3.3.1-2基本不等式与最大值最小值(1,2课时)(文)

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基本不等式与最值课件教学课件

基本不等式与最值课件教学课件

排序不等式的证明
可以通过数学归纳法和排序性质证明 。
排序不等式的应用
在优化理论和线性规划中,排序不等 式常常被用来解决一些线性规划问题 。
04
基本不等式的实际应用
投资组合问题中的基本不等式应用
总结词
在投资组合问题中,基本不等式可以用于确定最优投资策略,即如何在给定风险水平下最大化预期收益,或在 给定预期收益水平下最小化风险。
物理定义
对于两个电阻$R_1$和$R_2$,并联电阻$\frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} \leq \frac{R_1 + R_2}{2}$,当且仅当$R_1 = R_2$时等号成立。
基本不等式的性质
非负性
基本不等式的左边是一个平方和,右边是一个平方根,所以左边总是大于或 等于右边。
利用基本不等式求最值
在极值的基础上,通过比较不同情况下的结果,找到最大或最小值。
掌握基本不等式的证明方法
利用导数证明基本不等式
通过求导数,找到函数的极值点,并证明在极值点处函数取得最小值。
利用定义证明基本不等式
通过比较两个数的差的符号,证明两个数之间的关系。
06
基本不等式的实际案例分析
案例一
总结词
案例三:资源分配问题中的基本不等式应用
总结词
在资源分配问题中,基本不等式被用来确定各部门的资源分 配比例,以实现资源利用效率的最大化。
详细描述
基本不等式在资源分配问题中的应用主要体现在对各部门资 源需求的权衡。通过使用基本不等式,我们可以找到一种最 优的资源分配方案,使得在满足各部门资源需求的前提下, 实现资源利用效率的最大化。
如果$a_1, a_2, \ldots, a_n$是实数

基本不等式与最值课件

基本不等式与最值课件
基本不等式可以用于确定几何形状(如矩形、圆、椭圆等)的最 大或最小面积或体积。
几何图形的性质
基本不等式可以用于证明或推导几何图形的性质,例如三角形的不 等式定理。
几何优化问题
基本不等式可以用于解决几何优化问题,例如在给定周长的条件下 ,求矩形面积的最大值。
在代数中的应用
01
02
03
代数表达式的简化
举例
算术平均数-几何平均数不等式(
AM-GM不等式)是基本不等式
之一,它表明对于任意非负实数x
和y,有$frac{x+y}{2}
geq
sqrt{xy}$。
基本不等式的性质
传递性
01
如果a>b且b>c,则a>c。
加法性质
02
如果a>b,则对于任意正实数m,有a+m>b+m;对于任意负
实数m,有a+m<b+m。
总结词
利用基本不等式求最大利润
详细描述
在最大利润问题中,常常需要通过建立数学模型,利用基本不等式来求解最大 利润。例如,在生产成本和销售价格一定的情况下,可以通过不等式求出最大 利润。
பைடு நூலகம்小成本问题
总结词
利用基本不等式求最小成本
详细描述
在最小成本问题中,可以利用基本不等式来求解最小成本。例如,在运输问题中 ,可以通过建立数学模型和利用基本不等式来求出最小运输成本。
基本不等式与最值课件
汇报人: 2023-12-27
目录
• 基本不等式的概念与性质 • 基本不等式的证明方法 • 基本不等式的应用 • 最值的求解方法 • 最值在实际问题中的应用
01
基本不等式的概念与性质

高中数学第三章不等式3.3基本不等式3.3.2.1利用基本不等式求最值课件北师大版必修5

高中数学第三章不等式3.3基本不等式3.3.2.1利用基本不等式求最值课件北师大版必修5

.
(2)已知x>0,y>0,且2x+3y=1,则xy的最大值为
.
������ ������ 9������ ������
解析 :(1)∵x>0,y>0, + = 1,
������ ������
1
9
∴x+y=
1 ��
������ + ������ = +
������
������
1 1 1
1
1
题型一
题型二
题型三
题型三 易错辨析 易错点:忽视不等式成立的条件致误
【例 3】 若 x<0,则 x+ 有最
������ 1 1 1 ������ ������ ������
1
值,是
.
错解 ∵x+ ≥2 ������· =2,∴x+ 有最小值 2. 答案 小 2 错因分析 不等式 a+b≥2 ������������成立的条件是 a>0,b>0.错解中忽 视了这个条件,导致出错. 正解 ∵x<0,
6 1 1 2������ +3������ 2 6
1 24
2
= × =
6 4 1 4
1
1
1 24
,
1 6
当且仅当 2x=3y,且 2x+3y=1,即 x= , ������ = 时,等号成立 .
答案:(1)16 (2)
题型一
题型二
题型三
反思由 x+y≥2 ������������(������ > 0, ������ > 0)知,和为定值时,积有最大值; 积为定值时,和有最小值.

