有阻尼时单摆运动微分方程
高二物理 第四节 单摆 第六节 简谐振动的能量 阻尼振动 知识精讲 人教版
高二物理 第四节 单摆 第六节 简谐振动的能量 阻尼振动 知识精讲 人教版一. 本周教学内容：第四节单摆第六节 简谐振动的能量 阻尼振动二. 知识要点：〔一〕单摆1. 单摆的概念：细线一端固定在悬点，另一端拴一个小球，忽略线的伸缩和质量、球的直径比线短得多的装置。
2. 单摆可看作简谐运动的条件：最大摆角︒<5α；回复力为摆球重力沿切线方向的分量αsin mg 。
3. 单摆的等时性：在振幅很小的条件下，单摆的振动周期跟振幅没有关系〔伽例略发现〕。
4. 单摆周期：g l T /2π=〔惠更斯发现〕注意：〔1〕周期T 与振幅、摆球质量无关，只与摆长l 和所处地点重力加速度g 有关。
〔2〕单摆的摆长l 是指悬点到摆球球心间的距离。
5. 单摆的应用：〔1〕计时器；〔2〕测定重力加速度：由g l T /2π=得224Tl g π=〔二〕简谐运动的能量、阻尼振动、受迫振动、共振1. 作简谐运动的物体能量的变化规律：只有动能和势能相互转化，机械能守恒。
注意：同一简谐运动能量大小由振幅大小确定。
2. 阻尼振动：任何振动或多或少受到摩擦力的作用，在抑制摩擦力做功的过程中机械能逐渐减少，亦即振幅逐渐减小。
这种振幅逐渐减小的振动称为阻尼振动。
3. 受迫振动：是物体在周期性外力作用下的振动，其振动频率和固有频率无关，等于驱动力的频率。
4. 共振：在受迫振动中，驱动力的频率和物体的固有频率相等时，振幅最大，这种现象称为共振。
5. 产生共振的条件：驱动力频率等于物体固有频率。
6. 共振的应用：共振筛、共振测速。
三. 重难点分析：1. 单摆的周期与等效单摆的周期 单摆的周期公式gl T π2=是惠更斯从实验中总结出来的，从公式中也可看出，单摆周期与振幅和摆球质量无关。
从另一个角度看，单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向并且指向平衡位置的分力，偏角越大，分力越大，加速度αsin g 也越大，在相等的时间内走过的弧长也越长，所以周期与振幅、质量无关，只要摆长l 和重力加速度g 定了，周期也就定了。
§ 15-3 阻尼与受迫振动1运动方程及其解
d 2q dq q L 2 R E 0 cos t dt C dt
其稳态解为
L
E t
R
C
q Q0 cos t 0
电路中的电流为 dq i Q0 cos t 0 I 0 cos t 0 dt 2
1 R L C 1 当电路条件满足L 时，电路中的电流振幅有最大 C E0 值。此时的电流振幅为 ，电流与电动势的相位差 R 0 。这种状态称为电共振。电共振的条件为 0
T 2 LC
对电量的表达式求时间的导数，任意时刻的电流 dq i Q0 sin t 0 dt
令 I 0 Q0 为电流振幅，改写电流表达式为
i I 0 sin t 0 I 0 cos t 0 2
将上式与电量的表达式比较知， 电流的相位比电量的相 位超前 。 2
T t 2
3T t 4
C
I
Q
Q
A A
I
Q
Q
C
t T
2．电流随时间的变化规律 设 t 时刻电容器极板上的电量为 q ，电 路中的电流为 i，回路电流沿顺时针方向。 线圈两端的电势差等于电容器极板间的电 势差，有 di q U L UC 即 L dt C 由于电流的方向使电容器的电量减少，故有 d 2q 1 dq q i 2 LC dt dt 令
2. 共振（resonance) 理论计算得到稳定时受迫振动的振幅和初相为
A
m
2 0
F0
2 2 4Fra bibliotek 2 22 gb tan 0 2 , 0为受迫振动与强迫力的相位差。 2 0 稳态时物体的速度 v dx v cos t dt 2
单摆的非线性振动问题
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目录内容摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Keywords (1)1. 引言 (2)2. 单摆、复摆的非线性振动 (2)2.1 单摆的周期性 (2)2.2 复摆的周期性 (3)2.3 单摆、复摆周期性的综述 (3)3. 非线性单摆的数值解 (3)3.1 阻尼作用对数值解的影响 (3)3.2 非线性方程的数值计算结果 (3)3.3 结果与讨论 (5)4. 非线性单摆的渐近解 (5)5. 结语 (5)参考文献 (6)致谢 (7)内容摘要：单摆和复摆在摆角较小时具有周期性和等时性，这种情况下此模型可被理想化，而摆角较大时它们的振动就是非线性的，虽然依旧具有周期性，但不在具有等时性，原来忽略的实际问题也必须考虑其影响，例如振幅和阻尼系数等。
本文分析了单摆和复摆在不同摆角下的周期情况，并附上数据加以说明。
另外，利用数学物理手段对非线性单摆的振动从数值解和渐近解两个方面进行求解。
关键词：周期性，等时性，简谐振动，数值解，渐近解Abstract：Pendulum and pendulum with periodic and isochronous in the pendulum angle is small. In this case the model can be idealized. Swing angle is larger so that their vibration is nonlinear. Although it still has periodicity, it has not isochronism. Practical problems ignored must consider its effects, such as amplitude and damping coefficient. This paper analyzed the pendulum and pendulum in the period under different wobbling angle, and attaches to illustrate the data. In addition, vibration of the nonlinear pendulum using mathematical and physical methods from numerical solutions and asymptotic solutions of two aspects of solution.Keywords：Periodicity Isochronous Simple harmonic motion1 引言在物理学中有一组特别重要的模型——单摆（数学摆）和复摆（物理摆）。
单摆运动的分析
单摆的运动规律分析摘要：单摆的理想模型是，假设单摆由不可伸缩的轻绳与一质量为m 的小球组成，不考虑空气阻力。
在此基础上还可以进一步考虑受阻力情况。
关键词：单摆 线性微分方程 非线性微分方程 正文：单摆的理想模型是，假设单摆由不可伸缩的轻绳与一质量为m 的小球组成，不考虑空气阻力。
在此基础上还可以进一步考虑受阻力情况。
单摆在摆动过程中要受到空气阻力的影响，且其在摆动的过程中可能会出现不在同一平面内的情况，若考虑这一系列问题，求解就会变得比较复杂了，首先把问题理想化，假设单摆由不可伸缩的轻绳与一质量为m 的小球组成，不考虑空气阻力。
