耦合模理论

耦合模理论及其在微波和光纤技术中的应用
（研究生课程用）
钱景仁
中国科学技术大学
二零零五年
目录
绪言 (Preface) (1)
第一章耦合模的一般理论
§1.1 耦合模方程 (6)
§1.2 强耦合与弱耦合 (11)
§1.3 周期性耦合 (18)
§1.4 耦合模与简正模 (29)
§1.5 缓变参数情况下本地简正模广义理论 (33)
§1.6 理想模、本地简正模和超本地简正模 (37)
§1.7 耦合器应用举例 (42)
§1.8 临界界面附近和稳相点附近的耦合模方程 (46)
第二章闭合波导中的耦合模问题
§2.1 介质填充波导 (51)
§2.2 缓变表面阻抗和阻抗微扰 (59)
§2.3 弯曲波导 (64)
第三章光纤中的耦合模问题
§3.1 光纤中的简正模式 (68)
§3.2 耦合模理论的推广 (80)
§3.3 非理想光纤的耦合模方程 (81)
§3.4 用闭合波导理论来研究开波导 (86)
第四章 螺旋光纤及弯曲光纤
§4.1 螺旋光纤的耦合模分析 (89)
§4.2 单模传输条件下的螺旋光纤 (93)
§4.3 弯曲光纤 (98)
第五章耦合功率方程
§5.1多模波导和多模光纤的传输特性 (104)
§5.2 多模波导中的耦合功率方程 (105)
§5.3 多模光纤传输中的耦合功率方程 (107)
中文参考文献 (109)
英文参考文献 (110)
Preface
What is the coupled-mode theory? Is it a common theory in physics?
Waves and vibration phenomena are popular in physics as we know such as mechanical vibrations, acoustic waves, light waves, microwaves and radio waves. Furthermore, connection or coupling among systems is also a general rule in universe. Everything presupposes the existence of some other thing. Cause-effect relations and action-reaction relations are generally existed among systems in the universe.
It is obvious that there aren’t any ideal waves which exist independently and do not change their amplitudes and directions. A real wave or vibration is always connected with a source or other waves. Now, it is necessary to describe how these waves or vibrations (oscillations) couple to each other, and how their amplitudes change with the time or the distance. To illustrate the principle of the coupling between waves or vibrations (oscillations), let’s take pendulums as an example.
Fig. a
A pendulum can vibrate, that is to say it swings from side to side. We can give it a push and then it will vibrate at a fixed speed or at a certain frequency. If two pendulums with same frequency are hung on a string and one of them is set swinging as shown in Fig. a, it will swing less and less until it stops altogether, while the other pendulum will swing higher and higher until it reaches a maximum. Then the process will be reversed until the first pendulum reaches a maximum and the second comes to
rest once more. This cycle repeats itself again and again. It would repeat infinitely if
there were no losses in the system.
This is a typical experiment performed in most early physics courses. I had done it when I was in middle school.
1
Fig. b Frequencies are the same. Fig. c Frequencies are different.
If these two pendulums have different frequencies, then transfer of energy between them will not be complete, and the first pendulum will not stop in the process. We can plot a graph to express the process as shown in Fig.b and Fig.c. The abscissa represents the time, and the ordinate A represents the amplitude of each pendulum. If the initial conditions at t =0 are as follows:
()()1201,00A A ==,
We can see the variations of the amplitudes of the two coupled pendulums in Fig.b and Fig.c, respectively, when their frequencies are the same and different. The time spacing between two adjacent maxima (or minima) is the period of the process, which is determined by the coupling between the two pendulums. The stronger the coupling is, the shorter the period is. The coupling between the two pendulums is caused by the fact that the pendulums are connected to a same string, and any vibration of one of the pendulums will have an effect on the other through the string.
It has been recognized that coupled transmission lines, coupled electrical circuits, coupled optical fibers and coupled waveguides are analogous to coupled pendulums. The variations of the amplitudes of waves are the same as shown in the figures, but now the abscissa represents distance instant of time.
Sometimes the coupling is not between the same kind of waves or oscillations, for example, in a traveling wave tube, a space-charge wave and an electromagnetic wave
couple to each other. In a crystal, an electrical vibration will cause a mechanical (or acoustic) vibration and vice versa.
There should be some general rules or there is a generalized theory to describe these coupling problems. It is the so called coupled-mode theory. Here, mode means one of the models of wave forms.
In the theory, all the coupled-mode or coupled-vibration problems are formulated by a set of coupled-mode equations, which are simultaneous differential equations of first order with variable or constant coefficients. In case of two modes, they can be written as follows:
()()()()()()11122221j j j j dA z A z cA z dz dA z A z cA z dz ββ=−+=−+
Where i β and c are functions of z in general case.
When n modes or waves should be considered in a coupling problem, n differential equations will be used instead of two.
