经济数学第一章
经济数学01
1.1 函数
例7 某化工厂生产的化肥，若每袋售价为50元，每月可销售10 000袋；
若每袋售价降5元，每月可增售2 000袋.试求该化肥的线性需求函数.
解
以Q表示需求量，p表示价格，根据线性需求函数公式
可得
Q a bp
解之得
10 12
000 000
a a
50b， 45b
因此可得
a b
30 000， 400
y 1 x2，y cos2 x，y ln x cos x sin x
等都是初等函数.
1.1 函数
1.1.5 常见经济函数
1.需求函数
需求是在一定的时期，在一既定的价格水平下，消费者愿意并且能够购买的商品数量.在某一价格下，消 费者愿意购买的某一商品的总数量称为需求量.一种商品的市场需求量Q与该商品的价格p关系密切. 通常，降 低商品价格可使需求量增加，提高商品价格将使需求量减少.
不是相同的函数.
1.1 函数
若函数 y f (x) 在它的定义域的不同区间(或不同点)上有不 同的表达式，则称这个函数为分段函数.
1，x 0 例如，函数 y sgn x 0，x 0 称为符号函数，它就是一
1，x 0
个分段函数，其定义域D (， )，值域 W 1，0 ，1 ，其
图形如图1-1所示。
周期函数的周期有无穷多个，通常所说的周期指的是最小正周期.周期函数的特征是：在定义域内每 个长度为T 的区间上，函数图像有相同的形状.例如，正弦函数y=sinx 为周期函数，周期为2π，且在每个长 度为的2π区间上，函数图像有相同的形状.
1.1 函数
1.1.3 反函数
引例
设某种商品的单价为p，销售量为x，则收入y是销售量x的函数，即 y px，
经济数学基础-知识点归纳
第一章函数与极限1．理解函数概念。
（1）掌握求函数定义域的方法，会求初等函数的定义域和函数值。
函数的定义域就是使函数有意义的自变量的变化范围。
学生要掌握常见函数的自变量的变化范围，如分式的分母不为0，对数的真数大于0，偶次根式下表达式大于0，等等。
（2）理解函数的对应关系f 的含义：f 表示当自变量取值为x 时，因变量y 的取值为f (x )。
（3）会判断两函数是否相同。
（4）了解分段函数概念，掌握求分段函数定义域和函数值的方法。
2．掌握函数奇偶性的判别，知道它的几何特点。
判断函数是奇函数或是偶函数，可以用定义去判断，即(1)若)()(x f x f =-，则)(x f 为偶函数；(2)若)()(x f x f -=-，则)(x f 为奇函数。
也可以根据一些已知的函数的奇偶性，再利用“奇函数±奇函数、奇函数×偶函数仍为奇函数；偶函数±偶函数、偶函数×偶函数、奇函数×奇函数仍为偶函数”的性质来判断。
3．了解复合函数概念，会对复合函数进行分解。
4．知道初等函数的概念，牢记常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数（正弦、余弦、正切和余切）的解析表达式、定义域、主要性质。
基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质在微积分中常要用到，一定要熟练掌握。
5.了解需求、供给、成本、平均成本、收入和利润函数的概念。
6.知道一些与极限有关的概念（1）知道函数在某点极限存在的充分必要条件是该点左右极限都存在且相等；（2）了解无穷小量的概念，知道无穷小量的性质；（3）了解函数在某点连续的概念，了解“初等函数在定义区间内连续”的结论；会判断函数在某点的连续性，会求函数的间断点。
第二章导数及其应用1．知道一些与导数有关的概念（1）会求曲线的切线方程（2）知道可导与连续的关系(可导的函数一定连续，连续的函数不一定可导)2．熟练掌握求导数或微分的方法。
（1）利用导数（或微分）的基本公式（2）利用导数（或微分）的四则运算（3）利用复合函数微分法3．会求函数的二阶导数。
经济数学基础讲义 第1章 函数
第1章 函数1.1 函数概念1.1.1 函数的定义同学们从入小学到高中毕业一直要学习数学，在这一阶段所面对的数学对象的特点是：所讨论的量在研究问题的过程中保持不变．只是从未知到已知．例如解方程或方程组，求得的解都是固定不变的．又如讨论三角形，它的边长也是固定不变的量．这些量叫做常量．常量——只取固定值的量这门课程中讨论的量在研究问题的过程中不是保持不变的．如圆的面积与半径的关系：S =πr 2考虑半径r 可以变化的过程．面积和半径叫做变量．变量——可取不同值的量变域——变量的取值范围我们考虑问题的过程中，不仅是一个变量，可能有几个变量．比如两个变量，要研究的是两个变量之间有什么关系，什么性质．函数就是变量之间确定的对应关系．比如股市中的股指曲线，就是时间与股票指数之间的对应关系．又如银行中的利率表 存期六个月 一年 二年 三年 五年 年利率(%) 5.40 7.47 7.92 8.28 9.00它反映的是存款存期与存款利率之间的对应关系．这几个例子反映的都是两个变量之间的确定的对应关系．函数的定义是：定义1.1 设x , y 是两个变量，x 的变域为D ，如果存在一个对应规则f ，使得对D 内的每一个值x 都有唯一的y 值与x 对应，则这个对应规则f 称为定义在集合D 上的一个函数，并将由对应规则f 所确定的x 与y 之间的对应关系，记为：)(x f y =，称x 为自变量，y 为因变量或函数值，D 为定义域． 集合},)({D x x f y y ∈=称为函数的值域．我们要研究的是如何发现和确定变量之间的对应关系．例1 求函数)1ln(1-=x y 的定义域． 解：)1ln(1-=x y ，求函数的定义域就是使表达式有意义的．由对数函数的性质得到01>-x ，即．由分式的性质得到0)1ln(≠-x ，即11≠-x ，即． 综合起来得出所求函数的定义域为),2()2,1(∞+= D ．例2 设国际航空信件的邮资与重量的关系是⎩⎨⎧≤<-+≤<=20010,)10(3.04100,4)(m m m m F 求)20(,)8(,)3(F F F ．解：⎩⎨⎧≤<-+≤<=20010,)10(3.04100,4)(m m m m F 用3替代，由第一个关系式表示，得到4)3(=F ，同样可以得到4)8(=F ．用20替代，由第二个关系式表示，得到7)20(=F1.1.2 有关函数的几点解释1.