山东省高考数学第二轮复习 专题六 解析几何第1讲 直线与圆 理

真题试做

1．(2012·陕西高考，理4)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则( )．A．l与C相交 B．l与C相切

C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能

2．(2012天津高考，理8)设m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y －1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是( )．

A．[1－3，1＋3]

B．(－∞，1－3]∪[1＋3，＋∞)

C．[2－22，2＋22]

D．(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)

3．(2012·重庆高考，理3)对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是( )．

A．相离 B．相切

C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心

4．(2012·江苏高考，12)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k 的最大值是__________．

5．(2012·江西高考，文14)过直线x＋y－22＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是__________．

6．(2012·浙江高考，文17)定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝__________.

考向分析

直线与方程是解析几何的基础，高考中主要考查基本概念和求在不同条件下的直线方程；直线平行与垂直的关系的判定；两条直线的交点和距离问题等，一般以选择题、填空题的形式考查．对于圆的考查，主要是结合直线的方程用几何法或待定系数法确定圆的标准方程及一般方程；利用圆的性质求动点的轨迹方程；直线与圆，圆与圆的位置关系等问题，其中含参数问题为命题热点．一般以选择题、填空题的形式考查，难度不大，从能力要求看，主要考查函数与方程的思想，数形结合思想以及分析问题与解决问题的能力．

热点例析

热点一直线方程与两条直线的位置关系

经过点P(2，－3)作圆(x＋1)2＋y2＝25的弦AB，使点P为弦AB的中点，则弦AB所在直线方程为( )．

A．x－y－5＝0 B．x－y＋5＝0

C．x＋y＋5＝0 D．x＋y－5＝0

规律方法(1)求直线方程的方法

①直接法：直接选用恰当的直线方程的形式，写出结果；

②待定系数法：先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有一待定系数，再由题目中另一条件求出待定系数．

(2)两条直线平行与垂直的判定

①若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1；

②两条不重合的直线a1x＋b1y＋c1＝0和a2x＋b2y＋c2＝0平行的充要条件为a1b2－a2b1＝0且a1c2≠a2c1或b1c2≠b2c1；

③两条直线a1x＋b1y＋c1＝0和a2x＋b2y＋c2＝0垂直的充要条件为a1a2＋b1b2＝0.判定两直线平行与垂直的关系时，如果给出的直线方程中存在字母系数，不仅要考虑斜率存在的情况，还要考虑斜率不存在的情况．

(3)忽视对直线方程中的字母分类讨论而丢解或增解

直线方程的截距式x a ＋y b

＝1中，有ab ≠0的限制，而截距可以取正数、负数和零，所以需要对a ，b 分类讨论，否则容易造成丢解．如过点P (2，－1)，在x 轴，y 轴上的截距分别为a ，b ，且满足a ＝3b 的直线易漏掉过原点的情形．

变式训练 1 (1)“a ＝3”是“直线ax －2y －1＝0与直线6x －4y ＋c ＝0平行”的__________条件．( )

A ．充要

B ．充分而不必要

C ．必要而不充分

D ．既不充分也不必要

(2)已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为__________．

热点二 圆的方程

【例2】已知圆C 经过点A (1,3)，B (2,2)，并且直线m ：3x －2y ＝0平分圆的面积．求圆C 的方程．

规律方法 圆的方程的求法

求圆的方程一般有两类方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程一般采用待定系数法．

特别提醒：圆心到切线的距离等于半径，该结论在解题过程中经常用到，需牢记． 变式训练2 我们把圆心在一条直线上且相邻两圆彼此外切的一组圆叫做“串圆”．在如

图所示的“串圆”中，圆C 1和圆C 3的方程分别为x 2+y 2＝1和(x －3)2+(y －4)2

＝1，则圆C 2的方程为_______.

热点三 直线与圆的位置关系

【例3】如图所示，已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P .

(1)求圆A 的方程；

(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程；

(3)BQ BP 是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．

规律方法 (1)研究直线与圆的位置关系最基本的解题方法为代数法，将几何问题代数

化，利用函数与方程思想解题．

(2)与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，及半弦长l

2

，

构成直角三角形的三边，利用其关系来处理．

变式训练3 已知直线l ：2mx －y －8m －3＝0和圆C ：(x －3)2＋(y ＋6)2

＝25. (1)证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 总相交；

(2)求直线l 被圆C 截得的线段的最短长度以及此时直线l 的方程． 思想渗透

1．数形结合思想

解答与圆有关的范围问题时，经常以形助数，巧妙破解．

【典型例题1】若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2

有公共点，则b 的取值范围是( )． A ．[－1,1＋22] B ．[1－22，1＋22] C ．[1－22，3] D ．[1－2，3]

解析：方程y ＝x ＋b 表示斜率为1的平行直线系，曲线方程可化为(x －2)2＋(y －3)2

＝4(1≤y ≤3)表示圆心为(2,3)，半径为2的下半圆．

如图所示，当直线y ＝x ＋b 与半圆相切时须满足圆心(2,3)到直线x －y ＋b ＝0的距离等

于2，即|1×2－1×3＋b |

2

＝2，解得b ＝1－22或b ＝1＋22(舍)．

当直线y ＝x ＋b 过点(0,3)时，可得b ＝3，由图可知满足题意的b 的取值范围为1－22≤b ≤3.

答案：C

2．分类讨论思想

遇到字母时往往要对其进行讨论．

【典型例题2】试判断方程x 2＋y 2

＋4x ＋2my ＋8＝0表示的曲线类型．

解：将x 2＋y 2＋4x ＋2my ＋8＝0配方，得(x ＋2)2＋(y ＋m )2＝m 2

－4.

(1)当m 2

－4＞0，

即m ＜－2或m ＞2时，原方程表示以(－2，－m )为圆心，m 2

－4为半径的圆；

(2)当m 2

－4＝0，

即m ＝±2时，原方程表示点(－2，－2)或(－2,2)；

(3)当m 2

－4＜0，

即－2＜m ＜2时，原方程不表示任何曲线．

1．“a ＝b ”是“直线y ＝x ＋2与圆(x －a )2＋(y －b )2

＝2相切”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

2．已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )．

A ．(x ＋1)2＋(y －1)2

＝2

B ．(x －1)2＋(y ＋1)2

＝2

C ．(x －1)2＋(y －1)2

＝2