控制系统的微分方程传递函数

s
(s2 4s 5)C(s) (s 4)c(0) c '(0) 1 s
C(s)
s(s2
1 4s
5)
(s
4)c(0) s2 4s
c '(0) 5
零状态 响应
1 5
1 s
4(s 2) (s 2)2 1
(s
13 2)2
1
查表
c(t)
1 5
1(t)
4e2t
cos
t
13e2t
1 sa
数数拉拉拉学学f氏氏氏f(表表变t变(变)ft12达达换)(f换换t(f(式t)式为t为(为))t10s：：)：(：(：i10ettn)()t0ltia)mt0102t1t110st2(1(0tt((ttttttt06700tt))0000000或))t00tcsions
t
t
s2 2
s s2 2
b1sm1 a1sn1
bm1s bm an1s an
将分子与分母多项式分别用因式连乘的形式来表示，即
G(s) =
K0 (s –z1 ) (s –z2 ) ··· (s –zm ) (s –p1 ) (s –p2 ) ··· (s –pn )
nm
K0 — 放大系数
s = p1 , p2 ··· , pn — 传递函数的极点
机械系统三要素的微分方程
设系统输入量为外力，输出量为位移
d 2 x(t) m dt2
f
(t)
C dx(t) f (t) dt
Kx(t) f (t)
二、常见环节和系统微分方程的建立
1． RC电路
（2） 建立初始微 分方程组
ur Ri uc i C duc
dt
（3）消除中间变量， 使式子标准化
+
+
i
u
Cu
r-
-c
微分方程： 信号量小写变大写，下标不变，t变s
LC
d
2uc (t) dt 2
RC
duc (t) dt
uc
(t)
ur
(t)
Uc (s) L[uc (t)]
Ur (s) L[ur (t)] 微分定理
零初始条件 LCs2Uc (s) RCsUc (s) Uc (s) Ur (s)
第二章 自动控制系统的数学模型
所谓数学模型是指描述系统动态特性的数 学表达式。
常用的三种数学模型： 微分方程，传递函数，频率特性
线性系统
传递函数
拉氏
傅氏
微分方程
变换
变换
频率特性
建建立立控控制制系系统统数数学学模模型型的的方方法法
1、理论分析法 根据组成系统的各个元部件所遵循的物理规律或
者化学规律，列写各部件的输入输出关系，然后根据 系统的结构方块图或各信号的传递关系，消除中间变 量，最后找出输入输出关系式。
sin
t
零输入 响应
第三节 传递函数
输入
r(t)
c(t)
微微分分方方程程
输出
输入的拉氏变换
R(s)
C(s)
GG((ss))
输出的拉氏变换
一、传递函数的定义
线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下， 系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。
传递函数 输出信号的拉氏变换
C(s)
输入信号的拉氏变换 零初始条件 R(s)
查表法：将 F (s)部分分式展开，变换成能在表中直接查 到原函数的形式。
FF(s()s) BB((ss) AA((ss)
bc00ssmmbc1s1msm11 bmc1ms1sbm cm s(nsa1ps1n)(1 sp2 )an1s( sanpn )
（1） A(s) 0 不同极点
留数法
（2） A(s) 0 有重极点 （3） A(s) 0 有共轭极点
传递函数
G(s)
Uc (s) Ur (s)
LCs2
1 RCs
1
机机械械位位移移系系统统
微分方程：
m d 2 y(t) f dy(t) ky(t) F (t)
dt 2
dt
零初始条件
微分定理
ms2Y (s) fsY (s) kY (s) F (s)
传递函数
G(s)
Y (s) F (s)
ms2
电阻、电容、电感
+ i(t) R u(t)
– u(t)= i (t)·R
u(t)
i(t)= R
i(t) C
+
–
u(t)
i(t) +
u(t)
L
–
复阻抗
u(t)=
1 C
i(t)dt
i(t)=
C
du (t) dt
i(t)=
1 L
u (t)dt
u(t)=
Ld
i (t)
dt
