2021年高二学业水平考试数学试题 含答案

2021年高二学业水平考试数学试题含答案

一．选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)

1．已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B 中元素的个数为( )

A.5

B.4

C.3

D.2

2．在x轴上的截距为2且倾斜角为135°的直线方程为.

A． B． C. D．

3．如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方

形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为

A．B．C． D．

4．已知角的终边经过点P(-3,4)，则下列计算结论中正确的是（）

A． B． C． D．

5．某电视台在娱乐频道节目播放中，每小时播放广告20分钟，那么随机打开电视机观看这个频道看到广告的概率为（）

A． B． C． D．

6．三个数的大小顺序为（）

A． B． C． D．

7．在等比数列中，且则数列的公比是（）

A．1 B．2 C．3 D．4

8．设且，则的最小值是( )

A. 6

B.

C.

D.

9．已知直线及平面，下列命题中的假命题是（）

A.若，，则.

B.若，，则.

C.若，，则.

D.若，，则.

10．把正弦函数图象上所有的点向左平移个长度单位，再把所得函数图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍，得到的函数是（）

A．y=sin B.y=sin C.y=sin D. y=sin

11．不等式组的区域面积是( )

A． B． C． D．

12．已知圆内一点P（2，1），则过P点最短弦所在的直线方程是（） A． B． C． D．

二．填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分。)

13．已知函数，则．

14．已知ab时，a//b

15．在⊿ABC中，已知．

16．一元二次不等式的解集是，则的值是__________.

三．解答题：(本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．(本小题满分10分) 某公务员去开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4,

⑴求他乘火车或乘飞机去的概率；

⑵求他不乘轮船去的概率；

18．（本小题满分12分）已知函数10),1(log )1(log )(≠>--+=a a x x x f a a 且 (1)求f (x )的定义域；

(2)判断f (x)的奇偶性并予以证明； (3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集.

19．(本小题满分12分)如下图所示，圆心C 的坐标为（2，2），圆C 与轴和轴都相切．

（I ）求圆C 的一般方程；

（II ）求与圆C 相切，且在轴和轴上的截距相等的直线方程．

20．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知

a＝3，b＝5，c＝7.

(1)求角C的大小；

(2)求sin（）的值.

21．（本小题满分12分）已知递增等比数列{a n}的前三项之积为8，且这三项分别加上1，2，2后又成等差数列.

(1)求等比数列{}的通项公式；

(2)记，求数列{}的前n项和.

22．(本小题满分12分) 如图所示，已知M、N分别是AC、AD的中点，BCCD．（I）求证：MN∥平面BCD；

（II）求证：平面B CD平面ABC；

（III）若AB＝1，BC＝，求直线AC与平面BCD所成的角．

黑龙江省高中数学学业水平考试 答案 一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。） 13 、-12 14、k=-8 15、 16、 -14

三、解答题：（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

17、(本小题满分10分) （1）0.7；（2）0.8；

18、(本小题满分12分)

解 (1)要使函数f (x )有意义.则⎩⎨⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1

义域为{x |－1

(2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1

x )

＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )， 故f (x )为奇函数.

(3)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－10⇔x ＋1

1－x >1

(4)解得00的x 的解集是{x |0

所求直线方程为：或．

20、(本小题满分12分)

解 (1)由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32＋52－722×3×5＝－1

2.

∵0＜C ＜π，∴C ＝

2π

3

. (2)由正弦定理b sin B ＝c

sin C ，得sin B ＝b sin C

c ＝

5sin 2π3

7＝5314

， ∵C ＝2π

3

，∴B 为锐角，∴cos B ＝1－sin 2B ＝

1－⎝

⎛⎭

⎪⎫53142＝11

14. ∴sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫B ＋π3＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝5314×12＋1114×32＝437.

21、(本小题满分12分)

解 (1)设等比数列前三项分别为a 1，a 2，a 3， 则a 1＋1，a 2＋2，a 3＋2又成等差数列. 依题意得⎩⎨⎧a 1a 2a 3＝8，

2（a 2＋2）＝（a 1＋1）＋（a 3＋2），

即⎩⎨⎧a 1·a 1q ·a 1q 2

＝8，2（a 1q ＋2）＝a 1＋1＋a 1

·q 2

＋2，解得⎩⎨⎧a 1＝1，q ＝2

或⎩⎨⎧a 1

＝4，

q ＝12

(数列{a n

}为递增等比数列，舍去). ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)由b n ＝a n ＋2n ，得b n ＝2n －1＋2n ， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n

＝(20＋2×1)＋(21＋2×2)＋(22＋2×3)＋…＋(2n －1＋2n ) ＝(20＋21＋22＋…＋2n －1)＋2(1＋2＋3＋…＋n )