带根号的函数最值问题

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对勾函数

对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，是形如f(x)=ax+b/x（a>0）的函数。

中文名对勾函数别称耐克函数、双勾函数、对号函数、双飞燕函数表达式f(x)=ax+b/x (a>0)1定义定义所谓的对勾函数（双曲函数），是形如（a>0)的函数。

名称由图像得名，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、"对号函数"、“双飞燕函数”等。

也被形象称为“耐克函数”或“耐克曲线”。

2性质图像对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数，见图示，在作图时最好画出渐近线最值当x>0时，有最小值（这里为了研究方便，规定a>0，b>0），也就是当时，f(x)取最小值。

奇偶性、单调性奇偶性双勾函数是奇函数。

单调性令k=，那么：增区间：{x|x≤-k}和{x|x≥k}；减区间：{x|-k≤x<0}和{x|0<x≤k}变化趋势：在y轴左边先增后减，在y轴右边先减后增，是两个勾。

渐近线对勾函数的图像是分别以y轴和y=ax为渐近线的两支曲线，且图像上任意一对勾函数点到两条渐近线的距离之积恰为渐近线夹角(0-180°)的正弦值与|b|的乘积。

3对勾函数最小值与均值不等式对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

说到均值不等式，其实也是根据二次函数得来的。

我们都知道展开，得，即两边同时加上2ab，整理得，两边开平方，就得到了均值定理的公式：将中看做a，看做b代入上式，得这里有个规定：当且仅当ax=b/x时取到最小值，解出x=sqrt(b/a），对应的f(x)=2sqrt(ab）。

我们再来看看均值不等式，它也可以写成这样：（a+b)/2≥sqrt(ab），前式大家都知道，是求平均数的公式。

那么后面的式子呢？也是平均数的公式，但不同的是，前面的称为算术平均数，而后面的则称为几何平均数，总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数。

4导数求解其实用导数也可以研究对勾函数的性质。

约束条件分类

线性规划一、约束条件中带根号设变量x，y满足约束条件{y≤23x−3y≤0x+3y−23≥0，则目标函数u=x2+y2的最大值M与最小值N的比MN=（）A、433B、1633C、43D、163分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x2+y2表示动点到原点的距离的平方，只需求出可行域内的动点到原点的距离最值即可．解：注意到目标函数所表示的几何意义是动点到原点的距离的平方，作出可行域．易知当为（3.5，2）点时，u取得目标函数的最大值，代入目标函数中，可得z max=3.52+32=16．当原点到直线x+ 3y-2 3=0距离时，u取得目标函数的最小值，代入目标函数中，可得z min= (|23|1+3)2=3．则目标函数u=x2+y2的最大值M与最小值N的比MN = 163故选：D．点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．二、约束条件为二次的1．不等式组{(x −y +3)(x +y )≥00≤x ≤4表示的平面区域是（）A 、矩形B 、三角形C 、直角梯形D 、等腰梯形分析：根据题意，（x-y+3）（x+y ）≥0⇔ {x −y +3≥0x +y ≥0或{x −y +3≤0x +y ≤0，做出其表示的平面区域，可得答案．解答：解：根据题意，（x-y+3）（x+y ）≥0⇔ {x −y +3≥0x +y ≥0或{x −y +3≤0x +y ≤0，如图阴影部分表示平面区域，结合直线斜率易判断为等腰梯形．故选D点评：本题考查不等式组表示的平面区域问题，属基本题型的考查．2．不等式组 {(x −y +5)(x +y )≥00≤x ≤3表示的平面区域的面积是（）A 、12B 、24C 、36D 、48考点：二元一次不等式（组）与平面区域．分析：画出不等式组表示的平面区域，判断出平面区域的形状，利用梯形的面积公式求出平面区域的面积．解答：解：作出{(x −y +5)(x +y )≥00≤x ≤3表示的平面区域，如图阴影部分所示由图知，可行域是梯形，其面积为(8+3)+52×3=24故选B ．点评：本题考查画不等式组表示的平面区域：直线定边界，特殊点定区域、考查梯形的面积公式．属基础题．三、约束条件含参数若不等式组 {y ≥0x −y ≥1x +2y ≤4x +my +n ≥0所表示的平面区域是面积为54的直角三角形，则n 的值是（）A 、 −32B 、 32 C 、 −43 D 、 34考点：二元一次不等式（组）与平面区域．分析：我们先画出满足条件 {y ≥0x −y ≥1x +2y ≤4表示的平面区域，再根据x+my+n ≥0表示的平面区域表示为直线x+my+n =0右侧的阴影部分，结合已知中不等式组{y ≥0x −y ≥1x +2y ≤4x +my +n ≥0所表示的平面区域是面积为54的直角三角形，我们易得到满足条件的直线，进而根据直线的方程求出n 的值．解答：解：满足条件 {y ≥0x −y ≥1x +2y ≤4的平面区域如下图所示：由于据x+my+n ≥0表示的平面区域表示为直线x+my+n =0右侧的阴影部分面积，故分析可得直线x+my+n =0过（2，1）点且与直线直线x +2y =4垂直解得n =- 32 故选A点评：本题考查的知识点是二元一次不等式（组）与平面区域，根据已知条件分析满足的直线方程是解答本题的关键．四、约束条件含绝对值1.（2008•湖北）在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式组 {|x|≤|y|x|＜1的点（x ，y ）的集合用阴影表示为下列图中的（）A 、B 、C 、D 、考点：二元一次不等式（组）与平面区域．分析：把绝对值不等式组转化为二元一次不等式组，再由线性规划方法画出即可．解答：解：|x|＜1⇔-1＜x ＜1，|x|≤|y|⇔x 2≤y 2⇔x 2-y 2≤0⇔（x+y ）（x-y ）≤0⇔{x +y ≥0x −y ≤0或 {x +y ≤0x −y ≥0则可画出选项C 所表示的图形．故选C ．点评：本题考查线性规划的方法及化归思想．2．（2005•安徽）在直角坐标平面上，不等式组 {y ≥x −1y ≤−3|x |+1所表示的平面区域面积为（）考点：二元一次不等式（组）与平面区域．分析：先依据不等式组 {y ≥x −1y ≤−3|x |+1，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用三角形的面积公式计算即可．解答：解：原不等式组{y ≥x −1y ≤−3|x |+1可化为：{y ≥x −1x ≥0y ≤−3x +1或 {y ≥x −1x ＜0y ≤3x +1画出它们表示的可行域，如图所示．原不等式组表示的平面区域是一个三角形，其面积S △ABC = 12×（2×1+2×2）=3，故选D ．点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．3．在坐标平面上，不等式组{y ≥2|x |−1y ≤x +1所表示的平面区域的面积为（）A 、 2 2B 、 83C 、2 23D 、2 考点：二元一次不等式（组）与平面区域．分析：画出约束条件表示的可行域，如图求出交点坐标，然后求出两个三角形面积，再求出可行域的面积．解答：解：画出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分，由题意M （2，3），N （−23，13），P （0，-1），Q （0，1）不等式组 {y ≥2|x |−1y ≤x +1所表示的平面区域的面积为：12×2×2+12×2×23故选B ．点评：本题考查二元一次不等式（组）与平面区域，考查学生作图能力，计算能力，是基础题．4．满足|x-1|+|y-1|≤1的图形面积为（）A 、1 B 、 2 C 、2 D 、4 考点：二元一次不等式（组）与平面区域．分析：先把满足|x-1|+|y-1|≤1的平面区域在坐标系内画出，转化为求阴影部分的面积，即求正方形的面积问题即可．解答：解：因为|x-1|+|y-1|≤1⇔{x +y ≤3 x ≥1，y ≥1x −y ≤1 x ≥1，y ＜1x +y ≥1 x ＜1，y ＜1x −y ≥−1 x ＜1，y ≥1其对应的平面区域如图所示的正方形ABCD ，又因为|AB|= 2，所以S ABCD = 2× 2=2．故满足|x-1|+|y-1|≤1的图形面积为2．故选 C ．点评：本题考查线性规划知识的应用．在做线性规划方面的题时，一定要找准平面区域，好多问题都是借助于平面区域求解的．五、约束条件为三角不等式已知θ满足{sinθ+2cosθ≤2sinθ−3cosθ≤1，则函数f （θ）=2sinθ+3cosθ的最大值为（）A 、175B 、 185C 、195D 、 13考点：简单线性规划．分析：先设x=sinθ，y=cosθ，将题目转化成约束条件为{x 2+y 2=1x +2y ≤2x −3y ≤1，目标函数为z=2x+3y 的最大值问题，再根据约束条件画出可行域，设z=2x+3y ，再利用z 的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+3y 过可行域内的点A 时，从而得到z=2x+3y 的最大值即可．解答：解：设x=sinθ，y=cosθ则约束条件为 {x 2+y 2=1x +2y ≤2x −3y ≤1，目标函数为f （θ）=2x+3y先根据约束条件画出可行域，设z=2x+3y ，将z 的值转化为直线z=2x+3y 在y 轴上的截距，当直线z=2x+3y 经过点A （ 45， 35）时，z 最大，最大值为： 175．故选A ．点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．六、约束条件为直线解答：解：如图，面积 S=∫1221x=lnx|122=ln2-ln12=2ln2．故选D ．七、约束条件为圆的设O 为坐标原点，点A （1，1），若点B (x ，y )满足{x 2+y 2−2x −2y +1≥01≤x ≤21≤y ≤2，则 OA →•OB →取得最小值时，点B 的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．4 考点：简单线性规划．分析：先根据点B （x ，y ）满足 {x 2+y 2−2x −2y +1≥01≤x ≤21≤y ≤2的平面区域，再把所求问题转化为求x+y 的最小值，借助于线性规划知识即可求得结论．解答：解：x 2+y 2-2x -2y +1≥0即（x -1）2+（y -1）2≥1，表示以（1，1）为圆心、以1为半径的圆周及其以外的区域．当目标函数 z=OA →•OB →=x+y 的图象同时经过目标区域上的点（1，2）、（2，1）时，目标函数 z=OA →•OB →=x+y 取最小值3．故点B 有两个．故选B ．点评：本题主要考查向量在几何中的应用以及数形结合思想的应用，是对基础知识的综合考查，属于基础题．不等式组 {x 2+y 2−2x −2y +1≥00≤x ≤21≤y ≤2表示的平面区域的面积等于（）解答：解：设M （1，1）是圆（x-1）2+（y-1）2=1的圆心，则不等式组 {x 2+y 2−2x −2y +1≥00≤x ≤21≤y ≤2x −y ≤0表示的平面区域如图所示，是梯形DMAC 中位于圆外的部分．梯形的面积为 12(DM +AC )•CD = 12×(1+2)×1=1，梯形内扇形的中心角为π- π4= 3π4故梯形内扇形的面积等于 12×3π4×12=3π8故不等式组表示的平面区域的面积等于 1- 3π8，故选 C ．。

