等比数列的前n项和-优秀课件
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等比数列的前n项和PPT课件
等比数列的前n项和ppt课件
xx年xx月xx日
contents
目录
• 引言 • 等比数列的前n项和公式推导 • 等比数列的前n项和的应用 • 特殊等比数列的前n项和 • 等比数列的前n项和求解方法 • 习题解答与练习
01
引言
课程背景
教学内容的重要性
等比数列是数学中的一个重要概念，其前n项和在数学、物理 、工程等领域有着广泛的应用。
特殊情况
当公比q不等于1时，等比数列的前n项和公式为 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
05
等比数列的前n项和求解方法
利用公式求解等比数列的前n项和
公式法
利用等比数列的前n项和公式求解，当已知等比数列的首项a1和公比q时，可以直 接套用公式求出前n项和。
记忆口诀
为了方便记忆，可以总结一个简单的记忆口诀：“首项乘1减公比除以1减公比的 n次方”，这个口诀可以快速帮助我们记忆公式。
02
等比数列的前n项和公式推导
公比为r的等比数列求和公式推导
公式推导
$S_n = \frac{a_1}{1-r} * (1 - r^n)$
VS
推导步骤
将等比数列的每一项分别代入求和公式中 ，得到$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$，再将$a_1 = ar, a_2 = ar^2, \cdots, a_n = ar^n$代入$S_n$中，经过 化简得到最终的求和公式。
04
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和公式
公式总结
等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)，其中n为项数， a1为首项，an为末项。
公式证明
通过采用倒序相加法，将前n项和与后n项和相加，得到 2Sn=n(a1+an)，从而得到前n项和公式。
xx年xx月xx日
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目录
• 引言 • 等比数列的前n项和公式推导 • 等比数列的前n项和的应用 • 特殊等比数列的前n项和 • 等比数列的前n项和求解方法 • 习题解答与练习
01
引言
课程背景
教学内容的重要性
等比数列是数学中的一个重要概念，其前n项和在数学、物理 、工程等领域有着广泛的应用。
特殊情况
当公比q不等于1时，等比数列的前n项和公式为 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
05
等比数列的前n项和求解方法
利用公式求解等比数列的前n项和
公式法
利用等比数列的前n项和公式求解，当已知等比数列的首项a1和公比q时，可以直 接套用公式求出前n项和。
记忆口诀
为了方便记忆，可以总结一个简单的记忆口诀：“首项乘1减公比除以1减公比的 n次方”，这个口诀可以快速帮助我们记忆公式。
02
等比数列的前n项和公式推导
公比为r的等比数列求和公式推导
公式推导
$S_n = \frac{a_1}{1-r} * (1 - r^n)$
VS
推导步骤
将等比数列的每一项分别代入求和公式中 ，得到$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$，再将$a_1 = ar, a_2 = ar^2, \cdots, a_n = ar^n$代入$S_n$中，经过 化简得到最终的求和公式。
04
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和公式
公式总结
等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)，其中n为项数， a1为首项，an为末项。
公式证明
通过采用倒序相加法，将前n项和与后n项和相加，得到 2Sn=n(a1+an)，从而得到前n项和公式。
等比数列的前n项和_优质PPT课件
条件,这时
k a1 . 1 q
5
4.等比数列的判定方法
(1)定义法: 列.
an1 an
(qq是不为0的常数,n∈N*)⇔{an}是等比数
(2)通项公式法:an=cqn(c,q均是不为0的常数,n∈N*)⇔{an}是 等比数列.
(3)中项公式法
:a2n+1=an·an+2(an·an+1·an+2≠0,n∈N*)⇔{an}
(2)只有同号的两个数才有等比中项,且这两数的等比中项互 为相反数.
18
类型二
等比数列的基本量运算
解题准备:在等比数列的通项公式和前n项和公式中,共有 a1,an,q,n,Sn五个量,知道其中任意三个量,都可以求出其余 两个量.解题时,将已知条件转化为基本量间的关系,然后利 用方程组的思想求解.
19
7
解析:由数列中an与Sn的关系,当n=1时,a1=S1=a-2;当n≥2时 ,an=Sn-Sn-1=(a-1)an-1,经验证n=1时,通项公式不符合,故当 a≠1时,从第二项起成等比数列;当a=1时,an=0(n≥2),数列从 第二项起成等差数列.
答案:D
8
2.已知等比数列{an}满足a1+a2=3,a2+a3=6,则a7=() A.64 B.81
2,3S2=a3-2,则公比q=(
)
A.3
B.4
C.5
D.6
解析 :
3S3 3S2
a4 a3
2① 2②
,
①
②得
:
3a3
a4
a3,
4a3
a4,
q a4 4. a3
答案:B
12
5.(2010·重庆)在等比数列{an}中,a2010=8a2007,则公比q的值 为( )
等比数列的前n项和PPT课件
讲授新课
1 2 22 23 24 263
这一格放 的麦粒可 以堆成一 座山!!!
263
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
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讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 22 , 23 , , 263.
