河北省衡水中学2019届高三上学期期末数学(文)试题

河北省衡水中学2019届高三上学期期末数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}240A x x x =-<，{}1,3,7B =-，则AB =（ ）A ．{}1-B ．{}3C ．{}3,7D ．{}1,7-2．已知4sin 5α=-，且α第三象限角，则tan α的值为（ ） A ．34 B ．34-C ．43D ．43-3．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，若长轴长为8，离心率为12，则此椭圆的标准方程为A ．2216448x y +=B ．2216416x y +=C ．221164x y +=D ．2211612x y +=4．下列函数中，既是偶函数，又在(),0-∞内单调递增的函数为 A ．22y x x =+B ．x y e =C ．22x x y -=-D ．11y g x =-5．“1a >”是“直线10ax y --=的倾斜角大于4π”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．设m ，n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是 A ．若//,,////m n m n αβαβ⊥，则 B ．若//,,//m n m n αβαβ⊥⊥，则 C ．若//,,//m n m n αβαβ⊥⊥，则 D ．若//,,m n m n αβαβ⊥⊥⊥，则7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24121112=a a a S ++=，则 A ．22B ．33C ．44D ．558．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．43π+B ．42π+C ．46π+D ．4π+9．已知圆()()22239C x y -+-=：，过点M(1，1)的直线l 与圆C 交于A 、B 两点，弦长AB 最短时直线l 的方程为 A ．210x y --= B ．280x y +-= C ．210x y -+=D ．230x y +-=10．已知函数()()211,1log 1,1aa x x f x x x ⎧--≤=⎨+>⎩，若函数()f x 在定义域R 上单调递增，则实数a 的取值范围为 A ．312a <<B ．312a <≤C ．32a >D ．32a ≥11．已知函数()()log 31a f x x =+-（0a >且1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 在直线40mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n+的最小值为（ ） A ．23B ．43C ．2D ．412．如图，已知1F 、2F 双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，A 、B 为双曲线上关于原点对称的两点，且满足11AF BF ⊥，112ABF π∠=，则双曲线的离心率为（ ）ABCD二、填空题13．已知向量()2,1a =-，(),1b m =，若()2//a b a +，则m =_______.14．已知实数,x y 满足约束条件222,22x y x y x y -≤⎧⎪-≥-⎨⎪+≥⎩则2z x y =-的最大值为___．15．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1BC 与平面11BB D D 所成的角等于____．16．定义在R 上的函数()f x ，满足()()()()2.01f x f x f x f x x -=-=-<≤且当时，()2 log f x x =，则方程()[]166f x =-在，上的实数根之和为_______．三、解答题17．已知函数()21sin 22x f x x =-+． (1)求函数()f x 的单调递增区间； (2)将函数()y f x =的图象向右平移2π个单位，在纵坐标不变的前提下，横坐标缩短为原来的12倍，得到函数()y g x =的图象，求函数()42g x ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦在，的最值． 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且225n n S a n =+-． (1)求证：数列{}2n a -是等比数列； (2)记()21log 2n n b a +=-，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．19．已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对边，且()3cos cos 0b c A a C ++=． (1)求cosA 的值； (2)若b c D ==是BC 边上一点，且满足BD=3DC ，求ABD ∆的面积．20．如图1，菱形ABCD 中，AB=2，60A ∠=，以对角线BD 为折痕把△ABD 折起，使点A 到达如图2所示点E的位置，使EC =.(1)求证：BD EC ⊥； (2)求三棱锥E —BCD 的体积．21．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且3OA OB ⋅=-，直线AO ，BO 分别交直线1y =-于点M ，N. (1)求抛物线C 的方程； (2)求OMN S △的最小值．22．已知函数()21xf x e x ax =---．(1)当2a =-时，求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； (2)若()()3xg x xf x e x x =-++，讨论函数()g x 的极值点的个数．参考答案1．B 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法可求出集合A ，然后进行交集的运算即可． 