高考数学函数测试题
高考数学专题《函数的概念及其表示》习题含答案解析
专题3.1 函数的概念及其表示1．（2021·四川达州市·高三二模（文））已知定义在R 上的函数()f x 满足，2(1)2()1f x f x x -+=+，则(1)f =（ ）A ．1-B ．1C ．13-D ．13【答案】B 【解析】当0x =时，f （1）2(0)1f +=①；当1x =时，(0)2f f +（1）2=②，由此进行计算能求出f （1）的值．【详解】定义在R 上的函数()f x 满足，2(1)2()1f x f x x -+=+，∴当0x =时，f （1）2(0)1f +=，①当1x =时，(0)2f f +（1）2=，②②2⨯-①，得3f （1）3=，解得f （1）1=．故选：B2．（2021·浙江高一期末）已知231,1,()3,1,x x f x x x +⎧=⎨+>⎩…则(3)f =（ ）A ．7B ．2C ．10D ．12【答案】D 【解析】根据分段函数的定义计算．【详解】由题意2(3)3312f =+=．故选：D ．3．（2021·全国高一课时练习）设3,10()(5),10x x f x f x x +>⎧=⎨+≤⎩，则(5)f 的值为（ ）A ．16B ．18C ．21D ．24练基础【解析】根据分段函数解析式直接求解.【详解】因为3,10()(5),10x x f x f x x +>⎧=⎨+≤⎩，所以(5)(10)(15)15318f f f ===+=.故选：B.4．（2021·浙江湖州市·湖州中学高一开学考试）若函数213()22f x x x =-+的定义域和值域都是[1,]b ，则b =（ ）A ．1B ．3C ．3-D ．1或3【答案】B 【解析】根据函数213()22f x x x =-+在[1,]b 上为增函数，求出其值域，结合已知值域可求出结果.【详解】因为函数213()22f x x x =-+21(1)12x =-+在[1,]b 上为增函数，且定义域和值域都是[1,]b ，所以min ()(1)f x f =1=，2max 13()()22f x f b b b b ==-+=，解得3b =或1b =（舍），故选：B5．（上海高考真题）若是的最小值，则的取值范围为( ).A ．[-1,2]B ．[-1，0]C ．[1，2]D ．[0,2]【答案】D 【详解】由于当0x >时，1()f x x a x=++在1x =时取得最小值2a +，由题意当0x ≤时，2()()f x x a =-应该是递减的，则0a ≥，此时最小值为2(0)f a =，因此22a a ≤+，解得02a ≤≤，选D ．6．（广东高考真题）函数()f x =的定义域是______．【答案】[)()1,00,∞-⋃+由根式内部的代数式大于等于0且分式的分母不等于0联立不等式组求解x 的取值集合得答案．【详解】由{100x x +≥≠，得1x ≥-且0x ≠．∴函数()f x =的定义域为：[)()1,00,-⋃+∞；故答案为[)()1,00,-⋃+∞．7.（2021·青海西宁市·高三一模（理））函数()f x 的定义域为[]1,1-，图象如图1所示，函数()g x 的定义域为[]1,2-，图象如图2所示.若集合()(){}0A x f g x ==，()(){}0B x g f x ==，则A B 中有___________个元素.【答案】3【解析】利用数形结合分别求出集合A 与集合B ，再利用交集运算法则即可求出结果.【详解】若()()0f g x =，则()0g x =或1-或1，∴{}1,0,1,2A =-，若()()0g f x =，则()0f x =或2，∴{}1,0,1B =-，∴{}1,0,1=- A B .故答案为：3.8．（2021·湖北襄阳市·襄阳五中高三二模）已知函数22211x x y f x x ⎛⎫+-= ⎪+-⎝⎭的定义域是[)1,+∞，则函数()y f x =的定义域是_______．【答案】(]1,2【解析】令()()222111x x g x x x x +-=≥+-，根据函数值域的求解方法可求得()g x 的值域即为所求的()f x 的定义域.【详解】令()()222111x x g x x x x +-=≥+-，则()()222111111111x x x x g x x x x x x x x+-+==+=+≥+-+--+，1y x x =- 在[)1,+∞上单调递增，10x x∴-≥，10111x x∴<≤-+，()12g x ∴<≤，()f x ∴的定义域为(]1,2.故答案为：(]1,2.9．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三二模（文））已知函数()221,01,0x x f x x x⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩，若()2f a =，则实数a =___________.【答案】1或【解析】分别令212a +=，212a=，解方程，求出方程的根即a 的值即可.【详解】当0a ≥，令212a +=，解得：1a =，当0a <，令212a =，解得：a =故1a =或，故答案为：1或.10.（2021·云南高三二模（理））已知函数231,1()1,1x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若n m >，且()()f n f m =，设t n m =-，则t 的取值范围为________.【答案】171,12⎤-⎥⎦【解析】用n 表示出m ，结合二次函数的性质求得t n m =-的取值范围.【详解】画出()f x 图象如下图所示，3114⨯+=，令()2140x x -=>，解得x =由()(),n m f n f m >=得2311m n +=-，223n m -=，且1n <≤所以(222121333n t n m n n n n -=-=-=-++<≤，结合二次函数的性质可知，当131223n =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，t 取得最大值为2133217322312⎛⎫-⨯++= ⎪⎝⎭，当n =时，t取得最小值为212133-⨯=-.所以t的取值范围是171,12⎤⎥⎦.故答案为：171,12⎤⎥⎦1．（2021·云南高三二模（文））已知函数231,1()1,1x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若n m >，且()()f n f m =，设t n m =-，则（ ）A ．t 没有最小值B ．t1-C ．t 的最小值为43D ．t 的最小值为1712【答案】B 【解析】先作出分段函数图象，再结合图象由()()f n f m =，得到m 与n 的关系，消元得关于n 的函数，最后求最值.【详解】如图，作出函数()f x 的图象，()()f n f m = 且n m >，则1m £，且1n >，练提升2311m n ∴+=-，即223n m -=.由21014n n >⎧⎨<-≤⎩，解得1n <≤.222211317(32)(333212n n m n n n n -⎡⎤∴-=-=---=--+⎢⎥⎣⎦，又1n <≤ ∴当n =时，()min 1n m -=-.故选：B.2．（2020·全国高一单元测试）已知函数21,0,()2,0,x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，若()05f x =，则0x 的取值集合是（ ）A ．{2}-B ．5,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．{2,2}-D ．52,2,2⎧⎫--⎨⎬⎩⎭【答案】A 【解析】根据分段函数值的求解方法，对00x ≤与00x >两种情况求解，可得答案.【详解】若00x ≤，可得2015x +=，解得02x =-，(02x =舍去)；若00x >，可得02x -=5，可得052x =-，与00x >相矛盾，故舍去，综上可得：02x =-.故选：A.3．【多选题】（2021·全国高一课时练习）（多选题）下列函数中，定义域是其值域子集的有（ ）A ．865y x =+B ．225y x x =--+C ．y =D ．11y x=-【答案】AC 【解析】分别求得函数的定义域和值域，利用子集的定义判断.【详解】A 函数的定义域和值域都是R ，符合题意；B.定义域为R ，因为2225(1)66y x x x =--+=-++≤，所以函数值域为(,6]-∞，值域是定义域的真子集不符合题意；C.易得定义域为[1,)+∞，值域为[0,)+∞，定义域是值域的真子集；D.定义域为{|0}x x ≠，值域为{|1}x x ≠-，两个集合只有交集；故选：AC4．【多选题】（2021·全国高一课时练习）已知f (x )=2211x x+-，则f (x )满足的关系有（ ）A ．()()f x f x -=-B ．1f x ⎛⎫⎪⎝⎭= ()f x -C ．1f x ⎛⎫⎪⎝⎭=f (x )D ．1(()f f x x-=-【答案】BD 【解析】根据函数()f x 的解析式，对四个选项逐个分析可得答案.【详解】因为f (x )= 2211x x+-，所以()f x -=221()1()x x +---=2211x x+-()f x =，即不满足A 选项；1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=221111x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭=2211x x +-，1f x ⎛⎫⎪⎝⎭=()f x -，即满足B 选项，不满足C 选项，1(f x -=221111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝⎭=2211x x +-，1()()f f x x -=-，即满足D 选项．故选：BD5．【多选题】（2021·全国高三其他模拟）已知函数21,0,()2,0,x x f x x x x +<⎧=⎨-+≥⎩令()()()g x f f x =，则下列说法正确的是（ ）A ．()10g -=B ．方程()2g x =有3个根C ．方程()2g x =-的所有根之和为－1D ．当0x <时，()()f xg x ≤【答案】ACD 【解析】由题意知()10f -=可得()10g -=；令()f x u =，因为方程()2f u =没有实根，即()2g x =没有实根；令()u f x =，则方程()2g x =-，即()2f u =-，通过化简与计算即可判断C ；当0x <时，()(1)g x f x =+，则将函数()f x 在(,1)-∞的图象向左平移1个单位长度可得函数()g x 的图象，即可判断D ．【详解】对于A 选项，由题意知()10f -=，则()()()()1100g f f f -=-==，所以A 选项正确；对于B 选项，令()f x u =，则求()()()2g x f f x ==的根，即求()2f u =的根，因为方程()2f u =没有实根，所以()2g x =没有实根，所以选项B 错误；对于C 选项，令()u f x =，则方程()2g x =-，即()2f u =-，得112,03u u u +=-<⇒=-，2222,01u u u u -+=-≥⇒=+，由方程1()f x u =得13(0)x x +=-<或223(0)x x x -+=-≥，解得4x =-或3x =，易知方程2()f x u =，没有实数根，所以方程()2g x =-的所有根之和为－1，选项C 正确；对于D 选项，当0x <时，()(1)g x f x =+，则将函数()f x 在(,1)-∞的图象向左平移1个单位长度可得函数()g x 的图象，当0x <时，函数()g x 的图象不在()f x 的图象的下方，所以D 选项正确，故选：ACD ．6．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数()f x ，(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，对于任意的,(,0)(0,)x y ∈-∞+∞ ，()()()f xy f x f y =+，则（ ）A ．()f x 的图象过点()1,0和()1,0-B ．()f x 在定义域上为奇函数C ．若当1x >时，有()0f x >，则当10x -<<时，()0f x <D ．若当01x <<时，有()0f x <，则()0f x >的解集为()1,+∞【答案】AC 【解析】根据抽象函数的性质，利用特殊值法一一判断即可；【详解】解：因为函数()f x ，(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，对于任意的,(,0)(0,)x y ∈-∞+∞ ，()()()f xy f x f y =+，令1x y ==，则()()()111f f f =+，则()10f =，令1x y ==-，则()()()111f f f =-+-，则()10f -=，所以()f x 过点()1,0和()1,0-，故A 正确；令1y =-，则()()()1f x f x f -=+-，即()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，故B 错误；令1y x =-，则()()110f f x f x ⎛⎫-=+-= ⎪⎝⎭，则()1f f x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭当1x >时，所以()11,0x -∈-，又()0f x >，则10f x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即当10x -<<时，()0f x <，故C 正确；令1y x =，则()()110f f x f x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则()1f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当01x <<时，所以()11,x ∈+∞，又()0f x <，则10f x ⎛⎫>⎪⎝⎭，即当1x >时，()0f x >，因为()f x 是偶函数，所以1x <-时，()0f x >，所以()0f x >的解集为()(),11,-∞-+∞U ，故D 错误；故选：AC7．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数()22,023,0x x x f x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩，则（ ）A ．()13f f -⎡⎤⎣=-⎦B ．若()1f a =-，则2a =C ．()f x 在R 上是减函数D ．若关于x 的方程()f x a =有两解，则(]0,3a ∈【答案】ABD 【解析】根据函数解析式，代入数据可判断A 、B 的正误，做出()f x 的图象，可判断C 、D 的正误，即可得答案.【详解】对于A ：由题意得：2(1)(1)2(1)3f -=--⨯-=，所以()(3)23331f f f -==-⨯+=-⎡⎤⎣⎦，故A 正确；对于B ：当0a <时，2()21f a a a =-=-，解得a =1，不符合题意，舍去当0a ≥时，()231f a a =-+=-，解得2a =，符合题意，故B 正确；对于C ：做出()f x 的图象，如下图所示：所以()f x 在R 上不是减函数，故C 错误；对于D ：方程()f x a =有两解，则()y f x =图象与y a =图象有两个公共点，如下图所示所以(]0,3a ∈，故D 正确.故选：ABD8．（2021·浙江高三月考）已知0a >，设函数2(22),(02)(),(2)x a x x a f x ax x a ⎧-++<<+=⎨≥+⎩，存在0x 满足()()00f f x x =，且()00f x x ≠，则a 的取值范围是______.1a ≤<【解析】求得()2x ax a y =≥+关于y x =对称所得函数的解析式，通过构造函数，结合零点存在性列不等式，由此求得a 的取值范围.【详解】由于()f x 存在0x 满足()()0f f x x=，且()00f x x ≠，所以()f x 图象上存在关于y x =对称的两个不同的点.对于()()2,2y ax x a y a a =≥+≥+，交换,x y 得x ay =，即()()12,2y x x a a y a a=≥+≥+，构造函数()()22111222222g x x a x x x a x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫=-++-=-++-=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（()22a a x a +≤<+），所以()g x 的零点122a a +-满足()12222a a a a a+≤+-<+，由1222a a a +-<+得()()21111001a a a a a a a a+---==<⇒<<，由()1222a a a a+≤+-得3210a a -+≤，即()()()()31111a a a a a a a --+=+---()()()21110a a a a a a ⎛=+--=--≤ ⎝，由于01a <<1a ≤<.1a ≤<9. （2021·浙江高一期末）已知函数()1f x x =-+，()()21g x x =-，x ∈R ．（1）在图1中画出函数()f x ，()g x 的图象；（2）定义：x R ∀∈，用()m x 表示()f x ，()g x 中的较小者，记为()()(){}min ,m x f x g x =，请分别用图象法和解析式法表示函数()m x ．（注：图象法请在图2中表示，本题中的单位长度请自己定义且标明）【答案】（1）图象见解析；（2）()(][)()()21,,01,1,0,1x x m x x x ⎧-+∈-∞⋃+∞⎪=⎨-∈⎪⎩；图象见解析.【解析】（1）由一次函数和二次函数图象特征可得结果；（2）根据()m x 定义可分段讨论得到解析式；由解析式可得图象.【详解】（1）()f x ，()g x 的图象如下图所示：（2）当0x ≤时，()211x x -≥-+，则()()1m x f x x ==-+；当01x <<时，()211x x -<-+，则()()()21m x g x x ==-；当1≥x 时，()211x x -≥-+，则()()1m x f x x ==-+；综上所述：()(][)()()21,,01,1,0,1x x m x x x ⎧-+∈-∞⋃+∞⎪=⎨-∈⎪⎩.()m x图象如下图所示：10. （2021·全国高一课时练习）已知函数()12f x x x =++-，()3g x x =-.（1）在平面直角坐标系里作出()f x 、()g x 的图象.（2）x R ∀∈，用()min x 表示()f x 、()g x 中的较小者，记作()()(){}min ,x f x g x =，请用图象法和解析法表示()min x ；（3）求满足()()f x g x >的x 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）()(),20,-∞-+∞ .【解析】（1）化简函数()f x 、()g x 的解析式，由此可作出这两个函数的图象；（2）根据函数()min x 的意义可作出该函数的图象，并结合图象可求出函数()min x 的解析式；（3）根据图象可得出不等式()()f x g x >的解集.【详解】（1）()21,2123,1212,1x x f x x x x x x -≥⎧⎪=++-=-<<⎨⎪-≤-⎩，()3,333,3x x g x x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩.则对应的图象如图：（2）函数()min x的图象如图：解析式为()3,20312,21min 3,103,3x x x x x x x x x -<-≤<⎧⎪--≤≤-⎪=⎨-<<⎪⎪-≥⎩或；（3）若()()f x g x >，则由图象知在A 点左侧，B 点右侧满足条件，此时对应的x 满足0x >或2x <-，即不等式()()f x g x >的解集为()(),20,-∞-+∞ .1.（山东高考真题）设f (x )=<x <1―1),x ≥1,若f (a )=f (a +1),则=（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】由x ≥1时f (x )=2(x ―1)是增函数可知,若a ≥1,则f (a )≠f (a +1),所以0<a <1,由f (a )=f (a+1)得a =2(a +1―1),解得a =14,则=f (4)=2(4―1)=6,故选C.2.（2018上海卷）设D 是含数1的有限实数集，f (x )是定义在D 上的函数，若f (x )的图象绕原点逆时针旋转π6后与原图象重合，则在以下各项中，f (1)的可能取值只能是（ ）A ．3B ．32 C ．33 D ．0【答案】B 【解析】由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转π6个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f （1）=3，33，0时，此时得到的圆心角为π3，π6，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y 与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x 只能对应一个y ，因此只有当练真题x=32，此时旋转π6，此时满足一个x 只会对应一个y ，故选：B ．3. （2018年新课标I 卷文）设函数f (x )=2―x ， x ≤01 ， x >0，则满足f (x +1)<f (2x )的x 的取值范围是（ ）A. (―∞ ， ―1]B. (0 ， +∞)C. (―1 ， 0)D. (―∞ ， 0)【答案】D【解析】将函数f (x )的图象画出来，观察图象可知会有2x <02x <x +1，解得x <0，所以满足f (x +1)<f (2x )的x 的取值范围是(―∞ ， 0)，故选D.4.（浙江高考真题（文））已知函数()2,1{66,1x x f x x x x≤=+->，则()2f f ⎡⎤-=⎣⎦，()f x 的最小值是．【答案】162-【解析】如图根据所给函数解析式结合其单调性作出其图像如图所示，易知()()min 12,62f f f x f ⎡⎤-=-==⎣⎦.5. （2018·天津高考真题（文））已知a R ∈，函数()22220220x x a x f x x x a x ⎧++-≤=⎨-+->⎩，，，．若对任意x ∈［–3，+∞），f (x )≤x 恒成立，则a 的取值范围是__________．【答案】1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由题意分类讨论0x >和0x ≤两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.【详解】分类讨论：①当0x >时，()f x x ≤即：222x x a x -+-≤，整理可得：21122a x x ≥-+，由恒成立的条件可知：()2max 11022a x x x ⎛⎫≥-+> ⎪⎝⎭，结合二次函数的性质可知：当12x =时，2max 1111122848x x ⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭，则18a ≥；②当30x -≤≤时，()f x x ≤即：222x x a x ++-≤-，整理可得：232a x x ≤--+，由恒成立的条件可知：()()2min3230a x x x ≤--+-≤≤，结合二次函数的性质可知：当3x =-或0x =时，()2min322x x --+=，则2a ≤；综合①②可得a 的取值范围是1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦.6.（2018·浙江高考真题）已知λ∈R，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎨-+<⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】(1,4) (1,3](4,)⋃+∞ 【解析】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数λ的取值范围.详解：由题意得240x x ≥⎧⎨-<⎩或22430x x x <⎧⎨-+<⎩，所以24x ≤<或12x <<，即14x <<，不等式f (x )<0的解集是(1,4),当4λ>时，()40f x x =->，此时2()430,1,3f x x x x =-+==，即在(,)λ-∞上有两个零点；当4λ≤时，()40,4f x x x =-==，由2()43f x x x =-+在(,)λ-∞上只能有一个零点得13λ<≤.综上，λ的取值范围为(1,3](4,)⋃+∞.。
高中数学高考总复习函数的奇偶性习题及详解
高中数学高考总复习函数的奇偶性习题及详解一、选择题1．(文)下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) A ．y ＝x ＋x 3(x ∈R) B ．y ＝3x (x ∈R)C ．y ＝－log 2x (x >0，x ∈R)D ．y ＝－1x (x ∈R ，x ≠0)[答案] A[解析] 首先函数为奇函数、定义域应关于原点对称，排除C ，若x ＝0在定义域内，则应有f (0)＝0，排除B ；又函数在定义域内单调递增，排除D ，故选A.(理)下列函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是( ) A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝－|x ＋1|C ．f (x )＝12(a x ＋a －x )D ．f (x )＝ln 2－x2＋x[答案] D[解析] y ＝sin x 与y ＝ln 2－x 2＋x 为奇函数，而y ＝12(a x ＋a －x )为偶函数，y ＝－|x ＋1|是非奇非偶函数．y ＝sin x 在[－1,1]上为增函数．故选D.2．(2010·安徽理，4)若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2[答案] A[解析] f (3)－f (4)＝f (－2)－f (－1)＝－f (2)＋f (1)＝－2＋1＝－1，故选A.3．(2010·河北唐山)已知f (x )与g (x )分别是定义在R 上奇函数与偶函数，若f (x )＋g (x )＝log 2(x 2＋x ＋2)，则f (1)等于( )A ．－12B.12 C ．1D.32[答案] B[解析] 由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＋g (1)＝2f (－1)＋g (－1)＝1，∵f (x )为奇函数，g (x )为偶函数．∴⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＋g (1)＝2g (1)－f (1)＝1，∴f (1)＝12.4．(文)(2010·北京崇文区)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当1≤x ≤2时，f (x )＝x －2，则f (6.5)＝( )A ．4.5B ．－4.5C ．0.5D ．－0.5[答案] D[解析] ∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )周期为4，∴f (6.5)＝f (6.5－8)＝f (－1.5)＝f (1.5)＝1.5－2＝－0.5.(理)(2010·山东日照)已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋2)＝f (x )，若f (x )在[－1,0]上是减函数，则f (x )在[2,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数[答案] A[解析] 由f (x ＋2)＝f (x )得出周期T ＝2， ∵f (x )在[－1,0]上为减函数，又f (x )为偶函数，∴f (x )在[0,1]上为增函数，从而f (x )在[2,3]上为增函数．5．(2010·辽宁锦州)已知函数f (x )是定义在区间[－a ，a ](a >0)上的奇函数，且存在最大值与最小值．若g (x )＝f (x )＋2，则g (x )的最大值与最小值之和为( )A ．0B ．2C ．4D ．不能确定[答案] C[解析] ∵f (x )是定义在[－a ，a ]上的奇函数，∴f (x )的最大值与最小值之和为0，又g (x )＝f (x )＋2是将f (x )的图象向上平移2个单位得到的，故g (x )的最大值与最小值比f (x )的最大值与最小值都大2，故其和为4.6．定义两种运算：a ⊗b ＝a 2－b 2，a ⊕b ＝|a －b |，则函数f (x )＝2⊗x(x ⊕2)－2( )A ．是偶函数B ．是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数[答案] B[解析] f (x )＝4－x 2|x －2|－2，∵x 2≤4，∴－2≤x ≤2， 又∵x ≠0，∴x ∈[－2,0)∪(0,2]． 则f (x )＝4－x 2－x ，f (x )＋f (－x )＝0，故选B.7．已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 123)，c ＝f (0.20.6)，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．c <b <aB ．b <c <aC ．b <a <cD ．a <b <c[答案] C[解析] 由题意知f (x )＝f (|x |)．∵log 47＝log 27>1，|log 123|＝log 23>log 27，0<0.20.6<1，∴|log 123|>|log 47|>|0.20.6|.又∵f (x )在(－∞，0]上是增函数，且f (x )为偶函数， ∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数． ∴b <a <c .故选C.8．已知函数f (x )满足：f (1)＝2，f (x ＋1)＝1＋f (x )1－f (x )，则f (2011)等于( )A ．2B ．－3C ．－12D.13[答案] C[解析] 由条件知，f (2)＝－3，f (3)＝－12，f (4)＝13，f (5)＝f (1)＝2，故f (x ＋4)＝f (x ) (x∈N *)．∴f (x )的周期为4， 故f (2011)＝f (3)＝－12.[点评] 严格推证如下： f (x ＋2)＝1＋f (x ＋1)1－f (x ＋1)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝f (x )．即f (x )周期为4.故f (4k ＋x )＝f (x )，(x ∈N *，k ∈N *)，9．设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)[答案] A[解析] ∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，∴a ＝－1. ∴f (x )＝lg x ＋11－x ，由f (x )<0得0<x ＋11－x<1，∴－1<x <0，故选A. 10．(文)(09·全国Ⅱ)函数y ＝log 22－x2＋x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称 [答案] A[解析] 首先由2－x 2＋x >0得，－2<x <2，其次令f (x )＝log 22－x 2＋x ，则f (x )＋f (－x )＝log 22－x2＋x ＋log 22＋x2－x＝log 21＝0.故f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，故选A. (理)函数y ＝xsin x，x ∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是下列图象中的( )[答案] C [解析] ∵y ＝xsin x是偶函数，排除A ，当x ＝2时，y ＝2sin2>2，排除D ， 当x ＝π6时，y ＝π6sin π6＝π3>1，排除B ，故选C.二、填空题11．(文)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sinπx (x <0)f (x －1)－1 (x >0)，则f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116的值为________． [答案] －2[解析] f ⎝⎛⎭⎫116＝f ⎝⎛⎭⎫56－1＝f ⎝⎛⎭⎫－16－2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6－2＝－52， f ⎝⎛⎭⎫－116＝sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＝sin π6＝12，∴原式＝－2. (理)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝12对称，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝________.[答案] 0[解析] ∵f (x )的图象关于直线x ＝12对称，∴f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x ，对任意x ∈R 都成立， ∴f (x )＝f (1－x )，又f (x )为奇函数， ∴f (x )＝－f (－x )＝－f (1＋x ) ＝f (－1－x )＝f (2＋x )，∴周期T ＝2 ∴f (0)＝f (2)＝f (4)＝0 又f (1)与f (0)关于x ＝12对称∴f (1)＝0 ∴f (3)＝f (5)＝0 填0.12．(2010·深圳中学)已知函数y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数，它们的定义域都是[－π，π]，且它们在x ∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式f (x )g (x )<0的解集是________．[答案] ⎝⎛⎭⎫－π3，0∪⎝⎛⎭⎫π3，π [解析] 依据偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称，先补全f (x )、g (x )的图象，∵f (x )g (x )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )<0g (x )>0，或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )>0g (x )<0，观察两函数的图象，其中一个在x 轴上方，一个在x 轴下方的，即满足要求，∴－π3<x <0或π3<x <π.13．(文)若f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x ＝2对称，且当x ∈(－2,2)时，f (x )＝－x 2＋1.则f (－5)＝________.[答案] 0[解析] 由题意知f (－5)＝f (5)＝f (2＋3)＝f (2－3)＝f (－1)＝－(－1)2＋1＝0.(理)已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当－1≤x ≤1时，f (x )＝a ，当x ≥1时，f (x )＝(x ＋b )2，则f (－3)＋f (5)＝________.[答案] 12[解析] ∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0， ∵－1≤x ≤1时，f (x )＝a ，∴a ＝0. ∴f (1)＝(1＋b )2＝0，∴b ＝－1.∴当x ≤－1时，－x ≥1，f (－x )＝(－x －1)2＝(x ＋1)2， ∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－(x ＋1)2， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x ＋1)2 x ≤－10 －1≤x ≤1(x －1)2 x ≥1∴f (－3)＋f (5)＝－(－3＋1)2＋(5－1)2＝12.