高三数学寒假作业专题13直线与圆(背)
2013届高三理科数学寒假作业(17)《直线与圆》
高三数学寒假作业（十七）直线与圆一、选择题1.(2012·陕西高考)已知圆C:x 2+y 2-4x=0,l 是过点P(3，0)的直线，则( )(A)l 与C 相交 (B)l 与C 相切 (C)l 与C 相离 (D)以上三个选项均有可能2.已知直线y=kx 与圆x 2+y 2=3相交于M,N 两点，则|MN|等于( )3.已知一个圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上，则该圆的标准方程是( )(A)(x ＋2)2＋(y －3)2＝13 (B)(x ＋2)2＋(y －3)2＝52(C)(x －2)2＋(y ＋3)2＝52 (D)(x －2)2＋(y ＋3)2＝134.直线l ：x=my+2与圆M ：x 2+2x+y 2+2y=0相切，则m 的值为( )(A)1或-6 (B)1或-7 (C)-1或7 (D)1或-175.已知圆x 2+y 2-4x-4y+4=0的弦 AB 过点(1,1)，则AB 的最短长度为( )(A)1 -16.直线y=kx+3与圆(x-3)2+(y-2)2=4相交于M ，N 两点，若|MN|≥，则k 的取值范围是( )(A)［-34,0］ (B)(-∞,-34］∪［0,+∞) (C)［］ (D)［-23,0］ 二、填空题7.(2012·济宁模拟)若圆x 2+y 2=4与圆x 2+y 2+2ax-6=0(a ＞0)的公共弦的长为,则a=______.8.(2012·日照模拟)已知直线y=x+a 与圆x 2+y 2=4交于A,B 两点，且OA OB ∙=0,其中O 为坐标原点，则正实数a 的值为______.9.过点M(12,1)的直线l 与圆C ：(x-1)2+y 2=4交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为____________．三、解答题10.已知定点M(0,2)，N(-2,0),直线l :kx-y-2k+2=0(k 为常数).(1)若点M,N 到直线l 的距离相等，求实数k 的值；(2)对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，求实数k 的取值范围.11.(2012·宝鸡模拟)如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，点T(-1,1)在AD边所在直线上.(1)求AD边所在直线的方程；(2)求矩形ABCD外接圆的方程；(3)若动圆P过点N(-2，0)，且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程.12.已知圆O：x2+y2=4,圆O与x轴交于A，B两点，过点B的圆的切线为l,P是圆上异于A，B的一点，PH垂直于x轴，垂足为H，E是PH的中点，延长AP，AE分别交l于F，C.(1)若点P(1)，求以FB为直径的圆的方程，并判断P是否在圆上；(2)当P在圆上运动时，证明：直线PC恒与圆O相切.高三数学寒假作业（十七）1.A.2.D.3.D.4.B.5.D.6. A.7. 18. 29. 2x-4y+3=0【解析】要∠ACB 最小,即要使∠ACB 所对的边最短,即要过M 点的弦长最短,过M 点的弦长最短就是：先作直线MC,再作出过M 点与MC 垂直的直线,那么这条直线就是过M 点弦长最短的线,那条直线就是要求的l . ∵MC 10k 2112-==--，∴k 1=12，∴所求直线方程为y-1=12(x-12)，即2x-4y+3=0. 10.【解析】(1)∵点M,N 到直线l 的距离相等，∴l ∥MN 或l 过MN 的中点.∵M(0,2),N(-2,0)，∴k MN =1，MN 的中点坐标为C(-1,1).又∵直线l :kx-y-2k+2=0过点D(2,2), 当l ∥MN 时，k=k MN =1,当l 过MN 的中点时，k=k CD =13,综上可知：k 的值为1或13. (2)∵对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，∴l 与以MN 为直径的圆相离，即圆心到直线l 的距离大于半径，， 解得：k ＜-17或k ＞1. 11.【解析】(1)因为AB 边所在直线的方程为x-3y-6=0，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为-3.又因为点T(-1，1)在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为y-1=-3(x+1).3x+y+2=0.(2)由x 3y 603x y 20--=⎧⎨++=⎩，，解得点A 的坐标为(0,-2)，因为矩形ABCD 两条对角线的交点为M(2，0).所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心. 又=.从而矩形ABCD 外接圆的方程为(x-2)2+y 2=8.(3)因为动圆P 过点N ，所以|PN|是该圆的半径，又因为动圆P与圆M 外切，所以，即.故点P的轨迹是以M ，N 为焦点，实轴长为.因为实半轴长半焦距c=2.所以虚半轴长. 从而动圆P 的圆心的轨迹方程为22x y 1(x 22-=≤.12.【解析】(1)由P(1)，A(-2，0)，∴直线AP 的方程为),令x=2,得F(2).由E(1)，A(-2，0),则直线AE 的方程为(x+2),令x=2,得C(2∴C 为线段FB 的中点，以FB 为直径的圆恰以C 为圆心，所以，所求圆的方程为(x-2)2)2=43，且P 在圆上. (2)设P(x 0,y 0),则E(x 0,0y 2),直线AE 的方程为()()00y y x 22x 2=++, 在此方程中令x=2,得C(2，002y x 2+). 直线PC 的斜率k PC =000000002200002y y 2x x y x y x ,2x 4x y y -+=-=-=--- 若x 0=0，则此时PC 与y 轴垂直，即PC ⊥OP ，若x 0≠0，则此时直线OP 的斜率为k OP =00y x , ∴k PC ·k OP =-0000x y y x ∙ =-1,即PC ⊥OP.则直线PC 与圆O 相切.。
高中数学 直线与圆-2021届高三 复习 带答案)
专题十六 直线与圆一、单选题1．（2021·西安市航天城第一中学高一期末）圆22:(2)4C x y -+=与直线40x y --=相交所得弦长为（ ）A ．1BC ．2D ．【答案】D 【分析】利用垂径定理可求弦长. 【详解】圆22:(2)4C x y -+=的圆心坐标为()20，，半径为2，圆心到直线40x y --=的距离为d ==，故弦长为：= 故选：D.2．（2021·西安市航天城第一中学高一期末）过点（5，2），且在y 轴上的截距是在x 轴上截距2倍的直线方程是（ ） A ．2120x y +-= B ．2120x y +-=或250x y -= C ．210x y --= D ．210x y --=或250x y -=【答案】B 【分析】根据截距是否为零分类讨论后可求直线方程. 【详解】若截距为零，则直线过原点，故此时直线方程为25y x =即250x y -=， 若截距不为零，设直线方程为：12x ya a +=，代入点()5,2可得：5212a a+=， 故6a =，故直线方程为2120x y +-=，故选：B.3．（2021·江西上高二中高二期末（理））已知圆C 与直线0x y +=及40x y +-=都相切，圆心在直线0x y -=，则圆C 的方程为（ ）A ．()()22112x y ++-= B ．()()22112x y -++= C ．()()22112x y -+-= D ．()()22112x y +++=【答案】C 【分析】由直线0x y +=与40x y +-=间的距离为圆C 直径，题设三条直线的交点组成的线段的中点为圆心，进而得出方程. 【详解】由题意可知直线0x y +=与直线40x y +-=平行，且两直线都与直线0x y -=垂直由此可得圆C 的直径为两直线0x y +=与40x y +-=间的距离，题设三条直线的交点组成的线段的中点为圆心d r ===由00x y x y -=⎧⎨+=⎩，040x y x y -=⎧⎨+-=⎩解得00x y =⎧⎨=⎩，22x y =⎧⎨=⎩ 即圆心坐标为0202,=(1,1)22++⎛⎫⎪⎝⎭即圆C 的方程为()()22112x y -+-= 故选：C 【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于看出直线0x y +=与直线40x y +-=平行，进而由两直线的距离得出半径.4．（2021·江苏南通市·高三期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：()2214x y -+=，若直线l ：0x y m ++=上有且只有一个点P 满足：过点P 作圆C 的两条切线PM ，PN ，切点分别为M ，N ，且使得四边形PMCN 为正方形，则正实数m 的值为（ ）A ．1B ．C ．3D ．7【答案】C 【分析】根据四边形PMCN 为正方形可得=PC C 到直线l 的距离为. 【详解】由()2214x y -+=可知圆心(1,0)C ，半径为2，因为四边形PMCN 为正方形，且边长为圆C 的半径2，所以=PC所以直线l ：0x y m ++=上有且只有一个点P ，使得=PC PC ⊥l ，所以圆心C 到直线l 的距离为=3m =或5m =-（舍）. 故选：C 【点睛】关键点点睛：将题意转化为圆心C 到直线l 的距离为.5．（2021·重庆高二期末）已知圆2123:C x y +=和圆()()222:1312C x y ++-=，那么这两个圆的位置关系是（ ） A ．相离 B ．外切 C ．相交 D ．内切【答案】C 【分析】利用两圆圆心距离与两半径关系判断圆与圆的位置关系可得答案. 【详解】由已知的()()12120,0,1,3,C C r r -==所以2112r r r r =+=-12C C == 所以211212r r C C r r <<+-，故两圆相交. 故选：C.【点睛】结论点睛：此题考查了圆与圆的位置关系，以及两点间的距离公式．圆与圆位置关系的判定常用方法为：0d R r ≤<-时，两圆内含；d R r =-时，两圆内切；R r d R r -<<+时，两圆相交；d R r =+时，两圆外切；d R r >+时，两圆相离（d 为两圆心间的距离，R 和r 分别为两圆的半径）． 6．（2021·广东清远市·高二期末）已知P 为直线l ：60x y -+=上一个定点，M ，N 为圆C ：224210x y y ++-=上两个不同的动点.若MPN ∠的最大值为60，则点P 的横坐标为（ ）A ．4-B ．3-±C ．4-D ．3-±【答案】A 【分析】首先分析出当PM ，PN 分别为圆C 的切线时，MPN ∠最大，过圆心C 作直线l 的垂线，垂足即为MPN ∠取得最大值时的点P ，可得30MPC ∠=，在Rt PMC 中，可得10PC =，设()00,P x y 可列方程，结合点P 满足直线l 的方程，即可求P 的坐标.【详解】由圆C ：224210x y y ++-=可得22(2)25x y ++=， 所以圆心为()0,2C -，半径=5r .因为点C 到l 的距离5d =>，所以l 与圆C 相离，由图知当PM ，PN 分别为圆C 的切线时，MPN ∠最大， 若MPN ∠最大，则MPC ∠最大，因为5sin MC MPC PC PC∠==， 所以PC 最小时，MPC ∠最大，当PC l ⊥时，PC 最小，MPC ∠最大，则MPN ∠最大， 因为此时60MPN ∠=，所以30MPC ∠=， 在Rt PMC 中，210PC MC ==， 设()00,P x y ，则0060x y -+=①，10PC ==②，由0060x y -+=可得006y x =+代入②可得：2008180x x +-=解得：4x =-. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是分析出PC l ⊥时，且PM ，PN 分别为圆C 的切线时MPN ∠最大，设()00,P x y 列方程，可求点P 的坐标.7．（2021·浙江温州市·高二期末）已知直线1:0()l kx y k R +=∈与直线2:220l x ky k -+-=相交于点A ，点B 是直线30x y --=的动点，()0,1C ，则BA BC +的最小值为（ ）A ．B ．C ．7D ．5【答案】D 【分析】由题意可知点A 为圆22(1)(1)2x y -+-=上的点，由于,A C 两点在直线30x y --=的同侧，所以求出点C 关于直线30x y --=的对称点为(,)D m n ，则BA BC BA BD =++，然后利用两点间线段最短可得答案 【详解】解：由1:0()l kx y k R +=∈，得yk x=-，由2:220l x ky k -+-=，得22x k y -=-，所以22x yy x-=--，化简得22(1)(1)2x y -+-=， 所以点A 为圆22(1)(1)2x y -+-=上的点， 设点C 关于直线30x y --=的对称点为(,)D m n ，则1113022n mm n -⎧=-⎪⎪⎨+⎪--=⎪⎩，解得43m n =⎧⎨=-⎩，即(4,3)D -因为CB DB =，所以当点,,A B D 共线，且过点(1,1)时，BA BC +取最小值， 所以BA BC +5=故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与圆的应用，考查距离问题，解题的关键是求出点C 关于直线30x y --=的对称点为(,)D m n ，将BA BC +的最小值转化为BA BD +的最小值，属于中档题 8．（2021·陕西咸阳市·高三一模（理））已知M经过坐标原点，半径r =2y x =+相切，则M 的方程为（ ）．A ．22(1)(1)2x y +++=或22(1)(1)2x y -+-=B ．22(1)(1)2x y ++-=或22(1)(1)2x y -++=C ．22(1)(1)2x y -++=或22(2x y += D ．22(1)(1)2x y -++=或22(2x y += 【答案】A 【分析】设圆心坐标为(,)a b ，利用圆M 过坐标原点，且与直线2y x =+相切，求出,a b ，即可求出圆M 的方程. 【详解】设圆心坐标为(,)a b，半径r =因为圆M 过坐标原点，且与直线2y x =+相切，==所以1a b ==±，即圆心为()1,1或()1,1--，圆M 的方程为：22(1)(1)2x y -+-=或22(1)(1)2x y +++=， 故选：A. 【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．9．（2021·宁夏吴忠市·高三一模（理））已知直线:40()l kx y k ++=∈R 是圆22:6290C x y x y +-++=的对称轴，过点()1,P k 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则三角形P AB 的面积等于（ ）A B ．2C ．4D ．4【答案】D 【分析】由直线过圆心求出k ，由勾股定理求得切线长，利用切线与过切点的半径垂直求得切线夹角，从而可得三角形面积． 【详解】因为直线40kx y ++=是圆22:6290C x y x y +-++=的对称轴， 所以直线40kx y ++=过圆心()3,1C -，即3140k -+=，1k =-， 所以点()1,1P -，2PC =，因为圆C 的半径1r =，所以切线长PA PB ===，且在直角三角形中1sin sin 2r APC BPC PC ∠=∠==， 所以30APC BPC ∠=∠=︒，60APB ∠=︒，所以三角形P AB 的面积1sin 24S PA PB APB =⨯∠=， 故选：D ．10．（2021·四川凉山彝族自治州·高二期末（文））已知圆221:1C x y +=和圆()()2222:20C x y r r +-=>，若圆1C 和2C 有公共点，则r 的取值范围是（ ） A ．(]0,1 B ．(]0,3C ．[]1,3D ．[)1,+∞【答案】C 【分析】由题意可得出1211r C C r -≤≤+，进而可求得r 的取值范围. 