第四节函数单调性凹凸性与极值
4.4-5 函数的单调性,极最值,凹凸性,拐点
例4 求下列函数的最值
(1) y 3 ( x 2 2 x ) 2 x 0,3 4( x 1) ( x ) 解 f 33 x 2 2 x 而 令f x） 0，得驻点 x 1， x 0,2是不可导点 （ 由于f (1) 1, f ( 2) 0, f (0) 0, f ( 3) 3 9
内的所有 x 0及f x不存在的点 找出 a, b f （一般有限个） ：
x 1 , x 2 , , x k ;在f a , f x 1 , f x 2 , , f x k , f b 中 选取出最大最小 ,
即为f x 在a, b上的M, m.
若 f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) 0，f
( 4)
( x0 ) 0, 则如何?
(1).若 f ( x0 ) f ( x0 ) f ( 2n1) ( x0 ) 0，f
则f ( x)在x0处取极值 .
( 2n)
( x0 ) 0,
x
f (x) f (x)
故
( , 1)
1
0
(1 , 2)
2 0 1
( 2 , )
y
2
(2 , ); 的单调减(单减)区间 为 (1 , 2).
的单调增(单增)区间为 ( , 1) ,
2 1
o
1 2
x
说明:
1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.
例如,
y y 3 x2
f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 o ( x x0 ) 2 2!
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性㈠本课的基本要求掌握用导数判断函数的单调性的方法，会用导数判断函数图形的凹凸性以及拐点，会单调性和凹凸性的一些简单运用㈡本课的重点、难点单调性的判断是本课的重点、凹凸性的判定为本课的难点㈢教学内容单调性是函数的重要性态之一，它既是决定着函数递增和递减的状况，又能帮助我们研究函数的极值，还能证明某些不等式和分析函数的图形。
本节以微分中值定理为工具，给出函数单调性及极值的判别法。
一．函数单调性的充分条件单调性的定义。
再假设函数在某个区间内可导且具有单调性，如单调递增，由单调递增这一整体性质不难看到：无论0>∆x 还是0<∆x ，差商0)()(≥∆-∆+=∆∆xx f x x f x y ，这样可得0)(≥'x f 。
（注意，即使严格递增，一般也得不到0)(>'x f 。
），反过来，也希望利用导数的符号判断函数在某个区间上的单调性。
定理1 设函数内可导上连续，在在),(],[)(b a b a x f ⑴如果在内单调增加在，则内],[)(0)(),(b a x f x f b a >'；⑵如果在内单调在，则内],[)(0)(),(b a x f x f b a <'减少。
证略。
（课堂上介绍）几何意义：如曲线)(x f y =在某区间内的切线与x 轴正向的夹角α是锐角（tan α>0），则该曲线在该区间内上升，若这个夹角是钝角（tan α<0），则该曲线在该区间内下降。
(在黑板上画图)由定理知，可导函数的单调性可根据其导数的正负情况予以确定。
如函数的导数仅在个别点处为0，而在其余的点处均满足定理的条件，那么定理1的结论仍然成立，例如3x y =在x=0处的导数为0，但在),(+∞-∞内的其它点处的导数均大于0，因此它在区间),(+∞-∞内是增加的。
有时，函数在其定义域上并不具有单调性，但在各个部分区间上却具有单调性。
3.3 单调性与凹凸性
例5、 判断曲线 f (x)
1 9
x2
解： f (x) 在定义域 Df (
2 11 f (x) 9 x 3 3 x2
3 x 的凹凸性及拐点。 , ) 内连续，
2 21 f (x) 9 9 3 x5
2 9
(1
1 )
3 x5
0
x
1
(x 0) (x 0)
以 x 1、x 0 划分定义域得：
例4、 确定函数 f (x) 2x3 9x2 12x 3 的单调区间。 解： f (x) 在定义域 Df ( , ) 内连续，
f (x) 6x2 18x 12 6(x 1)(x 2) 0 x1 1 x2 2 以 x1 1、x2 2划分定义域得：
Df ( ,1) 1 ( 1 ,2 ) 2 (2, ) f (x)
单调区间
定义： 若函数在某区间内单调增，称该区间为函数的单调增区间。
减
减
单调增区间、单调减区间统称为单调区间。
问题： 如何确定函数的单调区间
首要任务是确定函数单调性的分界点。
单调性分界点只可能产生于： 驻点 与不可导点处
方法： 用驻点及不可导点划分函数定义域， 在各个开区间内确定
导数的正负，从而确定单调区间。
(1) 当 f (x0 ) 0 时， x0 为 f (x) 的极小值点； (2) 当 f (x0 ) 0 时， x0 为 f (x) 的极大值点。
例3、 求函数 f (x) 3x x3 的极值。
解： 函数 f (x) 在其定义域 ( , ) 内连续，
f (x) 3 3x2 3(1 x)(1 x) 0 x1 f (x) 6x f ( 1) 6 0 f (1) 6 0