A common method in electromagnetic theory is the modal approach in which the normal modes of the system (those fields which propagate unchanged except in phase) are found. This involves solving the wave equation adapted to the particular geometry of the system, and matching solutions at the boundaries to give the normal modes or eigensolutions. Any field of the system can then be expanded in terms of the normal modes, with the expansion coefficients determined by certain boundary conditions e.g. initial conditions. This modal-expansion or eigenvector method is physically intuitive and straightforward in principle, but modal solutions of the wave equation can only be found for a limited number of ideal systems of relatively simple geometry, including slabs and circular cylinders.
Coupled-mode theory attempts to preserve the concept of modes for non-ideal systems in which an exact modal solution is not possible but where the normal modes of a reference system of simple geometry are known. These modes, in general, form a complete set so that they can be used to expand the fields of the non-ideal system.
Because they do not satisfy the boundary conditions of the non-ideal system, the modes coupled or exchange power as they propagate. To derive the coupled-mode equations, Maxwell’s equations are transformed to those which determine how the individual mode amplitudes vary as a function of the parameters of the system. There have been several methods of coupled-mode analysis to formulate the coupled-mode equations. In the early times, people used to start directly from Maxwell’s equations along with the boundary conditions to derive these equations. Later, many other methods were utilized, such as using reciprocity theorem, starting from a Green function or stimulating equations of waveguides, someone also used variation method and perturbation approach, all these are substantial agreement.
The method of coupled-modes is most useful when the deviation of the non-ideal system from the known reference system is not too great e.g. small deviations in refractive index or small deformation of cross-section. Although the imperfections may be small they can still produce marked effects, such as total transfer of power from one mode to the other in a waveguide or one waveguide to another. Coupled-mode theory has also been used to treat a variety of problems, including the cross-sectional deformation of waveguides. In many of the problems where the power transfer between modes is small, solutions can also be obtained by other techniques. However, coupled-mode theory has particular application to systems in which a large fraction of modal power may be transferred to other modes, as in the case of neighbouring waveguides in which complete transfer of power between waveguides can take place. This is unique for coupled-mode theory.
The primary idea of the coupled-mode theory was first introduced by Pierce in 1940’s, when he worked on microwave electronic devices. Later, this idea was extended its use to the waveguide transmission by Miller and then the theory was fully developed. Recently, the theory has been widely used to solve optical fiber transmission problems and fiber gratings. On the other hand, the coupled-mode theory supervises the practice and many new coupling principles have been discovered. According them, a variety of devices have been designed, such as mode transducers, broadband optical fiber couplers and etc.
A lot of coupling problems involving optics, acoustics and microwaves have been being solved by scientists of many countries, including Chinese scientists. Prof. Huang Hong-Chia, vice-president of Shanghai University, has made important contributions to coupled-mode theory. Some of his papers are listed in the end of this book for reference.
In this book, the first chapter begins with the coupled-mode equations and is followed by many treatments to solve these equations. In Chapter 2, many typical coupled-mode problems in closed waveguides are solved. Those all problems will lead to the coupled-mode equations and then the coupling coefficients are derived. Chapter 3 begins with a discussion of the normal modes in optical fibers. The remainder of the chapter deals with coupling between these normal modes in imperfect optical fibers. In Chapter 4 helical fibers and bending fibers are studied. In the fifth chapter the coupled power theory is introduced, it consists of Pierce’s theory and Marcuse’s theory which are used in waveguide and optical fiber transmission, respectively.
On the whole, coupled-mode theory is a general theory. Mathematically, it bases on the expansion theorem of eigen-functions, the existence of expansion in terms of eigen-functions makes the theory to be carried out. The mathematic areas in the theory are differential equations and linear algebra.
第一章 耦合模的一般理论
在这一章中，将首先从一般概念出发，得到耦合模方程。

