高中数学-类比推理课件

归纳、 类比
提出 猜想
归纳推理 合情推理
类比推理
通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.
直于弦
面
与圆心距离相等的 与球心距离相等的两个截面圆的
两弦相等
面积相等
圆的周长C=πd(d为 球的表面积S=πd2(d为直径) 直径)
圆的面积S=πr2
球的体积V=πr3
其中前三个类比得到的结论是正确的， 最后一个猜测则是错误的。由此可见，类 比的结百度文库值具有或然性，即可能真，也可 能假。
虽然有类比所得到的结论未必是正确的， 但它所具有的有特殊到特殊的认识功能， 等于发现新的规律和事实却是十分有用的。
则T4，____,
_____,
T16 T12
成等比数列.
T8 T12
T4 T8
4.
1.已知数列
{an}是等差数
列，则
{a1+a2+n…+an}
是等差数列。若已知数列{bn}(bn>0, n∈N*)是
等比数列，类比上述等差数列，则
是
等比数列？
答：数列{ n a1a2…an}是等比数列.
6．类比下列平面图形的性质，写出空间图形的性质:
猜想:凸n边形的对角线条数比凸n-1边形多n-2条对角线。由此，凸n边形对 角线条数为2+3+4+5+…+(n-2).
观察思考1
小帕蒂把成绩单交给爸爸，爸爸一看 有两门功课不及格，就冲着帕蒂怒气 冲冲地喊道:“你知道吗？华盛顿像你 这个年龄时是全校最优秀的学生。” 帕蒂不慌不忙地回答:“你知道吗？爸 爸，像你这个年龄时华盛顿已经是美 国总统了！”
同一空间内平行于同一个平面的 两个平面平行
5．平行四边形对边平行且相等
平行六面体对面平行且面积相等
6．矩形对角线长相等
长方体对角面的面积相等
7．正方形外接圆与内切圆的圆心 重合
8．正三角形外接圆与内切圆的圆 心重合
9．等面积法
正方体外接球与内切球的球心重合 正四面体外接球与内切球的球心重合
等体积积法
三角形
四面体
三角形两边之和大 四面体任意三个面的面积之和大
于第三边.
于第四个面的面积
根据三角形的性质，可以推测空间四面
体的性质如下:
三角形
四面体
三角形两边之和大 于第三边.
三角形三条内角 平分线交于一点， 且这个点是三角形 内切圆的圆心。
四面体任意三个面的面积之和大 于第四个面的面积
四面体的六个二面角的平分面 交于一点，且这个点是四面体的 内切球的球心。
根据三角形的性质，可以推测空间四面
体的性质如下:
三角形
四面体
三角形两边之和大 四面体任意三个面的面积之和大
于第三边.
于第四个面的面积
三角形三条内角 四面体的六个二面角的平分面
平分线交于一点， 且这个点是三角形 内切圆的圆心。
交于一点，且这个点是四面体的 内切球的球心。
三角形的中位线 四面体的中截面（以任意三条
等于第三边的一半， 棱的中点为顶点的三角形）的面 且平行于第三边。 积等于第四个面的面积的一半，
且平行于第四个面。
一般地，如果类比的相似性越多，相似 的性质与推测的性质之间越相关，那么类 比得出的命题就越可能为真。
类比推理的一般步骤:
⑴ 找出两类对象之间相似形或一致性； ⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对
qn
1q
(q 1) ) (q 1)
等差数列
等比数列
中项 性质
任意实数a、b都有等 当且仅当a、b同号时才
差中项 ，为 a b 有等比中项 ，为 ab
2
下标等差,项等差 下标等差,项等比
n+m=p+q时,
n+m=p+q时,
am+an= ap+aq
aman= apaq
an am 2anm
--方--程---.--------------------------------------------------
-
--------.
练习
(直击高考：09浙江文第16题)
设等差数列an的前n项和为Sn ,则S4，S8 S4，
S12 S8，S16 S12成等差数列.类比以上结论：
设等比数列bn的前n项积为Tn ,
象的特征，从而得出一个命题(猜想)；
例1．找出圆与球的相似性质，并用圆的下 列性质类比球的有关性质:
（1）圆心与弦(非直径)中点的连线垂直 于弦；
（2）与圆心距离相等的两弦相等； （3）圆的周长C=πd（d是直径）； （4）圆的面积S=πr2.
解:圆与球有下列相似的性质: （1）圆是平面上到一定点距离等于定长的 所有点构成的集合；球面是空间中到一定 点距离等于定长的所有点构成的集合； （2）圆是平面内封闭的曲线所围成的对称 图形；球是空间中封闭曲面是围成的对称 图形。
如果三个向量 a, b, c 不共面，那么对于
空间任一向量 p ，存在一个惟一的有序 实数组x，y，z，使 p xa yb zc
这种根据两类不同事物之间具有某些类 似（或一致）性，推测其中一类事物具有 与另一类事物类似（或相同）的性质的推 理，叫做类比推理（简称类比），类比属 于合情推理。
下面我们通过一个例子来得出类比的一 般步骤。
观察思考2
春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班， 被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树 时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉 事却使他发明了锯子.
他的思路是这样的:
茅草是齿形的； 茅草能割破手.
我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的.
观察思考3 仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮 的原理,发明了潜水艇.
