波利亚的解题理论
波利亚的解题理论_2022年学习资料
解题过程：-·第1弄清问题-·条件（已知）：-■1c-10:-2CosA/cosB-b/a=4/3-·③点 为△ABC内切圆上的动点、-口问题（未知）：-·求点P到项点A、B、C的距离的平方和的-最小值和最大值。6
第2拟订计划-回忆原来有没有见过同类问题（没有），但见-过相关的问题：-o-1已知三角形的某些边角关系，判 三角形-的形状、解三角形等（知三求一，已知的三个-边角元素中至少有一个是边，题目基本符-合-·②如果三角形 以确定，那么此题就是求这-个三角形的某个特征曲线上的动点到三个顶-点的距离的平方和的最值问题。-17
如何解题-1.积累认识的资源-2.掌握转化的方法-3。及时调控的能力-4.良好信念系统的支持
波利亚的怎样解题表-解题过程分为以下四个阶段：-1.弄清问题-2.拟订计划-3.实现计划-4.回顾
波利亚的怎样解题表-1弄清问题-1未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？-满足条件是否可能？要确定未知 ，条件是否充分？或-者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？-2画张图，并引入适当的符号.-3把条件的 部分分开，并把它们写下来。
波利亚《怎样解题表》简介-波利亚的数学教育思想概述-波利亚George Polya数学教育思想的核心问题数 学教育的目的是什么？-1波利亚主张数学教学的目的应当是提高学生的一般素-养：首先和主要的目标应当是教会青年 考、-2教什么样的思考？数学是什么？数学有什么特点？对数-学及其意义的认识的教学观起着决定性的作用。
我国数学解题研究的代表人物和代表作-罗增儒-戴再平-单蹲-朱华伟-·中学数学解题的-理论与实践M.-数学习 理论-南宁：广西教育-[M上海：上-出版社，2008-解题研究M.-海教育出版社，-年9：前言-南京：南京 -•数学解题策略-范大学出版社，-1991.3:-·数学解题学引论-2002.6-1996.10.-[M西 .陕西-•北京：科学出-师范大学出版社，-版社，2009.8.-1997.6-4
波利亚的数学解题理论及其在初中数与代数应用题教学中的应用
所谓数学建模就是在阅读材料、理解题意 的基础上，把实际问题抽象成数学问题，并 对获取的信息进行分析加工、去粗取精、抽 象概括，利用数学知识建立相应的数学模型 。从实际问题到纯数学问题，既有对新信息 的分析加工，又有对记忆中的原有信息的提 取再加工，是一个复杂艰难的过程。建构数 学模型，是解应用题的关键。
列方程(组)解应用题的一般步骤： 审题 ； (1)_______ 设元 ； (2)_______ 等量关系 (3)找出包含未知数的___________； 列出方程(组) ； (4)_______________ 求出方程(组)的解 ； (5)___________________ 检验并作答 ． (6)_____________
在列方程（组）解应用题时，一般采用直 接设元法，但有时也使用间接设元。不论采用 什么方法设元，要首先寻找题目中的数量关系 ，然后再寻找等量关系，根据数量关系和等量 关系列出的方程，一般情况下，列出的方程的 个数要与未知数的个数相同。 根据题意列出的方程（组）可能是各种各样 的，这些方程（组）和我们学解方程（组）时 解过的方程（组）不一样，因此，我们要利用 学过的知识来判断是什么方程（组），然后， 根据不同类型方程（组）的解法去解方程（组 ）。
初中数学应用题类型分类
方程应用题
一次函数应用题
统计应用题 其他应用题
不等式应用题
二次函数应用题
解直角三角形应用题
一、方程应用题芈月传中的数学题
• 例1：为了有效地控制沙尘暴等恶劣天气对人 类生存环境的破坏，我国北方某地决定加快植 树造林的速度，计划用两年的时间将防风林面 积从现在的20,000公顷扩大到2.4万公顷。求平 均每年增长的百分率。 • 例2：某种商品因换季准备打折出售。如果按 定价的七五折出售将赔25元，而按定价的九折 出售将赚20元，问这种商品的定价是多少。 方程应用题的解题步骤可用六个字概括，即 审(审题)，设(设未知数)，列(列方程)，解(解 方程)，检(检验)，答。 考试内容多结合当前一些热点话题，如储蓄 问题，人均收入问题，环保问题，商品打折问 题等。
波利亚的解题理论
23
第三步
实现计划
解析：设原来的进价为 x ，售价为 y ，则由题 意可知现在的进价为 x1 10% ，由等量关系 列出方程
y x(1 10%) y x (1 25%) x(1 10%) x
13
1. 弄清问题
“弄清问题”阶段，重述问题，教会学生形成 正确的审题方法 ① 首先，了解已知是什么?未知是什么?条件 是什么?要确定未知数,条件是否充分? 是否 不充分?
② 其次，形成正确的审题方法。
③ 最后，注意引导学生挖掘已知条件与所求之 间的关系，特别是挖掘题中的隐含条件。
14
例如：计算 C
y ( x 0) 2 (0 2) 2 [ x (1)] 2 (0 3) 2
17
3. 实现计划
“实现计划”阶段，加强基础教学，善用 一题多变加深和提高解题能力 ① 实现你的求解计划,检验每一步骤. ② 你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你 能否证明这一步骤是正确的?