【详解】因为{}240{|04}A x x x x x =-<=<<，{}1,3,7B =-；{3}A B ⋂=∴=．故选：B ． 【点睛】本题考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算，同时考查了一元二次不等式的求解，属于基础题． 2．C 【解析】 【分析】由平方关系求出cos α，再由商数关系求得tan α． 【详解】∵4sin 5α=-，且α第三象限角，∴3cos 5α==-，∴sin 4tan cos 3ααα==． 故选：C ． 【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，在应用平方关系求值时需确定角的范围． 3．D 【解析】 【分析】根据长轴长求出a ，由离心率为12求出c ，从而求出b ，问题得解． 【详解】因为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>长轴长为8，所以28a =，即4a =，又离心率为12，所以12c a =，解得：2c =， 则222b a c =-=12，所以椭圆的标准方程为：2211612x y +=．故选D 【点睛】本题主要考查了椭圆的性质，属于基础题． 4．D 【解析】 【分析】利用偶函数定义排除，再利用单调性排除，从而得到答案． 【详解】22y x x =+及22x x y -=-不满足()()11f f -=，所以它们不为偶函数，从而排除A.C ．又当(),0x ∈-∞时，xy e ==1xe ⎛⎫ ⎪⎝⎭，此函数在(),0-∞内递减，排除B ． 故选D 【点睛】本题考查了偶函数定义及函数单调性判断，属于基础题． 5．A 【解析】 【分析】由直线10ax y --=的倾斜角大于4π得到不等式，求出a 的范围， 从而利用充分条件，必要条件的定义得解． 【详解】设直线的倾斜角为θ，直线10ax y --=可化为1y ax =-，所以tan a θ=由直线的倾斜角大于4π可得：tan 1θ>或tan 0θ<， 即：1a >或0a <，所以1a > ⇒ 1a >或0a <，但1a >或0a < ⇒ 1a > 故选A 【点睛】本题主要考查了充分条件，必要条件的概念，还考查了倾斜角与斜率的关系，属于基础题 6．B 【解析】 【分析】在正方体中举例来一一排除． 【详解】 如下图正方体中，对于A ，令直线AB m =，直线CD n =，平面1111A B C D α=,平面11ADD A β=, 但平面1111D C B A 与平面11ADD A 不平行，所以A 错误．对于C ，令直线AB m =，直线BC n =，平面1111A B C D α=,平面11CDD C β=, 但平面1111D C B A 与平面11CDD C 不平行，所以C 错误．对于D ，令直线AB m =，直线1BC n =，平面1111A B C D α=,平面11A B CD β=, 但平面1111D C B A 与平面11A B CD 不垂直，所以D 错误． 故选B 【点睛】本题主要考查了面面垂直，平行的判定，可在正方体中举例一一排除，或者直接证明某个选7．C 【解析】 【分析】由等差数列{}n a 的通项公式表示出2412,,a a a ，得到154a d +=，再表示出11S ，整理得解． 【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则241212a a a ++=可化为：11131112a d a d a d +++++=， 整理得：154a d +=，()1111111011115442S a d a d ⨯=+=+= 故选C 【点睛】本题考查了等差数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式，属于基础题． 8．A 【解析】 【分析】由三视图还原，可知该几何体是半圆柱,利用公式求其表面积即可． 【详解】由三视图还原，可知该几何体是半圆柱, 半圆柱的底面半径为1，高为2，2=12212S 表面积ππ⨯+⨯+⨯⨯=43π+故选：A 【点睛】本题主要考查了三视图--长对正、宽平齐、高相等得到实物图中的数据，由三视图还原实物图处理问题．还考查了表面积计算，属于基础题． 9．D 【解析】列出弦长：AB =圆心到直线l 的距离为d ），当d 最大时，AB 最短，此时直线l 与MC 连线垂直，求出直线l 的斜率，再由点斜式求出直线方程即可． 【详解】由题可知圆()()22239C x y -+-=：，所以圆心为()2,3C ，半径为3，设圆心到直线l 的距离为d ，直线l 得斜率为k则AB =d MC ≤，当直线l 与MC 连线垂直时，d 最大为MC ， 此时AB 最短，且1MC k k ⋅=-． 所以直线l 得斜率为：1MCk k -=， 又31221MC k -==-，所以12k =-， 所以直线l 的方程为：()1112y x -=--，即： 230x y +-= 故选D 【点睛】本题考查了圆的弦长计算，直线垂直关系及直线方程求法，还考查了转化思想及函数思想，属于中档题． 10．B【分析】由函数()f x 在定义域R 上单调递增列不等式组求解． 【详解】因为函数()()211,1log 1,1a a x x f x x x ⎧--≤=⎨+>⎩，若函数()f x 在定义域R 上单调递增，则()2101211log 11a a a a ⎧->⎪>⎨⎪--≤+⎩，解得：312a <≤ 故选B 【点睛】本题考查了分段函数的单调性，要保证各分段内是单调递增，还要使得分界处满足递增特点． 11．C 【解析】 【分析】由对数函数的图象得出A 点坐标，代入直线方程得,m n 的关系，从而用凑出基本不等式形式后可求得最小值． 【详解】令31+=x ，2x =-，(2)1f -=-，∴(2,1)A --，点A 在直线40mx ny ++=上，则240m n --+=，即24m n +=， ∵0mn >，24m n +=，∴0,0m n >>，∴12112141(2)442444n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当4n mm n=，即1,2m n ==时等号成立． 故选：C ． 