2021届新高考高三数学新题型专题03 三角形解答题 开放性题目第三篇(原卷版)

第三篇 备战新高考狂练新题型之高三数学提升捷径

专题03 三角形解答题 在①ABC ∆面积2ABC S ∆=，②6ADC π∠=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC . 如图，在平面四边形ABCD 中，34

ABC π∠=

，BAC DAC ∠=∠，______，24CD AB ==，求AC .

1. 在ABC ∆中，7,5,8a b c ===.

()1求sin A 的值；

()2若点P 为射线AB 上的一个动点（与点A 不重合），设AP k PC

=. ①求k 的取值范围；

②直接写出一个k 的值，满足：存在两个不同位置的点P ，使得AP k PC

=.

2. cos )sin b C a c B -=；②22cos a c b C +=；③sin sin

2

A C b A += 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.

在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足________________，b =4a c +=，求ABC

∆的面积.

3. 在①34asinC ccosA =;②22

B C bsin

+=这两个条件中任选-一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题.

在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知 ，a =.

(1)求sinA ;

(2)如图，M 为边AC 上一点，,2MC MB ABM π

=∠=，求ABC 的面积

4. 在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满()(sin sin )sin )b a B A c B C -+=-. （1）求A 的大小；

（2）再在①2a =，②4B π

=，③=c 这三个条件中，选出两个使ABC 唯一确定的条件补充在下面

的问题中，并解答问题.若________，________，求ABC 的面积.

5. 在条件①()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，②sin cos()6a B b A π=+，③sin sin 2

B C b a B +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.

在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，6b c +=，a =， .

求ABC ∆的面积.

6. 某地计划在一处海滩建造一个养殖场.

（1）如图1，射线OA，OB为海岸线，

2

3

AOB

π

∠=，现用长度为1千米的围网PQ依托海岸线围成一个

POQ

△的养殖场，问如何选取点P，Q，才能使养殖场POQ

△的面积最大，并求其最大面积.

（2）如图2，直线l为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场.方案一：围成三角形OAB（点A，B在直线l上），使三角形OAB面积最大，设其为1S；方案二：围成弓形CDE（点D，E在直

线l上，C是优弧所在圆的圆心且

2

3

DCE

π

∠=），其面积为

2

S；试求出

1

S的最大值和

2

S（均精确到0.01

平方千米），并指出哪一种设计方案更好.

7.如图，在等腰直角ΔOPQ中，∠POQ=900，OP=2√2，点M在线段PQ上.

(Ⅰ) 若OM=√5，求PM的长；

（Ⅰ）若点N在线段MQ上，且∠MON=300，问：当∠POM取何值时，ΔOMN的面积最小？并求出面积的最小值.

8.如图，某快递小哥从A地出发，沿小路AB BC

→以平均速度为20公里/小时送快件到C处，已知10

BD=公里，00

45,30

DCB CDB

∠=∠=，ABD

△是等腰三角形，0

120

ABD

∠=．

（1）试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到C处？

（2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路

AD DC

→追赶，若汽车的平均速度为60公里/小时，问，汽车能否先到达C处？

9.为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤.

10.某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E处按EP方向释放机器人甲，同时在A处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q处成功拦截机器人甲．若点Q在矩形区域ABCD

AB=米，E为AB中点，机器人乙的速度是机器人内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知18

甲的速度的2倍，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记EP与EB的夹角为θ．

θ=︒，AD足够长，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？（结果精确到0.1︒）；（1）若60

（2）如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，才能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲？