高一数学一元二次不等式解法练习题

一元二次不等式

知 识 梳 理

１.三个“二次”间的关系

判别式 Δ=b 2

-４ac Δ>0 Δ＝０ Δ＜０

二次函数

ｙ＝ax 2+bx ＋c (a >0)的图象

一元二次方程 ax 2

＋b ｘ+c ＝0 (ａ>0)的根 有两相异实根 x 1,x 2(x 1

有两相等实根 x 1＝x 2＝－错误!

没有实 数根

ax 2+bx ＋c >0 （ａ>0)的解集 错误! 错误! R

ax ２+b ｘ+c ＜0 (a >0)的解集

｛x |x １＜ｘ

解下列不等式

x 2-5x+4≤0 x(ｘ＋１1)≥３(x+1)2

(2ｘ＋１)(x －３)＞3(x 2+2) ｜x 2－3x|＞4

(x －3）(x ＋２)(x-1)≥０

37

2320

2x x x -+--≥

含参不等式

例若＜＜，则不等式－－＜的解是1 0a 1(x a)(x )01

a

[ ]

A a x

B x a ．＜＜

．＜＜1

1a

a

C x a

D x x a

．＞或＜．＜或＞x a

a 1

1

例２ 解关于ｘ的不等式 (x －2)(ax-２)>0

例3 若ax 2+bx-1＜0的解集为{x|-１＜x ＜2｝,则a=_＿___＿__，b=＿_______.

例 4 关于ｘ的不等式ｘ2-２ａx －8ａ2<0(ａ>0)的解集为(x1,x ２）,且

x2-x1=15,则a=( ) A.＼f(5，2） B.7

2 C.错误! Ｄ.错误!

练习

解关于ｘ的不等式kx2－2x+ｋ<0(ｋ∈R)．

解关于ｘ的不等式:ａｘ2－2≥2x-ax(ａ∈R)．

.

考点三不等式恒成立问题

【例3】设函数f(x)＝ｍx２－ｍx－1.

(1)若对于一切实数x，f(x）＜0恒成立,求m的取值范围；

(２)若对于x∈［1,3]，f(x）＜－m+5恒成立,求ｍ的取值范围．

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

知识梳理

1.二元一次不等式表示的平面区域

(1）一般地，二元一次不等式Aｘ＋By+C>０在平面直角坐标系中表示直线Ax＋Ｂｙ+Ｃ＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线.当我们在坐标系中画不等式Aｘ＋By＋C≥０所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线.

（2)由于对直线Ａx＋By+C=0同一侧的所有点（x，y），把它的坐标（ｘ，y)代入Ax+Bｙ＋Ｃ，

，y0）作为测试点，由Ax0＋By0所得的符号都相同,所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点（x

０

＋C的符号即可判断Ax＋By＋C＞0表示的直线是Ａx+Ｂy＋C＝０哪一侧的平面区域．

2.线性规划相关概念

自测

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)不等式Ax＋Bｙ+Ｃ＞0表示的平面区域一定在直线Aｘ＋By＋Ｃ＝０的上方．( )

(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.（)

(３)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.( )

(4）目标函数z=ａx+by(b≠0)中，z的几何意义是直线ａx＋by-z＝0在y轴上的截距．( ) ２.下列各点中,不在x＋y－１≤0表示的平面区域内的是（)

A．(0，0) B.(－１,１) C．(-1,3) D.（2,－3）

3．直线2ｘ＋y－1０=0与不等式组错误!表示的平面区域的公共点有（)

A．０个B．１个 C.２个D．无数个

4.（2014·天津卷）设变量ｘ，ｙ满足约束条件错误!则目标函数ｚ＝x+2y的最小值为( ）A．2 B.3 C．4 Ｄ．５

5.(2014·安徽卷)不等式组错误!表示的平面区域的面积为_＿__＿＿__．

考点一二元一次不等式(组）表示的平面区域

【例1】（1)若不等式组错误!表示的平面区域是一个三角形，则ａ的取值范围是()

Ａ.错误! B.(0，1]

C.错误!

D.(０,１]∪错误!

(2)若不等式组错误!所表示的平面区域被直线y=kx＋错误!分为面积相等的两部分,则ｋ的值是（)

A.7

３

B.＼f(3,７)

C.４

3 D.错误!

【训练1】(１）若函数ｙ=２x图象上存在点(ｘ，y)满足约束条件错误!则实数m的最大值为

()A．１

2 B.1 C.错误! D.２

(２)在平面直角坐标系中，若不等式组错误!(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2,则a的值为( )

A．-5 B.1Ｃ.2 Ｄ．3

考点二简单线性目标函数的最值问题

【例2】(１)(2014·新课标全国Ⅱ卷)设x，y满足约束条件错误!

则z＝x+2y的最大值为( )

A.8

B.7 C．2 D.1

(2)(2０14·新课标全国Ⅰ卷)设ｘ,y满足约束条件错误!

(3)且z=x＋aｙ的最小值为7，则ａ＝（)

A.-５

B.３

C.－５或3 D．5或-3

【训练2】(1)(２015·潍坊模拟）若x,y满足条件错误!

当且仅当x＝y＝3时，z=aｘ+y取最大值，则实数a的取值范围是()

Ａ．(－2

3，

＼ｆ(3,5）)

B．（-∞,－＼f(3,5))∪（＼f(2，3),+∞）

C．(-错误!，错误!）

D．(－∞,－＼f(2,3))∪(＼f(3,5),＋∞)

(2)(２014·湖南卷)若变量x,y满足约束条件错误!则ｚ=2ｘ+ｙ的最大值为__＿__＿__.