【详解】由题意可知，圆1C 的圆心为()10,0C ，半径为1，圆2C 的圆心为()20,2C ，半径为r ， 所以，122C C =，由于两圆有公共点，则1211r C C r -≤≤+，即1210r r r ⎧-≤≤+⎨>⎩，解得13r ≤≤.故选：C.11．（2021·四川凉山彝族自治州·高二期末（文））已知P 是直线210x y +-=上的一个动点，定点()1,2M -，Q 是线段PM 延长线上的一点，且PM MQ =，则Q 点的轨迹方程是（ ）A ．210x y ++=B ．210x y -+=C ．270x y ++=D ．270x y -+=【答案】C 【分析】设点(),Q x y ，根据已知条件可知点M 为线段PQ 的中点，求出点P 的坐标，代入直线210x y +-=的方程即可得出Q 点的轨迹方程. 【详解】设点(),Q x y 、()00,P x y ，由题意可知，点M 为线段PQ 的中点，所以，001222x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，可得0024x x y y =-⎧⎨=--⎩，由于点P 在直线210x y +-=上，则00210x y +-=，所以，()()22410x y -+---=， 化简可得270x y ++=. 故选：C. 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程； （3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.12．（2021·山东聊城市·高二期末）已知圆()()()221:80C x a y a a -+-=>与圆222:220C x y x y +--=没有公共点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()0,2 B ．()4,+∞C ．()()0,24,+∞D ．()()()0,10,24,⋃⋃+∞【答案】C 【分析】由题意判断两圆的位置关系为外离或者内含，根据圆与圆的位置关系列出不等式求解即可. 【详解】圆1C 的圆心为()11,,C a a r =，圆2C 的圆心为()21,1C ，半径2r =圆心距12|1|d C C a ===-因为两圆没有公共点，所以两圆的位置关系为外离或者内含则12d r r >+或12d r r <-1|a ->1|a -<解得02a <<或4a > 故选：C【点睛】关键点睛：解决本题的关键是由题意判断两圆的位置关系，再由圆与圆的位置关系得出参数的范围.13．（2021·四川凉山彝族自治州·高二期末（理））已知(1,0)A -，(1,0)B 和圆222:(2)(0)C x y r r +-=>，若圆C 上存在点P 满足0PA PB ⋅=，则r 的取值范围是（ ） A ．(0,1] B ．(0,3]C ．[1,3]D ．[1,]+∞【答案】C 【分析】求得以AB 为直径的圆O 的圆心和半径，根据圆O 与圆C 有公共点列不等式，解不等式求得r 的取值范围. 【详解】由于圆C 上存在点P ，满足0PA PB ⋅=，故以AB 为直径的圆O 与圆C 有公共点，圆O 的圆心为()0,0，半径为1，圆C 的圆心为()0,2，半径为r ，所以11r OC r -≤≤+，而2OC ==，所以121r r -≤≤+，解得13r ≤≤. 故选：C 【点睛】本小题主要考查圆与圆的位置关系，关键点是利用圆和圆的位置关系求出r 的范围，考查向量数量积为零的几何意义，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.14．（2021·河南高一期末）过点()1,1A -的直线l 的倾斜角是直线1l 10y -+=的倾斜角的2倍，则直线l 的方程是（ ）A 10y -=B 10y ++=C 330y -+=D 330y ++=【答案】B 【分析】由2l 的斜率得倾斜角，从而得直线1l 的倾斜角，得斜率后可得直线方程． 【详解】1tan k α=60α=︒，所以tan120k =︒=l 的方程是： )11y x -=+10y ++=．故选：B ．15．（2021·山东枣庄市·高二期末）已知O ：221x y +=与C ：222410x y x y +--+=，则两圆的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相离C ．外切D ．内切【答案】A 【分析】利用圆心距与半径之和、半径之差的绝对值的关系可得正确的选项. 【详解】()()22:124C x y -+-=，故CO ==3，半径之差的绝对值为1，而13<<，故两圆的位置关系是相交，故选：A.16．（2021·浙江绍兴市·高二期末）已知圆()221:2C x y m ++=与圆()222:8C x m y -+=恰有两条公切线，则实数m 的取值范围是（ ） A ．13m << B ．11m -<<C ．3m >D ．3<1m -<-或13m <<【答案】D 【分析】12C C <<. 【详解】由题可得圆1C 的圆心为()0,m -，圆2C 的圆心为()0m ,，半径为，两圆恰有两条公切线，∴两圆相交，12C C <<12C C m ==，m <<3<1m -<-或13m <<.故选：D. 【点睛】结论点睛：本题考查根据公切线条数求参数，需根据公切线条数得出圆的位置关系，若两圆有0条公切线，则两圆内含；若两圆有1条公切线，则两圆内切；若两圆有2条公切线，则两圆相交；若两圆有3条公切线，则两圆外切；若两圆有4条公切线，则两圆外离.17．（2021·河南高一期末）已知点(),x y 是曲线y =23y x --的取值范围是（ ） A ．()0,2 B ．[]0,2C ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【分析】在平面直角坐标系中作出曲线y =23y x --的几何意义是半圆上的点(,)P x y 与定点(3,2)Q 连线的斜率，由几何意义易得结论． 【详解】曲线y =2为半径的上半圆，如图，23y x --表示半圆上的点(,)P x y 与定点(3,2)Q 连线的斜率， 由图，20232QB k -==-，当0QA k =时，直线QA 与半圆相切， ∴02PQk ≤≤，即23y x --的取值范围是[0,2]．故选：B ．【点睛】方法点睛：本题考查分式的取值范围，解题方法是数形结合思想，利用分式的几何意义：23y x --可以表示动点(,)x y 与定点(3,2)连线的斜率，从而作出动点所在曲线，由几何意义易得解．18．（2021·浙江舟山市·高二期末）已知圆()()2211x y a ++-=与圆()()222416x y -+-=相切，则实数a 的取值个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】分别求出两圆的圆心坐标和半径，利用两圆外切和内切的条件可得答案. 【详解】设()()2211x y a ++-=的圆心为()11,C a -，半径11R =，()()222416x y -+-=的圆心为()22,4C ，半径24R =，当两圆外切时，有1212C C R R =+5=，解得0a =或8a =， 当两圆内切时，有1221C C R R =-3=，解得4a =， 综上所述，0a =，或8a =，或4a =. 故选：C. 【点睛】本题考查圆和圆的位置关系，其中熟记两圆的内切和外切的条件，列出相应的方程求解是解答的关键，考查了推理与运算能力，属于基础题．19．（2021·安徽池州市·高二期末（文））圆22:2C x y +=关于直线250x y -+=对称的圆的方程为（ ）A ．()()22242x y ++-= B ．()()22242x y -++= C ．()()22462x y ++-= D ．()()22462x y -++=【答案】A 【分析】设对称圆的方程为()()22+=2x a y b --，则2502ba ab ⎧=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解出即可.【详解】设对称圆的方程为()()22+=2x a y b --，则2,50,2ba ab ⎧=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得24a b =-⎧⎨=⎩，故所求圆的方程为()()222+4=2x y +-， 故选：A20．（2021·江西上饶市·高一期末）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在位置为()1,4B --，若将军从点()1,2A -处出发，河岸线所在直线方程为3x y +=.则“将军饮马“的最短总路程为（ ） ABC．D ．10【答案】C 【分析】作出图形，求出点B 关于直线3x y +=的对称点C 的坐标，在直线3x y +=上取点P ，利用A 、P 、C 三点共线时PA PB +取得最小值即可得解. 【详解】如下图所示，设点B 关于直线3x y +=的对称点为(),C a b ，由题意可得14322411a b b a --⎧+=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩，解得74a b =⎧⎨=⎩，即点()7,4C ，在直线3x y +=上取点P ，由对称性可得PB PC =，所以，PA PB PA PC AC +=+≥==当且仅当A 、P 、C 三点共线时，等号成立，因此，“将军饮马“的最短总路程为故选：C. 【点睛】思路点睛：本题考查“将军饮马”最短路径问题，求解此类问题的基本思路就是求得动点关于所在直线的对称点后，利用三角形两边之和大于第三边的特点，利用三点共线时求得最值来求解.21．（2021·河南郑州市·高一期末）阿波罗尼乌斯（Apollonius ，约前262~约前190）是古希腊时期的数学家、天文学家.师从于欧几里得，他结合前人的研究成果，在没有现代数学符号系统的支持下，以超越常人的智慧写出了经典之作《圆锥曲线论》.该书共八卷，传下来七卷，其中给出了解析几何的大部分内容的论断和证明.在其第七卷《平面轨迹》中提出：如果一个移动的点与两定点之间距离的比是常量（且不等于1），则它的轨迹是一个圆.现在已知两个定点的坐标分别为()1,0A -，()2,0B ，动点P 满足2PA PB=，则P 点轨迹方程为（ ） A ．22650x y x +-+= B ．22670x y x +-+= C ．221070x y x +-+= D ．2214503x y x +-+= 【答案】A 【分析】设(),P x y ，由两点间距离公式即可化简得出. 【详解】 设(),P x y ，2PA PB=，即2PA PB =，=22650x y x +-+=.故选：A.22．（2021·安徽池州市·高二期末（理））若圆221:2440C x y x y +---=，圆222:61020C x y x y +---=，则1C ，2C 的公切线条数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】先得圆的方程的标准形式，得到圆心和半径，得到两圆的位置关系即可得公切线的条数. 【详解】依题意，圆()()221:129C x y -+-=，圆心为()1,2，半径为3；圆()()222:3536C x y -+-=，圆心为()3,5，半径为6；因为()123,9C C ==，故圆1C ，2C 相交，有2条公切线， 故选：B.23．（2021·合肥市第六中学高二期末（文））直线230x y --=与圆22:(2)(3)9C x y -++=交于E ，F两点，则ECF △的面积为（ ）A ．32B ．34C ．5D ．【答案】D 【分析】根据圆的方程先确定圆心和半径，根据点到直线距离公式，求出圆心到直线230x y --=的距离，根据几何法求出圆的弦长，进而可到三角形的面积. 【详解】因为圆22:(2)(3)9C x y -++=的圆心为()2,3C -，半径为3r =，所以圆心()2,3C -到直线230x y --=的距离为d ==则弦长4EF ==，因此ECF △的面积为11422ECFS EF d ==⨯=. 故选：D.二、多选题24．（2021·重庆高二期末）已知直线10l y -+=，则下列结论正确的是（ ）A ．直线l 的倾斜角是6πB ．过与直线l 20y --=C ．点(到直线l 的距离是2D ．若直线:10m x +=则l m ⊥ 【答案】BC 【分析】根据条件一一判断即可得出正确选项. 【详解】A 选项：直线:10l y -+=故倾斜角是3π，A 错；B 选项： 20y --=，且过点，故B 正确；C 选项：点(到直线l 的距离2d ==，故C 正确；D 选项：直线:10m x +=的斜率为3k =11=≠-故l 与m 不垂直，D 错.故选：BC25．（2021·福建漳州市·高二期末）已知圆22:4O x y +=和圆22:4240M x y x y +--+=交于P ，Q 两点，则（ ）A ．两圆有两条公切线B ．PQ 垂直平分线段OMC ．直线PQ 的方程为240x y +-=D ．线段PQ 【答案】ACD 【分析】根据圆O 和圆M 的位置关系判断A ；数形结合可知PQ 垂直线段OM 但不平分线段OM ，圆22:4O x y +=和圆22:4240M x y x y +--+=的方程相减判断C ；先求得圆心O 到直线PQ 的距离，再利用弦长公式求解判断D. 【详解】对于A ：因为圆22:4O x y +=和圆22:4240M x y x y +--+=交于P ，Q 两点，所以两圆有两条公切线，故正确；对于B ：数形结合可知PQ 垂直线段OM 但不平分线段OM ，故错误；对于C ：圆22:4O x y +=和圆22:4240M x y x y +--+=的方程相减得：240x y +-=，所以直线PQ的方程为240x y +-=，故正确；对于D:圆心O 到直线PQ 的距离为：d ==，所以线段PQ 的长为||5PQ ===故选：ACD.26．（2021·山东临沂市·高二期末）已知圆22:4C x y +=，直线():34330l m x y m ++-+=，(R m ∈)．则下列四个命题正确的是（ ） A ．直线l 恒过定点()3,3-B ．当0m =时，圆C 上有且仅有三个点到直线l 的距离都等于1 C ．圆C 与曲线22680x y x y m +--+=恰有三条公切线，则16m =D ．当13m =时，直线l 上一个动点P 向圆C 引两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点，则直线AB 经过点164,99⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【答案】ACD 【分析】利用相交直线系方程和圆系方程可判断AD 的正误，根据圆心到直线的距离可判断B 的正误，根据两圆外切可判断C 的正误. 【详解】直线():34330l m x y m ++-+=可化为：():34330l x y m x +-++=，由343030x y x +-=⎧⎨+=⎩可得33x y =-⎧⎨=⎩，故直线l 恒过定点()3,3-，故A 正确.当0m =时，直线:3430l x y +-=，圆心到该直线的距离为003355d +-==， 因为715R d -=>，故圆C 上有且仅有四个点到直线l 的距离都等于1，故B 错. 因为圆C 与曲线22680x y x y m +--+=恰有三条公切线，故两圆外切， 故252CO ====+16m =，故C 正确.当13m =时，直线:490l x y ++=，设(),49P a a --， 则以OP 为直径的圆的方程为()()490x x a y y a -+++=， 而圆22:4C x y +=，故AB 的直线方程为()4940ax a y -+++=，整理得到()4940a x y y -+++=，由4=0940x y y -+⎧⎨+=⎩可得16949x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故直线AB 经过点164,99⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：对于含参数的直线方程，可通过化简其方程，以便于求出定点坐标，而切点弦，则需要利用圆系来求其方程，过圆外一点及两个切点的圆的方程可由直径式方程得到.