人教版高一数学必修一基本初等函数解析(完整资料)
人教版高中数学必修一第二章基本初等函数(Ⅰ)课件PPT
反思与感悟
解析答案
log2x，x＞0，
跟踪训练 3
已知函数
f(x)＝log
1 2
－x，x＜0，
若 f(a)＞f(－a)，则实数
a 的取值范围是( )
A.(－1,0)∪(0,1)
B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
1 23 45
答案
3.f(x)＝lg(x2＋a)的值域为R，则实数a可以是( A )
A.0
B.1 C.2 D.10
1 23 45
答案
4.如果 log1 x log1 y 0 ，那么D( )
2
2
A.y<x<1
B.x<y<1
C.1<x<y
D.1<y<x
1 23 45
答案
1 23 45
5.若函数 y＝f(x)是函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)的反函数，且 f(2)＝1，则 f(x)
解析答案
类型三 对数不等式 例3 已知函数f(x)＝loga(1－ax)(a＞0，且a≠1).解关于x的不等式： loga(1－ax)＞f(1). 解 ∵f(x)＝loga(1－ax)，∴f(1)＝loga(1－a). ∴1－a＞0.∴0＜a＜1. ∴不等式可化为loga(1－ax)＞loga(1－a).
等于( A )
A.log2x
1 B.2x
C. log 1 x
D.2x－2
2
答案
规律与方法
1.与对数函数有关的复合函数单调区间、奇偶性、不等式问题都要注 意定义域的影响. 2.y＝ax与x＝logay图象是相同的，只是为了适应习惯用x表示自变量，y 表示应变量，把x＝logay换成y＝logax，y＝logax才与y＝ax关于y＝x对称， 因为(a，b)与(b，a)关于y＝x对称.
高一数学人教A必修一 课件 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 2.1.1
数学 必修1
第二章 基本初等函数 (Ⅰ)
学案·新知自解 教案·课堂探究 练案·学业达标
2．有理数指数幂运算的注意事项 (1)有理ห้องสมุดไป่ตู้指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质推广而来的，整数 指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用．
(2)在运算性质中，特别要注意幂的底数是正数的规定，如果改变等式成立 的条件，则有可能不成立，
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第二章 基本初等函数 (Ⅰ)
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第 二 章 基本初等函数（Ⅰ）
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第二章 基本初等函数 (Ⅰ)
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第二章 基本初等函数 (Ⅰ)
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第二章 基本初等函数 (Ⅰ)
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[归纳升华]
根式化简应注意的问题
n (1)(
a)n
已暗含了n
a有意义，据
n
的奇偶性不同可知
a
的取值范围．
n (2)
an中的
a
可以是全体实数，n
an的值取决于
被开方数式的指数―化―为→ 分数指数的分子
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第二章 基本初等函数 (Ⅰ)
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(3)在计算与化简中，对于结果，不强调统一用什么形式来表示，若无特殊 要求，就用分数指数幂的形式；若有要求，则根据要求给出结果，但结果不能同 时含有分数指数和根号，也不能既有负指数又有分母．
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第二章 基本初等函数 (Ⅰ)
完整版人教版高一数学必修一基本初等函数解析
根本初等函数一．【要点精讲】1．指数与对数运算〔1〕根式的概念：①定义：假设一个数的n次方等于a(n1,且n N)，那么这个数称a的n次方根。
即假设x n a，那么x称a的n次方根n1且n N)，1〕当n为奇数时，a的n次方根记作n a；2〕当n为偶数时，负数a没有n次方根，而正数a有两个n次方根且互为相反数，记作n a(a0)②性质：1〕(na )na2n为奇数时，n a n a；；〕当3〕当n为偶数时，n a|a|a(a0)a(a。
0)〔2〕．幂的有关概念①规定：1〕a n a a a(n N；2〕a01(a0)；*n个3〕a p1p(p m n a m(a0,m、n N且n1)Q，4〕a n*a②性质：1〕a r a s a rs(a0,r、s Q〕；2〕(a r)s a rs(a0,r、s Q〕；3〕(ab)r a r b r(a0,b0,r Q〕。
〔注〕上述性质对r、s R均适用。
〔3〕．对数的概念①定义：如果a(a0,且a1)的b次幂等于N，就是a b N，那么数b称以a为底N的对数，记作log a N b,其中a称对数的底，N称真数1〕以10为底的对数称常用对数，log10N记作lgN；2〕以无理数e(e)为底的对数称自然对数，log e N，记作lnN；②根本性质：1〕真数N为正数〔负数和零无对数〕；2〕log a10；13〕log a a1；4〕对数恒等式：a log a N N。
③运算性质：如果a0,a0,M0,N0,那么1〕log a(MN)log a M log a N；2〕log a M log a M log a N；N3〕log a M n nlog a M(n R〕④换底公式：log a N logmN(a0,a0,m0,m1,N0), log m a1〕log a blog b a1；2〕log a m b n nlog a b。
m2．指数函数与对数函数〔1〕指数函数：①定义：函数y a x(a0,且a1)称指数函数，1〕函数的定义域为R；2〕函数的值域为(0,)；3〕当0 a 1时函数为减函数，当a1时函数为增函数。
人教版高中数学必修一 第二章 基本初等函数知识点总结
人教版高中数学必修一第二章基本初等函数知识点总结第二章 基本初等函数一、指数函数（一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0=0。
注意：(1)na =(2)当 n a = ，当 n ,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩2．分数指数幂正数的正分数指数幂的意义，规定：0,,,1)m na a m n N n *=>∈>且正数的正分数指数幂的意义：_1(0,,,1)m nm naa m n N n a*=>∈>且0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）(0,,)rsr s a a aa r s R +=>∈（2）()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ （3）(b)(0,0,)r rra ab a b r R =>>∈注意：在化简过程中，偶数不能轻易约分；如122[(1]11≠ （二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数xy a = 叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．即 a>0且a ≠1 20<a<1a>1定义域R , 值域（0，+∞）注意： 指数增长模型：y=N(1+p)指数型函数： y=ka 3 考点：（1）a b =N, 当b>0时，a,N 在1的同侧；当b<0时，a,N 在1的 异侧。
（2）指数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。
掌握利用单调性比较幂的大小，同底找对应的指数函数，底数不同指数也不同插进1(=a 0)进行传递或者利用（1）的知识。
（3）求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子，值域求法用单调性。
（4）分辨不同底的指数函数图象利用a 1=a ，用x=1去截图象得到对应的底数。
