离散数学第四章部分答案
离散数学第四章答案
离散数学第四章答案【篇一：离散数学最全课后答案(屈婉玲版)】略1.3．略1.4．略1.5．略1.6．略1.7．略1.8．略1.9．略1.10．略1.11．略1.12．将下列命题符号化, 并给出各命题的真值:(1)2+2＝4 当且仅当 3+3＝6. (2)2+2＝4 的充要条件是 3+3?6. (3)2+2?4与 3+3＝6 互为充要条件. (4)若2+2?4, 则 3+3?6, 反之亦然.(1)p?q, 其中, p: 2+2＝4, q: 3+3＝6, 真值为 1.(2)p??q, 其中, p: 2+2＝4, q: 3+3＝6, 真值为 0.(3) ?p?q, 其中, p: 2+2＝4, q: 3+3＝6, 真值为 0.(4) ?p??q, 其中, p: 2+2＝4, q: 3+3＝6, 真值为 1.1.13．将下列命题符号化, 并给出各命题的真值:(1)若今天是星期一, 则明天是星期二. (2)只有今天是星期一, 明天才是星期二. (3)今天是星期一当且仅当明天是星期二. (4)若今天是星期一, 则明天是星期三.令 p: 今天是星期一; q: 明天是星期二; r: 明天是星期三.(1) p?q ??1.(2) q?p ??1.(3) p?q ??1.(4) p?r 当 p ??0 时为真; p ??1 时为假.1.14．将下列命题符号化.(1) 刘晓月跑得快, 跳得高.(2)老王是山东人或河北人.(3)因为天气冷, 所以我穿了羽绒服. (4)王欢与李乐组成一个小组.(5)李辛与李末是兄弟.(6)王强与刘威都学过法语. (7)他一面吃饭, 一面听音乐. (8)如果天下大雨, 他就乘班车上班. (9)只有天下大雨, 他才乘班车上班. (10)除非天下大雨, 他才乘班车上班. (11)下雪路滑, 他迟到了.(12)2 与 4 都是素数, 这是不对的.(13)“2 或 4 是素数, 这是不对的”是不对的.(1)p?q, 其中, p: 刘晓月跑得快, q: 刘晓月跳得高.(2)p?q, 其中, p: 老王是山东人, q: 老王是河北人.(3)p?q, 其中, p: 天气冷, q: 我穿了羽绒服.(4)p, 其中, p: 王欢与李乐组成一个小组, 是简单命题.(5)p, 其中, p: 李辛与李末是兄弟.(6)p?q, 其中, p: 王强学过法语, q: 刘威学过法语.(7)p?q, 其中, p: 他吃饭, q: 他听音乐.(8)p?q, 其中, p: 天下大雨, q: 他乘班车上班.(9)p?q, 其中, p: 他乘班车上班, q: 天下大雨.(10)p?q, 其中, p: 他乘班车上班, q: 天下大雨.(11)p?q, 其中, p: 下雪路滑,q: 他迟到了.12) ??(p?q)或?p??q, 其中, p: 2 是素数, q: 4 是素数. (13) ???(p?q)或 p?q, 其中, p: 2 是素数, q: 4 是素数.1.15．设 p: 2+3=5.q: 大熊猫产在中国.r: 复旦大学在广州. 求下列复合命题的真值:(1)(p?q) ?r(2)(r??(p?q)) ???p(3) ?r??(?p??q?r)(4)(p?q??r) ??(( ?p??q) ?r)(1)真值为 0.(2)真值为 0.(3)真值为 0.(4)真值为 1.注意: p, q 是真命题, r 是假命题.1.16．1.17．1.18．1.19．略略略用真值表判断下列公式的类型:(1)p??(p?q?r)(2)(p??q) ??q(3) ??(q?r) ?r(4)(p?q) ??(?q??p)(5)(p?r) ??( ?p??q)(6)((p?q) ??(q?r)) ??(p?r)(7)(p?q) ??(r?s)(1), (4), (6)为重言式.(3)为矛盾式.(2), (5), (7)为可满足式.1.20．1.21．1.22．1.23．1.24．1.25．1.26．1.27．1.28．1.29．1.30．1.31．略略略略略略略略略略略将下列命题符号化, 并给出各命题的真值:(1)若 3+＝4, 则地球是静止不动的.(2)若 3+2＝4, 则地球是运动不止的. (3)若地球上没有树木, 则人类不能生存.(4)若地球上没有水, 则 3 是无理数.(1)p?q, 其中, p: 2+2＝4, q: 地球静止不动, 真值为 0.(2)p?q, 其中, p: 2+2＝4, q: 地球运动不止, 真值为 1.(3) ?p??q, 其中, p: 地球上有树木, q: 人类能生存, 真值为 1.(4) ?p?q, 其中, p: 地球上有水, q:3 是无理数, 真值为 1.2.1. 设公式 a = p?q, b = p??q, 用真值表验证公式 a 和 b 适合德摩根律:?(a?b) ???a??b.因为 ?(a?b)和 ?a??b 的真值表相同, 所以它们等值.2.2. 略2.3.用等值演算法判断下列公式的类型,对不是重言式的可满足式,再用真值表法求出成真赋值.(1) ??(p?q?q)(2)(p??(p?q)) ??(p?r)(3)(p?q) ??(p?r)(1) ??(p?q?q)????(?(p?q) ??q) ????(?p ???q ??q) ??p?q??q ??p?0 ??0 ??0. 矛盾式. (2)重言式.(3) (p?q) ??(p?r) ???(p?q) ??(p?r) ???p??q ??p?r 易见, 是可满足式, 但不是重言式. 成真赋值为: 000, 001, 101, 1112.4. 用等值演算法证明下面等值式:(1) p??(p?q) ??(p??q)(3) ??(p?q) ??(p?q) ???(p?q)(4) (p??q) ??(?p?q) ??(p?q) ???(p?q)(1) (p?q) ??(p??q) ??p ??(q??q) ??p ??1 ??p.(3) ??(p?q)???((p?q) ??(q?p))???((?p?q) ??(?q?p))??(p??q) ??(q??p)??(p?q) ??(p??p) ??(?q?q) ??(?p??q)??(p?q) ???(p?q)(4) (p??q) ??(?p?q)??(p??p) ??(p?q) ??(?q??p) ??(?q?q)??(p?q) ???(p?q)2.5. 求下列公式的主析取范式, 并求成真赋值:(1)( ?p?q) ??(?q?p)(2) ??(p?q) ?q?r(3)(p??(q?r)) ??(p?q?r)(1)(?p?q) ??(?q?p)???(p?q) ??(?q?p)???p??q ???q ??p???p??q ???q ??p(吸收律)??(p??p)??q ??p?(q??q) ??p??q ??p??q ??p?q ??p??q??m10 ??m00 ??m11 ??m10??m0 ??m2 ??m3???(0, 2, 3).成真赋值为 00, 10, 11.(2)主析取范式为 0, 无成真赋值, 为矛盾式.(3)m0?m1?m2?m3?m4?m5?m6?m7, 为重言式.2.6. 求下列公式的主合取范式, 并求成假赋值:(1) ??(q??p) ??p(2)(p?q) ??(?p?r)(3)(p??(p?q)) ?r(1)??(q??p) ???p???(?q??p) ???p??q?p ???p??q?0??0??m0?m1?m2?m3这是矛盾式. 成假赋值为 00, 01, 10, 11.(2)m4, 成假赋值为 100.(3)主合取范式为 1, 为重言式.【篇二：离散数学答案】第一部分集合论第一章集合的基本概念和运算1-1 设集合 a ={{2，3,4}，5，1}，下面命题为真是a （选择题）[ a ]a．1 ∈a； b．2 ∈ a；c．3 ∈a；d．{3，2,1} ? a。