[点评] 求得b ＝－1后，可直接由奇函数的性质得f (－3)＋f (5)＝－f (3)＋f (5)＝－(3－1)2＋(5－1)2＝12.14．(文)(2010·山东枣庄模拟)若f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫2x1＋x ＋a (a ∈R)是奇函数，则a ＝________.[答案] －1[解析] ∵f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫2x1＋x ＋a 是奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0恒成立， 即lg ⎝⎛⎭⎫2x 1＋x ＋a ＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 1－x ＋a ＝lg ⎝⎛⎭⎫2x 1＋x ＋a ⎝⎛⎭⎫2xx －1＋a ＝0.∴⎝⎛⎭⎫2x 1＋x ＋a ⎝⎛⎭⎫2xx －1＋a ＝1，∴(a 2＋4a ＋3)x 2－(a 2－1)＝0， ∵上式对定义内的任意x 都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a ＋3＝0a 2－1＝0，∴a ＝－1. [点评] ①可以先将真数通分，再利用f (－x )＝－f (x )恒成立求解，运算过程稍简单些． ②如果利用奇函数定义域的特点考虑，则问题变得比较简单．f (x )＝lg (a ＋2)x ＋a 1＋x 为奇函数，显然x ＝－1不在f (x )的定义域内，故x ＝1也不在f (x )的定义域内，令x ＝－aa ＋2＝1，得a ＝－1.故平时解题中要多思少算，培养观察、分析、捕捉信息的能力．(理)(2010·吉林长春质检)已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫－1＋a 2＋x 为奇函数，则使不等式f (x )<－1成立的x 的取值范围是________．[答案]1811<x <2 [解析] ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0恒成立，∴lg ⎝⎛⎭⎫－1＋a 2－x ＋lg ⎝⎛⎭⎫－1＋a2＋x＝lg ⎝⎛⎭⎫－1＋a 2－x ⎝⎛⎭⎫－1＋a2＋x ＝0，∴⎝⎛⎭⎫－1＋a 2－x ⎝⎛⎭⎫－1＋a2＋x ＝1，∵a ≠0，∴4－ax 2－4＝0，∴a ＝4，∴f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫－1＋42＋x ＝lg 2－xx ＋2，由f (x )<－1得，lg 2－x2＋x<－1，∴0<2－x 2＋x <110，由2－x 2＋x >0得，－2<x <2，由2－x 2＋x <110得，x <－2或x >1811，∴1811<x <2.三、解答题15．(2010·杭州外国语学校)已知f (x )＝x 2＋bx ＋c 为偶函数，曲线y ＝f (x )过点(2,5)，g (x )＝(x ＋a )f (x )．(1)若曲线y ＝g (x )有斜率为0的切线，求实数a 的取值范围；(2)若当x ＝－1时函数y ＝g (x )取得极值，且方程g (x )＋b ＝0有三个不同的实数解，求实数b 的取值范围．[解析] (1)由f (x )为偶函数知b ＝0， 又f (2)＝5，得c ＝1，∴f (x )＝x 2＋1. ∴g (x )＝(x ＋a )(x 2＋1)＝x 3＋ax 2＋x ＋a ， 因为曲线y ＝g (x )有斜率为0的切线， 所以g ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1＝0有实数解． ∴Δ＝4a 2－12≥0，解得a ≥3或a ≤－ 3. (2)由题意得g ′(－1)＝0，得a ＝2. ∴g (x )＝x 3＋2x 2＋x ＋2，g ′(x )＝3x 2＋4x ＋1＝(3x ＋1)(x ＋1)． 令g ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝－13.∵当x ∈(－∞，－1)时，g ′(x )>0，当x ∈(－1，－13)时，g ′(x )<0，当x ∈(－13，＋∞)时，g ′(x )>0，∴g (x )在x ＝－1处取得极大值，在x ＝－13处取得极小值．又∵g (－1)＝2，g (－13)＝5027，且方程g (x )＋b ＝0即g (x )＝－b 有三个不同的实数解，∴5027<－b <2，解得－2<b <－5027.16．(2010·揭阳模拟)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数； (2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2011)．[分析] 由f (x ＋2)＝－f (x )可得f (x ＋4)与f (x )关系，由f (x )为奇函数及在(0,2]上解析式可求f (x )在[－2,0]上的解析式，进而可得f (x )在[2,4]上的解析式．[解析] (1)∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)当x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]，由已知得 f (－x )＝2(－x )－(－x )2＝－2x －x 2，又f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝－2x －x 2， ∴f (x )＝x 2＋2x .又当x ∈[2,4]时，x －4∈[－2,0]， ∴f (x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)＝x 2－6x ＋8. 又f (x )是周期为4的周期函数， ∴f (x )＝f (x －4) ＝x 2－6x ＋8.从而求得x ∈[2,4]时， f (x )＝x 2－6x ＋8.(3)f (0)＝0，f (2)＝0，f (1)＝1，f (3)＝－1. 又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2008)＋f (2009)＋f (2010)＋f (2011)＝0.∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2011)＝0. 17．(文)已知函数f (x )＝1－42a x ＋a(a >0且a ≠1)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数． (1)求a 的值； (2)求函数f (x )的值域；(3)当x ∈(0,1]时，tf (x )≥2x －2恒成立，求实数t 的取值范围．[解析] (1)∵f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，即f (－x )＝－f (x )恒成立，∴f (0)＝0.即1－42×a 0＋a＝0，解得a ＝2.(2)∵y ＝2x －12x ＋1，∴2x ＝1＋y1－y ，由2x >0知1＋y1－y>0，∴－1<y <1，即f (x )的值域为(－1,1)． (3)不等式tf (x )≥2x－2即为t ·2x －t 2x ＋1≥2x－2.即：(2x )2－(t ＋1)·2x ＋t －2≤0.设2x ＝u ， ∵x ∈(0,1]，∴u ∈(1,2]．∵u ∈(1,2]时u 2－(t ＋1)·u ＋t －2≤0恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧12－(t ＋1)×1＋t －2≤022－(t ＋1)×2＋t －2≤0，解得t ≥0. (理)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 、b 、c 为实数，且a ≠0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ) x >0－f (x ) x <0.(1)若f (－1)＝0，曲线y ＝f (x )通过点(0,2a ＋3)，且在点(－1，f (－1))处的切线垂直于y 轴，求F (x )的表达式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－1,1]时，g (x )＝kx －f (x )是单调函数，求实数k 的取值范围； (3)设mn <0，m ＋n >0，a >0，且f (x )为偶函数，证明F (m )＋F (n )>0. [解析] (1)因为f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，所以f ′(x )＝2ax ＋b .又曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线垂直于y 轴，故f ′(－1)＝0， 即－2a ＋b ＝0，因此b ＝2a .① 因为f (－1)＝0，所以b ＝a ＋c .② 又因为曲线y ＝f (x )通过点(0,2a ＋3)， 所以c ＝2a ＋3.③解由①，②，③组成的方程组得，a ＝－3，b ＝－6，c ＝－3. 从而f (x )＝－3x 2－6x －3.所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3(x ＋1)2 x >03(x ＋1)2 x <0.(2)由(1)知f (x )＝－3x 2－6x －3， 所以g (x )＝kx －f (x )＝3x 2＋(k ＋6)x ＋3. 由g (x )在[－1,1]上是单调函数知： －k ＋66≤－1或－k ＋66≥1，得k ≤－12或k ≥0. (3)因为f (x )是偶函数，可知b ＝0. 因此f (x )＝ax 2＋c . 又因为mn <0，m ＋n >0， 可知m ，n 异号． 若m >0，则n <0.则F (m )＋F (n )＝f (m )－f (n )＝am 2＋c －an 2－c ＝a (m ＋n )(m －n )>0. 若m <0，则n >0. 同理可得F (m )＋F (n )>0. 综上可知F (m )＋F (n )>0.。
2024年高考数学真题分类汇编(三角函数篇,解析版)
专题三角函数1(新课标全国Ⅰ卷)已知cos (α+β)=m ,tan αtan β=2，则cos (α-β)=()A.-3mB.-m3C.m 3D.3m【答案】A【分析】根据两角和的余弦可求cos αcos β,sin αsin β的关系，结合tan αtan β的值可求前者，故可求cos α-β 的值.【详解】因为cos α+β =m ，所以cos αcos β-sin αsin β=m ，而tan αtan β=2，所以=12×2b ×kb ×sin A 2+12×kb ×b ×sin A2，故cos αcos β-2cos αcos β=m 即cos αcos β=-m ，从而sin αsin β=-2m ，故cos α-β =-3m ，故选：A .2(新课标全国Ⅰ卷)当x ∈[0,2π]时，曲线y =sin x 与y =2sin 3x -π6 的交点个数为()A.3B.4C.6D.8【答案】C【分析】画出两函数在0,2π 上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数y =sin x 的的最小正周期为T =2π，函数y =2sin 3x -π6 的最小正周期为T =2π3，所以在x ∈0,2π 上函数y =2sin 3x -π6有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C3(新课标全国Ⅱ卷)设函数f (x )=a (x +1)2-1，g (x )=cos x +2ax ，当x ∈(-1,1)时，曲线y =f (x )与y =g (x )恰有一个交点，则a =()A.-1B.12C.1D.22024年高考数学真题分类汇编——三角函数篇【分析】解法一：令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，分析可知曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得a =2，并代入检验即可；解法二：令h x =f (x )-g x ,x ∈-1,1 ，可知h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即可得a =2，并代入检验即可.【详解】解法一：令f (x )=g x ，即a (x +1)2-1=cos x +2ax ，可得ax 2+a -1=cos x ，令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，原题意等价于当x ∈(-1,1)时，曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，注意到F x ,G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得F 0 =G 0 ，即a -1=1，解得a =2，若a =2，令F x =G x ，可得2x 2+1-cos x =0因为x ∈-1,1 ，则2x 2≥0,1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，可得2x 2+1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，则方程2x 2+1-cos x =0有且仅有一个实根0，即曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，所以a =2符合题意；综上所述：a =2.解法二：令h x =f (x )-g x =ax 2+a -1-cos x ,x ∈-1,1 ，原题意等价于h x 有且仅有一个零点，因为h -x =a -x 2+a -1-cos -x =ax 2+a -1-cos x =h x ，则h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即h 0 =a -2=0，解得a =2，若a =2，则h x =2x 2+1-cos x ,x ∈-1,1 ，又因为2x 2≥0,1-cos x ≥0当且仅当x =0时，等号成立，可得h x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，即h x 有且仅有一个零点0，所以a =2符合题意；故选：D .4(全国甲卷数学(理)(文))已知cos αcos α-sin α=3，则tan α+π4=()A.23+1 B.23-1C.32D.1-3【答案】B【分析】先将cos αcos α-sin α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos αcos α-sin α=3，所以11-tan α=3，⇒tan α=1-33，所以tan α+π4 =tan α+11-tan α=23-1，故选：B .5(新高考北京卷)已知f x =sin ωx ω>0 ，f x 1 =-1，f x 2 =1，|x 1-x 2|min =π2，则ω=()A.1B.2C.3D.4【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：x 1为f x 的最小值点，x 2为f x 的最大值点，则x 1-x 2 min =T 2=π2，即T =π，且ω>0，所以ω=2πT=2.故选：B .6(新高考天津卷)已知函数f x =sin3ωx +π3ω>0 的最小正周期为π．则函数在-π12,π6 的最小值是()A.-32B.-32C.0D.32【答案】A【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得f x =-sin2x ，再整体求出x ∈-π12,π6时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】f x =sin3ωx +π3 =sin 3ωx +π =-sin3ωx ，由T =2π3ω=π得ω=23，即f x =-sin2x ，当x ∈-π12,π6 时，2x ∈-π6,π3，画出f x =-sin2x 图象，如下图，由图可知，f x =-sin2x 在-π12,π6上递减，所以，当x =π6时，f x min =-sin π3=-32故选：A7(新高考上海卷)下列函数f x 的最小正周期是2π的是()A.sin x +cos xB.sin x cos xC.sin 2x +cos 2xD.sin 2x -cos 2x【答案】A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .【详解】对A ，sin x +cos x =2sin x +π4，周期T =2π，故A 正确；对B ，sin x cos x =12sin2x ，周期T =2π2=π，故B 错误；对于选项C ，sin 2x +cos 2x =1，是常值函数，不存在最小正周期，故C 错误；对于选项D ，sin 2x -cos 2x =-cos2x ，周期T =2π2=π，故D 错误，故选：A ．8(新课标全国Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin2x和g(x)=sin2x-π4，下列说法正确的有() A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期D.f(x)与g(x)的图像有相同的对称轴【答案】BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A选项，令f(x)=sin2x=0，解得x=kπ2,k∈Z，即为f(x)零点，令g(x)=sin2x-π4=0，解得x=kπ2+π8,k∈Z，即为g(x)零点，显然f(x),g(x)零点不同，A选项错误；B选项，显然f(x)max=g(x)max=1，B选项正确；C选项，根据周期公式，f(x),g(x)的周期均为2π2=π，C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+π2⇔x=kπ2+π4,k∈Z，g(x)的对称轴满足2x-π4=kπ+π2⇔x=kπ2+3π8,k∈Z，显然f(x),g(x)图像的对称轴不同，D选项错误.故选：BC9(新课标全国Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=4，tanαtanβ=2+1，则sin(α+β)=.【答案】-22 3【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tanα+β=-22，再缩小α+β的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【详解】法一：由题意得tanα+β=tanα+tanβ1-tanαtanβ=41-2+1=-22，因为α∈2kπ,2kπ+π2,β∈2mπ+π,2mπ+3π2，k,m∈Z，则α+β∈2m+2kπ+π,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，又因为tanα+β=-22<0，则α+β∈2m+2kπ+3π2,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，则sinα+β<0，则sinα+βcosα+β=-22，联立sin2α+β+cos2α+β=1，解得sinα+β=-223.法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cosα>0,cosβ<0,cosα=cosαsin2α+cos2α=11+tan2α，cosβ=cosβsin2β+cos2β=-11+tan2β，则sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=cosαcosβ(tanα+tanβ)=4cosαcosβ=-41+tan2α1+tan2β=-4(tanα+tanβ)2+(tanαtanβ-1)2=-442+2=-223故答案为：-22 3.10(全国甲卷数学(文))函数f x =sin x-3cos x在0,π上的最大值是．【答案】2【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【详解】f x =sin x -3cos x =2sin x -π3 ，当x ∈0,π 时，x -π3∈-π3,2π3，当x -π3=π2时，即x =5π6时，f x max =2.故答案为：2一、单选题1(2024·宁夏石嘴山·三模)在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P 1,2 ，则7cos 2θ-2sin2θ=()A.-15B.15C.-2D.2【答案】A【分析】由题意可知：tan θ=2，根据倍角公式结合齐次化问题分析求解.【详解】由题意可知：tan θ=2，所以7cos 2θ-2sin2θ=7cos 2θ-4sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=7-4tan θtan 2θ+1=7-4×222+1=-15.故选：A .2(2024·广东茂名·一模)已知cos α+π =-2sin α，则sin 2α-3cos α+π2cos αcos2α+1=()A.-1B.-25C.45D.78【答案】D【分析】根据给定条件，求出tan α，再结合诱导公式及二倍角的余弦公式，利用正余弦齐次式法计算得解.【详解】由cos α+π =-2sin α，得cos α=2sin α，则tan α=12，所以sin 2α-3cos α+π2 cos αcos2α+1=sin 2α+3sin αcos α2cos 2α=12tan 2α+32tan α=18+34=78.故选：D3(2024·河北保定·二模)函数f (x )=1-e x1+e xcos2x 的部分图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【分析】根据函数的奇偶性判断即可.【详解】设g x =1-e x1+e x，则g-x=1-e-x1+e-x=e x-11+e x=-g x ，所以g x 为奇函数，设h x =cos2x，可知h x 为偶函数，所以f x =1-e x1+e xcos2x为奇函数，则B，C错误，易知f0 =0，所以A正确，D错误．故选：A.4(2024·山东济宁·三模)已知函数f(x)=(3sin x+cos x)cos x-12，若f(x)在区间-π4,m上的值域为-3 2,1，则实数m的取值范围是()A.π6,π2B.π6,π2C.π6,7π12D.π6,7π12【答案】D【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数f(x)，再借助正弦函数的图象与性质求解即得.【详解】依题意，函数f(x)=3sin x cos x+cos2x-12=32sin2x+12cos2x=sin2x+π6，当x∈-π4,m时，2x+π6∈-π3,2m+π6，显然sin-π3=sin4π3=-32,sinπ2=1，且正弦函数y=sin x在π2,4π3上单调递减，由f(x)在区间-π4,m上的值域为-32,1，得π2≤2m+π6≤4π3，解得π6≤m≤7π12，所以实数m的取值范围是π6,7π12.故选：D5(2024·江西景德镇·三模)函数f x =cosωx x∈R在0,π内恰有两个对称中心，fπ=1，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数g x 的图象.若fα +gα =35，则cos4α+π3=()A.725B.1625C.-925D.-1925【答案】A【分析】根据y轴右边第二个对称中心在0,π内，第三个对称中心不在0,π内可求得32≤ω<52，结合fπ=1可得ω=2，再利用平移变换求出g x ，根据三角变换化简fα +gα =35可得sin2α+π6=35，然后由二倍角公式可解.【详解】由x∈0,π得ωx∈0,ωπ，因为函数f x 在0,π内恰有两个对称中心，所以3π2≤ωπ5π2>ωπ，解得32≤ω<52，又fπ=cosωπ=1，所以ωπ=kπ,k∈Z，即ω=k,k∈Z，所以ω=2，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数y=cos2x-π3=cos2x-2π3，即g x =cos2x-2π3，因为fα +gα =cos2α+cos2α-2π3=32sin2α+12cos2α=sin2α+π6=35，所以cos4α+π3=1-2sin22α+π6=1-2×35 2=725.故选：A6(2024·安徽马鞍山·三模)已知函数f(x)=sin2ωx+cos2ωx(ω>1)的一个零点是π2，且f(x)在-π6,π16上单调，则ω=()A.54B.74C.94D.114【答案】B【分析】整理可得f(x)=2sin2ωx+π4，以2ωx+π4为整体，根据单调性分析可得1<ω≤2，再结合零点分析求解.【详解】因为f(x)=sin2ωx+cos2ωx=2sin2ωx+π4，x∈-π6,π16，且ω>1时，可得2ωx+π4∈-π3ω+π4,π8ω+π4，且-π3ω+π4<0<π8ω+π4，若f(x)在-π6,π16上单调，则-π3ω+π4≥-π2π8ω+π4≤π2，解得1<ω≤2，又因为f(x)的一个零点是π2，则πω+π4=kπ,k∈Z，解得ω=k-14,k∈Z，所以k=2,ω=7 4 .故选：B.7(2024·山东临沂·二模)已知函数f x =sin2x+φϕ <π2图象的一个对称中心为π6,0，则()A.f x 在区间-π8,π3上单调递增B.x=5π6是f x 图象的一条对称轴C.f x 在-π6,π4上的值域为-1,32D.将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称【答案】D【分析】借助整体代入法结合正弦函数的性质可得A、B；结合正弦函数最值可得C；得到平移后的函数解析式后借助诱导公式即可得D.【详解】由题意可得2×π6+φ=kπk∈Z，解得φ=-π3+kπk∈Z，又ϕ <π2，故φ=-π3，即f x =sin2x-π3；对A ：当x ∈-π8,π3 时，2x -π3∈-7π12,π3，由函数y =sin x 在-7π12,π3上不为单调递增，故f x 在区间-π8,π3上不为单调递增，故A 错误；对B ：当x =5π6时，2x -π3=4π3，由x =4π3不是函数y =sin x 的对称轴，故x =5π6不是f x 图象的对称轴，故B 错误；对C ：当x ∈-π6,π4 时，2x -π3∈-2π3,π6，则f x ∈-1,12，故C 错误；对D ：将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，可得y =sin 2x +2×5π12-π3 =sin 2x +π2=cos2x ，该函数关于y 轴对称，故D 正确.故选：D .8(2024·广东广州·二模)已知函数f (x )=2sin (ωx +φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，若将函数f (x )的图象向右平移θ(θ>0)个单位后所得曲线关于y 轴对称，则θ的最小值为()A.π8B.π4C.3π8D.π2【答案】A【分析】根据给定的图象特征，结合五点法作图列式求出ω和φ，再根据图象的平移变换，以及图象的对称性即可得解.【详解】由f π4=1，得sin π4ω+φ =22，又点π4,1 及附近点从左到右是上升的，则π4ω+φ=π4+2k π,k ∈Z ，由f 5π8 =0，点5π8,0 及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得5π8ω+φ=π+2k π,k ∈Z ，联立解得ω=2，φ=-π4+2k π,k ∈Z ，而|φ|<π2，于是φ=-π4，f (x )=2sin 2x -π4，若将函数f (x )的图像向右平移θ(θ>0)个单位后，得到y =sin 2x -2θ-π4，则-2θ-π4=π2-k π,k ∈Z ，而θ>0，因此θ=-3π8+k π2,k ∈N ，所以当k =1时，θ取得最小值为π8.故选：A9(2024·四川雅安·三模)已知函数f x =sin ωx +3cos ωx (ω>0)，则下列说法中正确的个数是()①当ω=2时，函数y =f x -2log πx 有且只有一个零点；②当ω=2时，函数y =f x +φ 为奇函数，则正数φ的最小值为π3；③若函数y =f x 在0,π3 上单调递增，则ω的最小值为12；④若函数y =f x 在0,π 上恰有两个极值点，则ω的取值范围为136,256.A.1 B.2C.3D.4【答案】B【分析】利用辅助角公式化简函数，由图象分析判断①；由正弦函数的性质判断②③；由极大值的意义结合正弦函数的性质判断④.【详解】依题意，ω>0，函数f (x )=212sin ωx +32cos ωx =2sin ωx +π3，对于①：f (x )=2sin 2x +π3，令y =f x -2log πx =0，即f x =2log πx ，作出函数y =f (x )和函数y =2log πx 的图象，如图，观察图象知，两个函数在0,7π12 上只有一个零点，f 13π12 =2sin 5π2=2，当x =13π12时，y =2log π13π12=2log π1312+2log ππ=2+2log π1312>2，当x >13π12时，2log πx >2≥f (x )，因此函数y =f x 与函数y =2log πx 的图象有且只有一个交点，①正确；对于②：f (x +φ)=2sin 2x +2φ+π3 为奇函数，则2φ+π3=k π,k ∈Z ，φ=-π6+k π2,k ∈Z ，即正数φ的最小值为π3，②正确；对于③：当x ∈0,π3 时，ωx +π3∈π3,π(ω+1)3，由y =f x 在0,π3 上单调递增，得π(ω+1)3≤π2ω>0，解得0<ω≤12，正数ω有最大值12，③错误；对于④：当x ∈(0,π)时，ωx +π3∈π3,ωπ+π3，而y =f x 在(0,π)上恰有两个极值点，由正弦函数的性质得3π2<ωπ+π3≤5π2，解得76<ω≤136，因此ω的取值范围是76,136，④错误.综上，共2个正确，故选：B .10(2024·河北保定·二模)已知tan α=3cos αsin α+11，则cos2α=()A.-78B.78C.79D.-79【答案】B【分析】利用切化弦和同角三角函数的关系，解出sin α，再结合二倍角公式即可求解.【详解】因为sin αcos α=3cos αsin α+11，所以4sin 2α+11sin α-3=0，解得sin α=14或sin α=-3(舍去)，所以cos2α=1-2sin 2α=78．故选：B .11(2024·河北衡水·三模)已知sin (3α-β)=m sin (α-β)，tan (2α-β)=n tan α，则m ，n 的关系为()A.m =2nB.n =m +1mC.n =m m -1D.n =m +1m -1【答案】D【分析】利用和差角的正弦公式化简，结合已知列出方程即可求解.【详解】依题意，sin (3α-β)=sin [(2α-β)+α]=sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α，sin (α-β)=sin [(2α-β)-α]=sin (2α-β)cos α-cos (2α-β)sin α，则sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α=m sin (2α-β)cos α-m cos (2α-β)sin α，即sin (2α-β)cos αcos (2α-β)sin α=m +1m -1，即tan (2α-β)tan α=m +1m -1=n .故选：D12(2024·辽宁沈阳·三模)已知tan α2=2，则sin 2α2+sin α的值是()A.25B.45C.65D.85【答案】D【分析】利用二倍角公式和同角之间的转化，进行求解判断选项【详解】当tan α2=2，则sin 2α2+sin α=sin 2α2+2sin α2cos α2sin 2α2+cos 2α2=tan 2α2+2tan α2tan 2α2+1=22+2×222+1=85故选：D13(2024·贵州黔东南·二模)已知0<α<β<π，且sin α+β =2cos α+β ，sin αsin β-3cos αcos β=0，则tan α-β =()A.-1 B.-32C.-12D.12【答案】C【分析】找出tan α和tan β的关系，求出tan α和tan β即可求解.【详解】∵sin αsin β-3cos αcos β=0，∴sin αsin β=3cos αcos β，∴tan αtan β=3①，∵sin α+β =2cos α+β ，∴tan α+β =2⇒tan α+tan β1-tan αtan β=2⇒tan α+tan β1-3=2，∴tan α+tan β=-4②，由①②解得tan α=-1tan β=-3或tan α=-3tan β=-1 ，∵0<α<β<π，∴tan α<tan β，∴tan α=-3tan β=-1 ，∴tan α-β =tan α-tan β1+tan αtan β=-12.故选：C .二、多选题14(2024·河北张家口·三模)已知函数f (x )=23cos 2x +2sin x cos x ，则下列说法正确的是()A.函数f (x )的一个周期为2πB.函数f (x )的图象关于点π3,0 对称C.将函数f (x )的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的最小值为5π12D.若f 12α-5π24 -3=12，其中α为锐角，则sin α-cos α的值为6-308【答案】ACD【分析】利用三角恒等变换公式化简，由周期公式可判断A ；代入验证可判断B ；根据平移变化求g (x )，由奇偶性可求出φ，可判断C ；根据已知化简可得sin α-π12 =14，将目标式化为2sin α-π12 -π6 ，由和差角公式求解可判断D .【详解】对于A ，因为f (x )=31+cos2x +sin2x =2sin 2x +π3+3，所以f (x )的最小值周期T =2π2=π，所以2π是函数f (x )的一个周期，A 正确；对于B ，因为f π3 =2sin 2×π3+π3 +3=3，所以，点π3,0 不是函数f (x )的对称中心，B 错误；对于C ，由题知，g x =f (x -φ)=2sin 2(x -φ)+π3 +3=2sin 2x +π3-2φ +3，若函数g (x )为偶函数，则π3-2φ=π2+k π,k ∈Z ，得φ=-π12-k π2,k ∈Z ，因为φ>0，所以φ的最小值为5π12，C 正确；对于D ，若f 12α-5π24-3=2sin 212α-5π24 +π3 =2sin α-π12 =12，则sin α-π12 =14，因为α为锐角，-π12<α-π12<5π12，所以cos α-π12 =154，所以sin α-cos α=2sin α-π4 =2sin α-π12 -π6=232sin α-π12 -12cos α-π12=232×14-12×154=6-308，D 正确.故选：ACD 15(2024·辽宁鞍山·模拟预测)已知函数f x =sin x ⋅cos x ，则()A.f x 是奇函数B.f x 的最小正周期为2πC.f x 的最小值为-12D.f x 在0,π2上单调递增【答案】AC【分析】首先化简函数f x =12sin2x ，再根据函数的性质判断各选项.【详解】f x =sin x ⋅cos x =12sin2x ，函数的定义域为R ，对A ，f -x =-12sin2x =-f x ，所以函数f x 是奇函数，故A 正确；对B ，函数f x 的最小正周期为2π2=π，故B 错误；对C ，函数f x 的最小值为-12，故C 正确；对D ，x ∈0,π2 ，2x ∈0,π ，函数f x 不单调，f x 在0,π4 上单调递增，在π4,π2上单调递减，故D 错误.故选：AC16(2024·安徽·三模)已知函数f x =sin x -3cos x ，则()A.f x 是偶函数B.f x 的最小正周期是πC.f x 的值域为-3,2D.f x 在-π,-π2上单调递增【答案】AC【分析】对于A ，直接用偶函数的定义即可验证；对于B ，直接说明f 0 ≠f π 即可否定；对于C ，先证明-3≤f x ≤2，再说明对-3≤u ≤2总有f x =u 有解即可验证；对于D ，直接说明f -5π6>f -2π3 即可否定.