函数的单调性与凹凸性
单调性与导数的关系
单调性是导数的一个应用，如果函数在某区间内单调递增或递减，则该函数的导 数在此区间内非负或非正。
导数的符号决定了函数的单调性，如果导数大于0，则函数单调递增；如果导数小于 0，则函数单调递减。
02 函数的凹凸性
凹函数与凸函数
凹函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上， 对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) + f(x_2) > 2f[(x_1 + x_2)/2]$，则称 $f(x)$在区间$I$上为凹函数。
求解方法
通过导数判断函数的单调性，并结合端点值进行比较。
应用
在物理学、化学等领域中，常需要求解函数在开区间 上的最值问题，以解释某些现象或预测结果。
无界区间上的最值问题
定义
在无界区间上，函数可能没有最大值或最小 值。
求解方法
通过导数判断函数的增减性，并考虑无穷远处的情 况。
应用
在数学分析、实变函数等领域中，常需要研 究函数在无界区间上的最值问题，以深入理 解函数的性质和行为。
减函数
对于函数$f(x)$，如果对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) > f(x_2)$，则称 $f(x)$为减函数。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
单调性的判断方法
定义法
通过比较任意两点之间的函数值来确定函数的单调性。
导数法
利用导数来判断函数的单调性，如果导数大于0，则函数单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。
在分析力学系统的运动规律时，利用函数的 单调性和凹凸性，可以判断系统的稳定性和 运动状态。
电路分析
在电子和电路工程中，利用函数的单调性和 凹凸性，可以分析电路的工作状态和性能， 优化电路设计。
3-4函数单调性与凹凸性(09)
f ''(0) 0
f ''( x) 0
f '(x)
f '(0) 0
f '(x) 0
f (x)
f (0) 0
f (x) 0
tan x x x3 (x 0, x k ,k N ).
3
2
2. 讨论方程根的个数问题 若 y = ƒ(x) 变号, 则方程 ƒ(x) = 0 一定有根, 若函数单调, 则曲线与 x 轴的只有一个交点, 就是方程的根唯一.
2
o x1 x1 x2 x2
x
2
将曲线具有的向上凹或向上凸的性质称为曲线的凹凸性.
向上凹（或 凸）的另一种定义： 定义2 设函数 y = ƒ(x) 在区间 I 内可导. y 若该函数曲线在 I 内总是位于其上任意一 点的切线上方 (即曲线向下弯曲), 则称该 曲线在 I 内是向上凹的; 区间 I 为该曲线的向 o 上凹区间.用符号∪表示 .称函数 y = ƒ(x) 为在 区间 I 内的凸函数.
利用定理1可以讨论函数的单调区间.
问题 一般地,函数在定义区间上不是单调的，如何判 断函数在各个部分区间上的单调性?
若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称 为函数的单调区间.
导数等于零的点和不可导点是单调区间的分界点．
方法 用方程 f ( x) 0的根及 f ( x)不存在的点 来划分函数 f ( x)的定义区间,然后判断各区间内导 数的符号.
区间的单调性.
例2 求函数 f ( x) 2x3 9x2 12x 3 的单调区间. 解 函数 f(x) 定义域为(, )
f ( x) 6x2 18x 12 6(x 1)(x 2) 由 f ( x) 0 解得 x1 1, x2 2
函数的凹凸性与极值点
函数的凹凸性与极值点函数的凹凸性和极值点是微积分中重要的概念。
通过研究函数的凹凸性和极值点，我们可以更加深入地理解函数的性质，进而应用于许多实际问题的求解中。
本文将详细介绍函数的凹凸性和极值点。
一、凹凸性的定义首先我们来定义函数的凹凸性。
假设函数f(x)在区间I上可导，若对于任意的x1、x2∈I且x1＜x2，有f'(x1)＜f'(x2)，则称函数f(x)在区间I上是凹函数；若对于任意的x1、x2∈I且x1＜x2，有f'(x1)＞f'(x2)，则称函数f(x)在区间I上是凸函数。
凹凸函数很类似于水果篮中的凹凸形状，凹函数可以想象成篮子底部向上凹陷，而凸函数则相反，底部向下凸起。
函数凹凸性的变化有助于我们分析函数的增减性、拐点等特性。
二、凹凸性与导数的关系函数的凹凸性与函数的导数密切相关。
如果函数f(x)在区间I上连续，那么f'(x)的正负性与函数的凹凸性有以下关系：1. 如果f'(x)在区间I上单调递增，那么f(x)在区间I上是凹函数；2. 如果f'(x)在区间I上单调递减，那么f(x)在区间I上是凸函数；3. 若f''(x)存在且在区间I上恒大于零，那么f(x)在区间I上是凸函数；4. 若f''(x)存在且在区间I上恒小于零，那么f(x)在区间I上是凹函数。
通过对函数的导数进行研究，我们可以得到函数的凹凸性质。