(5)指数型函数：y=N(1+p)x 简写：y=ka x 二、对数函数 （一）对数1．对数的概念：一般地，如果x a N = ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：log a x N = （ a — 底数， N — 真数，log a N — 对数式）说明：1. 注意底数的限制，a>0且a ≠1；2. 真数N>0 3. 注意对数的书写格式．2、两个重要对数：（1）常用对数：以10为底的对数, 10log lg N N 记为 ；（2）自然对数：以无理数e 为底的对数的对数 , log ln e N N 记为． 3、对数式与指数式的互化 log x a x N a N =⇔=对数式 指数式对数底数← a → 幂底数对数← x → 指数真数← N → 幂 结论：（1）负数和零没有对数（2）log a a=1, log a 1=0 特别地， lg10=1, lg1=0 , lne=1, ln1=0(3) 对数恒等式：log Na a N =（二）对数的运算性质如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 有：1、 log M N log log a a a M N ∙=+（） 两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和 2 、N M NMa a alog log log -= 两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差3 、log log n na a M n M =∈（R ） 一个正数的n 次方的对数等于这个正数的对数n 倍说明:1) 简易语言表达:”积的对数=对数的和”……2) 有时可逆向运用公式3) 真数的取值必须是(0,＋∞)4) 特别注意：N M MN a a a log log log ⋅≠ ()N M N M a a a log log log ±≠±注意：换底公式()log lg log 0,1,0,1,0log lg c a c b bb a ac c b a a==>≠>≠>利用换底公式推导下面的结论 ①a b b a log 1log =②log log log log a b c a b c d d ∙∙=③log log m n a a nb b m=（二）对数函数1、对数函数的概念：函数log a y x = (a>0，且a ≠1) 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 注意：（1） 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.1.2 指数函数及其性质教材梳理素材 新人教A版必修1
2.1.2 指数函数及其性质疱丁巧解牛知识·巧学·升华 一、指数函数及其性质 1.指数函数的定义一般地，函数y=a x（a ＞0且a ≠1，x ∈R ）叫做指数函数，其中x 是自变量.由于当a=0时，若x ＞0，a x 恒等于0；若x ≤0，a x无意义. 当a ＜0时，如y=（-2）x，对x=…，-21，41，21，…在实数范围内函数值不存在. 当a=1时，y=1x=1，是一常量，没有研究的必要.综上可知，当a ≤0或a=1时，不是没有意义，就是没有研究的必要，故规定a ＞0且a ≠1.只有形如y=a x （a ＞0且a ≠1）且定义域为R 的函数，才是指数函数，又如y=3·2x ，y=2x-1，y=2x+1等，是由指数函数经过某种变换而得到的，它们都不是指数函数.要点提示 因为指数的概念已经从整数扩充到实数，在底数a ＞0且a ≠1的情况下，对任意一个x 都有唯一确定的值y 与它对应，所以x 是任意实数. 2.指数函数的图象和性质（1）下面先画指数函数y=2x 及y=0.5x图象列出x,y 的对应值表，用描点法化出图象： x …-3 -2 -1 0 1 2 3 … y=2x 0.13 0.25 0.5 1 2 4 8 y=0.5x84210.50.250.13要点提示 函数y=a x与y=a -x的图象关于y 轴对称.xa ＞10＜a ＜1图象性质①定义域：R ②值域：（0，+∞）③过点（0，1），即x=0时，y=1 ④在R 上是增函数， 当x ＜0时，0＜y ＜1； 当x ＞0时，y ＞1④在R 上是减函数， 当x ＜0时，y ＞1； 当x ＞0时，0＜y ＜1指数函数的单调性是指数函数性质中应用最广的，运用此性质可以求与指数函数有关的一般函数的值域、单调区间等．指数函数的图象变换有两种：一种是平移变换分上下、左右平移，遵循“左加右减，上加下减”．平移前后的形状没有发生变化，只是位置改变了；另一种是对称变换，它会导致前后的形状发生明显改变．指数函数的图象变换可以推广到我们学过的任何函数． 研究函数的性质，可明确图象的形状；通过函数的图象可以进一步加深对性质的理解．二者相辅相成、缺一不可，可通过解决函数的图象来解决与方程和不等式有关的问题，这时作函数的图象应明确其图象的形状，而确定形状的手段主要有：函数关系式的等价变形、图象的变换、通过研究函数的性质等．要点提示 ①指数函数的图象恒在x 轴上方；②指数函数的单调性取决于它的底数;③y=a x （a ＞1）在 x ＞0的方向上增幅越来越快；④指数函数由唯一的常量a 确定．⑤y=a x （0<a<1）在x ＜0的方向上增幅越来越快.方法点拨 遇到求含有字母的表达式等问题可先用待定系数法确定a ，再求值．深化升华 ①底数相同，指数不同的，可构造指数函数，利用函数的单调性比较大小； ②底数、指数都不相同的，可选一中间值比较大小； ③指数相同，底数不同的可用数形结合法比较大小. 问题·思路·探究问题1 为什么说指数函数的图象是研究函数性质的直观工具？思路：对于指数函数问题，我们不仅仅应该知道其表达式及利用表达式进行计算的问题，而且应注重结合其相应的图象掌握相应的知识且能灵活运用图象来分析问题、解决问题，从而领会图象在指数函数应用方面的作用． 探究:因为通过图象我们可以直观地看到，任取a({a|a>0且a ≠1}),图象始终过定点（0，1），图象始终在x 轴的上方；当a>1时第一象限的图象与0<a<1时第二象限的图象始终在直线y=1的上方，当a>1时第二象限的图象与0<a<1时第一象限的图象始终在直线y=1的下方，当a>1时，图象是上升的，当0<a<1时，图象是下降的．所以应用图象进行数形结合，清晰地刻画了指数函数的性质，它们便于我们记忆起函数性质和变化规律．问题2 函数y=2|x|的图象有什么特征？你能根据它的图象指出其值域和单调区间吗？思路：函数y=a |x|：其图象是关于y 轴对称的，所以只要先把y=a x的ｙ轴右边的图象保留，再将y 轴右边部分关于ｙ轴作出对称部分；就得到了y=a |x|的图象．探究:函数y=2|x|的图象关于y 轴对称，这是因为它的图象由y=2x(x ≥0)的图象和y=(21)x（x<0）的图象合并而成，而y=2x（x>0）与y=(21)x（x<0）的图象关于y 轴对称，所以函数y=2|x|的图象关于y 轴对称，由图象可知值域是［1,+∞)，递增区间为［0,+∞)，递减区间为(-∞,0］问题3 函数y=a x+h+k(a>0且a ≠1)的图象恒过点（-h,1+k ）,为什么？思路：一般地，把函数y=f （x ）的图象向右平移m 个单位得函数y=f （x-m ）的图象（m ∈R ，m ＜0就是向右平移|m|个单位）；把函数y=f （x ）的图象向上平移n 个单位，得到函数y=f （x ）+n 的图象（n ∈R ，若n ＜0，就是向下平移|n|个单位＝探究:函数y=a x+h +k(a>0且a ≠1)的图象可由y=a x(a>0且a ≠1)的图象向左（当h>0时）或向右（当h<0时）平移|h|个单位，再向上（当k>0时）或向右（当k<0时）平移|k|个单位而得到，因为y=a x (a>0且a ≠1)的图象恒过点（0，1），所以函数y=a x+h+k(a>0且a ≠1)的图象恒过点（-h,1+k ）． 典题·热题·新题例1 下列函数中，哪些是指数函数？①y=4x ②y=x 4 ③y=-4x ④y=4-x ⑤y=(-4)x ⑥y=4x+1 ⑦y=4x +1⑧y=e x ⑨y=4x(x>0)⑩y=(a-1)x(a>1且a ≠2)思路解析：①④⑧⑩为指数函数，其中④y=4-x 从形式上看不是指数函数，将它变形为y=（4-1）x，即y=（41）x.它实质上是指数函数. ②中底数x 不是常数，而4不是变数；③是-1与指数函数4x的乘积；⑤中底数-4<0; ⑥中的指数是x 的函数，不是自变量x ；⑦由y=4x向上平移得到的；⑨x 的范围不是R . 答案：②③⑤⑥⑦⑨不是指数函数．误区警示 像y=4x+1，y=4x +1的图象可由y=2x 的图象通过平移或伸缩变换而得到.而y=a -x从形式上看不是指数函数，将它变形为y=（a -1）x，即y=（a1）x.它实质上是指数函数. 例2 若指数函数y=（2a-1）x是减函数.则a 的范围是多少？ 思路解析：由题意可知1＞2a-1＞0，得21＜a ＜1. 答案：21＜a ＜1 深化升华 解与指数有关的问题时，注意对底数分类讨论，这是考试的一个重点.例3 如右图，在同一坐标系下给出四个指数函数的图象，试比较底数a 、b 、c 、d 的大小.思路解析：作直线x=1与四个图象交于四个点，得四个纵坐标为a 、b 、c 、d ，底数都“跑”到纵轴上去了，可在数轴的位置上直观比较底数的大小，则a ＞b ＞1＞c ＞d ＞0 . 答案：a ＞b ＞c ＞d拓展延伸 在同一坐标系中，画出函数y=3x，y=（31）x ，y=2x，y=（21）x 的图象，比一比，看它们之间有何联系.从图中可以看到，图象向下无限地与x 轴靠拢，即x 轴是指数函数的渐近线.任何两个函数图象都是交叉出现的，交叉点是（0，1）.在y 轴的右侧，对同一变量x 而言，底数越大，函数值越大；在y 轴的左侧，情况正好相反，即对同一自变量x 而言，底数越大，函数值越小.