【详解】对于A ，由于f x 的定义域为R ，且f -x =sin -x -3cos -x =-sin x -3cos x =sin x -3cos x =f x ，故f x 是偶函数，A 正确；对于B ，由于f 0 =sin0 -3cos0=-3，f π =sinπ -3cosπ=3，故f 0 ≠f π ，这说明π不是f x 的周期，B 错误；对于C ，由于f x =sin x -3cos x ≤sin x +3cos x =sin x +3cos x 2≤sin x +3cos x 2+3sin x -cos x 2=sin 2x +3cos 2x +23sin x cos x +3sin 2x +cos 2x -23sin x cos x =4sin 2x +4cos 2x =4=2，且f x =sin x -3cos x ≥-3cos x ≥-3，故-3≤f x ≤2.而对-3≤u ≤2，有f 0 =-3≤u ，f 5π6 =2≥u ，故由零点存在定理知一定存在x ∈0,5π6使得f x =u .所以f x 的值域为-3,2 ，C 正确；对于D ，由于-π<-5π6<-2π3<-π2，f -5π6 =2>3=f -2π3 ，故f x 在-π,-π2上并不是单调递增的，D 错误.故选：AC .17(2024·山西太原·模拟预测)已知函数f x =sin 2x +φ 0<φ<π2 的图象关于直线x =π12对称，且h x =sin2x -f x ，则()A.φ=π12B.h x 的图象关于点π6,0中心对称C.f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称 D.h x 在区间π6,5π12内单调递增【答案】BCD【分析】根据正弦函数的对称性求解φ判断A ，先求出h x =sin 2x -π3，然后利用正弦函数的对称性求解判断B ，根据对称函数的性质判断C ，结合正弦函数的单调性代入验证判断D .【详解】由题意得2×π12+φ=π2+k π，k ∈Z ，解得φ=π3+k π，k ∈Z ，又因为0<φ<π2，所以φ=π3，A 错误；由φ=π3可知f x =sin 2x +π3，则h x =sin2x -sin 2x +π3 =12sin2x -32cos2x =sin 2x -π3，令2x -π3=k π，k ∈Z ，解得x =π6+k π2，k ∈Z ，令k =0，得x =π6，所以点π6,0 是曲线y =h x 的对称中心，B 正确；因为f π2-x =sin 2π2-x +π3 =sin 4π3-2x =sin 2x -π3=h x ，所以f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称，C 正确；当x ∈π6,5π12 时，2x -π3∈0,π2 ，故h x 在区间π6,5π12内单调递增，D 正确.故选：BCD 18(2024·浙江金华·三模)已知函数f x =sin2ωx cos φ+cos2ωx sin φω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示，则()A.φ=π6B.ω=2C.f x +π6为偶函数 D.f x 在区间0,π2的最小值为-12【答案】ACD【分析】先由正弦展开式，五点法结合图象求出f x =sin 2x +π6，可得A 正确，B 错误；由诱导公式可得C 正确；整体代入由正弦函数的值域可得D 正确.【详解】由题意得f x =sin 2ω+φ ，由图象可得f 0 =12⇒sin φ=12，又0<φ<π2，所以φ=π6，由五点法可得ω×4π3+π6=3π2⇒ω=1，所以f x =sin 2x +π6 .A ：由以上解析可得φ=π6，故A 正确；B ：由以上解析可得ω=1，故B 错误；C ：f x +π6 =sin 2x +π6 +π6=cos2x ，故C 正确；D ：当x ∈0,π2 ⇒2x +π6∈π6,7π6 时，sin 2x +π6 ∈-12,1，所以最小值为-12，故D 正确；故选：ACD .19(2024·浙江温州·二模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，P -3,4 为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，则()A.cos π+α =35B.β=2k π+π2+2αk ∈Z C.tan β=724D.角β的终边在第一象限【答案】ACD【分析】根据三角函数的定义，可求角α的三角函数，结合诱导公式判断A 的真假；利用二倍角公式，求出2α的三角函数值，结合三角函数的概念指出角2α的终边与单位圆的交点，由对称性确定角β终边与单位圆交点，从而判断BCD 的真假.【详解】因为角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P -3,4 ，所以：OP =5，所以sin α=45，cos α=-35，所以cos π+α =-cos α=35，故A 对；又sin2α=2sin α⋅cos α=2×45×-35 =-2425，cos2α=cos 2α-sin 2α=-35 2-45 2=-725，所以2α的终边与单位圆的交点坐标为：-725,-2425 ，因为角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，所以角β的终边与单位圆的交点为2425,725，所以tan β=724，且β的终边在第一象限，故CD 正确；又因为终边在直线y =-x 的角为：k π-π4,k ∈Z ，角2α的终边与角β的终边关于y =-x 对称，所以2α+β2=k π-π4⇒β=2k π-π2-2αk ∈Z ，故B 错误.故选：ACD20(2024·广东佛山·二模)已知函数f x =sin x +cos2x 与g x =sin2x +cos x ，记h x =λf x +μg x ，其中λ，μ∈R 且λ2+μ2≠0．下列说法正确的是()A.h x 一定为周期函数B.若λ⋅μ>0，则h x 在0,π2上总有零点C.h x 可能为偶函数 D.h x 在区间0,2π 上的图象过3个定点【答案】ABD【分析】对于A ：计算h x +2π ，化简即可；对于B ：求出h x ，然后计算h 0 h π2的正负即可；对于C ：计算h x ,h -x 是否恒相等即可；对于D ：令f x =0g x =0，求解x 即可.【详解】对于A ，∀x ∈R ，h x +2π =λf x +2π +μg x +2π =λf x +μg x =h x ，A 正确；对于B ，h x =λcos x -2sin2x +μ2cos2x -sin x ，则h 0 =λ+2μ，h π2=-3μ，因为λμ>0，即λ，μ同号，所以h 0 h π2<0，由零点存在定理知h x 在0,π2上总有零点，故B 正确；对于C ，h x =λsin x +λcos2x +μsin2x +μcos x ，h -x =-λsin x +λcos2x -μsin2x +μcos x ，由h x =h -x 得2λsin x +2μsin2x =2λsin x +2μ⋅2sin x cos x =2sin x λ+2μcos x =0对x ∈R 恒成立，则λ=μ=0与题意不符，故C 错误；对于D ，令f x =0g x =0 ，则sin x +cos2x =1-2sin 2x +sin x =-sin x -1 2sin x +1 =0sin2x +cos x =cos x 2sin x +1 =0 ⇒sin x =1或sin x =-12cos x =0或sin x =-12，即x ∈-π6+2k π,π2+2k π,7π6+2k π ，k ∈Z ，故所有定点坐标为-π6+2k π,0 ，π2+2k π,0 ，7π6+2k π,0 ，k ∈Z ，又因为x ∈0,2π ，所以函数h x 的图象过定点π2,0 ，7π6,0 ，11π6,0 ，故D 正确；故选：ABD ．21(2024·湖南·二模)已知函数f x =12cos 2x -π3 ，把y =f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x 的图象，以下说法正确的是()A.x =π6是y =f x 图象的一条对称轴B.f x 的单调递减区间为k π+π6,k π+2π3k ∈Z C.y =g x 的图象关于原点对称D.f x +g x 的最大值为12【答案】ABD【分析】根据题意，求得g x =-12cos2x 的图象，结合三角函数的图象与性质，以及两角差的正弦公式，逐项判定，即可求解.【详解】将函数f x =12cos 2x -π3 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x =12cos 2x -π =-12cos2x 的图象，对于A 中，令x =π6，求得f x =12，即为函数y =f x 最大值，所以直线x =π6是函数f x 图象的一条对称轴，所以A 正确；对于B 中，令2k π≤2x -π3≤2k π+π,k ∈Z ，解得k π+π6≤x ≤k π+2π3,k ∈Z ，可得f x 的单调减区间为k π+π6,k π+2π3,k ∈Z ，所以B 正确.对于C 中，由于g x =-12cos2x 是偶函数，可得函数g x 的图象关于y 轴对称，所以C 错误.对于D 中，由f x +g x =12cos 2x -π3 +-12cos2x =1212cos2x +32sin2x -12cos2x =34sin2x -14cos2x =12sin 2x -π6 ≤12，即f x +g x 的最大值为12，所以D 正确.故选：ABD .22(2024·广东江门·一模)已知函数f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3(ω>0)，则下列结论正确的是()A.若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则ω=2B.当ω=1，x ∈0,π2时，f x 的值域为-3,2 C.当ω=1时，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为y =2cos 2x +π6D.若f x 在区间0,π6上有且仅有两个零点，则5≤ω<8【答案】BCD【分析】根据三角恒等变换化简f x =2sin 2ωx +π3，进而根据周期可判断A ，根据整体法求解函数的值域判断B ，根据函数图象的平移可判断C ，根据零点个数确定不等式满足的条件可判断D .【详解】f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3=sin2ωx cos π3+cos2ωx sin π3+sin2ωx cos π3-cos2ωx sin π3+3cos2ωx=sin2ωx +3cos2ωx =2sin 2ωx +π3，对于A ，若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则T =2×π2=π=2π2ω,故ω=1，A 错误，对于B ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3 ，当x ∈0,π2 时，2x +π3∈π3,4π3，则f x 的值域为-3,2 ，B 正确，对于C ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为f x +π6 =2sin 2x +π6 +π3 =2sin 2x +2π3 =2cos 2x +π6，C 正确，对于D ，当x ∈0,π6 时，2ωx +π3∈π3,2ωπ6+π3，若f x 在区间0,π6 上有且仅有两个零点，则2π≤2ωπ6+π3<3π，解得5≤ω<8，故D 正确，故选：BCD 三、填空题23(2024·北京·三模)已知函数f (x )=sin x cos ωx ,x ∈R ．①若ω=1，则f (x )的最小正周期是；，②若ω=2，则f (x )的值域是．【答案】π[-1,1]【分析】把ω=1代入，t 明智二倍角的正弦，结合正弦函数的周期求出f (x )的最小正周期；把ω=2代入，利用二倍角的余弦公式，借助换元法，利用导数求出f (x )的值域.【详解】当ω=1时，f (x )=sin x cos x =12sin2x ，函数f (x )的最小正周期为2π2=π；当ω=2时，f (x )=sin x cos2x =sin x (1-2sin 2x )，令sin x =t ∈[-1,1]，g (t )=t (1-2t 2)=-2t 3+t ，求导得g (t )=-6t 2+1，当-1≤t <-66或66<t ≤1时，g (t )<0，当-66<t <66时，g (t )>0，函数g (t )在-1,-66 ，66,1 上单调递减，在-66,66上单调递增，g (-1)=1,g 66 =69，g (1)=-1,g -66 =-69，所以g (t )min =-1,g (t )max =1，f (x )的值域是[-1,1].故答案为：π；[-1,1]24(2024·北京·模拟预测)已知函数f (x )=sin ωx -2cos ωx (ω>0)，且f α+x =f α-x .若两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，则sin4α=.【答案】-45/-0.8【分析】利用辅助角公式化简f (x )的解析式，再由题意可得函数关于x =α对称，且最小正周期T =π，即可求出ω的值，从而得到2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得．【详解】因为f (x )=sin ωx -2cos ωx =5sin ωx -φ ，其中tan φ=2，由f α+x =f α-x ，可得f x 关于x =α对称，又两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，所以f x 的最小正周期T =π，又ω>0，所以2πω=π，解得ω=2，所以f x =5sin 2x -φ ，所以2α-φ=π2+k π,k ∈Z ，则2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，所以sin4α=sin2φ+π2+k π =sin 2φ+π+2k π =-sin2φ=-2sin φcos φsin 2φ+cos 2φ=-2tan φtan 2φ+1=-2×222+1=-45.故答案为：-4525(2024·湖北荆州·三模)设0<α<β<π2，tan α=m tan β，cos α-β =35，若满足条件的α与β存在且唯一，则m =，tan αtan β=.【答案】191【分析】由tan α=m tan β得到sin αcos β=m cos αsin β，再结合cos α-β =35，利用sin α-β =-45，得到cos αsin β=-45m -1 ，sin αcos β=-4m5m -1 ，从而sin α+β =-4m +1 5m -1，再由满足条件的α与β存在且唯一，得到α+β唯一，从而sin α+β =-4m +15m -1=1，求得m 即可.【详解】解：由tan α=m tan β，得sin αcos α=m sin βcos β，即sin αcos β=m cos αsin β，因为0<α<β<π2，tan α=m tan β，所以-π2<α-β<0，0<m <1，又cos α-β =35，所以sin α-β <0，从而sin α-β =sin αcos β-cos αsin β=m -1 cos αsin β=-45，所以cos αsin β=-45m -1，所以sin αcos β=m cos αsin β=-4m5m -1，所以sin α+β =sin αcos β+cos αsin β=-4m +15m -1，因为α,β∈0,π2，所以α+β∈0,π ，因为满足条件的α与β存在且唯一，所以α+β唯一，所以sin α+β =-4m +1 5m -1=1，所以m =19，经检验符合题意，所以tan α=19tan β，则tan α-β =-43=tan α-tan β1+tan αtan β=tan α-9tan α1+9tan 2α，解得tan α=13，所以tan αtan β=9tan 2α=1.故答案为：19，1【点睛】关键点点睛：关键是结合已知得出sin α+β =-4m +15m -1 =1，求出m ，由此即可顺利得解.。
历年高考数学函数题库(含答案)
【答案】D，做出点知即,,2121y y x x >-<-方法二：设3()F x x bx =-【答案】Ｃ图像大致是=，则函数题库(1)g -=【答案】330.（2012高考广东文11）函数的定义域为 .1x y x+=【答案】[)()1,00,-+∞U 31.（2102高考北京文12）已知函数，若，则x x f lg )(=1)(=ab f =+)()(22b f a f _____________。
【答案】232.（2102高考北京文14）已知，，若)3)(2()(++-=m x m x m x f 22)(-=xx g ，或，则m 的取值范围是_________。
R x ∈∀0)(<x f 0)(<x g 【答案】)0,4(-33.（2012高考天津文科14）已知函数的图像与函数的图像恰有两个交211x y x -=-y kx =点，则实数的取值范围是 .k 【答案】或。
10<<k 21<<k 34.（2012高考江苏5）函数的定义域为 ．x x f 6log 21)(-=【答案】。
(0 6⎤⎦（【考点】函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式。
35.（2012高考江苏10）设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，()f x R [11]-，其中．若，0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，a b ∈R ，1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则的值为 ．3a b +【答案】。
10-【答案】C【解析】因为,所以令,得,此时原函数是增函'12cos 2y x =-'12cos 02y x =->1cos 4x <数;令,得,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象，可得选C'12cos 0y x =-<1cos x >8．(2011年高考浙江卷理科1)设函数,则实数=2,0,()()4,0.x x f x f x x α-≤⎧==⎨>⎩若α（A ）-4或-2 （B ）-4或2 （C ）-2或4 （D ）-2或2【答案】 B【解析】：当，故选B2042,a a a >=⇒=时,044a a a ≤=⇒=-当时,-9. (2011年高考全国新课标卷理科2)下列函数中，既是偶函数又是区间上的增函数),0(+∞的是（ ）A B C D 3x y =1+=x y 12+-=x y xy -=2【答案】B解析：由偶函数可排除A ，再由增函数排除C,D,故选B ；点评：此题考查复合函数的奇偶性和单调性，因为函数都是偶函数，所以，x y x y -==和内层有它们的就是偶函数，但是，它们在的单调性相反，再加上外层函数的单调性),0(+∞就可以确定。
高考数学试卷函数题
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(2)的值为（）A. 1B. 3C. 5D. 72. 函数y = 2^x在定义域内（）A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增3. 函数y = |x| + 1的图像是（）A. V形B. U形C. 两条射线D. 一条射线4. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f'(x)的值为（）A. 3x^2 - 3B. 3x^2 + 3C. 3x^2 - 6xD. 3x^2 + 6x5. 函数y = (x - 1)^2 + 1的图像的对称轴为（）A. x = 0B. x = 1C. y = 0D. y = 16. 函数y = log2(x + 1)的定义域为（）A. (-∞, -1)B. (-1, +∞)C. (-∞, +∞)D. (-∞, 0)7. 函数y = 3^x在定义域内（）A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增8. 已知函数f(x) = x^2 + 2x + 1，则f(x)的图像是（）A. 顶点在y轴上B. 顶点在x轴上C. 顶点在第一象限D. 顶点在第四象限9. 函数y = sin(x)的周期为（）A. πB. 2πC. 3πD. 4π10. 函数y = arctan(x)的值域为（）A. (-π/2, π/2)B. (0, π)C. (-π, π)D. (-∞, +∞)二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。
把答案填在题中的横线上。
）11. 函数f(x) = 2x - 3的图像与x轴的交点坐标为______。
12. 函数y = x^2 - 4x + 3的图像的顶点坐标为______。
13. 函数y = log2(x + 1)的图像在y轴上的截距为______。
14. 函数y = sin(x)的一个周期为______。
高考数学三角函数选择题
高考数学三角函数选择题1. 函数f(x) = sin2x - cos2x的图像可以表示为（）A. 一条直线B. 一个正弦函数C. 一个余弦函数D. 一个正弦函数和一个余弦函数的合成2. 已知函数f(x) = sin(x + π/2)，那么f(x)的周期是（）A. πB. 2πC. 4πD. 8π3. 已知函数f(x) = sin(x - π/2)，那么f(x)的图像可以表示为（）A. 一条直线B. 一个正弦函数C. 一个余弦函数D. 一个正弦函数和一个余弦函数的合成4. 已知函数f(x) = cos(x + π/2)，那么f(x)的周期是（）B. 2πC. 4πD. 8π5. 已知函数f(x) = cos(x - π/2)，那么f(x)的图像可以表示为（）A. 一条直线B. 一个正弦函数C. 一个余弦函数D. 一个正弦函数和一个余弦函数的合成6. 已知函数f(x) = sin2x，那么f(x)的周期是（）A. πB. 2πC. 4πD. 8π7. 已知函数f(x) = cos2x，那么f(x)的周期是（）A. πB. 2πC. 4π8. 已知函数f(x) = sin(2x + π/2)，那么f(x)的图像可以表示为（）A. 一条直线B. 一个正弦函数C. 一个余弦函数D. 一个正弦函数和一个余弦函数的合成9. 已知函数f(x) = cos(2x - π/2)，那么f(x)的图像可以表示为（）A. 一条直线B. 一个正弦函数C. 一个余弦函数D. 一个正弦函数和一个余弦函数的合成10. 已知函数f(x) = sin(x + π)，那么f(x)的周期是（）A. πB. 2πC. 4πD. 8π11. 已知函数f(x) = cos(x + π)，那么f(x)的周期是（）A. πB. 2πC. 4πD. 8π12. 已知函数f(x) = sin(x - π)，那么f(x)的图像可以表示为（）A. 一条直线B. 一个正弦函数C. 一个余弦函数D. 一个正弦函数和一个余弦函数的合成13. 已知函数f(x) = cos(x - π)，那么f(x)的图像可以表示为（）A. 一条直线B. 一个正弦函数C. 一个余弦函数D. 一个正弦函数和一个余弦函数的合成14. 已知函数f(x) = sin3x，那么f(x)的周期是（）A. πB. 2πC. 3πD. 4π15. 已知函数f(x) = cos3x，那么f(x)的周期是（）A. πB. 2πC. 3πD. 4π16. 已知函数f(x) = sin(3x + π/2)，那么f(x)的图像可以表示为（）A. 一条直线B. 一个正弦函数C. 一个余弦函数D. 一个正弦函数和一个余弦函数的合成17. 已知函数f(x) = cos(3x - π/2)，那么f(x)的图像可以表示为（）A. 一条直线B. 一个正弦函数C. 一个余弦函数D. 一个正弦函数和一个余弦函数的合成18. 已知函数f(x) = sin(x/3)，那么f(x)的周期是（）A. πB. 2πC. 3πD. 4π19. 已知函数f(x) = cos(x/3)，那么f(x)的周期是（）A. πB. 2πC. 3πD. 4π20. 已知函数f(x) = sin(x/3 + π/2)，那么f(x)的图像可以表示为（）A. 一条直线B. 一个正弦函数C. 一个余弦函数D. 一个正弦函数和一个余弦函数的合成21. 已知函数f(x) = cos(x/3 - π/2)，那么f(x)的图像可以表示为（）A. 一条直线B. 一个正弦函数C. 一个余弦函数D. 一个正弦函数和一个余弦函数的合成22. 已知函数f(x) = sin(x/2)，那么f(x)的周期是（）A. πB. 2πC. 4πD. 8π23. 已知函数f(x) = cos(x/2)，那么f(x)的周期是（）A. πB. 2πC. 4πD. 8π24. 已知函数f(x) = sin(x/2 + π/2)，那么f(x)的图像可以表示为（）A. 一条直线B. 一个正弦函数C. 一个余弦函数D. 一个正弦函数和一个余弦函数的合成25. 已知函数f(x) = cos(x/2 - π/2)，那么f(x)的图像可以表示为（）A. 一条直线B. 一个正弦函数C. 一个余弦函数D. 一个正弦函数和一个余弦函数的合成26. 已知函数f(x) = sin(x/2 + π)，那么f(x)的周期是（）A. πB. 2πC. 4πD. 8π27. 已知函数f(x) = cos(x/2 + π)，那么f(x)的周期是（）A. πB. 2πC. 4πD. 8π28. 已知函数f(x) = sin(x/2 - π)，那么f(x)的图像可以表示为（）A. 一条直线B. 一个正弦函数C. 一个余弦函数D. 一个正弦函数和一个余弦函数的合成29. 已知函数f(x) = cos(x/2 - π)，那么f(x)的图像可以表示为（）A. 一条直线B. 一个正弦函数C. 一个余弦函数D. 一个正弦函数和一个余弦函数的合成30. 已知函数f(x) = sin(x)，那么f(x)的周期是（）A. πB. 2πC. 4πD. 8π31. 已知函数f(x) = cos(x)，那么f(x)的周期是（）A. πB. 2πC. 4πD. 8π32. 已知函数f(x) = sin(-x)，那么f(x)的图像可以表示为（）A. 一条直线B. 一个正弦函数C. 一个余弦函数D. 一个正弦函数和一个余弦函数的合成33. 已知函数f(x) = cos(-x)，那么f(x)的图像可以表示为（）A. 一条直线B. 一个正弦函数C. 一个余弦函数D. 一个正弦函数和一个余弦函数的合成34. 已知函数f(x) = sin(x + π)，那么f(x)的周期是（）A. πB. 2πC. 4πD. 8π35. 已知函数f(x) = cos(x + π)，那么f(x)的周期是（）A. πB. 2πC. 4πD. 8π36. 已知函数f(x) = sin(x - π)，那么f(x)的图像可以表示为（）A. 一条直线B. 一个正弦函数C. 一个余弦函数D. 一个正弦函数和一个余弦函数的合成37. 已知函数f(x) = cos(x - π)，那么f(x)的图像可以表示为（）A. 一条直线B. 一个正弦函数C. 一个余弦函数D. 一个正弦函数和一个余弦函数的合成38. 已知函数f(x) = sin(-x + π/2)，那么f(x)的图像可以表示为（）A. 一条直线B. 一个正弦函数C. 一个余弦函数D. 一个正弦函数和一个余弦函数的合成39. 已知函数f(x) = cos(-x + π/2)，那么f(x)的图像可以表示为（）A. 一条直线B. 一个正弦函数C. 一个余弦函数D. 一个正弦函数和一个余弦函数的合成40. 已知函数f(x) = sin(-x - π/2)，那么f(x)的图像可以表示为（）A. 一条直线B. 一个正弦函数C. 一个余弦函数D. 一个正弦函数和一个余弦函数的合成41. 已知函数f(x) = cos(-x - π/2)，那么f(x)的图像可以表示为（）A. 一条直线B. 一个正弦函数C. 一个余弦函数D. 一个正弦函数和一个余弦函数的合成42. 已知函数f(x) = sin(-x)，那么f(x)的周期是（）A. πB. 2πC. 4πD. 8π43. 已知函数f(x) = cos(-x)，那么f(x)的周期是（）A. πB. 2πC. 4πD. 8π44. 已知函数f(x) = sin(-x + π)，那么f(x)的周期是（）A. πB. 2πC. 4πD. 8π45. 已知函数f(x) = cos(-x + π)，那么f(x)的周期是（）A. πB. 2πC. 4πD. 8π46. 已知函数f(x) = sin(-x - π)，那么f(x)的图像可以表示为（）A. 一条直线B. 一个正弦函数C. 一个余弦函数D. 一个正弦函数和一个余弦函数的合成47. 已知函数f(x) = cos(-x - π)，那么f(x)的图像可以表示为（）A. 一条直线B. 一个正弦函数C. 一个余弦函数D. 一个正弦函数和一个余弦函数的合成48. 已知函数f(x) = sin(x/2)，那么f(x)的周期是（）A. πB. 2πC. 4πD. 8π49. 已知函数f(x) = cos(x/2)，那么f(x)的周期是（）A. πB. 2πC. 4πD. 8π50. 已知函数f(x) = sin(x/2 + π/2)，那么f(x)的图像可以表示为（）A. 一条直线B. 一个正弦函数C. 一个余弦函数D. 一个正弦函数和一个余弦函数的合成。
高考数学函数与不等式好题单选100训练含详解
高考数学函数与不等式好题单选100训练1．已知函数()f x =A ，集合15{|}B x x =<<-，则集合A B 中整数的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．设集合{A x y ==，124xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则()RAB =（ ）A ．∅B ．12x x ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭C ．{}1x x >-D ．112x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭3．1≥x 是12x x+≥的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．“13m <<”是“方程2211m 3x y m 表示椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数2()22x xx f x -=+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．设函数()2,0,0⎧≥=⎨-<⎩x x f x x x ，则()2f f -⎡⎤⎣⎦的值是（ ）．A ．2 B ．3 C ．4D ．57．函数()()01f x x =- ） A ．()1,+∞B ．()2,-+∞C ．()()2,11,-⋃+∞D ．R8．已知集合102x M xx -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，{}21,N y y x x M ==-∈，则M N =（ ）A ．∅B ．()2,3-C ．[)1,1-D ．()0,19．函数2212x xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．(]0,210．已知函数2(1)21f x x x +=++，那么(1)f x -=（ ） A ．2x B ．21x + C ．221x x -+D ．221x x --11．已知函数()212x f x x +=+，则()3f =（ ）A ．17B ．12C ．8D ．312．已知0a >且1a ≠，函数()()233,1log ,1a a x a x f x x x ⎧--+<=⎨≥⎩，满足12x x ≠时，恒有()()12120f x f x x x ->-成立，那么实数a 的取值范围（ ）A ．()1,2B ．51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．()1,+∞D ．5,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭13．下列函数中，既是偶函数，又在()0,∞+上单调递增的是（ ） A ．cos y x = B ．211y x =+ C ．22x x y -=-D ．ln y x =14．若()2f x x x =+，则满足()()1f a f a -≤的a 的取值范围是（ ）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦15．已知()f x 为奇函数，当0x ≥时，()24xf x x m =-+，则当0x <时，()f x =（ ）A ．241x x --+B ．241x x ----C ．241x x --+-D ．241x x --++16．下列函数既是奇函数又是增函数的是（ ） A ．sin y x =B ．2x y =C ．2log y x =D ．3y x =17．设定义在R 上的奇函数()f x 满足，对任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠都有()()21210f x f x x x -<-，且(3)0f =，则不等式2()3()0f x f x x+-≥的解集为（ ）A ．(,3][3,)-∞-+∞B ．[3,0)[3,)-+∞C ．(,3](0,3]-∞-D ．[3,0)(0,3]-18．已知函数()32x f x x =+，则不等式2332f m m ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的解集为（ ）．A ．12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．()1,2,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1,2,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭19．已知定义域为R 的函数()f x 满足()()0f x f x +-=，且(2)()f x f x +=-，若3245f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则20214f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．25B ．25-C ．35D ．53-20．已知()f x 是R 上的奇函数，且(2)()f x f x +=，当(0,1)x ∈时，()41=-x f x ，则72f ⎛⎫=⎪⎝⎭（ ） A ．-1B ．0C ．1D ．221．已知函数())3f x x =-，若()1f a =-，则()f a -=（ ） A ．－7B ．－6C ．－5D ．－422．已知函数()21x x x f k =-+在[]2,5上具有单调性，则k 的取值范围是（ ）A ．[]2,5B ．[]4,10C ．(][),410,-∞⋃+∞D ．(][),22,-∞-+∞23．已知0.20.30.30.30.2,2,a b c ===，则它们的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<24．已知x ，(0,)∈+∞y ，3124yx -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则xy 的最大值为（ ）A ．2B ．98C ．32D ．9425．下列各式正确的是（ ）A 2=-B ．C 34()x y =+ D ．2122n n m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭26．已知0m > ）A ．54mB ．52mC ．mD ．127．已知函数()e 1e 1x x f x -=+，则（ ）A ．函数()f x 是奇函数，在区间()0,∞+上单调递增B ．函数()f x 是奇函数，在区间(),0∞-上单调递减C ．函数()f x 是偶函数，在区间()0,∞+上单调递减D ．函数()f x 非奇非偶，在区间(),0∞-上单调递增 28．log 5(log 3(log 2x ))＝0，则12x -等于（ ）A BC D ．2329．函数()22x xy x -=-的图象关于（ ）对称A ．x 轴B ．y 轴C ．原点D ．直线y x =30．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，3(2)x f x =-，则(1)f -=（ ） A ．