数学思维 第2讲 数数中的枚举

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小学二年级数学知识点:枚举法

小学二年级数学知识点:枚举法

小学二年级数学知识点:枚举法这篇小学二年级数学知识点:枚举法是查字典数学网特地为大家整理的,希望对大家有所帮助!例1如下图所示,已知长方形的周长为20厘米,长和宽都是整厘米数,这个长方形有多少种可能形状?哪种形状的长方形面积最大?(边长为1厘米的正方形的面积叫做1平方厘米).解:由于长方形的周长是20厘米,可知它的长与宽之和为10厘米.下面列举出符合这个条件的各种长方形.(注意,正方形可以说成是长与宽相等的长方形).下面把5种长方形按实际尺寸大小一一画出来,见下面图(1)~(5).例2如右图所示,ABCD是一个正方形,边长为2厘米,沿着图中线段从A到C的最短长度为4厘米.问这样的最短路线共有多少条?请一一画出来.解:将各种路线一一列出,可知共6条,见下图.注意,如果题中不要求将路径一一画出,可采用如右图所示方法较为便捷.图中交点处的数字表示到达该点的路线条数,如O点处的数字2,表示由A到O有2条不同的路径,见上图中的(1)和(2);又H点处的数字3的意义也如此,见上图中的(1)、(2)、(3)可知有3条路径可由A到H.仔细观察,可发现各交点处的数字之间的关系,如O点的2等于F点和E点的数字相加之和,即1+1=2,又如,C点的6等于G 点和H点的数字相加之和,即3+3=6.例3在10和31之间有多少个数是3的倍数?解:由尝试法可求出答案:34=12 35=15 36=18 37=2138=24 39=27 310=30可知满足条件的数是 12、15、18、21、24、27和30共7个. 注意,倘若问10和1000之间有多少个数是3的倍数,则用上述一一列举的方法就显得太繁琐了,此时可采用下述方法:103=3余1,可知10以内有3个数是3的倍数;10003=333余1,可知1000以内有333个数是3的倍数; 333-3=330,则知10~1000之内有330个数是3的倍数.由上述这些例题可体会枚举法的优点和缺点及其适用范围. 例4两个整数之积为144,差为10,求这两个数?解:列出两个数积为144的各种情况,再寻找满足题目条件的一对出来:1 2 3 4 6 8 9 12144 72 48 36 24 18 16 12可见其中差是10的两个数是8和18,这一对数即为所求. 例512枚硬币的总值是1元,其中只有5分和1角的两种,问每种硬币各多少个?解:列举出两种硬币的可能搭配:可见满足题目要求的搭配是:四个5分币,八个1角币.例6小虎给4个小朋友写信.由于粗心,在把信纸装入信封时都给装错了.4个好朋友收到的都是给别人的信.问小虎装错的情况共有多少种可能?解:把4封信编号:1,2,3,4.把小朋友编号,友1,友2,友3,友4.并假定1号信是给友1写的,2号信是给友2写的,3号信是给友3的,4号信是给友4写的:再把各种可能的错装情况列成下表:说明:如第一种错收情况是友1得2号信,友2得了1号信,友3得了4号信,友4得了3号信.以上就是由查字典数学网为您提供的小学二年级数学知识点:枚举法,希望给您的写作带来帮助!。

五年级奥数加法原理之分类枚举(二)学生版

五年级奥数加法原理之分类枚举(二)学生版

五年级奥数加法原理之分类枚举(二)学生版2.掌握加法原理的运用以及与乘法原理的区别;3.培养学生分类讨论问题的能力,了解分类的主要方法和遵循的主要原则.加法原理的数学思想主旨在于分类讨论问题,教授本讲的目的也是为了培养学生分类讨论问题的习惯,锻炼思维的周全细致.一、加法原理概念引入 生活中常有这样的情况,就是在做一件事时,有几类不同的方法,而每一类方法中,又有几种可能的做法.那么,考虑完成这件事所有可能的做法,就要用加法原理来解决.例如:王老师从北京到天津,他可以乘火车也可以乘长途汽车,现在知道每天有五次火车从北京到天津,有4趟长途汽车从北京到天津.那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法?分析这个问题发现,王老师去天津要么乘火车,要么乘长途汽车,有这两大类走法,如果乘火车,有5种走法,如果乘长途汽车,有4种走法.上面的每一种走法都可以从北京到天津,故共有5+4=9种不同的走法.在上面的问题中,完成一件事有两大类不同的方法.在具体做的时候,只要采用一类中的一种方法就可以完成.并且两大类方法是互无影响的,那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数.二、加法原理的定义一般地,如果完成一件事有k 类方法,第一类方法中有1m 种不同做法,第二类方法中有2m 种不同做法,…,第k 类方法中有k m 种不同做法,则完成这件事共有12 k N m m m =+++……种不同方法,这就是加法原理.加法原理运用的范围:完成一件事的方法分成几类,每一类中的任何一种方法都能完成任务,这样的问题可以使用加法原理解决.我们可以简记为:“加法分类,类类独立”.分类时,首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准,然后在这个标准下进行分类;其次,分类时要注意满足两条基本原则:① 完成这件事的任何一种方法必须属于某一类;② 分别属于不同两类的两种方法是不同的方法.只有满足这两条基本原则,才可以保证分类计数原理计算正确.运用加法原理解题时,关键是确定分类的标准,然后再针对各类逐一计数.通俗地说,就是“整体等于局部之和”.三、加法原理解题三部曲知识要点教学目标7-1-2.加法原理之分类枚举(二)1、完成一件事分N类;2、每类找种数(每类的一种情况必须是能完成该件事);3、类类相加枚举法:枚举法又叫穷举法,就是把所有符合条件的对象一一列举出来进行计数.分类讨论的时候经常会需要把每一类的情况全部列举出来,这时的方法就是枚举法.枚举的时候要注意顺序,这样才能做到不重不漏.例题精讲分类枚举——找规律【例 1】有一个电子表的表面用2个数码显示“小时”,另用2个数码显示“分”。

