资本资产定价模型的推导

资本资产定价模型的推导

考虑市场投资组合M 和任一给定的风险证券K 构成的投资组合P ：

M M K K W R W R +，有：()()()P M M K K E R W E R W E R =+，222222P

M M K K M K MK M K W W W W σσσρσσ=++。可以形成“,E σ”平面的一条曲线。

首先，由于R F M 是最佳投资组合线，那么KM 必然与R F M 相切，否则KM 的组合不可能是最佳的。 其次，求出KM 在M 点的切线的斜率。 ()()()()(1)()P M M K K K K K M E R W E R W E R W E R W E R =+=+-

2222222222(1)2(1)P M M K K M K MK M K

K M K K k K MK M K

W W W W W W W W σσσρσσσσρσσ=++=-++-

有：()/()()P k K M dE R dW E R E R =-

22222(1)2(1)P K M K K k K MK M K W W W W σσσρσσ=-++-

2

22

22

11//[2(1)22(12)]

221

[(1)(12)]

P k P k K M K K k MK M K P

P

K M K K k MK M K P

d dW d dW W W W W W W σσσσρσσσσσσρσσσ==

--++-=-++-

从而：

2

22

()/()()1

/[1]

*(()())*[()()]cov(,)cov(,)K

P k K M W P k M MK M K P

P K M M K M K M M K M M

dE R dW E R E R d dW E R E R E R E R R R R R σσρσσσσσσσ=-=-+--=

=--

E

R f

σ

最后，资本市场线R F M 的斜率为：

()()m

f

m

E R

R σ-

所以有：

()2

()*[()()]

cov(,)m

f

M

K M m

K M M

E R

R E R E R R R σ

σσ--=- 得到：

()2

2

2222

()*[()()]

cov(,)[()][cov(,)]

()()[cov(,)]()[()]()

cov(,)

[()]

m

f

M

K M m

K M M

m f K M M K M M K M M

K f m f f M M

K M m f M

E R

R E R E R R R E R R R R E R E R R R E R R E R R R E R R R E R R σ

σσσσσσσ--=----=

--=--+=

-

定义2cov(,)K M k M

R R βσ=

所以有：()[()]K f k m f E R R E R R β-=-

这说明，资本资产定价模型在“cov(,),K M R R E ”平面上仍是一条直线，这条直线的斜率为2()m f

M E R R σ-，表示协方差cov(,)K M R R 增加一个单位，证券的期望回报增加

2

()m f

M

E R R σ-个单位。 这里，cov(,)K M R R 可以理解为该证券的系统风险，而k β可以理解为该证券相对于整个市场组合的系统风险大小。

另一种简单的证明： 设风险的价格为：m f

M

r r P σ-=

，为整个市场的平均风险报酬

股票K 的市场风险可以表示为k M βσ，

所以股票K 的市场风险报酬为：k M βσ*P =k M βσ*

m f

M

r r σ-=()k m f r r β-

在一个不存在套利的市场中，无风险报酬是一样的，设为f r 则对于证券K ，有()f k k m f r r r r β=-- 对于证券i ，也有()f i i m f r r r r β=-- 二者相等

所以有()()k k m f i i m f r r r r r r ββ--=--

令k 就是无风险证券，比如政府债券

则()()k k m f f

i i m f r r r r r r r ββ--==--

所以有：()i f i m f r r r r β=+-