高考数学专题七解三角形精准培优专练文

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高考文科数学精准培优专题七解三角形含答案

培优点七解三角形1．解三角形中的要素acABC△bC o，所对的边分别为，，，若例1：，，的内角，，BA60?B6b?2c?C?_____．则o【答案】30?CbccsinBc??sinC?Cb，，求，可联想到使用正弦定理：【解析】（1）由已知B sinBsinCb1c?b?sinC oo．，所以可得：代入可解得：．由30?60CC?B?22．恒等式背景caABC△Cb，：已知例2的对边，，三个内角，，分别为BA且有．0c?aacosC?3sinC?b? 1）求；（AcABC△a?2b，的面积为，求，且．（2）若3?；（2）2，2．【答案】（1）3）1 【解析】（0c?C?b?acosC?3asin0C?B?sin?C?3sinAsinCsin?sinAcos???sinCC?C?sin0A?3sin?sinAcosC?Asin，0sinC?sinCcosA?CcosC?3sinAsinC?sinAcos??sinA??1????3sinA?cosA?1?2sinA??1?sinA??即????662????????5?A????A?A；∴或（舍），∴366661S?bcsinA?3?bc?4，2（）ABC△222222，bc?cAbccos?4?ba??b?c?2b?22222???8cb?cbc??4b???∴，可解得．???c?2bc?4bc?4???对点增分集训一、单选题???c??B?A?1△ABCa?则中，，），（1．在，466226?26? AD． C． B．．2222A【答案】?sin?1Bsina ba42b????，由正弦定理【解析】可得?AsinBsinsinAsin626?????且，?B?A?Bsin??AsincosAcosBcosC??cos?42??266．由余弦定理可得：．故选A22??1?2?2?1?2c?a??b2?abcosC24vuvuuuuu6??5ACABCAB?7BC△中，三边长，）．在等于（，，则2BC?AB18??19． C．A．19 B．18 DB【答案】6?5AC?7BC?AB，，，【解析】∵三边长22222219???BC5?AC67AB?cosB??∴，35?5BC2?72AB?vuuuuuuv19????19??5???B??7ABAB?BC??BCcos? B．．故选??35??ca Bcos?C △ABC2bac，则三角形一中，角，，，所对应的边分别是3．在，若，BA）定是（．等边三角形D ．等腰三角形 B．直角三角形 CA．等腰直角三角形C【答案】Bcos2RsinAsinC?2sinAacc?2acosB?2RsinC?，∴，由正弦定理【解析】∵，，?????B?0,sinC?sin?AB ABCC△，，为，的内角，∴，∵，AAB????0AA?Bcos?2sinAB?Bsin?sin B2sinAcos?cosAsincosB?AsinB，整理得，∴，ABCA?B0△?∴．一定是等腰三角形．故选C．故，即BA??ca?C ABCb△abC?3ABC△则，若，，，的对边分别为，．4的内角，，，BA7c?3．的面积为（）2?32?333． A．．CD B．2444【答案】A??C b?3a，，【解析】已知，7c?3222222222，，可得：∴由余弦定理a??9aC77?a??b3?ab?ca?aa?b?2abcos331133??1ba，∴．故选，A．解得：??3absinC??1S??ABCV2224ac bABCC△22，，若5．在，，中，内角，，，的对边分别为BAbca??bB3sinC?2sin 则（）?A30?60?120?150?．BA．． D C．A【答案】，根据正弦定理由得：【解析】b?sinC223sinB3c?22，即所以，222b7?ab2?b3?3bc?3?a2222223?7b?b12?c?abb???cosA，则22bc2b43????A?0,?A．故选A又．，所以6????ac?3?a?cbcb?ca?b ABCbC△，6．设如果，，所对的边分别为的三个内角，，，BA△ABC外接圆的半径为（）且，那么3a?． C．2 DB．41 A．2A【答案】????2??bca3??ab?c?b?c2222bcb?c??a3，所以【解析】因为，，化为bc?c?ba?222?1c?ab????A?0,A?cos?A?所以，又因为，所以，32bc2a3??R2?2，所以由正弦定理可得，故选A．1R?Asin32ac b△ABCC222，若，且．在7，，中，角，所对的边分别为，BAbc?ab??c2，AC?sinsinBsin?△ABC）的形状是（则．A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形C 【答案】2abc????2，【解析】因为，所以AsinsinB?sinC???R2R2R2??b?c222，也就是，从而，所以bc??c2bbca?a?b?c△ABC为等边三角形．故选C．，故ac acosB?bcosA?cC△ABC△bABC，则，的内角，，的对边分别是8．且满足，BA是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形B【答案】cab??【解析】利用正弦定理化简已知的等式得：CsinAsinBsin???sinBsinCA?CcosB?sinA?sinBcossinA，，即???CA?B C?CA?B，为三角形的内角，∴，即∵，，BA2ABC△．则为直角三角形，故选B ac△b△ABCCABC的面积为，，，已知所对的边分别为，9．在，，中，内角BA1531a??cosA2b?c?的值为（，），则4A．8 B．16C．32 D．64A【答案】152??0?A，，所以【解析】因为?AA?1?cossin4b?c?2?115bc?24b?6c?4，，得又S，解方程组?315，∴?bcsinA?bc?ABCV bc?2482?1??22222a?b?c?2bccosA?6?4?2?6?4???64a?8．故选A，所以．由余弦定理得?? 4????ca?0?cosb?aCsinC Cb△ABC，，分别为角，所对的边．若．在10，中，，BA则（）?A3?2???．D．C．B．A 3434C【答案】．???sinAcosC?cosA?CAsinCsinB?sin，【解析】????sinACB??cosCsin?﹣cosC0?0b?asinsinC，可得：，∵sinAcosC?cosAsinC?sinAsinC?sinAcosC?0cosAsinC?sinAsinC?0，，∴∴sinC?0cosA??sinAtanA??1，，∴，∴∵3?A???A??．故答案为C．∵，∴24abcca??b△ABC△CABC则若，中，的对边分别是内角，，，11．在，，BA CscBoosAcosc是（）A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形D 【答案】cab??C2R?sinca?2R?sinAb?2R?sinB?，【解析】，由正弦定理得：，∵CAcosBcoscos代入，CsinAsinBsin??CtanB?tanA?tan，，∴进而可得得CcosAcoscosB A?B?C△ABC是等边三角形．故选D，则∴．ac b△ABCC，所对的边分别为，，12．在，已知，中，角，，BA22ca??23tanA2c?1?，tanBb?C?（则）3????? D．或 B． C．．A34644【答案】BsinAcosB2sinC?1?，【解析】利用正弦定理，同角三角函数关系，原式可化为：cosAsinBsinB AcosBsinAcos?2sinC?sinBcosA去分母移项得：，??A2sinCcossin?ABsin?C?，所以13?AcossinA?，．由同角三角函数得所以22?3?ac2?C???sinC或（舍）．故选由正弦定理B．，解得所以sinAsinC442二、填空题．ac Cb△ABCC22，则角中，角，，，的对边分别为，，13．在，BA16b??a2?2c的最大值为_____； ?【答案】6△ABCC的余弦定理可知【解析】在中，由角22a?b22?ba?222223??ba?cb3a，2??cosC??2abab2ab42??C?0?C?，时等号成立．，所以．当且仅当又因为62b?22a?max6acac Cbb △ABC，则，，，成等比数列，14．已知，，的三边所对的角分别为，BA sinB?cosB的取值范围是_________．??2，1【答案】?ca b△ABC，的三边∵成等比数列，，【解析】1?cosB222，∴，得Baccosc2?2accosB?2acac?b?a??2??7??????B?0，B??，?B?0?，，又∵，∴???? 44123???????????2，?1B?cosB?2sinB?sin2，1可得，故答案为．????4??ac bC △ABC?，是，，若，所对的15．在边分中三个内角，，别B??A??b?2sincoAs??C2sAinCcos△ABC面积的最大值是，且________，则32a?【答案】3??cosA??2sin?2sinCAcosCb，∵【解析】??????2sin2sinBA?cosA?sinAcosCC?2bcosA???sinC，∴22b?3a2?2?A?????，，结合正弦定理得则，即3Atan??sinBcosA3cosAsinAsinA2221cab??22cosA???由余弦定理得，，化简得bc?b2?c?12?bc2bc23114bc??bcsinAS???34?，故．，故答案为3ABC△222ac CbC△ABC成等差数，，，16．在锐角中，角所对的边分别为，，，且，BABA．列，3?b△ABC面积的取值范围是__________则．??333，【答案】???42????B C△ABC．【解析】∵成等差数列，∴中，，BA33cba2????C2sina?2sinAc?由正弦定理得，，，∴?BsinsinAsinCsin3?213???BAS?acsinsin?3sinAC?3sinAsin?ac∴??ABC△342????313331?cos2A32?3sinAcosA?sinA?sinAcosA?sinA?sin2A??????2224222??3333?3???sin2A?cos2A??sin2A??，??444264????0?A?? ???2?A?ABC△．∵为锐角三角形，∴，解得??2?26???0?A?23?1???5????sin2A??1?2A??，，∴∴??26666????33333333???，??sin2A??ABC△面积的取值范围是∴．，故?????2422644????三、解答题3acosA?2ca C△ABCb?．三个内角，，，，分别为的对边，且17．己知BA csinC（1）求角的大小；Aa ABCcb??5△的面积为，且2（）若，求的值．32?））1．；（2（【答案】2132A?cos3sinA?）由正弦定理得，（【解析】1 ，CsinCsin ???sinA??10sinC?．，∴∵，即2cosA?3sinA???6????????2??A???A??A??A?0?．∵，∴∴，∴6666231S?bcsinA?3bc?4，可得（2．∴）由3?S ABC△22??2225c?b?21??b?cc?2bccosAa??bbc?，∴由余弦定理得：，∵∴．21a???60ABCBC?ADC△边上，，．中，点在18．如图，在，4BD?D7AB?2．（1）求的面积．ABD△AC o的长．，求2）若（120??BAC）．（；2【答案】（1）327?BDA?120?【解析】（1）由题意，222在中，由余弦定理可得ABD△?cos120AD?AD??AB2?BDBD?AD??62（舍）或即，216?AD??4ADAD??28113．的面积∴322??ADB?sin???S?4??DB?DAABD△222ADAB?，中，由正弦定理得 2（）在ABD△sinBsin?BDA2175为锐角，故，代入得，由?sinB?cosBB141421??所以，?sin60?cosB?cos60?sinsinsinC?B?60?B?7ADAC?ADC△，中，由正弦定理得在CDA?sinCsinAC2?3217?AC27．，解得∴．。

高考文科数学考前培优练习解三角形解答题

3.3解三角形解答题高考命题规律1.高考的重要考题,常与数列解答题交替在17题位置呈现.2.解答题,12分,中档难度.3.全国高考有2种命题角度,分布如下表.命题角度1利用正弦定理和余弦定理解三角形高考真题体验·对方向1.(2019北京·15)在△ABC中,a=3,b-c=2,cos B=-1.(1)求b,c的值;(2)求sin(B+C)的值.由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B,得b 2=32+c 2-2×3×c×(-12). 因为b=c+2,所以(c+2)2=32+c 2-2×3×c×(-12). 解得c=5,所以b=7.(2)由cos B=-12得sin B=√32.由正弦定理得sin A=a b sin B=3√314. 在△ABC 中,B+C=π-A.所以sin(B+C )=sin A=3√314.2.(2019天津·16)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.已知b+c=2a ,3c sin B=4a sin C. (1)求cos B 的值;(2)求sin 2B+π6的值.在△ABC 中,由正弦定理b sinB =csinC ,得b sin C=c sin B ,又由3c sin B=4a sin C ,得3b sin C=4a sin C ,即3b=4a.又因为b+c=2a ,得到b=43a ,c=23a.由余弦定理可得cos B=a 2+c 2-b22ac=a 2+49a 2-169a 22·a ·23a=-14.(2)由(1)可得sin B=√1-cos 2B =√154,从而sin 2B=2sin B cos B=-√158,cos 2B=cos 2B-sin 2B=-78,故sin 2B+π6=sin 2B cos π6+cos 2B sin π6=-√158×√32−78×12=-3√5+716.3.(2017山东·17)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.已知b=3,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-6,S △ABC =3,求A 和a.AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-6,所以bc cos A=-6,又S △ABC =3,所以bc sin A=6,因此tan A=-1,又0<A<π.所以A=3π4.又b=3,所以c=2√2.由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,得a 2=9+8-2×3×2√2×(-√22)=29,所以a=√29. 4.(2015全国Ⅰ·17)已知a ,b ,c 分别为△ABC 内角A ,B ,C 的对边,sin 2B=2sin A sin C. (1)若a=b ,求cos B ;(2)设B=90°,且a=√2,求△ABC 的面积.由题设及正弦定理可得b 2=2ac.又a=b ,可得b=2c ,a=2c.由余弦定理可得cos B=a 2+c 2-b22ac=14.(2)由(1)知b 2=2ac.因为B=90°,由勾股定理得a 2+c 2=b 2. 故a 2+c 2=2ac ,得c=a=√2. 所以△ABC 的面积为1.典题演练提能·刷高分1.(2019江西南昌外国语学校高三适应性考试)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知cosA -2cosC cosB=2c -ab .(1)求sinCsinA 的值;(2)若cos B=14,b=2,求△ABC 的面积.由正弦定理,得2c -ab =2sinC -sinAsinB,所以cosA -2cosC cosB=2sinC -sinAsinB, 即(cos A-2cos C )sin B=(2sin C-sin A )cos B , cos A sin B-2cos C sin B=2sin C cos B-sin A cos B , cos A sin B+sin A cos B=2sin C cos B+2cos C sin B. 化简得sin(A+B )=2sin(B+C ).又A+B+C=π,所以sin C=2sin A ,因此sinCsinA=2. (2)由sinCsinA =2,得c=2a.由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B 及cos B=14,b=2,得4=a 2+4a 2-4a 2×14,解得a=1,从而c=2.又因为cos B=14,且0<B<π,所以sin B=√154.因此S=12ac sin B=12×1×2×√154=√154.2.△ABC 内接于半径为R 的圆,a ,b ,c 分别是A ,B ,C 的对边,且2R (sin 2B-sin 2A )=(b-c )sin C ,c=3. (1)求A ;(2)若AD 是BC 边上的中线,AD=√192,求△ABC 的面积.由正弦定理,得2R (sin 2B-sin 2A )=(b-c )sin C ,可化为b sin B-a sin A=b sin C-c sin C ,即b 2-a 2=bc-c 2,cos A=b 2+c 2-a 22bc=12,A=60°.(2)以AB ,AC 为邻边作▱ABEC ,在△ABE 中,∠ABE=120°,AE=√19.在△ABE中,由余弦定理得AE2=AB2+BE2-2AB·BE cos 120°.即19=9+AC2-2×3×AC×-1,2解得AC=2.故S△ABC=1bc sin A=3√3.3.(2019福建三明高三二模)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足ab+a2=c2.(1)求证:C=2A;(2)若△ABC的面积为a2sin2B,求角C的大小.在△ABC中,根据余弦定理,c2=a2+b2-2ab cos C,又因为ab+a2=c2,所以ab=b2-2ab cos C.因为b>0,所以b-a=2a cos C.根据正弦定理,sin B-sin A=2sin A cos C.因为A+B+C=π,即A+C=π-B,则sin B=sin A cos C+cos A sin C,所以sin A=sin C cos A-sin A cos C.即sin A=sin(C-A).因为A,C∈(0,π),则C-A∈(-π,π),所以C-A=A,或C-A=π-A(舍去后者).所以C=2A.(2)因为△ABC的面积为a2sin2B,所以a2sin2B=1ac sin B,2因为a>0,sin B>0,所以c=2a sin B,则sin C=2sin A sin B.因为C=2A ,所以2sin A cos A=2sin A sin B , 所以sin B=cos A.因为A ∈0,π2,所以cos A=sin π2-A ,即sin B=sinπ2-A ,所以B=π2-A 或B=π2+A. 当B=π-A ,即A+B=π时,C=π;当B=π2+A 时,由π-3A=π2+A ,解得A=π8,则C=π4. 综上,C=π2或C=π4.4.(2019福建厦门高三一模)在平面四边形ABCD 中,∠ABC=π3,∠ADC=π2,BC=2. (1)若△ABC 的面积为3√32,求AC ;(2)若AD=2√3,∠ACB=∠ACD+π3,求tan ∠ACD.在△ABC 中,因为BC=2,∠ABC=π3,S △ABC =12AB ·BC ·sin ∠ABC=3√32,所以√32AB=3√32,解得AB=3.在△ABC 中,由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC cos ∠ABC=7, 所以AC=√7.(2)设∠ACD=α,则∠ACB=∠ACD+π3=α+π3. 如图.在Rt △ACD 中,因为AD=2√3,所以AC=ADsinα=2√3sinα,在△ABC 中,∠BAC=π-∠ACB-∠ABC=π3-α,由正弦定理,得BC sin∠BAC=ACsin∠ABC,即2sin(π3-α)=√332sinα,所以2sinπ3-α=sin α.所以2√32cos α-12sin α=sin α,即√3cos α=2sin α.所以tan α=√32,即tan ∠ACD=√32.5.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知A=2B. (1)求证:a 2=b (b+c );(2)若△ABC 的面积为1a 2,求B 的大小.A=2B ,可得sin A=sin 2B=2sin B cos B ,又由正、余弦定理得a=2b ·a 2+c 2-b22ac,有(c-b )(a 2-b 2-bc )=0.当b ≠c 时,a 2-b 2-bc=0,即a 2=b 2+bc=b (b+c ). 当b=c 时,B=C.又A=2B ,∴A=90°,B=C=45°.∴a=√2b ,∴a 2-b 2-bc=(√2b )2-b 2-b ·b=0, ∴a 2=b 2+bc.综上,当A=2B 时,a 2=b 2+bc.S △ABC =12ac sin B=14a 2,∴c sin B=12a ,∴sin C sin B=1sin A.又A=2B ,∴sin C sin B=sin B cos B. ∵sin B ≠0, ∴sin C=cos B.又B ,C ∈(0,π),∴C=π2±B.当B+C=π2时,B=A2=π4; 当C-B=π2时,B=π8;∴B=π4或B=π8.6.(2019安徽江淮十校高三最后一卷)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知a=2b ,c sin B=b cos C-π6. (1)求角C ;(2)若AD 是BC 上的中线,延长AD 至点E ,使得DE=2AD=2,求E ,C 两点的距离.解 (1)在△ABC 中,由c sin B=b cos C-π6及正弦定理得sin C sin B=sin B √32cos C+12sin C . 因为sin B>0,化简得12sin C-√32cos C=0,即tan C=√3. 因为0<C<π,所以C=π3.(2)由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2ab cos π3=3b 2, 所以a 2=b 2+c 2,故A=π2, 即△ABC 是直角三角形. 由(1)知△ACD 是等边三角形,且AD=CD=AC=1,∠CAD=π,DE=2,所以AE=3. 在△ACE 中,CE 2=AE 2+AC 2-2AE ·AC cos π3=7, CE=√7,故E ,C 两点的距离为√7.命题角度2解三角形中的最值与范围问题高考真题体验·对方向(2019全国Ⅲ·18)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.已知a sinA+C2=b sin A.(1)求B ;(2)若△ABC 为锐角三角形,且c=1,求△ABC 面积的取值范围.由题设及正弦定理得sin A sin A+C2=sin B sin A.因为sin A ≠0,所以sin A+C2=sin B.由A+B+C=180°,可得sin A+C2=cos B2,故cos B2=2sin B2cos B2.因为cos B 2≠0,故sin B 2=12,因此B=60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC =√3a.由正弦定理得a=csinA sinC=sin (120°-C )sinC=√32tanC+12.由于△ABC 为锐角三角形,故0°<A<90°,0°<C<90°. 由(1)知A+C=120°,所以30°<C<90°,故12<a<2,从而√38<S △ABC <√32.因此,△ABC 面积的取值范围是(√38,√32).典题演练提能·刷高分1.(2019河南南阳高三联考)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,√3(a cos C-b )=a sin C. (1)求角A ;(2)若点D 为BC 的中点,且AD 的长为√3,求△ABC 面积的最大值.由正弦定理,可得√3(sin A cos C-sin B )=sin A sin C.∵A+B+C=π, ∴B=π-(A+C ).∴√3[sin A cos C-sin(A+C )]=sin A sin C ,即-√3cos A sin C=sin A sin C ,∵0<C<π,∴sin C>0.∴tan A=-√3. ∵0<A<π,∴A=2π.(2)∵AD 为BC 边上的中线, ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =1(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ). 又AD=√3,∴3=14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14(b 2+c 2-bc )≥bc 4, ∴bc ≤12,当且仅当b=c 时取得等号.∴S △ABC =12bc sin A=√34bc ≤3√3,当且仅当b=c 时取得等号, ∴△ABC 面积的最大值为3√3.2.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且(a+b )(sin A-sin B )=c (sin C-sin B ). (1)求A.(2)若a=4,求b 2+c 2的取值范围.根据正弦定理,得(a+b )(a-b )=c (c-b ),即a 2-b 2=c 2-bc ,则b 2+c 2-a 22bc=12,即cos A=12.由于0<A<π,所以A=π3.(2)根据余弦定理,a 2=b 2+c 2-2bc cos π3,所以b 2+c2=16+bc ≤16+b 2+c 22,则有b 2+c 2≤32.又b 2+c 2=16+bc>16, 所以b 2+c 2的取值范围是(16,32].3.(2019北京房山高三模拟)已知在△ABC 中,a 2+c 2-ac=b 2. (1)求角B 的大小;(2)求cos A+cos C 的最大值.由余弦定理得cos B=a 2+c 2-b22ac=ac 2ac=12.因为角B 为三角形的内角,故∠B=π.(2)由(1)可得A+C=π-B=2π3,∴A=2π-C.∴cos A+cos C=cos2π3-C +cos C=cos 2π3cos C+sin 2π3sin C+cos C=-12·cos C+√32·sin C+cos C=√32·sin C+12·cos C =cos π6·sin C+sin π6·cos C=sin C+π6.∵0<C<2π3,∴π6<C+π6<5π6. ∴12<sin C+π6≤1.故cos A+cos C 的最大值是1.4.已知在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,m =(2cos C ,a cos B+b cos A ),n =(c ,-1),且m ⊥n . (1)求角C ;(2)若c=3,求△ABC 周长的最大值.∵m ⊥n ,∴2c cos C-(a cos B+b cos A )=0.由正弦定理得2sin C cos C-(sin A cos B+cos A sin B )=0. 即2sin C cos C-sin(A+B )=0.∴2sin C cos C-sin C=0.在△ABC 中,0<C<π,∴sin C ≠0.∴cos C=12.∵C ∈(0,π),∴C=π3.(2)由余弦定理可得:c 2=a 2+b 2-2ab cos C=(a+b )2-2ab (1+cos C )=9. 即(a+b )2-3ab=9,∴ab=13[(a+b )2-9]≤a+b 22. ∴(a+b )2≤36.∴a+b ≤6,当且仅当a=b=3时取等号,∴△ABC 周长的最大值为6+3=9.5.(2019河北衡水中学高三五模)已知函数f (x )=m sin ωx-cos ωx (m>0,ω>0)的最大值为2,且f (x )的最小正周期为π.(1)求m 的值和函数f (x )的单调递增区间;(2)设角A ,B ,C 为△ABC 的三个内角,对应边分别为a ,b ,c ,若f B2=0,b=1,求√32a-12c 的取值范围.f (x )=m sin ωx-cos ωx=√m 2+1sin(ωx+φ),其中tan φ=-1m.因为f (x )的最大值为2,所以√m 2+1=2. 又因为m>0,所以m=√3.又因为f (x )的最小正周期为π,所以ω=2ππ=2.所以f (x )=√3sin 2x-cos 2x=2sin 2x-π6.令2k π-π2≤2x-π6≤2k π+π2, 可得k π-π≤x ≤k π+π(k ∈Z ),所以f (x )的单调递增区间为k π-π6,k π+π3(k ∈Z ).(2)因为fB 2=2sin B-π6=0,所以B=π6.由正弦定理asinA =bsinB =csinC 可得 a=2sin A ,c=2sin C.√32a-12c=√3sin A-sin C=√3sin A-sin A+π6 =sin A-π6.因为0<A<5π6,所以-π6<A-π6<2π3.所以-12<sin A-π6≤1.所以√32a-12c 的取值范围是-12,1.6.已知△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,若(a-c )(sin A+sin C )=b (sin A-sin B ). (1)求角C ;(2)若△ABC 的外接圆半径为2,求△ABC 周长的最大值.由正弦定理得(a-c )(a+c )=b (a-b ),∴a 2-c 2=ab-b 2,∴a 2+b 2-c 22ab=12,即cos C=12.∵0<C<π,则C=π.(2)设△ABC 的外接圆半径为R ,由正弦定理2R=csinC =bsinB =asinA =4,∴a=4sin A ,b=4sin B ,c=4sin C=2√3, ∴周长l=a+b+c=4sin A+4sin B+2√3=4sin A+4sin 2π3-A +2√3=4sin A+4×√32cos A+4×12sin A+2√3 =6sin A+2√3cos A+2√3=4√3sin A+π6+2√3,∵A ∈0,2π3,∴A+π6∈π6,5π6.∴当A+π6=π2即A=π3时,l max =4√3+2√3=6√3. ∴当A=B=π3时,△ABC 周长的最大值为6√3.专题四数列。