北师大版高中数学必修五课件§33.2基本不等式与最大(小)值

北师大版高中数学必修五课件§33.2基本不等式与最大(小)值

(2)当 x 0 时, x 0 , y x
1 x
[( x )
1 ( x)
].
由(1)可知 ( x )
1 ( x)
2,
当且仅当 x 1 时等号成立。
所以 [( x)
1
1 x
2
综上可知, y 2
(2)
解法一:设矩形菜园的宽为 x
m,则长为(36-2x)m,其
中 0<x<18,其面积 S=x(36-2x)=
1 2
·2x(36-2x)

1 2
(
2 x 36 2 x 2
)
2
36 8
2
当且仅当 2x=36-2x,即 x=9 时菜园面积最大, 即菜园长为 18m,宽为 9 m 时菜园面积最大为 162 m
2

(1)设每间虎笼长为 xm ,宽为 y m ,则由“有可围网长
36m 的材料” ,得 4 x 6 y 36 ,

2 x 3 y 18 .
设面积 S xy .
由于
2 x 3 y 2 2 x 3 y 2 6 xy ,
所以 2
6 xy 18 ,得 xy
27 2
10 xy 10 ,即 xy 10 .
当且仅当 2 x 5 y 时,等号成立,因此有
2 x 5 y 20, 2 x 5 y.
解得
x 5, y 2 .
当 x 5, y 2 时, xy 有最大值 10.
这样
u lg x lg y lg( xy ) lg10 1 .
设汽车的年平均费用为 y 万元,则有
10 0.9 x y

3.3.2基本不等式与最大(小)值

3.3.2基本不等式与最大(小)值

解方程组
2x = 3 y 2x+3 y=18

x = 4.5 y=3
答 每间虎笼的长宽分别为4.5 m和3m时,可使面积
最大.
例题讲解
例3:某工厂拟建一座平面图为矩形且面积200m2 的三级污水处理池(平面图如上图).如果池四周 围墙建造单价400元/m,中间两道隔墙建造单价 为248元/m,池底建造单价为80元/m2,水池所有 墙的厚度忽略不计,试设计污水处理池的长和宽, 使总造价最低,并求出最低造价.
2 故 xy≤ 1 s2. 上式当x=4y时取“=”号,因此x=y时,积xy有最
大值 1 s2. 4
(2)已知 x,y 都是正数,求证:如果积xy是定
值p,那么当 x = y 时,和x+y有最小值2 p .
证明:因为x, y都是正数,所以 x y xy
积xy为定值p时,有 x y
2
p
2
x y2 p
上式x = y当时取" = "号,因此,当x = y时,
和有最小值2 p
例题讲解
例1: (1)已知x 0,求x 1 的最值; x
(2)已 知x 0,求x 1 的 最 值; (3)若x 3,函数y = x 1x ,当x为何值时,函数
x3 有最值,并求其最值.
所以y = x 1 = (x-3) 1 3
x3
x-3
2 (x 3) 1 3 = 5
当且仅当x

3
x
=
13
,即x = 4时,函数有最大值,
x3
最大值为5.
注意!!
1. 两个不等式的适用范围不同; 2. 一般情况下若“=”存在时,要注明等 号成立的条件; 3. 运用重要不等式时,要把一端化为常 数(定值).

基本不等式与最大(小)值精选教学PPT课件

基本不等式与最大(小)值精选教学PPT课件

课前探究学习
课堂讲练互动
[规范解答] (1)设该船捕捞 n 年后的总盈利 y 万元,则 y=50n-98-12×n+nn2-1×4(2 分) =-2n2+40n-98 =-2(n-10)2+102(4 分) ∴当捕捞 10 年后总盈利最大,最大是 102 万元(6 分)
课前探究学习
课堂讲练互动
(2)年平均利润为ny=-2n+4n9-20(8 分)
当且仅当 4x-5=4x1-5,即 x=32时,等号成立,
∴y≥2+3=5.
故当 x=32时,函数 y=4x-2+4x1-5取最小值 5.
课前探究学习
课堂讲练互动
规律方法 对于能拆分为形如 y=ax+bx+c 的函数,只要满 足“一正,二定,三相等”的条件,就可以利用基本不等式求 其最值或值域,在拆分时可适当换元,拆分后若两项为负, 可提取负号,创造变量为正数的条件,再求之.
则池塘的宽 y=10 x000(x>0).
∴S=(6+x)20
x000+6=120x000+6x+20
036≥2
720 000+
20 036=1 200× 2+20 036.
当且仅当120x000=6x,即 x=100 2,y=50 2时,等号成立. 故每个池塘的长为 100 2 m,宽为 50 2 m 时,绿地总面积最小.
课前探究学习
课堂讲练互动
4 sin
x,x∈(0,π),两个都是正数,乘积为定值.但是由
0<sin
x≤1,
知 sin x≠2,所以 sin x+sin4 x>2
sin
4 x·sin
x=4
等号不成立,
取不到最小值.
课前探究学习
课堂讲练互动
名师点睛