1B ．1-C ．14D ．114-31．若()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且()()3xf xg x +=，则()f x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．32．设函数()f x =2x f ⎛⎫⎪⎝⎭的定义域为（ ）A ．(],4∞-B ．(],1-∞C ．(]0,4D ．(]0,133．已知函数(2)x y f =的定义城为[]1,1-．则函数2(lo )g y f x =的定义域为（ ）A ．[－1，1]B ．[12，2]C ．[1，2]D ．4]34．已知函数()21xf +的定义域为()3,5，则函数()21f x +的定义域为（ ）A ．()1,2B ．()9,33C ．()4,16D ．()3,535．设2log 5a =，0.52b =，4log 10c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b c a <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．c a b <<36．若实数x ，y 满足2021202120222022x y x y ---<-，则（ ） A ．1x y> B ．1x y< C ．0x y -<D ．0x y ->37．已知()1,2x ∀∈，不等式()2log 21220xx m +++>恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．()10,-+∞B ．[)10,-+∞C ．()3,-+∞D ．[)3,∞-+38．当102x <<时，4log xa x <，则a 的取值范围是（ ）A ．(0B ．1)C ．，1)D ．39．心理学家有时使用函数()()1e ktL t A -=-来测定在时间t （单位：min ）内能够记的量L ，其中A 表示需要记忆的量，k 表示记忆率．假设一个学生有100个单词要记忆，记忆率0.02k =，则该学生要求记忆50个单词大约需要（ ）（ln 20.7≈）A ．28minB ．35minC ．42minD ．49min40．已知1ea =，ln 77b =，ln 55c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b c a <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c b a <<41．已知实数b 满足23b =，则函数()2xf x x b =+-的零点所在的区间是（ ）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,342．43lg8-+（ ）A ．1B ．1-C ．12D ．12-43．已知实数a ，b ，c 满足1.5 3.1a =，50.1b =，422log 16log e c =，则（ ） A ．c a b >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >>44．设()f x 为偶函数，且当0x >时，()1ln f x x =+，则当0x <时，()f x =（ ） A ．()1ln x ---B ．()1ln x -+-C ．()l ln x +-D ．()1ln x --45．设()f x =12x f ⎛+⎫⎪⎝⎭的定义域为（ ）A ．3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．[)1,+∞C ．1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．[)0,∞+46．函数()()()21log 21a f x x -=+在区间1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭内恒有()0f x >，则a 的取值范围是（ ）A ．1a <<B ．1a<1a <<-C ．a>2<D．a <<47．函数()lg 1f x ⎛= ⎝的值域为（ ）A ．(),-∞+∞B ．()(),00,-∞⋃+∞C ．(),0-∞D ．()0,∞+48．已知函数()1lg 3xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有两个零点1x 、2x ，则下列关系式正确的是（ ）A ．1201x x <<B ．121=x xC ．1212x x <<D ．122x x ≥49．函数()()213log f x x x =-的单调递减区间为（ ）A ．12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，B ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， C ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．102⎛⎫- ⎪⎝⎭， 50．若函数()()log 0,1a f x x a a =>≠的反函数的图象过点()1,3，则()2log 8f =（ ） A ．1-B ．1C ．2D ．351．已知函数f （x ）=（3m -2）xm +2（m ∈R ）是幂函数，则函数g （x ）=log a （x -m ）+1（a >0，且a ≠1）的图象所过定点P 的坐标是（ ） A ．（2，1） B ．（0，2） C ．（1，2）D ．（-1，2）52．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x =-，当[]0,1x ∈时，()21xf x =-，则函数()()()sin 2πx f g x x =-在区间15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的所有零点的和是（ ）A ．10B ．8C ．6D ．453．已知函数()22,0lg ,0x x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数()()11g x f x =--的零点个数为（ ）.A ．1B ．2C ．3D ．454．设函数()y f x =在R 上可导，则()()11lim 3x f x f x∆→+∆-=∆（ ）A ．()1f 'B ．()113f ' C ．()31f 'D ．以上都不对55．已知函数()e (1)x f x x f -'=，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为（ ） A ．2e y x =B ．2e 2e y x =-C ．2e e y x =+D ．2e 3e y x =-56．对于函数()ln f x x x =，以下判断正确的是（ ） A ．无极大值无极小值 B ．在()1,+∞是增函数C ．()f x 有两个不同的零点D ．其图象在点()1,0处的切线的斜率为057．已知()f x 为偶函数，且当x ＞0时，()1x f x e x -=+，则曲线()y f x =在()()1,1f --处的切线斜率是（ ） A ．－2B ．－1C ．－eD ．e58．若曲线1e x y -=与曲线y ==a （ ）A B C ．2eD ．1e59．函数()3321e xf x x =++，其导函数记为()f x '，则()()()()2022202220222022f f f f ''++---的值是（ ） A ．3B ．2C ．1D ．060．已知函数()()2223ln 9f x f x x x '=-+（()f x '是()f x 的导函数），则()1f =（ ）A ．209-B ．119-C ．79D ．16961．已知函数()312f x x x =-，则（ ）A ．函数()f x 在(),0∞-上单调递增B ．函数()f x 在(),∞∞-上有两个零点C ．函数()f x 有极大值16D ．函数()f x 有最小值16-62．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()0xf x f x '+>，且()12f =，则()2e e x xf >的解集为（ ） A ．()0,+∞B ．()ln2,+∞C ．()1,+∞D ．0,163．已知f (x )为R 上的可导函数，其导函数为()'f x ，且对于任意的x ∈R ，均有()()'0f x f x +>，则（ ）A ．e －2 021f (－2 021)>f (0)，e 2 021f (2 021)<f (0)B ．e －2 021f (－2 021)<f (0)，e 2 021f (2 021)<f (0)C ．e －2 021f (－2 021)>f (0)，e 2 021f (2 021)>f (0)D ．e －2 021f (－2 021)<f (0)，e 2 021f (2 021)>f (0)64．已知函数()2e 1x f x x a =+-()a R ∈有两个极值点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．2,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．2,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭65．函数 ()y f x =的导函数()y f x ='的图象如图所示，给出下列命题：∈3-是函数()y f x =的极值点； ∈1-是函数()y f x =的最小值点； ∈()y f x =在区间()3,1-上单调递增； ∈()y f x =在0x =处切线的斜率小于零． 以上正确命题的序号是（ ） A ．∈∈B ．∈∈C ．∈∈D ．∈∈66．已知函数ln ()xf x x x=-，则（ ） A ．()f x 的单调递减区间为(0,1) B ．()f x 的极小值点为1 C ．()f x 的极大值为1-D ．()f x 的最小值为1-67．已知函数32()1f x x ax x =-+--在(,)-∞+∞上是单调递减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(), -∞⋃+∞B ．⎡⎣C ．(,)-∞⋃+∞D ．(68．函数()cos 2x f x x =-在,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ）A ．2π-B ．12π+ C ．-1 D ．12π-69．已知函数()32132x ax f x ax =+++既有极大值，又有极小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()0,4B ．[]0,4C ．()(),04,-∞⋃+∞D ．(][),04,-∞+∞70．已知函数()8sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(]0,4x π∈，则()f x 所有极值点的和为（ ）A ．223πB ．13πC ．17πD ．503π71．如图是函数()32f x x bx cx d =+++的大致图象，则2212x x +=（ ）A ．23B ．43C ．83D ．12372．已知2x =是2()2ln 3f x x ax x =+-的极值点，则()f x 在1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是（ ）A ．92ln 32-B ．52-C ．172ln 318--D ．2ln 24-73．设a R ∈，若不等式ln ax x >在()1,x ∞∈+上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()0,∞+B ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,∞+D ．()e,+∞74．某制药公司生产某种胶囊，其中胶囊中间部分为圆柱，且圆柱高为l ，左右两端均为半球形，其半径为r ，若其表面积为S ，则胶囊的体积V 取最大值时r =( )ABCD75．若函数21()2f x x a x =--，当13x ≥时，()0f x ≤恒成立，则a 的取值范围（ ）A ．(],3-∞B ．[)3,+∞C ．25,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．25,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭76．已知函数2()ln 2a f x x x =+，若对任意两个不等的正数1x ，2x ，都有1212()()4f x f x x x -≥-恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．[)4∞+，B ．()4.∞+C ．(]4∞-，D ．()4∞-，77．若函数()1ln f x x a x=+-在区间()1,e 上只有一个零点，则常数a 的取值范围为（ ） A ．1a ≤B ．a e >C ．111a e <<+D ．11a e<<78．数列{}n a 为等差数列，且2020202204a a x π+=⎰，则()2021201920212023a a a a ++=（ ） A ．1B ．3C ．6D ．1279．在()()*1nx n N +∈二项展开式中2x 的系数为15，则10n x dx ⎰（ ）A ．17B ．7C ．15D ．10380．已知函数()3f x x =，()g x = ）A ．23B ．3C ．32D ．51281．下列不等式成立的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若a b >，则11a b< C ．若0a b <<，则22a ab b << D ．若a b >，则33a b >82．已知25a b ≤+≤，21a b -≤-≤，则3a b -的取值范围是（ ） A ．[]1,4- B ．[]2,7- C ．[]7,2-D ．[]2,783．若παβπ-<<<，则αβ-的取值范围是（ ） A ．22παβπ-<-< B ．02αβπ<-<C ．20παβ-<-<D ．{}084．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x （件）与单价P （元）之间的关系为P =160-2x ，生产x 件所需成本为C （元），其中C =500+30x ，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x 的取值范围是（ ） A ．20≤x ≤30，x ∈N * B ．20≤x ≤45，x ∈N * C ．15≤x ≤30，x ∈N *D ．15≤x ≤45，x ∈N *85．当02x ≤≤时，若220x x a --≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞-B ．(],0-∞C ．(),1-∞-D ．(),0-∞86．若关于x 的不等式2830x x a --+≤在15x ≤≤内有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10a ≤B ．19a ≥C ．10a ≥D ．19a ≤87．已知命题p ：[]1,1x ∃∈-，2330x x a --->；q ：x R ∀∈，230x x a -+≠，若p 为假命题，q 为假命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．3,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]0,2-C ．[]1,2D ．91,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦88．已知全集U =R ，2511x A x x ⎧⎫-=≤⎨⎬-⎩⎭，则UA（ ）A ．(]1,2B ．(](),12,-∞+∞C ．[)1,2D ．()[),12,-∞+∞89．22132x x x +≥-+的解集是（ ）A ．{}12x x <≤B ．{10x x -≤<或}23x <≤C ．{}04x x ≤≤D ．{01x x ≤<或}24x <≤90．若变量,x y 满足约束条件50,20,4,x y x y y +-≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩则32z x y =-的最小值为（ ）A ．5-B ．72-C ．52-D ．2-91．设0,0m n >>，且21m n +=，则11m n+的最小值为（ ） A ．4B．3C．3+D ．692．已知函数()2sin 4sin 9sin 2x x f x x -+=-，则函数()f x （ ）A．有最小值B．有最大值-C ．有最大值92-D ．没有最值93．已知a ，b 为正实数，且228a b ab ++=，则2+a b 的最小值为（ ） A ．4B ．92C ．5D ．11294．若2x >，则2242x x y x -+=-的最小值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．895．设0,0m n >>，且2520m n +=，则mn 的最大值为（ ）A B ．C ．10D ．2096．已知0t >，函数y = ） A ．1B ．2C ．3D ．497．一元二次方程()25400ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的一个充分不必要条件是（ ） A ．0a <B ．0a >C ．2a <-D ．1a >98．不等式20ax x c -+>的解集为{21}x x -<<∣，函数2y ax x c =-+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．99．设实数m ，n 分别满足2192010m m ++=，220190n n ++=且1m n ⋅≠，则232mn m n++的值为（ ） A ．3719B ．3719-C ．319D ．319-100．已知函数()ln x f x x=，若关于x 的方程()()210f x af x a ++-=⎡⎤⎣⎦仅有一个实数解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,1e e --B ．(]1,1e -C ．()1,1e -D ．()1,2e e -参考答案：1．C 【解析】 【分析】根据根式的性质及解一元二次不等式求定义域A ，再应用集合交运算求A B ，即可知整数的个数. 【详解】由题设，230x x -≥，可得定义域{|0A x x =≤或3}x ≥，所以{|10A B x x =-<≤或35}x ≤<，故其中整数元素有{0,3,4}共3个. 故选：C 2．D 【解析】 【分析】 求出集合A 、B ，B R，再由交集的运算可得答案.【详解】设集合{{}{}3101===+≥=≥-A x y x x x x ，{}21122242-⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<=<=>-⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎪⎪⎩⎭xx B x x x x ，则1|2⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭R B x x ，所以()1|12⎧⎫=-≤≤-⎨⎬⎩⎭RAB x x .故选：D. 3．A 【解析】 【分析】 由12x x+≥得0x >，进而根据充分不必要条件求解即可. 【详解】解：12x x +≥等价于2210x x x-+≥，即()()222110x x x x x -+=-≥，所以0x >，即不等式12x x+≥的解集为0x >， 所以1≥x 是0x >充分不必要条件. 所以1≥x 是12x x+≥的充分不必要条件 故选：A 4．B 【解析】 【分析】根据方程2211m 3x y m 表示椭圆13m <<，且m ≠2，再判断必要不充分条件即可. 【详解】解：方程22113x ym m +=--表示椭圆满足103013m m m m ->⎧⎪-<⎨⎪-≠-+⎩，解得13m <<，且m ≠2所以“13m <<”是“方程2211m 3x y m 表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：B 5．D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性排除AC 选项，特殊值检验排除排除B 选项，进而可求出结果. 【详解】由于函数2()22x x x f x -=+的定义域为R ,且()()22()2222x x x x x x f x f x ----===++, 所以()f x 为偶函数，故排除AC 选项；5525800(5)221025f -==+，4416256(4)22257f -==+， 由于()(5)4f f <，因此()f x 在()0,∞+上不是单调递增，故排除B 选项, 故选：D. 6．C 【解析】根据x 的范围代入相应的解析式即可. 【详解】函数()2,0,0⎧≥=⎨-<⎩x x f x x x ，则()()224f f f ⎡⎤-==⎣⎦． 故选：C ． 7．C 【解析】 【分析】根据函数解析式，列出满足的条件，解得答案. 【详解】由已知1020102x x x -≠⎧⎪+≠⎪⎨⎪≥⎪+⎩，解得2x >-且1x ≠，所以()f x 的定义域为()()2,11,-⋃+∞，故选：C ． 8．C 【解析】 【分析】分别求出集合,M N ，再根据交集的定义即可得出答案. 【详解】解：()(){}{}10120212x M xx x x x x x -⎧⎫=<=-+<=-<<⎨⎬+⎩⎭， {}{}21,13N y y x x M y y ==-∈=-≤<， 则{}[)111,1M N x x ⋂=-≤<=-. 故选：C. 9．D 【解析】 【分析】令22t x x =-，则12ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭，转求二次函数与指数函数的值域即可.令22t x x =-，则12ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∈()222111t x x x =-=--≥-，∈(],2120ty ⎛⎫⎪⎭∈= ⎝，∈函数2212x xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为(]0,2，故选：D 10．C 【解析】 【分析】采用换元即可求出答案. 【详解】令11t x x t =+⇒=-，则22()(1)2(1)1f t t t t =-+-+=，22(1)(1)21f x x x x -=-=-+. 故选：C. 11．C 【解析】 【分析】先利用换元法求()f x 的解析式，再代入3x =计算即可. 【详解】解：设1t x =+，则1x t =-，从而()12122(1)221t t f t t t t --=+-=+-+，即()12221x f x x x -=+-+，故()31232323149618f -=+-⨯+=+-+=.故选：C. 12．D 【解析】 【分析】由题可知函数()f x 在区间R 上为增函数，则f (x )在x ＝1左右两侧均为增函数，且左侧在x ＝1出函数值小于或等于右侧在x ＝1出函数值. 【详解】由题可知函数()f x 在区间R 上为增函数， 则()2012330a a a a ⎧-⎪⎨⎪--≤⎩＞＞＋，解可得524a ≤：＜.故选：D. 13．D 【解析】 【分析】根据基本初等函数的单调性、奇偶性以及函数奇偶性的定义逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A 选项，函数cos y x =为偶函数，且在()0,∞+上不单调； 对于B 选项，令()211f x x =+，该函数的定义域为R ，()()()221111f x f x x x -===+-+， 所以，函数211y x =+为偶函数，且该函数在()0,∞+上单调递减； 对于C 选项，令()22x x g x -=-，该函数的定义域为R ，()()22x xg x g x --=-=-，所以，函数22x x y -=-为奇函数；对于D 选项，令()ln h x x =，该函数的定义域为{}0x x ≠，()()ln ln h x x x h x -=-==， 所以，函数ln y x =为偶函数，当0x >时，ln y x =，故函数ln y x =在()0,∞+上为增函数. 故选：D. 14．C 【解析】 【分析】通过分析函数的奇偶性及单调可解决问题.【详解】因为()2()f x x x f x -=+=，且函数()f x 的定义域为R ，故函数()f x 为定义域R 上的偶函数，又当0x >时，()2f x x x =+在(0,)+∞上单调递增，所以()()1f a f a -≤，则有|1|||a a -≤，解得12a ≥. 故选：C 15．C 【解析】 【分析】根据奇函数的性质()()f x f x =--即可算出答案. 【详解】因为()f x 为奇函数，所以()010f m =-=，即1m =．当0x <时，0x ->，()()()224141x x f x f x x x --⎡⎤=--=---+=-+-⎣⎦． 故选：C 16．D 【解析】 【分析】根据给定条件利用奇偶性定义判断排除，再利用函数单调性判断作答. 【详解】指数函数2x y =，对数函数2log y x =都是非奇非偶函数，即选项B ，C 都不正确； 正弦函数sin y x =是R 上的奇函数，但在定义域R 上不单调，选项A 不正确； 幂函数3y x =是R 上的奇函数，且在R 上单调递增，选项D 正确. 故选：D 17．A 【解析】 【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系解不等式即可求解. 【详解】因为对任意()12,0,x x ∈+∞,且12x x ≠都有()()21210f x f x x x -<-，所以函数在()0,∞+上单调递减，又()f x 是在R 上的奇函数，则在(),0∞-上也单调递减， 由()30f =，则()30f -=，2()3()2()3()()0f x f x f x f x f x x x x +---==≥，当0x >时，()0f x ≤，即()()3f x f ≤解得3x ≥， 当0x <时，()0f x ≥，即()()3f x f ≥-，解得3x ≤-， 综上，不等式的解集为(][),33,∞∞--⋃+， 故选：A. 18．C 【解析】 【分析】判断函数()32x f x x =+的单调性，又()13f =，所以将不等式转化为()2312f m m f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，利用函数的单调性求解关于m 的一元二次不等式即可. 【详解】因为()32x f x x =+在R 上单调递增，()13f =，所以不等式2332f m m ⎛⎫-< ⎪⎝⎭等价于()2312f m m f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，得2312m m -<，即22320m m --<，解得122m -<<．故选：C ． 19．A 【解析】 【分析】根据(2)()f x f x +=-，()()0f x f x +-=，得到(4)()f x f x +=求解. 【详解】因为(2)()f x f x +=-，()()0f x f x +-=，所以()()f x f x -=-， 所以(2)()f x f x +=-，所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以2021505411505444f f f⨯+⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1112641144f f ⎛⎫⎛⎫=⨯++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1321445f f ⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：A 20．A 【解析】 【分析】利用函数()f x 的性质，将72f ⎛⎫⎪⎝⎭变形为12f⎛⎫- ⎪⎝⎭，再利用题目提供的解析式计算即可. 【详解】 解：()f x 是R 上的奇函数，且(2)()f x f x +=，当(0,1)x ∈时，()41=-x f x1272331241121222221f f f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+==-+=-=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A. 21．C 【解析】 【分析】根据题意，求出()f x -的解析式，再根据对数的运算可知()()6f x f x +-=-，即可求解. 【详解】解：∈())3f x x =-，∈())3f x x -=-，则()()6f x f x +-=-， ∈()1f a =-，∈()5f a -=-. 故选：C. 22．C 【解析】由函数()21x x x f k =-+，求得对称轴的方程为2k x =，结合题意，得到22k ≤或52k≥，即可求解. 【详解】由题意，函数()21x x x f k =-+，可得对称轴的方程为2k x =， 要使得函数()f x 在[]2,5上具有单调性， 所以22k ≤或52k≥，解得4k ≤或10k ≥．故选：C. 23．B 【解析】 【分析】根据幂函数、指数函数的性质判断大小关系. 【详解】由00.30.20.20.3020.30.20.2210.3c a b >===>>>==， 所以b a c <<. 故选：B 24．B 【解析】 【分析】由已知结合指数的运算可得，23x y +=，然后根据21122()222x y xy x y +=⨯⨯≤可求最值．【详解】解：x ，(0,)∈+∞y ，且3212()24x y y --==，32x y ∴-=-，即23x y +=，∴则21129(2)()2228x y xy x y +=⨯≤=，当且仅当322x y ==时取得最大值98． 故选：B ． 25．A【分析】根据根式的性质，结合分数幂指数与根式的互化公式、指数幂的公式进行逐一判断即可. 【详解】A ：因为3(2)8-=-2-，因此本选项正确； B：因为=C133344()()y x y x ≠+=+，所以本选项不正确；D ：因为222n n m m -⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以本选项不正确，故选：A 26．C 【解析】 【分析】把根式化为分数指数幂进行运算． 【详解】 0m >m===.故选：C ． 27．A 【解析】 【分析】先判断()f x 的奇偶性，然后结合复合函数的单调性判断()f x 的单调性，由此确定正确选项. 【详解】()()1e e 1e 1e e 1e 1e 1e xx x x x x x xf x f x -------=-=-==+++，故()f x 是奇函数. 又()e 1221e 1e 1x x x f x +-==-++，由复合函数单调性可知()f x 单调递增.故选：A 28．C【分析】根据对数运算公式得到log 3(log 2x )＝1，进而得到log 2x ＝3，x ＝8，根据指数幂运算可得到结果. 【详解】∈log 5(log 3(log 2x ))＝0，∈log 3(log 2x )＝1，∈log 2x ＝3，∈x ＝23＝8，∈11228x --==故选：C. 29．B 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性即可得函数图象的对称性. 【详解】函数()22x xy x -=-的定义域为R ，又()()()()2222x x x xf x x x f x ---=--=-=， 所以()22x xy x -=-为偶函数， 函数()22x xy x -=-的图象关于y 轴对称故选：B. 30．A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，得出()()11f f -=-，即可求解. 【详解】因为0x >时，()23xf x =-，由题意函数()f x 为奇函数，所以()()111(23)1f f -=-=--=.故选：A.【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可得()()3xf xg x --=，即可求解()f x 解析式，通过排除可得答案．【详解】解：由()()3xf xg x +=得：()()3x f x g x --+-=，即()()3x f x g x --=，由()()()()33x x f x g x f x g x -⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得：()332x x f x -+=，由3312x x -+≥=，排除BC ． 由指数函数的性质（指数爆炸性）排除D ． 故选：A 32．A 【解析】 【分析】先求出()f x 的定义域，再令2x满足()f x 的定义域范围求出x 的范围即可得2x f ⎛⎫⎪⎝⎭的定义域. 【详解】由903x -≥即39x ≤可得2x ≤ 所以()f x 的定义域为{}2|x x ≤， 令22x≤，可得4x ≤，所以函数2x f ⎛⎫⎪⎝⎭的定义域为(],4∞-， 故选：A ． 33．D 【解析】 【分析】抽象函数求解定义域，要满足同一对应法则下取值范围相同，定义域是x 的取值范围. 【详解】因为[]1,1x ∈-，所以1,222x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故21,2log 2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，解得：x ⎤∈⎦. 故选：D 34．C 【解析】计算()219,33x+∈，根据抽象函数定义域得到92133x <+<，解得答案.【详解】当()3,5x ∈时，()219,33x+∈，故92133x <+<，解得416x <<.故选：C. 35．A 【解析】 【分析】利用指对数函数的性质比较a ，b ，c 的大小. 【详解】由22444log 5log 42log 16log 10log 8 1.5b a c =>==>=>>= 所以b c a <<. 故选：A 36．C 【解析】 【分析】由指数函数的性质可知()20212022x xf x -=-是R 上的增函数；根据题意可知2021202220212022x x y y ---<-，即()()f x f y <，再根据函数的单调性，可得x y <，由此即可得到结果． 【详解】令()20212022x xf x -=-，由于2021,2022x x y y -==-均为R 上的增函数，所以()20212022x xf x -=-是R 上的增函数，因为2021202120222022x y x y ---<-，所以2021202220212022x x y y ---<-， 即()()f x f y <， 所以x y <，所以0x y -<. 故选：C ． 37．D【分析】分析可知()22220x x m ++>对任意的()1,2x ∈恒成立，利用二次不等式的性质可得出关于实数m 的不等式，即可得解. 【详解】由已知可得()22120x xm ⨯++>，则()22220x x m ++>对任意的()1,2x ∈恒成立，因为()22,4x∈，所以，22220m ++≥，解得3m ≥-.故选：D. 38．C 【解析】 【分析】分类讨论1a >和01a <<两种情况，根据对数和指数函数的单调性结合4log xa x <得出a 的取值范围. 【详解】 解：由题意可得： 当1a >时，结合102x <<可得：log 04x a x <<，不满足题意； 当01a <<时，log a y x =在区间1(0,)2上单调递减，4x y =在区间1(0,)2上单调递增，满足题意4log xa x <时有：1214log ()2a ，即：1log ()22a ．求解不等式可得实数a 的取值范围是：． 故选：C 39．B 【解析】 【分析】将100A =，0.02k =，()50L t =代入等式()()1e ktL t A -=-，求出t 的值，即可得解.【详解】令()0.02501001e t-=-，可得50ln 235=≈t .40．A 【解析】 【分析】根据实数的结构形式，构造函数，利用导数判断单调性，最后进行比较大小即可． 