2019高考数学专题七解三角形精准培优专练文20181108137

培优点七解三角形1．解三角形中的要素例1：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c 2，b 6，B 60o，则C _____．【答案】C 30o【解析】（1）由已知B，b，c求C可联想到使用正弦定理：b c c sin Bsin C，sin B sin C b1代入可解得：sinC ．由c b可得：C B 60o，所以C 30o．22．恒等式背景例2：已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且有a cos C 3a sin C b c 0．（1）求A；（2）若a 2，且△ABC的面积为3，求b，c．【答案】（1）3；（2）2，2．【解析】（1）a cos C 3a sin C b c 0sin A cos C 3sin A sin C sin B sin C 0sin A cos C3sin A sin C sin A C sin C0sin A cos C 3sin A sin C sin A cos C sin C cos A sin C 0，即∴13sin A cos A12sin A1sin A6 625A 或AA （舍），∴ ；666631S bc sin A 3 bc4 （2）△，ABC2a2 b2 c2 2bc cos A 4 b2 c2 bc，2 2 4 2 2 8b c bc b c∴ ，可解得bc 4bc 4bc22．1对点增分集训一、单选题1．在△ABC中，a 1， A ， B64，则c （）A．6 22B．6 22C．62D．22【答案】A【解析】由正弦定理a b可得bsin A sin B1 sina Bsin42，sin sinA66 2且cos C cos A B cos A cos B sin A sin B ，4由余弦定理可得：222cos122126262c a b ab C ．故选A．422．在△ABC中，三边长AB 7，BC 5，AC 6，则AB BC等于（）A．19 B． 19C．18 D． 18【答案】B【解析】∵三边长AB 7，BC 5，AC 6，AB2 BC2 AC272 52 6219∴cos B，2AB BC2 7 535u u u v u u u vAB BC AB BC B19cos751935．故选B．3．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若c 2a cos B，则三角形一定是（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【答案】C【解析】∵c 2a cos B，由正弦定理c 2R sin C，a 2R sin A，∴sin C 2sin A cos B，∵A，B，C为△ABC的内角，∴sin C sin A B ，A，B 0, ，∴sin A B 2sin A cos B，sin A cos B cos A sin B 2sin A cos B，整理得sin A B 0，∴A B 0，即A B．故△ABC一定是等腰三角形．故选C．4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C，c 7，b 3a，则△ABC32的面积为（）A．334B．2 34C．2D．234【答案】A【解析】已知C，c 7，b3a，3∴由余弦定理c2 a2 b2 2ab cos C，可得：7 a2 b2 ab a2 9a2 3a2 7a2，解得：a 1，b 3，∴1sin113333S ab CV．故选A．ABC22245．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2 b2 bc，sin C 23sin B，则A （）A．30 B．60 C．120 D．150【答案】A【解析】根据正弦定理由sin C 23sin B得：c 23b，所以a2 b2 3bc 3 23b2，即a2 7b2，则cosAb c a b 12b 7b3222222，2bc43b22又A 0, ，所以A．故选A．66．设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果 a b c b c a 3bc，且a 3，那么△ABC外接圆的半径为（）A．1 B．2C．2 D．4【答案】A【解析】因为 a b c b c a 3bc，所以b c2 a2 3bc，化为b2 c2 a2 bc，所以cos Ab2 c2 a21，又因为A 0, ，所以2bc2A，3a32R 2由正弦定理可得sin A3，所以R 1，故选A．27．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2 c2 a2 bc，若sin B sin C sin2A，则△ABC的形状是（）3A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【答案】C【解析】因为sin B sin C sin2A，所以2b c a2R2R 2R，也就是a2 bc，所以b2 c2 2bc，从而b c，故a b c，△ABC为等边三角形．故选C．8．△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足a cos B b cos A c，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【答案】B【解析】利用正弦定理a b c化简已知的等式得：sin A sin B sin Csin A cos B sin B cos A sin C，即sin A B sin C，∵A，B，C为三角形的内角，∴A B C，即A B C，2则△ABC为直角三角形，故选B．9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为315，b c 2，cos1A ，则a的值为（）4A．8 B．16 C．32 D．64【答案】A【解析】因为0 A ，所以sin1cos215A A ，42b c115又S V bc sin A bc 315，∴bc 24，解方程组ABC bc2428得b 6，c4，a b c bc A2222212cos6426464，所以a 8．故选A．由余弦定理得410．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边．若b a sin C cos C 0，则A （）A．4B．3C．34D．23【答案】C4【解析】sin B sin A C sin A cos C cos A sin C ，∵b a sin C cos C 0 ，可得：sin B sin A sin C ﹣cos C 0 ，∴sin A cos C cos A sin C sin A sin C sin A cos C 0 ，∴ cos A sin C sin A sin C 0 ， ∵sin C 0 ，∴ cos A sin A ，∴ tan A 1， ∵，∴ 3AA ．故答案为 C ．2 411．在△ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别是 a ，b ， c ，若ab c ，则△ABCcos A cos B cos C是（）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形【答案】D 【解析】∵ab c ，由正弦定理得： a 2R sin A ，b 2R sin B ， c 2R sin Ccos A cos B cos C代入，得s in A sin B sin C，∴进而可得 tan A tan B tan C ，cos A cos B cos C∴ A B C ，则 △ABC 是等边三角形．故选 D ．12．在 △ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，已知 a 2 3 ， c 2 2 ， tan A 2c 1 ， tan B b 则 C （）A ． 6B ． 4C ． 4 或 3 4D ．3 【答案】Bsin A cos B 2sin C1，【解析】利用正弦定理，同角三角函数关系，原式可化为：cos A sin B sin B去分母移项得：sin B cos A sin A cos B 2sin C cos A ，所以sin A B sin C 2sin C cos A ，所以 cosA 1 ．由同角三角函数得sin 3A，2 2由正弦定理a c，解得sin2C 所以sin A sin C2C或434（舍）．故选B．二、填空题513．在 △ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ，b ， c ， c 2 2 ，b a，则角 C 的2 2 16 最大值为_____；【答案】6【解析】在△ABC 中，由角 C 的余弦定理可知cos Cb a22a b22a b ca b22223223 ，2ab2ab4ab2又因为 0 C ，所以．当且仅当 a 2 2 ，b 2 6 时等号成立． Cmax614．已知 △ABC 的三边 a ， b ， c 成等比数列， a ， b ， c 所对的角分别为 A ， B ， C ，则 sin B cos B 的取值范围是_________．【答案】1，2【解析】∵△ABC 的三边 a ，b ， c 成等比数列，1∴ ac b 2 a 2 c 2 2ac cos B 2ac 2ac cos B ，得cos B ，2又∵ 0 B ，∴ B0，，3B7 ，， 4 4 12可得sincos2 sin1，2 ，故答案为 1，2 ．BBB415．在 △ABC 中三个内角 A ， B ， C ，所对的边分别是 a ， b ， c ，若b 2sin C cos A 2sin A cos C ，且 a 2 3 ，则 △ABC 面积的最大值是________【答案】 3【解析】∵ b 2sin C cos A 2sin A cos C ，∴b cos A 2 sin C cos A sin A cos C 2sin A C 2sin B，则b ，结合正弦定理得2232a ，即tan A 3，2Asin B cos A cos A sin A sin A3由余弦定理得cos Ab2 c2 a21，化简得b2 c2 12 bc 2bc，2bc2故bc 4，1sin1433S△ bc A ，故答案为3．ABC22216．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，6b 3，则△ABC面积的取值范围是__________．333【答案】，24【解析】∵△ABC中A，B，C成等差数列，∴B．3由正弦定理得a c b32，∴a 2sin A，c2sin C，sin sin sin sinA C B313 2∴sin3sin sin3sin sinS ac B ac A C A A△ABC24 33133331cos2A3sin A cos A sin A sin A cos A sin A sin2A2222242233333sin2A cos2A sin2A4442 64，0A2∵△ABC为锐角三角形，∴20A32，解得．A62∴ ，∴1sin215A2A，6662 6∴33333sin 2A22 6 44333，故△ABC面积的取值范围是，．24三、解答题17．己知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且3cos2a A．c sin C （1）求角A的大小；（2）若b c 5，且△ABC的面积为3，求a的值．【答案】（1）23；（2）21．【解析】（1）由正弦定理得，3sin A cos A 2，sin C sin C7∵sin C 0 ，∴ 3 sin A cos A 2 ，即sin 1A ．6∵ 0 A ∴ ，∴A6 6 6A ，∴ 6 2 A 2． 31（2）由 S3△可得S bc sin A 3 ．∴bc 4 ，ABC2∵b c 5 ，∴由余弦定理得：a 2b 2c 2 2bc cos A b c bc 21，2∴ a 21 ．18．如图，在△ABC 中，点 D 在 BC 边上， ADC 60 ， AB 2 7 ， BD 4 ．．（1）求 △ABD 的面积．（2）若 BAC 120o ，求 AC 的长．【答案】（1） 2 3 ；（2） 7 ．【解析】（1）由题意， BDA 120在△ABD 中，由余弦定理可得 AB 2 BD 2 AD 2 2BD AD cos120 即 28 16 AD 2 4AD AD 2 或 AD 6（舍）， ∴△ABD 的面积1 1 3 S DB DA sin ADB 4 22 3 ． 2 2 2（2）在 △ABD 中，由正弦定理得 ADABsin B sin BDA，代入得sin 21 B ，由 B 为锐角，故14cos5 7 B，14 21所以sin C sin60 B sin60 cos B cos60 sin B ，7在△ADC中，由正弦定理得2AC213AD ACsin C sin CDA，72∴，解得AC7．8。

高考数学专题七解三角形精准培优专练文(1)

高考数学专题七解三角形精准培优专练文(1)1．解三角形中的要素例1：的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则_____．ABC△A B C a b c c =b 60B =o C =【答案】30C =o【解析】（1）由已知，，求可联想到使用正弦定理：，B b c Csin sin sin sin b c c BC B C b=⇒= 代入可解得：．由可得：，所以．1sin 2C =c b <60C B <=o 30C =o 2．恒等式背景例2：已知，，分别为三个内角，，的对边，a b c ABC △A B C且有．cos sin 0a C C b c +--=（1）求；A（2）若，且的面积为，求，．2a =ABC△b c【答案】（1）；（2）2，2．3π【解析】（1）cos sin 0a C C b c +--=sin cos sin sin cos sin cos sin 0A C A C A C C A C ⇒---=，即1cos 12sin 1sin 662A A A A ππ⎛⎫⎛⎫-=⇒-=⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴或（舍），∴；66A ππ-=566A ππ-=3A π=（2），1s i n 342ABC S bcA bc ===△222222cos 4a b c bc A b c bc =+-⇒=+-，∴，可解得．22224844b c bc b c bc bc ⎧⎧+-=+=⇒⎨⎨==⎩⎩22b c =⎧⎨=⎩ 一、单选题1．在中，，，，则（）ABC △1a =6A π∠=4B π∠=c = A ． B ． C．D【答案】A【解析】由正弦定理可得，sin sin abA B=1sinsin 4sin sin 6a Bb A π⨯==π且，()()cos cos cos cos sin sin C A B A B A B =-+=--= 由余弦定理可得：．故选A．c == 2．在中，三边长，，，则等于（）ABC △7AB =5BC =6AC =AB BC ⋅uu u v uu u v A ．19 B ． C ．18 D ．19-18-【答案】B【解析】∵三边长，，，7AB =5BC =6AC =∴，22222275619cos 227535AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯ ()19cos 751935AB BC AB BC B ⎛⎫⋅=⋅π-=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭uu u v uu u v ．故选B ．3．在中，角，，所对应的边分别是，，，若，则三角形一定是（）ABC △A B C a b c 2cos c a B =A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形。

高考专题7解三角形精准培优专练

培优点七解三角形1．解三角形中的要素例1：ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2c =，6b =，60B =o ，则C =_____．【答案】30C =o【解析】（1）由已知B ，b ，c 求C 可联想到使用正弦定理：sin sin sin sin b c c BC B C b=⇒=，代入可解得：1sin 2C =．由c b <可得：60C B <=o ，所以30C =o ．2．恒等式背景例2：已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，且有cos 3sin 0a C a C b c +--=．（1）求A ；（2）若2a =，且ABC △的面积为3，求b ，c ．【答案】（1）3π；（2）2，2．【解析】（1）cos 3sin 0a C a C b c +--= sin cos 3sin sin sin sin 0A C A C B C ⇒+--=()sin cos 3sin sin sin sin 0A C A C A C C ⇒+-+-=sin cos 3sin sin sin cos sin cos sin 0A C A C A C C A C ⇒+---=，即13sin cos 12sin 1sin 662A A A A ππ⎛⎫⎛⎫-=⇒-=⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴66A ππ-=或566A ππ-=（舍），∴3A π=；（2）1sin 342ABC S bc A bc ==⇒=△，222222cos 4a b c bc A b c bc =+-⇒=+-，∴22224844b c bc b c bc bc ⎧⎧+-=+=⇒⎨⎨==⎩⎩，可解得22b c =⎧⎨=⎩．一、单选题1．在ABC △中，1a =，6A π∠=，4B π∠=，则c =（） A ．622+ B ．622- C ．62D ．22【答案】A【解析】由正弦定理sin sin a bA B =可得1sinsin 42sin sin 6a Bb A π⨯===π，且()()62cos cos cos cos sin sin 4C A B A B A B -=-+=--=-，由余弦定理可得：2262622cos 1221242c a b ab C -+=+-=++⨯⨯⨯=．故选A ． 2．在ABC △中，三边长7AB =，5BC =，6AC =，则AB BC ⋅uu u v uu u v等于（）A ．19B ．19-C ．18D ．18-【答案】B【解析】∵三边长7AB =，5BC =，6AC =，∴22222275619cos 227535AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯， ()19cos 751935AB BC AB BC B ⎛⎫⋅=⋅π-=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭uu u v uu u v ．故选B ．3．在ABC △中，角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，若2cos c a B =，则三角形一定是（）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形【答案】C【解析】∵2cos c a B =，由正弦定理2sin c R C =，2sin a R A =，∴sin 2sin cos C A B =， ∵A ，B ，C 为ABC △的内角，∴()sin sin C A B =+，A ，()0,B ∈π，∴()sin 2sin cos A B A B +=，sin cos cos sin 2sin cos A B A B A B +=，整理得()sin 0A B -=， ∴0A B -=，即A B =．故ABC △一定是等腰三角形．故选C ．对点增分集训4．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3C π=，7c =，3b a =，则ABC △的面积为（） A ．334B ．234- C ．2 D ．234+ 【答案】A 【解析】已知3C π=，7c =，3b a =， ∴由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，可得：2222227937a b ab a a a a =+-=+-=，解得：1a =，3b =，∴11333sin 132224ABC S ab C ==⨯⨯⨯=V ．故选A ． 5．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22a b bc -=，sin 23sin C B =，则A =（） A ．30︒ B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒【答案】A【解析】根据正弦定理由sin 23sin C B =得：23c b =，所以2223323a b bc b =⋅=-，即227a b =，则22222221273cos 2243b c a b b b A bc b +-+-===，又()0,A ∈π，所以6A π=．故选A ． 6．设ABC △的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果()()3a b c b c a bc +++-=，且3a =，那么ABC △外接圆的半径为（） A ．1 B ．2 C ．2D ．4【答案】A【解析】因为()()3a b c b c a bc +++-=，所以()223b c a bc +-=，化为222b c a bc +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，又因为()0,A ∈π，所以3A π=，由正弦定理可得322sin 32aR A===，所以1R =，故选A ．7．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222b c a bc +=+，若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC △的形状是（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形【答案】C【解析】因为2sin sin sin B C A ⋅=，所以2222b c a R R R ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，也就是2a bc =，所以222b c bc +=，从而b c =，故a b c ==，ABC △为等边三角形．故选C ．8．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 且满足cos cos a B b A c -=，则ABC △是（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形【答案】B【解析】利用正弦定理sin sin sin a b cA B C==化简已知的等式得： sin cos sin cos sin A B B A C -=，即()sin sin A B C -=， ∵A ，B ，C 为三角形的内角，∴A B C -=，即2A B C π=+=，则ABC △为直角三角形，故选B ．9．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为315，2b c -=，1cos 4A =-，则a 的值为（）A ．8B ．16C ．32D ．64【答案】A【解析】因为0A <<π，所以215sin 1cos 4A A =-=，又115sin 31528ABC S bc A bc ===V ，∴24bc =，解方程组224b c bc -=⎧⎨=⎩得6b =，4c =，由余弦定理得2222212cos 64264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以8a =．故选A ．10．在ABC △中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边．若()sin cos 0b a C C +-=，则A =（） A ．4π B ．3π C ．34π D ．23π 【答案】C【解析】()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，∵()sin cos 0b a C C +-=，可得：()sin sin sin cos 0B A CC +=﹣，∴sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=，∴cos sin sin sin 0A C A C +=， ∵sin 0C ≠，∴cos sin A A =-，∴tan 1A =-， ∵2A π<<π，∴34A =π．故答案为C ． 11．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c o s c o s c o s ab c A B C==，则ABC△是（） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形【答案】D 【解析】∵cos cos cos a b cA B C==，由正弦定理得：2sin a R A =⋅，2sin b R B =⋅，2sin c R C =⋅代入，得sin sin sin cos cos cos A B CA B C==，∴进而可得tan tan tan A B C ==， ∴A B C ==，则ABC △是等边三角形．故选D ．12．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知23a =，22c =，tan 21tan A cB b+=，则C ∠=（） A ．6π B ．4π C ．4π或34π D ．3π【答案】B【解析】利用正弦定理，同角三角函数关系，原式可化为：sin cos 2sin 1cos sin sin A B CA B B+=，去分母移项得：sin cos sin cos 2sin cos B A A B C A +=，所以()sin sin 2sin cos A B C C A +==，所以1cos 2A =．由同角三角函数得3sin 2A =，由正弦定理sin sin a c A C =，解得2sin 2C =所以4C π∠=或34π（舍）．故选B ．二、填空题13．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，22c =，2216b a -=，则角C 的最大值为_____；【答案】6π【解析】在ABC △中，由角C 的余弦定理可知222222222332cos 2242b a a b a bc a b C ab ab ab -+-+-+===≥，又因为0C <<π，所以max 6C π=．当且仅当22a =，26b =时等号成立．14．已知ABC △的三边a ，b ，c 成等比数列，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，则sin cos B B +的取值范围是_________．【答案】(12⎤⎦，【解析】∵ABC △的三边a ，b ，c 成等比数列，∴2222cos 22cos ac b a c ac B ac ac B ==+-≥-，得1cos 2B ≥，又∵0B <<π，∴03B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，74412B πππ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，，可得(sin cos 2sin 124B B B π⎛⎫⎤+=+∈ ⎪⎦⎝⎭，，故答案为(12⎤⎦，． 15．在ABC △中三个内角A ∠，B ∠，C ∠，所对的边分别是a ，b ，c ，若()2s i nc o s 2s i n c o s b C A A C +=-，且23a =，则ABC △面积的最大值是________【答案】3【解析】∵()2sin cos 2sin cos b C A A C +=-，∴()()cos 2sin cos sin cos 2sin 2sin b A C A A C A C B =-+=-+=-，则2sin cos b B A -=，结合正弦定理得223cos sin sin a A A A-==，即tan 3A =-，23A ∠=π 由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==-，化简得22122b c bc bc +=-≥，故4bc ≤，113sin 43222ABC S bc A =≤⨯⨯=△，故答案为3．16．在锐角ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，3b =，则ABC △面积的取值范围是__________．【答案】33324⎛⎤⎥ ⎝⎦，【解析】∵ABC △中A ，B ，C 成等差数列，∴3B π=．由正弦定理得32sin sin sin sin 3a c b A C B ====π，∴2sin a A =，2sin c C =， ∴132sin 3sin sin 3sin sin 243ABC S ac B ac A C A A π⎛⎫====- ⎪⎝⎭△ 23133331cos 23sin cos sin sin cos sin sin 22222422AA A A A A A A ⎛⎫-=+=+=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭ 33333sin 2cos 2sin 2444264A A A π⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭， ∵ABC △为锐角三角形，∴022032A A π⎧<<⎪⎪⎨ππ⎪<-<⎪⎩，解得62A ππ<<．∴52666A πππ<-<，∴1sin 2126A π⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，∴33333sin 222644A π⎛⎫<-+≤ ⎪⎝⎭，故ABC △面积的取值范围是33324⎛⎤ ⎥ ⎝⎦，．三、解答题17．己知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，且3cos 2sin a A c C+=．（1）求角A 的大小；（2）若5b c +=，且ABC △的面积为3，求a 的值．【答案】（1）23π；（2）21．【解析】（1）由正弦定理得，3sin cos 2sin sin A A C C+=， ∵sin 0C ≠，∴3sin cos 2A A -=，即sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．∵0A <<π∴666A ππ5π-<-<，∴62A ππ-=，∴23A π=．（2）由3ABC S =△可得1sin 32S bc A ==．∴4bc =，∵5b c +=，∴由余弦定理得：()22222cos 21a b c bc A b c bc =+-=+-=， ∴21a =．18．如图，在ABC △中，点D 在BC 边上，60ADC ∠=︒，27AB =，4BD =．．（1）求ABD △的面积．（2）若120BAC ∠=o ，求AC 的长．【答案】（1）23；（2）7．【解析】（1）由题意，120BDA ∠=︒在ABD △中，由余弦定理可得2222cos120AB BD AD BD AD =+-⋅⋅︒ 即2281642AD AD AD =++⇒=或6AD =-（舍），∴ABD △的面积113sin 4223222S DB DA ADB =⋅⋅⋅∠=⨯⨯⨯=．（2）在ABD △中，由正弦定理得sin sin AD ABB BDA=∠，代入得21sin 14B =，由B 为锐角，故57cos 14B =，所以()21sin sin 60sin 60cos cos60sin 7C B B B =︒-=︒-︒=，在ADC △中，由正弦定理得sin sin AD ACC CDA=∠， ∴221372AC=，解得7AC =．。

