高考数学函数专题、反函数
高考数学中的三角函数及其反函数的计算方法
高考数学中的三角函数及其反函数的计算方法在高考数学考试中，三角函数及其反函数是必考的内容之一。
它们涉及到广泛的应用，例如在三角学、物理学、以及工程学等领域中都有重要作用。
因此，对于每一位高考考生来说，掌握这些知识是非常必要的。
三角函数是定义在三角形上的函数，它们的值与角度的大小有关。
最常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
这些函数可以在数学表格中找到它们的值。
然而，有时候需要计算一些不在表格上的值。
这时候，我们需要使用三角函数的公式来计算。
例如，在计算正弦函数的值时，我们可以使用以下公式：$$ sin\theta =\frac{opposite}{hypotenuse} $$其中，$\theta$ 是角度，$opposite$ 是直角三角形中对于$\theta$的对边长度，$hypotenuse$ 是斜边长度。
同样的，我们可以使用以下公式来计算余弦函数和正切函数的值：$$ cos\theta= \frac{adjacent}{hypotenuse} $$$$ tan\theta= \frac{opposite}{adjacent} $$这些公式可以帮助我们计算三角函数的值。
而对于三角函数的反函数，我们需要使用以下公式来计算：$$ sin^{-1}(x)=\theta \hspace{10mm} where \hspace{5mm}sin\theta =x $$$$ cos^{-1}(x)=\theta \hspace{10mm} where \hspace{5mm}cos\theta =x $$$$ tan^{-1}(x)=\theta \hspace{10mm} where \hspace{5mm}tan\theta =x $$需要注意的是，反函数的值以弧度制表示。
因此，在进行计算时，我们需要先将角度转换为弧度制，然后再使用上述公式来计算。
除了使用公式，我们还可以使用图表法来计算三角函数的值。
2018高考复习数学第一轮 第21讲反函数(知识点、例题、讲解、练习、拓展、答案)
2018高考复习数学第一轮第21讲 反函数一、知识要点1、反函数的定义：一般地，对于函数()y f x =，设它的定义域为D ，值域为A ，如果对A 中任意一个值y ，在D 中总有唯一确定的x 值与它对应，使()y f x =，这样得到的x =()1fy -．在习惯上，自变量用x 表示，而函数用y 表示，所以把它改写为()1y f x -=()x A ∈2、求反函数的一般方法：（1）由()y f x =解出1()x f y -=；（2）将1()x f y -=中的,x y 互换位置，得1()y f x -=； （3）求()y f x =的值域得1()y f x -=的定义域3、图象：互为反函数的两个函数具有相同的单调性，它们的图象关于y x =对称4、反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数；二、 例题精讲例1、 求下列函数的反函数（1）()()12log 111y x x =-+<；（2）)110y x =-≤≤答案：（1）()1112x y x R -⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭；（2）)01y x =≤≤例2、已知函数()21x f x x a +=+()x a ≠-且12a ≠，求反函数()1f x -，并当()f x 与()1f x -的图像重合时求a ．答案：2a =-例3、已知函数()2xf x a =+的反函数是()1y fx -=，设()1,P x a y +、()2,Q x y 、()32,R a y +是()1y f x -=图像上不同的三点．（1） 如果存在正实数x ，使得123,,y y y 依次成等差数列，试用x 表示实数a ； （2） 在（1）的条件下，如果实数x 是唯一的，试求实数a 的范围．答案：（1）)02a x x x =>≠且；（2）0a >或12a =-．例4、已知函数())0f x a =<，其反函数为()1f x -．（1）若点)1P-在反函数()1f x -的图像上，求a 的值；（2）求证：函数()f x 的图像与y x =的图像有且仅有一个公共点．答案：（1）1a =-；（2）提示：y y x⎧=⎪⎨=⎪⎩有且只有一解落在20,a ⎛⎤- ⎥⎝⎦内即可．例5、已知函数(()log 1a y x a =+>的反函数()1f x -．（1） 若()()111fx f --<，求x 的取值范围；（2） 判断()12f-与()121f -、()13f -与()131f -的大小关系，并加以证明；（3） 请你根据（2）归纳出一个更一般的结论，并给予证明． 答案：（1）1x <；（2）()12f ->()121f -，()13f ->()131f -；（3）()()()111,2f n nf n N n -->∈≥例6、已知函数()1y fx -=是()y f x =的反函数，定义：若对给定的实数()0a a ≠，函数()y f x a =+与()1y f x a -=+互为反函数，则称()y f x =满足“a 和性质”；若函数()y f ax =与()1y fax -=互为反函数，则称()y f x =满足“a 积性质”． （1） 判断函数()()210g x x x =+>是否满足“1和性质”，并说明理由；（2） 求所有满足“2和性质”的一次函数；（3） 设函数()()0y f x x =>对任何0a >，满足“a 积性质”，求()y f x =的表达式．答案：（1）不满足；（2）()y x b b R =-+∈；（3）()()0kf x k x=≠三、课堂练习1、函数()()2log 14f x x x =+≥的反函数()1f x -的定义域是 ．答案：[)3,+∞2、已知()f x 是定义在[]4,0-上的减函数，其图像端点为()4,1A -，()0,1B -，记()f x 的反函数是()1f x -，则()11f -的值是 ，()f x 的值域是 ． 答案：4-，[]1,1-3、若lg lg 0a b +=（其中1,1a b ≠≠），则函数()xf x a =与()xg x b =的图像关于对称． 答案：y 轴4、设函数()y f x =的反函数为()1y fx -=，且()21y f x =-的图像经过点1,12⎛⎫⎪⎝⎭，则()y f x =的反函数的图像必过点（ ） A 、1,12⎛⎫⎪⎝⎭B 、11,2⎛⎫⎪⎝⎭C 、()1,0D 、()0,1答案：C5、已知函数()f x 存在反函数()1f x -，若1y f x ⎛⎫=⎪⎝⎭过点()2,3，则函数11f x -⎛⎫ ⎪⎝⎭恒过点（ ） A 、()3,2B 、11,23⎛⎫⎪⎝⎭C 、11,32⎛⎫⎪⎝⎭D 、1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭答案：C四、 课后作业 一、填空题1、函数()()1312f x x =-+的反函数()1f x -= ．答案：()()321x x R -+∈2、若直线1y ax =+与直线2y x b =-+关于直线y =x 对称，则a = ，b = ．答案：12-，23、已知函数()34log 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则方程()14f x -=的解为x = ． 答案：14、已知函数()()y f x x D =∈的值域为A ，其反函数()1y fx -=，则方程()0f x =有解x a =，且()()f x x x D >∈的充要条件是 ． 答案;()10fa -=且()()1f x x x A -<∈5、设()()12,01,0xa x f x f x x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，若()f x x =有且只有两个实数根，则实数a 的取值范围是 ． 答案：[)2,46、若函数()xf x a k =+的图像经过点()1,7，又函数()14fx -+的图像经过点()0,0，则()f x 的解析式为 ． 答案：()43xf x =+二、选择题7、函数()223f x x ax =--在区间[]1,2上存在反函数的充要条件是（ ）A 、(],1a ∈-∞B 、[)2,a ∈+∞C 、[]1,2a ∈D 、(][),12,a ∈-∞+∞答案：D8、函数()()1ln1,1x y x x +=∈+∞-的反函数为（ ） A 、()1,0,1x xe y x e -=∈+∞+B 、()1,0,1x xe y x e +=∈+∞- C 、()1,0,1x xe y x e -=∈+∞+D 、()1,0,1x xe y x e +=∈+∞- 答案：B9、设函数()()()log 0,1a f x x b a a =+>≠的图像过点()2,1，其反函数的图像过点()2,8，则a b +等于（ ）A 、6B 、5C 、4D 、3答案：C三、解答题10、已知函数()lg 101xy =-．