Ⅰ.由刚体绕定轴转动的微分方程可知：θθsin 222mgl dt d ml -=……⑴当θ很小时：022=+θθl gdtd ……⑵ 令l g w =2则原式化为0222=+θθw dtd ……⑶做任意角度摆动时的情况：0sin 222=+θθw dtd ……⑷ Ⅱ.受大小与速度成正比的阻力作用时：0sin 222=+-θθθw dtd k dt d ……⑸ 做小角度摆动时可近似为：0222=++θθθw dtd k dt d ……⑹ 其中⑵、⑶、⑹式为线性微分方程，⑴、⑷、⑸式为非线性微分方程。
1）小角度震荡时将sin θ近似看作θ i.函数文件:function fc=f0(t,y) global g lfc=[y(2) -g/l*y(1)]' ii.绘图程序：clearclcglobal g lg=9.8;l=1;w0=input('wm0?\n')[t,y]=ode45('f0',[0,100],[0,w0*pi]');plot(t,y(:,1),'r')title('θ-t 图');xlabel('时间/s');ylabel('θ/rad');gridiii.图像：取wm0=0.5.2)振幅增大后，θ将不满足近似条件。
机械振动发展史
公元前1000多年，中国商代铜铙已有十二音律中的九律，并有五度谐和音程的概念。
在战国时期，《庄子·徐无鬼》中就记载了同频率共振现象。
人们对与振动相关问题的研究起源于公元前6世纪毕达哥拉斯(Pythagoras)的工作，他通过试验观测得到弦线振动发出的声音与弦线的长度、直径和张力的关系。
意大利天文学家、力学家、哲学家伽利略(Galileo Galilei)经过实验观察和数学推算，于1 5 8 2年得到了单摆等时性定律。
荷兰数学家、天文学家、物理学家惠更斯(c．Huygens)于1 6 7 3年著《关于钟摆的运动》，提出单摆大幅度摆动时并不具有等时性这一非线性现象，并研究了一种周期与振幅无关的等时摆。
法国自然哲学家和科学家梅森(M．Mersenne)于1623年建立了弦振动的频率公式，梅森还比伽利略早一年发现单摆频率与摆长平方成反比的关系。
英国物理学家胡克(R. Hooke)于1 6 7 8年发表的弹性定律和英国伟大的物理学家、数学家、天文学家牛顿(I. Newton)于1 6 8 7年发表的运动定律为振动力学的发展奠定了基础。
在下面对振动发展史的简述中，主要是针对线性振动、非线性振动、随机振动以及振动信号采集和处理这三个方面进行的。
而关于线性振动和非线性振动发展史的简介中，又分为理论研究和近似分析方法两个方面。
线性振动理论在1 8世纪迅速发展并趋于成熟。
瑞士数学家、力学家欧拉(L. Euler)于1728年建立并求解了单摆在有阻尼介质中运动的微分方程；1 7 3 9年研究了无阻尼简谐受迫振动，并从理论上解释了共振现象；1 7 4 7年对九个等质量质点由等刚度弹簧连接的系统列出微分方程组并求出精确解，从而发现线性系统的振动是各阶简谐振动的叠加。
法国数学家、力学家拉格朗日(J.L．Lagrange)于1 7 6 2年建立了离散系统振动的一般理论。
最早被研究的连续系统是弦线，法国数学家、力学家、哲学家达朗伯(J. le R．d，Alembert)于1 7 4 6年发表的《弦振系统是弦线，法国数学家、力学家、哲学家达朗伯(J．1e R．d，Alem bert)于1 7 4 6年发表的《弦振动研究》将他发展的偏微分方程用于弦振动研究，得到了弦的波动方程并求出行波解。
chapter7-5 有阻尼的波动问题
k
2
;a
T)
u t0 ( x);ut t0 ( x)
齐次方程+齐次边界 分离变量法求解
解法一：
第一步：分离变量 设 u(x,t) X (x)T (t) 代入 utt 2ut a2uxx
T (t)X ( x) 2T(t)X ( x) a2 X ( x)T(t)
两边同除以 a2 X ( x)T (t)
特征方程 a0n a1n1 ... an1 an 0, a0 0
特征根
j ( j 1,2,..., n)互异实根 i是单根
则 - i也是单根
对应的线性无关解
y j ( x) ej x ( j 1,2,...,n)
yj (x) ex cos x
yj ( x) ex sinx
n1
in nx
l
nx
l
0
(x)
Tn (0)
2
Tn(t
)
2Tn(t)
a
2n2
l2
l (x) sin nx dx
0
l l
;Tn(0)
2
Tn (t) 0
l
2 (x) sin
0 l
nx
l
dx
例1
utt
2ut
a 2uxx u x0
0;
0
u
(0
xl
x 0
l;t
0)
u
t0
4h l2 (x
utt 2ut a2uxx 0
(0 x l;t 0)( k ;a
T )
2
有阻尼的弦的振动
定解问题为：
有阻尼的 自由波动方程 （阻尼波动方程）
nu( xຫໍສະໝຸດ t ) Tn (t )sin(n1
有阻尼强迫振动微分方程及其解
解为：
q Asin(nt )
8
设 t = 0 时，q q0 , q q0 则可求得：
A
q02
q02
2 n
,
arctg
n q0
q0
或：
q C1cosn t C2 sinn t
C1，C2由初始条件决定为 C1 q0 , C2 q0 /n
q
q0
cos nt
q0
n
sin
nt
9
三、自由振动的特点：
令
n2
k m
,
n
c 2m
则 x2nxn2 x0
有阻尼自由振动微分方程的标准形式。
24
其通解分三种情况讨论：
1、小阻尼情形 (n n) c 2 mk
x Ae nt sin(d t )
d n2 n2 —有阻尼自由振动的圆频率
设 t 0 时, x x0 , x x0 , 则
A
x02
(
x0 nx0 )
的固有频率、激振力的频率及激振力的力幅有关。 31
(1) =0时
b0
h
2 n
H k
(2) n 时，振幅b随 增大而增大；当 n 时，b
(3) n 时，振动相位与激振力相位反相，相差 rad 。
b h
n2 2
b 随 增大而减小； 2n时 , bb0; 时b0
— 振幅比或称动力系数
20
Tm
ax
1 2
M
(
xm
ax)
2
1 2
M
2
(
x m a x R
)
2
1 2
m(
R R
r
xm
单摆运动特性及其频率公式的推导分析
单摆运动特性及其频率公式的推导分析单摆是指由一根轻细而无弹性的线或者杆悬挂起来的质点系统。
它是研究机械振动的经典案例，具有重要的物理意义。
本文将从单摆运动的基本特性开始，讨论其频率公式的推导分析。
一、单摆的基本特性单摆在自由悬挂的条件下，质点沿着圆弧轨迹做周期性振动。
其中，重力对质点产生的力是恒定的，使得质点具有恒定的势能。
同时，质点的速度和加速度方向均与弦的夹角有关。
因此，单摆的运动可用一个简谐振动来描述。
二、单摆的运动方程对于单摆的运动，可以建立如下的运动方程：\[\ddot{\theta} + \frac{g}{l}\sin(\theta) = 0\]其中，\(\theta\) 表示摆的偏离角度，\(g\) 表示重力加速度，\(l\) 表示摆的长度。
这是一个非线性微分方程，可以通过近似方法进行求解。
三、小角度近似在小角度下，即当 \(\theta\) 很小时，可以做小角度近似，即\(\sin(\theta)\approx \theta\)。
在这种情况下，运动方程可以简化为：\[\ddot{\theta} + \frac{g}{l}\theta = 0\]这是一个二阶常微分方程，其解可以写成如下形式：\[\theta(t) = A\cos(\omega t + \phi)\]其中，\(A\) 表示振幅，\(\omega\) 表示角频率，\(\phi\) 表示初相位。
通过代入运动方程，可以得到频率公式的推导。