五年级数学上册《枚举》教案、教学设计

五年级数学上册《枚举》教案、教学设计
4.学生参与:鼓励学生积极参与讨论,分享自己的想法,为后续学习枚举法打下基础。
(二)讲授新知
1.枚举法概念:详细讲解枚举法的定义,使学生了解枚举法是一种通过列出所有可能情况来解决问题的方法。
2.枚举法步骤:分步骤讲解枚举法的操作流程,如确定问题、列出所有可能情况、筛选合适方案等。
3.实例讲解:结合具体实例,演示如何运用枚举法解决问题,让学生更加直观地理解枚举法。
五、作业布置
为了巩固学生对枚举法的理解和应用,确保学生在课后能够自主复习和拓展,特布置以下作业:
1.必做题:
(1)结合课堂所学,运用枚举法解决以下问题:如何在5个人中选出2个人进行乒乓球比赛,有多少种不同的组合方式?
(2)列举出本节课所学的枚举法的概念和步骤,并用自己的语言进行简要解释。
(3)完成课本第45页的练习题第1、2、3题。
2.选做题:
(1)在生活中找到一个应用枚举法解决的问题,并详细描述问题的解决过程。
(2)设计一个关于枚举法的数学问题,要求至少包含两个未知数,并将问题及解答过程写在作业本上。
3.探究题:
(1)结合教材内容,思考枚举法在解决其他数学问题时的应用,如排列组合、概率等。
(2)尝试用枚举法解决实际问题,例如:如何安排班级的座位,使得同学们的身高、视力等因素得到充分考虑?
4.注意事项:强调在运用枚举法时需要注意的问题,如避免遗漏和重复等。
(三)学生小组讨论
1.分组合作:将学生分成若干小组,每组选一个组长,负责组织讨论。
2.讨论题目:设计具有挑战性的题目,让学生运用枚举法进行讨论,如“如何在6个人中选出3个人参加比赛,有多少种组合方式?”
3.教师引导:在讨论过程中,教师巡回指导,关注学生的讨论进度,适时给予提示和引导。

枚举法

枚举法

枚举法枚举法起源于原始的计数方法,即数数。

当我们面临的问题存在大量的可能的答案(或中间过程),而暂时又无法用逻辑方法排除这些可能答案中的大部分时,就不得不采用逐一检验这些答案的策略,也就是利用枚举法来解题。

采用枚举法解题时,重要的是应做到既不重复又不遗漏,这就好比工厂里的质量检验员的责任是把不合格产品挑出来,不让它出厂,于是要对所有的产品逐一检验,不能有漏检产品。

1.小明有1个5分币,4个2分币,8个1分币,要拿出8分钱,你能找出几种拿法?分析为了不重复、不遗漏地找出所有可能的拿法,“找”就要按照一定的规则进行.先找只拿一种硬币的拿法,有两种:①1+1+1+1+1+1+1+1=8(分);②2+2+2+2=8(分).再找拿两种不同硬币的拿法,有四种:①1+1+1+1+1+1+2=8(分);②1+1+1+1+2+2=8(分);③1+1+2+2+2=8(分);④1+1+1+5=8(分).最后找拿三种不同硬币的拿法,只有一种:①1+2+5=8(分).由此可见,共有7种不同的拿法.在上面用枚举法寻找可能拿法的过程中,我们对全部拿法作了适当分类.合理分类是枚举法解题中力求又快又省的技巧.2. 假设有A、B、C三个城市,从A到C必须经过B.已知从A到B可以坐汽车或坐火车到达,而从B到C则可以坐汽车或坐火车或坐飞机到达.问:从A 到C可以有多少种不同的旅行方式?分析从A到C(A→C)可分两个阶段进行:第一阶段,从A到B(A→B);第二阶段,从B到C(B→C),按照第一阶段使用的交通工具不同可以分为两类:A→B B→C A→所以,从A到C共有2×3=6种不同的旅行方式.上述解法中的图示叫做枝形图,在解不太复杂的计数问题中很有用.3.已知A、B、C、D为自然数,且A×B=24,C×D=32,B×D=48,B×C =24.问A、B、C、D各为多少?因为C是24、32的公约数,又24、32的最大公约数是8,所以C是8的正约数.若C=1,则从C×D=32得D=32,再从B×D=48,得若C=2或8,同样可导致矛盾.若C=4,可求得D=8,B=6,A=4满足题意.4、一个小于400的三位数,它是平方数,它的前两个数字组成的两位数还是平方数,其个位数也是一个平方数。

希望杯教程 四年级数学第二讲(计数问题)

希望杯教程 四年级数学第二讲(计数问题)

希望杯教程四年级数学第二讲(计数问题)四年级数学第二讲(计数问题)一、知识回顾1. 枚举法:不重不漏。

适合情况是2. 加法原理:完成一件事情,有n类方法,第1类中有m1种方法,第2类中有m2种方法,??,第n类有mn种方法,则完成这件事情的方法一共有:能用加法原理解决的问题的特点是:3. 乘法原理:完成一件事情,若需要n个步骤,第1步有m1种方法,第二步有m2种方法,??,第n步有mn种方法,则完成这件事情的方法一共有:注意点是:4. 抽屉原理:桌子上有10个苹果,要把这10个苹果放到9个抽屉里,我们发现无论怎么放,至少会有一个抽屉里面放()个苹果。