函数的表示法如何表示函数关系是需要我们不断研究和发现的．常用的方法有三种：一种是用一个数学公式来表示，叫做解析法；一种是用坐标系中的曲线反映两个变量之间的函数关系，叫做图示法；还有一种方法是用一个表格反映两个变量之间的函数关系，叫做表格法．一般经常使用的就是这三种方法．2.函数的记号在考虑一个问题的过程中，f 表示一个确定的对应关系，在之后考虑这个问题的过程中，f 自始至终表示同样的对应关系．比如53)(2-+=x x x f ，它反映的就是这样一种对应关系：5)(3)()(2-⨯+=f ，等式左端的函数括号中带入一个量，表示要对其进行等式右端的运算．如：15131)1(2-=-⨯+=f ，又如：535)(3)()(242222-+=-⨯+=x x x x x f无论左端带入什么，都对它进行同样的运算.1.1.3 函数的基本性质下面把在中学里大家已经知道的函数的基本属性复习一下，也就是：函数的单调性、奇偶性、有界性、周期性．当一个变量增加时另一个变量也跟着增加， 这样的函数就叫做单调增加的函数．从图形上看这条曲线，曲线上的点x 在增加的时候，它所对应的纵坐标y 也在增加，这样的函数是单调增加的． 单调减少是相反的，随着x 的增加相对应的y 在减少，这样的函数是单调减少的，正如图形中演示的这样．如果函数当x 在增加的时候，它所对应的y 不是增加，也不是减少，这样的函数就不具有单调性．例1 判断函数f (x )＝x 2当x >0时的单调性．分析：可以利用单调性的定义，证明对任意的x 1 > x 2，有f (x 1)>f (x 2)．解：当x >0时，对任意的x 2 >0，有2221x x >（当x 1 > x 2 >0时，在不等式x 1 > x 2两端同乘以x 1或x 2，显然有2121x x x >，2221x x x >，由不等式的传递性就得到2221x x >．） 由定义可知f (x )＝x 2当x >0时是单调增加的．一个函数的图形如果关于y 轴对称，这样的函数就称为偶函数．从图形上来分析，曲线上任一点关于y 轴的对称点也在曲线上面，这条曲线所描绘的函数就是偶函数．从解析式上看，如果有f (－x )＝f (x )，f (x )就叫做偶函数．一个函数的图形如果关于原点对称，这样的函数就称为奇函数．曲线上任一点关于原点的对称点也在曲线上面，这条曲线所描绘的函数就是奇函数．从解析式上看，如果有f (－x )＝－f (x )，f (x )就叫做奇函数．例2 判断下列函数的奇偶性：（1）y ＝x 3－1 （2）y ＝x cos x解：（1）取 x ＝1，－1，f (1)＝0，f (－1)＝－2，显然f (1) ≠－f (－1)，由此可知y ＝x 3－1 不是奇函数．又显然f (1) ≠f (－1)，由此可知y ＝x 3－1 不是偶函数．（2）因为y ＝x 是奇函数， y ＝cos x 是偶函数，而奇函数和偶函数的乘积是奇函数． 所以y ＝x sin x 是奇函数如果自变量在定义域中变化时，函数值始终在一个有限的区间内变化，如图形中演示的，无论怎样变化，都有－M ≤ f (x ) ≤ M ，这条曲线所反映的函数就是有界函数．如果存在一个正数T ，对任意的自变量x ，有f (x + T )＝f (x )，这样的函数就叫做周期函数． 从图形上反映，这个函数在相隔为T 的任意两点上函数值都是一样的．也可以这样来看，从任意一点出发，以长度T 为间隔划分区间，在每个区间上的函数图形都是可以完全重合的．1.2 几类基本初等函数我们在中学的学习中已经认识了一些函数， 这些函数是非常基本的，有这样几类：1. 常数函数：y = c ．这个函数在它的定义域中的取值始终是一个常数，它在直角坐标系中的图形就是一条水平线．2. 幂函数：y = x α，(α∈R )．以x 为底，指数是一个常数．当α = 1时就是y = x ，它的图形是过原点且平分一、三象限的直线；当α=2时就是y = x 2，它的图形是过原点且开口向上的抛物线；当α=3时就是y = x 3，它的图形是过原点的立方曲线．3. 指数函数：y = a x ，( a >0，a ≠1)．底数是常数，指数是变量．例如y = e x ，y = 2 x ，y = () x ． 所有指数函数的图形都过(0,1)点，当a >1时，函数单调增加，当a <1时，函数单调减少．4. 对数函数： y = log a x ，( a >0，a ≠1)．以a 为底的x 的对数．例如y = ln x ，y = log 2x ，y =．所有对数函数的图形都过(1,0)点，当a >1时，函数单调增加；当a <1时，函数单调减少．5. 三角函数：正弦函数：y = sin x ．余弦函数：y = cos x ．例1判断下列函数中，哪些不是基本初等函数：（1） y ＝； （2） y ＝()x ； （3） y ＝lg(－x )；（4） y ＝； （5） y ＝2x ； （6） y ＝e 2x ．分析：依据基本初等函数的表达式来判断．解： 直接观察可知⑵与⑷中的函数是基本初等函数，而由52521-==x x y ，y ＝e 2x ＝(e 2)x 可知（1）与（6）中的函数是基本初等函数．（3）与（5）中的函数不是基本初等函数1.3 函数的运算函数的运算当然有加、减、乘、除运算，这些就不需要讲了．在这里我们主要将函数的复合运算．所谓复合运算，就是指如果y 是u 的函数，u 是x 的函数，y 通过u 作为中间媒介就成为x 的函数，这就是函数的复合运算．如下面这个例子表示的：u y ln =x u sin =x y sin ln =这里y 是u 的函数，u 是x 的函数，y 通过u 作为中间媒介就成为x 的函数，这就是函数的复合运算．下面把这个复合的步骤以及它们的变域联系起来仔细地介绍一下：y 是u 的函数，这个函数用 f 来表示．u 是x 的函数，这个函数用φ来表示．φ的值域正好落在函数 f 的定义域里，经过u 作为媒介y 就成为x 的函数，这个复合函数的定义域是这样一个（红色）区域，它的值域就缩小成为这样一个（绿色）区域了． 这是为什么呢？因为x 在它的定义域内变化时，u 仅在这样一个（黄色）区域取到值，相应的y 的取值范围就缩小成为这样一个（绿色）区域．复合函数的记号就记为y = f (φ(x )) ．这种运算就叫做函数的复合运算．