【数学建模学习】第三章 离散模型

部分可按 h(n − 2) 种方式完成。于是，得差分方程
h(n) = 2h(n −1) + 2h(n − 2) ， (n = 3,4,)
其特征方程为 特征根
λ2 − 2λ − 2 = 0
λ1 = 1+ 3 ， λ2 = 1− 3
则通解为
h(n) = c1(1+ 3)n + c2 (1− 3)n ， (n = 3,4,) 利用条件 h(1) = 3， h(2) = 8 ，求得
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ci (i = 1,,2k ) 为任意常数。 （III）求非齐次方程（1）的一个特解 yt 。若 yt 为方程（2）的通解，则非齐次方
程（1）的通解为 yt + yt 。 求非齐次方程（1）的特解一般要用到常数变易法，计算较繁。对特殊形式的 b(t)
也可使用待定系数法。例如，当 b(t) = bt pk (t) ， pk (t) 为 t 的 k 次多项式时可以证明： 若 b 不是特征根，则非齐次方程（1）有形如 bt qk (t) 的特解， qk (t) 也是 t 的 k 次多项 式；若 b 是 r 重特征根，则方程（1）有形如 btt r qk (t) 的特解。进而可利用待定系数法 求出 qk (t) ，从而得到方程（1）的一个特解 yt 。
a0 yn+t + a1 yn+t−1 + + an yt = 0
（2）
容易证明，若序列 yt(1) 与 yt(2) 均为（2）的解，则 yt = c1 yt(1) + c2 yt(2) 也是方程（2）的
解，其中
c1, c2
为任意常数。若
yt(1) 是方程（2）的解，
y
( t
2)
是方程（1）的解，则
点决定，下一时段的数量 x2 由 g 上的 P2 点决定， y2 又可由 f 上的 P3 点决定。依此类
推，可得一系列的点 P1( x1, y1 ) ， P2 ( x2 , y1 ) ， P3 ( x2 , y2 ) ， P4 ( x3, y2 ) ，图上的箭头 表示求出 Pk 的次序，由图知：
lim
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齐次方程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于 1。
1.2 常系数线性差分方程的 Z 变换解法
常系数线性差分方程采用解析解法比较容易，而且对其解的意义也容易理解，但
采用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，通常是采用 Z 变换，将差分
方程变换为代数方程去求解。
设有离散序列 x(k ) ， (k =定义为
为
c1
cos
π 2
t
+
c2
sin
π 2
t
+
1 2
t
−
1 2
例 2 在信道上传输仅用三个字母 a,b, c 且长度为 n 的词，规定有两个 a 连续出现
的词不能传输，试确定这个信道容许传输的词的个数。
解 令 h(n) 表示容许传输且长度为 n 的词的个数， n = 1,2, ，通过简单计算可 求 得 ： h(1) = 3， h(2) = 8 。 当 n ≥ 3 时 ， 若 词 的 第 一 个 字 母 是 b 或 c, 则 词 可 按 h(n −1) 种方式完成；若词的第一个字母是 a ，则第二个字母是 b 或 c ，该词剩下的
xk = x0 ，则可推出
yl = y0 ， xl = x0 ， (l = k, k +1,)
即商品的数量保持在 x0 ，价格保持在 y0 ，不妨设 x1 ≠ x0 ，下面考虑 xk , yk 在图上的
变化 (k = 1,2,) 。如下图所示，当 x1 给定后，价格 y1 由 f 上的 P1
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即单位冲激函数的 Z 变换为 1。 （ii）单位阶跃函数U (k ) 的 Z 变换
∞
∞
∑ ∑ Z[U (k )] = U (k )z −k = 1× z −k ，
k =0
k =0
即
Z[U (k)]
=
z z −1
(| z |> 1)
（iii）单边指数函数 f (k ) = a k 的 Z 的变换（ a 为不等于 1 的正常数）
例 1 求解两阶差分方程 yt+2 + yt = t 。 解 对应齐次方程的特征方程为 λ2 + 1 = 0 ，其特征根为 λ1,2 = ±i ，对应齐次方
程的通解为
yt
=
c1
cos
π 2
t
+ c2
sin π 2
t
原方程有形如 at
+
b
的特解。代入原方程求得 a
=
1 2
，b
=
−
1 2
，故原方程的通解