波利亚的数学教育理论
1
回顾一下，我们学过的教育理论有哪些？ 弗赖登塔尔数学教育理论 建构主义理论 数学教学理论
2
一、波利亚简介
二、波利亚数学教育理论 三、波利亚《怎样解题》
四《怎样解题》在中学数学中的应用
3
一、波利亚简介
波 利 亚 （ 1887-1985 ） ， 美 籍匈牙利数学家。生于布达佩 斯，卒于美国。青年时期曾在布 达佩斯、维也纳、巴黎等地攻读 数学、物理和哲学，获博士学 位。1914年在瑞士苏黎世工业大 学任教 ， 1938 年任数理学院院 长。1940年移居美国，历任布朗 大学、斯坦福大学教授。1963年 获美国数学会功勋奖。
波利亚解题理论
四部曲
改善学生数学解题中的元认知的教学策略
问题与思考
• 设计一个解决某类问题的解题表． • 根据你的解题经历，选一个典型例子，详细介绍
解题的具体过程． • 实践解题表，求解下题：如果3个有相同半径的
圆过一点，则通过它们的另外3个交点的圆具有 相同的半径． • 对解题表，谈谈你想说的任何看法，写一篇不少 于1000字的小论文． • 基于波利亚的解题理论谈数学解题教学
程看得见，摸得着。
弄
拟
执
检
清
定
行
验
题
计
计
回
意ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
划
划
顾
变换,推广,类 比,作出新的 数学发现.
概括方法论 因素,建立数 学模型.
波利亚的教育思想
数学教学的目的应当是提高学生的一般素养：首 先和主要的目标应当是教会青年思考。
教什么样的思考?数学是什么?数学有什么特点? 对数学及其意义的认识决定性的作用。
波利亚及其解题理论
回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，
波利亚致力于解题的研究，专门研究了解题的思维过程，并把
研究所得写成《怎样解题》一书。
核心是《怎样解题》表，他把寻找并发现解法的思维过程分解
为五条建议和23个具有启发性的问题，它们就好比是寻找和发
现解法的思维过程的“慢动作镜头”，使我们对解题的思维过
波利亚解题理论在高三圆锥曲线复习课中的教学案例研究
波利亚解题理论在高三圆锥曲线复习课中的教学案例研究《波利亚解题理论在高三圆锥曲线复习课中的教学案例研究》是本次研究的主题，波利亚解题理论是由意大利数学家阿隆索波利亚所提出的一种解决复杂数学问题的方法，他首先使用此理论解决三角函数问题，本次研究主要是研究该理论在高三圆锥曲线复习课中的应用。
一、波利亚解题理论的背景阿隆索波利亚（Arono B. Poli）是20世纪意大利数学家，他提出了一套叫做“波利亚解题理论”的数学方法，该方法又被称为“波利亚公式”。
这套理论的核心思想是“把一个复杂的问题分解成几个小问题，并且用具体的步骤来解决”。
这套理论的本质是动态解题法，即从反方向出发，先求解具体步骤，最后归纳出总体解法。
波利亚先生认为，数学学习只有通过实践来实现才能真正理解，而不是去学习繁杂的知识点。
二、波利亚解题理论在高三圆锥曲线复习课中的应用圆锥曲线是数学中一个重要的课题，学习这一类型的曲线，要求学生能够熟练掌握解方程的方法和计算圆锥曲线的坐标位置，但很多学生对此感到无从下手，屡屡重复犯同样的错误。
为此，本课程采用了“波利亚解题理论”的教学方法来解决一些典型的圆锥曲线问题，以帮助学生熟练掌握圆锥曲线的解方程法。
（1）课前准备本次课程内容包括从角度、离心率以及圆锥曲线的解方程等等，可以根据学生的不同学习水平来灵活调整每节课的内容，以帮助学生达到更好的学习效果。
（2）上课在上课过程中，教师可以先以一些圆锥曲线的简单例题来熟悉学生对波利亚解题理论的掌握情况。
然后，教师可以采用加深训练的方法，逐步增加难度，让学生用波利亚解题理论来解决更复杂的问题。
在教授方法时，教师可以详细讲解步骤，用不同的例子来让学生从多角度理解，并且与学生交流，加深学生对高三圆锥曲线的理解。
（3）总结在教学活动结束时，教师可以再次总结本节课的内容，提出一些细节问题，让学生对学过的知识有更深入的理解。
如果发现有学生对解题方法还存在困惑，教师应及时给予帮助，为学生解答问题，以提高学生自我学习能力。
(完整版)波利亚的解题理论
波利亚的解题理论（讲稿）同学们好!今天我们大家一起来学习波利亚的解题理论。
首先，让我们了解一下波利亚的生平.乔治·波利亚（George Polya,1887-1985）美籍匈牙利数学家，生于匈牙利,青年时期曾在布达佩斯、维也纳、哥廷根、巴黎等地攻读数学、数学、物理和哲学,1912年获数学博士学位。
他是法国科学院、美国全国科学院和匈牙利科学院的院士，是20世纪举世公认的数学家和数学教育家,也是享有国际盛誉的数学方法论大师,为数学方法论的现代研究,特别是为数学解题教学研究奠定了必要的理论基础。
他的成就主要包括解题理论、数学教学理论和教师教育理论,发表200多篇论文和许多专著，主要著作包括:《怎样解题》（1944)、《数学的发现》（1954）、《数学与猜想》（1961)等。
其中《怎样解题》与《数学的发现》集中论述了怎样解题的问题,而《数学与猜想》则对合情推理进行了生动地、富有创造性地论述。
在数学方面,对实变函数、复变函数和概率论等若干分支领域作出了开创性的贡献,留下了以他的名字命名的术语和定理。
在数学解题研究领域,波利亚是一面旗帜，也是一代宗师。
这里主要介绍他的解题理论。
学习波利亚的解题理论，首先需要了解对“解题”过程的界定。