四、频率公式的推导将解 \(\theta(t) = A\cos(\omega t + \phi)\) 代入运动方程，可得：\[-A\omega^2\cos(\omega t + \phi) + \frac{g}{l}A\cos(\omega t + \phi)= 0\]整理可得：\[\omega^2 = \frac{g}{l}\]即：\[\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}\]这里的 \(\omega\) 就是单摆的角频率，也是单摆振动的频率。
微分方程零解的稳定性
(2.7)
的零解的稳定性，我们给出定理3的推广。
定理4 若选择可微的 函数 在原点的邻域内为定正的，且对 有 （常负），则方程（2.7）的零解是稳定的。
第三章
§3.1
线性近似方法(忽略高阶小量)是一种十分重要且使用广泛的线性化方法。这是因为，在工程技术中，很多系统实质上都是非线性的，而非线性系统求解十分困难，所以经常使用线性化近似理论来研究非线性方程组的零解的稳定性。
。
定理3如果对n阶自治微分方程组
(2.6)
可以找到一个定正函数 ，其通过（2.6）的全导数 为定负的，则方程组（2.6）的零解为渐近稳定的；
如果存在函数 和某非负常数u，而通过（2.6）的全导数 可表示为
，
且当 时， 为定正函数，而当 时， 为常正函数或恒等与零；又在 时任意小的领域内都至少存在某个 ，使 ，那么方程组（2.6）的零解是不稳定的。
§
李雅普诺夫第二方法是研究非线性方程组零解的稳定性的一个有效的方法，但其核心问题是构造合适的V函数。为此，本节介绍一个构造 函数的方法，即微分矩法。
1965年，P.J .Ponzo首次提出用非线性高阶微分方程的微分矩构造李雅普诺夫函数。1974年,T .Nagoraja和V.V.Chalam对这种方法做了概括和修改，指出微分矩法是构造李亚普诺夫函数的一个新的途径。
说明：非线性方程组只有在非临界情形下才可以按线性近似决定其稳定性，而且线性近似稳定性理论仅在原点 的某邻域中成立。
那么，当线性近似方程组的特征根属于临界情形，即其特征方程除了有负实部的特征根，还有零根或具有零实部的根时，无法用线性近似方程组决定（3.1）的稳定性。
§
借助构造一个特殊的函数 ，并利用 函数及其通过方程组的全导数 的性质来确定方程组零解的稳定性，这就是李雅普诺夫第二方法的思想，具有此特殊性质的函数 称为李亚普诺夫函数，简称 函数。
《理论力学 动力学》 第九讲 单自由度系统的有阻尼受迫振动
2、单自由度系统的有阻尼受迫振动单自由度系统的受迫振动理论单自由度系统的受迫振动理论（1）振动微分方程kOx②恢复力F e , 方向指向平衡位置O ，大小与偏离平衡位置的距离成正比。
kxF -=e ③黏性阻尼力F d , 方向与速度方向相反，大小与速度大小成正比。
d dd x xF cv ct=-=-物块的运动微分方程为：22d d sin()d d x x m kx c H t t tw =--+方程两边同除以m ，并令：(ω0, 固有角频率) , (δ, 阻尼系数),得到：mk =20w 2c md =2202d d 2sin()d d x x x h t t td w w ++=——有阻尼受迫振动微分方程的标准形式①激振力F , 简谐激振力。
sin()F H t w =H h m =解可以写成：12xx x =+x 1 对应齐次方程的通解; x 2 对应的是特解。
欠阻尼的情况下( δ<ω0)，齐次方程的通解可写为：1e )t x A d q -=+特解可写为：)sin(2e w -=t b x ε表示受迫振动的相位角落后于激振力的相位角2、单自由度系统的有阻尼受迫振动单自由度系统的受迫振动理论将x 2 代入微分方程，得到:220sin()2cos()sin()sin()b t b t b t h t w w e d w w e w w e w --+-+-=将等式右边的h sin(ωt )做一个变换，得到:sin()sin[()]h t h t w w e e =-+cos sin()sin cos()h t h t e w e e w e =-+-代入微分方程，整理得到:)cos(]sin 2[)sin(]cos )([220=--+---e w e w d e w e w w t h b t h b 对任意瞬时t ，上式都必须是恒等式，所以有：cos )(220=--e w w h b 0sin 2=-e w d h b 2222204)(wd w w +-=hb 2202tan w w dwe -=于是，微分方程的通解为：e)sin()tx A b t d q w e -=++-式中，A 和θ为积分常数，由运动的初始条件确定。
单摆实验原理
单摆实验原理单摆实验是物理学中常见的实验之一，通过单摆实验可以研究单摆的周期、振幅和频率等特性，从而深入理解单摆的运动规律。
单摆实验原理主要涉及单摆的运动方程、周期公式和影响因素等内容。
下面将从这些方面对单摆实验原理进行详细介绍。
首先，单摆的运动方程是描述单摆运动规律的基本公式。
单摆的运动可以用简单的三角函数关系来描述，其运动方程为：T = 2π√(l/g)。
其中，T表示单摆的周期，l表示单摆的长度，g表示重力加速度。
从这个公式可以看出，单摆的周期与单摆的长度和重力加速度有关，周期与长度成正比，与重力加速度成反比。
这就是单摆运动的基本规律之一。
其次，单摆的周期公式是描述单摆周期与长度之间关系的具体公式。
单摆的周期公式可以表示为：T = 2π√(l/g)。
这个公式表明了单摆的周期与单摆的长度和重力加速度之间的定量关系。
通过实验测量单摆的周期和长度，可以验证这个公式，从而验证单摆的运动规律。
另外，影响单摆运动的因素还包括摆角、阻尼和外力等。
摆角是指单摆摆动的最大角度，摆角越大，周期越长。
阻尼是指外界对单摆的阻碍作用，会使单摆的振幅逐渐减小，周期逐渐增大。
外力是指施加在单摆上的外部力，会改变单摆的运动规律，使周期发生变化。
综上所述，单摆实验原理涉及单摆的运动方程、周期公式和影响因素等内容。
通过实验测量单摆的周期和长度，可以验证单摆的运动规律，从而加深对单摆运动规律的理解。
同时，还需要注意单摆摆角、阻尼和外力等因素对单摆运动的影响，这些因素也需要在实验中进行综合考虑。
总之，单摆实验原理是物理学中重要的实验内容，通过深入理解单摆的运动规律，可以更好地理解物理学中的振动现象，对于提高学生的物理学实验能力和科学素养具有重要意义。
第五章 机械振动
cos 2 (t
0)
3、总能
E
Ek
EP
1 2
kA2
1 2
m 2 A2
1 2
mv
2 max
4、动能和势能在一个周期内的平均值
cos 2 1 (1 cos 2 )
2
sin2 1 1 cos 2
2
32
在一个周期 T 内的平均动能
Ek
1 T
T 0
1 2
kA 2
sin 2
(t
0
)dt
1
T
A A; B A; C 3 A; D 2 A
4
2
2
2
解： 1 mv 2 1 kx 2 1 kA2
2
2
2
而题知 1 mv 2 1 kx 2
2
2
1 kx 2 1 1 kA2
2
22
于是 x 2 A,即应选D
2
34
例： 一物体质量为0.25kg，在弹性力作用下作简谐振
动，弹簧的倔强系数k=25Nm-1，如果起始振动具有势
