高中数学-类比推理课件

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高中数学2类比推理课件a选修12a高二选修12数学课件

高中数学2类比推理课件a选修12a高二选修12数学课件
第八页,共四十二页。
类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的 性质,可推知正四面体有下列性质:
①各棱长相等,同一顶点上的任两条棱的夹角都相 等;②各个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二 面角都相等;③各个面都是全等的正三角形,同一顶点上 的任两条棱的夹角都相等.
第九页,共四十二页。
Байду номын сангаас
1.类比推理是数学命题来源的另一条途径,也是知识 推广的思维过程.学习立体几何常常通过类比平面几何, 发现和得到一些立体几何的结论.
第三十六页,共四十二页。
易错警示系列
类比推理不严格致误.
【典例】 已知a1,b1,c1,a2,b2,c2都是非零实
数,不等式a1x2+b1x+c1<0,a2x2+b2x+c2<0的解集分别为
M,N,则“
a1 a2
=bb21=cc12
”是“M=N”成立的________条件
(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分
第十一页,共四十二页。
3.归纳推理与类比推理都是合情推理.归纳推理是从 特殊过渡到一般的思想方法,类比推理是由此及彼和由彼 及此的联想方法,归纳和类比离不开观察、分析、对比、 联想,许多数学知识都是通过归纳与类比发掘出来的.学 习数学时要注意培养自己的观察能力、分析能力、联想能 力和创新能力.合情推理只是一种猜测,结论不一定正 确.
2.两类事物有一定的相似之处,可以是实数与向量、 实数与复数、圆与球、平面几何与立体几何,也可以是不 同的圆锥曲线.
第十页,共四十二页。
数学的许多分支都有相通之处,也有可类比之处,这 有助于我们研究一些陌生的问题.但利用类比推理得出的 结论不一定正确,还需要严格的推理证明.这一点与归纳 推理类似.

高二数学选修课件时类比推理

高二数学选修课件时类比推理

的联系和相似的性质,如对数运算法则、指数方程的解法等。
03
三角函数与反三角函数的类比
三角函数和反三角函数是数学中的重要内容,它们之间有着相似的性质
和图像特征,如周期性、振幅、相位等概念。
03 类比推理在解题中应用举 例
选择题中应用
题目类型识别
通过类比推理,识别题目类型,从而 选择相应的解题方法。例如,对于与 已知题目类似的题目,可以借鉴已知 题目的解题思路和方法。
误区三
机械类比。将不同领域的对象进 行简单的机械类比,忽略它们之 间的内在联系和逻辑关系,导致 推理结果不合理。避免方法:在 类比时注重逻辑性和内在联系, 确保类比的逻辑性和科学性。
拓展延伸:类比推理在其他学科中应用
物理学中的应用
化学中的应用
通过类比已知物理现象和规律,发现新的 物理现象和规律;借助类比推理解决复杂 的物理问题。
判断
在识别出相似关系后,需要进一步判断这种相似关系是否足 以支持类比推理的结论。这需要对相似关系的本质和程度进 行深入分析,以确定类比推理的可行性和可靠性。
相似性与差异性分析
相似性分析
在类比推理中,相似性分析是关键步骤之一。它涉及对两个或多个对象的共同特征和属性进行比较和 归纳,以确定它们之间的相似程度。相似性分析有助于我们找到对象之间的内在联系和规律。
误区警示及避免方法
误区一
过度泛化。将不同领域的对象进 行类比时,容易忽略它们之间的 本质差异,导致错误的推理结果 。避免方法:在类比前深入分析 对象的本质属性和特征,确保类 比的合理性。
误区二
忽视细节。在类比过程中,容易 忽略一些重要的细节差异,导致 推理结果不准确。避免方法:在 类比时关注细节,特别是那些可 能对推理结果产生重要影响的细 节。

高中数学北师大版选修1-2 3.1.2 类比推理课件(34张)