函数专题之值域与最值问题

函数专题之值域与最值问题一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。

解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。

∴函数的知域为 .点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。

（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。

这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。

（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。

此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。

配方法是数学的一种重要的思想方法。

练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})四．判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。

初高中衔接教材2二次函数求最值问题二次函数求最值问题

二次函数求最值问题(2)命题人：孙文淼命题人学校：常州市第二中学审核人：季明银审核人学校：常州市第二中学【题型】选择题【试题】1.函数y=-x2+1的最值是（）【选项】A.最小值1B.最大值1C.最小值0D.最大值0【答案】B【分值】3【难度】1【答案说明】二次函数开口向下，对称轴x=1，所以在x=1时，最大值1【题型】选择题【试题】2.函数y=(x-2)2+1的最值是（）【选项】A.最小值1B.最大值1C.最小值5D.最大值5【答案】A【分值】3【难度】1【答案说明】二次函数开口向上，对称轴x=2，所以在x=2时，最小值1【题型】选择题【试题】3.函数y=-(x-3)2+2的最值是（）【选项】A.y min=1B.y max=1C.y min=2D.y max=2【答案】D【分值】3【难度】1【答案说明】二次函数开口向下，对称轴x=3，所以在x=3时，最大值2【题型】选择题【试题】4.函数y=x2-4x+4的最值是（）【选项】A.y min=0B.y max=0C.y min=4D.y max=4【答案】A【分值】3【难度】1【答案说明】二次函数开口向上，对称轴x=2，所以在x=2时，最小值0【题型】选择题【试题】5.函数y=x2+2x的最值是（）【选项】A.y min=-1B.y max=-1C.y min=0D.y max=0【答案】A【分值】3【难度】2【答案说明】在对称轴x=-1时，y min=-1【题型】选择题【试题】6.函数y=-x2+2x的最值是（）【选项】A.y min=1B.y max=1C.y min=0D.y max=0 【答案】B【分值】3【难度】2【答案说明】在对称轴x=1时，y max=1【题型】选择题【试题】7.函数y=x2-4x+5的最值是（）【选项】A.y min=5B.y max=5C.y min=1D.y max=1【答案】C【分值】3【难度】2【答案说明】配方.当x=2时，y min=1【题型】选择题【试题】8.函数y=2x2-4x+5的最值是（）【选项】A.y min=-3B.y max=-3C.y min=3D.y max=3【答案】C【分值】3【难度】2【答案说明】配方.当x=1时，y min=3【题型】选择题【试题】9.函数y=-3x2-6x+7的最值是（）【选项】A.y max=-4B.y min=-4C.y max=10D.y min=10【答案】C【分值】3【难度】2【答案说明】配方.当x=-1时，y max=10【题型】选择题【试题】10.函数y=(1-x)(x+2)的最值是（）【选项】A.max 9=4y B.min 9=4y C.y max =-4 D.y min =-4【答案】A【分值】3 【难度】2【答案说明】展开后配方.当12x =-时，max 94y =【题型】选择题【试题】11.函数y=(x-3)(2x+5)的最值是（）【选项】 A.y max =-15B.y min =-15C.min 1218y =-D.max 1218y =-【答案】C 【分值】3 【难度】2【答案说明】展开后配方.当14x =时，min 1218y =-【题型】选择题【试题】12.函数y=x 2+x+1y 在-1≤x ≤1上的最小值是（）【选项】A.1B.43C.21-D.41-【答案】B 【分值】3 【难度】3【答案说明】作出函数的图象.当12x =-时，min 34y =.【题型】选择题【试题】13.函数y=x 2+x+1在-1≤x ≤1上最大值是（）【选项】A.3B.43C.21-D.1【答案】A 【分值】3 【难度】3【答案说明】作出函数的图象.当x=1时，y 最大值3.【题型】选择题【试题】14.函数y=-x2+4x-2在区间1≤x≤4 上的最大值是（）【选项】A.-7B.-4C.-2D.2【答案】D【分值】3【难度】3【答案说明】作出函数的图象.当x=2时，y max=2【题型】选择题【试题】15.当-3≤x≤-1时，则函数y=x2-2x-3的最大值和最小值是（）. 【选项】A.12 ,-4B.12 ,0C.0,-4D.12, -3【答案】B【分值】3【难度】3【答案说明】作出函数的图象.当x=-1时，y min=0；当x=-3时，y max=12【题型】选择题【试题】16.当1≤x≤2时，则函数y=-x2-x+1的最大值和最小值（）. 【选项】A.54 ,-1 B.-1 ,-5 C.54,-5 D.-1, 54【答案】B【分值】3【难度】3【答案说明】作出函数的图象.当x=2时，y min=-5；当x=1时，y max=-1.【题型】选择题【试题】17.当x≥0时，则函数y=-x(2-x)的取值范围是（）. 【选项】A.y＞1B.y≥1C.y≥-1D.y＞-1【答案】C【分值】3【难度】3【答案说明】作出函数的图象.当x=1时，y min=-1，取值范围是y≥-1【题型】选择题【试题】18.当x＜0时，则函数y=-x(2-x)的取值范围是（）. 【选项】A.y＞0B.y≥0C.y＞-1D.y≥-1【答案】A 【分值】3 【难度】3【答案说明】作出函数的图象.通过图象可得取值范围是y ＞0【题型】选择题【试题】19.当2≤x ≤4时，则函数y=3x(2-x)+1的取值范围是（）. 【选项】A.-23≤y ≤1B.1＜y ＜4C.-23≤y ≤4D.y ＜4 【答案】A 【分值】3 【难度】3【答案说明】作出函数的图象.当x=4时，y min =-23；当x=2时，y max =1【题型】选择题【试题】20.函数5482+-=x x y 的最值为（）【选项】A.最大值为8，最小值为0B.不存在最小值，最大值为8C.最小值为0, 不存在最大值D.不存在最小值，也不存在最大值【答案】B 【分值】3 【难度】4【答案说明】找出分母的最值.令2()45f x x x =-+，当2x =时，min ()1f x =，则max 8y =，无最小值。