这为我们进一步分析函数的特点提供了重要的线索。
三、极值点的定义与判定接着我们来回顾一下极值点的定义。
对于函数f(x)，如果存在某一点x0，使得在x0的某个邻域内，f(x0)是函数的最大值或最小值，则称x0是函数f(x)的极值点。
对于可导的函数f(x)，我们可以通过导数来判断函数的极值点：1. 若f'(x0) = 0，且f''(x0)存在，则x0是函数f(x)的驻点。
2. 若f'(x0) = 0，且f''(x0) > 0，则x0是函数f(x)的极小值点。
高等数学I(软件)D4_4单调性凹凸性极值与最值
例3 确定函数 f (x) (x 5) 3 x2 的单调区间. 2
解 (1) 定义域 ,
(2) f (x) 3 x2 (x 5) 2 1 5 x 1 2 3 3x 3 3x
令 f ( x) 0 , 得 x1 1, 当 x2 0 时, f ( x)不存在,
(3) 列表:
1
因此
从而
证明 目录 上页 下页 返回 结束
* 证明 x tan x 0
令
则
(x) 1 sec2 x
tan2 x 0,
x
(0,
2
)
从而
即
x tan x 0,
x
(0 ,
2
)
例5 证明不等式 2 x 3 1 (x 1)
x
证明 令 f (x) 2 x (3 1)
x
f (x)
1 x
1 x2
1 x2
(x
x 1)
当 x 1 时, f (x) 0 , 即 f (x)在 [1, )上单增,
当 x 1 时, f (x) f (1) 0,
即 x 1时，2 x 3 1 x
例5 证明:方程 xex =2在(0,1)内有且仅有一个实根
证明 设f (x) xex -2,因f (x)在[0,1]上连续， 且f (0) 2 0, f (1) e 2 0.由零值定理，
o
x
y
y x3
o
x
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确定函数单调区间的方法和步骤:
(1) 确定函数 y f ( x) 的定义域;
(2) 求 f (x), 找使 f (x) 0 的点(驻点)和 f (x) 不存在的点;
(3) 以(2)中所找点为分界点,将定义域分割成部分区间, 判断在每一区间上导数的符号，由定理得出结论。
34 函数的单调性、凹凸性与极值
(2)求拐点的方法
方法: 设函数f ( x )在 x0的邻域内二阶可导, 且 f ′′( x0 ) = 0, 则有：
1) x0 两近旁f ′′( x )变号, 点( x0 , f ( x0 ))为拐点;
2) x0 两近旁f ′′( x )不变号, 点( x0 , f ( x0 ))不是拐点.
例9 求曲线 y = 3 x 4 − 4 x 3 + 1 的拐点及凹、凸的区间. 解 易见函数的定义域为 ( −∞ ,+∞ ),
定理4 (第一充分条件) 设函数 f ( x ) 在点 x0 的某个邻域内连续并且 可导(导数 f ′( x0 ) 也可以不存在), (1)如果在点 x0的左邻域内 f ′( x ) > 0; 在点 x0的右 邻域内 f ′( x ) < 0, 则 f ( x ) 在 x0 处取得极大值 f ( x0 ); (2)如果在点 x0的左邻域内 f ′( x ) < 0; 在点 x0的右 邻域内 f ′( x ) > 0, 则 f ( x ) 在 x0 处取得极小值 f ( x0 ); (3)如果在点 x0的邻域内, 在 x0处没有极值.
例3
2 3 y = x 讨论函数 的单调区间.
解 Q D : ( −∞ ,+∞ ).
y′ = 32 ( x ≠ 0), 3 x 当 x = 0 时， 导数不存在.
当 x < 0时，y′ < 0,
∴ 在 ( −∞ , 0]上单调减少；
当 x > 0时，y′ > 0,
∴ 在 [0, +∞ )上单调增加；
向上凸：图形 上任意弧段位 于所张弦的上 方
定义 设 f ( x ) 在区间 I 内连续,
x1 + x 2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) ∀x1 , x2 ∈ I , 恒有 f ( )< , 2 2 则称 f ( x ) 在 I 上的图形是(向上)凹的. x1 + x 2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) ∀x1 , x2 ∈ I , 恒有 f ( )> , 2 2
4[1].4函数的单调性与凹凸性
![4[1].4函数的单调性与凹凸性](https://img.taocdn.com/s3/m/8cab8c07e87101f69e3195eb.png)
f ′ ( x ) = cos x 1 ≤ 0
5函数的凸性 函数的凸性 凸性 设 函 数 f ( x ) : [ a , b ] → R .
如 果 x1 , x 2 ∈ [ a , b ], 不 等 式 f ( λ1 x1 + λ 2 x 2 ) ≤ λ1 f ( x1 ) + λ 2 f ( x 2 ) 对 于 满 足 λ1 + λ 2 = 1 的 任 意 非 负 实 数 λ1和 λ 2 都 成 立 , 则 称 f 在 [a , b ] 上 为 凸 函 数 .
