清华大学微积分高等数学第15讲不定积分三PPT课件
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大学微积分课件(PPT幻灯片版)pptx
高阶导数计算
高阶导数的计算一般采用归纳法 或莱布尼茨公式等方法进行求解。 需要注意的是，在计算过程中要 遵循求导法则和运算顺序。
应用举例
高阶导数在物理学、工程学等领 域有着广泛的应用。例如，在物 理学中，加速度是速度的一阶导 数，而速度是位移的一阶导数； 在工程学中，梁的挠度是荷载的 一阶导数等。
03 一元函数积分学
VS
几何意义
函数$y = f(x)$在点$x_0$处的导数 $f'(x_0)$在几何上表示曲线$y = f(x)$在点 $(x_0, f(x_0))$处的切线的斜率。
求导法则与技巧总结
基本求导法则
包括常数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导 数、三角函数的导数、反三角函数的导数等。
求导技巧
连续性与可微性关系
连续性
函数在某一点连续意味着函数在 该点有定义，且左右极限相等并 等于函数值。连续性是函数的基 本性质之一。
可微性
函数在某一点可微意味着函数在 该点的切线斜率存在，即函数在 该点有导数。可微性反映了函数 局部变化的快慢程度。
连续性与可微性关
系
连续不一定可微，但可微一定连 续。即函数的连续性是可微性的 必要条件，但不是充分条件。
历史发展
微积分起源于17世纪，由牛顿和莱布尼 茨独立发展。经过数百年的完善，已成 为现代数学的重要基础。
极限思想与运算规则
极限思想
极限是微积分的基本概念，表示函数在某一点或无穷远处的变 化趋势。通过极限思想，可以研究函数的局部和全局性质。
运算规则
极限的运算包括极限的四则运算、复合函数的极限、无穷小量 与无穷大量的比较等。这些规则为求解复杂函数的极限提供了 有效方法。
不定积分ppt
解：由 (5.2)式知 t 月后的 收入函数 R(t) 的微分为
dR = 60(300- 60 t )dt.
所以
R(t) 60(300 60 t )dt
18000t 2400 t3 C
t 0 时的收入显然为 0，即 R(0) = 0, ，代入上式有 C 0, 所以收入函数为
解：设生产线的总收益函数为 R(t) ，则由题意有
所以
dR(t)
3
dt MR(t) 300 5t 2
，且 R(0) 0,
3
5
R(t) (300 5t 2 )dt 300t 2t 2 C
又由 R(0) 0 ，得 C 0 ，所以
5
R(t) 300 t 2t 2
ln a
axdx ax C
ln a
幂函数积分
(x ) x1
x ;
(x 1) 1 x ,
1
( x 1 ) x ,
1
( 1)
所以
x dx x 1 C
1
d ( x 1 ) x dx
x x
dx
1
cos2 cos2 x
x
dx
1
[ cos2
x
1]dx
dx
cos2 x dx
tan xx
C
.
例5.7 有一油井，预计原油单位产量为 p(t) = 300- 60 t 桶/每月，假设原油的价格为每桶 60美元，且原油 生产 出来就被出售，求这口井 t 个月后总收入 R(t) , 并求4个 月的总收入.
f(x)dx称为被积表达式， C称为积分常数． 由（5-1-2）和（5-1-1）有
dR = 60(300- 60 t )dt.
所以
R(t) 60(300 60 t )dt
18000t 2400 t3 C
t 0 时的收入显然为 0，即 R(0) = 0, ，代入上式有 C 0, 所以收入函数为
解：设生产线的总收益函数为 R(t) ，则由题意有
所以
dR(t)
3
dt MR(t) 300 5t 2
，且 R(0) 0,
3
5
R(t) (300 5t 2 )dt 300t 2t 2 C
又由 R(0) 0 ，得 C 0 ，所以
5
R(t) 300 t 2t 2
ln a
axdx ax C
ln a
幂函数积分
(x ) x1
x ;
(x 1) 1 x ,
1
( x 1 ) x ,
1
( 1)
所以
x dx x 1 C
1
d ( x 1 ) x dx
x x
dx
1
cos2 cos2 x
x
dx
1
[ cos2
x
1]dx
dx
cos2 x dx
tan xx
C
.
