且a≠1，所以0＜a＜1因为y=a x单调递减，y=a ﹣x单调递增，故f（x）在R上单调递减．不等式化为f（x2﹣x）＜f（﹣tx﹣4）所以x2﹣x＞﹣tx﹣4，即x2+（t﹣1）x+4＞0恒成立，所以△=（t﹣1）2﹣16＜0，解得﹣3＜t＜5．（3）因为f（2）=3，所以2（）=3，即2a4﹣3a2﹣2=0，所以a=，所以g（x）=2x+2﹣x﹣4m（﹣）=（﹣）2﹣4m（﹣）+2．令t=﹣，由（1）可知t=﹣为增函数，因为x≥2，所以t≥，令h（t）=t2﹣4mt+2=（t﹣2m）2+2﹣4m2（t≥）若m≥，当t=2m时，h（t）min=2﹣4m2=﹣2，∴m=1若m＜，当t=时，h（t）min=﹣6m=﹣2，解得m=＞，舍去综上可知m=1．点评：本题考查了函数的性质，运用求解数值，判断单调性求解字母的范围，属于中档题，综合性较大．。

2017年4月长宁、金山区数学二模试卷

2017年4月长宁、金山区数学二模试卷

2017年4月长宁、金山区数学二模试卷D234567第22题21．（本题满分10分） 已知直线321-+=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，设O 为坐标原点.（1）求∠ABO 的正切值；（2）如果点A 向左平移12个单位到点C ，直线l 过点C 且与直线1-32y x =+平行，求直线l 的解析式.22．（本题满分10分）小明在海湾森林公园放风筝.如图所8示，小明在A 处，风筝飞到C 处，此时绳长BC 为40米，若小明双手牵住绳子的底端B 距离地面1.5米，从B 处测得C 处的仰角为60°，求此时风筝离地面的高度CE .(计算结果精确到0.13 1.732≈)23．（本题满分12分）如图，在△ABC 中，点P 是AC 边上的一点，过点P 作与BC平行的直线PQ ，交AB 于点Q ，点D 在 BC 边上，联结AD 交PQ 于点E ，且CP QE CD BD =，点G 在BC 的延长线上，∠ACG 的平分线CF 交直线PQ 于点F ．（1）求证：PC =PE ；第23题图 Q F E A P（2）当P是边AC的中点时，求证：四边形AECF 是矩形.24.（本题满分12分）已知△OAB在直角坐标系中的位置如图，点A在第一象限，点B在x轴正半轴上，OA=OB=6，∠AOB=30°.（1）求点A、B的坐标；（2）开口向上的抛物线经过原点O和点B，设其顶点为E，当△OBE 为等腰直角三角形时，求抛物线的解析式；（3）设半径为2的⊙P与直线OA交于M、N两点，已知MN=32，P(m，2）（m>0),求m的910 第24题图 y x B A O 值.25.（本题满分14分）如图，△ABC 的边AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，已知AC =6 cm ，BC =8 cm ，点P 、Q 分别在边AB 、BC 上，且点P 不与点A 、B 重合，BQ =k ·AP （k >0），连接PC 、PQ ．（1）求⊙O 的半径长；（2）当k =2时，设AP =x ，△CPQ 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△CPQ ∽△ABC ，且∠ACB =∠CPQ ，求k 的值.11。

【数学】上海市金山区2017届高考二模试卷(解析版)

【数学】上海市金山区2017届高考二模试卷(解析版)

