土木工程结构设计

东南大学土木工程结构设计作业

如图所示，预应力混凝土两跨连续梁，截面尺寸b×h = 350mm×900mm，预应力筋线性布置如图所示（二次抛物线），且已知有效预应力为1200kN （沿全长）。（9根直径为15.2mm 低松弛1860级钢绞线）混凝土的弹性模量为MPa E c 4103.25⨯=，（C40混凝土），抗拉强

度MPa f tk

3=。

（1）若作用60m kN /向下均布荷载（含自重），试计算此时跨中挠度；

（2）若均布荷载增加到120m kN /（含自重），此时跨中挠度是否为60m kN /均布荷载下跨中挠度的两倍？如恒载与可变荷载各为60

m kN /，梁跨中需要配

HRB400钢筋的面积为多少？

单位：mm

100

100

100

10000

10000

1. 预应力梁等效荷载法

由题意，预应力钢筋的轴线为二次抛物线，则有效预加力N Pe

产生一个与均布荷载作用下梁的弯矩图相似的弯矩图。预应力筋的轴线为单波抛物线，则有效预加力N Pe 在单波抛物线内的梁中将产生一个等效的均布荷载q e ，其值:

q p =8N Pe e pn

l 2

（1-1）

e pn 为该抛物线的垂度，即单波抛物线中点到两端点所连成直线的距离，即：

e pn =

e pn ，A +e pn ，B

2

+e pn ，m

（1-2）

l 为该抛物线在水平线上的投影长度。

对称结构选取单跨梁进行分析，其中，e pn ，A =0，e pn ，A =350 mm ，e pn ，m =−350mm ，l =10m ，N Pe =1200KN ，代入式（1-1）和式（1-2），得： e pn =525mm ， q p =50.4 KN/m 。

作用在双跨连续梁上的等效均布荷载如图1-1所示。

图1-1：双跨连续梁等效均布荷载图

2. 连续梁弯矩

等效荷载q e 及恒活荷载q 均为作用在双跨连续梁上的均布荷载，计算简图如图2-1所示，根据结构力学相关知识，对称双跨梁在对称荷载作用下，可以等效为一半结构进行分析，约束可以简化为一端简支、一端固定，如图2-2所示，其弯矩、剪力、支座反力及挠度如下表2-1所列。

q p

=50.4 KN/m

q

图2-1 连续梁均布荷载计算简图

图2-2 等效计算

根据表2-1所列各式，在各均布荷载作用下，跨中截面及支座截面的弯矩值计算如表2-2所示（不考虑活荷载的最不利布置，即满跨布置均布活荷载）。

表2-2 各均布荷载下跨中截面及支座截面弯矩值（kN·m）

荷载（kN/m）M1,k M2,k M max,k

1q p=50.4315630354.375

2g1,k=60375750421.875

3g2,k=1207501500843.75

4q3,k=60375750421.875

5g3,k=60375750421.875

对于使用等效荷载法分析后后张法预应力混凝土超静定梁，其综合弯矩M p可以分为主弯矩M p1和次弯矩M p2两部分，其中，主弯矩M p1为预加力值N Pe与偏心距e pn的乘积，次弯矩M p2为综合弯矩减去主弯矩（也可理解为由等效荷载作用下，中间支座反力所产生的附加弯矩）。预应力筋等效弯矩法的综合弯矩M p图、主弯矩M p1图、次弯矩M p2图如图2-3至2-5所示。

图2-3 预应力等效荷载的综合弯矩M p图（kN·m）

图2-3 预应力等效荷载的主弯矩M p1图（kN·m）

图2-4 预应力等效荷载的主弯矩M p2图（kN·m）

3.裂缝控制验算

对于裂缝控制验算，应取支座及跨中最不利截面进行验算。由于跨内最不利截面的位置及弯矩与多种因素有关，一般情况下，可取跨中截面和荷载作用下的最大弯矩截面进行验算，即对支座截面和跨中弯矩最大截面验算。

3.1.计算截面特征

矩形截面梁的截面几何性质如表3-1所列（不考虑后张法预应力孔道对截面积及截面惯性矩的影响）。

表3-1 矩形截面梁的截面几何性质

b×ℎ350mm×900mm

A315000 mm2

I 2.12625×1010 mm4

y t450mm

y c450mm

3.2.验算裂缝控制等级

对于问题（1）、（2），可定义三种不同的荷载组合分别计算，荷载组合如表3-2所示。

表3-2 荷载组合

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荷载组合荷载工况

组合1q p+g1,k

组合2q p+g2,k

组合3q p+q3,k+g3,k

3.2.1.按荷载效应的标准组合

对于预应力混凝土梁，荷载效应的标准组合下抗裂验算边缘的混凝土法向应力σck及扣除全部预应力损失后在抗裂度验算边缘的混凝土预压应力σpc计算公式如式（3-1）及式（3-2）所示（考虑到截面积相对于预应力孔道面积及预应力筋的面积大的多，实际计算时用I、A代替I0、I n、A n计算）。

（1）中间支座截面：

σck=−M k,2∙y0c

I0

≈

−M k,2∙y c

I

(3-1)

σpc=N pe

A n

+

−M pc,2∙y nc

I n

≈

N pe

A

+

−M pc,2∙y c

I

（2）跨中截面：

σck=M k,max∙y0t

I0

≈

M k,max∙y t

I

(3-2)

σpc=N pe

A n

+

M pc,max∙y nt

I n

≈

N pe

A

+

M pc,max∙y t

I

梁的标准组合弯矩值为：M k=M g,k+M q,k，按荷载效应的标准组合时的抗裂等级验算如表3-2所示。