高中数学北师大版选修1-2   3.1.2 类比推理课件(34张)
( ) ①各棱长相等,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 ②各个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二面角 都相等 ③各个面都是全等的正三角形,同一顶点上的任两条棱的 夹角都相等 A.① B.①②
C.①②③
[答案] C
D.③
[ 解析 ]
因为正三角形的边和角可以与正四面体的面 ( 或
棱)和相邻的两面成的二面角(或共顶点的两棱夹角)类比,所以 ①②③都恰当.
[答案] C
[解析]
A中,3与0两个数的性质不同,故类比中把3换成
0,其结论不成立;B中,乘法满足对加法的分配律,但乘法不 满足对乘法的分配律; C 是正确的; D 中,令 n = 2 显然不成 立.
4 .类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的
性质,可推知正四面体的下列哪些性质,你认为比较恰当的是
[答案] C
[解析] 为合适. 从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、 度量等方面考虑,用平行四边形作为平行六面体的类比对象较
2 . 鲁班发明锯子的思维过程为:带齿的草叶能割破行人
的腿,“锯子”能“锯”开木材,它们在功能上是类似的.因
此,它们在形状上也应该类似,“锯子”应该是齿形的.该过 程体现了( ) B.类比推理 D.以上说法都不对 A.归纳推理 C.没有推理 [答案] B [解析] 推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新 的判断的思维过程,上述过程是推理,由性质类比可知是类比
(2)三角形Байду номын сангаас中位线等于第三边的一半,且平行于第三边.
[解析] 三角形与四面体有下列相似的性质: ①三角形是平面内由直线段所围成的最简单的封闭图形;
四面体是空间中由平面所围成的最简单的封闭图形.
②三角形可以看作平面上一条线段外一点与这条线段端点 连线所形成的图形;四面体可以看作空间中一个三角形所在平 面外一点与这个三角形顶点连线所形成的图形.

高中数学 2.1.1 第2课时类比推理课件 新人教A版选修22

高中数学 2.1.1 第2课时类比推理课件 新人教A版选修22
第十页,共39页。
牛刀小试
1.鲁班发明锯子的思维过程为:带齿的草叶能割破行人的
腿,“锯子”能“锯”开木材,它们在功能上是类似的.因此,
它们在形状上也应该类似,“锯子”应该是齿形的.该过程体现
了( )
A.归纳推理(tuīlǐ)
B.类比推理(tuīlǐ)
C.没有推理(tuīlǐ)
D.以上说法都不对
[答案] B
相似的属性.据此,在圆与球的相关元素之间可以建立如下的
对应关系:


截面圆,
直径 ↔
大圆,
周长 ↔
表面积,
圆面积 ↔
球体积,
等等.于是,根据圆的性质,可以猜测球的性质如下表所
示:
第二十页,共39页。
圆的性质 圆心与弦(不是直径)的中点的 连线垂直于弦 与圆心距离相等的两弦相等; 与圆心距离不等的两弦不等, 距圆心较近的弦较长 圆的切线垂直于经过切点的半 径; 经过圆心且垂直于切线的直线 必经过切点 经过切点且垂直于切线的直线 必经过圆心 圆的周长 c=πd
第二十二页,共39页。
将平面图形与空间图形作类比,按可作类比的属性(shǔxìng)Fra bibliotek填空.
平面图形 点 线
空间图形 线 面


三角形 线线角
边长 周长 面积

________ ________ ________ ________ ________

[答案] 四面体 二面角 面积 表面积 体积
第二十三页,共39页。
在Rt△ABC中,若∠C=90°,则cos2A+cos2B=1,则在空 间中,给出四面体性质(xìngzhì)的猜想.
[解析] 如图,在Rt△ABC中,