上海市金山区2017届高考数学二模试卷一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A={x|x＞﹣1，x∈R}，集合B={x|x＜2，x∈R}，则A∩B=．2．（4分）已知复数z满足（2﹣3i）z=3+2i（i为虚数单位），则|z|=．3．（4分）函数f（x）=的最小正周期是．4．（4分）已知双曲线﹣=1（a＞0）的一条渐近线方程为y=2x，则a=．5．（4分）若圆柱的侧面展开图是边长为4cm的正方形，则圆柱的体积为cm3（结果精确到0.1cm3）6．（4分）已知x，y满足，则z=2x+y的最大值是．7．（5分）直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的交点个数是．8．（5分）已知函数f（x）=的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（）=．9．（5分）设f（x）=1+x+（1+x）2+…+（1+x）n（x≠0，n∈N*）的展开式中x项的系数为T n，则=．10．（5分）生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p，每道工序产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p=．11．（5分）已知函数f（x）=x|x﹣a|，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则实数a的取值范围为．12．（5分）对于给定的实数k＞0，函数f（x）=的图象上总存在点C，使得以C为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O的距离为1，则k的取值范围是．二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞1且b＞3”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件14．（5分）如图，P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1中AC1与BD1的交点，则△P AC在该正方体各个面上的射影可能是（）A．①②③④B．①③C．①④D．②④15．（5分）如图，AB为圆O的直径且AB=4，C为圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则（+）•的最小值是（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣116．（5分）设x1，x2，…，x10为1，2，…，10的一个排列，则满足对任意正整数m，n，且1≤m＜n≤10，都有x m+m≤x n+n成立的不同排列的个数为（）A．512 B．256 C．255 D．64三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。

上海高三二模分类汇编-排列组合和概率统计(详解版)

上海高三二模分类汇编-排列组合和概率统计(详解版)