以此为依据，可定性地分析在同一坐标系中，底数不同的若干个指数函数的底数的大小关系.怎样定量分析同一坐标系中底数不同的指数函数的底数的大小呢？我们知道，对指数函数y=a x（a ＞0且a ≠1），当x=1时，y=a ，而a 恰好是指数函数的底数，这就启发我们，不妨作直线x=1，它同各个图象相交，交点的纵坐标就是各指数函数的底数，以此可比较底数的大小.深化升华 （1）渐近线是指逐渐靠拢，但永远不能到达的线.（2）从联系的观点研究不同底数的指数函数图象间的关系，对深化理解指数函数的图象和性质是有帮助的.例4 画出下列函数的图象：（1）y=2x-1+2;(2)y=0.5|x|思路解析：利用指数函数的图象及结合函数图象的变换来处理.答案：（1）利用函数y=2x的图象沿x 轴正半轴平移一个单位，纵坐标不变，再把所得图象沿y 轴的正半轴平移2个单位，横坐标不变，得到y=2x-1+2的图象，如图(1)（注：画出虚直线的目的是体现平移变换）.（2）由y=0.5|x|=⎪⎩⎪⎨⎧<=≥-,0,25.0,0,5.0x x xx x作y=0.5x的图象但只取y 轴及其右侧部分，再作y=2x的图象但只取y 轴左侧部分，就得到函数y=0.5|x|的图象，如图(2)所示的实线（注：画出虚线的目的是衬托实线的特征）.图（1） 图（2） 深化升华 由指数函数的图象，我们还可以总结出图象的变化规律： ①平移规律若已知y=a x 的图象，则把y=a x 的图象向左平移b （b ＞0）个单位，则得到y=a x+b的图象.把y=a x 的图象向右平移b （b ＞0）个单位，则得到y=a x-b 的图象，把y=a x的图象向上平移b（b ＞0）个单位，则得到y=a x +b 的图象.把y=a x的图象向下平移b （b ＞0）个单位，则得到y=a x-b 的图象. ②对称规律函数y=a x 的图象与y=a -x 的图象关于y 轴对称，y=a x 的图象与y=-a x的图象关于直线x轴对称.函数y=a x 的图象与y=-a -x的图象关于坐标原点对称.函数y=a |x|：其图象是关于y 轴对称的，所以只要先把y=a x的ｙ轴右边的图象保留；再将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称；就得到了y=a |x|的图象．拓展延伸 一般地，把函数y=f （x ）的图象向右平移m 个单位得函数y=f （x-m ）的图象（m ∈R ，m ＜0就是向右平移|m|个单位）；把函数y=f （x ）的图象向上平移n 个单位，得到函数y=f （x ）+n 的图象（n ∈R ，若n ＜0，就是向下平移|n|个单位＝.函数y=f （x ）的图象与y=f （-x ）的图象关于y 轴对称，函数y=f （x ）的图象与函数y=-f （x ）的图象关于x 轴对称，函数y=f （x ）的图象与函数y=-f （1-x ）的图象关于原点对称.函数y=f(|x|)：其图象是关于y 轴对称的，所以只要先把ｙ轴右边的图象保留；再将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称；就得到了y=f(|x|)的图象．例5 用函数单调性定义证明函数f （x ）=2x在（-∞，+∞）上单调递增. 思路解析：函数单调递增：x 1＜x 2⇒f （x 1）＜f （x 2）;或先论证)()(21x f x f ＜1，又f （x 2）＞0⇒f （x 1）＜f （x 2）.证明：在（-∞，+∞）上任取x 1＜x 2，则)()(21x f x f =2121222x x x x -=,∵x 1-x 2＜0，∴212xx -＜1.又f （x 2）=2x2＞0，∴f （x 1）＜f （x 2）.∴函数f （x ）=2x在（-∞，+∞）上单调递增. 深化升华 在用函数单调性定义证明的过程中，除了作差法也可用作商法比较f （x 1）、f （x 2）的大小.例6 求下列函数的单调区间：（1）y=2425.0--x x ;(2)y=x112+.思路解析：将原函数“拆”成两个简单的函数，再依据复合函数的单调性求解． 解：（1）令u=x 2-4x-2,则y=0.5u.因为y=0.5u为减函数，所以y=2425.0--x x 与u=x 2-4x-2的单调性相反．又由u=x 2-4x-2=（x-2）2-6得u=x 2-4x-2在(-∞,2］为减函数，在［2,+∞)为增函数．所以y=2425.0--x x 在（-∞,2）为增函数，在［2,+∞］为减函数;（2）令u=1+x 1，则y=2u ,因为y=2u为增函数，所以y=x 112+的单调性与u=1+x 1的单调性相同．因为u=1+x1（x ≠0）所以在(-∞,0)及（0，+∞）上均为减函数,所以y=x 112+的单调递减区间为(-∞,0)和(0,+∞).拓展延伸 确定函数的单调性，利用复合函数的单调性的方法或可变形函数解析式，利用已有函数的单调性进行由里及外的层层判断，最终得出函数的单调性.但是要证明单调性必须用单调性定义.本题求函数值域也可以利用解析式变形，由里及外层层求出值域最终而得：y=1212+-x x =1-122+x .x ∈（-∞，+∞）⇒2x ＞0⇒2x+1＞1⇒121+x ＜1，∴-2＜-122+x＜0.∴-1＜y ＜1.∴值域为（-1，1）.例7 已知函数f （x ）=a x（a ＞0，且a ≠1），根据图象判断21［f （x 1）+f （x 2）］与f （221x x +）的大小，并加以证明.思路解析：对a ＞1及0＜a ＜1两种情形的指数函数图象，分别取两点A （x 1，f （x 1））、B （x 2，f （x 2））连线段，其中21［f （x 1）+f （x 2）］就是这线段中点M 的函数值，f （221x x +）就是图象上弧线段与直线x=221x x +的交点M 的函数值，如下图.显然无论哪一种情形总有点N 在点M 下方. ∴f （221x x +）＜21［f （x 1）+f （x 2）］. 证明：f （x 1）+f （x 2）-2f （221x x +）=2222)(2112121x x x x xx a aaa a -=-++.由x 1≠x 2，∴21x ≠22x .∴2221xxa a -≠0，∴222)(21xxa a -＞0.∴f （x 1）+f （x 2）-2f （221x x +）＞0. 深化升华 通过数形结合我们不难发现凸凹函数的性质. 若f （x ）是凸函数，则f （221x x +）≥21［f （x 1）+f （x 2）］； 若f （x ）是凹函数，则f （221x x +）≤21［f （x 1）+f （x 2）］. 例8 方程2x-1=2x 的实数解的个数为（ ）A. 0个B.1个C.2个D.3个 思路解析：这不是我们所学的代数等式,也不可能转化成代数式,只有数形结合观察图象交点才能解决.答案：2x-1=2x 可化为2x=2x+1，令⎩⎨⎧+==122x y y x 在同一坐标系中画出y=2x及y=2x+1的图象．如右图所示，可以看出它们图象有两个交点．故选C.深化升华 遇到等式两边的形式属于不同类型的函数而且直接处理无法进行时，这时应联想到用数形结合来解决．。
必修一_基本初等函数_知识点讲解
基本初等函数第一讲 幂函数1、幂函数的定义一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数.如11234,,y x y x y x -===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.注意：y x α=中，前面的系数为1，且没有常数项2、幂函数的图像（1）y x = （2）12y x = （3）2y x = （4）1y x -= （5）3y x =3、幂函数的性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：11x=）；（2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；（3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．分数指数幂概念 有理指数幂运算性质(0,,)r s r s a a a a r s Q +=>∈；()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈(0,,*,1)a m n N n >∈>且 ()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈第二讲 指数函数1、指数（1）n 次方根的定义若x n =a ，则称x 为a 的n 次方根，“n”是方根的记号.在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根.（2）方根的性质①当n 为奇数时，n n a =a . ②当n 为偶数时，n n a =|a |=⎩⎨⎧<-≥).0(),0(a aa a（3）分数指数幂的意义①a nm =n m a （a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）. ②an m -=nm a1=nma1（a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）.2、指数函数的定义一般地，函数xy a =（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R . 