根号取值范围

根号取值范围在数学中，根号是一个非常重要的概念，它被广泛应用于傅里叶分析，积分学，几何学，矩阵，代数，概率统计甚至物理学中。

根号有着广泛的取值范围，其取值范围由它的定义决定，下面着重介绍一下它的取值范围。

首先，根号是一个正数的平方根。

根据此定义，根号的取值范围实际上就是所有正数的集合，也就是说任何正实数都可以作为根号的取值。

如果取值超出此范围，那么根号就不能正确被定义。

其次，根号的取值还可以由它的特性决定，这就涉及到根号的取值的实质了。

例如，当m和n是正整数时，根号问题可以归结为关于根号的概率问题。

在这种情况下，根号的取值范围可以定义为[0,∞)，它是一个闭区间，其中不包括0，也就是说根号的取值范围不能小于0。

此外，在概率论中，根号的取值范围还可以由其定义的函数确定，例如，如果f(x)=x2，那么根号的取值范围就是[-∞,∞)，此时，根号的取值范围可以是任意实数，包括负数。

在概率论中，根号的取值范围还可以由它定义的函数来确定，例如，如果f(x)=x3，那么根号的取值范围就是[0,∞)，此时，根号的取值范围不能是负数。

最后，在复数范围内，根号的取值范围还可以由它的计算公式进行定义。

例如，在复数范围内，根号的取值范围可以由它的定义的函数：z = x+iy来确定，此时，根号的取值范围就可以定义为[-∞,∞)，不包括-∞，也就是说根号的取值可以是任意实数，甚至是负数。

总结起来，根号的取值范围可以根据它的定义和特性确定，也可以根据它定义的函数进行定义，同样，在复数范围内，根号的取值范围也可以由它的计算公式进行定义。

根据所有上述规定，可以总结出根号的取值范围为[-∞,∞)，其中不包括-∞。

根号的取值范围虽然广泛，但是由它的定义及其取值范围决定，任何取值超出此范围的根号都是无效的，故而在实际应用中需要根据不同概念来给出它的取值范围。

同时，对于不同的函数，根号的取值范围也可能不同，比如函数f(x) = x3时，根号的取值范围就应该是[0,∞)，而不能是负值。

根式的形式演变与求最值的方法

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例２求函数Ｙ— ＋Ｃ１ｘ一２一ｚ的值０３

从一道带根号函数的值域错解谈起

5-182019年第5期从一道带根号函数的值域错解谈起黄海(贵州省六盘水市第二十三中学，贵州六盘水553000)用数形结合法求形如/仏)=J+b x x+c,-j+b2x+c2(a iy a2M0,x e R)函数值域时，文[1]给出这样一个例题：例求y=y/x2+9-Jx-8%+41的值域文中给出如下的分析及解法：分析：原式可看作y=y(x-0)2+(0-3)2-y(x-4)2+(0-5)2,因此问题转化成：y的值就是在平面直角坐标系中的乂轴上一点到两定点4(0,3)、B(4,5)的距离之差.r^j■命题和提出新数学问题的能力.我们应当以模式的观念为核心来组织数学解题教学，即应该注重通过模式的识别、简单运用、综合运用和创造性运用，引导学生逐渐学会建立与发展识别模式、分析模式、鉴赏模式、创造模式、拓展模式与应用模式的能力.波利亚先生曾指出：一种解题方法，无论是自己获得的，或是学来的、听来的，只要经过了你自己的体验，那么它对你来讲，就可成为一种楷模，当你再次碰到类似的数学问题，它就是你可依照的模式•⑹笛卡尔也说:“我们解决的每一个问题，都将成为一个范例，用于解决其他问题•”数学试题成千上万，我们不可能把它们一一做完•但许多数学问题，无论是题设、结论，还是整体结构、直观图像或解题方法，都表现出或隐含着某种数学模式，解题时若善于观察、识别和捕捉这些模式特征，往往可以迅速地获得问题解决的途径，而且，常常可以基于模式相似性特征推广原有命题和提岀新的数学问题.当然，识别问题所蕴含的模式和基于该模式提出新的数学问题,这个过程常常连结B4,延长B4交％轴于点P0(%0,0).从图1中可知：x轴上任意一点P(P°除外)到/z*w r^i是很不容易的，需要具有模式直观的洞察力和蕴藏着思维的灵动、自然而又曼妙的想象,以及由此及彼、由表及里的综合联系与抽象提炼•教师在此要有意识地引导、教育和培养学生,使学生的解题和提出问题的能力得到提升.参考文献[1][美]Steen LA.模式的科学[J].李亚平，译.数学译林,1993(2)：96-105.[2]阿蒂亚等著.数学与物理最前沿[M].香港:商务印书馆,2010.[3]邓东皋等主编.数学与文化[M].北京:北京大学出版社，1990.[4][美]基思•德夫林.千年难题:七个悬赏1000000美元的数学问题[M].沈崇圣，译•上海:上海科技教育出版社,2007.[5][美]G•波利亚著.数学与猜想:合情推理模式(第二卷)M].李志尧等，译.北京：科学出版社,2001.[6][美]波利亚著.数学的发现——对解题的理解、研究和讲授[M].刘景麟等，译.呼和浩特：内蒙古人民出版社，1979.2019年第5期欽学孰学5-194、B两点距离差的绝对值都小于\AB\.即-1AB丨<I AP丨-I BP丨=Jx+9--8%+41<I AB\.因为\AP0\-\BP0\=-g-8陶+41+a J+9—-1AB I,所以-I4BI<1ABI，得值域-仍W y<2^5.评析：对于此结果，当4、B、P o三点共线时取得最小值，这一点毋庸置疑.对于右边的值出现的却是一个放大的结果,这是因为尽管数形结合它是形象的、直观的，在解题时可以避免繁琐的计算过程，但有时并非是“全能”的，更不能简简单单地根据图形得出答案.因为形只是我们操作的一种手段，一种工具，并不是理论证据.下面将给出正确的解法.解法1：将原式变形为y=7(x-0)2+(0-3)2-7(%-4)2+(0-5)2,定义域为％e R,y的值域可看作P(%,0)到点4(0,3)和点2(4,5)的距离之差.(i)当%=-6时，如图2,点P与4、B三点共线，有I PAI-1“丨=-14BI,即y=-仍；在Rt APOC和RtAPOA中，因为丨PO I=(2)当%逐渐增大，假设为点0) (X<%!),如图4,连结PiA、P(B,匕4与PB交于点0”令巴4=如,P l B=b1,由三角形两边之和大于第三边，则\0}A\+\0t P\>a,............①I0x B\+\0x P x I>............②因为I0x A\+\0”I=a],I0t B I+ I0x P\=b,所以①+②得5+b>a+g,即4>b—a〉b、—a】.当％—+oo时，4>b-a >b x-a x>…> b”-a n.当x#-6时，由三角形两边之差小于第三边，有丨P'AI-I P'BI>-\AB\，即y>-仍，所以y M-2^5.(ii)当x>-6时，如图3,过点B作y轴的垂线交V轴于点C,连结刃、PB、PC,则I BCI=4,I ACI=2.(1)令I PA\=a,I PB\=b,I PCI=c,由三角形两边之和大于第三边，有6+4>c.(iii)当％<-6时同理.综上所述,y的值域为[-275,4).评析：此时所得结果最小值相等，右边的值却发生了变化，即在错解中函数的值域[-2点，2点)只是一个大致单位，就像我们在高中时，求值域经常出现一个放大的值域.这便说明错解简单从三角形两边之差小于第三边的角度思考，只能得到函数的最小值，得不到最大值•尽管求出一个2点，但只是小于，不是小于等于，这样完全可能使得值域的最大值5-20欽学救学2019年第5期比2点小.而解法1中的“结合”严格遵循了“数”与“形”内在的一致性，实质也是在补上错解中的短板，是此函数数与形完美结合的表现，通过这样“结合”，问题才能形象、直观、准确地解决•接下来用极值的第一充分条件⑵求解说明此类带根号函数值域用数形结合法求解时,要严格保持“数”与“形”的一致解法2：由x2+9＞9,x2-8x+41=(x-4)2+25M25,所以％e R.对y求导，则y，二(丿/+9)z-(J/-8%+41)'x x-4a/x2+9J&+41令y'=0,解得勺=-6,x2因为当％7时』'2 2 ~28x-------M0,所以力+4122 2是y'的增根，故舍去.所以x--6是y唯一的稳定点.又当％w(-8,~6)时y，＜0,即歹在(-8,-6)上单调递减；当XW(-6,+8)时y，＜0,即y在(_6, +8)上单调递增.所以当％=-6时，丁罰=745--丿125=-2^5.又limy=lim(x2+9_y/x2-8x+41)X—»+8X―+00(/+9)-(%2-8%+41)=lim--------------------------------------i+9+y x2-8%+41-8%-32=lim------；•-1+x\/x2+9+\/%2—8%+418』=lim-------------------上=4.同理limy=-4,所以,y的值域为[-2点, X—»-004).评析：用导数法求解此函数的值域所得结果无疑是正确的.所以，在求形如/(x)=y/a t x2+6]%+C]-y/a2x2+b2x+c2(tz,a20,x e R)的函数值域问题时，如果使用数形结合法求解，则不能简单地利用几何图形，必须在几何图形的基础上考察动点的变化趋势，使数与形的转化保持一致，否则滥用数形结合将出现错误的结果.如函数/(%)=y/x2-6x+13-y/x2+4x+5的值域是(-5,丿厉]，而不是(-/26,726],等等.参考文献[1]王秀珍•关于求带根号函数值域方法的探究[J].数学教学,1996(2)：23-25.[2]华东师范大学数学系•数学分析(第四版)[M].北京：高等教育出版社,2010.。