如果要把桌上的21个苹果放到10个抽屉里,至少有一个抽屉里放()个苹果。

如果要把桌上的56个苹果放到10个抽屉里,至少有一个抽屉里要放()个苹果。

5. 容斥原理:也就是说在不考虑重叠的情况下,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把重复计数的数目去掉,使得计算的结果既无重复又无遗漏。

(1)如果计数的事物有A、B两类,那么A类和B类元素个数总和(A∪B)= (2)如果被计数的事物有A、B、C三类,那么A类、B类和C类元素个数总和:(A∪B∪C)=6. 此外,常用的计数方法还有排列组合、标数法、捆绑法、排除法、归纳法、整体法、递推法等。

二、典型例题例1:下图中,以点A、B、C、D、E、F、G为端点的线段有多少条?例2:小林有2件上衣,4条裤子,3双皮鞋,她能有()种不同的穿戴形式。

例3:从5幅楷体,3幅隶书,2幅草体书法作品中选取不同类型的2幅临摹,共有多少种不同的选法?例4:把24个苹果最多分给几个小朋友,才能保证至少有一个小朋友分得7个苹果。

例5:四年级一班第2小组共12人,其中5人会打乒乓球,8人会下象棋,3人既会打乒乓球又会下象棋。

那么这个小组中既不会打乒乓球又不会下象棋的有多少人?例6:布袋中有38个同样大小的小球,其中白、黄、红三种颜色的球各有15个,另外还有3个蓝色球,3个绿色球和2个紫色球。

《数学]枚举法》PPT课件

《数学]枚举法》PPT课件
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❖分析:实际上,只要知道乘数和被乘 数就可以写出乘法算式,所以我们可 以枚举乘数与被乘数的每一位。然后 再判断是不是满足条件即可。计算量 是45=1024,对于计算机来说,计算量 非常小。
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例4 时钟问题(IOI94-4)
也叫局部枚举)
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例2 谁是第几名
❖在某次数学竞赛中, A、B、C、D、E五名学生被取 为前五名。请据下列说法判断出他们的具体名次, 即谁是第几名?
❖条件1: 你如果认为A, B, C, D, E 就是这些人的 第一至第五名的名次排列, 便大错。因为:
没猜对任何一个优胜者的名次。
也没猜对任何一对名次相邻的学生。
▪ 来自若干个连续的段,每一个段中取一个分值; ▪ 每一个分值是所在段中最大的; ▪ 起点段和终点段任意,但途经段的分值和最大。
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❖ 设Li为第I个段中的分值最大的段。即Li=Max{L1I, L2I,……,LMI}(1≦I≦N – 1)。例如对于样 例数据: L1=Max(-50,17,-42)=17; L2=Max(-47,-19,-3)=-3; L3=Max(36,-34,-43)=36; L4=Max(-30,-13,34)=34; L5=Max(-23,-8,-45)=-8;
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枚举法的定义
❖所谓枚举法,指的是从可能的解的集 合中一一枚举各元素,用题目给定的 检验条件判定哪些是无用的,哪些是 有用的。能使命题成立的,即为解。
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❖ 示例中的解变量有3个:A,B,C。其中 解变量A的可能取值范围A∈{1, … ,3}

第二讲:数学思想方法之枚举法

第二讲:数学思想方法之枚举法

第二讲:数学思想、方法之枚举的思想
内容概述
在计数问题中经常会用到枚举法。

枚举法简单的说就是一个一个去数的方法,其关键之处在于找到合适的分类标准。

例题1. 15个相同的乒乓球放入4个相同的盒子中,要求每个盒子中至少都有一个且每个盒子中的乒乓球的数量都不相同,一共有多少种这样的分法?
例题2. 某商店甲、乙、丙三种商品的价格分别是2元、3元、5元。

某人买了这三种商品每种若干件,共付钱20元,此人发现其中一种商品买多了,退还两件这样的商品,但营业员只有10元一张的钱,没有零钱退,此人只好将其他两种商品购买的数量调整,使总价钱不变,此时,此人购买的三种商品中,乙种商品的数量是多少?
例题3. 将1分、2分、5分和1角的硬币投入19个盒子中,使每个盒子里都有硬币,且任何两个盒子里的硬币的钱数都不相同,问:至少需要投入多少硬币?这时,所有盒子里的硬币总数至少是多少?(12届华杯)
练习
1、小明和小红玩掷骰子的游戏,共有两枚骰子,一起掷出。

若两枚骰子的点数和为7,则小明胜;若点数和为8,则小红胜。

试判断他们两人谁获胜的可能性大。

2、数一数,右图中有多少个三角形。

3、小明的暑假作业有语文、算术、外语三门,他准备每天做一门,且相邻两天不做同一门。

如果小明第一天做语文,第五天也做语文,那么,这五天作业他共有多少种不同的安排?
4、在1,2,3,.......,100这100个自然数中,取两个不同的数,使得它们的和是7的倍数,共有多少种不同的取法?。

第2讲方案类问题中的枚举思想-三年级数学上册数学思想方法系列(人教版)(含解析)

第2讲方案类问题中的枚举思想-三年级数学上册数学思想方法系列(人教版)(含解析)

第2讲方案类问题中的枚举思想-三年级数学上册数学思想方法系列(人教版)(含解析)第2讲方案类问题中的枚举思想-三年级数学上册数学思想方法系列(人教版)第2讲用“列举法”解决问题列举法是一种常见的分析问题、解决问题的方法,一般的要根据问题的要求一一列举问题答案。