二模汇编——排列组合与概率统计专题一、知识梳理排列组合【知识点1】排列模型：从给定的n 个元素中，选择m 个元素做排列的种数记为mn P ，由乘法原理易知)!(!m n n P m n -=.【例1】（长宁金山青浦2017二模16）设1x 、2x 、…、10x 为1、2、…、10的一个排列，则满足 对任意正整数m 、n ，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为（ ） A. 512 B. 256 C. 255 D. 64 【答案】A【点评】排列问题，列举法找出规律.【知识点2】组合模型：从给定的n 个元素中，选择m 个元素的组合数记为mn C .由乘法原理可知m n m m m n P P C =⋅，由此知!)!(!m m n n C m n -=.【例1】有15本不同的书，其中6本是数学书，问： （1）分给甲4本，且都不是数学书； （2）平均分给3人； （3）若平均分为3份；（4）甲分2本，乙分7本，丙分6本； （5）1人2本，1人7本，1人6本.【答案】(1)49C (2)55510515C C C (3)3355510515P C C C （4）66713215C C C （5）3366713215P C C C【点评】注意平均分组问题.【知识点3】含组合数的代数式的化简.组合数有如下两个基本公式： mn n m n C C -=；111+++=+m n m n m n C C C .【例1】(1)22361212x x x C C -+=,求x . (2) 333333345678C C C C C C +++++= .(3) 173213n n n n C C -++=. 【答案】(1)2236x x x -=+ 或221236x x x -=-- 2560x x --=或260x x +-=122,3x x == 或343,2x x =-=经检验2x =(2)原式=33333343456789126C C C C C C C +++++==(3)1721713631332n n n n n n-≤⎧⇒≤≤⇒=⎨≤+⎩∴ 原式=11181112191219121931C C C C +=+=+= 【点评】牢记组合中的两个基本公式.【知识点4】排列组合基本方法所谓的方法，某种意义上可以认为就是把问题转换成基本模型的方式.【知识点4.1】 应用记数原理【例1】(1)将4封信投寄到3个邮箱中，有多少种不同的投寄方法？(2)将4封信投寄到3个邮箱中，每个邮箱至少一封信，有多少种不同的投寄方法？ (3)将4封信投寄到3个邮箱中，恰好有一个邮箱没有投递，有多少种不同的投寄方法？ 【答案】(1)81 (2)36(3)42 【点评】计数原理.【知识点4.2】捆绑法与插空法、隔板法【例1】9名身高各不相同的人排队，按下列要求，各有多少种不同的排法？ （1）排成一排；（2）排成前排4人，后排5人；（3）排成一排，其中A 、B 两人不相邻； （4）排成一排，其中,C D 两人必须相邻； （5）排成一排，其中E 不在排头，F 不在排尾； （6）排成一排，其中A 必须站在B 的右侧；（7）排成一排，身高最高的人站在中间且向两边递减； （8）排成一排，其中,H I 之间必须间隔2个. 【答案】（1）99P （2）99P （3）2787P P（4）2828P P（5）81178777P P P P+（或9879872P P P -+）（6）992P （7）48C （8）226726P P P【例2】（宝山区7）在报名的8名男生和5名女生中，选取6人参加志愿者活动，要求男、女生都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）． 【参考答案】1688.【例3】（普陀区4）书架上有上、中、下三册的《白话史记》和上、下两册的《古诗文鉴赏辞典》，现将这五本书从左到右摆放在一起，则中间位置摆放中册《白话史记》的不同摆放种数为_______（结果用数值表示）.【参考答案】24.二项式定理【知识点1】二项式定理公式nn n k k n k n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)(n ∈N通项公式：kk n k nk b a C T -+=1(0,1,2,,)k n =;其中：kn C (0,1,2,,)k n =叫做二项式系数.【例1】（崇明2017二模7）若1nx ⎫⎪⎭的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则展开式中的常数项的值为 ． 【答案】15； 【点评】公式应用.【例2】（虹口2017二模5）若7)(a x +的二项展开式中，含6x 项的系数为7，则实数=a ． 【答案】1【知识点2】二项式系数的性质① 在二项展开式中，与首、尾“等距离”的两项的二项式系数相等，即：k n n k n C C -= ；② 在二项展开式中，所有的二项式系数之和等于：n2，即：n n nn n n n C C C C 2)11(210=+=++++ ；奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和等于：12-n ，即：15314202-=+++=+++n n n n n n nC C C C C C N n ∈.【例1】（闵行、松江2017二模5）若()1(2),3n n n x x ax bx c n n -*+=++++∈≥N ，且4b c =，则a 的值为 ． 【答案】16 【点评】公式应用. 【例2】（青浦区8）621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为______________．【参考答案】30.【例3】（长宁嘉定2）nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的展开式中的第3项为常数项，则正整数=n ___________．【参考答案】4.【例4】（杨浦区3）若的二项展开式中项的系数是，则___________．【参考答案】4.