第五章定积分综合练习题

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高等数学第五章定积分试题

第五章定积分§5—1 定积分概念一、填空题1． )(x f 在[a,b]上可积的充分条件是。

2． nn knk n ∑=∞→1lim用定积分表示可表示成。

3．由定积分的几何意义知⎰-ππxdx sin = ，⎰-ππxdx sin = 。

4．定积分dx x a aa⎰--22的几何意义是。

二．判断题。

1．若f(x)在[ a,b]上有界，则f(x)在[a,b]上可积。

（） 2．若f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[ a,b]上有界。

（） 3．若f(x)、g(x)在[a,b]上都不可积，则f(x)+g(x)在[a,b]上必不可积。

（） 5．若f(x)在[a,b]上可积，则g(x) )在[a,b]上不可积，则f(x)+g(x)在[a,b]上一定不可积。

（）三．单项选择题。

1．定积分⎰badx x f )(表示和式的极限是。

（A ）、))((1l i ma b nkf n a b n k n --∑=∞→ （B ）、))(1(1l i ma b nk f n a b n k n ---∑=∞→ （C ）∑=∞→∆nk k kn x f 1)(l i m ξ（i ξ为i x ∆中任一点）（D ）、∑=∞→∆nk k kx f 1)(l i m ξλ（}{max 1i ni x ∆=≤≤λ，i ξ为i x ∆中任一点）2．定积分⎰badx x f )(=∑=∞→∆nk kkxf 1)(l i m ξλ表明（A ）、[b a ,]必须n 等分,k ξ是[x k-1,x k ]的端点。

（B ）、[b a ,]可以任意分,ξk必是[x k-1,x k ]的端点。

（C ）、[b a ,]可以任意分, }m ax{1x k nk ∆≤≤=λ，k ξ可在[x k-1,x k ]上任取。

（D ）、[b a ,]必须等分, }m ax{1x k nk ∆≤≤=λ，k ξ可在[x k-1,x k ]上任取四．利用定积分定义计算 ⎰baxdx )(b a <§5—2 定积分的性质中值定理一、判断题1．若函数)(x f 在[b a ,]上连续，且0)(2=⎰dx x f ba则在[b a ,]上f(x)0≡ （）2．若f(x),g(x)在[b a ,]上可积且f(x)<g(x),则dx x g dx x f baba⎰⎰<)()( （）3．若函数)(x f 在[b a ,]上可积且[d c ,]⊂ [b a ,] 则⎰⎰≤badcdx x f dx x f )()( （）4．若函数)(x f 在[b a ,]上可积，则至少有一点∈δ[b a ,],使⎰-baa b f ))((δ （）5．不等式 32a r c t a n 9331ππ≤≤⎰x d x x 成立。

高等数学题库第05章(定积分)