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讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 22 , 23 , , 263.
它是以1为首项，公比是2的等比数列，
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讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
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等比数列的前n项和公式的推导1
一般地，设等比数列a1, 它的前n项和是
a2,
a3,
…,
an这…种求和
的方法,就
是错位相
减法!
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等比数列的前n项和公式的推导1
一般地，设等比数列a1, a2, a3, …, an… 它的前n项和是
∴当q≠1时，
①
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
请同学们考虑如何求出这个和？
S64 1 2 22 23 263 ① 2S64 2(1 2 22 23 263 )
即 2S64 2 22 23 263 264 ②
由②－①可得：
2S64 S64 (2 22 23 263 264) (1 2 22 23 263 )
等比数列的前n项和公式课件
5 10
5
10
a1 an q Sn 1 q
'
所以
课堂小结
(1)等比数列的前n项和公式
a1 1 q n a1 an q Sn , q 1 1 q 1 q Sn na1 q 1
若m+n=p+q, 则aman=apaq
Sn
？
引入新课
张明和王勇是中学同学，张明学习成绩优异，考上 了重点大学。王勇虽然很聪明，但对学习无兴趣，中学 毕业后做起了生意，凭着机遇和才智，几年后成了大款。 一天，已在读博士的张明遇到了王勇，寒暄后王勇流露 出对张明清苦的不屑。表示要资助张明，张明说：“好 吧，你只要在一个月30天内，第一天给我1分钱，第二 天给我2分钱，第三天给我4分钱，第四天给我8分钱， 依此类推，每天给我的钱都是前一天的2倍，直到第30 天。”王勇听了，立刻答应下来心想:这太简单了。没 想到不到30天，王勇就后悔不迭，不该夸下海口。同学 们，你们知道王勇一共应送给张明多少钱吗？
1 4 1 2
的前8项的和．
解 由题意知,
Sn a1 1 q n 1 q
1 a1 , q 2
1 , n8 2
代入公式
8 1 1 1 2 2 255 S8 1 256 1 2
a1 , q, n, Sn
练习 紧接例1,补充两个小问 (1) 因为
Sn a1 a1q a1q2 a1qn2 a1qn1
③
两边同时乘以 q 为
qSn a1q a1q a1q
2 3
a1q
n1
a1q
n
错 位 4 相 减
由③- 4 得
5
10
a1 an q Sn 1 q
'
所以
课堂小结
(1)等比数列的前n项和公式
a1 1 q n a1 an q Sn , q 1 1 q 1 q Sn na1 q 1
若m+n=p+q, 则aman=apaq
Sn
？
引入新课
张明和王勇是中学同学，张明学习成绩优异，考上 了重点大学。王勇虽然很聪明，但对学习无兴趣，中学 毕业后做起了生意，凭着机遇和才智，几年后成了大款。 一天，已在读博士的张明遇到了王勇，寒暄后王勇流露 出对张明清苦的不屑。表示要资助张明，张明说：“好 吧，你只要在一个月30天内，第一天给我1分钱，第二 天给我2分钱，第三天给我4分钱，第四天给我8分钱， 依此类推，每天给我的钱都是前一天的2倍，直到第30 天。”王勇听了，立刻答应下来心想:这太简单了。没 想到不到30天，王勇就后悔不迭，不该夸下海口。同学 们，你们知道王勇一共应送给张明多少钱吗？
1 4 1 2
的前8项的和．
解 由题意知,
Sn a1 1 q n 1 q
1 a1 , q 2
1 , n8 2
代入公式
8 1 1 1 2 2 255 S8 1 256 1 2
a1 , q, n, Sn
练习 紧接例1,补充两个小问 (1) 因为
Sn a1 a1q a1q2 a1qn2 a1qn1
③
两边同时乘以 q 为
qSn a1q a1q a1q
2 3
a1q
n1
a1q
n
错 位 4 相 减
由③- 4 得
等比数列前n项和公式的推导及性质省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
…… 5000 1.12台 第n年产量为 5000 1.1n1台
则n年内旳总产量为：
5 51.1 51.12 51.1n1
• 1．数列{2n－1}旳前99项和为( )
• A．2100－1 2100
B．1－
• C．299－1
D．1－299
解析：a1＝1，q＝2，∴S99＝1×11－－2299＝299－1.
