第三讲、 机械波的几个概念及平面波
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2.求波速u或波长λ
3. 写出波动方程
y Acos[(t x ) ] Acos[2 π( t x ) ]
u
T
例1 一平面简谐波以速度 u 20沿m直/ 线s 传播,波线上点 A
的简谐运动方程
yA (310-2.m) cos(4 π s-1)t
y Acos[(t - x) ] Acos[2 π( t - x ) ]
三 波长 波的周期和频率 波速
Ay
u
O
x
-A
波长 ：沿波的传播方向，两个相邻的、相位差为
的振动质2点π之间的距离，即一个完整波形的长度.
周期 T：波前进一个波长的距离所需要的时间.
频率 ：周期的倒数，即单位时间内波动所传播
的完整波的数目.
1 T
u 波速 ：波动过程中，某一振动状态（即振动相位）单位时
波源
机
+
弹性作用
械
介质
波
注意
波是运动状态的传播，介质的质点并 不随波传播.
二 横波与纵波 横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波. （仅在固体中传播 ）
➢ 特征：具有交替出现的波峰和波谷.
纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波. （可在固体、液体和气体中传播）
➢ 特征：具有交替出现的密部和疏部.
yO Acost
点 O振动了t时间,
振动传到P点需时间t0=x/u
点P只振动了t-t0时
间
Acos(t - x) u
t-x/u时刻点O 的振动状态
t 时刻点 P 的振动状态
点P 振动方程
yP
A c os (t
-
x) u
➢ 波函数
y Acos(t - x)
u
任何一个位置质点的振动都是在重复波源的振动； 振动的方向：上波下动。（沿着波传播的方向观察）
(310-2 m) cos[(4 π s-1)t -
]
9
π]
5
4）分别求出 BC ，CD 两点间的相位差
yA (310-2 m) cos(4 π s-1)t
u
8m 5m 9m
10m
C
B oA
Dx
B
-C
-2π
xB
- xC
-2π
8 10
-1.6π
C
-D
-2π
xC
- xD
-2π
- 22 10
4.4π
讨 论 1）给出下列波函数所表示的波的传播方向和
点的x初相0 位.
y -Acos2π ( t - x )
T
(向x 轴正向传播
,
π)
y - Acos (-t - x) (向x 轴负向传播 , π )
y Acos[(t - x) ] Acos[2 π( t - x ) ]
u
u
波动—振动在空间的传播过程.
（水波）
振动是激发波动的波源.
波动
机械波 机械振动在弹性介质中的传播. 电磁波 交变电磁场在空间的传播.
两
类 ❖机械波传播介质—弹性
波 的
介质
不
同 之 处
❖电磁波传播介质—电磁 场
两 类
能量传播
波 的 共
反射 折射
同 干涉
特 征
衍射
一 机械波的形成 机械波：机械振动在弹性介质中的传播. 产生条件：1）波源；2）弹性介质.
y(x,t) y(x ,t)（波具有空间的周期性）
1
(t
-
x1 ) u
2π
(t T
-
x1 )
波程差
2
(t
-
x2 u
)
2π
(t T
-
x2
)
x21 x2 - x1
12
1
-2
2π
x2 -
x1
2π
x21
2π x
x,t 3 若 均变化，波函数表示波形沿传播方向的运动
情况（行波）.
