圆锥曲线的几何特

• 用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称 为圆锥曲线（conic sections)。 • 通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物 线，但严格来讲，它还包括一些退化情形。具 体而言： • 1) 当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶 点，结果为抛物线。 • 2) 当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点， 结果退化为一条直线。 • 3) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶 点，结果为椭圆。
• 4) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶 点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。 • 5) 当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点， 并与圆锥面的对称轴垂直，结果为一点。 • 6) 当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶 点，结果为双曲线的一支（另一支为此圆锥面 的对顶圆锥面与平面的交线）。 • 7) 当平面与圆锥面两侧都相交，且过圆锥顶点， 结果为两条相交直线。
圆锥曲线的几何特征
• 一条直线绕着与它相交的直线旋转一周所 形成的的曲面叫圆锥面
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• 2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥 曲线，并获得了大量的成果。古希腊数学家阿 波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种 曲线。用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的 是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾 斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得 到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲 线。阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲 线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。 事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法 已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全 部性质和结果。
• 也就是说，截线上任意一点到两定点F1，F2的距 离的和等于常数
一般地，平面内到两定点F1，F2的距离之和等于常 数的点的轨迹叫椭圆，两个定点F1，F2叫椭圆的 焦点，两个焦点间的距离叫做椭圆的焦距 一般地，平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对 值等于常数的点的轨迹叫双曲线，两个定点F1， F2叫双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲 线的焦距 一般地，平面内到定点F和定直线L距离相等的点 的轨迹叫抛物线，定点F叫抛物线的焦点，定直线 L叫抛物线的准线
• 在∆ABC中，B(-3，0),C(3，0)且AB,BC,CA成等 差数列 • （1）求证:点A在一个椭圆上运动 • （2）写出这个椭圆的焦点坐标
• 动圆M与 圆O1 :(x-3)2+y2=1和圆O2:(x+3)2+y2=4相切, 则动圆圆心M的轨迹是 。
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对于第一种情况，可在截面的两侧分别放置一个 球，使它们都与截面相切(切点分别为F1，F2),且 与圆锥面相切，两球与圆锥面的公共点分别构 成圆O1 和圆O2
• 设点M是平面和圆锥面的截线上任意一点，， 过M作圆锥面的一条母线分别交圆O1，圆O2 于P,Q两点，则MP和MF1,MQ和MF2分别是上 下两球的切线，所以 • MF1=MP,MF2=MQ • 故MF1+MF2=MP+MQ=PQ(常数）