列，故可用错位相减法求前n项和．
[解] 分a＝1和a≠1两种情况． 当a＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝nn2＋1； 当a≠1时，Sn＝1a＋a22＋a33＋…＋ann， 上式两边同乘以1a，得 1aSn＝a12＋a23＋…＋n－an 1＋ann＋1， 两式相减，得(1－1a)Sn＝1a＋a12＋…＋a1n－ann＋1，
(1 q 1 q
n
)
(q
1)
na1
(q 1)
Sn
a1 anq
1 q
(q
1)
na1
(q 1)
等比数列前n项和公式 你了解多少？
(1) 等比数列前n项和公式： 利用“错位相减法”推
{ { Sn=
na1
a1(1 qn )
(q=1)
(q=1)
导
Sn=
na1
a1 anq
1-q
1-q
(q=1)
(q=1)
(1)a1 a3 2, 求sn
(2)q
Hale Waihona Puke 2, n5, a1
1 2
.求an
和sn
(3)a1 1,an 512,sn 341.求q和n
当q 1时，S 1 (1) 阐明： 解(3： ) (当将 代 12as因 解 )qq55入 a3为 2得 14aq11aa时 a1： 2n1１1２n11q，即 1.n,21.并作 在 在 4a1a,数an1a且 qn五 为 利2q311(列12q1要2个n0第 用n5为 n551根 变一 公 1q,,212常 2a5s1据量,要 式14an所 1)1数12q具(a2素 ， 111以 .列 ,解 体,q812q来 一aSqn21,题2)n得 考 定n15，1,52意a虑 要 ， ： 12n2q2，1， q,。 注 [11qSn3n选((中 ， 4意1得 311择12，))所q1n代 2： 的 适(]只以 当取 入 2知S)的值nn三S公， 1n可n式应 求a1。把二a1n1它，2aqnnq 可得
则n年内旳总产量为：
5 51.1 51.12 51.1n1
• 1．数列{2n－1}旳前99项和为( )
• A．2100－1 2100
B．1－
• C．299－1
D．1－299
解析：a1＝1，q＝2，∴S99＝1×11－－2299＝299－1.
列，故可用错位相减法求前n项和．
[解] 分a＝1和a≠1两种情况． 当a＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝nn2＋1； 当a≠1时，Sn＝1a＋a22＋a33＋…＋ann， 上式两边同乘以1a，得 1aSn＝a12＋a23＋…＋n－an 1＋ann＋1， 两式相减，得(1－1a)Sn＝1a＋a12＋…＋a1n－ann＋1，
(1 q 1 q
n
)
(q
1)
na1
(q 1)
Sn
a1 anq
1 q
(q
1)
na1
(q 1)
等比数列前n项和公式 你了解多少？
(1) 等比数列前n项和公式： 利用“错位相减法”推
{ { Sn=
na1
a1(1 qn )
(q=1)
(q=1)
导
Sn=
na1
a1 anq
1-q
1-q
(q=1)
(q=1)
(1)a1 a3 2, 求sn
(2)q
Hale Waihona Puke 2, n5, a1
1 2
.求an
和sn
(3)a1 1,an 512,sn 341.求q和n
当q 1时，S 1 (1) 阐明： 解(3： ) (当将 代 12as因 解 )qq55入 a3为 2得 14aq11aa时 a1： 2n1１1２n11q，即 1.n,21.并作 在 在 4a1a,数an1a且 qn五 为 利2q311(列12q1要2个n0第 用n5为 n551根 变一 公 1q,,212常 2a5s1据量,要 式14an所 1)1数12q具(a2素 ， 111以 .列 ,解 体,q812q来 一aSqn21,题2)n得 考 定n15，1,52意a虑 要 ， ： 12n2q2，1， q,。 注 [11qSn3n选((中 ， 4意1得 311择12，))所q1n代 2： 的 适(]只以 当取 入 2知S)的值nn三S公， 1n可n式应 求a1。把二a1n1它，2aqnnq 可得
等比数列的前n项和公式课件
S30 1 2 22 228 229.
求等差数列{an }的前n项和用了 倒序相加法 即
S n a1 a2 an
S n an an 1 a1
两式相加 而得 S n
能否找到一 个式子与原 式相减能消 去中间项？
对于式子是否也能用倒序相加法呢？？
方法二: (构造新数列)
可将原数列的第5项看做新数列{bn } 的第1项,第10项之 1 和看做第6项,新数列的公比仍为 2 ,则原题的所求的即为 新数列的前6项之和,记作 S '6 .
1 1 因为 a1 , q , 2 2
等比数列的 通项公式
有
1 a5 a1q , 2
1 1 因为 a1 , q , 2 2
有
1 1 9 a5 a1q , a10 a1q , 2 2
4
5
10
1 1 则 b1 , b6 , q 1 . 2 2 2
1 1 1 63 2 2 2 ' S6 1 1024 1 2
等比数列的 通项公式
分类讨论 当 q 1时,
Sn
a1 1 q 1 q
n
a
an a1q n 1
1
an q ; 1 q
当 q 1 时, 即{an } 是一个常数列
S n na1.
例1 求等比数列
1 1 1 , , , 2 4 8
1 4 1 2
的前8项的和．
解 由题意知,
比为qq′的等比数列；数列是公比为的等比数列； 数列{1/an}是公比为1/q的等比数列；{|an|}是
公比为|q|的等比数列.
求等差数列{an }的前n项和用了 倒序相加法 即
S n a1 a2 an
S n an an 1 a1
两式相加 而得 S n
能否找到一 个式子与原 式相减能消 去中间项？
对于式子是否也能用倒序相加法呢？？
方法二: (构造新数列)
可将原数列的第5项看做新数列{bn } 的第1项,第10项之 1 和看做第6项,新数列的公比仍为 2 ,则原题的所求的即为 新数列的前6项之和,记作 S '6 .