高中数学 第一章 推理与证明 1.1.2 类比推理课件

高中数学 第一章 推理与证明 1.1.2 类比推理课件

练习1:正三角形(zhènɡ sān jiǎo xínɡ)内任意一点到三 边距离之和是一个定值。
正四面体内任意(rènyì)一点到四个面的距离之和 是一个定值。
第十八页,共二十五页。
类比推理(lèi bǐ tuī lǐ)的特点: 1.由特殊(tèshū)到特殊(tèshū)的推理; 2.以旧的知识(zhī shi)为基础,推测新的结果,
问:这样猜想出的结论是否一定正确?
第九页,共二十五页。
例2:若数列an(n N )是等差数列,则数列
bn
a1
a2
a3 n
an ,(nN)也是等差数列。
类比上述性质,相应的:
若数列an(n N )是等比数列,则数列
bn _n_a_1_a_2_a_3 ___a_n _____,(nN)也是等比数列。
No 等的两截面圆面积相等。例5:类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜
想.。1.由特殊到特殊的推理(tuīlǐ)。——康德。由特殊到特殊的推理(tuīlǐ)。由部分到整体、特殊到 一般的推理(tuīlǐ)。通俗地说,合情推理(tuīlǐ)是指“合乎情理”的推理(tuīlǐ).。A
以点P(x0,y0,z0)为球心,r为半径(bànjìng)
的球的方程为
(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2.
第十三页,共二十五页。
例3.半径为r的圆的面积
,周长
若将r看作
上的变量,则
①,①式
可用语言叙述为:圆的面积函数(hánshù)的导数等于圆的周
长函数(hánshù)。对于半径为R的球,若将R看
第八页,共二十五页。
问题:有学生根据等式的性质(xìngzhì)类比不等式的性质(xìngzhì)。

高考数学复习课件:类比推理(共26张PPT)

高考数学复习课件:类比推理(共26张PPT)

的集合.



截面圆
直径
大圆
周长
表面积
面积
体积
探究: 利用圆的性质类比得出球的性质
圆的概念和性质
球的概念和性质
圆的周长 cSc= 2πR
球的表面积 S = 4πR2
圆的面积 S =πR2
球的体积 V = 4πR3
3
圆心与弦(非直径)中点的连线 球心与不过球心的截面(圆面)
垂直于弦
的圆心的连Leabharlann 垂直于截面通项公式 an a1 (n 1)d
an a1qn1
等差数列
等比数列
中项
任意实数a、b都有等 当且仅当a、b同号时才
差中项 ,为 a b 有等比中项 ,为 ab
2
下标等差,项等差 下标等差,项等比
n+m=p+q时,
n+m=p+q时,
性质
am+an= ap+aq
an am (n m)d
以点(x0,y0)为圆心, r为半径 以点(x0,y0,z0)为球心, r为半
的圆的方程为(x-x0)2+(y-
径的球的方程为(x-x0)2+(y-
y0)2 = r2
y0)2+(z-z0)2 = r2
练习
三角形的面积为S= 12(a+b+c)·r,a、b、c为三角形的
边长,r为三角形内切圆的半径,利用类比推理,可以得到四面
3、火星上是否有生命?
地球
火星
相似点: ①绕太阳运转、 ②绕轴自转、
③有大气层、
④有季节变换
由火星上大部分时间的温度适合地球上的某些已知生物的生存。 我们可以有新的猜想。

高一数学类比推理课件1(新201907)

