1.4.1正弦函数-余弦函数的图象教案

§1.4.1正弦函数,余弦函数的图象

【教学目标】

1、知识与技能： （1）利用单位圆中的三角函数线作出R x x y ∈=,sin 的图象，明确图象的形状；

（2）根据关系)2sin(cos π

+=x x ，作出R x x y ∈=,cos 的图象；

（3）用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图。

2、过程与方法

进一步培养合作探究、分析概括，以及抽象思维能力。

3、情感态度价值观

通过作正弦函数和余弦函数图象，培养认真负责，一丝不苟的学习精神。

{

【教学重点难点】

教学重点：“五点法”画长度为一个周期的闭区间上的正弦函数图象

教学难点：运用几何法画正弦函数图象。

【教学过程】

1. 问题引入，创设情境：

问题1：:任意给定一个实数x ，对应的正弦值sinx 、余弦值cosx 是否存在是否唯一 问题2：一个函数总具有许多基本性质，要直观、全面了解正、余弦函数的基本特性，我们应从哪个方面入手图象

视频演示：

…

“装满细沙的漏斗在做单摆运动时，沙子落在与单摆运动方向垂直运动的木板上的轨迹”

思考： 有什么办法画出该曲线的图象

2、新课讲解

（1）提出问题：

根据以往学习函数的经验，你准备采取什么方法作出正弦函数的图象作图过程中有什么困难

答：列表、描点、连线。由于表中部分值只能取近似值，再加上描点时的误差，部分同学取的点较少，所以画出的图象难免误差大。如何画出更精确的图象呢

（2）探究新知：根据学生的认知水平,正弦曲线的形成分了三个层次： 引导学生画出点)3sin ,3(

ππ | 问题一：你是如何得到2

3的呢如何精确描出这个点呢 问题二：请大家回忆一下三角函数线，看看你是否能有所启发

电脑演示正弦线、余弦线的定义，同时说明：当角度变化时，对应的线段MP 的长度就是这个角度的正弦值。演示点)3sin ,3(

π

π的画法。

问题三：能否借用画点)

3

sin

,

3

(

π

π

的方法，作出y=sinx，x∈[0，2π]的图象呢

课件演示：正弦函数图象的几何作图法

教师引导：在直角坐标系的x轴上任意取一点O1，以

O1为圆心作单位圆，从圆O1与x轴的交点A起把圆

O1分成12等份（份数宜取6的倍数，份数越多，画

出的图象越精确），过圆O1上的各分点作x轴的垂线，

可以得到对应于0、

6

π

、

3

π

、

2

π

、……、π2等角的

正弦线，相应地，再把x轴上从0到π2这一段分成12等份，把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合，再用光滑的曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到了函数x

y sin

=，[]π2,0

∈

x的图象

问题四：如何得到x

y sin

=，R

x∈的图象

因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数x

y sin

=在[]0

,

,

)1

(2,

2≠

∈

+

∈k

Z

k

k

k

xπ

π的图象与函数x

y sin

=，[]π2,0

∈

x的图象的形状完全一样，只是位置不同，于是只要将它向左、右平行移动（每次π2个单位长度），就可以得到正弦函数x

y sin

=，R

x∈的图象，即正弦曲线。

￥

问题五：如何作余弦函数x

y cos

=，[]π2,0

∈

x的图象

放手让学生独立思考，自主活动，通过自己的探究得出余弦曲线。实际上，只要学生能够想到正弦函数和余弦函数的内在联系

即)

2

sin(

cos x

x+

=

π

通过图象变换，由正弦曲线得出余弦曲线的方法是比较容易想到的。

问题六：这个方法作图象，虽然比较精确，但不太实用，如何快捷地画出正弦函数的

y=cosx

y=sinx

π2π3π4π5π

6π

-π

-2π

-3π

-4π

-5π

-6π

-6π-5π-4π-3π-2π-π6π

5π

4π

3π

2π

π

-1

1

y

x

-1

1

o x

y

图象呢

学生活动：请同学们观察，边口答在x y sin =，[]π2,0∈x 的图象上，起关键作用的点有几个引导学生自然得到下面五个：

)0,2(),1,2

3(),0,(),1,2(),0,0(ππππ- 组织学生描出这五个点，并用光滑的曲线连接起来，很自然得到函数的简图，称为“五点法”作图。

、

小结作图步骤：1、列表2、描点3、连线

学生活动：试试用五点法画出函数x y cos =，[]π2,0∈x 的图象

3、例题分析

例1、画出下列函数的简图：y ＝1＋sinx ，[]π2,0∈x

ｙ＝－cosx ，[]π2,0∈x

4、练习巩固

在同一坐标系内，用五点法分别画出函数

y= sinx ，x [0, 2] 和 y= cosx ，x

]23,2[ππ-的简图 -

5、课堂小结

通过这节课的学习，同学们，你们有什么收获吗

① 正弦函数图象的几何作图法

② 正弦函数图象的五点作图法（注意五点的选取）

③ 由正弦函数图象平移得到余弦函数的图象

6、布置作业：

画出下列函数的图象简单，并说说他们分别与函数y=sinx, x ∈[0,2π] y=cosx ，x ∈[0,2π]有什么关系

(1) y=1-sinx x ∈[0,2π]

(2)y=3cosx x ∈[0,2π]

（3）y=cos2x x ∈[0,2π]