概率与统计例题分析

分解析：(1两)事粒件种A子与同B不时互发斥芽，是是指相事互件独A与立B事同件时．发生，也即为事件A与 B的(2积)∵：A·B＝．两粒种子都中能至发少芽有，一粒能发芽是指事件A与B中至少有 一∴个发P(生A·，B)也＝即P(事A)件P(AB与)＝B0的.8和×：0.7A＝＋0B.5．6．
答：两粒种子都能发芽的概率是0.56． (3)∵ A＋B＝至少有一粒种子能发芽， ∴方法一P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(A·B)＝0.8＋0.7－0.56＝0.94． 答：至少有一粒种子能发芽的概率为0.94． 方法二
说明 在计算两个基本事件和的概率时，一定要判断这两个基 本事件是否是互斥的．
例4．有甲乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7．在两批种子中各 任取一粒．事件A＝从甲批种子中取出一粒能发芽的种子，B＝从乙 批种子中取出一粒能发芽的种子．问：
(1)事件A与事件B是否互斥？是否独立？ (2)两粒种子都能发芽的概率？ (3)至少有一粒种子能发芽的概率？ (4)恰好有一粒种子能发芽的概率？
N1
A
B
C
N2 A
B
C
分．析解：由记于元系件统A，N1B正，常C工正作常的工前作提分是别元为件事A件，AB，，BC，都C正．常工作，是 相由互题独知立，事P件(A同)＝时0发．生8，的P概(B率)＝问0题．；9，系P统(CN)＝2分0解．成7．两个独立的部分， 第(二1)个∵部事分件又A，属B于，两C个相独互立独事立件，至所少以有系一统个N1发正生常的工问作题的．概率满足乘 法法则，
分析：频率＝
样本容量 总体容量
；频率分布直方图中，矩形的面积等于对应
样本组的频率，频率的和为1；累积频率是指小于某一数据的频 率．
例7．为了比较甲、乙两位划艇运动员的成绩，在相同的条件下对 他们进行了6次测验，测得他们的平均速度（m/s）分别如下：
甲：2．7 3．8 3．0 3．7 3．5 3．1 乙：2．9 3．9 3．8 3．4 3．6 2．8 试根据以上数据，判断他们谁更优秀．
分析：要根据他们6次测验速度比较谁更优秀，首先应比较他们的 平均速度哪个大．如果平均速度一样大，应比较他们的速度哪个更 稳定．
例5．某批产品中有20%的次品，进行重复抽样检查，共取出了 5个样品．(1)试分别求其中次品等于0，1，2，3，4，5的概率； (2)求至少有4个次品的概率．
分有4析个解∴：P次5P由((15品1()于0)＝是已)＝是C指知15C重×恰n05 复＝×0有.抽5024，.12×个样0P×(次，＝1(－品所10－.02或以.，025，.)24个＝)每5＝全0次.04是.0抽39次26取7，品7时，．是相互独立的，至少 P5(2)＝C52 ×0.22×(1－0.2)3＝0.2048， PPP555(((345)))＝ ＝ ＝CCC534555×××000...222345×××(((111－－－000...222)))210＝＝＝000...000500160243，，． (2) 至少有4个次品的概率为P＝P5(4)＋P5(5)＝0.0064＋0.0003
即 A·B 与 A ·B互斥． ∴ P(A·B ＋A ·B)＝P(A·B )＋PA( ·B)
＝P(A)·P(B )＋P(B)·P( A ) ＝0.6×(1－0.6)＋(1－0.6)×0.6 ＝0.48． 答：其中恰有一人击中目标的概率是0.48．
例3．甲乙两个人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是 0.6，计算：
．解 根据以上数据，得
甲的平均速度是 x甲 ＝ 2.7 3.8 3.0 3.7 3.5 3.1
6
2.9 3.9 3.8 3.4 3.6 2.8
乙的平均速度是 x乙 ＝
6
∴甲、乙的平均速度一样大．
＝3.3， ＝3.3，
例7．为了比较甲、乙两位划艇运动员的成绩，在相同的条件下对 他们进行了6次测验，测得他们的平均速度（m/s）分别如下：
(1)事件A与事件B是否互斥？是否独立？ (2)两粒种子都能发芽的概率？ (3)至少有一粒种子能发芽的概率？ (4)恰好有一粒种子能发芽的概率？
解:(4)∵A·B ＋A ·B＝恰好有一粒种子能发芽，且（A·B）·（ A·B） ＝V，
∴ A·B 与 A ·B是互斥事件，
∴ P(A·B ＋A ·B)＝P(A·B )＋P(A ·B)＝P(A)P(B )＋P(B)P(A )
甲：2．7 3．8 3．0 3．7 3．5 3．1 乙：2．9 3．9 3．8 3．4 3．6 2．8 试根据以上数据，判断他们谁更优秀．
分析：他们的平均速度一样大，应比较他们的速度哪个更稳定．
又甲的速度方差是
S甲2 ＝（2.7 3.3）2 (3.8 3.3）2 (3.0 3.3）2 (3.7 3.3）2 (3.5 3.3）2 (3.1 3.3）2
例8．下表给出了某学校120名12岁男生的身高统计分组与频数（单 位：cm）．
区间 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142) [142,146) [146,150) [150,154) [154,158)
人数
5
8Baidu Nhomakorabea
10
22
33
20
11
6
5
（1）列出样本的频率分布表（含累积频率）； （2）画出频率分布直方图； （3）根据累积频率分布，估计小于134的数据约占多少百分比．
解:
（3）如果5把内有2把房门钥匙，三次内打开房门的情况是前3 把钥匙中恰有2把能打开房门或前3把钥匙中恰有1把能打开房门
P（C）＝
C31 A33

