2 竖直弹簧振子连接体问题
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第 ３３ 卷 第 ４ 期 ２０１２ 年
物 理 教 师 ＰＨＹＳＩＣＳ ＴＥＡＣＨＥＲ
Ｖｏｌ．３３ Ｎｏ．４ （２０１２）
竖直方向弹簧振子连接体问题分析
郭奇花
（北 京 市 延 庆 一 中 ，北 京 １０２１００）
物体在弹力或弹力和恒力作用下做简谐运动称为弹 簧振子模型．解决该类问题的 关 键 在 于 利 用 简 谐 运 动 对 称 性的特点．弹簧发生形变后，具 有 一 定 的 弹 性 势 能，弹 簧 形 变量相等时，具 有 相 等 的 弹 性 势 能．竖 直 方 向 的 弹 簧 振 子 连接体问题，由于其运动比较 复 杂，使 学 生 感 到 困 难．本 文 通过例题来解析常见的几种竖直方向弹簧振子的连接体 问题． １ 连 接 体 竖 直 方 向 受 到 向 下 的 压 力 作 用
守 恒得 ｍｇｈ０＝ １２ｍｖ２１．设Ｃ 与Ａ 相碰后的速度为ｖ２，由动
量守恒得 ｍｖ１＝２ ｍｖ２．刚 开 始 弹 簧 处 于 压 缩 状 态 ，形 变 量 为ｘ０，满足 ｍｇ＝ｋｘ０．Ｂ 刚好离开地面，以 Ｂ 为研究对象可 知，弹簧处于 拉 伸 状 态 ，形 变 量 为 ｘ１，满 足 ｍｇ＝ｋｘ１，ｘ１ ＝ ｘ０．设Ｃ 与Ａ 碰撞前弹簧的弹性势能为Ｅｐ１，由于两次形变 量相同，故 Ｂ 刚好离 开 地 面 时，弹 簧 的 弹 性 势 能 也 为 Ｅｐ１， 且此时三 个 物 体 的 速 度 均 为 零 ．设 碰 撞 的 位 置 为 零 势 能
时速度同上，为ｖ０．Ａ 物体仍满足机械能守恒，所以 Ａ 上升
至恢复原长时，速度ｖ１＝ｖ０＝ 槡２ｇＨ ，方向向上．
当 Ｂ 刚离地时，形 变 量 同 上，所 以 弹 性 势 能 也 为 Ｅｐ ， 设刚落地时，Ａ 所在的位置为零势能面有
第 ３３ 卷 第 ４ 期 ２０１２ 年
物 理 教 师 ＰＨＹＳＩＣＳ ＴＥＡＣＨＥＲ
面
，由
机
械
能
守
恒
得
１ ２
×２ ｍｖ２２
＋Ｅｐ１
＝２ ｍｇ×２ｘ０
＋Ｅｐ１
．
联立上述方程，解得 ｈ０＝８ｘ０． （２）设 Ｃ 自由下落到与Ａ 碰撞前的速度为ｖ３，由机械
能守恒得
ｍｇ×３ｘ０
＝
１ ２
ｍｖ２３．设
Ｃ
与Ａ
相碰后的速度为
ｖ４，由动量守恒得 ｍｖ３＝２ ｍｖ４．刚 开 始 弹 簧 处 于 压 缩 状 态 ， 形变量为 ｘ０，满足 ｍｇ＝ｋｘ０．
解析：将 Ｂ 点 坐 标 （槡３ｌ，
械能损失），Ｂ 物块着地后速度立即变为０，在
随后的过程中 Ｂ 物块恰能离开地面但不继
续上 升．第 二 次 用 手 拿 着 Ａ、Ｂ 两 物 块，使 得
弹簧竖直并处 于 原 长 状 态，此 时 物 块 Ｂ 离 地
面的距离 也 为 Ｈ ，然 后 由 静 止 同 时 释 放 Ａ、
Ｂ，Ｂ 物块着地后速度同样立即变为０，求
弹簧自由伸长的位置．求 Ｃ 与Ａ 相碰前弹簧的弹性势能大 小以及Ｃ 与Ａ 相碰后组成的弹簧振子的振幅Ａ．
