人教版高一数学必修一基本初等函数解析(完整资料)

此文档下载后即可编辑

一．【要点精讲】 1．指数与对数运算 （1）根式的概念：

①定义：若一个数的 n 次方等于 a （n

1,且 n

x n

a ，则x 称a 的n 次方根 n 1且n N ），

1）当 n 为奇数时， a 的n 次方根记作 n

a ；

2）当 n 为偶数时，负数 a 没有 n 次方根，而正数 a 有两个 n 次方根且互为相反数，记作 n

a （a 0）

（2）．幂的有关概念

①规定： 1） a n a a a （n N *

；2） a 0

1（a 0）；

n

a m

(a 0,m 、n N *

且 n 1)

0,r 、 s Q)；

2)(a r

)s

a r s

(a 0,r 、s Q)； 3) (a b)r

a r

b r

(a 0,b 0,r Q)。 （注）上述性质对 r 、 s R 均适用。 （3）．对数的概念

①定义：如果 a （a 0,且a 1） 的 b 次幂等于 N ，就是 a b

N ，那么数 b 称以 a 为底 N 的 对数，记作 log a N b,其中a 称对数的底， N 称真数

1）以 10为底的对数称常用对数， log 10 N 记作lg N ；

基本初等函数

n

个

m

3) a p

1 1

(p Q ，

4）

a n

a p

②性质：

1) a r a s

a r

s

(a

N ） ，则这个数称 a 的 n 次方根。即若

3）当 n 为偶数时， n

a |a|

a(a 0) 。

a(a 0)

2）以无理数e（e 2.71828 ）为底的对数称自然对数，log e N ，记作ln N ；

②基本性质：

1）真数 N 为正数（负数和零无对数） ；2） log a 1 0 ； 3） log a a 1 ；4）对数恒等式： a

logaN

N 。

③运算性质：如果 a 0,a 0,M 0, N 0, 则 1) log a (MN ) log a M log a N ； 2) log a M

log a M log a N ； a

N a a

3) log a M n

n log a M (n R) ④换底公式： log a N

log m N

(a 0,a 0,m 0, m 1, N 0), log m a

1) log a b log b a 1；2)log a m b n n

log a b 。

m

2．指数函数与对数函数 (1) 指数函数：

①定义：函数 y a x

（a 0,且a 1） 称指数函数， 1）函数的定义域为 R ；2）函数的值域为 （0, ） ； 1时函数为减函数，当 a 1 时函数为增函数。

1）指数函数的图象都经过点（ 0， 1），且图象都在第一、二象限；

2）指数函数都以 x 轴为渐近线（当 0 a 1时，图象向左无限接近 x 轴，当 a 1时，图 象向右无限接近 x 轴）；

3）对于相同的 a （a 0,且a 1），函数 y a x

与y a x

的图象关于 y 轴对称

③函数值的变化特征：

（2）对数函数：

3）当 0 a ②函数图

3）当0 a 1时函数为减函数，当a 1 时函数为增函数；

4）对数函数y log a x与指数函数y a x（a 0,且a 1）互为反函数②函数图像：

1）对数函数的图象都经过点（ 0， 1），且图象都在第一、四象限；

2）对数函数都以y 轴为渐近线（当0 a 1时，图象向上无限接近y 轴；当a 1时，图象向下无限接近y 轴）；

4

）对于相同的a（a 0,且a 1），函数y log a x与y log 1x的图象关于x轴对称。

a

③函数值的变化特征：

（3）幂函数

1）掌握 5 个幂函数的图像特点

2）a>0 时，幂函数在第一象限内恒为增函数，a<0时在第一象限恒为减函数

3）过定点（ 1，1）当幂函数为偶函数过（ -1,1 ）, 当幂函数为奇函数时过（ -1，-1 ）当 a>0 时过（ 0， 0）

4）幂函数一定不经过第四象限

四．【典例解析】 题型 1：指数运算

点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运 算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；一般的进行指数幂运算时， 化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序。

x 2

11

解：∵ x 2 x 2

3 ，

11

∴ (x 2 x 2)2

9 ， ∴x 2 x 1

9， ∴x x 1

7，

12

∴ (x x 1) 2

49，

22

∴

x x 47 ，

例 1．（ 1）计算： 3 [(3

38

2

3(594)0.5 2 (0.008)

3 11

(0.02) 2 (0.32) 2

]

0.06250.25 ；

4

a 3 2)化简：

2

a

4b 3 23

ab

1

8a 3

b

2 a 3

2

(a

3

23 b ) a

82

解：(1)原式 =[( 8 ) 3

1

(499)

1

2

1000

2

)3

50

4 2

] 10 ]

1

(10602050

)14

[94 7

3 25

1 52

4 2

] 10 ]

17

9

2) 2

；

；

9

2 )原式 = (a 3

) 1

a 3

[(a 3

)3

(2b )] 1

a 3 1

2b 3

1 a 3

11

2

(2b 3 )

21

a 3)2 1 1 1

(a 2

a 3

)5

(a

1 1 1

a 3 (a 3 2

b 3 )

a 11

a 3 2

b 3

5 a

6 1 a 6

1

a 3

2

a 3

1

例 2．（1）已知

x 2

x 2

3 ，求 3

x 2

2

的值