【点睛】本题考查对数函数的性质，考查点在直线上，考查用基本不等式求最小值．是一道综合题，属于中档题． 12．A 【解析】 【分析】连接22,AF BF ，得矩形12AF BF ，在直角12BF F △中用c 表示出1BF ，2BF ，然后由双曲线的定义列式后求得离心率e ． 【详解】连接22,AF BF ，由11AF BF ⊥及双曲线的对称性知12AF BF 是矩形，由12AF BF =，1112BFO ABF π∠=∠=，122F F c =，则22sin12BF c π=，12cos12BF c π=，∴122cos2sin21212BF BF c c a ππ-=-=，∴离心率为11cos sin 12123c e a πππ=====- 故选：A ．【点睛】本题考查求双曲线的离心率，列出关于,a b 关系式是䚟题关键．本题利用双曲线的对称性构造矩形12AF BF ，然后结合双曲线定义得出关系式，求得离心率．13．-2 【解析】 【分析】可先求出2(4,1)a b m +=+-，根据(2)//a b a +即可得出(4)20m -++=，解出m 即可． 【详解】因为向量()2,1a =-，(),1b m =， 所以2(4,1)a b m +=+-； (2)//a b a +；(4)20m ∴-++=；2m ∴=-．故答案为：2-． 【点睛】考查向量坐标的加法和数乘运算，考查平行向量的坐标关系，属于基础题． 14．1 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可． 【详解】 由z=x-2y 得1122y x z =-，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线1122y x z =-，，1122y x z =-，的截距最小， 此时z 最大， 由2222x y x y -⎧⎨+⎩＝＝ ，得A （1，0）．代入目标函数z=x-2y ， 得z=1-2×0=1， 故答案为1． 【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法． 15．6π 【解析】 【分析】 【详解】正方体1111ABCD A B C D -中，连接11A C 交11B D 于点M ，连接MB ，由题可得：11A C ⊥11B D ，11A C ⊥1BB , 所以直线11A C ⊥平面11BB D D ,所以直线1BC 与平面11BB D D 所成的角等于MBC 1∠, 设正方体1111ABCD A B C D -的边长为a ，所以12MC =，1BC ， 所以1111sin 2MC MBC BC ∠==,所以16MBC π∠=【点睛】本题主要考查了线面角知识，关键是作出线面角对应的平面角，然后再说明该角就是对应的线面角，根据图形解三角形即可． 16．6- 【解析】 【分析】由()()()()2f x f x f x f x 且-=-=-可判断函数()f x 是奇函数且函数图像关于直线1x =对称，还可得函数()f x 是周期为4的函数，求方程在一个周期内的根，再利用周期性求得所有满足要求的实数根，问题得解． 【详解】因为()()()()2f x f x f x f x 且-=-=-，所以()()()22f x f x f x =-=--=()()()224f x f x ---=--=()4f x -， 即：()()4f x f x =- 所以函数()f x 的周期为4．0x 1<≤当时，()2log f x x =，所以当[)1,0x ∈-时，()()()2log f x f x x =--=-- 因为函数在[)1,0-上单调递增，所以在[)1,0-上()()2log 1f x x =--=有且只有一解112x =-， 0x 1<≤当时，()2log 1f x x ==无解．即()1f x =在[)(]1,00,1-⋃内只有一解：112x =- 因为函数()f x 满足：()()2f x f x =-所以函数()y f x =的图像关于直线1x =对称，可得：1522f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()1f x =在[)()(]1,00,22,3-⋃⋃内的解有两个112x =-，252x =， 即在一个周期内满足()1f x =的解有两个112x =-，252x =， 由函数()f x 的周期为4可得：1971222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，53111222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以方程()[]166f x =-在，上的实数根分别为1193157,,,,,222222----， 其和为：11931576222222----++=-. 【点睛】本题主要考查了奇函数的定义，函数的轴对称性及单调性，周期性，考查了转化思想．只需要求出一个周期内的满足()1f x =的解即可利用周期性求出所有的解，从而解决问题． 17．（1）2[2,2],33k k k Z ππππ-++∈ ； （2）()()max min 11,2g x g x == . 【解析】 【分析】（1）化简函数为()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，求出使得()f x 最大的一个自变量()023x k k z ππ=+∈，利用正弦型函数图像的特点写出单调增区间即可．（2）求出将函数()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位，横坐标缩短为原来的12倍后得到的函数()g x 的表达式，再利用正弦函数性质求出函数()42g x ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦在，的最值即可． 