【详解】 设2ln 1ln ()(0)()x xf x x f x x x -'=>⇒=， 当e x >时，()0,()f x f x '<单调递减，1(e)e a f ==，ln 7(7)7b f ==，ln 5(5)5c f ==，因为75e >>，所以(7)(5)(e)f f f <<，即b c a <<，故选：A ． 41．B 【解析】 【分析】由已知可得2log 3b =，结合零点存在定理可判断零点所在区间. 【详解】由已知得2log 3b =，所以()22log 3xf x x =+-，又()122121log 3log 3021f -=-=----<，()02220log 31log 300f =+-=-<， ()12221log 33log 301f =+-=-> ()22222log 36log 302f =+-=->， ()32223log 311log 303f =+-=->，所以零点所在区间为()0,1， 故选：B. 42．A 【解析】 【分析】根据对数的运算算出结果即可.【详解】433232495lg8lg lg16lg(495)lg1494916⨯⨯+=-+⨯==⨯，故选：A43．B【解析】【分析】先通过对数的运算性质和换底公式将c化简，进而通过中间量0和1并结合对数函数的单调性确定出a,b,c的范围，然后比较出大小.【详解】依题意，()1.5log 3.11,a=∈+∞，()5log0.1,0b=∈-∞，()2422222log4211ln20,1ln elog e log e log eln2c=====∈，故a c b>>.故选：B．44．C【解析】【分析】利用偶函数的定义经计算即可得解.【详解】因()f x为偶函数，且当0x>时，()1lnf x x=+，因此，当0x<时，0x>-，()()1ln()f x f x x=-=+-，所以()1ln()f x x=+-.故选：C45．C【解析】【分析】先求得()f x的定义域，然后求得12xf⎛+⎫⎪⎝⎭的定义域.【详解】依题意30431,344,14x x x <-≤<≤<≤，所以()f x 的定义域为3,14⎛⎤⎥⎝⎦，所以03111,04,22214x x x <≤--+≤<≤<， 所以函数12x f ⎛+⎫ ⎪⎝⎭的定义域为1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦.故选：C 46．B 【解析】 【分析】通过换元得到()()21log 0,0,1a y t t -=>∈，根据对数函数的性质可得2201112a a <-<⇒<<，解出不等式即可得到结果. 【详解】函数()()()21log 21a f x x -=+，令()210,1t x =+∈，()()21log 0,0,1a y t t -=>∈ 根据对数函数的性质可得2201112a a <-<⇒<<解得1a <<1a <<-. 故选：B. 47．D 【解析】 【分析】 利用换元法，令t=，则0t >，从而可得111t =+>，然后利用对数的单调性可求得答案 【详解】 设t=，则0t >，∈111t =+>， ∈()lg 1lg 10t⎛=+> ⎝，∈函数()lg 1f x⎛= ⎝的值域为()0,∞+，故选：D ．48．A【解析】【分析】转化为两个函数图像相交问题，结合图形可得.【详解】()1lg 3x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点即为函数lg y x =与13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的交点横坐标，如图. 记213x m ⎛⎫ ⎪⎝=⎭，则23lg lg x x m =-=，210m x =，310m x -= 所以023101x x == 由图知1301x x <<<所以1201x x <<故选：A49．C【解析】【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性的判断方法，“同增异减”求得函数的递减区间.【详解】令2t x x =- ，则由20t x x =->，得01x << ， 而函数13log y t = 是单调减函数，要求213()log ()f x x x =-的单调递减区间， 就要求2t x x =-的递增区间，而2t x x =-的递增区间为1(,)2-∞ ， 故213()log ()f x x x =-得单调递减区间为102⎛⎫ ⎪⎝⎭，，故选：C.50．B【解析】【分析】利用同底的指数函数与对数函数互为反函数求出a 值，再借助对数运算即可作答.【详解】依题意，函数()()log 0,1a f x x a a =>≠的反函数是x y a =，即函数x y a =的图象过点()1,3，则3a =，()3log f x x =，于是得()2323log 8log (log 8)log 31f ===，所以()2log 81f =.故选：B51．A【解析】【分析】根据幂函数的定义，结合对数函数的性质进行求解即可.【详解】解：∈函数f （x ）=（3m -2）xm +2（m ∈R ）是幂函数，∈3m -2=1，∈m =1，∈g （x ）=log a （x -1）+1，令x -1=1得x =2，此时g （2）=log a 1+1=1，∈函数g （x ）的图象所过定点P 的坐标是（2，1），故选：A ．52．A【解析】【分析】数形结合，函数()f x 与()sin 2πy x =在区间15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的交点横坐标即为g (x )的零点，根据对称性即可求零点之和.如图所示，()f x 与()sin 2πy x =在区间15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上一共有10个交点，且这10个交点的横坐标关于直线1x =对称，所以()g x 在区间15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的所有零点的和是10． 故选：A ．53．C【解析】【分析】通过解法方程()0g x =来求得()g x 的零点个数.【详解】由()0g x =可得()11f x -=.当0x ≤时，2211x x x +=⇒=-1x =-，当0x >时，lg 110x x =⇒=或110x =.故112x x -=-=()g x 的零点，1109x x -=⇒=-是()g x 的零点，1911010x x -=⇒=是()g x 的零点. 综上所述，()g x 共有3个零点.故选：C54．B【解析】根据极限的定义计算．【详解】由题意()()()()00111111lim lim (1)333x x f x f f x f f x x ∆→∆→+∆-+∆-'==∆∆． 故选：B ．55．D【解析】【分析】由导数的几何意义得出切线方程.【详解】()e e x x f x x ='+，则(1)2e,(1)e 2e e f f ==-=-'，由点斜式得2e 3e y x =-.故选：D.56．B【解析】【分析】求函数的导数，结合函数单调性，极值，函数零点的性质分别进行判断即可．【详解】函数()ln f x x x =定义域为()0,∞+，()1ln f x x '=+，令()0f x '=，则1=x e ，故D 错误； 当10x e <<时，()'0f x <，函数为减函数， 当1x e>时，()'0f x >，函数()f x 为增函数，故B 正确； 当1=x e 时，函数取得极大值，极大值为f （1e ）1e =-，故A 错误， 作出函数的图象，可知C 错误.故选：B57．A【解析】【分析】利用偶函数求0x <的解析式再求导，根据导数的几何意义即可求()()1,1f --处的切线斜率.【详解】设0x <，则0x ->，1()e x f x x ---=-，又()f x 为偶函数，∈1()e x f x x --=-，则对应导函数为1()e 1x f x --'=--，∈()12f '-=-，即所求的切线斜率为2-故选：A58．A【解析】【分析】设公共点为(),P s t ，根据导数的几何意义可得出关于a 、s 的方程组，即可解得实数a 、s 的值.【详解】设公共点为(),P s t ，1e x y -=的导数为1e x y -'=，曲线1e x y -=在(),P s t 处的切线斜率1e s k -=，y =y '，曲线y =(),P s t处的切线斜率k =因为两曲线在公共点P处有公共切线，所以1e s -=1e s t -=，t =所以11e e s s --⎧=⎪⎨⎪=⎩=12s =，所以112e -=，解得a =故选：A ．59．A【解析】【分析】求出()f x '，计算出()()f x f x -+以及()()f x f x ''-=，即可得解.【详解】()3321e x f x x =++，则()()222223e 3e 3666e 12e e e 21e x x x x x x x f x x x x -'=-=-=-+++++， 所以，()()()()3331e 333e 32231e 1e 1e 1e e 1e x x x x x xx x f x f x x x --+-+=-+++=+==+++++， ()()()223366e e 2e e 2x x x x f x x x f x --''-=⨯--=-=++++， 因此，()()()()20222022202220223f f f f ''++---=.故选：A.60．D【解析】【分析】对函数进行求导，求出(3)2f '=，再令1x =代入解析式，即可得到答案；【详解】'41()2(3)9f x f x x'∴=-+，∴41(3)2(3)33f f ''=-+(3)1f '⇒=， 22()2ln 9f x x x x ∴=-+，216(1)299f ∴=-=， 故选：D.61．C【解析】【分析】对()f x 求导，研究()f x 的单调性以及极值，再结合选项即可得到答案.【详解】()'2312f x x =-，由()'0f x >，得2x <-或2x >，由()'0f x <，得22x -<<，所以()f x 在(),2-∞-上递增，在()2,2-上递减，在()2,+∞上递增，所以极大值为(2)160f -=>，极小值为(2)160f =-<，所以()f x 有3个零点，且()f x 无最小值.故选：C62．A【解析】【分析】令()()g x xf x =，利用导数可判断其单调性，从而可解不等式()2e e x xf >. 【详解】设()()g x xf x =，则()()()0g x xf x f x ''=+>，故()g x 为R 上的增函数，而()2e e x x f >可化为()()e e 211x x f f >=⨯即()()g e 1x g >， 故e 1x >即0x >，所以不等式()2e ex x f >的解集为()0,+∞， 故选：A.63．D【解析】【分析】通过构造函数法，结合导数确定正确答案.【详解】构造函数()()()()()''e ,e 0x x F x f x F x f x f x ⎡⎤=⋅=+⋅>⎣⎦，所以()F x 在R 上递增，所以()()()()20210,02021F F F F -<<，即()()()()20212021e 20210,0e 2021f f f f -⋅-<<⋅.故选：D64．B【解析】【分析】将函数有两个极值点转化为其导数有两个零点进行求解即可.【详解】对原函数求导得，()2e x f x x a '=+，因为函数()()2e 1x f x x a a R =+-∈有两个极值点，所以()0f x '=有两个不等实根，即2e 0x x a +=有两个不等实根， 亦即2e x x a -=有两个不等实根. 令()2e x x g x =，则()()21e xx g x -'= 可知()g x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()max 21eg x g ==， 又因为当0x <时，()0g x <，当0x >时，()0g x >， 所以2e 0a a ⎧-<⎪⎨⎪->⎩，解得20e a -<<， 即a 的范围是2,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选：B65．C【解析】【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．【详解】根据导函数图象可知：当(),3x ∈-∞-时，()0f x '<，在()3,1x ∈-时，()0f x '≥， ∴函数()y f x =在(),3-∞-上单调递减，在()3,1-上单调递增，故∈正确；则3-是函数()y f x =的极小值点，故∈正确；在()3,1-上单调递增，∴1-不是函数()y f x =的最小值点，故∈不正确；函数()y f x =在0x =处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，故∈不正确．故选：C ．66．C【解析】【分析】对函数()f x 求导，即可得到()f x 的单调区间与极值点，即可判断．【详解】 解：因为ln ()x f x x x =-，所以2221ln 1ln ()1x x x f x x x---=-='，令2()1ln x x x ϕ=--，则1()20x x xϕ'=--<，所以2()1ln x x x ϕ=--在(0,)+∞上单调递减， 因为()10ϕ=，所以当01x <<时，()0x ϕ>，即()0f x '>；当1x >时，()0x ϕ<，即()0f x '<，所以()f x 的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)+∞，故()f x 的极大值点为1，()()11f x f ==-极大值，即()()max 11f x f ==-，不存在最小值．故选：C ．67．B【解析】【分析】求出函数的导数，根据函数()f x 在()-∞+∞，上是单调递减函数，由()0f x '≤在()-∞+∞，上恒成立求解.【详解】解：()321f x x ax x =-+--，()2321f x x ax ∴=-+-'，因为函数()f x 在()-∞+∞，上是单调递减函数， 所以()0f x '≤在()-∞+∞，上恒成立，。
(完整版)高考数学历年函数试题及答案
设（x ）是定义在R 上的偶函数, 其图象关于直线x=1对称, 对任意x1,x2∈[0, ]都有 （Ⅰ）设);41(),21(,2)1(f f f 求 （Ⅱ）证明)(x f 是周期函数。
2.设函数（Ⅰ）判断函数)(x f 的奇偶性； （Ⅱ）求函数)(x f 的最小值.3. 已知函数（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和最大值；（Ⅱ）在给出的直角坐标系中, 画出函数 在区间 上的图象4. （本小题满分12分）求函数 的最小正周期、最大值和最小值.5. （本小题满分12分）已知在R上是减函数, 求的取值范围.6.△ABC的三个内角为A.B.C, 求当A为何值时, 取得最大值, 并求出这个最大值7.设a为实数, 函数在和都是增函数, 求a的取值范围.8.设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值.(Ⅰ)求a、b的值;(Ⅱ)若对于任意的x 都有f(x)＜c2成立, 求c的取值范围.9.已知函数 , .（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数 在区间 内是减函数, 求 的取值范围.10.在 中, 内角A.b 、c 的对边长分别为a 、b 、c.已知 , 且 , 求b.11. 已知函数42()36f x x x =-+. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设点P 在曲线 上, 若该曲线在点P 处的切线 通过坐标原点, 求 的方程12.设函数 图像的一条对称轴是直线 （Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间； （Ⅲ）画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图像13.已知二次函数 的二次项系数为 , 且不等式 的解集为 （Ⅰ）若方程 有两个相等的根, 求 的解析式； （Ⅱ）若 的最大值为正数, 求 的取值范围解答： 2.解: （Ⅰ） 由于),2()2(),2()2(f f f f -≠-≠- 故 既不是奇函数, 也不是偶函数.（Ⅱ）⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-+=.2,1,2,3)(22x x x x x x x f由于),2[)(+∞在x f 上的最小值为)2,(,3)2(-∞=在f 内的最小值为.43)21(=f故函数),()(+∞-∞在x f 内的最小值为.433.解)42sin(21)4sin 2cos 4cos 2(sin 21πππ-+=-⋅+=x x x所以函数 的最小正周期为π, 最大值为 .（Ⅱ）由（Ⅰ）知x83π-8π-8π 83π 85π y121-121+1故函数)(x f y =在区 间]2,2[ππ-上的图象是4.解:.212sin 41)cos sin 1(21)cos sin 1(2cos sin 122+=+=--=x x x x x x x所以函数 的最小正周期是 , 最大值是 最小值是 5.解: 函数f(x)的导数: .（Ⅰ）当 （ ）时, 是减函数.)(01632R x x ax ∈<-+ .3012360-<⇔<+=∆<⇔a a a 且所以, 当 是减函数；（II ）当 时, =由函数 在R 上的单调性, 可知当 时, ）是减函数；（Ⅲ）当 时, 在R 上存在一个区间, 其上有 所以, 当 时, 函数 不是减函数. 综上, 所求 的取值范围是 6.解： 由,222,A C B C B A -=+=++ππ得所以有 .2sin 2cosAC B =+ 2sin 2cos 2cos 2cos AA CB A +=++2sin 22sin 212A A +-=.23)212(sin 22+--=A 当.232cos 2cos ,3,212sin取得最大值时即C B A A A ++==π 7.解：),1(23)('22-+-=a ax x x f其判别试.81212124222a a a -=+-=∆ （ⅰ）若,26,08122±==-=∆a a 即 当.),()(,0)(',),3()32,(为增函数在时或+∞-∞>+∞∈-∞∈x f x f a x x所以.26±=a (ⅱ) 若,08122<-=∆a .),()(,0)('为增函数在恒有+∞-∞>x f x f 所以 ,232>a即 ).,26()26,(+∞--∞∈ a （ⅲ）若,08122>-=∆a 即,0)(',2626=<<-x f a 令 解得 .323,3232221a a x a a x -+=--=当;)(,0)(',)(),(21为增函数时或x f x f x x x x >∞+∈-∞∈ 当.)(,0)(',),(21为减函数时x f x f x x x <∈ 依题意1x ≥0得2x ≤1. 由1x ≥0得a ≥,232a - 解得 1≤.26<a 由2x ≤1得,232a -≤3,a - 解得 .2626<<-a 从而 .)26,1[∈a 综上, a 的取值范围为 即 ∈a ).,1[]26,(+∞--∞ 9.解: （1） 求导: 当 时, , , 在 上递增； 当 , 由 求得两根为 即 在 递增, 递减,⎫+∞⎪⎪⎝⎭递增； （2）（法一）∵函数 在区间 内是减函数, 递减, ∴ , 且 , 解得: 。
(完整版)高考数学函数专题习题及详细答案
函数专题练习1。
函数1()x y e x R +=∈的反函数是（ ）A ．1ln (0)y x x =+>B ．1ln (0)y x x =->C ．1ln (0)y x x =-->D ．1ln (0)y x x =-+>2。
已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是(A ）(0,1) (B ）1(0,)3 (C ）11[,)73（D ）1[,1)73。
在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意1212,()x x x x ≠，1221|()()|||f x f x x x -<-恒成立”的只有 (A )1()f x x=（B )()||f x x = (C ）()2x f x =(D ）2()f x x =4。
已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时,()lg .f x x =设63(),(),52a f b f ==5(),2c f =则(A ）a b c << （B ）b a c << (C ）c b a << (D ）c a b <<5.函数2()lg(31)f x x =++的定义域是 A .1(,)3-+∞ B . 1(,1)3- C 。
11(,)33- D . 1(,)3-∞-6、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A .3 ,y x x R =-∈B . sin ,y x x R =∈C 。
,y x x R =∈R7、函数()y f x =的反函数1()y f x -=的图像与y 轴交于点(0,2)P （如右图所示），则方程()0f x =在[1,4]上的根是x =A 。
4B .3C . 2D .18、设()f x 是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是(A )()()f x f x -是奇函数 （B )()()f x f x -是奇函数（C ) ()()f x f x --是偶函数 （D ） ()()f x f x +-是偶函数9、已知函数x y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则A ．()22()x f x e x R =∈B ．()2ln 2ln (0)f x x x =>C ．()22()x f x e x R =∈D ．()2ln ln 2(0)f x x x =+>)10、设1232,2()((2))log (1) 2.x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，则的值为， （A ）0 (B )1 （C ）2 （D )311、对a ，b ∈R ，记max {a ，b }＝⎩⎨⎧≥b a b ba a ＜,,，函数f （x ）＝max {|x ＋1｜，｜x －2|｝（x ∈R )的最小值是(A ）0 （B ）12 (C ) 32（D ）3 12、关于x 的方程222(1)10x x k ---+=，给出下列四个命题: ①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根； 其中假．命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3（一） 填空题（4个)1.函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =_______________。
高考数学专题《函数的单调性与最值》习题含答案解析
专题3.2 函数的单调性与最值1．（2021·全国高一课时练习）函数f(x)=1,01,0x xx x+≥⎧⎨-<⎩在R上（）A．是减函数B．是增函数C．先减后增D．先增后减【答案】B【解析】画出函数图像即可得解.【详解】选B.画出该分段函数的图象，由图象知，该函数在R上是增函数.故选：B.2．（2021·全国高一课时练习）若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有()-()-f a f ba b>0成立，则必有（）A．f(x)在R上是增函数B．f(x)在R上是减函数C．函数f(x)先增后减D．函数f(x)先减后增【答案】A【解析】根据条件可得当a<b时，f(a)<f(b)，或当a>b时，f(a)>f(b)，从而可判断.【详解】练基础由()-()-f a f b a b>0知f (a )-f (b )与a -b 同号，即当a <b 时，f (a )<f (b )，或当a >b 时，f (a )>f (b )，所以f (x )在R 上是增函数. 故选：A.3．（2021·全国高一课时练习）设函数f (x )是(-∞，+∞)上的减函数，则 （ ） A ．f (a )>f (2a ) B ．f (a 2)<f (a ) C ．f (a 2+a )<f (a ) D ．f (a 2+1)<f (a )【答案】D 【解析】利用0a =排除ABC ，作差可知21a a +>，根据单调性可知D 正确. 【详解】当0a =时，选项A 、B 、C 都不正确； 因为22131()024a a a +-=-+>，所以21a a +>， 因为()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，所以2(1)()f a f a +<，故D 正确.故选：D4．（2021·西藏高三二模（理））已知函数()332f x x x =--，若()()320f m f m -+-<，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(),3-∞ B ．()3,+∞C ．(),3-∞-D ．()3,-+∞【答案】C 【解析】根据函数为奇函数且在R 上单调递减可得()()32f m f m -<求解. 【详解】易知()f x 为R 上的奇函数，且在R 上单调递减， 由()()320f m f m -+-<， 得()()()322f m f m f m -<--=， 于是得32m m ->，解得3m <-． 故选：C ．5．（2021·广西来宾市·高三其他模拟（理））已知定义在R 上的偶函数()f x 满足在[0,)+∞上单调递增，(3)0f =，则关于x 的不等式(2)(2)0f x f x x++-->的解集为（ ）A ．(5,2)(0,)--+∞ B ．(,5)(0,1)-∞- C ．(3,0)(3,)-⋃+∞ D ．(5,0)(1,)-+∞【答案】D 【解析】根据题意作出函数()f x 的草图，将(2)(2)0f x f x x++-->，转化为2(2)0f x x +>，利用数形结合法求解. 【详解】因为定义在R 上的偶函数()f x 满足在(0,)+∞内单调递增， 所以()f x 满足在(,0)-∞内单调递减，又(3)0f =， 所以(3)(3)0f f -==． 作出函数()f x 的草图如下：由(2)(2)0f x f x x ++-->，得(2)[(2)]0f x f x x++-+>，得2(2)0f x x+>， 所以0,(2)0,x f x >⎧⎨+>⎩或0,(2)0,x f x <⎧⎨+<⎩所以0,23,x x >⎧⎨+>⎩或0,323,x x <⎧⎨-<+<⎩ 解得1x >或5x 0-<<， 即不等式(2)(2)0f x f x x++-->的解集为(5,0)(1,)-+∞．故选：D6．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三三模（文））已知函数()22f x x x -=-（ ）A ．是奇函数，0,单调递增B ．是奇函数，0,单调递减C ．是偶函数，0,单调递减D ．是偶函数，0,单调递增【答案】D 【解析】利用奇偶性和单调性的定义判断即可 【详解】解：定义域为{}0x x ≠， 因为2222()()()()f x x x x x f x ---=---=-=，所以()f x 为偶函数，任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，则2222212211()()f x f x x x x x ---=--+212122121()()(1)x x x x x x =-++， 因为12x x <，12,(0,)x x ∈+∞，所以212122121()()(1)0x x x x x x -++>，所以21()()f x f x >，所以()f x 在0,单调递增，故选：D7．（2021·全国高三月考（理））若()f x 是奇函数，且在(,0)-∞上是减函数，又(4)0f -=，则(2)(2)0f x f x x+--->的解集是（ ）A ．(4,0)(4,)-⋃+∞B ．(6,2)(0,2)--⋃C ．(6,2)(2,)--⋃+∞D ．(,4)(0,4)-∞-⋃【答案】B 【解析】根据函数()f x 为奇函数，(4)0f -=得到(4)0f =，再由函数在(,0)-∞上是减函数，作出函数()f x 的图象，再由(2)(2)0f x f x x +--->，等价于2(2)0f x x+>，利用数形结合法求解.【详解】因为函数()f x 为奇函数， 所以(4)(4)0f f -=-=， 所以(4)0f =，因为函数()f x 在(,0)-∞上是减函数， 所以函数()f x 在(0,) +∞上是减函数． 作出函数()f x 的大致图象如图所示，而(2)(2)0f x f x x +--->，等价于(2)[(2)]0f x f x x +--+>，即2(2)0f x x+>，则0(2)0x f x <⎧⎨+<⎩或0(2)0x f x >⎧⎨+>⎩，所以0420x x <⎧⎨-<+<⎩或0024x x >⎧⎨<+<⎩，解得62x -<<-或02x <<． 综上，(2)(2)0f x f x x+--->的解集是(6,2)(0,2)--⋃．故选：B8．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数()||2f x x x x =⋅-，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数，递增区间是()0-∞，B ．()f x 是偶函数，递减区间是()1-∞，C ．()f x 是奇函数，递减区间是(11)-， D ．()f x 是奇函数，递增区间是(0)+∞，【答案】C 【解析】将函数解析式化为分段函数型，画出函数图象，数形结合即可判断； 【详解】解：将函数()||2f x x x x =⋅-去掉绝对值得2220()20x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，，，画出函数()f x 的图象，如图，观察图象可知，函数()f x 的图象关于原点对称，故函数()f x 为奇函数，且在(11)-，上单调递减， 故选：C9．（2021·宁夏银川市·高三二模（文））设函数()21f x x x=-，则()f x （ ）A ．是偶函数，且在(),0-∞单调递增B ．是偶函数，且在(),0-∞单调递减C ．是奇函数，且在(),0-∞单调递增D ．是奇函数，且在(),0-∞单调递减【答案】B 【解析】利用定义可判断函数()f x 的奇偶性，化简函数()f x 在(),0-∞上的解析式，利用函数单调性的性质可判断函数()f x 在(),0-∞上的单调性. 【详解】函数()21f x x x =-的定义域为{}0x x ≠，()()()2211f x x x f x x x-=--=-=-， 所以，函数()f x 为偶函数， 当0x <时，()21f x x x=+，由于函数2y x 、1y x=在(),0-∞上均为减函数，所以，函数()f x 在(),0-∞上单调递减， 故选：B.10．（2021·全国高一课时练习）已知y =f (x )是定义在区间(-2，2)上单调递减的函数，若f (m -1)>f (1-2m )，则m 的取值范围是_______. 【答案】1223⎛⎫- ⎪⎝⎭， 【解析】结合函数定义域和函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】由题意得：-2-12-21-22-11-2m m m m <<⎧⎪<<⎨⎪<⎩，，，解得12-<m <23.故答案为：1223⎛⎫- ⎪⎝⎭，1．（2021·黑龙江大庆市·大庆实验中学高二月考（文））定义在*N 上的函数()22,3,3x ax a x f x ax x ⎧-+<=⎨≥⎩为递增函数，则头数a 的取值范围是（ ） A ．()1,2 B ．33,42⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．()1,3【答案】D 【解析】练提升根据定义域和单调性可知()()12f f <，再根据3x ≥时()f x 的单调性判断出()()32f f >，由此求解出a 的取值范围..【详解】因为*x ∈N ，所以3x <时，即{}1,2x ∈，由单调性可知()()21f f >，所以22142a a a a -+<-+，解得3a <；当3x ≥时，y ax =为增函数，若()f x 单调递增，则只需()()32f f >，所以2342a a a >-+，解得14a <<，综上可知a 的取值范围是：()1,3， 故选：D.2．（2021·上海高三二模）已知函数()(),y f x y g x ==满足：对任意12,x x R ∈，都有()()()()1212f x f x g x g x -≥-．命题p ：若()y f x =是增函数，则()()y f x g x =-不是减函数；命题q ：若()y f x =有最大值和最小值，则()y g x =也有最大值和最小值． 则下列判断正确的是（ ） A ．p 和q 都是真命题 B ．p 和q 都是假命题 C ．p 是真命题，q 是假命题 D ．p 是假命题，q 是真命题【答案】A 【解析】利用函数单调性定义结合已知判断命题p 的真假，再利用函数最大、最小值的意义借助不等式性质判断命题q 的真假而得解. 【详解】对于命题p ：设12x x <，因为()y f x =是R 上的增函数，所以()()12f x f x <， 所以()()()()1221f x f x f x f x -=-， 因为()()()()1212f x f x g x g x -≥-，所以()()()()211221()()f x f x g x g x f x f x -+≤-≤-所以()()1122()()f x g x f x g x -≤- 故函数()()y f x g x =-不是减函数， 故命题p 为真命题；对于命题():q y f x =在R 上有最大值M ，此时x a =，有最小值m ，此时x b =， 因为()()()()()()()()f x f a g x g a f x M g x g a M f x -≥-⇔-≤-≤-，()()()()()()()()f x f b g x g b m f x g x g b f x m -≥-⇔-≤-≤-所以()()()()2()()()()22m M g a g b M m g a g b m M g x g a g b M m g x -++-++-≤--≤-⇔≤≤，所以()y g x =也有最大值和最小值，故命题q 为真命题． 故选：A3．（2021·全国高三二模（理））已知实数a ，b ，c ，d 满足a b c >>，且0a b c ++=，220ad bd b +-=，则d 的取值范围是（ ） A ．(][),10,-∞-+∞B ．()1,1-C ．(D ．(11--+【答案】D 【解析】先求解出方程的解1,2d ，然后利用换元法（bt a=）将d 表示为关于t 的函数，根据条件分析t 的取值范围，然后分析出d 关于t 的函数的单调性，由此求解出d 的取值范围. 【详解】因为220ad bd b +-=，所以1,2b b d a a -==-±2440b ab ∆=+≥，令bt a=，则1,2d t =-±20t t +≥，所以(][),10,t ∈-∞-+∞，又因为0a b c ++=且a b c >>，所以0a >且c a b b a =--<<， 所以2,a b b a -<<，所以112bt a-<=<，所以[)0,1t ∈，当[)0,1t ∈时，())10,1d t t =-==∈， 因为1y t=在()0,1上单调递减，所以y t =-()0,1上单调递增， 当0t =时，10d =，当1t =时，11d =，所以)11d ⎡∈⎣； 当[)0,1t ∈时，2d t =-，因为y t =、2y t t =+在[)0,1上单调递增，所以y t =-[)0,1上单调递减， 当0t =时，20d =，当1t =时，21d =-(21d ⎤∈-⎦，综上可知：(11d ∈---， 故选：D.4．【多选题】（2021·湖南高三三模）关于函数()111f x x x =++的结论正确的是（ ） A ．()f x 在定义域内单调递减 B ．()f x 的值域为R C ．()f x 在定义城内有两个零点 D ．12y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭是奇函数 【答案】BD 【解析】根据所给函数结合函数性质，对各项逐个分析判断， 即可得解. 