例5.7 有一油井，预计原油单位产量为 p(t) = 300- 60 t 桶/每月，假设原油的价格为每桶 60美元，且原油 生产 出来就被出售，求这口井 t 个月后总收入 R(t) , 并求4个 月的总收入.
f(x)dx称为被积表达式， C称为积分常数． 由（5-1-2）和（5-1-1）有
不定积分 ppt
x11 x11
dx
x 1 t,
则
x1 t
2
,
d x 2 td t
2 t1
,
x11 x11
dx
t1 t1
4t t1
2 td t
(1
)2 td t
4
(2t
2
)d t
(2t 4
t1
)d t
t 4 t 4 ln | t 1 | C 1
101
(1 x )
102
C
(1 x ) 102
(1 x ) 101
C
解二
x (1 x )
100
dx
(1 x 1)(1 x )
(1
101
100
dx
x)
dx
(1
101
100
x)
dx
(1 x ) 102
102
(1 x ) 101
ln
t 1 t 1
C
1 2(ln 3 ln 2)
ln
3 2
x
x x
3 2
x
C.
例2 解一
ln x ln( x 1) x ( x 1)
dx
1 x ( x 1)
注意到 [ln x ln( x 1 ) ]
ln x ln( x 1 ) x ( x 1) dx
dx
1 co s x
dx
dx 2 co s
2
d x 2
《不定积分》ppt课件
2
2
a2 x2 dx x a2 x2 a2 arcsin x C
2
2
a
.
+ 除牢记积分公式外，还需熟练运用几种常 用方法：
+ 〔1〕换元积分法 + 〔2〕分部积分法 + 〔3〕有理函数积分法〔运用分式变形处置
积分函数联络积分根本公式〕
.
+ 关于换元法的问题 不定积分的换元法是在复合函数求导法那 么的根底上得来的，我们应根据详细实例 来选择所用的方法，求不定积分不象求导 那样有规那么可依，因此要想熟练的求出 某函数的不定积分，只需作大量的练习。
ln a
shxdx chx C
chxdx shx C
dx
ln( x
x2 a2
x2 a2 ) C
I n
2
sin n
0
2
xdx cosn
0
xdx
n 1
n
I n2
x 2 a 2 dx x 2
x 2 a 2 a 2 ln( x 2
x2 a2 ) C
x 2 a 2 dx x 2
2
2
2
.
2.第一类换元法 利用复合函数的一阶微分形式的不变性，通过变量代换求不定积分
简记为
g（x） dx = f φ（x） φ‘（x）dx
例 1.求
e x dx
2x
解：令u =
x，原式= e x d x =
eu du = eu + C = e x + C
例 2.求
arcsin x−x2
x
dx
解
：
令
dt
=
1 4
1 t−3
−
《不定积分教学》课件
不定积分的性质
总结词
不定积分的性质是理解不定积分的关键，它包括比较定理、积分中值定理等。
详细描述
比较定理指出，如果一个函数在某个区间上大于或小于另一个函数，那么它的不定积分在相应的区间上也大于或 小于另一个函数的不定积分。积分中值定理则指出，如果一个函数在某个区间上连续，那么在这个区间上至少存 在一点，使得函数在该点的值等于函数在该区间上的不定积分值的平均值。
在电磁学中，不定积分可以用于 求解电场、磁场、电流等物理量 的分布和变化规律。
微积分基本定理
要点一
微积分基本定理
微积分基本定理是微积分学中的核心定理之一，它建立了 不定积分和定积分之间的联系，即牛顿-莱布尼茨公式。
要点二
计算方法
通过微积分基本定理，可以计算定积分的值，从而得到原 函数或物理量的具体数值。
针对学生在使用换元法和分部积分法时存在的问 题，加强相关训练。
及时总结与反思
学生应及时总结解题经验，反思自己在解题过程 中存在的问题，以便进一步提高。
05
总结与回顾
本章重点回顾
不定积分的概念
回顾了不定积分的定义、性质和计算方法，以及不定积分与原函数 的关系。
不定积分的计算方法
总结了不定积分的多种计算方法，包括直接积分法、换元积分法、 分部积分法等，并给出了相应的例题和练习题。
C)，其中 (C) 是积分常数。
换元积分法
总结词
换元积分法是通过引入新的变量来简化 不定积分计算的方法。
VS