3过阻尼541弱阻尼谐振子系统谐受迫振动微分方程ptdtdt452受迫振动ptdtdt不讨论随机外力cospt只讨论谐和策动力f周期性外力用下的新平衡点将坐标原点移至恒力作恒力作用552方程的解及其物理意义由微分方程理论上述方程的解为1自由振动的能量是外界一次性输入减幅振动有能量损耗有阻尼等幅振动能量守恒无阻尼2受迫振动过程中外界在不断地向振动系统补充能量的稳定受迫振动是由谐和策动力所维持也就不存在了与初始条件相关的a当其衰减完毕时的固有项就是由初始能量所维持563稳定的受迫振动说明此时振动方程的位相与初始条件无关其表示振动位移的位相与策动力位相的位相差
利用阻尼公式解答阻尼问题
利用阻尼公式解答阻尼问题阻尼是物体运动时受到的阻力，它会影响物体的运动速度和位置。
在物理学中，阻尼可以分为三种类型：无阻尼、临界阻尼和过阻尼。
利用阻尼公式可以解答与阻尼相关的问题。
1. 无阻尼运动无阻尼运动指的是物体在没有任何外界阻力的情况下进行的运动。
在无阻尼情况下，物体的运动满足简谐振动的特点。
简谐振动的运动方程可以表示为：x = A * sin(ωt + φ)其中，x表示物体的位移，A表示振幅，ω表示角频率，t表示时间，φ表示初始相位。
2. 临界阻尼运动临界阻尼指的是物体受到的阻力刚好能够消除振动的情况。
在临界阻尼情况下，物体回到平衡位置所需的时间最短，但没有振动。
临界阻尼的运动方程为：x = (A + Bt) * e^(-λt)其中，x表示物体的位移，A、B是常数，λ为阻尼系数，t表示时间。
3. 过阻尼运动过阻尼是指物体受到了超过临界阻尼的阻力，导致物体回到平衡位置所需的时间更长。
过阻尼的运动方程为：x = Ce^(-λ1t) + De^(-λ2t)其中，x表示物体的位移，C、D是常数，λ1和λ2分别为两个不同阻尼系数，t表示时间。
通过以上的运动方程，可以利用阻尼公式解答各种阻尼问题。
根据具体问题的条件，可以确定未知数的值，进而求解出物体的位移、速度、加速度等相关信息。
总结：阻尼问题是物理学中的重要内容，通过利用不同类型的阻尼公式，可以解答与阻尼相关的物理问题。
无阻尼、临界阻尼和过阻尼分别对应着不同的物体运动情况，通过确定各种未知数的值，可以获得详细的物体运动信息。
在实际应用中，阻尼问题广泛存在于各个领域，如工程、生物学等。
掌握阻尼公式的应用方法，对于解决实际问题具有重要的意义。
以上是利用阻尼公式解答阻尼问题的相关内容，希望对你有所帮助。
常微分方程在有阻尼自由振动中的应用
常微分方程在有阻尼自由振动中的应用羊士林（数学科学学院,2008（4）班,08211439号）1 引言在数学的应用中微分方程是一个活跃的分支.这不是偶然的,因为许多自然科学的定律可以通过微分方程得到精确的表达.实际上,微分方程的应用已深入到许多学科之中.比如物理学科中的许多公式的推导以及一些题目的计算,就需用到微分方程的有关知识.微分方程来源于生活实际,研究微分方程的目的就在于掌握他所反应的客观规律,能动的解释所出现的现象并预测未来可能发生的情况.下面我们将简单的介绍常微分方程的几种解法及其在物理学中的应用.2 二阶常系数常微分方程的几种解法2.1特征方程法例1 求微分方程220d x dx p qx dt dt++=的通解. 解 特征方程02=++q p λλ的根21,λλ,(1)若这是两个不等实根,则该方程有两个实值解12,t t e e λλ,故通解为1212t t x c e c e λλ=+（21,c c 为任意常数）.(2)若这两个根相等,则该方程有二重根,因此方程的通解具有形状1112t t x c e c te λλ=+（21,c c 为任意常数）.(3)若这两个根为共轭复根z a bi =±,则该方程的通解具有形状12(sin cos )at x e c bt c bt =+（21,c c 为任意常数）.数学的许多公式与定理都需要证明,下面本文给出上面前两个解答的理论依据.1 特征根是两个实根的情形设12,λλ是上面特征方程的两个不相等的实根,从而相应的方程有如下两个解12,t t e e λλ,我们指出这两个解在a t b ≤≤上线性无关,从而它们能够组成方程的基本解组.事实上,这时 121212()121211()t tt t t e e w t e e e λλλλλλλλλλ+==,而最后一个行列式是著名的范德蒙德（Vandermonde ）行列式,它等于21()λλ-.由于假设21λλ≠,故此行列式不等于零,从而()0w t ≠,于是 12,t t e e λλ线性无关,这就是所要证明的.而此方程的通解可表示为1212t t x c e c e λλ=+（其中12,c c 为任意数）.如果特征方程有复根,则因方程的系数是实常数,复根将成对共轭出现.设1i λαβ=+是一特征根,则2i λαβ=-也是特征根,因而与这对共轭复根对应的,方程有两个复值解()(cos sin )i t t e e t i t αβαββ+=+,()(cos sin )i t t e e t i t αβαββ-=-.根据定理可知,复值解的实部和虚部也是方程的解.这样一来,对应于特征方程的一对共轭复根i λαβ=±,我们可求的方程220d x dx p qx dt dt++=的两个实值解 cos ,sin t t e t e t ααββ.2 特征根有重根的情形 设特征方程有k 重根1,λλ=则众所周知'(1)111()()()0,k F F Fλλλ-====()1()0k F λ≠, 先设10λ=,即特征方程有因子k λ,于是110n n n k a a a --+====,也就是特征方程的形状为110n n k n k a a λλλ--+++=,而对应的方程[]11110n n n n n n d x d x L x a a a x dt dt ---≡++++=变为1110n n k n kn n k d y d y d y a a dx dx dx ---+++=. 易见它有k 个解1,21,,,k t t t -,而且它们是线性无关的.这样一来,特征方程的k 重零根就对应方程的k 个线性无关的解1,21,,,k t t t -.如果这个k 重根10λ≠,我们作变量变换1t x ye λ=,注意到11()()()(1)2(2)111(1)()2!t t m m m m m m m m xye e y m y y y λλλλλ---⎡⎤==++++⎢⎥⎣⎦， 可得[]1111111()n n t t t n n n d y d y L ye b b y e L y e dt dt λλλ--⎡⎤=+++=⎣⎦,于是对应方程化为[]11110n n n n n d y d y L y b b y dt dt --=+++=,其中123,,,,n b b b b 仍为常数,而相应的特征方程为111()0n n n n G b b b μμμμ--≡++++=, 直接计算易得1111()()()11()()t t t t t F eL e L e e G e μλμλλμλμμλμ+++⎡⎤⎡⎤+===⎣⎦⎣⎦, 因此1()()F G μλμ+=,从而1()()j j F G μλμ+=，1,2,,j k =,这样,问题就化为前面讨论过的情形了. 2.2常数变易法对于二阶常系数非线性常微分方程的解法,只要先求出其一个特解,再运用特征方程法求得方程的通解.例2 求常微分方程 22()d x dx p qx f t dt dt++=的通解. 解 方程22()d x dx p qx f t dt dt++=对应齐次方程为 220d x dx p qx dt dt++=, 其特征方程为02=++q p λλ. （1）由于方程22()d x dx p qx f t dt dt++=的通解等于其对应的齐次线性微分方程的通解与其自身的一个特解之和，而二阶常系数齐次线性微分方程的通解我们已经研究过了,所以此处只需求出其一个特解.