得到耦合模方程后，在不同的情况下（强耦合，弱耦合，周期性耦合等）采用不同的方法来求解。

在求解过程中，引入理想模，本地简正模，超本地简正模等概念是有益的，特别是在缓变参数的情况，可以使问题简化。

本章还讨论了耦合模方程在临界截面处和稳相点处的特性和解，本章还列举大量实例说明各种耦合原理的应用。

§1.1耦合模方程
在这一节中将从一般概念出发，推导在线性系统中的耦合模方程。

这里的模可以是波导中的传输模，也可以是振荡模（在参放系统或谐振腔）或空间电荷波（在电子管）。

波随时间变化因子为exp(j ωt )。

下面以传输模为例来推导耦合模方程。

显
然传输在正z 和负z 方向上的模具有
exp[j(ωt -βz )]和exp[j(ωt +βz )]因子。

这里从最简单的情况出发，见图 1.1，若
传输系统中仅有两个模，其复幅度分别为1
A 和2A ，在z 处发生耦合（即图1.1上z Δ小段
内）。

1A 在传输过程中本身的相位要有改变，同时2A 通过
耦合线性地加到1A 上去，因此增量
111122j ()()A zA z zA z βκΔ=−Δ+Δ。

式中右边第一项代表在z
+方向传输过程中波相位的改变，见图1.2，图上的1A Δ不包
括耦合项，式中的12k 为耦合系数。

同样如果2A 也在z +方
向，222211j ()()A zA z zA z βκ++Δ=−Δ+Δ，若2A 在z −
方向传输，则222211j ()()A zA z zA z βκ−−Δ=+Δ+Δ，取0z Δ→时，即可导出两个耦合模（在同向或反向情况）的微分方程组，即
图1.2
111122222211d ()j ()()d d ()j ()()d A z A z A z z A z A z A z z
βκβκ±±±=−+=+∓ （1.1）
z
上述的结果是在线性传输系统中推得，对于非线性系统，如果传输常数在不同方向上是一样的，则（1.1）式往往仍然是正确的，否则便要修改。

通过适当定义，引入归一化条件，可使2*A A A ⋅=直接代表传输功率（对于传输系统），或储能（对于振荡系统）。

（1.1）式中，β为实数时，表示传输模；β为虚数时，则变为消失模，这时（1.1）式表示消失模间的耦合。

这种情况往往发生在截止波导，一般不予考虑。

在参放或振荡系统中，需将（1.1）式中z 改变为t ，即以时间为变量，另外将β改为ω就可以了。

下面将把上面讨论的进一步推广到无限多个模的情况，则有
d ()j ()()d i i i ik k k i A z A z A z z βκ∞≠=−+∑ (1,2,)i =±±±
式中i i ββ−=−。

对于n 个模的情况
d ()j ()()d n i i i ik k k i A z A z A z z βκ≠=−+∑ (1,2,,)i n =±±±
用矩阵形式表示，为
′A =ΚA (1.2)
式中，A 是列矩阵，其元排列为1212(,,,,,)n n A A A A A A −−− ；d 'd z
A A =； 1121311112121j j =j n n n n βκκκκκκβκβ−−−−⎡⎤⎢⎥−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
Κ 下面来讨论Κ应具有怎么样的形式，各元之间有什么关系，首先将利用在无耗系统中能量守恒原理求得耦合系数间两两共轭的关系，接着将利用电磁场的互易性和几何形状对耦合系数的影响确定耦合系数两两间的另外两个关系，从而得到耦合模方程两种最常见的形式。

在一个无耗的传输系统中，通过每一个横截面的功率是不变的，因此
*1d 0d n i i i i A A z i ±=±⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠
∑ 对于光纤这类的开式波导，存在有辐射场，上式仍然成立，因此此时取横截面为无限大，功率仍守恒。

把上式改写成
() ***d d d d d d z z z =+=A A A PA PA A P 0 （1.3）
式中P 为对角矩阵，其元为(1,1,-1,-1,) ； *A 表示A 的共轭转置矩阵。

因为d d z
=A A'，将（1.2）式代入（1.3）式，可得
***+=A ΚPA A P ΚA 0 所以 *Κ
P =-P Κ，因为P 是对角矩阵，故 *11212**12122j p p p j p βκκβ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ΚP
1112121222j p p p j p βκκβ−⎡⎤⎢⎥−⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
P Κ (1.4)
因而可见 *ij ji κκ=∓
其中，“−”号或负共轭关系适用于同向模，“+”号或正共轭关系适用于反向模。

在继续讨论耦合系数关系前，先讨论一下离散耦合的情况，这种情况在实际中经常出现，如波导截面的突变，接头错位，小孔耦合，波导弯折以及媒质参数突变等，可以用多模微波网络中的散射矩阵表示
'''⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦R T S I R'S T I （1.5）
如果起始条件'=I 0,而设投射到不连续处的波幅为I ,则问题变为求T 和S 了。

这里列矩阵R 和'R 各元分别为12,,n R R R 以及12',','n R R R ,I 及'I 各元分别为12,,n I I I 及
12',','n I I I ,它们分别是从不连续性处反射的和投
射到不连续处的各波型幅度。

以后将讨论连续耦合
情况下的Κ和离散耦合情况下的T 和S 的关系。

由于场的互易性，故（1.5）式中的散射矩阵是对称的，即
=T T , ''=T T , '=S S
现在继续研究连续耦合情况，设有一段不规则波导（见图1.4），我们仅观察
1z z =到1z z z =+Δ间的一小段不规则性所引起的波导中各波型间的耦合。

可以用
两种方法来研究它。

可以将连续耦合看作无数个离散耦合连在一起而成，只要z Δ取得足够小，这一小段不连续性两边模的幅度可用（1.5）式表示。

另一方面也可用耦合模方程(1.2)式来描述这一段不规则波导引起的各波型间的耦合。

为此先将该方程改写成
'()()'()()z z z z ++++−+−−+−−
−⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
A K K A A K K A （1.6）
其中+A 及−A 为分块列矩阵，其各元分别代表正z 向和负z 向传输模幅度，它们在列矩阵中的排列次序与I 和'I 是一致的。