[证] 必要性 证 设 f ( x ) 在区间 [ a , b ]上为下凸函数
x1 , x 2 ∈ [ a , b ], 且 x1 < x 2 , x : x1 < x < x 2
有 f ( x ) f ( x1 ) f ( x ) f ( x 2 ) ≤ x x1 x x2
因为 f ( x )在 x1与 x 2 都可导 , 根据极限的保号 性, 有
4.4函数的单调性与凹凸性 函数的单调性与凹凸性
1 问题的提出
y
y = f (x)
A
B
y
A y = f (x) B
o
a
b
x
o a
f ′( x) ≤ 0
b x
在区间( 若 y = f (x)在区间(a,b)上单调上升 上单调上升 在区间( 若 y = f (x)在区间(a,b)上单调下降 上单调下降
f ′( x) ≥ 0 f ′( x) ≤ 0
这就是说 ,函数 f ( x )在区间 [a , b ] 上是 下凸的 .
定理2: 定理 :( 用二阶导数判定函数的凸性 )
设函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b )内 二阶可导 , 则 f 在 [ a , b ] 为下凸 ( 上凸 ) 函数 的充分必要条件是 : f ′′( x ) ≥ 0 ( f ′′( x ) ≤ 0 ).
第四节函数的单调性与曲线的凹凸性描述
2 36 x( x ) 3
y y
2018/12/9
凹
0 拐点 凸 (0,1)
2 3 0
(2 , ) 3
拐点
( 2 , 11 ) 3 27
凹
22
3-4 单调性和凹凸性
2 2 故该曲线在( , 0) 及( , ) 上向上凹, 在 (0 , ) 上 3 2 11 3 向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及 ( , ) 均为拐点. 3 27
3-4 单调性和凹凸性
12
例4 当x 0时, 试证x ln(1 x )成立.
证 : 设f ( x ) x ln(1 x ), 则 1 x f ( x ) 1 . 1 x 1 x f ( x )在[0,)上连续, 且(0,)可导, f ( x ) 0,
第四节 函数的单调性与 曲线的凹凸性
一、函数单调性的判定法
二、曲线的凹凸与拐点
2018/12/9
3-4 单调性和凹凸性
1
y
y f ( x)
A
B
பைடு நூலகம்
y
A y f ( x)
B
o a
b
x
o a
b x
f ( x ) 0
f ( x ) 0
2018/12/9
3-4 单调性和凹凸性
2
一、函数单调性的判定法
3 7 在[0,2]内曲线有拐点为 ( ,0), ( ,0). 4 4
2018/12/9
3-4 单调性和凹凸性
25
• 用一阶导数符号判别单调性；用二阶导数符 号判别凹凸性。 • 一阶导数为0或不存在的点为单调性发生变 化的可疑点；二阶导数为0或不存在的点为 凹凸性发生变化的可疑点。
第四节函数的单调性与曲线的凹凸性
y
拐点的判别法:
( x0 , f ( x0 ))
o
x
若 f ( x) 在 x0 两侧异号, 则点 ( x0 , f ( x0 ))是拐点.
求凹凸区间及拐点的方法:
(1) 求函数 f (x) 的定义域 D; (2) 求 f ( x); (3) 求 方 程 f ( x) 0 的 实 根,
证: x1, x2 [a, b], 且 x1 x2, 应用拉氏定理,得
f ( x2 ) f ( x1) f ( )( x2 x1 ) ( ( x1, x2 ))
(1) 若 在(a, b)内, f ( x) 0, 则 f ( ) 0, 又 x2 x1 0,
( A) f (1) f (0) f (1) f (0) (B) f (1) f (1) f (0) f (0) (C) f (1) f (0) f (1) f (0) (D) f (1) f (0) f (1) f (0) 提示: 利用 f ( x)单调增加 , 及
且点( x0 , f ( x0 ))是拐点,则
f ( x0 ) 0.
例14. 已知(2,4)是曲线y x3 ax2 bx c 的拐点,
且曲线在点x 3 处有极值,求常数a, b, c.
解:
(2,4) 是拐点
4
8 4a 2b c
(1)
y 12 2a 0 (2)
( x 0)
x (, 0) 0 (0 , )
f ( x) 不存在
f (x)
该函数在(,0]上单调减少; 在[0,) 上单调增加.
说明:导数不存在的点划分函数的定义区间为两 个具有单调性的区间.
函数单调性与曲线凹凸性
二阶可导,
则 定理3.
（由定理3保证）
且点( x0 , f ( x0 )) 是曲线的拐点. 则 证明： f ( x ) 二阶可导,
f ( x ) 存在且连续 ,
定理3. 且点( x0 , f ( x0 )) 是曲线的拐点. 则 证明： f ( x ) 二阶可导,
f ( x ) 存在且连续,
f ( x )在x0 取得极值,
由费马引理
f ( x ) 0.
拐点的求法：
设函数f ( x )在x0的邻域内二阶可导, 且f ( x0 ) 0,
(1) x0两侧f ( x )变号, 点( x0 , f ( x0 ))即为拐点;
( 2) x0两侧f ( x )不变号, 点( x0 , f ( x0 ))不是拐点.
若 f ( x ) 0, 则函数f ( x )在[a , b]上单调递增, 若 f ( x ) 0 , 则函数f ( x )在[a , b]上单调递减, 推论 如果f ( x )连续, 且除有限个(或可数个)点外,
f ( x ) 0或( f ( x ) 0), 则函数f ( x )单调递增(递减),
第四节 函数的单调性与曲线的凸凹性
一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸与拐点
一、 函数单调性的判定法
定理 1. 设函数f ( x )在[a , b]上连续, 在(a , b)内可导
若 f ( x ) 0, 则函数f ( x )在[a , b]上单调递增, 若 f ( x ) 0 , 则函数f ( x )在[a , b]上单调递减, 证: 不妨设 f ( x ) 0 , x I ,任取 x1 , x2 I ( x1 x2 ) 由拉格朗日中值定理得
3 x 2 , y 6 x , 令 f ( x ) 0 , 得 x 0 y
Chapter05.4-6函数极值、单调性、凹凸性、作图
f (x1)
O x1 x1+(1)x2 x2 x
曲线(函数图形)的凸性依函数的凸性相应定义！
二、等价定义
定理 设函数 f 在区间I上定义, 则下面3条等价： (i) f 为I上的凸函数； (ii) x1< x2 < x3I ：
y
f (x)
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x3 ) f ( x2 ) ; x2 x1 x3 x2
若f (x) 0, 且仅有限个点处f (x) = 0, 则f (x)严格单调增加. 函数单调区间求法
1) 求函数的驻点和不可导点;
2) 用上述点把函数定义域分成若干子区间; 3) 在子区间上讨论导函数的符号, 确定函数单调性. 例1 求函数f (x) = x2/3(x–5)的单调区间.
问题 f 在a, b处必定单侧连续吗？
定理4 设f (x)是区间I上的凸函数，则x1< x2I，有
f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) x2 x1
推论 设f (x)是(a, b)内的凸函数, 则 f(x)和f+(x)在(a, b)内递增.
二、函数的极值和最值
1. 函数极值判别法
Fermat引理 可导的极值点一定是驻点！ 极值也可能在不可导点取得，因此极值点一定包含在
§3.4 函数的单调性与凹凸性
为铅直渐近线
导数的应用
又因
即
为斜渐近线.
( x 3) 2 y 4( x 1)
5) 求特殊点
( x 3)( x 1) y 4( x 1) 2 2 y ( x 1)3
导数的应用
6）绘图
(极大)
无 定 义
(极小)
铅直渐近线 斜渐近线 特殊点
1
( x 3) 2 y 4( x 1)
的单调区间.
导数的应用
2.函数的极值
定义:
在其中当 (1) 时,
则称
称
为
的极大点 ,
为函数的极大值 ;
(2)
则称 称
为
的极小点 , 为函数的极小值 .
极大点与极小点统称为极值点 .
导数的应用
3. 函数极值的判定 定理3.4.2 (极值第一充分条件) 设 f (x) 在 x0 处连续, 在 x0 的某去心 δ 邻域内可导, (1) 如果当 如果当 (2) 如果当 如果当 (3) 如果 在
导数的应用
§3.4 函数的单调性与凹凸性
3.4.1 函数的单调性与极值 3.4.2 函数凹凸性及其判定 内容小结与作业
导数的应用
3.4.1 函数的单调性与极值
1. 函数的单调性判定
y B D
A
O
C
x
对曲线段
、
，其各点处的切线斜率为正，曲
线是上升的；对曲线段 为负，曲线是下降的．
，其各点处的切线斜率
f ( x) 0.
导数的应用 \\5.4.2 函数凹凸性及其判定
例9
求曲线
的凹凸区间和拐点.
例10 求曲线
的凹凸区间和拐点.
导数的应用
3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
(−∞, 1) (1,2)
(2, +∞)
′ ()
+
−
+
()
单增
单减
单增
单调增区间为
(−∞, 1], [2, +∞).
单调减区间为
[1,2].
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
第三章 微分中值定理与导数的应用
例4 确定函数 () =
注意:
区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.
例如:
= 3, ′ቚ
=0
= 0, 但在(−∞, +∞)上单调增加.
一般地, 有如下定理：
定理2
设函数 = ()在[, ]上连续, 在(, )内可导.
(1) 如果在(, )内 ′ ()≥0, 且等号仅在有限多个点处成立,
例8
求曲线 = 3 4 − 4 3 + 1 #43;∞).
2
= 36( − ).
=
−
3
2
″
令 = 0, 得 1 = 0, 2 = .
3
′
12 3
″ ()
()
12 2 ,
″
(−∞, 0)
0
(0, 2ൗ3)
2ൗ
3
+
0
−
0
+
拐点(0,1)
凸的
拐点(2ൗ3 , 11ൗ27)
3. 利用单调性证明不等式
π
sin 2
例5 证明: 当0 < ≤ 时,
≥ .