（word完整版）高中三角函数最值问题难题

（word完整版）⾼中三⾓函数最值问题难题⾼中三⾓函数最值问题难题⼀、直接应⽤三⾓函数的定义及三⾓函数值的符号规律解题例1：求函数y ＝xx x x x x x x cot |cot ||tan |tan cos |cos ||sin |sin +++的最值分析：解决本题时要注意三⾓函数值的符号规律，分四个象限讨论。

解：（1）当x 在第⼀象限时，有sin cos tan cot 4sin cos tan cot x x x xy x x x x =+++=（2）当x 在第⼆象限时，有sin cos tan cot 2sin cos tan cot x x x xy x x x x =+++=----（3）当x 在第三象限时，有sin cos tan cot 0sin cos tan cot x x x xy x x x x =+++=--（4）当x 在第四象限时，sin cos tan cot 2sin cos tan cot x x x xy x x x x=+++=----综上可得此函数的最⼤值为4，最⼩值为-2. ⼆、直接应⽤三⾓函数的有界性（sin 1,cos 1x x ≤≤）解题例1：（2003北京春季⾼考试题）设M 和m 分别表⽰函数cos 13x -1y=的最⼤值和最⼩值，则M m +等于（）（A ）32（B ）32-（C ） 34-（D ）-2解析：由于cos y x =的最⼤值与最⼩值分别为1,-1,所以,函数cos 13x -1y=的最⼤值与最⼩值分别为32-,34-,即M m +＝32-+（34-）=-2,选D.例2：求3sin 1sin 2x y x +=+的最值（值域）分析：此式是关于sin x 的函数式，通过对式⼦变形使出现12sin 3yx y -=-的形式，再根据sin 1x ≤来求解。

解：3sin 1sin 2x y x +=+，即有sin 23sin 1sin 3sin 12y x y x y x x y +=+?-=-12(3)sin 12sin 3yy x y x y --=-?=-。