【例5】（金山区9）(1+2x )n 的二项展开式中，含x 3项的系数等于含x 项的系数的8倍，则正整数n = ． 【参考答案】5.【例6】（徐汇区2）在61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项是 .【参考答案】20.【例7】（虹口区8）若将函数6()f x x =表示成23601236()(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x =+-+-+-++-则3a 的值等于 ．【参考答案】20.【例8】（崇明区7）若二项式72a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中一次项的系数是70-，则23lim()n n a a a a →∞++++= ．【参考答案】13-.【例9】（浦东区5）91)x二项展开式中的常数项为________. 【参考答案】84.【例10】（奉贤区10）代数式2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是 ．（用数字作答）概率论初步()13nx +2x 54n =【知识点1】古典概率把具有以下两个特点的概率模型叫做古典概率 （1）一次试验所有的基本事件只有有限个例如掷一枚硬币的试验只有“正面朝上”和“反面朝上”两种结果，即有两个基本事件.掷一颗骰子试验中结果有六个，即有六个基本事件.（2）每个基本事件出现的可能性相等【例1】（浦东新区2017二模7）已知射手甲击中A 目标的概率为0.9，射手乙击中A 目标的概率为0.8，若甲、乙两人各向A 目标射击一次，则射手甲或射手乙击中A 目标的概率是__________. 【答案】0.98【例2】（徐汇2017二模6）把12345678910、、、、、、、、、分别写在10张形状大小一样的卡片上，随机抽取一张卡片，则抽到写着偶数或大于6的数的卡片的概率为____________．（结果用最简分数表示） 【答案】710【知识点2】事件概率的和一般的，事件B A ，的和的概率等于事件B A ，出现的概率减去事件B A ，同时出现的概率()()()()AB P B P A P B A P -+=⋃公式叫做概率加法公式.不可能同时出现的两个事件叫做不相容或互斥事件，如果B A ，为互不相容事件，那么其和的概率就等于概率和，()()()B P A P B A P +=⋃.【例1】（长宁金山青浦2017二模10） 生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p ，每道工序产生废品相互独立，若经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p = . 【答案】0.03【例2】 小明和小红各自掷一颗均匀的正方体骰子，两人相互独立地进行，则小明掷出的点数不 大于2或小红掷出的点数不小于3的概率为 . 【答案】97.【知识点3】独立事件积的概率互相独立事件定义：如果事件A 和事件B 出现之间没有影响，那么事件B A ,互相独立.两个相互独立事件发生的概率，等于积的概率为：()()()B P A P AB P ⋅=.【例1】（嘉定2017二模10）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为32和53．现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立 ，则至少有一种新产品研发成功的概率为______________． 【答案】1513【例2】（2009年高考理16）若事件E 与F 相互独立，且()()14P E P F ==，则()P E F ⋅的值等于（ ） .A 0 .B 116 .C 14.D 12 【答案】B.【例3】（崇明区10）某办公楼前有7个连成一排的车位，现有三辆不同型号的车辆停放，恰有两辆车停放在相邻车位的概率是 ． 【参考答案】47.【例4】若事件A 、B 满足142()()()255P A P B P AB ===，，，则()()P AB P AB -= ． 【参考答案】310.【例5】某单位年初有两辆车参加某种事故保险，对在当年内发生此种事故的每辆车，单位均可获赔（假设每辆车最多只获一次赔偿）.设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为120和121，且各车是否发生事故相互独立，则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为_________（结果用最简分数表示）. 【参考答案】221.【例6】（青浦区9）高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A +的概率分别为78、34、512，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得2个A +的概率是 ．【参考答案】151192.【例7】（长宁嘉定9）某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0、1、2、3的四个相同小 球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球编号相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．则顾客抽奖中三等奖的概率为____________． 【参考答案】167. 【例8】（杨浦区4）掷一颗均匀的骰子，出现奇数点的概率为____________． 【参考答案】12.【例9】（金山区8）若一个布袋中有大小、质地相同的三个黑球和两个白球，从中任取两个球，则取出的两球中恰是一个白球和一个黑球的概率是 ． 【参考答案】0.6.【例10】（黄浦区10）将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，则恰好有3次出现正面向上的概率是 ．