详细描述
换元积分法的关键是选择适当的换元，将 复杂的不定积分转化为简单的不定积分或 已知的积分。通过换元，可以将不定积分 的被积函数转化为更易于处理的形式，从 而简化计算过程。
《不定积分》课件
幂函数的积分
幂函数的不定积分可 以通过幂函数的求导 公式来推导得到。
指数函数的积分
指数函数的积分也是 通过指数函数的求导 公式来得到的。
三角函数的积分
三角函数的不定积分 是一种特殊的求导法 则，通过观察和记忆 可以得到不同三角函 数的积分。
逐步深入
1
分部积分法
分部积分法是用于求解复杂函数积分的
代换积分法
《不定积分》PPT课件
# 不定积分 PPT课件 数学是一门神奇的学科，而不定积分是数学中的重要概念。本课程将带你深 入了解不定积分的基本概念和应用，希望能够为你打开一扇新世界的门。
前言
什么是积分？
积分是求函数面积的一种方法。它们可以帮助我们理解曲线下是求函数原函数的过程。它们允许我们找到导数的反函数。
2
一种方法。它能够将一个复杂的积分问 题变成两个简单的积分问题。
代换积分法是通过变量代换的方式将一
个复杂的积分转化为一个简单的积分。
3
分式积分
分式积分是对有理分式进行积分的方法。 它可以帮助我们求解一些特殊的积分问 题。
总结
不定积分的应用场景
不定积分在物理，经济学和工程学等领域中具有广泛的应用。它们帮助我们解决实际问题。
3 参考文献
学习不定积分的过程中，阅读参考文献可以加深理解和拓宽知识面。
总结不定积分与定积分的区别
虽然不同积分有相似的计算过程，但它们应用的场景和意义有所不同。
意义与应用
不定积分是数学中的重要工具，它们不仅可以帮助我们理解函数，还可以解决各种数学问题。
结语
1 疑问解答
如果你对不定积分还有疑惑或问题，现在是时候提问了！
2 课程反馈
帮助我们改进课程的反馈对我们来说非常重要。请在课程结束后填写反馈表。
不定积分课件
详细描述
换元积分法适用于被积函数较为复杂 的情况，通过引入新的变量进行替换 ，可以将不定积分转化为更易计算的 形式，从而简化计算过程。
分部积分法
总结词
分部积分法是通过将两个函数的乘积进行不定积分运算，将问题转化为求两个 函数的导数的问题。
详细描述
分部积分法适用于被积函数为两个函数的乘积形式，通过将其中一个函数进行 不定积分运算，将问题转化为求另一个函数的导数的问题，从而简化计算过程 。
THANKS
谢谢
02
CHAPTER
不定积分的计算方法
直接积分法
总结词
直接积分法是最基础的不定积分计算 方法，通过将原函数进行不定积分运 算，得到不定积分的结果。
详细描述
直接积分法基于不定积分的定义，通 过凑微分、变量替换等方式，将不定 积分转化为基本的初等函数形式，从 而得到不定积分的结果。
换元积分法
总结词
换元积分法是通过引入新的变量替换 原函数中的自变量，从而简化不定积 分计算的方法。
复杂不定积分题
总结词
复杂题型，涉及复合函数、三角函数等
详细描述
复杂不定积分题通常涉及复合函数、三角函数、有理函数等复杂类型的不定积分。这类题目需要灵活运用不定积 分的运算规则和技巧，如分部积分法、换元法等。
含有根号的不定积分题
总结词
难度较大，涉及根号内求不定积分
详细描述
含有根号的不定积分题是难度较大的题型，通常要求对根巧和方法，如平方根函数的性质、有理化分母等。
有理函数的积分法
总结词
有理函数的积分法是通过将被积函数表 示为有理函数的形式，然后利用有理函 数的性质进行不定积分运算的方法。
VS
详细描述
有理函数的积分法适用于被积函数为有理 函数的情况，通过将被积函数表示为有理 函数的形式，利用有理函数的性质进行不 定积分运算，可以得到不定积分的结果。
换元积分法适用于被积函数较为复杂 的情况，通过引入新的变量进行替换 ，可以将不定积分转化为更易计算的 形式，从而简化计算过程。
分部积分法
总结词
分部积分法是通过将两个函数的乘积进行不定积分运算，将问题转化为求两个 函数的导数的问题。
详细描述
分部积分法适用于被积函数为两个函数的乘积形式，通过将其中一个函数进行 不定积分运算，将问题转化为求另一个函数的导数的问题，从而简化计算过程 。
THANKS
谢谢
02
CHAPTER
不定积分的计算方法
直接积分法
总结词