RL
RRLLCC串串联联电电路路
s = z1 , z2 ··· , zm — 传递函数的零点
在复平面上表示传递函数的零点和极点的图形，
称为传递函数的零极点分布图。
传递函数分母多项式就是相应微分方程的特征多项 式，传递函数的极点就是微分方程的特征根。
二、传递函数的性质
1. 传递函数是复变量s的有理真分式函数，具有复变函数的 所有性质。 2. 传函与微分方程具有相通性，零初始条件下可通过n阶导 数与n阶s的置换得到传递函数。 3.传递函数表征了系统本身的动态特性。（传递函数只取 决于系统本身的结构参数，而与输入和初始条件等外部因 素无关，可见传递函数有效地描述了系统的固有特性。） 4.只能描述线性定常系统与单输入单输出系统，且内部许 多中间变量的变化情况无法反映，是系统一种外部描述。 5.如果存在零极点对消情况，传递函数就不能正确反映系 统的动态特性。
6. 传函G(s)的反拉氏变换为系统的脉冲响应g(t)，即传函 可定义为
7. 传函是在零初始条件下定义的,只能反映零初始条件 下输入信号引起的输出，不能反映非零初始条件引起 的输出。
思考：设系统传递函数
C(s) R(s)
s2
3 2s
3
，试求初始
条件分别为 c(0) 1 和 c(0) 0 时系统在输入
1 fs
k
相似系统
——具有相同结构的数学模型
RL
+
+
i
ur
C uc
-
-
G(s) Uc(s)
1
U (s) LCs2 RCs 1
G(s) Y(s)
1
F (s) ms2 fs k
传递函数 结构一致
设线性定常系统由下述n阶线性定常微分方程描述：
零初始条件——输入、输出及其各阶导数初值为零
传递函数的极点就是微分方程的特征根，它们决定了所 描述系统自由运动的模态。
传递函数的零点并不形成自由运动的模态，但它们影响 各模态在响应中所占的比重，因而影响响应曲线的形状。
传递函数 X (s) A sa
零极点分布图
j
-a
0
i
Q: 零点在哪？
时域脉冲响应 x(t) Aeat
0
29
传递函数
X
(s)
a0sn a1sn1 an1s an C(s)
b0sm b1sm1 bm1s am R(s)
系统传递函数的一般表达式为：
G(s)
C(s) R(s)
b0 s m a0 s n
b1sm1 a1sn1
bm1s bm an1s an
nm
G(s)
C(s) R(s)
b0 s m a0 s n
(s
A1s a)2
B1 b2
零极点分布图
j
b
-a 0
i
时域脉冲响应
x(t) Aeat sin(bt )
0
30
传递函数
X (s)
A1s B1 s2 b2
零极点分布图
j
b
0
i
时域脉冲响应
x(t) Asin(bt )
F (s) e e d t s 1a GF拉((ss氏F))(变sFFL)(34换[s(0(issn)(s为L)ti)n[]t：12ftLtL(2[ttlei)[0fm]1j0e0(l(titmt12)-sss01s)1t]32dj1]e0s1(（t1ae12tj12t0tset;t20d289t0ctoeesesee)stsjstsstd0ttttdeledti0l2mtitaam0-ttjee0cs(oi0j11ns(-j1ts(et1sabttt2eusseetd)d0e'vstsjtt)(sdd't(tssd)ute(lvatis)am1))ba2se20atx1dss221xa23bs0v12deeux)s)t2dt
d2c(t dt 2
)
2
dc(t dt
)
2c(t
)
r(t
)
d2
解：在零初态下应用微分定理：
dt
2
s2
C(s)
s2
1 2s
2
(s
1 1)2
1
练习
例2：求解d 2c(t)
dt 2
4 dc(t)
dt
5c(t)
1
已知 c(0) c '(0) 1
解：s2C(s) sc(0) c '(0) 4sC(s) 4c(0) 5C(s) 1
dt 2
dt
微分方程结构一致 二阶线性定常微分方程
不同形式的物理环节和系统可以建立相同形式的数学模型。
系统微分方程由输出量各阶导数和输 入量各阶导数以及系统的一些参数构成。 n阶线性定常系统的微分方程可描述为：
nm
复习拉普拉斯变换
已知原函数为f(t)，