1 1 因为 a1 , q , 2 2
等比数列的 通项公式
有
1 a5 a1q , 2
1 1 因为 a1 , q , 2 2
有
1 1 9 a5 a1q , a10 a1q , 2 2
4
5
10
1 1 则 b1 , b6 , q 1 . 2 2 2
1 1 1 63 2 2 2 ' S6 1 1024 1 2
等比数列的 通项公式
分类讨论 当 q 1时,
Sn
a1 1 q 1 q
n
a
an a1q n 1
1
an q ; 1 q
当 q 1 时, 即{an } 是一个常数列
S n na1.
例1 求等比数列
1 1 1 , , , 2 4 8
1 4 1 2
的前8项的和．
解 由题意知,
比为qq′的等比数列；数列是公比为的等比数列； 数列{1/an}是公比为1/q的等比数列；{|an|}是
公比为|q|的等比数列.
2.5 等比数列的前n项和(精品课件)
an amq
n m
an+am =ap+aq(n+m=p+q) am an a p aq m n p q
2 a , b , c 成等比数列 b ac a, b, c成等差数列 2b a c
前n项和 公式
S
n( a1 an ) n 2 na1 1 n(n 1)d 2 (倒序相加)
等比数列的力量
等 比 数 列 an q (是常数 ) an 1
an= a1+(n-1)d an=am+(n-m) amqnm
an+am =ap+aq(n+m=p+q) a a a a m n p q m n p q
2 a, b, c成等差数列 2b a c a, b, c成等比数列 b ac
综合练习
任我采撷
等差(比)数列前n项和的 性质
若an 为等差(比)数列, 则 Sk ,S2 k Sk , S3k S2 k , S4 k S3k , S5k S4 k , 也成等差(比)数列.
等差（比）数列前n项 和的性质及应用
(1)已知等差数列{an}中，前 10 项和 S10＝10，前 20 项和 S20＝30，求 S30. (2)一个等比数列的首项是 1，项数是偶数，其奇数项的和 为 85，偶数项的和为 170，求此数列的公比和项数．
第一天返还1分， 第二天返还2分， 第三天返还4分…… 后一天返还数为前一天 的 2倍 ．
知识探究 等比数列的前n项和
在等比数列 {an }中,公比为 q ,它的前 n 项和:
a1 (1 q ) a1 an q Sn 1 q 1 q
高中数学《等比数列前n项和公式》课件
反思与感悟 解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列 的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计 算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S＝P(1＋r)n， 其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和.
跟踪训练3 一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一 分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%，这个热 气球上升的高度能超过125 m吗？
跟踪训练2 在等比数列{an}中，S2＝30，S3＝155，求Sn.
方法二 若q＝1，则S3∶S2＝3∶2，
而事实上，S3∶S2＝31∶6，故q≠1.
a111－－qq2＝30，
①
所以a111－－qq3＝155，
②
两式作比，得1＋1＋q＋q q2＝361，
解得aq1＝＝55，
a1＝180， 或q＝－65，
达标检测
1.等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于
1－xn A. 1－x
1－xn－1 B. 1－x
1－xn
√
C.
1－x
，x≠1，
n，x＝1
解析 当x＝1时，Sn＝n； 1－xn
当 x≠1 时，Sn＝ 1－x .
D.1－1－xnx－1，x≠1， n，x＝1
1234
2.设等比数列{an}的公比 q＝2，前 n 项和为 Sn，则Sa42等于
A.2 解析
B.4
√C.125
17 D. 2
方法一 由等比数列的定义，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝aq2＋a2＋a2q＋
a2q2，得Sa42＝1q＋1＋q＋q2＝125. 方法二 ∵S4＝a111－－qq4，a2＝a1q，∴Sa42＝11－－qq4q＝125.
高二上学期数学人教A版选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式课件
an bn a1 a2
an b1 b2
20 1.05n 7.5 9
6 1.5n
bn
3 2 27
n
n
7.5 6 1.5n 420 1.05 n n 420.
4
4
20
1
5%
为公比的等比数列.
n
结论2 从今年起每年以环保方式处理的垃圾量构成以 6 1.5 为首项，
1.5为公差的等差数列.
bn 6 1.5n
追问3 怎样表示每年通过填埋方式处理的垃圾总量？
答案： an bn
知识应用
例2
解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列an ，每年
例1
如图，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，
作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L ，作第3个
正方形IJKL ，依此方法一直继续下去.
（1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；
（2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些
以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列 bn ，n年内通过填埋
方式处理的垃圾总量为 S n （单位：万吨），则
S n a1 b1 a2 b2
20 1.05 20 1.052
20 1.05 1 1.05n
1 1.05
1
2
1
2
随着n的无限增大， 无限趋近
于50.
所以，所有这些正方形的面积之和将无限趋近于50.