根式函数最值求法大放送

根式函数最值求法大放送雷亚庆(江苏省南京市大厂高级中学㊀２１００４４)摘㊀要:根式函数最值的求解对学生而言是比较困难的.本文介绍了几类根式函数特别是双根式函数的最值的求法.关键词:根式函数ꎻ单调性ꎻ换元ꎻ平方ꎻ几何意义ꎻ数量积ꎻ分子有理化中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)１９－００６７－０２收稿日期:２０２０－０４－０５作者简介:雷亚庆(１９７２－)ꎬ男ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀含根式函数的最值问题具有灵活性强㊁难度大的特点ꎬ很多同学望而生畏ꎬ往往不知道从哪入手ꎬ尤其是双根式函数更是难点.实际上根式函数没有想象的那么可怕ꎬ只要我们认真分析题意ꎬ注意条件的应用ꎬ养成正确的解题习惯ꎬ即可找到合理恰当的解法ꎬ使此类问题顺利加以解决ꎬ下分类举例说明.㊀㊀一㊁利用函数单调性例１㊀求函数ｙ＝ｘ－１＋ｘ＋１的值域.解析㊀易求得函数ｙ＝ｘ－１＋ｘ＋１定义域为[１ꎬ＋¥)ꎬ由于函数ｙ＝ｘ－１和ｙ＝ｘ＋１在[１ꎬ＋¥)为增函数ꎬ所以ｙ＝ｘ－１＋ｘ＋１在[１ꎬ＋¥)上单调递增.当ｘ＝１时ꎬｙ取得最小值２.所以函数ｙ＝ｘ－１＋ｘ＋１的值域为[２ꎬ＋¥)例２㊀(重庆高考)ｆ(ｘ)＝５ｘ２－２ｘ＋２ｘ－５ｘ＋４的最小值.解㊀定义域为(－¥ꎬ０]ɣ[４ꎬ＋¥)ꎬ显然函数在(－¥ꎬ０]上单调递减ꎬ在[４ꎬ＋¥)上单调递增.因此ｆ(ｘ)ｍｉｎ＝ｍｉｎｆ(０)ꎬｆ(４){}＝ｆ(０)＝４.㊀㊀二㊁利用换元去根号１.换元消去根号例３㊀(２００６年江苏改编)求函数ｙ＝１－ｘ２＋１－ｘ＋ｘ＋１的最大值.解㊀求得定义域为:ｘ－１ɤｘɤ１{}.设ｔ＝１＋ｘ＋１－ｘꎬ所以ｔ２＝２＋２１－ｘ２ɪ[２ꎬ４].所以ｔ的取值范围是[２ꎬ２].由ｔ２＝２＋２１－ｘ２得１－ｘ２＝１２ｔ２－１ꎬ所以ｙ＝１２ｔ２＋ｔ－１(２ɤｔɤ２).因为ｙ＝１２ｔ２＋ｔ－１在[２ꎬ２]上单调递增ꎬ所以当ｔ＝２即ｘ＝０时函数有最大值３.２.三角换元化掉根号例４㊀求ｙ＝ｘ－４＋１５－３ｘ的值域.分析㊀求根式函数的值域是一个难点ꎬ特别是双根式函数ꎬ实际上如果我们养成解决函数问题先明确定义域的好习惯的话ꎬ就会发现隐藏的解题信息ꎬ利用三角代换ꎬ就可以把根式函数转换为三角函数问题处理.解㊀由已知得:４ɤｘɤ５所以可设ｘ＝４＋ｃｏｓ２θ(０ɤθɤπ２).ʑｙ＝ｘ－４＋１５－３ｘ＝ｃｏｓ２θ＋３ｓｉｎ２θ＝ｃｏｓθ＋３ｓｉｎθ＝２ｓｉｎ(θ＋π６)(０ɤθɤπ２).ȵ０ɤθɤπ２ꎬʑπ６ɤθ＋π６ɤ２π３ꎬʑ１２ɤｓｉｎ(θ＋π６)ɤ１ꎬʑ函数的值域为[１ꎬ２].７６㊀㊀三㊁利用平方去根号例５㊀求ｙ＝ｘ－１＋２－ｘ的值域.解析㊀求得定义域为[１ꎬ２].把ｙ＝ｘ－１＋２－ｘ两边平方得ｙ２＝１＋２(ｘ－１)(２－ｘ)＝１＋－ｘ２＋３ｘ－２(１ɤｘɤ２).因为ｘɪ[１ꎬ２]时ꎬｇ(ｘ)＝－ｘ２＋３ｘ－２ɪ[０ꎬ１４]ꎬ所以ｙ２ɪ[１ꎬ３２].又因为ｙȡ０ꎬ所以ｙɪ[１ꎬ６２].㊀㊀四㊁利用几何意义１.构造距离例６㊀求函数ｙ＝ｘ２＋２ｘ＋２＋ｘ２－４ｘ＋１３的最小值.解㊀ｙ＝ｘ２＋２ｘ＋２＋ｘ２－４ｘ＋１３＝(ｘ＋１)２＋(０－１)２＋(ｘ－２)２＋(０－３)２.设点Ｐ(ｘꎬ０)ꎬＡ(－１ꎬ１)ꎬＢ(２ꎬ３)ꎬ问题转化为:在ｘ轴上找一点Ｐꎬ使ＰＡ＋ＰＢ最小作点Ａ关于ｘ轴对称的点Ａᶄ(－１ꎬ－１)ꎬ显然当点Ｐ为直线ＡᶄＢ与ｘ轴交点时ＰＡ＋ＰＢ有最小值即ＡᶄＢ＝５.２.构造斜率例８㊀求函数ｙ＝２ｘ－ｘ２ｘ＋１的值域.解㊀ｙ＝２ｘ－ｘ２ｘ＋１＝１－(ｘ－１)２ｘ－(－１).构造定点Ａ(－１ꎬ０)ꎬ动点Ｐ(ｘꎬ１－(ｘ－１)２)ꎬ其中动点Ｐ在曲线ｙ＝１－(ｘ－１)２即半圆(ｘ－１)２＋ｙ２＝１(ｙȡ０)上如图２.问题转化为求直线ＰＡ的斜率的最值ꎬ由图２可知０ɤｋＰＡɤ３３.所以函数ｙ＝２ｘ－ｘ２ｘ＋１的值域为[０ꎬ３３].㊀㊀五㊁利用向量数量积的性质例９㊀求函数ｙ＝５ｘ－１＋１０－ｘ的最大值.解㊀设ａ＝(５ꎬ１)ꎬｂ＝(ｘ－１ꎬ１０－ｘ)ꎬ则有ｙ＝ａｂ且ａ＝２６ꎬｂ＝３.由向量数量积的性质可知:ａｂɤａｂ＝３２６ꎬ当且仅当向量ａꎬｂ共线同向时取＝号.所以函数ｙ＝５ｘ－１＋１０－ｘ的最大值为３２６.㊀㊀六㊁利用分子有理化例１０㊀求函数ｙ＝ｘ＋１－ｘ－１的值域.解㊀ｙ＝ｘ＋１－ｘ－１＝(ｘ＋１－ｘ－１)(ｘ＋１＋ｘ－１)ｘ＋１＋ｘ－１＝２ｘ＋１＋ｘ－１.由例１可知ｘ＋１＋ｘ－１ɤ２ꎬ所以２ｘ＋１＋ｘ－１ɪ(０ꎬ２].即函数ｙ＝ｘ＋１－ｘ－１的值域为(０ꎬ２]㊀㊀七㊁构造对偶式求解例１１㊀求函数ｙ＝ｘ－４＋２９－ｘ的最值.解析㊀设ｚ＝ｘ－４－２９－ｘ(４ɤｘɤ２９)ꎬ则ｙ２＋ｚ２＝５０ꎬ即ｙ２＝５０－ｚ２.因为函数ｚ＝ｘ－４－２９－ｘ在[４ꎬ２９]上单调递增ꎬ㊀所以当４ɤｘɤ２９时ꎬｚɪ[－５ꎬ５]ꎬ所以ｙ２＝５０－ｚ２ɪ[２５ꎬ５０].又因为ｙ＝ｘ－４＋２９－ｘȡ０ꎬ所以ｙɪ[５ꎬ５２].即函数值域为[５ꎬ５２].总之ꎬ解决根式函数的最值问题时ꎬ我们要养成良好的审题和解题习惯.如审题要注意挖掘目标函数的结构和隐含信息ꎬ解函数题时一定养成先求定义域的好习惯ꎬ只要这样我们就可以通过换元ꎬ构造ꎬ把问题转化为我们熟悉的函数最值模型ꎬ从而使问题得以解决.㊀㊀㊀参考文献:[１]雷亚庆.巧用函数奇偶性解决函数零点问题[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０１８(１９):３５－３６.[责任编辑:李㊀璟]８６。

高中数学对钩函数的有关知识

高中数学对钩函数的有关知识对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，是形如f(x)=ax+b/x （a>0,b>0）的函数。

由图像得名，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、"对号函数"、“双飞燕函数”等。

因函数图像和耐克商标相似，也被形象称为“耐克函数”或“耐克曲线”。

定义所谓的对勾函数（双曲函数），是形如（a>0)的函数。

名称由图像得名，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、"对号函数"、“双飞燕函数”等。

因函数图像相似耐克商标，也被形象称为“耐克函数”或“耐克曲线”。

图像对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数，见图示，在作图时最好画出渐近线。

在第一区间时，其转折点为最值：当x>0时，有最小值（这里为了研究方便，规定a>0，b>0），也就是当时，f(x)取最小值。

奇偶性、单调性奇偶性：双勾函数是奇函数。

单调性：令k=那么：增区间：{x|x≤-k}和{x|x≥k}；减区间：{x|-k≤x<0}和{x|0<x≤k}变化趋势：在y轴左边先增后减，在y轴右边先减后增，是两个勾。

渐近线对勾函数的图像是分别以y轴和y=ax为渐近线的两支曲线，且图像上任意一点到两条渐近线的距离之积恰为渐近线夹角(0-180°)的正弦值与|b|的乘积。

注：对勾函数的图像是双曲线。

实际上该图像是轴对称的，并可以通过双曲线的标准方程通过旋转角度得到。

对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

说到均值不等式，其实也是根据二次函数得来的。

我们都知道：展开，得：即：两边同时加上2ab，整理得：两边开平方，就得到了均值定理的公式：将中看做a，看做b，代入上式，得：这里有个规定：当且仅当ax=b/x时取到最小值，解出x=sqrt(b/a），对应的f(x)=2sqrt(ab）。