如果z Δ足够小，在ij z κΔ的一次近似下，解（1.6）式，并考虑到在1z z =处
i i +=A I ，i i −=A R ，而在1z z z =+Δ处，'',i i i i +−==A R A I ，可得
''z
z z z ++
+−−+−−
⎡⎤+ΔΔ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Δ+Δ⎣⎦
R I K K I I R K I K （1.7）
矩阵元上加一横表示为z Δ内的平均值。

为了便于同（1.5）式相比较，在ij z κΔ的一次近似下，将（1.7）式化为
''z z z z −+−−
+++−⎡⎤−Δ−Δ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
+ΔΔ⎣⎦R K I K I R I I K K （1.8）
比较（1.5）和（1.8）式，并利用散射矩阵对称性又取极限0z Δ→，即得耦合系数关系
()
()()()()()()
ij ji ij
ji
ij
ji
z z i j z z z z κκκκκκ++
−−−+−++−+−=−≠==， （1.9）
（1.9）式是场的互易性在耦合系数上的表现。

另一方面，如将图1.4中的坐标颠倒，即引入坐标变换'z z =−，在新的坐标
中，耦合模方程仍可写成
'(')(')'(')(')z z z z ++++−+−−+−−
−⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
A K K A A K K A （1.10）
z
1z 1z z
+
Δ
如果坐标变换不影响到模式的重新定义，这里+A 和−A 与原来z 坐标系统中的+A 和−A 恰好互相颠倒，为了避免混淆，将（1.10）式中的+A 和−A 倒回来，使它同（1.6）式中的+A ，−A 表示一致；再将'z z =−代入（1.10）式左边，得
'(')(')'(')(')z z z z −+++−−+−+−−
+⎡⎤⎡⎤⎡⎤
−=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
A K K A A K K A 由于对'z 的求导改为对z 求导，等式左边出现负号，如果仍将列矩阵+A 排在前面，得
'(')(')'(')(')z z z z +−−−++−+−++
−⎡⎤⎡⎤⎡⎤−−=⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦
A K K A A K K A （1.11）
在同一点上比较（1.6）式和（1.11）式，得到
''()(')()(')z z z z
z z z z ±±=−±±=−⎡⎤=−⎣⎦
⎡⎤=−⎣⎦
K K K K ∓∓
∓∓
（1.12）
应注意到z 坐标中的z 和'z 坐标中的z −是在同一点。

下面有两种情况，如果各耦合系数是与不规则性的大小或大小的偶次导数成
线性函数特性，则坐标的改变对耦合系数没有影响，故由（1.12）式：
()()
()()
ij ij ij ij
z z z z κκκκ++−−
−+
+−=−=− （1.13）
再利用（1.9）式，即得
()ij ji ij ji
i j κκκκ±±±±+−
−+=≠=−
（1.14）
这说明对于同向模，两两耦合系数相等，而对于异向模，它们相差一符号。

另一情况，如果耦合系数与不规则性大小的一次导数或奇次导数成线性函数
关系，则上述坐标变换将使耦合系数改变符号，故由（1.12）式得
()ij ij ij ij i j κκκκ−−
−++−
=≠=++（z）(z)（z）（z）
（1.15）
再利用（1.9）式，得
()
ij ji ij ji
ij
ji
i j κκκκκ
κ
++++−−−−
+−−+=−=−≠=，
（1.16）
也即对于同向模，它们之间相差一符号，而对于异向模，它们是相等的。

这样，由（1.9），（1.13），（1.14）式，对于前一种情况，（1.6）式可写为
''++++−+−+−++−⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦
A K K A A K K A （1.17）
式中++K ,+−K 皆为对称方阵。

由（1.9），（1.15），（1.16）式，对应于后一种情况，有
''+++
+−+−+−−−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
A K K A A K K A （1.18）
式中仍为对称方阵，而++K 及−−K 的非对角项相等且是反对称的，对角项仅差一符号。

由此可见，待求K 的元减少了()23n n −个；如果仅考虑同向模间的耦合，则待求耦合系数减少了12(1)n n −个，这在实用上是有意义的。

在无耗的情况下，（1.4）式成立，它可以改写成
()()
()
()
*
*ij ji ij ji ij
ji
i j κκκκκ
κ
++++−−−−
+−−+=−=−≠=*
，
（1.19）
这样，对于前一情况，由（1.14）和（1.19）式可知耦合系数皆为虚数，而在后一种情况，由（1.16）和（1.19）式可知耦合系数皆为实数。