运用列举法解决问题时,不重复、不遗漏、有顺序、有规律地进行列举,运用列举法解决问题的关键是要正确分类。

要注意以下两点:一是分类要全,不能造成遗漏:二是列举要清,要将每一个符合条件的对象都列举出来。

涉及到实际问题常常是半开放式的方案型问题,符合情况的方案不止一种,逐一列举之后,选取最优方案。

【例题1】1.在2种面包和3种饮料中,选择1种饮料和1种面包有()种搭配,把你的搭配方法用线连一连表示出来。

思路分析:从3种不同的饮料中选一种有3种选法;从2种不同的面包中选一种有2种选法;共有3×2种选法。

最贵的搭配是最贵的饮料搭配最贵的面包,把最贵的饮料价钱加上最贵的面包价钱即可。

规范解答:3×2=6(种)【例题2】2.生活中的数学,看图回答问题。

(1)小亚:你知道吗,1斤4两是多少克呢?1斤4两=( )克(2)小亚妈妈说:“1斤=500克,1两=50克”,那么,1斤=( )两。

(3)小亚妈妈买了一些蔬菜,请你用“克”作单位表示这些蔬菜的质量。

蔬菜名称质量用“斤”、“两”作单位用“克”作单位蘑菇8两( )克青椒半斤( )克白萝卜4斤( )克合计三种蔬菜一共重( )千克( )克。

思路分析:根据1斤=500克,1两=50克,据此即可解答。

规范解答:(1)1斤4两=500+50+50+50+50=700克(2)1斤=10两(3)8两=2400克【例题3】3.实验小学29人乘车去机场,面包车限乘客8人,小轿车限乘客3人,哪种乘车方案能恰好把这些人全部运走?思路分析:根据条件列举出符合条件的乘车方案。

可从全部乘面包车开始,直到面包车是0辆为止,有序列表如下:乘车方案面包车/辆小轿车/辆可乘总人数1 4 0 4×8=32(人)2 3 2 3×8+2×3=30(人)3 2 5 2×8+5×3=31(人)4 1 7 1×8+7×3=29(人)5 0 10 10×3=30(人)规范解答:从上面的表格中可知,乘1辆面包车和7辆小轿车这种乘车方案能恰好把这些人全部运走。

四年级数学思维能力拓展专题突破系列(十五)枚举法讲义(含答案)

四年级数学思维能力拓展专题突破系列(十五)枚举法讲义(含答案)

四年级数学思维能力拓展专题突破系列(十五)枚举法------枚举法基础(1)1、能用枚举法熟练解决一般的计数问题。

2、掌握枚举法的几种解题方法。

1、掌握枚举法的概念。

2、学会分类枚举。

例题1:用数字1,2,3可以组成多少个不同的数?分别是哪几个数?例题2:用一台天平和重1克、3克、9克的砝码各一个(不再用其他物体当砝码),当砝码只能放在一个盘内时,可称出多少种不同的重量?例题3:将三个相同的小球放入A、B、C三个盒子中,一共有多少种放法?例题4:商店出售苹果5千克重的有5筐,6千克重的有4筐,9千克重的有3筐,王阿姨要买20千克重的苹果有多少种买法?(筐不能被打开)即是该课程的课后测试练习1:小帅有面值为5角,8角的邮票各两枚。

他用这些邮票能付多少种不同的邮资(寄信时,所需邮票的钱数)?练习2:用长56厘米的铁丝围成各种长方形(长和宽都是整厘米数,且长和宽不相等),围成的最大一个长方形的面积是多少平方厘米?练习3:如图,有8张卡片,上面分别写着自然数1至8。

从中取出3张,要使这3张卡片上的数字之和为9。

问有多少种不同的取法?练习4:课外小组组织30人做游戏,按1—30号排队报数。

第一次报数后,单号全部站出来;以后每次余下的人中第一个人开始站出来,隔一人站出来一个人。

到第几次这些人全部站出来了?最后站出来的人应该是第几号?练习5:商店出售饼干,现存10箱5千克重的,4箱2千克重的,8箱1千克重的。

一位顾客要买9千克饼干,为了便于携带要求不开箱。

营业员有多少种发货的方法?练习1:解析:一枚:5角,8角二枚:两个5角=1元,两个8角=1元6角,一个5角和一个8角=1元3角三枚:两个5角和一个8角=1元8角,两个8角和一个5角=2元1角四枚:两个5角和两个8角=2元6角答:有8种不同的邮资。

练习2:解析:比如有一下几种情况作为例子:10+18=28(厘米) S=10⨯18=180(平方厘米)11+17=28(厘米) S=11⨯17=187(平方厘米)12+16=28(厘米) S=12⨯16=192(平方厘米)…13+15=28(厘米) S=13⨯15=195(平方厘米)14+14=28(厘米) S=14⨯14=196(平方厘米)但是长和宽不相等,且有长和宽都是整数所以S=13⨯15 =195(平方厘米)答:围成的最大一个长方形的面积是195平方厘米。

枚举法和树形图三年级上册数学(共16张PPT)

枚举法和树形图三年级上册数学(共16张PPT)