C32C
1 2
A33
A53
＝
9 10
或:
p(c)
C21 C51

A31 A21 A52

A32 A21 A53
9 10
例3．甲乙两个人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是 0.6，计算：
＝0.8×(1－0.7)＋0.7×(1－0.8)＝0.38． 答：恰好有一粒种子能发芽的概率是0.38．
说明 为了正确使用恰当的概率计算公式来求出所给事件的概率，往往需要首先判定事件 是互斥的，还是相互独立的；其次需要对事件进行适当的运算；然后才能对事件的概率进 行运算．本题也可以这样提出：“有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7．在两批种 子中各任取一粒．问：两粒种子都能发芽的概率是多少？”在解答这个问题之前，你首先 要对事件A、事件B作如同例题中的假设，然后写出相应的事件的运算A·B，最后才能求出 其概率：P(A·B)
解 设A＝{无次品}，B＝{恰有两个次品}，C＝{至少有两个次品}
（1）P（A）＝
C9550 C15000
（2）P（B）＝
C
2 5
C
48 95
C15000
（3）P（C）＝
C15000

C9459
C
1 5
C15000
C9550
例2．某人有5把钥匙，但忘记了开门的是哪一把，逐把试开，问： (1)恰好第三次打开房门的概率是多少？ (2)三次内打开房门的概率是多少？ (3)如果5把内有2把房门钥匙，三次内打开的概率是多少？
例3．甲乙两个人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是 0.6，计算：
(1)2人都击中目标的的概率； (2)其中恰有一人击中目标的概率； (3)其中至少有一人击中目标的概率．
解 (2) A ＝{甲没有击中目标}， B ＝{乙没有击中目标}，
则A与B、A与 B 、 A 与B、A 与 B 是相互独立的． 又{甲乙恰有一人击中目标}＝A·B＋A ·B． 显然，A·B 与 A ·B不可能同时发生，
＝0.0067．
说明 一般地，n次独立重复试验中某事件至少发生k次的概率公式 为 Pn(i≥k)＝C Pknk(1－P)n－k＋C knPk1(1－P)n－k－1＋…＋C Pnnn(1－P)0．
这个公式就是二项式[(1－P)＋P] n的展开式中第k＋1项到第n＋1项 （最后一项）的和
例 6 ． 如 图 ， 由 A ， B ， C 三 种 不 同 的 元 件 连 接 成 的 两 个 系 统 N1 、 N2．当元件A，B，C都正常工作时，系统N1正常工作；当元件A正 常工作且B，C中有至少一个正常工作时，系统N2正常工作．已知元 件A，B，C正常工作的概率依次是0．8，0．9，0．7．试分别求系 统N1、N2正常工作的概率．
(1)2人都击中目标的的概率； (2)其中恰有一人击中目标的概率； (3)其中至少有一人击中目标的概率．
解
(3) P(至少有一人击中目标)＝P(A·B)＋P(A·B ＋A ·B)
＝0.36＋0.48＝0.84． 或P＝1－P( A·B )＝1－0.16＝0.84． 答：其中至少有一人击中目标的概率为0.84．