直接积分法是最基础的不定积分计算 方法，通过将原函数进行不定积分运 算，得到不定积分的结果。
详细描述
直接积分法基于不定积分的定义，通 过凑微分、变量替换等方式，将不定 积分转化为基本的初等函数形式，从 而得到不定积分的结果。
换元积分法
总结词
换元积分法是通过引入新的变量替换 原函数中的自变量，从而简化不定积 分计算的方法。
复杂不定积分题
总结词
复杂题型，涉及复合函数、三角函数等
详细描述
复杂不定积分题通常涉及复合函数、三角函数、有理函数等复杂类型的不定积分。这类题目需要灵活运用不定积 分的运算规则和技巧，如分部积分法、换元法等。
含有根号的不定积分题
总结词
难度较大，涉及根号内求不定积分
详细描述
含有根号的不定积分题是难度较大的题型，通常要求对根巧和方法，如平方根函数的性质、有理化分母等。
有理函数的积分法
总结词
有理函数的积分法是通过将被积函数表 示为有理函数的形式，然后利用有理函 数的性质进行不定积分运算的方法。
VS
详细描述
有理函数的积分法适用于被积函数为有理 函数的情况，通过将被积函数表示为有理 函数的形式，利用有理函数的性质进行不 定积分运算，可以得到不定积分的结果。
不定积分课件
启示
能否根据求导公式得出积分公式？ 结论
既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.
基 本 积 分 表
(1) kdx kx C (k是常数); (2) xdx x1 C ( 1);
1
(3)
dx x
ln
x
C;
说明： x
x
0,
2 )dx
1 x2
3
1
1 x
2
dx
2
1 dx
1 x2
3arctan x 2arcsin x C
例6
求积分
1 x x2 x(1 x2 )dx.
解
1 x x2 x(1 x2 )
dx
x (1 x2 x(1 x2 )
)dx
1
x2 1
三、一曲线通过点( e 2 , 3 )，且在任一点处的切线的 斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程 .
练习题答案
一、1、无穷多,常数； 2、全体原函数；
3、积分曲线,积分曲线族； 4、平行； 5、连续；
6、
2
x
5 2
C；
7、
2
x
3 2
C；
5
3
8、 x3 3 x2 2x C ； 32
(7) sin xdx cos x C;
(8)
dx cos2
x
sec2 xdx tan x C;
(9)
dx sin 2
x
清华大学微积分(高等数学)课件第15讲_不定积分(三)
2018/8/30
2 x2 1 ln C 3 x 1 x 2
11
[例2] 求积分 I
x x 1 dx 5 4 3 2 x x 2x 2x x 1
3
[解] (1)将分母分解因式
x 5 x 4 2 x 3 2 x 2 x 1 ( x 1)( x 2 1)2
2
一、有理函数的积分
（一）代数有理函数的积分
Pn ( x ) R( x ) Qm ( x )
其中
Pn ( x ) a0 x a1 x
n m
n 1
a n 1 x a n bm 1 x bm
Qm ( x ) b0 x b1 x
m 1
当n m时, 真分式; 当n m时, 假分式
1 Bp 2C dx 2 B ln x px q 2 2 2 x px q
1 Bp 2C dx 2 B ln x px q ( x p )2 (q 2 2 2
2018/8/30 5
p2 4
)
1 1 B ( 2 x p ) Bx C 2 2 Bp C (4) 2 dx dx n 2 n ( x px q ) ( x px q)
B 1 2 n 1 2(1 n) ( x px q)
Bp 2C dx p 2 2 [( x 2 ) (q
2018/8/30
p2 4
)]n
6
如何将真分式分解为最简分式之和 ？
定理1： 任意一个实系数多项式
Qm ( x ) b0 x b1 x
m k 2 m 1
代数有理函数 多项式 真分式
不定积分的计算ppt课件
1
1 (ex )2
dex
arctan ex C.
dex exdx
1
1 u
2
du
arctan u C
一般地, 有
ex f (ex )dx f (ex )dex.
13
例9 求
dx 2x ln
x
.