北师大版高中数学必修5《三章 不等式 3 基本不等式 3.2基本不等式与最大(小)值》公开课课件_26

北师大版高中数学必修5《三章 不等式  3 基本不等式  3.2基本不等式与最大(小)值》公开课课件_26

第二十四届国际数学家大会
2002年在北京国际会议中心隆重举行。此次大会在世界上创造了四 个第一:
1、这次会议,是历史上,"国际数学家大会"第一次在发展中国家召开。 2、这次会议是科技史上,中国数学家和外国数学家参加人数最多的一 次会议。 3、在世界上,第一次在中国召开的国际数学家大会,并由中国数学家 吴文俊院士担任大会主席。 4、是世界历史上,发展中国家规模最大的数学会议。
这是2002年在北京召开的 第24届国际数学家大会的会 标.会标是根据中国古代数 学家赵爽的弦图设计的,颜 色的明暗使它看上去像一个 风车,代表中国人民热情好 客。
设直角三角形的两直角边分 别为a,b,那么四个直角三角形的 面积之和与正方形的面积有什么 关系呢?
D
在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.
基本不等式
基本不等式的代数解释
我们常把
a+b 2
叫做正数a,b的算术平均数,
把 ab 叫做正数a,b的几何平均数.
基本不等式的数列解释
我们把
a+b 2
看做正数a,b的等差中项,

把 ab 看做正数a,b的正的等比中项.
利用不等式的基本性质推导基本不等式
要证: 只要证: 只要证: 只要证: 显然成立,当且仅当a=b时,等号成立
课题:3.4.1 基本不等式 ab a b
2
国际数学家大会
(International Congress of Mathematicians,ICM)
它是由国际数学联盟(IMU)主办的国际数学界规模最大也是最 重要的会议 。会议是数学家们为了数学交流,展示、研讨数学的 发展,会见老朋友、结交新朋友的国际性会议,是国际数学界的 盛会 。大会每四年举行一次,首届大会1897年在瑞士苏黎世举行, 至今已有百余年的历史 。它是全球性数学科学学术会议,被誉为 数学界的奥林匹克盛会 。

§3 3.2基本不等式与最大(小)值

§3 3.2基本不等式与最大(小)值

基本不等式与最大(小)值教学目标:使学生能够运用基本不等式定理来讨论函数的最大值和最小值问题。

教学重点、难点:基本不等式定理的应用。

教学过程:1.复习回顾2.例题讲解:例1 已知x ,y 都是正数,求证:(1)如果积xy 是定值P ,那么当x =y 时,和x +y 有最小值2P ;(2)如果和x +y 是定值S ,那么当x =y 时,积xy 有最大值14S 2 证明:因为x ,y 都是正数,所以x +y 2 ≥xy (1)积xy 为定值P 时,有x +y 2≥P ∴x +y ≥2P 上式当x =y 时,取“=”号,因此,当x =y 时,和x +y 有最小值2P .(2)和x +y 为定值S 时,有xy ≤S 2 ∴xy ≤ 14S 2 上式当x=y 时取“=”号,因此,当x=y 时,积xy 有最大值14S 2. 说明:此例题反映的是利用均值定理求最值的方法,但应注意三个条件: ⅰ)函数式中各项必须都是正数;ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数;ⅲ)等号成立条件必须存在。

师:接下来,我们通过练习来进一步熟悉均值定理的应用例2:求下列函数的值域(1)y =3x 2+12x 2 (2)y =x +1x解:(1)y =3x 2+12x 2 ≥23x 2·12x2 = 6 ∴y ∈[ 6 ,+∞)(2)当x >0时,y =x +1x ≥2x ·1x =2; 当x <0时,y ≤-2∴y ∈(-∞,-2]∪[2,+∞)例3:当x >1时,求函数y =x +1x -1的最小值解:y =(x -1)+1x -1+1(∵x >1)≥2+1=3 ∴函数的最小值是3问题:x >8时?总结:一正二定三相等。

介绍:函数y =x +1x的图象及单调区间例4:求下列函数的值域(1)y = x 2+3x +5x +1 (2)y = x +1 x 2+3x +5解:(1)y =(x +1) 2+(x +1)+3x +1 =(x +1) + 3x +1+ 1 当x +1>0时,y ≥2 3 +1 ;当x +1<0时,y ≤-2 3 +1即函数的值域为:(-∞,-2 3 +1]∪[2 3 +1,+∞)(2)当x +1≠0时,令t = x 2+3x +5x +1则问题变为:y = 1t,t ∈(-∞,-2 3 +1]∪[2 3 +1,+∞) ∴y ∈[1 -2 3 +1 ,0)∪(0,1 2 3 +1] 又x +1 = 0时,y = 0即y ∈[- 1+2 3 11 ,2 3 -111] 说明:这类分式函数的值域也可通过判别式法求值域,但要注意检验。

基本不等式与最大(小)值_PPT课件

基本不等式与最大(小)值_PPT课件

2.二元均值不等式具有将“_和__式__”转化为“_积__式_” 和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,常用于比 较数(式)的大小或证明不等式,解决问题的关键 是分析不等式两边的结构特点,选择好利用均值 不等式的切入点.
问题探究
1.两个正数的积为定值,它们的和一定有最小值 吗?
提示:不一定.应用基本不等式求最值时还要求 等号能取到 .基本不等式中说,“当且仅当 a=b 时取等号”是说 a=b 时“≥”中的“等号”成立, 但有时“a”和“b”不一定能相等.如 sinx 与si4nx,x ∈(0,π),两个都是正数,乘积为定值.但是由 0<sinx≤1 , 知 sinx≠2 所 以 sinx +
∴当 x=1 时,ymax=1.
求代数式的最值或取值范围
利用基本不等式解决此类问题的基本方法有: (1)有为1的等式时,将“1”整体代入,展开,运用 基本不等式; (2)利用条件的等式统一变形,然后配凑出利用基 本不等式的条件; (3)直接将条件变形配凑出积(和)为定值的形式.
例2 已知 x>0,y>0,且1x+9y=1,求 x+y 的最 小值.
例1 (1)(2010 年高考山东卷)若对任意 x>0,
x x2+3x+1
≤a
恒成立,则
a
的取值范围是
________.
(2)(2010 年高考浙江卷)若正实数 x,y 满足 2x+y
+6=xy,则 xy 的最小值是________.
【思路点拨】 (1)、(2)小题直接利用基本不等式 或创设条件利用基本不等式求解.
所以 x+x-4 2的最小值为 6. (2)y=x-x2 1=x2-x-1+1 1=x+1+x-1 1 =x-1+x-1 1+2≥2+2=4, 当且仅当x-1 1=x-1, 即(x-1)2=1 时,等式成立,∵x>1,