我们再来看看均值不等式，它也可以写成这样：（a+b)/2≥sqrt(ab），前式大家都知道，是求平均数的公式。

几类实用函数的极值解法

在工农业生产和工程技术设计中，常会遇到这样一类问题，
要使产量最高、成本最低，要使完工时间最快、质量最好等，归根
都是正常数，旦＝＝堡时为最小。当旦＿兰 …＝＿上
３数形结合法．
结底，这些都是函数极大值与极小值的问题，简称极值问题。而
引理、等式法和数形结合法，不求一次有理函数极值的数形结合法和利用反函数定义域求二次有理函数板值法。关键词：无理函数；理函数；值解法有极
极值问题是生产、科学研究和日常生活中常会碰到的一类
特殊的数学问题，谓 “ 、、、 ” 问题就属于这一类。所多快好省的目前，研究人员针对这类问题已提出了多种多样的数学解
式作比较，形式上相符合时，考虑将问题转化为几何问题——构
造距离模型来处理。对于大部分的无理函数极值问题都可以通过上面的 “ 引理
如果＝ ≠ （）则此时（） ≠ ，２式为
０： …＝时为最大。Ｉ口
结论２设正变数：那么和ａｌｌｘ
…＝时为最小。０
…，的积为常数Ｃ即。，
Ｃ，
运用起来有时会碰到计算量大的麻烦，若每次都应用这些方法
于无理函数、有理函数等实用函数的极值问题，那会事倍功半。因此，这里我们研究一下无理函数、有理函数等实用函数的极值求法，以简化平时碰到的一些实用函数极值问题的解决。特别注意，极值和最值是两个不同的概念，极值是局部性的，而最值是在函数全定义域上的。在本文，我们认为最大值是

二次函数中的最值及面积问题

二次函数中的最值及面积问题一、二次函数线段最值问题1、平行于x轴的线段最值问题1）首先表示出线段两个端点的坐标2）用右侧端点的横坐标减去左侧端点的横坐标3）得到一个线段长关于自变量的二次函数4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值2、平行于y轴的线段最值问题1）首先表示出线段两个端点的坐标2）用上面端点的纵坐标减去下面端点的纵坐标3）得到一个线段长关于自变量的二次函数解析式4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值3、既不平行于x轴，又不平行于y轴的线段最值问题1）以此线段为斜边构造一个直角三角形，并使此直角三角形的两条直角边分别平行于x轴、y轴2）根据线段两个端点的坐标表示出直角顶点坐标3）根据“上减下，右减左”分别表示出两直角边长4）根据勾股定理表示出斜边的平方（即两直角边的平方和）5）得到一个斜边的平方关于自变量的二次函数6）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值7）根据所求得的斜边平方的最值求出斜边的最值即可二、二次函数周长最值问题1、矩形周长最值问题1）一般会给出一点落在抛物线上，从这点向两坐标轴引垂线构成一个矩形，求其周长最值2）可先设此点坐标，点p到x轴、y轴的距离和再乘以2，即为周长3）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值2、利用两点之间线段最短求三角形周长最值1）首先判断图形中那些边是定值，哪些边是变量2）利用二次函数轴对称性及两点之间线段最短找到两条变化的边，并求其和的最小值3）周长最小值即为两条变化的边的和最小值加上不变的边长三、二次函数面积最值问题1、规则图形面积最值问题（这里规则图形指三角形必有一边平行于坐标轴，四边形必有一组对边平行于坐标轴）1）首先表示出所需的边长及高2）利用求面积公式表示出面积3）得到一个面积关于自变量的二次函数4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值2、不规则图形面积最值问题1）分割。

解“最值问题”的几种方法

综合理论课程教育研究286 学法教法研究最值问题是我们所熟悉的问题，如今，经历了中学乃至大学的知识学习，我们接触到了各种各类的最值问题，同时我们也相应学习了求解各类最值问题的方法，而这些方法也有助于我们解决生活中各式各样的最值问题，下面我就为大家归纳下求解最值问题的几种方法.一、配方法对于可以转换成“一元二次函数型”的函数，我们都可以利用配方法对其最值进行求解.例1 求在区间内的最值.分析本题看上去较为复杂，包括不同类型指数的运算，但稍加观察的话，你就会发现，此中的函数是可以转化为“一元二次型的函数”又，有取得最大值为；当时，.二、判别式法对于一元二次方程，我们可以利用来判断其是否存在实根，那么对于一个一元二次函数，若其值域不为空集的话，那么我们就可以认为方程的判别式，由此求得原一元二次函数的值域，进而就可以求得该一元二次函数在某定义域内的最值情况.例2 求函数的最值.分析本题可以利用配方法进行求解，但过程较为繁琐.观察原题，可以发现函数的值域不会为空集，因此可以考虑到利用判别式法进行求解.解法如下：原等式可化为：（）可以得到若，则有若，则有于是，则；若，则.会成立，还需要进行一项后续工作，将等号的值代入原方程，观察原方程是否有实数解，即是否有相应的值与对应.若存在，我们就可以直接确定最值了.三、换元法对于一些特殊的函数，我们可以利用换元法对其进行最值求解，基本思想是将某一部分当做一个整体或者用一个新的变量来代替某一整体，达到化繁为简，化陌生为熟悉，从而帮助我们更加便利的解决问题.换元法通常有三角代换和三角代换两种.例3 求函数.分析对于这类含根号的函数，为了化繁为简，换元法是比较大众的方法.求解如下：，则所隐含的定义域为，于是，我则即时，取得最小值为不等式法求解最值问题主要是利用以下几个重要的不等式及其变形来处理最值问题的.不等式（），其中注意：当且仅当时等号成立.在用不等式求函数的最值时，经常需要配合某些变形技巧，结合已知条件进而进行求解.例4 设，，记中最大数为，则的最小值为多少？分析本题的计算涉及到对数，准确应用对数的运算性质，认真观察，发现其中的技巧.由已知条件可得所求为中最大的数，不妨设中最大的数为A，则.由于，所以，当且仅当时等号成立，此时为最小，那么A 能否取到最小值2呢？容易知道，当时，，即A 可以取得最小值2，从而的最小值为.五、单调性法求解函数在指定区间的最值的时候，我们应该考查该函数在该指定区间内的单调性情况.如果函数在该区间内是单调的，则该函数的最值在区间的端点上取得.若函数在该区间上并不是单调的，则我们就可以考虑把该区间分割成若干个小的区间，目的是使得该函数在分割的每一个小区间上是单调的，再求出各个小区间上的最值情况，通过比较，得到整个区间上的最值.例5 设函数是奇函数，对于任意均有关系，若时，且.求在上的最大值和最小值.解“最值问题”的几种方法陈龙（福建省晋江市内坑中学福建晋江 362200）【中图分类号】G634.6【文献标识码】A【文章编号】2095-3089（2018） 11-0286-02综合理论课程教育研究学法教法研究 287分析本题若能确定在上的单调性，其最值也就可以相继求得.下面来考察在上的单调性：设任意且，则.由题设可知，为奇函数，且，，则，则在上单调递减,即在两端点处取得最值.因为，则，进而.又故在上的最大值为，最小值为六、导数法对于基本初等函数以及某些复合函数，我们可以利用导数这一工具有效的对其进行最值求解.设在上是连续，在上是可导，则在上的最大值和最小值就是在内的每个极值与中的最大值与最小值.利用导数的方法进行最值的求解适用性广，在解题例.分析令由于方差恒大于或者等于0的特征，我们也可以利用方差解决某些的最值问题.例7 确定最大的实数Z，使得实数满足：，.分析按照常规的思路，本题不容易攻克，可以巧妙的，构造的方差得，Z .八、三角函数最值的常见求法1.巧用定义域求解三角函数的最值问题，在大多数的题目中，我们必.例8，求值和最小值.分析此类三角函数可以视作为或的形式，求解其最值值为.2.大多数的数学题型中，题干中所给出的条件都有其特殊的作用和功能，所以，在解题的过程中，我们不能忽视任意一个条件.例求的最小值.分析个，我们要做的是如何正确的去用好这个已知条件.当然，我们也不能盲目地瞎猜，根据题目要我们求的东西去巧妙地利用好这个已知条件.现最小值.又，即对于一些较为复杂的三角函数，为了求解的方便，我们可以去寻找题干的特点，化繁为简，换元法一般是首选.例10 已知,求的最大值和最小值.分析对于三角函数，我们应该清楚，其存在着这么一种转化关系：此中就启发我们可以运用换元法快捷简便地解决相应三角函数的最值问题.4.巧引辅助角三角函数是一个特殊的函数，自然也有其独门的“法宝”——辅助角公式，能否巧妙地运用辅助角公式也是能否成功解题的关键.例11 求函数的最值.分析直观地来看，这是一个分式代数式，分子、分母中均含有三角函数，这无疑给解题增添不少难度，但如果我们对其做一个稍微的变形，情况可能就不一样了：原函数可变为：，观察这个等式的。