(结果用数值表示) 【参考答案】516.【例11】（徐汇区9）将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m ，记第二颗骰子出现的点数是n ，向量()2,2a m n =--，向量()1,1b =，则向量a b ⊥的概率．．是 . 【参考答案】16.【例12】（普陀区6）若321()nx x -的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为_________. 【参考答案】5.统计统计的基本思想方法是用样本来估计总体，即用局部推断整体.这就要求样本应具有很好的代表性.而样本的良好客观代表性，则完全依赖抽样方法，主要有：随机抽样、分层抽样、系统抽样.用样本估计总体是研究统计问题的一种思想方法，即用样本的平均数去估计总体的平均数，用关于样本的方差（标准差）去估计总体的方差（标准差）.基本统计量：若样本容量为n ，其个体数值分别为,,,21n x x x 则样本平均数：n x x x x n+++=21样本方差：()()()[]()[]22222122221211x n x x x nx x x x x x n S n n -++=-++-+-= 样本标准差S 是2S 的算术平方根，它们依次作为总体平均数μ、总体方差2σ、总体标准差σ的估计值总体均值的点估计值：12nx x x x n+++=总体标准差的点估计值：(n x xs ++-=,x s x s ⎡⎤-+⎣⎦叫做均值的σ区间估计，2,2x s x s ⎡⎤-+⎣⎦叫做均值的2σ区间估计. 【例1】（2014年高考文5）某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样．若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为 ． 【答案】70.【例2】（浦东新区2017二模6）若三个数123,,a a a 的方差为1，则12332,32,32a a a +++的方差为 . 【答案】9【点评】数据变动对平均数与方差的影响.【例3】（2009年高考理17文18）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ）.A 甲地：总体均值为3，中位数为4 .B 乙地：总体均值为1，总体方差大于0 .C 丙地：中位数为2，众数为3 .D 丁地：总体均值为2，总体方差为3【答案】D.【例4】某次体检，8位同学的身高（单位：米）分别为．1.68，1.71，1. 73，1.63，1.81，1.74，1.66，1.78，则这组数据的中位数是 （米）． 【参考答案】1. 72.【例5】（黄浦区9）已知某市A 社区35岁至45岁的居民有450人，46岁至55岁的居民有750人，56岁至65岁的居民有900人．为了解该社区35岁至65岁居民的身体健康状况，社区负责人采用分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若从46岁至55岁的居民中随机抽取了50人，试问这次抽样调查抽取的人数是 人． 【参考答案】140.【例6】（崇明区5）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 石（精确到小数点后一位数字）． 【参考答案】169.1.【例7】（闵行松江区12）设*n ∈N ，n a 为(4)(1)nnx x +-+的展开式的各项系数之和，324c t =-，t ∈R ， 1222555n n n na a a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦([]x 表示不超过实数x 的最大整数).则22()()n n t b c -++的最小值为 .【参考答案】254.【例8】（宝山区14）在x x62()-的二项展开式中，常数项等于（ ） （A ）160- （B ）160 （C ）150- （D ）150 【参考答案】A .【例9】 二项式40的展开式中，其中是有理项的项数共有( ). (A ) 4项 (B ) 7项 (C ) 5项 (D ) 6项 【参考答案】()B .2019年二模真题汇编一、填空题宝山区1、在()()5311x x -+的展开式中，3x 的系数为___________（结果用数值表示） 【答案】9-【解析】观察法，3x 可以是()51x -中3x 项和后面的式中1相乘，也可以是()51x -中常数项和3x 相乘，()()5332351110x C x x -⇒-=-；()()50055111x C x -⇒-=所以系数为9- 10. 一个口袋中装有9个大小形状完全相同的球，球的编号分别为…,1,2,9，随机摸出两个球，则两个球的编号之和大于9的概率是_____（结果用分数表示）. 【答案】95 【解析】()2912342205369P C +++=== 崇明区1、已知二项式62)(xa x +的展开式中含3x 项的系数是160，则实数a 的值是________. 【答案】2【解析】由通项公式可知，r r r r r r r x C a xa x C T 31266261)()(--+⋅==，令3312=-r ，得3=r ，所以，160363=C a ，解得2=a2、甲、乙、丙、丁4名同学参加志愿者服务，分别到三个路口疏导交通，每个路口有1名或2名志愿者，则甲、乙两人在同一路口的概率为__________（用数字作答）【答案】61【解析】61332433=⋅P C P奉贤2．在62()x x+的展开式中常数项为 【答案】160【解析】1602,322336266661=∴=∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--+C r x C x x C T r r r rr rr ， 10. 随机选取集合{地铁5号线，BRT ，莘南线}的非空子集A 和B 且A B ≠∅的概率是 【答案】4937【解析】{地铁5号线，BRT ，莘南线}的非空子集有7个，所以选取A 和B 的总结果数是4977=⨯种。