第五章定积分习题一一．选择题 1.⎰b xt dt e dx d 2的结果为( ) A.2x e B. 2x e - C. 22x b e e - D. 22x xe - 2.设()x f 连续,则()⎰=-→xa ax dt t f ax x lim( ) A.0 B.a C.()a af D. ()a f 3.设函数()⎰-=xdt t y 01,则y 有( )A.极小值21 B. 极小值21- C. 极大值21 D. 极大值21- 4.若()()⎰-=xdt x t dxd x f 0cos ,则()=x f ( ) A.x cos B. x cos - C.x sin D.x sin -5.若()⎰=+122dx k x ,则=k ( )A.0B.-1C.1D.21 6.曲线x y -=42与y 轴所围图形的面积为( ) A.()⎰--2224dy y B. ()⎰-224dy y C.dx x ⎰-44 D. dx x ⎰--444二．填空题1.若物体以速度()()()0≥=t v t v v 作直线运动,用定积分表示从时刻1t 到时刻2t 所经过的路程S,则S= .2.设平面图形由直线)1(,>==b b x x y 和曲线1=xy 所围(第一象限部分),该图形的面积I 的定积分表达式为 .3.()()[]=--⎰-dx x f x f a a.4.⎰-=-11221sin dx xx arc x .5.⎰=bdx x 0.6.设()x f '在[]b a ,连续,且()()1,0==b f a f ,则()()[]⎰=+badx x f x f 2'1 .7.设()x f 在()+∞∞-,一阶可导,()()()⎰≠=x x dt t xf x F 1,0则()=x F '' . 8.⎰=++∞→10421limdx x n nxn .9.若广义积分()⎰+∞2ln kx x dx发散,则k 的取值为 .10.由0,1,4>≥≤x y xy 所夹图形绕y 轴旋转所成旋转体体积V = . 三、计算题 1. 计算⎰+1313arctan dx xx x .2. 计算⎰+∞-0sin xdx e x .3. 求⎰-=xt dt e x f 02)(对x 的导数.4. 计算⎰-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++112)2ln(cos 3tan sin dx x x x x . 5. 计算⎰--22232)1(dx x .6. ⎰e dx x 13)(ln 7. ⎰-1)1(arcsin dx x x x习题二一．选择题1.()x f 在[]b a ,上连续是()⎰ba dx x f 存在的( )A.必要条件B.充分条件C. 充分必要条件D.以上A 、B 、C 都不对 2.在积分中值定理()()()a b f dx x f ba -=⎰ξ中,ξ是( )A. []b a ,内任意一点B. []b a ,的中点C. []b a ,内某一点D. []b a ,内至少存在的某一点3.若()x f 可导,()()20,00'==ff ,则()2limxdt t f xx ⎰→的值为( )A.0B.1C.2D.不存在4.设()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=⎰0,0,122x a x x dte xf x t 若()x f 在0=x 连续则必有( ) A.1=a B.2=a C.0=a D.1-=a 5.⎰=+b a dx xdx d 211( D ) A.211x + B. 211b + C. 211a+- D.0 6.设()()⎰-=x x f dt t f 02121，且()10=f ,则()x f =( )A.2xe B.x e 21 C.x e 2 D.x e 2217.若()()()⎰+==xtxCdt t e x f e x x g 02122213,,且()()23lim '=+∞→x g x f x ,则必有( ) A.C=0 B.C=1 C.C=-1 D.C=2 8.=⎰-112dx x ( )A.0B.21C.1D.2 9.设()x f ''在[]b a ,连续,且()()b a f a b f =='',,则()()⎰∙b adx x f x f '''=( )A.b a -B. )(21b a -C.22b a -D.)(2122b a -10.若10=⎰+∞-dx ae x 收敛,则=a ( )A.1B.2C.21D. 21- 二．填空题1.设()x f 在积分区间上连续,则()()[]=--⎰-dx x f x f x aa2 .2.定积分⎰-=22cos ππxdx x .3.定积分⎰-=22cos ππxdx x .4.定积分()⎰-=+ππdx x xsin 2.5.定积分⎰-=+222cos 1sin ππdx x x.6.设()⎰=x tdt x f 0tan ,则()=x f ' . 7.设()⎰+∙=20321x dt t t x f ,则()=x f ' .8.设()⎰=xtdt x f 1arctan ,则()=x f ' .9.设()⎰=x tdt x f 0sin ,则=⎪⎭⎫⎝⎛2'πf .10.⎰+∞-=02dx e x .三、计算题1. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-=-10 ,1101 ,)(2x x x xe x f x ,求⎰-2 0.)1(dx x f2. 求极限)cos 1()1arctan(lim 0002x x du dt t xu x -⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎰⎰→. 3. ⎰+1)1ln(dx x .4. 将2)(2--=x x xx f 展成x 的幂级数.5. 已知⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=+0,)1ln(0,)1(2x x x x xe x f x，求⎰-41)2(dx x f .6.求定积分⎰------6)6)(5)(4)(3)(2)(1(dx x x x x x x x .7．设连续函数)(x f 满足方程x xe dt tf x f +=⎰0)()(，求)(x f .习题三一．选择题1.设()x f 在区间[]b a ,上连续,则()()⎰⎰-babadt t f dx x f 的值( )A.小于0B.大于0C.等于0D.不能确定2.设()x f 在[]b a ,上连续,x 是[]b a ,上的任一点,则下式中是()x f 的一个原函数的是( )A.()⎰dx x fB.()⎰badx x f C.()⎰xadt t f D.()⎰xadt t f '3.设函数()x f 在区间[]b a ,上连续,则下列结论不正确的是( ) A.()⎰badx x f 是()x f 的一个原函数 B.()⎰xadt t f 是()x f 的一个原函数()b x a <<C.()⎰bxdt t f 是-()x f 的一个原函数 D. ()x f 在[]b a ,上是可积的4.设函数()x f 在[]1,0上连续,令x t 4=,则()⎰=14dx x f ( )A.()⎰40dt t f B.()⎰1041dt t f C. ()⎰404dt t f D. ()⎰441dt t f 5.广义积分⎰+∞-+222x x dx( )A.收敛于2ln 32B. 收敛于2ln 23C. 收敛于41ln 31 D.发散6.⎰baxdx dx d arctan 等于( ) A.x arctan B.211x + C.a b arctan arctan - D.07.若函数()x x x f +=3,则()⎰-22dx x f 的值等于( )A.0B.8C. ()⎰20dx x f D. ()⎰22dx x f8.下列定积分等于零的是( )A.⎰-112cos xdx x B. ⎰-11sin xdx x C. ⎰-+11)sin (dx x x D. ⎰-+11)(dx x e x9.变上限积分()⎰xadt t f 是( )A.()x f ' 的一个原函数B.()x f '的全体原函数C.()x f 的一个原函数D.()x f 的全体原函数10.极限⎰⎰→x xx tdttdtsin lim等于( )A.-1B.0C.1D.2二．填空题1.根据定积分的几何意义,有()⎰=-101dx x .2.设(),sin 12dt t x x⎰=ϕ则导数()=x 'ϕ .3.⎰--=121dx x . 4.()⎰=xa dt t f dx d . 5.()⎰=2x a dt t f dx d . 6.()⎰=ua dt t f du d . 7.()⎰=badx x f dx d . 8.=++⎰4122dx x x .9.=⎰210arcsin xdx .10.设()()⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+=+,0,1,0,111x e x x x x f x 则定积分()=-⎰201dx x f .三、计算题1. 计算⎰++102132dx x x . 2. 设xxe x f =+)12(, 求⎰53)(dt t f .3. 已知⎰+=+12)1ln()()(2x x f dx x f x , 求⎰1)(dx x f .4. 讨论级数∑∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛--111co s 1)1(n n n 的敛散性, 若收敛,指出其条件收敛或绝对收敛.5. 计算⎰-20)2sin(1πdx x .6. 已知⎪⎩⎪⎨⎧≥<=1,ln 1,)(2x x x x xe x f x ，求.)2(41⎰-dx x f7. 求.)2()1ln(102⎰-+dx x x习题四一．选择题 1.()⎰=+xdt t dx d 021ln （） A ．()1ln 2+x B.()1ln 2+t C.()1ln 22+x x D.()1ln 22+t t 2.=⎰→320sin limx dt t xx ( )A.0B.1C.31D.∞3.下列积分中,使用变换正确的是( )A.⎰+π03,sin 1dx xdx 令t x arctan = B.⎰-3023,1dx x x 令t x sin = C.()⎰-++2122,11ln dx xx x 令21x u += D.⎰--112,1dx x 令31t x = 4.下列积分中,值为零的是( )A.⎰-112dx x B.⎰-213dx x C.⎰-11dx D.⎰-112sin xdx x二．填空题1. 若2x e -为)(x f 的一个原函数，则='⎰1)(dx x f x .2. 函数⎰--=xdt t t y 02)2()1(的极小值点是 .3. 若)(x f 在R 上连续，则=⎰-aadt x f x )(cos 3 .4. 若⎰+=yx t dt e y x f 402),(，则='),(y x f x .5. 若⎰=x t dt xe x f 0)(，则=dxdf. 6. ⎰+∞-=04dx e x x .7. 若平面区域{}0,4),(22≥≤+=y y x y x D ，则=⎰⎰Ddxdy .8. =⎰∞→32sin limt xdx x tt . 9. 设,sin )(C xxdx x f +=⎰则=⎰362)(ππdx x xf .10. 设,)sin 3()( 02⎰+=x dt t t x f 则=→23)(limx x f x . 三、计算题1. 求连续函数),(x f 使其满足20)(2)(x dt t f x f x=+⎰.2. 计算⎰-12112dx ex .3. 计算⎰-0|cos sin |πdx x x .4. 讨论⎰+∞dx e ax 的敛散性.5. 设x e x f -=)(，（1）求dx x f ⎰)(;（2）若)()(x f x F ='，且1)0(=F ，求)(x F 的表达式；（3）计算⎰ba dx x f )(；（4）判别⎰+∞1)(dx x f 的收敛性，若收敛，求其值；（5）求202)(lim2xdt t f x x ⎰→；6. 计算⎰-12112dx ex .7. 可微函数)(x f y =满足⎰-=-xdt t f x f 0]1)(2[1)(，求：（1）)0(f ; （2）)(x f答案习题一一．选择题 1.⎰b xt dt e dx d 2的结果为( B ) A.2x e B. 2x e - C. 22x b e e - D. 22x xe - 2.设()x f 连续,则()⎰=-→xa ax dt t f ax x lim( C ) A.0 B.a C.