解
dx 2x ln
x
2
1 ln
x
d
(ln
x)
1 ln ln x C. 2
d ln x 1 dx x
解: 令 u ln x , v x
则 du 1 dx , v 1 x2
x
2
原式
=
1 2
x2
ln
x
1 2
x dx
1 x2 ln x 1 x2 C
2
4
30
例2 求积分 x cos xdx . uvdx uv uvdx
分析：被积函数 xcosx 是幂函数与三角函数的乘积,
采用分部积分.d(1x2 Nhomakorabea)
x arccos x 1 x2 C
34
例4 求 x arctan xdx.
解 设 u = arctanx, v′= x, 则
x
arctan
xdx
arctan
xd
(
1 2
x
2
)
du
1 1 x2
dx, v
1 2
x2
1 x2 arctan x 1
2
2
x2 1 x2 dx
1 x2 arctan x 1
不定积分的计算
一、第一换元积分法 二、第二换元积分法 三、分部积分法
1
不定积分ppt课件
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包权
人书友圈7.三端同步
f (x)dx g(x)dx
f (x) g(x). 法则1 可推广到有限多个函数代数和的情况， 即
f1(x) f2(x) fn(x)dx f1(x)dx f2(x)dx fn(x)dx.
法则 2 被积函数中的不为零的常数因子可以 提到积分号前面，即
kf (x)dx k f (x)dx (k 为不等于零的常数)
当 x < 0 时，因为ln( x) 1 (1) 1 ,
x
x
所以
1 dx ln(x) C . x
综合以上两种情况，当 x 0 时，得
1 dx ln| x | C . x
例 2 求不定积分.
(1) x 2 xdx ;
(2) 1 dx . x
解 先把被积函数化为幂函数的形式，再利用基
5
2 cos x 4 x 2 5
C 2 ) 2
2 5
5
x2
C3
(C1 2C 2 2C 3 )
5
e x 2 cos x 4 x 2 C.
5
其中每一项虽然都应有一个积分常数，但是由于
任意常数之和还是任意常数，所 以 只 需 在 最 后
不定积分的概念【高等数学PPT课件】
1)
dx
1
dx x
2
1 x3 x arctan x C 3
例8. 设
f ( x3 )
1 x2
求
f (x)
解: 令 x3 t x 3 t
f (t)
1
2
t3
f
(t )dt
1 2 dt
t3
1
即 f (t) 3t 3 c
例9. 质点在距地面 处以初速 垂直上抛 , 不计阻 力, 求它的运动规律.
v0t
x0
解:
y
所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有
(1, 2)
o
x
因此所求曲线为 y x2 1
从不定积分定义可知:
(1)
d dx
f (x)d x
f (x)
或 d
f (x)dx
f (x)dx
(2) F(x) dx F (x) C 或 d F (x) F (x) C
f (x)dx ki fi (x)dx i 1
例4. 求
解: 原式 = [(2e)x 5 2x )dx
(2e)x 5 2x C ln(2e) ln 2
2
x
ln
ex 2
1
5 ln 2
C
例5. 求
解: 原式 = (sec2x 1)dx sec2xdx dx tan x x C
f ( x)dx F( x) C
积 分 号
被 积 函 数
被 积 表 达
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例x 如 2 x 3 x1 ： 1x1x2 2 x1
09.12.2020
3
• 真分式 可分解为 四 简类 分最 式 的和
(1) A xa
A (2) ( x a)n
BxC (3) x2 pxq
BxC (4) (x2 pxq)n
四类最简分式的积分
(1)xA adx A ln xac
A
A
(2 )
09.12.2020
dx 1 x 1 dx
(x2a2)n 2a2 x2a22a2 x2a2
1 x1
x
2a2(x2a2
arcta)nC
a
a
(a1, n2)
dx 1 x 1 dx
(x21)2
2
x2
1 2
x21
09.12.2020
1x 1
2x2
arctaxnC 1 2
15
遇到有理函数的积分要灵活处理
dx x(3 x7)
09.12.2020
5
(4 ) (x 2B p C x x q )nd x1 2B (( 2 x x 2 p p ) 1 2 x q B )n C p d
B
1
2(1n)(x2pxq)n1
09.12.2020
Bp2C
dx
2
[x (2 p)2(qp 42)n ]
6
如何将真分式分解为最简分式之和 ？
(2)将真分式分解
x3 x3 x5 24xA 1xB 2(x C 2)2
(3)用比较系数法确定常数 A, B,C
x5A (x2)2B (x1 )x (2)C (x1 )
(A B )x2( 4A B C )x(4A 2B C )
09.12.2020
10
A B 0 4A BC 1 4A2BC 5
A2, 3
B2, C1 3