北师大版高中数学必修5《三章 不等式 3 基本不等式 3.2基本不等式与最大(小)值》公开课课件_27

北师大版高中数学必修5《三章 不等式  3 基本不等式  3.2基本不等式与最大(小)值》公开课课件_27

D a OC b B
E
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?
如图, AB是圆的直径, O为圆心,
点C是AB上一点, AC=a, BC=b.
过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD.
A
ab ①如何用a, b表示OD? OD=___2___
②如何用a, b表示CD? CD=____a_b_
点C是AB上一点, AC=a, BC=b.
过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD.
A
ab ①如何用a, b表示OD? OD=___2___
②如何用a, b表示CD? CD=____a_b_
Rt△ACD∽Rt△DCB, 所以 BC DC DC AC
所以DC2 BC AC ab

(a 0,b 0, a ( a)2,b ( b)2)
要证②,只要证 (__a_ __b_)2≥0

显然, ③是成立的.当且仅当a=b时, ③中的等号成立.
基本不等式
特别地,若a>0,b>0,则 a b __≥___ 2 ab
通常我们把上式写作: ab≤ a b (a 0,b 0) 2
思考:这会标中含有 怎样的几何图形?
思考:你能否在这个 图案中找出一些相等 关系或不等关系?
D
探究1:
a2 b2
b
G
F
1、正方形ABCD的
a b 2
2
面积S2= _____
C 2、四个直角三角形的
A
a HE
面积和S1 =_2a_b
3、S2与S1有什么 样的不等关系?
B
S2>S1即
问:那么它们有相等的情况吗? a2 b2 > 2ab (a≠b)

高中数学第三章不等式3.3.2基本不等式与最大小值课件北师大必修5

高中数学第三章不等式3.3.2基本不等式与最大小值课件北师大必修5

���������-���1.由于 2
������ 是一
������-1
个与 x 有关的代数式,很明显这是一个错误的答案.在出现这种情况 时,可以通过对所求代数式的合理配凑,转化为“和式”或“积式”是定 值的形式后再进行求解.例如,当 x>1
时,f(x)=x+������1-1=(x-1)+������1-1+1≥2 (������-1)·������1-1+1=3,即该函数的最小值为
பைடு நூலகம்
打“×”.
(1)对于任意实数 x,y,若 x+y=s(和为定值),则当 x=y 时,积 xy 取
得最大值14s2.
()
(2)若两个正数的积是定值 p,则这两个正数的和一定有最小值
2 ������.
()
(3)因为 sin x·si1n������=1(x∈(0,2π))为定值,所以 y=sin x+si1n������有最小
值 2.
()
(4)若关于 x 的不等式(1+k2)x≤k4+4 的解集为 M,则必有 2∈M.
答案:(1)× (2)× (3)× (4)
()
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一 利用基本不等式求函数的最值
【例 1】 (1)已知 0<x<13,求函数 y=x·(1-3x)的最大值; (2)已知 x>2,求函数 y=x+������4-2的最小值. 分析:(1)要求 y=x·(1-3x)的最大值,需和为定值,为此,将函数变形 为 y=13×3x·(1-3x). (2)要求 y=x+������4-2的最小值,需积为定值,为此,将函数变形为 y=x-2+������4-2+2.

基本不等式与最大最小值

基本不等式与最大最小值

A. 0, 2
B. 2, 0
C. 2,
D. , 2
【解题提示】利用基本不等式求解.
1 例 2.已知 y x ( x 0) ,证明: y 2 . x
证明: (1)当 x 0 时,由基本不等式,得 y x
1 2, x
1 当且仅当 x ,即 x 1 时,等号成立.函数草图如图: x
1.进一步掌握基本不等式. 2.会应用基本不等式求有关函数的最值,并能够解 决一些简单的实际问题.(重点、难点)
探究点
基本不等式在求最大(小)值中的应用
想一想:你可以把一段16 cm长的细铁丝弯成形状 不同的矩形,怎样弯面积最大?
设矩形的长为 x cm,宽为 y cm,则 x y 8 .
1 即 y x 2 , x
综上可知, y应注意的三点: (1)x,y一定要是非负数. (2)求积xy的最大值时,应看和x+y是否为定值;求和x+y
的最小值时, 看积xy是否为定值.
(3)等号是否能够取到.
【变式练习】
1 求f (x) 2x 1(x 0)的最大值. x 1 分析: 因为x < 0,所以2x < 0, < 0,不符合基本不等式 x 的 条件.故应把负数转化为正 数.
因为2 2x 3y 4 2x 3y 4 6xy 4 6 24 4 12 48,
当且仅当2x=3y时,等号成立.
2x 3y, x 6, 解方程组 得 xy 24, y 4.
答:每间虎笼设计长、宽分别为6m和4m时,可使围成
a+b a+b a+b2 显然 > ab,又因为 < a+b,(由 a+b> 2 2 4 a+ b a+b 也就是 <1 可得 ) ,所以 a+b > > ab . 而 y = 4 2 log 1 x 为减函数,故 Q>P>M.