()a af D. ()a f 3.设函数()⎰-=xdt t y 01,则y 有( B )A.极小值21 B. 极小值21- C. 极大值21 D. 极大值21-4.若()()⎰-=xdt x t dx d x f 0cos ,则()=x f ( A ) A.x cos B. x cos - C.x sin D.x sin -5.若()⎰=+122dx k x ,则=k ( C )A.0B.-1C.1D.21 6.曲线x y -=42与y 轴所围图形的面积为( A ) A.()⎰--2224dy y B. ()⎰-224dy y C.dx x ⎰-44 D. dx x ⎰--444二．填空题1.若物体以速度()()()0≥=t v t v v 作直线运动,用定积分表示从时刻1t 到时刻2t 所经过的路程S,则S= . ()⎰21t t dt t v2.设平面图形由直线)1(,>==b b x x y 和曲线1=xy 所围(第一象限部分),该图形的面积I 的定积分表达式为 . ⎰⎪⎭⎫⎝⎛-b dx x x 113.()()[]=--⎰-dx x f x f aa. 04.⎰-=-11221sin dx xx arc x . 05.⎰=b dx x 0 . 221b ± 6.设()x f '在[]b a ,连续,且()()1,0==b f a f ,则()()[]⎰=+badx x f x f 2'1 .4π 7.设()x f 在()+∞∞-,一阶可导,()()()⎰≠=x x dt t xf x F 1,0则()=x F '' . ⎪⎭⎫⎝⎛x f x 11'3 8.⎰=++∞→10421limdx x n nx n . 4π9.若广义积分()⎰+∞2ln kx x dx发散,则k 的取值为 . 1>k10.由0,1,4>≥≤x y xy 所夹图形绕y 轴旋转所成旋转体体积V = . π 三、计算题 1. 计算⎰+1313arctan dx xx x .2. 计算⎰+∞-0sin xdx e x .3. 求⎰-=xt dt e x f 02)(对x 的导数.4. 计算⎰-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++112)2ln(cos 3tan sin dx x x x x . 5. 计算⎰--22232)1(dx x .6. ⎰e dx x 13)(ln 7. ⎰-1)1(arcsin dx x x x习题二一．选择题1.()x f 在[]b a ,上连续是()⎰ba dx x f 存在的( B )A.必要条件B.充分条件C. 充分必要条件D.以上A 、B 、C 都不对 2.在积分中值定理()()()a b f dx x f ba -=⎰ξ中,ξ是( D )A. []b a ,内任意一点B. []b a ,的中点C. []b a ,内某一点D. []b a ,内至少存在的某一点 3.若()x f 可导,()()20,00'==ff ,则()2limx dt t f xx ⎰→的值为( B ) A.0 B.1 C.2 D.不存在4.设()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=⎰0,0,122x a x x dte xf x t 若()x f 在0=x 连续则必有( C ) A.1=a B.2=a C.0=a D.1-=a 5.⎰=+b a dx x dx d 211( D ) A.211x + B. 211b + C. 211a+- D.06.设()()⎰-=xx f dt t f 02121，且()10=f ,则()x f =( C ) A.2xe B.x e 21 C.x e 2 D.x e 2217.若()()()⎰+==xtxCdt t e x f e x x g 02122213,,且()()23lim '=+∞→x g x f x ,则必有( B ) A.C=0 B.C=1 C.C=-1 D.C=2 8.=⎰-112dx x ( C )A.0B.21C.1D.2 9.设()x f ''在[]b a ,连续,且()()b a f a b f =='',,则()()⎰∙b adx x f x f '''=( D )A.b a -B. )(21b a -C.22b a -D.)(2122b a -10.若10=⎰+∞-dx ae x 收敛,则=a ( C )A.1B.2C.21D. 21- 二．填空题1.设()x f 在积分区间上连续,则()()[]=--⎰-dx x f x f x aa2 . 02.定积分⎰-=22cos ππxdx x . 03.定积分⎰-=22cos ππxdx x . 04.定积分()⎰-=+ππdx x xsin 2. 332π5.定积分⎰-=+222cos 1sin ππdx x x. 06.设()⎰=x tdt x f 0tan ,则()=x f ' . x tan7.设()⎰+∙=20321x dt t t x f ,则()=x f ' . 34312x x +∙8.设()⎰=xtdt x f 1arctan ,则()=x f ' . x arctan9.设()⎰=x tdt x f 0sin ,则=⎪⎭⎫⎝⎛2'πf . 110.⎰+∞-=02dx e x .21三、计算题1. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-=-10 ,1101 ,)(2x x x xe x f x ,求⎰-2 0.)1(dx x f2. 求极限)cos 1()1arctan(lim0002x x du dt t xu x -⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎰⎰→. 3. ⎰+1)1ln(dx x .4. 将2)(2--=x x xx f 展成x 的幂级数.5. 已知⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=+0,)1ln(0,)1(2x x x x xe x f x，求⎰-41)2(dx x f .6.求定积分⎰------6)6)(5)(4)(3)(2)(1(dx x x x x x x x .7．设连续函数)(x f 满足方程x xe dt tf x f +=⎰0)()(，求)(x f .习题三一．选择题1.设()x f 在区间[]b a ,上连续,则()()⎰⎰-babadt t f dx x f 的值( C )A.小于0B.大于0C.等于0D.不能确定2.设()x f 在[]b a ,上连续,x 是[]b a ,上的任一点,则下式中是()x f 的一个原函数的是( C )A.()⎰dx x fB.()⎰badx x f C.()⎰xadt t f D.()⎰xadt t f '3.设函数()x f 在区间[]b a ,上连续,则下列结论不正确的是( A ) A.()⎰b adx x f 是()x f 的一个原函数 B.()⎰xadt t f 是()x f 的一个原函数()b x a <<C.()⎰b xdt t f 是-()x f 的一个原函数 D. ()x f 在[]b a ,上是可积的 4.设函数()x f 在[]1,0上连续,令x t 4=,则()⎰=104dx x f ( D )A.()⎰4dt t f B. ()⎰1041dt t f C. ()⎰404dt t f D. ()⎰441dt t f5.广义积分⎰+∞-+222x x dx( A )A.收敛于2ln 32B. 收敛于2ln 23C. 收敛于41ln 31 D.发散6.⎰baxdx dx d arctan 等于( D ) A.x arctan B.211x + C.a b arctan arctan - D.07.若函数()x x x f +=3,则()⎰-22dx x f 的值等于( A )A.0B.8C. ()⎰20dx x f D. ()⎰22dx x f8.下列定积分等于零的是( C )A.⎰-112cos xdx x B. ⎰-11sin xdx x C. ⎰-+11)sin (dx x x D. ⎰-+11)(dx x e x9.变上限积分()⎰xadt t f 是( C )A.()x f ' 的一个原函数B.()x f '的全体原函数C.()x f 的一个原函数D.()x f 的全体原函数10.极限⎰⎰→x xx tdttdtsin lim等于( C )A.-1B.0C.1D.2二．填空题1.根据定积分的几何意义,有()⎰=-101dx x .21 2.设(),sin 12dt t x x⎰=ϕ则导数()=x 'ϕ . 2sin x3.⎰--=121dx x . 2ln - 4.()⎰=xa dt t f dx d . ()x f 5.()⎰=2x a dt t f dx d . ()22x xf 6.()⎰=ua dt t f du d . ()u f 7.()⎰=badx x f dx d . 0 8.=++⎰4122dx x x .322 9.=⎰210arcsin xdx .12312-+π10.设()()⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+=+,0,1,0,111x e x x x x f x 则定积分()=-⎰201dx x f . 2ln 1+三、计算题1. 计算⎰++102132dx x x . 2. 设x xe x f =+)12(, 求⎰53)(dt t f .3. 已知⎰+=+12)1ln()()(2x x f dx x f x , 求⎰1)(dx x f .4. 讨论级数∑∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛--111co s 1)1(n n n 的敛散性, 若收敛,指出其条件收敛或绝对收敛.5. 计算⎰-20)2sin(1πdx x .6. 已知⎪⎩⎪⎨⎧≥<=1,ln 1,)(2x x x x xe x f x ，求.)2(41⎰-dx x f7. 求.)2()1ln(102⎰-+dx x x习题四一．选择题 1.()⎰=+xdt t dx d 021ln （ A ） A ．()1ln 2+x B.()1ln 2+t C.()1ln 22+x x D.()1ln 22+t t2.=⎰→320sin limx dt t xx ( C )A.0B.1C.31D.∞3.下列积分中,使用变换正确的是( C )A.⎰+π03,sin 1dx xdx 令t x arctan = B.⎰-3023,1dx x x 令t x sin =C.()⎰-++2122,11ln dx xx x 令21x u += D.⎰--112,1dx x 令31t x = 4.下列积分中,值为零的是( A )A.⎰-112dx x B.⎰-213dx x C.⎰-11dx D.⎰-112sin xdx x二．填空题1. 若2x e -为)(x f 的一个原函数，则='⎰1)(dx x f x .2. 函数⎰--=xdt t t y 02)2()1(的极小值点是 .3. 若)(x f 在R 上连续，则=⎰-aadt x f x )(cos 3 .4. 若⎰+=yx t dt e y x f 402),(，则='),(y x f x .5. 若⎰=x t dt xe x f 0)(，则=dxdf. 6. ⎰+∞-=04dx e x x .7. 若平面区域{}0,4),(22≥≤+=y y x y x D ，则=⎰⎰Ddxdy .8. =⎰∞→32sin limt xdx x tt . 9. 设,sin )(C xxdx x f +=⎰则=⎰362)(ππdx x xf .10. 设,)sin 3()( 02⎰+=x dt t t x f 则=→23)(limx x f x . 三、计算题1. 求连续函数),(x f 使其满足20)(2)(x dt t f x f x=+⎰.2. 计算⎰-12112dx ex .3. 计算⎰-20|cos sin |πdx x x .4. 讨论⎰+∞dx e ax 的敛散性.5. 设x e x f -=)(，（1）求dx x f ⎰)(;（2）若)()(x f x F ='，且1)0(=F ，求)(x F 的表达式；（3）计算⎰ba dx x f )(；（4）判别⎰+∞1)(dx x f 的收敛性，若收敛，求其值；（5）求202)(lim2xdt t f x x ⎰→；6. 计算⎰-12112dx ex .7. 可微函数)(x f y =满足⎰-=-xdt t f x f 0]1)(2[1)(，求：（1）)0(f ; （2）)(x f。