yu
t 时刻
例9-1 一平面谐波，波动方程为 y＝0.03cos(4πt－0.05x) m，t的单位是s，试问该列波向哪个 方向传播？其波长、频率、振幅、传播速度各为多少？
解 因为x前为“－”，所以此波向x轴正方向传播
y Acos[(t - x) ] 0.03cos[4 (t - x )] (m)
u
80
振幅： A 0.03 m
y(x,t) Acos(t - kx )
➢ 质点的振动速度，加速度
波数 k 2π
v y - A sin[(t - x ) ]
t
u
a
2 y t 2
- A 2
cos[(t
-
x)]
u
二 波函数的物理意义
y Acos[(t - x) ] Acos[2 π( t - x ) ]
u
T
1 当 x 固定时， 波函数表示该点的简谐运动方程，并
t t 时刻
O
xx
x
同一位相
y Acos2π ( t - x )
T
(t, x) (t t, x x)
2π ( t - x) 2π (t t - x x) t x x ut
T
T T
三 波动方程求法（做题思路）
1. 求坐标原点的运动方程（即原点的振动方程）
y Acos(t )
频率： 4 2 (Hz) 2 2
波速：u 80 251.2 (m s-1)
波长： u 251.2 125.6 (m) 2
如图所示，一平面简谐波沿OX轴正向传播，波速大小为u，若P处质点的振动
方程为 yP Acos(t ) ，求
（1）O处质点的振动方程； （2）该波的波动表达式 （3）与P处质点振动状态相同的哪些质点的位置
a、b、c 各点振动初相
位.
(- π，π]
t =0 A y
Oa
-A
A
O
y o π
O
A
O
y
a
π 2
O A
u
b c
A
y
y
t=T/4
x
b 0
c
-π 2
练习1 一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播， 已知振
幅 质点A位于1平.0衡m，位置T沿O2y.，0轴s正方向 运2..动0在m. 求 时t 坐标0 原点处的
y
如果原点的初 相位不为零
A
u
O
x 0, 0 - A
x
点 O 振动方程
yO Acos(t )
波 y Acos[(t - x) ] u沿 x轴正向
函 数
u
y Acos[(t x) ] u沿 x轴负向
u
➢ 波动方程的其它形式
y(x,t) Acos[2 π( t - x) ]
Tλ
T
2）平面简谐波的波函数为 y Acos(Bt - Cx式)
中 A, B为,C正常数，求波长、波速、波传播方向上相距为
的两点间的相位d差.
y Acos(Bt - Cx)
y Acos2 π ( t - x )
T
2π T 2π
C
B
u B
TC
2π d dC
3 ） 如图简谐波以 余弦函数表示，求 O、
u
yA (310-2 m) cos(4 π s-1)t
8m 5m 9m
10m
C
B oA
Dx
点
C
的相位比点 A 超前
yC (310-2
(310-2
m) cos[(4 π s-1)t m) cos[(4 π s-1)t
2 π AC
13
π]
]
点 D Hale Waihona Puke Baidu相位落后于点 A
5
y
D
(310-2m)cos[(4 π s-1 )t - 2 π AD
标为 y）随时间的变化关系，即
称为波函y数(x. ,t)
y y(x,t)
各质点相对平衡位 置的位移
波线上各质点平 衡位置
➢ 简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作简谐运动 时，在介质中所形成的波.
➢ 平面简谐波：波面为平面的简谐波.
以速度u 沿
x 轴正向传播的平
面简谐波 . 令原点O 的初相为零，其振动 方程
相同，导致发射波长不同
1
u1
1
340m s-1 200Hz
1.7
m
2
u1
2
0.17
m
在水中的波长
同一个体、发声频率相同，不同介质传播速度 不同，导致发射波长不同。
1
u2
1
1450m s-1 200Hz
7.25 m
2
u2
2
0.725 m
一 平面简谐波的波函数
介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的位移（坐
四 波线 波面 波前
波前
波面
*
球面波
波线
平面波
u 速
例1 在室温下，已知空气中的声速 为1450 m/s ，求频率为200 Hz和2000
H为z3的40声1m波/s，在水空中气的中声和
u 水中的波长各为多2 少？
解 由 u，频率为200 Hz和2000 Hz 的声波在
空气中的波长
不同个体发声频率不同，同一介质传播速度
u
T
u
8m 5m 9m
C
B oA
Dx
1）以 A 为坐标原点，写出波动方程
A 310-2 m T 0.5s 0 uT 10m
y Acos[2π ( t - x ) ] T
y (310-2 m) cos2π ( t - x ) 0.5s 10m
2）以 B 为坐标原点，写出波动方程
yA (310-2 m) cos(4 π s-1)t
1）波动方程
2）求 t 1.0波s形图.