这样我们把函数分一下类：由基本初等函数经过有限次加、减、乘、除或复合而得到的函数称为初等函数．这样的分类把函数分成了初等函数和非初等函数．我们在前面所见到的分段函数就是非初等函数的例子．例1 已知函数y = f (x )的定义域为[0, 1]，求函数y = f (e x )的定义域．分析：要使函数u = e x 的值域包含于函数y = f (x )的定义域中，由这个约束条件重新确定x 的取值范围．解：设u = e x ，它的值域要包含于y = f (x )的定义域中，即0 ≤e x ≤1由此得－∞ ＜x ≤0，由此可知复合函数y = f (e x )的定义域是(－∞, 0]．（附：已知函数ln t 是单调增加的，显然有1ln e ln ln lim 0≤<+→xt t ，由此得－∞ ＜x ≤0 ） 例2 将下列初等函数分解为基本初等函数的四则运算或复合运算：（1）2)2sin(e +=x y （2）x y x 2cos ln 2=分析：由定义知初等函数是基本初等函数经有限次的四则运算和复合运算得到的．具体解决的步骤是：先看函数表达式有无四则运算，如有，则对每一个运算项进行分析，看其是否为复合函数，如是，则选择适当的中间变量将其化为基本初等函数．依此步骤反复进行． 解：（1），v u sin =，，2+=x w其中y , u , v 分别作为中间变量u , v ,w 的函数都是基本初等函数．而w 是幂函数x 与常数函数2的和．（2）u y x ln 2=，，x v cos = 其中y 是指数函数2x 与对数数函ln u 的乘积．而中间变量u , v 分别作为v , x 的函数都是基本初等函数．1.5 经济分析中常见的函数1.5.1 需求函数与供给函数这一节课的内容是要把学习数学和将来搞经济工作联系起来， 我们把经济分析中最最常见的5种函数介绍给大家（这节课只介绍前两个）．同时我们希望通过这一节的学习能够使大家感受到数学工具在经济分析中的应用．首先我们介绍需求函数和供给函数．y = f (ϕ(x ))大家可以想象到一个商品在市场上的需求肯定是与它的价格有关系，价格贵，需求量就少，价格便宜，买的人就多．需求和价格之间是有关系的，它们是不是函数关系呢？我们可以把它简化为一种函数关系．我们先不考虑其它因素，简单地认为价格定了需求量就随之确定，这样需求量就是价格的函数．供给，就是厂方能够为市场提供多少产品，当然它也是和价格有关系的，产品价格高，厂方就增加生产，反之供给量就减少．我们也可以把它简化为一种函数关系．需求量与价格之间的函数就称为需求函数，供给量与价格之间的函数就称为供给函数．现在我们讨论一种最简单的情况，认为需求函数和供给函数都是线性函数（一次函数），在这种关系下通过讨论看可以得到什么性质．)0,0(<>+=b a b ap q d表示需求量，表示价格，表示常数．)0,0(1111><+=b a b p a q s表示需求量，表示价格，表示常数．我们容易理解需求量应随价格的增加而减少，所以0<a ，当然0>b ．而 01<b ，因为当价格为零时，不会有供给量．我们把这两条曲线放在同一个坐标系中，就会发现有这样的关系，两条直线交于一点，这一点的含义是，在价格为时，产品的需求量与供给量是相同的，即供需达到了平衡．这一点称为供需平衡点． 价格超过时，供过于求；价格低于时，供不应求．在经济分析中，供需平衡点所对应的价格，称为市场均衡价格；它所对应的需求量或供给量称为市场均衡数量． 例1 某种商品的供给函数和需求函数分别为：1025-=p q s ，p q d 5200-=， 求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量．解：由市场均衡条件：s d q q =，得到：p p 52001025-=-解出：，1650=q1.5.2 成本函数我们再介绍经济分析中常见的三种函数：第一种叫做成本函数，第二种叫做收入函数，第三种叫做利润函数．我们先介绍成本函数．q p O q pO qp O一种产品的成本可以分为两部分：固定成本C 0，比如，生产过程中的设备投资，或使用的工具，不管生产产品与否，这些费用都是要有的，它是不随产量而变化的，这种成本称为固定成本．变动成本C １， 比如每一件产品的原材料，这些费用依赖于产品的数量，这种成本称为变动成本．总成本就是固定成本加上变动成本：C = C 0 + C １成本应与产品的产量有关，这种函数表示为C (q ) = c 0 + C １(q )这就是成本函数．其中总成本C (q )是产量q 的函数，c 0与产量无关，变动成本C １(q )也是产量q 的函数． 我们在引入平均成本的概念q q C C )(=，总成本除以产量q ，就是产量为q 时的平均成本，用来表示．例1 生产某商品的总成本是q q C 2500)(+=，求生产50件商品时的总成本和平均成本． 解：成本q q C 2500)(+= 平均成本25002500)()(+=+==qq q q q C q C 600502500)50(=⨯+=C ，12250500)50(=+=C 1.5.3 收入函数下面我们来讲收入函数．一种产品销售之后就会有销售收入，销售收入应该是价格乘以产量．但价格与产量之间也有一定的关系，这样就得到R = q p (q )其中p (q )是价格与产量之间的函数关系．相应地有平均收入函数qq R R )(= 现在我们来研究一种最简单的情况，把收入看作产量的线性函数（价格不随产量而变化），也就是R = pq ，它的图形就是下面这样图形说明销售数量越多收入越多，这是一条单调增加的直线．还有一个函数就是利润函数，利润函数大家也容易理解，因为在收入中减去成本得到的就是利润． 既然成本是产量q 的函数，收入也是q 的函数，那么利润也是q 的函数．即 L (q ) = R (q ) −C (q )qq L L )(= （1） L (q ) > 0 盈利（2） L (q ) < 0 亏损（3） L (q ) = 0 盈亏平衡q O满足L (q ) = 0的q 0称为盈亏平衡点（又称保本点）．在假设成本函数和收入函数都是线性函数的情况下来做一些分析：C = c 0 + c １q ，R = pq它们的图形是两条直线的交点表示收入与成本相等，q 0就是盈亏平衡点．如果两条直线出现了下面这种情况此时两条直线没有交点，也就是没有盈亏平衡点．为了找到盈亏平衡点，我们可以采取两种手段，一种是提高价格；另一种是降低变动成本c 1．这两种手段都可以重新找到盈亏平衡点.从几何上看，增加直线R 的斜率或减小直线C 的斜率都可以使两条直线重新相交．从以上分析可以看出数学工具在经济分析中的作用．例2 某商品的成本函数与收入函数分别为：q C 521+=，q R 8=求该商品的盈亏平衡点．解：q q C 521)(+=，q q R 8)(=，)()(q R q C =q q 8521=+， qOqOq O q O。