波利亚认为，解题是智力的特殊成就，题目是数学的心脏，数学教学的本质在于教会学生解题，解题思想“应当诞生在学生心里，教师仅仅像助产士那样行事"（苏格拉底语),由此,数学教师的首要任务是发展学生解决问题的能力.为了帮助学生，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究可解题的思维过程，用朴素而现代化的形式来阐明探索法（既有助于发现的探索方法），并集几十年教学与科研之大成写成《怎样解题》一书,与1948年出版，风靡世界.其中“怎样解题"表仔细分析了求解各种数学问题时的思维过程，成为经典之作。
概括的说来，“怎样解题”表是波利亚的解题理论的核心内容。
波利亚的《怎样解题》[word版]
![波利亚的《怎样解题》[word版]](https://img.taocdn.com/s3/m/b81648d6162ded630b1c59eef8c75fbfc67d945e.png)
波利亚的《怎样解题》[word版]乔治·波利亚是20世纪举世公认的数学家，著名的数学教育家，享有国际盛誉的数学方法论大师．波利亚在数学教育领域最突出的贡献是开辟了数学启发法研究的新领域，为数学方法论研究的现代复兴奠定了必要的理论基础。
波利亚致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书。
这本书的核心是他分解解题的思维过程得到的一张《怎样解题表》。
波利亚的四步解题法：
1.彻底理解问题
2.形成解决思路
3.执行
4.总结
1、彻底理解问题：为了确保真正理解问题，你最好把问题用自已的话换成各种形式反复重新表达，但另忘了指出问题的主干：要求解的是什么？已知什么？要满足哪些条件？但凡能画图，一定要画出来。
2、形成解题思路：要专注，用过往经验，已撑握的知识，并调整适用性来形成思路。
如果不行，就改变这个问题的各个组件：已知、未知、条件，先构造简单一点的，引入辅助，条件是否用足，甚至改变求解的未知数，看能否找到解题线索？直到找到与之相似而你又解决过的问题。
3、执行：一要有耐心，二需要及时的检查每一步，可
凭直觉或证明（两个都有用，但是两回事），要问自已每一步都检查了吗？能看出来这一步是对的吗？能证明这一步是对的吗？
4、总结：巩固与提升的关键，多想想，再论证，尝试另外的解法，找更明快简捷的方法，还要问，这次的解法还能用在什么地方？总结是最好的启法时刻。
波利亚的数学解题理论及其在初中数与代数应用题教学中的应用
4、“解”就是解方程，求出未 知数的值． 5、“验”就是验解，即检验方程 的解能否保证实际问题有意义． 6、“答”就是写出答案(包括单 位名称)
数学教学就是数学语言的教学。 数学语言具有简洁、无歧义的特点， 但同时内涵丰富，具有一定的抽象性 。尤其是符号语言和图表语言要在阅 读中进行语意转换，给阅读带来了一 定的困难，因而指导学生进行科学有 效的阅读能起到事半功倍的效果。
学科的 学生的 知 识
教学设计
知 识
教学的 知 识
教学实施
PCK古已有之
波利亚及其解题理论介绍
一、波利亚数学教育思想简介
• 乔治· 波利亚(GeorgePolya,1887- 1985)，是美籍匈牙 利数学家、数学教育家。在数学教育方面他有3部 世界名著:《怎样解题》、《数学与猜想》、 《数学的发现———对解题的理解、研究和讲授》。 这3本书在我国有5个译本,其中《怎样解题》发行量 已过百万册。著名数学家瓦尔登曾高度评价这本书 :“每个大学生、每个学者,特别是每个教师都应该 读这本引人入胜的书”。
所谓数学建模就是在阅读材料、理解题意 的基础上，把实际问题抽象成数学问题，并 对获取的信息进行分析加工、去粗取精、抽 象概括，利用数学知识建立相应的数学模型 。从实际问题到纯数学问题，既有对新信息 的分析加工，又有对记忆中的原有信息的提 取再加工，是一个复杂艰难的过程。建构数 学模型，是解应用题的关键。
开发生活中的应用题课程资源，发展学 生解决应用题的能力
在数学教学中，应用题教学始终是困扰学生和 教师的一个难点，学生害怕应用题，认为应用题 枯燥无味，老师害怕应用题，是因为应用题情景 平淡空洞，缺少情景载体，不能激发学生学习兴 趣。究其根源，教材中编写的应用题由于带有普 遍性、公共性，所以对人就是“甲、乙两人”， 对地点就是“A, B 两地”等，这样的应用题，缺 乏具体的、贴近学生生活的情感体验，没有学生 感兴趣的情景载体，仅仅是为了学会解决一类应 用题的方法。
浅谈波利亚解题理论
浅谈波利亚解题理论对“怎样解题表”的认识乔治·波利亚（G.Polya，1887-1985年）出生于匈牙利布达佩斯。
上中学时，他就是一个很有上进心的学生。
但每当遇到较难的数学题时，他也时常感到困惑：“这个解答好像还行，它看起来是正确的，但怎样才能想到这样的解答呢？这个结论好像还行，它看起来是个事实，但别人是怎样发现这个事实的？我自己怎样才能想出或发现他们呢？”怎样解题表第一步：弄清问题第二步：拟订计划第三步：实现计划第四步：回顾我的认识与看法学习数学的目的，通常人们认为主要有两个，一是掌握必要的数学知识，二十提高分析的能力、解决问题的能力。
其中后者是数学教学的根本目标，但是，要有效的提高学生的分析和解决问题的能力却并非易事。
我认为乔治·波利亚有效地帮教师解决了这一难题。
但是要看教师个人怎样去用和实现这四部的教学法。
在我们看来这四个步骤十分的简单，但我们真的实施起来真的是那么回事吗？我想答案肯定是很难吧！下面我就这四步进行概括的说说我的看法。
①弄清问题，拟定计划这是解决数学问题的关键因素，探求解题思路的过程是训练学生良好思维方式的过程，也是教给学生恰当选取解题策略的过程。