分 析 ：（１Байду номын сангаас如 图 ６ 所 示 ，
— ６７ —
Ｖｏｌ．３３ Ｎｏ．４ （２０１２）
物 理 教 师 ＰＨＹＳＩＣＳ ＴＥＡＣＨＥＲ
第 ３３ 卷 第 ４ 期 ２０１２ 年
图６
设 Ｃ 自由下落 到 与 Ａ 碰 撞 前 的 速 度 为ｖ１，由 机 械 能
究对象有３ ｍｇ＝ｋｘ１．ｂ点为 运 动 的 最 低 点，物 体 Ｂ 恰 好 不
离地 时，弹 簧 处 于 拉 伸 状 态，以 Ｂ 为 研 究 对 象 有 ２ ｍｇ＝
ｋｘ２ ．可 得 振 幅 为
Ａ＝ｘ１
＋ｘ２ ２
．
弹簧的平衡位 置 如 图 Ｏ 点 所 示，处 于 压 缩 状 态，以 Ａ
物体为研究对象，在 平 衡 位 置 受 力 如 图 ４ 所 示，受 到 向 下
的重力３ ｍｇ，弹 簧 的 拉 力 Ｆ１ ＝ｋ（ｘ１ －Ａ），以 及 外 力 Ｆ，三
者满足 Ｆ＋Ｆ１＝３ ｍｇ．解得
Ｆ＝ ５２ｍｇ．
图４ 方法２．可用最高点和最低点加速度大小相 等 来 计 算． 最 低 点 ：Ｆ＝３ ｍａ．最 高 点 ：３ ｍｇ＋ｋｘ２ －Ｆ＝３ ｍａ．解 得 Ｆ＝ ５２ｍｇ． 总结：在竖直 方 向 做 简 谐 运 动 的 物 体 ，先 画 出 弹 簧 原 长，再根据题目要求，画出弹簧 的 不 同 状 态，关 键 是 找 到 平 衡 位 置 ，以 及 最 高 点 和 最 低 点 ． ３ 第 三 个 物 体 与 连 接 体 在 正 上 方 发 生 碰 撞 例３．如 图 ５ 所 示，质 量 均 为 ｍ 的 三 个 完 全 相同的物块Ａ、Ｂ、Ｃ，其 中 物 块 Ａ、Ｂ 用 轻 弹 簧 相 连 ，平 衡 时 ，弹 簧 的 压 缩 量 为 ｘ０ ．已 知 重 力 加 速 度 为 ｇ，不计 物 块 的 厚 度 及 空 气 阻 力 ，且 下 述 的 各 过程中弹簧的形变始终在弹性限度内． （１）如果 Ｃ 从 距 离 Ａ 某 高 度 处 静 止 释 放，Ｃ 与Ａ 相 碰 后，立 即 与 Ａ 粘 在 一 起 并 立 刻 向 下 运 动，此后 Ａ、Ｃ 不 再 分 开，当 它 们 运 动 到 最 低 点 后 又向上弹起，最终 能 使 Ｂ 刚 好 离 开 地 面，求 Ｃ 距 图５ 离Ａ 的高度ｈ０． （２）如果 Ｃ 从距离Ａ 高３ｘ０ 处自由下落，Ｃ 与 Ａ 相 碰 后，立即与 Ａ 粘在一起并立刻 向 下 运 动，此 后 Ａ、Ｃ 不 再 分 开，它们运动到 最 低 点 后 又 向 上 运 动，且 它 们 恰 好 能 回 到
ｘ＝Ｃ１（θ－ｓｉｎθ），ｙ＝Ｃ１（１－ｃｏｓθ）．
（３）
Ｃ１ 就是旋轮半径 Ｒ．
可见不管起点 Ａ 和终点Ｂ 的位
置倾角φ 怎 样，在 初 速 度 为 ０ 的 前 提 下，Ａ 点 总 是 和 旋 轮 线 的 起 点 重 合，
即 ｘ＝０，ｙ＝０ 时 ，θ＝０．并 非 象 文１ 中
图５的 乙 （本 文 图 ２）所 示，Ａ、Ｂ 两 点 对应旋轮线的［θ０＞０，π］部 分．文 １ 中
１２２ ｍｖ２４＋Ｅｐ２＝２ ｍｇ×ｘ０． 联 立 上 述 方 程 ，解 得 Ｅｐ２＝ １２ｍｇｘ０． ４ 连 接 体 从 某 高 度 处 自 由 下 落 后 ，与 地 面 碰 撞