《等比数列的前n项和》课比赛一等奖课件
直观示例
通过具体生活案例和直观图示 ,帮助学生理解等比数列前n项 和的概念。如房地产投资、人 口增长等。
分步讲解
循序渐进地讲解等比数列的定 义、通项公式、首项和公比, 再推导前n项和公式。引导学 生理解各步骤。
应用实践
设计大量应用实例,如财务分 析、自然科学等,让学生运用 所学解决实际问题,增强学习 兴趣。
数学模型构建
等比数列前n项和在数学建模中扮演着关键 角色,帮助建立描述实际问题的数学模型,为 后续分析决策提供基础。
经济金融模型
对于一些经济金融问题,如现金流分析、股 票收益预测等,等比数列前n项和模型是有效 的数学工具。
工程技术应用
在工程技术领域,等比数列前n项和模型可用 于设备寿命分析、材料疲劳计算等,提高设 计方案的可靠性。
探索发现
鼓励学生自主探索等比数列前 n项和的性质和应用,激发其主 动学习的积极性和创造力。
等比数列前n项和的重要性及意 义
1 数学概念的深入理解
等比数列前n项和涉及数列、 级数、函数等多个数学概念,有 助于学生全面理解数学知识体 系。
2 实际应用的广泛性
等比数列前n项和在工程、经 济、金融等领域有广泛应用,体 现了数学在现实生活中的重要 作用。
等比数列前n项和在风险投资、保险定价等场景中帮助分析师权衡风
险和收益。通过寻找最优n,可以达到风险收益的最佳平衡点。
等比数列前n项和的变形计算
边界条件变形
根据实际问题的需求, 可以将等比数列的首项和公比等情况进行适当变形处理, 以获得更加精确的计算结果。
等价转换
有时通过等价变形, 可以将等比数列前n项和问题转化为更容易解决的形式,从而 简化计算过程。
等比数列的前n项和
等比数列的前n项和-优秀PPT课件
1
Sn
a1 anq 1 q
,q
1
na1, q 1
na1, q 1
练习1.判断是非
（ 2）n
①1 2 4 8 16 (2)n1 1 (1 2n) 1 (2)
n+1
② 1 2 22 23 2n 1 (1 2nn ) 12
③
c2
c4
c6
c2n
c2[1 (c2 )n ] 1 c2
, 14
,
1 8
,116
,
求前2n项中所有偶数项的和.
练习4
思考
资料表明，2000年我国工业废弃垃圾达 7.4×108t，每吨占地1m2，环保部门每回收或 处理1t废旧物资，相当于消灭4t工业废弃垃 圾．如果环保部门2002年共回收处理了100t 废旧物资，且以后每年的回收量递增20%． (1)2010年能回收多少吨废旧物资？ (2)从2002年到2010年底，可节约土地多少m2?
小结：
乘公比 错位相减
等比数列的 前n项和公式
q≠1,q=1 分类讨论
数学
源于生活
Sn
a1
(1 q 1q
n
)
q1
na1
q 1
知三求二
a1 anq
Sn
1q
na1
数学 用于生活
q1
q1
分组求和
方
转
程
化
思
思
想
想
课后作业：
必做：P61 A组 1、4、6题 选做：
思考题(1): 求和 x + 2 x2 + 3 x3 + + nxn .
等比数列的前n项和
选自人教A版必修5第二章第五节
4.3.2.1等比数列的前n项和课件(人教版)
易错辨析 忽略对公比 q 的讨论致误 例 5 已知等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，a3＝________. 解析：若 q＝1，则 S3＝3a1＝6，符合题意，此时 a3＝a1＝2. 若 q≠1 时，则 S3＝a111－－qq3＝211－－qq3＝6， 解得 q＝－2，此时 a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8. 综上 a3 的值为 2 或 8. 答案：2 或 8
2．已知等比数列{an}的首项 a1＝3，公比 q＝2，则 S5 等于( ) A．93 B．－93 C．45 D．－45 解析：S5＝a111－－qq5＝311－－225＝93.故选 A. 答案：A
3．已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3＝1，S6＝9，则公 比 q＝________.
(4)当 q≠－1 时，连续 m 项的和(如 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…) 仍组成__等__比____数列(公比为__q_m_____，m≥2)，注意：这连续 m 项
的和必须非零才能成立．
笔记小结 (1)当 q ＝ －1 且 k 为偶数时，Sk，S2k －Sk，S3k －S2k，…不 是等比数列； (2)当 q≠ －1 时，或 q ＝ －1 且 k 为奇数时，Sk，S2k －Sk， S3k －S2k，…是等比数列．
解 析 ： S6 － S3 ＝ a4 ＋ a5 ＋ a6 ＝ (a1 ＋ a2 ＋ a3)q3 ＝ S3·q3 ＝ 1×q3 ＝ 8.∴q＝2.
答案：2
题型一 等比数列前 n 项和的基本运算 例 1 在等比数列{an}中， (1)S2＝30，S3＝155，求 Sn；
(2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，求 S5； (3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求 q.