yt
=
y
(1) t
+
y t( 2 )
也是方程（1）的解。
方程（1）可用如下的代数方法求其通解：
（I）先求解对应的特征方程
a0λn + a1λn−1 + + a0 = 0
（3）
（II）根据特征根的不同情况，求齐次方程（2）的通解。
（i）若特征方程（3）有 n 个互不相同的实根 λ1,, λn ，则齐次方程（2）的通解
c1ρ t cosϕt + c2 ρ t sinϕt ，其中 ρ =
α2
+
β
2
为λ
的模， ϕ
=
arctg β α
为λ
的幅角。
（iv）若 λ = α ± βi 是特征方程（3）的 k 重复根，则通解对应于它们的项为
(c1 + + ck t k −1 )ρ t cosϕt + (ck +1 + + c2k t k −1 )ρ t sinϕt
的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任
意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。
称如下形式的差分方程
a0 yn+t + a1 yn+t−1 + + an yt = b(t)
（1）
为 n 阶常系数线性差分方程，其中 a0 , a1,, an 是常数， a0 ≠ 0 。其对应的齐次方程为
由集市上某种商品的价格变化看到如下现象：在某一时期，商品的上市量大于需求，
引起价格下跌，生产者觉得该商品无利可图，转而经营其它商品；一段时间之后，随
着产量的下降，带来的供不应求又会导致价格上升，又有很多生产商会进行该商品的
生产；随之而来的，又会出现商品过剩，价格下降。在没有外界干扰的情况下，这种现
象将会反复出现。
k →+∞
Pk
( x,
y)
=
P0 ( x0 ,
y0 )
，
即市场经济将趋于稳定。
并不是所有的需求函数和供应函数都趋于稳定，若给定的 f 与 g 的图形如下图所
示，得出的 P1, P2 , 就不趋于 P0 ，此时，市场经济趋向不稳定。
上两图中的折线 P1P2 , P2 P3 , P3P4 , 形似蛛网，故把这种模型称为蛛网模型。在进 行市场经济分析中， f 取决于消费者对某种商品的需要程度及其消费水平， g 取决于
z2 X (z) − z + 3zX (z) + 2X (z) = 0 ，
X (z)
=
z2
z + 3z
+2
=
z
z +
1
−
z
z +2
，
对上式取 z 反变换，便得差分方程的解为
x(k ) = (−1)k − (−2)k 。
§2 蛛网模型
2.1 问题提出
在自由竞争的社会中，很多领域会出现循环波动的现象。在经济领域中，可以从自
h(n) = 2 + 3 (1+ 3)n + − 2 + 3 (1− 3)n ， (n = 1,2,)
23
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在应用差分方程研究问题时，我们常常需要讨论解的稳定性。对常系数非齐次线性
差分方程（1），若不论其对应齐次方程的通解中任意常数 c1,, cn 如何取值，在 t → +∞ 时总有 yt → 0 ，则称方程（1）的解是稳定的。根据通解的结构不难看出，非
∑ Z[ak ] =
∞
ak z−k
k =0
=
z z−a
1.2.2 Z 变换的性质
(| z |> a)
（i）线性性质
设 Z[ f1(k )] = F1(z) ， Z[ f2 (k )] = F2 (z) ，则 Z[af1(k ) + bf2 (k )] = aF1(z) + bF2 (z)
其中 a, b 为常数。收敛域为 F1(z) 和 F2 (z) 的公共区域。
由 t、yt 及 yt 的差分给出的方程称为 yt 的差分方程，其中含 yt 的最高阶差分的阶
数称为该差分方程的阶。差分方程也可以写成不显含差分的形式。例如，二阶差分方程
∆2 yt + ∆yt + yt = 0 也可改写成 yt+2 − yt+1 + yt = 0 。 满足一差分方程的序列 yt 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有
第三章 差分方程模型
离散状态转移模型涉及的范围很广，可以用到各种不同的数学工具。下面我们对差 分方程作一简单的介绍，下一章我们将介绍马氏链模型。
§1 差分方程
1.1 差分方程简介
规定 t 只取非负整数。记 yt 为变量 y 在 t 点的取值，则称 ∆yt = yt+1 − yt 为 yt 的一 阶向前差分，简称差分，称 ∆2 yt = ∆(∆yt ) = ∆yt+1 − ∆yt = yt+2 − 2 yt+1 + yt 为 yt 的二 阶差分。类似地，可以定义 yt 的 n 阶差分 ∆n yt 。