《经济数学》第1章 函数、极限与连续
第1章 函数、极限与连续1.1 函 数在自然现象、经济活动和工程技术中，往往同时遇到几个变量，这些变量通常不是孤立的，而是遵循一定规律相互依赖的，这个规律反映在数学上就是变量与变量之间的函数关系。
关于函数的有关知识，已在中学数学中作了介绍，本节仅就其中的一部分作简要的叙述，并作必要的补充。
1.1.1 函数的概念1．函数的定义定义1-1 设某一变化过程中有两个变量x 和y ，如果当变量x 在其变化范围内任意取定一个值时，变量y 按照一定的对应法则有确定的值与它对应，则称y 是x 的函数，记作y = f (x )。
其中x 叫做自变量，y 叫做因变量。
如果自变量x 取某一数值x 0时，函数y 有确定的值和它对应，就称函数在点x 0有定义。
在一般情况下，使函数有定义的自变量取值的集合，称为函数的定义域，它一般是数轴上的一些点的集合（区间），在实际问题中，还应结合实际意义来确定函数的定义域。
自变量取定义域内某一值时，因变量的对应值，叫做函数值。
函数值的集合叫函数的值域，它是由定义域和对应的法则决定的。
如果对于定义域内任一个自变量的值，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则，就叫做多值函数。
本书所讨论的函数，如果没有特别指出，均指单值函数。
例1-1 求函数 的定义域，并与函数2)(2-=x x f 比较它们是否表示同一个函数？解 )(1x f 的定义域是0≠x 的一切实数，即),0()0,(+∞-∞ ；而)(2x f 的定义域是),(+∞-∞。
由于)(1x f 与)(2x f 的定义域不同，故)(1x f 与)(2x f 不表示同一个函数。
说明 决定函数的两要素是定义域和对应法则，因此，两个函数只有在它们的定义域和对应法则都相同时，才认为是相同的。
2．分段函数表示函数的方法通常有公式法、列表法和图示法三种。
用公式表示函数时，一般用一个式子表示一个函数。
有时需要用几个式子分段表示一个函数，即对于自变量不同的取值范围，函数采用不同的表达式，这种函数叫做分段函数。
《经济数学基础》课件第1章
表 1-1
存期 年利率%
三个月 2.60
六个月 2.80
一年 3.0
二年 3.75
三年 4.25
五年 4.75
4. 某城市电话局规定的市话收费标准如下：当月所打电话 次数不超过30次时，只收月租费10元，超过30次时，每次加 收0.20元， 则电话费y和用户当月所打电话次数x的关系可表 示如下：
10,
x 30,
y 10 0.20(x 30), x 30.
像这种在自变量的不同取值范围内，函数关系用不同的 式子来表示的函数，通常称为分段函数.分段函数是微积分中 常见的一种函数.例如，符号函数(如图1-4所示)可以表示成
1, x 0
sgn
x
0,
x0
1, x 0
注 (1) 分段函数是用几个不同解析式表示一个函数，而
(2) 图像法: 把函数关系用平面上的点集反映出来，一般 情况下，它是一条平面曲线.如图1-3所示的是气象站的自动 温度记录仪所记录的某地当天的气温变化曲线，该曲线将气 温T与时间x的函数关系清晰直观地表示出来，如x=12时， T=10℃.
图 1-3
(3) 表格法: 把变量间的函数关系通过表格形式反映出来. 如表1-1给出了2014年3月开始执行的中国银行的人民币定期 储蓄存期与年利率的函数关系.
复杂. 例如，企业的产品收入R是产量Q的函数，而产量Q又 是时间t的函数，于是时间t通过产量Q间接影响收入R，则收 入R构成时间t的函数，这种函数就是复合函数.
定义1.11 设函数y=f(u)、u=φ(x)，如果u=φ(x)的值域或 其部分包含在y=f(u)的定义域中，则y通过中间变量u构成x的 函数，称为x的复合函数，记作
例2 设f(x+1)=x2－3x，求f(x).
经济数学第一章极限与连续
3x 1,
例
2 设函数
f
(x)
1,
2 x ,
x0 x 0 ，求定义域和函数值 f (1) 、 f (0) 、 f (4) ， x0
并作出此函数的图像．
解 函 数 的 定 义 域 D ,， f (1) 3 1 1 2 ， f (0) 1，
f (4) 24 16 ．图像如图 1.2 所示．
关系相同，那么它们就是相同的函数，与自变量和因变量用什么字母表示无关．
2.分段函数
有些函数对于定义域内的自变量 x 的不同的值，不能用一个统一的解析式表示出来，而
要用两个或两个以上的解析式来表示，这种在自变量的不同取值范围内用不同的解析式表示
的函数，称为分段函数．
例 1 我国寄到国内（外埠）信函的邮资标准是：首重 100 克内，每重 20 克（不足 20
y 按照某种对应关系，都有唯一确定的值与之对应，则称变量 y 是变量 x 的函数，记作
y f (x), x D,
其中 x 叫做自变量， y 叫做因变量． x 的取值范围 D 称为函数的定义域，而数集
f (D) y | y f (x), x D
称为函数 y f (x) 的值域．当 x x0 时，与 x0 相对应的 y 值称为函数值，记作 y xx0 或 f (x0 ) ．
第一章 极限与连续
函数是现代数学最基本的概念之一．它不仅是初等数学的主要内容，也是高等数学研究 的主要对象．微积分学是研究函数关系的一门数学学科．极限方法是微积分学的基本方法， 微积分学中的许多概念都是在极限概念的基础上建立的．连续性是函数的重要性态，微积分 学是以连续函数作为主要研究对象的．
本章在中学的基础上，进一步学习函数的有关内容和经济问题中的常见函数，学习函数 极限的概念及其运算，讨论函数的连续性，为学习微积分打下基础.
