抛体运动的规律及其应用

抛体运动的规律及其应用 基础知识回顾 1．平抛运动 （1）定义：将一物体水平抛出，物体只在重力作用下的运动。

（2）性质：加速度为g 的匀变速曲线运动，运动过程中水平速度不变，只是竖直速度不断增大，合速度大小、方向时刻改变。

（3）研究方法：将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，分别研究两个分运动的规律，必要时再用运动合成方法进行合成。

（4）规律：
设平抛运动的初速度为0v ，建立坐标系如图
○
1速度、位移： 水平方向：
0v v x =，t v x 0=，
竖直方向：
gt v y =，221gt y = 合速度（t 秒末的速度）：
22y
x t v v v +=， 方向：0
0tan v gt v v g y
==ϕ 合位移（t 秒末的位移）：22y x s +=
方向：0
0222/1tan v gt t v gt x y g ===θ ∴ θϕg g tan 2tan =
○2运动时间：由221gt y =得：2y t g
= （t 由下落高度y 决定）
○3轨迹方程：2202g y x v =
（在未知时间情况下应用方便）
○
4可独立研究竖直分运动： a ．连续相等时间内竖直位移之比为：
1∶3∶5∶…∶(2n-1)（n=1，2，3，…）
图4-2-1
b ．连续相等时间内竖直位移之差为：2
y gt ∆=
○5一个有用的推论：
平抛物体任意时刻瞬时时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。

证明：设时间t 内物体的水平位移为s ，竖直位移为h ，则末速度的水平分量0x
s v v t ==，而竖直分量2y h v t =， s
h v v 2tan x y ==α， 所以有2tan s h s ==
'α 2．斜抛运动：
（1）将物体斜向射出，在重力作用下，物体作曲线运动，它的运动轨迹是抛物线，这种运动叫做“斜抛运动”。

（2）性质：加速度为g 的匀变速曲线运动。

根据运动独立性原理，可以把斜抛运动看成是作水平方向的匀速直线运动和竖直上抛运动的合运动来处理。

取水平方向和竖直向上的方向为x 轴和y 轴，则这两个方向的初速度分别是：v 0x =v 0cosθ，v 0y =v 0sinθ
重点难点例析
一、平抛物体运动中的速度变化
水平方向分速度保持v x =v 0，竖直方向，加速度恒为g ，速度
v y =gt ，从抛出点看，每隔∆t 时间的速度的矢量关系如图4-2-3所示．这
一矢量关系有两个特点：
1．任意时刻v 的速度水平分量均等于初速度v 0；
2．任意相等时间间隔∆t 内的速度改变量均竖直向下，且
y v v g t ∆=∆=∆．
【例1】物体在平抛运动的过程中，在相等的时间内，下列物理量相
等的是 ( )
A ．速度的增量
B ．加速度
C ．位移
D ．平均速度
【解析】平抛运动是匀变速曲线运动，加速度为重力加速度g,由加速度定义v a t
∆=∆，可知速度θ
v t
v 0
v y A O B D C 图4-2-2 图4-2-3
增量v g t ∆=∆，所以相等时间内速度的增量和加速度是相等的．位移和平均速度是矢量，平抛运动是曲线运动，相等时间内位移和平均速度的方向均在变化． 【答案】AB
【点拨】任意时刻的速度，与速度变化量v ∆构成直角三角形。