2021高三数学(理)培优专项《7解三角形》

二、填空题
13．在 △ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， c 2 2 ， b2 a2 16 ，则角 C 的最大值为_____；
14．已知 △ABC 的三边 a ，b ，c 成等比数列，a ，b ，c 所对的角分别为 A ，B ，C ，则 sin B cos B 的取值范围是_________．
（1）求 △ABD 的面积．（2）若 BAC 120o ，求 AC 的长．
培优点八平面向量
1．代数法
例 1：已知向量 a ， b 满足 a =3 ， b =2 3 ，且 a a b ，则 b 在 a 方向上的投影为（）
A．3 2．几何法
B． 3
C． 3 3 2
D． 3 3 2
例 2：设 a ， b 是两个非零向量，且 a b a b 2 ，则 a b = _______．
3．建立直角坐标系 uuuv uuuv uuv uuuv uuuv uuuv
例 3：在边长为 1 的正三角形 ABC 中，设 BC 2BD ， CA 3CE ，则 AD BE __________．
对点增分集训
一、单选题
1．已知向量 a ， b 满足 a 1 ， b 2 ，且向量 a ， b 的夹角为，若 a b 与 b 垂直，则实数 4
B
c cos C
，则 △ABC
是（）
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
12．在 △ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，已知 a 2
3 ，c 2
2
，1
tan tan
A B
2c b
，
则 C （）

2023-2024学年高考数学专项复习——三角函数与解三角形(含答案)

决胜3．在中，角，，所对的边分别为，，，且，.ABC A B C a b c 23a c b +=3A C π-=(1)求；cos B (2)若，求的面积.5b =ABC 4．设()()()()πsin 2πcos 2cos sin πf ααααα⎛⎫++ ⎪⎝⎭=---(1)将化为最简形式；()f α(2)已知，求的值．()3f θ=-()sin 1sin2sin cos θθθθ++5．已知函数．()π1sin 232f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭(1)求函数的单调递增区间，并解不等式；()f x ()0f x ≥(2)关于的方程在上有两个不相等的实数解，求实数的取x 11022m f x +⎛⎫+= ⎪⎝⎭[]0,πx ∈12,x x m 值范围及的值．()12f x x +6．已知角为第四象限角，且角的终边与单位圆交于点.αα1,3P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)求的值；sin α(2)求的值.()πtan sin 2sin cos παααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭+7．在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点xOy αOx ．(),P x y (1)若，求及的值；255y =tan α7sin 2cos sin 4cos αααα+-(2)若，求点P 的坐标．sin 11cos 2αα=-(1)若，求；3BC =ADCD (2)若，求线段的长11cos 14A =AD(1)求函数在区间上的最大值和最小值；()f x ππ[,]64-(2)若函数在区间上恰有2个零点，求的值．5()()4g x f x =-π(0,)212,x x 12cos()x x -11．在中，，点D 在AB 边上，且为锐角，，的面积为ABC 25BC =BCD ∠2CD =BCD △4.(1)求的值；cos BCD ∠(2)若，求边AC 的长.30A =︒12．记三个内角的对边分别为，已知为锐角，ABC ,,A B C ,,a b c B ．sin sin sin 2sin sin a A b B c C a A B +-=(1)求；()sin A C -(2)求的最小值．sin sin A B 13．已知函数且的最小正周期为．()πsin 23f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x π(1)求函数的单调递减区间；()f x (2)若，求x 的取值范围．()22f x ≤14．已知函数在上单调递增．()sin (0)f x x ωω=>ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(1)求的取值范围：ω(2)当取最大值时，将的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来ω()f x π9的3倍，得到的图象，求在内的值域．()g x ()g x ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15．在中，角所对的边分别为，已知．ABC ,,A B C ,,a b c sin cos cos cos cos sin sin A B C B C A B +=--(1)求；C (2)若外接圆的半径为，求的面积最大值．ABC 233ABC 16．已知函数.()()πe e sin ,32x xf x xg x --==(1)若，求；321π3f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭32πf α⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)设函数，证明：在上有且仅有一个零点，且()()ln h x x f x =+()h x ()0,∞+0x .()()034g f x >-17．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终xOy αO x 边与单位圆交于第三象限点.525,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭(1)求的值；sin cos αα-(2)若角的终边绕原点按逆时针方向旋转，与单位圆交于点，求点的坐标.αO π2Q Q 18．设函数，且．2()2cos 23sin cos (0)f x x x x m ωωωω=++>(0)1f =(1)求的值；m (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求()f x 的值及的零点．ω()f x 条件①：是奇函数；()f x 条件②：图象的两条相邻对称轴之间的距离是；()f x π条件③：在区间上单调递增，在区间上单调递减．()f x π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，0按第一个解答计分．答案：1．(1)1-(2)12-【分析】（1）根据点坐标求得.P tan α（2）根据点坐标求得，利用诱导公式求得正确答案.P sin ,cos αα【详解】（1）即，3π,cos π3sin 44P ⎛⎫ ⎪⎝⎭22,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭所以.22tan 122α-==-（2）由（1）得，所以，22,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭22222sin 22222α-==-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22222cos 22222α==⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1617πsin πsin πsin sin 808π22αααα⎛⎫⎛⎫-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin sin sin cos 2αααα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.221222⎛⎫=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭2．(1)，1tan 7α=1tan 3β=(2)π4【分析】（1）先根据同角三角函数平方关系求出，再根据商数关系和两角和正切公式cos α化简得结果；（2）根据二倍角公式得，，再根据两角和余弦公式得，最后根据sin 2,cos 2ββ()cos 2αβ+范围求结果.【详解】（1）因为为锐角，，所以，,αβ2sin 10α=272cos 1sin 10αα=-=所以，2sin 110tan cos 77210ααα===又因为，所以，tan tan 1tan()1tan tan 2αβαβαβ++==-1tan 3β=（2）因为为锐角，，所以，解得，,αβ1tan 3β=22sin 1cos 3sin cos 1ββββ⎧=⎪⎨⎪+=⎩10sin 10310cos 10ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，sin 22sin cos 103103101052βββ==⨯=⨯，24cos 212sin 5ββ=-=所以，()724232cos 2cos cos 2sin sin 21051052αβαβαβ+=-=⨯-⨯=又因为为锐角，所以，,αβ3π022αβ<+<所以.π24αβ+=3．(1)78(2)111512【分析】（1）根据已知条件，利用正弦定理化为，结合23a c b +=sin sin 23sin A C B +=已知条件，有，，代入解三角形即可.3A C π-=32B C π=-232B A π=-sin sin 23sin A C B +=（2）根据（1）终结论，利用余弦定理，结合，，解得，利用面5b =23a c b +=443ac =积公式即可求得面积为.11115sin 212ABC S ac B ==△【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，23a c b +=sin sin 23sin A C B +=因为，且，所以，，3A C π-=A B C π++=32B C π=-232B A π=-所以2sin sin 23sin 3232B B B ππ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即，22sin cos cos sin sin cos cos sin 23sin 32323232B B B B B ππππ-+-=所以，所以，3cos 23sin 2B B =cos 4sin cos 222B B B =因为，所以，所以；022B π<<1sin 24B =27cos 12sin 28B B =-=（2）由余弦定理可得，2222cos b a c ac B =+-即，得，得，()27524a c ac ac =+--()2155234b ac =-443ac =因为，所以，所以7cos 8B =15sin 8B =11115sin 212ABC S ac B ==△4．(1)tan α-(2)65【分析】（1）根据三角函数的诱导公式，结合同角三角函数的商式关系，可得答案；（2）利用正弦函数的二倍角公式以及同角三角函数的平方式，整理齐次式，可得答案.【详解】（1）.()()()()πsin 2πcos sin sin 2tan cos sin πcos sin f αααααααααα⎛⎫++ ⎪-⎝⎭===----（2）由，则，()tan 3f θθ=-=-tan 3θ=，()()()()()22222sin 1sin2sin (sin cos )tan (tan 1)sin cos sin cos sin cos tan 1tan 1θθθθθθθθθθθθθθθ+++==+++++.()()2223(31)34641053131⨯+⨯===⨯+⨯+5．(1)答案见解析(2)(()1212,3,2f x x ⎤--+=-⎦【分析】（1）由题意分别令，πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤-≤+∈，解不等式即可得解.ππ5π2π22π,Z 366k x k k +≤-≤+∈（2）由题意得在上有两个不相等的实数解，结合三角()π2sin 3m x g x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭[]0,πx ∈12,x x 函数单调性、最值即可求出的取值范围，结合对称性代入求值即可得的值.m ()12f x x +【详解】（1）由题意令，解得，πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤-≤+∈π5πππ,Z 1212k x k k -+≤≤+∈即函数的单调递增区间为，()f x ()π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦令，所以，()π1sin 2032f x x ⎛⎫=--≥ ⎪⎝⎭π1sin 232x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭所以，解得，ππ5π2π22π,Z 366k x k k +≤-≤+∈π7πZ 412ππ,k x k k +≤≤+∈所以不等式的解集为.()0f x ≥()π7ππ,π,Z 412k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）由题意即，11022m f x +⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 032m x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭即在上有两个不相等的实数解，()π2sin 3m x g x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭[]0,πx ∈12,x x 当时，，而在上单调递减，在上单[]0,πx ∈ππ2π,333t x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦2sin y t =-ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦π2π,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦调递增，所以当即时，，ππ32t x =-=5π6x =()min 2g x =-当即时，，ππ33t x =-=-0x =()max 3g x =又即时，，π2π33t x =-=πx =()3g x =-所以若在上有两个不相等的实数解，()π2sin 3m x g x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭[]0,πx ∈12,x x 则实数的取值范围为，m (2,3⎤--⎦因为，所以是的对称轴，()min 5π26g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭5π6x =()g x所以.()125π5ππ112sin 263322f x x f ⎛⎫⎛⎫+=⨯=⨯--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．(1)223-(2)3-【分析】（1）将点代入单位圆后结合任意角三角函数定义求解即可.（2）利用诱导公式化简求值即可.【详解】（1）在单位圆中，解得，22113y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭223y =±因为第四象限角，所以α223y =-22sin 3α∴=-（2）第四象限角22sin ,3αα=-1cos 3α∴=.()πtan sin 123sin cos πcos ααααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴=-=-+7．(1)，；2-2(2).34(,)55-【分析】（1）根据给定条件，求出点的坐标及，再利用齐次式法计算即得.P tan α（2）利用同角公式，结合三角函数定义求解即得.【详解】（1）角以Ox 为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点，α(),P x y 当时，，则，255y =22551()55x =--=-tan 2y x α==-所以．7tan 27(2)227ta 4sin 2cos sin 42c 4os n αααααα+⨯-++==---=-（2）依题意，，sin 0,cos 0αα><由，得，代入，sin 11cos 2αα=-cos 12sin αα=-22sin cos 1αα+=于是，解得，22sin (12sin )1αα+-=2sin ,cos 1sin 5543ααα==--=-即，所以点P 的坐标为．34,55x y =-=34(,)55-8．(1)；π3A =(2)．2AD =【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由三角恒等变换求解；（2）设，利用由余弦定理求得，从而由正弦定理求得AD x =πADB ADC ∠+∠=cos ADB ∠（用表示），再代入余弦定理的结论中求得值．AC x x 【详解】（1）由正弦定理及已知得2cos cos cos 2c a A B b A =-，sin 2sin cos cos sin cos 2sin 2cos sin cos 2sin(2)C A A B B A A B B A A B =-=-=-或，C 2A B =-2πC A B +-=又，所以，A B ≤22πC A B C B B C B +-≤+-=+<所以，从而，所以；C 2A B =-2πB C A A +==-π3A =（2）由余弦定理得，，2222cos AB BD AD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC CD AD AD CD ADC =+-⋅∠又是角平分线，所以，又，则，记，因为AD 2AC CD AB BD ==3a =2,1CD BD ==AD x =，πADB ADC ∠+∠=所以，所以，2244cos 412cos x x ADC x x ADC +-∠=++∠cos 4x ADC ∠=-，则，0πADC <∠<2sin 116x ADC ∠=-由正弦定理得，sin sin AC CD ADC CAD =∠∠所以，222116π16sin 6x AC x =⋅-=-所以，解得，即．221644()4x x x x -=+-⋅-2x =2AD =9．(1)263(2)677【分析】（1）利用正弦定理及其余弦定理求解；（2）利用三角形的面积公式求解.【详解】（1）因为平分，，故，AD BAC ∠3AB BC ==2C BAC θ∠=∠=在中，由正弦定理知：，ADC △sin sin 22cos sin sin AD ACD CD DAC θθθ∠===∠由余弦定理有，2222223231cos 2cos 22323CA CB BA C CA CB θ+-+-====⋅⨯⨯又因为，所以,21cos 22cos 13θθ==-6cos 3θ=即；262cos 3AD CDθ==（2）由，得，则，11cos 14A =11cos 214θ=cos 2157cos 214θθ+==又由，()11sin 2sin 22ABC ABD ACD S AB AC S S AB AC AD θθ=⋅=+=+△△△得.()sin 21267cos sin 57AB AC AD AB AC θθθ⋅===+10．(1)最大值和最小值分别为；2,1-(2).58【分析】（1）求出函数的解析式，再利用余弦函数的性质求解即得.()f x （2）利用余弦函数图象的对称性，结合诱导公式计算.12cos()x x -【详解】（1）由函数的最小正周期为，得，解得，()f x π2ππω=π2,()2cos(2)3x f x ω==-当时，，则当，即时，，ππ[,]64x ∈-π2ππ2[,]336x -∈-π2π233x -=-π6x =-min ()1f x =-当，即时，，π203x -=π6x =max ()2f x =所以函数在区间上的最大值和最小值分别为.()f x ππ[,]64-2,1-（2）()2222252cos 25222525BD BC CD BC CD BCD =+-⨯∠=+-⨯⨯⨯，故，204816=+-=4BD =有，故，22216420BD CD BC +=+==CD AB ⊥则，即.21sin sin 302CD A AC AC ==︒==4AC =12．(1)；()sin 1A C -=(2)无最小值；【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理可得，结合为锐角可得，所sin cos A C =B π2A C =+以；()sin 1A C -=（2）利用诱导公式可得，再由导数判断出在3sin sin 2sin sin A B A A =-()32f t t t =-上单调递增，可得无最小值；2,12t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭sin sin A B 【详解】（1）因为，sin sin sin 2sin sin a A b B c C a A B +-=由正弦定理得，2222sin a b c ab A +-=由余弦定理可得，2222cos a b c ab C +-=所以可得，解得或；sin cos A C =π2A C =-π2A C =+又为锐角，所以（舍），即，B π2A C =-π2A C =+因此；()πsin sin12A C -==（2）结合（1）中，又可得：π2A C =+πA B C ++=；33πsin sin sin sin 2sin cos 22sin sin 2A B A A A A A A ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭令，则，sin t A =()3sin sin 2A B f t t t ==-又为锐角，，所以，B 3ππ20,22A ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭π3π24A <<可得，212t <<所以，当时，恒成立，()261f t t '=-212t <<()2610f t t '=->即可得为单调递增，()32f t t t =-所以时，，所以无最值；2,12t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭()()0,1f t ∈()f t 因此无最小值；sin sin A B 13．(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）根据最小正周期为求得，求出单调递减区间；π=1ω±（2）根据写出x 的取值范围．()22f x ≤【详解】（1）因为的周期为，()πsin 23f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π故，所以.2ππ2ω==1ω±当时，，=1ω()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由，得到，ππ3π2π22π232k x k +≤+≤+π7πππ1212k x k +≤≤+故的递减区间为.()f x π7ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦当时，，1ω=-()ππsin 2sin 233f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由，得到πππ2π22π232k x k -+≤-≤+π5πππ1212k x k -+≤≤+故的递减区间为.()f x π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）当时，，=1ω()π2sin 232f x x ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭所以，5πππ2π22π434k x k -+≤+≤+解得.19ππππ,Z 2424k x k k -+≤≤-+∈当时，，1ω=-()ππ2sin 2sin 2332f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=--≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即，π2sin 232x ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭所以，ππ5π2π22π434k x k -+≤-≤+解得.π19πππ2424k x k +≤≤+综上：当时，；=1ω19ππππ2424k x k -+≤≤-+当时，.1ω=-π19πππ,Z 2424k x k k +≤≤+∈14．(1)302ω<≤(2)260,4⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由题设条件，列出不等式，求解即可.,32πππ4π2ωω-≥-≤（2）根据函数图像平移变换，写出函数，再结合区间和三角函数性质求1π()sin 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭出值域.【详解】（1）由，得，ππ,34x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππ,34x ωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦又函数在上单调递增，()sin (0)f x x ωω=>ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以，解得,32πππ4π2ωω-≥-≤32ω≤因为，所以．0ω>302ω<≤（2）由（1）知的最大值为，此时，ω323()sin 2f x x =根据题意，，31π1π()sin sin 23926g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦当时，．ππ,32x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦1πππ02664x ≤+≤+所以，故值域为．ππ260()sin 644g x +⎛⎫≤≤+= ⎪⎝⎭260,4⎡⎤+⎢⎥⎣⎦15．(1)π3C =(2)3【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等变换计算即可．（2）利用正余弦定理、三角形面积公式及基本不等式计算即可.【详解】（1）由已知可得：，222sin sin sin cos cos A A B B C -=-∴，()222sin sin sin 1sin 1sin A A B B C -=---∴，222sin sin sin sin sin A B C A B +-=根据正弦定理可知：，222a b c ab +-=∴．2221cos 22a b c C ab +-==又．π(0,π),3C C ∈∴=（2）∵外接圆的半径为，ABC 233r =∴，解得．432sin 3c r C==2c =又由（1）得，222a b c ab +-=故，∴，当且仅当时等号成立22424a b ab ab +-=≥-4ab ≤2a b ==∴，13sin 324ABC S ab C ab ==≤△∴的面积最大值为．ABC 316．(1)23(2)证明见解析【分析】（1）化简已知条件求得，利用诱导公式求得.πsin 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭32πf α⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）先求得的表达式，然后对进行分类讨论，结合零点存在性定理证得在()h x x ()h x 上有且仅有一个零点，求得的表达式，然后利用函数的单调性证得不等()0,∞+0x()()0g f x 式成立.()()034g f x >-【详解】（1）由，则，321π3f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π2sin 33α⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以32π2sin π3f αα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.ππ2sin πsin 333αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦（2）证明：由题意得.()πln sin 3h x x x =+①当时，，所以单调递增.30,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ππ0,32x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()h x 又，由于，而，1πsin ln226h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π1sin 62=1ln2ln e 2>=所以.又，102h ⎛⎫< ⎪⎝⎭()3102h =>所以由零点存在定理得在内有唯一零点，使得.()h x 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦0x ()00h x =当时，，所以，则在上无零点；3,32x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦πln 0,sin 03x x >≥()0h x >()h x 3,32⎛⎤ ⎥⎝⎦当时，，所以，则在上无零点.()3,x ∈+∞πln 1,1sin 13x x >-≤≤()0h x >()h x ()3,+∞综上，在上有且仅有一个零点.()h x ()0,∞+0x ②由①得，且，0112x <<()00ln 0x f x +=则.()()()()00000011ln ,ln 2f x x g f x g x x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭由函数的单调性得函数在上单调递增，()000112x x x ϕ⎛⎫=-⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭则，()01324x ϕϕ⎛⎫>=- ⎪⎝⎭故.()()034g f x >-求解已知三角函数值求三角函数值的问题，可以考虑利用诱导公式等三角恒等变换的公式来进行求解.判断函数零点的个数，除了零点存在性定理外，还需要结合函数的单调性来进行判断.17．(1)55-(2)255,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）直接根据三角函数的定义求解；（2）利用诱导公式求出旋转后的角的三角函数值即可.【详解】（1）由三角函数的定义可得，5sin c 5o 255s αα-=-=，所以；5s 5in 5c 2os 555αα⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭-=-（2）角的终边绕原点O 按逆时针方向旋转，得到角，απ2π2α+则，，π5sin cos 25αα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭π25cos sin 25αα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭所以点Q 的坐标为.255,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭18．(1)1m =-(2)选择①，不存在；选择②，，；选择③，，12ω=ππ,Z 6k k -+∈1ω=ππ,Z 122k k -+∈【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简函数，根据，即可求解；(0)1f =（2）根据奇函数性质、三角函数图象的性质以及三角函数的单调性，即可逐个条件进行判断和求解.【详解】（1）2()2cos 23sin cos f x x x x m ωωω=++，πcos 23sin212sin 216x x m x m ωωω⎛⎫=+++=+++ ⎪⎝⎭又，所以.1(0)2112f m =⨯++=1m =-（2）由（1）知，，()π2sin 26f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭选择①：因为是奇函数，()f x 所以与已知矛盾，所以不存在.()00f =()f x 选择②：因为图象的两条相邻对称轴之间的距离是，()f x π所以，，，π2T =2πT =2π21T ω==12ω=则，()π2sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令，()π2sin 06f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭解得.ππ,Z 6k x k -+∈=即零点为.()f x ππ,Z 6k k -+∈选择③：对于，，()π2sin 26f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0ω>令，，πππ2π22π,Z 262k x k k ω-+≤+≤+∈ππ3π2π22π,Z 262k x k k ω+≤+≤+∈解得，，ππππ,Z 36k k x k ωωωω-+≤≤+∈ππ2ππ,Z 63k k x k ωωωω+≤≤+∈即增区间为，()f x ππππ,,Z 36k k k ωωωω⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦减区间为，()f x ππ2ππ,,Z 63k k k ωωωω⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，()f x π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以时符合，0k =即在上单调递增，在上单调递减，()f x ππ,36ωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦π2π,63ωω⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以且，π03ππ66ωω⎧-≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩2ππ33ππ66ωω⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩解得，则，1ω=()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以令，()π2sin 206f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭解得，ππ,Z 122k x k =-+∈即零点为.()f x ππ,Z 122k k -+∈。

文科数学解三角形专题(高考题)练习【附答案】之欧阳育创编

解三角形专题练习1、在b 、c ，向量(2sin ,m B =，2cos 2,2cos12B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且//m n 。

（I ）求锐角B 的大小；（II ）如果2b =，求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值。

2、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -=（I ）求cos B 的值；（II ）若2=⋅BC BA ，且22=b ，求c a 和b的值.3、在ABC ∆中，cos 5A =，cos 10B =. （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）设AB =，求ABC ∆的面积.4、在△ABC中，A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知向量(1,2sin )m A =，(sin ,1cos ),//,3.n A A m n b c a =++=满足（I ）求A 的大小；（II ）求)sin(6π+B 的值.5、△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且有sin2C+3cos （A+B ）=0，.当13,4==c a ，求△ABC 的面积。

6、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，已知11tan ,tan 23A B ==，且最长边的边长为l.求：（I ）角C 的大小；（II ）△ABC 最短边的长.7、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且c o s c o s B C ba c=-+2. （I ）求角B 的大小；（II ）若b a c =+=134，，求△ABC 的面积. 8、（2009全国卷Ⅱ文）设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，23cos )cos(=+-B C A ,ac b =2，求B.9、（2009天津卷文）在ABC ∆中，A C AC BC sin 2sin ,3,5===（Ⅰ）求AB 的值。