离散数学课后习题答案第四章
离散数学课后习题答案第四章离散数学课后习题答案第四章第⼗章部分课后习题参考答案4．判断下列集合对所给的⼆元运算是否封闭：（1）整数集合Z 和普通的减法运算。
封闭,不满⾜交换律和结合律，⽆零元和单位元（2）⾮零整数集合普通的除法运算。
不封闭（3）全体n n ?实矩阵集合（R ）和矩阵加法及乘法运算，其中n2。
封闭均满⾜交换律，结合律，乘法对加法满⾜分配律；加法单位元是零矩阵，⽆零元；乘法单位元是单位矩阵，零元是零矩阵；（4）全体n n ?实可逆矩阵集合关于矩阵加法及乘法运算，其中n 2。
不封闭（5）正实数集合和运算，其中运算定义为：不封闭因为 +?-=--?=R 1111111ο（6）n关于普通的加法和乘法运算。
封闭，均满⾜交换律，结合律，乘法对加法满⾜分配律加法单位元是0，⽆零元；乘法⽆单位元（1>n ），零元是0；1=n 单位元是1 （7）A = {},,,21n a a a Λ n运算定义如下：封闭不满⾜交换律，满⾜结合律，（8）S =关于普通的加法和乘法运算。
封闭均满⾜交换律，结合律，乘法对加法满⾜分配律（9）S = {0,1},S 是关于普通的加法和乘法运算。
加法不封闭，乘法封闭；乘法满⾜交换律，结合律（10）S = ,S 关于普通的加法和乘法运算。
加法不封闭，乘法封闭，乘法满⾜交换律，结合律10．令S={a ，b}，S 上有四个运算：*，分别有表10.8确定。
(a) (b) (c) (d)(1)这4个运算中哪些运算满⾜交换律，结合律，幂等律？(a) 交换律，结合律，幂等律都满⾜，零元为a,没有单位元； (b)满⾜交换律和结合律，不满⾜幂等律，单位元为a,没有零元b b a a ==--11,(c)满⾜交换律,不满⾜幂等律,不满⾜结合律 a b a b b a b a a b b a ====οοοοοο)(,)(b b a b b a οοοο)()(≠ 没有单位元, 没有零元(d) 不满⾜交换律，满⾜结合律和幂等律没有单位元, 没有零元 (1) 求每个运算的单位元，零元以及每⼀个可逆元素的逆元。
离散数学章节练习4
离散数学章节练习4K E Y(总5页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除离散数学 章节练习 4范围：代数系统一、单项选择题 1. <G,*>是群，则对* ( A ) A 、有单位元，可结合 B 、满足结合律、交换律 C 、有单位元、可交换 D 、有逆元、可交换2. 设N 和Z 分别表示自然数和整数集合，则对减法运算封闭的是 ( B )A 、NB 、{x ÷2|x ∈Z}C 、{x|x ∈N 且x 是素数}D 、{2x+1| x ∈Z }3. 设Z 为整数集，A 为集合，A 的幂集为P(A),+、-、/为数的加、减、除运算，∩为集合的交运算，下列系统中是群的代数系统的有 ( B ) A.〈Z ，+，÷〉 B.〈Z ，÷〉 C.〈Z ，－，÷〉 D.〈P(A)，⋂〉 4. 设S={0，1}，*为普通乘法，则< S , * >是 ( B ) A 、半群，但不是独异点； B 、只是独异点，但不是群； C 、群； D 、环，但不是群。
5. 设f 是由群<G,☆>到群<G ',*>的同态映射，则ker (f)是 ( B ) A 、G '的子群 B 、G 的子群 C 、包含G ' D 、包含G 6. 在整数集Z 上,下列哪种运算不是封闭的 ( C ) A + B - C ÷ D X 7. 设S={0，1}，*为普通乘法，则< S , * >是 ( B )A 、半群，但不是独异点；B 、只是独异点，但不是群；C 、群；D 、环，但不是群。
8. 设R 是实数集合，“⨯”为普通乘法，则代数系统<R ，×> 是（ A ）。
A ．群； B ．环； C ．半群 Ｄ.都不是 9. 设︒是集合S 上的二元运算，如果集合S 中的某元素eL,对∀x ∈S 都有 eL ︒x=x ,则称eL 为 ( C ) A 、右单位元 B 、右零元 C 、左单位元 D 、左零元 10. <Z,+> 整数集上的加法系统中0是 ( A ) A 单位元 B 逆元 C 零元 D 陪集 11. 若V=<S,︒>是半群，则它具有下列那些性质 ( A ) A 、封闭性、结合性 B 、封闭性、交换性 C 、有单位元 D 、有零元 二、判断题 1．若半群<S,*>含有零元，则称为独异点。
自考2324离散数学第四章课后答案
自考2324离散数学课后答案4.1习题参考答案--------------------------------------------------------------------------------1、在自然数集N中，下列哪种运算是可结合的( )。
a)、a*b=a-b b) a*b=max(a,b)c)、a*b=a+2b d) a*b=|a-b|根据结合律的定义在自然数集N中任取a,b,c 三数，察看(a。
b)。
c=a。
(b。
c) 是否成立？可以发现只有b、c 满足结合律。
晓津观点：b)满足结合律，分析如下：a) 若有a,b,c∈N，则(a*b)*c =(a-b)-ca*(b*c) =a-(b-c)在自然数集中，两式的值不恒等，因此本运算是不可结合的。
b)同上，(a*b)*c=max(max(a,b),c) 即得到a，b,c中最大的数。
a*(b*c)=max(a,max(b,c))仍是得到a,b,c中最大的数。
此运算是可结合的。
c)同上,(a*b)*c=(a+2b)+2c 而a*(b*c)=a+2(b+2c),很明显二者不恒等，因此本运算也不是可结合的。
d)运用同样的分析可知其不是可结合的。
--------------------------------------------------------------------------------2、设集合A={1，2，3，4，...，10},下面定义的哪种运算，关于集合A是不封闭的?a) x*y=max(x,y)b) x*y=min(x,y);c) x*y=GCD(x,y),即x,y最大公约数；d) x*y=LCM(x,y) 即x,y最小公倍数；d)是不封闭的。
--------------------------------------------------------------------------------3、设S是非空有限集，代数系统<(s),∪,∩>中，(s)上，对∪的幺元为___φ___，零元为___S____，(s)上对∩的幺元为___S_____零元___φ____。
离散数学第四章部分答案
离散数学第四章部分答案（1）设S={1，2}，R 是S 上的⼆元关系，且xRy 。
如果R=Is ，则（A ）；如果R 是数的⼩于等于关系，则（B ），如果R=Es ，则（C ）。
（2）设有序对与有序对<5,2x+y>相等，则 x=(D),y=(E). 供选择的答案A 、B 、C ：① x,y 可任意选择1或2；② x=1,y=1；③ x=1,y=1 或 2；x=y=2；④ x=2,y=2；⑤ x=y=1或 x=y=2；⑥ x=1,y=2；⑦x=2,y=1。
D 、E ：⑧ 3；⑨ 2；⑩-2。
答案： A: ⑤ B: ③ C: ① D: ⑧ E: ⑩设S=<1,2,3,4>,R 为S 上的关系，其关系矩阵是0001100000011001 则（1）R 的关系表达式是（A ）。
（2）domR=(B),ranR=(C).（3）R R 中有（D ）个有序对。
（4）R ¯1的关系图中有（E ）个环。