例４．如图８所示，将 质 量 均 为 ｍ 厚 度 不 计 的 两 物 块 Ａ、Ｂ 用轻质弹簧 相 连 接，第 一 次 只 用 手 托 着 Ｂ 物 块 于 Ｈ 高度，Ａ 在重力 和 弹 簧 弹 力 的 作 用 下 处 于 静 止 ．现 将 弹 簧 锁定，此 时 弹 簧 的 弹 性 势 能 为 Ｅｐ ，现 由 静 止 释 放 Ａ、Ｂ，Ｂ 物块刚要着地前瞬间将弹簧 瞬 间 解 除 锁 定（解 除 锁 定 无 机
（１）第二次 释 放 Ａ、Ｂ 后，Ａ 上 升 至 弹 簧
恢 复 原 长 时 的 速 度ｖ１ ．
（２）第二次释 放 Ａ、Ｂ 后，Ｂ 刚 要 离 地 时
图８
Ａ 的速度ｖ２．
分析：如图９所示，第一次，Ａ 在 重 力 和 弹 簧 弹 力 的 作
用下处于静 止，此 时 弹 簧 有 一 定 的 压 缩 量 ，设 为 ｘ０，故 有
也谈最速下滑问题
Ｖｏｌ．３３ Ｎｏ．４ （２０１２）
程旭健
（浙江省武义县第二中学，浙江 武义 ３２１２０３）
本刊２００２年第１１期《最 速 下 滑 问 题 的 数 理 解 析》（简
称文１）探讨了怎样根据空间两点的位置倾角，具 体 确 定 这
两点之间的最速 下 滑 线．本 人 读 后 深 受 启 发，但 发 现 文 中
图２ 方 法 ２．以 整 体 为 研 究 对 象，在 最 高 点 时，ａ 向 下， Ｍｇ＋ｍｇ＝ｍａ．在 最 低 点，松 手 后，合 外 力 为 Ｆ，根 据 简 谐 运动的对称 性，加 速 度 也 为 ａ，方 向 向 上．Ｆ＝ｍａ＝ （Ｍ ＋ ｍ）ｇ． ２ 连 接 体 竖 直 方 向 受 到 向 上 的 恒 力 作 用 例２．如图３所示，一 轻 质 弹 簧 上、下 两 端 各连接一小木块 Ａ 和Ｂ，它们质量分别为３ ｍ、 ２ ｍ，开始系统静止在水 平 面 上，现 在 用 一 竖 直 向上的恒力 Ｆ 拉木块Ａ，为了 Ｂ 在运动中始 终 不离开地面，则 Ｆ 的最大值是多少？ 解析：方法 １．Ｂ 始 终 不 离 开 地 面，所 以 Ａ 物体的运动可视为简 谐 运 动．运 动 示 意 图 如 图 ４所示．刚 开 始，弹 簧 处 于 压 缩 状 态，以 Ａ 为 研 图３
图９
图７
以 Ａ、Ｃ 整体为研究对象，它们构成的弹簧振子平衡位 置 处，弹簧处于压缩状态，形变量为ｘ２，满足 ２ ｍｇ＝ｋｘ２，ｘ２ ＝２ｘ０．由于自由伸长处为最高点，所以振幅 Ａ＝２ｘ０．
设 Ｃ 与Ａ 碰撞前弹簧的 弹 性 势 能 为Ｅｐ２，设 碰 撞 的 位 置为零势能面，系 统 从 碰 撞 后 到 弹 簧 自 由 伸 长 的 过 程 中 ， 满足机械能守恒有
对于倾角较小（φ＜３２．５０）的 情 况，分 析 是 不 正 确 的 ．现 讨 论 如 下 ，请 同 行 指 正 ．
首 先，文 １ 和 本 文 讨 论
的前 提 条 件 都 是 滑 块 在 Ａ
点 的 初 速 度 为 ０，沿 某 光 滑
曲面轨道最快地滑到 Ｂ 点．
以 Ａ 点 为 坐 标 原 点，建 立 如