说明：因为a ＞0，x 是任意一个实数时，xa 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R .n mnm a a=nmn m nm aa a1＝=-000,0xx a a x a ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩x当时,等于若当时,无意义若a ＜0，如1(2),,8xy x x =-=1先时,对于=等等,6在实数范围内的函数值不存在. 若a =1, 11,xy == 是一个常量， 5,,3,31x x x a y x y y +===+1xx为常数,象y=2-3,y=2等等, 不符合(01)x y a a a =>≠且的形式,所以不是指数函数.3、 指数函数的图像及其性质（1）底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y 轴对称.（2）在[,]x a b f x a 上,()=（a ＞0且a ≠1）值域是[(),()][(),()];f a f b f b f a 或 （3）若0,x f x f x x ≠≠∈则()1;()取遍所有正数当且仅当R;（4）对于指数函数()xf x a =（a ＞0且a ≠1），总有(1);f a =（5）当a ＞1时，若1x ＜2x ，则1()f x ＜2()f x ；第三讲 对数函数1、 对数（1）对数的概念一般地，若(0,1)xa N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =a 叫做对数的底数，N 叫做真数.如：24416,2log 16==则，读作2是以4为底，16的对数. 1242=，则41log 22=，读作12是以4为底2的对数. （2）指数式与对数式的关系：a b =N ⇔log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.（3）对数运算性质:①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N . ③log a M n=n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④对数换底公式：log b N =bNa a log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）. （4）两类对数① 以10为底的对数称为常用对数，10log N 常记为lg N .② 以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数，log e N 常记为ln N .以后解题时，在没有指出对数的底的情况下，都是指常用对数，如100的对数等于2，即lg1002=.2、对数函数的概念一般地，我们把函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 3、对数函数的图象及其性质a <11))底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称.。
高中数学必修一基本初等函数知识点+练习题含答案解析(非常详细)
第一部分基本初等函数知识点整理第二章 基本初等函数一、指数函数 （一）指数1、 指数与指数幂的运算：复习初中整数指数幂的运算性质： a m *a n =a m+n(a m )n=a mn(a*b)n =a n b n2、根式的概念：一般地，若a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *．当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数。
此时，a 的n 次方根用符号 表示。
当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数。
此时正数a 的正的n 次方根用符号 表示，负的n 的次方根用符号 表示。
正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成 （a>0）。
注意：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n。
当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a nn 式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数。
3、 分数指数幂正数的分数指数幂的)1,,,0(*>∈>=n N n m a a an m nm ，)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义4、 有理数指数米的运算性质（1）r a ·s r ra a+=),,0(R s r a ∈>； （2）rss r a a =)( ),,0(R s r a ∈>；（3）s r r a a ab =)(),,0(R s r a ∈>．5、无理数指数幂一般的，无理数指数幂a a（a>0,a 是无理数）是一个确定的实数。
有理数指数幂的运算性质同样使用于无理数指数幂。
（二）、指数函数的性质及其特点1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．为什么？（1）在[a ，b]上，值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [；（2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； （4）当a>1时，若X 1<X 2 ,则有f(X 1)<f(X 2)。
高中必修一数学第二章_基本初等函数(Ⅰ)ppt课件-人教版
x－13，x＜2.
有两个不同的实根，则实数 k 的取值范围是______．
高中数学
解析：(1)作出
的图象，如
示．再把 f(x)的图象向左平移一个单位长度，可得到 y＝
的图象．故选 B.
高中数学
(2)作出函数 f(x)＝2x，x≥2，
的简图，如图
x－13，x＜2.
方程 f(x)＝k 有两个不同的实根，也就是函数 f(x)的图象 ＝k 有两个不同的交点，所以 0＜k＜1.
• (4)采用数形结合的方法，通过函数的图象解决
高中数学
比较下列各组数的大小：
(1)0.65.1,5.10.6，log0.65.1；
(2)log712，log812；
1
1
1
1
(3) a＝0.22 ，b＝0.32 ，c＝331)因为 0＜0.65.1＜1,5.10.6＞1，log0.65.1＜0，
＋
lg 42－lg 16＋1－lg 14＋log5 35－log
解：(1)原式＝53212
3 ＋
－287－3÷(24)
3 －4
1
＋25 ×
－1
＝53－23－24＋2－1＝－22.
高中数学
1
(2)原式＝(3－3) －3 ＋ lg 42－2lg 4＋1
－lg 4－1＋log5
35 7
＝3＋ lg 4－12＋lg 4＋log5 5 ＝3＋1－lg 4＋lg 4＋1
要题型，主要考查幂函数、指数函数、对数函 与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应 用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、 作商法． • (2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对 可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数 值，然后利用该函数的单调性比较．
人教版数学必修一第二章-基本初等函数复习课共24张PPT(共24张PPT)
4.若loga2＜logb2＜0，则( B )
(A)0＜a＜b＜1
(B)0＜b＜a＜1
(C)1＜b＜a
(D)0＜b＜1＜a
5.方程loga(x+1)+x2＝2(0＜a＜1)的解的个
数是( C ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)无法确定
1.比较下列各组中两个值的大小，并说明 理由.
2．设函数. f (x) = lg(x + x2 +1) (1)确定函数f (x)的定义域； (2)判断函数f (x)的奇偶性； (3)证明函数f (x)在其定义域上是单调 增函数；
5.如图中曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y＝ax，y＝bx， y＝cx，y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是(D )
(A)a＜b＜1＜c＜d (B)a＜b＜1＜d＜c (C)b＜a＜1＜c＜d (D)b＜a＜1＜d＜c
6．已知函数
f (x) = a x -1 ax +1
(a＞1பைடு நூலகம்.
（1）判断函数f (x)的奇偶性； （2）证明f (x)在(－∞，+∞)上是增函数.