例2:薇儿准备在未来5天学习钢琴、舞蹈或唱歌,一天只学 习一个课程,相邻两天不相同。她计划第一天学习钢琴,并 且最后一天也学习钢琴,那么一共有多少种学习方案?
课堂练习
艾迪和薇儿两人进行乒乓球赛,规定谁先胜三局谁就会取得 比赛的胜利。那么比赛的过程有多少种可能?
课堂练习
如果一只蚂蚁从一个四棱锥的顶点P出发,沿着这个四棱准 的棱一次不重复的走遍5个顶点即挺会,请问:这只蚂蚁一共 有多少种不同的走法?
为什么要学奥数? 三、锻炼思维能力 二、克服畏难情绪 一、提高数学成绩
课堂要求
专心听讲 主动思考 积极发言 仔细完成作业
从树形图谈起
第一课
01 枚举法
例1:冬冬在一张纸上画了一些图形,如图所示,每个图形 都是由若干条线段连接组成的。请你数一数,纸上一共有多 少条线段?(最外面的大长方形是纸的边框,不算在内)
解析:1357、1358、1368、1468、2468 答:这样的四位数一共有5个
课堂练习
从1~9这9个数码中取出3个,使它们的和是3的倍数,则不同取法有 几种
解析:加法原理 分类枚举 (1)3个数都是3的倍数,有1种情况 (2)3个数除以3都余1,有1种情况 (3)3个数除以3都余2,有1种情况 (4)一个除以3余1,一个除以3余2,一个是3的倍数
P
D
C
A
B
课堂练习
一个四位数,每一位上的数字都是0,1,2中的某一个,并且 相邻的两个数字不相同,一共有多少个满足条件的四位数?
课堂练习
一个三位数,百位数字比十位数字大,十位数字比个位数字 大,个位数字不小于5,那么这样的三位数一共有__________ 个.
课堂练习
如图,ABCDEF是一个正六边形,一只青蛙开始在顶点A处, 它每次可以随意跳到相邻两顶点之一。若在4次内跳到D点, 则停止跳动(例如:A-B-C-D);若4次之内不能跳到D点,则 调完4次也停止跳动(例如:A-B-C-B-A).那么这只青蛙从 开始到停止,则可能出现的不同跳法有多少种?

枚举法公式

枚举法公式

枚举法公式枚举法,这名字听起来是不是有点高大上?其实啊,它就是咱们解决问题的一个“笨办法”,但有时候这个“笨办法”还特别管用!咱们先来说说枚举法到底是啥。

枚举法啊,简单来说,就是把所有可能的情况一个一个地列举出来,然后从中找到符合条件的答案。

比如说,要从 1 到 10 里找出所有能被 3 整除的数,那咱们就从 1 开始,一个一个数过去,3、6、9,这就是枚举法啦。

我记得有一次,我带着班上的小朋友们做一个小游戏。

游戏的规则是在一堆水果里找出重量超过 500 克的。

小朋友们可积极啦,一个个瞪大眼睛,小手伸出来指。

有的小朋友就开始一个一个地拿起来估摸重量,嘴里还念念有词,“这个苹果感觉轻了,这个西瓜可能够重”。

这其实就是在不自觉地用枚举法呢!那枚举法有没有公式呢?其实严格来讲,枚举法并没有像数学里那些复杂的公式。

但是呢,我们可以总结一些小技巧和规律,让枚举的过程更有条理,更不容易出错。

比如说,如果我们要枚举一个范围内的整数,那就可以先确定起始值和结束值,然后按照一定的顺序一个一个地列举。

在这个过程中,要注意别遗漏,也别重复。

再比如说,要是枚举的对象是一些组合情况,像从几个人里选几个参加活动这种,那就要更仔细地分析,先确定选人的顺序,再逐步列举。

枚举法虽然简单直接,但也有它的缺点。

如果可能的情况太多,那枚举起来可就太费劲啦,甚至根本没法完成。

就像要从 1 到 10000 里找出所有的质数,要是一个一个地判断,那得累死人!不过,在很多小问题里,枚举法还是能大显身手的。

比如说,找出一周内哪天的气温最高,或者在几种不同的零食里选出自己最喜欢的口味。

咱们在使用枚举法的时候,一定要耐心和细心。

就像我之前提到的小朋友们找水果的例子,要是不仔细,很可能就把那个重一点的水果给漏掉了。

总的来说,枚举法虽然不是什么高大上的超级武器,但在很多时候,它能帮我们解决一些看似简单却又有点小麻烦的问题。

只要我们用得恰当,它就是我们学习和生活中的好帮手。

小学数学知识点之枚举法解析

小学数学知识点之枚举法解析

小学数学知识点之枚举法解析小芳为了给灾区儿童捐款,把储蓄罐里的钱全拿了出来。

她想数数有多少钱。

小朋友,你知道小芳是怎么数的吗?小芳是个聪明的孩子,她把钱按1分、2 分、5分、1角、2角、5角、1 元等分类去数。

所以很快就数好了。

小芳数钱,用的就是分类枚举的方法。

这是一种很重要的数学思考方法,在很多问题的思考过程中都发挥了很大的作用。

下面就让我们一起来看看它的本领吧!经典试题例[1] 下列图中有多少个三角形?分析我们可以根据图形特征将它分成 3 类:第一类:有 6 个;第2 类:有 6 个;第3 类:有 3 个;解6+6+3=15〔个〕图中有15 个三角形。

例[2] 下列图中有多少个正方形?分析根据正方形边长的大小,我们将它们分成 4 类第1类:由1个小正方形组成的正方形有24个;第2类:由4个小正方形组成的正方形有13个;第3类:由9个小正方形组成的正方形有 4 个;第4类:由 16个小正方形组成的正方形有 1个。

解 24+13+4+1=42。

图中有 42 个正方形。

例[3] 在算盘上,用两粒珠子可以表示几个不同的三位数:分别是哪几个数?分析 根据两粒珠子的位置,我们可将它们分成 3 类:第1 类:两粒珠子都在上档,可以组成 505,550;第2 类:两粒珠子都在下档,可以组成 101,110,200;第3 类:一粒在上档,另一粒在下档,可以组成 510,501,150,105,600。

解 可以表示 101,105,110,150,200,501,505,510,550,600共 10个三位数。

例[4] 用数字 7,8,9 可以组成多少个不同的三位数?分别是哪几个数?解 可以组成 789,798,879,897,978,987共 6个三位数。

例[5] 往返于南京和上海之间的沪宁高速列车沿途要停靠常州、无锡、苏州三站。

问:铁路部门要为这趟车准备多少种车票?分析 我们可以根据列车的往与反把它们分成两大类〔注:为了方便,我们将上述地点简称为宁、常、锡、苏、沪〕:在第一大类中,我们又可以根据乘客乘车时所在起点站的不同分成 4 类。