3.1基本不等式与最大值最小值(1,2课时)

3.1基本不等式与最大值最小值(1,2课时)

x y x y ④∵x、y∈R,xy<0,∴y+x=-[-y+-x]
≤-2
• 其中正确的推导为( • A.①② • C.③④
x y - - =-2. y x
)
B.②③ D.①④
例2 已知x、y都是正数,求证:
(1)
y x x y
≥2;
证明: a3 b3 c3 3abc (a b)3 c3 3a 2b 3ab2 3abc
(a b c)[( a b) 2 (a b)c c 2 ] 3ab(a b c)
(a b c)[a 2 2ab b 2 ac bc c 2 3ab] (a b c)(a 2 b 2 c 2 ab bc ca)
1 x
|y|≥ 2. 证明:
练习
3 ( x 2) ,求函 1.已知函数 f ( x) x x2
数的最小值.
大家把x = 2 + 3代入看一看,会有什么发现? 用什么方法求该函数的最小值?
用均值不等式求最值,必须满足“定值”这个条件.
4 3 求函数y sin 其中 0, ] ( sin 2 的最小值。 4 4 解:y sin 2 sin sin sin 4,函数的最小值为4。
3.3(1) 基本不等式 (2)基本不等式的最大值与最小值
一.基本不等式
对于任意实数x,y,(x-y)2≥0总是成立的,即
x2 -2xy+y2 ≥0 所以
x2 + y2 ≥ ,当且仅当x=y 时等号成立 xy 2
设 x a , y b , 则由这个不等式可得出以 下结论:
a+b ≥ ab ,当且仅当 如果a,b都是正数,那么 2

