第6章连续小波变换

−∞
−∞
小波分析:
小波滤波:
尺度与频率: 注意: 在连续小波变换的情况下,没有要求小波有相应的尺度函数.
2009-5-19
清华大学计算机系 孙延奎
设函数 ψ (t ) ∈ L1(R) ∩ L2 (R) , 若
∫ cψ =
+∞ ψˆ (ω ) 2 dω < +∞ −∞ ω
则称 ψ (t) 为一个允许小波。
−∞
a
f ,ψ a,b
连续小波变换
∫ WTf (a,b) =
1 a
+∞ −∞
f
(t)ψ ∗(t
− b)dt a
=
a 1/2
f
∗ψ
a
(b)
ψ a (t ) = a ( ψ −1 * −t / a)
性质： 线性性质 平移不变性
在实际工程应用中,常假设a>0.
……….
∫ ∫ 连续卷积的定义:(h ∗ f ) (t) = +∞ h (u) f (t − u) du = +∞ f (u) h(t − u)du
允许条件等价于： ψˆ (0) = 0 （波动性），与
( ) ψ (t ) ≤ c 1+ t −1−ε ,ε > 0 （衰减性）
允许条件是保证正、逆变换存在的条件。
∫ ∫ f (t) = 1 +∞ cψ −∞
+∞ −∞
1 a2
WTf
(a, b)ψ
a,b
(t)dadb
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4. Morlet小波
ψ (t) = e−t2 / e2 iω0t
ψˆ (ω ) = π2 e−(ω−ω0 )2 / 2
Morlet小波不存在尺度函数; 快速衰减但非紧支撑.
在Matlab中， morlet 小波的定义为
ψ (t) = e−t2 /2 cos 5t
问 ψˆ (ω) = ?
2009-5-19
，则称 ψ (t) 为一个基本小波或母小波。
ψ a,b (t) =
1 ψ(t −b)
aa
a,b ∈ R a ≠ 0
(连续)小波函数
a和b的意义
ψ a,b (t) 2 = ψ (t) 2
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清华大学计算机系 孙延奎
∫ WTf (a,b) =
1 a
+∞ f (t)ψ ∗(t − b)dt =
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Morlet小波
Morlet小波是Gabor 小波的特例。
( ) ( ) g
t
=
σ π − t2
1 2σ 2 e 2 1/ 4
ψ (t ) = g (t ) eiηt
σ = 1,η = 5
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常用的基本小波
1. Haar小波
⎧1
ψ
(t
)
=
⎪ ⎨
−1
⎪⎩0
0 ≤ t <1/2 1/2 ≤ t <1
其它
ψˆ (ω) = i 4 e−iω /2 sin2 (ω / 4)
ω
1 ψ (t)
01
1
2
−1
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2. Daubechies小波
+∞
−∞ W f
a;b1, b2
ψ
⎛ ⎜⎝
x
− a
b1
,
y − b2 a
⎞⎟⎠db1db2
∫∫ ( ) 其中，cψ
=
1
4π 2
2
ψˆ ωx ,ωy
ωx2
+பைடு நூலகம்
ω
2 y
dωxdωy
当 a = 2 j 时，得出二进二维连续小波变换：
∫ ∫ ( ) Wf (b1,b2 ) =
+∞ −∞
+∞ f ( x, y ) 2− jψ ∗
第6章 连续小波变换
• 小波及连续小波变换 • 常用的基本小波 • 时频分析 • 连续小波变换的计算 • 小波变换的分类
2009-5-19
清华大学计算机系 孙延奎
目的
• 熟悉连续小波变换的定义 • 深入理解小波时频分析的思想和方法
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小波及连续小波变换
∫ 设函数 ψ (t ) ∈ L1(R) ∩ L2 (R) ，并且 ψˆ (0) = 0 ，即 +∞ψ (t)dt = 0 −∞
h=
1 2
⎩⎧⎨18
,
1 2
,
3 4
,
1 2
,
1 8
⎫⎬ ⎭
h=
1 2
⎧3 ⎨⎩16
,
−
3 4
,
5 16
,
5 2
,5 16
,
−
3 4
,3 16
⎫ ⎬ ⎭
常用于图形学中。其中尺度函数是一 个三次B样条。
Bior2.4
双正交小波解决了线性相位和正交性要求的矛盾。
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−∞
2− j ( x − b1 ) , 2− j ( y − b2 ) dxdy
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清华大学计算机系 孙延奎
当 a = 2− j , b1 = al, b2 = am;l, m ∈ Z 时，得出二维
离散小波变换：
∫ ∫ ( ) Wf ( j,l, m) = 2 j
+∞ −∞
+∞ f ( x, y)ψ ∗
（7-5）小波滤波器:
⎧ ⎪ ⎪
p0
=
4q2 8q2
−3 −2
⎪ ⎪ ⎪
p1
=
4q22 + 5q2 −1 8q2 − 2
⎪ ⎪ ⎨
p2
=
4q2 +1 16q2 − 4
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
p3
=
4q22 + q2 2 − 8q2
q0 = 1− 2q2
⎪ ⎪ ⎩
q1
=
1 2
~
pn = 2 hn , qn = 2hn
二维连续小波变换与离散小波变换
设 f ( x, y) ∈ L2 ( R2 ), ψ ( x, y) 满足条件
称积分
∫ ∫+∞ +∞ψ ( x, y)dxdy = 0 −∞ −∞
∫ ∫ Wf (a;b1,b2 ) =
+∞ −∞
+∞ −∞
f
( x,
y)
1ψ
a
∗
⎛ ⎝⎜
x
− b1 a
,
y
− b2 a
⎠⎞⎟dxdy
为 f ( x, y) 的二维连续小波变换，称 ψ ( x, y) 为二维
基本小波函数。
ψ
a;b1 ;b2
(
x,
y)
=
1ψ
a
⎛ ⎝⎜
x
− b1 a
,
y
− b2 a
⎞ ⎠⎟
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清华大学计算机系 孙延奎
相应的反演公式为
∫ ∫ ∫ f ( x, y) = 1
cψ
( ) +∞ da
0 a3
+∞ −∞
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D4尺度函数与小波
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
0
1
2
3
4
5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-1
0
1
2
3
D6尺度函数与小波
清华大学计算机系 孙延奎
3、双正交小波 双正交B样条小波（5-3）、 （9-7）小波滤波器
bior2.2, bior4.4
−∞
2 j x − l, 2 j y − m dxdy
如果再把小波函数 ψ ( x, y) 取为变量可分离的二元函数：
ψ ( x, y) =ψ 1 ( x)ψ 2 ( y)
它可以通过一维多分辨分析得出二维多分辨分析。
附注：有更一般的二维连续小波变换的定义，它在尺度可伸缩的同时还可 以旋转。
2009-5-19