2017届上海各区高三数学二模试卷汇总

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2017上海高三数学二模难题学生版

2017上海高三数学二模难题学生版

2017年上海市高三二模数学填选难题I.虹口1 uiur uuu II.在直角△ ABC 中，A - , AB 1, AC2 , M 是厶ABC 内一点，且AM —,若AM AB2 2则2的最大值为_____________12.无穷数列｛a n｝的前n项和为S n，若对任意的正整数n都有S n｛&, k?*?丄，心｝，a®的可能取值最多个16.已知点M(a,b)与点N(0, 1)在直线3x 4y 5 0的两侧，给出以下结论：①3x 4y 5 0 ；②当2 2 b 1 9 3a b有最小值，无最大值；③ ab 1 ；④当a 0且a 1时，的取值范围是(，—)U(—,a 1 4 4的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 42. 黄浦2017-4uuirAC，a 0时, ).正确11.三棱锥P ABC 满足：AB AC , AB AP , AB 2 , AP AC 4，则该三棱锥的体积 V 的取值范围是12.对于数列｛可｝，若存在正整数T ，对于任意正整数n 都有a n 丁3. 杨浦a n 成立，则称数列｛a n ｝是以T 为周期的周期数列，设b m （0 m 1），对任意正整数n 有b n !则m 的值可以是 _________ （只要求填写满足条件的一个 b n 1, b n 11 c 」 J 若数列｛b n ｝是以5为周期的周期数列, ,0 b n 1 b nm 值即可）1，点P 是圆M 及其内部任意一点,uuu 且APuuir xAD uuu yAE (x, yR ），则x y 取值范围是（）A. [1,42.3]B. [4 2、3,4 2 .3]C. [1,2.3]D. [23,23]16.如图所示， BAC —，圆M 与AB 、AC 分别相切于点 D 、E ，AD311•已知a 0, b 0,当(a 4b)2 —取到最小值时，bab点的全体组成的图形的面积为 __________16.对于定义在R 上的函数f (x)，若存在正常数a 、b ，使得f (x a) f (x) b 对一切x 是“控制增长函数”，在以下四个函数中：①f (X ) X 2 X 1 :②f(x)、..两：③f (x) x sinx .是“控制增长函数”的有()A.②③B.③④C.②③④D.①②④4. 奉贤12.设函数f a (x)|x| |x a|,当a 在实数范围内变化时，在圆盘2 2x y 1内，且不在任f a (x)的图像上的R 均成立，则称f (x)2f (x) sin(x ):④11.已知实数x 、y 满足方程(x a 1)2 (y 1)21，当0 y b (b R)时，由此方程可以确定一个偶函数y f(x)，则抛物线y ^x 2的焦点F 到点(a,b)的轨迹上点的距离最大值为 _____________________25. 长宁金山青浦12.设人X 2、X 3、X 4为自然数1、2、3、4的一个全排列，且满足I X 1 1||X 2 2| |x 3 3| |x 4 4| 6，则这样的排列有 _________ 个16.如图，在△ ABC 中，BC a ， AC b ， AB OF AB 于 F ，贝V OD:OE:OF 等于( )c ，O 是厶ABC 的外心，OD BC 于 D , OE AC 于 E ,, 1 1 1A. a : b: cB. ::- a b cC. sinA:sin B :sinCD.cosA: cosB : cosC11.已知函数f(x) x|x a|,若对任意X i [2,3] , x2[2,3],人x,，恒有f(^ 竺)丄®，则实2 2数a的取值范围为__________k12.对于给定的实数k 0,函数f(x)—的图像上总存在点C，使得以C为圆心，1为半径的圆上有两个不同的x点到原点O的距离为1，则k的取值范围是___________16.设人、x、…、为。

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2017年上海市金山区高考数学二模试卷一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A={x|x＞﹣1，x∈R}，集合B={x|x＜2，x∈R}，则A∩B=．2．（4分）已知复数z满足（2﹣3i）z=3+2i（i为虚数单位），则|z|=．3．（4分）函数f（x）=的最小正周期是．4．（4分）已知双曲线﹣=1（a＞0）的一条渐近线方程为y=2x，则a=．5．（4分）若圆柱的侧面展开图是边长为4cm的正方形，则圆柱的体积为cm3（结果精确到0.1cm3）6．（4分）已知x，y满足，则z=2x+y的最大值是．7．（5分）直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的交点个数是．8．（5分）已知函数f（x）=的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（）=．9．（5分）设f（x）=1+x+（1+x）2+…+（1+x）n（x≠0，n∈N*）的展开式中x项的系数为T n，则=．10．（5分）生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p，每道工序产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p=．11．（5分）已知函数f（x）=x|x﹣a|，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则实数a的取值范围为．12．（5分）对于给定的实数k＞0，函数f（x）=的图象上总存在点C，使得以C为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O的距离为1，则k的取值范围是．二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞1且b＞3”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件14．（5分）如图，P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1中AC1与BD1的交点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是（）A．①②③④B．①③C．①④D．②④15．（5分）如图，AB为圆O的直径且AB=4，C为圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则（+）•的最小值是（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣116．（5分）设x1，x2，…，x10为1，2，…，10的一个排列，则满足对任意正整数m，n，且1≤m＜n≤10，都有x m+m≤x n+n成立的不同排列的个数为（）A．512 B．256 C．255 D．64三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。