（1）求()y f x =的反函数()1y f x -=；（2）若方程()()12fx f x λ-=+总有实根，求实数λ的取值范围．答案：（1）()()()1lg 101xf x x R -=+∈；（2）()lg 2λ≥11、给定实数a （0a ≠且1a ≠），设函数11x y ax -=-（x R ∈且1x a≠），求证： （1）经过这个函数图像上任意两个不同的点的直线不平行于x 轴；（2）这个函数图像关于直线y x =成轴对称图形；（3）你能否再给出一些函数，其图像关于直线y x =成轴对称图形？ 答案：（1）提示：证明斜率不为0即可；（2）提示：证明其反函数为其自身；（3）())2,,0,0,01ax by x y x b y bc a c y x cx a+==-+=+≠≠=≤≤-等．12、为研究“原函数图像与其反函数图像的交点是否在直线y x =上”这个课题，我们可以分三步进行研究：（1）首先选取如下函数：21y x =+，21xy x =+，y = 求出以上函数图像与其反函数图像的交点坐标：21y x =+与其反函数12x y -=的交点坐标为()1,1--， 21x y x =+与其反函数2x y x=-的交点坐标为()()0,0,1,1,y =()210y x x =-≤的交点坐标为⎝⎭，()1,0-，()0,1-；（2）观察分析上述结果得到研究结论；（3）对得到的结论进行证明． 现在请你完成（2）和（3） 答案：（2）原函数图像与其反函数图像的交点不一定在直线y x =上； （3）提示：反证法．。
高三数学反函数试题答案及解析
高三数学反函数试题答案及解析1.函数的反函数为_______.【答案】【解析】由题意得，，所以反函数为.【考点】反函数.2.函数是奇函数，且当时，，则= 。
【答案】-2【解析】∵时,,∴时,＜0∵=-＜0由反函数的性质得-=x=-2∴=-23.已知函数存在反函数，若函数的图像经过点，则的值是___________．【答案】2【解析】本题关键是出函数的反函数，由得，，即函数的反函数为，那么这个反函数图象一定过点，所以，．【考点】反函数的性质与求反函数．4.函数与的图像关于直线对称，则 .【答案】4【解析】由已知可知g（x）与f(x)是互为反函数，设g（3）=b，则1+logb=3，解得b=4，所以2g（3）=4.【考点】反函数的图象及其性质.5.函数的反函数________________．【答案】【解析】由函数≥2，可得x=2y-1（y≥2），所以所求的反函数为.【考点】反函数的求法.6.函数与的图像关于直线对称，则 .【答案】4【解析】因为函数与的图像关于直线对称，所以，与互为反函数。
就是为3时的x值，即由=3得，，x=4，故 4.【考点】本题主要考查反函数的概念，互为反函数的图象关系。
点评：简单题，函数f(x)的图象过（a，b），则其反函数的图象过（b，a）。
7.设函数的反函数是，且过点，则经过点．【答案】【解析】因为函数的反函数是，且过点，而的图象就是的图象沿x轴向右平移1单位的结果，所以反函数是的图象过（0,2），的图象过（2,0），故经过点（3,0）.【考点】本题主要考查互为反函数的函数图象之间的关系，图象的平移。
点评：基础题，点（a,b）在函数的图象上，则点（b，a）在反函数的图象上。
8.已知函数，则________．【答案】-2．【解析】即x的值，解得：x=－2.【考点】本题主要考查互为反函数的函数关系。
点评：简单题，注意互为反函数的函数定义域，值域互换。
9.已知函数，则的反函数是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：因为，故f(x)的反函数即为再结合原函数的值域得到反函数的定义域，选A10.函数的反函数是，若，则( )A．B．C．D．．【答案】D【解析】根据原函数与反函数定义域与值域的关系可知.11.函数的反函数的大致图象为【答案】C【解析】首先先找出的反函数。
高考数学二级结论快速解题：专题04 指数函数与对数函数互为反函数(解析版)
专题04指数函数与对数函数互为反函数一、结论若函数()y f x 是定义在非空数集D 上的单调函数，则存在反函数1()y f x .特别地，x y a 与log a y x （0a 且1a ）互为反函数.在同一直角坐标系内，两函数互为反函数图象关于y x 对称，即00(,())x f x 与00((),)f x x 分别在函数()y f x 与反函数1()y f x 的图象上.若方程()x f x k 的根为1x ，方程1()x fx k 的根为2x ，那么12x x k .二、典型例题1.若实数a 满足20x e x ,实数b 满足ln 20x x ,则a b解析：同底数的指数函数和对数函数互为反函数，图像关于y x 对称，可知x a 是函数x y e 和2y x 交点的横坐标，同理x b 是函数ln y x 与2y x 交点的横坐标，且2y x 与y x 垂直，作出图像如下12y x x y x ，所以x a ，x b 关于1x 对称，所以2a b 【反思】对于利用反函数解题问题，首先要判断题目中两个函数互为反函数，然后再重复利用结论：若方程()x f x k 的根为1x ，方程1()x f x k 的根为2x ，那么12x x k .可快速解题.2.设点P 为曲线1C 上的动点，Q 为曲线2C 上的动点，则称||PQ 的最小值为曲线1C ，2C 之间的距离，记为：12(,)d C C .若1:20xC e y ，2:ln ln 2C x y ，则12(,)d C C 12(,)d C C 解析：2xe y 和ln 2y x 互为反函数，关于y x 对称，设与y x 平行的直线1l ，2l 分别与2x e y ，ln 2y x 相切于点M ,N ,则12(,)||d C C MN ,由2x e y 得1ln 22x e y x ，即(ln 2,1)M ，由ln 2y x 得111y x x，即(1,ln 2)N ，所以12(,)||ln 2)d C C MN【反思】反函数问题的重点就是图象关于y x 对称，这也是解题的关键，在利用反函数解题时，注意配图，在图象中寻找解题突破口，数形结合.三、针对训练举一反三1.已知1x 是方程24xx 的根，2x 是方程2log 4x x 的根，则12x x解析：∵24x x ， 24x x ， 1x 是2x y 与4y x 交点的横坐标，又∵2log 4x x ， 2log 4x x ， 2x 是2log y x 与4y x 交点的横坐标.又2x y 与2log y x 互为反函数，其图象关于y x 对称，由24y x x y x , 1212242x x x x 2.已知1x 是方程lg 3x x 的一个根，2x 方程103x x 的一个根，则12x x解析：将已知的两个方程变形得lg 3x x ，103x x .令：()lg f x x ，()10x g x ，()3h x x ，画出它们的图象，如图：记函数()lg f x x 与()3h x x 的交点为11(,)A x y ，()10x g x 与()3h x x 的图象的交点为22(,)B x y ，由于()lg f x x 与()10x g x 互为反函数，所以11(,)A x y 与22(,)B x y 两点关于直线y x 对称，由3()32y x x h x x 12123322x x x x 3.已知函数()f x kx ，1[,]x e e ，21()()x g x e，若()f x ，()g x 图象上分别存在点,M N 关于直线y x 对称，则实数k 的取值范围为（）A.1[,]e e B.2[,2]e e C.3[,3]e e D.2(,2)e e答案:B解析：21()()x g x e的反函数为2ln y x ，设(,)M m km ，1[,]m e e ，则点(,)M m km 在2ln y x 上，即：2ln km m ，2ln m k m ，令2ln ()x m x x ，1[,]x e e，解得2()2m x e e ，即：22k e e .4.若1x 是方程3x xe e 的解，2x 是方程3ln x x e 的解，则12x x （）A.eB.2eC.3eD.4e 答案:C 解析由题意知1x 是方程3xe e x 的解，2x 是方程3ln e x x 的解，即1x 是函数x y e 与函数3e y x 交点的横坐标，2x 是ln y x 与函数3e y x交点的横坐标，因为函数x y e 与函数ln y x 互为反函数，图象关于y x 对称，所以1x 等于函数ln y x 与函数3e y x交点的纵坐标即：312e x x ，所以331222e x x x e x .5.已知实数,a b 满足710a a ，4lg lg 103b b ，则ab.