(完整版)定积分习题及答案

第五章定积分(A 层次)1．⎰203cos sin πxdx x ； 2．⎰-adx x a x222； 3．⎰+31221xxdx ；4．⎰--1145x xdx ； 5．⎰+411x dx ； 6．⎰--14311x dx ；7．⎰+21ln 1e xx dx； 8．⎰-++02222x x dx； 9．dx x ⎰+π02cos 1； 10．dx x x ⎰-ππsin 4； 11．dx x ⎰-224cos 4ππ； 12．⎰-++55242312sin dx x x xx ；13．⎰342sin ππdx x x； 14．⎰41ln dx x x ； 15．⎰10xarctgxdx ； 16．⎰202cos πxdx e x ； 17．()dx x x ⎰π2sin ； 18．()dx x e⎰1ln sin ；19．⎰--243cos cos ππdx x x ； 20．⎰+4sin 1sin πdx xx ； 21．dx x xx ⎰+π02cos 1sin ；22．⎰-+2111ln dx xxx ； 23．⎰∞+∞-++dx x x 4211； 24．⎰20sin ln πxdx ； 25．()()⎰∞+++0211dx x x dxα()0≥α。

(B 层次)1．求由0cos 0=+⎰⎰xyttdt dt e 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy 。

2．当x 为何值时，函数()⎰-=xt dt te x I 02有极值？3．()⎰x x dt t dxd cos sin 2cos π。

4．设()⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1,211,12x x x x x f ，求()⎰20dx x f 。

5．()1lim22+⎰+∞→x dt arctgt xx 。

6．设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,00,sin 21πx x x f ，求()()⎰=x dt t f x 0ϕ。

7．设()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+=时当时当0,110,11x e x xx f x，求()⎰-21dx x f 。

第五章“定积分及其应用”练习题

第五章“定积分及其应用”练习题一、填空题 1、函数()f z 在区间[,]a b 上有界是()f z 在区间[,]a b 上可积的条件，而()f z 在区间[,]a b 上连续是()f z 在区间[,]a b 上可积的条件.2、设2()() (1)a f x x f x dx a =-≠-⎰，则0()af x dx ⎰= .3、1lim nn k →+∞== .4、222(sin)sin x x xdx ππ-+=⎰ .5、21cos 2limt xx e dt x-→⎰= .6、当k 满足时，反常积分2(ln )kdxx x +∞⎰发散；当k = 时，反常积分2(ln )kdxx x +∞⎰取得最小值.7.=++⎰-dx x xx 11231sin ；8. 由曲线y x y y x 2,422==+及直线4=y 所围成图形的面积为；9.=⎰-dt e dx d xt 1cos 2 xxe 2cos sin - 10.=-⎰ax a dx 0222π11.4sin x xdx ππ-=⎰____________12. 设⎰+=3221)(x xtdt x f ,则=')(x f2-１３．∑=∞→+n i n n in 111lim＝１４．若()f x 为[1,1]-上的连续的奇函数，则11()f x dx -=⎰。

１５．=⎰-22223cos )sinππdx x x x ＋（ .二、选择题 1、设()f z 在区间[,]a b 上连续，若()f z 为偶函数，则0()xf t dt ⎰是（）.A 、偶函数B 、奇函数C 、非奇非偶D 、不存在 2、设()f z 在上具有一阶连续导数，则下列等式中正确的是（）.A 、()()f x dx f x '=⎰B 、()()xaf x dx f x '=⎰C 、()()b x d f x dx f x dx =-⎰ D 、()()ba d f x dx f x dx=⎰ 3、设()f x 在[a ，b]上连续，则220()xd tf x t dt dx -=⎰（）.A 、2()xfx B 、2()xf x - C 、22()xf x D 、22()xf x -4、若1lim axa t x x te dt x -∞→∞+⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰，则a =（）. A 、0 B 、1 C 、-1 D 、25、=⎰（）.A 、2πB 、πC 、2π D 、4π6. 下列反常积分中收敛的是（） A.⎰∞+exx dx ln B.⎰-103)1(x dxC.dx x x⎰∞++021 D.⎰∞+1xx dx7.等于则a a dx x a a),0(022>=-⎰π（）A 、41B 、21 C 、4 D 、28.20t x d te dt dx=⎰ ( ). A 、2x xe - B 、2x xeC -+ C 、212x e C +D 、212x e9.2111dx x+∞+⎰＝（ B ）.A 、2π B 、4πC 、0D 、发散 10. 函数)(x f 在],[b a 上连续是函数⎰=Φxadt t f x )()(在],[b a 上可导的( A )A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既不是充分条件也不是必要条件 10.设,sin )(0dt ttx f x⎰-=π则=⎰dx x f π0)(（）A.-1B.0C.1D.23.计算题1）、4⎰ 2）、20sin xdx π⎰ 3）、120arcsin xdx ⎰4）、2201cos dx xπ+⎰5）、1+∞⎰ 6）. ⎰-+62321x dx7）.⎰-21221x xdx 8）.1⎰9）. ⎰+11dx xx10）求1arctan x xdx ⎰.4.求极限1）.1020ln(1)limarctan x x t dttdt→+⎰⎰. 2）. 02ln(1)limxx t dt x→+⎰ 3）. 求.)sin (lim2302⎰⎰-+→x x x dtt t t dtt5.设2,01(),,12x x f x x x ⎧≤<=⎨≤≤⎩求0()()x F x f t dt =⎰在[0,2]上的表达式，并讨论()F x 在(0,2)内的连续性. 6.设()f x 在区间[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()0f x '≤，1()()xa F x f t dt x a=-⎰，证明：在(,)a b 内有()0F x '≤.7.设()f x 在区间[,]a b 上连续，且()0f x >，()(),[,]()xxabdtF x f t dt x a b f t =+∈⎰⎰.证明： (1)()2F x '≥； (2)方程()0F x =在区间(,)a b 内有且仅有一个根.8.求曲线22,2,4x y x xy y ===所围成的平面图像的面积.9.由3,2,0y x x y ===所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得两个旋转体的体积.10.设有一锥形水池，深15米，口径20米，盛满水，今要将水抽尽，要做多少功？11.求212()ed x t f x t t-=⎰的单调区间、极值和极值点.12.轴与求抛物线x x x y 22-=所围成的图形绕y 轴旋转所成的旋转体体积13. 求sin ,cos y x y x ==与0,2x x π==所围图形的面积14. 求由x y e =，1y x =-及直线1x =所围成平面图形的面积.15. 计算心形线)0()cos 1(>+=a x a r所围成的图形的面积16．洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体,其端面是一个横轴为2m, 短轴为1.5m 的椭圆面.计算当水箱装满水时,一个端面所受到的压力(水的比重)/(8.93m kN =γ).17．设)(x f 在]1,0[上连续,证明dx x f dx x xf ⎰⎰=πππ)(sin 2)(sin18．设⎰-=22)(x t dt e x F ，求：1）)(x F 的极值；2）曲线)(x F y =的拐点的横坐标；3）⎰-'322)(dx x F x 的值。

(完整版)高等数学第五章定积分综合测试题

二、选择题
1.（B）；2.（B）; 3.（A）; 4（D）; 5.（B）.
三、解答题
1.解：
.
2.解:
3.解:
.
4.解:反常积分，被积函数求出后，方可代入或取极限.
.
5.解:令，则
.
6.解:令，则 .
因为，故，
，
由于在上单调递减，，
因此，即 .
6、（10分）设在可积且单调递减，试证对任一，有
.
综合测试A卷答案
一、填空题
1.解:设函数， ,则 = .应填 .
2.解:在区间内，，由积分的性质可知 .应填<.
3.解: .应填 .
4.解: .
应填 .
5.解: .从而 =3.应填3.
二、选择题
1.（C）；2.（B）; 3.（C）; 4（C）; 5.（D）.
第五章定积分测试题B卷
一、是非题正确者画√，错者画（每小题3分共30分）
1、设在上有界，且存在，则
.[]
2、设在上可积且有连续点，当时， .[]
3、设在上连续，且，则时，
[]
4、设是奇函数，则 .[]
5、因为是奇函数，因此 []
6、设，由积分中值定理，存在，使，
从而证出 []
使，由于，
.
3.【√】，因为，，故 .
4.【√】，是奇函数，则也是奇函数，令， .
5.【】, 是无穷间断点且积分发散.
6.【】，不一定存在.
7.【】，函数在其每个有定义的区间上不一定有界的，区间也不一定是闭区间，故不能保证可积.
8.【√】，令 .
9.【√】，是奇函数.