3） x 0.5m处质点的振动规律并做图 .
练习
在机械波中有： [ ] A．各质点都在各自的平衡位置附近振动。 B．相邻质点间必有相互作用力。 C．前一质点的振动带动相邻的后一质点的振动， 后一质点的振动必落后于前一质点。 D．各质点也随波的传播而迁移
ABC
给出该点与点 O 振动的相位差.
- x -2 π x
u
λ
y(x,t) y(x,t T )（波具有时间的周期性）
波线上各点的简谐运动图
y Acos[(t - x) ] Acos[2 π( t - x ) ]
u
T
t 2 当 一定时，波函数表示该时刻波线上各点相对其平
衡位置的位移，即此刻的波形.
间内所传播的距离（相速）。
u
T
u Tu
注意
周期或频率只决定于波源的振动! 波速只决定于媒质的性质！
u 波速 与介质的性质有关， 为介质的密度.
u
固体
u
液、气体 u
G 切变模量
E 弹性模量
K体积模量
横波 纵波
如声音的传播速度
343 m s 空气，常温 4000 m s 左右，混凝土
u
8m 5m 9m
C oB A
Dx
B比A靠前，所以为正值
B - A -2π
xB - xA
-2π - 5 10
π
B π yB (310-2 m) cos[(4π s-1)t π ]
y (310-2 m) cos[2π ( t - x ) π ] 0.5s 10m
3）写出传播方向上点C、点D 的简谐运动方程
（1）O处质点的振动方程；
yO
A cos[ (t
-
L) ]
u
（2）该波的波动表达式
y Acos[(t - x L) ]
u
（3）与P处质点振动状态相同的哪些质点的位置
[(t - x L ) ] -[t ] 2k
u
x L x -L - k 2 u (k 0, 1, 2, 3,...)
3. 写出波动方程
y Acos[(t x ) ] Acos[2 π( t x ) ]
u
T
例1 一平面简谐波以速度 u 20沿m直/ 线s 传播,波线上点 A
的简谐运动方程
yA (310-2.m) cos(4 π s-1)t
y Acos[(t - x) ] Acos[2 π( t - x ) ]
三 波长 波的周期和频率 波速
Ay
u
O
x
-A
波长 ：沿波的传播方向，两个相邻的、相位差为
的振动质2点π之间的距离，即一个完整波形的长度.
周期 T：波前进一个波长的距离所需要的时间.
频率 ：周期的倒数，即单位时间内波动所传播
的完整波的数目.
1 T
u 波速 ：波动过程中，某一振动状态（即振动相位）单位时
波源
机
+
弹性作用
械
介质
波
注意
波是运动状态的传播，介质的质点并 不随波传播.
二 横波与纵波 横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波. （仅在固体中传播 ）
➢ 特征：具有交替出现的波峰和波谷.
纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波. （可在固体、液体和气体中传播）
➢ 特征：具有交替出现的密部和疏部.
yO Acost
点 O振动了t时间,
振动传到P点需时间t0=x/u
点P只振动了t-t0时
间
Acos(t - x) u
t-x/u时刻点O 的振动状态
t 时刻点 P 的振动状态
点P 振动方程
yP
A c os (t
-
x) u
➢ 波函数
y Acos(t - x)
u
任何一个位置质点的振动都是在重复波源的振动； 振动的方向：上波下动。（沿着波传播的方向观察）
(310-2 m) cos[(4 π s-1)t -
]
9
π]
5
4）分别求出 BC ，CD 两点间的相位差
yA (310-2 m) cos(4 π s-1)t
u
8m 5m 9m
10m
C
B oA
Dx
B
-C
-2π
xB
- xC
-2π
8 10
-1.6π
C
-D
-2π
xC
- xD
-2π
- 22 10
4.4π
讨 论 1）给出下列波函数所表示的波的传播方向和
点的x初相0 位.
y -Acos2π ( t - x )
T
(向x 轴正向传播
,
π)
y - Acos (-t - x) (向x 轴负向传播 , π )
y Acos[(t - x) ] Acos[2 π( t - x ) ]
u
u
波动—振动在空间的传播过程.