答案410ab 解析：因为710lg 7a a a a ，所以a 是方程lg 7x x 的根；又因为4lg 4lg lg 103107(4lg )b b b b ，所以4lg b 是方程107x x 的根；又因为lg y x 与10x y 互为反函数，其图象关于y x 对称，且直线y x 与7y x 的交点的横坐标为72，所以(4lg )7(4lg )722a b a b ，又因为lg 7a a ，所以：4(7lg )(4lg )7lg()410a b ab ab .6.已知实数,p q 满足25p p，2log 1q ，则2p q （）A.1B.2C.3D.4答案:C由25p p ，则25p p ，由2log 1q ，则21log (1)12q q ，即：2log (1)22q q ，则2[log (1)1]23q q ，2log (22)(22)5q q ，所以2log (22)5(22)q q ，令2x y ，2log y x ，5y x 则方程25p p 的解即为函数2x y 与5y x的交点的横坐标，方程2log 1q ，即关于(22)q 的方程2log (22)5(22)q q 的解，就是2log y x 与5y x 的交点的横坐标，因为：2x y 与2log y x 互为反函数，它们的图象关于y x 对称，所以函数y x 与5y x 的交点M 为2x y 与5y x 交点和2log y x 与5y x交点的中点，如图：联立：55252x y x y x y 即55(,)22M ，所以(22)523p q p q。
高考反函数问题常见类型解析
高考反函数问题常见类型解析反函数是高中数学中的重要概念之一，也是学生学习的难点之一。
在历年高考中占有一定的比例。
为了更好地掌握反函数相关的内容，本文重点分析关于反函数的几种题型及其解法。
一. 条件存在型例1.函数f x x ax ()=--223在区间[]12，上存在反函数的充要条件是（ ）A. (]a ∈-∞，1B. [)a ∈+∞2，C. (][)a ∈-∞+∞，，12D. []a ∈12，解析：因为二次函数f x x ax ()=--223不是定义域内的单调函数，但在其定义域的子区间(]-∞，a 或[)a ，+∞上是单调函数。
而已知函数f x ()在区间［1，2］上存在反函数，所以[](]12，，⊆-∞a 或者[][)12，，⊆+∞a ，即a ≤1或a ≥2。
故选（C ）点评：函数y f x =()在某一区间上存在反函数的充要条件是该函数在这一区间上是一一映射。
特别地：如果二次函数y f x =()在定义域内的单调函数，那么函数f （x ）必存在反函数；如果函数f （x ）不是定义域内的单调函数，但在其定义域的某个子区间上是单调函数，那么函数f （x ）在这个子区间上必存在反函数。
二. 式子求解型 例2.函数y x x =-≤2310()的反函数是（ ）A. y x x =+≥-()()113B. y x x =-+≥-()()113C. y x x =+≥()()103 D. y x x =-+≥()()103解析：由x ≤0可得x 230≥，故y ≥-1，从y x =-231解得x y =±+()13因x ≤0，所以x y =-+()13即其反函数是y x x =-+≥-()()113故选（B ）。
点评：反函数的定义域即为原函数的值域，所以求反函数时应先求出原函数的值域，不应该直接求反函数的定义域。
三.求定义域值域型 例3.若fx -1()为函数f x x ()lg()=+1的反函数，则f －1（x ）的值域为_________。
高中数学函数与反函数图像解析
高中数学函数与反函数图像解析函数与反函数是高中数学中的重要概念，对于学生来说，理解函数与反函数的关系以及它们的图像特点是非常关键的。
本文将通过具体的例题，分析函数与反函数的图像特点，并给出解题技巧和使用指导。
一、函数与反函数的定义与关系在数学中，函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素。
函数可以用一个公式、一段描述或者一个图像来表示。
反函数则是函数的逆运算，即将函数的输出作为输入，将函数的输入作为输出。
对于函数f(x)，如果存在一个函数g(x)，使得f(g(x))=x，且g(f(x))=x，那么g(x)就是f(x)的反函数。
函数与反函数之间存在一种互逆的关系，它们的图像关于直线y=x对称。
二、函数与反函数的图像特点1. 函数的图像特点函数的图像是一条曲线，它可以是直线、抛物线、指数曲线等。
对于不同的函数，它们的图像特点也不同。
例如，考虑函数f(x)=x^2，它的图像是一个开口向上的抛物线。
根据函数的定义域和值域，我们可以确定这个抛物线的形状和位置。
对于这个函数，它的定义域是全体实数集，值域是大于等于0的实数集。
因此，这个抛物线在y轴右侧的部分是上升的，而在y轴左侧的部分是下降的。
2. 反函数的图像特点反函数的图像与原函数的图像关于直线y=x对称。
这意味着，如果我们将原函数的图像沿着直线y=x折叠，那么就可以得到反函数的图像。
以前面提到的函数f(x)=x^2为例，它的反函数是g(x)=√x。
我们可以通过绘制函数f(x)和反函数g(x)的图像来观察它们的关系。
首先，我们绘制函数f(x)的图像，得到一个开口向上的抛物线。
然后，我们将这个图像沿着直线y=x折叠，得到反函数g(x)的图像，也就是一条开口向右上方的抛物线。
三、函数与反函数的考点与解题技巧1. 考点：函数的定义域和值域在解题过程中，我们常常需要确定函数的定义域和值域。
定义域是指函数的输入值的集合，值域是指函数的输出值的集合。
反函数知识点总结大全
反函数知识点总结大全一、基本概念1. 反函数的定义：设函数f是定义在集合A上的函数，如果对于A中的每一个x都有唯一的一个y使得f(x) = y，那么就存在一个函数g，使得g(y) = x。
则称g为函数f的反函数，记作g = f^(-1)。
反函数是满足f(g(x))=x和g(f(x))=x的一对函数。
2. 反函数存在的条件：一个函数有反函数的充分必要条件是该函数是一一映射的。
即对于函数f，如果对于不同的x1和x2，有f(x1)≠f(x2)，则称f是一一映射。
3. 反函数的表示：在一定条件下，函数的反函数可以表示为y=f^(-1)(x)，转换为x=f(y)。
可以通过求解来得到。
4. 反函数的组合：当两个函数互为反函数时，它们的反函数构成一对互为互逆的函数，进行组合后恰好得到自变量x，即(f^(-1)◦f)(x) = x。
二、性质1. 函数和反函数的图像关系：函数和它的反函数的图像分别关于y=x对称。
这意味着反函数的图像是原函数图像沿着y=x轴做对称得到的。
2. 反函数的导数关系：如果函数f在点x处可导且f'(x)≠0，则它的反函数g也在点y=f(x)处可导，且g'(y) = 1 / f'(x)。
3. 反函数的定义域和值域：一个函数的定义域和值域可以通过反函数来确定。
函数f的定义域是它的值域的反函数的定义域，函数f的值域是它的定义域的反函数的值域。
4. 函数和反函数的性质：反函数的奇偶性、周期性和单调性与原函数相似。
如果原函数是奇函数，那么反函数也是奇函数。
如果原函数是周期性函数，那么反函数也是周期性函数。
如果原函数是单调函数，那么反函数也是单调函数。
三、图像1. 原函数和反函数的图像：原函数和反函数的图像关于y=x轴对称。
通过这种方法，可以很方便得到反函数的图像。
2. 举例：y = f(x)，求f^(-1)(x)图像。
可以先画出原函数的图像，然后再对该图像进行关于y=x的对称处理。
【关系】高考数学第一总复习010反函数
【关键字】关系g3.1010反函数一、知识回顾：1、反函数的定义设函数的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x=(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x=(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=(y) (yC)叫做函数的反函数，记作,习惯上改写成2、函数y=f（x）有反函数的条件是__________________________.3、求反函数的步骤：①. ②. ③.4、互为反函数间的关系：①从函数角度看：②从函数图象看：单调性的关系：2、基本训练：1、给出下列几个函数：①；②③④⑤其中不存在反函数的函数序号是变题：函数在区间[1, 2]上存在反函数的充要条件是（）A、B、C、D、2、函数的反函数是（）A．B．C．D．3．（05江苏卷）函数的反函数的解析表达式为( )（A）（B）（C）（D）4. （05全国卷Ⅰ）反函数是（）（A）（B）（C）（D）5. （05天津卷）设是函数的反函数，则使成立的x的取值范围为（）A．B．C．D．6. （05湖南卷）设函数f(x)的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数f－1(x)，f (4)＝0，则f－1(4)＝.7、已知函数的图象过点（１，７），又其反函数的图象经过点（４，０），则的表达式为_____________.三、例题分析：１、①若函数是函数的反函数，则的图象为（）A B C D②已知函数的图象过点（0，1），则函数的反函数的图象必过定点（）A 、（1，－4）B 、（1，4）C 、（1，0）D 、（4，1）③ 若函数f （x ）的图象与的图象关于直线y=x 对称，则函数的单调减区间是 （ ）A 、（1，+∞）B 、（-∞，1]C 、（0，1]D 、[1，2）２、①函数的反函数是②、已知，则___ .③、已知函数的反函数是,且 ,则函数的值域为______________.3、已知函数，若函数y=g （x ）与的图象关于直线对称，求g （3）的值．４、给定实数a ，a≠0且a≠1，设函数，证明这个函数的图象关于直线y=x 对称。