奥数:加法原理之分类枚举(二).学生版[推荐]

奥数:加法原理之分类枚举(二).学生版[推荐]

1.使学生掌握加法原理的基本内容;2.掌握加法原理的运用以及与乘法原理的区别;3.培养学生分类讨论问题的能力,了解分类的主要方法和遵循的主要原则.加法原理的数学思想主旨在于分类讨论问题,教授本讲的目的也是为了培养学生分类讨论问题的习惯,锻炼思维的周全细致.一、加法原理概念引入 生活中常有这样的情况,就是在做一件事时,有几类不同的方法,而每一类方法中,又有几种可能的做法.那么,考虑完成这件事所有可能的做法,就要用加法原理来解决.例如:王老师从北京到天津,他可以乘火车也可以乘长途汽车,现在知道每天有五次火车从北京到天津,有4趟长途汽车从北京到天津.那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法?分析这个问题发现,王老师去天津要么乘火车,要么乘长途汽车,有这两大类走法,如果乘火车,有5种走法,如果乘长途汽车,有4种走法.上面的每一种走法都可以从北京到天津,故共有5+4=9种不同的走法.在上面的问题中,完成一件事有两大类不同的方法.在具体做的时候,只要采用一类中的一种方法就可以完成.并且两大类方法是互无影响的,那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数.二、加法原理的定义一般地,如果完成一件事有k 类方法,第一类方法中有1m 种不同做法,第二类方法中有2m 种不同做法,…,第k 类方法中有k m 种不同做法,则完成这件事共有12 k N m m m =+++……种不同方法,这就是加法原理.加法原理运用的范围:完成一件事的方法分成几类,每一类中的任何一种方法都能完成任务,这样的问题可以使用加法原理解决.我们可以简记为:“加法分类,类类独立”.分类时,首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准,然后在这个标准下进行分类;其次,分类时要注意满足两条基本原则:① 完成这件事的任何一种方法必须属于某一类;② 分别属于不同两类的两种方法是不同的方法.只有满足这两条基本原则,才可以保证分类计数原理计算正确.运用加法原理解题时,关键是确定分类的标准,然后再针对各类逐一计数.通俗地说,就是“整知识要点教学目标7-1-2.加法原理之分类枚举(二)体等于局部之和”.三、加法原理解题三部曲1、完成一件事分N类;2、每类找种数(每类的一种情况必须是能完成该件事);3、类类相加枚举法:枚举法又叫穷举法,就是把所有符合条件的对象一一列举出来进行计数.分类讨论的时候经常会需要把每一类的情况全部列举出来,这时的方法就是枚举法.枚举的时候要注意顺序,这样才能做到不重不漏.例题精讲分类枚举——找规律【例 1】有一个电子表的表面用2个数码显示“小时”,另用2个数码显示“分”。

枚举法

枚举法

浅谈数学枚举法思想【摘要】数学思想方法是数学中的理性认识,是数学的本质,是数学中高度抽象概括的内容,它蕴含于数学问题的解决过程中,它从教学内容中抽象和概括出来,是数学知识的精髓,是知识转化成能力的桥梁。

枚举法就是一种重要的数学解题思想。

【关键字】枚举法数学思想解题思想【正文】19世纪数学家西尔维斯特指出:“置身于数学领域中不断地探索和追求,能把人类的思维活动升华到纯净而和谐的境界。

”阿巴斯诺特说:“数学知识是思维增加活力,使之摆脱偏见、轻信和迷信的束缚。

”塞劳尔说:“正如文学诱导人们的情感一样,数学则启发人们的想象与推理。

”总之,数学能令人的思维纯净、和谐,会为思维增添活力。

著名的日本科学家米山国藏指出:“作为知识的数学,出校门不到两年可能就忘了,深深铭记在头脑中的唯有数学的精神、数学的思想研究方法和着眼点,这些都随时随地发生动作,使人们终身受益。

”【1】数学的精髓不在于知识本身,而在于数学知识中所蕴含的数学思想方法。

枚举法、类比法、归纳法、分析法、综合法、化归法数学模型法等都是比较常见的数学思想方法,在这里,我将简单的谈一谈枚举法。

枚举法起源于原始的计数方法,即数数。

在进行归纳推理时,如果逐个考察了某类事情的所有可能情况,因而得出一般结论,那么这结果是可靠的,这种方法叫做枚举法。

从这里可以看出枚举法要将问题的所有可能的答案一一列举,然后根据条件判断此答案是否合适,合适就保留,不合适就丢弃。

因而枚举法具有以下三个特点:第一,通过枚举法得到的结果肯定是正确的;第二,枚举法要将所有可能的答案列举出来,效率必然低下,浪费时间;第三,枚举法会涉及到求极值。

枚举法的这些特点,并不就意味着它是没有头绪的尝试、瞎蒙瞎撞,枚举法也有它的解题思路。

首先要确定枚举对象、枚举范围和判定条件,其次要一一列举可能的解,验证是否是问题的正确的解。

【2】以百钱买鸡的题目为例,“一只公鸡,价值三元钱;一只母鸡,价值两元钱;三只小鸡,价值一元钱。

数学枚举法

数学枚举法

数学枚举法数学枚举法其实还挺有趣的呢,就像是在一个大盒子里翻找各种小宝贝一样。

枚举法嘛,简单来说就是把所有可能的情况一个一个地列出来。

比如说,咱们要找1到10之间的偶数,那咱们就可以很干脆地把2、4、6、8、10都列出来,这就是最基础的枚举啦。

在做数学题的时候,枚举法能帮我们解决好多类型的问题呢。

像那种排列组合的初级题目,比如说有红、黄、蓝三种颜色的球,每次取两个球,有多少种不同的取法呢?咱们就可以枚举呀,红和黄、红和蓝、黄和蓝,就这么简单地把所有可能的组合都列出来,答案就出来了。

