数论与解析数论简史

数论与解析数论简史

王志伟 200800090156 数学与应用数学

数学王子Gauss曾经说过：数学是科学的女王，而数论是数学的女王。Gauss在数学、物理、天文各方面都取得了非凡的成就，但他却始终对数论情有独钟。数论，以其纯粹的数学本质，常常被认为是最美的数学，数学的中心。

与其他数学分支，比如几何、分析不同，数论并非是源于实际需要而创立的一门学科，其起源很有可能是出自数字游戏和Pythagoras学派以数字为图腾的宗教文化。数论曾经被认为是数学家的游戏、最纯的数学学科、唯一不会有什么应用价值的分支。但是现在随着网络加密技术的发展，数论也找到了自己用武之地——密码学。前几年破解MD5码的王小云老师就是山大数论学派出身。而在其他理论中，数论也表现出了一些意想不到的价值。在量子理论中，Hermite算子是最基本的概念之一，它的思想起源就是19世纪Hermite为解决数论问题而创立的Hermite型。我们在代数中常见的理想、环等概念最开始是出自Dedekind的数论著作中。最近的一个例子，Grothendieck为解决Weil猜想而对代数几何进行了革命性的改造。此类例子还有很多，在此不一一列举。

在古代对数论贡献最大的当属古希腊人。最著名的一些成果大概就是Euclid在《几何原本》中提到的Euclid算法、素数无限多个，算数基本定理等内容，这些我们在初等数论中都可以见到。另一个对数论有重大贡献的古希腊人当属Diophantus，他探讨了很多不定方程，为纪念，我们现在就称这些方程为Diophantus方程，著名的费马大定理就是一个Diophantus 方程问题。当然，中国古代在数论方面也作出了一定的贡献：众所周知、大名鼎鼎的中国剩余定理，被数学界唯一承认的中国的定理。

在经过漫长的中世纪之后，数论进入了一个辉煌的发展时期。推动数论发展的第一个重要人物首推Fermat，一个在数论界享有崇高地位的法国律师、业余数学家。Wiles在1994年证明的Fermat's last theorem，即我们所说的费马大定理，就是Fermat所提出的一个猜想。另外，Fermat小定理，关于多角形数的猜想，Fermat数，Mersenne素数性质，Pell方程都有他的贡献，我们证明中常用的无穷递降法，就是费马在证明费马大定理在n=3时最先发明使用的，除了数论，他在其他方面也有一些突出贡献，比如解析几何、微积分。Fermat之后，另一个重要的人物是Euler，他对Fermat的一个猜想：Fermat数都是素数给出了反例，引进了在数论中一个非常重要的数论函数，即Euler函数，并发现了一个数论中非常重要的Euler 公式。另外，笔者在跟同学在参加大学生科技创新项目中研究整数分拆这个课题时，阅读了Geogre Andrew的《The theory of partitions》，有幸了解到Euler在数论中的整数分拆方面也做出了很大的贡献，提出了母函数法，利用幂级数来研究整数分拆，这导致圆法和指数和方法的产生。

。在Euler之后，两个法国人Lagrange、Legendre也在数论方面做出了重要贡献，比如我们熟悉的二次互反律，Euler和Legendre都曾提出猜想，而公式中的符号我们即称作Legendre符号。他们的贡献就不在此细述。而在数论史上做出贡献最大的，我想大多人会同意是Gauss，一个伟大的数

学天才。

卡尔·弗里德里希·高斯，C.F.Gauss，德国人，历史上最伟大的数学家之一，可能没有之一。他的巨著《Disquisitiones Arithemeticae》具有划时代的意义。在书中，Gauss最先引进了同余的概念和符号，并提出了同余的一些基本性质。在书中的第二章，Gauss给出了算术基本定理的证明、同余方程的解法，Bezout等式、关于高次同余方程根数的Lagrange定理，并研究了Euler函数的一些性质。在第三章中，Gauss开始研究幂剩余。在本章中，Gauss第一次给出原根的存在性证明，并导出了指标及其概念。利用原根以及指标，他研究了高次二项同余方程，并用三种方法证明了Wilson 定理。在第四章中，Gauss对二次互反律做了详细的研究。上面说到Euler、Legendre都认识到了二次互反律，但是都未给出证明。而Gauss在学生时期就证明了这个结论，并在以后的辉煌数学生涯中给出了八种不同的证明。第五章约占全书篇幅的5/7，讲述的主要内容为型理论。在本章中，Gauss 定义了一个二元二次型的判别式、蕴含、包含于、等价变换等，并发现这些变换的联系和Pell方程有关。后面，他对型做了其他分类，将不同等价类按特征合并成种，研究了型、类、种、序的合成运算。接着，Gauss研究了三元二次型，由此证明了每个数都可以写成三个三角数或者四个平方数之和，并指出了一个Legendre关于二次互反律的一个不完全证明。最后，他用类数和种数的公式，定义了正规判别式和非正规判别式，提出了至今未完全解决的Gauss猜想。Gauss在指出Legendre那个二次互反律的不完全证明中，假定了一个比较明显但很难证明的定理—Dirichlet定理成立。这个假定以及类数、种数公式，是Dirichlet创立解析数论的直接动力。而解析数论的另一个创立人Riemann也是为了证明Gauss用统计方法猜测素数定理而把复变函数论应用到素数问题的。第六章，Gauss主要是引进了排除法，给出了两个合数素分解的方法，以及把循环小数化为分数。而在最后一章第七章中，Gauss主要研究了分圆理论。这一章好像只是一个独立的数学问题，但他的解决却需要许多其他领域的知识。首先是要承认复数及其重要的代数闭域性质，这是Gauss博士论文的结果“代数基本定理”，其结果是著名的，比如正十七边形可以尺规作图。他对分圆方程的研究启迪了Abel和Galois，后者将代数学的重点从解方程转移到我们现在的研究对象—群。Gauss在研究三次同余的时候，发明了“Gauss和”这个现在在代数数论中常用的工具。

解析数论是数论中以分析方法作为研究工具的一个分支。它起源于素数分布、哥德巴赫猜想、华林问题以及格点问题的研究。解析数论的方法主要有复变积分法、圆法、筛法、指数和方法、特征和方法、密率等。模形式论与解析数论有密切关系。

分析方法在数论中的应用可以追溯到18世纪的Euler时代，欧拉恒等式是算术基本定理的解析等价形式，它揭示了素数和自然数之间的积性关系。

随后，Dirichlet用分析方法于1837年解决了首项与公差互素的算术级数中有无限多个素数的问题，又于1839年推证出二次域的类数公式。并创立了研究数论的两个重要工具，即Dirichlet（剩余）特征标与Dirichlet L函数，从而奠定了解析数论的基础。