17．（14分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是线段BC、CD1的中点．（1）求异面直线EF与AA1所成角的大小（2）求直线EF与平面AA1B1B所成角的大小．18．（14分）某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为（∠ACB=），墙AB的长度为6米，（已有两面墙的可利用长度足够大），记∠ABC=θ（1）若θ=，求△ABC的周长（结果精确到0.01米）；（2）为了使小动物能健康成长，要求所建的三角形露天活动室面积△ABC的面积尽可能大，问当θ为何值时，该活动室面积最大？并求出最大面积．19．（14分）已知抛物线y2=2px（p＞0），其准线方程为x+1=0，直线l过点T（t，0）（t＞0）且与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点．（1）求抛物线方程，并证明：•的值与直线l倾斜角的大小无关；（2）若P为抛物线上的动点，记|PT|的最小值为函数d（t），求d（t）的解析式．20．（16分）对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，其中m＜n，同时满足：①f（x）在[m，n]内是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．则称函数f（x）是区间[m，n]上的“保值函数”，区间[m，n]称为“保值区间”．（1）求证：函数g（x）=x2﹣2x不是定义域[0，1]上的“保值函数”．（2）若函数f（x）=2+﹣（a∈R，a≠0）是区间[m，n]上的“保值函数”，求a的取值范围．（3）对（2）中函数f（x），若不等式|a2f（x）|≤2x对x≥1恒成立，求实数a 的取值范围．21．（18分）已知数列{a n}中，已知a1=1，a2=a，a n+1=k（a n+a n+2）对任意n∈N*都成立，数列{a n}的前n项和为S n．（1）若{a n}是等差数列，求k的值；（2）若a=1，k=﹣，求S n；（3）是否存在实数k，使数列{a m}是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项a m，a m+1，a m+2按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k的值；若不存在，请说明理由．2017年上海市金山区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）（2017•长宁区二模）已知集合A={x|x＞﹣1，x∈R}，集合B={x|x＜2，x∈R}，则A∩B=（﹣1，2）．【解答】解：A={x|x＞﹣1，x∈R}，B={x|x＜2，x∈R}，则A∩B=（﹣1，2），故答案为：（﹣1，2）．2．（4分）（2017•长宁区二模）已知复数z满足（2﹣3i）z=3+2i（i为虚数单位），则|z|=1．【解答】解：由（2﹣3i）z=3+2i，得，∴|z|=|i|=1．故答案为：1．3．（4分）（2017•长宁区二模）函数f（x）=的最小正周期是π．【解答】解：函数f（x）==sin2x﹣4cos2x=1﹣5cos2x=1﹣5•=﹣﹣cos2x 的最小正周期是=π，故答案为：π．4．（4分）（2017•长宁区二模）已知双曲线﹣=1（a＞0）的一条渐近线方程为y=2x，则a=3．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：﹣=1（a＞0），则其渐近线方程为：y=±x，若其一条渐近线方程为y=2x，则有=2，解可得a=3；故答案为：3．5．（4分）（2017•长宁区二模）若圆柱的侧面展开图是边长为4cm的正方形，则圆柱的体积为 5.1cm3（结果精确到0.1cm3）【解答】解：∵圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，∴该圆柱的高h=4，底面周长2πr=4，底面半径r=；∴该圆柱的体积为：V=πr2h=π••4==≈5.1（cm3）．故答案为：5.16．（4分）（2017•宝山区二模）已知x，y满足，则z=2x+y的最大值是3．【解答】解：由已知不等式组得到平面区域如图：目标函数z=2x+y变形为y=﹣2x+z，此直线经过图中B时在y轴截距最大，由得到B（1，1），所以z的最大值为2+1=3；故答案为：3．7．（5分）（2017•宝山区二模）直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的交点个数是2．【解答】解：直线（t为参数）与曲线（θ为参数），普通方程分别为x+y﹣1=0，=1，联立可得13x2﹣18x﹣27=0，△=（﹣18）2﹣4×13×（﹣27）＞0，∴交点个数是2，故答案为：2．8．（5分）（2017•宝山区二模）已知函数f（x）=的反函数是f ﹣1（x），则f﹣1（）=﹣1．【解答】解：由题意，x≤0，2x=，∴x=﹣1，∴f﹣1（）=﹣1．故答案为﹣1．9．（5分）（2017•宝山区二模）设f（x）=1+x+（1+x）2+…+（1+x）n（x≠0，n∈N*）的展开式中x项的系数为T n，则=．【解答】解：根据题意，f（x）=（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）n中x的系数分别为1、C21、C31、…C n1，则T n=1+C21+C31+…+C n1=1+2+3+…+n=；则，故答案为．