在拟定计划中需要对问题不断地修正、转化，还经常需要类比等。
当我们引导学生将复杂问题转化为简单问题，把一个陌生的问题转化为熟悉的问题，这样一个解题的计划就基本形成了。
②回顾解答，深化理解这是巩固知识，提高解题能力的重要环节，在日常数学学习和活动中，我们往往在解答出某道题目后就立即进入另一个问题或找点别的事来干。
比利亚告诉我们：“没有任何一个题目是彻底完成了的……”。
所以当我们解决了一个问题后应该及时的进行反思，只有这样我们的解题水平才能得到有效的提高。
如果缺乏对问题本质的理解和更高层次的认识。
也失去了一个提高解题能力的好机会。
③小结应试教育，是中国平等待人的政治手法的灵活应用。
这样可以达到知识的普集和教育的平衡。
但是限制了学生的特长，使人从小养成了定向思维的习惯。
波利亚的解题理论
波利亚的解题理论一、波利亚的生平及主要著作对于我们数学学习者而言，大多都有过这样的经历：一道题，自己怎么想也想不出解法，而老师却给出了一个绝妙的解法。
这时候，我们最想知道“老师是怎么想出这个解法的”，如果这个解法不是很难，我们也许会问“自己完全可以想出，但为什么我没有想到呢？”要回答这个问题，实际上牵涉到对揭发数学问题解决规律的深入研究。
综观历史来看，美籍匈牙利数学家乔治。
波利亚（George Polya，1887-1985）不仅对上述问题特别感兴趣，而且在该领域做出了许多奠基性的工作。
波利亚是法国科学院，美国科学院和匈牙利科学院的院士，1887年出生在匈牙利，青年时期曾在布达佩斯、维也纳、哥廷根、巴黎等地攻读数学、物理和哲学，获博士学位。
1914年在苏黎世著名的瑞士联邦理工学院任教。
1940年移居美国，1942年起任美国斯坦福大学教授。
他一生发表200多篇论文和许多专著。
他在数学的广阔领域内有精深的造诣，对实变函数、复变函数、组合论、概率论、数论、几何等若干分支领域都做出了开创性的贡献，一些术语和定理都以他的命名。
由于他在数学教育方面所取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他93岁高龄时，还被ICME（国际数学教育大会）聘为名誉主席。
《怎样解题》（1944），《数学的发展》（1945）和《数学与猜想》（1961）这三本书就是他智慧的结晶。
这些书被译成很多国家的文字出版，其中《怎样解题》一书被译成17种文字，仅平装本就销售了100万册以上。
著名数学家范。
德。
瓦尔登1952年2月2日在瑞士苏黎世大学的会议致辞中说：“每个大学生，每个学者，特别是每个老师都应该都读读这本引人入胜的书”。
这些书成了世界范围内的数学教育名著，对数学教育产生了深刻的影响。
二、波利亚对数学教育的基本看法波利亚对于数学教育的目的、价值、方法非常关注。
他认为，“中小学生到底为什么要学习数学？要学什么样的数学？通过什么途径学好数学？”具体一点就是，在中小学阶段，是以“学数学”为主呢，还是以学如何“用数学”为主呢？这一点必须弄清楚。
波利亚“怎样解题”的思想,内容及实践结果
波利亚“怎样解题”的思想,内容及实践结果波利亚“怎样解题”的思想，内容及实践结果乔治.波利亚(George Polya) 1887年出生在匈牙利，青年时期曾在布达佩斯、维也纳、哥廷根，巴黎等地攻读数学、物理和哲学，获博士学位。
1914年在苏黎世著名的瑞士联邦理工学院任教。
1940年移居美国，1942年起任美国斯坦福大学教授。
他一生发表达200多篇论文和许多专著，他在数学的广阔领域内有精深的造诣，对实变函数、复变函数、概率论、数论、几何和微分方程等若干分支领域都做出了开创性的贡献，留下了以他的名字命名的术语和定理波利亚致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书。
这本书的核心是他分解解题的思维过程得到的一张《怎样解题》表。
在这张包括“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾”四大步骤的解题全过程的解题表中，对第二步即“拟定计划”的分析是最为引人入胜的。
他指出寻找解法实际上就是“找出已知数与未知数之间的联系，如果找不出直接联系，你可能不得不考虑辅助问题。
最终得出一个求解计划。
”他把寻找并发现解法的思维过程分解为五条建议和23个具有启发性的提示语，它们就好比是寻找和发现解法的思维过程的“慢动作镜头”，使我们对解题的思维过程看得见，摸得着。
波利亚的《怎样解题》表的精髓是启发你去联想。
联想什么？怎样联想？让我们看一看他在表中所提出的建议和提示性的问题吧。
“你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数！试指出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。
这里有一个与你现在的问题有联系且早已解决的问题。
你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方式重新叙述它？┅ ┅”这些大量提示性的问题，不是问别人，而是问自己，实际是解题者的自我诘问，自我反省。
波利亚的解题理论
(9) 你是否利用了整个条件?
(10) 你是否考虑了包含在问题中的所有必要 的概念?
求得答案
数学问题解决的策略
1.分析给出的数据信息和条件; 2.表征信息----从外部和大脑内部; 3.建立假设和计划过程; 4.应用公式算法定理,监控这类应用; 5.决定和检验假设,反思.
