正态总体的置信区间

查标准正态分布表得u 2 ,
使
P{| X



n
|
u
2
}

1


从中解得
P{ X


n
u
2

X


n
u
2
}

1


P{X
1

n u 2



X


n u 2 }
则的一个置信度为1- 的 置信区间为


(X
n
u , 2
X

n u 2 )
常写为( X


n u 2 )
说明：标准正态分布具有对称性，利用双侧分位数来
计算未知参数的置信度为1 的置信区间，其区
间长度在的有这类区间中是最短的.
注意
(1)
区间长度
L

2

n u 2
当给定时，置信区间的长度与n有关.
当然希望区间长度越短越好，但区间长度短，n必
须大，即需耗费代价高，故在实际问题中，要具体
分析，适当掌握，不能走极端。
为95%置信区间.
解 对于给定的置信度
1 0.95, 0.05, / 2 0.025,
查标准正态分布表 u0.025 1.96, 将数据
n 100, x 80, 12, u0.025 1.96,
代入
x u / 2

n
计算得 的置信度为95%的置
(Xi

X )2
来代替2
统计量
X X
Z

S2
S
~ t(n 1)
n
n
服从自由度为n-1的t分布
P{t (n 1) 2
X
S

t (n 1)} 1 2
n
P{t (n 1) 2
X S


t (n 1)} 1 2
n
即P{ X S t (n 1) X S t (n 1)} 1
解(1) 1- ＝0.95 /2=0.025 n-1=11
t0.025(11)=2.201 x 3057 s=375.3
则 的置信度为0.95的置信区间为(2818,3295).
(2) 1- ＝0.95 /2=0.025 n-1=11
(n-1)S2=1549467
查表得
2 1-
2
n1 n2
1


的
2
一
个
置
信
度
(
X
为1 的 置 信 区 间 为
Y

z 2

2 1


2 2
)
n1 n2
(b)

2 1


2 2


2均为未知
X Y (1 2 )
(n1 1)S12 (n2 1)S22
1
1
~ tn1 n2 2
n1 n2 2
n1 n2
思 考 假定出生婴儿(男孩)的体重服从正态分布，随机地 抽取12名新生婴儿，测其体重为
3100 2520 3000 3000 3600 3160
3560 3320 2880 2600 3400 2540 (1)以0.95的置信度估计新生男婴儿的平均体重。 (2)以0.95的置信度对新生男婴儿体重的方差进行区 间估计。


2 1

2 2

S12 S22
F1
(n1
1 }
1,n2 1)
2
1
得到
2 1 2 2
的一
个置信
水平为1

的
置信区
间



S12 S22
F
2 (n1
1 1, n2
, 1)
S12 S22
F1 2
(n1
1


1,n2 1)

说 明
这里，我们主要讨论总体分布为正态的情形. 若样本容量很大，即使总体分布未知，应用中心 极限定理，可得总体的近似分布，于是也可以近 似求得参数的区间估计.
将 x 80, s 12, n 25, t0.025(24) 2.0639,
代入计算得 的置信度为95%的置信区间为(75.05, 84.95), 即在 2 未知情况下, 估计每个旅游者的平
均消费额在75.05元至84.95元之间,这个估计的可靠 度是95%.
3.单正态总体方差的置信区间
S12 S22

2 1

2 2
~
F (n1
1, n2
1)
S12

2 1
S22

2 2
~ F (n1 1, n2 1)
P{F1 2
(n1

1,n2
1)

S12

2 1
S22

2 2

F
2 (n1
1, n2
1)}

1
P{
S12 S22
F
2 (n1
1 1, n2
1)
于是,评价此新技术的效果问题,就归结为研究两 个正态总体均值之差1-2的问题.
比较甲乙两厂生产某种药物的治疗效果──把两个 厂的药效分别看成服从正态分布的两个总体
N(1,12)和 N(2,22). 于是,评价两厂生产的药物的差异,就归结为研究
对应的两个正态总体的均值之差1-2的问题. 下面讨论如何构造两个正态总体均值之差1-2的
X , S 2 分别是样本均值和样本方差
1.均值的置信区间
(1) 2为已知, 的置信度为1- 的置信区间为

( X n u 2 )
(2) 2未知, 的置信度为1- 的置信区间为
S ( X t (n 1))
n2
(2) 2为未知
用样本方差
S2

1 n1
n i 1
给定置信度1-, X1, X2,…, Xn是来自N(,2)的样本,
S 2是样本方差
若未知, 利用样本方差构造统计量
2

(n 1)S 2
2
~
2(n 1)
给定 ,
先查2分布的临界表
求得12,22使得
P{
2

12 }

1
2
,
P{
2


2 2
}


2
一 般 取 12
(11)

21.9
2 (11) 3.82 2
所以1549467 2 1549467
21.9
3.82
总体方差2的置信区间为(70752,405620)。
二.两个正态总体的情况
在实际应用中经常会遇到两个正态总体的区间估 计问题.例如:考察一项新技术对提高产品的某项质 量指标的作用──把实施新技术前产品的质量指标 看成一个正态总体 N(1,12),而把实施新技术后产 品质量指标看成另一个正态总体N(2,22).
三、小结
n2
n2
则的置信度为1- 的置信区间为 ( X S t (n 1)) n2
例2 某旅行社随机访问了25名旅游者, 得知平均消
费额 x 80 元, 子样标准差 s 12 元, 已知旅游者
消费额服从正态分布, 求旅游者平均消费 的95%
的置信区间. 解 对于给定的置信度
95%( 0.05), t / 2(n 1) t0.025(24) 2.0639,
注意
如果X服从任意分布,只要n充分大,仍可用