分析：方法１．如图２所示，松手后，在底座 图１ 未离开地面 前，人 头 做 简 谐 运 动．人 头 静 止 在 弹簧上时，弹簧 压 缩 量 为 ｘ１，Ｏ 点 为 平 衡 位 置 ，ｍｇ＝ｋｘ１． 施以向下的力，弹簧继续向下压缩 ｘ２，到 达 最 低 点 Ｂ，所 以 振幅 为 Ａ＝ｘ２，此 时 以 人 头 为 研 究 对 象 ，满 足Ｆ＋ｍｇ＝ｋ （ｘ１＋ｘ２）．松手 后 向 上 运 动 到 最 高 点 ，几 何 关 系 为 Ａ＝ｘ２ ＝ｘ１＋ｘ３，以底座为研究对象，Ｍｇ＝ｋｘ３．联立解得 Ｆ＝Ｍｇ ＋ｍｇ．
ｍｇ＝ｋｘ０，释放后，Ａ、Ｂ 均做 自 由 落 体 运 动．设 落 地 时 的 速
度 为ｖ０，则 有 ｍｇＨ＝ １２ｍｖ２０．
落地 解 锁 后，到 Ｂ 恰 能 离 开 地 面 过 程，此 时 弹 簧 处 于
拉伸状态，设 形 变 量 为 ｘ１，以 Ｂ 为 研 究 对 象，满 足 ｍｇ＝ ｋｘ１，ｘ１＝ｘ０．
图２
图５乙（图２）的错误也可以直观 看 出：假 如 Ａ、Ｂ 两 点 的 距
离一定，而空间倾角很小的情 况 下，如 文 １ 中 的 图 ５ 乙 （图
２）的一段旋轮线坡度很平缓，滑 块 沿 这 样 的 轨 道 滑 得 并 不
快．可见，初速度为 ０ 的 最 速 下 滑 线 轨 道 特 点 和 运 动 特 点
— ６８ —
图 １０
解锁后，Ａ 从落 地 到 Ｂ 恰 能 离 开 地 面 过 程 中，满 足 机
械能守恒，设 Ｂ 恰离开地面时的弹性势能为Ｅｐ１，由于压 缩
量和伸长量相同，所 以 Ｅｐ１ ＝Ｅｐ，设 落 地 瞬 间 Ａ 所 在 位 置
为重力势
能
零
点 ，以
Ａ
为
研
究
对
象 ，满
足
：
１ ２
ｍｖ２０
＋Ｅｐ
＝
ｍｇ×２ｘ０＋Ｅｐ． 第二次释放后，Ａ、Ｂ 也 均 做 自 由 落 体 运 动，所 以 落 地
应是：初始位置 Ａ 点的切线总 是 竖 直，初 始 加 速 度 为 ｇ，而 末端位置 Ｂ 点 切 线 不 一 定 水 平，末 速 度 方 向 也 不 一 定 水
平 ．下 面 举 两 个 例 子 ．
例１．空 间 Ａ、Ｂ 两 点 的 位 置 倾 角 为 φ ＝３０°，距 离 为 ２ｌ （如 图 ３），求 滑 块 以 初 速 度 为 ０ 从 Ａ 滑到Ｂ 的最速下滑线．
例１．如图１ 所 示，一 个 圣 诞 玩 偶 由 质 量 为 ｍ 的人头和 质 量 为 Ｍ 的 底 座 组 成，并 由 轻 弹簧连接在 一 起，置 于 水 平 面 上，如 果 对 人 头 施以竖直向 下 的 压 力，然 后 松 手；人 头 开 始 振 动，且到达最 高 点 时，底 座 对 地 面 的 压 力 恰 好 为 零 ，则 向 下 施 加 的 压 力 最 小 有 多 大 ？
图１所 示 的 坐 标 系．根 据 变
图１
分学公式
∫ｘ０
δ
槡１＋ｙ′２ｄｘ ＝０．
０ 槡２ｇｙ
（１）
求得此轨道的参数方程为
ｘ＝Ｃ１（θ－ｓｉｎθ）＋Ｃ２，ｙ＝Ｃ１（１－ｃｏｓθ）．
（２）
这是一条 旋 轮 线，也 称 摆 线．将 初 始 条 件 （ｙ＝０ 时，ｘ