10．（5分）（2017•宝山区二模）生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p，每道工序产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p=0.03．【解答】解：∵生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p，每道工序产生废品相互独立，经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.9603，∴由题意得：（1﹣0.01）（1﹣p）=0.9603，解得p=0.03．故答案为：0.03．11．（5分）（2017•长宁区二模）已知函数f（x）=x|x﹣a|，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则实数a的取值范围为[3，+∞）．【解答】解：满足条件有的函数为凸函数，f（x）=，作出函数f（x）的图象，由图象知当x≤a时，函数f（x）为凸函数，当x≥a时，函数f（x）为凹函数，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则a≥3即可，故实数a的取值范围是[3，+∞），故答案为：[3，+∞）12．（5分）（2017•长宁区二模）对于给定的实数k＞0，函数f（x）=的图象上总存在点C，使得以C为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O的距离为1，则k的取值范围是（0，2）．【解答】解：根据题意得：|OC|＜1+1=2，设C（x，），∵|OC|=≥，∴＜2，即0＜k＜2，则k的范围为（0，2）．故答案为：（0，2）．二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2017•宝山区二模）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞1且b＞3”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：由a＞1且b＞3，⇒a+b＞4；反之不成立，例如取a=﹣1，b=6．∴“a+b＞4”是“a＞1且b＞3”的必要而不充分条件．故选：B．14．（5分）（2017•宝山区二模）如图，P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1中AC1与BD1的交点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是（）A．①②③④B．①③C．①④D．②④【解答】解：由题意知，P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的中心，则从上向下投影时，点P的影子落在对角线AC上，故△PAC在下底面上的射影是线段AC，是第一个图形；当从前向后投影时，点P的影子应落在侧面CDC1D1的中心上，A点的影子落在D 上，故故△PAC在面CDC1D1上的射影是三角形，是第四个图形；当从左向右投影时，点P的影子应落在侧面BCB1C1的中心上，A点的影子落在B 上，故故△PAC在面CDC1D1上的射影是三角形，是第四个图形．故选C．15．（5分）（2017•长宁区二模）如图，AB为圆O的直径且AB=4，C为圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则（+）•的最小值是（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1【解答】解：设，则，0≤x≤1；∴；∴===8（x2﹣x）=；∴时，取最小值﹣2．故选：C．16．（5分）（2017•长宁区二模）设x1，x2，…，x10为1，2，…，10的一个排列，则满足对任意正整数m，n，且1≤m＜n≤10，都有x m+m≤x n+n成立的不同排列的个数为（）A．512 B．256 C．255 D．64【解答】解：如果n=2时，满足题意的排列个数是2，即1，2或2，1；即21．如果n的最大值为3，则排列个数为4；分别为：1，2，3；2，1，3；1，3，2；3，2，1；4个．即22．如果n的最大值为4，则满足题意的排列个数为8；分别为：1，2，3，4；2，1，3，4；2，1，4，3；1，3，2，4；1，2，4，3，；3，1，2，4；1，4，3，2；4，3，2，1；共8个，即23．如果n的最大值为5，则满足题意的排列个数为16；分别为：1，2，3，4，5；2，1，3，4，5；2，1，4，3，5；2，1，3，5，4；2，1，5，4，3；1，2，4，3，5；1，2，3，5，4；1，2，5，4，3；1，3，2，4，5；1，3，2，5，4；1，4，3，2，5；1，5，4，3，2；3，2，1，4，5；3，2，1，5，4；4，3，2，1，5；5，4，3，2，1；即24．…所以：设x1，x2，…，x10为1，2，…，10的一个排列，则满足对任意正整数m，n，且1≤m＜n≤10，都有x m+m≤x n+n成立的不同排列的个数为：29=512．故答案为：512．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。

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