第II 卷（非选择题）三、双空题27．（2021·浙江绍兴市·高三期末）已知直线10x y ++=和圆222210x y x y ++-+=相交于A ，B 两点，则该圆的圆心坐标为___________，弦长AB =___________.【答案】()1,1-【分析】将222210x y x y ++-+=化为标准方程可求出圆心的半径，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理可求出弦长 【详解】解：由222210x y x y ++-+=，得22(1)(1)1x y ++-=， 所以圆心为()1,1-，半径为1，所以圆心到直线10x y ++=的距离2d ==所以AB ===故答案为：()1,1-28．（2021·湖北宜昌市·高三期末）若一个圆的圆心是抛物线28x y =的焦点，20y --=相切，则该圆的标准方程为__________．过点()2,2P --作该圆的两条切线,PA PB ，切点分别为,A B ，则直线AB 的方程为__________．【答案】22(2)4x y +-= 220x y +-=【分析】求出圆心坐标，再利用d r =列式求解半径，即可得圆的标准方程；根据,,,F A B P 四点共圆，FP 为该圆的直径，写出该圆的方程，再与圆F 联立即可得直线AB 的方程. 【详解】由题意，圆心坐标为(0,2)F 20y --=相切，所以2222--===d r ，所以圆的标准方程为22(2)4x y +-=；因为π∠+∠=FAP FBP ，所以点,,,F A B P 四点共圆，又因为2π∠=∠=FAP FBP ，所以FP 为该圆的直径，所以圆的方程为22(1)5x y ++=，又因为22(2)4x y +-=，联立求解得220x y +-=，所以直线AB 的方程为220x y +-=. 故答案为：22(2)4x y +-=；220x y +-=.四、解答题29．（2021·安徽黄山市·高二期末（文））已知斜率为1的直线l 与圆心为1(1,0)O 的圆相切于点P ，且点P 在y 轴上.（1）求圆1O 的方程；（2）若直线l '与直线l 平行，且圆1O 上恰有四个不同点到直线l '，求直线l '纵截距的取值范围.【答案】（1）22(1)2x y -+=；（2）()2,0-. 【分析】（1）由题意可知1O P l ⊥，从而可得101t -=--，求出1t =，再由1||r O P ==.（2）设l '：y x b =+，由题意可得圆心到直线y x b =+的距离d =<，解不等式即可. 【详解】解：（1）依题意，设点P 的坐标为(0,)t .1O P l ⊥，∴101t -=--，解得1t =， 即点P 的坐标为(0,1)，从而圆1O的半径1||r O P =故所求圆1O 的方程为22(1)2x y -+=. （2）因为//l l '，设l '：y x b =+， 由圆1O 上恰有四个不同点到直线l '距离等于2， 得圆心到直线y x b =+的距离2d =<， 解得20b -<<.即直线l '纵截距的取值范围为()2,0-.30．（2021·广西河池市·高一期末）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(2)1x y -+=，M 为圆C的圆心，过原点O 的直线l 与圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 两点均不在x 轴上）． （1）若60AMB ∠=°，求直线l 的方程； （2）求ABM 面积的最大值． 【答案】（1）y =；（2）12. 【分析】（1）设直线l 的方程为y kx =，利用点到直线的距离及222112⎛⎫+= ⎪⎝⎭，化简计算即可得解； （2）根据弦长公式及三角形面积1()2S k =⨯，设21(1)t k t =+>，化简面积可得S =利用二次函数性质即可求得最值.【详解】解：由直线l 与圆C 相交于两点，直线l 的斜率必定存在，设直线l 的方程为y kx = （1）当 60AMB ∠=︒时，ABM 为等边三角形，由圆C 的半径为1，可知1AB =． 圆心(2,0)M 到直线l有222112⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得13k =± 故直线l的方程为13y x =±． （2）由圆心(2,0)M 到直线l，可得AB ==设ABM 的面积为()S k ，有1()2S k =⨯==设21(1)t k t =+>，可得21k t =-，有()S k======可得当87t =时，k=，max 1()2S k == 故ABM 面积的最大值为12． 【点睛】方法点睛：圆的弦长的常用求法（1）几何法：求圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则l =（2）代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式12|||AB x x =-.31．（2021·江西景德镇市·高一期末）已知直线1l ：20mx y m +--=，2l ：340x y n +-=. （1）求直线1l 的定点P ，并求出直线2l 的方程，使得定点P 到直线2l 的距高为85；（2）过点P 引直线l 分别交x ，y 轴正半轴于A 、B 两点，求使得AOB 面积最小时，直线l 的方程. 【答案】（1）(1,2)P ，2l ：3430x y +-=或34190x y +-=（2）240x y +-= 【分析】（1）利用直线系求出定点，根据点到直线距离求出2l ；（2）由题意直线斜率存在，设出直线方程，求出截距，表示出三角形面积，利用均值不等式求最值. 【详解】（1）由20mx y m +--=可得(1)20m x y -+-=， 所以直线1l 的定点(1,2)P ，(1,2)P 到直线2l ：340x y n +-=的距离|11|855n d -===， 解得3n =或19n =，所以直线2l ：3430x y +-=或34190x y +-= （2）由题意，设直线l ：2(1)y k x -=-， 因为直线l 分别交x ，y 轴正半轴于A 、B 两点， 所以0k <令0,20x y k ==->，20,10y x k==->，所以122(2)(1)22422AOB k S k k k =--=--≥+=△，当且仅当2k =-时等号成立， 故所求直线方程为22(1)y x -=--，即240x y +-= 【点睛】关键点点睛：直线系过定点问题，需将直线化为含参数与不含参数的部分，如(1)20m x y -+-=，可根据此形式直接写出定点；直线与坐标轴围成三角形的面积，可利用截距表示.32．（2021·四川凉山彝族自治州·高二期末（理））如图，ABC 中，顶点()1,2A ，BC 边所在直线的方程为310x y ++=，AB 边的中点D 在y 轴上.（1）求AB 边所在直线的方程；（2）若AC BC =，求AC 边所在直线的方程. 【答案】（1）10x y -+=；（2）350x y +-=. 【分析】（1）由题意可知，点B 在直线310x y ++=上，可设点()31,B a a --，根据已知条件求出a 的值，可得出点B 的坐标，进而可求得直线AB 的方程；（2）由题意可知点C 在线段AB 的中垂线上，联立线段AB 的中垂线与直线BC 的方程，求出点C 的坐标，即可求得直线AC 的方程. 【详解】（1）因点B 在直线310x y ++=上，不妨设()31,B a a --， 由题意得：()3110a --+=，即0a =，所以B 的坐标为()1,0-，AB 边所在直线的方程为121102x y --=---，即10x y -+=； （2）因AC BC =，所以点C 在线段AB 的中垂线上， 直线AB 的斜率为20111AB k -==+，线段AB 的中点坐标为()0,1， 所以，线段AB 的中垂线方程为1y x =-+，即10x y +-=，联立10310x y x y +-=⎧⎨++=⎩，得21x y =⎧⎨=-⎩，即C 的坐标为()2,1-，又点()1,2A ，AC ∴边所在直线的方程为122112x y --=---，即350x y +-=.【点睛】关键点点睛：本题考查直线方程的求解，关键就是求出相应的点的坐标，本题第（2）问要分析出点C 在线段AB 的中垂线，进而联立两直线方程求出点C 的坐标，即可得解. 33．（2021·重庆高二期末）已知圆22:8C x y +=内有一点()1,2P -，直线过点P 且和圆C 交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为α.（1）当135a =︒时，求AB 的长；（2）当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程.【答案】（1（2）250x y -+=. 【分析】（1）根据题意先求出直线l 方程10x y +-=，再求圆心到直线l 的距离2d =， 再结合垂径定理利用弦长公式即可得解；（2）根据垂径定理，弦AB 被点P 平分，则OP l ⊥，先求2OP k =-可得112k =，再利用点斜式即可得解. 【详解】（1）当135α=︒时，直线l 的方程为：()21y x -=-+即10x y +-=，圆心()0, 0到，直线l 的距离2d ==，所以||AB ==（2）当弦AB 被()1,2P -平分时，OP l ⊥， ∵2OP k =-，∴112k =， ∴直线l 的方程为：12(1)2y x -=+，即250x y -+=. 34．（2021·福建三明市·高二期末）已知圆C 经过原点()0,0O 且与直线28y x =-相切于点()4,0P . （1）求圆C 的方程；（2）在圆C 上是否存在关于直线1y x =-对称的两点,M N ，使得以线段MN 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线MN 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）()()22215x y -+-=；（2）存在，y x =-或3y x =-+.【分析】（1）设圆C 的方程为222()()(0)x a y b r r -+-=>，由题意可得222222(4)142a b r a b r b a ⎧⎪+=⎪-+=⎨⎪⎪=--⎩，解方程即可求解.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，设直线MN 的方程为y x t =-+，将直线与圆联立，消去y 整理得222(22)20x t x t t -++-=，从而可得12212Δ0122x x t t t x x ⎧⎪>⎪+=+⎨⎪-⎪=⎩，由0OM ON ⋅=，结合韦达定理即可求解.【详解】（1）设圆C 的方程为222()()(0)x a y b r r -+-=>，可得222222(4)142a b r a b r b a ⎧⎪+=⎪-+=⎨⎪⎪=--⎩解得21a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以圆C 的方程为()()22215x y -+-= （2）设()11,M x y ，()22,N x y 依题意，设直线MN 的方程为y x t =-+联立22(2)(1)5y x t x y =-+⎧⎨-+-=⎩， 消去y 整理得：222(22)20x t x t t -++-=所以12212Δ0122x x t t t x x ⎧⎪>⎪+=+⎨⎪-⎪=⎩又()()()212121212y y x t x t x x t x x t =-+-+=-++依题，以MN 为直径的圆过原点 所以0OM ON ⋅= 所以12120x x y y +=所以()2121220x x t x x t -++=所以222(1)0t t t t t --++= 所以230t t -= 所以0t =或3t = 此时，都有0∆>所以存在满足条件的直线MN ：y x =-或3y x =-+.35．（2021·广东清远市·高二期末）已知直线1l ：43100x y -+=与直线2l ：70ax by +-=垂直，且2l 经过点()1,1. （1）求2l 的方程；（2）若2l 与圆C ：2211()252x y +-=相交于A ，B 两点，求AB . 【答案】（1）3470x y +-=；（2）8. 【分析】（1）利用两直线垂直得到430a b -=及点代入直线建立方程组得解； （2）利用求得圆心到直线距离，利用勾股定理得解 【详解】 （1）依题意可得43070a b a b -=⎧⎨+-=⎩，解得3a =，4b =，故2l 的方程为3470x y +-=. （2）因为点11(0,)2C 到2l 的距离1535d ==，所以8AB ==. 【点睛】求圆的弦长，使用几何法简捷快速.36．（2021·浙江丽水市·高二期末）设圆C 的半径为r ，圆心C 是直线24y x =-与直线1y x =-的交点． （1）若圆C 过原点O ，求圆C 的方程；（2）已知点()0,3A ，若圆C 上存在点M ，使2=MA MO ，求r 的取值范围．【答案】（1）()()223213x y -+-=；（2）2⎡⎤⎣⎦.【分析】（1）联立两直线方程，可求得圆心C 的坐标，求出圆C 的半径，由此可得出圆C 的方程；（2）设点(),M x y ，由2=MA MO 可求得点M 的轨迹为圆D ，利用圆C 与圆D 有公共点可得出关于r 的不等式，由此可解得r 的取值范围． 【详解】（1）由241y x y x =-⎧⎨=-⎩，得32x y =⎧⎨=⎩，所以圆心()3,2C .又圆C 过原点O ，r OC ∴==∴圆C 的方程为：()()223213x y -+-=；（2）设(),M x y ，由2=MA MO =()2214x y ++=.∴点M 在以()0,1D -为圆心，半径为2的圆上.又点M 在圆()()222:32C x y r -+-=上，22r CD r ∴-≤≤+，即22r r -≤≤+，22r ∴≤≤. 【点睛】结论点睛：圆与圆的位置关系：设圆1C 与圆2C 的半径长分别为1r 和2r .（1）若1212C C r r <-，则圆1C 与圆2C 内含； （2）若1212C C r r =-，则圆1C 与圆2C 内切；（3）若121212r r C C r r -<<+，则圆1C 与圆2C 相交； （4）若1212C C r r =+，则圆1C 与圆2C 外切； （5）若1212C C r r >+，则圆1C 与圆2C 外离.37．（2021·山东济南市·高二期末）在①圆C 与y 轴相切，且与x 轴正半轴相交所得弦长为 ②圆C 经过点()4,1A 和()2,3B ;③圆C 与直线210x y --=相切，且与圆22:(2)1Q x y +-=相外切这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的圆C 存在，求出圆C 的方程;若问题中的圆C 不存在，说明理由． 问题:是否存在圆C ，______，且圆心C 在直线12y x =上． 注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】答案见解析. 【分析】选择①、②、③，分别用待定系数法求圆E 的方程； 【详解】选择条件①：设圆心C 的坐标为(),a b ，圆C 的半径为r 因为圆心C 在直线12y x =上，所以12b a =因为圆C 与y 轴相切，且与x 轴正半轴相交所得弦长为所以0a >，0b >，且2r a b == 由垂径定理得223r b =+解得1b =， 所以2a =，2r所以圆C 的方程为22(2)(1)4x y -+-=选择条件②：设圆心C 的坐标为(),a b ，圆C 的半径为r 因为圆心C 在直线12y x =上，所以12b a = 因为圆C 经过点()4,1A 和()2,3B ，AB 的中点()3,2M 所以AB 的中垂线方程为1y x =-联立直线12y x =解得21x y =⎧⎨=⎩即2a =，1b =，2r所以圆C 的方程为22(2)(1)4x y -+-=选择条件③：设圆心C 的坐标为(),a b ，圆C 的半径为r 因为圆心C 在直线12y x =上，所以2a b =r =，所以r =，因为圆C 与圆Q 相外切，所以||1CQ r =+1r =+可得：2145405b b --+=，因为该方程∆<0，所以方程无解 故不存在满足题意的圆C ． 【点睛】“结构不良问题”是2020年新高考出现的新题型：题目所给的三个可选择的条件是平行的，即无论选择哪个条件，都可解答题目，而且，在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分.38．（2021·黄石市有色第一中学高二期末）已知圆E 经过点(0,0)A ，(1,1)B ，从下列3个条件选取一个_______①过点(2,0)C ；②圆E 恒被直线0mx y m --=()m R ∈平分；③与y 轴相切. （1）求圆E 的方程；（2）过点(3,0)P 的直线l 与圆E 相交于A 、B 两点，求AB 中点M 的轨迹方程. 【答案】（1）()2211x y -+=；（2）()223212x y x ⎛⎫-+=<⎪⎝⎭. 【分析】（1）选择①、②、③，分别用待定系数法求圆E 的方程；（2）先分析出EM AB ⊥，M 的轨迹落在圆上，根据交点判断范围即可.。