高考数学知识考点精析3 函数的单调性、周期性、奇偶性、反函数
高考数学知识考点精析3 函数的单调性、周期性、奇偶性、反函数一、函数的单调性：1、定义：对于给定区间D 上的函数f(x)，若对于任意x 1,x 2∈D,当x 1<x 2时，都有f(x 1) <f(x 2)，则称f(x)是区间上的增函数，当x 1<x 2时，都有f(x 1)> f(x 2)，则称f(x)是区间上的减函数。
如果函数y= f(x)在区间上是增函数或减函数，就说函数y= f(x)在区间D 上具有（严格的）单调性，区间D 称为函数f(x)的单调区间。
()()()()121200f x f x x x -><→-增减 任意x 1,x 2∈D 2、函数单调性的证明方法：通常根据定义，其步骤是：1）任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2 2）作差f(x 1)－ f(x 2)或作商()()()()0112≠x f x f x f ，并变形，（4）判定f(x 1)－ f(x 2)的符号，或比较()()12x f x f 与1的大小， 4）根据定义作出结论。
有时也根据导数。
()()()()//,0D 0D x D f x f x f x f x ∈>⇒<⇒在上递增，在上递减。
（注：逆命题不成立）3、常见函数的单调性：（1） 一次函数y=kx+b （k ≠0） 1）当k>0时，f(x)在R 上是增函数。
2）当k<0时，f(x)在R 上是减函数。
（2） 二次函数y=ax 2+bx+c 1）当a>o 时，函数f(x)的图象开口向上，在（－∞，－a b 2）上是减函数，在[－ab 2，＋∞）上是增函数，2) 当a<0时，函数f(x)的图象开口向下，在（－∞，－a b 2）上是增函数，在[－ab 2，＋∞）是减函数。
（3） 反比例函数y=()0≠k xk 1) 当k>0时，f(x)在（－∞，0）与（0，＋∞）上都是减函数，2) 当k<0时，f(x)在（－∞,0）与（0，＋∞）上都是增函数但要注意在（－∞，0）∪（0，＋∞）上f(x)没有单调性。
高考反函数问题常见类型解析
高考反函数问题常见类型解析反函数是高中数学中的重要概念之一，也是学生学习的难点之一。
在历年高考中占有一定的比例。
为了更好地掌握反函数相关的内容，本文重点分析关于反函数的几种题型及其解法。
一. 条件存在型例1.函数f x x ax ()=--223在区间[]12，上存在反函数的充要条件是（ ）A. (]a ∈-∞，1B. [)a ∈+∞2，C. (][)a ∈-∞+∞，，12D. []a ∈12，解析：因为二次函数f x x ax ()=--223不是定义域内的单调函数，但在其定义域的子区间(]-∞，a 或[)a ，+∞上是单调函数。
而已知函数f x ()在区间［1，2］上存在反函数，所以[](]12，，⊆-∞a 或者[][)12，，⊆+∞a ，即a ≤1或a ≥2。
故选（C ）点评：函数y f x =()在某一区间上存在反函数的充要条件是该函数在这一区间上是一一映射。
特别地：如果二次函数y f x =()在定义域内的单调函数，那么函数f （x ）必存在反函数；如果函数f （x ）不是定义域内的单调函数，但在其定义域的某个子区间上是单调函数，那么函数f （x ）在这个子区间上必存在反函数。
二. 式子求解型 例2.函数y x x =-≤2310()的反函数是（ ）A. y x x =+≥-()()113B. y x x =-+≥-()()113C. y x x =+≥()()103 D. y x x =-+≥()()103解析：由x ≤0可得x 230≥，故y ≥-1，从y x =-231解得x y =±+()13因x ≤0，所以x y =-+()13即其反函数是y x x =-+≥-()()113故选（B ）。
点评：反函数的定义域即为原函数的值域，所以求反函数时应先求出原函数的值域，不应该直接求反函数的定义域。
三.求定义域值域型 例3.若fx -1()为函数f x x ()lg()=+1的反函数，则f －1（x ）的值域为_________。
(完整版)高中数学专题反函数
所谓反函数就是将原函数中自变量与变量调换位置，用原函数的变量表示自变量而形成的函数。
通俗点即原函数：y=3x-1 反函数：。
由此可以得出解决反函数的第一种方法：反表示法。
就是将原函数反表示后，再写成函数形式。
例如：y=3x-1求此反函数。
可以这样做：原函数y=3x-1但是这种反表示法限于一定范围之类，就是只能反表示一示简单的函数，对于比较复杂的如二次函数，就不行了，因此还有另外方法：配方法。
但是为什么此题有两解。
这是引发了定义域的问题。
从定义上我们发现反函数中自变量x即为原函数变量y。
所以，原函数定义域为反函数值域。
所以上题中“”这一答案需要舍去因为它不符合原函数定义域，值域。
因此在今后解题中需要注意，原函数的定义域。
还有一种解决反函数问题的方法：求解法。
就是把函数方程x当未知数来解。
例如“”求反函数原方程:原方程解：所以解决反函数问题时需要三者兼用，方可收到显著效果。
在往常练习中同学们还会遇到某些问题，如“已知”遇此类问题时，不妨这样解。
填空或大题中还有此类题“已知，求实数a。
”有些同学初拿此题不知从何处下手。
其实只需写出，一切都可解开。
解：反函数与原函数最大连联还不在于解析式，而在于图象关于y=x对称。
所以有些题可利用图象即数形结合求解。
如“奇函数y=f(x)(x∈R)有反函数y=f-1(x)，则必有在y=f-1(x)的图象上点是：A. (-f(a),a)B. (-f(a),-a)C. (-a,-f-1(a))D. (-a,-f-1(a))此题被老师打上星号，因为它将众知识联合起来。
解：f(x)为奇函数∴f(-a)=-f(a)f(x)必有（a,f(a)),也必有（-a,-f(a))f(x)与-f(x)关于y=x 对称，∴f-1(x)上必有（-f(a),-a).“设函数的反函数为φ（x),又函数φ（x)与φ（x+1)图象关于直线y=x对称，求g （2）。
”此题关键在于反函数φ（x)。
多次反函数，可求解。
高考数学反函数专项练习
反函数专项练习(一)选择题1．函数y＝－x2(x≤0)的反函数是[ ]2．函数y＝－x(2＋x)(x≥0)的反函数的定义域是 [ ]A．[0，＋∞) B．[－∞，1]C．(0，1] D．(－∞，0][ ] A．y＝2－(x－1)2(x≥2)B．y＝2＋(x－1)2(x≥2)C．y＝2－(x－1)2(x≥1)D．y＝2＋(x－1)2(x≥1)4．下列各组函数中互为反函数的是[ ]5．如果y＝f(x)的反函数是y＝f-1(x)，则下列命题中一定正确的是[ ] A．若y＝f(x)在[1，2]上是增函数，则y＝f-1(x)在[1，2]上也是增函数B．若y＝f(x)是奇函数，则y＝f-1(x)也是奇函数C．若y＝f(x)是偶函数，则y＝f-1(x)也是偶函数D．若f(x)的图像与y轴有交点，则f-1(x)的图像与y轴也有交点6．如果两个函数的图像关于直线y＝x对称，而其中一个函数是[ ] A．y＝x2＋1(x≤0)B．y＝x2＋1(x≥1)C．y＝x2－1(x≤0)D．y＝x2－1(x≥1)7．设点(a，b)在函数y＝f(x)的图像上，那么y＝f-1(x)的图像上一定有点[ ] A．(a，f-1(a)) B．(f-1(b)，b)C．(f-1(a)，a) D．(b，f-1(b))8．设函数y＝f(x)的反函数是y＝g(x)，则函数y＝f(－x)的反函数是[ ] A．y＝g(－x) B．y＝－g(x)C．y＝－g(－x) D．y＝－g-1(x)9．若f(x－1)＝x2－2x＋3(x≤1)，则函数f-1(x)的草图是[ ][ ] A．g(2)＞g(－1)＞g(－3)B．g(2)＞g(－3)＞g(－1)C．g(－1)＞g(－3)＞g(2)D．g(－3)＞g(－1)＞g(2)(二)填空题解f(x)＝________．3．如果一次函数y＝ax＋3与y＝4x－b的图像关于直线y＝x对称，那a＝________，b＝________．义域是________．5．已知函数y＝f(x)存在反函数，a是它的定义域内的任意一个值，则f-1(f(a))＝________．(三)解答题(1)求函数y＝f(x)的反函数y＝f-1(x)的值域；(2)若点P(1，2)是y＝f-1(x)的图像上一点，求函数y＝f(x)的值域．关于y＝x对称，求g(2)的值．5. 求下列函数的反函数：6. 求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像．。