供选择的答案A :①<1,1>,<1,2>,<1,4>,<4,1>,<4,3>；②<1,1>,<1,4>,<2,1>,<4,1>,<3,4>；B 、C ：③1，2，3，4；④1，2，4；⑤1，4⑥1，3，4。
D 、E ⑦1；⑧3；⑨6；⑩7。
答案： A:② B:③ C:⑤ D:⑩ E:⑦设R 是由⽅程x+3y=12定义的正整数集Z+上的关系，即 {＜x,y ＞︳x,y ∈Z+∧x+3y=12}, 则（1）R 中有A 个有序对。
（2）dom=B 。
(3)R ↑{2,3,4,6}=D 。
(4){3}在R 下的像是D 。
（5）R 。
R 的集合表达式是E 。
供选择的答案 A:①2;②3;③4.B 、C 、D 、E:④{＜3，3＞}；⑤{＜3，3＞，＜6，2＞}；⑥{0，3，6，9，12}；⑦{3，6，9}；⑧{3}；⑨Ф；⑩3。
离散数学(刘任任版)第4章答案
此，A~C。故|A| = |C|。
再证定理4. 2. 3。 (1)令A , (x) = X，x e a 于是 是单射。故
TA| |A|. ' ⑵设⑷ |B|且|B| |A|,则存在单射:
cr : A —> 乃，T : B —> A
设A为无限集，任取 ，因A无限，故存在 如
此下去，有 ，显然
:
是A的可数子集。
令禮- 则
再证存在双射｝， B 艺令
a:AB
显然，是A到B的双射。故结论成立。
(2) 令＜r2⑷=n3，n e N (3) 令cr3(n) = 3n2，n e N
(4) 令cr4(zi) = 1/n,n e N
将NXN的元素如下排列，设〈x，y>eNXN。
(2)设有52个整数a1,a2,…，a52。 若存在1<=i<j<=52,使ai =aj，则 100|(ai_aj)。 否则不妨设a1<a2〈…<a52。 令bi二a52_ai, i=1，…，51
cj=a52+aj, j=1,…，51 (2) 假设结论不成立，贝Ubi，cj均不能被100整除。 设 100除bi余数为ri，i=1，…，51 ; 100除ci余为 si， i=1，…，51 ,则 1<=ri，si<=99。
由于(1)，(2)式共有102个，因此，余数也有102个。 故由抽屉原理知必有i，j使得
ri=rj
_
參
番或 si=sj (1<=(ii<<=j<i<=j5<1=)51)(c_1(a)_1) 或 ri=sj (1<=i<j<=51) (b_1)
离散数学 第四章 关系 参考答案
第四章关系1．设A={1，2，3，}，B={a，b}求1）A×B 2）B×A 3）B×B 4）2B×B[解] 1）A×B={（1，a），（1，b），（2，a），（2，a），（3，a），（3，b）}2）B×A={（a，1），（a，2），（a，3），（b，1），（b，2），（b，3）}3）B×B={（a，a），（a，b），（b，a），（b，b）}4）2B={∅，{a}，{b}，{a，b}}2B×B{（∅，{a}），（∅，b），（{a}，a），（{a}，b），（{b}，a），（{b}，b），（{a，b}，b）}2．使A⊆A×A成立的集合A存在吗？请阐明理由。
[解] 一般地说，使A⊆A×A成立的集合A不存在，除非A=∅。
否则A≠∅，则存在元素x∈A×A，故有y1，y2∈A，使x=（y1，y2），从而y1，y2∈A×A，故此有y1，y2，y3，y4，使y1=（y1，y2），y2=（y3，y4），……。
这说明A 中每个元素x，其结构为元组的无穷次嵌套构成，这不可能。
我们讨论的元素的结构必须是由元组的有限次嵌套构成。
3．证明A×B=B×A⇔A=∅∨B=∅∨A=B[证] 必要性：即证A×B=B×A⇒A=∅∨B=∅∨A=B若A×B=∅，则A=∅或者B=∅若A×B≠∅，则A≠∅且B≠∅，因此对任何x∈A及任何y∈B就有（x，y）∈A×B，根据A×B=B×A，可得（x，y）∈B×A，故此可得x∈B，y∈A，因此而得A⊆B且B⊆A，所以由⊆的反对称性A=B。
充分性：即证A=∅∨B=∅∨A=B⇒A×B=B×A这是显然的。
4．证明（A∩B）×（C∩D）=（A×C）∩（B×D）[证]证法一：（元素法）对任一（x，y）∈（A∩B）×（C∩D）有x∈A∩B，y∈C∩D，于是x∈A，x∈B，y∈C，y∈D。
离散数学第4章 集合参考答案.doc
&（1）有8个子集：0, （2） 有4个子集：0,（3） 有2个子集：0,（4） 有2个子1. (1) {0, 1, 2, 3, 4}(2) {11, 13, 17, 19} (3) {12,24,36,48,60} 2. (1) (x | x=2nAneI +}(2) {x|XG N AX ^IOO} (3) {x|x=10nAneI}3. A={a}, B={{a},b}, C={{{a}, b}, c}4. 证明 由于A 为集合{{b}}的元素，而集合{{b}}中只有一个元素{b},所以A={b}；又因 为 be {b},所以 beAo5. A=G, B=E, C=F6. （1）正确（2）错误 （3）正确 （4）正确 （5）正确（6）错误（7）正确（8）错误7. 是可能的。
因为A Q B,要求A 中的元素都在B 中，但B 中除去A 的元素外，还可能有其 他元素。
故如B 中有元素为集合A 时，则本命题就可能成立的。
例如：A={a}, B={a, {a}},则就有A C B A AEB O⑴，⑵，⑶，{1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}⑴，{{2,3}}, {1, {2,3}}{{1, (2, 3}}}{0}{0}, {{0}}, {0, {0}}{{1,2}} {{0,2}}, {{2}}, {{0,2}, {2}}9.⑴ 设人=轨，{b}},则P(A) = {0, {a}, {{b}}, {a, {b}}} (2) 设 B={1,0},则 P(B) = {0,⑴,{0}, (1, 0}}(3) 设 C={x, y, z},则 P(C) = {0, {x}, {y}, {z}, (x, y}, {x, z}, {y, z}, {x, y, z}} (4) 设 D={0,a, {a}},则P(C) = {0, {0}, {a}, {{a}}, {0, a}, {0, {a}}, {a, {a}}, (0, a, {a}}} (5) 因为P(0) = (0},贝IJP(P(0)) = {0, {0}} 10.VSeP(A) nP(B),有 SeP(A)且 SeP(B),所以 S Q A 且 ScB… 从而 ScAAB,故SeP(AAB) o 即 P(A) nP(B)cP(AnB) 0 VSeP(AAB),有 S G AAB,所以 S G A 且 S G B 0 从而SeP(A)且 SeP(B),故SeP(A) nP(B) o 即 P(AnB)cP(A) AP(B) o第4章集合参考答案故P(A) nP(B)=P(APB)11.当AcB或BcA时，等式成立。
离散数学_修订版_耿素云_清华大学_课后答案
(3) P 0 0 0 0 1 1 1 1
q 0 0 1 1 0 0 1 1
r 0 1 0 1 0 1 0 1
p∨q 0 0 1 1 1 1 1 1
p∧r 0 0 0 0 0 1 0 1
（p∨q）→(p∧r) 1 1 0 0 0 1 0 1
所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式： (2)(p→q)∧(p→r) ⇔ (p→(q∧r)) (4)(p∧ ¬ q)∨( ¬ p∧q) ⇔ (p∨q) ∧ ¬ (p∧q) 证明（2）(p→q)∧(p→r)