＝０）代入，得θ＝０，从而 Ｃ２＝０．即
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Ｖｏｌ．３３ Ｎｏ．４ （２０１２）
竖直方向弹簧振子连接体问题分析
郭奇花
（北 京 市 延 庆 一 中 ，北 京 １０２１００）
物体在弹力或弹力和恒力作用下做简谐运动称为弹 簧振子模型．解决该类问题的 关 键 在 于 利 用 简 谐 运 动 对 称 性的特点．弹簧发生形变后，具 有 一 定 的 弹 性 势 能，弹 簧 形 变量相等时，具 有 相 等 的 弹 性 势 能．竖 直 方 向 的 弹 簧 振 子 连接体问题，由于其运动比较 复 杂，使 学 生 感 到 困 难．本 文 通过例题来解析常见的几种竖直方向弹簧振子的连接体 问题． １ 连 接 体 竖 直 方 向 受 到 向 下 的 压 力 作 用
守 恒得 ｍｇｈ０＝ １２ｍｖ２１．设Ｃ 与Ａ 相碰后的速度为ｖ２，由动
量守恒得 ｍｖ１＝２ ｍｖ２．刚 开 始 弹 簧 处 于 压 缩 状 态 ，形 变 量 为ｘ０，满足 ｍｇ＝ｋｘ０．Ｂ 刚好离开地面，以 Ｂ 为研究对象可 知，弹簧处于 拉 伸 状 态 ，形 变 量 为 ｘ１，满 足 ｍｇ＝ｋｘ１，ｘ１ ＝ ｘ０．设Ｃ 与Ａ 碰撞前弹簧的弹性势能为Ｅｐ１，由于两次形变 量相同，故 Ｂ 刚好离 开 地 面 时，弹 簧 的 弹 性 势 能 也 为 Ｅｐ１， 且此时三 个 物 体 的 速 度 均 为 零 ．设 碰 撞 的 位 置 为 零 势 能
时速度同上，为ｖ０．Ａ 物体仍满足机械能守恒，所以 Ａ 上升
至恢复原长时，速度ｖ１＝ｖ０＝ 槡２ｇＨ ，方向向上．
当 Ｂ 刚离地时，形 变 量 同 上，所 以 弹 性 势 能 也 为 Ｅｐ ， 设刚落地时，Ａ 所在的位置为零势能面有
第 ３３ 卷 第 ４ 期 ２０１２ 年
物 理 教 师 ＰＨＹＳＩＣＳ ＴＥＡＣＨＥＲ
面
，由
机
械
能
守
恒
得
１ ２
×２ ｍｖ２２
＋Ｅｐ１
＝２ ｍｇ×２ｘ０
＋Ｅｐ１
．
联立上述方程，解得 ｈ０＝８ｘ０． （２）设 Ｃ 自由下落到与Ａ 碰撞前的速度为ｖ３，由机械
能守恒得
ｍｇ×３ｘ０
＝
１ ２
ｍｖ２３．设
Ｃ
与Ａ
相碰后的速度为
ｖ４，由动量守恒得 ｍｖ３＝２ ｍｖ４．刚 开 始 弹 簧 处 于 压 缩 状 态 ， 形变量为 ｘ０，满足 ｍｇ＝ｋｘ０．
解析：将 Ｂ 点 坐 标 （槡３ｌ，
械能损失），Ｂ 物块着地后速度立即变为０，在
随后的过程中 Ｂ 物块恰能离开地面但不继
续上 升．第 二 次 用 手 拿 着 Ａ、Ｂ 两 物 块，使 得
弹簧竖直并处 于 原 长 状 态，此 时 物 块 Ｂ 离 地
面的距离 也 为 Ｈ ，然 后 由 静 止 同 时 释 放 Ａ、
Ｂ，Ｂ 物块着地后速度同样立即变为０，求
弹簧自由伸长的位置．求 Ｃ 与Ａ 相碰前弹簧的弹性势能大 小以及Ｃ 与Ａ 相碰后组成的弹簧振子的振幅Ａ．
分 析 ：（１Байду номын сангаас如 图 ６ 所 示 ，
— ６７ —