《高中数学《反函数》课件
奇函数的图像关于原点对称， 偶函数的图像关于y轴对称。
奇偶性的变化规律可以通过观 察图像来理解。
04 反函数在解题中的应用
利用反函数解决方程问题
总结词
通过反函数，可以将复杂的方程问题转化为求函数的值域或定义域问题，简化解 题过程。
详细描述
在解决方程问题时，我们可以利用反函数的概念，将原方程转化为求反函数的值 域或定义域的问题。通过确定反函数的值域或定义域，可以找到原方程的解。这 种方法在处理一些复杂的方程问题时非常有效。
总结词
理解反函数的实际应用 和复杂函数的反函数求
法
题目1
已知函数$f(x) = sqrt{x}$，求$f^{-
1}(x)$。
题目2
已知函数$f(x) = log_2(x)$，求$f^{-
1}(x)$。
题目3
已知函数$f(x) = x^4 3x^2 + 2$，求$f^{-
1}(x)$。
综合练习题
总结词
利用反函数解决不等式问题
总结词
反函数可以帮助我们将不等式问题转化为求解函数的值域或定义域问题，从而简化解题过程。
详细描述
在解决不等式问题时，我们可以利用反函数的概念，将原不等式转化为求反函数的值域或定义域的问题。通过确 定反函数的值域或定义域，可以找到满足不等式的解。这种方法在处理一些复杂的不等式问题时非常实用。
综合运用反函数的知识解决复杂问题
题目2
已知函数$f(x) = x^2 - 2x$和$g(x) = frac{1}{x}$，求$(f circ g)^{-1}(x)$。
题目1
已知函数$f(x) = sqrt{x}$和$g(x) = log_2(x)$，求$(f circ g)^{-1}(x)$。
高中数学《反函数》课件
（1） y x 1 （x≥0）
（2）
y
2x 3 x 1
（x≠1）
教师示范，学生归纳解题步骤：
1、互解；2、互换；3、确定定义域。
设计意图：
应用是加深理解概念最有效的途径，两道题均来自课
本，紧扣教材应当成为教与学的立足点，规范解题过程，深化
解题方法，培养基本技能，讲完例题之后，提出两个小问题，
意在加深对所学内容的理解，培养学生分析、思考问题的习惯。
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教学方法和手段
针对本节课概念抽象的特点，整节课将以启 发学生思考、分析、讨论为主。采用“从特殊到 一般”、“从具体到抽象”的方法，体现“对比 和联系”的思想方法，力求做到以创造发展为目 的，以师生共同参与为核心，以反馈调控为手段， 以推理判断为特征。
采用多媒体教学手段，增大教学容量和感观 性。
的区别和联系。
1、以旧引新，揭示课题
乘2
1
2
2
4
3
6
4
8
平方
-1
1
1
-2
2
4
-3
3
9
A
B
A
B
对比举例：函数（1）y=2x x∈R 属于异元异像
函数（2）y=x 2 x∈R 属于异元同像
y 都是 x 的函数
提出问题：若将 y 作为自变量，x 是否是 y 的函数呢？
由函数（1）解得
x y 2
，x 是 y 的函数
讨论归纳、导入定义
由前面的特例可以看到：给定函数 y=f(x)定义域为A，值域为C，从式子y=f(x)解 出得到x=φ(y)，如果对于y在C中的任何一个值， x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式 子x=φ(y)就表示x是变量y的函数，把x=φ(y)叫 函数y=f(x)的反函数，
高三数学第一轮复习高考试题大盘点——反函数-人教版[原创]
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高三数学第一轮复习高考试题大盘点——反函数的反函数是函数2e y .1x x e --= C A.是奇函数,它在(0,+∞)上是减函数.B.是偶函数,它在(0,+∞)上是减函数.C.是奇函数,它在(0,+∞)上是增函数.D.是偶函数,它在(0,+∞)上是增函数.2.(99年全国理农医)若函数()x f y =的反函数是()()0,,≠==ab b a f x g y ，则()b g 等于 AA.aB.1-aC.bD.1-b3.函数ｙ＝２－ｘ＋１（ｘ＞０）的反函数是 AA ．ｙ＝ｌｏｇ２11-x ，ｘ∈（１，２） Ｂ．ｙ＝－ｌｏｇ２11-x ，ｘ∈（１，２） Ｃ．ｙ＝ｌｏｇ２11-x ，ｘ∈（１，２） Ｄ．ｙ＝－ｌｏｇ２11-x ，ｘ∈（１，２] 4,（01年春招理农医）函数)1(1≤--=x x y 的反函数是CA.)01(12≤≤--=x x yB.)10(12≤≤-=x x yC.)0(12≤-=x x yD.)10(12≤≤-=x x y5.(04年全国理)函数)(2R x e y x ∈=的反函数为（ C ）A ．)0(ln 2>=x x yB ．)0)(2ln(>=x x yC ．)0(ln 21>=x x yD ．)0(2ln 21>=x x y 6.（04年北京理）函数f x x ax ()=--223在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是（ D ）A.a ∈-∞(,]1B.a ∈+∞[,)2C.a ∈[,]12D.a ∈-∞⋃+∞(,][,)127.( 04年湖南理）设)(1x f -是函数)1(log )(2+=x x f 的反函数，若8)](1)][(1[11=++--b f a f ，则)(b a f +的值为（ B ）A ．1B ．2C ．3D ．3log 28.(04年湖南文史)设)(1x f -是函数f(x)=x 的反函数，则下列不等式中恒成立的是（ C ）A.12)(1-≤-x x fB.12)(1+≤-x x fC.12)(1-≥-x x fD.12)(1+≥-x x f9．(04年天津文史)函数13+=x y )01(<≤-x 的反函数是（ D ）A.)0(log 13>+=x x yB.)0(log 13>+-=x x yC.)31(log 13<≤+=x x yD.)31(log 13<≤+-=x x y 10（ 04年江苏）设k>1，f(x)=k(x-1)(x ∈R ) . 在平面直角坐标系xOy 中，函数y=f(x)的图象与x 轴交于A 点，它的反函数y=f -1(x)的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P 点. 已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于（ B ）A.3 B ．32 C ．43 D ．6511.(04年上海理)若函数y=f(x)的图象可由函数y=lg(x +1)的图象绕坐标原点O 逆时针旋转2π得到,则f(x)=（ A ） A ．10－x －1 B ．10x －1 C ．1－10－x D ．1－10x .12.(04年全国文史)记函数13x y -=+的反函数为()y g x =，则(10)g =（ B ）A ． 2 B ． 2- C ． 3 D ． 1-13.(04年全国理 )函数)1(11≥+-=x x y 的反函数是（ B ）A ．y=x 2－2x +2(x <1)B ．y=x 2－2x +2(x ≥1)C ．y=x 2－2x (x <1)D ．y=x 2－2x (x ≥1)14.(04年全国文)函数)5(51-≠+=x x y 的反函数是（ A ） A.)0(51≠-=x x y B.)(5R x x y ∈+=C.)0(51≠+=x x yD.)(5R x x y ∈-= 15.(02年天津理农医)函数)),1((12+∞-∈+=x xx y 图象与其反函数图象的交点坐标为_（0,0）,（1,1）__16.(00年上海理农医)已知b x f x +=2)(的反函数为)(),(11x f y x f --=若的图象经过点)2,5(Q ，则b = 117.(04年理农医)已知函数)(x f y =是奇函数，当0≥x 时，13)(-=x x f ，设)(x f 的反函数是)(x g y =，则=-)8(g 218.(04年广东) 函数10)f x In x =>（））（的反函数_________)(1=-x f )(22R x e e x x ∈+。
(完整)高一反函数·典型例题精析