变更题目的Байду номын сангаас用方法——题目
分解与组合——穷举法,中途点 等价的题目 回到定义
等价变换 映射到别的领域 简化 特殊的题目 约化 极端情形
求点P到顶点A、B、C的距离的平方和
的最小值和最大值．
27
第2拟订计划
回忆原来有没有见过同类问题(没有)，但 见过相关的问题：
(1)已知三角形的某些边角关系，判断三角 形的形状、解三角形等(知三求三，已知 的三个边角元素中至少有一个是边)，题 目基本符合．
(2)如果三角形可以确定，那么此题就是求 这个三角形的某个特征曲线上的动点到三 个顶点的距离的平方和的最值问题．
问题解决的过程不是学生被动地吸收知识,而是主动建 构知识的过程,是在深层次的参与中,真正地学会数学的 思维.
3. 实现计划
实现你的求解计划,检验每一步骤. 你能否清楚地看出这一步骤是正确的?
你能否证明这一步骤是正确的?
4. 回顾
能否检验这个论证? 你能否用别的方法导出结果? 能不能一下子看出它来? 能不能把这结果或方法用于其他问题?
怎样解题表的解释
第1 你必须了解问题(弄清问题) (1) 未知数是什么? (2) 已知数据是什么? (3) 条件是什么? (4) 满足条件是否可能? (5) 要确定未知数，条件是否充分? (6) 或者它是否不充分？或者它是多余的？
波利亚“解题理论”及启示
波利亚“解题理论”及启⽰2019-10-23摘要：波利亚的“解题理论”体现了他对解题⽅法及解题思维过程的深刻研究，它对于培养学⽣良好的解题习惯，培养学⽣创造性思维，推动数学素质教育都有着重要的启⽰作⽤。
关键词：波利亚解题思想学习习惯创新意识解题是数学的核⼼，是创造性思维⽅法学研究中不可缺的课题，中外许多学者在解题理论和解题训练，特别是创造性解题训练⽅⾯都作出许多贡献，其中最为突出的代表就要数波利亚了。
乔治·波利亚（1887―1985）美籍匈⽛利⼈，20世纪杰出的数学家，年轻时期于布达佩斯、维也纳、格廷根、巴黎等地攻读数学、物理、哲学。
1912年于布达佩斯⼤学获哲学博⼠学位，1914年在苏黎世著名的瑞⼠联邦理⼯学院任教，1940年移居美国，⾃1942年起⼀直担任美国斯坦福⼤学教授。
波利亚⼗分热⼼教育，重视从⼩培养学⽣的理解能⼒和解题能⼒。
他致⼒于解题研究，为了回答“⼀个好的解法是如何想出来的”这⼀令⼈困惑的问题，他专门研究了解题的思维过程，并把研究结果写成《怎样解题》⼀书。
1.波利亚“解题表”的主要思想《怎样解题》的中⼼思想即谈解题过程中怎样诱发灵感，具体核⼼部分就是他分解解题的思维过程得到的“怎样解题表”，这张表给出了⼀个完整的解题过程⼀般包含的四⼤步骤［１］。
1.1弄清问题。
弄清问题即审题，是解题的基础。
因为只有正确理解了题意，才能正确地树⽴解题的思维⽅法，找出解题途径。
在这⼀步，解题者必须了解问题的⽂字叙述，弄清题⽬的已知条件是什么，未知条件是什么，题⽬要求的是什么。
然后通过观察、分析、画图等把⽂字、图形、符号等发出的信息正确的接收下来，把条件的各个部分分开，充分挖掘题设的内涵，判清题型，审清问题。
1.2拟订计划。
拟订计划即探索解题的途径，这是解题的关键环节。
当我们审清了问题之后，熟悉的问题有⼀定的解题套路，不需要太多的思考，⽽对于不熟悉的题⽬，千万不要急于动笔演算，⽽是要在头脑中从整体上设计好⼀个解题思路，稍进⼀步的问题，需要有⼀点变化。
怎样解题波利亚
波利亚的《怎样解题》——新浪：今日看点什么波利亚指出：解题的价值不是答案的本身，而在于弄清“是怎样想到这个解法的？”、“是什么促使你这样想，这样做的？”这就是说，解题过程还是一个思维过程，是一个把知识与问题联系起来思考、分析、探索的过程。
波利亚认为“对你自己提出问题是解决问题的开始”，“当你有目的地向自己提出问题时,它就变成你自己的问题了”，“怎样解题表”是《怎样解题》一书的精华。
波利亚的“怎样解题表”将解题过程分成了四个步骤，具体步骤如下：第一，弄清问题未知数是什么？已知数据（指已知数、已知图形和已知事项等的统称）是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？画张图。
引入适当的符号。
把条件的各个部分分开。
你能否把它们写下来？第二，拟定计划找出已知数与求知数之间的联系。
如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题。
你应该最终得出一个求解的计划。
你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数！试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。
这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题，你能应用它吗?你能不能利用它？你能利用它的结果吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？回到定义去。
如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。
你能不能想出一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适合于确定未知数的其它数据？如果需要的话，你能不能改变未知数和数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念？第三，实现计划实现你的求解计划，检验每一步骤。
波利亚《怎样解题》
波利亚《怎样解题》波利亚（George Pólya）于1945年出版了一本名为《怎样解题》（How to Solve It）的书籍，这本书成为了解决问题的经典指南。