解:(1)因为 p → ( q → p) ⇔ ¬p ∨ (¬q ∨ p) ⇔ 1 所以 (3)取解释 I 个体域为全体实数 F(x,y)：x+y=5 为永真式；
所以,前件为任意实数 x 存在实数 y 使 x+y=5，前件真； 后件为存在实数 x 对任意实数 y 都有 x+y=5，后件假，]
6
此时为假命题 再取解释 I 个体域为自然数 N， F(x,y)：:x+y=5 所以,前件为任意自然数 x 存在自然数 y 使 x+y=5，前件假。此时为假命题。 此公式为非永真式的可满足式。 13. 给定下列各公式一个成真的解释，一个成假的解释。 (1) (2) (F(x) x(F(x) G(x) H(x))
解:(1)个体域:本班同学 F(x)：x 会吃饭, G(x)：x 会睡觉.成真解释 F(x)：x 是泰安人,G(x)：x 是济南人.（2）成假解释 (2)个体域:泰山学院的学生 F(x)：x 出生在山东,G(x):x 出生在北京,H(x):x 出生在江苏,成假解释. F(x)：x 会吃饭,G(x)：x 会睡觉,H(x)：x 会呼吸. 成真解释.
G(x): x+5=9. (1)在两个个体域中都解释为 ∀xF ( x) ，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。 (2)在两个个体域中都解释为 ∃xG ( x) ，在（a）(b)中均为真命题。 4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化: (1) 没有不能表示成分数的有理数. (2) 在北京卖菜的人不全是外地人. 解: (1)F(x): x 能表示成分数 H(x): x 是有理数 命题符号化为: ¬∃x( ¬F ( x) ∧ H ( x )) (2)F(x): x 是北京卖菜的人 H(x): x 是外地人 命题符号化为: ¬∀x ( F ( x) → H ( x)) 5. 在一阶逻辑将下列命题符号化: (1) 火车都比轮船快. (3) 不存在比所有火车都快的汽车. 解: (1)F(x): x 是火车; G(x): x 是轮船; H(x,y): x 比 y 快
离散数学第4章答案
立。 设 R R
i i 1
… R I A ( R I A )i 则
但 R1 R2 ={<1,2>,<2,1>}非反对称，也不保持传递，如 R1 ={<1,2>}, R2 ={<2,1>}均课传递， 但 R1 R2 ={<1,2>,<2,1>}非可传递。
R1 R2 保持自反，反自反，对称，反对称，可传递。 R1 R2 保 持 反 自 反 ， 对 称 ， 反 对 称 。 但 不 保 持 自 反 ， 如 R1 ={<1,1>,<2,2>,<1,2>}, R2 ={<1,1>,<2,2>}均为{<1,2>}上的自反关系，但 R1 R2 ={<1,2>}
2.
R1 R2
自反 反自反 对称 反对称 传递 √ √ √ × ×
R1 R2
√ √ √ √ √
R1 R2
× √ √ √ ×
A A R1
× × √ × ×
R1 的反
√ √ √ √ √
R1 R2
√ × × × ×
R1 R2 保持自反，反自反，对称。但不保持反对称，如 R1 ={<1,2>}, R2 ={<2,1>}均反对称，
t ( R1 ) t ( R2 ) {<1,3>}, t ( R1 R2 ) , t ( R1 ) t ( R2 ) t ( R1 R2 )
8.(1) i I , R1 R2 R1 R2 ，即 t ( R1 ) t ( R2 )
2
(1)
离散数学课后习题答案
第一章命题逻辑基本概念课后练习题答案1.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∧q,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1；（2）p∧q,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e是无理数,真值为1；（3）p∧┐q,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1；（4）p∧q,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0；（5）┐p∧┐q,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0.2.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∨q,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1；（2）p∨q,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1；（3）p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；（4）p∨q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1；（5）┐p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；3.（1）(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨；（2）(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中，p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语；.4.因为p与q不能同时为真.5.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三：（1）p→q，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）；（2）q→p，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）；（3）p q，真值为1；（4）p→r，若p为真，则p→r真值为0，否则，p→r真值为1.返回第二章命题逻辑等值演算本章自测答案5.(1)：∨∨,成真赋值为00、10、11；(2)：0，矛盾式，无成真赋值；(3)：∨∨∨∨∨∨∨,重言式，000、001、010、011、100、101、110、111全部为成真赋值；7.(1)：∨∨∨∨⇔∧∧；(2)：∨∨∨⇔∧∧∧；8.(1)：1⇔∨∨∨,重言式；(2)：∨⇔∨∨∨∨∨∨；(3)：∧∧∧∧∧∧∧⇔0，矛盾式.11.(1)：∨∨⇔∧∧∧∧；(2)：∨∨∨∨∨∨∨⇔1；(3)：0⇔∧∧∧.12.A⇔∧∧∧∧⇔∨∨.第三章命题逻辑的推理理论本章自测答案6.在解本题时，应首先将简单陈述语句符号化，然后写出推理的形式结构*，其次就是判断*是否为重言式，若*是重言式，推理就正确，否则推理就不正确，这里不考虑简单语句之间的内在联系(1)、(3)、(6)推理正确，其余的均不正确，下面以(1)、(2)为例，证明(1)推理正确，(2)推理不正确(1)设p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为(p→q)∧p→q(记作*1)在本推理中，从p与q的内在联系可以知道，p与q的内在联系可以知道，p与q不可能同时为真，但在证明时，不考虑这一点，而只考虑*1是否为重言式.