1 计算
2 log5 2 + log5 3
log
5
10
+
1 2
log 5
0.36
+
1 3
log 5
8
=1
2 求函数y = log x-1(3 - x)的定义域
3.(lg 2)2 lg 250 + (lg 5)2 lg 40 =
12 换底公式
注意换底公式在对数运算中的作用：
①公式
顺用和逆用；
②由公式和运算性质推得的结论
人教A版高中数学必修1第二章 基本初等函数(1)2.1 指数函数课件(2)
栏目导引
3．设23－2x>0.53x－4，则x的取值范围是 ________． 解析： 23－2x>0.53x－4 ⇒23－2x>24－3x ⇒3－2x>4－3x ⇒x>1. 答案： {x|x>1}
必修1 第二章 基精品本PPT初等函数（I）
栏目导引
4．函数 f(x)＝ax(a>0，且 a≠1)在区间[1,2]上的 最大值比最小值大a2，求 a 的值． 解析： 当 a>1 时，f(x)＝ax 为增函数，在 x∈ [1,2]上， f(x)最大＝f(2)＝a2，f(x)最小＝f(1)＝a， ∴a2－a＝a2，即 a(2a－3)＝0， ∴a＝0(舍)或 a＝32>1，∴a＝32.
必修1 第二章 基精品本PPT初等函数（I）
栏目导引
[题后感悟] 如何判断形如y＝af(x)(a>0且a≠1) 的函数的单调性？
方法一：利用单调性定义比较y1＝af(x1)与y2＝ af(x2)时，多用作商后与1比较． 方法二：利用复合函数单调性：当a>1时，函 数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相同；当 0<a<1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性 相反．
必修1 第二章 基精品本PPT初等函数（I）
必修1 第二章 基精品本PPT初等函数（I）
栏目导引
[解题过程] (1)∵x－1≠0，∴x≠1， ∴函数 y＝3x－1 1的定义域为{x|x≠1}， 又∵x－1 1≠0，∴y≠30＝1. ∴函数的值域为{y|y>0 且 y≠1}， (2)函数的定义域为 R ∵x2－4x＝(x－2)2－4≥－4， y＝12x 在 R 上是减函数 ∴0<12x2－4x≤12－4＝16. ∴函数的值域为(0,16]．
高中数学人教版必修一基本初等函数
必修1 第二章基本初等函数2.1 指数函数 2.1.1 指数与指数幂的运算：①我们已经知道了指数幂的运算关系为，422=、823=、4121222-==、aa-21a 2=为正整数）（等； ②根式：如果a x 2=，那么x 叫做a 的平方根，例如±2就是4的平方根；如果3x =a ，那么x 叫做a 的立方根，例如2就是8的立方根； ③类似地，由于（±2）4=16，那么就把±2叫做16的四次方根；25=32，就把2叫做32的五次方根；④如果x n =a ，那么x 就叫做a 的n 次方根，其中n>1，且n ∈N*(正整数)； 当n 为奇数时，正数的n 次方根为一个正数，负数的n 次方根为一个负数，此时a 的n 次方根用n a 表示，如2(325=（奇数）正数），2-(32-5=（奇数）负数）；当n 为偶数时，正数的n 次方根有2个，一正一负对称，而负数的无意义（因为没有一个数的偶次方结果还是负数）；例如16的4次方根为±2164±=.（0的任何次方都是0）⑤式子n a 叫做根式，这里的n 叫做根指数，a 叫做被开方数。
所以a a nn =）（，例如5522=）（，3-3-55=）（ ⑥分数指数幂：如下例子2552510a a a ==）（、5335315a a a ==）（，通过以上例子我们在数学中推算出nmn ma a =（a>0，m ，n ∈N*，且n>1)此式为分子的指数幂关系。
所以如上面表示2133=。
❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀❀The stupid speak of the past, the wise of the present, and fools of the future！！⑦0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义；理解一下定理：⎪⎩⎪⎨⎧∈>>=∈>=∈>=⨯+),0,0()(3)),,0())(2(),,0()1(Q r b a b a ab Q s r a a a Q s r a a a a rr r rs s r s r s r （;(结合例题自己去验算）如：252212a aa a ==⨯+，352131021342342a a a a a a==⨯=）（）（无理数指数幂的解法：一般的，无理数指数幂n a （a>0,a 是无理数）是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。
人教版高中数学必修一基本初等函数复习课知识总结ppt课件
指数 指数与指数函数
N次方根及其性质 根式及其性质 分数指数幂 有理数指数幂的运算性质 定义
图像及性质
指数函数 基本初等函数 对数与对数函数
定义 运算性质 对数 换底公式 定义 对数函数
图像和性质 幂函数 定义 图像和性质
根式的性质 (1)当 n为奇数时，正数的 n次方根是一个正数，负数的 n次方根是一个负数， n 这时，a的n次方根用符号 表示. a (2)当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正 的n次方根用符号 表示，负的n次方根用符号 n a 表示.正负两个n次方根 可以合写为 n a n a (a＞0) (3)
底数互为倒数 的两个指数函数
1 x y=a ,y=( ) 的函数图像关于 y a
x
轴对称。
2、对数函数y=logax(a＞0且a≠1)的图象和性质：
a＞1 y 0＜a＜1
y
图 象
o ①x∈ (0,+∞) ；
x
② y∈ R;
o ③过定点(1, 0)
x
性 质
④当x＞ 1时,y＞ 0, 0＜ x＜ 1时, y＜ 0
练习：若 2
a
= 5
b
= 1 0,则
1
a
1
b
= _________ __ _ _ _.
课堂例题
例3. ( 1) 已知l g 2 = a ,l g 3 = b ,试用 a ,b表示l o g ; 12 5
(2) 已知l o g a ,b表示l o g . 2 3 = a ,l o g 3 7 = b ,试用 14 56
7．(2009年高考江苏卷改编)函数f(x)＝(a2＋a＋2)x，若 实数m、n满足f(m)＞f(n)，则m、n的大小关系为 ________． 答案：m＞n
高中数学必修一新课标人教版第二章基本初等函数对数函数换底公式-32页文档
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
人 教 A 版 数 学
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
[例1] 计算log2215·log318·log519.
人
教
[分析] 将底统一成以10为底的常用对数
A 版
数
1 11
学
[解析] 原式＝llgg225·llgg38·llgg59
＝(－2lg5)·l(g－2l3gl3gl2g)5·(－2lg3)＝－12.
[分析] (1)可考虑指对互化后换为都是以 36 为底的对数
人
式，然后利用对数的运算法则求解．
教 A
版
(2)∵4＝22,36＝22×33,2×3＝6.故可考虑将条件式取以 6
数 学
为底的对数，然后利用对数的运算法则求解．
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
[解析] 解法1：由3a＝4b＝36得log336＝a，log436＝
A．6次
B．7次
人 教
A
C．8次
D．9次
版
数
[答案] C
学
[解析] 设至少要抽n次
(1－60%)n<0.1%，即(25)N<10－3.
∴n>1－32lg2≈7.6.故选C.
