等比数列的前n项和-优秀课件

①
请问：1、201,221,,22,···,229构成什么数列？
等比数列，首项为1，公比为2.
2、1+2+22+……+228+229应归结为什么数学问
题呢？
等比数列求和
前30项的和
13
探究：等比数列前n项和
S30 1 2 22 23 L 228 229
2S30 2 222 2223 23 2424 LL222929223300
两端同乘以 2，得
2Sn 1 22 2 23 3 24 4 25 L (n 1) 2n n 2n1
两式相减得 Sn 2 22 23 24 L 2n n2n1,
于是 Sn 2 2n1 n2n1 .
28
THANKS
@chenyunni
29
15 1
2
255 17 15
方程的思想
作业
课本61页 A组
第一题
等比数列的前n项和的方法： 错位相减法
等比数列前n项和：Sn a1 a1q a1q2 a1q3 L a1qn1
q
qSn a1q a1q2 a1q3 L a1qn1 a1qn
-
1 q Sn a1 a1qn
①1 2 4 8 16 (2)n1 1 (1 2n )
1 (2)
n+1
② 1 2 22 23 2n 1 (1 2n ) 12
③若
c
0且
c
1,则 c 2
c4
c6
c2n
c2[1 (c2 )n ] 1 c2
应用公式时，注意q的取值， 还要注意求和的项数。
q=c2,c2≠1
公式的应用
26
思考： 能否用错位相减求下列数列的和呢？ 例1. 求和：Sn .1 2 2 22 3 23 4 24 L n 2n
27
课后思考： 例1. 求和：Sn .1 2 2 22 3 23 4 24 L n 2n
解：Sn 12 222 323 424 L n 12n1 n2n
问题1：观察相邻两项的特征，有何联系？ 问题2：如果将上式每一项都乘以2，会有什 么变化？ 每一项就变成了与它相邻的后一项
-得：S30 230 1 1, 073, 741,823 元 11 亿 3000 万元
入不敷出，所以悟空不该签约，否则就上了八戒的当了。
类比思考：
S30 1 2 22 23 L 228 229 2S30 2 22 23 24 L 229 230
孙悟空该不该签约呢？
悟空接受的资金 T30 10030
3000万元
每天投资100万元， 连续投资30天
返还给八戒的钱数
1 2 22 23 L 229
第一天返还1元 第二天返还2元 第三天返还4元 ······ 后一天返还的钱 数是前一天的2倍
12
探讨: 悟空返还给八戒的钱数是：
S30 1 2 22 L 228 229
1、为什么式要乘以2，而不是乘以其他的任何数？ 2、对于一般的等比数列我们又将怎样求得它的前n项和呢?
sn a1 a2 a3 an1 an
等比数列的前n项和 错位相减法
设等比数列 a1, a2 , a3, , an ,
它的前n项和是 Sn a1 a2 a3 an
即 Sn a1 a1q a1q2 a1qn2 a1qn1. ⑴
1), ) ,(q
1).
等比数列前n项和公式
Sn
na1, (q 1),
a1
(1 q 1 q
n
)
,
(q
或
1).
Sn
na1,q 1
a1 anq 1 q
,
q
1
❖由 Sn ，an ，q , a1 , n 知三而可求二 .
❖注意公式适用的条件
(1)是否为等比数列
(2)q≠1？
判断是非
（ 2）n
特来找你帮忙呀！
9
这样吧!我每天向你投资100万， 连续投资30天。咱们兄弟就不讲利 息了，你就第一天给我1块钱，第二 天给我2块钱，第三天给我4块钱， 以后每天给我前一天两倍钱，意思
一下就算了。
如果你同意的话， 咱俩就签合同吧。
10
不行，我得征求我其 他人看意那见猪，头然一后脸再奸签笑。，
会不会被耍呀？
a 1时，Sn n
a
0且a
1时，Sn
a(1 an ) 1 a
总结
等 比 数 错位相减法 列 前 n 项 和
注意： 1、判断q=1？ 2、判断所求的项数
na1 ,
Sn
a1
1 qn
1 q
q ,
1 q
,
1
Sn
a1
na1
an
,
q
1 q
q 1 , q 1,
简单的应用
课堂延伸思考
1、等比数列
12 ,
1 4
,
1 8
,116
,
前多少项的和是
63 64
?
2、若 q 2, S4 1, 求 S8.
解：1
a1
1 2
,
q
1 2
Sn
1 2
(1
1 2n
)
1 1
1
1 2n
2
解：Q q 2, S4 1
S4
1
a1
1 24 1 2
1
解得：a1 15
1
1 2n
n6
63 64
1 1 28
则
S8
⑴×q, 得
qSn
a1q a1q2 a1qn2 a1qn1 a1qn. ⑵
⑴－⑵，得 1 q Sn a1 a1qn,
说明：这种求和方法称为错位相减法
1 q Sn a1 a1qn,
当q≠1时，
Sn
a1
1qn 1 q
Hale Waihona Puke Baidu
当q=1时， Sn na1
于是
Sn
naa1(11, (qqn 1 q
Sn a1 a2 a3 L an1 an
Sn an an1 an2 L a2 a1
2Sn a1 an (a2 an1) L (an1 a2) (an a1)
na1 an
Sn
n a1
2
an
回顾：知 Sn 求 an
Sn a1 a2 a3 L an1 an Sn1 a1 a2 a3 L an1 (n 2)
1.根据下列条件，求相应的等比数列{an}的前n项和.
1 a1 3, q 2, n 6
解：S6
3 (1 26 ) 1 2
189.
(2)已知a1 1，ak 243, q 3,求Sk .
解： 由等比数列前n项和公式得：
Sk
1 2433 13
=364
课堂练习
1 . 求等比数列
1 , 1 , 1 , 1 ,L L 2 4 8 16
an Sn Sn1 (n 2)
那么，怎么求等比数 列的前n 项和呢？
1．引入典故，提出问题
大家好，我是 花果山水帘洞 美猴王——孙
悟空耶！
最近很烦耶！花果山搞了个旅游 开发，可是经费不足，银行又不
肯贷款。怎么办呢？
8
猴哥，好久 不见，你变
帅了耶！
最近，老孙的花果山旅游集 团经费周转有些困难，听说 你继承了高老庄一大笔遗产，
2.5 等比数列前n项和
学习目标
1 体会等比数列前n项和公式的推导过程 2 理解并记住等比数列前n项和公式 3 能应用该公式解决相关简单的求和问题
2
学习脉络
等差数列
等差数列 的性质
等差数列 前n项和
等差数列前n 项和的性质
类比
等比数列
等比数列 的性质
等比数列 前n项和
等比数列前n 项和的性质
等差数列前n 项和——求法
解： (1)求前8项的和 ． S8
1 2
1 1
1 28 1
1
1 28
255 256
2
(2)求第5项到第10项的和．
解：S10
S5
1 2
1
1 210
1 1
1 2
1
1 25
1 1
1
1 210
1
1 25
31 1024
2
2
2、求数列a,a2,a3 ……an的和。
分类讨论的思想
解： a 0时，Sn 0