函数最值问题解法大PK

【．＜忍ｎ，
准确画出函数的图像，利用数形结合法解题．
圃由Ｉ１ ≥ ｘ１≥ （２ ≥ ，ｘＩ２ｊ（））．故＋Ｉ－Ｉ＋一
ｌｆ＝，（ ≥— １）
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ｌｌｘｌ＋
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其图像如图１，
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维普资讯
问题的基础，因此
文特地归纳了近几
年高考涉及到的函数的最值问题及解答方法，以供２０届高三的同学们０９在第一轮复习备考阶段参考，相信对同学们的复习有一定的帮助．
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
＋
利用数形结合法求函数最值
最小值为一１
１ｆ
选Ｃ．
翌Ｊ二次函数的最值一般考虑用配方法来解答，
二次函数在闭区间［，］上的最值不但与图像形ｎ状、对称轴、顶点坐标、开口方向有关，而且与定义
域密切相关．
圈凡分型函）鲁均考利是式的数，＝可虑用
查主要是使线性目标函
离啦２００８年鸶９翰
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当一或１，，最小值ｍ２＝３时）取＝，所以＝ｍ监
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问题，整式函数在闭区间上是连续函数的话一定有最
压求数，ｓ去的小・鲤函）。＋＝ｃ最值
同学们在解本题时利用均值不等式得），：

三角函数最值问题的十种常见解法

三角函数最值问题的十种常见解法t=sinx+cosx，则y=t+sinx*cosx，利用关系式sinx*cosx≤1可得y≤t+1，而t的取值范围为[-√2,√2]，当t=√2时，y取得最大值√2+1.五.利用导数法求极值对于一些复杂的三角函数最值问题，可以利用导数法求解.例如对于y=2sinx+3cosx+4sin2x，求其最大值.分析]解：y'=2cosx-3sinx+8cos2x，令y'=0，得cosx=3/10或cosx=-1/2，代入原式可得y的最大值为(7+8√6)/5.六.利用三角函数的周期性对于周期函数，可以利用其周期性来求解最值问题.例如对于y=3sin(2x+π/6)+4cos(2x-π/3)，求其最大值.分析]解：由于sin和cos函数都是周期为2π的函数，因此可以将y化简为y=3sin2x+4cos2x+3√3，利用三角函数的性质可得y的最大值为7+3√3.七.利用三角函数的单调性对于单调函数，可以利用其单调性来求解最值问题.例如对于y=2sinx+3cosx，求其最小值.分析]解：y的导数y'=2cosx-3sinx，y'的符号与sinx和cosx的符号相同，因此y在[π/2,π]上单调递减，在[0,π/2]上单调递增，因此y的最小值为y(π/2)=2.八.利用三角函数的对称性对于一些具有对称性的三角函数，可以利用其对称性来求解最值问题.例如对于y=sin2x+cos2x，求其最大值和最小值.分析]解：y=sin2x+cos2x=1，因此y的最大值为1，最小值也为1.九.利用三角函数的积分性质对于一些三角函数的积分性质，可以利用其求解最值问题.例如对于y=sin2x/x，求其最大值.分析]解：y'=2cos2x/x-sin2x/x²，令y'=0，得x=tanx，代入原式可得y的最大值为2.十.利用三角函数的平均值不等式对于一些三角函数，可以利用其平均值不等式来求解最值问题.例如对于y=sin2x+cos2x，求其最大值和最小值.分析]解：由平均值不等式可得(sin2x+cos2x)/2≥sinx*cosx，因此y的最大值为1，最小值也为1.sin x+\cos x=1+2\sin x\cos x$，设$t=\sin x+\cos x$，则$2\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}$，$\therefore y=\frac{t+\frac{t^2-1}{2}}{2}=\frac{t^2+t-1}{4}$，其中$t\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$。

如何用换元法求三类函数的值域

探索探索与与研研究究函数问题的考查形式多种多样，其命题方式也各不相同.其中,函数值域问题具有较强的综合性，侧重于考查函数的解析式、定义域、值域、图象、性质等.有些函数的值域问题较为复杂，其中含有根式、三角函数式、对数式，需采用换元法来求解.下面结合实例，重点探究一下如何运用换元法来求这三类函数的值域.一、求含有根式的函数的值域若函数的解析式中含有根式，我们通常无法直接根据基本初等函数的性质和复合函数的性质来求得函数的值域，需利用换元法，将根号下的式子用一个新变量替换，把函数式转化为关于新变量的函数式，根据函数的定义域求得新变量的取值范围，再根据基本初等函数的性质和复合函数的性质来求函数的值域.例1.求函数f ()x =2x -5+13-2x 的值域.解：令t =13-2x ()t ≥0，可得x =13-t 22，由f ()x =2x -5+13-2x 可得f ()t =-t 2+t +8=-æèöøt -122+334，∵当t ∈éëöø12,+∞时，函数f ()t 单调递减；当t ∈éëùû0，12时，函数f ()t 单调递增，∴当t =12时，f ()t 取最大值334，∴函数f ()x 的值域为æèùû-∞,334.令t =13-2x ，可通过换元，去掉根号，将函数式转化为关于t 的二次函数式，利用二次函数的性质即可求得函数的最值，从而得到函数的值域.一般地，若函数的最大值为M 、最小值为m ，则函数的值域为[m ,M ]，因此，只要求得函数的最值，即可得到函数的值域.例2.求函数f ()x =x +1-x 2的值域.解：令sin t =x ，可得1-x 2=1-sin 2t =cos t ，由f ()x =x +1-x 2可得f ()t =sin t +cos t =2sin æèöøt +π4，∵1-x 2≥0，-1≤x ≤1，∴t ∈[]0,2k π，∴t +π4∈éëùûπ4,π4+2k π，∴f ()t ∈[]-2,2，∴函数f ()x 的值域为[]-2,2.由y =1-x 2可得x 2+y 2=1，于是联想到sin 2x +cos 2x =1，便令sin t =x ，使得1-x 2=cos t ，以便去掉根号.这样函数式就可转化为三角函数式，根据正弦函数的有界性即可求得函数的值域.例3.求函数f ()x =1-x +3+x 的值域.解：令2sin α=1-x ，2cos α=3+x ，可得f ()α=2sin α+2cos α=22sin æèöøα+π4，∵α∈éëùû0，π2，∴α+π4∈éëùûπ4，3π4，此时函数单调递增，∴当α+π4=π4时，函数f ()α取最小值2；当α+π4=3π4时，函数f ()α取最大值22，∴函数f ()x 的值域为[]2,22.解答本题，需通过三角换元去掉根号，将问题转化为三角函数最值问题来求解.可见，求含有根式的函数的值域，关键在于将根号下的式子合理换元，去掉根号，将问题转化为常规的函数最值问题来求解，这样才能化难为易.二、求三角函数的值域求三角函数的值域，常需用利用正弦、余弦、正切函数的单调性和有界性.而对于含有高次幂、同时含有不同函数名称的复杂三角函数值域问题，往往需要运用换元法来求解.通常需首先利用三角函数的诱导公式、两角的和差公式、辅助角公式、二倍角公式等将函数式化简；然后选取合适的部分进行换元，将问题转化为简单的正弦、余弦、正切函数的最值问题来求解.例4.已知函数f ()x =sin x +cos x +3sin x cos x ，则陈铤53探索探索与与研研究究函数f()x的值域为解：令t=sin x+可得t2=1+2由f()x=sin x可得f()t=32t2则当t∈éë-2,当t∈éëùû-13,2所以当t=-13当t=2时，故函数f()x式化简，例5.求函数f(解：令t=sin x∴由f()x=cos2f()t=-t2-2t∵t=sin x∈[∴当t∈[]-1,1∴当t=-1取最小值1，∴函数f()x引入变量t，性质来解题.换元，三、关，较为复杂，用新变量替换，.在求含有对数式的函数值（0，+∞），底数求函数f()x=ln2x-2ln x+3的x+3可得)t-12+2，∈[]0,3，f()t单调递减；f()t单调递增，)取最大值6；2，[]2,6.需令t=ln x，将函数式转利用二次函数的性质来解f()x=log2()x2-2x+9，则函数9=()x-12+8≥8，)2x+9可得f()t=log2t，28=3，)+∞，[)3,+∞.为了便于求解，需将对数函通过换元，将问题转化为简单这样便能快速求得问题的需重点研究新旧运用换元法求解函数的选取合适再快速求得（作者单位：江苏省启东中学）54。