【详解】()111f x x x =++的定义域为(,1)(1,0)(0,)-∞--+∞， 而1x和11x +在各段定义域内均为减函数， 故()f x 在各段上为减函数，但不能说在定义域内单调递减，故A 错误； 当(1,0)x ∈- ，1x →-时，有()111f x x x =+→+∞+， 当0x →时，有()111f x x x =+→-∞+，所以()f x 的值域为R ，故B 正确； 令()2112101x f x x x x x+=+==++，可得12x =-，所以()f x 在定义城内有一个零点，故C 错误；2211128111241224x x y f x x x x x ⎛⎫=-=+== ⎪-⎝⎭-+-， 令28()41x g x x =-，易知12x ≠±，此时定义域关于原点对称，且28()()41xg x g x x --==--，故()g x 为奇函数， 所以12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数，故D 正确， 故选：BD.5．【多选题】（2021·全国高三专题练习）(多选题)已知函数f (x )的定义域为R ，对任意实数x ，y 满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋12，且f 1()2＝0，当x >12时，f (x )>0，则以下结论正确的是（ ） A ．f (0)＝－12，f (－1)＝－32B ．f (x )为R 上的减函数C ．f (x )＋12为奇函数 D ．f (x )＋1为偶函数 【答案】AC 【解析】取0x y ==，11,22x y ==-，12x y ==-得出(0)f ，12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(1)f -的值进而判断A ；由(1)(0)f f -<判断B ；令y x =-结合奇偶性的定义判断C ；令1()()2=+g x f x ，结合g (x )为奇函数，得出()1()f x f x -+=-，从而判断D.【详解】由已知，令0x y ==，得1(0)(0)(0)2f f f =++，1(0)2f ∴=-，令11,22x y ==-，得1111122222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，112f ⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭，再令12x y ==-，得1111122222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3(1)2f ∴-=-，A 正确；(1)(0)f f -<，()f x ∴不是R 上的减函数，B 错误；令y x =-，得1()()()2f x x f x f x -=+-+，11()()022f x f x ⎡⎤⎡⎤∴++-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故C正确；令1()()2=+g x f x ，由C 可知g (x )为奇函数，11()()22g x g x ∴-+=-+，即1111()()2222f x f x ⎡⎤⎡⎤-++=-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()1()f x f x ∴-+=-，故D 错误. 故选：AC6．【多选题】（2021·全国高一单元测试）如果函数()f x 在[,]a b 上是增函数，对于任意的1212,[,]()x x a b x x ∈≠，则下列结论中正确的是（ ）A ．1212()()0f x f x x x ->-B ．1212()[()()]0x x f x f x -->C ．12()()()()f a f x f x f b ≤<≤D ．12()()f x f x >E.1212()()0f x f x x x -<-【答案】AB 【解析】利用函数单调性的定义：12x x -与12()()f x f x -同号，判断A 、B 、E 的正误；而对于C 、D 选项，由于12,x x 的大小不定，1()f x 与2()f x 的大小关系不能确定. 【详解】由函数单调性的定义知，若函数()y f x =在给定的区间上是增函数，则12x x -与12()()f x f x -同号，由此可知，选项A ，B 正确，E 错误；对于选项C 、D ，因为12,x x 的大小关系无法判断，则1()f x 与2()f x 的大小关系确定也无法判断，故C ，D 不正确．故选：AB.7．【多选题】（2021·全国高一课时练习）（多选题）已知函数()f x 的定义域为D ，若存在区间[,]m n D ⊆使得()f x ：（1）()f x 在[,]m n 上是单调函数； （2）()f x 在[,]m n 上的值域是[2,2]m n ， 则称区间[,]m n 为函数()f x 的“倍值区间”． 下列函数中存在“倍值区间”的有（ ） A ．2()f x x =； B ．1()f x x=； C ．1()f x x x=+； D ．23()1x f x x =+．【答案】ABD 【解析】函数中存在“倍值区间”，则()f x 在[],m n 内是单调函数,()()22f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()22f m nf n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，对四个函数的单调性分别研究，从而确定是否存在“倍值区间”． 【详解】函数中存在“倍值区间”，则（1）()f x 在[,]m n 内是单调函数，（2）()2()2f m m f n n =⎧⎨=⎩或()2()2f m nf n m=⎧⎨=⎩，对于A ，2()f x x =，若存在“倍值区间”[,]m n ，则()2()2f m m f n n =⎧⎨=⎩⇒2222m m n n⎧=⎨=⎩⇒02m n =⎧⎨=⎩，2()f x x ∴=，存在“倍值区间”[0,2]；对于B ，1()()f x x R x =∈，若存在“倍值区间”[,]m n ，当0x >时，1212n m mn⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⇒12mn =，故只需12mn =即可，故存在； 对于C ，1()f x x x=+；当0x >时，在区间[0,1]上单调递减，在区间[1,)+∞上单调递增， 若存在“倍值区间”1[],1][0,2n m n m m ⊆⇒+=，212210n m m mn n+=⇒-+=，222210n mn m n -+=⇒=不符题意；若存在“倍值区间”1[,][1,)2m n m m m ⊆+∞⇒+=，22121n n m n n+=⇒==不符题意，故此函数不存在“倍值区间“； 对于D ，233()11x f x x x x==++，所以()f x 在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,)+∞上单调递减，若存在“倍值区间”[,][0,1]m n ⊆，2321m m m =+，2321n n n =+，0m ∴=，2n =， 即存在“倍值区间”[0,2； 故选：ABD ．8．（2021·全国高三专题练习（理））已知1a >，b R ∈，当0x >时，[]24(1)102x a x b x ⎛⎫---⋅-≥ ⎪⎝⎭恒成立，则3b a +的最小值是_____．3 【解析】根据题中条件，先讨论10,1x a ⎛⎤∈ ⎥-⎝⎦，根据不等式恒成立求出114(1)21b a a ⎡⎤≥--⎢⎥-⎣⎦；再讨论1,1x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭，求出114(1)21b a a ⎡⎤≤--⎢⎥-⎣⎦得到b ，再由基本不等式即可求出结果.【详解】当10,1x a ⎛⎤∈ ⎥-⎝⎦时，(1)10a x --<，即2402x b x--≤恒成立， 24222x x y x x-==-是10,1x a ⎛⎤∈ ⎥-⎝⎦上的增函数， ∴114(1)21b a a ⎡⎤≥--⎢⎥-⎣⎦， 当1,1x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭时，(1)10a x -->，即2402x b x--≥恒成立，24222x x y x x-==-是1,1x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭上的增函数， ∴114(1)21b a a ⎡⎤≤--⎢⎥-⎣⎦， ∴114(1)21b a a ⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦，∴13(1)332(1)b a a a +=+-+≥-，当12a =+时等号成立．3.9．（2021·全国高三专题练习）对于满足2p ≤的所有实数p ，则使不等式212x px p x ++>+恒成立的x的取值范围为______．【答案】()()13+-∞-⋃∞，，． 【解析】将不等式转化为在[-2，2]内关于p 的一次函数函数值大于0恒成立求参变量x 的范围的问题． 【详解】解：原不等式可化为2(1)210x p x x -+-+>，令2()(1)21f p x p x x =-+-+，则原问题等价于()0f p >在[2,2]p ∈-上恒成立，则(2)0(2)0f f ->⎧⎨>⎩，即2243010x x x ⎧-+>⎨->⎩解得：1311x x x x ⎧⎪⎨-⎪⎩或或∴1x <-或3x >． 即x 的取值范围为()()13+-∞-⋃∞，，. 故答案为：()()13+-∞-⋃∞，，. 10．（2021·上海高三二模）已知a R ∈，函数()22,011,02x a x x f x x ax a x ⎧++-≥⎪=⎨-++<⎪⎩的最小值为2a ，则由满足条件的a 的值组成的集合是_______________.【答案】{3- 【解析】讨论a -与0、2的大小关系，判断函数()f x 在[)0,+∞、(),0-∞上的单调性与最小值，根据函数()f x 的最小值列方程解出实数a 的值.【详解】分以下三种情况讨论：①若0a -≤时，即当0a ≥时，()222,22,0211,02x a x f x a x x ax a x ⎧⎪+->⎪=+≤≤⎨⎪⎪-++<⎩，所以，函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()112f x a >+， 当0x ≥时，()min 1212f x a a =+>+， 此时，函数()f x 无最小值；②若02a <-≤时，即当20a -≤<时，()222,22,222,011,02x a x a a x f x x a x a x ax a x +->⎧⎪+-≤≤⎪⎪=⎨--+≤<-⎪⎪-++<⎪⎩，当0x <时，()211242a a f x f a ⎛⎫≥=-++ ⎪⎝⎭， 当0x ≥时，()2f x a ≥+.22a a +>，所以，21242a aa -++=，整理可得2640a a +-=，20a -≤<，解得3a =-±； ③当2a ->时，即当2a <-时，()222,2,222,0211,02x a x a a x a f x x a x x ax a x +->-⎧⎪--≤≤-⎪⎪=⎨--+≤<⎪⎪-++<⎪⎩，当0x <时，()211242a a f x f a ⎛⎫≥=-++ ⎪⎝⎭， 当0x ≥时，()2f x a ≥--.因为202a a -->>，所以，21242a aa -++=，整理可得2640a a +-=，2a <-，解得3a =-3a =-+.综上所述，实数a的取值集合为{3-.故答案为：{3-.1．（2020·全国高考真题（文））设函数331()f x x x =-,则()f x （ ） A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A 【解析】根据函数的解析式可知函数的定义域为{}0x x ≠，利用定义可得出函数()f x 为奇函数， 再根据函数的单调性法则，即可解出． 【详解】因为函数()331f x x x =-定义域为{}0x x ≠，其关于原点对称，而()()f x f x -=-， 所以函数()f x 为奇函数．又因为函数3y x =在0,上单调递增，在,0上单调递增， 而331y x x-==在0,上单调递减，在,0上单调递减，所以函数()331f x x x=-在0,上单调递增，在,0上单调递增．故选：A ．2.（2019·北京高考真题（文））下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．12y x = B ．y =2x -C ．12log y x =D ．1y x=【答案】A 【解析】函数122,log xy y x -==， 练真题1y x=在区间(0,)+∞ 上单调递减， 函数12y x = 在区间(0,)+∞上单调递增，故选A .3．（2018·全国高考真题（文））设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，【答案】D 【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果.详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .4.(2017课标II)函数2()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是（ ） A.(,2)-∞- B. (,1)-∞- C. (1,)+∞ D. (4,)+∞ 【答案】D【解析】函数有意义，则：2280x x --> ，解得：2x <- 或4x > ，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为()4,+∞ . 故选D.5.(2017天津)已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若0.8221(log ),(log 4.1),(2)5a fb fc f =-==，则,,a b c 的大小关系为（ ）（A ）a b c <<（B ）b a c <<（C ）c b a <<（D ）c a b << 【答案】C【解析】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，且：0.822log 5log 4.12,122>><<， 据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>， 即,a b c c b a >><<，本题选择C 选项.6．（2020·北京高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论： ①在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是____________________． 【答案】①②③ 【解析】根据定义逐一判断，即可得到结果 【详解】()()f b f a b a---表示区间端点连线斜率的负数，在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，甲企业在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[]12,t t 的污水治理能力最强．④错误；在2t 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确； 故答案为：①②③。
2025届高考数学复习：压轴好题专项(构造函数证明不等式)练习(附答案)
2025届高考数学复习：压轴好题专项(构造函数证明不等式)练习1. （2024届云南省昆明市第一中学高三上学期第一次月考）已知函数()()2ln f x x a x =-，R a ∈． (1)若()10f '=，求a ；(2)若()1,e a ∈，()f x 的极大值大于b2e <．2．（2024届全国名校大联考高三上学期第一联考）已知函数()2ln f x x ax =+（a ∈R ）． (1)若()0f x ≤在()0,∞+上恒成立，求a 的取值范围：(2)设()()3g x x f x =-，1x ，2x 为函数()g x 的两个零点，证明：121x x <．3．（2024届山东省青岛市高三上学期期初调研检测）已知1ea ≥，函数()e ln ln xf x a x a =-+.(1)若1a =，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； (2)求证：()44f x x ≥-+；(3)若β为()f x 的极值点，点()(),f ββ在圆22117416x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭上.求a .4．（2024届湖南省株洲市第二中学教育集团2高三上学期开学联考）已知函数()21e 12xf x x x =---， (1)证明：当0x >时，()0f x >恒成立； (2)若关于x 的方程()sin 2f x xa x x +=在()0,π内有解，求实数a 的取值范围. 5．（2024届辽宁省十校联合体高三上学期八月调研考试）设方程()22e x x a -=有三个实数根123123,,()x x x x x x <<.(1)求a 的取值范围；(2)请在以下两个问题中任选一个进行作答，注意选的序号不同，该题得分不同.若选①则该小问满分4分，若选②则该小问满分9分.①证明：12(2)(2)4x x --<；②证明：1231231113e 2x x x x x x +++++<. 6．（2024届安徽省江淮十校高三第一次联考）已知函数()2k f x x x=+，0k ≠.(1)讨论()f x 的单调性；(2)设函数()3ln g x x x =-n m ≤<，当13k =-时，证明：()()()()332g m g n f m f n m n -+<-. 7．（2024届内蒙古包头市高三上学期调研考试）设函数()()ln 1f x a x =+-，已知2x =是函数()()2y x f x =-的极值点.(1)求a ； (2)设函数()()()()22x f x g x x f x -=-+，证明：()1g x >.8．（2024届北京市景山学校高三上学期开学考试）已知函数())(0)f x x b a =+≠，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是1y x =-.(1)求a 、b 的值； (2)求证：()f x x <；(3)若函数()2()()g x f x t x x =+-在区间(1,)+∞上无零点，求t 的取值范围.9．（2024届山西省大同市高三上学期质量检测）已知函数2()ln (R)af x ax x a x=--∈． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 的两个极值点分别为1x ，2x ，证明：12|()()|2f x f x a-<．10．（2024届黑龙江省哈尔滨市第三中学校高三上学期开学测试）已知函数()()111ln f x ax a x x=+--+.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)求证：n *∀∈N ，)21+⋅⋅⋅++>.参考答案1. （2024届云南省昆明市第一中学高三上学期第一次月考）已知函数()()2ln f x x a x =-，R a ∈． (1)若()10f '=，求a ；(2)若()1,e a ∈，()f x 的极大值大于b 2e <．【过程详解】（1）()212()ln ()f x x a x x a x'=-+-⋅，由()10f '=，即202(1)ln1(1)a a --=+，解得1a =． （2）()()(2ln 1)af x x a x x'=--+， 令()2ln 1ag x x x=-+， ()1,e a ∈ ，111(,1e ),a a a∴∈∴<，()21()2ln 11)2ln (10g a a a a a a=--+=-++-<， ()2ln 112ln 0g a a a =-+=>， 22()0ag x x x+'=>在(0,)+∞恒成立， 故()g x 在(0,)+∞递增，而1lg()0,()0g a a <>，01(,)x a a∴∃∈，使得g 0()0,x =令()0f x '=，有1201,,x a x x x =<=故0(0,)x x ∈时()0f x ¢>，0(,)x x a ∈时()0f x '<，(,)x a ∈+∞时()0f x ¢>， 故()f x 在0(0,)x 上递增，在0(,)x a 上递减，在(,)a +∞上递增，∴()f x 极大值2000()()ln ,f x x a x b =->由000()2ln 10,ag x x x =-+=得0002ln ,a x x x =+ 故23004(ln ),b x x <则230028(ln ),ab ax x <01,e 1e x a a<<<< 0e,e a x ∴<<，23233008(ln )8e e 18e ax x ∴<⋅⋅⋅=，328e ,ab ∴<2e <．2．（2024届全国名校大联考高三上学期第一联考）已知函数()2ln f x x ax =+（a ∈R ）． (1)若()0f x ≤在()0,∞+上恒成立，求a 的取值范围：(2)设()()3g x x f x =-，1x ，2x 为函数()g x 的两个零点，证明：121x x <．【过程详解】（1）若()0f x ≤在()0,∞+上恒成立，即2ln xa x≤-， 令()2ln x u x x =-，所以()()222ln 122ln x x u x x x --'=-=， 所以当0e x <<时，()0u x '<，当e x >时，()0u x '>， 所以()u x 在()0,e 上单调递减，在()e,+∞上单调递增， 所以()()min 2e eu x u ==-，所以2a e ≤-，即a 的取值范围是2,e ⎛⎤-∞- ⎝⎦．（2）令()0g x =，即22ln 0xx a x--=， 令()22ln x h x x a x =--，则()()()3222ln 121ln 2x x x h x x x x +--'=-=， 令()3ln 1r x x x =+-，所以()2130r x x x'=+>，所以()r x 在()0,∞+上单调递增，又()10r =，所以当01x <<时，()0r x <，所以()0h x '<， 当1x >时，()0r x >，所以()0h x '>，所以()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增． 不妨设12x x <，则1201x x <<<，2101x <<， 因为()()120h x h x ==，所以()()22212222222212ln 2ln 1111x x h x h h x h x a a x x x x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪-=-=----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭22222112ln x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 设函数()12ln x x x x ϕ=--（1x >），则()()22211210x x x x xϕ-'=+-=>在()1,+∞上恒成立， 所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增，所以()()222212ln 10x x x x ϕϕ=-->=， 所以()1210h x h x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即()121h x h x ⎛⎫> ⎪⎝⎭．又函数()22ln xh x x a x=--在()0,1上单调递减， 所以12101x x <<<，所以121x x <． 3．（2024届山东省青岛市高三上学期期初调研检测）已知1ea ≥，函数()e ln ln xf x a x a =-+.(1)若1a =，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； (2)求证：()44f x x ≥-+；(3)若β为()f x 的极值点，点()(),f ββ在圆22117416x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭上.求a .【过程详解】（1）1a =，()e ln xf x x =-，0x >由()11e ln1e f =-=，得切点为()1,e由()1e xf x x'=-，有()1e 1f '=-，即()f x 在点()1,e 处的切线斜率为e 1-，所以()f x 在点()1,e 处的切线方程为：()e 11y x =-+. （2）证明：因为()1e xf x a x '=-(1ea ≥，0x >)，设函数()()g x f x '=，则()21e 0xg x a x '=+>(1e a ≥，0x >)，所以()f x '在()0,∞+上单调递增又因为()212e 02f a '=->，112e2e 1e 2e e 2e 02e a a f a a a a ⎛⎫⎛⎫'=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以存在1,22e a β⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()0f β'=， 即1e a ββ=，1e a ββ=，所以，当()0,x ∈β时，()0f x '<，()f x 在()0,β上单调递减； 当(),x β∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 在(),β+∞上单调递增；所以()()1e ln ln 2lnf x f a a ββββββ≥=-+=--令()12ln =--h x x x x ，()()()()14432ln 40x h x x x x x xϕ=--+=+-->， 则()()()2131x x x x ϕ-+'=，()0x ϕ'<解得01x <<，()0x ϕ'>解得1x >，所以，()x ϕ在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增； 所以，()()10x ϕϕ≥=，所以，()h x 的图像在44y x =-+的上方，且()h x 与44y x =-+唯一交点为()1,0， 所以，()44f x x ≥-+.（3）圆22117416x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭的圆心坐标为10,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径r =圆心到直线44y x =-+的距离174d ===， 所以直线44y x =-+为圆22117416x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭的切线，由2211741644x y y x ⎧⎛⎫++=⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=-+⎩解得切点坐标为()1,0， 显然，圆22117416x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭在直线44y x =-+的下方又因为()44f x x ≥-+，且点()(),f ββ在圆22117416x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭上，则点()(),f ββ即为切点为()1,0，所以1β=，1ea =.4．（2024届湖南省株洲市第二中学教育集团2高三上学期开学联考）已知函数()21e 12xf x x x =---， (1)证明：当0x >时，()0f x >恒成立；(2)若关于x 的方程()sin 2f x xa x x +=在()0,π内有解，求实数a 的取值范围. 【过程详解】（1）函数21()e 12xf x x x =---，0x >，求导得()e 1x f x x '=--，令e 1x y x =--，0x >，求导得e 10x y '=->， 则函数()f x '在(0,)+∞上单调递增，()(0)0f x f ''>=， 因此函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，()(0)0f x f >=， 所以当0x >时，()0f x >恒成立.（2）设sin y x x =-，()0,πx ∈，则1cos 0y x '=->， 则sin y x x =-在()0,π上递增，0y >，即sin 0x x >>， 方程()sin 2f x xa x x +=等价于e sin 10x ax x x ---=，()0,πx ∈， 令()e sin 1xg x ax x x =---，原问题等价于()g x 在()0,π内有零点，由()0,πx ∈，得2sin x x x <， 由（1）知，当12a ≤时，()21e sin 1e 102x xg x ax x x x x =--->--->， 当()0,πx ∈时，函数()y g x =没有零点，不合题意； 当12a >时，由()e sin 1x g x ax x x =---，求导得()()e cos sin 1xg x a x x x '=-+-， 令()()()e cos sin 1x t x g x a x x x '==-+-，则()()e sin 2cos xt x a x x x '=+-，当π[,π)2x ∈时，()0t x '>恒成立，当π(0,)2x ∈时，令()()()e sin 2cos x s x t x a x x x '==+-，则()()e 3sin cos xs x a x x x '=++，因为e 0x >，()3sin cos 0a x x x +>，则()0s x '>，即()t x '在π(0,2上单调递增，又()0120t a '=-<，π2ππ(e 022t a '=+>，因此()t x '在π(0,)2上存在唯一的零点0x ，当()00,x x ∈时，()0t x '<，函数()g x '单调递减，当()0,πx x ∈时，()0t x '>，函数()g x '单调递增，显然()()000g x g ''<=，()ππe π10g a '=+->，因此()g x '在()0,π上存在唯一的零点1x ，且()10,πx x ∈，当()10,x x ∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，当()1,πx x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增， 又()00g =，()()100g x g <=，由（1）知，21e 112x x x x >++>+，则()ππe π10g =-->，所以()g x 在()10,x 上没有零点，在()1,πx 上存在唯一零点，因此()g x 在()0,π上有唯一零点， 所以a 的取值范围是1(,)2+∞.5．（2024届辽宁省十校联合体高三上学期八月调研考试）设方程()22e x x a -=有三个实数根123123,,()x x x x x x <<.(1)求a 的取值范围；(2)请在以下两个问题中任选一个进行作答，注意选的序号不同，该题得分不同.若选①则该小问满分4分，若选②则该小问满分9分.①证明：12(2)(2)4x x --<；②证明：1231231113e2x x x x x x +++++<. 【过程详解】（1）由题意设()()22e x f x x =-（x ∈R ），则()f x '=()2e xx x -，x ∈R ，令()0f x '=，得0x =或2x =，当0x <或2x >时，()0f x ¢>，所以()f x 在(),0∞-，()2,+∞上单调递增； 当02x <<时，()0f x '<，所以()f x 在()0,2上单调递减；又()20f =，()04f =，()33e 4f =>，且()()22e 0x f x x =-≥，当x 趋向于+∞时，()f x 也趋向于+∞，又方程()22e x x a -=有三个实数根123123,,()x x x x x x <<， 等价于直线y a =与()y f x =的函数图像有三个交点， 即04a <<，所以a 的取值范围为()0,4.（2）选①，证明如下：由（1）得：1202x x <<<，则122220x x -<-<-<， 设112t x =-，222t x =-，则1220t t <-<<， 不妨设121t k t =>，则12t kt =（1k >）， 又()()1222122e 2e x x x x a -=-=，即12222212e e t t t t a ++==，故22222222e e 0e kt ta k t t ==>，即222e e kt t k =，所以22ln 1k t k=-，212ln 1k k t kt k ==-，1k >， 则()()()2222121222ln 2ln 22111k x x t t k k ⎛⎫⎫ ⎪⎛⎫⎪--==⋅==⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎪⎪-⎪⎝⎭⎭，设()l 1n 2x g x x x=-+，1x >， 则()()222121=10x g x x x x -'--=-≤，所以()g x 在()1,+∞上单调递减，即()()10g x g <=，1>，则0<，即，0>2<，故()()212122241x x t t ⎛⎫ ⎪--==<⎪ ⎪⎪⎝⎭. 选②，证明如下：由（1）得：1202x x <<<，则122220x x -<-<-<， 设112t x =-，222t x =-，则1220t t <-<<， 不妨设121t k t =>，则12t kt =（1k >）， 又()()1222122e 2e x x x x a -=-=，即12222212e e t t t t a ++==，故22222222e e 0e kt ta k t t ==>，即222e e kt t k =，所以22ln 1k t k=-，212ln 1k k t kt k ==-（1k >），则()()()2222121222ln 2ln 22111k x x t t k k ⎛⎫⎫ ⎪⎛⎫⎪--==⋅==⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎪⎪-⎪⎝⎭⎭1>）， 设()l 1n 2x g x x x=-+，1x >， 则()()222121=10x g x x x x -'--=-≤，所以()g x 在()1,+∞上单调递减，即()()10g x g <=，1>，则0<，即，0>2<，故()()212122241x x t t ⎛⎫ ⎪--==<⎪ ⎪⎪⎝⎭. 所以()()()12121222244x x x x x x --=-++<，则()12122x x x x <+， 又因为1202x x <<<，所以120x x <，从而()12121221121x x x x x x +⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，故121112x x +<①，下证120x x +<， 有12122ln 2ln 44011k k kx x t t k k+=++=++<--（1k >）， 即证1k >时，()()1ln 21k k k +>-，即()214ln 211k k k k ->=-++， 即证4ln 21k k +>+（1k >）， 设()4ln 1h x x x =++（1x >），则()()()()22211411x h x x x x x -'=-=++，当1x >时，()0h x '>，所以()h x 在()1,+∞上单调递增， 则()()12h x h >=，所以120x x +<②，又()()33e 0f f =>，所以得323x <<，设()1x x xϕ=+，（23x <<），则()211x x ϕ'=-，当23x <<时，()0x ϕ'>，所以()x ϕ在()2,3上单调递增， 则331103x x +<③， 联立①②③得：123123*********e 042362x x x x x x +++++<++=<<，故1231231113e2x x x x x x +++++<. 6．（2024届安徽省江淮十校高三第一次联考）已知函数()2k f x x x=+，0k ≠.(1)讨论()f x 的单调性；(2)设函数()3ln g x x x =-n m ≤<，当13k =-时，证明：()()()()332g m g n f m f n m n -+<-. 