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
人 教 A 版 数 学
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
[例 3] 设 3a＝4b＝36，求2a＋1b的值．
教
C．3
D．－23
A 版 数
学
[答案] A
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
[解析] 因为lg12－lg58＋lg12.5－log89·log278
＝lg2－1－(lg5－lg8)＋lg25－lg2－llgg98·llgg287
人教版高一数学必修一基本初等函数解析
基本初等函数一．【要点精讲】 1．指数与对数运算 （1）根式的概念：①定义：若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。
即若a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且，1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ；2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)0(>±a a n②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a nn =；3）当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a n 。
（2）．幂的有关概念①规定：1）∈⋅⋅⋅=n a a a a n( N *；2）)0(10≠=a a ；n 个 3）∈=-p aa p p(1Q ，4）m a a a n m n m,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a sr sr,0(>=⋅+、∈s Q ）；2）r a aa sr sr ,0()(>=⋅、∈s Q ）；3）∈>>⋅=⋅r b a b a b a rrr ,0,0()( Q ）。
（注）上述性质对r 、∈s R 均适用。
（3）．对数的概念①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ；2）以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ； ②基本性质：1）真数N 为正数（负数和零无对数）；2）01log =a ；3）1log =a a ；4）对数恒等式：N a Na =log 。
③运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 1）N M MN a a a log log )(log +=； 2）N M NMa a alog log log -=； 3）∈=n M n M a na (log log R ）④换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=N m m a a aNN m m a1）1log log =⋅a b b a ；2）b mnb a n a m log log =。
人教A版数学必修一第2章《基本初等函数》(1)(幂函数)备课资料
人教A版数学必修一第2章《基本初等函数》(1)（幂函数）备课资料中学高中数学必修1第2章基本初等函数（1）-4.备课资料（幂函（数字）历史上数学计算方面的三大发明你知道数学计算的三大发明吗？这些是阿拉伯数字、十进制和对数研究自然数遇到的第一个问题是计数法和进位制的问题,我们采用的十进制是中国人的一大发明.在商代中期的甲骨文中已有十进制,其中最大的数是3万,印度最早到六世纪末才有十进制.但是,目前使用的计数法和阿拉伯数字1,2,3,4,5,6,7,8,9,0是印度人最早开始使用,后来传到阿拉伯,由阿拉伯人传到欧洲,并被欧洲人所接受.小数点计数法的诞生是自然数发展史上的一次飞跃。
同一个数因其位置不同而具有不同的值。
无限自然数可以由有限个符号控制，所有自然数都可以轻松清晰地表达出来16世纪前半叶,由于实际的需要,对计算技术的改进提出了前所未有的要求.这一时期计算技术最大的改进是对数的发明和应用,它的产生主要是由于天文和航海计算的迫切需要.为了简化天文航海方面所遇到的繁杂数值计算,自然希望将乘除法归结为简单的加减法.苏格兰数学家纳皮尔(napier,j.1550~1617)在球面天文学的三角学研究中,首先发明了对数方法.1614年他在题为《奇妙的对数定理说明书》一书中,阐述了他的对数方法,对数的使用价值为纳皮尔的朋友――英国数学家布里格斯(birggs,h.1561~1630)所认识,他与纳皮尔合作,并于1624年出版了《对数算术》一书,公布了以10为底的14位对数表,并称以10为底的对数为常用对数.常用对数曾经在简化计算上为人们做过重大贡献,而自然对数以及以e为底的指数函数成了研究科学、了解自然的必不可少的工具.恩格斯曾把对数的发明与解析几何的创始,微积分学的建立并称为17世纪数学的三大成就.法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯曾说:“对数的发明以其节省劳力而延长了天文学家的寿命.”直到一8世纪，瑞士数学家欧拉（l.1707~1783）才发现指数和对数之间的关系。
(完整)高一数学必修一第二章基本初等函数知识点总结,推荐文档
n a n；当 为偶数时，⎨-a2.1.1 指数与指数幂的运算（1）根式的概念第二章基本初等函数知识点整理〖2.1〗指数函数①如果 x n = a , a ∈ R , x ∈ R , n > 1，且 n ∈ N + ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根．当 n 是奇数时， a 的 n 次方根用符号表示；当 n 是偶数时，正数 a 的正的 n 次方根用符号 0；负数 a 没有 n 次方根．表示，负的 n 次方根用符号- n a 表示；0 的n 次方根是②式子na 叫做根式，这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数．当 n 为奇数时， a 为任意实数；当 n 为偶数时， a ≥ 0 ．③根式的性质： ( n a )n = a ；当 n 为奇数时， = a n =| a |= ⎧a⎩(a ≥ 0) ．(a < 0)（2） 分数指数幂的概念m①正数的正分数指数幂的意义是： an= (a > 0, m , n ∈ N +, 且 n > 1) ．0 的正分数指数幂等于 0．②正数的负分a -m= ( )1 m( ) 1(a > 0, m , n ∈ N , n > 1) 注意口诀：数指数幂的意义是：nn = n m+且 ．0 的负分数指数幂没有意义．aa底数取倒数，指数取相反数．（3） 分数指数幂的运算性质① a r ⋅ a s = a r +s (a > 0, r , s ∈ R ) ② (ar )s= a rs (a > 0, r , s ∈ R ) ③ (ab )r = a r b r (a > 0, b > 0, r ∈ R )2.1.2 指数函数及其性质（4） 指数函数函数名称指数函数定义函数 y = a (a > 0且 a ≠ 1) 叫做指数函数a > 1 0 < a < 1图象y 1yOya x(0,1)xya xy 1Oy(0,1)x定义域 R值域 （0,+∞）过定点 图象过定点（0,1），即当 x=0 时，y=1．奇偶性 非奇非偶单调性在 R 上是增函数在 R 上是减函数n a n a nn a m nab〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1） 对数的定义①若 a x = N (a > 0,且a ≠ 1) ，则 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x = log a N ，其中 a 叫做底数， N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化： x = log a N ⇔ a x = N (a > 0, a ≠ 1, N > 0) ．（2） 几个重要的对数恒等式:log a 1 = 0 ， log a a = 1， log a a b = b ．（3） 常用对数与自然对数：常用对数： lg N ， 即log 10 N ；自然对数： ln N ， 即log e N （其中 e = 2.71828 …）．（4） 对数的运算性质如果 a > 0, a ≠ 1, M > 0, N > 0 ，那么①加法： log M + log N = log (MN )②减法： log M - log N = logMaa aaaaN③数乘： n log a M= log a M n (n ∈ R )log aN = NlogM n =nlog M (b ≠ 0, n ∈ R ) log N =log b N(b > 0,且b ≠ 1)⑤a bba⑥换底公式：alog aa ④【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数名称对数函数定义函数y = log a x(a >0 且a≠ 1) 叫做对数函数图象a > 1 0 <a < 1yOx 1(1, 0)y log a xxyOx 1(1, 0)y logaxx定义域(0, +∞)值域R过定点图象过定点(1, 0) ，即当x = 1 时，y = 0 ．奇偶性非奇非偶单调性在(0, +∞) 上是增函数在(0, +∞) 上是减函数函数值的变化情况log a x > 0 (x > 1)log a x = 0 (x = 1)log a x < 0 (0 <x < 1)log a x < 0 (x > 1)log a x = 0 (x = 1)log a x > 0 (0 <x < 1)a 变化对图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低，越靠近 x轴在第四象限内，a 越大图象越靠高，越靠近 y轴在第一象限内，a 越小图象越靠低，越靠近 x 轴在第四象限内，a 越小图象越靠高，越靠近 y 轴(6)反函数的概念设函数y =f (x) 的定义域为A ，值域为C ，从式子y =f (x) 中解出x ，得式子x =( y) ．