金版高考数学第七章第八节解三角形应用举例优化训练(文) 北师大版必修4、必修5

金版高考数学第七章第八节解三角形应用举例优化训练（文）北师大版必修4、必修5(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1．如果在测量中，某渠道斜坡的坡度为34，设α为坡角，那么cos α等于( )A.35B.45C.34D.43【解析】因tan α＝34∴cos α＝45.【答案】 B2．在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，c ＝1，则最短边的边长是( )A.63B.62C.12D.32【解析】由c sin C ＝b sin B ，得b ＝csin B sin C ＝sin 45°sin 60°＝63，∵B 角最小，∴最小边是b.【答案】 A3．某人在C 点测得塔顶A 在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为( )A ．15米B ．5米C ．10米D ．12米【答案】 C4．如图，若Rt △ABC 的斜边AB ＝2，内切圆的半径为r ，则r 的最大值为( ) A. 2 B ．1C.22 D.2－1 【解析】 ∵r ＝a ＋b －c 2＝a ＋b2－1，∵4＝a 2＋b 2≥(a ＋b)22， ∴(a ＋b)2≤8.∴a ＋b ≤22，∴r ≤2－1.故选D. 【答案】 D5．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )A ．5海里B ．53海里C ．10海里D ．103海里【解析】如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10，在直角三角形ABC 中，得AB ＝5，于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/小时)．【答案】 C6．一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P 的南偏西75°、距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船航行的速度为( )A.1762海里/时 B ．346海里/时C.1722海里/时 D ．342海里/时二、填空题(每小题6分，共18分)7．在△ABC 中，设命题p ：a sin B ＝b sin C ＝csin A；命题q ：△ABC 是等边三角形．那么命题p 是命题q 的________条件．【解析】命题p ：a sin B ＝b sin C ＝csin A .由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C，∴sin A ＝sin B ＝sin C ，∴A ＝B ＝C ⇒a ＝b ＝c.反之，过程亦成立．【答案】充分必要 8.如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD=10，AB=14，∠BDA=60°，∠BCD=135°，则BC 的长为 .【解析】在△ABD 中，设BD=x ，则BA 2＝BD 2＋AD 2－2BD·AD·cos ∠BDA ，即142＝x 2＋102－2·10x·cos60°，整理得x 2－10x －96＝0，解之得x 1＝16， x 2＝－6(舍去)．由正弦定理：BC sin ∠CDB ＝BD sin ∠BCD ，∴BC ＝16sin 135°·sin 30°＝8 2.【答案】 8 29．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一灯塔M 在北偏东60°方向，行驶 4 h 后，船到达B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.三、解答题(共46分)10．(15分)甲船在A 处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B 处，两船相距a 海里，乙船正向北行驶，若甲船速度是乙船速度的3倍，问甲船应取什么方向前进才能在最短时间内追上乙船，此时乙船行驶了多少海里？11．(15分)在2008年北京奥运会垒球比赛前，中国教练布置战术时，要求击球手与连接本垒游击手的直线成15°的方向把球击出．根据经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍．问按这样的布置，游击手能不能接着球？【解析】如图，设游击手能接着球，接球点为B ，而游击手从点A 跑出，本垒为O 点．设从击出球到接着球的时间为t ，球速为v ，则∠AOB ＝15°，OB ＝vt ，AB ≤v4·t.在△AOB 中，由正弦定理，得OB sin ∠OAB ＝ABsin 15°，sin ∠OAB ＝OBsin 15°AB ≥vt vt 4·6－24＝6－2，而(6－2)2＝8－43＞8－4×1.74＞1，即sin ∠OAB ＞1，∴这样的∠OAB 不存在．因此游击手不能接着球．(1)求出发后3小时两船相距多少海里？(2)求两船出发后多长时间距离最近？最近距离为多少海里？。

2020届高三精准培优专练七解三角形(文) 教师版

2020届高三好教育精准培优专练例1：ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3cos cos cos a A b C c B =+，3b c +=，则a 的最小值为（）A ．1B ．3C ．2D ．3【答案】B【解析】在ABC △中，∵3cos cos cos a A b C c B =+，由正弦定理可得3sin cos sin cos sin cos sin()sin A A B C C B B C A =+=+=，即3sin cos sin A A A =，又(0,π)A ∈，∴sin 0A ≠，∴1cos 3A =．因为3b c +=，所以两边平方可得2229b c bc ++=，由222b c bc +≥，可得9224bc bc bc ≥+=，解得94bc ≤，当且仅当32b c ==时等号成立，又∵2222cos a b c bc A =+-，∴22222889()933334bc a b c bc b c =+-=+-≥-⨯=，所以a 的最小值为3．故选B ．例2：已知函数π()2sin()cos 3f x x x =+⋅．（1）若π02x ≤≤，求函数()f x 的值域；（2）设ABC △的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A 为锐角且3()2f A =，培优点七解三角形一、正余弦定理的综合应用二、正余弦定理与三角函数图象性质的综合应用2b =，3c =，求cos()A B -的值．【答案】（1）30,12⎡⎤+⎢⎥⎣⎦；（2）57．【解析】（1）2π()2sin()cos (sin 3cos )cos sin cos 3cos 3f x x x x x x x x x =+⋅=+⋅=+133π3sin 2cos 2sin(2)23x x x =++=++，由π02x ≤≤，得ππ4π2333x ≤+≤，∴3πsin(2)13x -≤+≤， ∴π330sin(2)1322x ≤++≤+，即函数()f x 的值域为30,1⎡⎤+⎢⎥⎣⎦．（2）由π33()sin(2)322f A A =++=，得πsin(2)03A +=，又由π02A <<，∴ππ4π2333A <+<，∴π2π3A +=，解得π3A =，在ABC △中，由余弦定理2222cos 7a b c bc A =+-=，解得7a =，由正弦定理sin sin a b A B =，得sin 21sin 7b A B a ==， ∵b a <，∴B A <，∴27cos 7B =， ∴12732157cos()cos cos sin sin 27A B A B A B -=+=⨯+⨯=．例3：某动物园管理处计划利用空地建设一个开放性的三角形场地（如图ABC △），测得2km AB =，90ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒，在此三角形场地中挖去一个正三角形形状（如图PMN △）的人工湖，该正三角形的顶点在场地的边界线上，则人工湖面积的最小值为 2km ．三、三角函数模型及其应用33【解析】由题知ABC △为直角三角形，且90ABC ∠=︒，且30ACB ∠=︒，所以23BC =4AC =．设正三角形PMN 的边长为t ，BPM θ∠=，则90PMB θ∠=︒-，而60MPN MNP PMN ∠=∠=∠=︒，所以30NMC θ∠=︒+，PNA θ∠=，120NPA θ∠=︒-．在PBM Rt △中，sin BM t θ=，cos PB t θ=．在PAN △中，由正弦定理sin sin PN APPAN PNA=∠∠，得sin 60sin t AP θ=︒，解得sin 3sin sin 603t AP θθ==︒，所以23cos sin 23AB BP PA t θθ=+=+=，解得23233cos 2sin cos sin 3t θθθθ==++．而PMN △的面积222332333(443cos 2sin [7sin()]S t θθθβ===++2337sin ()θβ=+ （其中3sin 7β=，cos 7β=）．因为2sin ()1θβ+≤，所以S 233km ．一、选择题1．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1b =，(2sin 3cos )3cos a B C c A -=，点G 是ABC △的重心，且133AG =，则ABC △的面积为（） A ．3 B ．3 C ．3或23D ．33或3 【答案】D【解析】由正弦定理得2sin sin 3sin cos 3sin cos A B A C C A -=， ∴2sin sin 3sin()3sin A B A C B =+=，∴3sin A =，∴π3A =或2π3，又13AG =，延长AG 交BC 于点D ，∴13AD =， ∵1()2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，∴222211()(2cos )44AD AB AC b c bc A =+=++u u u r u u u r u u u r ，当π3A =时，3c =，∴ABC △的面积为133sin 24bc A =；当2π3A =时，4c =，∴ABC △的面积为1sin 32bc A =，故选D ．2．在ABC △中，已知32sin 4cos2B B +=，且B 为锐角．若(415)sin (sin sin )B AC A C +=⋅+，且ABC △的面积为15，则ABC △的周长为（） A ．725+ B ．825+C ．515+D ．615+【答案】C对点增分集训【解析】ABC △中，232sin 4cos 24(12sin )B B B +==-．解得1sin 4B =或1sin 2B =-，又B 为锐角，∴1sin 4B =．设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∵(415)sin (sin sin )B AC A C +=⋅+，∴(415)()b b a c +=⋅+，∴415a c +=+ 又∵ABC △的面积为152，∴11115sin 2242ac B ac =⨯=，∴415ac =∵B 为锐角，∴15cos 4B =，由余弦定理得2222152cos ()221b a c ac B a c ac ac =+-=+--=，解得1b =， ∴ABC △的周长为515+3．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin()sin()3sin 2B A B A A ++-=，且7c =π3C =，则ABC △的面积是（） A 33B 73C 33或213D 3373【答案】D【解析】依题意由sin cos cos sin sin cos cos sin 6sin cos B A B A B A B A A A ++-=，即sin 3sin B A =或cos 0A =．当sin 3sin B A =时，由正弦定理得3b a =，① 由余弦定理得222π(7)2cos3a b ab =+-，② 解由①②组成的方程组得1a =，3b =，所以三角形面积为1π1333sin 13232S ab ==⨯⨯=．当cos 0A =时，π2A =时，三角形为直角三角形，32133b c ==，故三角形面积11217372236S bc ==⨯=． 3373，故选D ． 4．已知函数π()2cos(2)2cos 213f x x x =+-+．若锐角ABC △中角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，且()0f A =，则bc的取值范围是（）A ．(1,2)B ．1(,2)2C ．(1,3)D ．3(,3)2【答案】B【解析】π()2cos(2)2cos 2132cos 213f x x x x x =+-+=--+π2sin(2)16x =-++，由π()2sin(2)106f A A =-++=，解得π3A =，2π3B C +=，∴2πsin()sin 313sin sin 2C bBcCC -===，又ABC △为锐角三角形，故ππ62C <<，∴131222tan 2b c C <=+<，于是b c 的取值范围是1(,2)2． 5．如图，公路AM ，AN 围成的是一块耕地，其中tan 3A =-，在该块土地中，P 处有一小型建筑物，经测量，它到公路AM ，AN 的距离分别为3km 5km ，现在要过点P 修建一条直线公路BC ，将三条公路围成的区域ABC 建成一个工业园．为节省耕地，则工业园的最小面积为（）2km ．A ．2B ．3C ．20D ．5【答案】A【解析】过点P 作PE AM ⊥，PF AN ⊥，垂足分别为E ，F ，连接PA ．设AB x =，AC y =（x ，0y ≠），则11135(35)222ABC PAB PAC S S S x y x y =+=⋅⋅+⋅=△△△，① ∵tan 3A =-，∴sin 10A =1210ABC S =△，②由①②得11(35)2210x +=，即3510x += 又35235x xy ≥23510xy ≥4053xy ≥ 当且仅当35x =，即1023x =210y =时取等号， ∴114051022231010ABC S =≥=△22km ． 6．在ABC △中，若tan tan tan tan 5tan tan A C A B B C +=，则sin A 的最大值为（） A 25B 35C 25D 5【答案】B【解析】已知条件得sin sin sin sin 5sin sin cos cos cos cos cos cos A C A B B CA C AB B C+=，∴sin (sin cos cos sin )5sin sin cos cos cos cos cos A C B C B B C A B C B C +=，∴sin sin 5sin sin cos A AB C A=，即222252b c a a bc bc+-=，∴22275()a b c =+，∴22222222252()()277cos 2227b c b c b c b c a A bc bc bc +-+++-===≥，当且仅当b c =时取等号，∴235sin 1cos A A =-． 7．在ABC △中，角A 、B 、C 的对边是a ，b ，c ，若cos cos 2c a B b A -=，则cos cos cos a A b Ba B+的最小值为（）A 3B ．33C ．33D ．33【答案】D【解析】∵cos cos 2c a B b A -=，∴由正弦定理化简得：1sin cos sin cos sin 2A B B A C -=111sin()sin cos cos sin 222A B A B A B =+=+，整理得sin cos 3cos sin A B A B =， ∴cos cos 0A B >，∴tan 3tan A B =， ∴cos cos cos cos cos a A b B A ba B B a+=+cos sin cos sin tan 12322cos sin cos sin tan 3A B A B B B A B A A =+≥⋅===，当且仅当cos sin cos sin A B B A =，即π2A B +=时取等号．∴可得cos cos cos a A b B a B +23，故选D ．8．若函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，ππ22ϕ-<<）的部分图象如图所示，M ，N 分别是图象的最低点和最高点，其中2π164MN =+ABC △中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，且()3f A =2a =，则ABC △周长的取值范围是（）A ．(4,6]B ．(4,63]+C ．(23,6]+D ．(23,63]++【答案】C【解析】由图象可得：()f x 的周期45ππ[()]π3123T =--=，即2ππω=，得2ω=，又由于π(,)12M A --，5π(,)12N A ，∴222ππ4()1624MN A =+=+，∴2A =，又将5π(,2)12N ，代入()2sin(2)f x x ϕ=+，5π2sin(2)212ϕ⨯+=， ∵ππ22ϕ-<<，解得π3ϕ=-，∴π()2sin(2)3f x x =-．由π()2sin(2)33f A A =-=∴ππ233A -=或π2π233A -=，解得π3A =或π2A =（舍去），由正弦定理43sin sin sin b c a B C A ===，得4343ππsin )sin()]4sin()36b c B C B B B +=+=++=+， ∵ABC △是锐角三角形，2π3B C +=，π02B <<，π02C <<， ∴ππ62B <<，ππ2π363B <+<，∴234b c +≤， ∴ABC △周长的取值范围为(223,6]+．二、填空题9．如图所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25m 的建筑物CD ，为了测量该山坡相对水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测得15DAC ∠=︒，沿山坡前进50m 到达B 处，又测得45DBC ∠=︒，根据以上数据可得cos θ= ．31【解析】因为15DAC ∠=︒，45DBC ∠=︒，∴30ADB ∠=︒，在ABD △中，由正弦定理得sin sin AB BDADB BAD =∠∠，即501622=-， ∴62)BD =．在BCD △中，由正弦定理得sin sin CD BD DBC BCD=∠∠25(62)2-=，∴sin 31BCD ∠=，∴cos sin(π)sin 31BCD BCD θ=-∠=∠=．10．在ABC △中，D 为AB 的中点，若23BA DC AB AC ⋅=⋅u u u r u u u ru u u r u u u r，则tan tan tan A B C ++的最小值是． 153【解析】根据D 为AB 的中点，若23BA DC AB AC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，得到()3AB CA CB AB AC ⋅+=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，化简整理得4BA BC AB AC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，即cos 4cos ca B cb A =，根据正弦定理得sin cos 4sin cos A B B A =，进一步求得tan 4tan A B =，∴322tan tan 5tan 20tan tan tan tan tan tan 5tan 1tan tan 14tan 14tan A B B BA B C A B B A B B B+-++=+-=-=---，令tan t B =，构造函数3220t ()14f t t-=-，∴222220t (43)()(14)t f t t -'=-，令()0f t '=，可知当32t =时，min 332015383144()f t -⨯=-=⨯ ∴tan tan tan A B C ++153． 11．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，点O 为ABC △外接圆的圆心，若3a =232c C b +=，AO mAB nAC =+u u u r u u u r u u u r，则m n +的最大值为．【答案】23【解析】由232c C b +=，可得2222322a b c c b ab+-+=，即22223()2abc a b c ab ++-=．∵3a =2221πcos 23b c a bc A A +-=⇒=⇒=，由正弦定理可得圆O 半径为112sin aA⨯=，即1AO OB OC ===u u u r u u u r u u u r ，根据余弦定理可知：2221131cos 222OB OC a BOC OB OC+-+-∠===-u u u r u u u r u u u r u u u r，∴2π3BOC ∠=．又()()()AO mAB nAC m OB OA n OC OA mOB nOC m n AO =+=-+-=+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，∴(1)m n AO mOB nOC --=+u u u r u u u r u u u r．∴222222(1)2cos m n AO m OB n OC mn OB OC BOC --=++⋅∠u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴222(1)m n m n mn --=+-，整理可得3221mn m n =+-，又2()2m n mn +≤，得232()1()4m n m n +-≤+，解得23m n +≤或2m n +≥，当2m n +≥时，点O 在ABC △外部，且πBOC A ∠+∠=，所以B ，O ，C ，A 四点共圆，不满足题意，舍去，∴23m n +≤（当且仅当13m n ==时取等号），即m n +的最大值为23． 12．如图，在ABC △中，3sin2ABC ∠=D 在线段AC 上，且2AD DC =，43BD =，则ABC △的面积的最大值为．【答案】32【解析】由3sin2ABC ∠=6cos 2ABC ∠= 则22sin 2sincos 22ABC ABC ABC ∠∠∠==．由32sin232ABC ∠=<，可知452ABC ∠<︒，则90ABC ∠<︒，由同角三角函数基本关系可知：1cos 3ABC ∠=．设AB x =，BC y =，3AC z =（0x >，0y >，0z >），在ABD △中由余弦定理可得：2216(2)3cos 4322z x BDA z+-∠=⨯⨯在CBD △中由余弦定理可得：22163cos 432z y BDC z+-∠=⨯⨯由于180BDA BDC ∠+∠=︒，故cos cos BDA BDC ∠=-∠，22221616(2)334343222z x z y z z+-+-=⨯⨯⨯⨯，整理可得22216620z x y +--=，①在ABC △中，由余弦定理可知：22212(3)3x y xy z +-⨯=，则2222246339z x y xy =+-，代入①式整理计算可得2214416339x y xy ++=，由均值不等式的结论可得2214416163399x y xy xy ≥⨯=，故9xy ≤，当且仅当32x =322y =∴1122sin 93222ABC S xy ABC =⋅∠≤⨯=△ABC △面积的最大值为32三、解答题13．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且cos cos 3cos c B b C a B +=．（1）求cos B 的值；（2）若2CA CB -=u u u r u u u r，ABC △的面积为22b ．【答案】（1）13；（2）3b =．【解析】（1）由cos cos 3cos c B b C a B +=及余弦定理得：2222222223222a c b a b c a c b c b aac ab ac +-+-+-+=，整理得22223ac a c b =+-， ∴由余弦定理得222213cos 223aca cb B ac ac +-===．（2）∵在ABC △中，(0,π)B ∈，又∵1cos 3B =，∴22122sin 1cos 1()3B B =-=-= 由2CA CB -=u u u r u u u r 得2BA =u u u r ，即2c =，由1sin 222S ac B ==，可得3a =，由余弦定理得2222212sin 3223203b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，∴3b =． 14．已知函数3π()322sin()sin(π)2f x x x x =++-，x ∈R ．（1）最小正周期及对称轴方程；（2）已知锐角ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()3f A =，3a =，求BC 边上的高的最大值．【答案】（1）πT =，对称轴方程为ππ()212k x k =-∈Z ；（2）332．【解析】（1）3π()322sin()sin(π)322cos sin 2f x x x x x x x =++-=- 31π32sin 22(2sin 2)2cos(2)26x x x x x =-=-=+， ∴2ππ2T ==，令π2π()6x k k +=∈Z ，即ππ()212k x k =-∈Z ，∴函数()f x 的对称轴方程为ππ()212k x k =-∈Z ．（2）∵π()2cos(2)6f x x =+，∴π()2cos(2)36f A A =+=-π3cos(2)6A +=， ∵π02A <<，∴ππ7π2666A <+<，∴π5π266A +=，∴π3A =．设BC 边上的高为h ，则11sin 22ABC S bc A a h ==⋅△，即3bc h =，36h =， ∵2222291cos 222b c a b c A bc bc +-+-===，∴2292bc b c bc +=+≥，∴9bc ≤，当且仅当3b c ==时取等号． ∵π3A =，∴3b c a ===，等号能成立，∴此时33h =，∴h 33． 15．如图，某市在海岛A 上建了一水产养殖中心．在海岸线l 上有相距70公里的B 、C 两个小镇，并且30AB =公里，80AC =公里，已知B 镇在养殖中心工作的员工有3百人，C 镇在养殖中心的员工有5百人．现欲在BC 之间建一个码头D ，运送来自两镇的员工去养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为1:2．（1）求sin ABC ∠的大小；（2）设ADB θ∠=，试确定θ的大小，使得单程运输总成本最少．【答案】（143；（2）π3θ=．【解析】（1）在ABC △中，900490064001cos 230707ABC +-∠==-⨯⨯，∴43sin ABC ∠=．（2）在ABD △中，由30sin 43143sin cos θθθ==-+，得1203AD =，1203cos 307BD θ=．设水路运输的每百人每公里的费用为k 元，陆路运输的每百人每公里的费用为2k 元，则单程运输总费用62432cos (53)2820(35)7sin y CD BD k k AD k θθ-=+⨯+⨯=+，令2cos ()sin H θθθ-=，则212cos ()sin H θθθ-'=，当π03θ<<时，()0H θ'<，()H θ单调递减；当ππ32θ<<时，()0H θ'>，()H θ单调递增， ∴π3θ=时，()H θ取最小值，同时y也取得最小值，此时907BD=，满足900707<<，所以点D落在BC之间．∴π3θ=时，运输总成本最小．。

精品高考数学专题七解三角形精准培优专练理

【最新】2019年高考数学专题七解三角形精准培优专练理
1．解三角形中的要素
例1：的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则_____．
【答案】
【解析】（1）由已知，，求可联想到使用正弦定理：，
代入可解得：．由可得：，所以．
2．恒等式背景
例2：已知，，分别为三个内角，，的对边，
且有．
（1）求；
（2）若，且的面积为，求，．
3．在中，角，，所对应的边分别是，，，若，则三角形一定是（）
A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
【答案】C
【解析】∵，由正弦定理，，∴，
∵，，为的内角，∴，，，
∴，，整理得，
∴，即．故一定是等腰三角形．故选C．
4．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为（）
A．B．C．D．
【解析】（1）由题意，
在中，由余弦定理可得
即或（舍），
∴的面积．
（2）在中，由正弦定理得，
代入得，由为锐角，故，
所以，
在中，由正弦定理得，
∴，解得．
得，∴进而可得，
∴，则是等边三角形．故选D．
12．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，
则（）
A．B．C．或D．
【答案】B
【解析】利用正弦定理，同角三角函数关系，原式可化为：，
去分母移项得：，
所以，
所以．由同角三角函数得，
由正弦定理，解得所以或（舍）．故选B．
二、填空题
13．在中，角，，的对边分别为，，，，，则角的最大值为_____；
三、解答题
17．己知，，分别为三个内角，，的对边，且．
（1）求角的大小；
（2）若，且的面积为，求的值．