第一章 知识点小结经济数学
第一章知识点小结先将方程组化为阶梯形方程组，解决：1.解的存在性：是否有解？2.解的数量性：是唯一解，还是无穷多解？再确定首未知量和自由未知量，进一步简化方程组，使每个方程只含一个首未知量，其余未知量为自由未知量。
解决：3.解的表示：如何表示出方程组的全部解？设有如下线性方程组：13,若x x 为主变量，则24,x x 为自由变量。
那么，它的化简过程应该是：11112213314412112222332442311322333344341142243344445115225335445 a x a x a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎨⎪+++=⎪+++=⎪⎩11112213314412332442333344343344445335445''''''''''' ''''''a x a x a x a x b a x a x b a x a x b a x a x b a x a x b +++=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪+=⎪+=⎪⎩第一步:利用第1个方程，消去后面各方程的1.x 既然为自由未知量，则后面各方程的也被消去.2x 2x 方程组化简为：11112213314412332442''''''''''''''''00 0000a x a x a x a x b a x a x b +++=⎧⎪+=⎪⎪=⎨⎪=⎪=⎪⎩第二步:利用第2个方程，消去后面各方程的4.x 既然为自由未知量，则后三个方程均化为“0=0”.24,x x 方程组化简为：1111221441233244200 0000c x c x c xd c x c x d ++=⎧⎪+=⎪⎪=⎨⎪=⎪=⎪⎩利用第2个方程，消去第1个方程的3.x 3x 第三步:既然为主变量，方程组化简为：第四步:将每个方程的主变量系数化为1，并写出方程组的通解。
第一章 函数 《经济数学》PPT课件
1],[1,+¥),secx=1/cosx,所以y=secx是无界的且T=2π的周期函数,因为sec(x)=secx,所以该函数为偶函数.
余割函数 y=cscx,定义域为x≠kπ(k为整数),值域(-¥,-1],[1,+¥),cscx=1/sinx, 所以y=cscx是无界的且T=2π的周期函数,因为csc(-x)=-cscx,所以该函数为 奇函数.
1. 1. 3 集合与集合的关系
2)相等关系：设有集合A、B,若A⊆B且B⊆A,则称集合A与B相等, 记作A=B.
1. 1. 4 集合的运算
1)集合的并：设有集合A、B,由A与B的所有元素构成的集合称 为A与B的并,记为A∪B,即A∪B= {x| x∈A 或x∈B}
1. 1. 4 集合的运算
1.2
函数概述
1)几个实例：在很多实际问题中,一个量的大小会依赖于另一个 量.例如,消费者对牛肉的需求量依赖于市场上的牛肉的价格;市 场上某种饮料的供应量依赖于气温的变化;一瓶葡萄酒的价格依 赖于它的年份;等等.
1. 2. 1 函数的概念
2)函数的定义：在以上各实际问题中,撇开各个变量的实际意义,可以发现它们的共同点
2)描述法：把属于某个集合的元素所具有的某种共同属性描述出来写 在大括号内.通常表示为:A={x|x具有的共同属性}.
1. 1. 3 集合与集合的关系
1)包含关系：设有集合A、B,如果集合A的每一个元素都是集合B 的元素,即“若a∈A,有a∈B”,则称集合A是集合B的子集,记为 A⊆B或 B⊇A,读作A包含于B或B包含A.如果A是B的子集,并且B中 至少有一个元素不属于A,则称A是B的真子集,记为A⊂B或B⊃A,集 合与集合的包含关系可用图形(文氏图)来表示(如图1-1 所示). 一 般规定空集是任何集合A的子集,即Φ⊂A;子集有以下性质:若 A⊂B,B⊂C,则A⊂C.
大学经济数学
经济数学
定义 1 设数集 D R，则称映射 f : D R为定义
在 D上的函数.
即对于每个数 x D, 变量 y按照一定法则总有
确定的数值和它对应，则称 y是 x的函数，记作
y f (x)
因变量
自变量
当x0 D时, 称f ( x0 )为函数在点x0处的函数值. 数集D叫做这个函数的定义域
函数值全体组成的数集
x
x
2
定义2： 设函数ƒ(x),当x的绝对值无限增大时，函数ƒ(x) 趋于一个确定的常数A，则称函数ƒ(x)当 x→∞ 时以A为 极限.记
lim f ( x) A 或 f ( x) A( x ).
x
经济数学
定理1 函数y =ƒ(x)当x→∞ 时极限存在且为A的充要条
件是函数y =ƒ(x)当 x→＋∞ 与 x→－∞ 时极限都存在且 等于A. 即
y 反函数y ( x)
经济数学
Q(b, a )
直接函数y f ( x)
o
P(a, b)
x
直接函数与反函数的图形关于直线 y x对称.
经济数学
（2）复合函数
例：设 y u, u 1 x2 ,
y 1 x2
定义 2: 设函数 y f (u)的定义域 D f , 而函数 u ( x)的值域为 Z , 若 Df Z , 则称 函数 y f [( x)]为 x的复合函数.
x x
x
x
2
经济数学
(2) 设函数ƒ(x),当x<0且x的绝对值无限增大时，函数ƒ(x)趋 于一个确定的常数A，则称函数ƒ(x)当 x→－∞ 时以A为极限. 记
lim f (x) A 或 f (x) A(x ).
x
如： lim 1 0,
《经济数学基础》第一篇第一章--函数
例如： y x, y x3,
y
1 x2
x2
1
y x x2
2
y 3 x2 x3
归纳幂函数的性质：
1 xn xm xnm 如：x3 x5 x8
2
1 xn
xn
如： x13＝x3
3
xn
xm
xn xm
xnm
如： x2＝ 1
x3
x5 x3
n
3
4 m xn x m 如：y 5 x3 x 5
x 3
x
2
x 3
x 3 接下来将： x 2 写成区间的形式
x 3
x
－3 －2
3
得到定义域： D (3,2) (2,3]
三. 计算函数的值
就是将自变量的值代入函数的表达式中， 计算出因变量(函数)的值来。
关键是对函数记号f x的理解: (1) f x0 表示函数f x在x x0处的值;
x 1
解：1gx x2 x, f x gx.
2gx x 2 xx 0; f x xx R
即D f Dg, f x gx.
3 gx x2 1 x 1 x 1
x 1
f x x 1 x R 即D f Dg, f x gx.