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子x =(y) ，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x =(y) 表示x 是y 的函数，函数x =(y) 叫做函数y =f (x) 的反函数，记作x =f -1( y) ，习惯上改写成y =f -1(x) ．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式y =f (x) 中反解出x =f -1( y) ；③将x =f -1( y) 改写成y =f -1(x) ，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质q①原函数 y = f (x ) 与反函数 y = f -1(x ) 的图象关于直线 y = x 对称．②函数 y =f (x ) 的定义域、值域分别是其反函数 y = f -1(x ) 的值域、定义域．③若 P (a , b ) 在原函数 y = f (x ) 的图象上，则 P ' (b , a ) 在反函数 y =f -1(x ) 的图象上．④一般地，函数 y =f (x ) 要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1） 幂函数的定义一般地，函数 y = x 叫做幂函数，其中 x 为自变量，是常数．（2） 幂函数的图象（3） 幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于 y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0, +∞) 都有定义，并且图象都通过点(1,1) ．③单调性：如果> 0 ，则幂函数的图象过原点，并且在[0, +∞) 上为增函数．如果< 0 ，则幂函数的图象在(0, +∞) 上为减函数，在第一象限内，图象无限接近 x 轴与 y 轴．④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当= （其中 p , q 互质， p 和 pqqq ∈ Z ），若 p 为奇数 q 为奇数时，则 y = x p 是奇函数，若 p 为奇数 q 为偶数时，则 y = x p是偶函数，若 p 为偶数∆ qq 为奇数时，则 y = x p 是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数 y = x , x ∈(0, +∞) ，当> 1 时，若 0 < x < 1，其图象在直线 y = x 下方，若 x > 1 ，其图象在直线 y = x 上方，当< 1时，若 0 < x < 1，其图象在直线 y = x 上方，若 x > 1 ，其图象在直线 y = x 下方．（1） 二次函数解析式的三种形式〖补充知识〗二次函数①一般式： f (x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) ②顶点式： f (x ) = a (x - h )2 + k (a ≠ 0)③两根式： f (x ) = a (x - x 1 )(x - x 2 )(a ≠ 0)（2） 求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．③若已知抛物线与 x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求 f (x ) 更方便．（3） 二次函数图象的性质2bb 4ac -b 2①二次函数 f (x ) = ax + bx + c (a ≠ 0) 的图象是一条抛物线，对称轴方程为 x = - , 顶点坐标是(- , )②当 a > 0 时，抛物线开口向上，函数在(-∞, -4ac - b 2b ] 上递减，在[- 2a2a b , +∞) 上递增，当 x = - b 时，2a 2a b b2a 4af min (x ) =；当 a < 0 时，抛物线开口向下，函数在(-∞, - ] 上递增，在[- , +∞) 上递减，当 4a 2a 2ax = - b时 ， f (x ) = 2amax4ac - b 2．4a③二次函数 f (x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 当∆ = b 2 - 4ac > 0 时，图象与 x 轴有两个交点M (x ,0), M (x ,0),| M M |=| x - x |= ． 1 1 2 2 1 2 1 2 | a |（4） 一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整， 且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质， 系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 的两实根为 x , x ，且 x≤ x ．令 f (x ) = ax 2 + bx + c ，从以下四个1212b方面来分析此类问题：①开口方向： a②对称轴位置： x = -③判别式： ∆ ④端点函数值符号．2a（5） 二次函数 f (x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 在闭区间[ p , q ] 上的最值b b设f (x) 在区间[ p, q] 上的最大值为M ，最小值为m ，令x0=1 ( p +q)．2（Ⅰ）当a > 0 时（开口向上）b b b b①若-<p ，则m =2af ( p) ②若p ≤-≤q ，则m =2af (-)2a③若->q ，则m =2af (q)①若-2a≤x，则M =f (q) ②- 2a >x0 ，则M =f ( p)(Ⅱ)当a < 0 时(开口向下)b b b b①若-<p ，则M =2af ( p) ②若p ≤-≤q ，则M =2af (-)2a③若->q ，则M =2af (q)①若-2a ≤x0 ，则m = f (q) ②-2a >x0 ，则m =f ( p) ．x0f (-b)2ax0f (-b)2a“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
人教B版高中数学必修一第三章《基本初等函数I》讲解与例题+综合测试(7份).docx
3.4函数的应用(II)QJy I (.Hl / H?S li IJHi E \ J I \ L \1.函数模型所谓数学模型是指对客观实际的特征或数量关系进行抽象概括，用形式化的数学语言表述一种数学结构.数学模型剔除了事物中一切与研究目标无木质联系的各种属性，在纯粹状态下研究数量关系和空间形式，函数就是重要的数学模型，用函数解决方程问题，使求解变得容易进行，这是数学模型间的相互转换在发挥作用.而用函数解决实际问题，则体现了数学模型是联系数学与现实世界的桥梁.本节涉及的函数模型有：⑴指数函数模型：y=G//+c(b>0, bHl, aHO),当b>\, d>0时，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，常形象地称为指数爆炸.(2)对数函数模型:y=mlog(l x+n(m^O f a>0, aHl),当aAl,加>0时，其增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢.(3)帚函数模型：y=a-x n+b(a^O),其中最常见的是二次函数模型y=ax2+bx~\~c(a0), 当d>0时，其特点是随着自变量的增大，函数值先减小，后増大.在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图彖的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等.【例1 — 1】据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%,如果按此速度，设2012年的冬季冰雪覆盖面积为加，从2012年起，经过兀年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积)，与x的函数关系式是()A. ^=0.9550 -mB. >,=(l-O.O55O)-mC. y=0.9550_x-/?zD. y=(l-O.O55O_v)-/n解析：设每年的冰雪覆盖面积减少率为d.・・・50年内覆盖面积减少了5%,1・・・(1—a)5°=l—5%,解得0=1 — 0.9550.1 △・••从2012年起，经过x年后，冰雪覆盖面积尸加1一(1一0.95巧F二加095込答案：A【例1一2】某公司为应对金融危机的影响，拟投资100万元，有两种投资可供选择：一种是年利率1%,按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率3%,按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息.哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)分析：这是一个单利和复利所获得收益多少的比较问题.可先按单利和复利讣算5年后的本利和分别是多少，再通过比较作答.解：本金100万元，年利率1%,按单利计算，5年后的本利和是100X(l + l%X5) = 105(万元).本金100万元，年利率3%,按每年复利一次计算，5年后的本利和是100X(1 + 3%『a 115.93(万元).由此可见按年利率3%每年复利一次投资要比按年利率1%单利投资更有利，5年后多得利息约10.93万元.谈重点利息的计算利息分单利和复利两种.单利是只有木金牛息，利息不再牛息，而复利是把前一期的本利 和作为本金再牛息，两种情况要注意区分.我国现行定期储蓄中的自动转存业务类似复利计•息的储蓄，如某人存入本金。