这几个推理的过程是归纳推理吗？若不是，它与归纳 推理有什么区别？
2.1.1合情推理 （类比推理）
（一）类比推理
在学习空间向量时，我们是这样推测空 间向量的基本定理的:
由于平面向量与空间向量都是既有大小 又有方向的量，并且两者具有类似(或一致) 的运算性质(如都具有加法的交换律和结合 律等)，因此根据平面向量的基本定理，我 们推测空间向量也具有类似的性质:
类比推理的结论不一定成立
归纳推理
由部分到整体、特殊到一般的推理; 以观察分析为基础,推测新的结论; 具有发现的功能; 结论不一定成立.
类比推理
由特殊到特殊的推理; 以旧的知识为基础,推测新的结果； 具有发现的功能; 结论不一定成立.
归纳推理和类比推理的过程
从具体问 题出发
观察、分析、 比较、联想
例2．试根据等式的性质猜想不等式的性质
等式的性质:
猜想不等式的性质:
(1) a=ba+c=b+c; (1) a＞ba+c＞b+c;
(2) a=b ac=bc; (2) a＞b ac＞bc;
(3) a=ba2=b2;等等 (3) a＞ba2＞b2;等等
问:这样猜想出的结论是否一定正确？
答:(1)对；(2),(3)不对。
(1)a1＝3，an＋1＝2an＋1； (2)a1＝a，an＋1＝2－1 an； (3)对一切的 n∈N*，an＞0，且 2 Sn＝an＋1.
凸n边形有多少条对角线？
凸四边形有2条对角线， 凸五边形有5条对角线， 比凸四边形多3条； 凸六边形有9条对角线， 比凸五边形多4条；
……
凸n边形有多少条对角线？
例3.利用等差数列性质类比等比数列性质
等差数列
等比数列
定义 an an1 d（n 2) an : an1 q（n 2)
an a1 (n 1)d
通项公式
an am (n m)d
an a1qn1 an amqnm
前n项和
Sn
n(a1 2
an )
na1
n(n 2
1)
d
Sn
na1 a1 (1
平面图形的性质
空间图形的性质
1．一条直线把平面分成两个部分 一个平面把空间分成两个部分
2．同一平面内两条直线无公共点， 同一空间内两个平面无公共点，则它
则它们互相平行
们互相平行
3．同一平面内垂直于同一条直线 同一空间内垂直于同一个平面的两条
的两条直线平行
平面平行
4．同一平面内平行于同一条直线 的两条直线平行
通过与圆的有关性质类比，可以推测球 的有关性质:
圆
球
圆心与弦（非直 球心与截面圆（不经过球心的
径）中点的连线垂 小截面圆）圆心的连线垂直于截
直于弦
面
圆
球
圆心与弦（非直 球心与截面圆（不经过球心的
径）中点的连线垂 小截面圆）圆心的连线垂直于截
直于弦
面
与圆心距离相等的 与球心距离相等的两个截面圆的
两弦相等
an
am
a2 nm
2
2
Sm , S2m Sm , S3m S2m Sm , S2m Sm , S3m S2m
成公差为n2d等差数
成公比 qn 等比数列
列
练习:1.类比平面内直角三角形的勾股定理，试 给出空间中四面体性质的猜想．
Ｂ
a
c2c=a2+b2
A
s1 o s2
Ｃb
Ａ
s3
如图，四面体O
ABC中，AOB
B BOC
AOC
90
,C则
猜想: S2△ABC =S21+S22+S23
2:(上海)已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆的对称 轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况 下加以推广,即要求得到一个更一般的命题, 而已知命题应成为所推广命题的一个特例, 推广的命题为--------------设---圆--的---方---程--为-- ① ---(b-x≠----ad-)-)2-+,-(-则-y--由-b--)①-2-=-式r-2-减与---去②--②-(-x-式--c--可)-2-+得-(--y上---d述--)-2两-=-r-圆2-（-的-a--≠对---称c-或-轴--
三角形与四面体有如下类似的性质: （1）三角形是平面内由直线段所围成的最 简单的封闭图形；四面体是空间由平面所 围成的最简单的封闭图形； （2）三角形可以看作平面上一条线段外一 点与这条线段上各点连线所形成的图形； 四面体可以看作三角形所在平面外一点与 这个三角形上各点连线所形成的图形。
根据三角形的性质，可以推测空间四面 体的性质如下:
（二）类比推理的一般步骤:
(1) 找出两类对象之间可以确切表述的相似 特征； (2) 用一类对象的已知特征去推测另一类对 象的特征，从而得出一个猜想； (3) 检验猜想。
观察、比较
联想、类推
猜想新结论
小结 ☞
类比推理 由特殊到特殊的推理
类比推理 注意
以旧的知识为基础,推测新 的结果，具有发现的功能
面积相等
圆
球
圆心与弦（非直 球心与截面圆（不经过球心的
径）中点的连线垂 小截面圆）圆心的连线垂直于截
直于弦
面
与圆心距离相等的 与球心距离相等的两个截面圆的
两弦相等
面积相等
圆的周长C=πd(d为 球的表面积S=πd2(d为直径) 直径)
圆
球
圆心与弦（非直 球心与截面圆（不经过球心的
径）中点的连线垂 小截面圆）圆心的连线垂直于截
归纳推理的定义:
❖ 由某类事物的 部分对象 具有某些特征，
推出该类事物的 全部都对具象 有这样特征
的推理，或者由
个别概事括实出
一般的结论
推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，
归纳推理是由
到部分 、整由体 到个别
的一般推理．
[例 1] 根据下列条件，写出数列中的前 4 项，并归 纳猜想它的通项公式．