再比如说那种找规律的题目,要是规律不是特别明显,咱们也可以用枚举法来试试。

就像有一个数列,前几个数是1、3、5,那下一个数可能是啥呢?我们可以先枚举一些可能的规律,也许是奇数数列,那下一个就是7;也许是按照加2、加2这样的规律,那下一个也是7。

通过枚举不同的规律假设,就能找到最合理的那个答案。

还有在做几何题的时候,有时候也能用得上枚举法。

比如说一个三角形,已知两边的长度,然后让你找第三边可能的长度范围。

我们就可以先把一些边界情况枚举出来,然后再根据三角形三边关系的定理来确定准确的范围。

枚举法虽然有时候看起来很笨,就是一个一个去试,但它真的很实用。

尤其是在一些情况不是特别复杂,或者我们找不到更好的办法的时候。

就像我们在黑暗中找东西,先把所有能摸到的东西都摸一遍,总能找到我们想要的。

而且呀,在生活中我们也经常用到枚举法的思维呢。

比如说我们早上出门找衣服穿,要是没有特别的想法,就会把衣柜里的衣服一件一件在脑海里过一遍,这其实也是一种枚举呀。

再比如说我们去超市买东西,想要找性价比最高的商品,有时候也会把类似的商品都看一遍,比较一下价格、质量啥的,这也是枚举的生活版啦。

在学习枚举法的时候,我们也可以自己创造一些有趣的例子来加深理解。

比如我们可以想象自己是一个小魔法师,要从一堆魔法道具里找出特定的几个来施展魔法,那就得一个一个地看,这个过程就是枚举啦。

枚举法

枚举法
当小悦分到4个苹果时,即首位为4,有以 下1种情况,411
4+3+2+1=10(种)
答:一共有10种分法。
• 3:张奶奶从超市里买了10包果冻,分别装在3个 塑料袋里,每袋至少一包,那么张奶奶一共有多 少种不同的装果冻的方法?
• 分析:先判断是否有序,没有说每袋分别分给谁, 1+2+7,2+1+7,7+1+2这三种算是同一种分法, 是无序的;再判断范围,每袋至少一包,所以最 小是1,最大是8
练习题
• 1、有一些三位数的各位数字都不是0,且各位数 字之和为7,这样的3位数有多少个?
• 分析:先看有无次序之分,因为是一个三位数, 有个位、十位、百位之分,所以是有次序的,再 确定范围,各位数字都不为0,各位数字之后为7, 所以最小为1,最大为5,则应用字典排列法解题 如下。
• 解:当首位为1时,有以下5种情况 115,124,133,142,151 当首位为2时,有以下4种情况 214,223,232,241
汤姆有1颗,即首位为1,有以下6种情况 116,125,134,143, 152,161. 汤姆有2颗,即首位为2,有以下5种情况 215,224,233,242,251. 汤姆有3颗,即首位为3,有以下4种情况 314,323,332,341. 汤姆有4颗,3种情况 313,322,331 当首位为4时,有以下2种情况 411,421 当首位为5时,有以下1种情况 511 5+4+3+2+1=15(个) 答:这样的三位数共有15个
• 2、费叔叔买来6个苹果,分给小悦、东东、 阿奇三个人,每人至少一个,那么一共至 少有多少种分法。
• 分析:在3堆蚂蚁中,每堆至少有2只,一共有12只,因此 每堆蚂蚁至少有2只,至多有8只。同样为了方便解题,我 们先假设是有次序的,然后再去掉重复的。

第二讲 枚举法0321

第二讲 枚举法0321

第二讲枚举法在数学问题中,有一些需要计算总数或种类的趣题,因其数量关系比较隐蔽,很难找到“正统”的方式解答,让人感到无从下手。

对此,我们可以先初步估计其数目的大小。

若数目不是太大,就按照一定的顺序,一一列举问题的可能情况;若数目过大,并且问题繁杂,我们就抓住对象的特征,选择恰当的标准,把问题分为不重复、不遗漏的有限种情形,通过一一列举或计数,最终达到解决目的。

这就是枚举法,也叫做列举法或穷举法。

五个学生友1,友2,友3,友4,友5一同去游玩,他们将各自的书包放在了一处.分手时友1带头开了个玩笑,他把友2小朋友的书包拿走了,后来其他的小朋友也都拿了别人的书包。

试问在这次玩笑中故意错拿书包的情形有多少种不同方式?(见每日一题)例题讲解例1 、用分别写有数字0,1,2的三张纸片□0,□1,□2能排出多少个不同的二位数?练习:1、在算盘上,用两粒珠子可以表示几个不同的三位数?分别是哪几个数?2、铁路上的火车票价是根据两站距离的远近而定的,距离愈远,票价愈高。

如果一段铁路上共有五个车站,每两站间的距离都不相等,问这段铁路上的火车票价共有多少种?解:例2、用1至8这八个自然数中的四个组成四位数,从个位到千位的数字依次增大,且任意两个数字的差都不是1,这样的四位数共有个。