x 5 21 21 1 x 3 3 x 2 4 3 x 1 3 x 2 (x 2 )2
x5
x33x24dx
2 dx2 dx dx
3x13x2(x2)2
2 x2 1
ln C
09.12.2020
3 x1 x2
11
[例 2 ]求I 积 x 5 分 x 4 x 2 3 x 3 x 2 1 x 2 x 1 dx
x3x1A (x21)2(Bx C )x (1)x (21)(Dx E )x (1)
(A B )x4(CB )x3(2A B CD )x2
09.12.2020(B CD E )x(A CE )
12
A B 0
C2 ABB1C D 0
B
CLeabharlann DE1A C E 1
A 1, 4
D 1, 2
B1, 4
(xa)nd x(1n )x (a)n 1 4 c
(3 ) x 2 B p C x x qd x1 2B (2 x x 2 p p ) 1 2 x B q C pdx
1 2B ln x 2p x qB 22 p Cx 2 d p x x q
1 2 B lx n 2 p q x B 2 2 C p(x 2 p )2 d (q x p 4 2 )
[解] (1)将分母分解因式
x 5 x 4 2 x 3 2 x 2 x 1 ( x 1 )x 2 ( 1 ) 2
(2)将真分式分解
x 3 x 1
AB C xD E x
x 5 x 4 2 x 3 2 x 2 x 1x 1 x 2 1 (x 2 1 )2
( 3 )用 比 较 系 数 法 确 定 常 数
E3 2
C 3, 4
1 1 1x 3 1 x 3
I4x 1 d x 4x 2 1 d x 2(x 2 1 )2dx
1
1d(x21) 3 dx
4ln x18 x214x21
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1 d(x21) 3 dx
4
(x21)2
2
(x21)213
I1 4ln x11 8d(x x 2 2 1 1 )4 3x2 d1 x
1 4
d (x (x 22 1)12)2 3
dx (x21)2
1lnx11lnx2(1)3arcxtan
4
8
4
1 1 31 x 1 4x212[2x212arcx]ta Cn
即I1[l 4
nx x2 113 xx 2 1 1]C
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[注意] 计算最后一个积分时, 利用了递推公式
2
一、有理函数的积分
（一）代数有理函数的积分
R(x) Pn(x) Qm ( x)
其 中 P n(x)a0xna1xn 1 an 1xan Q m (x)b0xm b 1xm 1 bm 1xbm
当 nm 时 , 真分 ;当 n 式 m 时 , 假分
•代 数 有 理 多函 项 数 真 式分 式
8
(3)
二
次
单
因
式
对 应 Bx一C项 x2 pxq
(4) 二次k重因式对应k项
B1x C1 (x2 px q)
B2x C2 (x2 px q)2
(
Bk x Ck x2 px q)k
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[例1]
将 x3
x5 分 3x2 4
解为
最
简
分式
[解] (1)将分母分解因式
x 3 3 x 2 4 (x 1 )x ( 2 )2
3 x7 x7 3x(3x7) dx
dx 3x
3(3x6x7)dx
dx x( x 10 1)
dx x11(1 x10)
或
x9dx x10(1x10)
定理1：任 意 一 个 实 系 数 多 项 式
Qm(x) b0xm b1xm1 bm1x bm 都 可 以 分 解 为 一 个与常形数如
(x a)k 与(x2 px q)l ( p2 4q 0)
诸 因 式 之:积
Qm(x)b0(xa1)k1(xa2)k2(xas)ks
(x2p1xq1)l1(x2p2xq2)l2
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(x2prxqr)lr
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定理2：设Pn(x) 是一个真,分 则式 它可 Qm(x)
唯 一 地 分 解 为 最之简和 ,分 解 式 规
如 下: (1) 一次单因式对应一A项
(xa)
(2) 一次 k重因式k对 项应
(xA 1a)(xA 2a)2 (xA ka)k
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作业
P150 6 1(5)(7)(15). 2(3). 3(1). 4(5). 5(1)(3).
P155 综合题 23. 24. 30. 48. 63.
复习：P124—155 预习：P158—166
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第十五讲 不定积分（三）
一、有理函数的积分 二、简单无理式的积分
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