【过程详解】（1）解：函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠，()32222k x kf x x x x -='-=， 令()0f x '=，则x =①当0k<时，当x <()0f x '<，()f x0x <<时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当0x >时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；②当0k>时，当0x <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0x <<()0f x '<，()f x 单调递减；当x >时，()0f x ¢>，()f x 单调递增.综上：当0k <时，单调增区间为⎫⎪⎪⎭，()0,∞+，单调递减区间为⎛-∞ ⎝； 当0k >时，单调递增区间为⎫+∞⎪⎪⎭，单调递减区间为(),0∞-，⎛ ⎝. （2）对任意的m，n ⎫∈+∞⎪⎭，且m n >，令mt n =（1t >），因为()()()()()()()32m n f m f n g m g n -+--()22333311ln 2222m m n m n m n m n n ⎛⎫⎛⎫=-+----- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33221133ln 222222n m m m n mn m n m n n=-+-+-+ 323111332ln 22m m m m n m n n n n n mn ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⋅----⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()332331*********ln (1)2ln 2222n t t t t t n t t t t t ⎛⎫⎛⎫=-+----=---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()33211111(1)2ln 33132ln 626t t t t t t t t t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫≥----=-+---- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 321336ln 16t t t t ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭， 记()32336ln 1h t t t t t =-++-，则()22226311113636320h t t t t t t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=---'=-+-> ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()h t 在()1,+∞单调递增，所以()()10h t h >=，故32336ln 10t t t t-++->，所以()()()()()()()302m n f m f n g m g n -+-->， 故()()()()332g m g n f m f n m n-+<-.7．（2024届内蒙古包头市高三上学期调研考试）设函数()()ln 1f x a x =+-，已知2x =是函数()()2y x f x =-的极值点.(1)求a ； (2)设函数()()()()22x f x g x x f x -=-+，证明：()1g x >.【过程详解】（1）由题意可知，()()()()22ln 1y x f x x a x =-=-+-，则()2ln 11xy a x a x-'=+-++-，因为2x =是函数()()2ln 1y x a x =-+-的极值点， 所以()ln 120a +-=，解得2a =， 经检验满足题意，故2a =；（2）由（1）得()()ln 3f x x =-，(),3x ∞∈-， 设()()()22ln 3h x x f x x x =-+=-+-，则()12133x h x x x -'=-=--， 当2x <时，203x x ->-，即()0h x '>，所以()h x 在区间(),2-∞单调递增； 当23x <<时，203x x -<-，即()0h x '<，所以()h x 在区间()2,3单调递减， 因此当(),3x ∞∈-时，()()20h x h ≤=，因为()g x 的定义域要求()f x 有意义，即(),3x ∞∈-，同时还要求()2ln 30x x -+-≠，即要求2x ≠，所以()g x的定义域为{|3x x < 且}2x ≠， 要证()()()()212x f x g x x f x -=>-+，因为()20x f x -+<，所以需证()()()22x f x x f x -<-+， 即需证()()23ln 30x x x -+-->，令3x t -=，则0t >且1t ≠，则只需证1ln 0t t t -+>，令()1ln m t t t t =-+，则()ln m t t '=，令()ln 0m t t '==，可得1t =， 所以()0,1t ∈，()0m t '<；()1,t ∈+∞，()0m t '>；所以()m t 在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增， 所以()()10m t m >=，即()1g x >成立.8．（2024届北京市景山学校高三上学期开学考试）已知函数())(0)f x x b a =+≠，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是1y x =-.(1)求a 、b 的值； (2)求证：()f x x <；(3)若函数()2()()g x f x t x x =+-在区间(1,)+∞上无零点，求t 的取值范围.【过程详解】（1）()()f x x b '=+由切线方程知()()1110f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩，即()()1110b b +=+=，注意到0a ≠，解得1a =,0b =.（2）由（1）可知()f x x，若要()f x x x =<且注意到0x >，所以只需ln x < 构造函数()ln h x x =()122h x x x '==，令()0h x '=得4x =，所以()h x 、()h x '随x 的变化情况如下表：()0,4 ()4,+∞()h x '+-()h x所以()h x 有极大值()244ln 42ln 0eh =-=<，综上()0h x <，结合分析可知命题得证. （3）由题意分以下三种情形讨论：情形一：注意到当0t ≥且1x >0x >，()10txx -≥，此时有()0g x >，即()g x 在区间(1,)+∞上无零点，符合题意.情形二：对()2()g x x t x x =+-求导得()()21g xt x x '=+-，所以有()11g t '=+；进一步对()()21g x t x x '=++- 求导得()32ln 24x g x t x-''=+，注意到当1t ≤-且1x >时，有20t <，32ln 04x x-< ，进而有()0g x ''<，所以()g x '单调递减，所以()()110g x g t ''<=+≤，因此()g x 单调递减，故()()10g x g <=，即()g x 在区间(1,)+∞上无零点，符合题意.情形三：由（2）可知1x >lnx <，且注意到当10t -<<时有()()()1()21211212g x t x t x t x '=-<+-<++-成立， 所以11(02a g a a -'<-<，此时()110g t '=+>， 所以存在011,a x a -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00g x '=，且注意到此时有()32ln 204x g x t x -''=+<成立， 所以()g x 、()g x '随x 的变化情况如下表：()01,x ()0,x +∞()g x ' +-()g x故一方面当0x x =时，()g x 取极大值（或最大值）()0g x ，显然有()()010g x g >=；ln x <可得()()()22()1g x x t x x x t x x x tx t +-<+-=+-，所以有10a g a -⎛⎫< ⎪⎝⎭，由零点存在定理并结合这两方面可知函数()g x 在区间(1,)+∞上存在零点.综上所述，符合题意的t 的取值范围为(][),10,-∞-⋃+∞.9．（2024届山西省大同市高三上学期质量检测）已知函数2()ln (R)af x ax x a x=--∈． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 的两个极值点分别为1x ，2x，证明：12|()()|f x f x -<． 【过程详解】（1）依题意，222122()(0)a ax x af x a x x x x -+'=-+=>，当0a ≤时，()0f x '<，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a <<()0f x '>，解得102x a <<或12x a>，令()0f x '<，解得112x a <<，所以()f x在1(0,2a 上单调递增，在11(22a a上单调递减，在)+∞上单调递增；当a ≥时，()0f x '≥，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增． （2）不妨设120x x <<，由（1）知，当04a <<时，()f x 在1(0,)x 上单调递增，在12(,)x x 上单调递减，在2(,)x +∞上单调递增，所以1x 是()f x 的极大值点，2x 是()fx的极小值点，所以12()()f x f x >，所以1212|()()|()()f x f x f xf x -=-．由（1）知，122x x =，121x x a+=，则21x xa-==．要证12|()()|f x f x -<1221()())2f x f x x x -<-．因为22121122121112()()()()()ln 222x x xx x f x f x x x a x x a x x x ---+=-+--+⋅2212212111212()2()()ln ln 2x x x x a x x x x x x x x -=-+--=+ 2122112(1)ln 1x x xx x x -=+， 设211x t x =>，2(1)()ln 1t g t t t -=++．所以222414()0(1)(1)g t t t t '==>++， 所以()g t 在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0g t g >=．所以2112)()()02x x f x f x --+>，即得1221()()()2f x f x x x -<-成立． 所以原不等式成立．10．（2024届黑龙江省哈尔滨市第三中学校高三上学期开学测试）已知函数()()111ln f x ax a x x=+--+.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)求证：n *∀∈N ，)21+⋅⋅⋅++>.【过程详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()()()221111ax x a f x a x x x --+'=+-=， 当0a ≤时，10ax -<，令()0f x ¢>，解得01x <<，令()0f x '<，解得1x >，所以()f x 在()0,1上单调递增，()1,+∞上单调递减；当01a <<时，令()0f x ¢>，解得01x <<或1x a >，令()0f x '<，解得11x a <<，所以()f x 在()0,1，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当1a =时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增；当1a >时，令()0f x ¢>，解得10x a <<或1x >，令()0f x '<，解得11x a <<，所以()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,+∞上单调递增，1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；综上所述，当0a ≤时，()f x 在()0,1上单调递增，()1,+∞上单调递减；当01a <<时，()f x 在()0,1，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当1a =时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当1a >时，()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,+∞上单调递增，1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.（2）当0a =时，由（1）可得()()11ln 10f x x f x=--<=，()1x >，因为N n *∈1>，则10<，即11>>所以n ++>-+L L2n =-L2n =-)21=-，即)2ln 1+>L .。
高中数学高考总复习函数概念习题及详解
高中数学高考总复习函数概念习题及详解一、选择题1．(文)(2010·浙江文)已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，若f (a )＝1，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3[答案] B[解析] 由题意知，f (a )＝log 2(a ＋1)＝1，∴a ＋1＝2， ∴a ＝1.(理)(2010·广东六校)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2xx ∈(－∞，2]log 2x x ∈(2，＋∞)，则满足f (x )＝4的x 的值是( )A ．2B ．16C ．2或16D ．－2或16[答案] C[解析] 当f (x )＝2x 时.2x ＝4，解得x ＝2. 当f (x )＝log 2x 时，log 2x ＝4，解得x ＝16. ∴x ＝2或16.故选C.2．(文)(2010·湖北文，3)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x x >02x x ≤0，则f (f (19))＝( )A ．4 B.14 C ．－4D ．－14[答案] B[解析] ∵f (19)＝log 319＝－2<0∴f (f (19))＝f (－2)＝2－2＝14.(理)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x－1 (x <1)lg x (x ≥1)，若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(10，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(－1,10)D ．(0,10) [答案] A[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0<121－x 0－1>1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0≥1lg x 0>1⇒x 0<0或x 0>10.3．(2010·天津模拟)若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为f (x )＝x 2，值域为{1,4}的“同族函数”共有( )A ．7个B ．8个C ．9个D ．10个[答案] C[解析] 由x 2＝1得x ＝±1，由x 2＝4得x ＝±2，故函数的定义域可以是{1,2}，{－1,2}，{1，－2}，{－1，－2}，{1,2，－1}，{1,2，－2}，{1，－2，－1}，{－1,2，－2}和{－1，－2,1,2}，故选C.4．(2010·柳州、贵港、钦州模拟)设函数f (x )＝1－2x1＋x ，函数y ＝g (x )的图象与y ＝f (x )的图象关于直线y ＝x 对称，则g (1)等于( )A ．－32B ．－1C ．－12D ．0[答案] D[解析] 设g (1)＝a ，由已知条件知，f (x )与g (x )互为反函数，∴f (a )＝1，即1－2a1＋a ＝1，∴a ＝0.5．(2010·广东六校)若函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (1－x )的图象大致为( )[答案] A[解析] 解法1：y ＝f (－x )的图象与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称．将y ＝f (－x )的图象向右平移一个单位得y ＝f (1－x )的图象，故选A.解法2：由f (0)＝0知，y ＝f (1－x )的图象应过(1,0)点，排除B 、C ；由x ＝1不在y ＝f (x )的定义域内知，y ＝f (1－x )的定义域应不包括x ＝0，排除D ，故选A.高考总复习含详解答案6．(文)(2010·广东四校)已知两个函数f (x )和g (x )的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表，填写下列g (f (x ))的表格，其三个数依次为( )A.3,1,2 C ．1,2,3D ．3,2,1[答案] D[解析] 由表格可知，f (1)＝2，f (2)＝3，f (3)＝1，g (1)＝1，g (2)＝3，g (3)＝2， ∴g (f (1))＝g (2)＝3，g (f (2))＝g (3)＝2，g (f (3))＝g (1)＝1， ∴三个数依次为3,2,1，故选D.(理)(2010·山东肥城联考)已知两个函数f (x )和g (x )的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表：则方程g [f (x )]＝x 的解集为( ) A ．{1} B ．{2} C ．{3}D ．∅[答案] C[解析] g [f (1)]＝g (2)＝2，g [f (2)]＝g (3)＝1； g [f (3)]＝g (1)＝3，故选C.7．若函数f (x )＝log a (x ＋1) (a >0且a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a 等于( ) A.13B. 2C.22D ．2[答案] D[解析] ∵0≤x ≤1，∴1≤x ＋1≤2，又∵0≤log a (x ＋1)≤1，故a >1，且log a 2＝1，∴a ＝2.8．(文)(2010·天津文)设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R)，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )＋x ＋4，x ＜g (x )g (x )－x ，x ≥g (x )，则f (x )的值域是( )A.⎣⎡⎦⎤－94，0∪(1，＋∞) B ．[0，＋∞)C.⎣⎡⎭⎫－94，＋∞D.⎣⎡⎦⎤－94，0∪(2，＋∞) [答案] D[解析] 由题意可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2 x <－1或x >2x 2－x －2 －1≤x ≤21°当x <－1或x >2时，f (x )＝x 2＋x ＋2＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋74 由函数的图可得f (x )∈(2，＋∞)．2°当－1≤x ≤2时，f (x )＝x 2－x －2＝⎝⎛⎭⎫x －122－94， 故当x ＝12时，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－94， 当x ＝－1时，f (x )max ＝f (－1)＝0， ∴f (x )∈⎣⎡⎦⎤－94，0. 综上所述，该分段函数的值域为⎣⎡⎦⎤－94，0∪(2，＋∞)． (理)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x ) (x ≤0)f (x －1)－f (x －2) (x >0)，则f (2010)的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2[答案] B[解析] f (2010)＝f (2009)－f (2008)＝(f (2008)－f (2007))－f (2008)＝－f (2007)，同理f (2007)＝－f (2004)，∴f (2010)＝f (2004)，∴当x >0时，f (x )以6为周期进行循环， ∴f (2010)＝f (0)＝log 21＝0.9．(文)对任意两实数a 、b ，定义运算“*”如下：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，若a ≤b ；b ，若a >b函数f (x )＝log 12(3x高考总复习含详解答案－2)*log 2x 的值域为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0]D ．[0，＋∞)[答案] C[解析] ∵a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，若a ≤b ，b ，若a >b .而函数f (x )＝log 12(3x －2)与log 2x 的大致图象如右图所示，∴f (x )的值域为(－∞，0]．(理)定义max{a 、b 、c }表示a 、b 、c 三个数中的最大值，f (x )＝max{⎝⎛⎭⎫12x，x －2，log 2x (x >0)}，则f (x )的最小值所在范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,3)[答案] C[解析] 在同一坐标系中画出函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x，y ＝x －2与y ＝log 2x 的图象，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 与y ＝log 2x 图象的交点为A (x 1，y 1)，y ＝x －2与y ＝log 2x 图象的交点为B (x 2，y 2)，则由f (x )的定义知，当x ≤x 1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x，当x 1<x <x 2时，f (x )＝log 2x ，当x ≥x 2时，f (x )＝x －2，∴f (x )的最小值在A 点取得，∵0<y 1<1，故选C.10．(文)(2010·江西吉安一中)如图，已知四边形ABCD 在映射f ：(x ，y )→(x ＋1,2y )作用下的象集为四边形A 1B 1C 1D 1，若四边形A 1B 1C 1D 1的面积是12，则四边形ABCD 的面积是()A ．9B ．6C ．6 3D ．12[答案] B[解析] 本题考察阅读理解能力，由映射f 的定义知，在f 作用下点(x ，y )变为(x ＋1,2y )，∴在f 作用下|A 1C 1|＝|AC |，|B 1D 1|＝2|BD |，且A 1、C 1仍在x 轴上，B 1、D 1仍在y 轴上，故S ABCD ＝12|AC |·|BD |＝12|A 1C 1|·12|B 1D 1|＝12SA 1B 1C 1D 1＝6，故选B.(理)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c x ≤02 x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C[解析] 解法1：当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c . ∵f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ (－4)2＋b ·(－4)＋c ＝c (－2)2＋b ·(－2)＋c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4c ＝2， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2 x ≤02 x >0，当x ≤0时，由f (x )＝x 得，x 2＋4x ＋2＝x ， 解得x ＝－2，或x ＝－1； 当x >0时，由f (x )＝x 得，x ＝2， ∴方程f (x )＝x 有3个解．解法2：由f (－4)＝f (0)且f (－2)＝－2可得，f (x )＝x 2＋bx ＋c 的对称轴是x ＝－2，且顶点为(－2，－2)，于是可得到f (x )的简图如图所示．方程f (x )＝x 的解的个数就是函数图象y ＝f (x )与y ＝x 的图象的交点的个数，所以有3个解．二、填空题11．(文)(2010·北京东城区)函数y ＝x ＋1＋lg(2－x )的定义域是________． [答案] [－1,2)[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥02－x >0得，－1≤x <2.(理)函数f (x )＝x ＋4－x 的最大值与最小值的比值为________． [答案]2[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ≥04－x ≥0，∴0≤x ≤4，f 2(x )＝4＋2x (4－x )≤4＋[x ＋(4－x )]＝8，且f高考总复习含详解答案2(x )≥4，∵f (x )≥0，∴2≤f (x )≤22，故所求比值为 2.[点评] (1)可用导数求解；(2)∵0≤x ≤4，∴0≤x 4≤1，故可令x 4＝sin 2θ(0≤θ≤π2)转化为三角函数求解．12．函数y ＝cos x －1sin x －2 x ∈[0，π]的值域为________．[答案] ⎣⎡⎦⎤0，43 [解析] 函数表示点(sin α，cos α)与点(2,1)连线斜率．而点(sin α，cos α)α∈[0，π]表示单位圆右半部分，由几何意义，知y ∈[0，43]．13．(2010·湖南湘潭市)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f (x )的图象恰好通过n (n ∈N *)个整点，则称函数f (x )为n 阶整点函数，有下列函数①f (x )＝sin2x ②g (x )＝x 3 ③h (x )＝⎝⎛⎭⎫13x ④φ(x )＝ln x .其中是一阶整点函数的是________．(写出所有正确结论的序号) [答案] ①④[解析] 其中①只过(0,0)点，④只过(1,0)点；②过(0,1)，(1,1)，(2,8)等，③过(0,1)，(－1,3)等．14．(文)若f (a ＋b )＝f (a )·f (b )且f (1)＝1，则f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋…＋f (2012)f (2011)＝________.[答案] 2011[解析] 令b ＝1，则f (a ＋1)f (a )＝f (1)＝1，∴f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋…＋f (2012)f (2011)＝2011. (理)设函数f (x )＝x |x |＋bx ＋c ，给出下列命题： ①b ＝0，c >0时，方程f (x )＝0只有一个实数根； ②c ＝0时，y ＝f (x )是奇函数； ③方程f (x )＝0至多有两个实根．上述三个命题中所有的正确命题的序号为________． [答案] ①②[解析] ①f (x )＝x |x |＋c＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋c ，x ≥0－x 2＋c ，x <0， 如右图与x 轴只有一个交点．所以方程f (x )＝0只有一个实数根正确． ②c ＝0时，f (x )＝x |x |＋bx 显然是奇函数．③当c ＝0，b <0时，f (x )＝x |x |＋bx ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ，x ≥0－x 2＋bx ，x <0如右图方程f (x )＝0可以有三个实数根． 综上所述，正确命题的序号为①②. 三、解答题15．(文)(2010·深圳九校)某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t 小时内供水总量为1206t 吨，(0≤t ≤24)．(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象．[解析] (1)设t 小时后蓄水池中的水量为y 吨， 则y ＝400＋60t －1206t (0≤t ≤24) 令6t ＝x ，则x 2＝6t 且0≤x ≤12，∴y ＝400＋10x 2－120x ＝10(x －6)2＋40(0≤x ≤12)； ∴当x ＝6，即t ＝6时，y min ＝40，即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨． (2)依题意400＋10x 2－120x <80， 得x 2－12x ＋32<0，解得4<x <8，即4<6t <8，∴83<t <323；∵323－83＝8，∴每天约有8小时供水紧张．(理)某物流公司购买了一块长AM ＝30米，宽AN ＝20米的矩形地块AMPN ，规划建设占地如图中矩形ABCD 的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C 在地块对角线MN 上，B 、D 分别在边AM 、AN 上，假设AB 长度为x 米．(1)要使仓库占地ABCD 的面积不少于144平方米，AB 长度应在什么范围内？ (2)若规划建设的仓库是高度与AB 长度相同的长方体形建筑，问AB 长度为多少时仓库的库容最大？(墙体及楼板所占空间忽略不计)高考总复习含详解答案[解析] (1)依题意得三角形NDC 与三角形NAM 相似，所以DC AM ＝ND NA ，即x 30＝20－AD20，AD ＝20－23x ，矩形ABCD 的面积为S ＝20x －23x 2 (0<x <30)，要使仓库占地ABCD 的面积不少于144平方米， 即20x －23x 2≥144，化简得x 2－30x ＋216≤0，解得12≤x ≤18. 所以AB 长度应在[12,18]内．(2)仓库体积为V ＝20x 2－23x 3(0<x <30)，V ′＝40x －2x 2＝0得x ＝0或x ＝20， 当0<x <20时，V ′>0，当20<x <30时V ′<0， 所以x ＝20时，V 取最大值80003m 3，即AB 长度为20米时仓库的库容最大．16．(2010·皖南八校联考)对定义域分别是Df ，Dg 的函数y ＝f (x )，y ＝g (x )，规定： 函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )g (x )，当x ∈Df 且x ∈Dg ，f (x )，当x ∈Df 且x ∉Dg ，g (x )，当x ∈Dg 且x ∉Df .(1)若函数f (x )＝1x －1，g (x )＝x 2，写出函数h (x )的解析式；(2)求问题(1)中函数h (x )的值域；(3)若g (x )＝f (x ＋α)，其中α是常数，且α∈[0，π]，请设计一个定义域为R 的函数y ＝f (x )，及一个α的值，使得h (x )＝cos4x ，并予以证明．[解析] (1)由定义知，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2x －1，x ∈(－∞，1)∪(1，＋∞)，1，x ＝1.(2)由(1)知，当x ≠1时，h (x )＝x －1＋1x －1＋2，则当x >1时，有h (x )≥4(当且仅当x ＝2时，取“＝”)； 当x <1时，有h (x )≤0(当且仅当x ＝0时，取“＝”)． 则函数h (x )的值域是(－∞，0]∪{1}∪[4，＋∞)．(3)可取f (x )＝sin2x ＋cos2x ，α＝π4，则g (x )＝f (x ＋α)＝cos2x －sin2x ，于是h (x )＝f (x )f (x ＋α)＝cos4x .(或取f (x )＝1＋2sin2x ，α＝π2，则g (x )＝f (x ＋α)＝1－2sin2x .于是h (x )＝f (x )f (x ＋α)＝cos4x )．[点评] 本题中(1)、(2)问不难求解，关键是读懂h (x )的定义，第(3)问是一个开放性问题，乍一看可能觉得无从下手，但细加观察不难发现，cos4x ＝cos 22x －sin 22x ＝(cos2x ＋sin2x )(cos2x －sin2x )积式的一个因式取作f (x )，只要能够找到α，使f (x ＋α)等于另一个因式也就找到了f (x )和g (x )．17．(文)某种商品在30天内每件的销售价格P (元)与时间t (天)的函数关系如图所示：该商品在30天内日销售量Q (件)与时间t (天)之间的关系如表所示：(1)(2)在所给直角坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(t ，Q )的对应点，并确定日销售量Q 与时间t 的一个函数关系式；(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)[解析] (1)P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20 (0<t <25，t ∈N *)－t ＋100 (25≤t ≤30，t ∈N *) (2)图略，Q ＝40－t (t ∈N *) (3)设日销售金额为y (元)，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋20t ＋800 (0<t <25，t ∈N *)t 2－140t ＋4000 (25≤t ≤30，t ∈N *)高考总复习含详解答案＝⎩⎪⎨⎪⎧－(t －10)2＋900 (0<t <25，t ∈N *)(t －70)2－900 (25≤t ≤30，t ∈N *) 若0<t <25(t ∈N *)，则当t ＝10时，y max ＝900；若25≤t ≤30(t ∈N *)，则当t ＝25时，y max ＝1125.由1125>900，知y max ＝1125，∴这种商品日销售金额的最大值为1125元，30天中的第25天的日销售金额最大． (理)(2010·广东六校)某西部山区的某种特产由于运输的原因，长期只能在当地销售，当地政府通过投资对该项特产的销售进行扶持，已知每投入x 万元，可获得纯利润P ＝－1160(x －40)2＋100万元(已扣除投资，下同)，当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在未来10年内对该项目每年都投入60万元的销售投资，其中在前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，公路5年建成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每投入x 万元，可获纯利润Q ＝－159160(60－x )2＋1192·(60－x )万元，问仅从这10年的累积利润看，该规划方案是否可行？[解析] 在实施规划前，由题设P ＝－1160(x －40)2＋100(万元)，知每年只需投入40万，即可获得最大利润100万元，则10年的总利润为W 1＝100×10＝1000(万元)实施规划后的前5年中，由题设P ＝－1160(x －40)2＋100知，每年投入30万元时，有最大利润P max ＝7958(万元) 前5年的利润和为7958×5＝39758(万元) 设在公路通车的后5年中，每年用x 万元投资于本地的销售，而剩下的(60－x )万元用于外地区的销售投资，则其总利润为W 2＝[－1160(x －40)2＋100]×5＋(－159160x 2＋1192x )×5＝－5(x －30)2＋4950. 当x ＝30时，W 2＝4950(万元)为最大值，从而10年的总利润为39758＋4950(万元)． ∵39758＋4950>1000， ∴该规划方案有极大实施价值．。