v ∆沿竖直方向。

平抛运动的速率随时间并不均匀变化。

速度随时间是均匀变化的。

拓展
用闪光照相方法研究平抛运动规律时，由于某种原因，只拍到了部分方格背景及小球的三个瞬时位置（见图4-2-4）．若已知闪光时间间隔为t =0.1s ，则小球运动中初速度大小为多少？小球经B 点时的竖直分速度大小多大？g 取10m ／s 2，每小格边长均为L =5cm ．
【解析】由于小球在水平方向作匀速直线运动，可以根据小球位置的水平位
移和闪光时间算出水平速度，即抛出的初速度．小球在竖直方向作自由落体
运动，由竖直位移的变化根据自由落体的公式即可算出竖直分速度．
因A 、 B （或B 、C ）两位置的水平间距和时间间隔分别为
x AB =2L =2×5cm=10cm=0.1m
t AB =△t =0.1s ．
所以，小球抛出的初速度为 01/AB AB x v m s t == 设小球运动至B 点时的竖直分速度为v By 、运动至C 点时的竖直分速度为v Cy ，B 、C 间竖直位移为y BC ，B 、C 间运动时间为t BC ．根据竖直方向上自由落体运动的公式得
v 2Cy -v 2By =2gy BC ，
即（v By +gt BC ）2-v 2By =2gy BC
222BC BC By BC
y gt v t -= 式中y BC =5L =0.25m
t BC =△t =0.1s ，
代入上式得B 点的竖直与速度大小为
V BY =2m/s 【答案】1m/s ，2m/s 。

三、斜抛运动物体的射程和射高
斜抛运动的规律：
a ．速度： 22,tan y
x y x v v v v v α=+=
b ．轨迹方程： 2220tan 2cos g y x x v αθ=⋅-
d ．抛射体所能到达的最大高度为：220sin 12v H g
θ= 图4-2-4
e ．其到达最高点所需的时间：20sin v T g
θ= f ．抛射体的最大射程为：20sin 2v X g
θ= 【例3】物体以速度v 0抛出做斜抛运动，则( )
A ，在任何相等的时间内速度的变化量是相同的
B ．可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动
C ，射高和射程都取决于v 0的大小
D ．v 0很大，射高和射程可能很小
【解析】斜抛运动整个过程中加速度恒为g ，为匀变速运动，故相等时间内速度变化一定相同；由斜抛运动的两分运动特点知B 错误；射高与射程不仅取决于v 0的大小还取决于抛出速度v 0与水平方向的夹角大小，故C 错误，D 正确。

【答案】AD
【点评】把握好斜抛运动的特点，理解斜抛运动的两分运动的规律，本类题目是不难分析的。

拓展
物体做斜向上抛运动时,描述物体在竖直方向的分速度(取向上为正)随时间变化的图象如图4-2-6，正确的是
【答案】A
【解析】斜抛物体只受重力作用，竖直方向做竖直上抛运动，其加速度不变恒为g ，故B 、D 错；由于加速度的方向向下，则竖直方向最后的速度应向下为负值，这样C 错，A 正确.
四、平抛运动规律的应用
平抛运动可看做水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动．物体在任一时刻的速度和位移都是两个分运动对应时刻的速度和位移的矢量和．
解决与平抛运动有关的问题时，应充分注意到二个分运动具有独立性，互不相干性和等时性的特点，并且注意与其它知识的结合点．
v y v y
v 0
- v 0 - v 0
v 0 B
O O
t O t A O v y t C v y t D 4-2-6
易错门诊
【例3】如图4-2-6所示，一高度为h=0.2m 的水平面在A 点处与一倾角为θ=30°的斜面连接，一小球以V 0=5m/s 的速度在平面上向右运动。

求小球从A 点运动到地面所需的时间（平面与斜面均光滑，取g=10m/s 2）。

【错解】小球沿斜面运动，则 ,sin 2
1sin 20t g t V h ⋅+=θθ 可求得落地的时间t 【错因】小球应在A 点离开平面做平抛运动，而不是沿斜面下滑。

【正解】落地点与A 点的水平距离
)(1102.02520
0m g h V t V s =⨯⨯=== 斜面底宽)(35.032.0m hctg l =⨯==θ 因为l s >,所以小球离开A 点后不会落到斜面，因此落地时间即为平抛运动时间。

∴ )(2.010
2.022s g h t =⨯== 【点悟】正确解答本题的前提是熟知平抛运动的条件与平抛运动的规律。

4-2-7。