反函数·例题解析【例1】求下列函数的反函数：(1)y (x )(2)y x 2x 3x (0]2＝≠－．＝－＋，∈－∞，．352112x x -+(3)y (x 0)(4)y x +1(1x 0) (0x 1)＝≤．＝－≤≤－＜≤112x x +⎧⎨⎪⎩⎪ 解 (1)y (x )y y (2y 3)x y 5x y (x )∵＝≠－，∴≠，由＝得－＝－－，∴＝所求反函数为＝≠．35211232352153253232x x x x y y y y -+-++-+- 解 (2)∵y ＝(x －1)2＋2，x ∈(－∞，0]其值域为y ∈[2，＋∞)，由＝－＋≤，得－＝－，即＝－∴反函数为＝－，≥．y (x 1)2(x 0)x 1x 1f (x)1(x 2)21y y x ----222解 (3)y (x 0)0y 1y x f (x)(0x 1)1∵＝≤，它的值域为＜≤，由＝得＝－，∴反函数为＝－＜≤．11111122x x y y x x++--- 解 (4)y (1x 0)0y 1f (x)x 1(0x 1)y (0x 1)12由＝－≤≤，得值域≤≤，反函数＝－≤≤．由＝－＜≤，x x +-1得值域－≤＜，反函数＝－≤＜，故所求反函数为＝－≤≤－≤＜．1y 0f (x)(1x 0)y x 1(0x 1) x (1x 0)1222-⎧⎨⎪⎩⎪x【例2】求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像．(1)y 1(2)y 3x 2(x 0)2＝－＝－－≤x -1解 (1)∵已知函数的定义域是x ≥1，∴值域为y ≥－1，由＝－，得反函数＝＋＋≥－．函数＝－与它的反函数＝＋＋的图像如图．－所示．y 1y (x 1)1(x 1)y 1y (x 1)124122x x --11解 (2)由y ＝－3x 2－2(x ≤0)得值域y ≤－2， 反函数＝－≤－．f (x)(x 2)1--+x 23它们的图像如图2．4－2所示．【例3】已知函数＝≠－，≠．f(x)(x a a )3113x x a ++ (1)求它的反函数；(2)求使f -1(x)＝f(x)的实数a 的值．解(1)y x a y(x a)3x 1(y 3)x 1ay y 3设＝，∴≠－，∵＋＝＋，－＝－，这里≠，31x x a ++若＝，则＝这与已知≠矛盾，∴＝，，即反函数＝．y 3a a x f (x)113131313-----ay y ax x(2)f(x)f (x)x 1若＝，即＝对定义域内一切的值恒成立，-++--3113x x a ax x 令x ＝0，∴a ＝－3．或解 由f(x)＝f -1(x)，那么函数f(x)与f -1(x)的定义域和值域相同，定义域是{x|x ≠a ，x ∈R }，值域y ∈{y|y ≠3，y ∈R }，∴－a ＝3即a ＝－3．【例4】已知函数＝＝中，、、、均不为零，y f(x)a b c d ax b cx d++ 试求a 、b 、c 、d 满足什么条件时，它的反函数仍是自身．解 f(x)bc ad 0f (x)x 1＝＋，∵常数函数没有反函数，∴－≠．又＝，要使＝，对定义域内一切值恒成立，a c bc ad c cx d dx b cx adx b cx a ax b cx d-+-+--+-++-()令x ＝0，得－a ＝d ，即a ＋d ＝0．事实上，当a ＋d ＝0时，必有f -1(x)＝f(x)，因此所求的条件是bc －ad ≠0，且a ＋d ＝0．【例5】设点M(1，2)既在函数f(x)＝ax 2＋b(x ≥0)的图像上，又在它的反函数图像上，(1)求f -1(x)，(2)证明f -1(x)在其定义域内是减函数．解证(1)2a b 14a b a b f(x)x (x 0)(2)y x (x 0)f (x)(x )221由＝＋＝＋得＝－＝，∴＝－＋≥由＝－＋≥得反函数＝≤．⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪--1373137313737373x 设＜≤，∴－＞－≥，∴＞，即＞，故在－∞，上是减函数．x x 73x 73x 0f (x )f (x )f (x)(]121211121737337312-----x x x【例6】解法一若函数＝，求的值．先求函数＝的反函数＝，于是＝＝－－．f(x)f (2)()f(x)f (x)f (2)532x x x x x x-+-++-+----121212112212111 解法(二) 由函数y ＝f(x)与其反函数y ＝f -1(x)之间的一一对应关系，求的值，就是求＝时对应的的值，∴令＝，得＝－－，即＝－－．f (2)f(x)2x 2x 532f (2)53211---+x x 12【例7】已知∈，且≠，≠．设函数＝∈且≠，证明＝的图像关于直线＝对称．a a 0a 1f(x)(x x )y f(x)y x R R x ax a --111证 y a 0a 1(ay 1)x y 1ay 10y a 1a 1由＝，≠，≠，得－＝－，如果－＝，则＝，∴＝得＝，这与已知≠矛盾，x ax aa x ax ----111111 ∴－≠，故＝，∴＝，即证得＝的反函数就是它本身．ay 10x f (x)f(x)1y ay x ax x ax -------111111因为原函数的图像与其反函数的图像关于直线y ＝x 对称，∴函数y ＝f(x)的图像关于直线y ＝x 对称．。
高考数学 第二章 第六节反函数
同步检测训练一、选择题 1．(2008·全国Ⅰ)若函数y ＝f (x －1)的图象与函数y ＝ln x ＋1的图象关于直线y ＝x 对称，则f (x )＝( )A ．e 2x －1 B ．e 2xC ．e 2x ＋1D ．e 2x ＋2 答案：B解析：∵函数y ＝ln x ＋1的反函数为y ＝e 2(x －1)，即f (x －1)＝e 2(x －1)，∴f (x )＝e 2x ，故选B.2．(2008·北京)“函数f (x )(x ∈R )存在反函数”是“函数f (x )在R 上为增函数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：B解析：若函数f (x )在R 上为增函数，则x 与y 一一对应，故存在反函数，∴必要性成立；若函数f (x )存在反函数，则x 与y 一一对应，函数f (x )在R 上也可能是减函数，∴充分性不成立，故选B.3．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，－x 2，x <0的反函数是( )A ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ≥0，－x ，x <0B ．y ＝⎩⎨⎧2x ，x ≥0，－x ，x <0C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－－x ，x <0D ．y ＝⎩⎨⎧2x ，x ≥0，－－x ，x <0答案：C解析：本题考查求分段函数的反函数． y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0－x 2，x <0，当x ≥0，x ＝y 2，∴y ＝x 2.当x <0，x ＝－－y ，∴y ＝－－x .∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－－x，x ≥0，x <0 故选C.4．(2009·郑州一测)定义在R 上的函数f (x )的反函数为f －1(x )，且对于任意x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝3，则f －1(x －1)＋f －1(4－x )＝( )A ．0B ．－2C ．2D ．2x －4 答案：A解析：由f (－x )＋f (x )＝3可知函数y ＝f (x )的图象关于点(0，32)对称，因此其反函数y ＝f－1(x )的图象必关于点(32，0)对称，即有f －1(x )＋f －1(3－x )＝0，故f －1(x －1)＋f －1[3－(x －1)]＝0，即f －1(x －1)＋f －1(4－x )＝0，选A.5．已知函数f (x )＝a －x x －a －1的反函数f －1(x )的图象的对称中心是⎝⎛⎭⎫－1，32，则函数h (x )＝log a (x 2－2x )的单调递增区间是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(－∞，0)D ．(2，＋∞)答案：C解析：由已知得f (x )＝－1－1x －(a ＋1)知，其对称中心是点(a ＋1，－1)，因此，其反函数f －1(x )的对称中心是点(－1，a ＋1)，结合题意得a ＋1＝32，a ＝12.因此函数h (x )的单调递增区间由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x >0x ≤1确定，由此解得x <0，即函数h (x )的单调递增区间是(－∞，0)．