第五章定积分(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】高等数学练习题第五章定积分系专业班姓名学号第一节定积分的概念与性质一、选择题： 1、1lim n n →∞+ ⎪⎝⎭=[ B ]（A ）⎰212ln xdx （B ）⎰21ln 2xdx （C ）⎰+212)1(ln dx x （D ）⎰+21)1ln(2dx x2、设函数)(x f 在[b a ,]上连续，则曲线)(x f y =与直线0,,===y b x a x 所围成的平面图形的面积等于 [ C ] （A ）⎰ba dx x f )( （B ）⎰badxx f )( （C ）dx x f ba⎰)( （D ）)())((b a a b f <<-'ξξ3、设定积分⎰+=141dxxx I ，则I的值[ A ]（A ）220≤≤I （B ）151≤≤I （C ）51102≤≤I （D ）1≥I4、设⎰=401πxdxI ，⎰=402πdxx I ，⎰=403sin πxdxI ，则[ D ]（A ）321I I I >> （B ）213I I I >> （C ）231I I I >> （D ）312I I I >>二、填空题：1、利用定积分的几何意义，填写下列定积分的结果：（1）⎰-224dx x = π（2）⎰-ππxdx sin = 0（3）⎰-22cos ππxdx = 2⎰20cos πxdx （4）⎰--02)1(dx x = 4-2、利用定积分的性质，填写下列各题：（1）6≤+≤⎰412)1(dx x 51 （2）9π≤≤⎰331arctan xdx x 23π 3、利用定积分的性质，比较下列各题两各积分的大小（填写 ≤ 或≥）（1）⎰102dx x≥ ⎰103dxx（2）⎰21ln xdx ≥⎰212)(ln dx x（3）⎰10dxex≥ ⎰+10)1(dx x （4）⎰+20321πdx x ≥⎰+2032sin 1πdx x三、计算题：1、用定积分表示极限)321(lim 2222222n n nn n n n n n n ++++++++∞→ 解：原式=1102021111141lim [arctan]()nn k dx k nx nπ→+∞====++∑⎰ 2、利用定积分定义计算有抛物线21y x =+，两直线,()x a x b a b ==<及x 轴所围成的图形的面积。

微积分第五章定积分单元测试

第五章定积分单元测试一、选择题1．若24(5)10f x x x-=-，则积分40(21)f x dx +=⎰（） A ．0 B ．4πC ．是发散的广义积分D ．是收敛的广义积分 2．若已知(0)1(2)3(2)5f f f '===，，，则10(2)xf x dx ''=⎰（）A ．0B ．1C ．2D ．－2 3．设()f x 是以l 为周期的连续函数，则(1)()a k la klf x dx +++⎰之值（）A ．仅与a 有关B ．仅与a 无关C ．与a 及k 均无关D ．与a 和k 都有关 4．若0x →时，220()()()xF x x t f t dt ''=-⎰的导数与2x 是等价无穷小，则必有（）（其中f 有二阶连续导数）A ．(0)1f ''=B ．1(0)2f ''=C ．(0)0f ''=D ．(0)f ''不存在5．若221()lim1nnn x f x x x →∞-=+，且设20()f x dx k =⎰，则必有（） A ．k ＝0 B ．k ＝1 C ．k ＝－1 D ．k ＝2 6．设2sin ()sin x t xf x e tdt π+=⎰，则()f x =（）A ．正常数B ．负常数C ．恒为0D ．不是常数 7．已知()f t 是()-∞+∞，内的连续函数，则211()()x xf t dt t dt ϕ=⎰⎰恒成立时，必有()t ϕ=（）A ．2()f t B ．33()t f t C ．23()t f t D ．233()t f t8．设()f x 在[]a a -，上连续且为偶函数，0()()xx f t dt φ=⎰，则（）A ．()x φ是奇函数B ．()x φ是偶函数C ．()x φ是非奇非偶函数D ．()x φ可能是奇函数，也可能是偶函数 9．设y 是由方程2sin 0yxt e dt tdt π+=⎰⎰所确定的x 的函数，则dydx=（）A ．sin 1cos x x - B ．sin cos 1x x -+ C ．cos y y e D ．cos y ye-10．222(1)dxx -=+⎰（）A ．43-B ．43C ．23- D ．不存在 11．设636322-22sin cos (sin cos )1x M xdx N x x dx x ππππ-==++⎰⎰，，23622(sin cos )P x x x dx ππ-=-⎰则有（）A ．N P M <<B ．M P N <<C ．N M P <<D ．P M N << 12．下列广义积分发散的是（） A ．11sin dxx-⎰ B．1-⎰ C ．20x e dx +∞-⎰ D ．22ln dxx x+∞⎰13．若()f x 是具有连续导数的函数，且(0)0f =，设02()0()00x tf t dt x x x x ϕ⎧⎪ ≠=⎨⎪=⎩⎰ 则(0)ϕ'=（）A ．(0)f 'B ．1(0)3f ' C ．1 D ．1314．若设0()sin()xd f x t x dt dx =-⎰，则必有（）A ．()sin f x x =-B ．()1cos f x x =-+C ．()sin f x x = 1D ．()1sin f x x =- 15．若()x x t =是由方程2110x t t e dt +--=⎰所确定，则22t d ydx=之值为（）A ．0B ．1C ．2e D ．22e 16．设2211(1)0x x a e dx b e dx -==⎰⎰，，则（）A ．a b >B ．a b <C ．a b =D ．b e > 17．设0()()()xF x xf x t dt f x =-⎰，为连续函数，且(0)0()0f f x '=>，，则()y F x =在(0)+∞，内是（）A ．单调增加且为向上凹的B ．单调增加且为单调凸的C ．单调减少且为向上凹的D ．单调减少且为向上凸的 18．设()f x 在()-∞+∞，内连续，则（）为正确的 A ．若()f x 为偶函数，则()0aa f x dx -≠⎰ B ．若()f x 为奇函数，则0()2()aaaf x dx f x dx -≠⎰⎰C ．若()f x 为非奇非偶函数，则()0aaf x dx -≠⎰D ．若()f x 为以T 为周期的奇函数，则0()()xF x f t dt =⎰也是以T 为周期的函数19．下列式中正确的是（），其中21sin 0()00x x f x xx ⎧ ≠⎪=⎨⎪ =⎩ A ．0π=⎰B ．21xdx x +∞-∞+⎰C ．1310dxx -=⎰ D ．11()0f x dx -=⎰ 20．设()f x 连续，且1()f tx dx x =⎰，则()f x =（）A ． 2x B ．x C ． 2x D ．2x二、填空题 1．214n n →∞++=-_____________。

定积分专项习题

第五章定积分(A)1．利用定积分定义计算由抛物线12+=x y ，两直线)(,a b b x a x >==及横轴所围成的图形的面积。

2．利用定积分的几何意义，证明下列等式： ⎰=112)1x d x 41)212π=-⎰dx x⎰-=ππ0s i n )3x d x ⎰⎰-=2220cos 2cos )4πππxdx xdx3．估计下列各积分的值 ⎰331a r c t a n )1x d x x dx exx ⎰-022)24．根据定积分的性质比较下列各对积分值的大小 ⎰21ln )1xdx 与dx x ⎰212)(ln dx e x ⎰10)2与⎰+1)1(dx x5．计算下列各导数dt t dx d x ⎰+2021)1 ⎰+3241)2x x t dt dx d⎰xxdt t dx d cos sin 2)cos()3π6．计算下列极限xdt t xx ⎰→020cos lim)1 xdt t xx cos 1)sin 1ln(lim)20-+⎰→2220)1(lim)3x xt x xedt e t ⎰+→7．当x 为何值时，函数⎰-=xt dt tex I 02)(有极值？8．计算下列各积分 dx xx )1()12142⎰+dx x x )1()294+⎰⎰--21212)1()3x dx ⎰+ax a dx3022)4⎰---+211)5e x dx⎰π20sin )6dx xdx x x ⎰-π3sin sin )7⎰2)()8dx x f ，其中⎪⎩⎪⎨⎧+=2211)(x x x f11>≤x x9.设k ，l 为正整数，且l k ≠，试证下列各题：⎰-=ππ0c o s )1k x d x πππ=⎰-kxdx 2cos )2⎰-=⋅ππ0s i n c o s )3l x d x kx ⎰-=ππ0sin sin )4lxdx kx10.计算下列定积分 ⎰-πθθ03)s i n 1()1d ⎰262cos )2ππududx xx ⎰-121221)3 dx x a x a 2202)4-⎰ ⎰+31221)5xxdx dx x ⎰-2132)1(1)6⎰-2221)7x x dx ⎰--1145)8xxdx⎰-axa x d x 20223)9 dt tet ⎰-1022)10⎰-++02222)11x x dx⎰-222cos cos )12ππxdx x⎰--223c o s c o s )13ππdx x x ⎰-++2221)(cos )14xdxx x x ⎰+π2c o s 1)15dx x11.利用函数的奇偶性计算下列积分⎰-224c o s 4)1ππθθd dx xx ⎰--2121221)(arcsin )2dx x x xx ⎰-++55242312sin )312．设f （x ）在[]b a ,上连续，证明：⎰⎰-+=babadx x b a f dx x f )()(13．证明：)0(1111212>+=+⎰⎰x x dx x dx xx14．计算下列定积分⎰-10)1dx xe x⎰342sin )2ππdx x xdx xx⎰41ln )3 ⎰10arctan )4xdx x⎰202c o s )5πx d x e x dx x x ⎰π2)sin ()6⎰edx x 1)sin(ln )7 dx x ee⎰1ln )815.判定下列反常积分的收敛性，如果收敛，计算反常积分的值。