4.3.2等比数列的前n项和公式课件(人教版)
( 1) (1 q )
32
m
Sm 1 q
则
（
. q 1）
n
1
Sn 1 q
∴q .
不要忘记考
2
虑q=1与q≠1
两种情况.
跟踪训练
在等比数列{an}中，设前n项和为Sn，S3= ，S6= ，求公比q .
解 : (1)q 1时, S 6 6a1 , S3 3a1 , 则S 6 2S3 , 不符合题意.
3
课堂小结
获取知识的方法
知识内容
这节课
收获了什么
思想、素
养
课堂小结
，q 1
na1
n
S
a
1
q
a1 an q
➢ 数学知识：等比数列的前n项和公式 n 1
=
，
q 1
1
q
1
q
➢数学方法： 错位相减法
➢数学思想:
转化和化归
➢数学素养:
逻辑推理、数学抽象素养、数学运算、数学
学抽象素养。
2.通过等比数列的前n项和公式
的运用，培养数学运算素养。
3.借助等比数列的前n项和公式
解决简单的实际问题，培养数学
建模素养。
新课导入
数学小故事
相传，古印度的国王打算重赏国际象棋的发明者——宰相西
萨。问他想要什么。于是，这位宰相跪在国王面前说：
2
3
1 2 2 2 2
4
263
思考：
问题1：1,2,2 2 ,23 , ,263 构成什么数列？
1
32
m
Sm 1 q
则
（
. q 1）
n
1
Sn 1 q
∴q .
不要忘记考
2
虑q=1与q≠1
两种情况.
跟踪训练
在等比数列{an}中，设前n项和为Sn，S3= ，S6= ，求公比q .
解 : (1)q 1时, S 6 6a1 , S3 3a1 , 则S 6 2S3 , 不符合题意.
3
课堂小结
获取知识的方法
知识内容
这节课
收获了什么
思想、素
养
课堂小结
，q 1
na1
n
S
a
1
q
a1 an q
➢ 数学知识：等比数列的前n项和公式 n 1
=
，
q 1
1
q
1
q
➢数学方法： 错位相减法
➢数学思想:
转化和化归
➢数学素养:
逻辑推理、数学抽象素养、数学运算、数学
学抽象素养。
2.通过等比数列的前n项和公式
的运用，培养数学运算素养。
3.借助等比数列的前n项和公式
解决简单的实际问题，培养数学
建模素养。
新课导入
数学小故事
相传，古印度的国王打算重赏国际象棋的发明者——宰相西
萨。问他想要什么。于是，这位宰相跪在国王面前说：
2
3
1 2 2 2 2
4
263
思考：
问题1：1,2,2 2 ,23 , ,263 构成什么数列？
1
等比数列的前n项和 课件(34张)
等比数列前n项和有关的性质应用
－S2(n1，)等S4比n－数S3列n，{a…n}成的等前比n项数和列S(n其，中满S足n，SnS，2n－S2nS－n，SnS，3n－S3n S2n，…均不为0)，这一性质可直接应用．
(2)等比数列的项数是偶数时，
S偶 S奇
＝q；项数是奇数时
S奇S－偶 a1＝q.
2．(1)等比数列{an}中，S2＝7，S6＝91，则S4可为 ________；
a1q3＋a1q5＝54， 即a1q31＋q2＝54. ②
∵a1≠0,1＋q2≠0，∴②÷①得，q3＝18，即 q＝12，∴a1＝8.
∴a4＝a1q3＝8×123＝1， S5＝a111－－qq5＝8×11－－12125＝321.
(2)方法一：设首项为a1.∵q＝2，S4＝1， ∴a111－－224＝1，即a1＝115， ∴S8＝a111－－qq8＝11511－－228＝17. 方法二：∵S4＝a111－－qq4＝1，且q＝2， ∴S8＝a111－－qq8＝a111－－qq4(1＋q4) ＝1×(1＋24)＝17.
在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目
的．这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．
1．在等比数列{an}中， (1)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，求a4和S5； (2)若q＝2，S4＝1，求S8.
解析： (1)设公比为 q，由通项公式及已知条件得 ①
① ②
②÷①得1＋q10＝3，∴q10＝2.
将q10＝2代入①得1－a1 q＝－10，
∴S30＝a111－－qq30＝－10(1－23)＝70.
方法二：∵S10＝a1＋a2＋…＋a10， S20－S10＝a11＋a12＋…＋a20 ＝a1q10＋a2q10＋…＋a10q10＝q10S10. S30－S20＝a21＋a22＋…＋a30 ＝a1q20＋a2q20＋…＋a10q20＝q20S10. ∴S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，公比为q10. ∴(S20－S10)2＝S10(S30－S20)， ∵S10＝10，S20＝30. ∴(30－10)2＝10(S30－30)，∴S30＝70.