高考数学专题七解三角形精准培优专练文

培优点七解三角形1．解三角形中的要素例1：ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c =b =，60B =o ，则C =_____．【答案】30C =o【解析】（1）由已知B ，b ，c 求C 可联想到使用正弦定理：sin sin sin sin b c c BC B C b=⇒=，代入可解得：1sin 2C =．由c b <可得：60C B <=o ，所以30C =o ．2．恒等式背景例2：已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，且有cos sin 0a C C b c --=．（1）求A ；（2）若2a =，且ABC △b ，c ．【答案】（1）3π；（2）2，2．【解析】（1）cos sin 0a C C b c --=sin cos sin sin sin 0A C A C B C ⇒--=()sin cos sin sin sin 0A C A C A C C ⇒-+-=sin cos sin sin cos sin cos sin 0A C A C A C C A C ⇒---=，1cos 12sin 1sin 662A A A A ππ⎛⎫⎛⎫-=⇒-=⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴66A ππ-=或566A ππ-=（舍），∴3A π=；（2）1sin 42ABC S bc A bc ==△，222222cos 4a b c bc A b c bc =+-⇒=+-，∴22224844b c bc b c bc bc ⎧⎧+-=+=⇒⎨⎨==⎩⎩，可解得22b c =⎧⎨=⎩．一、单选题1．在ABC △中，1a =，6A π∠=，4B π∠=，则c =（） ABCD【答案】A【解析】由正弦定理sin sin a bA B =可得1sinsin 4sin sin 6a Bb A π⨯===π，且()()cos cos cos cos sin sin C A B A B A B =-+=--=由余弦定理可得：c =．故选A ． 2．在ABC △中，三边长7AB =，5BC =，6AC =，则AB BC ⋅uu u v uu u v等于（）A ．19B ．19-C ．18D ．18-【答案】B【解析】∵三边长7AB =，5BC =，6AC =，∴22222275619cos 227535AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯， ()19cos 751935AB BC AB BC B ⎛⎫⋅=⋅π-=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭uu u v uu u v ．故选B ．3．在ABC △中，角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，若2cos c a B =，则三角形一定是（）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形【答案】C【解析】∵2cos c a B =，由正弦定理2sin c R C =，2sin a R A =，∴sin 2sin cos C A B =， ∵A ，B ，C 为ABC △的内角，∴()sin sin C A B =+，A ，()0,B ∈π，∴()sin 2sin cos A B A B +=，sin cos cos sin 2sin cos A B A B A B +=，整理得()sin 0A B -=， ∴0A B -=，即A B =．故ABC △一定是等腰三角形．故选C ．对点增分集训4．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3C π=，c 3b a =，则ABC △的面积为（） ABCD【答案】A 【解析】已知3C π=，c 3b a =， ∴由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，可得：2222227937a b ab a a a a =+-=+-=，解得：1a =，3b =，∴11sin 1322ABC S ab C ==⨯⨯=V A ．5．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22a b bc -=，sin C B =，则A =（） A ．30︒ B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒【答案】A【解析】根据正弦定理由sin C B =得：c =，所以222a b =-，即227a b =，则222222cos 2b c a A bc +-===，又()0,A ∈π，所以6A π=．故选A ． 6．设ABC △的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果()()3a b c b c a bc +++-=，且a ABC △外接圆的半径为（） A ．1 BC ．2D ．4【答案】A【解析】因为()()3a b c b c a bc +++-=，所以()223b c a bc +-=，化为222b c a bc +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，又因为()0,A ∈π，所以3A π=，由正弦定理可得22sin aR A===，所以1R =，故选A ．7．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222b c a bc +=+，若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC △的形状是（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】C【解析】因为2sin sin sin B C A ⋅=，所以2222b c a R R R ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，也就是2a bc =，所以222b c bc +=，从而b c =，故a b c ==，ABC △为等边三角形．故选C ．8．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 且满足cos cos a B b A c -=，则ABC △是（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形【答案】B【解析】利用正弦定理sin sin sin a b cA B C==化简已知的等式得： sin cos sin cos sin A B B A C -=，即()sin sin A B C -=，∵A ，B ，C 为三角形的内角，∴A B C -=，即2A B C π=+=，则ABC △为直角三角形，故选B ．9．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为，2b c -=，1cos 4A =-，则a 的值为（） A ．8 B ．16 C ．32 D ．64【答案】A【解析】因为0A <<π，所以sin A =又1sin 2ABC S bc A ===V ，∴24bc =，解方程组224b c bc -=⎧⎨=⎩得6b =，4c =，由余弦定理得2222212cos 64264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以8a =．故选A ．10．在ABC △中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边．若()sin cos 0b a C C +-=，则A =（） A ．4π B ．3π C ．34π D ．23π 【答案】C【解析】()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，∵()sin cos 0b a C C +-=，可得：()sin sin sin cos 0B A CC +=﹣，∴sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=，∴cos sin sin sin 0A C A C +=， ∵sin 0C ≠，∴cos sin A A =-，∴tan 1A =-， ∵2A π<<π，∴34A =π．故答案为C ． 11．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c o s c o s c o s ab c A B C==，则ABC△是（） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形【答案】D 【解析】∵cos cos cos a b cA B C==，由正弦定理得：2sin a R A =⋅，2sin b R B =⋅，2sin c R C =⋅代入，得sin sin sin cos cos cos A B CA B C==，∴进而可得tan tan tan A B C ==， ∴A B C ==，则ABC △是等边三角形．故选D ．12．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =c =，tan 21tan A cB b+=，则C ∠=（） A ．6π B ．4π C ．4π或34π D ．3π【答案】B【解析】利用正弦定理，同角三角函数关系，原式可化为：sin cos 2sin 1cos sin sin A B CA B B+=，去分母移项得：sin cos sin cos 2sin cos B A A B C A +=，所以()sin sin 2sin cos A B C C A +==，所以1cos 2A =．由同角三角函数得sin A =，由正弦定理sin sin a c A C =，解得sin C =所以4C π∠=或34π（舍）．故选B ．二、填空题13．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，c =2216b a -=，则角C 的最大值为_____；【答案】6π 【解析】在ABC △中，由角C 的余弦定理可知22222222232cos 224b a a b a b c a b C ab ab ab -+-+-+===≥，又因为0C <<π，所以max 6C π=．当且仅当a =，b =14．已知ABC △的三边a ，b ，c 成等比数列，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，则sin cos B B +的取值范围是_________．【答案】(【解析】∵ABC △的三边a ，b ，c 成等比数列， ∴2222cos 22cos ac b a c ac B ac ac B ==+-≥-，得1cos 2B ≥，又∵0B <<π，∴03B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，74412B πππ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，，可得(sin cos 4B B B π⎛⎫+=+∈ ⎪⎝⎭，故答案为(． 15．在ABC △中三个内角A ∠，B ∠，C ∠，所对的边分别是a ，b ，c ，若()2s i nc o s 2s i n c o s b C A A C +=-，且a =ABC △面积的最大值是________【解析】∵()2sin cos 2sin cos b C A A C +=-，∴()()cos 2sin cos sin cos 2sin 2sin b A C A A C A C B =-+=-+=-，则2sin cos b B A -=，结合正弦定理得2cos sin a A A -==，即tan A =23A ∠=π 由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==-，化简得22122b c bc bc +=-≥，故4bc ≤，11sin 422ABC S bc A =≤⨯⨯=△16．在锐角ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，b则ABC △面积的取值范围是__________．【答案】⎝⎦【解析】∵ABC △中A ，B ，C 成等差数列，∴3B π=．由正弦定理得2sin sin sin sin 3a c b A C B ====，∴2sin a A =，2sin c C =，∴12sin sin sin 23ABC S ac B A C A A π⎛⎫===- ⎪⎝⎭△21331cos2sin sin cos sin 22242AA A A A A A A ⎫-=+==⎪⎪⎝⎭3sin 22246A A A π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭， ∵ABC △为锐角三角形，∴022032A A π⎧<<⎪⎪⎨ππ⎪<-<⎪⎩，解得62A ππ<<．∴52666A πππ<-<，∴1sin 2126A π⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，26A π⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，故ABC △面积的取值范围是⎝⎦．三、解答题17．己知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C cos 2sin A C+=．（1）求角A 的大小；（2）若5b c +=，且ABC △a 的值．【答案】（1）23π；（2【解析】（1cos 2sin A C+=，∵sin 0C ≠cos 2A A -=，即sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．∵0A <<π∴666A ππ5π-<-<，∴62A ππ-=，∴23A π=．（2）由ABC S △1sin 2S bc A =4bc =，∵5b c +=，∴由余弦定理得：()22222cos 21a b c bc A b c bc =+-=+-=，∴a =18．如图，在ABC △中，点D 在BC 边上，60ADC ∠=︒，AB =，4BD =．．（1）求ABD △的面积．（2）若120BAC ∠=o ，求AC 的长．【答案】（1）；（2 【解析】（1）由题意，120BDA ∠=︒在ABD △中，由余弦定理可得2222cos120AB BD AD BD AD =+-⋅⋅︒ 即2281642AD AD AD =++⇒=或6AD =-（舍），∴ABD △的面积11sin 4222S DB DA ADB =⋅⋅⋅∠=⨯⨯⨯= （2）在ABD △中，由正弦定理得sin sin AD ABB BDA=∠，代入得sin B =B 为锐角，故cos B =，所以()sin sin 60sin 60cos cos60sin C B B B =︒-=︒-︒=，在ADC △中，由正弦定理得sin sin AD ACC CDA=∠，∴=，解得AC。

高考数学总复习培优练习：解三角形(含答案)

高考数学总复习培优练习：解三角形（含答案）1．解三角形中的要素例1：ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2c 6b ，60B =，则C =_____．【答案】30C =【解析】（1）由已知B ，b ，c 求C 可联想到使用正弦定理：sin sin sin sin b c c BC B C b=⇒=，代入可解得：1sin 2C =．由c b <可得：60C B <=，所以30C =．2．恒等式背景例2：已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，且有cos 3sin 0a C a C b c --=．（1）求A ；（2）若2a =，且ABC △3b ，c ．【答案】（1）3π；（2）2，2．【解析】（1）cos 3sin 0a C a C b c --= sin cos 3sin sin sin sin 0A C A C B C ⇒--=()sin cos 3sin sin sin sin 0A C A C A C C ⇒-+-=sin cos 3sin sin sin cos sin cos sin 0A C A C A C C A C ⇒---=，13cos 12sin 1sin 662A A A A ππ⎛⎫⎛⎫-=⇒-=⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴66A ππ-=或566A ππ-=（舍），∴3A π=；（2）1sin 342ABC S bc A bc ==△，222222cos 4a b c bc A b c bc =+-⇒=+-，∴22224844b c bc b c bc bc ⎧⎧+-=+=⇒⎨⎨==⎩⎩，可解得22b c =⎧⎨=⎩．一、单选题1．在ABC △中，1a =，6A π∠=，4B π∠=，则c =（） A 62+ B 62- C 6D 2 【答案】A【解析】由正弦定理sin sin a bA B =可得1sinsin 42sin sin 6a Bb A π⨯===π，且()()62cos cos cos cos sin sin C A B A B A B -=-+=--= 由余弦定理可得：2262622cos 122124c a b ab C -+=+-++⨯⨯⨯．故选A ． 2．在ABC △中，三边长7AB =，5BC =，6AC =，则AB BC ⋅等于（） A ．19 B ．19-C ．18D ．18-【答案】B【解析】∵三边长7AB =，5BC =，6AC =，∴22222275619cos 227535AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯， ()19cos 751935AB BC AB BC B ⎛⎫⋅=⋅π-=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭．故选B ．3．在ABC △中，角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，若2cos c a B =，则三角形一定是（）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形【答案】C【解析】∵2cos c a B =，由正弦定理2sin c R C =，2sin a R A =，∴sin 2sin cos C A B =， ∵A ，B ，C 为ABC △的内角，∴()sin sin C A B =+，A ，()0,B ∈π，∴()sin 2sin cos A B A B +=，sin cos cos sin 2sin cos A B A B A B +=，整理得()sin 0A B -=， ∴0A B -=，即A B =．故ABC △一定是等腰三角形．故选C ． 4．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3C π=，7c =3b a =，则ABC △对点增分集训的面积为（） A 33B 23- C 2D 23+ 【答案】A 【解析】已知3C π=，7c 3b a =， ∴由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，可得：2222227937a b ab a a a a =+-=+-=，解得：1a =，3b =，∴11333sin 1322ABCSab C ==⨯⨯=A ． 5．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22a b bc -=，sin 23sin C B =，则A =（） A ．30︒ B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒【答案】A【解析】根据正弦定理由sin 23sin C B =得：23c b =，所以2223323a b bc b =-，即227a b =，则22222223cos 243b c a A bc b +-===，又()0,A ∈π，所以6A π=．故选A ． 6．设ABC △的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果()()3a b c b c a bc +++-=，且3a ABC △外接圆的半径为（） A ．1 B 2C ．2D ．4【答案】A【解析】因为()()3a b c b c a bc +++-=，所以()223b c a bc +-=，化为222b c a bc +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，又因为()0,A ∈π，所以3A π=，由正弦定理可得322sin 3aR A===，所以1R =，故选A ．7．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222b c a bc +=+，若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC △的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】C【解析】因为2sin sin sin B C A ⋅=，所以2222b c a R R R ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，也就是2a bc =，所以222b c bc +=，从而b c =，故a b c ==，ABC △为等边三角形．故选C ．8．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 且满足cos cos a B b A c -=，则ABC △是（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形【答案】B【解析】利用正弦定理sin sin sin a b cA B C==化简已知的等式得： sin cos sin cos sin A B B A C -=，即()sin sin A B C -=，∵A ，B ，C 为三角形的内角，∴A B C -=，即2A B C π=+=，则ABC △为直角三角形，故选B ．9．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为315，2b c -=，1cos 4A =-，则a 的值为（） A ．8 B ．16 C ．32 D ．64【答案】A【解析】因为0A <<π，所以215sin 1cos A A =- 又115sin 3152ABCSbc A ===，∴24bc =，解方程组224b c bc -=⎧⎨=⎩得6b =，4c =，由余弦定理得2222212cos 64264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以8a =．故选A ．10．在ABC △中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边．若()sin cos 0b a C C +-=，则A =（） A ．4π B ．3π C ．34π D ．23π 【答案】C【解析】()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，∵()sin cos 0b a C C +-=，可得：()sin sin sin cos 0B A CC +=﹣，∴sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=，∴cos sin sin sin 0A C A C +=， ∵sin 0C ≠，∴cos sin A A =-，∴tan 1A =-， ∵2A π<<π，∴34A =π．故答案为C ． 11．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若cos cos cos a b cA B C==，则ABC △是（） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形【答案】D 【解析】∵cos cos cos a b cA B C==，由正弦定理得：2sin a R A =⋅，2sin b R B =⋅，2sin c R C =⋅代入，得sin sin sin cos cos cos A B CA B C==，∴进而可得tan tan tan A B C ==， ∴A B C ==，则ABC △是等边三角形．故选D ．12．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知23a =，22c =，tan 21tan A cB b+=，则C ∠=（） A ．6π B ．4π C ．4π或34π D ．3π【答案】B【解析】利用正弦定理，同角三角函数关系，原式可化为：sin cos 2sin 1cos sin sin A B CA B B+=，去分母移项得：sin cos sin cos 2sin cos B A A B C A +=，所以()sin sin 2sin cos A B C C A +==，所以1cos 2A =．由同角三角函数得3sin A =，由正弦定理sin sin a c A C =，解得2sin C =所以4C π∠=或34π（舍）．故选B ．二、填空题13．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，22c =，2216b a -=，则角C 的最大值为_____；【答案】6π 【解析】在ABC △中，由角C 的余弦定理可知222222222332cos 224b a a b a b c a b C ab ab ab -+-+-+===≥，又因为0C <<π，所以max 6C π=．当且仅当22a =，26b =14．已知ABC △的三边a ，b ，c 成等比数列，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，则sin cos B B +的取值范围是_________．【答案】(2⎤⎦，【解析】∵ABC △的三边a ，b ，c 成等比数列， ∴2222cos 22cos ac b a c ac B ac ac B ==+-≥-，得1cos 2B ≥，又∵0B <<π，∴03B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，74412B πππ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，，可得(sin cos 224B B B π⎛⎫⎤+=+∈ ⎪⎦⎝⎭，，故答案为(2⎤⎦，． 15．在ABC △中三个内角A ∠，B ∠，C ∠，所对的边分别是a ，b ，c ，若()2sin cos 2sin cos b C A A C +=-，且23a =，则ABC △面积的最大值是________3【解析】∵()2sin cos 2sin cos b C A A C +=-，∴()()cos 2sin cos sin cos 2sin 2sin b A C A A C A C B =-+=-+=-，则2sin cos b B A -=，结合正弦定理得223cos sin a A A -==，即tan 3A =-，23A ∠=π 由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==-，化简得22122b c bc bc +=-≥，故4bc ≤，113sin 4322ABC S bc A =≤⨯=△3 16．在锐角ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，3b则ABC △面积的取值范围是__________．【答案】333⎝⎦，【解析】∵ABC △中A ，B ，C 成等差数列，∴3B π=．由正弦定理得32sin sin sin sin 3a c b A C B ====π，∴2sin a A =，2sin c C =， ∴132sin 3sin 3sin 23ABC S ac B A C A A π⎛⎫===- ⎪⎝⎭△ 23133331cos23sin sin sin cos sin 22242AA A A A A A A ⎫-=+==⎪⎪⎝⎭ 33333sin 22246A A A π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭， ∵ABC △为锐角三角形，∴022032A A π⎧<<⎪⎪⎨ππ⎪<-<⎪⎩，解得62A ππ<<．∴52666A πππ<-<，∴1sin 2126A π⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，3333326A π⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，故ABC △面积的取值范围是333⎝⎦，．三、解答题17．己知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 3cos 2sin a A C+=．（1）求角A 的大小；（2）若5b c +=，且ABC △3a 的值．【答案】（1）23π；（221 【解析】（13sin cos 2sin A A C+=，∵sin 0C ≠，∴3sin cos 2A A -=，即sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．∵0A <<π∴666A ππ5π-<-<，∴62A ππ-=，∴23A π=．（2）由3ABC S =△可得1sin 32S bc A ==．∴4bc =，∵5b c +=，∴由余弦定理得：()22222cos 21a b c bc A b c bc =+-=+-=， ∴21a =．18．如图，在ABC △中，点D 在BC 边上，60ADC ∠=︒，27AB =，4BD =．．（1）求ABD △的面积．（2）若120BAC ∠=，求AC 的长．【答案】（1）23；（27 【解析】（1）由题意，120BDA ∠=︒在ABD △中，由余弦定理可得2222cos120AB BD AD BD AD =+-⋅⋅︒ 即2281642AD AD AD =++⇒=或6AD =-（舍）， ∴ABD △的面积113sin 42322S DB DA ADB =⋅⋅⋅∠=⨯⨯= （2）在ABD △中，由正弦定理得sin sin AD ABB BDA=∠，代入得21sin B =B 为锐角，故57cos B =，所以()21sin sin 60sin 60cos cos60sin C B B B =︒-=︒-︒=，在ADC △中，由正弦定理得sin sin AD ACC CDA=∠， 213=，解得7AC。

2020届高考数学专题七解三角形精准培优专练(文)