函数最值的几种求法

函数最值的几种求法作者：蔡学科来源：《新一代》2012年第10期摘要：本文主要依据高中数学中的相关知识讨论初等函数的最大值和最小值，归纳总结出了求初等函数最大值和最小值的几种方法。

关键词：函数；最大值；最小值中图分类号：G630 文献标识码：A 文章编号：1003-2851（2012）-10-0161-01一、由定义域直接求函数的最值一次函数的最大值与最小值常与它的定义域与值域有关系，即若y是x的函数，则由x的取值范围，并且根据一次函数的单调性，就能得到y的最大（小）值。

例1 变量x、y、z均不小于0，并满足3y+2z=3-x及3y+z=4-3x，求函数t=3x-2y+4z的最大值与最小值.解由3y+2z=3-x及3y+z=4-3x得，y=■（1-x）及z=2x-1.又由x、y、z均不小于0，推出■≤x≤1.再将y=■（1-x）与z=2x-1代入t=3x-2y+4z得，t=■（43x-22），它是单调递增函数，而■≤x≤1.所以，当x=■时，有最小值tmin=-■；当x=1时，t有最大值tmax=7.二、用配方法求函数的最值对于二次函数可以用配方法讨论它的最值情况，即二次函数y=ax2+bx+c=a（x+■）2+■（a≠0）.当a>0时，y有最小值，即当 x=-■时，ymin=■；当a例2 设f（x）=4-■.求ymin和ymax.解由3+2x-x2≥0得，-1≤x≤3.又因为y=4-■，所以，当x=1时，y有最小值ymin=y（1）=4-2=2；当x=1时，y有最大值ymax=y（-1）4.例3 设f（x）=x2-2tx+t在区间[-1，1]上最小值为g（t），求g（t）的最大值.解对f（x）关于x配方得，f（x）=（x-t）2+t-t2.由已知-1≤x≤1得，当t≥1时，g（t）f （1）=1-t；当-1三、用判别式法（也称△法）求最值判别式法就是利用二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有实数根的充要条件（△≥0）来求出函数的最值，除了二次函数，对于一些常见的含有根号的无理函数，也可以利用平方法去掉根号后再根据二次函数的△法来求最值，或如果一个问题中，诸量之间的关系最后可化为以某一变量为元的二次方程的形式，便可运用判别式来求最，但要注意函数的定义域对函数的制约作用。

带根号的函数最值问题

带根号的函数最值问题数学中，求函数最值本身是一块很难很重要的内容。

当函数解析式中出现根号的时候，难度会加大。

这里，就高中范围内出现的带根号的函数最值问题小小地总结一下。

1. 单调性一致情况y x = （x ∈[1,2]）分析：这个函数，分成两部分。

x 也是增的。

这个函数y x =+于是，最大值最小值就在端点时取到。

min max y 12y ==2.单调性不一致的根号中一次项情况y x =+ (x ∈[0,1])分析：单调性不一致，首先考虑换元法2[0,1]),x=1-t ∈max min 3,14y y ==3．根号中出现二次项情况y x =（x ∈[-1,1]）分析：单调性很难判断。

这时候首先考虑换元法方法一：三角换元我们知道，三角函数cos θ、sin θ的范围本身就是[-1,1]，代入以后可以一可以用三角公式进行运算，开阔思路，二则去掉根号，简化运算。

设x=cos θ,这里为了确定范围，不失一般性，设[0,]θπ∈,利用1-2cos θ=sin 2θ,去掉根号很方便。

cos sin )4y x θθπθ=+=+=+值域就是[-方法二：移项平方这是我们自初中以来所谓的去根号的最“喜欢”的方法。

但有时候，它是那么的吃力不讨好。

y x y x =+-=两边平方 222y 21xy x x -+=-+注意到这里平方的条件是y ≥x222x 210yx y -+-=由于x 存在，判别式大于等于22248(1)840[y y y y =--=-≥∈但要注意到，y ≥x ，于是有y ≥-1 [y ∈-方法三：求导求导属于暴力流，但是往往是在你绝望的时候唯一能抓的稻草。

本文大部分题目可以用求导解决。

'1y x y == 令y ’≥0解得[1,2x ∈-，不过这个过程颇为艰辛于是易得[y ∈-4.双根号明显数形结合的情况y =求最小值分析：明显可以看作两点间距离公式类型。

这类题难度不大。

但要注意，当括号内平方是展开状况的时候，要学会主动去配方发现。

根式最值问题

根式最值问题根式最值问题是数学中经常遇到的一个问题，它涉及到求根式的最大值或最小值。

在这个问题中，我们需要在给定的条件下，找到使根式取得最大或最小值的变量值。

在解决这类问题时，我们可以考虑使用一些常用的数学方法和技巧来简化问题的求解。

首先，我们来看一些基本的根式形式。

在根式最值问题中，常见的根式形式有平方根、立方根和方根等。

我们可以利用这些根式形式的特点来帮助我们求解最值问题。

对于平方根，我们一般可以通过对根式进行平方的方式来求解。

假设我们要求解的是一个形如√a的平方根，其中a是一个非负实数。

如果我们要求解最小值，那么√a的最小值就是当a等于0时取到；如果我们要求解最大值，那么√a的最大值就是当a等于正无穷时取到。

类似地，我们可以利用这个思路来求解立方根或方根的最值问题。

另外，我们还可以利用数学中的一些基本不等式来简化根式最值问题的求解过程。

常用的基本不等式有两个：均值不等式和柯西-施瓦茨不等式。

均值不等式是指对于一组非负实数（或一组正实数），它们的算术平均数大于等于几何平均数，也就是说对于非负实数a和b，有(a+b)/2 >= √(ab)。

我们可以利用均值不等式来简化根式的比较问题。

例如，如果我们要比较√a和√b的大小，其中a和b都是非负实数，那么我们可以利用均值不等式得到(a+b)/2 >= √(ab)，从而得到√a >= √b，即a >= b。

这样，我们就得到了√a和√b的大小关系。

柯西-施瓦茨不等式是指对于两组实数a1, a2, ..., an和b1,b2, ..., bn，有(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 <= (a1^2 + a2^2+ ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)。

我们可以利用柯西-施瓦茨不等式来简化根式的乘法或除法问题。

综上所述，根式最值问题可以利用一些数学方法和技巧来进行求解。