高考数学专题13直线与圆小题精练B卷(含解析).doc
2019 年高考数学 专题 13 直线与圆小题精练 B 卷（含分析）1．已知圆的方程为 x 2 y 2 4x 2y 4 0 ，则圆的半径为（ ）A ．3B ．9C ． 3D ．3【答案】 A2．已知圆 C ： 2 y 22（ a 0 ）及直线：x y 3 0，当直线被 C 截得的x a 4 弦长为 23 时，则 a = （）A ． 2B ．22C ． 21D ． 21【答案】 Ca 21 24 ，解得 a2 1 ，又由于 a 0 ，因此 a2 1；【分析】由题意，得131 应选 C ．3．已知圆心 ，一条直径的两个端点恰幸亏两坐标轴上，则这个圆的方程是（）A ．B ．C ．D ．【答案】 B【分析】由题意可设圆的直径两头点坐标为，由圆心坐标可得，可求得，可得圆的方程为即．应选 B ．4．过点 ，且倾斜角为的直线与圆相切于点，且，则的面积是 ()A ．B ．C ．1D ．2【答案】 B【分析】在直角三角形 AOB 中 ，选 B ．5．若直线与圆有公共点,则实数的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】 C6．直线与圆订交于两点，则弦的长度等于()A．B．C．D．【答案】 B【分析】圆心到直线，的距离，由勾股定理可知，，即，应选 B．7．已知圆的圆心在直线上，且与直线平行，则的方程是（）A．B．C．D．【答案】 A【分析】设直线为，代入点得．应选A．点睛：两条直线平行的想法，斜率相等，只要要截距不一样．8．直线x ky10 （k R ）与圆 x2y 24x 2 y 2 0 的地点关系为（）A．订交B．相切 C．相离D．与 k 的值有在【答案】 A【解析】由于直线 x ky10恒过定点P1,0 ，且P1,0在圆x2y24x 2 y 2 0 内，故圆与直线x ky 1 0 的订交，应选答案A．9．曲线y＝ 1＋与直线 y＝k( x－2)＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是() A．B．(，＋∞)C．(，]D．(，]【答案】 C【分析】由题设可化为过定点的动直线与半圆 有两个交点， 如图，圆心 到直线的距离是，又 ，联合图形可知： 当 ，即 ，应选答案 C ．10．若曲线2 20(0) 与直线xyxyy k( x 2)有交点，则 k的取值范围是（）6A ． [3,0)B ． (0, 4]C ． (0,3]D ．[ 3,3]43 44 4【答案】 C考点：直线与圆的地点关系．11．若一次函数y kx b，y随x的增大而减小，当3x 1y 9 ，则它的分析时， 1式为（）A．y2x7B．y 2 x3C．y2x7或 y2x3D ．以上都不对【答案】 B【分析】试题剖析：∵一次函数y kx b ，当3 x 1y9 ，且 y 随x的增大而减小，∴时， 1当 x 3 时， y9 ；当 x 1 时， y13k b9k2，∴1，解得b．∴一次函数的解k b3析式为 y2x 3 ．应选B．考点：函数分析式．12．已知直线ax by60(a0,b0) 被圆x2y22x 4 y0 截得的弦长为 2 5 ，则 ab 的最大值是（）A．5B．4C．9D．9 22【答案】 C考点： 1．圆的一般方程化为标准方程；2．基本不等式．专题 14直线与圆1．已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，且直线与垂直，则实数的值为（）A．-2 B．-3C．-4D．-5【答案】 D【分析】∵，∴，应选D．2．设 A，B 为x轴上的两点，点 P 的横坐标为 2 且PA PB ,若直线PA的方程为x y 10 ，则直线 PB 的方程为（）A． 2 x y 7 0B．2x y 1 0C．x 2 y 4 0D．x y 50【答案】 D3．方程1 4k x 2 2k y214k0 表示的直线必经过点（）A．2,2B．2,2C．12 ,11 D ．34,225555【答案】 C【分析】方程 1 4k x 2 2k y 2 14k0 ，化为（x﹣2y+2）+k（4x+2y﹣14）=012﹣0xx 2 y 2512 ,11解 {﹣，得 {，∴直线必经过点4x 2 y 14011 5 5y5应选 C．点睛：过定点的直线系A1x＋ B1y＋C1＋λ（ A2x＋ B2y＋ C2）=0 表示经过两直线l 1∶A1x＋ B1y＋C1=0与 l 2∶A2x＋ B2y＋ C2＝ 0 交点的直线系，而这交点即为直线系所经过的定点．4．已知圆心，一条直径的两个端点恰幸亏两坐标轴上，则这个圆的方程是（）A．B．C．D．【答案】 B5．过点，且倾斜角为的直线与圆相切于点，且，则的面积是 ( )A．B．C．1D．2【答案】 B【分析】在直角三角形AOB中，选B．6．若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】 C【分析】圆的圆心，半径为，直线与圆有公共点，则，，解得实数的取值范围是，应选C．7．直线与圆订交于两点，则弦的长度等于()A．B．C．D．【答案】 B【分析】 圆心到直线 ，的距离 ，由勾股定理可知， ，即，应选 B ．8．已知圆 C ： （ a<0）的圆心在直线上，且圆 C 上的点到直线 的距离的最大值为 ，则的值为（）A ．1B．2C．3D．4【答案】 C【分析】圆的方程为，圆心为 ① ，圆 C 上的点到直线的距离的最大值为 ②由①②得，a<0，故得 ， =3 ．点睛：圆上的点到直线的距离的最大值，就是圆心到直线的距离加半径；再就是二元化一元的应用．9．已知直线 ax y2 2ABC 为等腰1 0 与圆 C : x 1ya1订交于 A,B 两点，且 直角三角形，则实数 a 的值为A ．1B ．1C ．1或1D ．1或17【答案】 D10．过点 ( 2,0) 引直线与曲线 y1 x2 订交于 A 、B 两点， O 为坐标原点，当 AOB 的面积取最大值时，直线的斜率等于（ ）A ．3B ．3 3C ．333D．3【答案】 B 【分析】试题剖析：因y1x2表示以 O 为圆心,半径为的上半圆．又SAOB1sin AOB,故2AOB900时,AOB 的面积取最大值,此时圆心 O 到直线y k (x2)的距离d1, 即|2k |1, 也即3k21,解之得 k3,应选 B．2 1 k 223考点：直线与圆的地点关系及运用．11．若直线ax by10 a 0, b 0均分圆 C : x2y22x4y 10 的周长，则 ab 的取值范围是（）A ．111 ,B．0,C．0, 884D． 1 ,4【答案】 B考点：直线与圆的地点关系．12．在平面直角坐标系xOy 中, M , N 分别在线段 OA,OB 上,以 C 1,1 为圆心的圆与若, MN与圆C相切,则x 轴和MNy 轴分别相切于的最小值为（A,B ）两点 ,点A．B．22C．222D．222【答案】 D【分析】试题剖析：由于 C 1,1 为圆心的圆与x 轴和y轴分别相切于A, B 两点,点 M , N 分别在线段OA,OB 上,若,MN与圆C相切，设切点为Q ，因此AM BN QM QN MN ，设MNO，则OM ON MN cos MN sin , OA OB 2 MN 1 cos sin，MN2222 2 2，应选D．1 cos siny32A1M Q-2-1ON1B-11 2 sin1242345x考点： 1、圆的几何性质；2、数形联合思想及三角函数求最值．。
【冲刺必刷】人教A版 高中数学2020届 高考复习专题--直线与圆的方程(含解析)
直线与圆的方程一、重点知识结构本章以直线和圆为载体，揭示了解析几何的基本概念和方法。
直线的倾斜角、斜率的概念及公式、直线方程的五种形式是本章的重点之一，而点斜式又是其它形式的基础；两条直线平行和垂直的充要条件、直线l1到l2的角以及两直线的夹角、点到直线的距离公式也是重点内容；用不等式（组）表示平面区域和线性规划作为新增内容，需要引起一定的注意；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，是解决解析几何两个基本问题的依据；圆的方程、直线（圆）与圆的位置关系、圆的切线问题和弦长问题等，因其易与平面几何知识结合，题目解法灵活，因而是一个不可忽视的要点。
二、高考要求1、掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；3、会用二元一次不等式表示平面区域；4、了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用；5、了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法；6、掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念。
三、热点分析在近几年的高考试题中，两点间的距离公式，中点坐标公式，直线方程的点斜式、斜率公式及两条直线的位置关系是考查的热点。
但由于知识的相互渗透，综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，在高考中极有可能涉及，但难度不会大。
四、复习建议本章的复习首先要注重基础，对基本知识、基本题型要掌握好；求直线的方程主要用待定系数法，复习时应注意直线方程各种形式的适用条件；研究两条直线的位置关系时，应特别注意斜率存在和不存在的两种情形；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，随着高考对知识形成过程的考查逐步加强，对坐标法的要求也进一步加强，因此必须透彻理解。
既要掌握求曲线方程的常用方法和基本步骤，又能根据方程讨论曲线的性质；圆的方程、直线与圆的位置关系，圆的切线问题与弦长问题都是高考中的热点问题；求圆的方程或找圆心坐标和半径的常用方法是待定系数法及配方法，应熟练掌握，还应注意恰当运用平面几何知识以简化计算。
高三数学复习总结《直线和圆》
高三数学复习——直线与圆的方程一、知识梳理（一）直线的方程1、直线的倾斜角与斜率: 直线的倾斜角α与斜率k 的关系:当α090≠时， k 与α的关系___________；α=________时，直线斜率不存在；经过两点P 1(x 1,y 1)P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式是___________,三点C B A ,,共线的充要条件是_____________2.直线方程的五种形式: 点斜式方程是:______________________斜截式方程为:________________________截距式方程为:____________________________一般式方程为:___________________________,斜率K=_______________3、两条直线的位置关系：平行与垂直已知直线111:b x k y l +=,222:b x k y l +=若1l //2l ，则_________，若21l l ⊥,则___________4、几个公式：①已知两点),(),,(222111y x P y x P ,则 =||21P P ____________________②设点),(00y x A ，直线,0:=++C By Ax l 点A 到直线l 的距离为=d _________________[例1 ]. 11．过点P （1，2）的直线 与两点A （2，3）、B （4，-5）的距离相等，则直线 的方程为（ ）A ．4x+y-6=0B ．x+4y-6=0C ．3x+2y=7或4x+y=6D ．2x+3y=7或x+4y=6[例2] 已知直线1l ：3mx+8y+3m-10=0 和 2l ： x+6my-4=0 问 m 为何值时 （1）1l 与2l 相交（2）1l 与2l 平行（3）1l 与2l 垂直;（二）圆的标准方程与一般方程1、①圆的标准方程为_____________________，其中圆心为_____________,半径为_______； ②圆的一般方程为____________________，圆心坐标_________，半径为___________。
直线与圆-高考数学专题复习
直线与圆知识精要一、直线的方程形式二、掌握求曲线方程的基本方法和步骤1、明确平面解析几何研究的两个基本问题：（1）根据条件，求出表示平面曲线的方程；（2）通过方程，研究曲线性质。
2、求曲线方程的一般步骤：（1）建立合适的平面直角坐标系；x y；（2）设曲线上任意一点坐标为(,)（3）根据曲线上点所适应的条件，写出等式；（4）用坐标,x y表示这个等式，并化方程为最简形式；（5）证明已化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
3、求曲线方程的常用方法：（1）直接法：根据条件中的等量关系直接列方程。
（2）代入法：在变化过程中有两个动点，已知其中一个动点在定曲线上，求另一个动点的轨迹方程，这里通过建立两个动点坐标之间的关系，代入到已知曲线之中，得出要求的轨迹方程。
三、掌握确定两曲线交点个数的判断方法，并能通过求交点解决其他问题四、掌握方程圆的两种形式（标准方程和一般方程），能利用待定系数法确定圆的方程1、圆的标准方程：222()()(0)x a y b r r -+-=>，其中圆心为(,)a b ，半径为r ，其中,,a b r为待定系数。
2、圆的一般方程：22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->，其中圆心为(,)22D E--，半径为r =2242D E F+-，这里D E F 、、为待定系数。
3（备选）、在给定的平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数x=f(t),y=φ(t)——(1)；且对于t 的每一个允许值，由方程组(1)所确定的点m(x ，y)都在这条曲线上，那么方程组(1)称为这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数称为参变数，简称参数。
类似地，也有曲线的极坐标参数方程ρ=f(t),θ=g(t)。
(2)圆的参数方程 x=a+r cosθ y=b+r sinθ (θ属于[0，2π） ) (a,b)为圆心坐标 r 为圆半径 θ为参数 (x,y)为经过点的坐标五、明确直线与圆的位置关系，掌握不同位置关系的判定方法热身练习：1、已知曲线与函数及函的图像分别交于，则的值为（ C ）A ．16B ．8C ．4D ．22、圆与直线（）的位置关系为（C ）A.相离B.相切C.相交D.以上都有可能3、已知圆C 与直线都相切，圆心在直线上，则圆C 的方程为（ B ）A ．B ．C ．D ．4、已知直线相交于A、B两点，且=5、如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点，那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是（ A ）••••6、如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧AP的长为l，弦AP的长为d，则函数d=f(l)的图像大致是（ C ）7、已知圆C的方程为，定点，直线有如下两组论断：第Ⅰ组第Ⅱ组(a)点在圆内且M不为圆心 (1)直线与圆相切(b)点在圆上 (2)直线与圆相交(c)点在圆外 (3)直线与圆相离由第Ⅰ组论断作为条件，第Ⅱ组论断作为结论，写出所有可能成立的命题（将命题用序号写成形如p q的形式）8、已知圆的方程为，是圆上的一个动点，若的垂直平分线总是被平面区域覆盖，则实数的取值围是。