培优点七解三角形例1：ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3cos cos cos a A b C c B =+，3b c +=，则a 的最小值为（） A ．1 BC ．2D ．3【答案】B【解析】在ABC △中，∵3cos cos cos a A b C c B =+，由正弦定理可得3sin cos sin cos sin cos sin()sin A A B C C B B C A =+=+=，即3sin cos sin A A A =，又(0,π)A ∈，∴sin 0A ≠，∴1cos 3A =．因为3b c +=，所以两边平方可得2229b c bc ++=，由222b c bc +≥，可得9224bc bc bc ≥+=，解得94bc ≤，当且仅当32b c ==时等号成立，又∵2222cos a b c bc A =+-，∴22222889()933334bc a b c bc b c =+-=+-≥-⨯=，所以a．故选B ．一、正余弦定理的综合应用例2：已知函数π()2sin()cos 3f x x x =+⋅．（1）若π02x ≤≤，求函数()f x 的值域；（2）设ABC △的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A 为锐角且()f A =，2b =，3c =，求cos()A B -的值．【答案】（1）0,1⎡+⎢⎣⎦；（2．【解析】（1）2π()2sin()cos (sin )cos sin cos 3f x x x x x x x x x =+⋅=⋅=+1πsin 22sin(2)23x x x =++=+，由π02x ≤≤，得ππ4π2333x ≤+≤，∴πsin(2)123x -≤+≤， ∴π0sin(2)1322x ≤++≤+()f x 的值域为0,1⎡⎢⎣⎦．（2）由π()sin(2)3f A A =++=，得πsin(2)03A +=，又由π02A <<，∴ππ4π2333A <+<，∴π2π3A +=，解得π3A =，二、正余弦定理与三角函数图象性质的综合应用在ABC △中，由余弦定理2222cos 7a b c bc A =+-=，解得a =由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin 7b A B a ==， ∵b a <，∴B A <，∴cos B =，∴1cos()cos cos sin sin 272714A B A B A B -=+=⨯+⨯=．例3：某动物园管理处计划利用空地建设一个开放性的三角形场地（如图ABC △），测得2km AB =，90ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒，在此三角形场地中挖去一个正三角形形状（如图PMN △）的人工湖，该正三角形的顶点在场地的边界线上，则人工湖面积的最小值为2km ．【解析】由题知ABC △为直角三角形，且90ABC ∠=︒，且30ACB ∠=︒，三、三角函数模型及其应用所以BC =4AC =．设正三角形PMN 的边长为t ，BPM θ∠=，则90PMB θ∠=︒-，而60MPN MNP PMN ∠=∠=∠=︒，所以30NMC θ∠=︒+，PNA θ∠=，120NPA θ∠=︒-．在PBM Rt △中，sin BM t θ=，cos PB t θ=．在PAN △中，由正弦定理sin sin PN APPAN PNA=∠∠，得sin 60sin t AP θ=︒，解得sin sin sin 603t AP t θθ==︒，所以cos sin 2AB BP PA t θθ=+=+=，解得t ==．而PMN △的面积2244S ===27sin ()θβ=+（其中sin β=，cos β=）．因为2sin ()1θβ+≤，所以S2km ．一、选择题1．在ABC△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若1b=，(2sin)cosa B C A-=，点G是ABC△的重心，且AG=ABC△的面积为（）A B．2C D．4【答案】D【解析】由正弦定理得2sin sin cos cosA B A C C A=，∴2sin sin)A B A C B=+=，∴sin2A=，∴π3A=或2π3，又AG=AG交BC于点D，∴AD=∵1()2AD AB AC=+u u u r u u u r u u u r，∴222211()(2cos)44AD AB AC b c bc A=+=++u u u r u u u r u u u r，当π3A=时，3c=，∴ABC△的面积为1sin2bc A=当2π3A=时，4c=，∴ABC△的面积为1sin2bc A=故选D．2．在ABC△中，已知32sin4cos2B B+=，且B为锐角．若(4(sin sin)B AC A C+=⋅+，且对点增分集训ABC △，则ABC △的周长为（）A ．7+B ．8+C ．5+D ．6【答案】C【解析】ABC △中，232sin 4cos 24(12sin )B B B +==-．解得1sin 4B =或1sin 2B =-，又B 为锐角，∴1sin 4B =．设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∵(4(sin sin )B AC A C +=⋅+，∴(4()b b a c =⋅+，∴4a c +=又∵ABC △的面积为2，∴111sin 2242ac B ac =⨯=，∴ac =∵B 为锐角，∴cos B =，由余弦定理得22222cos ()221b a c ac B a c ac ac =+-=+--=，解得1b =，∴ABC △的周长为5+3．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin()sin()3sin 2B A B A A ++-=，且c =π3C =，则ABC △的面积是（）A B C D 【答案】D【解析】依题意由sin cos cos sin sin cos cos sin 6sin cos B A B A B A B A A A ++-=，即sin 3sin B A =或cos 0A =．当sin 3sin B A =时，由正弦定理得3b a =，①由余弦定理得222π2cos3a b ab =+-，② 解由①②组成的方程组得1a =，3b =，所以三角形面积为1π1sin 13232S ab ==⨯⨯=当cos 0A =时，π2A =时，三角形为直角三角形，33b c ==，故三角形面积11223S bc ==⨯=．，故选D ． 4．已知函数π()2cos(2)2cos 213f x x x =+-+．若锐角ABC △中角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，且()0f A =，则b c的取值范围是（）A ．(1,2)B ．1(,2)2C ．(1,3)D ．3(,3)2【答案】B【解析】π()2cos(2)2cos 212cos 213f x x x x x =+-+=-+π2sin(2)16x =-++，由π()2sin(2)106f A A =-++=，解得π3A =，2π3B C +=，∴2πsin()sin 13sin sin 2C bBcCC -===+，又ABC △为锐角三角形，故ππ62C <<，∴11222tan 2b c C <=+<，于是bc 的取值范围是1(,2)2．5．如图，公路AM ，AN 围成的是一块耕地，其中tan 3A =-，在该块土地中，P 处有一小型建筑物，经测量，它到公路AM ，AN 的距离分别为3kmkm ，现在要过点P 修建一条直线公路BC ，将三条公路围成的区域ABC 建成一个工业园．为节省耕地，则工业园的最小面积为（）2km ．A ．B ．C ．20D ．【答案】A【解析】过点P 作PE AM ⊥，PF AN ⊥，垂足分别为E ，F ，连接PA ．设AB x =，AC y =（x ，0y ≠），则1113(3)222ABC PAB PAC S S S x y x =+=⋅⋅+⋅=+△△△，① ∵tan 3A =-，∴sinA =12ABC S =△由①②得11(3)22x +=，即3x =．又3x +≥≥xy ≥，当且仅当3x =，即x =y =时取等号，∴1122ABC S =≥=△2km ． 6．在ABC △中，若tan tan tan tan 5tan tan A C A B B C +=，则sin A 的最大值为（）A ．7B ．7C ．9D ．3【答案】B【解析】已知条件得sin sin sin sin 5sin sin cos cos cos cos cos cos A C A B B CA C AB B C+=，∴sin (sin cos cos sin )5sin sin cos cos cos cos cos A C B C B B C A B C B C +=，∴sin sin 5sin sin cos A AB C A=，即222252b c a a bc bc+-=，∴22275()a b c =+，∴22222222252()()277cos 2227b c b c b c b c a A bc bc bc +-+++-===≥，当且仅当b c =时取等号，∴sin 7A =≤． 7．在ABC △中，角A 、B 、C 的对边是a ，b ，c ，若cos cos 2c a B b A -=，则cos cos cos a A b Ba B+的最小值为（）AB．3C．3D．3【答案】D【解析】∵cos cos 2c a B b A -=，∴由正弦定理化简得：1sin cos sin cos sin 2A B B A C -=111sin()sin cos cos sin 222A B A B A B =+=+，整理得sin cos 3cos sin A B A B =， ∴cos cos 0A B >，∴tan 3tan A B =，∴cos cos cos cos cos a A b B A ba B B a+=+cos sin cos sin 3A B B A =+≥===，当且仅当cos sin cos sin A B B A =，即π2A B +=时取等号．∴可得cos cos cos a A b B a B +的最小值为3，故选D ．8．若函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，ππ22ϕ-<<）的部分图象如图所示，M ，N 分别是图象的最低点和最高点，其中MN =ABC △中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，且()f A =，2a =，则ABC △周长的取值范围是（）A ．(4,6]B ．(4,6+C ．(2+D ．(2++【答案】C【解析】由图象可得：()f x 的周期45ππ[()]π3123T =--=，即2ππω=，得2ω=，又由于π(,)12M A --，5π(,)12N A ，∴MN ==2A =，又将5π(,2)12N ，代入()2sin(2)f x x ϕ=+，5π2sin(2)212ϕ⨯+=， ∵ππ22ϕ-<<，解得π3ϕ=-，∴π()2sin(2)3f x x =-．由π()2sin(2)3f A A =-=∴ππ233A -=或π2π233A -=，解得π3A =或π2A =（舍去），由正弦定理sin sin sin b c a B C A ===，得ππ(sin sin )sin()]4sin()3336b c B C B B B +=+=++=+， ∵ABC △是锐角三角形，2π3B C +=，π02B <<，π02C <<，∴ππ62B <<，ππ2π363B <+<，∴4b c <+≤，∴ABC △周长的取值范围为(2+．二、填空题9．如图所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25m 的建筑物CD ，为了测量该山坡相对水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测得15DAC ∠=︒，沿山坡前进50m 到达B 处，又测得45DBC ∠=︒，根据以上数据可得cos θ=．1【解析】因为15DAC ∠=︒，45DBC ∠=︒，∴30ADB ∠=︒，在ABD △中，由正弦定理得sin sin AB BDADB BAD =∠∠，即50124=∴BD =．在BCD △中，由正弦定理得sin sin CD BD DBC BCD=∠∠sin 2BCD =∠，∴sin 1BCD ∠=，∴cos sin(π)sin 1BCD BCD θ=-∠=∠=．10．在ABC △中，D 为AB 的中点，若23BA DC AB AC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则tan tan tan A B C ++的最小值是．【答案】4【解析】根据D 为AB 的中点，若23BA DC AB AC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，得到()3AB CA CB AB AC ⋅+=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，化简整理得4BA BC AB AC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，即cos 4cos ca B cb A =，根据正弦定理得sin cos 4sin cos A B B A =，进一步求得tan 4tan A B =，∴322tan tan 5tan 20tan tan tan tan tan tan 5tan 1tan tan 14tan 14tan A B B BA B C A B B A B B B+-++=+-=-=---，令tan t B =，构造函数3220t ()14f t t-=-，∴222220t (43)()(14)t f t t -'=-，令()0f t '=，可知当t =时，min 20834144()f t -=-=⨯． ∴tan tan tan A B C ++的最小值是4． 11．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，点O 为ABC △外接圆的圆心，若a =2c C b +=，AO mAB nAC =+u u u r u u u r u u u r，则m n +的最大值为．【答案】23【解析】由2c C b +=，可得22222a b c c b ab+-+=，即2222)2abc a b c ab ++-=．∵a =2221πcos 23b c a bc A A +-=⇒=⇒=，由正弦定理可得圆O 半径为112sin aA⨯=，即1AO OB OC ===u u u r u u u r u u u r ，根据余弦定理可知：2221131cos 222OB OC a BOC OB OC +-+-∠===-u u u r u u u r u u u r u u u r，∴2π3BOC ∠=．又()()()AO mAB nAC m OB OA n OC OA mOB nOC m n AO =+=-+-=+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，∴(1)m n AO mOB nOC --=+u u u ru u u ru u u r．∴222222(1)2cos m n AO m OB n OC mn OB OC BOC --=++⋅∠u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴222(1)m n m n mn --=+-，整理可得3221mn m n =+-，又2()2m n mn +≤，得232()1()4m n m n +-≤+，解得23m n +≤或2m n +≥，当2m n +≥时，点O 在ABC △外部，且πBOC A ∠+∠=，所以B ，O ，C ，A 四点共圆，不满足题意，舍去，∴23m n +≤（当且仅当13m n ==时取等号），即m n +的最大值为23． 12．如图，在ABC △中，sin23ABC ∠=，点D 在线段AC 上，且2AD DC =，3BD =，则ABC △的面积的最大值为．【答案】【解析】由sin2ABC ∠=cos 2ABC ∠=则sin 2sincos 22ABC ABC ABC ∠∠∠==．由sin232ABC ∠=<，可知452ABC ∠<︒，则90ABC ∠<︒，由同角三角函数基本关系可知：1cos 3ABC ∠=．设AB x =，BC y =，3AC z =（0x >，0y >，0z >），在ABD △中由余弦定理可得：2216(2)cos 3z x BDA +-∠=在CBD △中由余弦定理可得：2216cos z y BDC +-∠=，由于180BDA BDC ∠+∠=︒，故cos cos BDA BDC ∠=-∠，22221616(2)z x z y +-+-=，整理可得22216620z x y +--=，①在ABC △中，由余弦定理可知：22212(3)3x y xy z +-⨯=，则2222246339z x y xy =+-，代入①式整理计算可得2214416339x y xy ++=，由均值不等式的结论可得4161699xy xy ≥=，故9xy ≤，当且仅当x =y =∴11sin 9223ABC S xy ABC =⋅∠≤⨯⨯=△ABC △面积的最大值为三、解答题13．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且cos cos 3cos c B b C a B +=．（1）求cos B 的值；（2）若2CA CB -=u u u r u u u r，ABC △的面积为b ．【答案】（1）13；（2）3b =．【解析】（1）由cos cos 3cos c B b C a B +=及余弦定理得：2222222223222a c b a b c a c b c b aac ab ac+-+-+-+=，整理得22223ac a c b =+-， ∴由余弦定理得222213cos 223aca cb B ac ac +-===．（2）∵在ABC △中，(0,π)B ∈，又∵1cos 3B =，∴sin 3B ===由2CA CB -=u u u r u u u r 得2BA =u u u r ，即2c =，由1sin 2S ac B ==，可得3a =，由余弦定理得2222212sin 3223203b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，∴3b =．14．已知函数3π()22sin()sin(π)2f x x x x =++-，x ∈R ．（1）最小正周期及对称轴方程；（2）已知锐角ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()f A =3a =，求BC 边上的高的最大值．【答案】（1）πT =，对称轴方程为ππ()212k x k =-∈Z ；（2．【解析】（1）3π()22sin()sin(π)22cos sin 2f x x x x x x x =++-=-1π2sin 22sin 2)2cos(2)26x x x x x =-=-=+， ∴2ππ2T ==，令π2π()6x k k +=∈Z ，即ππ()212k x k =-∈Z ，∴函数()f x 的对称轴方程为ππ()212k x k =-∈Z ．（2）∵π()2cos(2)6f x x =+，∴π()2cos(2)6f A A =+=πcos(2)6A += ∵π02A <<，∴ππ7π2666A <+<，∴π5π266A +=，∴π3A =．设BC 边上的高为h ，则11sin 22ABC S bc A a h ==⋅△，即bc =，6h =， ∵2222291cos 222b c a b c A bc bc +-+-===，∴2292bc b c bc +=+≥，∴9bc ≤，当且仅当3b c ==时取等号．∵π3A =，∴3b c a ===，等号能成立，∴此时h =，∴h 15．如图，某市在海岛A 上建了一水产养殖中心．在海岸线l 上有相距70公里的B 、C 两个小镇，并且30AB =公里，80AC =公里，已知B 镇在养殖中心工作的员工有3百人，C 镇在养殖中心的员工有5百人．现欲在BC 之间建一个码头D ，运送来自两镇的员工去养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为1:2．（1）求sin ABC ∠的大小；（2）设ADB θ∠=，试确定θ的大小，使得单程运输总成本最少．【答案】（1（2）π3θ=．【解析】（1）在ABC △中，900490064001cos 230707ABC +-∠==-⨯⨯，∴sin 7ABC ∠=．（2）在ABD △中，由30sin θ==，得7sin AD θ=，307sin 7BD θθ=-．设水路运输的每百人每公里的费用为k 元，陆路运输的每百人每公里的费用为2k 元，则单程运输总费用62cos (53)2820(35)77sin y CD BD k k AD k θθ-=+⨯+⨯=++，令2cos ()sin H θθθ-=，则212cos ()sin H θθθ-'=，当π03θ<<时，()0H θ'<，()H θ单调递减；当ππ32θ<<时，()0H θ'>，()H θ单调递增， ∴π3θ=时，()H θ取最小值，同时y 也取得最小值，此时907BD =，满足900707<<，所以点D 落在BC 之间． ∴π3θ=时，运输总成本最小．。

高三优质精准培优专练数学(理)(学生版)(2021年整理)

