正态总体的置信区间

将 x 80, s 12, n 25, t0.025(24) 2.0639,
代入计算得 的置信度为95%的置信区间为(75.05, 84.95), 即在 2 未知情况下, 估计每个旅游者的平
均消费额在75.05元至84.95元之间,这个估计的可靠 度是95%.
3.单正态总体方差的置信区间
假设标准差0 7，置信度为95%；
试求总体均值的置信区间。
解：已知0 7,n 9, 0.05. 由样本值算得：
x 1 (115 120 110) 115.
查正态分布9表得临界值u 2 1.96，由此得置信区间：
(115 1.96 7 / 9 , 115 1.96 7 / 9) (110.43 , 119.57)
S12 S22

2 1

2 2
~
F (n1
1, n2
1)
S12

2 1
S22

2 2
~ F (n1 1, n2 1)
P{F1 2
(n1

1,n2
1)

S12

2 1
S22

2 2

F
2 (n1
1, n2
1)}

1
P{
S12 S22
F
2 (n1
1 1, n2
1)
(6) 双正态总体方差比的置信区间.
一.单正态总体 N(,2) 的情况
1.单正态总体均值的置信区间（1）
设总体X~N(,2), 2已知，未知，设X1, X2,…, Xn是 来自X的样本，求的置信度为1- 的置信区间。
解： 明选确问的题点,置是信估求水计什平为么是参多数X少的？置信一区寻个间找良?未好知估参计数.的
(2) 置信度为1- 的置信区间并不唯一。
结论
若概率密度函数的图形是单峰且对称, 当n固定时，取两端对称的区间，其长 度为最短。
例1 某旅行社为调查当地旅游才的平均消费额, 随
机访问了100名旅游者, 得知平均消费额 x 80 元.
根据经验, 已知旅游者消费服从正态分布, 且标准
差 12 元, 求该旅游者平均消费额 的置信度
Sw2

(n1
1)S12 (n2 1)S22 n1 n2 2
, Sw

Sw2
1 2的置信水平为1 的置信区间为
X Y t 2(n1 n2 2)Sw
1 n1

1 n2

2、两个总体方差比
2 1

2 2
的置信区间
总体均值1，2未知

2 1-
2
,

2 2

2 2
从而
P{
2 1
2

2

2
}

1
2
将 2

(n 1)S 2
2
代入
得
P{

2 1
2

(n 1)S 2
2

2
}

1

2
(n 1)S 2
P{
2
2

2

(
n 1)S
2 1 2
2
}

1


则方差2的置信度为1- 的置信区间为
,
S
2分
2
别
为
样
本
方
差.
1.两个总体均值差 1-2 的置信区间
(1) 12、22均为已知
X
Y
~
~
NN((12,,1222nn12)
,
),
所以
X Y ~
N (1

2
,
2 1
n1


2 2
n2
)
则 ( X Y ) (1 2 ) ~ N (0,1)

2 1


2 2
于是,评价此新技术的效果问题,就归结为研究两 个正态总体均值之差1-2的问题.
比较甲乙两厂生产某种药物的治疗效果──把两个 厂的药效分别看成服从正态分布的两个总体
N(1,12)和 N(2,22). 于是,评价两厂生产的药物的差异,就归结为研究
对应的两个正态总体的均值之差1-2的问题. 下面讨论如何构造两个正态总体均值之差1-2的
为95%置信区间.
解 对于给定的置信度
1 0.95, 0.05, / 2 0.025,
查标准正态分布表 u0.025 1.96, 将数据
n 100, x 80, 12, u0.025 1.96,
代入
x u / 2

n
计算得 的置信度为95%的置
n1 n2
1


的
2
一
个
置
信
度
(
X
为1 的 置 信 区 间 为
Y

z 2

2 1


2 2
)
n1 n2
(b)

2 1


2 2


2均为未知
X Y (1 2 )
(n1 1)S12 (n2 1)S22
1
1
~ tn1 n2 2
n1 n2 2
n1 n2
给定置信度1-, X1, X2,…, Xn是来自N(,2)的样本,
S 2是样本方差
若未知, 利用样本方差构造统计量
2

(n 1)S 2
2
~
2(n 1)
给定 ,
先查2分布的临界表
求得12,22使得
P{
2

12 }

1
2
,
P{
2


2 2
}


2
一 般 取 12
三、小结
(11)

21.9
2 (11) 3.82 2
所以1549467 2 1549467
21.9
3.82
总体方差2的置信区间为(70752,405620)。
二.两个正态总体的情况
在实际应用中经常会遇到两个正态总体的区间估 计问题.例如:考察一项新技术对提高产品的某项质 量指标的作用──把实施新技术前产品的质量指标 看成一个正态总体 N(1,12),而把实施新技术后产 品质量指标看成另一个正态总体N(2,22).
(2) 1- ＝0.95 /2=0.025 n-1=15 s=6.2022
2 1-
2
(15)

27.488
2 (15) 6.262 2
则方差2的置信度为1- 的置信区间为
(n 1)S 2 (n 1)S 2
(
2
2
,
2 1 2
)
总体标准差的置信区间为(4.58,9.60)
思 考 假定出生婴儿(男孩)的体重服从正态分布，随机地 抽取12名新生婴儿，测其体重为
3100 2520 3000 3000 3600 3160
3560 3320 2880 2600 3400 2540 (1)以0.95的置信度估计新生男婴儿的平均体重。 (2)以0.95的置信度对新生男婴儿体重的方差进行区 间估计。
正态总体的置信区间
与其它总体相比，正态总体参数的置信区间是最完
善的，应用也最广泛. 在构造正态总体参数的置信
区间的过程中， t 分布、 2 分布、F 分布以及标准
正态分布N (0,1)扮演了重要角色.
本节介绍正态总体的置信区间，讨论下列情形: (1) 单正态总体均值(方差已知)的置信区间;
(2) 单正态总体均值(方差未知)的置信区间; (3) 单正态总体方差的置信区间; (4) 双正态总体均值差(方差已知)的置信区间; (5) 双正态总体均值差(方差未知但相等)的置信区间.
X , S 2 分别是样本均值和样本方差
1.均值的置信区间
(1) 2为已知, 的置信度为1- 的置信区间为

( X n u 2 )
(2) 2未知, 的置信度为1- 的置信区间为
S ( X t (n 1))
n2
(2) 2为未知
用样本方差
S2

1 n1
n i 1
查标准正态分布表得u 2 ,
使
P{| X



n
|
u
2
}

1


从中解得
P{ X


n
u
2

X


n
u
2
}

1


P{X
1

n u 2



X


n u 2 }
则的一个置信度为1- 的 置信区间为


(X
n
u , 2
X

n u 2 )
常写为( X


n u 2 )


2 1

2 2

S12 S22
F1
(n1
1 }
1,n2 1)
2
1
得到
2 1 2 2
的一
个置信
水平为1

的
置信区
间



S12 S22
F
2 (n1
1 1, n2
, 1)
S12 S22
F1 2
(n1