高一数学类比推理课件1(新201907)
科学家猜想;火星上也可能有生命存在.
4)利用平面向量的基本定理类比得到空间向量 的基本定理.
在两类不同事物之间进行对比,找出若干 相同或相似点之后,推测在其他方面也可 以存在相同或相似之处的一种推理模式, 称为类比推理.(简称;类比) 类比推理的几个特点;
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正 在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比 出新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的 特殊属性.
3.类比的结果是猜测性的不lzhibiao/ 布林通道 ;
不求小成 戚继光又是一位杰出的兵器专家和军事工程家 山东微山县 李世民鉴于局势初定 ?劫辄以万数 如本无高颎 杨再思 诽谤者族 从赤松子游 及是进都督同知 邓禹前往追随 [48] 便在常风岭上为他建造了一座太尉殿 .国学导航[引用日期2018-04-09] 君臣快然 勣甚重之 但张 良以在留城与刘邦首次相见为理由 戚继光像 欲以自固 理势具陈 扑通一声跪下说道:“特请夫人阅兵 皇泰主命戮洪建于左掖门外 李治闻讯后为之悲哭 强燕自此衰 左丞相杨坚专政 勣亦阴示其言 崔沆 ?勣对之号恸 洎勣之死 [39] 11.中外遂定 回来就起兵击齐 何以尚兹 ?李勣参与 围攻安市城(今辽宁海城东南营城子) 反应亦快 裴度 ?禹乃南至长安 18.请苏威接替 烧栈道张良定谋 下人厌 12.甲子 乞杀倭自效 斩首二千六百 继光督参将李超等击败之 颜渊命短 留侯画策 于是退之云阳 全部报告魏公 [131] 妻妾 破其城而不能服其心 坚持率燕军乘胜追击 公元 56年(中元元年) 大儒叔孙通说得好:“太子天下本 圯桥跪履 ”麾其兵进 ”又上以汉王年少 实则勇敢二字 至以老臣辅少主 隋文帝即位之后不久 禹因得更理兵勒众 他语中盛赞张良道:“夫运筹策于帷帐之中 后黄城 银城皆自拔遁去 号为望诸君 赐姓李氏 正在这

高一数学类比推理课件1(中学课件201910)

高一数学类比推理课件1(中学课件201910)

例1:类比平面内直角三角形的勾股定理, 试给出空间中四面体性质的猜想.
A
B c2=a2+b2
a
c
s1 o s2 s3
Cb

B
C
猜想: S2△ABC =S2△AOB+S2△AOC+S2△BOC
例3:(2005年全国)计算机中常用的十六进 位制是逢16进1的计算制,采用数字09和字母A-F共16个计数符号,这些符 号与十进制的数的对应关系如下表;
十六进位 0 1 2 3 4 5 6 7
十进位 0 1 2 3 4 5 6 7
十六进位 8 9 A B C D E F
十进位
8 9 10 11 12 13 14 15
例如用16进位制表示E+D=1B,则 A×B=( A )
A.6E B.72 C.5F D.0B
例4:(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与 ②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两 圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为 圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一 般的命题,而已知命题应成为所推广命题的 一个特例,推广的命题为-设--圆---的---方--程---为--①----------(-x--a)2+(y-b)2=r2与②(x-c)2+(y-d)2=r2(a≠c或 --b-≠---d--)-,--则--由---①---式--减---去--②---式---可--得---上---述--两---圆--的---对---称--轴--
3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发 现的功能.
; 重庆自考网 重庆自考网

时刑部以《贼盗律》反逆缘坐兄弟没官为轻 跨据淮海;流人禁乘马 嘉运以颖达所撰《正义》颇多繁杂 善属文 臣窃未安

人教A版高中数学选修《类比推理》课件

人教A版高中数学选修《类比推理》课件

人 教 A 版 高中 数学选 修2-2 第二章 《 类 比 推理》 课件
例1 把下列演绎推理写成三段论的形式. (1)在一个标准大气压下,水的沸点是100℃,所 以在一个标准大气压下把水加热到100℃时,水 会沸腾; (2)一切奇数都不能被2整除,2100+1是奇数,所 以2100+1不能被2整除; (3)三角函数都是周期函数,y=tan α是三角函数 ,因此y=tanα是周期函数.
人 教 A 版 高中 数学选 修2-2 第二章 《 类 比 推理》 课件
人 教 A 版 高中 数学选 修2-2 第二章 《 类 比 推理》 课件
变式训练1 三段论:“①小宏在2011年的高考中 考入了重点本科院校;②小宏在2011年的高考中 只要正常发挥就能考入重点本科院校;③小宏在 2011年的高考中正常发挥”中,“小前提”是 ________(填序号). 解析:在这个推理中,②是大前提,③是小前提 ,①是结论. 答案:③
人 教 A 版 高中 数学选 修2-2 第二章 《 类 比 推理》 课件
人 教 A 版 高中 数学选 修2-2 第二章 《 类 比 推理》 课件
利用三段论证明几何 问题 在几何证明问题中,每一步都含着一般性原理, 都可以分析出大前提和小前提,将一般性原理应 用于特殊情况,就能得出相应结论.
人 教 A 版 高中 数学选 修2-2 第二章 《 类 比 推理》 课件
人 教 A 版 高中 数学选 修2-2 第二章 《 类 比 推理》 课件
【解】 (1)在一个标准大气压下,水的沸点是 100℃,大前提 在一个标准大气压下把水加热到100℃,小前提 水会沸腾.结论 (2)一切奇数都不能被2整除,大前提 2100+1是奇数,小前提 2100+1不能被2整除.结论 (3)三角函数都是周期函数,大前提 y=tanα是三角函数,小前提 y=tanα是周期函数.结论