大一高等数学第五章定积分习题

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基础题目解析
总结词：计算能力
详细描述：基础题目中还包括一些简单的计算题，主要考察学生的计算能力。这些题目通常涉及定积分的计算、求导和微分等基本运算。
基础题目解析
总结词：应用能力
详细描述：基础题目中还有一些应用题，主要考察学生运用定积分解决实际问题的能力。这些题目通常涉及几何、物理等领域的实际问题，要求学生能够建立数学模型并运用定积分求解。
03 定积分的应用
平面图形的面积
直角三角形面积
定积分可用于计算直角三角形的面积，只需计算三角形的底和对应的高，然后使用公式计算面积。
矩形面积
矩形面积可以通过计算其长度和宽度，然后使用公式计算面积。
梯形面积
梯形面积可以通过计算其两个平行边和斜边，然后使用公式计算面积。
体积
圆柱体体积
大一高等数学第五章定积分习
目录
• 定积分的基本概念 • 定积分的计算方法 • 定积分的应用 • 定积分习题解析 • 总结与思考
01 定积分的基本概念
定积分的定义
积分上限函数
定积分定义为积分上限函数在积分区间上的增量。
微积分基本定理
定积分可以通过微积分基本定理计算，即通过原函数计算。
牛顿-莱布尼茨公式
对定积分习题的反思与建议
反思解题方法
反思解题思路
在解决定积分习题时，我经常采用的方法是利用微积分基本定理将定积分转换为求和的形式，然后利用函数的性质进行计算。这种方法虽然有效，但在处理复杂函数时可能会遇到困难。因此，我需要更加深入地理解定积分的概念和性质，以便更好地应用其他解题方法。
在解决定积分习题时，我有时会陷入思维僵化的状态，导致解题思路不清晰。为了避免这种情况，我需要更加注重培养自己的思维灵活性和创造性，尝试从不同的角度去思考问题。

（完整版）定积分习题及答案

第五章定积分(A 层次)1．203cos sin xdx x ；2．a dx x ax222；3．31221xxdx ；4．1145x xdx ；5．411xdx ；6．14311xdx ；7．21ln 1e xx dx ；8．02222xxdx ；9．dx x 02cos 1；10．dx x x sin 4；11．dx x 224cos 4；12．55242312sin dx xxx x ；13．342sin dx xx ；14．41ln dx xx ；15．1xarctgxdx ；16．202cosxdx e x ；17．dx x x 02sin ；18．dx x e 1ln sin ；19．243cos cos dx x x ；20．40sin 1sin dx x x ；21．dx xxx 02cos 1sin ；22．2111lndx xx x ；23．dx xx 4211；24．20sin ln xdx ；25．211dx xxdx0。

(B 层次)1．求由0cos 0x y ttdtdte 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy 。

2．当x 为何值时，函数x tdt tex I 02有极值？3．x xdt t dxd cos sin 2cos 。

4．设1,211,12xx x x xf ，求20dx x f 。

5．1lim22xdtarctgt xx 。

6．设其它,00,sin 21xx xf ，求x dt t f x。

7．设时当时当0,110,11xex xxf x，求201dx xf 。

8．2221limnn nnn。

9．求nk nknknnen e 12lim 。

10．设x f 是连续函数，且12dt t f x x f ，求x f 。

11．若2ln 261xtedt ，求x 。

12．证明：212121222dxeex。

13．已知axxx dx ex axa x 224lim，求常数a 。

定积分习题及答案

(A层次）1. 4.7. 兀f 。

2 s in x cos3 xdx ; r xdx -1✓5-4x ，e 2dx f 1 x ✓l +I n x ;10. f 一冗九x 4s in 汕；冗13. f f-�dx; 4 Sill X 冗16. f 。

2产co sx dx ;冗第五章定积分2. f 。

a x 2✓a 2—x 2dx; 5.「I✓x dx +l ；8. f -o 2 x 2 + d 2xx + 2 ; 冗11. f� 冗4c os 4xdx ;14. 17. 2f14 Jn X｀dx ;f 。

兀(xsinx)2dx ;冗19. f� ✓cosx-cos 3 xdx;20. f 。

4 smx dx · 1 + S lll . X ， 22. 4If 0 2 xln l +x dx ; l -x25. f +00dx0 (1 + x 2 XI + xa \ (B层次）23. f +oo l +x 2 dx · -oo 1 +X 4' 心(a�o )。

3. 6.9. 厂dx1 X 飞l +x2 r dx｀3 斤言-1;f。

冗✓1+ c os2xdx;3· 212 fs x sm xdx · ·-5 x 4 + 2x 2 + 1' 15. f 。

1 xa rct gxdx ; 18. {es in(lnx 雇21. 24. f 。

冗xs mx dx .1 +C OS 2X 冗f 。

2 ln sin x dx ;d y 1. 求由f 。

:e r dt+f x costd t=O所确定的隐函数对x 的导数odx 2. 当x 为何值时，函数I(x)= f x t e -t 2dt有极值？。

3.d厂cos矿t。

dx si n x(}Ix+l, x�14. 设八x )�{归，X > 1'求l。

勹(x )dx 。

2f x(a rc tg t) 2d t5. lirn 。

高等数学(同济五版)第五章定积分练习题册

42文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.第五章定积分第一节定积分的概念与性质一、填空题：在⎰+1031dx x 与⎰+141dx x 中值比较大的是．二、选择题(单选)： 1．积分中值定理⎰-=baa b f dx x f ))(()(ξ，其中：(A) ξ是[]b a ,上任一点； (B) ξ是[]b a ,上必定存在的某一点； (C) ξ是[]b a ,唯一的某点； (D) ξ是[]b a ,的中点．答：( )2．曲线xe y =与该曲线过原点的切线及y 轴所围成图形的面积值为： (A) ⎰-10)(dx ex e x ； (B)⎰-edy y y y 1)ln (ln ；(C)⎰-e xx dx xe e 1)(； (D)⎰-1)ln (ln dy y y y ．答：( )第二节微积分基本公式一、填空题： 1．=-⎰-2121211dx x．2．0)32(02=-⎰kdx xx )0(>k ，则=k ．二、选择题(单选)：若)(x f 为可导函数，且已知0)0(=f ，2)0(='f ，则2)(limxdt t f x x ⎰→(A)0； (B)1； (C)2； (D)不存在．答：( )三、试解下列各题：1．设⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1,211,1)(32x x x x x f ，求⎰20)(dx x f ．43文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.2．设⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤=ππx x x x x f ,0,00,sin 21)(，求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在),(∞+-∞上的表达式．四、设)(x f 在],[b a 上连续，且0)(>x f ，⎰⎰+=x axbt f dtdt t f x F )()()(．证明： (1)2)('≥x F ；(2)方程0)(=x f 在),(b a 内有且仅有一个根．第三节定积分的换元法和分部积分法一、填空题： 1．=-⎰-212121arcsin dx xx ．2．⎰-=++43432cos 1)arctan 1(ππdx x x ．3．{}=⎰-222,1max dx x ．4．设)(x f 是连续函数，且⎰+=1)(2)(dt t f x x f ，则=)(x f ．二、选择题(单选)：⎰>=aa dx x f x I 023)0()(，则I 为：(A)⎰20)(a dx x xf ；(B) ⎰adx x xf 0)(； (C) ⎰20)(21a dx x xf ； (D) ⎰a dx x xf 0)(21．答：( )三、试解下列各题： 1．⎰+21ln 1e xx dx．2．)0(0222⎰>-a a dx x a x ．3．设⎩⎨⎧≥<+=-0,0,1)(2x e x x x f x ，求⎰-31)2(dx x f ．五、计算下列定积分：44文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.1．⎰e xdx x 2ln ．2．⎰20cos πxdx e x ．六、已知1)(=πf ，)(x f 二阶连续可微．且3sin )]()([0=''+⎰πxdx x f x f ，求)0(f ．第四节反常积分一、填空题： 1．=⎰∞+12ln dx x x． 2．=-⎰121)1(arcsin dx x x x ．二、选择题(单选)： 1．若⎰∞+adx x f )(及⎰∞+adx x g )(均发散，则dx x g x f a⎰∞++)]()([一定：(A)收敛； (B)发散； (C)敛散性不能确定．答：( )2．若⎰∞-a dx x f )(发散，⎰∞+adx x f )(发散，则⎰∞+∞-dx x f )(一定：(A)收敛； (B)发散； (C)敛散性不能确定．答：( )三、判别下列各反常积分的敛散性，如果收敛，则计算反常积分的值： 1．⎰-202)1(x dx．2．⎰∞++0)1(1dx xx ．四、利用递推公式计算反常积分⎰∞+-=dx e x I x n n (n 为自然数)．第五章自测题一、填空题(每小题5分，共20分)：1．a ，b 为正常数，且1sin 1lim20=+-⎰→x x dt ta t x bx ，则=a ，=b ． 2．=-⎰201dx x ．45文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.3．=+⎰-ππdx xxx 21cos ． 4．=⎰→xdt t x x 020cos lim．二、选择题(单选)(每小题5分，共10分)： 1．⎰-x dt t dxd sin 021等于： (A) x cos ； (B) x x cos cos ； (C) x 2cos -； (D) x cos ．答：( )2．设)(x f 连续，则⎰+ba dy y x f dxd )(等于： (A)⎰+'bady y x f )(；(B) )()(a x f b x f +-+；(C) )(a x f +；(D) )(b x f +．答：( )三、试解下列各题(每小题10分，共40分)： 1．⎰-21224dx x x ． 2．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+=0,110,11)(x e x xx f x，求⎰-20)1(dx x f ．3．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤<=πππx x x x f 2,02,cos )(，求dt t f x F ⎰-=ππ)()(在],[ππ-上的表达式．4．求位于曲线21xy =)1(≥x 的下方，x 轴上方的图形的面积．四、试解下列各题(每小题15分，共30分)： 1．设)(x f 在],[b a 上连续，证明⎰⎰-+-=badx x a b a f a b dx x f 1])([)()(．2．证明：⎰⎰-=aaadx x dx x 022)(2)(ϕϕ，其中)(u ϕ为连续函数．。