第3章 §3 32 基本不等式与最大(小)值

第3章 §3 32 基本不等式与最大(小)值

3.2基本不等式与最大(小)值学习目标:1.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.(重点)2.会用基本不等式解决实际问题.(重点、难点)[自主预习·探新知]不等式与最大(小)值阅读教材P90~P91“例2”以上部分,完成下列问题.x,y都为正数时,下面的命题成立(1)若x+y=s(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值s2 4;(2)若xy=p(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值2p.思考:(1) 函数y=x+1x的最小值是2吗?[提示] 不是,只有当x>0时,才有x+1x≥2,当x<0时,没有最小值.(2)设a>0,2a+3a取得最小值时,a的值是什么?[提示] 2a+3a≥22a×3a=26,当且仅当2a=3a,即a=62时,取得最小值.[基础自测]1.判断正误(1)两个正数的积为定值,它们的和一定能在两个数相等时取得最小值.()(2)函数y=sin x+1sin x的最小值为2.()(3)函数y=x2+4+1x2+4的最小值为2.()[解析](1)错误,这两个数可能不相等,如当x∈(0,π)时,sin x与4sin x的积为定值,但sin x ≠4sin x ;(2)错误,sin x <0时,函数不存在最小值. (3)错误,因为只有x 2+4=1x 2+4,即x 2+4=1,x 2=-3时才能取到最小值,但x 2=-3不成立,故(3)错.[答案] (1)× (2)× (3)×2.当x >0时,x +9x 的最小值为________.[解析] 因为x >0,所以x +9x ≥2x ×9x =6,当且仅当x =9x ,即x =3时等号成立.[答案] 63.当x ∈(0,1)时,x (1-x )的最大值为________.【导学号:91022247】[解析] 因为x ∈(0,1), 所以1-x >0,故x (1-x )≤⎝⎛⎭⎪⎫x +1-x 22=14, 当x =1-x , 即x =12时等号成立. [答案] 14[合 作 探 究·攻 重 难](1)已知t >0,则函数y =t t的最小值为________.(2)已知x ,y ∈R +,且满足x 3+y4=1,则xy 的最大值为________.(3)已知x ≥52,则f (x )=x 2-4x +52x -4有( )A .最大值54B .最小值54 C .最大值1 D .最小值1 [解析] (1)y =t 2+1-4t t =t +1t -4≥2-4=-2, 当且仅当t =1t ,即t =1或t =-1(舍)时,等号成立, ∴y 的最小值为-2.(2)xy =12·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3·y 4≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 3+y 422=12·⎝ ⎛⎭⎪⎫122=3, 当且仅当x 3=y 4=12,即x =32,y =2时,等号成立, ∴xy 的最大值为3.(3)f (x )=x 2-4x +52x -4=(x -2)2+12(x -2)=12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x -2)+1x -2≥1. 当且仅当x -2=1x -2,即x =3时,等号成立. [答案] (1)-2 (2)3 (3)D[规律方法] 在利用基本不等式求最值时要注意三点:一是各项均为正;二是寻求定值,求和式最小值时应使积为定值,求积式最大值时应使和为定值(恰当变形,合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧);三是考虑等号成立的条件.[跟踪训练]1.(1)已知x >0,求f (x )=12x +3x 的最小值;(2)已知x <3,求f (x )=4x -3+x 的最大值. [解] (1)因为x >0,所以f (x )=12x +3x ≥212x ×3x =12,当12x =3x ,即x =2时,f (x )的最小值为12. (2)当x <3时,x -3<0, f (x )=4x -3+x -3+3=-⎣⎢⎡⎦⎥⎤(3-x )+43-x +3, 因为3-x +43-x ≥2(3-x )×43-x =4, 当3-x =43-x,即x =1时, f (x )≤-4+3=-1.价格为1 800元,面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元,购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少? [思路探究] 先以购买面粉间隔天数为自变量,平均每天支付的总费用为函数值建立函数模型,再利用基本不等式求最值.[解] 设该厂每隔x 天购买一次面粉,则其每次购买量为6x 吨,由题意可知,面粉的保管费及其他费用为3×[6x +6(x -1)+6(x -2)+…+6×1]=9x (x +1).设平均每天所支付的总费用为y 元,则y =1x [9x (x +1)+900]+6×1 800=9x +900x +10 809≥29x ·900x +10 809=10 989,当且仅当9x =900x ,即x =10时等号成立.故该厂每10天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少. [规律方法] 在应用基本不等式解决实际问题时,要注意以下四点: (1)先理解题意,设变量时一般把要求最值的变量定为函数; (2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最值问题; (3)在定义域内,求出函数的最值; (4)写出正确答案. [跟踪训练]2.桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式,某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目,该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块,中间挖成三个矩形池塘养鱼,挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树,池塘周围的基围宽均为2米,如图3-3-2,设池塘所占总面积为S 平方米.图3-3-2(1)试用x 表示S ;(2)当x 取何值时,才能使得S 最大?并求出S 的最大值. [解] (1)由图形知,3a +6=x , ∴a =x -63.S =⎝ ⎛⎭⎪⎫1 800x -4·a +2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 800x -6=a ⎝ ⎛⎭⎪⎫5 400x -16=x -63⎝ ⎛⎭⎪⎫5 400x -16=1 832-⎝ ⎛⎭⎪⎫10 800x +16x 3.即S =1 832-⎝ ⎛⎭⎪⎫10 800x +16x 3(x >0).(2)由S =1 832-⎝ ⎛⎭⎪⎫10 800x +16x 3,得S ≤1 832-210 800x ·16x3=1 832-2×240=1 352, 当且仅当10 800x =16x3时等号成立,此时,x =45,即当x 为45米时,S 最大,且S 最大值为1 352平方米.[1.(1)当x >0时,x 2+1x 有最大值,还是最小值? (2)当x >0时,x x 2+1有最大值,还是最小值?[提示] (1)当x >0时,x 2+1x =x +1x ≥2x ×1x=2, 当x =1时等号成立,即x 2+1x 有最小值2. (2)当x >0时x x 2+1=1x +1x,因为x +1x ≥2,所以x x 2+1≤12,故x x 2+1有最大值12. 2.(1)设a >0,b >0,(a +b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +2b 的最小值是什么?(2)设a >0,b >0,且a +b =1,1a +2b 的最小值是什么?[提示] (1)(a +b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +2b =3+b a +2a b ≥3+22,当b =2a 时等号成立;(2)由于a +b =1,所以1a +2b =(a +b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +2b ≥22+3,当b =2a ,即a =13,b =23时,1a +2b 的最小值为3+2 2.(1)若对任意的x >0,xx 2+3x +1≤a 恒成立,求a 的取值范围.(2)设a >0,b >0,若3是3a 与3b 的等比中项,求1a +1b 的最小值.【导学号:91022248】[思路探究] (1)在x x 2+3x +1中,分子、分母同时除以x ,求得xx 2+3x +1的最大值,可得a 的范围.(2)由条件求得a 与b 的关系式,可求1a +1b 的最小值. [解] (1)设f (x )=xx 2+3x +1=1x +1x+3,∵x >0,∴x +1x ≥2,∴f (x )≤15,即f (x )max =15,∴a ≥15.(2)由题意得,3a ·3b =(3)2,即a +b =1, ∴1a +1b =⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +1b (a +b )=2+b a +ab ≥2+2b a ·ab=4, 当且仅当b a =a b ,即a =b =12时,等号成立.母题探究:1.(变条件)(1)在例3(2)中,若3是3a 与3b 的等比中项,求1a +1b 的最小值.(2)在例3(2)中,把条件换为“2a 和1b 的等差中项是12”,求2a +b 的最小值. [解] (1)由3是3a 与3b 的等比中项,得3a +b =32,即a +b =2,故12(a +b )=1,所以1a +1b =12(a +b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +1b =12⎝ ⎛⎭⎪⎫2+b a +a b ≥12⎝⎛⎭⎪⎫2+2b a ×a b =2, 当a =b =1时等号成立.(2)由于2a 和1b 的等差中项是12,则2a +1b =1,故2a +b =(2a +b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a +1b =5+2b a +2a b ≥5+22b a ×2ab =9.当a =b =3时等号成立.母题探究:2.(变条件)把例3(2)的条件换为“a >0,b >0,且a +b +ab =1”,求a +b 的最小值.[解] a +b +ab =1,得b =1-a a +1>0,故0<a <1,故a +b =a +1-a a +1=a +-1-a +2a +1=a +2a +1-1=a +1+2a +1-2≥2(a +1)×2a +1-2=22-2,当a +1=2a +1,即a =2-1时等号成立.[规律方法] 最值法解答恒成立问题将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的处理方法,其一般类型有: (1)f (x )>a 恒成立⇔a <f (x )min . (2)f (x )<a 恒成立⇔a >f (x )max .[当 堂 达 标·固 双 基]1.下列函数中,最小值为4的函数是( ) A .y =x +4x B .y =sin x +4sin x (0<x <π) C .y =e x +4e -xD .y =log 3x +log x 81C [A 中x =-1时,y =-5<4,B 中y =4时,sin x =2,D 中x 与1的关系不确定,选C.]2.设a 、b 是实数,且a +b =3,则2a +2b 的最小值是( )【导学号:91022249】A .6B .4 2C .2 6D .8B [∵a +b =3,∴2a +2b ≥22a ·2b =22a +b =28=4 2.]3.函数f (x )=x (3-3x ),x ∈(0,1),的最大值为________. [解析] f (x )=3x (1-x )≤3×⎝⎛⎭⎪⎫x +1-x 22=34, 当x =1-x ,即x =12时等号成立. [答案] 344.一批货物随17列货车从A 市以v 千米/时匀速直达B 市,已知两地铁路线长400千米,为了安全,两列货车的间距不得小于⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202千米,那么这批货物全部运到B 市,最快需要________小时.[解析] 设这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ,则t =400+16⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202v =400v +16v 400≥2400v ×16v400=8(小时),当且仅当400v =16v400,即v =100时,等号成立,此时t =8小时. [答案] 8 5.求函数f (x )=xx +1的最大值. 【导学号:91022250】[解] f (x )=xx +1=1x +1x , 因为x +1x≥2x ×1x=2,当x =1时等号成立,所以f (x )≤12.。