高中数学 2.1.1合情推理-类比推理课件 新人教A版选修1-2

高中数学 2.1.1合情推理-类比推理课件 新人教A版选修1-2

例1、利用等差数列性质类比等比数列性质
等差数列
等比数列
定义 anan1d( n2) an:an1q( n2)
ana1(n1)d
通项公式
anam(nm )d
an a1qn1 an amqnm
前n项和
Sn
n(a1 an ) 2 n(n
na1 2
1)
d
Sn
na1
a1(1 q
1q
n
(q 1) ) (q 1)
探索新知 火星上是否有生命?
我国古代工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫 的牙齿,发明了锯;人们仿照鱼类的外型和它
们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇.
仿生学中许多发明的最初构想
都是类比生物机制得到的.
苍蝇的楫翅(又叫平衡棒)是“天然导航仪”, 人们模仿它制成了“振动陀螺仪”.这种仪器目前已 经应用在火箭和高速飞机上,实现了自动驾驶。
圆的周长 S=2πR
圆的面积 S =πR2
圆心与弦(非直径)中点的连线 垂直于弦
球的表面积 S=4πR2
球的体积 V = 4 π R 3
3
球心与截面(不过球心的圆面) 的圆心的连线垂直于截面
与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等
与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积
通俗地说,合情推理是指“合乎情理”的推理。
合情推理的应用
数学研究中,得到一个新结论之前,合 情推理常常能帮助我们猜测和发现结论.
证明一个数学结论之前,合情推理常常 能为我们提供证明的思路和方向.
(2005年全国)计算机中常用的十六进位制是逢16进 1的计算制,采用数字0-9和字母A-F共16个计数符 号,这些符号与十进制的数的对应关系如下表;

高中数学北师大版选修1-2 1.2 类比推理课件(32张)

高中数学北师大版选修1-2   1.2 类比推理课件(32张)
两个端点的连线所围成的图形;四面体可以看作是由三角形所
在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形.
通过类比推理,根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表:
三角形
三角形的两边之和大于第三边
四面体
三角形的中位线的长等于第三边长的一半 , 且平
行于第三边
三角形的三条内角平分线交于一点 , 且这个点是
富的联想,利用旧的知识帮助寻找思路或者将原问题降低难 度 ,先解决较简单的问题 ,再类比到复杂问题 ,常常可达到柳 暗花明的成效.
跟踪训练 2
1 设 f ( x) = x ,利用课本中推导等差数列前 n 项和公 2+ 2
式的方法,可求得 f(-5) +f(- 4) +„+f(0)+„+f(5)+f(6) 的值是 3 2 ______.
§1 1.2
[学习目标]
归纳与类比 类比推理
1.通过具体实例理解类比推理的意义. 2.会用类比推理对具体问题作出推断.
知识点一
类比推理
(1)类比推理的含义
由于两类不同对象具有某些类似的特征 , 在此基础上 , 根据 一类对象的其他特征 ,推断另一类对象也具有类似的其他特征 , 这种推理过程称为类比推理. 类比推理是 两类事物特征之间 的推理.
(2)类比推理的特征 类比推理是从特殊到特殊的推理,简称类比.
(3)结论真假:利用类比推理得出的结论不一定是正确的.
(4)思维过程流程图:
观察、比较 ― → 联想、类推 ― → 猜想新的结论
思考 类比推理的结论能作为定理应用吗?
答 不能.因为类比推理的结论不一定正确,只有经过严格
的逻辑证明,说明其正确性,才能进一步应用.
n2+2n-n nn+1 所以 1+2+3+„+n= = . 2 2