（水波）
振动是激发波动的波源.
波动
机械波 机械振动在弹性介质中的传播. 电磁波 交变电磁场在空间的传播.
两
类 ❖机械波传播介质—弹性
波 的
介质
不
同 之 处
❖电磁波传播介质—电磁 场
两 类
能量传播
波 的 共
反射 折射
同 干涉
特 征
衍射
一 机械波的形成 机械波：机械振动在弹性介质中的传播. 产生条件：1）波源；2）弹性介质.
y(x,t) y(x ,t)（波具有空间的周期性）
1
(t
-
x1 ) u
2π
(t T
-
x1 )
波程差
2
(t
-
x2 u
)
2π
(t T
-
x2
)
x21 x2 - x1
12
1
-2
2π
x2 -
x1
2π
x21
2π x
x,t 3 若 均变化，波函数表示波形沿传播方向的运动
情况（行波）.
yu
t 时刻
例9-1 一平面谐波，波动方程为 y＝0.03cos(4πt－0.05x) m，t的单位是s，试问该列波向哪个 方向传播？其波长、频率、振幅、传播速度各为多少？
解 因为x前为“－”，所以此波向x轴正方向传播
y Acos[(t - x) ] 0.03cos[4 (t - x )] (m)
u
80
振幅： A 0.03 m
y(x,t) Acos(t - kx )
➢ 质点的振动速度，加速度
波数 k 2π
v y - A sin[(t - x ) ]
t
u
a
2 y t 2
- A 2
cos[(t
-
x)]
u
二 波函数的物理意义
y Acos[(t - x) ] Acos[2 π( t - x ) ]
u
T
1 当 x 固定时， 波函数表示该点的简谐运动方程，并
t t 时刻
O
xx
x
同一位相
y Acos2π ( t - x )
T
(t, x) (t t, x x)
2π ( t - x) 2π (t t - x x) t x x ut
T
T T
三 波动方程求法（做题思路）
1. 求坐标原点的运动方程（即原点的振动方程）
y Acos(t )
频率： 4 2 (Hz) 2 2
波速：u 80 251.2 (m s-1)
波长： u 251.2 125.6 (m) 2
如图所示，一平面简谐波沿OX轴正向传播，波速大小为u，若P处质点的振动
方程为 yP Acos(t ) ，求
（1）O处质点的振动方程； （2）该波的波动表达式 （3）与P处质点振动状态相同的哪些质点的位置
a、b、c 各点振动初相
位.
(- π，π]
t =0 A y
Oa
-A
A
O
y o π
O
A
O
y
a
π 2
O A
u
b c
A
y
y
t=T/4
x
b 0
c
-π 2
练习1 一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播， 已知振
幅 质点A位于1平.0衡m，位置T沿O2y.，0轴s正方向 运2..动0在m. 求 时t 坐标0 原点处的
y
如果原点的初 相位不为零
A
u
O
x 0, 0 - A
x
点 O 振动方程
yO Acos(t )
波 y Acos[(t - x) ] u沿 x轴正向
函 数
u
y Acos[(t x) ] u沿 x轴负向
u
➢ 波动方程的其它形式
y(x,t) Acos[2 π( t - x) ]
Tλ
T
2）平面简谐波的波函数为 y Acos(Bt - Cx式)
中 A, B为,C正常数，求波长、波速、波传播方向上相距为
的两点间的相位d差.