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2 2
解: z 2 2 xy x y
2 2 2 2 2
2
4 x y 4 2 xy 8 z 2 x y x y 的最小值为8.
问题:是否积或和为定值时, 就一定可以求最值?
x y x y ④∵x、y∈R,xy<0,∴y+x=-[-y+-x]
≤-2
• 其中正确的推导为( D ) • A.①② B.②③ • C.③④ D.①④
x y - - =-2. y x
例2 已知x、y都是正数,求证:
(1)
y x x y
用均值不等式求最值,必须满足“定值”这个条件.
4 2 求函数y sin 其中 0, ] ( sin 2 的最小值。
4 4 解:y sin 2 sin 4, sin sin 函数的最小值为4。
用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条 件.如果取等的条件不成立,则不能取到该最值,那 么用什么方法求最小值
由FC≥OFAaO来自CbB
D’
三.基本不等式链
理解四个“平均数”的大小关系;a,b∈R+,

2ab ab a b ab 2 2 ab
2
调和平均数 几何平均数 算术平均数 加权平均 数或平方 平均数
2
其中当且仅当a=b时取等号.
练习: (1)已知a、b是实数,且a+b=4, 求2a+2b的最小值 当且仅当a=b=2时,2a+2b取得最小值8. (2).y=2x 1 x 2 ,(0<x<1), 求y的最大值
例5.已知:x>0,y>0.且2x+5y=20,
求 xy的最大值.
方法1:基本不等式法
2 x y 2 x 5 y 5 xy 10. 10 40
2
20 2 x 5 y 2 2 x y, xy 10. 5
方法2:减元构造函数
构造法
( 变式. P 课本例2) 设x, y为正实数,且2x+5y=20, 求 u lg x lg y 的最大值.
91
例6:设a,b均为正数,证明不等式:
ab
2 1 1 a b
注:变换形式再证
对这一不等式的几何解释:
以a+b为直径作圆,在直径AB上取一点C,过C作弦DD’AB,过C作 CEOD于E,则在Rt△OCD中,由射影定理可知,
D
DE OD DC 2 _________

DC ab 2 DE OD a b 1 1 2 a b
x2 2 x 1 x 2 的最大值; (5). 求函数 y x2
例6、已知a、b ∈ R +,且a + 2b = 1, 1 1 求 + 的最小值. a b
用代换法构造基本不等式
练习:已知x、y ∈R +,且lgx + lgy = 1, 2 5 求 + 的最小值. x y
例7、已知a、b∈R +,且a + b + 3 = ab, 求ab的最小值.
y 2 x 1 x
2 2