例 4.2 判断下列函数是否相同：
1 f x ln x2, gx 2 ln x; 2 f x ln x3, gx 3ln x;
要注意：所有函数可以分为 奇函数、偶函数和非奇非偶函数。
通过图像可以看出： •奇函数的图像是关于原点对称的， •偶函数的图像是关于y轴对称的。
通过定义，我们可以证明得到下面的结论：
•奇＋奇＝奇， •偶＋偶＝偶， •奇×奇＝偶， •偶×偶＝偶， •奇×偶＝奇， •奇＋偶＝非奇非偶函数， • f(x) + f(-x) 为偶函数， f(x) - f(-x) 为奇函数。
大一经济数学第一章知识点
大一经济数学第一章知识点经济数学作为一门交叉学科，旨在应用数学方法解决经济问题。
在大一的经济数学课程中，第一章涵盖了一些基本的数学知识点，为后续学习奠定了基础。
本文将从四个方面简要介绍这些知识点。
一、函数与方程在经济数学中，函数是一种基本的数学概念。
所谓函数，即将一个或多个数值输入映射为一个数值输出的关系。
常见的函数类型包括线性函数、指数函数、对数函数等。
而方程则是函数的一种特殊情况，指的是将一个函数等于某个给定的数值的情况。
学习这些函数与方程的基本性质，可以帮助我们理解经济问题中的关系与变化。
二、微分与导数微分与导数是经济数学中的重要概念。
微分是指用无限小的量来描述函数的变化情况。
而导数则是函数某一点的微分值，用来表示函数在该点的变化率。
导数的概念在经济学中有广泛的应用，如边际成本、边际效用等。
三、最优化问题最优化问题是经济学中常见的问题之一，它旨在寻找满足某种条件下使得某个目标函数取得最大或最小值的变量取值。
在大一经济数学中，常见的最优化问题包括求解一元函数的最大值和最小值，以及求解二元函数的最大值和最小值。
最优化问题的解决方法主要有解析法和数值法两种。
四、积分与面积积分与面积在经济数学中也起着重要的作用。
积分是微分的逆运算，可以用来计算函数下的面积、衡量总量等。
练习积分运算可以帮助我们理解经济学中的累计问题，如总收入、总成本等。
总之，大一经济数学第一章介绍了一些基本的数学知识点，包括函数与方程、微分与导数、最优化问题、积分与面积。
这些知识点为我们理解和分析经济问题提供了数学工具和思维方式。
在后续学习中，我们将继续深入探讨这些知识点，并将其应用到具体的经济案例中，以便更好地理解经济现象并作出有针对性的决策。
通过对经济数学的学习，我们可以发现数学在经济学中的广泛应用，提高我们的数学思维能力和经济问题解决能力，为未来的学业和职业发展打下坚实的基础。
经济数学第一章极限与连续
第一章 极限与连续函数是现代数学最基本的概念之一．它不仅是初等数学的主要内容，也是高等数学研究的主要对象．微积分学是研究函数关系的一门数学学科．极限方法是微积分学的基本方法，微积分学中的许多概念都是在极限概念的基础上建立的．连续性是函数的重要性态，微积分学是以连续函数作为主要研究对象的．本章在中学的基础上，进一步学习函数的有关内容和经济问题中的常见函数，学习函数极限的概念及其运算，讨论函数的连续性，为学习微积分打下基础.§1.1 函数在客观世界中，一切事物都在运动变化着．在某一变化过程中始终保持不变的量称为常量，在这一过程中不断变化，可以取不同值的量称为变量．变量的变化并不是孤立的，一些变量之间相互依赖、遵循着一定的规律在变化．函数就是用来描述这种依赖关系的．一、函数及其特性1．函数的概念引例 某种商品的销售价格为p ，则销售收入R 与销售量Q 之间存在对应关系为pQ R =．当销售量Q 取定某一数值时，销售收入Ｒ就会按照这个对应关系有一个确定的数值与之对应．这种对应关系称为函数．定义1 设x 和y 是某一变化过程中的两个变量，如果x 在某实数集D 中每取一个值，y 按照某种对应关系，都有唯一确定的值与之对应，则称变量y 是变量x 的函数，记作,),(D x x f y ∈=其中x 叫做自变量，y 叫做因变量．x 的取值范围D 称为函数的定义域，而数集{}D x x f y y D f ∈==),(|)(称为函数)(x f y =的值域．当0x x =时，与0x 相对应的y 值称为函数值，记作0x x y=或)(0x f ．函数的对应关系不仅可以像上面引例那样用一个解析式表示，还可以用图像或表格来表示．例如，某气象站用自动温度记录仪记下某日气温的变化，如图1.1所示．这是用图像法表示一昼夜里温度T (C 0）与时间t (h ）之间的对应关系．又如，某商店的运动服销售价格p （元）与尺码S （cm ）之间的关系如下表所示：这是用表格法表示的函数关系，其定义域是{}120,115,110,105,100,95,90,85=D ． 函数的定义域和对应关系是确定函数的两个要素．两个函数，如果它们的定义域和对应关系相同，那么它们就是相同的函数，与自变量和因变量用什么字母表示无关．2.分段函数有些函数对于定义域内的自变量x 的不同的值，不能用一个统一的解析式表示出来，而要用两个或两个以上的解析式来表示，这种在自变量的不同取值范围内用不同的解析式表示的函数，称为分段函数．例1 我国寄到国内（外埠）信函的邮资标准是：首重100克内，每重20克（不足20克按20克计算）1.20元（续重时情况略）。
《经济数学》第一章
其中，xj ( j 1，2) 为未知量，aij (i ，j 1，2) 为未知量系数， bi (i 1，2) 为常数项。
当 a11a22 a12a21 0 时，方程组的解为
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
，x2
a11b2 a11a22
a21b1 a12a21
定义1 将由4个数排列成2行2列（横排为行，竖排为列）并左右
1 1 1
D 1 2 1 3r1r3 0 1 2 4r2 r3 0 1 2 9 0
3 12
0 4 1
0 0 9
根据定理1可知，此线性方程组有唯一解。
（2）计算Dj
1 1 1
1 1 1
D1 0
2
1 7r1 r3 0
2
1 (1)11 1 2 8
1 18
5
7 12
0 8 5
11 1
11 1
D2 1 0 1 7r1r3
0
0 0 5
1.1.4 运用克莱姆法则讨论齐次线性 方程组的解
形如
a11x1 a12 x2 L a1n xn 0 ，
a21 x1
a22
x2 M
L
a2n xn
0， 的线性方程组称为
an1x1 an2 x2 L ann xn 0
齐次线性方程组。
显然，所有未知数取值皆为0是它的一个解，这个解称为零解。 此外，若未知数不全为0的取值也是它的解，则称这样的解为非零解。
a13 a23
(1)32 a32
a11 a21
a13 a23
(1)33 a33
a11 a21
a12 a22
3．n 阶行列式
定义3 将 n2个数排列成n行n列，并在左右两边各加一竖线的算式
经济数学-第1章
第1章函数的概念函数是对现实世界中各种变量之间相互依存关系的一种抽象，是刻画运动变化中变量相依关系的数学模型。
其思想是：通过某一事实的信息去推知另一事实。
在经济学、管理学及其他社会科学的研究中经常会遇到函数。