∴ P1＝P(A·B·C)＝P(A)·P(B)·P(C)＝0．8×0.9×0．7＝0.504． 答：系统N1正常工作的概率为0.504． (2) ∵事件A，B，C相互独立，“B，C至少有一个正常工作”的对 立事件是“B，C两个都不正常工作”，∴ 系统N2正常工作的概率 是 P2＝P(A)·B[1－C P( ·)]＝0．8×[1－（1－0．9）×（1－0．7）]＝ 0.776．
分解 析设：A第＝一{恰次好、第第三二次次打都开没房有门打}，开B房＝门{三，次第内三打次开打房开门房}门，，C＝相{当如
于果5从把5内把有钥2匙把种房取门三钥把匙排，队三，次第内三打把开恰房好门是}．打开房门的那一把．三
次二（次 1内）没打P有开（打房A）开门＝，即第第15一一次次；打打开开．或第一次没有打开，第二次打开或第
或从5把钥匙中取3把开门的结果有 A53 种，恰好第三把能打开房
门的结果有 A42 种．
∴ P（A）＝
A42 A53
＝
1 5
；
或看作第一次没有打开，第二次也没有打开，第三次打开，这三
个事件是相互独立的，
故恰好第三次打开房门的概率是
P（A）＝
4× 3
54
×1 3
＝
1 5
例2．某人有5把钥匙，但忘记了开门的是哪一把，逐把试开，问： (1)恰好第三次打开房门的概率是多少？ (2)三次内打开房门的概率是多少？ (3)如果5把内有2把房门钥匙，三次内打开的概率是多少？
6
＝0.15， 乙的速度方差是
S乙2
＝ （2.9 3.3）2 (3.9 3.3）2 ＝0.127，
(3.8 3.3）2
(3.4 3.3）2 6
(3.6 3.3）2
(2.8 3.3）2
∴ S乙2 ＜ S甲2 ．
∴ 乙的速度方差小，成绩更稳定．
∴ 乙的成绩更优秀．
概率与统计
例题分析
例1．设有一批产品共100件，其中5件次品，先从中任意取50件， 问：
(1)无次品的概率是多少？ (2)恰有两件次品的概率是多少？ (3)至少有两件次品的概率是多少？
分析：分别求出无次品的结果种数；恰有两件次品的结果种数；至 少有两件次品的结果种数，再除以任意取50件的结果种数．
P(A＋B)＝1－P( A B)＝1－P( A ·B )＝1－P(A )P( B ) ＝1－(1－
0.8)×(1－0.7)＝0.94． 答：至少有一粒种子能发芽的概率为0.94．
例4．有甲乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7．在两批种子中各 任取一粒．事件A＝从甲批种子中取出一粒能发芽的种子，B＝从乙 批种子中取出一粒能发芽的种子．问：
(1)2人都击中目标的的概率； (2)其中恰有一人击中目标的概率； (3)其中至少有一人击中目标的概率．
分析：两个人射击，每个人击中目标是相互独立的．
解 (1)A＝{甲击中目标}，B＝{乙击中目标}， 显然，事件A与B是相互独立的． 又 A·B＝{甲乙都击中目标}， 故 P(A·B)＝P(A)·P(B)＝0.6×0.6＝0.36． 答：2人都击中目标的的概率是0.36．
解:
1
（2）每一次打开房门的是互斥的，概率都是 5 ，
∴
P（B）＝
1 5
＋1
5
＋1
5
3
＝5
．
或
P（B）＝C
2 4
A33
A53
＝3
5
也可以用相互独立事件来处理：
P（B）＝
1 5
＋
4 5
×
1 4
＋
4 5
×
3 4
1
×3
＝
3 5
例2．某人有5把钥匙，但忘记了开门的是哪一把，逐把试开，问： (1)恰好第三次打开房门的概率是多少？ (2)三次内打开房门的概率是多少？ (3)如果5把内有2把房门钥匙，三次内打开的概率是多少？