波利亚是一位知名的数学家，他在书中分享了他对问题解决过程的理解和方法。
《怎样解题》不仅适用于数学问题，也可以应用于各个领域。
解题的四个基本原则波利亚认为，解决问题有四个基本原则：理解问题、制定计划、执行计划和回顾。
下面将针对这四个原则进行详细讨论。
理解问题理解问题是解决问题的第一步。
对于有关问题的任何陈述，我们都需要理解其含义。
理解问题包括搞清楚问题的要求，识别问题中涉及到的关键数据和信息，并将问题进行分类。
分类问题可以帮助我们找出问题的模式和发现问题的规律。
在理解问题阶段，我们需要提出问题，并找出已知条件和未知数。
这个过程有助于我们建立解决问题的框架，并提供解决方案的线索。
制定计划在理解问题的基础上，我们需要制定一个解决问题的计划。
计划是解决问题的指导方针，可以帮助我们有条理地进行思考和行动。
制定计划的关键是找出解决问题的途径。
这可以通过思考类似的问题、试图将问题分解为更小的子问题以及利用问题中的条件和限制来实现。
制定计划时，我们还可以考虑使用图表、图形和模型来表示问题。
这有助于我们更好地理解问题，并找到解决问题的启示。
执行计划一旦我们制定了解决问题的计划，我们就要开始实施这个计划。
执行计划是解决问题的实质性步骤，需要我们运用适当的技能和方法。
在执行计划的过程中，我们要仔细记录和跟踪每一步骤，并确保以正确的方式执行。
如果在执行计划的过程中遇到问题，我们需要及时调整计划，找到新的方向。
回顾回顾是解决问题的最后一步。
在解决问题后，我们需要回顾整个解决过程，反思经验和教训，总结和归纳解决问题的方法和策略。
回顾过程可以帮助我们加深对问题解决过程的理解，并帮助我们提高解决问题的能力。
通过回顾，我们可以发现问题解决中的瑕疵和改进的空间，从而在下次面对类似问题时更好地应对。
波利亚解题理论如何拟定计划
波利亚解题理论如何拟定计划
波利亚教授提出的解题方法里，“拟定计划”这部分就像这样：
首先，你要把问题摸透——这就像是搞清楚故事的情节一样，得知道问题到底在问什么，有哪些已有的线索（也就是已知条件），我们要找的答案是什么（未知量）。
如果有图啊、示例啊，能帮你更好理解就别忘了利用起来。
接下来，脑筋动起来回忆一下学过的知识，想想哪些公式啦、法则啦、以前做过的题跟现在这个像不像？如果有类似的例子，那就太棒了，可以直接借鉴经验。
然后，试着把大难题拆分成几个小块儿，一块儿一块儿地啃总比一口吞容易。
就像是先解开一个小谜团，再接着下一个，最后串起来就是整个答案。
列个清单，把想到的各种解决办法都写下来，不怕多，就怕想不到。
有可能试试这个方法走不通，那就换种思路接着来，有点像探险家找寻宝藏时尝试各种路线。
最后，挑一个看着靠谱的方法，把它变成一步步的具体行动方案。
就像是画地图，标明每一步怎么走，走到哪算哪。
在动手之前，心里还得估摸估摸这个方案靠不靠谱，要是感觉不对劲，那就回头再修改修改。
所以呢，总的来说，拟定计划就是在充分理解问题的基础上，灵活运用知识，勇于尝试不同方法，并且步步为营地制定出一个实际可行的操作步骤。
波利亚四步解题法
波利亚四步解题法1. 什么是波利亚四步解题法？波利亚四步解题法（Polya’s Four-Step Problem Solving Method）是由匈牙利数学家乔治·波利亚（George Pólya）提出的一种解决问题的方法。
这个方法适用于各种领域的问题，包括数学、科学、工程等。
波利亚四步解题法的核心思想是通过有序、系统的方式来解决问题，以确保每个步骤都得到适当的考虑和分析。
这种方法强调了问题解决过程中的创造性思维和灵活性，而不仅仅是机械地应用公式和算法。
2. 波利亚四步解题法的四个步骤2.1 理解问题（Understand the problem）在解决任何问题之前，首先需要全面理解问题的要求和限制。
这包括明确问题所涉及的概念、条件和目标。
在这一步骤中，可以通过以下几个方面来帮助理解问题：•仔细阅读问题陈述，并将其转化为自己理解的语言。
•将关键信息提取出来，并进行归纳总结。
•确定问题的目标和要求，明确需要解决的具体内容。
理解问题的过程中，可以使用思维导图、流程图等工具来帮助整理和梳理思路。
2.2 制定计划（Devise a plan）在理解问题之后，接下来需要制定解决问题的计划。
这个步骤是一个关键的思考过程，它要求我们考虑使用哪些方法、公式或算法来解决问题。
以下是一些常见的解题策略：•找出类似的问题，并尝试将其应用到当前问题上。
•将大问题分解为小问题，并逐一解决。
•使用图表、模型或示意图来帮助理清思路。
制定计划时，可以尝试不同的方法和角度，寻找最适合自己的解题策略。
2.3 执行计划（Carry out the plan）在制定好计划之后，就可以开始执行计划了。
这一步骤是具体操作和计算的过程。
根据制定的计划，按照一步一步地进行操作，直到得出最终结果。
在执行计划时，需要注意以下几点：•确保每个步骤都正确无误地执行。
•保持记录和注释，以便追溯和复查。
•尝试不同的方法和技巧，以获得更好的结果。
(完整版)波利亚的解题理论
波利亚的解题理论一、波利亚的生平及主要著作对于我们数学学习者而言，大多都有过这样的经历：一道题，自己怎么想也想不出解法，而老师却给出了一个绝妙的解法。
这时候，我们最想知道“老师是怎么想出这个解法的”，如果这个解法不是很难，我们也许会问“自己完全可以想出，但为什么我没有想到呢？”要回答这个问题，实际上牵涉到对揭发数学问题解决规律的深入研究。
综观历史来看，美籍匈牙利数学家乔治。
波利亚（George Polya，1887-1985）不仅对上述问题特别感兴趣，而且在该领域做出了许多奠基性的工作。