高中数学同步课件5.1.2 类比 (湘教版选修1-2)

高中数学同步课件5.1.2 类比  (湘教版选修1-2)

③当n为奇数时,令n=2k-1,k∈N+,则 2k-2 Sn=S2k-1=S2k-2+a2k-1= (a+b)+a 2 n-1 n+1 n-1 = (a+b)+a= a+ b, 2 2 2 当n为偶数时,令n=2k,k∈N+,则 n Sn=S2k=k(a+b)= (a+b). 2 n+1 n-1 2 a+ 2 b,n为奇数, 所以它的前n项的和Sn= na+b,n为偶数. 2
解 可以从a1,a2的个数以及指数上进行推广,第一类型:
2 2 a1+a2+a3 a2 1+a2+a3 2 ≥ , 3 3 2 2 2 a1+a2+a3+a4 a2 + a + a + a 1 2 3 4 2 ≥ ,…, 4 4 2 2 a1+a2+…+an a2 + a +…+ a 1 2 n 2 ≥ ; n n
方法点评
本题是一道浅显的定义类比应用问题,通过
对等差数列定义及性质的理解,类比出等和数列的定义 和性质,很好地考查学生类比应用的能力.
2 a2 1+a2 【训练1】 若a1,a2∈(0,+∞),则有不等式 2
a1+a2 2 ≥ 2 成立,此不等式能推广吗?请你至少写出两
个不同类型的推广.
③张军某次考试成绩是100分,由此推出全班同学的成绩
都是100分; ④三角形的内角和为 180°,四边形的内角和为 360°, 五边形的内角和为540°,由此推断出凸n边形内角和是(n -2)×180°
A.①②
答案 C
B.①③
C.①
D.②④
2.下面使用类比推理恰当的是
(
).
A.“若a· 3=b· 3,则a=b”类推出“若a· 0=b· 0,则a=b” a+b a b B.“(a+b)c=ac+bc”类推出“ = + ” c c c a+b a b C.“(a+b)c=ac+bc”类推出“ c = c+c(c≠0)” D.“(ab)n=anbn”类推出“(a+b)n=an+bn”
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平面图形的性质
空间图形的性质
1.一条直线把平面分成两个部分 一个平面把空间分成两个部分
2.同一平面内两条直线无公共点, 同一空间内两个平面无公共点,则它
则它们互相平行
们互相平行
3.同一平面内垂直于同一条直线 同一空间内垂直于同一个平面的两条
的两条直线平行
平面平行
4.同一平面内平行于同一条直线 的两条直线平行
qn
1q
(q 1) ) (q 1)
等差数列
等比数列
中项 性质
任意实数a、b都有等 当且仅当a、b同号时才
差中项 ,为 a b 有等比中项 ,为 ab
2
下标等差,项等差 下标等差,项等比
n+m=p+q时,
n+m=p+q时,
am+an= ap+aq
aman= apaq
an am 2anm
例2.试根据等式的性质猜想不等式的性质
等式的性质:
猜想不等式的性质:
(1) a=ba+c=b+c; (1) a>ba+c>b+c;
(2) a=b ac=bc; (2) a>b ac>bc;
(3) a=ba2=b2;等等 (3) a>ba2>b2;等等
问:这样猜想出的结论是否一定正确?
答:(1)对;(2),(3)不对。
这几个推理的过程是归纳推理吗?若不是,它与归纳 推理有什么区别?
2.1.1合情推理 (类比推理)
(一)类比推理
在学习空间向量时,我们是这样推测空 间向量的基本定理的:
由于平面向量与空间向量都是既有大小 又有方向的量,并且两者具有类似(或一致) 的运算性质(如都具有加法的交换律和结合 律等),因此根据平面向量的基本定理,我 们推测空间向量也具有类似的性质:
猜想:凸n边形的对角线条数比凸n-1边形多n-2条对角线。由此,凸n边形对 角线条数为2+3+4+5+…+(n-2).
观察思考1
小帕蒂把成绩单交给爸爸,爸爸一看 有两门功课不及格,就冲着帕蒂怒气 冲冲地喊道:“你知道吗?华盛顿像你 这个年龄时是全校最优秀的学生。” 帕蒂不慌不忙地回答:“你知道吗?爸 爸,像你这个年龄时华盛顿已经是美 国总统了!”
an
am
ห้องสมุดไป่ตู้
a2 nm
2
2
Sm , S2m Sm , S3m S2m Sm , S2m Sm , S3m S2m
成公差为n2d等差数
成公比 qn 等比数列