这就是实际上最常见到的两种形式。

这两种形式所以最常见，是因为实际上遇到的各种问题中，耦合系数往往只单独与不规则性大小或其一次变率或其二次变率成线性函数关系。

在第二、第三章的许多实例中将说明这一点，也有不属于上述两种情况的，这时的耦合模方程就不能用（1.17）和（1.18）式来表示，仍用（1.6）式表示。

上面的讨论对于满足场互易性的耦合系统都是正确的，这个系统可以是闭合波导或开放波导，也可以是多波导系统。

在这一节中，我们从概念出发推出耦合模方程，并对方程中的耦合系数作出讨论。

§1.2 强耦合与弱耦合
用耦合模方程所描述的耦合可以区分强耦合与弱耦合两种情况，分别具有不同的概念和处理方法。

首先讨论弱耦合。

弱耦合的充要条件是耦合到某波型的功率（能量）在耦合
段内处处远小于原来输入模的功率。

以n 个波型耦合为例来研究弱耦合。

设边值条件为
1(0)1(0)0(2,3,)()0(1,2,,)
i i
A A i n A L i n =⎧⎪
==⎨⎪==−−⎩ 当当
在弱耦合情况下，（1.2）式将近似为
()
11111d ()
j ()d d ()
j ()()d ,1,2,3,i i i i i i A z A z z A z A z A z z
i n ββκββ=−+=−++=−=−±± －高次近似项高次近似项 （1.20）
式中高次近似项是按前已述及的弱耦合条件而忽略的。

式中第一个方程的解是
110()exp z
A z j dz β⎡⎤=−⎢⎥⎣⎦∫
将它代入第二个方程，即得
110d ()
j ()exp j d z i i i i A z A z dz z
βκβ⎡⎤=−+−⎢⎥⎣⎦∫
当i 为正时，该式在z L =处的解为
11000()exp j exp j ()L L z
i i i i A L dz dz dz βκββ+⎡⎤⎡⎤=−−−⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∫∫∫
（1.21）
当i 为负时，即反向模在0z =处的解为
1100(0)exp j ()L z
i i i A dz dz κββ−⎡⎤=−−+⎢⎥⎣⎦
∫∫
（1.22）
如果1β和各i β为常数，则（1.21）和（1.22）式可写成
()()
()()
11j j 10
j 10
()e e
2,3,,(0)e
1,2,,i i i L
z
L i i L
z
i i A L dz
i n A dz
i n βββββκκ+−−+−+−===−=∫∫ （1.23）
（1.21）∼（1.23）式是耦合模方程在弱耦合条件下的解。

由上面分析可见，在弱耦合条件下，波型之间的耦合可以两个两个分别考虑（即仅考虑输入模1A 和待求模i A ）
，这使问题大为简化。

若边值条件改为()()1200,00A A ≠≠，其余()00i A =，情况如何呢？仍然可
以采用两两方式来处理。

先设仅入射1A 波型，解出2i A A ，；再设入射2A 波型，而()100A =，解出1i A A ，。

基于是线性系统和相应的是线性微分方程的缘故，最后的解是把两个解迭加起来，得到
()()()()1
2
11j j j 112120
0e
0e
e z
z z
z
A z A A dz ββββκ−−−=+∫
()()()()2122j j j 221210
0e
0e
e z
z
z
z
A z A A dz β
βββκ−−−=+∫
()()()()()12j j j 112200e
0e 0e i i i z z z z z
i i i A z A dz A dz βββββκκ−−−⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦
∫∫
上述各式推导时设各i β皆为常数，且各模都在正z 向传输。

由此可见，不管边值条件如何，只要是在弱耦合情况下，波型间的耦合可以分别地两两考虑，这就是所谓弱耦合近似理论。

现在可以对前面提到的弱耦合的充要条件用数学形式表示，由（1.23）式，
可知条件为
()1
j 10
1
)i
z
z i e dz z i ββκ−∫
(对耦合区内所有和所有
（1.24）
现在解释弱耦合的物理概念。

在边值条件为()()10100i A A ==，情况，已得
到解（1.23）式，现将（1.23）式第一式改写：
()()1j j 10i L
L z z
i i A z dz e e ββκ−−−⎡⎤⋅⋅⎣
⎦∫＝ 它的意义表示在图1.5中，在零到L 的耦合段中，每一小段耦合到i 模的幅度为
1i dz κ，它的相位迟后由1
j e z β−和()j e i
L z β−−相乘而定，于是在耦合段内将所有每一小
段耦合的幅度相加起来。

其相加的矢量图表示在图 1.6，由于()1j e
i z
ββ−−的存在，
每个小矢量有相差，从而使()i A z 矢量作旋转，其振幅就不能一直增大，在到达最大值iMAX A 后又反而减小，如果L 足够大，()i A z 随z 的变化使不规则的周期性变动。