波利亚是法国科学院，美国科学院和匈牙利科学院的院士，1887年出生在匈牙利，青年时期曾在布达佩斯、维也纳、哥廷根、巴黎等地攻读数学、物理和哲学，获博士学位。
1914年在苏黎世著名的瑞士联邦理工学院任教。
1940年移居美国，1942年起任美国斯坦福大学教授。
他一生发表200多篇论文和许多专著。
他在数学的广阔领域内有精深的造诣，对实变函数、复变函数、组合论、概率论、数论、几何等若干分支领域都做出了开创性的贡献，一些术语和定理都以他的命名。
由于他在数学教育方面所取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他93岁高龄时，还被ICME（国际数学教育大会）聘为名誉主席。
《怎样解题》（1944），《数学的发展》（1945）和《数学与猜想》（1961）这三本书就是他智慧的结晶。
这些书被译成很多国家的文字出版，其中《怎样解题》一书被译成17种文字，仅平装本就销售了100万册以上。
著名数学家范。
德。
瓦尔登1952年2月2日在瑞士苏黎世大学的会议致辞中说：“每个大学生，每个学者，特别是每个老师都应该都读读这本引人入胜的书”。
这些书成了世界范围内的数学教育名著，对数学教育产生了深刻的影响。
二、波利亚对数学教育的基本看法波利亚对于数学教育的目的、价值、方法非常关注。
他认为，“中小学生到底为什么要学习数学？要学什么样的数学？通过什么途径学好数学？”具体一点就是，在中小学阶段，是以“学数学”为主呢，还是以学如何“用数学”为主呢？这一点必须弄清楚。
《波利亚解题理论》
• 这就要求教师要做到：
五 对波利亚“怎样解题”表的评 价
• 波利亚“怎样解题”表具有巨大的理论价 值。解题表中不仅蕴含着重要的思想方 法——化归、变换的思想方法，而且是各 种数学思想方法的源泉，在教学中利用解 题表，学生的自学能力有较快的提高，独 立思考校和进行创造性活动的能力也逐步 增强。 。
六 波利亚《怎样解题》启示
——你可以改述这个问题吗?回到定义！ ——你若能解决这个问题，试先解决 一个有关的问题。你能想出一个更 容易着手的有关问题吗？一个更一 般的问题？一个更特殊的问题？一 个类似的问题？你能解决问题的一 部分吗？ ——你用了全部的计划 ——实行你的解决计划，校核每一步骤。
（一）必须了解问题 ——未知数是什么？已知数是什么？ 条件是什么？ ——可能满足什么条件 ——画一个图，引入适当的符号。
拟订计划
（二）找出已知数和未知数之间的 关系。假使你不能找出关系，就得 考虑辅助问题，最后应该想出一个 计划。
——你以前见过它吗？ ——你知道什么有关的问题吗？ ——注视未知数!试想出一个有相同 或相似的未知数的熟悉问题。
讲解 第三步：实现计划: • 证明: 过直线a任作一个平面γ, 和平面α相交于直 线b 直线a∥平面α a∥b 直线a ⊥平面β b⊥平面β
γ β
a b
α
而平面α过直线b，则 平面α⊥平面β. • 检查：直线和平面平行的性质定理， 直线和直线 平行的性质定理，平面和平面垂直的判定定理， 三个定理清晰保证每步成立。
波利亚的解题理论与中学教学
波利亚解题理论的评述及其对中学 数学教学的影响
教师培训的方法
根据波利亚的做法，用来培训教师的方法主要有２ 种： 一种是‚研讨‛．为了提高教师的数学素养（主要 是解题能力），波利亚说：‚我并没有什么万灵 药方，但我曾试过一些做法．我曾经介绍和多次 重复主持过一些教师研讨班，研究如何解 题……” ； 一种是‚演示法‛或‚示范法’’
关于波利亚解题表的解释
1. 教师应顺其自然地帮助学生，把自己看成学生， 去理解学生在想什么。 2. 了解学生和学生已有知识和经验，再针对学生实 际提供恰当建议。 3. 任何僵化的、机械的、迂腐的步骤必然是不利的。 4. 解题表必须简短，有利于形成良好的思维习惯。
关于波利亚解题表的解释
好问题、建议的标准：
执行拟订计划
例2 已知k＞a＞b＞c＞0，求证： k2－(a+b+c)k+ab+bc+ca＞0 ①
解题：抛物线y=x2－(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca开口向 上．如果二次多项式x2－(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca ② 的判别式△=(a＋b＋c)2－4(ab＋bc＋ca)③满足 △＜0 ④ 那么抛物线与x轴没有交点，从而在x轴上 方，恒有x2 －(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca＞0．⑤于是 ①成立．故，原问题化为证明④成立．这一计划也 很清楚，但是无法证明④一定成立．
解题教学中在教给学生学习方法和解题方法的同时应解题教学中在教给学生学习方法和解题方法的同时应重视拓宽学生的认知面经历探索温故知新体会数学重视拓宽学生的认知面经历探索温故知新体会数学的应用价值形成创新技能
波利亚的解题理论 与中学数学教学
一．波利亚的解题表及评述 二．波利亚的‘‘启发法’’和 ‘‘合情推理’’ 三．波利亚解题理论的评述及其对中 学数学教学的影响
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
你能否用别的方法导出结果?
能不能一下子看出它来?
能不能把这结果或方法用于其他问题?
例
在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分
别是a、b、c且c=10，cosA/cosB=b/c=4/3，点P 为△ABC内切圆上的一个动点．求点P到顶点 A、B、C的距离的平方和的最小值和最大值．
y B
P
O
C
A
x
15
（3）把条件的各部分分开,并把它们写下来.