练习:1、三张数字卡片0,2,4可以组成_____个能被4整除的不同整数。

2、abcd代表一个四位数,其中a,b,c,d均为1,2,3,4中的某个数字,但彼此不同,例如2134。

请写出所有满足关系a<b,b>c,c<d的四位数abcd来。

例3、小明的两个口袋中各有6张卡片,每张卡片上分别写着1,2,3,……,6。

从这两个口袋中各拿出一张卡片来计算上面所写两数的乘积,那么,其中能被6整除的不同乘积有_____个。

练习:1、从1、2、3、4、5、6这些数中,任取两个数,使其和不能被3整除,则有_______种取法。

2、老师带着佳佳、芳芳和明明做计算练习.老师先分别给他们一个数,然后让他们每人取3张写有数的卡片.佳佳取的是3、6、7,芳芳取的是4、5、6,明明取的是4、5、8.这时老师让他们分别取自己卡片上的两个数相乘,再加上开始老师给他们的数.如果老师开始时给他们的数依次是234、235、236,而且他们计算都正确,那么可能算出_________个不同的数.例4、右图中有多少个三角形?练习:右图中有多少个正方形?例5、甲、乙、丙三个工厂共订300份报纸,每个工厂至少订了99份,至多101份,问:一共有多少种不同的订法?练习:1、大林和小林共有小人书不超过9本,他们各自有小人书的数目有多少种可能的情况?2、从1~8中每次取两个不同的数相加,和大于10的共有多少种取法?例6、四个学生每人做了一张贺年片,放在桌子上,然后每人去拿一张,但不能拿自己做的一张.问:一共有多少种不同的方法?练习:一次,齐王与大将田忌赛马.每人有四匹马,分为四等.田忌知道齐王这次比赛马的出场顺序依次为一等,二等,三等,四等,而且还知道这八匹马跑的最快的是齐王的一等马,接着依次为自己的一等,齐王的二等,自己的二等,齐王的三等,自己的三等,齐王的四等,自己的四等.田忌有________种方法安排自己的马的出场顺序,保证自己至少能赢两场比赛.例7、把一元钱换成角币,有多少种换法?人民币角币的面值有五角、二角、一角三种.练习:1一把硬币全是2分和5分的,这把硬币一共有1元,问这里可能有多少种不同的情况?2、小明有面值为3角、5角的邮票各两枚。

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所以,在50以内(包括50),十位上数字比个位上数字大 的两位数有50,43,42,41,40,32,31,30,21,20,10共11个。
学以致用
练习3
在60以内(包括60),十位上的数字比个位上的数字大两 位数一共有多少个?
经典精讲
例题4 像17和71这样十位数字和个位数字 顺序颠倒的一对两位数是一家人, 它们相加的和为88,请问像这样的 相加和为99的一家人有几对?
学以致用
练习1
十位上的数字比个位上的数字大2,写出所有符合条件的两 位数?
经典精讲
例题2
十位上的数字与个位上的数字相差2,写出 所有符合条件的两位数?
经思典维精导图讲
【解析】“相差”是指十位上数字比个位上数字大2,或
者个位上数字比十位上数字大2,要分类考虑。当十位比个 位数字大2时,十位从大数9开始枚举,个位为7,则依次为 97,86,75,64,53,42,31,20共8个;当个位比十位 数字大2时,十位从小数1开始枚举,个位为3,则依次为13, 24,35,46,57,68,79共7个。所以一共有8+7=15个。
思维导图
【解析】根据17和71的关系可以发现,拆8即可找到所有
和为88的一家人数。此题为找和为99的一家人数,则可把9 拆分为1+8,2+7,3+6,4+5(之后重复),则一家人 数为18和81,27和72,36和63,45和54,共4对。
学以致用
练习4
像16和61这样十位数字和个位数字顺序颠倒的一对两位数是 一家人,它们相加的和为77,请问像这样的相加和为77的 一家人有几对?
第2讲 数数中的枚举
学习目标
1.通过按顺序写数的练习,让孩子初 步感知枚举法的妙用;
2.培养孩子有序思考问题的能力。
经典精讲
例题1 有一个三位数,其中十位数字比百 位数字大4,各位数字又比十位数 字大4,这个三位数是多少?
思维导图
【解析】确定数位并标清数位间关系后,从最高位开始
枚举,百位是最小的,从小的数字开始枚举,其中0不能做 首位,从1开始,十位为1+4=5,个位为5+4=9,三位数为 159;当百位为2时,十位为2+4=6,个位为6+4=10,个 位不能有两个数字,所以不符合题意,以下不用再继续枚举。 所以答案是159。
思维导图
【解析】所以百位为1时,101,11,1,…,191一共10个
数;以此类推,百位为2,3,…,9的也都像这样各有10个 数,一共有9x10=90(个)这样的回文数。
学以致用
练习6
像1001这样,从左往右和从右往左读是相同的自然数叫做 “回文数”,那么在1000到2016之间共有多少个“回文数” 呢?
学以致用
练习5
自然数12,135,1349这些数有一个共同的特点,相邻两个 数字,左边的数字小于右边的数字,我们取名为“上升数”。 用5,6,7,8这四个数字,可以组成多少个“上升数”?
经典精讲
例题6 有一些自然数,像121和2442这样, 从左往右和从右往左读是相同的, 我们把这样的数称作“回文数”, 那么在三位数中,一共有多少这样 的“回文数”?
经典精讲
例题5 自然数21,654,7521这些数有一个共同的 特点,相邻两个数字,左边的数字大于右边 的数字,我们取名为“下降数”。用4,6, 7,9这四个数字,可以组成多少个“下降 数”?
思维导图
【解析】若想为下降数,则至少为两位数。先排序为9,
7,6,4。四位数:9704;三位数:976,974,964,764 (按照顺序拿走一个数字即可);两位数97,96,94,76, 74,64(确定一个之后去找搭档,打枪法),共11个。
学以致用
练习2 有一个两位数,它十位上的数字与个位上 的数字正好相差4,把所有符合条件的数 全部写出来?
经典精讲
例题3 在50以内(包括50),十位上的 数字比个位上的数字大两位数一共 有多少个?
ห้องสมุดไป่ตู้
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【解析】这道题如果把50以内的数全部写出来然后再筛
选那就太麻烦了。我们可以通过列表的方法进行分类枚举, 把所有的答案都找出来。
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