在图1.6中，为了说明问题，作为简化，每个小矢量是z Δ段内的耦合。

用1i z κΔ表示，1i κ 是z Δ内1i κ的平均值，以后作类似这样的矢量图就不再说明。

按（1.21）－（1.23）式，原则上就可以解弱耦合问题，这些积分在截止点
()0i β=和稳相点()1i ββ=的情况将在以后再谈。

一般只要知道()1i z κ的函数，那
就可以做；如果是复杂的函数，就可以通过数值方法用计算机算。

这里看一个最简单的情况，即1i κ为常量，则由（1.23）式积分
()()1j j 12i i L
L i Q A L e e βββ−−⎡⎤=−⎣⎦ （1.25）
其中
()112j i i Q κββ=−
定义为耦合能力，它除了和耦合系数直接有关，还和相位系数有关。

当1j i c κ=时，
12)2i Q c c βββ=−=Δ。

由（1.25）式可见，只靠c 还不能说明耦合大小，引入
Q 量后，能较全面判定一个耦合系统的耦合。

若1Q ，则按（1.25）及（1.24）式，则可判定这两波型间是弱耦合，因此这是弱耦合的充分条件。

如果Q 并不小，甚至很大或无穷大，一般是强耦合情况，但只要耦合区间充分小，仍然可能为弱耦合。

通常实际上遇到的弱耦合问题，1i κ的函数并不知道，而是待求的，已知的是
i A 在频带内保持一定值或一定范围内的值，要求出1i κ的分布。

这是一个工程设计问题，已做了许多工作，已比较成熟。

到此谈的是连续耦合情况，下面简单谈一离散情况下的弱耦合。

具体的例子
是小孔定向耦合器。

与连续情况一样，在弱耦合条件下可以两两
考虑，因此只要讨论两个波型的耦合或两个波导间的耦合（见图1.7）。

在弱耦合条件下，1A 幅 度近似不变，第i 个波型被动地接受耦合过来的能量，而对1A 没有反作用。

i A 表示为
()1
j j 11
je
e i i
i n
z z
i i i A A c β
ββ−−==∑ （1.26）
其中i c 表示i z z =处的耦合常数。

（1.26）式可以从（1.23）式推出，也可以从概念上推出，它是设计弱耦合定向耦合器的基础。

强耦合与弱耦合不单纯是强弱之差，在概念上、数学分析上是完全不同的。

在强耦合情况中，被耦合的（激励的）波型不仅单方面受到入射模的作用，而且要考虑反作用，同时顾及入射模能量的减少。

总之要考虑相互作用的问题。

为简单起见，我们仍只考虑两个同向波型的情况并假定耦合系数为虚数，因
此11j i i c κκ==，此时（1.1）式可写成
()
()()()
()()11122221d j j d d j j d A z A z cA z z
A z A z cA z z
ββ=−+=−+
（1.27）
假定c 为常数，引入边值条件()()120100A A ==，，解（1.27）式。

先令
j j 1122e e hz hz A E A E −=－＝，，代入（1.27）式第一式得：
j j j 1112j e j e j e hz hz hz hE E cE β−−−−=−+
这里因为12E E ，不是z 的函数，因此
1
d 0d E z
=，同样代入（1.27）式第二式，共得 ()()112221j j 0j j 0
E h cE E h cE ββ−+=−+=
(1.28)
要使（1.28）式有非零解，其系数行列式为零，即
1
2
0h c
c
h ββ−=−
此二次方程解为
112
12
2
2
2
h h ββββ++=
=∓∓ 对应于1h 有11E 和21E ，对应于2h 有12E 和22E ，（1.27）式一般解为
1212j j 11112j j 22122
e e e
e
h z h z h z
h z
A E E A E E −−−−=+=+ （1.29）
利用边值条件，上式变为
111221
221
0E E E E +=⎧⎨
+=⎩
（1.30）
由（1.28），（1.30）两个方程解出11122122,,,E E E E ,再代入（1.29）式得
()()()()121211
j j 222211j j 22
21111e
11e 221
1e
e 2
h z h z
h z
h z A Q Q A Q −−−−−−−−⎡⎤⎡⎤=−++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
=
+− （1.31）
将（1.31）式2A 的表达式写成另一种形式：
(
)
)
12
1j
22
2
2j 1sin
e
z
A Q
ββ+−−−=+ （1.32）
这个公式以后要用。

由(1.31)式，可得传输功率：
(
))
1
2
22221sin P A Q −−==+
121P P =−
现在来作12,A A 随z 变化的曲线，首先看最简单的情况，0βΔ=，Q =∞，
（1.31）式就化为
()()12j 1j 2cos e jsin e
z z
A cz A cz ββ−−==
（1.33）
当2
n cz π
=
时，10A =，功率发生转换。