故选C. 6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 3(x ＋1)， (x >4)2x －4， (x ≤4)的反函数为f －1(x )，且f －1⎝⎛⎭⎫18＝a ，则f (a ＋7)等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案：A解析：当x >4时，f (x )＝－log 3(x ＋1)<－log 35<0；当x ≤4时，0<f (x )＝2x －4≤1.又f －1⎝⎛⎭⎫18＝a ，因此f (a )＝18>0,2a －4＝18＝2－3，a ＝1，f (a ＋7)＝f (8)＝－log 39＝－2.故选A.7．已知函数f (x )＝ax ＋3x －1的反函数为f －1(x )，若函数y ＝g (x )的图象与函数y ＝f －1(x ＋1)的图象关于直线y ＝x 对称，且g (3)＝72，则实数a 的值为( )A ．2B ．1C ．－1 D.12答案：A解析：由题意得f －1(x )＝x ＋3x －a，∴f －1(x ＋1)＝x ＋4x ＋1－a ，又∵g (3)＝72，∴y ＝x ＋4x ＋1－a中的x ＝72，y ＝3，代入解得a ＝2，故选A.8．(2009·湖北八校联考)已知函数f (x )＝12(e x ＋e x －2)(x <1)(其中e 是自然对数的底数)的反函数为f －1(x )，则有( )A ．f －1(12)<f －1(32)B ．f －1(12)>f －1(32)C ．f －1(32)<f －1(2)D ．f －1(32)>f －1(2)答案：A解析：∵函数f (x )＝12(e x ＋e x －2)＝e 2＋12e2e x 是一个单调递增函数，∴f －1(x )在(0，＋∞)上也是单调递增函数．又∵x <1，∴f (x )＝e 2＋12e 2e x <e 2＋12e 2e ＝e 2＋12e.e 2＋12e －2＝e 2－4e ＋12e ＝(e －2)2－32e ，∵2<e<3，∴0<e －2<1，∴(e －2)2－3<0，∴e 2＋12e<2； e 2＋12e －32＝e 2－3e ＋12e ＝(e －32)2－542e， ∵2.7<e<2.8，∴1.2<e －32<1.3，∴(e －32)2－54>0，∴e 2＋12e >32，∴32<e 2＋12e<2.∴在x <1时，函数f (x )＝12(e x ＋e x －2)的值域为(0，e 2＋12e )，其中32<e 2＋12e<2，故选A.二、填空题9．(2009·成都模拟)设函数f (x )＝e 2(x －1)，y ＝f －1(x )为y ＝f (x )的反函数，若函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(x ≤0)f －1(x )(x >0)，则g [g (－1)]＝__________. 答案：1解析：依题意得g (－1)＝－1＋2＝1，g [g (－1)]＝g (1)＝f －1(1)．设f －1(1)＝t ，则有f (t )＝1，即e 2(t －1)＝1，t ＝1，所以g [g (－1)]＝1.10．已知y ＝f (x )在定义域(0，＋∞)内存在反函数，且f (x －1)＝x 2－2x ＋1，则f －1(7)＝__________.答案：7解析：设x －1＝t ，则x ＝1＋t ，所以f (t )＝(t ＋1)2－2(t ＋1)＋1＝t 2，即f (x )＝x 2(x >0)，设f －1(7)＝a ，则f (a )＝a 2＝7，故a ＝7.11．(2009·湖北五市联考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2(x ≥0)12(x <0)的反函数为f －1(x )，则f －1(18)＝________.答案：4解析：设f －1(18)＝m ，∴f (m )＝18，∴x 2＋2＝18，得x ＝±4，又x ≥0，∴x ＝4. 三、解答题12．求下列函数的反函数(1)y ＝2x ＋3x －1(x <－1)；(2)y ＝－x 2－1(x ≥1)； (3)y ＝x |x |＋2x .解：(1)y ＝2x ＋3x －1＝2＋5x －1，在x <－1时为减函数，存在反函数，原函数值域为{y |－12<y <2}．又由y ＝2x ＋3x －1，得x ＝y ＋3y －2，故反函数为y ＝x ＋3x －2(－12<x <2)．(2)∵x ≥1，∴y ＝－x 2－1≤0.由y ＝－x 2－1，得y 2＝x 2－1，∴x 2＝1＋y 2， ∵x ≥1，∴x ＝1＋y 2(y ≤0)． ∴f －1(x )＝1＋x 2(x ≤0)．(3)当x ≥0时，y ＝x 2＋2x ，即(x ＋1)2＝y ＋1， ∴x ＝－1＋y ＋1(y ≥0)．当x <0时，y ＝－x 2＋2x ，即1－y ＝(x －1)2.∴x ＝⎩⎨⎧－1＋y ＋1，(y ≥0)，1－1－y ，(y <0).∴所求反函数为y ＝⎩⎨⎧－1＋1＋x ，(x ≥0)，1－1－x ，(x <0).13．已知函数f (x )＝a ＋b x －1(b >0，b ≠1)的图象经过点A (1,3)，函数y ＝f －1(x ＋a )的图象经过点B (4,2)，试求f －1(x )的表达式．解：由f (x )＝a ＋b x －1(b >0，b ≠1)得， x －1＝log b (y －a )．∵b x －1>0，则a ＋b x －1>a ，∴y >a ，∴f －1(x )＝1＋log b (x －a )(x >a )， ∴f －1(x ＋a )＝1＋log b x (x >0)．∵点A 在f (x )的图象上，点B 在f －1(x ＋a )的图象上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b 0＝3，log b 4＋1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4， ∴f －1(x )的表达式为f －1(x )＝log 4(x －2)＋1(x >2)．14．已知定义在R 上的函数f (x )的反函数为f －1(x )，且函数f (x ＋1)的反函数恰为y ＝f －1(x ＋1)．若f (1)＝3999，求f (2010)的值．解：∵y ＝f －1(x ＋1)，∴f (y )＝f [f －1(x ＋1)]． ∴x ＝f (y )－1.∴y ＝f －1(x ＋1)的反函数为y ＝f (x )－1.∵f (x ＋1)的反函数为y ＝f －1(x ＋1)． ∴f (x ＋1)＝f (x )－1.∴{f (n )}是以3999为首项，－1为公差的等差数列， ∴f (2010)＝3999－(2010－1)＝1990.15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x >013x 3＋mx 2，x ≤0(m ∈R ，e ＝2.71828…是自然对数的底数)． (1)求函数f (x )的极值；(2)当x >0时，设f (x )的反函数为f －1(x )，对0<p <q ，试比较f (q －p )、f －1(q －p )及f －1(q )－f －1(p )的大小．解：(1)当x >0，f (x )＝e x －1在(0，＋∞)上单调递增，且f (x )＝e x －1>0；当x ≤0时，f (x )＝13x 3＋mx 2，此时f ′(x )＝x 2＋2mx ＝x (x ＋2m )．①若m ＝0，f ′(x )＝x 2≥0，则f (x )＝13x 3，在(－∞，0]上单调递增，且f (x )＝13x 3≤0.又f (0)＝0，可知函数f (x )在R 上单调递增，无极值． ②若m <0，令f ′(x )＝x (x ＋2m )>0 ⇒x <0或x >－2m (舍去)．函数f (x )＝13x 3＋mx 2在(－∞，0]上单调递增，同理，函数f (x )在R 上单调递增，无极值．③若m >0，令f ′(x )＝x (x ＋2m )>0⇒x >0或x <－2m .函数f (x )＝13x 3＋mx 2在(－∞，－2m ]上单调递增，在(－2m,0]上单调递减．此时函数f (x )在x ＝－2m 处取得极大值：f (－2m )＝－83m 3＋4m 3＝43m 3>0；又f (x )在(0，＋∞)上单调递增，故在x ＝0处取得极小值：f (0)＝0.综上可知，当m >0时，f (x )的极大值为43m 3，极小值为0；当m ≤0时，f (x )无极值．(2)当x >0时，设y ＝f (x )＝e x－1⇒y ＋1＝e x ⇒x ＝ln(y ＋1)． ∴f －1(x )＝ln(x ＋1)(x >0)．(ⅰ)比较f (q －p )与f －1(q －p )的大小．记g (x )＝f (x )－f －1(x )＝e x －ln(x ＋1)－1(x >0)．∵g ′(x )＝e x －1x ＋1在(0，＋∞)上是单调递增函数，∴g ′(x )>g ′(0)＝e 0－10＋1＝0恒成立．∴函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增． ∴g (x )>g (0)＝e 0－ln(0＋1)－1＝0. 当0<p <q 时，有q －p >0，∴g (q －p )＝e q －p －ln(q －p ＋1)－1>0.∴e q －p －1>ln(q －p ＋1)，即f (q －p )>f －1(q －p )．①(ⅱ)比较f －1(q －p )与f －1(q )－f －1(p )的大小． ln(q －p ＋1)－[ln(q ＋1)－ln(p ＋1)] ＝ln(q －p ＋1)－ln(q ＋1)＋ln(p ＋1)＝ln (q －p ＋1)(p ＋1)q ＋1＝ln pq ＋q －p 2－p ＋p ＋1q ＋1＝ln pq ＋q －p 2＋1q ＋1＝ln p (q －p )＋q ＋1q ＋1＝ln[p (q －p )q ＋1＋1]．∵0<p <q ，∴p (q －p )q ＋1＋1>1，故ln[p (q －p )q ＋1＋1]>0.∴ln(q －p ＋1)>ln(q ＋1)－ln(p ＋1)，即f －1(q －p )>f －1(q )－f －1(p )．②∴由①②可知，当0<p <q 时，有f (q －p )>f －1(q －p )>f －1(q )－f －1(p )．。