【详解】（1）因为()21sin 22x f x x =-+，所以()212sin 122x f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1cos sin 26x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,令sin 16x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得： ()262x k k z πππ+=+∈，即()23x k k z ππ=+∈，所以函数()f x 的单调递增区间为：()22,233k k k z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦．（2）函数()y f x =的图象向右平移2π个单位，横坐标缩短为原来的12倍后得到：sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()sin 23g x x π=-⎛⎫ ⎪⎝⎭，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦， 此时()sin 23g x x π=-⎛⎫⎪⎝⎭的最大值为()max sin12g x π==，最小值为()min 1sin62g x π==【点睛】（1）本题考查了()sin()f x A x B ωϕ=++(0)A >（或()cos()f x A x B ωϕ=++(0)A >）类型函数的单调区间问题，先利用条件确定好,,,A B ωϕ，再求出使()f x A =的0x 的值，从0x 往前半个周期即00(,)x x πω-是函数()f x 的一个增区间，从0x 往后半个周期即00(,)x x πω+是函数()f x 的一个减区间，即可求得函数()f x 的增区间为0022(,)()k k x x k Z πππωωω-++∈，函数()f x 的减区间为0022(,)()k k x x k Z πππωωω+++∈（2）考查了平移，伸缩变换知识，还考查了三角函数的性质，转化思想．属于中档题，计算要认真．18．（1）见解析； （2）1n n +. 【解析】 【分析】（1）利用赋值法列方程，作差，变形即可证明．（2）利用条件（1）求出122nn a +-=，从而求出n b n =，根据()1111111n n b b n n n n +==-⋅++形式，利用列项相消法求和．【详解】（1）因为225n n S a n =+-，所以112215n n S a n --=+--（）， 两方程作差得：()112252215n n n n S S a n a n --⎡⎤-=+--+--⎣⎦， 整理得：()1222n n a a n -=-≥， 从而()()12222n n a a n --=-≥， 所以数列{}2n a -是等比数列，公比为2．（2）令1n =，则225n n S a n =+-可化为：11225S a =+-，解得：13a =， 因为数列{}2n a -是等比数列，所以()11222n n a a --=-⋅，所以122nn a +-=，所以()21log 2n n b a +=-=n ，所以11n n b b +⋅=()11111n n n n =-++， 所以12233411111n n n T b b b b b b b b +=++++=111111111112233411n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=1n n + 【点睛】（1）主要考查了赋值法，n S 法及等比数列概念，注意计算不要错误．（2）考查了等比数列的通项公式及对数运算，裂项相消法求和法，注意常见的裂项方式．19．（1）13- ； （2 . 【解析】 【分析】（1）将()3cos cos 0b c A a C ++=化简可得：3sin cos sin cos sin cos 0B A C A A C ++=，再化简可得3sin cos sin 0B A B +=，从而求得cos A ．（2）求得ABC S ∆=根据BD=3DC ，求得,ABC ABD S S ∆∆的比例关系，从而求解．【详解】 （1）由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===可得： 2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===，代入()3cos cos 0b c A a C ++=可得：()32sin 2sin cos 2sin cos 0R B R C A R A C ⨯++=，整理得：3sin cos sin cos sin cos 0B A C A A C ++=，所以()3sin cos sin 0B A C A ++=，即3sin cos sin 0B A B +=，整理得：1cos 3A =-.（2）因为1cos 3A =-，所以sin 3A ==，所以1sin 23ABC S bc A ∆=== 因为BD=3DC ，所以34BD a =，所以133sin 2444ABD ABC S a c B S ∆∆=⨯⨯==． 【点睛】（1）主要考查了正弦定理及两角和的正弦公式，计算比较简单． （2）主要考查了同角三角函数基本关系，三角形面积公式及转化思想20．（1）见解析； （2【解析】 【分析】（1）先证明,BD OE BD OC ⊥⊥,再证明BD ⊥平面OEC ,从而证明BD EC ⊥ （2）把三棱锥E —BCD 拆分成两个三棱锥，求体积和即可． 【详解】（1）菱形ABCD 中可得：BD AC ⊥，以对角线BD 为折痕把△ABD 折起，使点A 到达如图2所示点E 的位置， 则BD OC ⊥，BD OE ⊥, 又,OE OC 交于点O ，所以BD ⊥平面OEC ， 又EC ⊂平面OEC ， 所以BD EC ⊥．（2）由（1）得BD ⊥平面OEC ，所以E BCD B OEC D OEC V V V ---=+, 菱形ABCD 中，AB=2，60A ∠=，求得：OA OC OE ===,1OB OD ==, 所以E BCD B OEC D OEC V V V ---=+=1111360133sin 60132322⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=． 【点睛】（1）主要考查了线面垂直的判定及线面垂直的性质，考查了转化思想．（2）主要考查了分割求和方法及体积计算，转化思想，属于基础题，计算一定要细心．21．（1）24x y = ； （2）2 .