(寒假总动员)2020年高三数学寒假作业专题13直线与圆(练)(含解析)
（寒假总动员）2020年高三数学寒假作业 专题13直线与圆（练） （含解析）••选择题1.直线1经过点（2,1），且与直线3xy 2垂直，则直线1的方程为（)A. x 3y 10 B.x 3y 1 0C x 3y 1D.x 3y 1【答案】止 【解析】试题分析：由题意知，直线/的斜护为上二―2■.只践丿的方程=-I目卩 x+3i'—1 - 0若点j 直线的斜率和点斜式方稈【解析】盂题分祈；同化蔺成标淮方程?a （x-3）:-k （y-4r = 25 -庖心対⑶4” r = 5,那么圆心劃直线j-n3 = 0fi 距苗d 三丄彳V2瞎最1•点到直线距离的求解戸么圆制弦长求SG2A 2 1B 1 m 2 m R3•直线l 经过' ，两点，那么直线l 的倾斜角的取值范 围（）【答案】D【蹄】滾題分析£依题鳶 瓦 二也二「■沪幻，盯匚「極数画象知，貢线时倾斜药刖取值范團是2•直线y = 2x + 3被圆x2 + y2 — 6x — 8y = 0所截 得的弦长等于（） A. 5【答家】CB. 3D. 5A • [0,) B • [0,4]C •咛D •咛"1-2眄］・〔二补选D.考点：直线的倾斜角、斜率2 2 2 24. 如果方程x y Dx Ey F 0（D E 4F 0 ）所表示的曲线关于直线y x对称，则必有（「）A. D EB. D FC. E FD. D E F【答案】【解析】试题分析：由题设X p*+加“£\+F才？表乔以（一?・三）沏园心的圆匸由圆的几何性质.当圆心在盲线I二工上时，总有一2二-占，丽。
二厂诙选丸w 1 3-V ■着点I直銭与IH的关系「［ffl的对称性.2 25. “ k 1”是“直线x y k 0与圆x y 1相交”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C •充分必要条件D•既不充分也不必要条件I［苔ST1【解析】试題分析：要使直线玄一卄上=02圓/ + 相交，则有画心到亘线閑距离力二单灯.即<2囲总芒\所以-Ji玄上玄忑，所y —厂是獰直炉—$+圧=02剧/+齐=1相交"的充分不必要条许，选扎着点匚充分条件、必雯兼件的刑断■直技与圆的位亶关毎.二、填空题6.若直线h : ax 2y 8 0与直线J: x （a 1）y 4 0平行，则a的值为【答黑】1【解析】试题分祈；由+ 1） = *P祁戸吕=1咸口匸“匚・- -2时两直绫重台！所以，口二1*考点.：直鮭平行*2 27.已知实数x、y满足方程x y 4x 1 0，则y x的最大值与最小值分别为试题分析：工7•看作是直銭F 二时办衽1'轴止的鶴即 当亶纥I 二工我与同相切曲 纵截距取得谖大 值或蛊小值，此时仝 解碍4=一2十蔬h 」一屁 所（从1一工的最大值対—2十岳， 最小值为-：-麻+ 考蠱：直线与冒的位直关系，最値间题. 三•解答题2 28.已知圆C ：x y 2x4y 4 0.问在圆C 上是否存在两点A,B 关于直线y kx 1对称，且以AB 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线 AB 的方程，若不存在，说明理由【解析】存在满定2条条件的直线.丫圆匸江工-1『亍（丄+2）：二9, .-. C （L-2）,设日〔兀J j, £（七=化nT 貢线了二后-1过0-1〕・而J^（O-l ）在IS 的内部，故直践弓圉恒相交,又直Sv = tv-1¥M 平分皿；.直绽）=右—1经过圆心C （U>- ..-2=i-L 即"―“0 = 1、设直线一播的方程为F = Q 皿 联尹1程组,.卡r悄广+斗附一42x'+ 2(?/7+2)x + wF *4OT -4 = 0. 二兀+七 二一(啣-二 ------------------- -----”j 、二［兀 + m ）（x 2 +也）二弋* + 啣（X _"£）+ »/ = _— +啣（删亠 2）亠胡护I 二空二凹二L,由石 —0B-则斗弘+ 口匚二0 那—仝—“鬧唧二或附 .'.直线AR 的方程為1 =兀―】或T =兀 故存在2条藕足条件的克线. 考点：直线与圆的位置关系 •对称性问题•r消去L 得if + r-2x-4i -4 = 0。
高三数学《直线与圆》专题测试题含答案
高三数学《直线与圆》专题测试题含答案第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．“C ＝5”是“点(2，1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2．直线l 过点(2，2)，且点(5，1)到直线l 的距离为10，则直线l 的方程是( ) A ．3x ＋y ＋4＝0 B ．3x －y ＋4＝0 C ．3x －y －4＝0 D ．x －3y －4＝03．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( ) A ．－43B ．－34C.3D ．24．过点P (－2，2)作直线l ，使直线l 与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l 一共有( )A ．3条B ．2条C ．1条D ．0条5．已知圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝16的一条直径通过直线x －2y ＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为( )A ．3x ＋y －5＝0B ．x －2y ＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．2x ＋y －3＝0 6．已知点P (3，2)与点Q (1，4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y ＝0C ．x ＋y ＋1＝0 D ．x ＋y ＝07．已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53B.213 C.253 D.438．圆心在曲线y ＝2x (x >0)上，与直线2x ＋y ＋1＝0相切，且面积最小的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝25B ．(x －2)2＋(y －1)2＝5C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25D ．(x －1)2＋(y －2)2＝59．已知圆O ：x 2＋y 2＝4上到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，则a 的取值范围为( )A ．(－32，32)B ．(－∞，－32)∪(32，＋∞)C ．(－22，22)D ．[－32，3 2 ]10．已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值是( )A ．26B ．4 C.6D ．211．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离12．已知两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为( )A ．1B ．3 C.19D.49第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共四小题，每小题5分。
历年高三数学高考考点之直线与圆必会题型及答案
历年高三数学高考考点之<直线与圆>必会题型及答案体验高考1.平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( ) A.2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 B.2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 C.2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 D.2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 答案 A解析 设所求直线方程为2x ＋y ＋c ＝0，依题意有|0＋0＋c |22＋12＝5，解得c ＝±5，所以所求直线方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0，故选A.2.过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M 、N 两点，则|MN |等于( ) A.26B.8C.46D.10 答案 C解析 由已知，得AB →＝(3，－1)，BC →＝(－3，－9)，则AB →·BC →＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，所以AB →⊥BC →，即AB ⊥BC ，故过三点A ，B ，C 的圆以AC 为直径，得其方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，令x ＝0得(y ＋2)2＝24，解得y 1＝－2－26，y 2＝－2＋26，所以|MN |＝|y 1－y 2|＝46，选C.3.一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A.－53或－35B.－32或－23C.－54或－45D.－43或－34答案 D解析 由已知，得点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3).设反射光线所在直线的斜率为k ， 则反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)， 即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切，则有d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43或k ＝－34，故选D.4.已知平行直线l 1：2x ＋y －1＝0，l 2：2x ＋y ＋1＝0，则l 1，l 2的距离为______. 答案255解析 d ＝|1＋1|22＋12＝255. 5.已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别做l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若|AB |＝23，则|CD |＝________. 答案 4解析 设AB 的中点为M ，由题意知， 圆的半径R ＝23，|AB |＝23， 所以|OM |＝3，解得m ＝－33， 由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12解得A (－3，3)，B (0，23)，则AC 的直线方程为y －3＝－3(x ＋3)，BD 的直线方程为y －23＝－3x ，令y ＝0，解得C (－2，0)，D (2，0)， 所以|CD |＝4.高考必会题型题型一 直线方程的求法与应用例1 (1)若点P (1，1)为圆(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为( ) A.2x ＋y －3＝0 B.x －2y ＋1＝0 C.x ＋2y －3＝0 D.2x －y －1＝0答案 D解析 由题意知圆心C (3，0)，k CP ＝－12.由k CP ·k MN ＝－1，得k MN ＝2，所以弦MN 所在直线的方程是2x －y －1＝0.(2)已知△ABC 的顶点A (3，－1)，AB 边上的中线所在直线方程为6x ＋10y －59＝0，∠B 的平分线所在直线方程为x －4y ＋10＝0，求BC 边所在直线的方程. 解 设B (4y 1－10，y 1)，由AB 中点在6x ＋10y －59＝0上，可得：6·4y 1－72＋10·y 1－12－59＝0，y 1＝5，∴B (10，5).设A 点关于x －4y ＋10＝0的对称点为A ′(x ′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ′＋32－4·y ′－12＋10＝0，y ′＋1x ′－3·14＝－1⇒A ′(1，7)，∵点A ′(1，7)，B (10，5)在直线BC 上，∴y －57－5＝x －101－10，故BC 边所在直线的方程是2x ＋9y －65＝0. 点评 (1)两条直线平行与垂直的判定①若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1； ②判定两直线平行与垂直的关系时，如果给出的直线方程中存在字母系数，不仅要考虑斜率存在的情况，还要考虑斜率不存在的情况. (2)求直线方程的常用方法①直接法：直接选用恰当的直线方程的形式，写出结果；②待定系数法：先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有一个待定系数，再由题给的另一条件求出待定系数.变式训练1 已知直线l 经过直线3x ＋4y －2＝0与直线2x ＋y ＋2＝0的交点P ，且垂直于直线x －2y －1＝0. (1)求直线l 的方程；(2)求直线l 关于原点O 对称的直线方程.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2.所以点P 的坐标是(－2，2)，又因为直线x －2y －1＝0， 即y ＝12x －12的斜率为k ′＝12，由直线l 与x －2y －1＝0垂直可得k l ＝－1k ′＝－2， 故直线l 的方程为：y －2＝－2(x ＋2)，即2x ＋y ＋2＝0.(2)直线l 的方程2x ＋y ＋2＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是－1与－2，则直线l 关于原点对称的直线在x 轴、y 轴上的截距分别是1与2， 所求直线方程为x 1＋y2＝1，即2x ＋y －2＝0.题型二 圆的方程例2 (1)如图，已知圆C 与x 轴相切于点T (1，0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.①圆C 的标准方程为________________.②圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________.答案 ①(x －1)2＋(y －2)2＝2 ②－2－1解析 ①由题意，设圆心C (1，r )(r 为圆C 的半径)，则r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋12＝2，解得r ＝ 2.所以圆C 的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.②方法一 令x ＝0，得y ＝2±1，所以点B (0，2＋1).又点C (1，2)，所以直线BC 的斜率为k BC ＝－1，所以过点B 的切线方程为y －(2＋1)＝x －0，即y ＝x ＋(2＋1). 令y ＝0，得切线在x 轴上的截距为－2－1.方法二 令x ＝0，得y ＝2±1，所以点B (0，2＋1).又点C (1，2)，设过点B 的切线方程为y －(2＋1)＝kx ，即kx －y ＋(2＋1)＝0.由题意，得圆心C (1，2)到直线kx －y ＋(2＋1)＝0的距离d ＝|k －2＋2＋1|k 2＋1＝r ＝2，解得k ＝1.故切线方程为x －y ＋(2＋1)＝0.令y ＝0，得切线在x 轴上的截距为－2－1.(2)已知圆C 经过点A (2，－1)，并且圆心在直线l 1：y ＝－2x 上，且该圆与直线l 2：y ＝－x ＋1相切. ①求圆C 的方程；②求以圆C 内一点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－52为中点的弦所在直线l 3的方程. 