其中：s j
（（（（312）546）））单单序指单正位号位数位弦加阶 斜函脉函原速f跃 坡函(数冲数t度)数函函函se数i数象数nF函a(s1tt数)(12(tt()ta2) 5 0) eat
标准形式： 左端：与输出量有关的项； 右端：与输入量有关的项；
各导数项均按降幂排列！
电气系统wenku.baidu.com要素的微分方程
电阻
设系统输入量为电流，输出量为电压
+ i(t) R
–
u(t)
u(t) i(t) R
电容 电感
i(t) C
+
–
u(t)
+ i(t)
u(t)
L
–
du(t) 1 i(t) dt C
u(t) L di(t) dt
比较系数法或特值法 配方法
例1：已知F (s) 10(s 4)
，求 f (t)
(s 1)(s 2)(s 3)
例2：已知 F (s) 10 ，求 f (t)
s(s 2)
例3：已知
F
(s)
10(s s2 (s
2) 1)
，求
f (t)
例4：已知
F (s)
s2
20 4s 13
，求
f (t)
uc (t)
输出在左，输入在右 按降幂排列
LC
d
2uc (t) dt 2
RC
duc (t) dt
uc
(t)
ur
(t)
3．机械位移系统
输入量为外力: F (t)
输出量为位移: y(t)
依据牛顿定律：
F
m
dy2 (t) dt 2
F (t) ky(t)
f
dy(t) dt
m
d
2 y(t) dt 2
R
+
+
i
ur
C uc
-
-
（1R）C d确dutc定输uc入量ur 和输出量
RC电输路入是量一：阶ur常系
数线输性出微量分：方u程c 。
2． RLC电路的微分方程
R
L
+
输入量：ur 输出量：uc
ur
根据基尔霍夫定律：
-
+ i
C uc
-
u
r
(
t
)
R i(t )
i
(t
)
C
duc (t) dt
L
d i(t ) dt
例5：已知
F (s)
20 (s 1)(s2
4s 13)
，求
f
(t)
例6：已知 F (s) s2 5s 7 ，求 f (t)
(s 1)(s 2)
练习
三、线性微分方程式的求解
拉氏变换法求解微分方程：
时间函数 f (t) 的拉氏变换记作
F (s) L[ f (t)] f (t)est dt 0
该方法适用于内部结构清楚的系统。
2、系统辨识法(实验法) 利用系统或元件的输入-输出信号来建立数学模
型。 该方法适用于对系统或元件一无所知的情况下。
第一节 控制系统的微分方程
一、 建立系统微分方程的一般步骤
（1） 确定系统的输入变量和输出变量 。
（2） 建立初始微分方程组。
（3） 消除中间变量，将式子标准化。
复习拉普拉斯变换
常用的拉氏变换性质： 微分定理： 设f(t)的拉氏变换为F(s),则 初值定理：
终值定理： 若 存在，则
F位(s移)的已定所知理F有：(s极)，点如均何知位道于fs(的) 左存在半与平否面？（？包？ 括原点）。 复位移定理：
3、拉氏反变换 F (s) f (t) f (t) L1[F (s)]
r(t) 1(t) 作用下的输出。
传递函数零极点与系统输出运动模态的关系
在数学上，线性微分方程的解由特解和齐次微分方程 的通解组成。通解由微分方程的特征根所决定，它代表自 由运动。
若n阶微分方程的特征根是1, 2,, n且无重根，则把 函数 e1t , e2t ,, ent 称为该微分方程所描述运动的模态，也 叫振型。
拉氏变换
线性微分方程
代数方程
（时域ｔ）
（复数域ｓ）
微分方程的解
代数方程的解
（时域ｔ） 拉氏反变换 （复数域ｓ）
f (t) L1[F (s)]
拉氏变换的重要应用——解线性定常微分方程
求微分方程的拉氏变换，注意初值！！
求出 C(s) 的表达式
拉氏反变换，求得 c(t)
例1 已知系统的微分方程式，求系统的输出响应。
输出在左，输入在右
按降幂排列
m
d
2 y(t) dt 2
f
dy(t) ky(t) F (t) dt
相似系统
——具有相同结构的数学模型
RL
+
+
i
ur
C uc
-
-
LC
d
2uc (t) dt 2
RC
duc (t) dt
uc
(t)
ur
(t)
m d 2 y(t) f dy(t) ky(t) F (t)