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数学(理)培优点一函数的图象与性质01 培优点二函数零点06 培优点三含导函数的抽象函数的构造10 培优点四恒成立问题14 培优点五导数的应用18 培优点六三角函数23 培优点七解三角形29 培优点八平面向量33 培优点九线性规划36 培优点十等差、等比数列40培优点十一数列求通项公式43 培优点十二数列求和47 培优点十三三视图与体积、表面积51 培优点十四外接球56 培优点十五平行垂直关系的证明59 培优点十六利用空间向量求夹角67 培优点十七圆锥曲线的几何性质76 培优点十八离心率81 培优点十九圆锥曲线综合86 培优点二十几何概型932019届高三精准培优专练1．单调性的判断例１：（1）函数()212log (4)f x x -=的单调递增区间是（）A ．(0,)+∞B ．(0),-∞C ．(2,)+∞D ．(),2-∞-(2)223y x x +-+=的单调递增区间为________．2．利用单调性求最值例2:函数y x =________． 3．利用单调性比较大小、解抽象函数不等式例3:（1）已知函数()f x 的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当211x x >>时，()()2121()0f x f x x x -⋅-⎡⎤⎣⎦<恒成立，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2b f =，()3c f =，则a ,b ，c 的大小关系为（） A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．b a c >>（2)定义在R 上的奇函数()y f x =在(0,)+∞上递增,且102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则满足19log 0f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭的x 的集合为________________．４．奇偶性例４：已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞上单调递增,则满足1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 的取值范围是（）A ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎛⎫⎪⎝⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭５．轴对称例５：已知定义域为R 的函数()y f x =在[]0,7上只有1和3两个零点,且()2y f x =+与()7y f x =+ 都是偶函数,则函数()y f x =在[]0,2013上的零点个数为（）培优点一函数的图象与性质A ．404B ．804C ．806D ．402６．中心对称例６：函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是奇函数，则（ ) A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 是奇函数 C ．()()2f x f x =+ D ．()3f x +是奇函数７．周期性的应用例７：已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，且()()1g x f x =-, 则()()20172019f f +的值为（） A ．1-B ．1C ．0D ．无法计算一、选择题 1．若函数()2f x x a=+的单调递增区间是[)3,+∞，则a 的值为( ）A ．2-B ．2C ．6-D ．62．已知函数()2log 1y ax =-在()1,2上是增函数，则实数a 的取值范围是（） A ．(]0,1B ．[]1,2C ．[1,)+∞D ．[2,)+∞3．设函数()()()ln 1ln 1f x x x =-+-，则()f x 是（） A ．奇函数，且在(0,1)内是增函数 B ．奇函数，且在(0,1)内是减函数 C ．偶函数,且在(0,1)内是增函数 D ．偶函数，且在(0,1)内是减函数4．已知函数()y f x =的图象关于1x =对称,且在(1,)+∞上单调递增，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()2b f =, ()3c f =,则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．a b c <<5．已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()2(11)f g -+=,())114(f g -=+，则()1g 等于( ）A ．4B ．3C ．2D ．1对点增分集训36．函数1()cos (0)f x x x x x x ⎛⎫=--π≤≤π≠ ⎪⎝⎭且的图象可能为（ )7．奇函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +为偶函数,且()12f =,则()()45f f +的值为（） A ．2B ．1C ．1-D ．2-8．函数()f x 的图象向右平移1个单位，所得图象与曲线e x y =关于y 轴对称，则()f x 的解析式为（）A ．()1e xf x +=B ．()1e xf x -=C ．()1e xf x -+=D ．()1e xf x --=9．使2)og (l 1x x <+-成立的x 的取值范围是（ ) A ．()1,0-B ．[)1,0-C ．()2,0-D ．[)2,0-10．已知偶函数()f x 对于任意R x ∈都有()()1f x f x +=-，且()f x 在区间[]0,1上是单调递增的，则()65f -．，1()f -,()0f 的大小关系是( ） A ．()0 6.5()()1f f f <-<- B ．()6.5()()01f f f -<<- C ．()()(60)1.5f f f -<-<D ．()10()( 6.5)f f f -<<-11．对任意的实数x 都有()()()221f x f x f -=+，若(1)y f x =-的图象关于1x =对称，且()02f =，则()()20152016f f +=( ） A ．0B ．2C ．3D ．412．已知函数()e 1x f x =-，()243g x x x =-+-，若存在()()f a g b =,则实数b 的取值范围为（） A ．[0,3]B ．(1,3)C ．22,22⎡-+⎣D ．()22,22+二、填空题13．设函数()100010x x x f x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩,()21()g x x f x -=，则函数()g x 的递减区间是_______．14．若函数()R ()f x x ∈是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为()()101sin 12x x x xx f x ⎧-≤≤⎪=⎨π<≤⎪⎩，则294146f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________．15．设函数()||f x x a =+，()1g x x =-,对于任意的R x ∈，不等式()()f x g x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________．16．设定义在R 上的函数()f x 同时满足以下条件：①()0()f x f x +-=;②()()2f x f x =+；③当01x ≤≤时，()21x f x =-,则()1351(2)222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭________．三、解答题17．已知函数()ln(2)a f x x x=+-,其中a 是大于0的常数．（1）求函数()f x 的定义域；（2）当4()1,a ∈时，求函数()f x 在[2,)+∞上的最小值; (3）若对任意,[)2x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围．18．设()f x 是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且()1()1f x f x =+-,当10x -≤≤时，()f x x =-．(1)判定()f x 的奇偶性；(2）试求出函数()f x 在区间[]1,2-上的表达式．1．零点的判断与证明例1:已知定义在()1,+∞上的函数()ln 2f x x x =--，培优点二函数零点求证：()f x 存在唯一的零点，且零点属于()3,4．2．零点的个数问题例2：已知函数()f x 满足()()3f x f x =，当[)1,3x ∈，()ln f x x =，若在区间[)1,9内, 函数()()g x f x ax =-有三个不同零点，则实数a 的取值范围是（） A ．ln 31,3e ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．ln 31,93e ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．ln 31,92e ⎛⎫⎪⎝⎭ D ．ln 3ln 3,93⎛⎫⎪⎝⎭3．零点的性质例3：已知定义在R 上的函数()f x 满足：()[)[)2220,121,0x x f x xx ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩，且()()2f x f x +=，()252x g x x +=+，则方程()()f x g x =在区间[]5,1-上的所有实根之和为（） A ．5-B ．6-C ．7-D ．8-4．复合函数的零点例4:已知函数()243f x x x =-+，若方程()()20f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是（） A ．()2,0-B ．()2,1--C ．()0,1D ．()0,2一、选择题1．设()ln 2f x x x +-=，则函数()f x 的零点所在的区间为（）对点增分集训高三优质精准培优专练数学(理)(学生版)(word 版可编辑修改) A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,42．已知a 是函数()12log 2x x f x =-的零点，若00x a <<,则()0f x 的值满足( )A ．()00f x =B ．()00f x >C ．()00f x <D ．()0f x 的符号不确定3．函数2()2f x x a x=--的一个零点在区间()1,2内,则实数a 的取值范围是（ ) A ．()1,3B ．()1,2C ．()0,3D ．()0,24．若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a -----+-=+的两个零点分别位于区间（） A ．(),a b 和(),b c 内 B ．(,)a -∞和(),a b 内 C ．(),b c 和(),c +∞内D ．(,)a -∞和(),c +∞内5．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()e 3x f x x =+-，则()f x 的零点个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．46．函数()2201ln 0x x x xx f x ⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点个数为( ）A ．3B ．2C ．7D ．07．已知函数()101x x xf x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，则使方程()x f x m +=有解的实数m 的取值范围是( ）A ．()1,2B ．(],2-∞-C ．()(),12,-∞+∞D ．(][),12,-∞+∞8．若函数()312f x ax a +-=在区间()1,1-内存在一个零点，则a 的取值范围是（）A ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()1,1,5⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭C ．11,5⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．(),1-∞-9．已知函数()00ex x x f x ≤⎧=⎨>⎩，则使函数()()g x f x x m =+-有零点的实数m 的取值范围是（）A ．[)0,1B ．(1),-∞C ．(](),12,-∞+∞D ．(](),01,-∞+∞10．已知()f x 是奇函数且是R 上的单调函数,若函数221()()y f x f x λ++=-只有一个零点，则实8数λ的值是（） A ．14B ．18C ．78-D ．38-11．已知当[]0,1x ∈时，函数21()y mx =-的图象与y x m =+的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（） A ．(0,1][23,+)∞ B ．(]0,13[),+∞ C ．(0,2][23,+)∞D ．(0,2][3,+)∞12．已知函数()y f x =和()y g x =在[]2,2-的图像如下，给出下列四个命题: （1）方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且只有6个根 (2）方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且只有3个根（3）方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且只有5个根 (4）方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且只有4个根则正确命题的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．函数()052log ||x f x x -=-．的零点个数为________．14．设函数31y x =与2212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点为00(,)x y ,若0,1()x n n ∈+，n ∈N ，则0x 所在的区间是______．15．函数()22026ln 0f x x x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩的零点个数是________．16．已知函数()23||f x x x =+，R x ∈，若方程()1|0|f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围是________________．三、解答题17．关于x 的二次方程21()10x m x ++-=在区间[]0,2上有解，求实数m 的取值范围．18．设函数()1()10f x x x=->．（1）作出函数()f x 的图象;（2）当0a b <<且()()f a f b =时，求11a b+的值；（3）若方程()f x m =有两个不相等的正根，求m 的取值范围．1．对于()()'0f x a a >≠,可构造()()h x f x ax =-例1:函数()f x 的定义域为R ,()12f -=，对任意R x ∈,()2f x '>，则()24f x x >+的解集为( ） A ．()1,1-B ．()1-+∞，C ．()1-∞-，D ．()-∞+∞，培优点三含导函数的抽象函数的构造2．对于()()'0xf x f x +>，构造()()h x xf x =；对于()()'0xf x f x ->,构造()()f x h x x=例2:已知函数()y f x =的图象关于y 轴对称，且当(),0x ∈-∞，()()0f x xf x '+<成立，()0.20.222a f =，()log 3log 3b f ππ=，()33log 9log 9c f =,则a ，b ，c 的大小关系是（ )A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b a c >>3．对于'()()0f x f x +>，构造()()e x h x f x =;对于'()()f x f x >或'()()0f x f x ->，构造()()ex f x h x =例3：已知()f x 为R 上的可导函数，且R x ∀∈,均有()()f x f x '>，则有（） A ．2016e (2016)(0)f f -<，2016(2016)e (0)f f > B ．2016e (2016)(0)f f -<，2016(2016)e (0)f f < C ．2016e (2016)(0)f f ->,2016(2016)e (0)f f > D ．2016e (2016)(0)f f ->，2016(2016)e (0)f f < 4．()f x 与sin x ,cos x 构造例4：已知函数()y f x =对任意的,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>，则（）A ．()04f π⎛⎫> ⎪⎝⎭B ．()03f f π⎛⎫<2- ⎪⎝⎭C34f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D34f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭一、选择题1．若函数()y f x =在R 上可导且满足不等式()()0xf x f x '+>恒成立，对任意正数a 、b ，若a b <，则必有( ）对点增分集训A ．()()af b bf a 或D ．}{1x x |>3．已知函数()f x 的定义域为R ,()f x '为()f x 的导函数，且()()()10f x x f x '+->,则( ） A ．()10f =B ．()0f x <C ．()0f x >D ．()()10x f x -<4．设函数()f x '是函数()()R f x x ∈的导函数,已知()()f x f x '<,且()()4f x f x ''=-，()40f =,()21f =则使得()2e 0x f x -<成立的x 的取值范围是（）A ．()2-+∞，B ．()0+∞，C ．()1+∞，D ．()4+∞，5．已知函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，函数()y f x =对于任意的()0,πx ∈满足()()sin cos f x x f x x >'（其中()f x '是函数()f x 的导函数)，则下列不等式成立的是（）A ．ππ36f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 3ππ42f ⎛⎫⎛⎫<-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ππ223f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 5π3π64f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x ',若对任意实数x ，有()()f x f x >'，且()2018f x +为奇函数，则不等式()2018e 0x f x +<的解集为( ) A ．(),0-∞B ．()0,+∞C ．1e ,⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1e,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭7．已知函数()2f x +是偶函数，且当2x >时满足()()()2xf x f x f x ''>+，则（） A ．()()214f f ⎪⎝⎭C ．()5042f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭D ．()()13f f <8．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x =',当0x ≠时，()()0f x f x x+'>，若1133a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()33b f =--,11ln ln 33c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ )A ．a b c <⎡⎤⎣⎦'，则（ ) A ．()()10f f C ．()()33e 0f f >D ．()()44e 0f f <10．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ,()00f =若对任意R x ∈，都有()()'1f x f x >+，则使得()e 1f x x +<成立的x 的取值范围为（） A ．(),1∞-B ．(),0∞-C ．()1,+∞-D ．0,+∞（）11．已知函数()f x 是定义在区间()0,+∞上的可导函数，满足()0f x >且()()'0f x f x +<（()'f x 为函数的导函数），若01a b <<<且1ab =，则下列不等式一定成立的是（） A ．()()()1f a a f b >+ B ．()()()1f b a f a >- C ．()()af a bf b >D ．()()af b bf a >12．定义在R 上的奇函数()y f x =满足()30f =，且当0x >时，不等式()()'f x xf x >-恒成立，则函数()()lg 1g x xf x x =++的零点的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题13．设()f x 是R 上的可导函数，且'()()f x f x ≥-，(0)1f =,21(2)ef =．则(1)f 的值为________．14．已知,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝π⎭π，()1y f x =-为奇函数，()()'tan 0f x f x x +>，则不等式()cos f x x >的解集为_________．15．已知定义在实数集R 的函数()f x 满足()27f =，且()f x 导函数()3f x '<，则不等式()ln 3ln 1f x x >+的解集为__________．16．已知函数()f x 是定义在()(),00,-∞+∞上的奇函数,且()10f =．若0x <时，()()'0xf x f x ->，则不等式()0f x >的解集为__________．1．参变分离法例1：已知函数()ln af x x x=-，若()2f x x <在()1,+∞上恒成立，则a 的取值范围是_________． 2．数形结合法例2:若不等式()log sin 20,1a x x a a >>≠对于任意的π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都成立，则实数a 的取值范围是___________． 3．最值分析法培优点四恒成立问题例3：已知函数()()ln 10f x a x a =+>，在区间()1,e 上，()f x x >恒成立,求a 的取值范围___________．一、选择题1．已知函数()()2ln 1,03,x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩，若()()20f x m x -+≥，则实数m 的取值范围是（） A ．(],1-∞B ．[]2,1-C ．[]0,3D ．[)3,+∞2．已知函数()3224f x x x x =--+，当[]3,3x ∈-时，()214f x m m ≥-恒成立,则实数m 的取值范围是（） A ．()3,11-B ．()3,11C ．[]3,11D ．[]2,73．若函数()2ln 2f x x ax =+-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，则实数a 的取值范围是（） A ．(],2-∞- B ．()2,-+∞C ．12,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．1,8⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ 4．已知对任意21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦不等式2e xax >恒成立(其中e 2.71828=，是自然对数的底数），则实数a的取值范围是( ）A ．e 0,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．()0,eC ．(),2e -∞-D ．24,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭5．已知函数()2e x f x x =，当[]1,1x ∈-时,不等式()f x m <恒成立，则实数m 的取值范围是（ )A ．1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．[)e,+∞D ．()e,+∞6．当[]2,1x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．[]5,3--B ．96,8⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．[]6,2--D ．[]4,3--7．函数()2e 1xf x x=-+，若存在(]00,2x ∈使得()00m f x ->成立,则实数m 的范围是（）对点增分集训A ．21e 5,⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．()1,-+∞C ．()1,+∞D ．1e,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭8．设函数()ln f x x ax =+，若存在()00,x ∈+∞，使()00f x >，则a 的取值范围是( )A ．1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．()1,-+∞D ．1,e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭9．若对于任意实数0x ≥，函数()e x f x ax =+恒大于零，则实数a 的取值范围是（） A ．(),e -∞B ．(],e -∞-C ．[)e,+∞D ．()e,-+∞10．已知函数()()()3f x a x a x a =-++，()22x g x =-，若对任意x ∈R ,总有()0f x <或()0g x <成立，则实数a 的取值范围是( ） A ．(),4-∞-B ．()4,0-C ．[)4,0-D ．()4,-+∞11．已知函数()e xf x ax x=-，()0,x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．(],e -∞B ．(),e -∞C ．e ,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦12．设函数()()e 31x f x x ax a =--+,其中1a <,若有且只有一个整数0x 使得()00f x ≤,则a 的取值范围是( ）A ．23,e 4⎛⎫⎪⎝⎭ B ．23,e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,1e⎛⎫⎪⎝⎭D ．2,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题13．设函数()f x x a =+,()1g x x =-,对于任意的x ∈R ，不等式()()f x g x ≥恒成立,则实数a 的取值范围是__________．14．函数()ln 1f x x x ax =-+，其中a ∈R ，若对任意正数x 都有()0f x ≥，则实数a 的取值范围为____________．15．已知函数()21ln 22f x x ax x =--，若函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的取值范围是__________．16．已知关于x 的不等式21log 02m mx x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭-在[]1,2上恒成立，则实数m 的取值范围为___________．三、解答题17．设函数()()()2ln 1f x x a x x =++-，其中a ∈R ，（1）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由；（2）若0x ∀>，()0f x ≥成立,求a 的取值范围．18．设函数()2e mx f x x mx =+-，（1）证明：()f x 在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增；（2）若对于任意1x ，[]21,1x ∈-，都有()()12e 1f x f x -≤-，求m 的取值范围．培优点五导数的应用1．利用导数判断单调性例1:求函数()()32=+--的单调区间333e xf x x x x-2．函数的极值例2:求函数()e x f x x -=的极值．3．利用导数判断函数的最值例3：已知函数()()ln m f x x m x=-∈R 在区间[]1,e 上取得最小值4，则m =___________．一、单选题1．函数()ln f x x x =-的单调递减区间为（） A ．() 0,1 B ．() 0,+∞ C ．() 1,+∞D ．()() ,01,-∞+∞2．若1x =是函数()ln f x ax x =+的极值点，则（ ) A ．()f x 有极大值1-B ．()f x 有极小值1-对点增分集训C ．()f x 有极大值0D ．()f x 有极小值03．已知函数()3f x x ax =--在(],1-∞-上单调递减，且()2ag x x x=-在区间(]1,2上既有最大值，又有最小值，则实数a 的取值范围是( ） A ．2a >-B ．3a ≥-C ．32a -≤<-D ．32a -≤≤-4．函数321y x x mx =+++是R 上的单调函数．．．．，则m 的范围是（） A ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦5．遇见你的那一刻，我的心电图就如函数1ln sin 1x y x x -⎛⎫=+⎪+⎝⎭的图象大致为（） A ．B ．C ．D ．6．函数()321213f x x ax x =+-+在()1,2x ∈内存在极值点,则( ) A ．1122a -<D ．12a ≤-或12a ≥7．已知()22f x ax x a =++，x ∈R ，若函数()()()322g x x a x f x =---在区间()1,3-上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．1a <-或3a >B ．1a ≤-或3a ≥C ．9a <-或3a >D ．9a ≤-或3a ≥8．函数()y f x =在定义域3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内可导，其图像如图所示．记()y f x =的导函数为()y f x ='，则不等式()0f x '≤的解集为（ )A ．[]1,12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1481,,233⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C ．[)31,1,222⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．31144,,,323233⎡⎤⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦9．设函数()()1ln 03f x x x x =->，则()y f x =（）A ．在区间1,1e⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,e 内均有零点B ．在区间1,1e⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,e 内均无零点 C ．在区间1,1e⎛⎫⎪⎝⎭内有零点,在区间()1,e 内无零点D ．在区间1,1e⎛⎫⎪⎝⎭内无零点，在区间()1,e 内有零点10．若函数()()323321f x x ax a x =++++既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围为（） A ．12a -<11．已知函数()3223f x x ax bx c =+++的两个极值点分别在()1,0-与()0,1内，则2a b -的取值范围是( )A ．33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭12．设函数()y f x =在区间(),a b 上的导函数为()f x '，()f x '在区间(),a b 上的导函数为()f x '',若在区间(),a b 上()0f x ''>，则称函数()f x 在区间(),a b 上为“凹函数”，已知()5421122012f x x mx x =--在区间()1,3上为“凹函数”,则实数m 的取值范围为（） A ．31,9⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．31,59⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(],5-∞D ．(],3-∞-二、填空题13．函数()3222f x x x =-在区间[]1,2-上的最大值是___________．14．若函数()32334f x x ax x a =-+-在(),1-∞-，()2,+∞上都是单调增函数，则实数a 的取值集合是______．15．函数()()2ln 1f x x a x a =--∈R 在[]1,2内不存在极值点，则a 的取值范围是___________． 16．已知函数()e ln x f x a x =+， ①当1a =时,()f x 有最大值；②对于任意的0a >，函数()f x 是()0,+∞上的增函数; ③对于任意的0a <，函数()f x 一定存在最小值； ④对于任意的0a >，都有()0f x >．其中正确结论的序号是_________．(写出所有正确结论的序号）三、解答题17．已知函数()()ln f x x ax a =-∈R（1）讨论函数()f x 在()0,+∞上的单调性；（2）证明：2e e ln 0x x ->恒成立．18．已知函数()()2e ,x f x a x bx a b =+-∈R ,其导函数为()'y f x =．（1)当2b =时，若函数()'y f x =在R 上有且只有一个零点，求实数a 的取值范围；（2)设0a ≠,点()(),,P m n m n ∈R 是曲线()y f x =上的一个定点，是否存在实数()00x x m ≠使得()()000'2x m f x n f x m +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭成立？并证明你的结论．1．求三角函数值例1：已知π3π044βα<<<<，π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3π5sin 413β⎛⎫+=⎪⎝⎭,求()sin αβ+的值．2．三角函数的值域与最值例2：已知函数()πππcos 22sin sin 344f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（1）求函数()f x 的最小正周期和图像的对称轴方程；（2）求函数()f x 在区间ππ,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域．3．三角函数的性质例3：函数()2cos2f x x x +( ）A ．在ππ,36⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递减 B ．在ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增培优点六三角函数C ．在π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减D ．在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增一、单选题1．若π1sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫+⎪⎝⎭的值为( ) A ．13-B ．79-C ．13D ．792．函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的一个单调递增区间是( ）A ．ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．π5π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．已知1tan 4tan θθ+=，则2πcos 4θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A ．15B ．14C ．13D ．124．关于函数()()π3sin 213f x x x ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭R ，下列命题正确的是( ）A ．由()()121f x f x ==可得12x x -是π的整数倍B ．()y f x =的表达式可改写成()π3cos 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭C ．()y f x =的图象关于点3π,14⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．()y f x =的图象关于直线π12x =-对称 5．函数()2πππcos 2sin sin 555f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值是（）对点增分集训高三优质精准培优专练数学(理)(学生版)(word 版可编辑修改)A ．1B ．πsin 5C ．π2sin 5D ．56．函数()()sin 0y x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则ω,ϕ的值分别可以是（）A ．1，π3B ．1，2π3-C ．2,2π3D ．2,π3-7．已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，π4x =-和π4x =分别是函数()f x 取得零点和最小值点横坐标，且()f x 在ππ,1224⎛⎫- ⎪⎝⎭单调，则ω的最大值是（） A ．3B ．5C ．7D ．98．已知函数()cos sin f x x x =⋅,给出下列四个说法：2014π33f ⎛⎫= ⎪⎝⎭①②函数()f x 的周期为π； ()f x ③在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；()f x ④的图象关于点π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称其中正确说法的序号是（ ) A ．②③B ．①③C ．①④D ．①③④9．已知0ω>,函数()πsin 4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,则ω的取值范围是（）A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．(]0,2C ．15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．同时具有性质：①()f x 最小正周期是π；②()f x 图象关于直线π3x =对称；③()f x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数的一个函数是（）A ．πsin 23xy ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭11．关于函数()1π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像或性质的说法中，正确的个数为（）①函数()f x 的图像关于直线8π3x =对称； ②将函数()f x 的图像向右平移π3个单位所得图像的函数为1π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；③函数()f x 在区间π5π,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增；④若()f x a =，则1πcos 233a x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．A ．1B ．2C ．3D ．412．函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>≤ ⎪⎝⎭的图象关于直线π3x =对称，它的最小正周期为π，则函数()f x 图象的一个对称中心是（） A ．π,012⎛⎫-⎪⎝⎭B ．π,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．5π,012⎛⎫⎪⎝⎭D ．π,012⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题13．函数πcos 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间是_________．14．已知()0,πα∈，且3cos 5α=，则πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________________．15．函数()sin 2f x x x =在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的值域为_________．16．关于()()π4sin 2,3f x x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭R ＝，有下列命题①由()()120f x f x ==可得12x x -是π的整数倍；②()y f x =的表达式可改写成π4cos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；③()y f x =图象关于π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称；④()y f x =图象关于π6x =-对称．其中正确命题的序号为________(将你认为正确的都填上）．三、解答题17．已知()π2sin 2cos26f x x a x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()a ∈R ，其图象在π3x =取得最大值．（1）求函数()f x 的解析式；(2）当π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且()65f α=，求sin2α值．18．已知函数()()2πsin sin 02f x x x x ωωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为π． (1）求ω的值;（2）求函数()f x 在区间2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围．1．解三角形中的要素例1：ABC △的内角A ，B ,C 所对的边分别为a ，b ,c ,若c b =，60B =，则C =_____．2．恒等式背景例2：已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ,C 的对边，且有cos sin 0a C C b c --=．培优点七解三角形（1）求A ;（2)若2a =,且ABC △b ,c ．一、单选题1．在ABC △中，1a =,6A π∠=,4B π∠=，则c =（） ABCD2．在ABC △中，三边长7AB =，5BC =，6AC =，则AB BC ⋅等于( ） A ．19B ．19-C ．18D ．18-3．在ABC △中，角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ,若2cos c a B =，则三角形一定是（ ) A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形4．ABC △的内角A ,B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3C π=，c 3b a =，则ABC △的面积为( ) ABCD对点增分集训5．在ABC △中,内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ，c ,若22a b bc -=，sin C B =，则A =（）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒6．设ABC △的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ,c ，如果()()3a b c b c a bc +++-=，且a =那么ABC △外接圆的半径为（） A ．1BC ．2D ．47．在ABC △中，角A ,B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222b c a bc +=+，若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC △的形状是( ） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形8．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ,c 且满足cos cos a B b A c -=,则ABC △是( ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形9．在ABC △中，内角A ，B ,C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为，2b c -=，1cos 4A =-，则a 的值为( ）A ．8B ．16C ．32D ．6410．在ABC △中，a ，b ,c 分别为角A ，B ，C 所对的边．若()sin cos 0b a C C +-=，则A =（） A ．4πB ．3πC ．34π D ．23π 11．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ,b ,c ，若cos cos cos a b cA B C==，则ABC △是（） A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形12．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ,已知a =c =tan 21tan A cB b+=，则C ∠=( ） A ．6π B ．4πC ．4π或34π D ．3π二、填空题13．在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ，c ，c =2216b a -=,则角C 的最大值为_____；14．已知ABC △的三边a ，b ，c 成等比数列，a ,b ，c 所对的角分别为A ，B ,C ，则sin cos B B +的取值范围是_________．15．在ABC △中三个内角A ∠，B ∠，C ∠,所对的边分别是a ，b ，c ，若()2sin cos 2sin cos b C A A C +=-，且23a =，则ABC △面积的最大值是________16．在锐角ABC △中，角A ，B ,C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A ,B ，C 成等差数列,3b =，则ABC △面积的取值范围是__________．三、解答题17．己知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ,B ，C 的对边,且3cos 2sin a A C+=．（1)求角A 的大小;(2）若5b c +=,且ABC △的面积为3，求a 的值．18．如图,在ABC △中，点D 在BC 边上,60ADC ∠=︒，27AB =，4BD =．．（1）求ABD △的面积．（2）若120BAC ∠=，求AC 的长．1．代数法例1：已知向量a ，b 满足=3a ,b ()⊥+a a b ,则b 在a 方向上的投影为（ ) A ．3 B ．3-C ．D 2．几何法例2：设a ,b 是两个非零向量，且2==+=a b a b ，则=-a b _______． 3．建立直角坐标系例3:在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =,3CA CE =，则AD BE ⋅=__________．培优点八平面向量B CADE一、单选题1．已知向量a，b满足1=a,2=b，且向量a，b的夹角为4π,若λ-a b与b垂直，则实数λ的值为( ）A．12-B．12C．24-D．242．已知向量a，b满足1=a，2=b,7+=a b,则⋅=a b（）A．1 B．2C．3D．23．如图，平行四边形ABCD中，2AB=，1AD=，60A∠=，点M在AB边上，且13AM AB=,则DM DB⋅=（）A．1-B．1 C．3-D．34．如图，在ABC△中，BE是边AC的中线，O是BE边的中点，若AB=a,AC=b,则AO=( ）对点增分集训高三优质精准培优专练数学(理)(学生版)(word 版可编辑修改) A ．1122+a bB ．1124+a bC ．1142+a bD ．1144+a b5．在梯形ABCD 中,AB CD ∥，1CD =,2AB BC ==，120BCD ∠=，动点P 和Q 分别在线段BC 和CD 上，且BP BC λ=，18DQ DC λ=，则AP BQ ⋅的最大值为（） A ．2-B ．32- C ．34D ．986．已知ABC △中，2AB =，4AC =,60BAC ∠=︒,P 为线段AC 上任意一点，则PB PC ⋅的范围是（ )A ．[]14，B ．[]04，C ．944⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D ．[]24-，7．已知非零向量a ，b ，满足=a 且()()320+⋅-=a b a b ，则a 与b 的夹角为（） A ．4πB ．2πC ．34π D ．π8．在Rt ABC △中斜边BC a =，以A 为中点的线段2PQ a =，则BP CQ ⋅的最大值为（ ) A ．2-B ．0C ．2D ．9．设向量a ,b ,c ，满足1==a b ，12⋅=-a b ，6,0--=a b c c ，则c 的最大值等于( )A ．1 BC D ．210．已知a 与b 为单位向量，且⊥a b ，向量c 满足2--=c a b ，则c 的取值范围为( ）A ．1,1⎡+⎣B ．2⎡-+⎣C ．D ．3⎡-+⎣11．平行四边形ABCD 中,AC ，BD 在AB 上投影的数量分别为3,1-，则BD 在BC 上的投影的取值范围是( ） A ．()1,-+∞B ．()1,3-C ．()0,+∞D ．()0,312．如图，在等腰直角三角形ABC 中，AB AC ==D ，E 是线段BC 上的点，且13DE BC =，则AD AE ⋅的取值范围是（）A ．84,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．48,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．88,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题13．已知向量()1,2=a ，()2,2=-b ,()1,λ=c ，若()2+∥c a b ，则λ=________． 14．若向量a ，b 满足1=a ，2=b ()⊥+a a b ,则a 与b 的夹角为__________．15．已知正方形ABCD 的边长为2，E 是CD 上的一个动点,则求AE BD ⋅的最大值为________．16．在ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，2AC =,P 为线段AB 上一点，则PB PC +的取值范围为____．1．简单的线性规划问题应注意取点是否取得到例1：已知实数x ，y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是（ )A ．4B ．5C ．6D ．72．目标函数为二次式例2：若变量x ,y 满足120x x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪++≥⎩，则22z x y =+的最大值为（）培优点九线性规划AB．7C．9D．10 3．目标函数为分式例3:设变量x，y满足约束条件22022010x yx yx y--≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则11ysx+=+的取值范围是（）A．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．[]1,2D．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．面积问题例4：若不等式组3434xx yx y≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线4y kx=+分成面积相等的两部分，则k的值为（ )A．73B．37C．173-D．317-一、单选题1．若实数x,y满足10xyx y≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y=-的最大值为（ )A．2B．1 C．0 D．1-2．已知实数x，y满足线性约束条件3023004x yx yx+-≤⎧⎪--≤⎨⎪≤≤⎩，则其表示的平面区域的面积为（）A．94B．274C．9D．2723．已知实数x，y满足122022x yx yx y-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，若z x ay=-只在点()43,处取得最大值，则a的取值范围是( ）对点增分集训高三优质精准培优专练数学(理)(学生版)(word 版可编辑修改)A ．()1-∞-,B ．()2-+∞,C ．()1-∞,D ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,4．已知实数x ，y 满足约束条件222020x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩，则5x z y -=的取值范围为( ） A ．2433⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,B ．4233⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,C ．3324⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭,,D ．3342⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭,,5．若实数x ，y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则22z x y =+的最大值是( ）A B ．4 C ．9 D ．106．已知点()12A ,，若动点()P x y ,的坐标满足02x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则AP 的最小值为（ )AB．1 C D7．x ，y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩,若z y ax =-取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（） A ．12或1-B ．2或12C ．2或1D ．2或1-8．若x ，y 满足不等式组40240 4x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩,则215y x ≤+成立的概率为（）A ．1556B ．1116C ．58D ．389．若x ,y 满足不等式组20510080x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，则32z x y =-+的最小值为( ）A ．7B ．6C ．265D ．4高三优质精准培优专练数学(理)(学生版)(word 版可编辑修改)10．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定．若()M x y ,为D 上动点，点A的坐标为)．则z OM OA =⋅的最大值为（）A．B． C ．4 D ．311．若不等式组20510080x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域内存在点()00x y ,，使0020x ay ++≤成立，则实数a 的取值范围是（ )A ．[)1,-+∞B ．(],1-∞-C ．(],1-∞D ．[)1,+∞12．已知圆()()22:1C x a y b -+-=,平面区域60:400x y x y y +-≤⎧⎪Ω-+≥⎨⎪≥⎩，若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切,则圆心(),C a b 与点()2,8连线斜率的取值范围是（） A ．77,,35⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．77,,35⎛⎤⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭C ．77,35⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．77,35⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题13．设x ,y 满足10302x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩,则21z x y =++的最大值为____________． 14．若变量x ，y 满足约束条件210220x x y x y ≤⎧⎪-+≤⎨⎪+-≥⎩，则22z x y =+的最小值为_________．15．已知实数x ，y 满足110x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则22x y x ++的最小值为______．16．某公司计划明年用不超过6千万元的资金投资于本地养鱼场和远洋捕捞队．经过对本地养鱼场年利润率的调研,其结果是：年利润亏损10%的概率为02.，年利润获利30%的概率为0.4，年利润获利50%的概率为0.4，对远洋捕捞队的调研结果是：年利润获利为60%的概率为0.7，持平的概率为0.2，年利润亏损20%的可能性为0.1．为确保本地的鲜鱼供应,市政府要求该公司对远洋捕捞队的投资不得高于本地养鱼场的投资的2倍．根据调研数据，该公司如何分配投资金额，明年两个项目的利润之和最大值为_________千万．1．等差数列的性质例1：已知数列{}n a ，{}n b 为等差数列,若117a b +=，3321a b +=，则55a b +=_______． 2．等比数列的性质例2：已知数列{}n a 为等比数列，若4610a a +=，则()713392a a a a a ++的值为（） A ．10B ．20C ．100D ．2003．等差、等比综合培优点十等差、等比数列例3:设{}n a 是等差数列，{}n b 为等比数列，其公比1q ≠，且()01,2,3,,i b i n >=，若11a b =，1111a b =，则有（） A ．66a b =B ．66a b >C ．66a b <D ．66a b >或66a b <一、单选题1．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤,长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何．"意思是：“现有一根金锤，长5尺,头部1尺,重4斤，尾部1尺，重2斤,且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．”（） A ．6斤B ．7斤C ．8斤D ．9斤2．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若540S =，9126S =,则7S =（） A ．66B ．68C ．77D ．843．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+,则λ的值为( ） A ．4B ．2C ．2-D ．4-4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，5714a a +=,则11S =（） A ．140B ．70C ．154D ．775．已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列,且1a ，3a ，2a 成等差数列，则公比q 的值为（）A ．12-B ．2-C ．1或12-D ．1-或126．公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a -，212a -，3a 成等差数列，若11a =，则4S =（） A ．5-B ．0C ．5D ．77．等比数列{}n a 的各项均为正数,且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=( ）对点增分集训。

解三角形-决胜一轮高考数学(文)专题卷+Word版含解析

2c=a+b① , 由
cos
3 C= 可得
c2=a2+b2-2 abcos
5
2 16
3
4
1
2ab
C=( a+b) - ab② , 又由 cos C= , 得 sin C= , 所以 S = △ABC absin C=
=4, ∴ ab=10③ .
5
5
5
2
5
由①②③解得 c= 4 6 , 故选 A. 3
B, ∵ sin A≠ 0, 且 sin B≠0, ∴ cos A= 1 , 由余弦定理得 a2=b2+4b2- b2, ∴ a2=4b2, ∴ a =2. 故选 A.
4
b
5．若 ABC 的对边分别为 a,b,c ，且 a 1， B 45 ， S ABC 2 ，则 b （）
A． 5
B
． 25
C
． 41
2．(2018 山东菏泽 3 月联考 ,8) 在△ ABC中 , 内角 A, B, C所对的边分别为
则 b =? (
)
c
3
A. ?
2
B.2
C.3
5
D. ?
2
a, b, c, 且 acos B- c- b =0, a2= 7 bc, b>c,
2
2
【答案】 B
3． (2018 江西赣州 2 月联考 ,7) 在△ ABC中 , 内角 A, B, C的对边分别为 a, b, c, 满足 2acos A=bcos C+ccos B, 且 b+c=4, 则 a 的最小值为 ? ( )
6
6
3
，故选 A.
2
7．在 △ ABC 中，如果 a b c b c a 3bc ，那么角 A 等于（）