可以用多种方法（如真值法、等值演算法、主析取式）证明*1为重言式，特别是，不难看出，当取A为p,B为q时，*1为假言推理定律，即(p→q)∧p→q ⇒ q(2)设p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为(p→q)∧p→q(记作*2)可以用多种方法证明*2不是重言式，比如，等值演算法、主析取范式（主和取范式法也可以）等(p→q)∧q→p⇔(┐p∨q) ∧q →p⇔q →p⇔┐p∨┐q⇔⇔∨∨从而可知，*2不是重言式，故推理不正确，注意，虽然这里的p与q同时为真或同时为假，但不考虑内在联系时，*2不是重言式，就认为推理不正确.9.设p:a是奇数，q:a能被2整除，r:a：是偶数推理的形式结构为(p→q┐)∧(r→q)→(r→┐p) (记为*)可以用多种方法证明*为重言式，下面用等值演算法证明：(p→┐q)∧(r→q)→(r→┐p)⇔(┐p∨┐q) ∨(q∨┐r)→(┐q∨┐r) (使用了交换律)⇔(p∨q)∨(┐p∧r)∨┐q∨┐r⇔(┐p∨q)∨(┐q∧┐r)⇔┐p∨(q∨┐q)∧┐r⇔110.设p:a,b两数之积为负数，q:a,b两数种恰有一个负数，r：a，b都是负数.推理的形式结构为(p→q)∧┐p→(┐q∧┐r)⇔(┐p∨q) ∧┐p→(┐q∧┐r)⇔┐p→(┐q∧┐r) (使用了吸收律)⇔p∨(┐q∧┐r)⇔∨∨∨由于主析取范式中只含有5个W极小项，故推理不正确.11.略14.证明的命题序列可不惟一，下面对每一小题各给出一个证明① p→(q→r)前提引入② P前提引入③ q→r①②假言推理④ q前提引入⑤ r③④假言推理⑥ r∨s前提引入（2）证明：① ┐(p∧r)前提引入② ┐q∨┐r①置换③ r前提引入④ ┐q ②③析取三段论⑤ p→q前提引入⑥ ┐p④⑤拒取式（3）证明：① p→q前提引入② ┐q∨q①置换③ (┐p∨q)∧(┐p∨p) ②置换④ ┐p∨(q∧p③置换⑤ p→(p∨q) ④置换15.(1)证明：① S结论否定引入② S→P前提引入③ P①②假言推理④ P→(q→r)前提引入⑤ q→r③④假言推论⑥ q前提引入⑦ r⑤⑥假言推理（2）证明：① p附加前提引入② p∨q①附加③ (p∨q)→(r∧s)前提引入④ r∧s②③假言推理⑤ s④化简⑥ s∨t⑤附加⑦ (s∨t)→u前提引入⑧ u⑥⑦拒取式16.(1)证明：① p结论否定引入② p→ ┐q前提引入③ ┐q ①②假言推理④ ┐r∨q前提引入⑤ ┐r③④析取三段论⑥ r∧┐s前提引入⑦ r⑥化简⑧ ┐r∧r⑤⑦合取（2）证明：① ┐(r∨s)结论否定引入② ┐r∨┐s①置换③ ┐r②化简④ ┐s②化简⑤ p→r前提引入⑥ ┐p③⑤拒取式⑦ q→s前提引入⑧ ┐q④⑦拒取式⑨ ┐p∧┐q⑥⑧合取⑩ ┐(p∨q)⑨置换口p∨q前提引入⑾①口┐(p∨q) ∧(p∨q) ⑩口合取17．设p：A到过受害者房间，q: A在11点以前离开，r：A犯谋杀罪，s：看门人看见过A。
离散数学第四版 课后答案
离散数学第四版课后答案第1章习题解答1．1 除（3），（4），（5），（11）外全是命题，其中，（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）是简单命题，（6），（7），（12），（13）是复合命题。
分析首先应注意到，命题是陈述句，因而不是陈述句的句子都不是命题。
本题中，（3）为疑问句，（5）为感叹句，（11）为祈使句，它们都不是陈述句，所以它们都不是命题。
其次，4）这个句子是陈述句，但它表示的判断结果是不确定。
又因为（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）都是简单的陈述句，因而作为命题，它们都是简单命题。
（6）和（7）各为由联结词“当且仅当”联结起来的复合命题，（12）是由联结词“或”联结的复合命题，而（13）是由联结词“且”联结起来的复合命题。
这里的“且”为“合取”联结词。
在日常生活中，合取联结词有许多表述法，例如，“虽然……，但是……”、“不仅……，而且……”、“一面……，一面……”、“……和……”、“……与……”等。
但要注意，有时“和”或“与”联结的是主语，构成简单命题。
例如，（14）、（15）中的“与”与“和”是联结的主语，这两个命题均为简单命题，而不是复合命题，希望读者在遇到“和”或“与”出现的命题时，要根据命题所陈述的含义加以区分。
1．2 （1）p: 2是无理数，p为真命题。
（2）p:5能被2整除，p为假命题。
（6）p→q。
其中，p:2是素数，q：三角形有三条边。
由于p与q都是真命题，因而p→q为假命题。
（7）p→q，其中，p：雪是黑色的，q：太阳从东方升起。
由于p为假命题，q为真命题，因而p→q为假命题。
（8）p:2000年10月1日天气晴好，今日（1999年2月13日）我们还不知道p的真假，但p的真值是确定的（客观存在的），只是现在不知道而已。
（9）p：太阳系外的星球上的生物。
它的真值情况而定，是确定的。
1（10）p：小李在宿舍里. p的真值则具体情况而定，是确定的。
离散数学(第五版)清华大学出版社第4章习题解答
离散数学（第五版）清华大学出版社第4章习题解答4．1 A：⑤；B：③；C：①；D：⑧；E：⑩4．2 A：②；B：③；C：⑤；D：⑩；E：⑦4．3 A：②；B：⑦；C：⑤；D：⑧；E：④分析题4.1-4.3 都涉及到关系的表示。
先根据题意将关系表示成集合表达式，然后再进行相应的计算或解答，例如，题4.1中的Is ={<1,1>,<2,2>}, Es ={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}Is ={<1,1>,<1,2>,<2,2>};而题4.2中的R={<1,1>,<1,4>,<2,1>,<3,4>,<4,1>}.为得到题4.3中的R须求解方程x+3y=12，最终得到R={<3,3>,<6,2>,<9,1>}.求RoR有三种方法，即集合表达式、关系矩阵和关系图的主法。
下面由题4.2的关系分别加以说明。
1°集合表达式法将domR,domRUran,ranR的元素列出来，如图4.3所示。
然后检查R的每个有序对，若<x,y>∈R，则从domR中的x到ranR中的y画一个箭头。
若danR中的x 经过2步有向路径到达ranR中的y，则<x,y>∈RoR。
由图4.3可知RoR={<1,1>,<1,4><4,1>,<4,4>,<2,1>,<2,4>,<3,1>}.如果求FoG，则将对应于G中的有序对的箭头画在左边，而将对应于F中的有序对的箭头画在右边。
对应的三个集合分别为domG,ranUdomF,ranF，然后，同样地寻找domG到ranF的2步长的有向路径即可。
2° 矩阵方法若M是R的关系矩阵，则RoR的关系矩阵就是M·M，也可记作M，在计算2 48乘积时的相加不是普通加法，而是逻辑加，即0+0=0，0+1=1+0=1+1=1，根据已知条件得⎡1 0 0 1⎤⎡1 0 0 1⎤⎡1 0 0 1⎤⎢1 0 0 0⎥⎢1 0 0 0⎥⎢1 0 0 1⎥2 ⎢⎥⎢⎥⎢⎥M =⎢⎥⋅⎢⎥=⎢⎥⎢0 0 0 1⎥⎢0 0 0 1⎥⎢1 0 0 0⎥⎣1 0 0 0⎦⎣1 0 0 0⎦⎣1 0 0 1⎦M2中含有7个1，说明RoR中含有7个有序对。
离散数学 第4章习题答案
第4章习题答案1.解P(A)×A＝{∅，{a}，{ b}，{a，b}}×{a，b}＝{<∅，a>，<∅，b>，<{a}，a>，<{a}，b>，<{ b}，a >，<{ b}，b >，<{a，b}，a >，<{a，b}，b >}。
2. 解 (1)不正确。
例如，令A＝∅，B＝{1}，C＝{2}，则A×B＝A×C＝∅，但B＝C不成立。