本章将在中学数学已有的函数知识的基础上，进一步理解函数概念、并介绍反函数、复合函数及初等函数的性质，为微积分的学习打下基础。
一、变量（一）变量与常量在我们观察自然现象或社会现象的过程中经常会遇到两种不同的量，其中一些量在观察过程中始终保持固定的数值，这种量称为常量，一般用字母a ，b，c 等表示；另一些量在观察过程中可取不同的数值，这种量称为变量，一般用 x，y，z 等表示。
例如物体的重力加速度，某段时间内某种商品的不变价格等均是常量；一天的气温、湿度、生产过程的产量是在不断变化的，它们是变量。
（二）区间变量有时可取任意实数值，有时又要受到某种限制，这要根据问题的具体性质来决定。
例如产量不能为负数，圆的内接正多形的边数只能是不小于3的自然数……通常用“区间”来表示变量x的变化范围。
设 a ，b是两个给定的实数，满足 a ≤x≤b 的实数的全体叫做闭区间，用记号[ a ，b] 表示；满足 a < x < b 的实数的全体叫做开区间，用记号（ a，b）表示；满足 a < x≤b 或a ≤x < b 的实数的区间叫做半开闭区间，用记号（ a，b] 或[ a，b）表示。
以上这些区间叫做有限区间。
除了有限区间之外，还有无限区间。
（ a ，+ ∞）表示全体大于a 的实数； [ a ，+ ∞）表示全体不小于a的实数；（ - ∞，b）表示全体小于b 的实数；（-∞，b] 表示全体不大于b的实数；（ - ∞，+ ∞）表示全体实数。
其中，-∞，+ ∞分别读成负无穷大，正无穷大。
（三）邻域邻域是今后常用的一个概念，在数轴上，一个以 x 点为中心，半径为δ的对称开区间称为x的δ邻域，记为 N（ x ，δ）。
经济数学第一章
经济数学 第一章 . 第一节
第 24 页
关
四
系
、
式
建
立
函
数
例7 某工厂生产某产品，每日最多生产500件．它的
日固定成本为2 000元，生产一件产品的可变成本为5 元．求该厂的日成本函数及平均单位成本函数．
1 函数
经济数学 第一章 . 第一节
解 设日总成本为 C 件．由于日总
1 函数
经济数学 第一章. 第一节
及
一 、 函 数
其 表 示 法
的
概
念
函数的四种性质：
单调性
奇偶性
周期性
有界性
第7 页
函数的三种 表示方法
解析法 列表法 图像法 在实际应用中，这三种表示
1 法可以结合起来使用 函数
经济数学 第一章. 第一节
第8 页
等
函
二
数
、
与
复
分
合
段
函
函
数
数
、
初
1.初等基本函数
的
概
念
例1 设长方形的长为 x，宽
为 y，则它的面积为 z f (x, y) ，
这是一个二元函数，其定义域
为 D (x，y) x 0，y 0 .
例2 二元函数 z 1 x2 y2
的定义域为 1 x2 y2 0 ，即 x2 y2 1 .
我们把二元和二元以上的函数统称为多元函数．文 中若不特别指出，所述函数均指一元函数.
称为收益函数．
第 21 页
1 函数
QP
经济数学 第一章 . 第一节
中
的
三
几
、
个
经
经济数学第1章 函数极限与连续
的周期(k=1,2,3 )，通常我们说的周期函数的周期就
是指最小正周期. 例如，函数y=sin x及y=cos x都是以2π 为周期的
周期函数；
函数y=tan x及y=cot x都是以 π为周期的周期函数.
例13 求函数 f (t) Asin( t ) 的周期，其中A,,为常数 解 设所求的周期为T，由于
第1章 函数极限与连续
1.1 函数 1.2 极限的概念 1.3 极限的运算 1.4 函数的连续性
结束
1.1 函 数
1.1.1 函数的概念
定义1 设x与y是两个变量，若当变量x在非空数集D内任取
一个数值时，变量x 按照某种对应法则f 总有一个确定的
数值y 与之对应，则称变量y为变量x 的函数，记作
x D y f (x)
义域内是无界函数.sin x ,tan x及cot x是奇函数，cos x是
偶函数.
此外还有正割函数y=secx,余割函数y=cscx,其
中 secx 1 ,cs.c它x 们 都1是以
cos x
sin x
为周期的2函π
数，并且在开区间 (0,内π)都是无界函数. 2
(5)反三角函数 三角函数y=sin x,y=cos x,y=tan x和y=cot x的反函
1 x
解
f[
f
( x)]
1
1 f (x)
1
1 1
1 基本初等函数
(1)幂函数 y x ( 是常数)
幂函数 x 的定义域随 的不同而不同.
当为正整数时，x 的定义域为( , ).
当为负整数时，x 的定义域为( ,0)和(0, ).
《经济数学》教学课件 第一章 函数
设函数 f (x) 在区间 (a ，b) 内有定义．若存在一个正数 M ，使得对于区间 (a ，b) 内的一切 x 值， 恒有 | f (x) | M ，则称函数 f (x) 在区间 (a ，b) 内是有界函数，否则称函数 f (x) 为无界函数．
1.4 函数的性质
例 3 判断函数 f (x) ln(x x2 1) 的奇偶性．
(
x)=
4
1
x2
x 2 的定义域．
解 要使函数有意义，则有
4 x2 0 x2 0 成立，所以函数 f (x) 的定义域为 x (2 ，2) (2 ， ) ．
1.3 函数的表示法
常用的函数表示方法有三种：解析法、表格法和图形法．
解析法：也称公式法，是指将自变量和因变量之间的关系用数学式子来表示的方法．这些数 学式子称为解析表达式．根据解析表达式表示方法的不同，相应的函数可分为显函数、 隐函数和分段函数．
轴为渐近线，如图 1-2 所示
图 1-2
基本初等函数
（3）指数函数 y ax (a 0且a 1) 的定义域是 ( ， ) ．由于无论 x 取何值，总有 ax 0 且 a0 1 ，所以它的图形全部在 x 轴上方，通过点 (0 ，1) ，即值域是 (0， ) ．
当 a 1 时，函数单调增加且无界，曲线以 x 轴负半轴为渐近线． 当 0 a 1 时，函数单调减少且无界，曲线以 x 轴正半轴为渐近线，如图 1-3 所示．
定义 1-1 设 x 和 y 是两个变量， D 是给定的数集，如果对于每个 x D ，变量 y 按照某个 对应法则 f 总有一个唯一确定的数值与之对应，则称 y 是 x 的函数，记作 y f (x) ．
这里，x 称为自变量，y 称为因变量或 x 的函数，数集 D 称为函数的定义域．当 x 取值 x0 时， 与 x0 对应的 y 的数值称为函数在点 x0 处的函数值，记作 f (x0 ) 或 y xx0 ．当 x 取遍 D 的各个数值 时，对应函数值的集合 Z {y | y f (x)，x D} 称为函数的值域．
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y cot x , y sec x , y csc x
19
(6) 反三角函数
y arc sin x, y arc cos x, y arc tan x , y arc cot x
20
y x 1、幂函数
(是常数)
懂数学的经济学家,决不会成为杰出的经济学家.
