平面向量十一种类型

平面向量专题 高考真题

类型一：向量的坐标表示 类型二：几何形状 类型三：比值 类型四：系数的计算

类型五：数量积

类型六：夹角的计算 类型七：面积计算

类型八：长度的计算 类型九：三点共线恒等式

类型十：基底系数判断 类型十一：求最值问题

高考真题

2011年10．（5分）（2011•江苏）已知，

是夹角为

的两个单位向量，=

﹣2

，

=k

+

，若•=0，则实数k

的值为 ．

2012年 9．如图，在矩形ABCD 中，2AB BC =，点E 为BC 的中点， 点F 在边CD 上，若2AB AF =，则AE BF 的值是 ▲ ．

2013年 10．设分别是的边上的点，

，，若（为实数）， 则的值为

．

2014年 12．（5分）（2014•江苏）如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB=8，AD=5，=3

，

•

=2，则

•

的值是 _________ ．

2015年 6.已知向量a =，b=, 若m a +n b =(), 则

的值为______.

E D ，ABC ∆BC AB ，AB AD 21=

BC BE 3

2

=21λλ+=21λλ，21λλ+)1,2()2,1(-)8,9(-R n m ∈,n m -

2016年 13.如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，

,E F 是AD 上两个三等分点，4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是 ．

（偏于向量表示和运算）

2017年 12．如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1

，与

的夹角为，且=7，与的夹角为45°．若，则 ▲ ．（偏于向量分解）

【答案】3

【解析】由可得，，根据向量的分解，

易得，即，即，即得

，

所以． 【考点】向量表示

【名师点睛】（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等

式问题．

（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结

OA OB

OC OA OC αtan αOB OC OC mOA nOB =+(,)m n ∈

R m n +=tan

7α

=sin

10

α

=

cos 10α=cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩2

10

0n m +=⎪⎪

=510570n m n m +=⎧⎨-=⎩

57

,44

m n ==3m n +=

合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题，是此类问题的一般方法．

（3）向量的两个作用：①载体作用，关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题． 2018年

12. 在平面直角坐标系

中，A 为直线

上在第一象限内的点，

，以AB 为直径

的圆C 与直线l 交于另一点D ．若，则点A 的横坐标为________．

（偏于综合） 【答案】3

【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果. 详解：设，则由圆心为

中点得易得

，

与联立解得点D 的横坐标

所以

.所以

，

由得或

，

因为

，所以

点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.

类型一：向量的坐标表示

1.如图所示，在△ABC 中，BD

→＝12DC →，AE →＝3ED →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则BE →＝________(用a ，b 表示)．

2．已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________． 答案 (1,5) 有无三种可能性？

解析 设D (x ，y )，则由AB →＝DC →

，得(4,1)＝(5－x,6－y )，

即⎩⎪⎨⎪⎧ 4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝1，y ＝5.

3.已知点A (－1,5)和向量a ＝(2,3)，若AB →

＝3a ，则点B 的坐标为__________． 设点B 的坐标为(x ，y )，则AB →

＝(x ＋1，y －5)．

由AB →＝3a ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝6，y －5＝9，解得⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝5，y ＝14. 4.,在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →＝(4,3)，PQ →

＝(1,5)，则BC →

＝________.

BC →＝3PC →＝3(2PQ →－P A →)＝6PQ →－3P A →

＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)． 5.已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝________. 由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ， 得1×m ＝2×(－2)，即m ＝－4. 从而b ＝(－2，－4)，

那么2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．

6.已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．

∵在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，DC ＝2AB ， ∴DC →＝2AB →.

设点D 的坐标为(x ，y )，

则DC →

＝(4,2)－(x ，y )＝(4－x,2－y )， AB →

＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，

∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x,2－y )＝(2，－2)，

∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)． 7.若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________． 答案 －54

解析 AB →＝(a －1,3)，AC →

＝(－3,4)，

根据题意AB →∥AC →

，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5， ∴a ＝－5

4

.