2
π
证
π
sin 2
4.1 函数的单调性极值及凹凸性拐点
x4
b x 5 x 6
x
y
y
o
x0
x
o
x0
x
定义 设函数 f ( x)在区间(a,b)内有定义 , x0是 (a,b)内的一个点 ,
如果存在着点 x0的一个邻域 ,对于这邻域内的 任何点 x,除了点 x0外, f ( x) f ( x0 )均成立 ,就称 f ( x0 )是函数 f ( x)的一个极大值 ;
如果存在着点 x0的一个邻域 ,对于这邻域内的 任何点 x,除了点 x0外, f ( x) f ( x0 )均成立 ,就称 f ( x0 )是函数 f ( x)的一个极小值 .
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点.
2．函数极值的求法
定理1(必要条件) 设 f(x )在 点 x 0 处 具 有 导 数 , 且 在 x 0 处 取 得 极 值 , 那 末 必 定 f'(x 0 ) 0 . 定义 使导数 (即 为 方 f零 (x)程 0的 的点 实 )叫根 做函 f(x)的 数驻 . 点 注意: 可导函f(数 x)的极值点必定点 是, 它 但函数的驻点是 却极 不值 一 . 点 定
例4 求曲y 线 3 x的拐 . 点
解
当x0时, y
1
2
x3
,
y 4x53,
3
9
x0是不,可 y,y均 导不 点 . 存在
但 (,在 0 ) 内 ,y 0 ,曲线(在 ,0]上是凹 ; 的 在 (0 ,)内 ,y 0 ,曲线[0,在 )上是凸 . 的
点 (0,0)是曲 y3线 x的拐 . 点
2．单调区间求法
问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的， 但在各个部分区间上单调．
定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间.
第四节 函数单调性、凸凹性与极值
例2. 确定函数
令 f ( x) 0 , 得 x 1, x 2
的单调区间.
2 解: f ( x) 6 x 18 x 12 6( x 1)( x 2)
x
f ( x) f ( x)
故
( , 1)
1
0
(1 , 2)
2 0 1
( 2 , )
(2) 令 f '' ( x ) 0, 解出全部实根, 并求出使 f '' ( x )
不存在的点; (3) 对步骤(2)中求出的每一个点, 检查其邻近左、 右两侧二阶导数 f '' ( x ) 的符号, 确定曲线的凹凸 区间和拐点.
例8. 求曲线 解: 1) 求 y
的凹凸区间及拐点.
y 12 x3 12 x 2 ,
y f ( x ) 在 [a , b]上单调增加. 若在 (a , b )内, f ' ( x ) 0, 则 f ' ( ) 0, f ( x2 ) f ( x1 ). y f ( x )在[a , b]上单调减少.
例 1 讨论函数 y e x 1 的单调性.
y
2
2 的单调增区间为 ( , 1) , (2 , ); 1
的单调减区间为 (1 , 2).
o
1 2
x
2 3 y x 例 3 讨论函数 的单调区间. 解 D : ( , ). y 32 ( x 0), 3 x 当 x 0 时， 导数不存在. 当 x 0 时，y 0, 在 ( ,0] 上单调减少； 当 0 x 时，y 0,
2
2 1 f ( x ) ln(1 x ) x x , 2 因为 f ( x ) 在 [0,) 上连续，在 (0, ) 内可导，
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第四节 函数单调性、凹凸性与极值我们已经会用初等数学的方法研究一些函数的单调性和某些简单函数的性质，但这些方法使用范围狭小，并且有些需要借助某些特殊的技巧，因而不具有一般性. 本节将以导数为工具，介绍判断函数单调性和凹凸性的简便且具有一般性的方法.分布图示★ 单调性的判别法 ★ 例1 ★ 单调区间的求法 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8★ 曲线凹凸的概念 ★ 例9 ★ 例 10 ★ 曲线的拐点及其求法 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13 ★ 函数极值的定义 ★函数极值的求法★ 例14 ★ 例15 ★ 例16★第二充分条件下 ★ 例17 ★ 例18 ★ 例19★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-4 ★ 返回内容要点一、函数的单调性：设函数)(x f y =在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导.(1) 若在(a , b )内0)(>'x f , 则函数)(x f y =在[a , b ]上单调增加; (2) 若在(a , b )内0)(<'x f , 则函数)(x f y =在[a , b ]上单调减少.二、曲线的凹凸性：设)(x f 在[a , b ]上连续, 在(a , b )内具有一阶和二阶导数, 则(1) 若在(a , b )内，,0)(>''x f 则)(x f 在[a , b ]上的图形是凹的; (2) 若在(a , b )内，,0)(<''x f 则)(x f 在[a , b ]上的图形是凸的. 