定积分练习参考答案

第五章定积分一．判断题 1.定积分的定义=⎰badx x f )(ini ix x f i ∆∑=→∆)(10lim ξ说明[]b a ,可任意分法，iξ必须是[]i i x x ,1-的端点．（ ⨯ ） 2.定积分的几何意义是相应各曲边梯形的面积之和．（ ⨯ ） 3.xdx x xdx x 2sin 22sin 022⎰⎰=-πππ（ ⨯ ） 4. 定积分的值是一个确定的常数.（ √ ）5 若(),()f x g x 均可积，且()()f x g x <，则()()bbaaf x dxg x dx <⎰⎰ （ ⨯ ）6. 若()f x 在[],a b 上连续，且2()0baf x dx =⎰，则在[],a b 上()0f x ≡ （ √ ）7.若[][],,c d a b ⊂，则()()db caf x dx f x dx <⎰⎰ （ ⨯ ）8. 若()f x 在[],a b 上可积，则()f x 在[],a b 上有界（ √ ）9. 21111112-=-=--⎰xdx x ( × )10. ⎰⎰==+ππ20200cos 22cos 1xdx dx x ( × )11.()()1ln 2ln ln 11212---==----⎰x dx x ( × ) 12. 若被积函数是连续的奇函数，积分区间关于原点对称，则定积分值必为零。

( √ )二．选择题1.下列等式中正确的是(B )(A) ()()x f dx x f dx d ba =⎰ (B) ()()x f dx x f dxd =⎰ (C)()()()xa d f x dx f x f a dx=-⎰ (D) ()()x f dx x f ='⎰ 2.已知()dt t x f x⎰+=222,则()='1f ( A )(A)3- (B)36- (C)3 (D)63- 3.设函数()dt t y x⎰-=1,则y 有( B )(A) 极小值21 (B) 极小值21- (C) 极大值21(D)极大值21- 4.设b a ,为常数,若1sin 1lim 02220=+-⎰→dt ta t x bx x x ,则( B )(A)1,4==b a (B) 1,2==b a (C)0,4==b a (D)1,2==b a 5．1-=⎰（ B ）； A ．3π B ．23π C ．43π D ．53π6．524x dx -=⎰（ C ）； A ．11 B ．12 C ．13 D ．14 7．设()f x '连续，则变上限积分()xa f t dt ⎰是（ C ）；A ．()f x '的一个原函数B ．()f x '的全体原函数C ．()f x 的一个原函数D ．()f x 的全体原函数8．设函数()f x 在[,]a b 上连续，则由曲线()y f x =与直线,,0x a x b y ===所围平面图形的面积为（ C ）；A ．()ba f x dx ⎰ B ．()baf x dx ⎰C ．()baf x dx ⎰D ．()(),f b a a b εε-<<9．定积分()baf x dx ⎰是（ A ）； A 、一个常数 B 、()f x 的的一个原函数 C 、一个函数族 D 、一个非负常数10．下列命题中正确的是（ D ）（其中()f x ，()g x 均为连续函数）。

第五章定积分典型例题及习题答案

二、证明不等式:
1
1
2 6 1 x 三、求下列函数的导数： 3 x dt 1、 F ( x ) x 2 ; 4 1 t
0 n

2
dx

,
(n 2) .
2.、由方程 0 e dt
t
2
y

x
2
sin t t
0
dt 1 ，确定 y 为 x 的
函数，求
0
1 2

2
dx

测验题
一、选择题： n n n 2 2 ( 1、 lim 2 2 2 n n 1 n 2 n n 1 0；（ A）（ B）； 2 （ C）；（ D） . 4 2 d x 2 ln( t 1 ) dt =（ 2、） 0 dx 2 2 （ A） ln( x 1 ) ；（ B） ln( t 1 ) ； 2 2 （ C） 2 x ln( x 1 ) ；（ D） 2 t ln( t 1 ) .
ln 2 .
1
例5
求 [
2 1 2
sin x x 1
8
1

ln (1 x ) ]dx .
2
解
原式 0

2 1 2
ln( 1 x ) dx
1

0

1 ln( 1 x )dx 2

2
ln( 1 x )dx
0

3 2
ln
3
ln . 2 2
1
例6
求 min{
1 1 x , x 0 2 8、设 f ( x ) ，则定积分 f ( x 1 ) dx 0 1 , x0 1 e x =（） 1 2 2 ln( 1 e ) ln 3 ；（ A ） 1 ln( 1 ) ；（ B） e 1 1 （ C ） 1 ln( 1 ) ln 2 ; （ D） 1 ln( 1 ) . e e

5答案定积分的计算

第五章定积分的计算测试题一、选择题（7×4分）1．下列等式哪个不正确-----------------------------（ C ）A ⎰⎰=ba ba dt t f dx x f )()( B ⎰=xa x f dt t f dxd )()(C ⎰=b a x f dx x f dx d )()(D ⎰=ba dx x f dxd 0)( 2．设)(x f 是],[a a -上的连续函数，则⎰-=aa dx x f )(--------------（ D ） A 0 B ⎰adx x f 0)(2 C ⎰-0)(2a dx x f D⎰⎰-+00)()(aadx x f dx x f3．设⎰=202sin )(x dt t x F ，则=')(x F --------------------------（ C ） A 22sin x x B 2sin 2x x C 4sin 2x x D42sin x x4．⎰=-30|1|dx x --25---------------------------------------------------（ C ） A 0 B 1 C25D 25．⎰--=22cos 2xdx e x ----------------------------（ B ） A 0 B ⎰-20cos 22xdx ex C ⎰-1cos 42xdx ex D⎰-20cos 22xdx e x*6．下列反常积分中发散的是------------------------------------（ B ） Adx x ⎰+∞1231B dx x ⎰1231C ⎰1321dx xDdx x⎰117．=⎰eedx xx f 1)(ln ----------------------------------------------（ C ）A⎰eedt t f 1)( B⎰-11)(dt tt f C ⎰-11)(dt t f D⎰eedt tt f 1)( 二、填空题（3×4分）1．设⎰=xx x dt t f 0cos )(，则=)(x f x s i n x x c o s - 2．⎰-=11||3dx e x x _0___ 3．⎰∞+=+0241dx x4221210ππ==∞+x a r c t a n 三、计算题（4×7分）1．⎰-πθθθ03sin sin d x sin d x sin x sin d x sin dx x cos x sin ⎰⎰⎰-==ππππ2200=-202332π)x (sin ππ223)(sin 32x=34)10(3201(32=---） 2．⎰++4122dx x x解：令 tdt dx t x t x =-==+),1(21,1222dt t tdt t t dx x x )2321(2)1(211222313124+=+-=++⎰⎰⎰313231)2361()2321(t t dt t +=+=⎰ 3173626)2361()29627(=+=+-+= 3．⎰10arctan xdx x 解：dx x x x x dx x xdx x ⎰⎰⎰+-==221022101121arctan 21.arctan 21arctan dx xx x x ⎰+-=22102121arctan 21dx x x ⎰+-+-=102211)1(211arctan 21 10)arctan (218x x --=π214)41(218-=--=πππ 4．dx x x⎰+∞12ln 解：dx xx ⎰+∞12ln dx x x x x xd ⎰⎰∞+∞++∞+-=-=12111ln 1)1(ln 1=四、（8分）设⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=-0,0,1)(2x e x x x f x ，求⎰-31.)2(dx x f解： [][]1,13,12-∈⇒∈==-t x dtdx t x⎰⎰⎰⎰--+==-0113111)()()()2(dt t f dt t f dt t f dx x f⎰⎰--++=01102)1(dx e dt x x{10013)31(x e x x ---+=1137)1()311(0---=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=e e 五、求证：⎰⎰+=+202cos sin cos cos sin sin ππdx xx x x x xdx ，并求出⎰+20cos sin sin πdx x x x 的值。