练习:1.类比平面内直角三角形的勾股定理,试 给出空间中四面体性质的猜想.

a
c2c=a2+b2
A
s1 o s2
Cb

s3
如图,四面体O
(二)类比推理的一般步骤:
(1) 找出两类对象之间可以确切表述的相似 特征; (2) 用一类对象的已知特征去推测另一类对 象的特征,从而得出一个猜想; (3) 检验猜想。
观察、比较
联想、类推
猜想新结论
小结 ☞
类比推理 由特殊到特殊的推理
类比推理 注意
以旧的知识为基础,推测新 的结果,具有发现的功能
三角形
四面体
三角形两边之和大 四面体任意三个面的面积之和大
于第三边.
于第四个面的面积
根据三角形的性质,可以推测空间四面
体的性质如下:
三角形
四面体
三角形两边之和大 于第三边.
三角形三条内角 平分线交于一点, 且这个点是三角形 内切圆的圆心。
四面体任意三个面的面积之和大 于第四个面的面积
四面体的六个二面角的平分面 交于一点,且这个点是四面体的 内切球的球心。
归纳推理的定义:
❖ 由某类事物的 部分对象 具有某些特征,
推出该类事物的 全部都对具象 有这样特征
的推理,或者由
个别概事括实出
一般的结论
推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,
归纳推理是由
到部分 、整由体 到个别
的一般推理.
[例 1] 根据下列条件,写出数列中的前 4 项,并归 纳猜想它的通项公式.
例3.利用等差数列性质类比等比数列性质
等差数列
等比数列
定义 an an1 d(n 2) an : an1 q(n 2)
an a1 (n 1)d
通项公式
an am (n m)d
an a1qn1 an amqnm
前n项和
Sn
n(a1 2
an )
na1
n(n 2
1)
d
Sn
na1 a1 (1
则T4,____,
_____,
T16 T12
成等比数列.
T8 T12
T4 T8
4.
1.已知数列
{an}是等差数
列,则
{a1+a2+n…+an}
是等差数列。若已知数列{bn}(bn>0, n∈N*)是
等比数列,类比上述等差数列,则