解 ①设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2＋(－1－b )2＝r 2，b ＝－2a ，|a ＋b －1|2＝r ，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－2，r ＝ 2.故圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2. ②由①知圆心C 的坐标为(1，－2)， 则k CB ＝－52－(－2)2－1＝－12.设直线l 3的斜率为k 3，由k 3·k CB ＝－1，可得k 3＝2. 故直线l 3的方程为y ＋52＝2(x －2)，即4x －2y －13＝0.点评 求圆的方程的两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.变式训练2 已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2，0)，B (1，1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点. (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程.解 (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2，2y ). 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(2x －2)2＋(2y )2＝4，故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )，连接BN . 在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ， 所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0. 题型三 直线与圆的位置关系、弦长问题例3 (1)(2015·重庆)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |等于( ) A.2B.42C.6D.210 答案 C解析 根据直线与圆的位置关系求解.由于直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，∴圆心C (2，1)在直线x ＋ay －1＝0上，∴2＋a －1＝0，∴a ＝－1，∴A (－4，－1). ∴|AC |2＝36＋4＝40.又r ＝2，∴|AB |2＝40－4＝36. ∴|AB |＝6.(2)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0.①写出圆C 的标准方程，并指出圆心坐标和半径大小；②是否存在斜率为1的直线m ，使m 被圆C 截得的弦为AB ，且OA ⊥OB (O 为坐标原点).若存在，求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由. 解 ①圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9， 则圆心C 的坐标为(1，－2)，半径为3. ②假设存在这样的直线m ， 根据题意可设直线m ：y ＝x ＋b .联立直线与圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，y ＝x ＋b得2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0， 因为直线与圆相交，所以Δ>0， 即b 2＋6b －9<0，且满足x 1＋x 2＝－b －1，x 1x 2＝b 2＋4b －42，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＝x 1＋b ，y 2＝x 2＋b ，由OA ⊥OB 得OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，所以x 1x 2＋(x 1＋b )(x 2＋b )＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝0， 即b 2＋3b －4＝0得b ＝－4或b ＝1， 且均满足b 2＋6b －9<0，故所求的直线m 存在，方程为y ＝x －4或y ＝x ＋1. 点评 研究直线与圆位置关系的方法(1)研究直线与圆的位置关系的最基本的解题方法为代数法，将几何问题代数化，利用函数与方程思想解题.(2)与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d 及半弦长l2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.变式训练3 已知以点C (t ，2t)(t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点.(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程. (1)证明 ∵圆C 过原点O ，且|OC |2＝t 2＋4t2.∴圆C 的方程是(x －t )2＋(y －2t )2＝t 2＋4t2，令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，∴S △OAB ＝12|OA |·|OB |＝12×|4t |×|2t |＝4，即△OAB 的面积为定值.(2)解 ∵|OM |＝|ON |，|CM |＝|CN |， ∴OC 垂直平分线段MN . ∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12.∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2，1)，|OC |＝5， 此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15<5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点.当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，|OC |＝5， 此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95> 5.圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， ∴t ＝－2不符合题意，舍去. ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.高考题型精练1.已知x ，y 满足x ＋2y －5＝0，则(x －1)2＋(y －1)2的最小值为( ) A.45B.25C.255 D.105 答案 A解析 (x －1)2＋(y －1)2表示点P (x ，y )到点Q (1，1)的距离的平方.由已知可得点P 在直线l ：x ＋2y －5＝0上，所以|PQ |的最小值为点Q 到直线l 的距离，即d ＝|1＋2×1－5|1＋22＝255， 所以(x －1)2＋(y －1)2的最小值为d 2＝45.故选A.2.“m ＝3”是“直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m －3)y ＋7－5m ＝0与直线l 2：(m －3)x ＋2y －5＝0垂直”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A解析 由l 1⊥l 2得2(m ＋1)(m －3)＋2(m －3)＝0， ∴m ＝3或m ＝－2.∴m ＝3是l 1⊥l 2的充分不必要条件.3.若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( ) A.32B.22C.33D.4 2 答案 A解析 依题意知AB 的中点M 的集合是与直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0的距离都相等的直线，则M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离， 设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0， 根据平行线间的距离公式得|m ＋7|2＝|m ＋5|2⇒|m ＋7|＝|m ＋5|⇒m ＝－6，即l ：x ＋y －6＝0，根据点到直线的距离公式，得M 到原点的距离的最小值为|－6|2＝3 2.4.(2016·山东)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A.内切B.相交C.外切D.相离 答案 B解析 ∵圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2， ∴圆心坐标为M (0，a )，半径r 1＝a ， 圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a |2，由几何知识得⎝⎛⎭⎪⎫|a |22＋(2)2＝a 2，解得a ＝2. ∴M (0，2)，r 1＝2.又圆N 的圆心坐标N (1，1)，半径r 2＝1，∴|MN |＝(1－0)2＋(1－2)2＝2，r 1＋r 2＝3，r 1－r 2＝1.∴r 1－r 2＜|MN |＜r 1＋r 2，∴两圆相交，故选B.5.与圆x 2＋y 2＝1和圆x 2＋y 2－8x ＋7＝0都相切的圆的圆心轨迹是( ) A.椭圆B.椭圆和双曲线的一支C.双曲线和一条直线(去掉几个点)D.双曲线的一支和一条直线(去掉几个点) 答案 D解析 设所求圆圆心为M (x ，y )，半径为r ， 圆x 2＋y 2－8x ＋7＝0⇒(x －4)2＋y 2＝9，圆心设为C (4，0)，由题意得当动圆与两定圆外切时， 即|MO |＝r ＋1，|MC |＝r ＋3，从而|MC |－|MO |＝2<|OC |， 因此为双曲线的一支，当动圆与两定圆一个外切一个内切时， 必切于两定圆切点，即M 必在x 轴上， 但需去掉O ，C 及两定圆切点，因此选D.6.(2015·课标全国Ⅱ)已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53B.213 C.253 D.43 答案 B解析 由点B (0，3)，C (2，3)，得线段BC 的垂直平分线方程为x ＝1，① 由点A (1，0)，B (0，3)，得线段AB 的垂直平分线方程为y －32＝33⎝⎛⎭⎪⎫x －12，②联立①②，解得△ABC 外接圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233，其到原点的距离为12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝213.故选B.7.(2016·山东)在[－1，1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________. 答案 34解析 由已知得，圆心(5，0)到直线y ＝kx 的距离小于半径，∴|5k |k 2＋1<3，解得－34<k <34，由几何概型得P ＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－(－1)＝34.8.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________. 答案 43解析 圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4，0). 由题意知(4，0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2， 即|4k －2|k 2＋1≤2.整理，得3k 2－4k ≤0.解得0≤k ≤43.故k 的最大值是43.9.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且仅有三个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的值为________. 答案 ±13解析 因为圆心到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为|c |13，所以由题意得|c |13＝1，c ＝±13.10.已知直线l 过点(－2，0)，当直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是________________. 答案 (－24，24) 解析 因为已知直线过点(－2，0)，那么圆的方程x 2＋y 2＝2x 配方为(x －1)2＋y 2＝1，表示的是圆心为(1，0)，半径为1的圆， 设过点(－2，0)的直线的斜率为k ， 则直线方程为y ＝k (x ＋2)， 则点到直线距离等于圆的半径1， 有d ＝|k －0＋2k |k 2＋1＝1，化简得8k 2＝1， 所以k ＝±24， 然后可知此时有一个交点，那么当满足题意的时候， 可知斜率的取值范围是(－24，24)，故答案为(－24，24). 11.已知过点A (0，1)，且方向向量为a ＝(1，k )的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1相交于M ，N 两点.(1)求实数k 的取值范围；(2)若O 为坐标原点，且OM →·ON →＝12，求k 的值.解 (1)∵直线l 过点A (0，1)且方向向量为a ＝(1，k )，∴直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 由|2k －3＋1|k 2＋1＜1，得4－73＜k ＜4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0，∴x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2，∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12，∴4k (1＋k )1＋k 2＝4，解得k ＝1.12.已知圆M ∶x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点.(1)若Q (1，0)，求切线QA ，QB 的方程；(2)求四边形QAMB 面积的最小值；(3)若|AB |＝423，求直线MQ 的方程.解 (1)设过点Q 的圆M 的切线方程为x ＝my ＋1，则圆心M 到切线的距离为1，∴|2m ＋1|m 2＋1＝1，∴m ＝－43或0，∴切线QA ，QB 的方程分别为3x ＋4y －3＝0和x ＝1.(2)∵MA ⊥AQ ，∴S 四边形MAQB ＝|MA |·|QA |＝|QA | ＝|MQ |2－|MA |2＝|MQ |2－1 ≥|MO |2－1＝ 3.∴四边形QAMB 面积的最小值为 3.(3)设AB 与MQ 交于点P ，则MP ⊥AB .∵MB ⊥BQ ，∴|MP |＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2232＝13.在Rt △MBQ 中，|MB |2＝|MP |·|MQ |，即1＝13|MQ |，∴|MQ |＝3.设Q (x ，0)，则x 2＋22＝9，∴x ＝±5，∴Q (±5，0)，∴直线MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.。
高三数学专题汇编直线和圆