（n 为奇正整数）。

这就是图1.8上Q =∞的曲线。

当0βΔ≠时，2A
π=
来决定，第一个功率转换点由2
π
=
来决定。

两个波型常耦合情况下强耦合理论最早是由Miller 再1954年提出来的（见
B 、S 、T 、J 、1954、P661），详细可以参考他的文章。

现在来谈强耦合与弱耦合在概念上的差别。

在边值条件()()1201,00A A ==情况下，弱耦合时（1.27）式中可以忽略
()2jcA z 这一项而解第一式。

如果要进一步近似，可以用迭代法，逐次逼近，即
把弱耦合解（1.23）式代入（1.27）式第一式（这里为了简单假定β是常数，这并不影响讨论的一般性），得二次微扰项
()()()1j j j '100e 1j e j e 'z z
z z z A z c c dz dz βββ−ΔΔ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦
∫∫
仿此再将()1A z 式代入（1.27）式第二式，求解()2A z 得三次微扰项，如此重复下去，1A 和2A 就成一级数，取多少项就要由级数的收敛性决定。

耦合越弱收敛越快。

cz
cz
0.5π
A
取二次近似解已能说明强耦合的本质，仍设0βΔ=，因此有
()()()'
10
1''z z A z c z c z dz dz =−∫∫
上式表明()1A z 的幅度减小了，说明了i A 波的反作用。

现以强弱耦合定向耦合器为例，如图1.9所示，耦合是通过一系列小孔从1A 波导耦合到2A 波导。

在某一个孔，能量由1A 到2A ，由于耦合系数是jc ，因此2A 比1A 迟后90°，到第二个孔，由于该处20A ≠，因此除了1A 要耦合到2A 外，2A 也要有一部分能量耦合到1A 去，但
这一部分场的幅度又要迟后90°，因此与原来波导中的1A 反相（由于0βΔ=，因此距离不引起相位差）。

这就是说2A 模通过小孔耦合到1A 模的场起了加速1A 模场减弱的作用，2A 越大，减弱作用也越大。

上面1A 表达式中，已明显地表明了这一点，已提及的同向模间耦合系数负共轭关系和反向模间的正共轭关系保证了这种减弱作用。

这就是强耦合不同于弱耦合的本质。

强耦合过程也不是绝对的，在局部区域内仍是弱耦合，若令1cz ，则
11A ，2A cz ，这就是弱耦合的结果。

很容易证明当1cz 时，（1.23）式第
一式（令式中1j i k c =为常数）与（1.32）式是一致的。

这说明强耦合在局部区域可用弱耦合公式来表示。

下面讨论一下离散耦合情况。

典型例子仍是定向耦合器（见图1.9）。

由于是
强耦合，令12ββ=，且只考虑同向耦合。

在12,,,n z z z 处有小孔，其耦合系数为12,,,n c c c ，若以A 表示每孔左边的
波幅，以B 表示每孔右边的波幅，则在第一孔处()()121,0A z A z ==，由于耦合，第一个孔右边的场为
(
)()11211j B z B z c ==
若令11sin c θ=，则()()111211cos ,jsin B z B z θθ==。

在第二个孔左边，由于距离而引起相移为
()()()()
121221j 121j 221cos e jsin e
z z z z A z A z ββθθ−−−−==
设22sin c θ=，再按线性迭加可得通过第二个孔耦合后的幅度，
()[]()()[]()
121221j 11212j 21212cos cos sin sin e ,jcos sin jsin cos e
z z z z B z B z ββθθθθθθθθ−−−−=−=+
2A
利用三角函数和差公式，得
()()()()()()
121221j 1212j 2212cos e ,jsin e
z z z z B z B z ββθθθθ−−−−=+=+
仿此可以已知进行到最后一个孔，得
()()12j 1j 2cos e jsin e
L n L
n B z B z ββθθ−−== （1.34）
其中
111
,,sin n
i n i i i L z z c θθθ−===−=∑
（1.34）式中，12ββ=，如果不等的话，得不到这个结果。

将（1.33）式与（1.34）式相比较，它们形式是一致的。

现在将本节总括一下：根据实际情况，可分强耦合与弱耦合两种，中等耦合可以用强耦合或弱耦合来逼近。

没有必要把强耦合条件规定很明确，只要把弱耦合条件明确了，就可以知道
用弱耦合近似，强耦合没有近似可言。

因此，分强、弱耦合不完全是概念上的，倒还不如说是处理方法上的需要。

§1.3
周期性耦合
本节只讨论两个同向模间的周期性耦合。

上一节讨论的内容基本上是Miller 在1954年提出来的，在那时并没有考虑
周期性耦合，15年后，Miller 对此做了重要补充，论证当0βΔ≠时也有可能达到两个波型间的全耦合。