情形1：若λ为方程（1）的实根,则tx e λ=是方程220d x dx p qx dt dt ++=的解.由常数变易法设22()d x dx p qx f t dt dt++=的一个解为*()t x c t e λ=,代入原方程并化简得"'()(2)()()t c t p c t e f t λλ-++=,这是关于 '()c t 的一阶线性微分方程,其一个特解为()(2)()()()p tp t c t e e f t dt dt λλ-++⎡⎤=⎣⎦⎰⎰, 从而得方程（1）的一个特解为 *(2)()(())t p t p t x e e e f t dt dt λλλ-++⎡⎤=⎣⎦⎰⎰. 情形2：若λ为方程（1）的复根,我们可以设,,a bi a b R λ=+∈且0b ≠，则*sin atx e bt =是方程22()d x dx p qx f t dt dt ++=的解，根据常数变易法可设其一个特解为*()sin atx c t e bt =，与情形1的解法类似得方程22()d x dx p qx f t dt dt ++=的一个特解为 (2)(2)*2()sin sin .sin p a p a t at e f t e btdtx e bt dt bt -++=⎰⎰由于*x 是特解,则积分常量可以都取零.2.3拉普拉斯变换法常系数线性微分方程可以应用拉普拉斯变换法进行求解,这往往比较简单.由积分()()0st F s e f t dt -+∞=⎰. 所定义的确定于复平面（Re σ>）上的复变数s 的函数()F s ,称为函数()f t 的拉普拉斯变换,我们称()f t 为原函数,而()F s 称为像函数.拉普拉斯变换法主要是借助于拉普拉斯变换把常系数线性微分方程转换成复平面s 的代数方程.通过一些代数运算,一般地再利用拉普拉斯变换表,即可求出微分方程的解.方法十分简单方便,为工程技术工作者所普遍采用.当然,方法本身有一定的局限性,它要求所考察的微分方程的右端函数必须是原函数.例3 求解方程 2'22,(1)(1)0t d x dx x e x x dt dt-++===. 解 先使1t τ=-，将问题化为2(1)'22,(0)(0)0t d x dx x e x x dt dt--++===, 再对新方程两边作拉普拉斯变换,得到211()2()()1s X s sX s X s s e++=⋅+, 因此 311()(1)X s s e=⋅+, 查拉普拉斯变换表可得 211()2x e τττ--=, 从而 21()(1)2t x t t e -=-, 这就是所要求的解. 当然,求解二阶或者更高阶的常微分方程的方法还有很多,这里我们不能一一列出.然而我们利用上面的一些结论就可以解决下面的几个物理问题了.3常微分方程在有阻尼自由振动中的简单应用一般求解物理问题主要是分三步：1.分析问题建立方程并确定定解条件;2.求出方程满足初始条件的特解或讨论解的性质;3.对解做定性分析,反过来解释原问题,其中关键在于列出方程,主要有两种方法:1.瞬时变化率;2.微元分析法.在研究阻尼振动时,运动方程的求解问题较为复杂,一般教科书没有给出求解过程.下面分别用特征值法,常数变易法,拉普拉斯变换法来求动力学方程.3.1特征方程法例4 一弹簧振子系统，物体的质量 1.0m kg =,弹簧的劲度系数175k N m -=⋅,阻尼系数110.0s δ-=，设质点由静止开始运动,求位移方程.解 根据牛顿第二运动定律有kx cv ma --=, （2） 或 220d x dx m c kx dt dt++=, （3） 对一给定的振动系统,,,m k c 均为常量.若令20,2k m c m ωδ==,则上式可写成220220d d dt dtξξδωξ++=, （4） 将数据代入（4）得 2220750d x dx x dt dt++=. （5） 根据观察可以用特征值法求解.这里特征方程为220750λλ++=,有两个根1215,5λλ=-=-,则(5)的两个根为51512,t t e e ξξ--==. （6）计算可得振动子固有角频率数值为052k m ω==，而阻尼系数数值为10δ=,即220δω<,则方程(5)的解为515t t Ae Be ξ--=+（,A B 由初始条件决定）. （7） 上式是一个非振动状态的,这种情况下质点仅仅是从非平衡位置恢复到平衡位置,而不具备周期振动的特点.我们更关心的是0δω<情况下,质点的衰减振动.由于阻尼的作用,一个自由振动系统的振动不能维持很久,它要逐渐衰减直至停止.要使振动持续不停,就需要不断地从外界获得能量,这种受到外部持续作用而产生的振动就称为强迫振动例5 设有一个外力100cos(30)F t N =作用在上面振动系统上,式中100A F =为驱动力的幅值,30ω=为驱动力的圆频率,f 为驱动力的频率.解 将驱动力加到质点振动系统,得到系统振动方程为22d x dx m c kx F dt dt++=, (8) 或写成22022cos(30)d x dx x H t dt dtδω++=. (9) 式中A F H m=为作用在单位质量上的外力幅值.方程(8)和方程(9)都是质点强迫振动方程.强迫振动方程是二阶的非齐次常微分方程,其一般解为该方程的一个特解与相应的齐次方程一般解之和.我们已经获得了对应的自由振动方程的一般解,关键就是寻找(9)的一个特解.将数据代入（9）得222075100cos(30)d x dx x t dt dt++=, （10） 我们设（10）有形如1sin 30cos30x A t B t =+的特解，将它代入（10）并化简得到(3324)sin30(2433)cos304cos30A B t A B t t -++-=,比较同类项系数得3244,555555A B ==-,于是13244sin30cos30555555x t t =-,而原方程的通解为5153244()sin 30cos30555555t t x t Ae Be t t --=++-. 上式中,A B 由初始条件决定,前两项项称为瞬态解,它描述了系统的自由衰减振动,仅在振动的开始阶段起作用,当时间足够长以后,它的影响逐渐减弱并最终消失.后二项称为稳态解,它描述了系统在驱动力的作用下进行强制振动的状态,因为它的幅值恒定,因此称为稳态振动.从上式可以看到,当外力施加到质点振动系统以后,系统的振动状态比较复杂,它是自由衰减振动和稳态振动的合成,这种振动状态描述了强迫振动中稳态振动逐步建立的过程.当一定时间以后,瞬态振动消失,系统达到稳态振动.3.2 常数变易法情形1 已知5t x e -=为上面例5中特征方程220750λλ++=的实根,则5t x e -=是方程（10）的一根.由常数变易法设*5()t x c t e -=,则*x 也是方程的一个解.代入（10）并化简得"'5()10()100cos30t c t c t e t +=.这是关于'()c t 的一阶线性微分方程,其一个特解为'55184()sin 30cos3033t t c t e t e t c =++, 从而得出（10）的一个特解为（取120c c ==）*5551284()((sin 30cos30))33t t t x t e e t e t dt c -=++⎰ 3244sin 30cos30555555t t =-, 从而可得（10）的通解5153244()sin 30cos30555555t t x t Ae Be t t --=++-. 