4.3.4 等比数列前n项和公式应用(课件)高二数学课件(人教A版2019选择性必修第二册)
2n－1
1 3 5
所以 Tn＝2＋22＋23＋…＋ 2n ，
2n－3 2n－1
1
1 3
2Tn＝22＋23＋…＋ 2n ＋ 2n＋1 ，
两式相减，得
2 2n－1
1
1 2 2
＋ ＋…＋2n－ n＋1
2Tn＝2＋22 23
2
2n－1 3 2n＋3
3
1
＝2－ n－1－ n＋1 ＝2－ n＋1 ，
(2) 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的
面积之和将趋近于多少？
分析：可以利用数列表示各正方形的面积，
根据条件可知，这是一个等比数列。
(2)当无限增大时，无限趋近于所有正方形的面积和
随着的无限增大，
1
将趋近于0， 将趋近于50.
2
所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50.
(1)求数列{an}的通项公式；
b1 b 2
1
bn
(2)若数列{bn}满足a ＋a ＋…＋a ＝1－2n，n∈N*，求{bn}的前 n 项和 Tn.
n
1
2
[点拨]
(1)能否把条件转化为等差数列的两个基本量 a1 和 d 的方程？怎
么求出 an 的表达式？
bn
(2)如何先求出 a 进而确定{bn}的通项公式？数列{bn}的通项公式有什么
1
bn
(2)由已知a ＋a ＋…＋a ＝1－2n，n∈N*，
n
1
2
b1 1
当 n＝1 时，a ＝2；
1
1 1
1
bn
当 n≥2 时，a ＝1－2n－1－2n－1＝2n.
n
当 n＝1 时，也符合上式，
1 3 5
所以 Tn＝2＋22＋23＋…＋ 2n ，
2n－3 2n－1
1
1 3
2Tn＝22＋23＋…＋ 2n ＋ 2n＋1 ，
两式相减，得
2 2n－1
1
1 2 2
＋ ＋…＋2n－ n＋1
2Tn＝2＋22 23
2
2n－1 3 2n＋3
3
1
＝2－ n－1－ n＋1 ＝2－ n＋1 ，
(2) 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的
面积之和将趋近于多少？
分析：可以利用数列表示各正方形的面积，
根据条件可知，这是一个等比数列。
(2)当无限增大时，无限趋近于所有正方形的面积和
随着的无限增大，
1
将趋近于0， 将趋近于50.
2
所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50.
(1)求数列{an}的通项公式；
b1 b 2
1
bn
(2)若数列{bn}满足a ＋a ＋…＋a ＝1－2n，n∈N*，求{bn}的前 n 项和 Tn.
n
1
2
[点拨]
(1)能否把条件转化为等差数列的两个基本量 a1 和 d 的方程？怎
么求出 an 的表达式？
bn
(2)如何先求出 a 进而确定{bn}的通项公式？数列{bn}的通项公式有什么
1
bn
(2)由已知a ＋a ＋…＋a ＝1－2n，n∈N*，
n
1
2
b1 1
当 n＝1 时，a ＝2；
1
1 1
1
bn
当 n≥2 时，a ＝1－2n－1－2n－1＝2n.
n
当 n＝1 时，也符合上式，
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⑴×q, 得
qSn
a1q a1q2 a1qn2 a1qn1 a1qn. ⑵
⑴－⑵，得 1 q Sn a1 a1qn,
说明：这种求和方法称为错位相减法
1 q Sn a1 a1qn,
当q≠1时，
Sn
a1
1qn 1 q
当q=1时， Sn na1
于是
Sn
naa1(11, (qqn 1 q
1), ) ,(q
1).1),
a1
(1 q 1 q
n
)
,
(q
或
1).
Sn
na1,q 1
a1 anq 1 q
,
q
1
❖由 Sn ，an ，q , a1 , n 知三而可求二 .
❖注意公式适用的条件
(1)是否为等比数列
(2)q≠1？
判断是非
（ 2）n
1.根据下列条件，求相应的等比数列{an}的前n项和.
1 a1 3, q 2, n 6
解：S6
3 (1 26 ) 1 2
189.
(2)已知a1 1，ak 243, q 3,求Sk .
解： 由等比数列前n项和公式得：
Sk
1 2433 13
=364
课堂练习
1 . 求等比数列
1 , 1 , 1 , 1 ,L L 2 4 8 16
15 1
2
255 17 15
方程的思想
作业
课本61页 A组
第一题
等比数列的前n项和的方法： 错位相减法
等比数列前n项和：Sn a1 a1q a1q2 a1q3 L a1qn1
q
qSn a1q a1q2 a1q3 L a1qn1 a1qn
-
1 q Sn a1 a1qn
问题1：观察相邻两项的特征，有何联系？ 问题2：如果将上式每一项都乘以2，会有什 么变化？ 每一项就变成了与它相邻的后一项
-得：S30 230 1 1, 073, 741,823 元 11 亿 3000 万元
入不敷出，所以悟空不该签约，否则就上了八戒的当了。
类比思考：
S30 1 2 22 23 L 228 229 2S30 2 22 23 24 L 229 230
①
请问：1、201,221,,22,···,229构成什么数列？
等比数列，首项为1，公比为2.
