东南大学高数上期末往年试题

2003级高等数学（A ）（上）期末试卷

一、单项选择题（每小题4分，共16分） 1．设函数()y y x =由方程

⎰

+-=y

x t x dt e 1

2

确定，则

==0

x dx

dy

（ ）

.e 2(D) ; 1-e (C) ; e -1(B) ;1)(+e A

2．曲线41

ln 2+-+

=x x

x y 的渐近线的条数为（ ） . 0 (D) ; 3 (C) ; 2 (B) ; 1 )(A

3．设函数)(x f 在定义域内可导，)(x f y =的图形如右图所示， 则导函数)(x f y '=的图形为（ ）

4．微分方程x y y 2cos 34=+''的特解形式为（ ）

.

2sin y )( ;2sin 2cos y )(;2cos y )( ;2cos y )( *

*

**x A D x Bx x Ax C x Ax B x A A =+===

二、填空题（每小题3分，共18分）

1．_____________________

)(lim 2

1

=-→x x

x x e 2．若)(cos 21arctan

x f e x y +=，其中f 可导，则_______________=dx

dy

3．设,0,00

,1sin )(⎪⎩⎪⎨⎧=≠=α

x x x

x x f 若导函数)(x f '在0=x 处连续，则α的取值范围是__________。

4．若dt t t x f x ⎰+-=2032

4

)(，则)(x f 的单增区间为__________,单减区间为__________.

5．曲线x

xe

y -=的拐点是__________

6．微分方程044='+''+'''y y y 的通解为__________________________=y

三、计算下列各题（每小题6分，共36分）

1．计算积分

dx x x

⎰

+2

3

2)1(arctan 2．计算积分dx x

x

x ⎰5

cos sin 3. 计算积分

dx e x x ⎰

-2

32

4. 计算积分⎰

π

+0

cos 2x

dx

5.设)(x f 连续，在0=x 处可导，且4)0(,0)0(='=f f ，求x

x dt

du u f t x

t

x sin ))((lim

3

⎰

⎰→

6.求微分方程0)2(222=+-dx y x xydy 的通解 四.（8分）求微分方程x xe y y y 223-=+'-''满足条件0,00

='

===x x y y

的特解

五.（8分）设平面图形D 由x y x 222≤+与x y ≥所确定，试求D 绕直线2=x 旋转一周所生成的旋转体的体积。

六.（7分）设质量均匀分布的平面薄板由曲线C:⎩⎨⎧-=+=t

t y t

t x 252

2与x 轴所围成，试求其质量m 七.（7分）设函数)(x f 在],[a a -上有连续的二阶导数，且0)0(=f ，证明：至少存在一

点],[a a -∈ξ，使得)(3

)(3

ξ''=⎰

-f a dx x f a

a

2004级高等数学（A ）（上）期末试卷

一. 填空题（每小题4分，共20分）

1．函数()⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡+=x x f 11的间断点 是第 类间断点.

2. 已知()x F 是()x f 的一个原函数,且()()2

1x x xF x f +=,则()=x f .

3.

(

)()

=-+⎰--x x x x x d e e 111

2005 .

4. 设()t u u x f x

t

d d 10sin 1

4⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=

,则()=''0f . 5. 设函数()()01d 23

>+=

⎰

x t

t x f x x

,则当=x 时,取得最大值.

二. 单项选择题(每小题4分,共16分)

1. 设当0x x →时,()()x x βα,都是无穷小()()0≠x β,则当0x x →时,下列表达式中不一

定为无穷小的是 [ ]

(A)()()

x x βα2 (B)()()x x x 1sin 22βα+ (C)()()()x x βα⋅+1ln (D)()()x x βα+

2. 曲线()()

211

arctan

e 21

+-++=x x x x y x

的渐近线共有 [ ] (A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条

3. 微分方程x x y y y 2e 2=-'-''的一个特解形式为=*y [ ] (A) ()x x b ax 22e + (B) x ax 2e (C) ()x b ax 2e + (D) ()x x b ax 2e +

4. 下列结论正确的是 [ ] (A) 若[][]b a d c ,,⊆,则必有

()()⎰⎰

≤b

a

d

c

x x f x x f d d .

(B) 若()x f 在区间[]b a ,上可积,则()x f 在区间[]b a ,上可积. (C) 若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有

()()⎰⎰

+=T

T

a a

x x f x x f 0

d d .

(D) 若()x f 在区间[]b a ,上可积,则()x f 在[]b a ,内必有原函数. 三. (每小题7分,共35分)

1. ()()3

2

d cos ln lim

x

t

t t x

x ⎰+→

2. 设函数()x y y =是由方程2e 22=-+xy

y y x 所确定的隐函数,求曲线()x y y =在点

()2,0处的切线方程.

3.

x x x x d cos cos 0

42⎰

-π

4. ⎰∞

+1

3

d arctan x x x

5. 求初值问题 ()()⎪⎩

⎪

⎨⎧-='=+=+''210,10sin y y x x y y 的解.

四.(8分) 在区间[]e ,1上求一点ξ,使得图中所示阴影

部分绕x 轴旋转所得旋转体的体积最小

五.(7分) 设 b a <<0,求证 ()b

a a

b a b +->2ln

.

x

ln