(2)正确。
因为<x，y>∈(A－B)×C⇔x∈(A－B)∧y∈C⇔(x∈A∧x∉B)∧y∈C⇔(x∈A∧y∈C∧x∉B)∨(x∈A∧y∈C∧y∉C)⇔(x∈A∧y∈C)∧(x∉B∨y∉C)⇔(x∈A∧y∈C)∧⌝(x∈B∧y∈C)⇔<x，y>∈(A×C)∧<x，y>∉(B×C)⇔<x，y>∈(A×C)－(B×C)所以，(A－B)×C＝(A×C－B×C)。
(3)正确。
例如，令A＝∅，则A⊆A×A。
2，所以X3.解X到Y的不同的二元关系对应X×Y的不同的子集，而X×Y的不同的子集共有个mn2个。
到Y的二元关系总共有mn4. 证明 (2)因为<x，y>∈A×(B∩C)⇔ x∈A∧y∈(B∩C)⇔ x∈A∧(y∈B∧y∈C)⇔(x∈A∧y∈B)∧(x∈A∧y∈C)⇔<x，y>∈A×B∧<x，y>∈A×C⇔<x，y>∈(A×B)∩(A×C)所以A×(B∩C)＝(A×B)∩(A×C)。
(3) )因为<x，y>∈(A∪B)×C⇔x∈(A∪B)∧y∈C⇔(x∈A∨x∈B)∧y∈C⇔(x∈A∧y∈C)∨x∈B∧y∈C)⇔<x，y>∈A×C∨<x，y>∈B×C⇔<x，y>∈(A×C)∪(B×C)所以(A∪B)×C＝(A×C)∪(B×C)。
离散数学第四版课后答案(第4章)
第4章 习题解答4．1 A ：⑤； B ：③； C ：①； D ：⑧； E ：⑩4．2 A ：②； B ：③； C ：⑤； D ：⑩； E ：⑦4．3 A ：②； B ：⑦； C ：⑤； D ：⑧； E ：④分析 题4.1-4.3 都涉及到关系的表示。
先根据题意将关系表示成集合表达式，然后再进行相应的计算或解答，例如，题4.1中的}2,2,1,2,2,1,1,1{},2,2,1,1{><><><><=><><=s s E I};2,2,2,1,1,1{><><><=s I而题4.2中的}.1,4,4,3,1,2,4,1,1,1{><><><><><=R为得到题4.3中的R 须求解方程123=+y x ，最终得到}.1,9,2,6,3,3{><><><=R求R R 有三种方法，即集合表达式、关系矩阵和关系图的主法。
下面由题4.2的关系分别加以说明。
1°集合表达式法将ranR ran domR domR,, 的元素列出来，如图4.3所示。
然后检查R 的每个有序对，若R y x >∈<,，则从domR 中的x 到ranR 中的y 画一个箭头。
若danR 中的x 经过2步有向路径到达ranR 中的y ，则R R y x >∈<,。
由图4.3可知}.1,3,4,2,1,2,4,4,1,44,1,1,1{><><><><>><<><=R R如果求G F ，则将对应于G 中的有序对的箭头画在左边，而将对应于F 中的有序对的箭头画在右边。
对应的三个集合分别为ranF domF ran domG ,, ，然后，同样地寻找domG 到ranF 的2步长的有向路径即可。
《离散数学》课后习题解答--第4章
习题 4.11.设A =⎨a ,b ⎬，列出A 上的所有二元关系。
解：A ×A=⎨<a ,a >,<a ,b >,<b ,a >,<b ,b >⎬A 上的二元关系有2|A ×A |=2|A ||A |=22×2=24=16。
其中： ①空集1个∅②含有1个元素的子集4个：⎨<a ,a >⎬，⎨<a ,b >⎬，⎨<b ,a >⎬，⎨<b ,b >⎬。
③含有2个元素的子集C 24=1234⨯⨯=6个：⎨<a ,a >,<a ,b >⎬，⎨<a ,a >,<b ,a >⎬，⎨<a ,a >,<b ,b >⎬， ⎨<a ,b >,<b ,a >⎬，⎨<a ,b >,<b ,b >⎬，⎨<b ,a >,<b ,b >⎬④含有3个元素的子集C 34=123234⨯⨯⨯⨯=4个：⎨<a ,a >,<a ,b >,<b ,a >⎬，⎨<a ,a >,<a ,b >,<b ,b >⎬，⎨<a ,a >,<b ,a >,<b ,b >⎬，⎨<a ,b >,<b ,a >,<b ,b >⎬⑤含有4个元素的子集1个：⎨<a ,a >,<a ,b >,<b ,a >,<b ,b >⎬ 2.设A 和B 是有限集，A 到B 的二元关系有多少种？解：A 到B 的二元关系有|P (A ×B )|=2|A ||B |种。
3.用列举法表示A 到B 的二元关系R ，写出关系矩阵，画出关系图。
离散数学答案 屈婉玲版 第二版 高等教育出版社课后答案之欧阳家百创编
离散数学答案屈婉玲版欧阳家百（2021.03.07）第二版高等教育出版社课后答案第一章部分课后习题参考答案16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r)⇔ 0∨(0∧1)⇔0（2）（p↔r）∧(﹁q∨s)⇔（0↔1）∧(1∨1)⇔0∧1⇔0.（3）（⌝p∧⌝q∧r）↔(p∧q∧﹁r)⇔（1∧1∧1）↔(0∧0∧0)⇔0(4)（⌝r∧s）→(p∧⌝q)⇔（0∧1）→(1∧0)⇔0→0⇔117．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。
并且，如果3是无理数，则2也是无理数。
另外6能被2整除，6才能被4整除。
”答：p: π是无理数 1q: 3是无理数 0r: 2是无理数 1s:6能被2整除 1t: 6能被4整除 0命题符号化为： p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。
19．用真值表判断下列公式的类型：（4）(p→q) →(⌝q→⌝p)（5）(p∧r)↔(⌝p∧⌝q)（6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)答：（4）p q p→q ⌝q ⌝p ⌝q→⌝p (p→q)→(⌝q→⌝p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1所以公式类型为永真式（5）公式类型为可满足式（方法如上例）（6）公式类型为永真式（方法如上例）第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1)⌝(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)⇔(⌝p∨(p∨q))∨(⌝p∨r)⇔⌝p∨p∨q∨r⇔1所以公式类型为永真式(3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式：(2)(p→q)∧(p→r)⇔(p→(q∧r))(4)(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨q) ∧⌝(p∧q)证明（2）(p→q)∧(p→r)⇔ (⌝p∨q)∧(⌝p∨r)⇔⌝p∨(q∧r))⇔p→(q∧r)（4）(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨(⌝p∧q)) ∧(⌝q∨(⌝p∧q)⇔(p∨⌝p)∧(p∨q)∧(⌝q∨⌝p) ∧(⌝q∨q)⇔1∧(p∨q)∧⌝(p∧q)∧1⇔(p∨q)∧⌝(p∧q)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1)(⌝p→q)→(⌝q∨p)(2)⌝(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)解：（1）主析取范式(⌝p→q)→(⌝q∨p)⇔⌝(p∨q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p∧⌝q)∨(⌝q∨p)⇔ (⌝p∧⌝q)∨(⌝q∧p)∨(⌝q∧⌝p)∨(p∧q)∨(p∧⌝q)⇔(⌝p∧⌝q)∨(p∧⌝q)∨(p∧q)⇔∑(0,2,3)主合取范式：(⌝p→q)→(⌝q∨p)⇔⌝(p∨q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p∧⌝q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p∨(⌝q∨p))∧(⌝q∨(⌝q∨p))⇔1∧(p∨⌝q)⇔(p∨⌝q)⇔ M1⇔∏(1)(2) 主合取范式为：⌝(p→q)∧q∧r⇔⌝(⌝p∨q)∧q∧r⇔(p∧⌝q)∧q∧r⇔0所以该式为矛盾式.