高考数学专题指数函数、对数函数、幂函数试题及其答案
指数函数、 对数函数、曷函数专题1.函数 f(x) 3x (0 x w 2)值域为( A. (0,) B. (1,9] C. (0,1) D. [9,2.给出以下三个等式:f (xy) f(x) f(y), f(x y) f(x)f(y), f (x y)f (x) f(y)以下1 f(x)f(y)函数中不满足其中任何一个等式的是 A. f(x) 3x B. f (x) sin x C.f (x) log 2 x D . f(x) tan x3. 以下四个数中的最大者是( A . (ln2) 2 B. In (ln2)C. ln<2D. ln24. 假设 A= { x Z |2 B={x R||log 2x| 1},那么 A (C R B)的元素个数为(5. A . 0个设f(x)1gsB, 1个C. 2个D. 3个6. 假: a)是奇函数,那么使 f (x) 0的x 的取值范围是 A. ( 1,0)对于函数①f(x)命题甲: 命题乙: 命题丙: B. (0,1)C.(,0)D.(,0) (1,)lg(x 2| 1),②f(x 2)是偶函数; f(x)在(,)上是减函数, f(x 2) f(x)在(,f(x) (x在(2,2)2 ,③ f (x))上是增函数; )上是增函数. 能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是 A.①③ B.①② 7.函数y=- 2 (A)奇函数 (B)偶函数 (C)既奇又偶函数cos(x2),判断如下三个命题的真(D)非奇非偶函数8.设a,b,c 均为正数,且 2alog 1 a,2log 1 b, 12 2log 2 c,那么A. a b cB. c b aC. cD. b一 ........... 1 9 .函数f(x) ___________ ^的定义域为 M, g(x) ln(1 x)的定义域为N,那么M N (),1 xA. XX 1B. xx 1C. x 1 x 1D.10 .设a { — 1,1, 1, 3},那么使函数y=x a 的定义域为R 且为奇函数的所有 a 值为()2A. 1, 3B, - 1, 1C. - 1, 3D, -1, 1, 311 .设函数f(x)定义在实数集上,它的图象关于直线 x =1对称,且当x 1时,f(x)=3x 1 ,那么有()A. f(l) f(3) f(-)B. f(-)f(3) f(1)vQ 7 'O'VQ 7vQ 7'O'VQ 732 33 2 3 213 3 2 1 C. f(-) f(-)f(-) D,f(-) f(-) f(-) 33 2 23 34x 4, x 1 12.函数f x 2的图象和函数g x log 2x 的图象的交点个数是()x 4x 3, x 1A. 4B. 3C. 2D. 1A. J2 B, 2 C, 2<2 D, 415.假设a 1 ,且a x log a x a y log a y ,那么x 与y 之间的大小关系是()A. x y 0B. x y 0C. y x 0D.无法确定13.函数f (x) =1 log 2x 与g(x) = 2 x 1在同一直角坐标系下的图象大致是()14.设a 1,函数f(x)=log a x 在区间［a,2a ］上的最大值与最小值之差为；,那么a =()16.函数y e |lnx| |x 1 |的图象大致是()17.函数y f (x)的图象与函数y log3x (x 0)的图象关于直线y x对称,那么f(x)lg 4 x ....................函数f x ------- ----------的定义域为 x 3设函数y 4 log 2(x 1)(x > 3),那么其反函数的定义域为24.将函数y log 2 x 的图象向左平移一个单位,得到图象 C I ,再将C I 向上平移一个单位得到图象 C 2,那么C 2的解析式为假设函数y=lg (ax 2+2x+1)的值域为R,那么实数a 的取值范围为 假设函数y=log 2 (kx 2+4kx+3)的定义域为 R,那么实数k 的取值范围是 给出以下四个命题： xxa (a 0且a 1)与函数y log a a (a 0且a 1)的定乂域相同;(x 1)2与y 2x1在区间［0,)上都是增函数.四点,那么这四点从上到下的排列次序是 18. 19. 20.方程9x6 3x7 0的解是21. 假设函数f(x) e (x)2................................................. ..... .) (e 是自然对数的底数)的最大值是,且f(x)是偶函数,那么m22. 函数y(a 0且a 1)的图象如图,那么函数x的图象可能是23. 设 f (x) log a x (a 0且 a 1),假设 f (x 1) f (x 2)F R , i 1,2, ,n),那么 f(x 13) f(x 23)一, 3、f(% )的值等于25.26. 27. ②函数x 3和y 3x 的值域相同;③函数1 1匚——x —与 y2 2x 1(1 2x )x?2x 2一都是奇函①函数④函数其中正确命题的序.(把你认为正确的命题序号都填上)28. 直线x a ( a 0)与函数y 2x 、y 10x 的图像依次交于 A 、B 、C 、D29.假设关于x 的方程25 |x 1| 4?5 |x1|m 有实根,那么实数 m 的取值范围是Ixlax ..30.lgx+lgy=2lg (x —2y),求log 区一的值.y................................... _ x x . . 31 .根据函数y |2 1|的图象判断：当实数m为何值时,方程|2 1 | m无解？有一解？有两解?32.x1是方程xlgx=2021的根,x2是方程x - 10x=2021的根,求x1x2的值.33.实数a、b、c满足2b=a+c,且满足21g (b—1) =lg (a+1) +lg (c— 1),同时a+b+c=15,求实数a、b、c的值.. 1 x34.f(x) log a------------------- (a 0,a 1).1 x(1)求f(x)的定义域；(2)判断f (x)的奇偶性；(3)求使f(x).. ........................... 1、〜35.函数f(x) 1 f(—)?10g2乂. x(1)求函数f(x)的解析式；(2)求f(2)的值；(3)解方程f(x)36.函数f (x) log a(a a x) ( a 1).(1)求f(x)的定义域、值域；(2)判断f(x)的单调性;(3)解不等式f 1(x2 2) f(x).0的x的取值范围. f(2)o指数函数、对数函数、曷函数专题1 .函数 f (x) 3x(0 xw 2)值域为()A. (0, )B..9］C. (01)D. ［9,)B;［解析］函数f (x) 3x (0 xW 2)的反函数的定义域为原函数的值域,原函数的值域为(1,9］.2 .给出以下三个等式： f(xy) f (x) f(y), f (x y) f (x)f(y), f(x y) fx-fiy) .下1 f(x)f(y)列函数中不满足其中任何一个等式的是()xA. f (x) 3B. f(x) sinxC. f(x) log 2xD. f (x) tan xB ;［解析］依据指、对数函数的性质可以发现A 满足f (x y) f(x) f (y) ,C 满足f(xy) f (x) f(y), 而D 满足f(x y) f (x) f (y), B 不满足其中任何一个等式.1 f(x)f(y)3 .以下四个数中的最大者是( )A. (ln2) 2B. ln (ln2)C. ln 〞D. ln2D;［解析］:. ln2 1 , ln (ln2) <0, (ln2) 2<ln2 ,而 ln 72 =工 ln2<ln2 , • .最大的数是 ln2.2［考点透析］根据对数函数的根本性质判断对应函数值的大小关系,一般是通过介值( 0, 1等一些特殊值)结合对数函数的特殊值来加以判断.4 .假设 A={x Z |2 22 x 8}, B={x R||log 2x| 1},那么 A (C R B)的元素个数为( )A.0个B. 1个C. 2个D. 3个2 xC ；［解析］由于 A={x Z |2 2 8} ={x Z|1 2 x 3} ={x Z| 1 x 1} = {0, 1},而 一 _一一—1 ,、B={x R||log 2x| 1} ={x R|0 x—或x 2},那么 A (C R B) = {0, 1},那么 A(C R B)的兀素个2数为2个.［考点透析］从指数函数与对数函数的单调性入手,解答相关的不等式,再根据集合的运算加以分析和 判断,得出对应集合的元素个数问题.25.设f(x) lg(—— a)是奇函数,那么使f (x) 0的x 的取值范围是()1 x A. ( 1,0) B. (0,1)C. (,0) D. (,0)U(1,)1 x 1 x1 xA;［解析］由 f(0) 0得a1, f(x) lg —— 0,得 ।x1 x1 x 1 x［考点透析］根据对数函数中的奇偶性问题,结合对数函数的性质,求解相关的不等式问题,要注意首要 条件是对数函数的真数必须大于零的前提条件.6.对于函数① f(x) lg(x 2 1),②f(x) (x 2)2,③f(x) cos(x 2),判断如下三个命题 的真假： 命题甲：f(x 2)是偶函数；命题乙：f(x)在(,)上是减函数,在(2,)上是增函数; 命题丙：f(x 2) f (x)在(,)上是增函数.能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是( )A.①③B.①②C.③D.②2…•2) cos(x 2)不是偶函数,排除函数③,只有函数② f (x) (x 2)符合要求.［考点透析］根据对数函数、哥函数、三角函数的相关性质来分析判断相关的命题,也是高考中比拟常见 的问题之一,正确处理对应函数的单调性与奇偶性问题.7.函数y=-21. 1一 b 1 ,由一 log 2 c 可知 c 0 2 2D ；［解析］函数①f(x) lg(x 2 1),函数f(x2) = lg(|x| 1)是偶函数；且f (x)在(,)上是 减函数,在(2,)上是增函数；但对命题丙：f(x 2)f(x) = lg(|x| 1) lg(| x 2| 1)lg|x| 1 |x 2| 1在…一⑼时,1g(|f^1g工2lg(1 ^^)为减函数,排除函数①,对于函数③, x 3f (x) cos(x 2)函数 f (x(A)奇函数(B)偶函数(C)既奇又偶函数b...........-a ,18.设a,b,c 均为正数,且2a log 1 a,一2 2c1log 1 b, - log 2C,贝U2 2A. a b cB. c b aC. c a bA ;［解析］由2a log 1 a 可知a 022a 1log 1 a 12(D)非奇非偶函数 ) D. b a cb- 1 . 10 a -,由 一 log 1b 可知2 2〞b 0 0 log 1 b 120 log 2 c 1［考点透析］根据指、对数函数的性质及其相关的知识来处理一些数或式的大小关系是全面考察多个基 本初等函数比拟常用的方法之一.关键是掌握对应函数的根本性质及其应用.,一,,一、 1 ............. .................................................. 一 9 .函数f(x) , 的定义域为 M, g(x) ln(1 x)的定义域为N,那么M N (),1 xA. XX 1B. xx 1C. x 1 x 1D.1 C ；［解析］依题息可彳#函数 f(x) / 的7E 义域M={x|1 x 0}二{x|x 1},,1 xg(x) ln(1 x)的定义域N={x|1 x 0}={x|x 1},［考点透析］此题以函数为载体,重点考查募函数与对数函数的定义域,集合的交集的概念及其运算等 根底知识,灵活而不难.10 .设a { — 1,1, 1, 3},那么使函数y=x a 的定义域为R 且为奇函数的所有 a 值为()2A. 1, 3 B, - 1, 1 C. - 1, 3D, -1, 1, 3A ；［解析］观察四种哥函数的图象并结合该函数的性质确定选项.［考点透析］根据募函数的性质加以比拟,从而得以判断.熟练掌握一些常用函数的图象与性质,可以 比拟快速地判断奇偶性问题.特别是指数函数、对数函数、哥函数及其一些简单函数的根本性质.11 .设函数f(x)定义在实数集上,它的图象关于直线 x =1对称,且当x 1时,f(x)=3x 1,那么有()132 23 1 A. f(-)f ㈠ f(-) B. f(-)f(3) f(-) 3 2 3 3 2 3 C. f(2)f(1) f(3) D. f(-)f(-) f(1) 3322 3 3B;［解析］当x 1时,f(x) =3x 1,其图象是函数 y 3x 向下平移一个单位而得到的x 1时图象部分,如下图,又函数f (x)的图象关于直线x =1对称,那么函数f (x)的图象如以下图中的实线局部,所以 M N={x | x 1}{ x | x1}= x1x1.即函数f (x)在区间(,1)上是单调减少函数,3. 1 1 又 f (2)= f (2),而 32 ,那么有f (;) f (1) f (旨,即 f (-2) f e f (3)•根据以上图形,可以判断两函数的图象之间有三个交点.［考点透析］作出分段函数与对数函数的相应图象,根据对应的交点情况加以判断. 指数函数与对数函数的图象既是函数性质的一个重要方面,又能直观地反映函数的性质,在解题过程中,充分发挥图象的工 具作用.特别注意指数函数与对数函数的图象关于直线 y X 对称.在求解过程中注意数形结合可以使解题过程更加简捷易懂.13.函数f (X ) =1 唠2*与g(x) = 2 X 1在同一直角坐标系下的图象大致是()log 2x 的图象向上平移1个单位而得来的；又由于g(x) = 2 X 1 = 2 (X 1) ,那么函数g(x)=2 X 1的图象是由函数y 2 x 的图象向右平移1个单位而得来的; 故两函数在同一直角坐标系下的图象大致是：Co［考点透析 的性质关利用指数函数的图象结合题目中相应的条件加以分析,通过图象可以非常直观地判断对应 12.函数f4x 2X4, 4X X 3,x的图象和函数g X log 2X 的图象的交点个数是(A. 4B.B ；［解析］ 函数f3 4X 2X4, 4X X 3,x C. 21D. 1的图象和函数gX log 2X 的图象如下:1] C;［解析］函数f (X ) = 1 log 2*的图象是由函数 y［考点透析］根据函数表达式与根本初等函数之间的关系,结合函数图象的平移法那么,得出相应的正确 判断. 、— -, ,一、1,、 14.设a 1 ,函数f(x)=log a x 在区间［a,2 a ］上的最大值与最小值之差为那么a =()A.应B. 2C. 2yp2D. 41D ；［解析］由于a 1,函数f(x) = log a X 在区间［a,2a ］上的最大值与最小值之差为-,111c那么 log a 2a log a a =—,即 log a 2 = _ ,解得 a 22 ,即 a =4.2 2［考点透析］根据对数函数的单调性,函数 f(x)=log a X 在区间［a,2a ］的端点上取得最值,由 a 1知 函数在对应的区间上为增函数.15 .假设a 1 ,且a x log a x a y log a y ,那么x 与y 之间的大小关系是()A. x y 0B. x y 0C. y x 0D.无法确定A;［解析］通过整体性思想,设 f(x) a x log a x ,我们知道当 a 1时,函数y 1 a x 与函数y log a x 在区间(0,)上都是减函数,那么函数f(x) a x log a x 在区间(0,)上也是减函数,那么问题就转化为 f(x) f(y),由于函数f(x) a x log a x 在区间(0,)上也是减函数,那么就有［考点透析］这个不等式两边都由底数为 a 的指数函数与对数函数组成,且变量又不相同,一直很难下 手.通过整体思维,结合指数函数与对数函数的性质加以分析,可以巧妙地转化角度,到达判断的目的. 16 .函数y e |lnx| |x 1 |的图象大致是()又当0 x 1时,y 0 ,可排除(B),应选(D).［考点透析］把相应的含有指数函数和对数函数的关系式,加以巧妙转化,转化成相应的分段函数,结D ；［解析］函数y e |lnx| |x 1|可转化为y1-1 0x1,— ................................ .x 1, 0 x［根据解析式可先排除(A),(C), 1, x 1b合分段函数的定义域和根本函数的图象加以分析求解和判断.17 .函数y f(x)的图象与函数y log 3 x (x 0)的图象关于直线 y x 对称,那么f(x) .x ,f (x) 3 (x R)；［解析］函数y f(x)的图象与函数y log 3 x (x 0)的图象关于直线y x 对 称,那么f(x)与函数y log 3x (x 0)互为反函数,f (x) 3x (x R) o［考点透析］对数函数与指数函数互为反函数, 它们的图象关于直线 y=x 对称,在实际应用中经常会碰到, 要加以重视.lg 4 x ) 18 .函数f x ---------- ------------的定义域为.x 3厂4 x 0 । 厂x x 4 且 x 3 ；［解析］x x 4且 x 3 .x 3 0［考点透析］考察对数函数中的定义域问题,关键是结合对数函数中的真数大于零的条件,结合其他相 关条件来分析判断相关的定义域问题.19 .设函数y 4 log 2(x 1)(x > 3),那么其反函数的定义域为 .［5, +8)；［解析］反函数的定义即为原函数的值域,由 x>3得x-1>2,所以log 2(x 1) 1 ,所以y >5,反函数的定义域为［5, +°°),填［5, +8).［考点透析］根据互为反函数的两个函数之间的性质： 反函数的定义即为原函数的值域, 结合对应的对数函数的值域问题分析相应反函数的定义域问题. xx20 .方程96 37 0的解是.x log 37；［解析］(3x )2 6 3x 7 03x 7或3x1 (舍去),x 10g 37.［考点透析］求解对应的指数方程,要根据相应的题目条件,转化为对应的方程加以分析求解,同时要注 意题目中对应的指数式的值大于零的条件.值是m10 1,又f(x)是偶函数,那么 0,,me［考点透析］根据函数的特征,结合指数函数的最值问题,函数的奇偶性问题来解决有关的参数,进而 解得对应的值.研究指数函数性质的方法,强调数形结合,强调函数图象研究性质中的作用 ,注意从特殊到一般的思想方法的应用,渗透概括水平的培养.1 |x 22 .函数 y a |x| (a 0且a 1)的图象如图,那么函数 y — 的图象可能是 .a21.假设函数f(x) e (x )2 ( e 是自然对数的底数)的最大值是 m ,且f (x)是偶函数,那么m(x )2( )2I 1；［解析］f (x) e一 ,仅 t xet 0,此时f(x)』t 是减函数,那么最大e1 IXD；［解析］根据函数y a3的图象可知a 1,那么对应函数y —的图象是D.a［考点透析］根据对应指数函数的图象特征,分析对应的底数a 1 ,再根据指数函数的特征分析相应的图象问题.23 .设f (x) log a x ( a 0且a 1),假设f (x1) f (x2) f (x n) 1 ( x i R , i 1,2, ,n ),一,3、,3、, 3、那么f(x1 ) f(x2 ) f (x n )的值等于3；［解析］由于f(x1) f(x2) f (x n) = log a x1 log a x2 log a x n = log a(x1x2 xj =1 ,而3 3 3 3 3 33f(x1 ) f(x2 ) f(x n ) = log a x1 log a x2 log a x n =log a(x1x2 x n) =3log a ('x? x n) =3［考点透析］根据对数函数的关系式,以及对数函数的特征加以分析求解对应的对数式问题, 关键是加以合理地转化.24 .将函数y log 2 x的图象向左平移一个单位,得到图象C1,再将C1向上平移一个单位得到图象C2,那么C2的解析式为.y log 2(x 1) 1;［解析］将函数y log2 x的图象向左平移一个单位, 得到图象C1所对应的解析式为y log 2(x 1)；要此根底上,再将C1向上平移一个单位得到图象C2,那么C2的解析式为y 1 log 2(x 1).［考点透析］根据函数图象平移变换的规律加以分析判断平移问题, 一般可以结合“左加右减,上减下加〞的规律加以应用.25 .假设函数y=lg (ax2+2x+1)的值域为R,那么实数a的取值范围为.［0, 1］;［解析］由于函数y=lg (ax2+2x+1)的值域为R (0, + ) {u (x) |u (x) =ax2+2x+1},a 0当a=0时,u (x) =2x+1的值域为R,符合题意；当时,即0 a 1时也符合题意.4 4a 0［考点透析］通过引入变元,结合原函数的值域为R,转化为u (x)的问题来分析,要根据二次项系数的取值情况加以分类解析.26 .假设函数y=log 2 (kx2+4kx+3)的定义域为R,那么实数k的取值范围是.0,-;［解析］函数y=log 2 (kx2+4kx+3)的定义域为R kx2+4kx+3>0恒成立,当k=0时,3>0恒成立;4［考点透析］把函数的定义域问题转化为有关不等式的恒成立问题,再结合参数的取值情况加以分类解析.27 .给出以下四个命题：①函数y a x 〔 a 0且a 1〕与函数y log a a x 〔 a 0且a 1〕的定义域相同； ②函数y x 3和y 3x 的值域相同；_ x 2一〞 1 1. 〔1 2x 〕2③函数y ——与y 3 ----------- J 都是奇函数；2 2x 1 x?2xC — e,2x 1............................④函数y 〔x 1〕与y 2 在区间［0,〕上都是增函数.其中正确命题的序号是： .〔把你认为正确的命题序号都填上〕①、③；［解析］在①中,函数y a x 〔a 0且a 1〕与函数y log a a x 〔a 0且a 1〕的定义3xy x 3的值域为R, y 3x 的值域为R ,那么结论错误；在③中,函■ ■ ,, / x 、2y — —一与y 〔 ------------- 都是奇函数,那么结论正确；在④中,函数y 〔x 1〕2在［1,2 2x 1x?2xx 1............ ..............................数,y 2 在R 上是增函数,那么结论错误.［考点透析］综合考察指数函数、对数函数、哥函数的定义、定义域、值域、函数性质等相关内容.xx… … 一,1 1 -x -x ................................... ......28.直线x a 〔 a 0〕与函数y 一、y -、y2、y10的图像依次交于 A 、B 、C 、D 32四点,那么这四点从上到下的排列次序是 .D 、C 、B 、A;［解析］结合四个指数函数各自的图象特征可知这四点从上到下的排列次序是 D 、C 、B 、Ao［考点透析］结合指数函数的图象规律, 充分考察不同的底数情况下的指数函数的图象特征问题, 加以判断对应的交点的上下顺序问题.29.假设关于x 的方程25 |x 1| 4?5 |x 1| m 有实根,那么实数 m 的取值范围是 .{m| m 4 }；［解析］令 y 5 |x 1| ,那么有 0 y 1 ,那么可转化 25 |x1| 4?5 |x 1| m 得22. ......................... 一2^ 一 . 一.y 4ym 0 ,根据题意,由于 y 4y m 0有实根,那么 〔4〕4〔 m 〕 0 ,解得m 4.［考点透析］通过换元,把指数方程转化为一元二次方程来分析求解, 关键要注意换元中对应的参数y 的取值范围,为求解其他参数问题作好铺垫.x ..k 0 16k 2 12k时,即0 k-时也符合题意.4域都是R,那么结论正确；在②中,函数〕上是增函30.lgx+lgy=2lg (x —2y),求log行一的值. y［分析］考虑到对数式去掉对数符号后,要保证 x 0, y 0, x —2y 0这些条件成立.假设 x=y ,那么有 x —2y=—x 0,这与对数的定义不符,从而导致多解.［解析］由于 lgx+lgy=2lg (x —2y),所以 xy= (x —2y) 2, 即 x 2—5xy+4y 2=0,所以(x —y) (x —4y) =0,解得 x=y 或 x=4y , 又由于x 0, y 0, x- 2y 0,所以x=y 不符合条件,应舍去,_ xx所以 一二4,即 log 2 — = log 2 y y［考点透析］在对数式log a N 中,必须满足a 0, a 1且N 0这几个条件.在解决对数问题时,要重 视这几个隐含条件,以免造成遗漏或多解.31 .根据函数y |2x 1|的图象判断：当实数 m 为何值时,方程|2x 1 | m 无解？有一解？有两解? ［分析］可以充分结合指数函数的图象加以判断.可以把这个问题加以转换,将求方程 的个数转化为两个函数 y |2x 1|与y m 的图象交点个数去理解.xx［解析］函数y |2 1|的图象可由指数函数 y 2的图象先向下平移一个单位,然后再作 x 轴下方的局部关于x 轴对称图形,如以下图所示,函数y m 的图象是与x 轴平行的直线, 观察两图象的关系可知：当m 0时,两函数图象没有公共点,所以方程|2x 1| m 无解；当m 0或m 1时,两函数图象只有一个公共点,所以方程 |2x 11 m 有一解；当0 m 1时,两函数图象有两个公共点,所以方程|2x 11 m 有两解.［考点透析］由于方程解的个数与它们对应的函数图象交点个数是相等的,所以对于含字母方程解的个数讨论,往往用数形结合方法加以求解,准确作出相应函数的图象是正确解题的前提和关键. 32.x 1是方程xlgx=2021的根,x 2是方程x - 10x =2021的根,求x 1x 2的值.［分析］观察此题,易看到题中存在lgx 和10x ,从而联想到函数 y 1gx 与y 10x ,而x 1可以看成2021 ........................................................ x 2021 .................................y 1gx 和y 己竺 交点的横坐标,同样 X 2可看成y 10、和y 三丝女交点的横坐标,假设利用函数4 =4.|2x 1| m 的解x xy 1gx与y 10x的对称性,此题便迎刃而解了.…人 . 2021 、…、,［解析］令y a 1gx, y b -------------------------- ,设其交点坐标为(x［,y i),xx 2021同样令y c 10 ,它与y b -------------------------- 的交点的横坐标为(x2,y2),x由于反比例函数关于直线y x对称,那么有(为,y1)和(x2, y2)关于直线y x对称,一........ 2021 ......................点(x［,y i)即点(x1,x2)应该在函数y b -------------------- 上,所以有x1x2=2021.x［考点透析］中学数学未要求掌握超越方程的求解,故解题中方程是不可能的.而有效的利用指数函数和对数函数的性质进行解题此题就不难了,否那么此题是一个典型的难题.以上求解过程不能算此题超纲.33.实数a、b、c满足2b=a+c,且满足21g (b—1) =lg (a+1) +lg (c— 1),同时a+b+c=15,求实数a、b、c的值.［分析］在解题过程中,遇到求某数的平方根时,一般应求出两个值来,再根据题设条件来决定取舍, 如果仅仅取算术平方根,那么往往会出现漏解.［解析］由于2b=a+c, a+b+c=15,所以3b=15,即b=5,由于2b=a+c=10 ,那么可设a=5— d, c=5+d ,由于2lg (b—1) =lg (a+1) +lg (c— 1),所以21g4=lg (6—d) +lg (4+d),即16=25— (d—1) 2,那么有(d—1) 2=9,所以d—1= 3,那么d=4 或d= — 2,所以实数a、b、c的值分别为1, 5, 9或7, 5, 3.1 x _ _34.f (x) log a ----------------- (a 0,a 1).1 x(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性；(3)求使f(x) 0的x的取值范围.1 x x 1［解析］(1) 0,即乙」0,等价于(x 1)(x 1) 0,得1 x 1,1 x x 1所以f(x)的定义域是(1,1)；1 x 1 x⑵ f (x) f ( x) log a-- log a-- = log a 1 = 0 ,1 x 1 x所以f( x) f (x),即f (x)为奇函数；1 x _(3)由f (x) 0,得log a ——0,1 x, ,一, , 1 x , 一r 一 ,当a 1时,有1 ,解得0 x 1；1 x一 , . 1 x当0 a 1时,有0 —— 1 ,解得1 x 0；1 x故当a 1 时,x (0,1)；当0 a 1 时,x ( 1,0).1、~35.函数 f(x) 1 f(—)?10g 2X .X(1)求函数f(x)的解析式；(2)求f(2)的值；(3)解方程f(x) f(2).[解析](1)由于 f(x) 1 f (-) ?1og 2 X , Xf(-) 1 f(x)?10g 21,那么有 f (1) 1x x x把 f(1) 1 f(x)?10g 2x 代入 f (x) 1 f (1)?1og 2 x 可得: x xf (x) 1 [1 f (x) ? 10g 2 x] ?10g 2 x ,解得 f (x)⑵由(1)得 f(x)Ld0^,那么 f(2) 1；1 10g2 x1 10g2 2(3)由(1)得 f(x)1 10g22x ,那么(2)得 f(2) 1,1 10g2 x那么有 f(x) -一10g22xf (2) 1,即 1 10g 2 x 1 10g 22 x,1 10g2 x解得10g 2 x 0或10g 2x 1,所以原方程的解为：x 1或x 2.［考点透析］对于给定抽象函数关系式求解对应的函数解析式,要合理选取比拟适合的方法加以分析处 1 ..................... ………理,关键是要结合抽象函数关系式的特征,这里用到的是以 一代x 的方式来到达求解函数解析式的目的.x36.函数 f (x)10g a (a a x ) ( a 1).(1)求f (x)的定义域、值域；(2)判断f(x)的单调性; (3)解不等式 f 1(x 2 2) f(x).［分析］根据对数函数的特征,分析相应的定义域问题,同时结合指数函数的特征,综合分析值域与单调 性问题,综合反函数、不等式等相关内容,考察相关的不等式问题.［解析］(1)要使函数f(x) 10g a (a a x ) (a 1 )有意义,那么需要满足 a a x 0, 即a x a ,又a 1 ,解得x 1 ,所以所求函数f(x)的定义域为(,1)； 又10g a (a a x ) 10g a a 1,即f(x) 1 ,所以所求函数 f(x)的值域为(,1)；(2)令a a x ,由于a 1 ,那么 a a x 在(,1)上是减函数,x又y 10g a 是增函数,所以函数 f (x) 10g a (a a )在(,1)上是减函数；1 上式中,以1代x 可得: xf (x)?10g 2x, 1 10g 2 x-； 2~ ；1 10g2 x(3)设y log a(a a x),那么a y a a x,所以a x a a y,即x log a(a a y),所以函数f(x)的反函数为f 1(x) log a(a a x),2由于f (x 2) f(x),得log a(a a ) log a(a a ),2 2由于a 1 ,那么a a' a a",即a' a x,所以x2 2 x,解得1 x 2,而函数f(x)的定义域为(,1),故原不等式的解集为｛x| 1 x 1｝.［考点透析］主要考查指数函数与对数函数相关的定义域、值域、图象以及主要性质,应用指数函数与对数函数的性质比拟两个数的大小,以及解指数不等式与对数不等式等.。
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高考数学函数测试题
（—）函数测试题
(满分：100分) 姓名: ___________
分数: ___________
一、选择题（67⨯分）
1、设()f x是R上的任意函数，下列叙述正确的是（）
A、()()
f x f x
-是奇函数；
B、()()
f x f x-是奇函数；
C、()()
f x f x
+-是偶函数；
D、()()
f x f x
--是偶函数
2、下列各式错误
．．的是（）. A. 0.80.7
33
> B. 0..50..5
log0.4log0.6
> C. 0.10.1
0.750.75
-<
D. lg1.6lg1.4
>
3、已知753
()2
f x ax bx cx
=-++，且(5),
f m
-=则(5)(5)
f f
+-的值为（）.
A. 4
B. 0
C. 2m
D. 4
m
-+
4、函数265
1
()()
3
x x
f x-+
=的单调递减区间为（）.
A. (,)
-∞+∞ B. [3,3]
- C. (,3]
-∞D. [3,)+∞
5、如图的曲线是幂函数n x
y=
在第一象限内的图象. 已知n
分别取2±，1
2
±四个值，与曲线1c、
2
c、3c、4c相应的n依次为（）.
A．11
2,,,2
22
-- B. 11
2,,2,
22
--
C. 11
,2,2,
22
-- D.
11
2,,,2
22
--
6、在R上定义的函数()x f是偶函数，且
4
2
5
c4
c3
c2
c1
2
3
()()x f x f -=2，若()x f 在区间[]2,1是减函数，则函数
()
x f （ ）
A.在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是增函数；
B.在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是减函数；
C.在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是增函数；
D.在区间[]1,2--上是减函数，
区间[]4,3上是减函数 7、函数y=f(x)与y=g(x)的图象如所示：
则函数y=f(x)·g(x)的图象可能为( )
二、填空题（27⨯分）
8、设函数()()()
x
a
x x x f ++=1为奇函数，则实数=
a 。
9.、24,02
(),(2)2,2x x f x f x x ⎧-≤≤==
⎨>⎩
已知函数则 ；若
00()8,f x x ==
则 .
4
三、解答题
10（22分）定义在+
R 上的函数f (x )，对于任
意的+
∈R n m ,
，都有)()()(n f m f mn f +=成立，当1>x 时，0<)(x f . （Ⅰ）计算)(1f ；
（Ⅱ）证明f (x )在+
R 上是减函数；
（Ⅲ）当1(2)2
f =-时，解不等式2
(3)1
f x x ->-。
11. （22分）已知函数1()21x
f x a =-+.
（1）求证：不论a 为何实数()f x 总是为增函数；
（2）确定a 的值, 使()f x 为奇函数；
（3）当()f x为奇函数时, 求()f x的值域.
函数综合测试参考答案
一.1-7 CCAD ABA
二、8、=a-1；
9.、(2)f=0 ；若00
则 4 .
()8,
==
f x x
5
6
10题、解:（Ⅰ）01=)(f .
（II ）设2
1
0x x <<, 因为)()()(n f m f mm f +=即)()()(n f m f mm f =-,所以)()()(1
2
1
2
x
x f x f x f =-.因为2
10x x <<，则11
2
>x x ，而当1>x 时，0<)(x f , 从而)()(12
x f x f <,于是)(x f 在
+
R 上是减函数.
（Ⅲ）因为1224=+=)()()(f f f , 所以)()(432
f x x f >-, 因为)(x f 在+
R 上是减函数，所以4302
<-<x x ,
解得
1<<-x 或43<<x ,
故所求不等式的解集为x {0
1<<-x 或}43<<x .
11. 解析: (1) ()f x 的定义域为R, 设1
2
x x <,则12
12
11()()2121x x f x f x a a -=--+++=1
21
22
2(12
)(12)
x x x x -++, 12
x x <,
1212220,(12)(12)0x x x x ∴-<++>,12()()0,
f x f x ∴-<
即1
2
()()f x f x <,所以不论a 为何实数()f x 总
为增函数.
(2)
()f x 为奇函数, ()()f x f x ∴-=-,即11
2121
x x a a --
=-+++,
解得: 1.2a =
11().
221x f x ∴=-+
（3） 由(2)知
11()221x f x =-+,
211x +>,
10121x
∴<<+,
111
10,()2122
x f x ∴-<-<∴-<<
+
所以()f x 的值域为11
(,).22
-。