2. 拟订计划
考虑以前是否见过它? 是否见过相同的问题而形式稍有不同? 你 是否知道一个可能用得上的定理? 考虑具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题. 能否利用它的结果或方法?为了利用它,是否引入某些辅助元素? 能否用不同的方法重新叙述它?
(1)已知三角形的某些边角关系，判断三角形 的形状、解三角形等(知三求一，已知的三个 边角元素中至少有一个是边)，题目基本符 合． (2)如果三角形可以确定，那么此题就是求这 个三角形的某个特征曲线上的动点到三个顶 点的距离的平方和的最值问题．
17
18
第4 回顾
（1）在方法上，本题是使用“解析法”解决 三角问题的一个成功案例. （2）在数学思想上，本题是数形结合数学思 想的一个成功应用. （3）在基础知识的使用上，本题主要用到了 “余弦定理”、“勾股定理”、“参数方程” 和“三角函数的性质”等.
2.教什么样的思考?数学是什么?数学有什么特点?对数
学及其意义的认识的教学观起着决定性的作用.
问题解决
波利亚充分肯定解题的一般教育价值,把教会学生
解题看做是教会学生思考,培养他们独立探索的一
条有效途径.
数学学习的原则
主动学习原则 最佳动机原则 阶段序进原则
对教师的要求
1. 要对所讲的课题有兴趣; 2. 要懂得所讲的课题; 3. 要懂得学习的途径—发现; 4. 要观察学生的脸色,弄清他们的期望和困难, 置身于他们之中; 5. 不仅要传授知识,而且要教给学生才智,思维的方式和工作习惯; 6. 要让他们学习猜测; 7. 要让他们学习证明; 8. 要找出手边题目中那些对后来题目有用的特征; 9. 不要立即吐露你的全部秘ห้องสมุดไป่ตู้—让学生在你说出来之前先去猜,尽量让 他们自己找出来; 10. 要建议,不要强迫别人去接受.
19
波利亚解题过程的四个阶段:
1. 弄清问题——认识、并对问题进行表征的过程 ，是成
功解决问题的一个必要前提
2. 拟订计划——是探索解题思路的发现过程，是关键环节
和核心内容。
3. 实现计划——是思路打通之后具体实施信息资源的逻辑
配置，“我们所需要的只是耐心”
4. 回顾——是最容易被忽视的阶段，波利亚对其作。为解 题的必要环节而固定下来，是一个有远见的做法 .
解题过程： 第1弄清问题 条件(已知)： (1) c=10； (2) cosA/cosB=b/a=4/3 ； (3)点P为△ABC内切圆上的动点． 问题(未知)： 求点P到顶点A、B、C的距离的平方和的 最小值和最大值．
16
第2拟订计划
回忆原来有没有见过同类问题(没有)，但见 过相关的问题：
如何解题
1. 积累认识的资源
2. 掌握转化的方法
3. 及时调控的能力 4. 良好信念系统的支持
9
波利亚的怎样解题表 解题过程分为以下四个阶段:
1. 弄清问题 2. 拟订计划 3. 实现计划 4. 回顾
波利亚的怎样解题表
1 弄清问题
（1）未知数是什么?已知数据是什么？条件是什么? 满足条件是否可能?要确定未知数,条件是否充分?或 者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的? （2）画张图,并引入适当的符号.
3
我国数学解题研究的代表人物和代表作
罗增儒 戴再平 朱华伟 单墫
• 数学习题理论 [M].上海：上 • 解题研究[M]. 海教育出版社， 南京：南京师 • 数学解题学引论 范大学出版社， 1991.3； [M] 西安. 陕西 1996.10. 2002.6
• 中学数学解题的 理论与实践[M]. 南宁：广西教育 出版社，2008 年.9；前言
回到定义去. 如果你不能解决所提出的问题,可先解决一个与此有关的问题.
是否利用了所有的已知数据?是否利用了所有条件？是否考虑了包 含在问题中的所有必要的概念?
3. 实现计划
实现你的求解计划,检验每一步骤.
你能否清楚地看出这一步骤是正确的?
你能否证明这一步骤是正确的?
4. 回顾
能否检验这个论证?
21
波利亚的解题理论
1
数学解题教学
没有一道题可以解决得十全十美，总存在值得我们探 究的地方。 ——[美]G. 波利亚
2
中国特色的数学解题研究 搞好数学解题教学，需要掌握一定的解题理论，进行 解题研究，掌握一定的解题技能，了解解题研究的最 新进展。 我国的数学解题研究，主要是从学习、研究波利亚的 解题思想开始的 20世纪80年代初，波利亚的系列名著《怎样解题》、 《数学的发现（一、二）》、《数学与猜想》翻译并 引进国内。 他的“怎样解题表”和名言“掌握数学就意味着善于 解题”、“中学数学教学首要任务就是加强解题训练” 等迅速风靡全国；
• 数学解题策略 • 北京：科学出 版社,2009.8.
师范大学出版社， 1997.6
4
波利亚《怎样解题表》简介
波利亚的数学教育思想概述
波利亚(George Polya)数学教育思想的核心问题:数 学教育的目的是什么？ 1.波利亚主张数学教学的目的应当是提高学生的一般素 养:首先和主要的目标应当是教会青年思考.
20
值得注意的四个方面
(1)只要学生按照这个过程去寻找解法，久而久之，不仅可 以提高解题能力，而且还可以养成规范的思维习惯．并不 是所有的题目都要像表中那样“面面俱到”． (2) 解题教学中，在教给学生学习方法和解题方法的同时， 应重视拓宽学生的认知面，经历探索，温故知新，体会数 学的应用价值，形成创新技能． (3) 解题教学时，要关注数学的文化价值，促进学生科学观 的形成． (4)正确理解解题的内涵，谨防将解题异化为“题海战 术”．