主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为 0(3)主合取范式为：(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)⇔⌝(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)⇔(⌝p∧(⌝q∨⌝r))∨(p∨q∨r)⇔(⌝p∨(p∨q∨r))∧((⌝q∨⌝r))∨(p∨q∨r))⇔1∧1⇔1所以该式为永真式.永真式的主合取范式为 1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14.在自然推理系统P中构造下面推理的证明： (2)前提：p→q,⌝(q∧r),r结论：⌝p(4)前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论：p∧q证明：（2）①⌝(q∧r) 前提引入②⌝q∨⌝r ①置换③q→⌝r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤⌝q ③④拒取式⑥p→q 前提引入⑦￢p（3）⑤⑥拒取式证明（4）：①t∧r 前提引入②t ①化简律③q↔s 前提引入④s↔t 前提引入⑤q↔t ③④等价三段论⑥（q→t）∧(t→q) ⑤置换⑦（q→t）⑥化简⑧q ②⑥假言推理⑨q→p 前提引入⑩p ⑧⑨假言推理(11)p∧q ⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：(1)前提：p→(q→r),s→p,q结论：s→r证明①s 附加前提引入②s→p 前提引入③p ①②假言推理④p→(q→r) 前提引入⑤q→r ③④假言推理⑥q 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：(1)前提：p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s结论：⌝p证明：①p 结论的否定引入②p→﹁q 前提引入③﹁q ①②假言推理④￢r∨q 前提引入⑤￢r ④化简律⑥r∧￢s 前提引入⑦r ⑥化简律⑧r∧﹁r ⑤⑦合取由于最后一步r∧﹁r是矛盾式,所以推理正确.第四章部分课后习题参考答案3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1) 对于任意x,均有2=(x+)(x).(2) 存在x,使得x+5=9.其中(a)个体域为自然数集合.(b)个体域为实数集合.解：F(x):2=(x+)(x).G(x): x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为)(x∀，在（a）中为假命题，xF在(b)中为真命题。
离散数学答案-第四章习题解答.doc
习题四1.用归结法证明:(1)\= p^q^r(2)p T r , q — r# pvqir(3)p W 匕(p T q)v(p f r)(4)p /\q r |= (/? ^ r) v(t? r)(5)p v v r , p t r A q v『⑹(〃T q) T O T 厂)f= p T (q T r)解(1)首先将p I q , p I f , 7p T q八门化为合取范式。
p T q o —\p 7 q , p T r o —yp v r ,—>(# T q /\ 厂)u> -1(-1/? v(q A /*)) u> /? /\ (—v -i厂)给出子句集\rpy q’rpy l ”，p,->^rv—»r｝的反驳如下。
①rpy q②~yp v r③p④-it?v—«r⑤q由①和③⑥r由②和③⑦由④和⑤⑧口由⑥和⑦因此，p — q , p T r b p I q z⑵将p T r, q T厂7p v q —厂)化为合取范式。
/? T 厂O -1〃\/儿q t ro-yq 7 丫、-i( p v q r) <=> (p v q) /\—^r 给111子句集｛ v r, v r, p v ty, -.r｝的反驳如下：—p v r②->q v r③p y q④—if⑤q 7 T rti①和③⑥r由②和⑤⑦□由④和⑥因此，p—> r, q T r 匕p v q T r。
⑶首先将p t qy r, -•((/?^^)v(p^r))化为合取范式。
p T q \z 厂 o -yp v <7 v r ,T q) \/ (p —> r)) o -i((-ip v^) v (-i/? v r))<=> p A —yq A -ir给出子句集\rp7 q\/ F ,p, -yq , 的反驳如下。
—7 q7 丫 Prq—>rq7 丫由①和② r由③和⑤ □由④和⑥①②③④⑤⑥⑦因此，p T qvr \= (j?->(7)v(/?^r)(4)首先将 p /\qf r, -i((pr) v ((? -> r))化为合取范式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4、1 (1)设S={1,2},R 就是S 上的二元关系,且xRy 。
如果R=Is,则(A);如果R 就是数的小于等于关系,则(B),如果R=Es,则(C)。
(2)设有序对<x+2,4>与有序对<5,2x+y>相等,则 x=(D),y=(E)、 供选择的答案A 、B 、C:① x,y 可任意选择1或2;② x=1,y=1;③ x=1,y=1 或 2;x=y=2;④ x=2,y=2;⑤ x=y=1或 x=y=2;⑥ x=1,y=2;⑦x=2,y=1。
D 、E:⑧ 3;⑨ 2;⑩-2。
答案: A: ⑤ B: ③ C: ① D: ⑧ E: ⑩4、2设S=<1,2,3,4>,R 为S 上的关系,其关系矩阵就是⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0001100000011001 则(1)R 的关系表达式就是(A)。
(2)domR=(B),ranR=(C)、 (3)R ︒R 中有(D)个有序对。
(4)R ˉ1的关系图中有(E)个环。
供选择的答案A :①{<1,1>,<1,2>,<1,4>,<4,1>,<4,3>}; ②{<1,1>,<1,4>,<2,1>,<4,1>,<3,4>};B 、C:③{1,2,3,4};④{1,2,4};⑤{1,4}⑥{1,3,4}。
D 、E ⑦1;⑧3;⑨6;⑩7。
答案: A:② B:③ C:⑤ D:⑩ E:⑦4、3设R 就是由方程x+3y=12定义的正整数集Z+上的关系,即 {＜x,y ＞︳x,y ∈Z+∧x+3y=12}, 则 (1)R 中有A 个有序对。
(2)dom=B 。
(3)R ↑{2,3,4,6}=D 。
(4){3}在R 下的像就是D 。
(5)R 。