反函数知识点高考
反函数知识点高考高中数学中，反函数是一个重要的知识点，也是高考考试中的必考内容之一。
理解和掌握反函数的概念、性质和求解方法，不仅对于高考取得好成绩至关重要，同时也是日后深入学习数学的基础。
本文将对反函数的相关知识点进行讲解。
一、反函数的概念反函数是指，如果一个函数f(x)中，对于任意的x1和x2（x1、x2属于函数f(x)的定义域），当且仅当f(x1)=f(x2)时，有x1=x2，则称g(y)为函数f(x)的反函数，记作g(x)=f^(-1)(x)。
也就是说，对于函数f(x)中的每一个元素x，在反函数g(x)中存在唯一的元素y与之对应。
二、反函数的性质1. 反函数和原函数的定义域和值域互换。
即如果函数f(x)的定义域是A，值域是B，则其反函数g(x)的定义域是B，值域是A。
2. 反函数的图像和原函数的图像关于直线y=x对称。
3. 如果函数f(x)在区间I上是严格单调增减的，则其反函数g(x)在对应的区间上也是严格单调增减的。
4. 如果两个函数f(x)和g(x)互为反函数，那么对于这两个函数，有f(g(x))=x和g(f(x))=x成立。
三、反函数的求解方法1. 反函数的求法主要有代数法和图像法两种。
2. 代数法是利用方程来求解反函数。
假设函数f(x)中，y=f(x)，要求解其反函数g(x)，首先将方程y=f(x)改写为x=g(y)，然后交换x和y得到y=g(x)即为反函数。
3. 图像法则是利用函数图像的特点来求解反函数。
对于给定的函数f(x)的图像，反函数g(x)的图像可以通过将f(x)的图像关于直线y=x对称得到。
四、反函数的应用反函数在实际问题中具有广泛的应用，以下举两个例子进行说明。
1. 反函数在解决方程问题中的应用：假设有方程f(x)=k，其中f(x)为已知函数，k为已知常数。
要求解该方程，可以利用反函数进行转化。
将方程两边同时对函数f(x)求反函数g(x)，得到x=g(k)，即为所求的解。
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函数专题（一）、反函数
1.原函数存在反函数的条件：原函数从定义域到值域上要满足一对一的对应关系，而不能有多对一的的对应关系。
因此单调函数一定有反函数，存在反函数的原函数不一定是单调函数。
偶函数一定没有反函数。
2.)1(+=x f y 的反函数不是)1(1-+=x f y 而是1)(1--=x f y ，
理由如下：1)(1)()(1)1(1-1-1--=⇒-=⇒=+⇒+=x f y y f x y f x x f y . 同理，)1(1-+=x f y 的反函数不是)1(+=x f y ，而是1)(-=x f y ，
理由如下：1)(1)()(1)1(1--=⇒-=⇒=+⇒+=x f y y f x y f x x f y .
3.原函数和反函数在相同定义域内的单调性相同。
4.原函数与反函数的交点不一定都在直线y =x 上，它们还可以位于直线y =x 的两侧，且以（a ，b ）、（b ，a ）的形式成对出现，如x x f ）（161)(=与其反函数x x f 16
11-log )(=的交点有），（4121和），（2
141，这两个交点就不在直线y =x 上。
例1.（2010长宁区二模）如果函数||12|lg |)(-=x x f 在定义域的某个子区间)1,1(+-k k 上
例2.设)(1x f -是函数f (x )＝2x －(13
)x ＋x 的反函数，则)(1x f ->1成立的x 的取值范围是________
例3.已知1
32)(-+=x x x f ，函数)(x h y =的图像与)1(1-=-x f y 的图像关于直线x y =对称，则)8(h =__________
变式训练：
1.已知函数()221f x x tx =-+，[]
2,5x ∈有反函数，且函数()f x 的最大值为8，则实数t 的值为_________
2.已知函数()log (2)log (2)(0,1)a a f x x x a a =+-->≠，设()f x 的反函数为1()f x -.若关于x 的不等式1()()f x m m R -<∈有解，则m 的取值范围是________
3.的反函数1()f x -的对称中心为（－1，3），则实数a 的值为
4.()1x y a a =>及其反函数的图像分别交于A 、B 两点，若，则实数a 为____________
5.已知函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，1(5)2f -=，若函数(1)y f x =-是 奇函数，那么1(5)f --=________
6.函数)(x f y =的图像与x y 2=的图像关于y 轴对称，若)(1x f
y -=是)(x f y =的反函数，则)2(21x x f y -=-的单调递增区间是_______________
7.（2013上海）对区间I 上有定义的函数)(x g y =，记)(I g ={y |)(x g y =，x ∈I}．
已知定义域为[0，3]的函数)(x f y =有反函数)(1x f y -=，且)2,1[))1,0([1=-f ，)1,0[])4,2((1=-f ．若方程0)(=-x x f 有解0x ，则0x =__________
8.若1x 满足233=+x
x ，2x 满足2)1(3log 33=-+x x ，则21x x +=_________
9．（2007陕西）若函数)(x f 的反函数为)(1x f -,则函数)1(-x f 与)1(1--x f 的图像可能是（）
10.已知函数存在反函数，方程－＝0的解集是P ，方程－＝0的解集是Q ，则一定有（） A.P QB.Q P C.P ＝Q D.P∩Q ＝
11．函数)(x f y =的反函数为)(1x f y -=，则)1(+=x f y 的图像与)1(1-+=x f y 的图像（）
A.关于直线x y =对称
B.关于直线1+=x y 的对称
C.关于直线1-=x y 对称
D.关于直线1=x 对称
)(x f )(1x f -)(x f x )(x f )(1x f -⊆⊆Φ
12.（2016闵行区二模）设函数()y f x =的定义域是R ，对于以下四个命题：
（1）若()y f x =是奇函数，则()()y f f x =也是奇函数；
（2）若()y f x =是周期函数，则()()y f f x =也是周期函数；
（3）若()y f x =是单调递减函数，则()()y f
f x =也是单调递减函数； （4）若函数()y f x =存在反函数()1y f x -=，且函数()()1y f x f x -=-有零点，则函数()y f x x =-也有零点。
其中正确的命题共有（）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
13.（2015金山区一模）设)1()(,1-=>x k x f k ，在平面直角坐标系xoy 中，函数)(x f y =的图像与x 轴交于A 点，它的反函数)(1x f y -=的图像与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图像交于P 点。
已知四边形OAPB 的面积是3，则k =_________
14.已知函数()()2log f x x a =+；
（1）当1a =时，若，求x 的取值范围； （2）若定义在R 上奇函数()g x 满足()()2g x g x +=-，且当01x ≤≤时，()()g x f x =， 求()g x 在[]3,1--上的反函数()h x ； （3）对于（2）中的()g x ，若关于x 的不等式在R 上恒成立， 求实数t 的取值范围；。