清华大学微积分高等数学第15讲不定积分三PPT课件

dx 1 x 1 dx
(x2a2)n 2a2 x2a22a2 x2a2
1 x1
x
2a2(x2a2
arcta)nC
a
a
(a1, n2)
dx 1 x 1 dx
(x21)2
2
x2
1 2
x21
09.12.2020
1x 1
2x2
arctaxnC 1 2
15
遇到有理函数的积分要灵活处理
dx x(3 x7)
定理1：任 意 一 个 实 系 数 多 项 式
Qm(x) b0xm b1xm1 bm1x bm 都 可 以 分 解 为 一 个与常形数如
(x a)k 与(x2 px q)l ( p2 4q 0)
诸 因 式 之:积
Qm(x)b0(xa1)k1(xa2)k2(xas)ks
(x2p1xq1)l1(x2p2xq2)l2
3 x7 x7 3x(3x7) dx
dx 3x
3(3x6x7)dx
dx x( x 10 1)
dx x11(1 x10)
或
x9dx x10(1x10)
(2)将真分式分解
x3 x3 x5 24xA 1xB 2(x C 2)2
(3)用比较系数法确定常数 A, B,C
x5A (x2)2B (x1 )x (2)C (x1 )
(A B )x2( 4A B C )x(4A 2B C )
09.12.2020
10
A B 0 4A BC 1 4A2BC 5
作业
P150 6 1(5)(7)(15). 2(3). 3(1). 4(5). 5(1)(3).
P155 综合题 23. 24. 30. 48. 63.
复习：P124—155 预习：P158—166
09.12.2020
1
第十五讲 不定积分（三）
一、有理函数的积分 二、简单无理式的积分
09.12.2020
2
一、有理函数的积分
（一）代数有理函数的积分
R(x) Pn(x) Qm ( x)
其 中 P n(x)a0xna1xn 1 an 1xan Q m (x)b0xm b 1xm 1 bm 1xbm
当 nm 时 , 真分 ;当 n 式 m 时 , 假分
•代 数 有 理 多函 项 数 真 式分 式
09.12.2020
(x2prxqr)lr
7
定理2：设Pn(x) 是一个真,分 则式 它可 Qm(x)
唯 一 地 分 解 为 最之简和 ,分 解 式 规
如 下: (1) 一次单因式对应一A项
(xa)
(2) 一次 k重因式k对 项应
(xA 1a)(xA 2a)2 (xA ka)k
09.12.2020
[解] (1)将分母分解因式
x 5 x 4 2 x 3 2 x 2 x 1 ( x 1 )x 2 ( 1 ) 2
(2)将真分式分解
x 3 x 1
AB C xD E x
x 5 x 4 2 x 3 2 x 2 x 1x 1 x 2 1 (x 2 1 )2
( 3 )用 比 较 系 数 法 确 定 常 数
(xa)nd x(1n )x (a)n 1 4 c
(3 ) x 2 B p C x x qd x1 2B (2 x x 2 p p ) 1 2 x B q C pdx
1 2B ln x 2p x qB 22 p Cx 2 d p x x q
1 2 B lx n 2 p q x B 2 2 C p(x 2 p )2 d (q x p 4 2 )
A2, 3
B2, C1 3
x 5 21 21 1 x 3 3 x 2 4 3 x 1 3 x 2 (x 2 )2
x5
x33x24dx
2 dx2 dx dx
3x13x2(x2)2
2 x2 1
ln C
09.12.2020
3 x1 x2
11
[例 2 ]求I 积 x 5 分 x 4 x 2 3 x 3 x 2 1 x 2 x 1 dx
1 4
d (x (x 22 1)12)2 3
dx (x21)2
1lnx11lnx2(1)3arcxtan
4
8
4
1 1 31 x 1 4x212[2x212arcx]ta Cn
即I1[l 4
nx x2 113 xx 2 1 1]C
09.12.2020
14
[注意] 计算最后一个积分时, 利用了递推公式
E3 2
C 3, 4
1 1 1x 3 1 x 3
I4x 1 d x 4x 2 1 d x 2(x 2 1 )2dx
1
1d(x21) 3 dx
4ln x18 x214x21
09.12.2020
1 d(x21) 3 dx
4
(x21)2
2
(x21)213
I1 4ln x11 8d(x x 2 2 1 1 )4 3x2 d1 x
8
(3)
二
次
单
因
式
对 应 Bx一C项 x2 pxq
(4) 二次k重因式对应k项
B1x C1 (x2 px q)
B2x C2 (x2 px q)2
(
Bk x Ck x2 px q)k
09.12.2020
9
[例1]Hale Waihona Puke Baidu
将 x3
x5 分 3x2 4
解为
最
简
分式
[解] (1)将分母分解因式
x 3 3 x 2 4 (x 1 )x ( 2 )2
09.12.2020
5
(4 ) (x 2B p C x x q )nd x1 2B (( 2 x x 2 p p ) 1 2 x q B )n C p d
B
1
2(1n)(x2pxq)n1
09.12.2020
Bp2C
dx
2
[x (2 p)2(qp 42)n ]
6
如何将真分式分解为最简分式之和 ？
x3x1A (x21)2(Bx C )x (1)x (21)(Dx E )x (1)
(A B )x4(CB )x3(2A B CD )x2
09.12.2020(B CD E )x(A CE )
12
A B 0
C2 ABB1C D 0
B
C
D
E
1
A C E 1
A 1, 4
D 1, 2
B1, 4
例x 如 2 x 3 x1 ： 1x1x2 2 x1
09.12.2020
3
• 真分式 可分解为 四 简类 分最 式 的和
(1) A xa
A (2) ( x a)n
BxC (3) x2 pxq
BxC (4) (x2 pxq)n
四类最简分式的积分
(1)xA adx A ln xac
A
A
(2 )
09.12.2020