班级____________ 姓名____________ 一、选择题1．已知直线l1：k1x ＋y ＋1＝0与直线l2：k2x ＋y －1＝0，那么“k1＝k2”，是“l1∥l2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y ＝0 C ．x ＋y ＋1＝0 D ．x ＋y ＝03．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，半径为5的圆的方程为( ) A ．x2＋y2－2x ＋4y ＝0 B ．x2＋y2＋2x ＋4y ＝0C ．x2＋y2＋2x －4y ＝0D ．x2＋y2－2x －4y ＝0 4．(2013·海南质检)已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线 x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋y2＝2B ．(x －1)2＋y2＝1C ．(x ＋1)2＋y2＝4D ．(x －2)2＋y2＝4 5．(2013·重庆高考)已知圆C1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C1，C2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2 D.17 6．[2014·湖南卷] 若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( ) A ．21B ．19C ．9D ．－117．[2014·浙江卷] 已知圆x2＋y2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8 8．[2014·福建卷] 已知直线l 过圆x2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x －y ＝2＝0 C ．x ＋y －3＝0 D ．x －y ＋3＝09．[2014·安徽卷] 过点P(－3，－1)的直线l 与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π6B.⎝⎛⎦⎤0，π3C.⎣⎡⎦⎤0，π6D.⎣⎡⎦⎤0，π310．[2014·北京卷] 已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A(－m ，0)，B(m ，0)(m ＞0)．若 圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4 11．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设点M(x0，1)，若在圆O ：x2＋y2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x0的取值范围是( )A. [－1，1]B. ⎣⎡⎦⎤－12，12C. [－2，2]D. ⎣⎡⎦⎤－22，22 12．(2013·山东潍坊一中模拟)若圆C ：x2＋y2＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，则由点(a ，b)向圆所作的切线长的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6 13．[2014·四川卷 9题] 设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P(x ，y)，则|PA|＋|PB|的取值范围是( )A ．[5，2 5 ]B ．[10，2 5 ]C ．[10，4 5 ]D ．[25，4 5 ] 二、填空题14、若直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m =_________。
(寒假总动员)2020年高三数学寒假作业专题13直线与圆(测)(含解析)
（寒假总动员）2020年高三数学寒假作业专题13直线与圆（测）（含解析）时间：45分钟满分：100分一、选择题（每小题5分，共50分）1 . （2020年高考浙江卷理科3）设a R,则“ a= 1 ”是“直线11 : ax+ 2y—1 = 0与直线12 : x + （a+ 1）y + 4=0平行”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C •充分必要条件D •既不充分也不必要条件|【答累】A【解析】当尸1时‘直线I：；卄2厂1=卜与直线氐,^4-4=0 S然平行；若直线上与直线J；平丘三=丄，解之得；a=l or a=-2 听以河充牛：坯婆条件.]n + 12 22.（2020年高考天津卷理科8）设m , n R,若直线（m 1）x+（n 1）y 2=0与圆（x 1） +（y 1） =1相切，则m+n的取值范围是（）（A）[1 3,1+ .3] （B）（,1 -3]U[1+ .'3,+ ）（C）[2 2 .2,2+2、2] （D）（,2 2、2] U[2+2 . 2,+ ）I VSK1D【解析】叮直鏡佃+ 1〉计与圆&一l）；+（y-iy=l相切…••圆心（1R到直线的距离为L （???4-1＞（^ + 1）-2 . 比…-一J幷十趴2打二' ■—■■一二1, ”阡以帀评二旧一旺+1三（------）* 设L研+舊,则丄F上什1,解得徒（Y.2-2返]UDZ+2①厂工h4|【着点定位】本试题王要芳査了直线2層：」位直关茅点到直纟杜J距5S公式，重要不等式，一元二灰不等k的解法，并借助于直多2鬲相切的几何，宦馬求解的爲力.3. （2020年高考江西卷理科7）在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点,PA|2|PB|22PC=(A . 2C. 5D. 10【答案】D3【解析】取特殊的等腰直角三角險 不妨令|-山卜0匸卜4」则|一纲=和匚\CD\ =JlSRQ |兀| = |尸纠+ CD=y[2, |A4| = |F.P|=V^'； + PD = ■ *+|佝:=皿所以FA PB— = ■【考点定位】卒题主姜考查两点间的距离公元以圧坐标法这一重裳的解题方法和数形结合的数学思想.对 于非特殊的一股图形求解长度问题¥由h 屋选择题・卞妨尝试比论形特臨化，以育便求解答长度，达到快 遠求解的目的.郎现着纟网中耍求墓捱两点闾的距离公式来年需蓼沌意点i!l 直裟的距國公式.2y 4x 0, l 过点P （3,°）的直线，则（（A ） l 与C 相交 （B ） l 与C 相切 （C ） l 与C 相离 （D ）以上三个选项均有可能【答案】人【解析】点円30）在圆內，划呢与c^-.z 故选A.【考点宦位】邛?卜题主裳若査：也 点与IF 名应直关甌 題目不难.2 25.（2020年高考重庆卷理科 3）对任意的实数k ,直线y=kx+1与圆x y 2的位置关系一定是（ ）相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心【答案】C【解析】直线y kx 1过圆内内一定点（°，1）.6.【2020年普通高等学校招生全国统一考试 渐近线的距离是（）4. （2020年高考陕西卷理科 4）已知圆C ：X224 X（四川卷）理科】抛物线y 4X 的焦点到双曲线(B ) 2(D )1 （A）2(C) 13【答案】B【解祈】抛物缕十=壮的焦療为F （LC\,双曲红/-匚=1的渐近绕方程为JL 二）=0,于是点尸到、渐近线的距离d=声"=旦选B ・ 阿川 2【易错点】断近线方程记错，距离公式计阵天误・【学科网考点定位】本题考查抛物线与双曲线的标准方程、简单的几何性质，点到直线的距离公式，计算 量小，基础题.A,B 两点，O 为坐标原点，当△ AOB 的面积取最大值时，直线i 的斜率等于（）7.【2020年普通高等学校招生全国统一考试（ 山东卷）理】过点3,1作圆i1的两条切线,切点分别为 A ，B ，则直线AB 的方程为 A.2x yB 2x y 38.【2020年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理】过点0）引直线I 与曲线y 1 X 2交于B.-- D-【答案】B【解新】画图可和过点0)的直线乌曲线相切时斜网所以相交成三角專的直线斜率在(-1,0)之间故选乩[ 考点定位】压题主要肴查直线与薛的位置关參，考查应田能力和计算胃幻19. 【2020年普通高等学校统一考试试题新课标n数学(理)卷】已知点 A (-1, 0); B (1, 0), C ( 0, 1), 直线y=ax+b(a>0)将厶ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是艺1 空1] 1 1(A)( 0，1) (B)( 1--，2) ( C)( 1--，3 (D)[ 3,2)[答案]B【解析】由題意知I ie(0.1)i当直线过点i (-1- 3时.要将八王C分割九面积相等的两部分*直线必狈此时有-<T+i = 0且£勺+号=2, = l -4G=】时，直钱尸垃厲平行于直钱皑要I4AABC分割拘而駅相孝的两部分，可求此时厂-J1・1.U蓍擦定位】本小题主婆常查直绽护的基砒知诃以及数形结令等数学思想，肴查同学们分析问题2解決间题的能力.10. 【2020年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)】在等腰三角形ABC中，AB=AC 4,点P是边AB 上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC,CA发射后又回到原点P (如图1)若光线QR经过ABC的中心，贝U AP等于( )A . 2B. 1【答案】6【解析】UAA 为原点.抠所在亘裁为葢轴，皿所托龙迂为y %雄立宜角坐輛系，翩等腰三角形ABC 的中"77*1 一、因为光集川整P 出发，好一 J ：亡土发射后又回到原蛊P,故点P 矢三宦新 ABC 茁中底边.AE 上的投豁firQi AP=-.rJr君点定位］羸題尊查三角形的中叮，考查就的化归与叫吃能力・二、填空题（每小 题5分，共20 分）211. （2020年高考江苏卷12）在平面直角坐标系 xOy 中，圆C 的方程为x 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆 C 有公共点，则4【答案】3【腼】丰矚盤F+于—畑+ 15“将阳悅^©&却；（x-4）: + y ; =L 翳，翅包b 为"（4=0） 检为1 ,若直线、=农-2上至少存在一点，使得以谕点为風卜1为芈径的园与园£有艺共点.只需寒凰|4Jt —21（4t 0）Sfflttv-jlu-2ffle^^ <1+1-即可，兀以荷日- —_2 <2,化简得纵弘—可兰0解得 JF-1册片們最夫值是’.3 3【考占定位】本題主要鷄査宜线与同的位直矢•淑到直线的生离址式、團的一般式方程和标准方程的互 匕 若査知识较综命 特查转化思想在求秒二磁范围中中运甩本霞的解题关谶就杲对若直箜丄=赶-2上至 炳在一点，極得以炭点趣A 1为半径的裁圆C 冇公共点，辻句话的理解•貝需簸心M （40）到直 iy = ^-2押囲才£ 1 + U 呵，从而1飙题册转化萍题属于中档題 难虧玄轧12 . （2020年高考浙江卷理科16）定义：曲线C 上的点到直线I 的距离的最小值称为曲线 C 到直线I 的距离.已 知曲线C1: y = x 2 + a 到直线I : y = x 的距离等于 C2: x 2 + （y + 4） 2 = 2到直线I : y = x 的距离，则实数 aD . 3「卜塑标为（2y 8x 150，若直线 y kx 2k 的最大值是【答宪】-4【解析工汁叶4)・=入园心。
高三专题复习直线和圆知识点和经典例题(附含答案解析)
高三专题复习直线和圆知识点和经典例题(附含(Han)答案解析)【知识要(Yao)点】圆的(De)定义：平面内与一定点距离(Li)等于定长的点的轨迹称为圆（一）圆的标(Biao)准方程形如：这个方程叫做圆的标准方程。
说明：1、若圆心在坐标原点上，这时，则圆的方程就是。
2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a,b,r 三个量确定了且r ＞0，圆的方程就给定了。
就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件确定a,b,r ，可以根据3个条件，利用待定系数法来解决。
（二）圆的一般方程将圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-,展开可得。
可见，任何一个圆的方程都可以写成 :。
问题：形如022=++++F Ey Dx y x 的方程的曲线是不是圆？ 将方程022=++++F Ey Dx y x 左边配方得：（1）当时，方程（1）与标准方程比较，方程022=++++F Ey Dx y x 表示以为圆心，以为半径的圆。
（2）当时，方程022=++++F Ey Dx y x 只有实数解，解为,所以表示一个点)2,2(ED --.（3）当时，方程022=++++F Ey Dx y x 没有实数解，因而它不表示任何图形。
圆的一般方程的定义：当0422>-+F E D 时，方程022=++++F Ey Dx y x 称为圆的一般方程.圆的一般方程的特点：（i ）的系数相同，不等于零；（ii ）没有xy 这样的二次项。
（三）直线与圆的位置关系 1、直线与圆位置关系的种类（1）相离---求距离； (2)相切---求切线； （3）相交---求焦点弦长。
2、直线与圆的位置关系判断方法：几何方法主要步骤：（1）把直线方程化为一般式(Shi)，利用圆的方程求出圆心和半径（2）利(Li)用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离（3）作(Zuo)判断(Duan): 当(Dang)d>r时，直线与圆相离；当d＝r时，直线与圆相切;当d<r时，直线与圆相交。
【高考冲刺】人教A版 高中数学 高考复习专题--直线与圆的方程(含解析)
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直线与圆的方程
一、重点知识结构
本章以直线和圆为载体，揭示了解析几何的基本概念和方法。
直线的倾斜角、斜率的概念及公式、直线方程的五种形式是本章的重点之一，而
点斜式又是其它形式的基础；
两条直线平行和垂直的充要条件、直线l1到l2的角以及两直线的夹角、点到直线
的距离公式也是重点内容；
用不等式（组）表示平面区域和线性规划作为新增内容，需要引起一定的注意；
曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，是解决解析几何两个基本问题的依据；
圆的方程、直线（圆）与圆的位置关系、圆的切线问题和弦长问题等，因其易与
平面几何知识结合，题目解法灵活，因而是一个不可忽视的要点。
二、高考要求
1、掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；
3、会用二元一次不等式表示平面区域；
4、了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用；
5、了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法；
6、掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念。
三、热点分析
在近几年的高考试题中，两点间的距离公式，中点坐标公式，直线方程的点斜式、斜率公式及两条直线的位置关系是考查的热点。
但由于知识的相互渗透，综合考查直
线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划
内容是新教材中增加的新内容，在高考中极有可能涉及，但难度不会大。
四、复习建议
本章的复习首先要注重基础，对基本知识、基本题型要掌握好；求直线的方程主
金戈铁骑。
高三数学(理)寒假作业直线与圆