y Acos(Bt - Cx)
y Acos2 π ( t - x )
T
2π T 2π
C
B
u B
TC
2π d dC
3 ） 如图简谐波以 余弦函数表示，求 O、
u
yA (310-2 m) cos(4 π s-1)t
8m 5m 9m
10m
C
B oA
Dx
点
C
的相位比点 A 超前
yC (310-2
(310-2
m) cos[(4 π s-1)t m) cos[(4 π s-1)t
2 π AC
13
π]
]
点 D Hale Waihona Puke Baidu相位落后于点 A
5
y
D
(310-2m)cos[(4 π s-1 )t - 2 π AD
标为 y）随时间的变化关系，即
称为波函y数(x. ,t)
y y(x,t)
各质点相对平衡位 置的位移
波线上各质点平 衡位置
➢ 简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作简谐运动 时，在介质中所形成的波.
➢ 平面简谐波：波面为平面的简谐波.
以速度u 沿
x 轴正向传播的平
面简谐波 . 令原点O 的初相为零，其振动 方程
相同，导致发射波长不同
1
u1
1
340m s-1 200Hz
1.7
m
2
u1
2
0.17
m
在水中的波长
同一个体、发声频率相同，不同介质传播速度 不同，导致发射波长不同。
1
u2
1
1450m s-1 200Hz
7.25 m
2
u2
2
0.725 m
一 平面简谐波的波函数
介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的位移（坐
四 波线 波面 波前
波前
波面
*
球面波
波线
平面波
u 速
例1 在室温下，已知空气中的声速 为1450 m/s ，求频率为200 Hz和2000
H为z3的40声1m波/s，在水空中气的中声和
u 水中的波长各为多2 少？
解 由 u，频率为200 Hz和2000 Hz 的声波在
空气中的波长
不同个体发声频率不同，同一介质传播速度
u
T
u
8m 5m 9m
C
B oA
Dx
1）以 A 为坐标原点，写出波动方程
A 310-2 m T 0.5s 0 uT 10m
y Acos[2π ( t - x ) ] T
y (310-2 m) cos2π ( t - x ) 0.5s 10m
2）以 B 为坐标原点，写出波动方程
yA (310-2 m) cos(4 π s-1)t
1）波动方程
2）求 t 1.0波s形图.
3） x 0.5m处质点的振动规律并做图 .
练习
在机械波中有： [ ] A．各质点都在各自的平衡位置附近振动。 B．相邻质点间必有相互作用力。 C．前一质点的振动带动相邻的后一质点的振动， 后一质点的振动必落后于前一质点。 D．各质点也随波的传播而迁移
ABC
给出该点与点 O 振动的相位差.
- x -2 π x
u
λ
y(x,t) y(x,t T )（波具有时间的周期性）
波线上各点的简谐运动图
y Acos[(t - x) ] Acos[2 π( t - x ) ]
u
T
t 2 当 一定时，波函数表示该时刻波线上各点相对其平
衡位置的位移，即此刻的波形.
间内所传播的距离（相速）。
u
T
u Tu
注意
周期或频率只决定于波源的振动! 波速只决定于媒质的性质！
u 波速 与介质的性质有关， 为介质的密度.
u
固体
u
液、气体 u
G 切变模量
E 弹性模量
K体积模量
横波 纵波
如声音的传播速度
343 m s 空气，常温 4000 m s 左右，混凝土
u
8m 5m 9m
C oB A
Dx
B比A靠前，所以为正值
B - A -2π
xB - xA
-2π - 5 10
π
B π yB (310-2 m) cos[(4π s-1)t π ]
y (310-2 m) cos[2π ( t - x ) π ] 0.5s 10m
3）写出传播方向上点C、点D 的简谐运动方程
（1）O处质点的振动方程；
yO
A cos[ (t
-
L) ]
u
（2）该波的波动表达式
y Acos[(t - x L) ]
u
（3）与P处质点振动状态相同的哪些质点的位置
[(t - x L ) ] -[t ] 2k
u
x L x -L - k 2 u (k 0, 1, 2, 3,...)