数学建模--有价证券的投资
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徐杰伊1110100420 电气学院
有价证券的投资
一、问题重述与分析
某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。此外还有如下限制：
1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；
2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；3）所购证券的平均到期年限不超过5年。
证券名称证券种类信用等级到期年限到期税前收益
（%）
A 市政 2 9 4.3
B 代办机构 2 15 5.4
C 政府 1 4 5.0
D 政府 1 3 4.4
E 市政 5 2 4.5
（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？
（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？（3）在100万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？
问题的目标函数为求所有投资的收益最大，限制约束为：市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税，政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；所购证券的平均到期年限不超过5年，1000万元资金，等条件，用LINDO求目标函数的最大值。
二、模型的假设和符号说明
(一)模型假设
(1)假设所有证券的信用等级在15年内不发生任何变化。
(2)假设所有证券的到期税前收益在15年内不发生任何变化。
(3)假设所有证券的到期税前税率在15年内不发生任何变化。
设:
投资证券A的金额: x1
投资证券B的金额: x2
投资证券C的金额: x3
投资证券D的金额: x4
投资证券E的金额: x5
三、模型的建立和求解
(一)模型的建立
按照目标条件，求出最大收益，目标函数为
Max 0.043x1+0.027x2+0.025x3+0.022x4+0.045x5
按照限制条件，列出在经理有1000万元资金条件下的约束条件：
、x2+x3+x4>=4
x1+x2+x3+x4+x5<=10
(2x1+2x2+x3+x4+5x5)/(x1+x2+x3+x4+x5)<=1.4即6x1+6x2-4x3-4x4+36x5<=0 (9x1+15x2+4x3+3x4+2x5)/(x1+x2+x3+x4+x5)<=5即4x1+10x2-x3-2x4-3x5<=0 x1,x2,x3,x4,x5>=0
列出模型：
Max 0.043x1+0.027x2+0.025x3+0.022x4+0.045x5
S．t．
x2+x3+x4>=4
x1+x2+x3+x4+x5<=10
(2x1+2x2+x3+x4+5x5)/(x1+x2+x3+x4+x5)<=1.4即6x1+6x2-4x3-4x4+36x5<=0 (9x1+15x2+4x3+3x4+2x5)/(x1+x2+x3+x4+x5)<=5即4x1+10x2-x3-2x4-3x5<=0 x1,x2,x3,x4,x5>=0
（二）模型的求解
用LINDO求解并要求灵敏性分析，程序：
max 0.043x1+0.027x2+0.025x3+0.022x4+0.045x5
st
x2+x3+x4>=4
x1+x2+x3+x4+x5<=10
6x1+6x2-4x3-4x4+36x5<=0
4x1+10x2-x3-2x4-3x5<=0
End
得到：
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 5
OBJECTIVE FUNCTION V ALUE
1) 0.2983637
V ARIABLE V ALUE REDUCED COST
X1 2.181818 0.000000
X2 0.000000 0.030182
X3 7.363636 0.000000
X4 0.000000 0.000636
X5 0.454545 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 3.363636 0.000000
3) 0.000000 0.029836
4) 0.000000 0.000618
5) 0.000000 0.002364
NO. ITERATIONS= 5
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES
V ARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
COEF INCREASE DECREASE X1 0.043000 0.003500 0.013000
X2 0.027000 0.030182 INFINITY
X3 0.025000 0.017333 0.000560
X4 0.022000 0.000636 INFINITY
X5 0.045000 0.052000 0.014000
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE
2 4.000000 3.363636 INFINITY