x 1 x 2 2 1 当且仅当x 2 2 2
2 2 2
(3).已知a、b是正数 求a 1 b 2 的最大值.
a 1+ b
2
,且a2+
= 2a
2
b =1, 2
=
a
2
1 + b
2
1 b2 + 2 2
a+b 即 2 = ab⇒a=b.
a+b ②仅当 a=b 时, ≥ ab的等号成立, 2 a+b 即 2 = ab⇒a=b.
二.基本不等式的最大值与最小值 已知两个正数x,y,求x+y与积xy的 最值.
(1)xy为定值p,那么当x=y时, x+y有最小值 _____ ; 2 p 积定和小 (2)x+y为定值s,那么当x=y时, 1 2 积xy有最大值 _____ . s 4 和定积大
≥2;
(2)(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.
练习 1.不等式m2+1≥2m中等号成立的条件是( A.m=1 B.m=±1 C.m=-1 D.m=0 2.已知a,b∈R+,且a+b=2,则( A.ab≤4 B.ab≥4 C.ab≤1 D.ab≥1 )
A
)
C
a+b [题后感悟] 基本不等式 2 ≥ ab(a≥0,b≥0)反映了 两个非负数的和与积之间的关系.对它的准确掌握要抓住以 下两个方面: (1)定理成立的条件:a、b 都是非负数, (2)“当且仅当”的含义. a+b ①当 a=b 时, 2 ≥ ab的等号成立, a+b 即 a=b⇒ 2 = ab; a+b ②仅当 a=b 时, ≥ ab的等号成立, 2
2
5 a 1 4 a 1
例8、求函数y =
2x -1 + 5 - 2x的最大值. (
1 5 < x < ) 2 2
方法1:利用基本不等式
① 根式:利用平方转化
② 直接利用算术平均数和加权平均数
方法2:求二次函数定区间上的最值 解题心得:根式的问题可以平方转化.注意一题多解.
答案: 2 2
运用均值不等式的过程中,忽略了“正数”这个条件.
1 变式.(P91课本例3)已知 y = x + (x ≠0), x
|y|≥ 2. 证明:
练习
3 ( x 2) ,求函 1.已知函数 f ( x) x x2
数的最小值.
大家把x = 2 + 3代入看一看,会有什么发现? 用什么方法求该函数的最小值?
A
D
而半径
ab AO CD ab 2
a OC b B
E
当且仅当C与O重合,即a=b时等号成立
例1 给出下面四个推导过程:
b a ①∵a、b 为正实数,∴ + ≥2 a b ba ·=2; ab
②∵x、y 为正实数,∴lgx+lgy≥2 lgx· lgy; 4 ③∵a∈R,a≠0,∴ +a≥2 a 4 · a=4; a
注意:在使用“和为常数,积有最大值”
和“积为常数,和有最小值”这两个结论时,应 把握三点:“一正、二定、三相等”.当条件不 完全具备时,应创造条件.
正:两项必须都是正数; 定:求两项和的最小值,它们的积应为定值; 求两项积的最大值,它们的和应为定值。
等 : 等号成立的条件必须存在.
例3.下列函数中,最小值为2的有那些? 4 x -x (1) y x (2) y 2e e x (3) y log 3 x log x 30 x 1
a=b时,等号成立.
上述不等式称为基本不等式,其中
ab 算术平均数,
ab 2
称为a,b的
称为a,b的几何平均数.

a 注意:1.这个定理适用的范围: R
2.语言表述:两个正数的算术平均 数不小于它们的几何平均数。
对基本不等式的几何解释:
以a+b为直径作圆,在直径AB上取一点C,过C作 弦DEAB,则 CD 2 CA CB ab 从而, CD ab
方法1
ab 9
a b 2 ab , 2 ab 3 ab.解不等式可得。
方法2 a b 3 ab b a 1 a 3
a3 b a 0, b 0. a 1. a 1 ab a a 3 a 1
a 1
2
A
E
B C
a
b
O
由DC≥DE,得
1 1 a b 当且仅当C与O重合,即a=b时,等号成立
ab
2
D’
例5:设a,b均为正数,证明不等式:
ab 2
a b 2
2
2
注:1.采用放缩法证明,证明思想很重要。 2.在放缩时不能过度放缩,也不能放缩不足
F
对这一不等式的几何解释: 课本p89思考交流
(4)
(5)
4 0 x y sinx sinx
4 yx 2 x
2
(6)
4 y tan x 0 x tanx 2
想一想:错在哪里?
1 例4.已知函数 f ( x) x ( x 0) ,求函数的最 x 小值和此时x的取值.
2 1 b2 + a + 2 2 ≤ 2 2

2
=
3 4
2
1 5 (4). 已知 x ,则函数y 4 x 2 4 4x 5
1 的最大值是__.
x 6 x 14 ( x 1) 的最小值 变形:函数 y x 1
2
10 是___.
例9、已知a、b∈ + ∞),且a + b = 1, (0,
2 2
1 求证:(1)a + b ≥ ; 2 1 2 1 2 25 (2)(a + )+ b + )≥ . ( a b 2
应用均值不等式时要注意 “一正、二定、三相等”
下面运算是否正确?
若xy 2, x 0, y 0, 求z 2 x y x y 的最小值.
3.3(1) 基本不等式 (2)基本不等式的最大值与最小值
一.基本不等式
对于任意实数x,y,(x-y)2≥0总是成立的,即
x2 -2xy+y2 ≥0 所以
x2 + y2 ≥ ,当且仅当x=y 时等号成立 xy 2
设 x a , y b , 则由这个不等式可得出以 下结论:
a+b ≥ ab ,当且仅当 如果a,b都是正数,那么 2
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