情形2 例6 一弹簧振子系统，物体的质量 1.0m kg =，弹簧的劲度系1400k N m -=⋅,阻尼系数110.0s δ-=，有一个外力cos(2)F t N =.作用在上面振动系统上,设质点由静止开始运动.求位移方程.解 由例5可知22d x dx m c kx F dt dt++=. （11）代入数据得 2220400cos(2)d x dx x t dt dt++=. （12） 根据观察可以用常数变易法求解，首先求（12）的齐次线性方程的根.有前面的研究可得（12）齐次线性微分方程的特征方程为2204000μμ++=.我们可设特征方程的根为10103i μ=-±.则10()sin(103)t x t e t -=是（12）的一个解.由常数变易法可设为*10()()sin(103)t x t c t e t -=.与情形1中的解法类似，将*()x t 代入（12）并化简得*1099()sin(2)cos(2)3960439604x t t t =+.由于*x 是特解,则积分常量可以都取零. 3.3 拉普拉斯变换法若仍然以例6为例，由牛顿第二运动定律得22d x dxm c kx F dt dt ++=,代入数据得2220400cos(2)d x dxx t dt dt ++=, (13)由于质点由静止开始运动.则00,0t dxx dt ===,对方程(13)施行拉普拉斯变换,得到22()20()400()4ss X s sX s X s s ++=+,即221()420400s X s s s s =+++,把上式右端分解为部分分式2210299()396044396044sX s s s =+++22221013103991011881239604(10)(103)(10)(103)s s s +--++++, 由拉普拉斯变换表可得 1099()sin(2)cos(2)3960439604x t t t =+ 1010101399sin(103)cos(103)11881239604t t e t e t ----.参考文献[1]王高雄.周之铭.宋思铭.等.常微分方程.北京高等教育出版社.2001.[2]美R.布朗森.（全美经典学习指导）微分方程.北京科学出版社.1998.[3]同济大学应用数学系.高等数学.高等教育出版社.2002.[4]常微分方程（第三版）. 高等教育出版社.2004.[5]复旦大学物理系.上海师范大学物理系.物理学.上海科技出版社.1997.[6]刘克哲.物理学.北京：高等教育出版社.2000.总结综上所述,本文首先介绍二阶微分方程的三种求解方法：特征方程法、常数变易法、拉普拉斯变换法.然后列举了阻尼振动的几个具体例题,分别利用三种方法解题.另外还应该指出,用来描述物理过程的微分方程,以及由试验测定的初始条件是近似的,这种近似之间的影响和变化还必须在理论上加以解决.。
单摆运动微分方程求解
单摆运动微分方程求解## English Response:The equation of motion for a simple pendulum is a second-order nonlinear differential equation. It is given by:$$m l \frac{d^2 \theta}{dt^2} = -m g \sin \theta$$。
where:$m$ is the mass of the pendulum.$l$ is the length of the pendulum.$g$ is the acceleration due to gravity.$\theta$ is the angle of the pendulum from the vertical.This equation can be solved using a variety of methods,including:Analytical methods: These methods involve finding an exact solution to the equation of motion. One common analytical method is to use the separation of variables method.Numerical methods: These methods involve using a computer to approximate the solution to the equation of motion. One common numerical method is to use the Runge-Kutta method.In this example, we will use the separation ofvariables method to find the analytical solution to the equation of motion. The first step is to separate the variables in the equation of motion:$$m l \frac{d^2 \theta}{dt^2} = -m g \sin \theta$$。
常微分方程在有阻尼自由振动中的应用
常微分方程在有阻尼自由振动中的应用羊士林（数学科学学院,2008（4）班,08211439号）1 引言在数学的应用中微分方程是一个活跃的分支.这不是偶然的,因为许多自然科学的定律可以通过微分方程得到精确的表达.实际上,微分方程的应用已深入到许多学科之中.比如物理学科中的许多公式的推导以及一些题目的计算,就需用到微分方程的有关知识.微分方程来源于生活实际,研究微分方程的目的就在于掌握他所反应的客观规律,能动的解释所出现的现象并预测未来可能发生的情况.下面我们将简单的介绍常微分方程的几种解法及其在物理学中的应用.2 二阶常系数常微分方程的几种解法2.1特征方程法 例1 求微分方程220d x dx pqx dtdt++=的通解.解 特征方程02=++q p λλ的根21,λλ,(1)若这是两个不等实根,则该方程有两个实值解12,tt e e λλ,故通解为1212tt x c e c e λλ=+（21,c c 为任意常数）.(2)若这两个根相等,则该方程有二重根,因此方程的通解具有形状 1112tt x c e c te λλ=+（21,c c 为任意常数）.(3)若这两个根为共轭复根z a bi =±,则该方程的通解具有形状12(sin cos )a tx e c bt c bt =+（21,c c 为任意常数）.数学的许多公式与定理都需要证明,下面本文给出上面前两个解答的理论依据. 1 特征根是两个实根的情形设12,λλ是上面特征方程的两个不相等的实根,从而相应的方程有如下两个解12,tt e e λλ,我们指出这两个解在a t b ≤≤上线性无关,从而它们能够组成方程的基本解组.事实上,这时121212()121211()t t ttteew t ee eλλλλλλλλλλ+==,而最后一个行列式是著名的范德蒙德（Vandermonde ）行列式,它等于21()λλ-.由于假设21λλ≠,故此行列式不等于零,从而()0w t ≠,于是 12,t t e e λλ线性无关,这就是所要证明的.而此方程的通解可表示为1212t tx c e c e λλ=+（其中12,c c 为任意数）.如果特征方程有复根,则因方程的系数是实常数,复根将成对共轭出现.