周期性结构达到全耦合，不是靠两波型间的每点的同步，
而是靠每一周期的同步。

下面将按耦合系数是不同的周期性函数来讨论。

先讨论指数型耦合系数，即j 21j e c z p c κκ=，其中p c 为常数，足标p 表示周期。

这表明耦合大小不变，仅相位改变。

按负共轭关系j 12j e c z p c κκ−=将12κ和21κ代入（1.1）式，只考虑正向模，现在来解这个方程
令()()12j j 1122e ,e z z A a z A a z ββ−−==代入（1.1）式得：
()()()()()()1212j 12j 21d e d d e
d c c z
p z
p a z jc a z z a z jc a z z
ββκββκ−−−−−==
（1.35）
在上式中如果令0c κ=，即得常耦合情况下的方程，因此它与常耦合的方程的差别就在指数项中多c κ−项，如果令e c ββκΔ=Δ−代替常耦合时的βΔ，则就可以借用常耦合下的公式（1.31）和（1.32）式。

但其中耦合能力Q 定义为
2p e
c Q β=
Δ
（1.36）
另外，12,h h 表达式中12()/2ββ+应变为12()/2c ββκ++。

当0e βΔ=或12c κβββ=−=Δ时，将发生功率全转换，功率变化如图1.8所示。

现在用矢量图来观察当c βκΔ=时，场是如何增长
的。

在图1.10上表示了当起始条件为()()1201,00A A ==时，2A 的增长过程，矢量间的相位差z βΔ为c z κ所抵消，因此矢量就同相相加。

第二种周期性耦合是方波周期性耦合，其耦合系数
变化如图1.11所示，
()(),0/2,/2m m m
c z c z c z c z λλλ=<≤=−<<
其他z 则按周期变化下去。

在边值条件
()()1201,00A A ==情况下，解（1.1）式可以逐
段进行。

由于z 在()0,2m λ区间是常耦合，因此在2m z λ=处按（1.31）和（1.32）式得
c
c
−z
j z
e β−Δj z
e β−Δj z
e β−Δ
1
2
cos
22
2
m m
m
A
A
λλ
λ
⎡⎡
⎢⎢
=−
⎢⎢
⎣⎣
⎡
⎢
=
⎢⎣
（1.37）它们的复振幅还要乘()
12
j
4
e m
λ
ββ
−+
因子。

对于第二段，即z在()
2,
m m
λλ区间，耦合系数也为常数c−。

但输入条件为
（1.37）式，这时可以用分别输入再迭加的办法。

先输入（1.37）式
1
A，重复用
一次
2
A公式，再输入
2
A，又重复用一次
1
A公式（此时β
Δ要变符号），于是两项相加，最后得：
()(
)
()
12
2
22
2
2
1sin exp j
22
1
2
m
m m
c
A
c
β
ββ
λ
λλ
β
Δ
⎛⎞
⎜⎟⎡+
⎡⎤
⎝⎠⎢
=−−⎢⎥
⎡⎤⎢
Δ⎣⎦
⎛⎞⎣
+
⎢⎥
⎜⎟
⎝⎠
⎢⎥
⎣⎦
（1.38）2
A在2
m
λ处与
m
λ处的比为
()
(
)
2
2
2
222
m m
m
A
A c
λλ
β
λ
⎡
Δ
⎛⎢
=⎜
⎢
⎝⎣
（1.39）
在/2/2
m
cλπ
=的条件下，在2c
β
Δ 时，（1.39）式等于2，这说
明
2
A不断增长。

图1.12表示第一个周期中
2
A的变化。

可以看到当2
m
zλ
=时，2
2//22/
m
A c c z
πλπ
=⋅=⋅与均匀同步耦合（1,0
czβ
Δ=
情况）相比较，？
2
m m
2A cz =，故可知两者相差因子2/π，原因是不同步引起耦合能力减弱，因此很
自然定义一个平均耦合系数
2e c
c π
=
（1.40）
可以用矢量图进一步说明（1.40）式，由于每周期内是弱耦合()12/c βΔ ，因此矢量图是有效的。

在半周内c 是常数，故图1.13上z A 矢量随z 的变化是以圆为轨迹。

当满足条件
22m
λπ= （1.41）
即
βΔ=
（1.42）
()2/2m A λ和()2m A λ达最大值，从图（1.13a ）上看，2A 刚好是圆的直径，()
2/2m A λ的长度为2r ，而矢量旋转的总路程为r π（这对应于0βΔ=时的同步耦合），两者相比就得到由于周期内不同步耦合减弱的因子2/π。

在下半个周期，如果c 不变号，则()2A z 的轨迹将转到下半个圆（如图1.13a
上虚线所示），因此()2A z 将减少；就在()2A z 即将变小时，c 变号使()2A z 轨迹反转向上，进入第二个半圆，使过程重复，()2A z 继续不断增长。

由此可以把每半周作为一个耦合单元，其平均耦合系数为e c ，每半周的合成矢量在（1.42）式条件下即是每半圆的直径。

在这一条件下，这一系列直径是在一条直线上，
保证
r
(2a π
=
(2b π
>。