【解析】 【分析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y 及直线AB 的方程为：2py kx =+，联立直线AB 与抛物线C 的方程，利用韦达定理表示出12x x ⋅，12x x +，从而表示出12y y ，代入12123x x y y ⋅+=-即可求得p ，问题得解．（2）表示出直线,OA OB 的方程11y y x x =，22y y x x =，从而表示出,M N 点的坐标11,1x M y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，22,1x N y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，从而表示出OMN S ，消元即可得到OMNS的函数表达式OMN S ∆=． 【详解】（1）抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F 0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，()11,A x y ，()22,B x y设直线AB 的方程为：2p y kx =+， 联立直线AB 与抛物线C 的方程可得：222p y kx x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩，整理得：2220x pkx p --=，所以122x x pk +=，212x x p ⋅=-，()22121212122224p p p p y y kx kx k x x k x x ⎛⎫⎛⎫=++=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=24p ，因为3OA OB ⋅=-，且()11,OA x y =，()22,OB x y =所以12123x x y y ⋅+=-，即2234p p -+=-，解得：2p =．所以抛物线C 的方程为：24x y =． （2）直线OA 的方程为：11y y x x =，直线OB 的方程为：22y y x x =， 联立111y y x x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得：11x x y =- ，所以11,1x M y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 联立221y y x x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得：22x x y =-，所以22,1x N y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以2121122121x x x y x y MN y y y y -=-==2112121222p p x kx x kx x x y y ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-所以12112OMN S x x ∆=⨯⨯-=2≥， 当0k =时，等号成立． 所以OMNS的最小值为2.【点睛】（1）主要考查了设而不求方法，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理表示出12x x ⋅，12x x +，还考查了数量积的坐标运算，方程思想，转化思想，计算量较大，需要小心谨慎． （2）主要考查了转化思想，直线交点求法，利用（1）中的结论表示出三角形面积，把问题转化成函数的最值问题处理，计算量较大，属于较难题22．（1）0ex y -= ；（2）当102a <<或12a >，存在两个极值点；当0a ≤时，存在一个极值点；当12a =时，没有极值点.【解析】【分析】（1）求出()'f x 及()1f ，求得切线的斜率()'1f 即可求得切线方程．（2）求出()()'2x g x x e a =-，对2a 的情况分4类讨论，即20,021,21,21a a a a ≤<=四种情况分别求得()'g x 在各个区间的正负，由此判断()g x 单调性，从而可判断极值点的个数．【详解】（1）因为()221x f x e x x =-+-， 所以()'22xf x e x =-+，()1121f e e =-+-=， 所以()'122f e e =-+=，所以函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为：()1y e e x -=-，即0ex y -=．（2）()()3x g x xf x e x x =-++可化为：()2x x g e ax x e x =--， 所以()'2x x x g x e xe e ax =+--=()2x x e a -， 当0a ≤时，(),0x ∈-∞时，()'0g x <，()0,x ∈+∞时，()'0g x >，此时()y g x =存在一个极值点0x =； 当102a <<时，则ln20a <，(),ln 2x a ∈-∞时，()'0g x >，()ln 2,0x a ∈时，()'0g x <，()0,x ∈+∞时，()'0g x >，此时()y g x =存在两个极值点0x =，ln2x a =, 当12a =时，ln 20a = (),0x ∈-∞时，()'0g x >，()0,x ∈+∞时，()'0g x >，此时()y g x =没有极值点． 当12a >时，ln 20a >， (),0x ∈-∞时，()'0g x >，()0,ln 2x a ∈时，()'0g x <，()ln 2,x a ∈+∞时，()'0g x >，此时()y g x =存在两个极值点0x =及ln2x a =, 综上所述：当102a <<或12a >，存在两个极值点； 当0a ≤时，存在一个极值点； 当12a =时，没有极值点. 【点睛】（1）主要考查了导数的几何意义及求导运算，直线方程知识．（2）主要考查了导数的应用，极值点定义，还考查了分类讨论思想，利用导数的正负来判断原函数的增减性，从而判断极值点的个数，注意分类是以方程()'f x =0的根的个数情况及根的大小来讨论．。