1
《微积分》是近代数学中最伟大的成就之一,是高校
财经类各专业的一门必修的重要的基础课.一方面, 它为 学生学习后继课程和解决实际问题提供必不可少的数学
基础知识及常用的数学方法;另一方面, 它通过各个教学
环节,逐步培养学生具有比较熟练的基本运算能力和自学 能力、综合运用所学知识去分析和解决问题的能力、初
y y= ƒ(x) –2T –T T o 2T x
图4
16
4. 显函数及隐函数:由方程 F(x , y)=0 所确定的函数 y=ƒ(x)或x=ƒ−1(y)
称为隐函数.而将y=ƒ(x) 称为函数的显式.
17
x 2 1 1 x 0 例 f ( x) , 0 x1 2
或
则称ƒ(x)在区间 I 上严格单调或单调 上升 对应曲线是 下降 的. (图2)
y y= ƒ(x) y= ƒ(x) y
增加 减少
.
f ( x2 )
f ( x1 ) x1
o
f ( x1 )
x
f ( x2 )
x1 o x2
x
x2
图2
14
(3). 函数的有界性:∃M>0,∀x∈D, | ƒ(x) |≤M则称ƒ(x)
课程简介
现代社会正经历着由工业社会向信息社会过渡的变
革,信息社会有两个主要的特征:一是,计算机技术的迅速
展与广泛应用;二是,数学的应用范围急剧扩展,几乎社 会生活中的每个领域都有数学的应用.其中数学对经济学 的发展也起了很大作用.1969年至1981年间颁发的13个诺 贝尔经济学奖中,有7个获奖工作是相当数学化的.现在不
4
第一章 函 数
1.1 函数的概念
一. 集合 所谓集合是指具有某种特定性质的事物的总体.组 成这个集合的事物称为该集合的元素. 设M是具有某种
特征的元素x的全体所组成的集合,记作 M={ x | x所具有的特征}
这里x所具有的特征,实际就是x作为M的元素适合的充 要条件.
区间是用得较多的一类数集.
(1) 常函数 (2) 幂函数 (3) 指数函数 (4) 对数函数 (5) 三角函数 y=c y =xα
y a x ( a 0, a 1) 或 y e x
y log a x(a 0, a 1)或y ln x
y sin x, y cos x, y tan x,
在D内有界. (图3)
y y=M y= ƒ(x) o y=–M x
y y=M
y
y= ƒ(x) o y=–M x
o y= ƒ(x)
x
图3
15
(4). 函数的周期性:∃T≠0,使ƒ(x+T)=ƒ(x).则称ƒ(x)为周期 函数. 满足函数的最小正数 T 称为ƒ(x)的(最小正)周期. 其图象每隔 T个单位就重复. (图4)
步抽象概括问题的能力以及一定的逻辑推理能力.
2
本期学习内容
第一章 函数 第二章 极限、导数与微分
第三章 导数的应用
第四章 不定积分 第五章 定积分 第六章 定积分的应用
3
第一章 函数
§1.1 函数的概念 §1.2 几类基本初等函数 §1.3 函数的运算 §1.4 初等函数
y f ( x)
§1.5 建立函数关系的基本方法
9
即
解 （1）要使函数有意义，须使
所以，函数的定义域为
10
（2）要使函数有意义，须使
或
所以，函数的定义域为
1, , 1
11
2. 函数的表示法:解析法、图示法、表格法.
四、函数的几种特性 (1). 函数的奇偶性:设函数的定义域D关于原点对称(为
对称区域),而且∀x∈D,若ƒ(−x)=±ƒ(x),则称ƒ(x)为
[a, ) { x a x },
• a
(a, ) { x a x },
° a
(, ) { x x }.
7
三、函数
1. 函数的定义 定义 设 x , y 是两个变量,若对D中每一个值 x,按 照一定的对应法则 ƒ,总有确定的数值和它对应,则称 y是 x的函数;记作 y=ƒ(x).称 x 为自变量, y 为因变量; D 为定义域;集合 D(f)={y | y=f(x), x ∈ D}为值域.
偶 奇
函数.
12
偶 奇
的图形具有对称性.(图1) 函数.
y (–x,ƒ(x)) (x,ƒ(x)) y –x o x x –x o x x (x,ƒ(x))
(–x,–ƒ(x))
图1
13
(2). 函数的单调性:若ƒ(x)对其定义区间 I 上
,∀x1,x2∈D,当x1< x2 时, 恒有
f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 )
5
区间：
[a, b] { x a x b},
a
•
• b
(a, b] { x a x b},
° a
•
b
[a, b) { x a x b},
•
a
° b
(, a) { x x a},
° a
6
(, a] { x x a},
• a
确定分段函数的定义域并求f (−1), f (0), f (1), f (x−1).
x2 2 x 2 0 x 1 解 f ( x 1) . 2 1 x 2
18
1.2初等函数
1.基本初等函数 应熟练掌握其表达式、定义域、值域、几何特性、
常见公式、图象及性质(见教材 p21 – 下几种情况： • 在分式中，分母不能为零； • 在根式中，负数不能开偶次方根； • 在对数式中，真数必须大于零，底数应大于零且不等 于1； • 在反三角函数式中，应满足反三角函数的定义要求； • 如果函数的解析表达式中含有分式、根式、对数式和 反三角函数式中的两者或两者以上的，求定义域是应取 各部分定义域的交集。