( X n u 2 )作为总体均值的置信区间
这是 因为由中心极限定理可知,无论X服从什么分布,
当 n充分大时,随机变量
U

X



n
近似服从标准正态分布。
2.单正态总体均值的置信区间（2）
给定置信度1-, X1, X2,…, Xn是来自N(,2)的样本,
假设标准差0 7，置信度为95%；
试求总体均值的置信区间。
解：已知0 7,n 9, 0.05. 由样本值算得：
x 1 (115 120 110) 115.
查正态分布9表得临界值u 2 1.96，由此得置信区间：
(115 1.96 7 / 9 , 115 1.96 7 / 9) (110.43 , 119.57)
,
S
2分
2
别
为
样
本
方
差.
1.两个总体均值差 1-2 的置信区间
(1) 12、22均为已知
X
Y
~
~
NN((12,,1222nn12)
,
),
所以
X Y ~
N (1

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2
,
2 1
n1


2 2
n2
)
则 ( X Y ) (1 2 ) ~ N (0,1)

2 1


2 2
(2)总体标准差的置信度为0.95的置信区间。
解(1) 1- =0.95 /2=0.025 n-1=15
t0.025(15)=2.1315 x 503.75 s=6.2022
2未知, 的置信度为1- 的置信区间为
S ( X t (n 1))
n2
则 的置信度为0.95的置信区间为(500.4,507.1).
(6) 双正态总体方差比的置信区间.
一.单正态总体 N(,2) 的情况
1.单正态总体均值的置信区间（1）
设总体X~N(,2), 2已知，未知，设X1, X2,…, Xn是 来自X的样本，求的置信度为1- 的置信区间。
解： 明选确问的题点,置是信估求水计什平为么是参多数X少的？置信一区寻个间找良?未好知估参计数.的
(2) 置信度为1- 的置信区间并不唯一。
结论
若概率密度函数的图形是单峰且对称, 当n固定时，取两端对称的区间，其长 度为最短。
例1 某旅行社为调查当地旅游才的平均消费额, 随
机访问了100名旅游者, 得知平均消费额 x 80 元.
根据经验, 已知旅游者消费服从正态分布, 且标准
差 12 元, 求该旅游者平均消费额 的置信度
Sw2

(n1
1)S12 (n2 1)S22 n1 n2 2
, Sw

Sw2
1 2的置信水平为1 的置信区间为
X Y t 2(n1 n2 2)Sw
1 n1

1 n2

2、两个总体方差比
2 1

2 2
的置信区间
总体均值1，2未知
(n 1)S 2 (n 1)S 2
(
2
2
,
2 1 2
)
例3. 有一大批糖果，从中随机地取16袋，称得重 量(以克计)如下：
506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496
设袋装糖果得重量近似地服从正态分布，求 (1)正态总体均值的置信度为0.95的置信区间。

2 1-
2
,

2 2

2 2
从而
P{
2 1
2

2

2
}

1
2
将 2

(n 1)S 2
2
代入
得
P{

2 1
2

(n 1)S 2
2

2
}

1

2
(n 1)S 2
P{
2
2

2

(
n 1)S
2 1 2
2
}

1


则方差2的置信度为1- 的置信区间为
取
U
X


n
~N(0,
1) X

1 n
n

i 1
Xi
~
N (, 2 n ),
寻找一个待估参数和 估计量的函数 ，要求 其分布为已知.
有了分布，就可以求出 U取值于任意区间的概率.
对于给定的置信水平(大概率),根据U的分布， 确定一个区间, 使得U取值于该区间的概率为 置信水平.
对给定的置信水平 1 ,
正态总体的置信区间
与其它总体相比，正态总体参数的置信区间是最完
善的，应用也最广泛. 在构造正态总体参数的置信
区间的过程中， t 分布、 2 分布、F 分布以及标准
正态分布N (0,1)扮演了重要角色.
本节介绍正态总体的置信区间，讨论下列情形: (1) 单正态总体均值(方差已知)的置信区间;
(2) 单正态总体均值(方差未知)的置信区间; (3) 单正态总体方差的置信区间; (4) 双正态总体均值差(方差已知)的置信区间; (5) 双正态总体均值差(方差未知但相等)的置信区间.
信区间为 (77.6,82.4), 即在已知 12 情形下, 可
以 95% 的置信度认为每个旅游者的平均消费额在
77.6元至82.4元之间.
自己动手
已知幼儿身高服从正态分布，现从5~6岁的幼儿中 随机地抽查了9人，其高度分别为： 115,120,131,115,109,115,115,105,110cm;
(2) 1- ＝0.95 /2=0.025 n-1=15 s=6.2022
2 1-
2
(15)

27.488
2 (15) 6.262 2
则方差2的置信度为1- 的置信区间为
(n 1)S 2 (n 1)S 2
(
2
2
,
2 1 2
)
总体标准差的置信区间为(4.58,9.60)
区间估计.
两
个
正
态
总
体N
(
1
,
2 1
),
N
(

2
,
2 2
)
给定置信度1-,
X1 , X 2 ,..., X n1是 来 自 于 第 一 个 总 体 的样 本 ；
Y1 ,Y2 ,..., Yn2是 来 自 于 第 二 个 总 体 的样 本 ；
两个样本相互独立, X ,Y分别为样本均值，
S
2
1