高考文科数学考前培优练习解三角形基础题

3.2解三角形基础题高考命题规律1.与解三角形的解答题相互补充,按年份交替出现.2.小题以填空题或选择题形式出现,5分,中高档难度.3.全国高考有2种命题角度,分布如下表:命题角度1利用正弦、余弦定理解三角形高考真题体验·对方向1.(2019全国Ⅰ·11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a sin A-b sin B=4c sin C,cos A=-1,则b=()cA.6B.5C.4D.3,得a 2-b 2=4c 2,由余弦定理的推论,得-14=cos A=b 2+c 2-a 22bc,∴c 2-4c 2=-1, ∴-3c 2b =-14,∴b=3×4=6,故选A .2.(2018全国Ⅱ·7)在△ABC 中,cos C2=√55,BC=1,AC=5,则AB=( )A.4√2B.√30C.√29D.2√5cos C=2cos 2C-1=-3,∴AB 2=BC 2+AC 2-2BC ·AC cos C=1+25+2×1×5×35=32.∴AB=4√2.3.(2018全国Ⅲ·11)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.若△ABC 的面积为a 2+b 2-c 24,则C=( )A .π2B .π3C .π4D .π6S=a 2+b 2-c 24=12ab sin C ,得c 2=a 2+b 2-2ab sin C.又由余弦定理c 2=a 2+b 2-2ab cos C ,∴sin C=cos C,即C=π4.4.(2017全国Ⅰ·11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cosC)=0,a=2,c=√2,则C=()A.π12B.π6C.π4D.π3,可得sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,整理得sin A cos C+cos A sin C+sin A sin C-sin A cos C=0,则sin C(sin A+cos A)=0,因为sin C>0,所以sin A+cos A=0,即tan A=-1,因为A∈(0,π),所以A=3π4.由正弦定理asinA=csinC,得2sin3π4=√2sinC,即sin C=12,所以C=π6,故选B.5.(2016全国Ⅰ·4)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=√5,c=2,cos A=23,则b=()A.√2B.√3C.2D.3a2=b2+c2-2bc cos A,即5=b2+4-4b×23,即3b2-8b-3=0,又b>0,解得b=3,故选D.6.(2019全国Ⅱ·15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b sin A+a cos B=0,则B=.,得sin B sin A+sin A cos B=0.∵A∈(0,π),B∈(0,π),∴sin A≠0,∴sin B+cos B=0,即tanB=-1,∴B=3π4.7.(2018全国Ⅰ·16)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b sin C+c sin B=4a sin B sin C ,b 2+c 2-a 2=8,则△ABC 的面积为 .,得bc+cb=4ab sin C ,所以c=2a ,设△ABC 的外接圆半径为R ,则c=2R ,所以a=R.因为b 2+c 2-a 2=8>0,所以cos A>0,0<A<π2,因为asinA =2R ,所以sin A=12,A=30°,所以cosA=b 2+c 2-a 22bc=√32,所以bc=8√33,所以S △ABC =12bc sin A=2√33. 8.(2017全国Ⅲ·15)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.已知C=60°,b=√6,c=3,则A= .°由正弦定理得bsinB =csinC ,即sin B=bsinCc=√6×√323=√22.因为b<c ,所以B<C ,所以B=45°,故A=180°-B-C=75°.9.(2017全国Ⅱ·16)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若2b cos B=a cos C+c cos A ,则B=.,可得2sin B cos B=sin A cos C+sin C cos A=sin(A+C )=sin B ,即cos B=12.又因为B ∈(0,π),所以B=π3.典题演练提能·刷高分1.(2019河北保定高三二模)△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边a 、b 、c 依次成等差数列,且B=π3,则△ABC 的形状为( )A.等边三角形B.直角边不相等的直角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形a 、b 、c 依次成等差数列,所以b=a+c 2,由余弦定理可得:cos B=a 2+c 2-b 22ac=12,将b=a+c2代入上式整理得:(a-c )2=0,所以a=c ,又B=π3,可得△ABC 为等边三角形,故选A .2.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若2b cos C+c=2a ,且b=√13,c=3,则a=( ) A.1 B.√6C.2√2D.42b cos C+c=2a ,由正弦定理可得2sin B cos C+sin C=2sin A=2sin(B+C )=2sin B cos C+2cos B sin C ,∴sin C=2cos B sin C ,∵sin C ≠0,∴cos B=12.由余弦定理可得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,又知b=√13,c=3,解得a=4.故选D .3.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若b=5,C=60°,且△ABC 的面积为5√3,则△ABC 的周长为( ) A.8+√21 B.9+√21 C.10+√21 D.14,根据三角形面积公式,得12ab sin C=5√3,即12a ·5·√32=5√3,解得a=4.根据余弦定理得c 2=a 2+b 2-2ab cos C ,即c 2=16+25-2×4×5×12,c=√21,所以△ABC 的周长为9+√21.故选B .4.在△ABC 中,A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若2cos 2A+B2-cos 2C=1,4sin B=3sin A ,a-b=1,则c 的值为( )A.√13B.√7C.√37D.6解析 ∵2cos 2A+B 2=2cos 2π-C 2=2cos 2π2−C 2=2sin 2C2=1-cos C ,∴1-cos C-cos 2C=1.∴cos 2C=-cos C.∴2cos 2C+cos C-1=0,解得cos C=12.因为{a -b =1,4b =3a ,故得到{b =3,a =4.根据余弦定理得到12=a 2+b 2-c 22ab,解得c=√13.5.(2019安徽合肥高三质检)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若a sin B=2b sin C ,b=3,cos B=14,则△ABC 的面积为( )A.9√15B.9√1516C.3√1516 D.916a sin B=2b sin C ,结合正弦定理可得ab=2bc ,则a=2c.由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,可得9=(2c )2+c 2-2×2c×c×1,解得c=3,则a=3.又sin B=√1-cos 2B =√154,所以S △ABC =12ac sin B=12×3×32×√154=9√1516.故选B . 6.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且c sin B+π3=√32a ,CA⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =20,c=7,则△ABC 的内切圆的半径为( ) A.√2 B.1C.3D.√3解析由c sin B+π3=√32a 及正弦定理得2sin C 12sin B+√32cos B =√3sin A , 整理得sin B sin C+√3cos B sin C=√3sin A.∵sin A=sin(B+C )=sin B cos C+cos B sin C , ∴sin B sin C+√3cos B sin C=√3sin B cos C+√3cos B sin C ,∴sin B sin C=√3sin B cos C ,又sin B ≠0, ∴sin C=√3cos C ,故tan C=√3,C=π3.∴CA⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =ab cos C=20,∴ab=40. 由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2ab cos C ,即49=a 2+b 2-ab=(a+b )2-3ab=(a+b )2-120,解得a+b=13.∴a+b+c=20.设△ABC 的内切圆半径为r ,∵S △ABC =12ab sin C=12(a+b+c )r , ∴r=√3.选D .7.(2019安徽示范高中皖北协作区高三模拟)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若C=π3,a=6,1≤b ≤4,则sin A 的取值范围为 .答案 3√9331,1C=π3,a=6,1≤b ≤4,由余弦定理可得:c 2=a 2+b 2-2ab cos C=36+b 2-6b=(b-3)2+27,∴c 2=(b-3)2+27∈[27,31]. ∴c ∈[3√3,√31].由正弦定理可得,asinA =csinC ,即sin A=asinCc=6×√32c=3√3c ∈3√9331,1.故答案为3√9331,1.8.(2019山东栖霞高三模拟)若△ABC 的面积为√34(a 2+c 2-b 2),则∠B=.:S=12ac sin B=√34(a 2+c 2-b 2),∴14sin B=√34×a 2+c 2-b22ac=√34cos B ,∴tan B=√3.∵B ∈(0,π),∴B=π3.9.(2019河北衡水二中高三三模)在锐角△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,c=2,A=π3,则a+b 的取值范围是 .+√3,4+2√3)由asinA =bsinB =csinC ,可得a=csinAsinC=√3sinC ,b=csinB sinC=2sin(2π3-C)sinC ,所以a+b=√3sinC +√3cosC+sinCsinC=1+√3(1+cosC )sinC=1+2√3cos 2C22sin C2cos C 2=1+√3tan C 2.由△ABC 是锐角三角形,可得{0<C <π2,0<2π3-C <π2,则π<C<π,所以π12<C2<π4,2-√3<tan C2<1.所以1+√3<a+b<1+√32-√3=4+2√3.10.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目:“问有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田,三边长分别为13里,14里,15里,假设1里按500米计算,则该三角形沙田外接圆的半径为米..5,如图所示,且AB=13里=6 500米,BC=14里=7 000米,AC=15里=7 500米.在△ABC 中,由余弦定理有cosB=AB 2+BC 2-AC 22AB ·BC=132+142-1522×13×14=513,B 为锐角,sin B=√1-cos 2B =1213.设△ABC 外接圆半径为R ,则由正弦定理有bsinB =2R ,R=b2sinB =7 5002×1213=4 062.5(米).命题角度2与三角形有关的最值和范围、实际应用题高考真题体验·对方向(2014全国Ⅰ·16)如图,为测量山高MN ,选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得M点的仰角∠MAN=60°,C 点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C 点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m,则山高MN= m .Rt △ABC 中,由于∠CAB=45°,BC=100 m,所以AC=100√2 m .在△MAC 中,∠AMC=180°-75°-60°=45°,由正弦定理可得AC sin∠AMC=MAsin∠MCA,于是MA=100√2×√3222=100√3(m).在Rt △MNA 中,∠MAN=60°,于是MN=MA ·sin ∠MAN=100√3×√32=150(m),即山高MN=150(m).典题演练提能·刷高分1.某观察站C 与两灯塔A ,B 的距离分别为300米和500米,测得灯塔A 在观察站北偏东30°,灯塔B 在观察站C 正西方向,则两灯塔A ,B 间的距离为( ) A.500米B.600米C.700米D.800米,△ABC 中,AC=300米,BC=500米,∠ACB=120°,利用余弦定理可得:AB 2=3002+5002-2×300×500×cos 120°,∴AB=700(米).2.已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若2b cos B=a cos C+c cos A ,b=2,则△ABC 面积的最大值是( ) A.1 B.√3 C.2 D.42b cos B=a cos C+c cos A ,由正弦定理得2sin B cos B=sin A cos C+sin C cos A ,∴2sin B cos B=sin(A+C )=sin B ,∴cos B=1.∴B=60°,由余弦定理,得ac=a 2+c 2-4,故ac=a 2+c 2-4≥2ac-4,有ac ≤4,故S △ABC =12ac sin B ≤√3.3.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若A=π3,a=2√2,则△ABC 面积的最大值为( ) A.√2 B.2√3 C.√6 D.√3△ABC 中,由余弦定理知a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,即8=b 2+c 2-2bc cos π3=b 2+c 2-bc ≥2bc-bc=bc ,即bc ≤8,当且仅当b=c 时,等号成立,所以△ABC 面积的最大值为S=12bc sin A=12×8sin π3=2√3,故选B . 4.如图所示,从气球A 测得正前方河流的两岸B ,C 的俯角分别为75°,30°,此时气球的高度是60 m,则河流的宽度BC 等于( )A.240(√3-1) mB.180(√2-1) mC.120(√3-1) mD.30(√3+1) m,在△ABC中,∠C=30°,∠ABC=180°-75°-30°=105°.在Rt△ADC中,AC=ADsin30°=120.由正弦定理可得BCsin45°=ACsin105°.故BC=60√2sin(60°+45°)=√232×22+12×22=120(√3-1) m.5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为√3,且cos(A+B)cosB =c2a+b,则c的最小值是()A.2B.2√2C.2√3D.4∵cos(A+B)cosB =c2a+b,∴-cosCcosB=c2a+b,∴根据正弦定理可得-cosCcosB =sinC2sinA+sinB,即-2sin A cos C=sin A.∵sin A≠0,∴cos C=-12.∵C∈(0,π),∴C=2π3.∵△ABC的面积为√3,∴S △ABC =12ab sin C=√3,即ab=4.∵cos C=a 2+b 2-c 22ab =-12, ∴c 2=a 2+b 2+ab ≥2ab+ab=3ab=12,当且仅当a=b 时取等号.∴c min =2√3,故选C .6.已知平面四边形ABCD 中,AB=AD=2,BC=CD ,∠BCD=90°,则四边形ABCD 面积的最大值为( )A.6B.2+2√3C.2+2√2D.4如图,设∠DAB=θ,BC=CD=x ,则BD=√2x.在△ABD 中,由余弦定理得BD 2=AB 2+AD 2-2AB ·AD ·cos θ,即(√2x )2=4+4-8cos θ=8-8cos θ,∴x 2=4-4cos θ.∴四边形ABCD 的面积为S=12×22×sin θ+12x 2=2sin θ+(2-2cos θ)=2√2sin θ-π4+2.∵0<θ<π,∴-π4<θ-π4<3π4, ∴当θ-π4=π2,即θ=3π4时,S 有最大值,且S max =2√2+2.选C .7.在△ABC 中,AB=2,C=π6,则AC+√3BC 的最大值为( )A.√7B.2√7C.3√7D.4√7,AB sinC =ACsinB =BCsinA =2sin π6=4, ∴A+B=5π6.∴AC+√3BC=4sin B+4√3sin A=4sin B+4√3sin 5π6-B =4sin B+4√312cos B+√32sin B=2√3cos B+10sin B=4√7sin(B+φ),其中tan φ=√35.故AC+√3BC 的最大值为4√7.8.如图,为测量河对岸塔AB 的高,先在河岸上选一点C ,使C 在塔底B 的正东方向上,在点C 处测得A点的仰角为60°,再由点C 沿北偏东15°方向走20 m 到位置D ,测得∠BDC=30°,则塔AB 的高是 m .√6AB 为x 米,根据题意可知,在△ABC 中,∠ABC=90°,∠ACB=60°,AB=x ,从而有BC=√33x ,AC=2√33x ;在△BCD 中,CD=20,∠BCD=105°,∠BDC=30°,∠CBD=45°,由正弦定理可得BC=20sin30°=10√2, ∴√33x=10√2.∴x=10√6.故塔高AB 为10√6 m .9.如图,为测量一座山的高度,某勘测队在水平方向的观察点A ,B 测得山顶的仰角分别为α,β,且该两点间的距离是l 米,则此山的竖直高度h 为米(用含α,β,l 的式子表达).,在△ABC 中有AC sin (π-β)=l sin (β-α),则AC=lsinβsin (β-α).在△ACD 中,sin α=ℎAC ,则h=AC sin α=lsinαsinβsin (β-α),故高度h=lsinαsinβsin (β-α). 10.已知点O 是△ABC 的内心,∠BAC=60°,BC=1,则△BOC 面积的最大值为 .∠BOC=180°-180°-60°2=120°,在△OBC 中,BC 2=OB 2+OC 2-2OB ·OC ·cos 120°,即1=OB 2+OC 2+OB ·OC ≥3OB ·OC ,即OB ·OC ≤13,所以S △OBC =12OB ·OC sin 120°≤√312,当OB=OC 时取得最大值.。

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培优点七解三角形1．解三角形中的要素例1：ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c =b =，60B =o ，则C =_____．【答案】30C =o【解析】（1）由已知B ，b ，c 求C 可联想到使用正弦定理：sin sin sin sin b c c BC B C b=⇒=，代入可解得：1sin 2C =．由c b <可得：60C B <=o ，所以30C =o ．2．恒等式背景例2：已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，且有cos sin 0a C C b c --=．（1）求A ；（2）若2a =，且ABC △b ，c ．【答案】（1）3π；（2）2，2．【解析】（1）cos sin 0a C C b c +--=sin cos sin sin sin 0A C A C B C ⇒+--=()sin cos sin sin sin 0A C A C A C C ⇒-+-=sin cos sin sin cos sin cos sin 0A C A C A C C A C ⇒---=，1cos 12sin 1sin 662A A A A ππ⎛⎫⎛⎫-=⇒-=⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴66A ππ-=或566A ππ-=（舍），∴3A π=；（2）1sin 42ABC S bc A bc ==△，222222cos 4a b c bc A b c bc =+-⇒=+-，∴22224844b c bc b c bc bc ⎧⎧+-=+=⇒⎨⎨==⎩⎩，可解得22b c =⎧⎨=⎩．一、单选题1．在ABC △中，1a =，6A π∠=，4B π∠=，则c =（） ABCD．2【答案】A【解析】由正弦定理sin sin a bA B =可得1sinsin 4sin sin 6a Bb A π⨯===π，且()()cos cos cos cos sin sin C A B A B A B =-+=--=，由余弦定理可得：c ===．故选A ． 2．在ABC △中，三边长7AB =，5BC =，6AC =，则AB BC ⋅uu u v uu u v等于（）A ．19B ．19-C ．18D ．18-【答案】B【解析】∵三边长7AB =，5BC =，6AC =，∴22222275619cos 227535AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯， ()19cos 751935AB BC AB BC B ⎛⎫⋅=⋅π-=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭uu u v uu u v ．故选B ．3．在ABC △中，角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，若2cos c a B =，则三角形一定是（）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形对点增分集训【答案】C【解析】∵2cos c a B =，由正弦定理2sin c R C =，2sin a R A =，∴sin 2sin cos C A B =， ∵A ，B ，C 为ABC △的内角，∴()sin sin C A B =+，A ，()0,B ∈π，∴()sin 2sin cos A B A B +=，sin cos cos sin 2sin cos A B A B A B +=，整理得()sin 0A B -=， ∴0A B -=，即A B =．故ABC △一定是等腰三角形．故选C ． 4．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3C π=，c =3b a =，则ABC △的面积为（）AB C D 【答案】A 【解析】已知3C π=，c =3b a =， ∴由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，可得：2222227937a b ab a a a a =+-=+-=，解得：1a =，3b =，∴11sin 1322ABC S ab C ==⨯⨯=V ．故选A ．5．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22a b bc -=，sin C B =，则A =（） A ．30︒ B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒【答案】A【解析】根据正弦定理由sin C B =得：c =，所以222a b =-，即227a b =，则222222cos 2b c a A bc +-===，又()0,A ∈π，所以6A π=．故选A ． 6．设ABC △的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果()()3a b c b c a bc +++-=，且a =ABC △外接圆的半径为（） A ．1 BC ．2D ．4【答案】A【解析】因为()()3a b c b c a bc +++-=，所以()223b c a bc +-=，化为222b c a bc +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，又因为()0,A ∈π，所以3A π=，由正弦定理可得22sin aR A===，所以1R =，故选A ．7．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222b c a bc +=+，若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC △的形状是（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形【答案】C【解析】因为2sin sin sin B C A ⋅=，所以2222b c a R R R ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，也就是2a bc =，所以222b c bc +=，从而b c =，故a b c ==，ABC △为等边三角形．故选C ．8．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 且满足cos cos a B b A c -=，则ABC △是（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形【答案】B【解析】利用正弦定理sin sin sin a b cA B C==化简已知的等式得： sin cos sin cos sin A B B A C -=，即()sin sin A B C -=，∵A ，B ，C 为三角形的内角，∴A B C -=，即2A B C π=+=，则ABC △为直角三角形，故选B ．9．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为，2b c -=，1cos 4A =-，则a 的值为（）A ．8B ．16C ．32D ．64【答案】A【解析】因为0A <<π，所以sin A =，又1sin 2ABCS bc A ===V ，∴24bc =，解方程组224b c bc -=⎧⎨=⎩得6b =，4c =，由余弦定理得2222212cos 64264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以8a =．故选A ．10．在ABC △中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边．若()sin cos 0b a C C +-=，则A =（） A ．4π B ．3π C ．34π D ．23π 【答案】C【解析】()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，∵()sin cos 0b a C C +-=，可得：()sin sin sin cos 0B A CC +=﹣，∴sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=，∴cos sin sin sin 0A C A C +=， ∵sin 0C ≠，∴cos sin A A =-，∴tan 1A =-， ∵2A π<<π，∴34A =π．故答案为C ． 11．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若cos cos cos a b cA B C==，则ABC △是（） A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形【答案】D 【解析】∵cos cos cos a b cA B C==，由正弦定理得：2sin a R A =⋅，2sin b R B =⋅，2sin c R C =⋅代入，得sin sin sin cos cos cos A B CA B C==，∴进而可得tan tan tan A B C ==， ∴A B C ==，则ABC △是等边三角形．故选D ．12．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =，c =，tan 21tan A cB b+=，则C ∠=（） A ．6π B ．4π C ．4π或34π D ．3π【答案】B【解析】利用正弦定理，同角三角函数关系，原式可化为：sin cos 2sin 1cos sin sin A B CA B B+=，去分母移项得：sin cos sin cos 2sin cos B A A B C A +=，所以()sin sin 2sin cos A B C C A +==，所以1cos 2A =．由同角三角函数得sin A =，由正弦定理sin sin a c A C =，解得sin C =所以4C π∠=或34π（舍）．故选B ．二、填空题13．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，c =2216b a -=，则角C 的最大值为_____；【答案】6π 【解析】在ABC △中，由角C 的余弦定理可知22222222232cos 224b a a b a b c a b C ab ab ab -+-+-+===≥，又因为0C <<π，所以max 6C π=．当且仅当a =b =14．已知ABC △的三边a ，b ，c 成等比数列，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，则sin cos B B +的取值范围是_________．【答案】(【解析】∵ABC △的三边a ，b ，c 成等比数列， ∴2222cos 22cos ac b a c ac B ac ac B ==+-≥-，得1cos 2B ≥，又∵0B <<π，∴03B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，74412B πππ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，，可得(sin cos 4B B B π⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭，故答案为(． 15．在ABC △中三个内角A ∠，B ∠，C ∠，所对的边分别是a ，b ，c ，若()2sin cos 2sin cos b C A A C +=-，且a =ABC △面积的最大值是________【解析】∵()2sin cos 2sin cos b C A A C +=-，∴()()cos 2sin cos sin cos 2sin 2sin b A C A A C A C B =-+=-+=-，则2sin cos b B A -=，结合正弦定理得2cos sin a A A -==，即tan A =，23A ∠=π 由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==-，化简得22122b c bc bc +=-≥，故4bc ≤，11sin 422ABC S bc A =≤⨯=△16．在锐角ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，b则ABC △面积的取值范围是__________．【答案】⎝⎦【解析】∵ABC △中A ，B ，C 成等差数列，∴3B π=．由正弦定理得2sin sin sin sin 3a c b A C B ====，∴2sin a A =，2sin c C =，∴12sin sin sin 23ABC S ac B A C A A π⎛⎫====- ⎪⎝⎭△21331cos 2sin sin cos sin 22242AA A A A A A A ⎫-=+=+=⎪⎪⎝⎭3sin 22246A A A π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭， ∵ABC △为锐角三角形，∴022032A A π⎧<<⎪⎪⎨ππ⎪<-<⎪⎩，解得62A ππ<<．∴52666A πππ<-<，∴1sin 2126A π⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，26A π⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，故ABC △面积的取值范围是⎝⎦．三、解答题17．己知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，Ccos 2sin A C+=．（1）求角A 的大小；（2）若5b c +=，且ABC △a 的值．【答案】（1）23π；（2【解析】（1cos 2sin A C+=，∵sin 0C ≠，∴3sin cos 2A A -=，即sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．∵0A <<π∴666A ππ5π-<-<，∴62A ππ-=，∴23A π=．（2）由3ABC S =△可得1sin 32S bc A ==．∴4bc =，∵5b c +=，∴由余弦定理得：()22222cos 21a b c bc A b c bc =+-=+-=，∴21a =．18．如图，在ABC △中，点D 在BC 边上，60ADC ∠=︒，27AB =，4BD =．．（1）求ABD △的面积．（2）若120BAC ∠=o ，求AC 的长．【答案】（1）3（27 【解析】（1）由题意，120BDA ∠=︒在ABD △中，由余弦定理可得2222cos120AB BD AD BD AD =+-⋅⋅︒ 即2281642AD AD AD =++⇒=或6AD =-（舍），∴ABD △的面积113sin 422322S DB DA ADB =⋅⋅⋅∠=⨯⨯=．（2）在ABD △中，由正弦定理得sin sin AD ABB BDA=∠，代入得21sin B =B 为锐角，故57cos B ，所以()21sin sin 60sin 60cos cos60sin C B B B =︒-=︒-︒=，在ADC △中，由正弦定理得sin sin AD ACC CDA=∠，=，解得AC。

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