2、1+2+22+……+228+229应归结为什么数学问
题呢？
等比数列求和
前30项的和
13
探究：等比数列前n项和
S30 1 2 22 23 L 228 229
2S30 2 222 2223 23 2424 LL222929223300
1、为什么式要乘以2，而不是乘以其他的任何数？ 2、对于一般的等比数列我们又将怎样求得它的前n项和呢?
sn a1 a2 a3 an1 an
等比数列的前n项和 错位相减法
设等比数列 a1, a2 , a3, , an ,
它的前n项和是 Sn a1 a2 a3 an
即 Sn a1 a1q a1q2 a1qn2 a1qn1. ⑴
2.5 等比数列前n项和
学习目标
1 体会等比数列前n项和公式的推导过程 2 理解并记住等比数列前n项和公式 3 能应用该公式解决相关简单的求和问题
2
学习脉络
等差数列
等差数列 的性质
等差数列 前n项和
等差数列前n 项和的性质
类比
等比数列
等比数列 的性质
等比数列 前n项和
等比数列前n 项和的性质
等差数列前n 项和——求法
12 ,
1 4
,
1 8
,116
,
前多少项的和是
63 64
?
2、若 q 2, S4 1, 求 S8.
解：1
a1
1 2
,
q
1 2
Sn
1 2
(1
1 2n
)
1 1
1
1 2n
2
解：Q q 2, S4 1
S4
1
a1
1 24 1 2
1
解得：a1 15
1
1 2n
n6
63 64
1 1 28
则
S8
孙悟空该不该签约呢？
悟空接受的资金 T30 10030
3000万元
每天投资100万元， 连续投资30天
返还给八戒的钱数
1 2 22 23 L 229
第一天返还1元 第二天返还2元 第三天返还4元 ······ 后一天返还的钱 数是前一天的2倍
12
探讨: 悟空返还给八戒的钱数是：
S30 1 2 22 L 228 229
Sn a1 a2 a3 L an1 an
Sn an an1 an2 L a2 a1
2Sn a1 an (a2 an1) L (an1 a2) (an a1)
na1 an
Sn
n a1
2
an
回顾：知 Sn 求 an
Sn a1 a2 a3 L an1 an Sn1 a1 a2 a3 L an1 (n 2)
①1 2 4 8 16 (2)n1 1 (1 2n )
1 (2)
n+1
② 1 2 22 23 2n 1 (1 2n ) 12
③若
c
0且
c
1,则 c 2
c4
c6
c2n
c2[1 (c2 )n ] 1 c2
应用公式时，注意q的取值， 还要注意求和的项数。
q=c2,c2≠1
公式的应用
an Sn Sn1 (n 2)
那么，怎么求等比数 列的前n 项和呢？
1．引入典故，提出问题
大家好，我是 花果山水帘洞 美猴王——孙
悟空耶！
最近很烦耶！花果山搞了个旅游 开发，可是经费不足，银行又不
肯贷款。怎么办呢？
8
猴哥，好久 不见，你变
帅了耶！
最近，老孙的花果山旅游集 团经费周转有些困难，听说 你继承了高老庄一大笔遗产，
26
思考： 能否用错位相减求下列数列的和呢？ 例1. 求和：Sn .1 2 2 22 3 23 4 24 L n 2n
27
课后思考： 例1. 求和：Sn .1 2 2 22 3 23 4 24 L n 2n
解：Sn 12 222 323 424 L n 12n1 n2n
特来找你帮忙呀！
9
这样吧!我每天向你投资100万， 连续投资30天。咱们兄弟就不讲利 息了，你就第一天给我1块钱，第二 天给我2块钱，第三天给我4块钱， 以后每天给我前一天两倍钱，意思
一下就算了。
如果你同意的话， 咱俩就签合同吧。
10
不行，我得征求我其 他人看意那见猪，头然一后脸再奸签笑。，
会不会被耍呀？
两端同乘以 2，得
2Sn 1 22 2 23 3 24 4 25 L (n 1) 2n n 2n1
两式相减得 Sn 2 22 23 24 L 2n n2n1,
于是 Sn 2 2n1 n2n1 .
28
THANKS
@chenyunni
29
a 1时，Sn n
a
0且a
1时，Sn
a(1 an ) 1 a
总结
等 比 数 错位相减法 列 前 n 项 和
注意： 1、判断q=1？ 2、判断所求的项数
na1 ,
Sn
a1
1 qn
1 q
q ,
1 q
,
1
Sn
a1
na1
an
,
q
1 q
q 1 , q 1,
简单的应用
课堂延伸思考
1、等比数列
解： (1)求前8项的和 ． S8
1 2
1 1
1 28 1
1
1 28
255 256
2
(2)求第5项到第10项的和．
解：S10
S5
1 2
1
1 210
1 1
1 2
1
1 25
1 1
1
1 210
1
1 25
31 1024
2
2
2、求数列a,a2,a3 ……an的和。
分类讨论的思想
解： a 0时，Sn 0