三、连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点 判定曲线的凹凸性与求曲线的拐点的一般步骤为： (1) 求函数的二阶导数)(x f ''；(2) 令0)(=''x f ，解出全部实根，并求出所有使二阶导数不存在的点；(3) 对步骤(2)中求出的每一个点，检查其邻近左、右两侧)(x f ''的符号，确定曲线的凹凸区间和拐点.四、函数的极值 极值的概念； 极值的必要条件；第一充分条件与第二充分条件； 求函数的极值点和极值的步骤：（1） 确定函数)(x f 的定义域，并求其导数)(x f ';（2） 解方程0)(='x f 求出)(x f 的全部驻点与不可导点;（3）讨论)(x f '在驻点和不可导点左、右两侧邻近符号变化的情况，确定函数的极值点;（4） 求出各极值点的函数值，就得到函数)(x f 的全部极值.例题选讲函数单调性的判断例1 (E01) 讨论函数1--=x e y x 的单调性.解 .1-='x e y 又).,(:+∞-∞D 在)0,(-∞内，,0<'y ∴函数单调减少； 在),0(+∞内，,0>'y ∴函数单调增加.注：函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性.例2 (E02) 讨论函数32x y =的单调区间.解 ).,(:+∞-∞D 332xy ='),0(≠x 当0=x 时，导数不存在.当0<<-∞x 时，,0<'y ∴在]0,(-∞上单调减少； 当+∞<<x 0时，,0>'y ∴在[)+∞,0上单调增加； 单调区间为]0,(-∞，),0[+∞.注意: 区间内个别点导数为零不影响区间的单调性.例如，,3x y =,00='=x y 但是),(+∞-∞上单调增加.注：从上述两例可见，对函数)(x f y =单调性的讨论，应先求出使导数等于零的点或使导数不存在的点，并用这些点将函数的定义域划分为若干个子区间，然后逐个判断函数的导数)(x f '在各子区间的符号，从而确定出函数)(x f y =在各子区间上的单调性，每个使得)(x f '的符号保持不变的子区间都是函数)(x f y =的单调区间.求单调区间例3 (E03) 确定函数31292)(23-+-=x x x x f 的单调区间.解 ).,(:+∞-∞Dx x x x f 12186)(2+-='),2)(1(6--=x x解方程0)(='x f 得.2,121==x x当1<<-∞x 时，,0)(>'x f ∴)(x f 在(]1,∞-上单调增加； 当21<<x 时，,0)(<'x f ∴)(x f []2,1上单调减少； 当+∞<<x 2时，,0)(>'x f ∴)(x f 在),2[+∞上单调增加； 单调区间为],1,(-∞],2,1[).,2[+∞例4求函数32))(2(x a a x y --=')0(>a 的单调区间. 解 y ',)()2(323232x a a x x a ---⋅=令 ,0='y 解得,321a x =在 ,22ax =a x =3处y '不存在. 在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-2,a 内，,0>'y 函数单调增加. 在⎪⎭⎫⎝⎛a a 32,2内，,0>'y 函数单调增加.在⎪⎭⎫⎝⎛a a ,32内，,0<'y 函数单调减少. 在()+∞,a 内，,0>'y 函数单调增加.例5 当0>x 时， 试证)1ln(x x +>成立.证 设),1ln()(x x x f +-=则.1)(xx x f +=' )(x f 在],0[+∞上连续，且在),0(+∞内可导，,0)(>'x f ∴)(x f 在],0[+∞上单调增加， ,0)0(=f ∴当0>x 时，,0)1ln(>+-x x 即).1ln(x x +>证毕.应用单调性证明例6 (E04) 试证明：当0>x 时, 221)1ln(x x x ->+.证 作辅助函数 ,21)1ln()(2x x x x f +-+=因为)(x f 在),0[+∞上连续，在),0(+∞内可导，且x xx f +-+='111)(,12x x +=当0>x 时，,0)(>'x f 又.0)0(=f 故当0>x 时，,0)0()(=>f x f所以.21)1ln(2x x x ->+例7 (E05) 证明方程015=++x x 在区间)0,1(-内有且只有一个实根.证 令,1)(5++=x x x f 因)(x f 在闭区间]0,1[-延续，且)1(-f 1-=,0<)0(f 1=.0> 根据零点定理)(x f 在)0,1(-内有一个零点.另一方面，对于任意实数,x 有)(x f '154+=x ,0> 所以)(x f 在),(+∞-∞内单调增加，因此曲线)(x f y =与x 轴至多只有一个交点.综上所述可知，方程015=++x x 在区间)0,1(-内有且只有一个实根.例 8 证明方程1ln -=exx 在区间),0(+∞内有两个实根. 证 令,1ln )(+-=exx x f 欲证题设结论等价于证)(x f 在),0(+∞内有两个零点. 令011)(=-='ex x f ⇒.e x = 因,1)(=e f ,)(lim 0-∞=+→x f x 故)(x f 在),0(e 内有一零点.