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物 理 教 师 ＰＨＹＳＩＣＳ ＴＥＡＣＨＥＲ
第 ３３ 卷 第 ４ 期 ２０１２ 年
图６
设 Ｃ 自由下落 到 与 Ａ 碰 撞 前 的 速 度 为ｖ１，由 机 械 能
究对象有３ ｍｇ＝ｋｘ１．ｂ点为 运 动 的 最 低 点，物 体 Ｂ 恰 好 不
离地 时，弹 簧 处 于 拉 伸 状 态，以 Ｂ 为 研 究 对 象 有 ２ ｍｇ＝
ｋｘ２ ．可 得 振 幅 为
Ａ＝ｘ１
＋ｘ２ ２
．
弹簧的平衡位 置 如 图 Ｏ 点 所 示，处 于 压 缩 状 态，以 Ａ
物体为研究对象，在 平 衡 位 置 受 力 如 图 ４ 所 示，受 到 向 下
的重力３ ｍｇ，弹 簧 的 拉 力 Ｆ１ ＝ｋ（ｘ１ －Ａ），以 及 外 力 Ｆ，三
者满足 Ｆ＋Ｆ１＝３ ｍｇ．解得
Ｆ＝ ５２ｍｇ．
图４ 方法２．可用最高点和最低点加速度大小相 等 来 计 算． 最 低 点 ：Ｆ＝３ ｍａ．最 高 点 ：３ ｍｇ＋ｋｘ２ －Ｆ＝３ ｍａ．解 得 Ｆ＝ ５２ｍｇ． 总结：在竖直 方 向 做 简 谐 运 动 的 物 体 ，先 画 出 弹 簧 原 长，再根据题目要求，画出弹簧 的 不 同 状 态，关 键 是 找 到 平 衡 位 置 ，以 及 最 高 点 和 最 低 点 ． ３ 第 三 个 物 体 与 连 接 体 在 正 上 方 发 生 碰 撞 例３．如 图 ５ 所 示，质 量 均 为 ｍ 的 三 个 完 全 相同的物块Ａ、Ｂ、Ｃ，其 中 物 块 Ａ、Ｂ 用 轻 弹 簧 相 连 ，平 衡 时 ，弹 簧 的 压 缩 量 为 ｘ０ ．已 知 重 力 加 速 度 为 ｇ，不计 物 块 的 厚 度 及 空 气 阻 力 ，且 下 述 的 各 过程中弹簧的形变始终在弹性限度内． （１）如果 Ｃ 从 距 离 Ａ 某 高 度 处 静 止 释 放，Ｃ 与Ａ 相 碰 后，立 即 与 Ａ 粘 在 一 起 并 立 刻 向 下 运 动，此后 Ａ、Ｃ 不 再 分 开，当 它 们 运 动 到 最 低 点 后 又向上弹起，最终 能 使 Ｂ 刚 好 离 开 地 面，求 Ｃ 距 图５ 离Ａ 的高度ｈ０． （２）如果 Ｃ 从距离Ａ 高３ｘ０ 处自由下落，Ｃ 与 Ａ 相 碰 后，立即与 Ａ 粘在一起并立刻 向 下 运 动，此 后 Ａ、Ｃ 不 再 分 开，它们运动到 最 低 点 后 又 向 上 运 动，且 它 们 恰 好 能 回 到
ｘ＝Ｃ１（θ－ｓｉｎθ），ｙ＝Ｃ１（１－ｃｏｓθ）．
（３）
Ｃ１ 就是旋轮半径 Ｒ．
可见不管起点 Ａ 和终点Ｂ 的位
置倾角φ 怎 样，在 初 速 度 为 ０ 的 前 提 下，Ａ 点 总 是 和 旋 轮 线 的 起 点 重 合，
即 ｘ＝０，ｙ＝０ 时 ，θ＝０．并 非 象 文１ 中
图５的 乙 （本 文 图 ２）所 示，Ａ、Ｂ 两 点 对应旋轮线的［θ０＞０，π］部 分．文 １ 中
１２２ ｍｖ２４＋Ｅｐ２＝２ ｍｇ×ｘ０． 联 立 上 述 方 程 ，解 得 Ｅｐ２＝ １２ｍｇｘ０． ４ 连 接 体 从 某 高 度 处 自 由 下 落 后 ，与 地 面 碰 撞