设1i λαβ=+是一特征根,则2i λαβ=-也是特征根,因而与这对共轭复根对应的,方程有两个复值解()(cos sin )i t t e e t i t αβαββ+=+, ()(cos sin )i t t e e t i t αβαββ-=-.根据定理可知,复值解的实部和虚部也是方程的解.这样一来,对应于特征方程的一对共轭复根i λαβ=±,我们可求的方程220d x dx pqx dtdt++=的两个实值解cos ,sin t t e t e t ααββ. 2 特征根有重根的情形设特征方程有k 重根1,λλ=则众所周知'(1)111()()()0,k F F Fλλλ-==== ()1()0k F λ≠, 先设10λ=,即特征方程有因子k λ,于是110n n n k a a a --+==== ,也就是特征方程的形状为110n n kn k a a λλλ--+++= , 而对应的方程[]11110nn n n n n d x dxL x a a a x dtdt---≡++++= 变为1110nn kn knn kd y dyd y a a dxdxdx---+++= .易见它有k 个解1,21,,,k t t t - ,而且它们是线性无关的.这样一来,特征方程的k 重零根就对应方程的k 个线性无关的解1,21,,,k t t t - .如果这个k 重根10λ≠,我们作变量变换1tx ye λ=,注意到11()()()(1)2(2)111(1)()2!ttm m m m m mm m x yeey m y y y λλλλλ---⎡⎤==++++⎢⎥⎣⎦， 可得[]1111111()nn tttn nn d y dyL ye b b y eL y edtdtλλλ--⎡⎤=+++=⎣⎦ ,于是对应方程化为[]11110nn n nn d y dyL y b b y dtdt--=+++= ,其中123,,,,n b b b b 仍为常数,而相应的特征方程为111()0n n n n G b b b μμμμ--≡++++= ,直接计算易得1111()()()11()()t t tt t F e L e L e e G e μλμλλμλμμλμ+++⎡⎤⎡⎤+===⎣⎦⎣⎦, 因此1()()F G μλμ+=,从而1()()j jF G μλμ+=，1,2,,j k = ,这样,问题就化为前面讨论过的情形了. 2.2常数变易法对于二阶常系数非线性常微分方程的解法,只要先求出其一个特解,再运用特征方程法求得方程的通解.例2 求常微分方程22()d x dx pqx f t dtdt++=的通解.解 方程22()d x dx pqx f t dtdt++=对应齐次方程为220d x dx pqx dtdt++=,其特征方程为02=++q p λλ. （1）由于方程22()d x dx pqx f t dtdt++=的通解等于其对应的齐次线性微分方程的通解与其自身的一个特解之和，而二阶常系数齐次线性微分方程的通解我们已经研究过了,所以此处只需求出其一个特解.情形1：若λ为方程（1）的实根,则tx e λ=是方程220d x dx pqx dtdt++=的解.由常数变易法设22()d x dx pqx f t dtdt++=的一个解为*()tx c t eλ=,代入原方程并化简得"'()(2)()()t c t p c t e f t λλ-++=, 这是关于 '()c t 的一阶线性微分方程,其一个特解为()(2)()()()p tp tc t e ef t dt dt λλ-++⎡⎤=⎣⎦⎰⎰,从而得方程（1）的一个特解为*(2)()(())tp tp tx ee ef t dt dtλλλ-++⎡⎤=⎣⎦⎰⎰.情形2：若λ为方程（1）的复根,我们可以设,,a bi a b R λ=+∈且0b ≠，则*sin atx e bt =是方程22()d x dx pqx f t dtdt++=的解，根据常数变易法可设其一个特解为*()sin atx c t e bt=，与情形1的解法类似得方程22()d x dx pqx f t dtdt++=的一个特解为(2)(2)*2()sin sin .sin p a p a tatef t ebtdtx e bt dt bt-++=⎰⎰由于*x 是特解,则积分常量可以都取零. 2.3拉普拉斯变换法常系数线性微分方程可以应用拉普拉斯变换法进行求解,这往往比较简单. 由积分()()0stF s ef t dt -+∞=⎰.所定义的确定于复平面（R e σ>）上的复变数s 的函数()F s ,称为函数()f t 的拉普拉斯变换,我们称()f t 为原函数,而()F s 称为像函数.拉普拉斯变换法主要是借助于拉普拉斯变换把常系数线性微分方程转换成复平面s 的代数方程.通过一些代数运算,一般地再利用拉普拉斯变换表,即可求出微分方程的解.方法十分简单方便,为工程技术工作者所普遍采用.当然,方法本身有一定的局限性,它要求所考察的微分方程的右端函数必须是原函数. 例3 求解方程2'22,(1)(1)0t d x dx x e x x dtdt-++===.解 先使1t τ=-，将问题化为2(1)'22,(0)(0)0t d x dx x ex x dtdt--++===,再对新方程两边作拉普拉斯变换,得到211()2()()1s X s sX s X s s e++=⋅+,因此311()(1)X s s e=⋅+,查拉普拉斯变换表可得211()2x eτττ--=,从而21()(1)2tx t t e-=-,这就是所要求的解.当然,求解二阶或者更高阶的常微分方程的方法还有很多,这里我们不能一一列出.然而我们利用上面的一些结论就可以解决下面的几个物理问题了.3常微分方程在有阻尼自由振动中的简单应用一般求解物理问题主要是分三步：1.分析问题建立方程并确定定解条件;2.求出方程满足初始条件的特解或讨论解的性质;3.对解做定性分析,反过来解释原问题,其中关键在于列出方程,主要有两种方法:1.瞬时变化率;2.微元分析法.在研究阻尼振动时,运动方程的求解问题较为复杂,一般教科书没有给出求解过程.下面分别用特征值法,常数变易法,拉普拉斯变换法来求动力学方程. 3.1特征方程法例4 一弹簧振子系统，物体的质量 1.0m kg =,弹簧的劲度系数175k N m -=⋅,阻尼系数110.0s δ-=，设质点由静止开始运动,求位移方程.解 根据牛顿第二运动定律有kx cv ma --=, （2） 或220d x dx mckx dtdt++=, （3）对一给定的振动系统,,,m k c 均为常量.若令20,2k m c m ωδ==,则上式可写成220220d d dtdtξξδωξ++=, （4）将数据代入（4）得2220750d x dx x dtdt++=. （5）根据观察可以用特征值法求解.这里特征方程为220750λλ++=,有两个根1215,5λλ=-=-,则(5)的两个根为51512,t te e ξξ--==. （6） 计算可得振动子固有角频率数值为052k m ω==，而阻尼系数数值为10δ=,即220δω<,则方程(5)的解为515t t Ae Be ξ--=+（,A B 由初始条件决定）. （7） 上式是一个非振动状态的,这种情况下质点仅仅是从非平衡位置恢复到平衡位置,而不具备周期振动的特点.我们更关心的是0δω<情况下,质点的衰减振动.由于阻尼的作用,一个自由振动系统的振动不能维持很久,它要逐渐衰减直至停止.要使振动持续不停,就需要不断地从外界获得能量,这种受到外部持续作用而产生的振动就称为强迫振动例5 设有一个外力100cos(30)F t N =作用在上面振动系统上,式中100A F =为驱动力的幅值,30ω=为驱动力的圆频率,f 为驱动力的频率. 