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此文档下载后即可编辑一．【要点精讲】 1．指数与对数运算 （1）根式的概念：①定义：若一个数的 n 次方等于 a （n1,且 nx na ，则x 称a 的n 次方根 n 1且n N ），1）当 n 为奇数时， a 的n 次方根记作 na ；2）当 n 为偶数时，负数 a 没有 n 次方根，而正数 a 有两个 n 次方根且互为相反数，记作 na （a 0）（2）．幂的有关概念①规定： 1） a n a a a （n N *；2） a 01（a 0）；na m(a 0,m 、n N *且 n 1)0,r 、 s Q)；2)(a r)sa r s(a 0,r 、s Q)； 3) (a b)ra rb r(a 0,b 0,r Q)。
（注）上述性质对 r 、 s R 均适用。
（3）．对数的概念①定义：如果 a （a 0,且a 1） 的 b 次幂等于 N ，就是 a bN ，那么数 b 称以 a 为底 N 的 对数，记作 log a N b,其中a 称对数的底， N 称真数1）以 10为底的对数称常用对数， log 10 N 记作lg N ；基本初等函数n个m3) a p1 1(p Q ，4）a na p②性质：1) a r a sa rs(aN ） ，则这个数称 a 的 n 次方根。
即若3）当 n 为偶数时， na |a|a(a 0) 。
a(a 0)2）以无理数e（e 2.71828 ）为底的对数称自然对数，log e N ，记作ln N ；②基本性质：1）真数 N 为正数（负数和零无对数） ；2） log a 1 0 ； 3） log a a 1 ；4）对数恒等式： alogaNN 。
③运算性质：如果 a 0,a 0,M 0, N 0, 则 1) log a (MN ) log a M log a N ； 2) log a Mlog a M log a N ； aN a a3) log a M nn log a M (n R) ④换底公式： log a Nlog m N(a 0,a 0,m 0, m 1, N 0), log m a1) log a b log b a 1；2)log a m b n nlog a b 。
m2．指数函数与对数函数 (1) 指数函数：①定义：函数 y a x（a 0,且a 1） 称指数函数， 1）函数的定义域为 R ；2）函数的值域为 （0, ） ； 1时函数为减函数，当 a 1 时函数为增函数。
1）指数函数的图象都经过点（ 0， 1），且图象都在第一、二象限；2）指数函数都以 x 轴为渐近线（当 0 a 1时，图象向左无限接近 x 轴，当 a 1时，图 象向右无限接近 x 轴）；3）对于相同的 a （a 0,且a 1），函数 y a x与y a x的图象关于 y 轴对称③函数值的变化特征：（2）对数函数：3）当 0 a ②函数图3）当0 a 1时函数为减函数，当a 1 时函数为增函数；4）对数函数y log a x与指数函数y a x（a 0,且a 1）互为反函数②函数图像：1）对数函数的图象都经过点（ 0， 1），且图象都在第一、四象限；2）对数函数都以y 轴为渐近线（当0 a 1时，图象向上无限接近y 轴；当a 1时，图象向下无限接近y 轴）；4）对于相同的a（a 0,且a 1），函数y log a x与y log 1x的图象关于x轴对称。
a③函数值的变化特征：（3）幂函数1）掌握 5 个幂函数的图像特点2）a>0 时，幂函数在第一象限内恒为增函数，a<0时在第一象限恒为减函数3）过定点（ 1，1）当幂函数为偶函数过（ -1,1 ）, 当幂函数为奇函数时过（ -1，-1 ）当 a>0 时过（ 0， 0）4）幂函数一定不经过第四象限四．【典例解析】 题型 1：指数运算点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运 算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；一般的进行指数幂运算时， 化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序。
x 211解：∵ x 2 x 23 ，11∴ (x 2 x 2)29 ， ∴x 2 x 19， ∴x x 17，12∴ (x x 1) 249，22∴x x 47 ，例 1．（ 1）计算： 3 [(33823(594)0.5 2 (0.008)3 11(0.02) 2 (0.32) 2]0.06250.25 ；4a 3 2)化简：2a4b 3 23ab18a 3b2 a 32(a323 b ) a82解：(1)原式 =[( 8 ) 31(499)1210002)3504 2] 10 ]1(10602050)14[94 73 251 524 2] 10 ]1792) 2；；92 )原式 = (a 3) 1a 3[(a 3)3(2b )] 1a 3 12b 31 a 3112(2b 3 )21a 3)2 1 1 1(a 2a 3)5(a1 1 1a 3 (a 3 2b 3 )a 11a 3 2b 35 a6 1 a 61a 32a 31例 2．（1）已知x 2x 23 ，求 3x 22的值3311又∵ x 2x 2(x 2x 2) (x 1 x 1) 3 (7 1)18 ，22 x x 2472 3。
3 ∴3 3x 2x 2 318点评：本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。
题型 2：对数运算(2).( 江苏省南通市 2008 届高三第二次调研考试 )幂函数 y f(x) 的图象经过点 ( 2, 1) ，则满足 f(x)＝27的 x 的值是 .8 答案 13例 3．计算2(1) (lg 2)2lg2 lg50 lg 25 ；(2) (log 3 2 log 92) (log 4 3 log 83)；(3)lg5 lg 8000 (lg2 3)2(3)1 1lg 600 lg 0.036 lg0.12222解：(1)原式 (lg 2)2 (1 lg5)lg 2 lg52(lg2 lg5 1)lg 2 2lg536 1 6分母=(lg 6 2) lg lg6 2 lg 4；1000 10 100原式 =3。
4 点评：这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数 式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变 换的各种技巧例 4．设 a 、 b 、 c 为正数，且满足 a 2b 2c 2(1 1)lg 2 2lg52(lg 2 lg5) 2 ； 2)原式(lg2 lg2) (lg3 lg3) (lg2 lg2 ) ( lg3 lg3 )(lg3 lg9) (lg4 lg8) (lg3 2lg3 ) (2lg 2 3lg2)3lg 2 5lg 3 52lg 3 6lg 23)分子 =lg5(3 3lg2) 3(lg 2)23lg5 3lg 2(lg5 lg2) 3；(1)求证：log 2 (1 b c) log 2 (1 a c) 1 ；b1(2)若 log 4 (1 b c) 1， log 8(a b c) a 证明：(1)左边 log 2 a b c 2aa log 22，求 a 、 b 、 c 的值。
3 bc log 2( b a b c a b c a b cab bc ) log 2 ab log 2ablog 2ab 解：(2) 由 lo g 4(1 bc )bc1得14，a a∴ 3a b c 0⋯①2c22ab c 2 a 22ab b 2 c 22c log 2 21； 由log 8 (ac) 23得 a b283 4由① ②得 b a2由①得 c 3a b ，代入 a 2 b 2 c 2得2a(4a 3b) 0， ∵ a 0， 由③、④解得 a 6， b 8，从而 c 10。
点评：对于含对数因式的证明和求值问题，还是以对数运算法则为主，将代数式化简到最 见形式再来处理即可。
题型 3：指数、对数方程 例 5． (江西师大附中 2009 届高三数学上学期期中 ) x 2x bx12 x 1a 4a 3b 0已知定义域为 R 的函数 f(x)是奇函数 .1) 2) 求 a,b 的值； 若对任意的 t R ，不等式 f (t 22t) f (2t 2 1) 因为 f(x) 是 R 上的奇函数，所以 f (0)从而有 f (x) 11. 又由 f (1) f ( a k) 0 恒成立，求 k 的取值范围 .0,即 1 b2a1 2 1a 0,解得 b 1 2 x 1 x1(2)解法一：由( 1)知 f (x) x 12x 12 由上式易知 f (x)在R 上为减函数，又因 f (x) f(t 2 因 f(x)是 R 上的减函数，由上式推得 t 22 2t) f (2t 2 k) 0等价于 f(t 2 2 2 1)知 2 4a 11 x2 2 x1 是奇函数，从而不等式 f (2t2 2t 2 1 ，解得 a 2 即对一切 t R 有 3t 22t k 0, 从而 解法二：由( 1)知f(x)2 x 12x 12t 22t 又由题设条件得 22t2 2t 12t 2t 1 2 即 (22t 2 k 12)( 2t2 2t 1)2t) 2t12k 2 22t k1 22t2k 1 2 (2t2 2t 12)( 22t2 kk) k. 0,解得k 1) 0f ( 2t 2 k).整理得 23t2 2t k1，因底数 2>1，故 3t 2 2t k 01上式对一切 t R 均成立，从而判别式 4 12k 0,解得 k.3例 6．( 2008 广东 理 7)设 a R ，若函数 yax e 3x ， x R 有大于零的极值点，则( B )A ． a 3B ． a 3 1 Ca D ． a13 3【解析】 f '(x) 3 ax ae ， 若函数在 x R 上有大于零的极值点，即 f '(x) 3 ae ax 0 有正根。
当有 f '(x) 3 ax ae 0 成立时 1 , 显然有 a 0, 此时 x 3 ln( ) ，由 x 0 我们a a上就能得到参数 a 的范围为 a 3点评：上面两例是关于含指数式、对数式等式的形式，解题思路是转化为不含指数、对数 因式的普通等式或方程的形式，再来求解。
题型 4：指数函数的概念与性质(2)当0<a <1时，由0 x 1 x 2，有0 a x1 a x2 ，a x1 x21，所以 f(x 2) f(x 1) 0， 即 f (x )在［0 ，+∞］上单调递增。