R 的集合表达式就是E 。
供选择的答案 A:①2;②3;③4、B 、C 、D 、E:④{＜3,3＞};⑤{＜3,3＞,＜6,2＞};⑥{0,3,6,9,12};⑦{3,6,9};⑧{3};⑨Ф;⑩3。
答案:A:②。
分别就是:＜3,3＞＜6,2＞＜9,1＞B:⑦。
C:⑤。
D:⑧。
E: ④。
4、4 设S={1,2,3},图4-13给出了S上的5个关系,则它们]只具有以下性质: R1就是A, R2就是B, R3就是C, R4就是D, R5就是E。
供选择的答案A,B,C,D,E:①自反的,对称的,传递的;②反自反的,反对称的;③反自反的,反对称的,传递的;④自反的;⑤反对称的,传递的;⑥什么性质也没有;⑦对称的;⑧反对称的;⑨反自反的,对称的;⑩自反的,对称的,反对称的,传递的A:④B:⑧C:⑨ D:⑤E:⑩4.5 设Z+={x|x∈Z∧x>0},∏1, ∏2, ∏3就是Z﹢的3个划分。
∏1={{x}|x∈Z﹢},∏2={S1,S2},S为素数集,S2=Z-S1,∏3={Z+},则 (1)3个划分中分块最多的就是A,最少的就是B、(2)划分∏1对应的就是Z+上的C, ∏2对应的就是Z+上的D, ∏3对应的就是Z+上的E供选择的答案A,B:①∏1;②∏2;③∏3、C,D,E:④整除关系;⑤全域关系;⑥包含关系;⑦小于等于关系;⑧恒等关系;⑨含有两个等价类的等价关系;⑩以上关系都不就是。
答案 A ① B ③ C ⑧ D ⑨ E ⑤4、6 设S={1,2,…,10},≤就是S 上的整除关系,则<S,≤>的哈斯图就是(A),其中最大元就是(B),最小元就是(C),最小上界就是(D),最大下界就是(E)、 供选择的答案A: ① 一棵树; ② 一条链; ③ 以上都不对、B 、C 、D 、E: ④ ∅;⑤ 1;⑥ 10;⑦ 6,7,8,9,10;⑧ 6;⑨ 0;⑩ 不存在。
答案:A: ③(树中无环,所以答案不就是①) B: ⑩ C: ⑤ D: ⑩E: ⑤ 4、7设f :N →N,N 为自然数集,且()1,2x f x xx ⎧⎪=⎨⎪⎩若为奇数，，若为偶数， 则f (0)=A ,{}(){}()(){}()0,1,2,1,2,0,2,4,6,f B f C f D f E ===⋯=、供选择的答案A 、B 、C 、D 、E:①无意义;②1;③{1};④0;⑤{0};⑥12;∴⑦N; ⑧{1,3,5,…};⑨{12,1};⑩ {2,4,6,…}、 解:f (0)=2=0,∴A=④; {}()0f={0},∴B=⑤;{}()1,2f ={1},∴C=③; ()1,2f ①无意义; {}()0,2,4,6,f⋯=N,∴E=⑦、4、8 设R 、Z 、N 分别表示实数、整数与自然数集,下面定义函数f1、f2、f3、f4。
试确定它们的性质。
f1: R→R,f(x)=2x,f2: Z→N,f(x)=|x|、f3: N→N,f(x)=(x)mod3,x除以3的余数,f4: N→N×N,f(n)=<n,n+1>。
则f1就是A,f2就是B,f3就是C,f4就是D,f4({5})=E。
供选择的答案A、B、C、D:①、满射不单射;②、单射不满射;③、双射;④、不单射也不满射;⑤、以上性质都不对。
E:⑥、6;⑦、5;⑧、<5,6>;⑨、{<5,6>};⑩、以上答案都不对。
解:f1就是②、单射不满射;f2就是①、满射不单射;f3就是④、不单射也不满射;f4就是②、单射不满射;f4({5})=⑨、{<5,6>}。
4、9 设f :R→R,f(x)= x² , x≥3, -2 , x<3;g:R→R,g(x)=x+2,则 f〇g(x)=A,g〇f(x)=B, g〇f: R→R就是 C,f-1就是 D,g-1就是E、供选答案::A\B:① (x+2)² , x≥3, ② x²+2 , x≥3,-2 , x<3; -2 , x<3;(x+2)² , x≥1, x²+2 , x≥3, ③④-2 , x<1; 0 , x<3;C: ⑤单射不满射;⑥满射不单射;⑦不单射也不满射;⑧双射。
D、E:⑨不就是反函数; ⑩就是反函数。
解:A=③ B=④ C=⑦ D=⑨ E=⑩4、10 (1)设S={a,b,c},则集合T={a,b}的特征函数就是(A),属于§(S上S)的函数就是(B)。
(2)在S上定义等价关系R=Is∪{< a,b >,< b, a>},那么该等价关系对应的划分中有(C)个划分、作自然映射g:S→S/R,那么g的表达式就是(D)、g(b)=(E)、供选择的答案A、B、D:① {<a,a>,<b,b>,<c,c>};② {<a,b>} ; ③{<a,1>,<b,1>,<c,0>};④ {<a,{a}>,<b,{b}>,<c,{c}>};⑤ {<a,{a,b}>,<b,{a,b}>,<c,{c}>}、C:⑥ 1;⑦ 2;⑧ 3、E:⑨ {a,b};⑩ {b}、答案:A:③B: ①C: ⑦D: ⑤E: ⑨4、11 设S={1,2,……,6},下面各式定义的R都就是在S上的关系,分别列出R的元素。
R = { <x , y>|x, y ∈s ∧ x | y}、解:由题意可知R就是整除关系,所以答案如下:R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>,<2,2>,<2,4>,<2,6>,<3,3>,<3,6> ,<4,4>,<5,5>,<6,6>}、( 2 ) R = {< x , y > | x , y ∈ S ∧ x就是y的倍数}、解: 由题意可知:R={<1,1>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,3>,<4,1>,<4,2>,<4,4>,<5,1>,<5,5>,<6,1> ,<6,2>,<6,3>,<6,6>} 、( 3 ) R = {< x, y> | x , y ∈S ∧ ( x - y )²= ∈ S }、解: 由题意可知:R={<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,3>,<2,4>,<3,1>,<3,2>,<3,4>,<3,5>,<4,2>,<4,3> ,<4,5>,<4,6>,<5,3>,<5,4>,<5,6>,<6,4>,<6,5>}、( 4 ) R = {< x , y > | x , y ∈S ∧ x / y就是素数 }解:由题意可知:R={<1,1>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,3>,<4,2>,<4,4>,<5,1>,<5,5>,<6,1>,<6,2>,<6,3>,<6,6>}、4、13 S={a,b,c,d},R1、R2为S上的关系,R1={<a,a>,<a,b>,<b,d>}R2={<a,d>,<b,c>,<b,d>,<c,b>}求R1。
R2、R2。
R1、R12与R23、解:设R1的关系矩阵为M1,R2的关系矩阵为M2,则此题答案正确,只就是写法不对,应改为:其余类似},{...2112><=•∴=•d c R R M M Θ 4.14R 的关系图如图4-14所示,试给出r(R)、s(R)、t(R)的关系图。
解4、16 (2){1,2,解: (1)8 12 4 6 2 3极小元、最小元:1 极大元、最大元:24 (2) 8 4 625 97 3 1极小元、最小元:1极大元:5,6,7,8,9 最大元:无4、19设 f , g , h ∈N , 且有 0 n 为偶数 f (n)=n+1 , g(n)=2n ,h(n)= 1 n 为奇数求 fof , gof ,fog , hog , goh , 与 fogoh 。