例４．如图８所示，将 质 量 均 为 ｍ 厚 度 不 计 的 两 物 块 Ａ、Ｂ 用轻质弹簧 相 连 接，第 一 次 只 用 手 托 着 Ｂ 物 块 于 Ｈ 高度，Ａ 在重力 和 弹 簧 弹 力 的 作 用 下 处 于 静 止 ．现 将 弹 簧 锁定，此 时 弹 簧 的 弹 性 势 能 为 Ｅｐ ，现 由 静 止 释 放 Ａ、Ｂ，Ｂ 物块刚要着地前瞬间将弹簧 瞬 间 解 除 锁 定（解 除 锁 定 无 机
（１）第二次 释 放 Ａ、Ｂ 后，Ａ 上 升 至 弹 簧
恢 复 原 长 时 的 速 度ｖ１ ．
（２）第二次释 放 Ａ、Ｂ 后，Ｂ 刚 要 离 地 时
图８
Ａ 的速度ｖ２．
分析：如图９所示，第一次，Ａ 在 重 力 和 弹 簧 弹 力 的 作
用下处于静 止，此 时 弹 簧 有 一 定 的 压 缩 量 ，设 为 ｘ０，故 有
也谈最速下滑问题
Ｖｏｌ．３３ Ｎｏ．４ （２０１２）
程旭健
（浙江省武义县第二中学，浙江 武义 ３２１２０３）
本刊２００２年第１１期《最 速 下 滑 问 题 的 数 理 解 析》（简
称文１）探讨了怎样根据空间两点的位置倾角，具 体 确 定 这
两点之间的最速 下 滑 线．本 人 读 后 深 受 启 发，但 发 现 文 中
图２ 方 法 ２．以 整 体 为 研 究 对 象，在 最 高 点 时，ａ 向 下， Ｍｇ＋ｍｇ＝ｍａ．在 最 低 点，松 手 后，合 外 力 为 Ｆ，根 据 简 谐 运动的对称 性，加 速 度 也 为 ａ，方 向 向 上．Ｆ＝ｍａ＝ （Ｍ ＋ ｍ）ｇ． ２ 连 接 体 竖 直 方 向 受 到 向 上 的 恒 力 作 用 例２．如图３所示，一 轻 质 弹 簧 上、下 两 端 各连接一小木块 Ａ 和Ｂ，它们质量分别为３ ｍ、 ２ ｍ，开始系统静止在水 平 面 上，现 在 用 一 竖 直 向上的恒力 Ｆ 拉木块Ａ，为了 Ｂ 在运动中始 终 不离开地面，则 Ｆ 的最大值是多少？ 解析：方法 １．Ｂ 始 终 不 离 开 地 面，所 以 Ａ 物体的运动可视为简 谐 运 动．运 动 示 意 图 如 图 ４所示．刚 开 始，弹 簧 处 于 压 缩 状 态，以 Ａ 为 研 图３
图９
图７
以 Ａ、Ｃ 整体为研究对象，它们构成的弹簧振子平衡位 置 处，弹簧处于压缩状态，形变量为ｘ２，满足 ２ ｍｇ＝ｋｘ２，ｘ２ ＝２ｘ０．由于自由伸长处为最高点，所以振幅 Ａ＝２ｘ０．
设 Ｃ 与Ａ 碰撞前弹簧的 弹 性 势 能 为Ｅｐ２，设 碰 撞 的 位 置为零势能面，系 统 从 碰 撞 后 到 弹 簧 自 由 伸 长 的 过 程 中 ， 满足机械能守恒有
对于倾角较小（φ＜３２．５０）的 情 况，分 析 是 不 正 确 的 ．现 讨 论 如 下 ，请 同 行 指 正 ．
首 先，文 １ 和 本 文 讨 论
的前 提 条 件 都 是 滑 块 在 Ａ
点 的 初 速 度 为 ０，沿 某 光 滑
曲面轨道最快地滑到 Ｂ 点．
以 Ａ 点 为 坐 标 原 点，建 立 如