又因在),0(e 内,0)(>'x f 故)(x f 在),0(e 内单调增加，这零点唯一.因此, )(x f 在),0(+∞内有且仅有两个零点, 证毕.例9 (E06) 判定 )1ln(x x y +-=的凹凸性. 解 因为,111x y +-=' 2)1(1x y +='' 所以，题设函数在其定义域),1(+∞-内是凹的.例10 (E07) 判断曲线3x y =的凹凸性.解 ,32x y =',6x y =''当0<x 时，,0<''y ∴曲线在]0,(-∞为凸的；当0>x 时，,0>''y ∴曲线在),0[+∞为凹的；注意到点)0,0(是曲线由凸变凹的分界点.例11 (E08) 求曲线14334+-=x x y 的拐点及凹、凸区间. 解 易见函数的定义域为),,(+∞-∞,121223x x y -='.3236⎪⎭⎫ ⎝⎛-=''x x y令,0=''y 得,01=x .22=x所以，曲线的凹区间为]0,(-∞,),32[+∞凸区间为]2,0[拐点为)1,0(和)27/11,3/2(.例12 求曲线 ))2,0((cos sin π∈+=x x x y 的拐点.解 y ',sin cos x x -=y '',cos sin x x --=y '''.sin cos x x +-= 令,0=''y 得 ,431π=x .472π=x ⎪⎭⎫ ⎝⎛'''43πf 2=,0≠⎪⎭⎫ ⎝⎛'''47πf 2-=,0≠ ∴在]2,0[π内曲线有拐点为,0,43⎪⎭⎫ ⎝⎛π.0,47⎪⎭⎫⎝⎛π注：若)(0x f ''不存在，点))(,(00x f x 也可能是连续曲线)(x f y =的拐点.曲线凹凸性判断例13 (E09) 求函数32b x a y --=的凹凸区间及拐点. 解 y ',)(13132b x -⋅-= y '',)(9235b x -= 函数y 在b x =处不可导，但b x <时，,0<''y 曲线是凸的，b x >时，,0>''y 曲线是凹的. 故点),(2a b 为曲线32b x a y --=的拐点例14(E10) 求出函数593)(23+--=x x x x f 的极值.解 )3)(1(3963)(2-+=--='x x x x x f ,令,0)(='x f 得驻点.3,121=-=x x 列表讨论如下：所以, 极大值,10)1(=-f 极小值.22)3(-=f例15 (E11) 求函数32)1()4()(+-=x x x f 的极值.解 )1( 函数)(x f 在),(+∞-∞内连续，除1-=x 外处处可导，且;13)1(5)(3+-='x x x f)2( 令,0)(='x f 得驻点;1=x 1-=x 为)(x f 的不可导点; )3( 列表讨论如下:)4( 极大值为,0)1(=-f 极小值为.43)1(3-=f例16 求函数 ()3/223x x x f -=的单调增减区间和极值. 解 求导数,1)(3/1--='x x f 当1=x 时,0)0(='f 而 0=x 时)(x f '不存在 , 因此，函数只可能在这两点取得极值. 列表如下:由上表可见：函数)(x f 在区间),1(),0,(+∞-∞单调增加, 在区间)1,0(单调减少. 在点0=x 处有极大值, 在点1=x 处有极小值,21)1(-=f 如图.例17 (E12) 求出函数20243)(23--+=x x x x f 的极值.解 ),2)(4(32463)(2-+=-+='x x x x x f 令,0)(='x f 得驻点.2,421=-=x x 又,66)(+=''x x f ,018)4(<-=-''f 故极大值,60)4(=-f ,018)2(>=''f 故极小值.48)2(-=f注意：0)(.10=''x f 时, )(x f 在点 0x 处不一定取极值, 仍用第一充分条件进行判断..2函数的不可导点,也可能是函数的极值点.例18 (E13) 求函数1)1()(32+-=x x f 的极值.解 由,0)1(6)(22=-='x x x f 得驻点,11-=x .1,032==x x ).15)(1(6)(22--=''x x x f 因,06)(>=''/x f 故)(x f 在0=x 处取得极小值，极小值为.0)0(=f 因,0)1()1(=''=-''f f 故用定理3无法判别.考察一阶导数)(x f '在驻点11-=x 及13=x 左右邻近的符号: 当x 取1- 左侧邻近的值时, ;0)(<'x f 当x 取1-右侧邻近的值时, ;0)(<'x f因)(x f '的符号没有改变，故)(x f 在1-=x 处没有极值. 同理，)(x f 在1=x 处也没有极值. 如图所示.例19 求出函数 3/2)2(1)(--=x x f 的极值.解 ).2()2(32)(31≠--='-x x x f 2=x 是函数的不可导点.当2<x 时, ;0)(>'x f 当2>x 时, .0)(<'x f 1)2(=∴f 为)(x f 的极大值.课堂练习1. 若,0)0(>'f 是否能判定)(x f 在原点的充分小的领域内单调递增?2.设函数)(x f 在),(b a 内二阶可导, 且,0)(0=''x f 其中),(0b a x ∈, 则))(,(00x f x 是否一定为曲线)(x f 的拐点?举例说明.。