高三数学寒假作业（十七）直线与圆一、选择题1.(2012·陕西高考)已知圆C:x 2+y 2-4x=0,l 是过点P(3，0)的直线，则( )(A)l 与C 相交 (B)l 与C 相切 (C)l 与C 相离 (D)以上三个选项均有可能2.已知直线y=kx 与圆x 2+y 2=3相交于M,N 两点，则|MN|等于( )(A)3 (C)33.已知一个圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上，则该圆的标准方程是( )(A)(x ＋2)2＋(y －3)2＝13 (B)(x ＋2)2＋(y －3)2＝52(C)(x －2)2＋(y ＋3)2＝52 (D)(x －2)2＋(y ＋3)2＝134.直线l ：x=my+2与圆M ：x 2+2x+y 2+2y=0相切，则m 的值为( )(A)1或-6 (B)1或-7 (C)-1或7 (D)1或-175.已知圆x 2+y 2-4x-4y+4=0的弦 AB 过点(1,1)，则AB 的最短长度为( )(A)1 -16.直线y=kx+3与圆(x-3)2+(y-2)2=4相交于M ，N 两点，若|MN|≥k 的取值范围是( )(A)［-34,0］ (B)(-∞,-34］∪［0,+∞) (C)［33-］ (D)［-23,0］ 二、填空题7.(2012·济宁模拟)若圆x 2+y 2=4与圆x 2+y 2+2ax-6=0(a ＞0)的公共弦的长为,则a=______.8.(2012·日照模拟)已知直线y=x+a 与圆x 2+y 2=4交于A,B 两点，且OA OB •u u u r u u u r =0,其中O 为坐标原点，则正实数a 的值为______.9.过点M(12,1)的直线l 与圆C ：(x-1)2+y 2=4交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为____________．三、解答题10.已知定点M(0,2)，N(-2,0),直线l :kx-y-2k+2=0(k 为常数).(1)若点M,N 到直线l 的距离相等，求实数k 的值；(2)对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，求实数k 的取值范围.11.(2012·宝鸡模拟)如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，点T(-1,1)在AD边所在直线上.(1)求AD边所在直线的方程；(2)求矩形ABCD外接圆的方程；(3)若动圆P过点N(-2，0)，且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程.12.已知圆O：x2+y2=4,圆O与x轴交于A，B两点，过点B的圆的切线为l,P是圆上异于A，B的一点，PH垂直于x轴，垂足为H，E是PH的中点，延长AP，AE 分别交l于F，C.(1)若点P(1，3)，求以FB为直径的圆的方程，并判断P是否在圆上；(2)当P在圆上运动时，证明：直线PC恒与圆O相切.高三数学寒假作业（十七）1.A.2.D.3.D.4.B.5.D.6. A.7. 18. 29. 2x-4y+3=0【解析】要∠ACB 最小,即要使∠ACB 所对的边最短,即要过M 点的弦长最短,过M 点的弦长最短就是：先作直线MC,再作出过M 点与MC 垂直的直线,那么这条直线就是过M 点弦长最短的线,那条直线就是要求的l . ∵MC 10k 2112-==--，∴k 1=12，∴所求直线方程为y-1=12(x-12)，即2x-4y+3=0. 10.【解析】(1)∵点M,N 到直线l 的距离相等，∴l ∥MN 或l 过MN 的中点.∵M(0,2),N(-2,0)，∴k MN =1，MN 的中点坐标为C(-1,1).又∵直线l :kx-y-2k+2=0过点D(2,2),当l ∥MN 时，k=k MN =1,当l 过MN 的中点时，k=k CD =13,综上可知：k 的值为1或13. (2)∵对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，∴l 与以MN 为直径的圆相离，即圆心到直线l 的距离大于半径，， 解得：k ＜-17或k ＞1. 11.【解析】(1)因为AB 边所在直线的方程为x-3y-6=0，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为-3.又因为点T(-1，1)在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为y-1=-3(x+1).3x+y+2=0.(2)由x 3y 603x y 20--=⎧⎨++=⎩，，解得点A 的坐标为(0,-2)， 因为矩形ABCD 两条对角线的交点为M(2，0).所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心. 又=从而矩形ABCD 外接圆的方程为(x-2)2+y 2=8.(3)因为动圆P 过点N ，所以|PN|是该圆的半径，又因为动圆P与圆M 外切，所以，即.故点P的轨迹是以M ，N 为焦点，实轴长为的双曲线的左支.因为实半轴长,半焦距c=2.所以虚半轴长.从而动圆P 的圆心的轨迹方程为22x y 1(x 22-=≤.12.【解析】(1)由P(1，A(-2，0)，∴直线AP 的方程为y=3(x+2),E(1,2),令x=2,得F(2，3).由E(1，2)，A(-2，0),则直线AE 的方程为y=6(x+2), 令x=2,得C(2，3).∴C 为线段FB 的中点，以FB 为直径的圆恰以C 为圆心，半径等于3.所以，所求圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=43，且P 在圆上. (2)设P(x 0,y 0),则E(x 0,0y 2),直线AE 的方程为()()00y y x 22x 2=++, 在此方程中令x=2,得C(2，002y x 2+). 直线PC 的斜率k PC =000000002200002y y 2x x y x y x ,2x 4x y y -+=-=-=--- 若x 0=0，则此时PC 与y 轴垂直，即PC ⊥OP ，若x 0≠0，则此时直线OP 的斜率为k OP =00y x , ∴k PC ·k OP =-0000x y y x • =-1,即PC ⊥OP.则直线PC 与圆O 相切.。
高三数学二轮总复习专题13 解决直线与圆及其应用问题
专题十三 解决直线与圆及其应用问题【典题导引】例1. 已知圆C 的圆心在x 轴正半轴上，半径为5，且与直线43170x y ++=相切． （1）求圆C 的方程；（2）设点3(1,)2P -，过点P 作直线l 与圆C 交于,A B 两点，若8AB =，求直线l 的方程； （3）设P 是直线60x y ++=上的点，过P 点作圆C 的切线,PA PB ，切点为,A B ． 求证：经过,,A P C 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．解：（1）设圆C 的方程为：22()25(0)x a y a -+=>， Q 圆C 与直线43170x y ++=相切，4175,5a +∴=0,2a a >∴=Q ，∴所求的圆C 的方程是22(2)25x y -+=；（2）8AB =Q ，∴圆心C 与直线l 的距离25163d =-=，Q 直线l 过点3(1,)2P -，:1l x ∴=-满足题设， 直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为：3(1)2y k x -=+，即3()02kx y k -++=，233231k k +∴=+，34k ∴=，直线l 的方程为39044x y -+=，即3490x y -+=， 综上，所求的直线l 的方程为1x =-或3490x y -+=； （3）设点(,6)P t t --，则由题设，经过,,A P C 三点的圆是以PC 为直径的圆， ∴经过,,A P C 三点的圆方程为：(2)()(6)0x x t y y t --+++=，整理得：22(26)(2)0x y x y t x y +-++-++=， 由2220,260,x y x y x y -++=⎧⎨+-+=⎩得2,0,x y =⎧⎨=⎩或2,4,x y =-⎧⎨=-⎩，∴经过,,A P C 三点的圆必过定点(2,0)和(2,4)--．例2. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22，一条准线:2l x =．（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，M 是l 上的点，F 为椭圆C 的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆D 交于,P Q 两点．①若6PQ =，求圆D 的方程；②若M 是l 上的动点，求证:点P 在定圆上，并求该定圆的方程．（1）解：由题设可知22,22,c a a c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2,1,a c ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩2221b a c ∴=-=， ∴椭圆C 的方程为：2212x y +=；（2）①解：由（1）知：(1,0)F ，设(2,)M t ，则圆D 的方程为：222(1)()124t t x y -+-=+， 直线PQ 的方程为：220x ty +-=，6PQ =Q ，22222222(1)()644t t t +-∴+-=+，QOxMy PF例2图24t ∴=，2t ∴=±.∴圆D 的方程为：22(1)(1)2x y -+-=或22(1)(1)2x y -++=;②证明：证法一设00(,)P x y ，由①知：2220000(1)()1,24220,t t x y x ty ⎧-+-=+⎪⎨⎪+-=⎩即2200000020,220,x y x ty x ty ⎧+--=⎪⎨+-=⎪⎩消去t 得22002x y +=. ∴点P 在定圆222x y +=上．证法二：设00(,)P x y ，则直线FP 的斜率为001FP y k x =--，Q FP OM ⊥，∴直线OM 的斜率为001OM x k y -=，∴直线OM 的方程为：001x y x y -=-，点M 的坐标为002(1)(2,)x M y --．Q MP OP ⊥，∴0OP MP ⋅=u u u r u u u r, ∴000002(1)(2)[]0x x x y y y ∂--++=,∴22002x y +=,∴点P 在定圆222x y +=上．例3.（2013新课标）已知圆22:(1)1M x y ++=，圆22:(1)9N x y -+=，动圆P 与圆M 外 切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线C . （1）求C 的方程；（2）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于,A B 两点，当圆P 的半径 最长时，求AB .解：由已知得圆M 的圆心为(1,0)M -,半径11r =,圆N 的圆心为(1,0)N ,半径23r =.设动圆P 的圆心为(,)P x y ,半径为R .(1)Q 圆P 与圆M 外切且与圆N 内切,∴1212||||()()4PM PN R r r R r r +=++-=+=,由椭圆的定义可知,曲线C 是以,M N 为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为3的椭圆(左顶点除外),其方程为22143x y +=(2)x ≠-； (2)对于曲线C 上任意一点(,)P x y ,由于222PM PN R -=-≤,∴2R ≤,当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时,2R =.∴当圆P 的半径最长时,其方程为22(2)4x y -+=,当l 的倾斜角为90o时,则l 与y 轴重合,可得23AB =.当l 的倾斜角不为90o 时,由1r R ≠知l 不平行于x 轴,设l 与x 轴的交点为Q ,则1QPR QMr =,可求得(4,0)Q -,∴设:(4)l y k x =+,由l 与圆M 相切得2311kk =+,解得24k =±.当24k =时,将224y x =+代入22143x y +=(2)x ≠-并整理得27880x x +-=,解得1,24627x -±=,∴2121817AB k x x =+-=. 当24k =-时,由图形的对称性可知187AB =,综上，187AB =或23AB =.例4.（2013江苏）如图,在平面直角坐标系xOy 中,点(0,3)A ,直线:24l y x =-,设圆C 的半 径为1,圆心在l 上.（1）若圆心C 也在直线1y x =-上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程; （2）若圆C 上存在点M ,使2MA MO =,求圆心C 的横坐标a 的取值范围. 解：（1）由241y x y x =-⎧⎨=-⎩得到圆心坐标()3,2C ，y∴圆方程为()()22321x y -+-=.切线斜率不存在时，不合题意; ∴设切线方程为3y kx =+,232311k k-+∴=+,解得0k =或34k =-.∴切线方程为3y =或334y x =-+. （2）设(),24C a a -,则圆方程为()()22241x a y a -+-+=,设00(,)M x y ,由题意得()()2200241x a y a -+-+=,2MA MO =Q ,()22220000344x y x y ∴+-=+,即()220014x y ++=,QM 存在,∴圆()()22241x a y a -+-+=与圆()2214x y ++=有交点,即两圆相交或相切.()()2222121d ∴-≤≤+, 即()()221024(1)9a a ≤-+---≤,1205a ∴≤≤.【归类总结】1．判断两条直线的位置关系时要注意两个易错点：一是忽视直线的斜率不存在的情况，二 是忽视两直线重合的情况．解答这类试题时要根据直线方程中的系数分情况进行讨论， 求出结果后再反代到直线方程中进行检验，这样能有效地避免错误． 2．求圆的方程一般有两类方法：（1）几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量 和方程；（2）代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．其一般步骤是： ①根据题意选择方程的形式：标准形式或一般形式； ②利用条件列出关于a 、b 、r 或D 、E 、F 的方程组；③解出a 、b 、r 或D 、E 、F ，代入标准方程或一般方程．此外，根据条件，要 尽量减少参数设方程，这样可减少运算量． 3．（1）在解决直线与圆、圆与圆的位置关系问题时，一定要联系圆的几何性质，利用有关 图形的几何特征，尽可能地简化运算，讨论直线与圆的位置关系时，一般不用0∆>、0∆=、0∆<，而用圆心到直线的距离d r <、d r =、d r >，分别确定相交、相切、相离的位置关系．（2）弦长222L r d =-，其中r 为圆的半径，d 为圆心到弦所在直线的距离．。
高三总复习直线与圆的方程知识点总结及典型例题(K12教育文档)
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直线与圆的方程一、直线的方程1、倾斜角：,范围0≤α＜π，若x l //轴或与x 轴重合时,α=00。
2、斜率： k=tan α α与κ的关系：α=0⇔κ=0已知L 上两点P 1（x 1,y 1) 0＜α＜02>⇔k πP 2（x 2，y 2） α=κπ⇔2不存在⇒k=1212x x y y -- 022<⇔<<κππ当1x =2x 时,α=900，κ不存在。
当0≥κ时，α=arctank ，κ＜0时,α=π+arctank3、截距（略）曲线过原点⇔横纵截距都为0。
4、直线方程的几种形式几种特殊位置的直线①x 轴：y=0②y 轴：x=0③平行于x 轴：y=b④平行于y 轴:x=a⑤过原点:y=kx两个重要结论:①平面内任何一条直线的方程都是关于x 、y 的二元一次方程。
②任何一个关于x 、y 的二元一次方程都表示一条直线.5、直线系：(1）共点直线系方程:p 0（x 0,y 0）为定值，k 为参数y-y 0=k （x-x 0）特别:y=kx+b ，表示过(0、b ）的直线系（不含y 轴)（2）平行直线系：①y=kx+b ，k 为定值，b 为参数。