分析：方法１．如图２所示，松手后，在底座 图１ 未离开地面 前，人 头 做 简 谐 运 动．人 头 静 止 在 弹簧上时，弹簧 压 缩 量 为 ｘ１，Ｏ 点 为 平 衡 位 置 ，ｍｇ＝ｋｘ１． 施以向下的力，弹簧继续向下压缩 ｘ２，到 达 最 低 点 Ｂ，所 以 振幅 为 Ａ＝ｘ２，此 时 以 人 头 为 研 究 对 象 ，满 足Ｆ＋ｍｇ＝ｋ （ｘ１＋ｘ２）．松手 后 向 上 运 动 到 最 高 点 ，几 何 关 系 为 Ａ＝ｘ２ ＝ｘ１＋ｘ３，以底座为研究对象，Ｍｇ＝ｋｘ３．联立解得 Ｆ＝Ｍｇ ＋ｍｇ．
ｍｇ＝ｋｘ０，释放后，Ａ、Ｂ 均做 自 由 落 体 运 动．设 落 地 时 的 速
度 为ｖ０，则 有 ｍｇＨ＝ １２ｍｖ２０．
落地 解 锁 后，到 Ｂ 恰 能 离 开 地 面 过 程，此 时 弹 簧 处 于
拉伸状态，设 形 变 量 为 ｘ１，以 Ｂ 为 研 究 对 象，满 足 ｍｇ＝ ｋｘ１，ｘ１＝ｘ０．
图２
图５乙（图２）的错误也可以直观 看 出：假 如 Ａ、Ｂ 两 点 的 距
离一定，而空间倾角很小的情 况 下，如 文 １ 中 的 图 ５ 乙 （图
２）的一段旋轮线坡度很平缓，滑 块 沿 这 样 的 轨 道 滑 得 并 不
快．可见，初速度为 ０ 的 最 速 下 滑 线 轨 道 特 点 和 运 动 特 点
— ６８ —
图 １０
解锁后，Ａ 从落 地 到 Ｂ 恰 能 离 开 地 面 过 程 中，满 足 机
械能守恒，设 Ｂ 恰离开地面时的弹性势能为Ｅｐ１，由于压 缩
量和伸长量相同，所 以 Ｅｐ１ ＝Ｅｐ，设 落 地 瞬 间 Ａ 所 在 位 置
为重力势
能
零
点 ，以
Ａ
为
研
究
对
象 ，满
足
：
１ ２
ｍｖ２０
＋Ｅｐ
＝
ｍｇ×２ｘ０＋Ｅｐ． 第二次释放后，Ａ、Ｂ 也 均 做 自 由 落 体 运 动，所 以 落 地
应是：初始位置 Ａ 点的切线总 是 竖 直，初 始 加 速 度 为 ｇ，而 末端位置 Ｂ 点 切 线 不 一 定 水 平，末 速 度 方 向 也 不 一 定 水
平 ．下 面 举 两 个 例 子 ．
例１．空 间 Ａ、Ｂ 两 点 的 位 置 倾 角 为 φ ＝３０°，距 离 为 ２ｌ （如 图 ３），求 滑 块 以 初 速 度 为 ０ 从 Ａ 滑到Ｂ 的最速下滑线．
例１．如图１ 所 示，一 个 圣 诞 玩 偶 由 质 量 为 ｍ 的人头和 质 量 为 Ｍ 的 底 座 组 成，并 由 轻 弹簧连接在 一 起，置 于 水 平 面 上，如 果 对 人 头 施以竖直向 下 的 压 力，然 后 松 手；人 头 开 始 振 动，且到达最 高 点 时，底 座 对 地 面 的 压 力 恰 好 为 零 ，则 向 下 施 加 的 压 力 最 小 有 多 大 ？
图１所 示 的 坐 标 系．根 据 变
图１
分学公式
∫ｘ０
δ
槡１＋ｙ′２ｄｘ ＝０．
０ 槡２ｇｙ
（１）
求得此轨道的参数方程为
ｘ＝Ｃ１（θ－ｓｉｎθ）＋Ｃ２，ｙ＝Ｃ１（１－ｃｏｓθ）．
（２）
这是一条 旋 轮 线，也 称 摆 线．将 初 始 条 件 （ｙ＝０ 时，ｘ
＝０）代入，得θ＝０，从而 Ｃ２＝０．即