等比数列?
答:数列{ n a1a2…an}是等比数列.
6.类比下列平面图形的性质,写出空间图形的性质:
等于第三边的一半, 棱的中点为顶点的三角形)的面 且平行于第三边。 积等于第四个面的面积的一半,
且平行于第四个面。
一般地,如果类比的相似性越多,相似 的性质与推测的性质之间越相关,那么类 比得出的命题就越可能为真。
类比推理的一般步骤:
⑴ 找出两类对象之间相似形或一致性; ⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对
象的特征,从而得出一个命题(猜想);
例1.找出圆与球的相似性质,并用圆的下 列性质类比球的有关性质:
(1)圆心与弦(非直径)中点的连线垂直 于弦;
(2)与圆心距离相等的两弦相等; (3)圆的周长C=πd(d是直径); (4)圆的面积S=πr2.
解:圆与球有下列相似的性质: (1)圆是平面上到一定点距离等于定长的 所有点构成的集合;球面是空间中到一定 点距离等于定长的所有点构成的集合; (2)圆是平面内封闭的曲线所围成的对称 图形;球是空间中封闭曲面是围成的对称 图形。
三角形与四面体有如下类似的性质: (1)三角形是平面内由直线段所围成的最 简单的封闭图形;四面体是空间由平面所 围成的最简单的封闭图形; (2)三角形可以看作平面上一条线段外一 点与这条线段上各点连线所形成的图形; 四面体可以看作三角形所在平面外一点与 这个三角形上各点连线所形成的图形。
根据三角形的性质,可以推测空间四面 体的性质如下:
观察思考2
春秋时代鲁国的公输班(后人称鲁班, 被认为是木匠业的祖师)一次去林中砍树 时被一株齿形的茅草割破了手,这桩倒霉 事却使他发明了锯子.
他的思路是这样的:
茅草是齿形的; 茅草能割破手.
我需要一种能割断木头的工具;它也可以是齿形的.
观察思考3 仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮 的原理,发明了潜水艇.
(1)a1=3,an+1=2an+1; (2)a1=a,an+1=2-1 an; (3)对一切的 n∈N*,an>0,且 2 Sn=an+1.
凸n边形有多少条对角线?
凸四边形有2条对角线, 凸五边形有5条对角线, 比凸四边形多3条; 凸六边形有9条对角线, 比凸五边形多4条;
……
凸n边形有多少条对角线?
同一空间内平行于同一个平面的 两个平面平行
5.平行四边形对边平行且相等
平行六面体对面平行且面积相等
6.矩形对角线长相等
长方体对角面的面积相等
7.正方形外接圆与内切圆的圆心 重合
8.正三角形外接圆与内切圆的圆 心重合
9.等面积法
正方体外接球与内切球的球心重合 正四面体外接球与内切球的球心重合
等体积积法
面积相等


圆心与弦(非直 球心与截面圆(不经过球心的
径)中点的连线垂 小截面圆)圆心的连线垂直于截
直于弦

与圆心距离相等的 与球心距离相等的两个截面圆的
两弦相等
面积相等
圆的周长C=πd(d为 球的表面积S=πd2(d为直径) 直径)


圆心与弦(非直 球心与截面圆(不经过球心的
径)中点的连线垂 小截面圆)圆心的连线垂直于截
根据三角形的性质,可以推测空间四面
体的性质如下:
三角形
四面体
三角形两边之和大 四面体任意三个面的面积之和大
于第三边.
于第四个面的面积
三角形三条内角 四面体的六个二面角的平分面
平分线交于一点, 且这个点是三角形 内切圆的圆心。
交于一点,且这个点是四面体的 内切球的球心。
三角形的中位线 四面体的中截面(以任意三条
直于弦

与圆心距离相等的 与球心距离相等的两个截面圆的
两弦相等
面积相等
圆的周长C=πd(d为 球的表面积S=πd2(d为直径) 直径)
圆的面积S=πr2
球的体积V=πr3
其中前三个类比得到的结论是正确的, 最后一个猜测则是错误的。由此可见,类 比的结论值具有或然性,即可能真,也可 能假。
虽然有类比所得到的结论未必是正确的, 但它所具有的有特殊到特殊的认识功能, 等于发现新的规律和事实却是十分有用的。
类比推理的结论不一定成立
归纳推理
由部分到整体、特殊到一般的推理; 以观察分析为基础,推测新的结论; 具有发现的功能; 结论不一定成立.
类比推理
由特殊到特殊的推理; 以旧的知识为基础,推测新的结果; 具有发现的功能; 结论不一定成立.
归纳推理和类比推理的过程
从具体问 题出发
观察、分析、 比较、联想
通过与圆的有关性质类比,可以推测球 的有关性质:

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