第5章定积分习题 5- (1)

第五章
第一节
定积分
定积分的概念及性质
习题 5-1
1.
利用定积分的定义计算由曲线 y = x 2 + 1 和直线 x = 1 、 x = 3 及 x 轴所围成
的图形的面积. 解所求的面积为
S = ∫ ( x 2 + 1)dx = lim ∑ f (ξi )Δxi
1
3
n
λ →0
i =1
= lim ∑ (ξi2 + 1)
∫0
1 x
e dx = lim ∑ f (ξi )Δxi = lim ∑ eξi Δxi
λ →0
i =1
n
n
λ →0
i =1
= lim ∑ e n ⋅
n →∞ i =1
n
i
1 n
1 2
i 1 （其中 ξi = , Δxi = ） n n
n
n 1 = lim ∑ (e n + e n + L + e n ) n →∞ i =1 n
c2 c1
a
c2
矛盾, 于是 f (ξ ) > 0 不成立, 得证. (2)
b
因为在 [ a, b] 上, f ( x) ≥ 0 , 所以 ∫ f ( x)dx ≥ 0 , 亦即或者 ∫ f ( x)dx > 0, 或
b b a a b a
者 ∫ f ( x)dx = 0 . 若 ∫ f ( x)dx = 0 , 则由(1) 的证明知 f ( x) ≡ 0, 但这与条件 f ( x) ≠ 0
5
反证法. 设 ∃ξ ∈ [a, b] 使 f (ξ ) > 0 , 因为 f ( x) 在 [ a, b] 连续, 所以由极限的局部保号性定理 , 必有含有 ξ 的区间 [c1 , c2 ] 存在 , 使得 [c1 , c2 ] 上 f ( x) > 0 , 从而 ∫ f ( x)dx > 0 .

高等数学(同济五版)第五章定积分练习题册---精品管理资料

第五章定积分第一节定积分的概念与性质一、填空题: 在⎰+1031dx x 与⎰+141dx x 中值比较大的是．二、选择题(单选)： 1．积分中值定理⎰-=baa b f dx x f ))(()(ξ,其中:(A ） ξ是[]b a ,上任一点； (B ） ξ是[]b a ,上必定存在的某一点； (C) ξ是[]b a ,唯一的某点；（D ） ξ是[]b a ,的中点．答：（）2．曲线x e y =与该曲线过原点的切线及y 轴所围成图形的面积值为：（A ） ⎰-10)(dx ex e x；（B)⎰-edy y y y 1)ln (ln ；(C ）⎰-e x x dx xe e 1)(； (D)⎰-10)ln (ln dy y y y ．答：( )第二节微积分基本公式一、填空题: 1．=-⎰-2121211dx x．2．0)32(02=-⎰kdx x x )0(>k ，则=k ．二、选择题（单选)：若)(x f 为可导函数，且已知0)0(=f ，2)0(='f ，则2)(limxdt t f x x ⎰→（A ）0； (B ）1；（C)2；（D ）不存在．答：( )三、试解下列各题：1．设⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1,211,1)(32x x x x x f ，求⎰20)(dx x f ．2．设⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤=ππx x x x x f ,0,00,sin 21)(，求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在),(∞+-∞上的表达式．四、设)(x f 在],[b a 上连续，且0)(>x f ，⎰⎰+=x axbt f dtdt t f x F )()()(．证明: (1)2)('≥x F ；(2）方程0)(=x f 在),(b a 内有且仅有一个根．第三节定积分的换元法和分部积分法一、填空题： 1．=-⎰-212121arcsin dx xx ．2．⎰-=++43432cos 1)arctan 1(ππdx x x ．3．{}=⎰-222,1max dx x ．4．设)(x f 是连续函数,且⎰+=1)(2)(dt t f x x f ,则=)(x f ．二、选择题(单选):⎰>=aa dx x f x I 023)0()(,则I 为：（A ）⎰20)(a dx x xf ；（B) ⎰adx x xf 0)(； (C) ⎰20)(21a dx x xf ；（D) ⎰a dx x xf 0)(21．答:（ )三、试解下列各题: 1．⎰+21ln 1e xx dx．2．)0(0222⎰>-a a dx x a x ．3．设⎩⎨⎧≥<+=-0,0,1)(2x e x x x f x ，求⎰-31)2(dx x f ．五、计算下列定积分： 1．⎰e xdx x 2ln ．2．⎰20cos πxdx e x ．六、已知1)(=πf ,)(x f 二阶连续可微．且3sin )]()([0=''+⎰πxdx x f x f ，求)0(f ．第四节反常积分一、填空题： 1．=⎰∞+12ln dx x x． 2．=-⎰121)1(arcsin dx x x x．二、选择题(单选)： 1．若⎰∞+adx x f )(及⎰∞+adx x g )(均发散，则dx x g x f a⎰∞++)]()([一定:（A ）收敛； (B)发散；（C ）敛散性不能确定．答：( )2．若⎰∞-a dx x f )(发散，⎰∞+adx x f )(发散,则⎰∞+∞-dx x f )(一定：(A)收敛； (B ）发散; (C)敛散性不能确定．答:（）三、判别下列各反常积分的敛散性，如果收敛，则计算反常积分的值： 1．⎰-202)1(x dx．2．⎰∞++0)1(1dx xx ．四、利用递推公式计算反常积分⎰∞+-=0dx e x I x n n （n 为自然数)．第五章自测题一、填空题(每小题5分，共20分)：1．a ，b 为正常数，且1sin 1lim 020=+-⎰→x x dt ta t x bx ，则=a ，=b ．2．=-⎰201dx x ．3．=+⎰-ππdx x xx 21cos ．4．=⎰→xdt t x x 020cos lim．二、选择题(单选)(每小题5分，共10分)： 1．⎰-x dt t dxd sin 021等于:(A) x cos ； (B ） x x cos cos ；（C) x 2cos -; （D ） x cos ．答:( )2．设)(x f 连续，则⎰+ba dy y x f dxd )(等于: (A)⎰+'bady y x f )(;（B ） )()(a x f b x f +-+；（C ） )(a x f +;（D) )(b x f +．答：（ )三、试解下列各题（每小题10分，共40分)： 1．⎰-21224dx x x ．2．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+=0,110,11)(x ex xx f x ，求⎰-20)1(dx x f ．3．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤<=πππx x x x f 2,02,cos )(，求dt t f x F ⎰-=ππ)()(在],[ππ-上的表达式．4．求位于曲线21x y =)1(≥x 的下方，x 轴上方的图形的面积．四、试解下列各题（每小题15分,共30分)： 1．设)(x f 在],[b a 上连续，证明⎰⎰-+-=badx x a b a f a b dx x f 1])([)()(．2．证明：⎰⎰-=aaadx x dx x 022)(2)(ϕϕ,其中)(u ϕ为连续函数．。