解 将驱动力加到质点振动系统,得到系统振动方程为 22d x dx m ckx Fdtdt++=, (8)或写成22022cos(30)d x dx x H t dtdtδω++=. (9)式中A F H m=为作用在单位质量上的外力幅值.方程(8)和方程(9)都是质点强迫振动方程.强迫振动方程是二阶的非齐次常微分方程,其一般解为该方程的一个特解与相应的齐次方程一般解之和.我们已经获得了对应的自由振动方程的一般解,关键就是寻找(9)的一个特解.将数据代入（9）得222075100cos(30)d x dx x t dtdt++=, （10）我们设（10）有形如1sin 30cos 30x A t B t =+的特解，将它代入（10）并化简得到(3324)sin 30(2433)cos 304cos 30A B t A B t t -++-=,比较同类项系数得3244,555555A B ==-,于是13244sin 30cos 30555555x t t =-,而原方程的通解为5153244()sin 30cos 30555555ttx t AeBet t --=++-.上式中,A B 由初始条件决定,前两项项称为瞬态解,它描述了系统的自由衰减振动,仅在振动的开始阶段起作用,当时间足够长以后,它的影响逐渐减弱并最终消失.后二项称为稳态解,它描述了系统在驱动力的作用下进行强制振动的状态,因为它的幅值恒定,因此称为稳态振动.从上式可以看到,当外力施加到质点振动系统以后,系统的振动状态比较复杂,它是自由衰减振动和稳态振动的合成,这种振动状态描述了强迫振动中稳态振动逐步建立的过程.当一定时间以后,瞬态振动消失,系统达到稳态振动. 3.2 常数变易法情形1 已知5t x e -=为上面例5中特征方程220750λλ++=的实根,则5t x e -=是方程（10）的一根.由常数变易法设*5()t x c t e -=,则*x 也是方程的一个解.代入（10）并化简得"'5()10()100cos 30tc t c t e t+=.这是关于'()c t 的一阶线性微分方程,其一个特解为'55184()sin 30cos 3033ttc t e t e t c =++,从而得出（10）的一个特解为（取120c c ==）*5551284()((sin 30cos 30))33t ttx t e e t e t dt c -=++⎰3244sin 30cos 30555555t t=-,从而可得（10）的通解5153244()sin 30cos 30555555ttx t AeBet t--=++-.情形2 例6 一弹簧振子系统，物体的质量 1.0m kg =，弹簧的劲度系1400k N m -=⋅,阻尼系数110.0s δ-=，有一个外力cos(2)F t N =.作用在上面振动系统上,设质点由静止开始运动.求位移方程. 解 由例5可知22d x dx mckx Fdtdt++=. （11）代入数据得2220400cos(2)d x dx x t dtdt++=. （12）根据观察可以用常数变易法求解，首先求（12）的齐次线性方程的根.有前面的研究可得（12）齐次线性微分方程的特征方程为2204000μμ++=.我们可设特征方程的根为10103i μ=-±.则10()sin(103)t x t e t -=是（12）的一个解.由常数变易法可设为*10()()sin(103)t x t c t e t -=. 与情形1中的解法类似，将*()x t 代入（12）并化简得*1099()sin(2)cos(2)3960439604x t t t =+.由于*x 是特解,则积分常量可以都取零. 3.3 拉普拉斯变换法若仍然以例6为例，由牛顿第二运动定律得22d x dx m ckx Fdtdt++=,代入数据得2220400cos(2)d x dx x t dtdt++=, (13)由于质点由静止开始运动.则0,0t dx xdt ===,对方程(13)施行拉普拉斯变换,得到22()20()400()4s s X s sX s X s s ++=+,即221()420400sX s s s s =+++,把上式右端分解为部分分式 2210299()396044396044sX s s s =+++22221013103991011881239604(10)(103)(10)(103)s s s +--++++,由拉普拉斯变换表可得1099()sin(2)cos(2)3960439604x t t t =+1010101399sin(103)cos(103)11881239604ttet et ----.参考文献[1]王高雄.周之铭.宋思铭.等.常微分方程.北京高等教育出版社.2001. [2]美R.布朗森.（全美经典学习指导）微分方程.北京科学出版社.1998. [3]同济大学应用数学系.高等数学.高等教育出版社.2002. [4]常微分方程（第三版）. 高等教育出版社.2004.[5]复旦大学物理系.上海师范大学物理系.物理学.上海科技出版社.1997. [6]刘克哲.物理学.北京：高等教育出版社.2000.总结综上所述,本文首先介绍二阶微分方程的三种求解方法：特征方程法、常数变易法、拉普拉斯变换法.然后列举了阻尼振动的几个具体例题,分别利用三种方法解题.另外还应该指出,用来描述物理过程的微分方程,以及由试验测定的初始条件是近似的,这种近似之间的影响和变化还必须在理论上加以解决.。
单摆微分方程
单摆微分方程单摆微分方程是描述单摆运动的重要数学工具，它可以用来分析和预测单摆的运动特性。
在物理学和工程学中，单摆微分方程的应用十分广泛，涉及到力学、振动、波动等多个领域。
单摆是一个简单的物理系统，由一个质点通过一条无质量、不可伸长的轻绳悬挂在固定点上。
质点的运动受到重力的作用，因此单摆可以做简谐振动。
为了量化描述单摆的运动，我们可以建立单摆的微分方程。
考虑一个单摆的运动，设摆角为θ，摆长为L。
首先需要确定受力分析，单摆的运动受到两个力的作用：重力和张力。
重力始终指向地球的中心，张力则沿着摆线方向。
由于张力的大小与摆角θ无关，所以只需考虑重力的影响。
根据牛顿第二定律，可以建立单摆的微分方程。
在摆线方向上的合力为质点沿着弧线的切向分量，即-Tsinθ。
根据牛顿第二定律，质点的加速度与合力成正比，即mLθ''=-mg sinθ，其中m为质点的质量。
将上述微分方程进行简化，可以得到单摆的标准微分方程：θ''+(g/L)sinθ=0这是一个非线性微分方程，解析求解较为困难。
但是可以通过数值方法或近似方法进行求解。
通过求解单摆的微分方程，可以得到摆角随时间的变化规律，进而分析单摆的振动频率、振幅等特性。
在实际应用中，单摆微分方程的解析求解并不常见，更多的是采用数值方法进行模拟计算。
例如，可以使用欧拉法、改进的欧拉法或龙格-库塔法等数值方法，通过迭代计算来得到单摆的摆角变化。
这些数值方法可以更加灵活地处理复杂的情况，如摆长不均匀、摩擦力的存在等。
单摆微分方程的应用不仅局限于单摆本身，还可以扩展到其他领域。
例如，在电路中，可以使用电压和电流的关系建立类似的微分方程，分析电路的振荡特性。
在机械工程中，可以将单摆微分方程应用于摆锤、钟摆等系统的分析。
总的来说，单摆微分方程是研究单摆运动的重要工具，通过建立和求解微分方程，可以深入理解单摆的振动特性。
此外，单摆微分方程的应用不仅局限于单摆本身，还可以推广到其他相关领域，为工程实践提供支持和指导。